TS Trần Văn Vuông Giải toán 12 trên máy tính đồ sơn 2008 1. Giải toán 12 trên máy tính cầm tay 1.1. ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số Bài toán 1.1.1. Xét sự biến thiên của hàm số y = x 4 - 8x 3 + 22x 2 - 24x + 1. KQ: Hàm số đồng biến trên các khoảng (1; 2) và (3; +), nghịch biến trên các khoảng (- ; 1) và (2; 3). Bài toán 1.1.2. Tìm gần đúng giá trị cực đại và cực tiểu của hàm số y = x 4 -3x 2 + 2x +1. KQ: y CĐ 1,3481; y CT1 - 3,8481; y CT2 = 1. Bài toán 1.1.3. Tìm gần đúng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 1 5 2x x + . KQ: max y 2,1213; min y 1,2247. Bài toán 1.1.4. Tìm gần đúng toạ độ giao điểm của đồ thị hai hàm số y = x 2 + 7x - 5 và y = 2 2 3 4 x x x + . KQ: A(- 6,8715; - 5,8830), B(0,5760; - 0,6362), C(4,2955; 43,5198). Bài toán 1.1.5. Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x 3 2x 2 + 4x - 1 tại điểm A(2; 7 ). KQ: y = 8x - 9. Bài toán 1.1.6. Viết phơng trình các tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x 3 - 4x 2 + x - 2 đi qua điểm A(1; - 4). KQ: y = - 4x ; y = 1 17 4 x . 1.2. Hàm số luỹ thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit Bài toán 1.2.1. Tính gần đúng giá trị của biểu thức A = 2ln5 4lg7 8 5lg8 9ln 208 + . KQ: A 0,0136. Bài toán 1.2.2. Giải phơng trình 3 2x + 5 = 3 x + 2 + 2. KQ: x = - 2. 2 Bài toán 1.2.3. Giải gần đúng phơng trình 9 x - 5ì3 x + 2 = 0. KQ: x 1 1,3814; x 2 - 0,7505. Bài toán 1.2.4. Giải phơng trình 3 2 log 3 81 x x = . KQ: x = 1 3 . Bài toán 1.2.5. Giải phơng trình 2 2 2 6 4 3 log 2 logx x + = . KQ: x 1 = 4; x 2 = 3 1 2 . Bài toán 1.2.6. Giải gần đúng phơng trình 2 2 2 8log 5log 7 0x x = . KQ: x 1 2,4601; x 2 0,6269. 1.3. Tích phân và ứng dụng Bài toán 1.3.1. Tính các tích phân: a) 2 3 2 1 (4 2 3 1)x x x dx + + ; b) 2 1 3 0 x x e dx ; c) 2 0 sinx xdx . KQ: a) 95 6 ; b) 0,5; c) 1. Bài toán 1.3.2. Tính gần đúng các tích phân: a) 1 2 3 0 2 3 1 1 x x dx x + + ; b) 2 2 6 cos2x xdx ; c) 2 0 sin 2 cos x xdx x + . KQ: a) 0,1771; b) - 0,8185; c) 1,3673. Bài toán 1.3.3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = 2x 2 + 5x - 2 và y = x 3 + 2x 2 - 2x + 4. KQ: S = 32,75. Bài toán 1.3.4. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = x 2 + 5x - 1 và y = x 3 + 4x 2 + 5x - 5 quanh trục hoành. KQ: V = 729 35 . 3 1.4. Số phức Bài toán 1.4.1. Tính a) 3 2 1 1 3 2 i i i i + + ; b) 2 (1 )(5 6 ) (2 ) i i i + + . KQ: a) 23 63 26 i+ ; b) 29 47 25 i . Bài toán1.4.2. Giải phơng trình x 2 - 6x + 58 = 0. KQ: x 1 = 3 + 7i ; x 2 = 3 - 7i. Bài toán 1.4.3. Giải gần đúng phơng trình x 3 - x + 10 = 0. KQ: x 1 - 2,3089; x 2 1,1545 + 1,7316i; x 3 1,1545 - 1,7316i. Bài toán 1.4.4. Giải gần đúng phơng trình 2x 3 + 3x 2 - 4x + 5 = 0. KQ: x 1 - 2,62448; x 2 0,5624 + 0,7976i; x 3 0,5624 - 0,797i. 1.5. Phơng pháp toạ độ trong không