Chuyên đề giới hạn của dãy số - Huỳnh Ái Hằng

S là tổng vô hạn các phần tử của một cấp số nhân.. Khẳng định nào sau đây sai?[r]

Tác giả:HUỲNH ÁI HẰNG (Huế) Biên tập:Lê Bá Bảo (Huế)

CHUYÊN ĐỀ: GIỚI HẠN

Chủ đề 1:

I- LÝ THUYẾT:

1.ĐỊNH LÍ 1: Cho hai dãy số    un , vn Nếu ;

*

lim

n n

n

u v n

v

    



 



limun0

2.CÁC PHÉP TỐN: Giả sử limun  L , limvnM c số Khi đó:

   

   

*

* ;

* lim lim

* lim lim

n n n n

n n

n

u v L M u v L M

u L

c u c L M

v M

   

  

Định lý 1:NGUYÊN LÝ WEIERSTRASS

Một dãy số tăng bị chặn ( giảm bị chặn ) có giới hạn Định lý 2: (ĐỊNH LÝ KẸP GIỮA)

Cho dãy số ( ), ( ),un vn (wn) với: vn unwn ;  n *

Lúc đó: lim lim

lim n

n n

v A

u A

w A

  

 

  



*CÁC KẾT QUẢ QUAN TRỌNG:

* limc c , c *

3 lim lim

lim n n

n

u L

u L

u L

 

   

 

* lim vµ lim

n

n n

u L

L u L

u n

 

  

   

* Tổng cấp số nhân lùi vô hạn q 1:

1 1

1 u S u u q u q

q     



* lim n lim n u

u    

*

3

1 1

lim 0; lim 0; lim 0;

n  n  n 

* limqn 0 nếu q 1 *lim 0  *

k k

n   Mở rộng: lim k

c n 

* limn ; lim n ; lim3n  * limqn  nếu q1

* limnk  , k* 3 MỘT VÀ QUY TẮC TÌM GIỚI HẠN DÃY SỐ:

limun  , limvn   limun  , limvn  L limun L 0, limvn0 limun limvn limu vn n limun Dấu L limu vn n Dấu L Dấu vn

lim n n u v 

  

   

   

   

   

   

   

   

    II – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MINH HỌA:

Câu 1. Với k số nguyên dương lim 1k

n

A  B  C D

Hướng dẫn:

 *

1

lim k 0, k

n  

Câu 2. Trong khẳng định sau, khẳng định sai? A lim1 lim 1k ; k 

n n  B lim

n

q  q1 C limcc (c số) D lim3 lim

n n

u  u

Hướng dẫn:

limqn0 q 1

Lựa chọn đáp án B.

Câu 3. Cho dãy số  un thỏa mãn un 12 n

  với n Khi đó, limun có giá trị A B 2 C D

Hướng dẫn: Vì un 12

n

  lim 12

n  nên limun 2 Vậy limun2

Lựa chọn đáp án A.

Câu 4. Dãy số sau có giới hạn khác 0? A

1

n B

n C

1 n

n 

D cosn n Hướng dẫn:

1

limn lim 1

n n

 

      

 

 

 

Lựa chọn đáp án C.

Câu 5. Dãy số sau có giới hạn 0? A

2 n        

  B

n        

  C

2

n        

  D

4

n           Hướng dẫn:

Vì

   nên lim

n           

Lựa chọn đáp án C.

Câu 6. Dãy sau khơng có giới hạn? A

3 n        

  B

n        

  C  0,99 n

 D  1n Hướng dẫn:

Câu 7. lim 1

n

n 

 có giá trị A

2 B C 1 D

1  Hướng dẫn:

 1 1 1  1

Do lim lim

2

n n

n n n n

 

   

 

Lựa chọn đáp án B.

Câu 8. Dãy số sau có giới hạn khác 0? A

3n B

 1 n

n 

C

n        

  D

2 n Hướng dẫn:

Vì 4 nên

5

lim

4 n  

     

   

Lựa chọn đáp án C.

Câu 9. lim1

n n 

có giá trị A

4 B

1

 C

2 D

1  Hướng dẫn:

1

1

lim lim

4

n n

n



   

Lựa chọn đáp án D.

Câu 10. lim3 5

n n

n 

có giá trị

A B C

5 D

8 Hướng dẫn:

3 5

lim lim

1

n

n n

n

       

  

 

Câu 11.

