Trường THPT Gò Công Đông Trần Duy Thái Các phương pháp tính Tích phân Các phương pháp tính Tích phân 1. Phương pháp đổi biến số  Dạng I : Tính I = / [ ( )]. ( ) b a f u x u x dx ∫ (*) . • Đặt t = u(x) => dt = u’(x)dx. • Đổi cận • Thế vào (*) ta được I = ( ) ( ) ( ) u b u a f t dt ∫ . Dấu hiệu Cách chọn 1. (sin )cosf x xdx ∫ 2. (cos ).sinf x xdx ∫ 3. ( ) x x f e e dx ∫ 4. 1 (ln ).f x dx x ∫ t = sinx t = cosx t = e x t = lnx (Tổng quát đặt t = mẫu, mũ, căn, logarit)  Dạng II : Tính I = ( ) b a f x dx ∫ . • Đặt x = ϕ(t) ⇒ dx = ϕ’(t)dt. ( ϕ (t)liên tục, có đạo hàm/[a;b]) • Đổi cận • I = / [ ( )]. ( )f t t dt β α ϕ ϕ ∫ . (f[ ϕ (t)] xác định / [ α ; β ]) Dấu hiệu Cách đặt 2 2 a x− 2 2 x a− 1/ a 2 + x 2 ; 2 2 a x+ a x a x + − hoặc a x a x − + ( )( )x a b x− − x= asint với t∈ ; 2 2 π π   −     x= sin a x với t∈ ; 2 2 π π   −     \{0} x = atant với t∈ ; 2 2 π π   −  ÷   x = acos2t x = a+(b-a)sin 2 t Ví dụ 1: a) ( ) 1 5 0 2 1x dx+ ∫ b) 2 ln e e dx x x ∫ c) 1 2 0 4 2 1 x dx x x + + + ∫ d) 2 2 1 (2 1) dx x − ∫ e) 2 3 3 2 cos(3 ) 3 x dx π π π − ∫ f) 1 2 3 1 5x x dx − + ∫ g) ( ) 2 4 0 sin 1 cosx xdx π + ∫ a) ( ) 1 5 0 2 1x dx+ ∫ = 1 6 0 1 (2 1) 182 2 6 3 x + = b)Đặt lnt x= ⇒ dx dt x = . x = e ⇒ t = 1; x = e 2 ⇒ t = 2. Ta có 2 2 1 2 ln ln 2 ln1 ln 2 1 ln e e dx dt t x x t = = = − = ∫ ∫ . c)Đặt t = x 2 + x + 1 ⇒ dt = (2x+1)dx . Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1; x = 1 ⇒ t = 3. Do đó: 1 3 2 0 1 3 4 2 2 2ln 2(ln 3 ln1) 2ln3 1 1 x dt dx t tx x + = = = − = + + ∫ ∫ . d) Đặt 2 1t x= − ⇒ 2 2 dt dt dx dx= ⇒ = . Đổi cận: x = 1 ⇒ t = 1; x = 2 ⇒ t = 3. Do đó: 2 3 2 2 1 1 3 1 1 1 1 1 ( 1) 1 2 2 2 3 3(2 1) dx dt tx t = = − = − − = − ∫ ∫ . e) Đặt 2 3 3 t x π = − ⇒ 3 3 dt dt dx dx= ⇒ = . Khi 3 x π = thì 3 t π = , khi 2 3 x π = thì 4 3 t π = . 2 4 3 3 3 3 4 2 1 1 3 cos(3 ) cos sin 3 3 3 3 x dx tdt t π π π π π π π − = = ∫ ∫ 1 4 sin sin 3 3 3 π π   = −  ÷   1 3 3 3 3 2 2 3   = − − = −  ÷  ÷   . f)Đặt t = 3 5+x ⇒ t 2 = x 3 +5⇒2tdt = 3x 2 dx ⇒ 2 2 3 tdt x dx= . Đổi cận x = -1 ⇒ t = 2; x = 1 ⇒ t = 6 Ta có 3 6 6 6 3 2 2 2 2 2 2 2 2 6 16 . 3 3 9 9 tdt t I t t dt − = = = = ∫ ∫ . g) Đặt t = sinx ⇒ dt = cosxdx. Đổi cận .⇒ I = 6 5 Ví dụ 2: a) 4 2 0 4 x dx− ∫ b) 1 2 0 1 dx x+ ∫ c) 1 2 0 1 dx x x+ + ∫ Giải: a) Đặt 2sin , ; 2 2 x t t π π   = ∈ −     ⇒ 2cosdx tdt= . Khi x = 0 thì t = 0. Khi 2x = thì 2 t π = . 4 2 2 2 2 2 0 0 0 4 4 4sin .2cos 4 cosx dx t tdt tdt π π π − = − = = ∫ ∫ ∫ . b) Đặt tan , ; 2 2 x t t π π   = ∈ −  ÷   . ⇒ dx = (1+tan 2 t)dt Khi 0x = thì 0t = , khi 1x = thì 4 t π = . Ta có:. 