gian Bài toán 1.5.1. Viết phơng trình mặt phẳng đi qua ba điểm A(1; - 3; 2), B(5; 6; 1), C(- 4; -7; 4). KQ: 14x - 3y + 29z - 81 = 0. Bài toán 1.5.2. Viết phơng trình mặt cầu đi qua bốn điểm A(2; 1; - 3), B(3; 5; 6), C(5; - 4; -7), D(9; 0; 1). KQ: 2 2 2 159 577 355 2142 0 13 13 13 13 x y z x y z+ + + + = . Bài toán 1.5.3. Cho tam giác có các đỉnh A(1; - 3; 2), B(5; 6; 0), C(- 4; -7; 5). a) Tính gần đúng độ dài các cạnh của tam giác. b) Tính gần đúng các góc (độ, phút, giây) của tam giác. c) Tính gần đúng diện tích tam giác. KQ: a) AB 10,0499; BC 7,0711; CA 16,5831. b) 150 0 44 45; à B 12 0 1 38; 17 0 13 37. c) S 17,3638. Bài toán 1.5.4. Cho hai đờng thẳng + = + = + = + + = 1 2 2x 3y 6 0 4x 5y 10 0 d : d : 5y 7z 3 0 x y z 4 0 4 a) Tính gần đúng góc (độ, phút, giây) giữa hai đờng thẳng đó. b) Viết phơng trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(10; 2; 1) và vuông góc với đờng thẳng d 2 . c) Tìm toạ độ giao điểm M của đờng thẳng d 1 và mặt phẳng (P). KQ: a) 62 0 23 0; b) (P): 5x - 4y - 9z - 33 = 0; 672 726 459 M ; ; 139 139 139 ữ . Bài toán 1.5.5. Cho hình tứ diện có các đỉnh A(1; - 2; 3), B(- 2; 4; - 5), C(3; - 4; 7), D(5; 9; - 2). a) Tính tích vô hớng của hai vectơ AB uuur và AC uuur . b) Tìm tích vectơ của hai vectơ AB uuur và AC uuur . c) Tính thể tích khối tứ diện ABCD. KQ: a) AB uuur . AC uuur = - 50. b) ,AB AC uuur uuur = (8; - 4; - 6). c) V = 3. Bài toán 1.5.6. Cho hai đờng thẳng = + = + = x 3 4t : y 2 3t z 5t và = = + = + x 1 2t d : y 2 7t z 1 t. a) Tính gần đúng góc (độ, phút, giây) giữa hai đờng thẳng đó. b) Tính gần đúng khoảng cách giữa hai đờng thẳng đó. KQ: a) 69 0 43 56; b) 0,5334. 2. Giải toán 12 trên máy vi tính nhờ phần mềm Maple 8 Phần mềm Maple đợc sản xuất đầu tiên ở Canađa cách đây vài thập kỷ. Hiện nay đã có phiên bản Maple 11. Chúng ta sử dụng phiên bản Maple 8 đợc sản xuất năm 2002 vì nó có dung lợng thích hợp với việc giải toán phổ thông. Để sử dụng đợc phần mềm này sau khi đã cài đặt nó vào máy tính, cần phải nhớ cách nhập các lệnh và các ký hiệu toán học. 2.1. ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số 2.1.1. Cho hàm số, tính giá trị của hàm số tại một số điểm thuộc tập xác định của hàm số đó, vẽ đồ thị của hàm số trên một hình chữ nhật của mặt phẳng toạ độ Cấu trúc lệnh cho hàm số nh sau: f : =x - > hàm số; 5 Chữ cái ký hiệu của hàm số có thể là chữ cái g, h, , . chứ không nhất thiết là chữ cái f. Đối số cũng không nhất thiết là x mà có thể là chữ cái bất kỳ khác. Tại vị trí của hàm số ta phải nhập biểu thức của hàm số cần cho. Các dấu +, - đợc nhập bình thờng. Dấu nhân đợc nhập bằng *. Dấu chia đợc nhập bằng /. Luỹ thừa đợc nhập bằng ^. Nếu đã cho hàm số f(x) thì cấu trúc lệnh yêu cầu tính giá trị của hàm số tại điểm a thuộc tập xác định của nó là: f(a); Nếu đã