1

7

lim

3.4

n n

n n

  

 có giá trị

A 7 B C 1 D Hướng dẫn:

1

5

7

7

7 7.7

lim lim lim

3.4 3.4 4

3

7

n n

n n n n

n n n n n



   

 

   

           

   

     

Lựa chọn đáp án A.

Câu 12.

2 2

3

lim

3

n n n

n n n

π

π 

 

  có giá trị

A

3 B

1

4 C  D 1

Hướng dẫn:

2 2

3

4

3

lim lim lim

4

3 3 4.4 3

3

4

n n

n n n n n n

n n n n n n n n

π

π π

π  π π

            

 

          

         

 

 

   

 

   

Lựa chọn đáp án B.

Câu 13.

3

2

lim

2

n n

n n

  

  có giá trị

A  B 2 C D 6 Hướng dẫn:

3 3 4

4

3

2

2

lim lim

2

2 1

n n n n n

n n

n n

  

    

   

Lựa chọn đáp án C.

Câu 14. Gọi L lim sin 3n n

  L số sau đây?

A B C D

Ta có sin 3n n n

sin

lim n

n

  L lim sin 3n

n

    

Lựa chọn đáp án C.

Câu 15.

4

2

lim

3

n n

n n

 

 có giá trị

A B

3 C  D

2 Hướng dẫn:

4 3 4

4

3

1

2

2

lim lim

2

3 3

n n n n

n n

n

 

   

 

Lựa chọn đáp án B.

Câu 16.

3

2

2

lim

2

n n

n n

 

  có giá trị

A B C  D 2

Hướng dẫn:

3

3 3

2

2

2

1 1 4

2 2

2

lim lim lim

2 3

2

1

n

n

n n n n n

n

n n

n

n n n n

   

     

     

 

       

 

   

         

 

   

 

Lựa chọn đáp án C.

Câu 17.   

  

2

2

2

lim

1

n n

n n

 

  có giá trị A B

2 C D 

Hướng dẫn:

  

  

2

2

2

2 3

1 1

2 1

lim lim lim

2

1 5

1 1 2 1 2

n n

n n n n n n

n n n n

n n n n

      

          

      

        

       

            

      

   

      

Lựa chọn đáp án B.

Câu 18. Tổng cấp số nhân lùi vô hạn 12

5 5n

S     có giá trị A

5 B

1

4 C

2

5 D

Hướng dẫn:

2

1 1

5 5n

S     tổng cấp số nhân lùi vô hạn với 1

u 

5 q

Khi đó,

1

1

5

S 



Lựa chọn đáp án B.

Câu 19. Cho dãy số        un , vn , wn , αn với 21, 2

1

n

n n n

n

u v

n



 

  ,

2017

n n

w  ,

4

2017

n

n n

α  

 Có dãy số có giới hạn dãy số trên?

A B C D

Hướng dẫn:

Có dãy có giới hạn gồm      un , vn , wn

Lựa chọn đáp án C.

Câu 20. Biết lim4

n

a n  

 Hỏi a nghiệm phương trình sau đây? A x2 4 B x25x 4 C x25x 4 D

2

0

5

x

x x





 

Hướng dẫn:

lim

2 n

a a n

   

 Lần lượt a4 vào phương trình phương án

Lựa chọn đáp ánB.

Câu 21. lim 3 n3n21 có giá trị

A.2 B 1 C  D  Hướng dẫn:

 

3 1 lim 3n n limn

n n

 



       

 

Lựa chọn đáp án C.

Câu 22.  2 

lim n  n n 2 có giá trị

A B C  D

     

2

2 2

2 2

lim lim lim

2

n n n n

n n n

n n n n n n

   

    

     

2

1 1

lim

2

1

1

n

n n



 

  

Lựa chọn đáp án D.

Câu 23. lim n2 n n22 có giá trị

A 1 B  C 1 D  Hướng dẫn:

 2 

2

1

lim n n n lim n 1

n n

  

  

          

 

 

 

 

Lựa chọn đáp án D.

Câu 24.

2

2 lim

4

n n n

n n n

 

  có giá trị

A B C

2

 D

2 Hướng dẫn:

  

  

2 2

2 2

2

2

lim

4

2 lim

4

n n n n n n

n n n n n n

n n n

n n n

   

 

    

 

1

2 2

=

2

1 1

lim lim =4

n

n n

n

n n

   

   

       

   

 

   

    

 

   

       

   

 

   

Lựa chọn đáp án A.