1 2 4 4 2 2 0 0 0 1 tan . 4 41 1 tan 0 dx t dt dt t x t π π π π + ⇒ = = = = + + ∫ ∫ ∫ 1 x a b t u(a) u(b) x a b t α β Trường THPT Gò Công Đông Trần Duy Thái c) 1 1 2 2 0 0 1 1 3 2 4 dx dx x x x = + +   + +  ÷   ∫ ∫ . Đặt 1 3 tan 2 2 x t+ = ( ) 2 3 1 tan 2 dx t dt⇒ = + .ĐS: 3 9 π . 1 1 1 1 3 2 2 2 2 2 2 2 0 0 1 0 1 1 1 x x xdx dx x dx xdx x x x   = + = +  ÷ − − −   ∫ ∫ ∫ ∫ = . = 1 1 3 ln 8 2 4 + . 2. Phương pháp tích phân từng phần. B1: Đặt ( ) '( ) '( ) ( ) u u x du u x dx dv v x dx v v x = = ⇒ = = B2: Thay vào công thức : [ ] . b b b a a a udv u v vdu= − ∫ ∫ B3: Tính [ ] . b a u v và b a vdu ∫ Chú ý: - Đặt u theo thứ tự ưu tiên : Logarit, đa thức, … . - Sau khi đặt u, toàn bộ phần còn lại là dv. Điều quan trọng khi sử dụng công thức tích phân từng phần là làm thế nào để chọn u và dv thích hợp trong biểu thức dưới dấu tích phân f(x)dx. Nói chung nên chọn u là phần của f(x) mà khi lấy đạo hàm thì đơn giản, chọn ' dv v dx= là phần của f(x)dx là vi phân một hàm số đã biết hoặc có nguyên hàm dễ tìm. Ví dụ 1: Tính 1 ln e x xdx ∫ . Đặt lnu x dv xdx =   =  2 2 dx du x x v  =   ⇒   =   2 2 2 2 1 1 1 1 ln ln 1 1 2 2 2 4 4 e e e e x e x e x xdx x xdx + = − = − = ∫ ∫ . Ví dụ 2: Tính các tích phân sau: a) 2 5 1 ln x dx x ∫ . Đặt 5 4 ln 1 1 4 dx u x du x dv dx v x x  = =     ⇒   =   = −    . Do đó: 2 2 2 2 5 4 5 4 1 1 1 1 ln ln 1 ln 2 1 1 15 4ln 2 4 64 4 2564 4 x x dx dx x x x x −   = − + = − + − =  ÷   ∫ ∫ b) 2 0 cosx xdx π ∫ . Đặt cos sin u x du dx dv xdx v x = =   ⇒   = =   . Do đó: ( ) 2 2 0 0 cos sin sin cos 1 2 2 2 2 0 0 x xdx x x xdx x π π π π π π = − = + = − ∫ ∫ . c) 1 0 x xe dx ∫ . Đặt x x u x du dx dv e dx v e = =   ⇒   = =   . Do đó: ( ) 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 x x x x xe dx xe e dx e e e e= − = − = − − = ∫ ∫ . d) 2 0 cos x e xdx π ∫ . Đặt cos sin x x u e du e dx dv xdx v x   = = ⇒   = =   2 2 0 0 cos sin sin 2 0 x x x I e xdx e x e xdx π π π ⇒ = = − ∫ ∫ = 2 e π − I 2 Tính I 2 Đặt 1 1 1 1 sin cos x x u e du e dx dv xdx v x   = =   ⇒   = = −     I 2 = 2 0 cos cos 2 0 x x e x e xdx π π + ∫ = 1+ I ⇒ I = 2 e π −1 − I ⇒ I = 2 1 2 e π − MỘT SỐ BÀI TÍCH PHÂN THI TỐT NGHIỆP 1: I= 1 0 (2 1) x x e dx+ ∫ .Đặt 2 1 2 x x u x du dx dv e dx v e = + =   ⇒   = =   . I = 1 1 1 0 0 0 [(2 1) ] 2 3 1 [2 ] 1 x x x x e e dx e e e+ − = − − = + ∫ 2: I= 1 2 0 ( 2) x x e dx− ∫ .Đặt 2 2 2 2 1 2 x x du dx u x v e dv e dx =  = −   ⇒   = =    I = 2 1 2 1 2 2 1 0 0 0 1 1 1 [ ( 2) ] ( ) 1 [ ] 2 2 2 4 x x x e x e e dx e− − = − + − ∫ 2 2 2 1 5 3 1 ( ) 2 4 4 4 e e e− = − + − − = . 