Gi¸o ¸n båi dìng to¸n Năm học 2010-2011 Ngày san: Ngy dy: Phần đại số Tun 1,2 Chủ đề 1: Một số toán biến đổi đồng biểu thức đại số A-Mục tiêu: - Học sinh biết phối hợp kỹ biến đổi đồng biểu thức đại số - Học sinh biết sử dụng kỹ biến đổi đồng biểu thức đại số để giải tóan có liên quan B- Thêi lỵng: tiÕt C- Gỵi ý thùc I- Lý thuyết: - Một số dạng toán thờng gặp phải biến đổi đồng biểu thức đại số, chứng minh đẳng thức, phân tích đa thức thành nhân tử, đơn giản biểu thức, tính giá trị biÓu thøc … VD1: cho ab = CMR a5 + b5 = (a3+ b3) (a2 + b2) - (a-b) Gi¶i: VP = a5 + b5 + a3b2 + a2b3 - (a+b) = a5 + b5 + a2b2(a+b) - (a-b) = a5 + b5 + (a+b) - (a+b) = a5 + b5 = VT VD2: Cho a+b+c =0 vµ a2 +b2+c2 = 14 TÝnh gÝa trÞ cđa biĨu thøc B = a4 + b4 + c4 Gi¶i: Ta cã: 142 =(a2 +b2 +c2)2 196 = a4 + b4 + c4 + 2a2b2+ b2a2 + a2c2 a4 + b4 + c4 = 196 -2 ( a2b2 +b2c2+ a2c2) L¹i cã: a+b+c = => ( a+b+c)2 =0 => a2 +b2 +c2 +2ab +2bc + 2ac = => ab+ ac+ bc =-7 -> (ab +ac = bc)2 = 49 Nguyễn Thanh Viê ̣t Trêng THCS Mã Đà Gi¸o ¸n båi dìng to¸n 2 Năm học 2010-2011 2 2 2 => a b +b c + a c + 2ab c + 2bc a + 2ca b = 49 => a2b2 +b2c2 + c2a2 + 2abc ( b+c+a) = 49 Do ®ã : a2b2 +b2c2+ c2a2 =49 => B : a4 + b4 + c4 =196 - 2.49 = 98 VD3: Ph©n tÝch thõa sè a3 + 4a2 - 29a + 24 Gi¶i: = a3-a2 +5a2 - 5a - 24a + 24 = a2(a-1) + 5a (a-1) -24 (a-1) = (a-1) (a2 +5a - 24) = (a-1) [a (a-3) +8 (a-3) ] = (a-1) (a-3) (a-8) VD4: Tính giá trị biểu thøc A =( 3x3 +8x2 + 2)1998 Víi : x = ( + 2)3 17 − 38 + 14 − Gi¶i: Rót gän x = x= => − 2) ( + 2) + (3 − 5) = ( − 2)( + 2) +3 − thay vµo A A= 31998 VD5: Rót gän S= +1 + +2 + + 1999 1998 + 1998 1999 + 2000 1999 + 1999 2000 Gi¶i: XÐt K∈N, K≥ ( k + 1) k − k k +1 Ta cã: (k +1) k + k k +1 = ( k + 1) k − k ( k + 1) = (k +1) k − k k +1 k (k +1) = k - k +1 Cho k= 1,2 …, 2000 ta cã +1 = 1 - +2 = - Nguyễn Thanh Viê ̣t Trêng THCS Mã Đà Gi¸o ¸n båi dìng to¸n Năm học 2010-2011 2000 1999 + 1999 2000 => P = 1 - 2000 = = 2000 −1 2000 1999 = 2000 - 20 −1 20 TiÕt +5 + + I- Giải tËp ¸p dơng B1/ Cho sè x, y,z tháa m·n ®ång thêi x2+2y+ = , y2+ 22 + = ; z2 + 2x + 1= Tính giá trị biểu thức : A = x2000 + y2000 + z2000 B2/ Rót gän biĨu thøc     4  9  Pn= 1 − 1 −  1 −    1 −  (αn −1) 25       BiÕt r»ng nã ®óng với n1 CM phơng pháp qui nạp toán häc B3/ Ph©n tÝch nh©n tư : P= x4 + 2000 x2 + 1999x + 2000 B4/ Cho a,b,c lµ số hữu tỉ CMR : 1 + + 2 ( a − b) (b − c) (c a ) số hữu tØ B5/ Cho sè a,b,c tháa m·n §K: abc = 2000 Tính giá trị biểu thức P= 2000a b c + + ab + 2000a + 