Câu 25. lim3n13n có giá trị

A B C  D 

Hướng dẫn:

 

 2  2  2  2

3

3

3 3

1

lim lim

lim

1 ( 1) ( 1)

n n

n n

n n n n n n n n

 

  

 

 

     

Câu 26. lim1 (22 1)

3

n n

    

 có giá trị

A B C

3 D 

Hướng dẫn:

1 3   5 (2n1) tổng n số hạng đầu cấp số cộng có u11, un2n1 cơng sai d2

Do 1 3 5 (2 1) 1 2 1 2

n

n  n  n

          Suy

2

2

2

1 (2 1) 1

lim lim lim

2

3

3

n n

n n

n

       

  

Lựa chọn đáp án C.

Câu 27.

 

1 1

lim

1.2 2.3 3.4 n n

 

 

     

 

  

  có giá trị

A B C 1 D

Hướng dẫn:

Ta có:  

 

 

1 1

1

k k

k k

k k k k

 

  



 

Do

 

1 1 1 1 1 1 1

1.2 2.3 3.4 n n 1 2 3 n n n

       

   

              

 

       



Suy

 

1 1 1

lim lim 1

1.2 2.3 3.4 n n n

   

   

        

   

     

 

Lựa chọn đáp án D.

Câu 28. Cho dãy  

1 :

1

n n

n n u

u u

u u      

 



Lúc đó, limun

A B C 1 D

Hướng dẫn:

Dùng phương pháp quy nạp toán học, ta chứng minh un limun n

  

III – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỰ LUYỆN:

Câu 1. Trong khẳng định sau, khẳng định đúng?

A Nếu limun0 limun 0 B Nếu limun   limun C Nếu limun   limun  D Nếu limun a limun a

Câu 2. Mệnh đề sau mệnh đề đúng?

A Một dãy số có giới hạn ln ln tăng ln ln giảm B Nếu  un dãy số tăng limun 

C Nếu limun  limvn  limunvn0 D Nếu unan   1 a limun0

Câu 3. Trong khẳng định sau, khẳng định đúng? A lim3 f x g x  3limf x g x 

 

B lim3 f x g x 3 limf x 3 limg x  C lim3 f x g x lim3 f x lim3 g x  D lim3 f x g x lim3 f x 3 g x 

 

Câu 4. Với a số thực, khẳng định sau, khẳng định sai? A Nếu limuna limvn  lim n

n u v  B Nếu limuna limvn lim n

n u v 

C Nếu limuna limvn  limu vn n 

D Nếu limun a limvn0 vn0 với n lim n n u

v  

Câu 5. Mệnh đề sau đúng? A Mọi dãy dương có giới hạn B Mọi dãy tăng có giới hạn C Mọi dãy giảm có giới hạn

D Mọi dãy dãy không đổi có giới hạn

Câu 6. Mệnh đề sau đúng? A Mọi dãy bị chặn có giới hạn

B Mọi dãy tăng bị chặn có giới hạn C Mọi dãy giảm bị chặn có giới hạn D Mọi dãy tăng bị chặn có giới hạn

B 1

1 n

u

u u u

q

   



C

1

1

n u

u u q u q u q

q

     

 D lim

1 n

u S

q 



Câu 8. Để tính lim2.4 13

n n n

n n

 

 ta tiến hành A Chia tử mẫu cho 2n

B Chia tử mẫu cho 3n C Chia tử mẫu cho 4n D Chia tử mẫu cho 5n

Câu 9.  

 

1

5

lim

5.2

n n

n n

 

 

 

có giá trị

A

 B

5 C

2

 D

5 

Câu 10.

2

3

2

lim

2

n n

n n



  có giá trị

A

 B C D

2

Câu 11. lim 2 3

n n

n

 

 có giá trị A B

3 C D 

Câu 12.    

  

2

4

2

lim

3

n n n n

n n n

  

   có giá trị A B

3 C D 

Câu 13.   

  

3

4

2

lim

2

n n n

n n

 

  có giá trị

A B C

2

 D 

Câu 14.