3: I= 4 1 x e dx x ∫ .Đặt t= 1 2 2 dx x dt dx dt x x ⇒ = ⇒ = . Đổi cận: x = 1 ⇒ t = 1; x = 4 ⇒ t = 2. I = 2 2 2 2 1 2 1 1 1 (2 ) 2 [2 ] 2 2 2 2 t t t e dt e dt e e e e= = = − = − ∫ ∫ . 4: I= 1 2 0 (1 3 )(1 2 3 )x x x dx+ + + ∫ . Đặt t = 2 1 2 3 (2 6 ) 2(1 3 )x x dt x dx dt x dx+ + ⇒ = + ⇒ = + (1 3 ) 2 dt x dx⇒ = + Đổi cận : 0 1 1 6 x t x t = ⇒ =   = ⇒ =  . I= 10 11 11 11 11 6 6 10 6 1 1 1 6 1 6 . [ ] 1 2 2 22 22 22 22 dt t t t dt= = = − = − ∫ ∫ . 5: I= 4 2 0 tan cos x dx x π ∫ .Đặt t= 2 1 tan cos x dt dx x ⇒ = . Đổi cận : 0 0 1 4 x t x t π = ⇒ =    = ⇒ =   . I= 2 1 1 0 0 1 [ ] 2 2 t tdt = = ∫ . 6: I= 8 0 (1 cos 4 )sin 4x xdx π − ∫ . Đặt t = 1−cos4x ⇒ dt=4sin4xdx 1 sin 4 4 dt xdx⇒ = . Đổi cận : 0 0 1 8 x t x t π = ⇒ =    = ⇒ =   I = 2 2 2 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 . [ . ] 4 4 4 2 8 8 8 t t dt tdt= = = − = ∫ ∫ . 2 Trường THPT Gò Công Đông Trần Duy Thái 7: I= ln3 3 0 ( 1) x x e dx e + ∫ .Đặt t = e x + 1 ⇒ dt = e x dx. Đổi cận : x = 0 ⇒ t = 2; x = ln3 ⇒ t = 4 . I = 2 4 4 3 4 4 2 2 3 2 2 2 1 1 1 1 3 [ ] [ ] [ ] 2 2 16 4 322 dt t t dt t t − − = = = − = − − = − ∫ ∫ . 8: I= 2 1 (2 1)lnx xdx− ∫ . Đặt 2 ln (2 1) dx du u x x dv x dx v x x  = =   ⇒   = −   = −  . I = 2 2 2 2 2 1 1 1 [( )ln ] 2ln 2 ( 1) x x x x x dx x dx x − − − = − − ∫ ∫ 2 2 1 1 2ln 2 [ ] 2ln 2 2 2 x x= − − = − . 9: I= 2 2 1 ln x dx x ∫ .Đặt 2 1 2 ln 1 1 dx du u x x dx dv x dx x v x x − −  = =     ⇒   = =   = = −   −  . I= 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 [ ln ] ( ). ln 2 ln 2 2 2 dx dx x x dx x x x x − − − − = − + = − + ∫ ∫ ∫ 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 ln 2 [ ] ln 2 [ ] ln 2 2 1 2 2 2 x x − = − + = − + − − + − . 3. Một số tích phân thường gặp: a) Tích phân hữu tỉ: ( ) ( ) ∫ b a P x dx Q x P(x), Q(x) là các đa thức. + Nếu bậc P(x) ≥ bậc Q(x) chia P(x) cho Q(x). + Nếu bậc của P(x) < bậc Q(x) dùng phương pháp đổi biến hoặc phương pháp đồng nhất hệ số . b) Tích phân chứa các hàm số lượng giác. + Nắm vững các công thức biến đổi. c) Tích phân hồi quy:  Dạng sin , ∫ b x a e xdx cos . ∫ b x a e xdx Đặt u = sinx (u = cosx), dv = e x dx. Tích phân từng phần 2 lần.  