Gioi han

Trước hết bài toán này khá hay và khó, với những căn thức như vậy chúng ta sẽ liên tưởng đến kết quả mà chúng ta đã có trong thí dụ 17, vậy phải làm sao khi mà bài toán này có chứa tíc[r]

Phần Các dạng toán tính giới hạn hàm số  Một số giới hạn dùng kì thi:



0

s inx

lim

x x  ;

1

lim

x

x e

x



  

0

ln(1 )

lim

x

x x



  ;

0

1

lim lim(1 )

x

x x x x x e

     

 

 



2

0

sin cos

lim 1; lim , ,

ax

x x

ax ax a

a R a

x

 



    ( * )( có sao? )

@ Sau toán hay thường gặp giới hạn  Thí dụ 1 Tìm giới hạn

0

2

lim

x

x x

T

x 

  

 ( ĐHQGHN 1997 )

Lời giải

Trước hết ta thêm bớt tử tách sau

3

0

2( 1) (2 )

lim lim

x x

x x

T

x x

 

   

  lại số 2? Đến chắn bạn làm theo cách

nhân lượng liên hiệp, ( ko hay cho lắm, lớn ) Bạn ý nhá:

Đặt

1 ;

u x v x xu21;x 8 v u v3; , 2 Như viết:

 

2

2 2

2 2

lim lim lim lim

1 12

u v u v

u v

T

u v u v v

   

 

      

     (cách giải có

chúng ta loại dấu cồng kềnh, đổi biến nhớ đổi ‘cận’ giới hạn) Ưu điểm qua tốn sau:

 Thí dụ 2. Tìm giới hạn

5

1

2

lim

1

x

x x

T

x 

   

 ( ĐHSPHN 1999 )

ĐS:

10 T  ,

Câu hỏi đặt tìm hệ số tự thêm bớt vào ( số ‘2’ ) Bạn xem

bài toán tổng quát từ rút suy nghĩ nhé: lim ( ) ( )

n m

x a

f x g x T

x a 

 

 số bạn cần tìm là:

( ) ( )

 Thí dụ 3 Tìm giới hạn 2

0

1 cos cos lim x x x T x    Lời giải Biến đổi sử dụng công thức ( * )

2 2

0 0

1 cos os2 cos os2

lim( cos ) lim lim cos

x x x

x c x x c x

T x x

x x x x

  

   

    12 22

2 2

  

Tổng quát:

2 2

2

1 cos cos

lim

2 x

xco x nx n

x



   

  Thí dụ 4. Tìm giới hạn

cos os3

os2 lim

x c x

x

e c x

T x    

Lời giải Biến đổi sau

cos os3

2

0

1 os2

lim( )

x c x

x

e c x

T

x x

 

 

  bạn gặp lại dạng thêm bớt lúc đầu nhé!

Vậy T  T1 T2 với

cos os3 cos os3

1 0 0 cos os3

1 cos os3

lim lim

x c x x c x

x c x

x x

e e x c x

T x x                 cos os3

cos os3 2

0

1 os3 cos

lim

x c x x c x x

e c x x

x x              

o  

cos os3 cos os3

0

1

lim lim 1; cos os3

x c x t

x c x

x t

e e

t x c x

t          

 Thí dụ 5. Tính giới hạn

0

ln(s inx cos ) lim x x T x   

Lời giải Biến đổi

2

0

ln(s inx cos ) ln(1 sin ) sin

lim lim( )

2 sin 2

x x

x x x

T

x x x

 

 

  ( nhớ học công thức nhan

các anh em )

o

0

ln(1 sin ) ln(1 )

lim lim ; sin

sin x t x t t x x t       o 0

sin sin

lim lim ;

2 x u x t u x x t    

Vậy T1.1 1 ( ý phải trình bày cẩn thận phép đổi cận giang hồ chấp nhận ví

như ko viết

0 sin lim x x x   )

 Thí dụ 6. Tìm giới hạn lim x x x T x          

Lời giải Thực phép biến đổi lim lim

1 x x x x x T x x                    

Đặt

1

x t, ta có x 2t 1;x    t

2

2 1

2

1 1

lim lim 1

t t

t t

T e

t t t

                               