  

3

2 lim

1

n n

n n

 

  có giá trị

A B C

2

 D

Câu 15. Tổng 1

2 2n

S     

A B C D

Câu 16. Tổng  

1

1 1

+ +

2

n

n S

   



    

 

A B

3 C

3

4 D

2

Câu 17. Với k số nguyên dương limnk

A  B  C D n

Câu 18. lim2n32n23 có giá trị

A.2 B 1 C  D 

Câu 19. lim 3 n44n2 n 1 có giá trị

A. B  C D

Câu 20.  2 

lim n  4 n 1 có giá trị

A B C D 

Câu 21.  2 

lim n 2n 1 2n n có giá trị

A 1 B  C 1 D 

Câu 22.  

lim n 2n 3 n có giá trị

A.1 B C  D

Câu 23.

2

9

lim

3

n n n

n

  

 có giá trị

A B C D 

Câu 24. lim 12 13

3 3 3n

     

 

  có giá trị A

2 B

1

24 C  D

Câu 25.  2 

lim 2n   n 2n 3n2 có giá trị A

2 B C  D 

Câu 26. lim 1

1

n n

 

  

 

 

    có giá trị

A B C

Câu 27.

2017 2016 2017 2015 lim

3

n n

n n



 có giá trị

A B 1 C

3 D 

Câu 28.

  

1 1

lim

1.3 3.5 5.7 2n 2n

 

   

 

   

  có giá trị

A

2 B 1 C

1

3 D 

Câu 29. lim n n 2 n3

  có giá trị

A B C

2 D 

Câu 30. Nếu limunL lim3 8 n

u  có giá trị A L2 B L8 C 3

2

L D L8

Câu 31. Nếu dãy  un với un 0,  n  limunL lim n

u  có giá trị A

3

L B

9

L C

1

L D

1 L

Câu 32. Cho dãy số  un với limun3 Khi đó, lim2 n

n u u



 có giá trị

A.4 B C D

2

Câu 33. Cho dãy số  un với limun  Khi đó, lim 2 n

n u u



 có giá trị

A B  C D 2

Câu 34. Cho dãy số  un với un 2 2 2   2 n Chọn mệnh đề mệnh đề sau:

A    

2 2

lim 2

1 n

n

u      

 B limun

C limun 

D Dãy số  un khơng có giới hạn n 

Câu 35.

3

3 lim

8 n n



 có giá trị A B

2 C

1

Câu 36.

3

3

2

8

lim

2

n n

n

 

 có giá trị

A B C D 

Câu 37. lim 1  1  1.4 4.7 7.10 3n 3n

 

   

 

   

  có giá trị

A

2 B 1 C

1

3 D 

Câu 38. lim1.2 2.3 3.4 3  1

2016 2017

n n n

    

 có giá trị A

2017 B

1

2016 C  D 

Câu 39. lim ( 1) cos n

n n

n

   

 

 

 

  

  có giá trị A

2 B C D 1

Câu 40. lim 3 n 5n

 

  có giá trị

A B  C  D 

Câu 41.

2

2

1 lim

2

n n

n n

 

  có giá trị

A B C D 1

Câu 42. 3 

lim n 2nn có giá trị A

3

 B

3 C D

Câu 43. 3 

lim n n n có giá trị A

3 B  C D

Câu 44. Dãy số sau có giới hạn 0? A

2

n

n u

n n

 

 B

1 n

n u

n n

 

 C

2

n

n u

n

 

 D

1 n

n u

n  



Câu 45. lim2 2 3n 1 n

    

có giá trị A

Câu 46. Dãy số sau có giới hạn ? A 2 3 n n n u n n    B 3 n n u n    C 2 3 n n u n    D n n u n n   

Câu 47. Dãy số sau có giới hạn ? A 2 n n n u n n    B 2018 2017 n n u n    C un2017n2016 n2 D unn21

Câu 48. Trong giới hạn sau đây, giới hạn 1? A 3 lim n n 

  B

3 3 lim n n    C 3 lim 3 n n n 

  D

3 lim n n   

Câu 49. Trong giới hạn sau đây, giới hạn 0? A lim n n 

  B

3 2 lim n n n    C 2 lim n n n n 

  D

3 lim n n  

Câu 50. Trong giới hạn sau đây, giới hạn 1? A lim n n 

  B

3 2 lim n n n   C 3 lim n n n n 

  D

4 lim n n  

Câu 51. Dãy số sau khơngcó giới hạn? A lim  1 sin

2 n π nπ           

  B lim sin nπ

C lim cos π nπ         

  D lim cos nπ

Câu 52. Dãy số sau có giới hạn 1?