2000 bc + b + 2000 ac + c + Híng dÉn giải tập B1/ Cộng vế đẳng thức , ta cã (x2 +2y+1) +(y2 +22+1) + ( z2 +2x+1) = => (x2 +2x+1) +(y2 +2y+1) + ( z2 +2z+1) = => (x+1)2 + (y+1)2 + (2+1)2 = => x+1 = y + 1= x = -1 => y = -1 z+ = => A = (-1)2000 B2/ P1 = P2 = z =-1 + (-1)2000 + (-1)2000 = = = 2.1 +1 2.1 −1 4  2.2 +1 1 −  = =9  2.2 −1 Nguyễn Thanh Viê ̣t Trêng THCS Mã Đà Gi¸o ¸n båi dìng to¸n P3 = Dự đoán Pn = Nm hoc 2010-2011  2.3 +1  1 −  == 25  2.3 −1  2n +1 2n −1 Sau chứng minh kết dự đóan phơng pháp qui nạp tóan học B3/ P = x4 + x3 + x2 + 1999 (x2+ x +1) - (x3 -1) = x2 (x2 + x+1) + 1999 (x2 +x+1) - (x-1) (x2+x+1) = (x2 + x+ 1) (x2 + 1999 - x +1) =( x2 +x+1) (x2 - x + 2000) B4/ Đặt x = a-b; y = b-c, z = c-a =>x+y+z = Ta cã: 1 1 1  + y2 + =  + +  - x y z x2 z    1    xy + yz + xz     = 1 1   + +  x y z   2 2( x + y + z ) 1 1   + +  =  xy x y z => 1 + + 2 x y z = 1 + y + x z 1 + + 2 ( a − b) (b − c) (c − a ) VËy số hữu tỉ B5/ Thay 2000= abc => P = abc.a b c + + ab + abc.a + abc bc + b + abc ac + c + Tuần : Ngày sọan:10/10/2010 Ngày dạy:12/10/2010 Chñ đề 2: Hàm số đồ thị A- Mục tiêu : - Học sinh đợc hiểu rõ đồ thị hàm số, tính chất hàm số Nguyờn Thanh Viê ̣t Trêng THCS Mã Đà Gi¸o ¸n båi dìng to¸n Năm học 2010-2011 - RÌn lun kü giải tóan liên quan đến hàm số đồ thị B- Thời lợng : tiết C- Gợi ý thực Một số dạng tóan điển hình B1/ Trên hệ trục vuông góc, cho parabol (P): y=- x đờng thẳng y = mx - 2m -1 (D) a) VÏ (P) b) T×m m cho (D) tiÕp xóc víi (P) c)Chøng tá (D) qua điểm có định A ∈ (P) B2/ Trong mp täa ®é 0xy, cho parabol (P): y=- x2 điểm I (0; -2) Gọi (D) đờng thẳng qua I có hệ sốgóc m a) Vẽ đồ thị (P) b) Chứng tỏ với m,(D) cắt (P) điểm phân biệt A,B Tìm quĩ tích trung điểm M AB ? c)Với giá trị M AB ngắn nhất? Tìm giá trị nhỏ đó? B3/ Cho hµm sè y = √x2 - 4x + + √ 4x2 + 4x +1 + ax a) X§ a để hàm số đồng biến b) XĐ a để đồ thị hàm số qua điểm B (1;6) Vẽ đồ thị hàm sốvới a vừa tìm đợc ( C) c) Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiƯm cđa PT x − 4x + + x − x +1 =x+m Híng dÉn giải : B1/ a) Vẽ (P) cách lập bảng giá trị b) PT hòanh độ giao điểm (P) vµ (D) lµ : - x =mx - 2m -  x2 + 4mx - 8m - = (D) tiÕp xóc víi (P)  PT (1) cã nghiÖm kÐp  D' = 4m2 +8m +4 =0  m =-1 => (D) : y = -x + c) Ta cã: y = mx - 2m -1  ( x-2) m = y+1 Gi¶ sư A (xo, yo) điểm cố định (D) A∈(D) víi mäi m Nguyễn Thanh Viê ̣t Trêng THCS Mã Đà Gi¸o ¸n båi dìng to¸n Năm học 2010-2011  (x0 - 2) m = yo + víi mäi m x0 -2 =0 y0 +1 = VËy: B2) x0 = Y0 = -1 A (2, -1) Ta có A(P) a) Vẽ (P) bảng giá trị b) PT đờng thẳng (D) : y = mx + b I ∈ (D)  -2 = m.0 + b => b=-2 VËy (D) : y = mx -2 PT thành độ giao điểm (D) (P) : - x2 = mx -2  x2 + 4mx - = ∆' = m2 + > víi ∀m Do ®ã PT cã nghiƯm phân biệt với m => (D) cắt (P) điểm phân biệt Avà B Gọi M trung điểm AB xm = x A + xB vµ M∈(D) xA + xB = - 4m => xm = -2m , ym = m xm - Ta cã hÖ : xm = - 2m (1) ym = m xm - (2) xm thÕ vµo (2) Tõ (1) => m = yM = ( ym = - VËy M thuéc parabol (P1) : y = - x2 xm ) xm -2 2 xm -2 -2 AB2 = ( xA - xB)2 + ( yA - yB)2 víi ( yA- yB)2 = m2 (xA-xB)2 c) Ta cã : => AB2 = ( xA- xB)2 (1+m2) = ( 16m2 + 32) ( m2 + 1) VËy AB nhá nhÊt b»ng 32  m = => AB= 4√2  m = B3/ a) Ta cã : y = x-2+  2x + 1 + ax y= ( a-3) x+1 nÕu x < - y= ( a+1) x + nÕu - Nguyễn Thanh Viê ̣t 0 a>  a+1 >0 a> -1 a + 3>0 a>3 a> -3 b) Đồ thị hàm số qua ®iĨm B (1,6)  = 1-2 + 2+1 + a  = a+4  a= Khi a =  - x + 1nÕu x 0  m2 + 2m + -m2 +m -2 >0  5m -1 >0 m> Các GT m để PT (1) có nghiệm phân biệt k = - 42 Khi (1) có dạng x2 +8x - 42 =  x2 +4x - 21 =  x1 = -7 , x2 = B3/ §Ĩ PT (m+2) x2 + 6mx + 4m + = cã nghiệm kép m -2 ' =0 ' = 9m2 - ( m+2) (4m+1) = 5m2 - 9m -2 =  m =2 , m = - B4/ §Ĩ PT mx2 = (m-1) x+ m+1 = có nghiệm phân biệt m ≠ vµ ∆' > ∆' = ( m-1)2 - m (m+1) =m2 - 2m + - m2 - m = 1-3m > => m < B5/ §Ĩ PT m2x2 + mx +4 =0 vô nghiệm : m < ∆= m2-16m2 = -15m2 < ®óng víi mäi m ≠ - XÐt m=0 ⇒ PT cã d¹ng 0x =4 v« nghiƯm - VËy víi mäi m PT ®Ịu v« nghiƯm Tuần Chđ ®Ị 4: Mét sè toán sử dụng hệ thức Viet A- Mục tiêu : - Học sinh nắm đợc định lý Viet thuận đảo - Biết ứng dụng định lý Viet để giải số toán B-Thời lợng : tiết Nguyờn Thanh Viê ̣t Trêng THCS Mã Đà Gi¸o ¸n båi dỡng toán Nm hoc 2010-2011 C- Gợi ý thực I- Lý thuyết: 1- Định lý Viet thuận: Nếu PT ax2 + bx + c = cã nghiÖm x1, x2 th× tỉng S cđa chóng b»ng - b c , tÝch P cđa chóng b»ng a a ax2 + bx + c =0 a ≠ , ∆ > => x1x2 = x1 + x2 = - b a c a Chó ý : ChØ ¸p dơng định lý Viet PT bậc (a0) cã nghiƯp (∆ > ) 2) C¸c øng dơng : a) TÝnh nhÈm nghiÖm: PT ax2 +bx + c = (a ≠0) - NÕu a+b+c = => x1 = 1, x2 = - Nõu a-b+c= ⇒ x1 = -1 , x2 = c a c a b) Xác định dấu nghiệm PT ax2 + bx + c = (a ≠ ) Gäi S = ĐK để PT : b , a P= - Cã nghiƯm tr¸i dÊu : P 0 - Cã nghiÖm cïng dÊu: ∆ > , P > - Cã nghiƯm d¬ng : ∆ > , - Cã nghiƯm ©m : ∆ > 0, P >0 , S > P>0, S7  x    1 B4/ Cho PT : x2 - ( 2m + 1) x + m2 + m - = a) Xác định m để PT có nghiệm âm b) Xác định m để PT có nghiệm x1 x2 tháa m·n 3 x1 - x = 50 B5/ Giả sử a, b số khác CMR nÕu PT x2 + ax + 2b = (1) x2 + bx + 2a = (2) Có nghiệm chung nghiệm số lại (1) (2) nghiệm PT : x2 + 2x + ab = Híng dÉn gi¶i tập B1/ a) Cần XĐ m để ' = m2 - m -2 >0 m>2  x1x2 = m + > m < -1 x1 x2 = 2m > b) Ta cã : E > => E = √ E2 E2 = ( x1 + x2 ) + 2√x1x2 = 2m + √m+2 Tõ suy E B2/ Trớc hết cần tìm ok cđa m ®Ĩ cho ∆' = ( m+4)2 - m2 +8 >  8m + 24 >  m > -3 Khi theo ĐL Viet ta có : Nguyễn Thanh Viê ̣t x1 +x2 = ( m+4) Trêng THCS Mã Đà Gi¸o ¸n båi dìng to¸n Năm học 2010-2011  x1  x  BiÖt tháa m·n 2  x   +  2 >7  x    1 B5/ Giả sử (1) có nghiệm phân biệt x1 x0 => x0 + ax0 + 2b = PT (2) cã nghiƯm ph©n biƯt x2 ≠ x0 => x0 + bx0 + 2a = => (a-b) x0 + 2b - 2a =  (a-b) x0 = (a-b) V× a ≠ b => x0 = thÕ vµo (1) ta cã : + 2a + 2b =0 => = - b -2 Thay a vµo (1) ta cã : x2 - (b+2) x + 2b = => (x-2) ( x-6) = => x0 = vµ x1= b Thay b = -a -2 vào (2) Làm tơng tự ta có : : x2 = a => x1 +x2 = a + b x1 x2 = ab Theo ĐL Viet đảo ta có : x1, x2 nghiệm PT x2 - (a+b) x + ab = ( v× a+b = -2 ) => x2 + 2x + ab = B4/ Ta cần XĐ m để : ∆ = ( 2m+1)2 - (m2 +m-6) > x1x2 = m2 + m - > x1 + x2 = 2m + <  ∆ = 25 > víi mäi m ( m-2) (m +3) > m z = 12 - 2x +y thÕ vµo PT (2) vµ (3) Ta đợc: 3x + 4y - ( 12 - 2x + y) = -17 8x - 6y -3 ( 12 - 2x + y) = 42  13x - y = 43 (4) 14x - 9y =78 (5) Tõ (4) => y = 13x - 43 thÕ vµo (5) ta đợc: 14x - ( 13x - 43) = 78 => x=3 => y = -4 ThÕ x,y vµo biểu thức z ta đợc z = Vậy nghiƯm cđa hƯ PT : ( 3, -4, ) II- Bài tập áp dụng B1/ Giải hệ PT : 5( x −1) x +2 y 20( x −1) x +2 y B2/ Gi¶i hƯ PT 3( y −1) + x −2 y = 7( y −1) + x −2 y = - 5x + 3y = 31 x +2 y −3 + (1) y −3 x +2 =2 (2) B3/ Cho hÖ PT: (2m+1) x + y = 2m- mx2 - y = m2 - 3m Nguyễn Thanh Viê ̣t Trêng THCS Mã Đà Gi¸o ¸n bồi dỡng toán Nm hoc 2010-2011 Trong mz, m -1 XĐ m để hệ PT có nghiệm nguyên B4/ Giải biện luận hệ PT: 7x - 4y = (1) 5x - 3y = (2) mx + 3y = m2 +b (3) B5/ Cho x, y số nguyên dơng cho xy + x + y =71 x2y + xy2 = 880 TÝnh giá trị biểu thức : M = - x2 + y2 Hớng dẫn giải B1/ ĐKXĐ : x 2y Đặt : x x +2y Hệ PT trë thµnh x +1 x +2y =a, 5a + 3b = a=  20a - 7b = -6 x −1 yx + y = y +1 x −2 y Tõ ®ã ta cã : =b b=2 =2 => B2/ §KX§ : ( x+2) (y-3) >  x=3 y=1 x> -2 vµ y> x< -2 y < Đặt : x +2 y −3 = t >0 => x +2 y −3 = t =  ( t-1)2 = t PT (2) trë thµnh : t = => y −3 x +2 =  x +2 = y-3 Hệ PT đà cho trở thành t=1 x-y = 5x + 3y = 31 x=2 x-y = B3/ NÕu m ≠ -1 => x = m −2 , m +1 x= 1- , m +1 y=7 y= 3m m +1 y=3- m +1 Để x, y, , z m+1 Ư (3)  m∈ ( -4; -2; 0; ) B4/ Giải PT (1) (2) tađợc x = , y =3 Nguyễn Thanh Viê ̣t Trêng THCS Mã