Dạng: sin(ln ) , cos(ln ) . ∫ ∫ b b a a x dx x dx Đặt u = sin(lnx)(u=cos(lnx)), dv=dx. Tích phân từng phần 2 lần. d) Tích phân hàm số chẵn, lẻ: Nếu y = f(x) liên tục trên đoạn [-a; a] và: + y = f(x) chẵn thì 0 ( ) 2 ( ) − = ∫ ∫ a a a f x dx f x dx . + y = f(x) lẻ thì: ( ) 0 − = ∫ a a f x dx . e) Tích phân dạng ( ) 1 α α − + ∫ x f x dx a trong đó f(x) là hàm số chẵn. Cách giải: Tách thành 2 tích phân : 0 0 ( ) ( ) ( ) 1 1 1 α α α α − − = + + + + ∫ ∫ ∫ x x x f x f x f x dx dx dx a a a Xét tích phân 0 ( ) 1 α − + ∫ x f x dx a đổi biến số x = -t. Kết quả ta được 0 ( ) ( ) 1 α α α − = + ∫ ∫ x f x dx f x dx a . f) Tích phân dạng: 0 0 ( ) ( )− = ∫ ∫ a a f a x dx f x dx trong đó f(x) là hàm số liên tục trên [0; a]. Đổi biến x = a - t. Bài tập: Bài 1: Tính tích phân 1 3 2 0 1 = + ∫ x I dx x . HD: Đặt t = x 2 + 1 hay x = tant. ĐS I =1/2(1-ln2). Bài 2: Tính tích phân ln3 3 0 ( 1) = + ∫ x x e I dx e HD: Đặt t = mẫu đưa về dạng α ∫ b a u du . ĐS 2 1= −I Bài 3: Tính tích phân 0 2 3 1 ( 1 ) − = + + ∫ x I x e x dx HD Tách thành 2 tích phân. ĐS I=3/4e -2 - 4/7 Bài 4: Tính tích phân 2 6 3 5 0 1 cos .sin .cos π = − ∫ I x x dx HD: t = 6 3 1 cos− x ⇒ cos 3 x = 1- t 6 . ĐS I =12/91 Bài 5: Tính tích phân 2 3 2 5 1 . 4 = + ∫ I dx x x HD: nhân tử và mẫu với x rồi đặt 2 4= +t x . ĐS I=1/4.ln5/3 Bài 6: Tính tích phân 4 0 1 cos 2 π = + ∫ x I dx x HD:Đưa về dạng tích phân từng phần. ĐS I =π /8 −1/4.ln2 Bài 7: Tính tích phân 1 3 2 0 1= − ∫ I x x dx ; 1 2 2 0 1= − ∫ J x x dx Bài 8: Tính tích phân 3 2 4 cos . 1 cos π π = + ∫ tgx I dx x x HD: 3 2 2 4 tan cos . tan 1 x I dx x x π π = + ∫ . Đặt 2 1 tant x= + Bài 9 :Tính tích phân : 2 1 1 1 x I dx x = + − ∫ Đặt 2 2 1 1 1 2t x t x x t dx tdt= − ⇔ = − ⇔ = + ⇔ = 1 0; 2 1x t x t= ⇒ = = ⇒ = 1 1 1 2 3 2 0 0 0 1 3 2 0 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 11 2 2 2ln 1 2 2 2ln 2 4ln 2 3 2 3 2 3 t t t I tdt dt t t dt t t t t t t t + +   = = = − + −  ÷ + + +       = − + − + = − + − = −    ÷     ∫ ∫ ∫ 3 Trường THPT Gò Công Đông Trần Duy Thái Bài 10:Tính tích phân : 2 0 sin 2 sin 1 3cos x x I dx x π + = + ∫ (ĐH khối A – 2005) ( ) 2 2 2 0 0 2 1 2 2 3 2 1 Ñaët 1 3cos 1 3cos 2 3sin 2 sin . caän : 0 2; 1 3 2 2 cos 1 sin 2sin cos sin 1 3cos 1 3cos 1 2 2 1 3 3 2 2 1 2 2 3 3 3 9 3 t x t x tdt xdx tdt xdx Ñoåi x t x t x xdx x x x I dx x x t tdt t t t dt t π π π = + ⇔ = + ⇔ = − ⇔ = − = ⇒ = = ⇒ = + + = = = + +     − + −  ÷  ÷    +     = = +  ÷     ∫ ∫ ∫ ∫ 2 1 34 27  =   Bài 11 : Tính tích phân : 2 2 2 0 sin 2 cos 4sin x I dx x x π = + ∫ (Đại học khối A – 2006) 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 Ñaët cos 4sin 1 3sin 2 2 6sin cos 3sin2 sin 2 . 