A lim sin nπ B lim cos nπ

C lim sin 2 n π n          

  D

cos limn n

n 

Câu 53. Biết lim4 1

n

M n  



4 lim

2

n n

n m 



 Tích M m A B 2 C

2 D

Câu 54. Biết lim20172017

n  2017

2017

lim

n

 

Khi đó, lim2017 sin 20172017 n

n

A 2017 B 2017 C D

Câu 55. Để tính lim1 2 n n

   

, học sinh làm sau: Bước 1: Ta có 1 2 n 12 22 32 n2

n n n n n

   

   

Bước 2: Suy lim1 2 n lim 12 22 32 n2

n n n n n

 

         



 

 

 

Bước 3: Suy lim1 2 n lim 12 lim 22 lim 32 lim n2

n n n n n

   

    

Bước 4: Suy lim1 2 n 0 0 n

          Bạn học sinh giải hay sai? Nếu sai thìsai bước nào?

A Bước B Bước C Bước D Bài giải

Câu 56. lim1 (22 1)

5

n n

    

 có giá trị A B

4

 C

5 D 

Câu 57. lim1 2

n n    

 có giá trị

A.1 B  C D

2 

Câu 58.

 

2 2

lim

1.2 2.3 n n

 

 

    

 

  

  có giá trị

A

2 B C D 

Câu 59. Cho dãy    

*

2

:

2 n

n

n u

u

u n

u

   

   



 

Lúc đó, limun

A B C 1 D

Câu 60. Cho dãy  

 

1

*

1 :

3 n

n n

u u

u  u n

   

  

 

Lúc đó, limun

A  B C  D

Câu 61.

2 2

3

1 lim

4 2017 n n

   

 có giá trị A

3 B

1

Câu 62. Khẳng định sau đúng?

A Một dãy số có giới hạn ln tăng ln giảm B Nếu n

n

u a a1 limun0

C Nếu limun 0 limvn   lim( ) 0u vn n  D Nếu limun   lim2017

n u 

Câu 63. Khẳng định sau sai?

A Một dãy số tăng bị chặn có giới hạn B Một dãy số giảm bị chặn có giới hạn C Nếu limun   limvn   lim n

n u v  D Nếu un anvà a



   liman 0

Câu 64. Khẳng định sau sai?

A Nếu limun a limvn b lim(unvn) a b B Nếu limun   limvn   lim(unvn) 0 C Nếu un0 với n limvn a a0

D Nếu limun  2 limvn2018 lim n 1009 n

v

u  

Câu 65. Khẳng định sau đúng?

A Nếu limun a limvn b lim n n

u a

v b B Nếu limun a lim un  a

C Nếu limun 5 limvn 0 lim n n u

v   D Nếu un an a limun  

Câu 66. Cho dãy số  un với 23

3

n

n u

n n

    

  Khẳng định sau đúng?

A limun 0 B limun 2 C limun 3 D limun  

Câu 67. Cho dãy số  un với

2

1 2

2

n

n n

u      

 Khẳng định sau đúng? A lim

2 n

u  B limun 1 C limun   D limun  

A limun 0 B limun 5 C limun 7 D limun 2016

Câu 69. Cho 1

2 2n

S      Khẳng định sau đúng? A S0 B S1 C lim

2 n

u  D limun  

Câu 70. Cho S  1 22  2n Khẳng định sau sai? A S 

B Slim(1 2  2  )n

C S tổng cấp số nhân lùi vô hạn

D S tổng vô hạn phần tử cấp số nhân

Câu 71. Cho dãy số  un có limun  Khẳng định sau sai? A lim

2

n

n u

u 

 B  

2

2

1 1

lim

2

2

n

n u

u 

  C lim3un6  D

2 1 lim

2

n

n u u  

Website HOC247 cung cấp mơi trường học trực tuyếnsinh động, nhiều tiện ích thông minh,

nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh

nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹnăng sư phạmđến từcác trường Đại học

trường chuyên danh tiếng

I. Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG:Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng xây dựng khóa luyện thi THPTQG các mơn: Tốn, NgữVăn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học - Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán: Ôn thi HSG lớp 9 luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn.

II. Khoá Học Nâng Cao HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho em HS THCS

lớp 6, 7, 8, u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ởtrường đạt điểm tốt

ở kỳ thi HSG

- Bồi dưỡng HSG Tốn: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần

Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩncùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III. Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất mơn Tốn- Lý - Hố, Sinh- Sử - Địa, NgữVăn, Tin Học Tiếng Anh

Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online Chuyên Gia