Đà Gi¸o ¸n båi dìng to¸n Năm học 2010-2011 Thay x = 2, y =3 vào PT (3) ta đợc m.2 + 3.3 =m2 +  m2 - 2m - =0  m = hc m = Vậy m m = hƯ sè nghiƯm (2; 3) NÕu m ≠ -1 vµ m hệ vô nghiệm B5/ Đa hệ vỊ d¹ng xy + ( x+y) = 71 xy ( x+y) = 880 => xy vµ x+y lµ nghiƯm cña PT x2 - 71x + 880 = ∆ = 712 - 4.880 = 1521 -> x = 71 + 39 55 < 16 => x+y = 16 xy = 55 => M = x2 + y = 146 Ngày sọan: Ngày dạy: Chđ ®Ị : Chøng minh bất đẳng thức A- Mục tiêu: - Học sinh nắm đợc phơng pháp chứng minh bất đẳng thức - Học sinh rút đợc kinh nghiệm giải toán B-Thêi lỵng : tiÕt C- Gỵi ý thùc hiƯn I-Lý thuyết : - Các phơng pháp chứng minh bất ®¼ng thøc Nguyễn Thanh Viê ̣t Trêng THCS Mã Đà Gi¸o ¸n båi dìng to¸n Năm học 2010-2011 1- Dựa vào định nghĩa Để chứng minh BĐT A>B ta cÇn chØ A-B >0 VD: Víi mäi x, y, z CMR x2 + y2 + z2 > xy+ yz + zx x2 + y2 - z2 - ( xy+ yz + zx) Ta cã: = [(x2 + 2xy + y2) + ( y2 - 2yz + z2) + ( z2 - 2zx + x2 )] = [(x-y)2 + ( y-z)2 + ( z-x)2 ] > Do ®ã: x2 + y2 + z2 > xy+ yz + zx ( ) DÊu b»ng x¶y  x-y = x= y = z y-z=0 z-x=0 2) Sử dụng tính bắc cầu A B , B ≥ C => A ≥ C VD: Cho a,b,c,d ≥ tháa m·n a ≥ c + d ; b ≥ c + d CM: ab ≥ ad + bc Gi¶i: Ta cã a ≥ c +d a-c ≥ d ≥ b ≥ c+d b-d ≥ c ≥ Nhân vế với vế BĐT không âm ta đợc: (a-c) (b-d) cd ab - ad - bc + cd ≥ cd  ab ≥ ad + bc ( đpcm) 3) Dùng biến đổi tơng đơng Ta biến đổi BĐT cần CM tơng đơng với BĐT ®· ®ỵc chøng minh ®óng (x2 − y )2 VD: Cho x>y vµ xy = CMR: ≥ (1) ( x − y) Gi¶i: Ta cã x2 + y2 = ( x-y)2 + 2xy = (x-y)2 + => (x2 + y2) = ( x-y)4 + ( x-y)2 + (1) (x-y)4 + (x-y)2 + ≥ ( x-y)2  (x-y)4 - (x-y)2 + ≥  [ (x-y)2-2 ]2 BĐT cuối nên ta có đpcm 4) Sử dụng, bất đẳng thức phụ Nguyờn Thanh Viê ̣t Trêng THCS Mã Đà Gi¸o ¸n båi dỡng toán Nm hoc 2010-2011 a) Bất đẳng thức phô : x + y ≥ xy 2 HƯ qu¶: x2 + y2 ≥ 2xy ( x+y)2 ≥ xy b) Bất đẳng thức phụ: x + a b + ≥2 b a HƯ qu¶: + ab > + ab < => xy a b + ≤2 b a + y ≥ x + y ( x, y > ) x c) Bất đẳng thức phụ: Hệ quả: ( x > 0) x ≥ ( x + y) 5)Phơng pháp phản chứng Giả sử phải CM, BĐT vào đúng, ta giả sử BĐT sai kết hợp với giả thiết suy điều vô lý Điều vô lý điều trái giả thiết, đìêu trái ngợc Từ suy BĐT cần CM VD: Cho sè a,b,c tháa m·n a+b+c>0, ab +bc+ca > 0, abc>0 CMR a> 0, b>0 , c> Gi¶i: Gi¶ sư a < => tõ abc > ta phải có a Do đó: a< còng tõ abc > => bc < Tõ ab + bc + ca > => a ( b+c) = - bc > => b+c < ( v× a < 0) Tõ a a +b+c < ( trái gt) Vậy a>0 Tơng tự ta có b>0 , c> VËy a> , b> , c>0 ( ®pcm) 6) Dïng tÝnh chÊt cđa tØ sè: a) Cho sè a, b,c > ®ã : + NÕu +NÕu a >1 b a