3 Ñoåi caän : 0 1; 2 2 2 2 2 4 2 2 3 3 3 3 3 3 t x x t x tdt tdt x xdx xdx xdx x t x t tdt I dt t t π = + ⇔ = + ⇔ = = ⇔ = = ⇒ = = ⇒ =   = = = = − =     ∫ ∫ 4 Trường THPT Gò Công Đông Trần Duy Thái MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN KHÓ THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ THI Đổi biến ( ; ; ;2 ) 4 2 x a t a π π π π = − = Ví dụ: Tính các tích phân sau 4 2 4 4 0 0 4 4 4 2 2 4 4 4 4 4 4 0 0 2 0 2 0 2 sin ) . 2sin os os os os os sin os sin os sin x t x t x a I dx x t dx dt x c x c t c t c x I dt dt dx c t t c t t c x x π π π π π π π = ⇒ = = ⇒ = = = − = − + = − = = + + + ∫ ∫ ∫ ∫ Kết hợp với tích phân ban đầu ta có 4 4 2 2 4 4 0 0 sin os 2 2 4os sin x c x I dx dx I c x x π π π π + = = = ⇒ = + ∫ ∫ 4 4 0 0 4 0 4 4 4 0 0 0 0 4 ) ln(1 tan ) . 4 1 tan ln 1 tan( ) ln 1 4 1 tan 2 ln ln 2 2 ln2 ln 2 1 tan 4 8 x t x t b I x dx x t dx dt t I t dt dt t dt dt I I I t π π π π π π π π π π π = ⇒ = = ⇒ = = + = − = − −     ⇒ = − + − = +  ÷  ÷ +       = = − ⇒ = ⇒ =  ÷ +   ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) 2 2 0 0 2 2 2 0 0 1 2 2 2 2 0 1 0 0 sin ) . 1 os sin( ) sin ost 1 os ( ) 1 os 1 os ost 2 2 41 os 1 x t x t x x c I dx x t dx dt c x t t t t dc I dt dt I c t c t c t dc dx I I c t x π π π π π π π π π π π π π π π π π − = ⇒ = = ⇒ = = = − = − + − − − = − = = − − + − + + ⇒ = − = = ⇒ = + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 0 0 2 3 3 2 0 2 2 3 2 0 0 3 0 0 2 2 0 2 ) os . 2 2 os (2 ) 2 os 2 os 2 2 1 sin sin sin 2 sin 0 3 x t x t d I xc xdx x t dx dt I t c t dt t c tdt c tdt I I t d t t t I π π π π π π π π π π π π π π π = ⇒ = = ⇒ = = = − = − ⇒ = − − − = − = − ⇒ = −   = − ⇒ =  ÷   ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Bài tập tương tự: 3 2 0 0 1 3 2 2 3 3 0 0 3 1) sin KQ: 2) sin os KQ: 4 3 ln( 1) sin 3) KQ: ln 2 4) KQ: 8 41 sin os x xdx x xc xdx x x dx dx x x c x π π π π π π π + + + ∫ ∫ ∫ ∫ Đổi biến x t= − 2 sin ) 3 1 x x a I dx π π − = + ∫ . Đặt x = −t ⇒ dx = − dt x = − π ⇒ t = π , x = π ⇒ t = − π. Kết hợp với tích phân ban đầu ta có 2 1 1 sin 2 2 sin (1 os2x) 2 2 2 2 x I xdx c dx x I π π π π π π π − − −   = = − = − ⇒ =  ÷   ∫ ∫ 1 4 1 ) . 2 1 x x b I dx x t dx dt − = = − ⇒ = − + ∫ 1 1 1 4 4 4 1 1 1 1 1 1 1 2 . 2 . 2 1 2 1 2 1 t x t t x x t x t t t x I dt dt dx − − − − = ⇒ =− =− ⇒ = = − = = + + + ∫ ∫ ∫ ⇒ 1 5 4 1 1 1 2 1 2 5 5 5 x I x dx I − − = = = ⇒ = ∫ 1 2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 sinx ) . , 1 sin(-t) sin(t) 0 1 1 x t x t c I dx x t dx dt x I dt dt I I t t − − − = ⇒ =− =− ⇒ = = = − = − + = − = − = − ⇒ = + + ∫ ∫ ∫ 7 5 3 4 2 4 7 5 3 7 5 3 2 2 2 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 5 7 1 ) . , os 3 5 7 1 3 5 7 1 os os 2 2 2 tan 4 2 os x t x t x x x x d I dx x t dx dt c x t t t t t t t t I dt dt c t c t I dt I t I c t π π π π π π π π π π π π π π − − − − − = ⇒ =− =− ⇒ = + + + + = = − = − − − − − + + + + − = − = − = − + ⇒ = = ⇒ = ∫ ∫ ∫ ∫ Bài tập tương tự 1 1 4 2 2 1 1 sinx 4 1 1) KQ: 2) KQ: 2 3 4x 1 2 1 x x x I dx I dx π π − − + − = − = + + ∫ ∫ Gi i nhanh ?