 Thí dụ 7 Tìm giới hạn 3 2 

lim

x

T x x x x



Lời giải Thực phép biến đổi đơn giản

 3 2 

lim ( ) ( )

x

T x x x x x x



       (cái gợi cho ta thêm bớt hem, mang đẳng cấp cao rùi)

o  

 

2

3

3

3 2

3

3

lim lim

3

x x

x

D x x x

x x x x x x

          3 lim 3

1 1

x x x              o 2

lim ( ) lim

1

x x

x

Du x x x

x x x

            1 lim 1 1 x x x x         

Vậy

2 T  D Du

 Thí dụ 8. Tìm giới hạn T=

0

sin(s inx) lim

x x ( ĐH Bách Khoa HN 1997 ) – cùi bắp

Lời giải

0

sin(s inx) s inx sin(s inx)

lim lim

s inx

x x  x x 

 Thí dụ Tìm giới hạn

 2

0 cos lim 1 x x T x     

Lời giải Ta thực biến đổi sau

   

2 2

2 2

0

2sin (1 ) 2sin (1 )

2

lim lim

1 1

x x x x x x T x x x             2

2sin (1 )

2 lim x x x x            ( bạn

trình bày chỗ rõ nhé! )

 Thí dụ 10. Tính giới hạn sau

2

1 os

lim sin x c x T x x  

 ( ĐN 1997 )

Lời giải

2

2

0

1 os sin sin

lim lim lim

s inx

sin sin

x x x

c x x x

T

x x x x x

x                    

Chỉ phép biến đổi khéo léo bạn đó!  Thí dụ 11. Tìm giới hạn sau

0

1 lim os

x

T x c

x



 ( ĐH Giao Thông 1997 )

Lời giải Bài phải dùng pp đánh giá nói ngun lí kẹp vaiơstrat ( hic sách giáo khoa 11 cho nhỏ bên cạnh nhà mượn rùi, ghi nhầm có bà bỏ qua nhen )

o u x( ) f x( )v x( ); x D ( tập xác định ba hàm số )

o lim ( ) lim ( ) ;

x a x a

u x v x Dieu a D

    

Thì lim ( ) ;

x a

f x Dieu a D

  

( ui khuya rồi, nhớ cô bé đáng yêu ghê, ngày mai viết tiếp, bé ngủ đêm khuya … măm măm, tối thứ bảy, 29-3-2009 )

Tiếp nè:

 

1 1

cos os cos

x x c x x x x

x  x     x  0  0 

1

lim lim cos lim

x x x x x x x

 

     

 

0

1

lim cos

x x x

 

  

 

 Thí dụ 12. Tìm giới hạn sau

0

1 sin lim

1 cos x

x T

x



  

 ( ĐHQG HN 1997 )

Lời giải Biến đổi sau

0

1 sin 1 sin

lim lim

1 cos cos

x x

x x

T

x x

 

   

 

  ( sin 3 x0 )

3 2

2

0 0

4sin 3sin s inx 4sin 1 os

lim lim lim 4sin

1 co s

1 os cos

x x x

x x x c x

x a x

c x

  

  

   



 

2

lim cos 4sin 3

x x x

   

 Thí dụ 13. Tính giới hạn sau lim s inx s inx x

x T

x



 

 ( ĐHGT 1998 )

Lời giải Tiếp tục ý tưởng với nguyên lí kẹp vaiơstrat, bắt đầu

s inx

s inx 1 s inx s inx

; lim

x

x

x x x x x x  x



         ( bạn nên thuộc giới hạn )

Vì

s inx s inx

1 1

s inx

lim lim lim

s inx s inx

s inx 1

1

x x x

x

x x x

T

x

x

x x

  

  



 

  

   

    

 

 

 Thí dụ 14 Tính giới hạn sau

3

0

2 1

lim

s inx x

x x

T



  

 ( ĐHQG HN 2000 )

Lời giải Các bạn nhớ lại ý tưởng thêm bớt nhé, thử biết có giải hay không?