cho hàm số f(x) thì cấu trúc lệnh vẽ đồ thị của hàm số trên một hình chữ nhật của mặt phẳng toạ độ với x từ a đến b và y từ c đến d nh sau: plot(f(x),x =a b, y = c d); Bài toán 2.1.1.1. Cho hàm số y = x 3 - 6x 2 + 11x - 6. Tính giá trị hàm số tại x = 2, m, 3 và vẽ đồ thị hàm số đó với x từ - 5 đến 5, y từ - 5 đến 5. > f:=x->x^3-6*x^2+11*x-6; := f x + x 3 6 x 2 11 x 6 > f(2); 0 > f(m); + m 3 6 m 2 11 m 6 > f(Pi/3); + 1 27 3 2 3 2 11 3 6 > plot(f(x),x=-5 5,y=-5 5); 6 Bài toán 2.1.1.2. Vẽ đồ thị của hai hàm số y = sin 2x và y = x 4 - 3x 2 + 2 trên cùng một hệ trục toạ độ với x từ - 4 đến 4 và y từ - 2 đến 6. > plot({sin(2*x),x^4-3*x^2+2},x=-4 4,y=-2 6); 2.1.2. Tìm tập xác định của hàm số cho bằng biểu thức Tập xác định của hàm số cho bằng biểu thức thờng là tập nghiệm của bất phơng trình hoặc hệ bất phơng trình nào đó. Bài toán 2.1.2.1. Tìm tập xác định của hàm số y = 2 1 3 x . > solve(3-x^2>0,{x}); { }, < 3 x < x 3 Vậy tập xác định đó là D = ( 3; 3). Bài toán 2.1.2.2. Tìm tập xác định của hàm số y = 2 3x 5 x 3x 2 2x 1 + + + . > solve({x^2-3*x+2>=0,2*x+1>0},{x}); ,{ }, < -1 2 x x 1 { } 2 x Vậy tập xác định đó là D = [ ) 1 ;1 2; 2 . 2.1.3. Tìm cực trị của hàm số Để tìm cực trị của một hàm số, trớc hết ta phải tính đạo hàm của hàm số và tìm nghiệm của đạo hàm. Cấu trúc lệnh của đạo hàm nh sau: diff(hàm số, đối số); Tại vị trí của hàm số ta phải nhập biểu thức của hàm số. Tại vị trí đối`số ta phải nhập chữ cái chỉ đối số. Cấu trúc lệnh tìm nghiệm của đạo hàm (của đối số x) là: solve(đạo hàm, {x}); 7 Tại ví trí của đạo hàm ta phải nhập biểu thức của đạo hàm hoặc ký hiệu % nếu kết quả tính đạo hàm vừa mới có ở dòng trên liền kề. Sau đó, có thể tính đạo hàm cấp 2 và giá trị của đạo hàm cấp 2 tại nghiệm của đạo hàm rồi kết luận về cực trị. Cấu trúc lệnh của đạo hàm cấp 2 nh sau: diff(hàm số, đối số, đối số); hoặc diff(hàm số, đối số$2); Bài toán 2.1.3.1. Tìm các cực trị của hàm số y = x 4 -3x 2 + 2x +1. > f:=x->x^4-3*x^2+2*x+1; := f x + + x 4 3 x 2 2 x 1 > diff(f(x),x); + 4 x 3 6 x 2 > solve(%,{x}); , ,{ } = x 1 { } = x + 1 2 3 2 { } = x 1 2 3 2 > diff(f(x),x,x); 12 x 2 6 > g:=x->12*x^2-6; := g x 12 x 2 6 > g(1); 6 > g(-1/2+1/2*3^(1/2)); 12 + 1 2 3 2 2 6 > simplify(%); 6 6 3 > g(-1/2-1/2*3^(1/2)); 12 1 2 3 2 2 6 > simplify(%); + 6 6 3 > f(1); 1 > f(-1/2+1/2*3^(1/2)); 8 + + 1 2 3 2 4 3 + 1 2 3 2 2 3 > simplify(%); + 5 4 3 3 2 > f(-1/2-1/2*3^(1/2)); 1 2 3 2 4 3 1 2 3 2 2 3 > simplify(%); 5 4 3 3 2 Nh vậy hàm số đã cho có hai điểm cực tiểu và một điểm cực đại. Các giá trị cực tiểu là f(1) = 1 và 1 3 5 3 3 f 2 2 4 2 = ữ ữ . Giá trị cực đại là 1 3 5 3 3 f 2 2 4 2 + = + ữ ữ . Có thể yêu cầu vẽ đồ thị hàm số này để thấy các cực trị đó một cách trực quan. > plot(x^4-3*x^2+2*x+1,x=-3 3,y=-4 2); 2.1.4. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số Cấu trúc lệnh tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x) trên đoạn [a; b] nh sau: maximize(f(x),x = a b); Cấu trúc lệnh tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) trên đoạn [a; b] nh sau: minimize(f(x),x = a b); 9 Tại vị trí f(x) ta phải nhập biểu thức của hàm số đó. a và b phải là các số cụ thể chứ không phải chữ cái dùng thay số. Bài toán 2.1.4.1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x + cos2x trên đoạn [0; 1]. > maximize(x+cos(2*x),x=0 1); + 12 3 2 > minimize(x+cos(2*x),x=0 1); + 1 ( )cos 2 Bài toán 2.1.4.2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x 1 5 2x + . > > maximize(sqrt(x-1)+sqrt(5-2*x),x=1 5/2); 3 2 2 > minimize(sqrt(x-1)+sqrt(5-2*x),x=1 5/2); 6 2 2.1.5. Tìm các đờng tiệm cận của đồ thị hàm số Bài toán 2.1.5.1. Tìm các đờng tiệm cận của đồ thị hàm số y = 3 2 2 x 2x 4x 1 x x 2 + + . > (x^3-2*x^2+4*x-1)/(x^2+x-2)=convert((x^3-2*x^2+4*x-1)/ (x^2+x-2),parfrac,x); = + x 3 2 x 2 4 x 1 + x 2 x 2 + + x 3 25 3 ( ) + x 2 2 3 ( ) x 1 Vậy đồ thị hàm số này có ba đờng tiệm cận x = - 2, x = 1 và y = x 3. 2.1.6. Tìm toạ độ giao điểm của đồ thị hai hàm số Đây là việc giải hệ phơng trình. Bài toán 2.1.6.1. Tìm toạ độ giao điểm của đồ thị hai hàm số y = x 2 + 7x - 5 và y = 2 8 9 11 1 + + x x x . > solve({y=x^2+7*x-5,y=(8*x^2+9*x-11)/(x+1)}); , ,{ }, = y 3 = x 1 { }, = x 2 = y 13 { }, = x -3 = y -17 10 [...]... tích vectơ, góc giữa hai vectơ khi biết toạ độ của chúng r r Bài toán 2.5.1.1 Cho hai vec tơ a = (3;7; 5) và b = (4; 2;9) r r a) Tính tích vô hớng của hai vectơ a và b r r b) Tìm tích vectơ của hai vectơ a và b r r c) Tính góc giữa hai vectơ a và b 20 > a:=Vector([3,7,-5]); > b:=Vector([4,-2,9]); > a.b; 3 a := 7 -5 4 b := -2 9 -47 > with(LinearAlgebra):c:=CrossProduct(a,b);... có z= 47 122 47 47 122 i arctan 29 cos arctan i sin arctan ữ = e 5 29 29 5 2.4.4 Giải phơng trình trên tập hợp số phức Bài toán 2.4.4.1 Giải phơng trình x2 - 6x + 58 = 0 > solve(x^2-6*x+58,{x}); { x = 3 + 7 I }, { x = 3 7 I } Bài toán 2.4.4.2 Giải phơng trình x3 - x2 - 2x + 8 = 0 > solve(x^3-x^2-2*x+8,{x}); 3 1 3 1 { x = -2 }, { x = + I 7 }, { x = I 7 } 2 2 2 2 Bài toán 2.4.4.3 Giải phơng trình... nó Bài toán 2.5.10.1 Cho hình tứ diện có các đỉnh A(1; - 2; 3), B(- 2; 4; - 5), C(3; - 4; 7), D(5; 9; - 2) uuu r uuu r a) Tính tích vô hớng của hai vectơ AB và AC uuu r uuu r b) Tìm tích vectơ của hai vectơ AB và AC c) Tính thể tích khối tứ diện ABCD d) Tính diện tích tam giác BCD e) Tính đờng cao hạ từ A của hình tứ diện ABCD > AB:=Vector([-2-1,4+2,-5-3]); 26 -3 AB := 6 -8 > AC:=Vector([3-1,-4+2,7-3]);... đờng thẳng chéo nhau khi biết phơng trình của chúng Bài toán 2.5.5.1 Tính khoảng cách giữa hai đờng thẳng x = 3 + 4t : y = 2 + 3t và d : z = 5t x = 1 2t y = 2 + 7t z = 1 + t > a:=Vector([4,3,5]);b:=Vector([-2,7,1]);c:=Vector([1-3,2+2,1-0]); 4 a := 3 5 -2 b := 7 1 -2 c := 4 -1 > with(LinearAlgebra):m:=CrossProduct(a,b); 23 -32 m := -14 34 > k:=abs(c.m/sqrt(m.m));... AB:=Vector([-4-2,7+5,8-6]); -6 AB := 12 2 > 1/2*AB; -3 6 1 > (x-2)/(-3)=(y+5)/6,(y+5)/6=(z-6)/1; x 2 y 5 y 5 + = + , + =z6 3 3 6 6 6 6 Bài toán 2.5.4.2 Tính góc giữa hai đờng thẳng đờng thẳng có phơng trình x 3 y +1 z = = d: 4 5 3 và x = 7t : y = 1 2t z = 9 + 3t > a:=Vector([4,5,3]);b:=Vector([7,-2,3]); 4 a := 5 3 22 7 b := -2 3 > with(LinearAlgebra):VectorAngle(a,b);... chứa số phức Bài toán 2.4.1.1 Tính 3 + 2i 1 i + 1 i 3 2i > (3+2*I)/(1-I)+(1-I)/(3-2*I); 23 63 + I 26 26 (1 + i )(5 6i) (2 + i ) 2 > (1+I)*(5-6*I)/(2+I)^2; 29 47 I 25 25 Bài toán 2.4.1.2 Tính 2.4.2 Tìm môđun và acgumen của số phức Bài toán 2.4.2.1 Tìm môđun và acgumen của số phức z = (1 + i )(5 6i) (2 + i ) 2 > abs((1+I)*(5-6*I)/(2+I)^2); 122 5 > argument((1+I)*(5-6*I)/(2+I)^2); 47 arctan ... -8 > AC:=Vector([3-1,-4+2,7-3]); 2 AC := -2 4 > AB.AC; -50 > with(LinearAlgebra):a:=CrossProduct(AB,AC); 8 a := -4 -6 > AD:=Vector([5-1,9+2,-2-3]); 4 AD := 11 -5 > V:=1/6*abs(AD.a); V := 3 > BC:=Vector([3+2,-4-4,7+5]); 5 BC := -8 12 > BD:=Vector([5+2,9-4,-2+5]); 7 BD := 5 3 > S:=1/2*sqrt((BC.BC)*(BD.BD)-(BC.BD)^2); 3 2042 S := 2 > h:=3*V/S;... 3 ) ( 2 x 3 ) + 9 e ( 2 x 3 ) 8 8 2.3.2 Tính tích phân 2 3 2 Bài toán 2.3.2.1 Tính (4 x 2 x + 3 x + 1)dx 1 > Int(4*x^3-2*x^2+3*x+1,x=1 2)=int(4*x^32*x^2+3*x+1,x=1 2); 2 4 x 3 2 x 2 + 3 x + 1 dx = 95 6 1 15 1 Bài toán 2.3.2.2 Tính x e 3 x2 dx 0 > Int(x^3*exp(x^2),x=0 1)=int(x^3*exp(x^2),x=0 1); 1 1 3 (x2 ) x e dx = 2 0 Bài toán 2.3.2.3 Tính 2 x sin xdx 0 > Int(x*sin(x),x=0 pi/2)=int(x*sin(x),x=0... with(LinearAlgebra):c:=CrossProduct(a,b); 53 c := -47 -34 > VectorAngle(a,b); > evalf(%); > evalf(%*180/Pi); > (%-120)*60; > (%-53)*60; 47 83 101 arccos 8383 2.109858925 120.8860117 53.160702 9.642120 Vậy góc giữa hai vectơ này là 12005310 2.5.2 Viết phơng trình mặt phẳng đi qua ba điểm khi biết toạ độ của chúng Bài toán 2.5.2.1 Viết phơng trình mặt phẳng đi qua ba điểm A(1; - 3;... 2 2 2 0 1 2 x 2 3x + 1 dx Bài toán 2.3.2.4 Tính x3 + 1 0 > Int((2*x^2-3*x+1)/(x^3+1),x=0 1)=int((2*x^2-3*x+1)/ (x^3+1),x=0 1); 1 2 x2 3 x + 1 2 3 dx = + 2 ln( 2 ) 3 9 x +1 0 2 Bài toán 2.3.2.5 Tính x 2 cos 2 xdx 6 >Int(x^2*cos(2*x),x=Pi/6 Pi/2)=int(x^2*cos(2*x),x=Pi/6 Pi/2 ); 2 x 2 cos ( 2 x ) dx = 7 1 2 3 + 1 3 24 144 8 6 Bài toán 2.3.2.6 Tính x sin xdx 2 x 2 + . arctan 47 29 Nh vậy, ta có 47 iarctan 29 122 47 47 122 z cos arctan isin arctan e . 5 29 29 5 = = ữ 2.4.4. Giải phơng trình trên tập hợp số phức Bài. (2; 3). Bài toán 1.1.2. Tìm gần đúng giá trị cực đại và cực tiểu của hàm số y = x 4 -3x 2 + 2x +1. KQ: y CĐ 1,3481; y CT1 - 3,8481; y CT2 = 1. Bài toán