ả  I = 4 4 0 0 sin tan . cos x xdx dx x π π = ∫ ∫ Đặt: t = cosx. I = - 2 2 1 dt t ∫ = 1 2 Ln2  I= 2 2 3 3 0 1 x dx x+ ∫ . Đặt: t = 3 3 1 x+  I= 2 3 3 2 0 8.x x dx− ∫ tương tự  I= 4 1 x e dx x ∫ . Đặt: t = x 2 x t ⇒ = . Vậy:I = 2e(e-1)  I= 1 (1 ln ) e dx x x+ ∫ = ln2. Đặt: t = 1+lnx  2 2 3 3 3 2 0 0 sin .cos sin (1 sin ) cosx xdx x x xdx π π = − ∫ ∫ . I = 1 12  I= 1 2 0 4 dx x + ∫ . Đặt: t = x+ 2 4x +  I= 2 2 0 a dx a x+ ∫ 4a π = Đặt: x= atant ( 2 2 t π π 〈 〈 )  I= 2 2 2 0 a dx a x− ∫ .Đặt:x= asint (- ) 2 2 t π π 〈 〈 cosdx a tdt⇒ = 5 Trường THPT Gò Công Đông Trần Duy Thái  I= 1 3 0 ( 1) xdx x + ∫ . Đặt t = x + 1 ⇒ x = t – 1.  I= 2 1 1 1 dx x x+ + − ∫ . Nhân chia lượng liên hiệp. 109 bài tự luyện Không có bài nào khó. Chỉ sợ mình không làm. 1) ( ) 1 3 2 0 4 − ∫ dx x ( 2sin , 1/ 4 3=x t DS ) 2) 2 2 1 3 6 1− + + ∫ dx x x (đặt ( ) 3 1 2sin , / 3 3 π − =x t DS ); 3) 6 2 2 3− ∫ dx x x ( 2 3, /12 3 π = −t x DS ); 4) 9 4 ( , 7 2ln 2) 1 = + − ∫ x dx t x DS x ; 5) 3 2 3 ( 3 / 36) 3 π + ∫ dx DS x ; 6) 1 2 6 2 2 1− ∫ x dx x (đặt x=cost,8/15); 7) 2 3 3 3 2 3 0 8 ( 8, 4)− = − − ∫ x x dx t x DS ; 8) 4 1 ( , 2 ( 1)= − ∫ x x e dx t x DS e e ; 9) 8 3 1 1 44 2 16 ( ) 5 + − ∫ x dx DS x ; 10) 4 1 ln ( 1/ 5) ∫ e x dx DS x ; 11) 2 2 0 ( / 8) 4 π + ∫ dx DS x ; 12) 7 3 3 2 0 ( 141/ 20) 1+ ∫ x dx DS x ; 13) 2 3 2 2 0 ( 2 / 3 5 2 /12) 1 − − ∫ x dx DS x ; 14) 1 2 2 2 2 1 ( sin ,1 / 4) π − = − ∫ x dx x t x ; 15) 1 3 2 0 1− ∫ x x dx 2 ( 1: sin , 2 : 1 ,2 /15)= = −C x t C t x 16) ( ) 1 3 3 2 0 ( tan ,1/16) 1 = + ∫ x dx x t x ; 17) 1 2 2 0 3 ( 2cos , ) 2 4 π − = − ∫ x dx x t x ; 18) 2 2 2 2 3 ( 1, /12) 1 π = − − ∫ dx t x x x ; 19) 2 2 2 0 4 ( 2sin , ) π − = ∫ x x dx x t ; 20) 1 2 2 0 ( 2cos , / 3 3 / 2) 4 π = − − ∫ x dx x t x ; 21) 2 2 2 2 0 ( sin ,1/ 2( / 4 1/ 2) 1 π = − − ∫ x dx x t x ; 22) ( ) 1 6 5 3 0 1 ( 1/168)− ∫ x x dx DS ; 23) 7 3 3 3 0 1 ( 3 1,46 /15); 3 1 + = + + ∫ x dx t x x 24) ( ) 1 5 2 0 ( tan ,5 2 /12) 1 = + ∫ dx x t x ; 25) 4 0 1 ( 2 1,4 / 3); 2 1 − = + + ∫ x dx t x x 26) ( ) 1 3 2 0 1 ( sin );− = ∫ x dx x t 27) 1 2 2 2 2 0 1 4 ( , ln ); 63 3 = + + ∫ x x dx e t e e e 28) ( ) ( ) 2 ln 2 2 0 3 1 1,ln 1 2 2 1 − = + + − ∫ x x dx t e e ; 29) ( ) 1 2 2 1 1 ( tan , ) 2 4 1 π − = + + ∫ dx x