3

0

( 1) ( 1)

lim

s inx x

x x

T



    



0

( 1) ( 1)

lim lim

s inx s inx

x x

x x

 

   

   A B

o   

   

0

2 1 1 1 2

l im l im

s inx

2 1 s inx 1

x x

x x

A

x x

x

 

   

  

o   

   

3 2

0 2 3 2

1 ( 1) 1 1

lim lim

s inx

( 1) 1 s inx ( 1) 1

x x

x x x x

B

x x x x

x

 

 

       

   

         

o Vậy T 1

 Thí dụ 15 Tính giới hạn

2

2

3 cos

lim x

x

x T

x





 ( ĐHSP HN 2000 )

2 2ln 3

2

0

3 cos ( 1) (1 cos )

lim lim

x x

x x

x e x

T

x x

 

   

 

 2ln 3  2

0

2sin

1 1

2

lim ln lim ln

.ln

4 x

x x

x e

x x

 



   

     

 Thí dụ 16. Tính giới hạn sau 2

0

1 cos cos cos

lim

x

x x x

T

x 

 

Lời giải Bạn nhìn lại thí dụ xem sao, tơi khẳng định chúng có mối quan hệ với nhau, hehe, quan hệ bạn tự suy nghĩ nhé!

Đs:

2

T  ( bí bạn liên hệ với chúng tơi qua tinhbantoan@yahoo.com )

 Thí dụ 17 ( Một tốn quan trọng ) Tính giới hạn sau

0

1 ax lim

n

x T

x



 

 với n nguyên dương

Lời giải Thực phép đổi biến đê:

Đặt n1 ax

y  Khi x0 y1vì em có :

  

1

1

lim lim

1

n n n

y y

y y

T a a

y y y  y  y

 

 

 

      1

1 lim

n n y

a a

y  y  y n



 

   

Làm vài ứng dụng nha! ( Bạn tổng quát kết với đa thực bậc n:

1

( ) n n

 Thí dụ 18 Tính giới hạn sau

0

1

lim

x

x x x

T

x 

   



Lời giải Trước hết tốn hay khó, với thức liên tưởng đến kết mà có thí dụ 17, phải mà toán có chứa tích tới ba dấu khác bậc

Ta sử dụng biến đổi sau

3

1 2 x 3 x 4 x1=

1 2 x 2 x 2 x 3 x

3

1 2x 3x 2x 3x 4x

       

Từ ngon ăn nha!

3

3

0 0

1 1 1

lim lim lim

x x x

x x x

T x x x

x x x

  

 

     

       

 

3

0 0

1 1 1

lim lim lim

x x x

x x x

T

x x x

  

 

     

    

 

2

2

  

@ Hồn tồn bạn tạo toán ý muốn bạn từ ý tưởng bản, thế biết toán học mn màu mn vẻ!

 Thí dụ 19. Tính giới hạn sau

4

lim tan tan( )

4 x

T  x  x



  ( ĐHSPHN 2000 )

Lời giải nhẩm nhẩm ta thấy mà

x vào T khơng xác định Để cho gọn ta đặt

4

a  x 2

0 0

os2 sin os2

lim tan t ana lim cot tan lim lim

4 sin cos cos

a a a a

c a a c a

T a a a

a a a



   

 

        

Phần Các tốn tính liên tục có đạo hàm hàm số

 Hàm số liên tục điểm xx0  

0

0

lim ( ) lim ( )

x x x x

f x f x f x

 

   

 Đạo hàm hàm số y f x( ) điểm xx0 giới hạn hữu hạn ( có )

0

( ) ( )

lim x x

f x f x

x x





 , kí hiệu f x'( )0 Chú ý đạo hàm tồn

0

0

0

( ) ( ) ( ) ( )

lim lim

x x x x

f x f x f x f x

x x x x

 

 

 



  ( bạn hiểu thật rõ

đạo hàm )

Định lí: Nếu hàm số f x( ) có đạo hàm x0 thì liên tục điểm ( điều ngược lại khơng phải lúc )

 Thí dụ 20. Tìm m để hàm số sau liên tục điểm x1:

   

3

2

( ) ; 1

;

x x

y f x x x

m x

   



   

 



Lời giải Trước hết cần hiểu liên tục điểm đã, chúng tơi trình bày phần lí thuyết tóm tắt phần này!