a +c < b b +c a a a +c > b b +c b) NÕu b, d > th× tõ a c < b d => Nguyễn Thanh Viê ̣t a a +c c < < b b +d d Trêng THCS Mã Đà Gi¸o ¸n båi dìng to¸n a c VD: Cho < b d Gi¶i: Ta cã : ab + cd a c vµ b, d > CMR : < < b d b +d a c < b d Theo t/c từ => nên Nm hoc 2010-2011 ab cd < b d2 ab cd < 2 b d ab ab + cd cd < < 2 b b +d d Hay ab + cd a c < 2 < b d b +d ( đpcm) 7) Dùng bất đẳng thức tam giác Nếu a, b, c số đo cạnh tam giác a, b, c > vµ b-c VËy (1) đúng, tức có đpcm 8) Dùng phơng pháp sai phân hữu hạn Dùng tính chất BĐT để đa vế BĐT dạng tính đợc tổng hữu hạn tính hữu hạn * S = u1+ u2 +… + un S = (a1 + a2)+ (a2+ a3)+ … + ( an - an+1) = a1 - an+1 (Biến đổi số hạng tổng quát ak hiệu số lợng liên tiếp uk = ak - ak+1 * P = u1u2 un Nguyễn Thanh Viê ̣t Trêng THCS Mã Đà Gi¸o ¸n båi dìng to¸n Năm học 2010-2011 an a1 a2 a1 … = a2 a3 a n +1 a n +1 P= (Biến đổi uk thơng số hạng liªn tiÕp uk = ak a k +1 VD: CM đẳng thức ( 2n 1)(2n +1) 1 + + 1.3 < Gi¶i : Ta cã ( 2k −1)(2k +1) = (2k + 1) − (2k −1) = (2k + 1)(2k −1) Víi k = ta cã : 1 1  =  −  1.3 1  Víi k =2 ta cã :   −    2k − k +  1 1  =  −  3.5 3 5 Víi k = m : ( 2n −1)( 2n +1) Tõ ®ã suy : 1 + + 1.3 =   −    2n − 2n +  ( 2n −1)( 2n +1) = 1 1   − 1 − + − + +  3 2n − 2n +   =   1 −  < 2n +   ( ®pcm ) 9) Phơng pháp : Bất đằng thức côsi a) BĐT c« si cho sè Cho sè a,b kh«ng ©m ta cã B§T : a +b ≥ √ab Dấu đẳng thức xảy a = b b) BĐT cô si cho n số Cho n số a1, a2 , , an không âm , ta cã B§T a1 + a + a n ≥ n n a1 a a n DÊu ®»ng thøc x¶y  a1 = a2 = … = an VD: Cho a, b ≥ CM 3a3 + 7b3 9ab2 áp dụng BĐT cô si cho số không âm 3a3, 3b3, b3 ta cã : 3a3 + 7b3 = 3a3 + 3b3 + 4b3 ≥ Mµ 3 > nªn 3ab2 Nguyễn Thanh Viê ̣t 3 3a 3b 4b 3 = 3ab2 3 ≥ ab2 Trêng THCS Mã Đà Gi¸o ¸n båi dìng to¸n Năm học 2010-2011 => 3a + 7b ≥ 9ab 3 ( ®pcm) 10) Phơng pháp bất đẳng thức Bunhiacopxki Cho 2n số a1, a2 , an, b1, b2 …, bn ta lu«n cã 2 2 (a1b1 + a2b2 + … + anbn )2 ≤ ( a12 + a + …+ a n ) ( b12 + b2 + + bn ) DÊu b»ng x¶y  an a1 a2 = = b1 b2 bn VD: Cho a, b, c số đo cạnh CMR A= a 2b + 2c − a + b 2c + 2a − b + c 2a + 2b c Giải : áp dụng BĐT Bunhiacopxki cho sè a 2b + 2c − a , b 2c + a − b a ( 2b + 2c − a ) , , c ©+2b − c b(2c + 2a −b) , c ( 2a + 2b − c ) Ta cã: A [ a ( 2b + 2c -a) + b ( 2c + 2a -b) + c ( 2a+ 2b-c) ] ≥ ( a+b+c)2 Sau dùng biến đổi tơng đơng CM ( a +b + c) ≥ ab + bc + ca - a2 -b2 -c2 Tõ ®ã suy điều phải CM Tiết + + + +9 +10 II) Các tập vận dụng B1/ Cho a+b ≥ vµ m, n, ∈ z CMR am + bm an + bn ≤ a m +n + b m + n ¸p dơng : Cho a+b ≥ , N∈N CMR an + bn ≤ an+1 + bn+1 B2/ Cho a < a, b, c, d < CMR ( 1-a) (1-b) (1-c) (1-d) > 1-a -b-c-d B3/ Cho x ≥ , y ≥ 1, z ≥ , CMR 1 + y +1 + ≥ x +1 z +1 3 xyz +1 B4/ Cho a, b, c, d > CMR a b c b +c c +a a +b 15 + + + + + ≥ b +c c +a a +b a b c B5/ Cho 0< a,b,c, < CMR cã Ýt nhÊt c¸c BĐT sau sai: Nguyờn Thanh Viờ t Trờng THCS Mã Đà Gi¸o ¸n båi dìng to¸n Năm học 2010-2011 1 a(1-6) > , b ( 1-c) > , c ( 1-a) > 4 H·y tổng quát chứng minh tóan tổng quát B6/ CMR phân số phân số a1 + a + a n b1 + b2 + .bn n»m giá trị nhỏ giá trị lớn an a1 a2 = = số b1,b2 bn nhữn số dơng b1 b2 bn B7/ a, b, c số đo cạnh tam giác, CMR a2 (b+c) + b2 ( c+a) + c2 (a+b) ≤ a3 + b3 + c3 + 3abc B8/ CMR n2 +1 + n2 + + + n2 + n a ≥ b Khi ®ã: am ≥ bm ≥ bm an b nên (1) Vậy (1) với số nguyên dơng m n ( đpcm) áp dơng: Theo trªn ta cã: (a+b) (an + bn) ≤ ( an+1 + bn+1 ) Theo gi¶ thiÕt: a +b ≥ => an + bn ≤ a +b (an + bn) ≤ an+1 + bn+1 ( ®pcm) B2/ Ta cã : ( 1-a) (1-b) = - a - b + ab Do a> , b>0 => ab> => (1-a) (1-b) > 1-a-b (1) Do c - c > Nh©n vế (1) với 1-c đợc (1-a) (1-b) (1-c) > (1-a-b) (1-c) = 1-a-b-c + ca+ bc Do a,b,c,d > -> ca + bc > V× vËy Nguyễn Thanh Viê ̣t Trêng THCS Mã Đà Gi¸o ¸n båi dìng to¸n Năm học 2010-2011 (1-a) (1-b) (1-c) > - a - b - c (2) Nh©n vế (2) với 1- d ta đợc : (1-a) (1-b) (1-c) (1-d) > 1-a-b-c) (1-d = -a-b-c-d +ad +bd+cd > 1-a-b-c-d ( Do ad + bd + cd > ) VËy (1-a) (1-b) (1-c) (1-d) > 1-a-b-c) (1-d B3/ Tríc hÕt CM  ( ( ®pcm) 1 + + y ≥ + xy 1+ x 1 1 - + xy ) + ( + y - + xy ) ≥ 1+ x => xy − x xy − y + ≥0 (1 + x )(1 + xy ) (1 + y )(1 + xy ) => x( y − x) y( x − y) + ≥0 (1 + x )(1 + xy ) (1 + y )(1 + xy ) ( y − x)[ x(1 + y ) − y (1 + x )] ≥ (1 + x )(1 + y )(1 + xy ) ( y − x) ( xy − 1) ≥0 (1 + x )(1 + y )(1 + xy ) BĐT cuối xy > ta có điều phải CM áp dụng ta có : 1 + + y3 ≥ + x3 y3 1+ x (1) 1 + + xyz ≥ + xyz 1+ z (2) 1 1 Tõ (1), (2) => + 1+ y3 + + + xyz ≥ 1+ x 1+ z Lại theo ta có : Từ (3), (4) => 1+ x y + 1 + xyz ≥ 4 x y z 4 = + xyz     (4) 1 + 1+ y3 + ≥ + xyz 3 1+ x 1+ z B4/ áp dụng BĐT phụ : x + Ta cã :  1  + 1 + x y + xyz  ≥ (x>0) x b +c c +a a +b + + = a b c b a c a c b  +  +  + +  +  ≥ + + = a b a c  b c  (1) Mặt khác: Nguyờn Thanh Viờ t Trờng THCS Ma Đà Gi¸o ¸n båi dìng to¸n Năm học 2010-2011 a b c a + + = +1 b +c c +a a +b b +c b c + +1 + +1 -3 c +a a +b 1   + +  -3 b+c c+ a a+b = ( a+ b + c)  = 1   + + - [(a+b) + (b+c) + ( c+a)] a+b b+c c+a Đặt x = a+b, y = b+c , z = c+a   1 Ta cã: ( x+y+z)  x + y + z          x y y z   = + y +ü + z + y +  +  ≥     x z     z x a b c + + ≥ −3 = b +c c +a a +b 2 Do đó: Từ (1) (2) => (2) b +c c +a a +b a b c 15 + + + + + ≥ (®pcm) a b c b +c c +a a +b B5/ Giả sử BĐT tren đúng, nhân vế với vế BĐT lại ( chúng ®Ịu …… ) ta ®ỵc: a ( 1-a) b ( 1-b) c ( 1-c) > Mặt khác: 64 (1) 1 - ( - a - a2 ) 4 a ( 1-a) = a - a2 = = T¬ng tù: b ( 1-b) ≤ , c ( 1-c) ≤ 1 - ( a - )2 ≤ 4 Do a ( 1-a) > , b ( 1-b) >0, c ( 1-c) > Nh©n vÕ với vế BĐT ta đợc: a ( 1-a) b(1-b) c (1-c) ≤ 64 (2) Tõ (1) vµ (2) ta gặp mâu thuẫn Vậy BĐT sai Tổng quát: Nếu a1, a2 , an số dơng nhỏ 1, b1,b2 bn hóan vị số tất số (1-a 1)b1, (1-a) b2, , ( 1-an) bn không thĨ lín h¬n Ngũn Thanh Viê ̣t Trêng THCS Mã Đà Gi¸o ¸n båi dìng to¸n Nm hoc 2010-2011 B6/ Giả sử m giá trị nhỏ phân số an a1 a2 , , , vµ M lµ GTLN cđa b1 b2 bn chóng ta cã : m≤ b ≤ M i ( i = 1; n ) => mbi ≤ ≤ Mbi , ( i = 1; n ) v× bi > Céng vÕ víi vÕ n B§T øng với i = 1;n ta đợc m (b1b2+ +bn)a1+a2+ +anM(b1+b2+ 3abc + a3 + b3 + c3 - a2 (b-c) - b2 (c+a) - c2 (a+b) ≥ (1) Ta biÕn ®ỉi VT cđa (1) VT= 3abc + a3 +b3 +c3 - a2b - b2a - a2c - b2c - c2a - c2b = a2 (a-b) + b2 (b-a) + c (2ab - a2 -b2) + c ( c2 - c + ab - ac) = (a-b) (a2 - b2) - c ( a-b)2 + (c-a) ( c-b) = (a-b)2 ( a+b+c) + c ( b-c) (a-c) ≥ (V× a ≥ b, a+b > c, a ≥ c , b ≥ c, c > ) VËy ta có (1) tức đpcm B8/ Ta có : n +k < n = víi k = 1; n n Do ®ã : n +1 + n +2 + + n +n < 1 n + + … < =1 n n n n n sè DUYET CUA CHUYÊN MÔN Nguyờn Thanh Viờ t Trờng THCS Mã Đà Gi¸o ¸n båi dìng to¸n Năm học 2010-2011 Ngy san: Ngy dy: Chủ đề : phơng pháp tìm cực trị A-Mục tiêu : - Học sinh nắm đợc số phơng pháp tìm GTNN - Có kỹ giải toán liên quan B- Thời lỵng : 10 tiÕt C- Gỵi ý thùc hiƯn I-Lý thuyết : Các phơng pháp tìm GTLN, GTNN 1) Phơng pháp BĐT - Định nghĩa: Cho hàm số f(x) XĐ miền D Ta nói M GTLN cđa f(x) trªn D nÕu : f (x) ≤ M ∀x∈D f xo ∈D, f (xo) = M Nguyễn Thanh Viê ̣t Trêng THCS Mã Đà ... (3 − 5) = ( − 2)( + 2) +3 − thay vµo A A= 3 199 8 VD5: Rót gän S= +1 + +2 + + 199 9 199 8 + 199 8 199 9 + 2000 199 9 + 199 9 2000 Gi¶i: XÐt K∈N, K≥ ( k + 1) k − k k +1 Ta cã: (k +1) k + k k +1 = ( k +... ta cã +1 = 1 - +2 = - Nguyễn Thanh Viê ̣t Trêng THCS Mã Đà Gi¸o ¸n båi dìng to¸n Năm học 2010-2011 2000 199 9 + 199 9 2000 => P = 1 - 2000 = = 2000 −1 2000 199 9 = 2000 - 20 −1 20 TiÕt +5 + +... kết dự đ? ?an phơng pháp qui nạp t? ?an học B3/ P = x4 + x3 + x2 + 199 9 (x2+ x +1) - (x3 -1) = x2 (x2 + x+1) + 199 9 (x2 +x+1) - (x-1) (x2+x+1) = (x2 + x+ 1) (x2 + 199 9 - x +1) =( x2 +x+1) (x2 - x +