t x ; 30) ( ) 1 0 1 2 3 2 + + + + ∫ x dx x x (nhân liên hợp); 31) 3 2 2 0 sin cos 4cos sin π − ∫ x xdx x x (t= ; 3/10); 32) 2 0 sin cos 3 3 sin 2 π π +    ÷ +   ∫ x x dx DS x ; 33) ( ) 3 2 0 4sin cos , 2 1 cos π = + ∫ xdx t x DS x ; 34) 2 4 2 2 4 4 ; cotx, 3sin sin .sin π π   =  ÷   ∫ dx dx t x x x 35) ( ) 3 2 2 6 cos sinx,1/ 2 sin π π = ∫ xdx t x ; 36) 3 2 2 0 sin cos 1 ln 2 cos , 21 cos π −   =  ÷ +   ∫ x xdx t x x ; 37) 2 2 2 0 sin cos 3sin 4cos π + ∫ x xdx x x (hạ bậc, 1 4 ln 2 3 ); 38) 4 6 6 0 sin 4 sin cos π + ∫ xdx x x (ĐS 2ln4/3); 39) 0 2 cos 5 3cos2 6 3 π π −    ÷ −   ∫ xdx DS x ; 40) 2 2 0 1 cos 2cos ,1 1 cos 2 π   + =  ÷ +   ∫ dx x x x 41) 4 0 cos2 1 ln3 1 2sin 2 4 π    ÷ +   ∫ xdx x ; 42) ( ) 4 2 0 1 sin 2 1 ln 2 cos π + + ∫ x dx x ; 43) 2 2 3 6 47 sin cos sin , 180 π π   =  ÷   ∫ x xdx t x ; 6 Trường THPT Gò Công Đông Trần Duy Thái 44) ( ) 4 cos2 0 1 sin 2 cos2 , 1 2 π   = −  ÷   ∫ x e xdx t x e ; 45) 2 2 0 sin 3 , 183 cos π π π   = −  ÷  ÷ +   ∫ x xdx x t x ; 46) 2 0 cos 2 sin , 12 7 cos2 π π   =  ÷  ÷ +   ∫ xdx t x x ; 47) 3 2 0 sin 1 , sin cos 2 4 π π π  −    = −  ÷  ÷ +     ∫ xdx x t x x ; 48) 2 0 sin , 2 4 sin cos π π π   = −  ÷ +   ∫ xdx x t x x ; 49 2 4 0 1 2sin 1 1 sin 2 , ln 2 1 sin 2 2 π −   = +  ÷ +   ∫ x dx t x x 50) 2 0 sin 2 sin 34 1 3cos , 27 1 3cos π +   = +  ÷ +   ∫ x x dx t x x ; 51) 2 0 sin 2 cos 1 cos π + ∫ x x dx x (t = 1+cosx, 2ln2−1) 52) 2 2 2 0 sin 2 2 3 cos 4sin π    ÷   + ∫ x dx DS x x ; 53) 3 2 0 3 sin tan x cos ,ln 2 8 π   = −  ÷   ∫ x dx t x 54) 2 6 3 5 0 1 cos sin cos π − ∫ x x xdx 6 3 12 1 cos , 91   = −  ÷   t x ; 55) ( ) 4 0 sin 4 sin 2 2 1 sin cos π π   −  ÷   + + + ∫ x dx x x x ; 4 3 2 sin cos , 4   − = +  ÷  ÷   t x x 56) ( ) 4 6 0 tan 1 10 t anx, ln 2 3 cos2 2 9 3 π   = + −  ÷   ∫ xdx t x 57) ( ) 2 2 0 sin ,2 8 π π = − ∫ x xdx t x ; 58) ( ) 4 0 sin ,1 π = ∫ xdx t x ; 59) 3 6 , 2 12 1 t anx π π π π   = −  ÷ +   ∫ dx x t ; 60) ( ) ( ) 2 2 0 2 3 sin 1 π π − + − ∫ x x xdx DS ; 61) ( ) 3 3 4 1 1 ln ln , , 3 1 16   = = +  ÷   ∫ e x xdx u x dv x dx e 62) ( ) 2 1 3 2 0 ,1/ 2= ∫ x x e dx t x ; 63) ( ) ( ) 1 2 2 2 2 0 3 1 1 ., 1 4   + = + −  ÷   ∫ x x e dx u x e ; 64) ( ) ( ) 2 1 2 1 ln ln ,ln 4 1/ 2− = − ∫ x xdx u x 65) ( ) 2 2 2 0 cos3 . π = ∫ x x e xdx u e ; 66) ( ) ( ) 2 2 0 sin 3 3 2 /13 π π − + ∫ x e xdx DS e 67) ( ) 3 2 6 ln sin cos π π ∫ x dx x ; (u = ln(sinx); 2 3 3 , 3 ln 6cos 4 π     = −  ÷  ÷  ÷  ÷     dx dv x 68) 2 2 2 2 1 1 2   − +  ÷   ∫ x x x e e dx DS x ; 69) ( ) 4 2 0 t anx+tan π ∫ x x e dx (tách, u=tanx, dv=e x dx) ; 70) ( ) 1 2 0 1 ( 2 4)− + − ∫ x x x e dx DS e ; 71) 2 0 sin cos2 π ∫ x x xdx (tích thành tổng, tích phân từng phần, 5 9 − ); 72) 2 0 1 sin 2 π + ∫ xdx x Cách 1: Đặt 2 π = −t x Cách 2: Biến đổi 1+sin2x=1+cos(2x− 2 π ) =2cos 2 (x− 4 π ), tích phân từng phần; 73) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 2 ln ln , ,3ln 3 2− = − = − ∫ x x dx u x x dv dx 74) 2 1 1 ln + ∫ e x xdx x (tách, tích phân từng phần, ĐS 2 3 4 +e ); 75) 2 1 ln ∫ e x xdx (u=lnx, dv=x 2 dx, ĐS (2e 3 +1)/9); 76) ( ) 2 1 2 ln− ∫ x xdx (u=lnx, dv= ., 5 2ln 2 4 − ); 77) 3 2 1 ln ∫ e x dx (ĐS 4 5 1 32 −e ) ; 78) 2 3 1 ln ∫ x dx x ( u=lnx, dv= ., 3 2ln2 8 − ); 79) 2 1 3 0 ∫ x x e dx (t=x 2 , ĐS 1/2) ; 80) ( ) 1 2 0 2− ∫ x x e dx (u=x-2, ĐS 2 5 3 4 − e ); 81) ( ) 2 2 0 2 1 cos π − ∫ x xdx (hạ bậc, tích phân từng phần, 2 2 4 8 π π − − ); 82) ( ) 1 0 1 sin 2 1 4 π   + +  ÷   ∫ x xdx ; 83) 2 2 2 2 0 8 cos , 4 π π   − =  ÷   ∫ x xdx u x ; 84) ( ) 2 cos 0 sin 2 cos ,2 π = ∫ x e xdx t x ; 85) ln8 2 ln3 1076 1. 1, 15   + = +  ÷   ∫ x x x e e dx t e ; 86) ( ) 2 sin 0 cos cos π + ∫ x e x xdx (tách,e−1+ 4 π ) 7 Trường THPT Gò Công Đông Trần Duy Thái 87) ( ) 2 4 sin 2 0 t anx cos ln 2 1 π   + + −  ÷  ÷   ∫ x e x dx e ; 88) ( ) 2 2 0 1− ∫ x x dx DS ; 89) ( ) 2 3 0 5 / 2− ∫ x x dx DS ; 90) ( ) 4 2 0 6 49 / 3− − ∫ x x dx ; 91) Cho ( ) sin 2 cos2= −P x a x b x . Tìm ,a b biết rằng: 2 ' 2 & 1 2 π   = − =  ÷   ∫ b a P adx (Đáp số 1= =a b ). 100) 1 3 2 2 0 2 1 1 , 15   − = −  ÷   ∫ x x dx t x ; 101) 1 1 3ln ln 116 1 3ln , 135 +   = +  ÷   ∫ e x xdx t x x 102) 3 2 1 ln 76 ln 1, 15 ln 1   = +  ÷ +   ∫ e xdx t x x x ; 103) 1 3 2ln 10 2 11 1 2ln , 3 1 2ln   − − = +  ÷  ÷ +   ∫ e x dx t x x x 104) ln 5 ln3 3 ,ln 22 3 −   =  ÷ + −   ∫ x x x dx t e e e ; 105) ( ) ( ) ln3 3 0 1, 2 1 1 = + − + ∫ x x x e dx t e e ; 106) ln5 2 ln 2 20 1, 3 1   = −  ÷   − ∫ x x x e dx t e e ; 107) ( ) 1 2 2 2 0 4 1 , 1 4 4 3 4 1 ln 2 ln3 2   − +  ÷ − − −  ÷ −  ÷ + −  ÷   ∫ x x x dx x x x 108) 3 3 1 1 1 3 tan , ln 2 2   = ∨ =  ÷ +   ∫ dx x t x tx x ; 109) 2 4 sin cos 3 sin 2 π π + + ∫ x x dx x (t = sinx−cosx, 6 π ) 8 . = − = = + + + ∫ ∫ ∫ ⇒ 1 5 4 1 1 1 2 1 2 5 5 5 x I x dx I − − = = = ⇒ = ∫ 1 2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 sinx ) . , 1 sin(-t) sin(t) 0 1 1 x t x t c I dx x t. 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 [ ln ] ( ). ln 2 ln 2 2 2 dx dx x x dx x x x x − − − − = − + = − + ∫ ∫ ∫ 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 ln 2 [ ] ln 2 [ ] ln 2 2 1 2 2 2