 Hàm số liên tục điểm xx0

 

0

0

0

lim ( ) lim ( ) lim ( )

x x x x x x

f x  f x  f x f x

 

   

Bài toán xét ứng với x0 1, bạn nên biết hàm số cần

xét hàm hai quy tắc, điều quan trọng x1 đồng nghĩa với x chưa

hay x1 Với nhận xét bắt đầu giải sau:

Xét giới hạn 3

1 1

2 2 1

lim ( ) lim lim

1 1

x x x

x x x x

f x

x x x

  

 

      

    

     (?) với

bạn có ví dụ phần việc tính giới hạn cịn trị trẻ con!

Bạn thấy chút khó hiểu, đúng, đọc lại đề lần thật kĩ Người ta yêu cầu “ tìm m “ để hàm số liên tục điểm x=1 nên ta có giả thiết quan trọng hàm số liên tục điểm x=1, điều tương đương với

1

lim ( ) (1)

x f x  f

4 m

  Hãy nhớ tốn tìm m đề cho hàm số liên tục điểm x=1 Bài tốn khác với tốn xét tính liên tục hàm số!

 Thí dụ 21. Tìm m để hàm số sau liên tục điểm

3 x t anx 3cot

3

( ) ;

3 ;

3 x x

y f x x

m x

 

  

 

  

 



Xét giới hạn

3

t anx 3cot

lim ( ) lim

3

x x

x

f x a

x

  

 



 

 ( kết – bạn tự tìm )

Vì hàm số liên tục x nên :

3

lim ( ) ( )

3

x

f x f 





  a m ( bạn thấy khó hiểu nên ngẫm nghĩ lại đọc tiếp tục nha, tốn liên quan đến lí thuyết hay lém )

Phần Ứng dụng định lí lagrange việc giải phương trình

( Dành cho bạn học lớp bồi dưỡng )

I) Định lý Roll : tr-ờng hợp riêng định lý Lagrăng

1.Trong ch-ơng trình tốn giải tích lớp 12 có định lý Lagrăng nh- sau : ( rất tiếc

chương trình định lí giảm tải )

Định lớ : Nếu hàm số y = f(x) liên tục [a; b] có đạo hàm (a; b) tồn một điểm c(a; b) cho:

f/

(c) =

a b

) a ( f ) b ( f

 

ý nghĩa hình học định lý nh- sau: Xét cung AB đồ thị hàm số y = f(x), với toạ độ của điểm A(a; f(a)) , B(b; f(b))

HƯ sè gãc cđa cát tuyến AB là: k =

a b

) a ( f ) b ( f

Đẳng thức : f/

(c) =

a b

) a ( f ) b ( f

 

nghĩa hệ số góc tiếp tuyến điểm C(c; f(c)) cung AB hệ số góc đ-ờng thẳng AB Vậy điều kiện định lý Lagrăng đ-ợc thoả mãn tồn điểm C của cung AB, cho tiếp tuyến song song với cát tuyến AB

2 Nếu cho hàm số y = f(x) thoả mÃn thêm điều kiện f(b) = f(a) có f/(c) = 0.

Ta có định lý sau có tên gọi : Định lý Roll

Nếu hàm số y = f(x) liên tục [a; b], có đạo hàm f/(x) (a; b) có

f(a) = f(b) tồn điểm xo (a,b)sao cho f’ (xo) =

Nh- định lý Roll tr-ờng hợp riêng định lý Lagrăng Tuy nhiên chứng minh định lý Roll trực tiếp nh- sau:

x[a,b] x[a,b]

Nếu m = M f(x) = C số nên xo (a,b) có f’(xo ) =

Nếu m < M hai giá trị max, hàm số f(x) đạt đ-ợc điểm xo (a; b)

VËy xo phải điểm tới hạn f(x) khoảng (a; b) f (xo ) = Định lý ®-ỵc chøng minh

ý nghĩa hình học định lý Roll : Trên cung AB đồ thị hàm số

y = f(x), víi A(a; f(a)) , B(b; f(b)) vµ f(a) = f(b), tån điểm C ( c; f(c) ) mà tiếp tuyến t¹i C song song víi Ox

Nhận xét : Từ định lý Roll rút số hệ quan trọng nh- sau : Cho hàm số y = f (x) xác định [a; b] có đạo hàm x(a;b)

Hệ 1 : Nều ph-ơng trình f(x) = có n nghiệm phân biệt thì: phương trình f’ (x) = có n – nghim phõn bit

ph-ơng trình f(k)

(x) = cã Ýt nhÊt n – k nghiƯm ph©n biƯt, víi k = 2, 3, …

Hệ : Nếu ph-ơng trình f(x) = có n nghiệm phân biệt ph-ơng tr×nh : f(x) +  f’ (x) = cã Ýt nhÊt n-1 nghiƯm ph©n biƯt , víi R

mµ 0

 Thí dụ 29 Chứng minh với số thực a b c, , phương trình

cos3 cos cos sinx

a x b x c x  (1) có nghiệm khoảng 0; 2

Lời giải Lần tơi gặp tốn vào năm lớp 10, thật lời giải làm cho tơi thích tốn dùng định lí lagrange

Xét hàm số 1

( ) a sin sin sin cos

f x   x  b x c x x đoạn [0; ] Rõ ràng hàm số

xác định liên tục [0; ] , có đạo hàm điểm thuộc 0; 2 Ngoài

(0) (2 )

f  f    Theo định lí lagrange, tồn d0; 2 cho

   2  0 ( 1)

'

2

f f

f d 

 

   

  

 acos3dbcos 2dccosdsind0 điều có

nghĩa d nghiệm phương trình (1) suy đpcm ( ý tốn cịn có cách giải khác )

 Thí dụ 30 Giải phương trình 1 cos x2 4 cosx3.4cosx

Lời giải Về toán trước hết ta phải thực đặt ẩn phụ cosx  y  1;1 Khi pt

cho có dạng 1 2 4 4.4

1

y y

y y

   

 

  

 (1) tới công việc chưa hẳng đơn giản Chúng ta dùng ý tưởng định lí lagrange để giải phương trình này, từ định lí lagrange thấy phương trình đạo hàm cấp f '0 có khơng q k nghiệm phương trình f 0

có khơng qua k+1 nghiệm, từ cách đốn nghiệm ta suy nghiệm phương trình Những phương trình dùng tới định lí thường có mặt kì thi hsg!

Ta có

 2

6.4 ln

'( )

2 y

y

f y  

 2

'( ) 4y 6.4 ln 4y

f y      ta coi phương trình phương trình với biến 4y

thì rõ ràng pt bậc hai nên có khơng q nghiệm Từ (1) có khơng q

nghiệm, ta đoán

1

0; ;

2

y  y  y  ba nghiệm (1) Rồi từ giải pt lượng giác

cơ cos 0;cos 1;cos

2

x x x suy kết quả!

Thí dụ 31

Cho n số nguyên d-ơng , a, b, c số thực tuỳ ý thoả mÃn hệ thøc :

2 n

a

 + n 1

b

 + n

c

= (1) CMR ph-ơng trình :

ax2 + bx + c = cã Ýt nhÊt mét nghiÖm ( 0; 1)

Giải :

Xét hàm sè: f(x) =

2 n axn





+

1 n bxn





+

n cxn

Hàm số f (x) liên tục có đạo hàm xR

Theo gi¶ thiÕt (1) cã f(0) = , f(1) = 0

n c 1 n

b 2 n

a  

 



Theo định lý Roll tồn xo (0; 1) cho f’(xo ) = mà: f’(x) = axn1bxn cxn2

f’(x0) = ax bx cxno 0

n o

n

o   

  

xno1(axo2 bxo+c) = (xo 0)

ax2 bxo c 0

o   

Vậy ph-ơng trình ax2 bxc0

cã nghiƯm xo(0;1) (®pcm)

Thí dụ 32

Giải ph-ơng trình : 3x 6x 4x 5x

Gi¶i :

Ph-ơng trình cho t-ơng đ-ơng với :

6x 5x 4x 3x (2) Râ rµng xo 0 lµ mét nghiệm ph-ơng trình (2)

Ta phõn tớch sau, phương trình tương đương với 5 1 x5x 3 1x3x, phương trình

có bậc biến nên dùng thủ thuật để xử lí sau:

Ta gäi  lµ nghiƯm bÊt kỳ ph-ơng trình (2) Xét hàm số :

f(x) = (x1) x , với x > 0, chỳ ý X X lớn nhen! Hàm số f(x) xác định liên tục ( 0; +) có đạo hàm :

f’ (x) =(x1)1 -  x1

= [ (x1)1x1 ]

 [ (c1)1 c1 ] = o   = o ,  =