Đang tải... (xem toàn văn)
[r]
(1)Sở Giáo dục đào tạo hố
§Ị chÝnh thøc
Kú thi chän häc sinh giỏi tỉnh Năm học 2006-2007
Môn thi: TOáN
Ngày thi: 28/03/2007
Lớp: 12 Trung häc phỉ th«ng
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề thi) Đề thi có câu, gồm trang.
C©u 1: (7,0 ®iĨm)
1. Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số:
2 1
1
x x
y
x
+ + =
+ ( )1
2. Tìm để đ−ờng thẳng: k (2−k x y) − + =1 0 cắt đồ thị ( )1 hai điểm phân biệt A B, cho tiếp tuyến với đồ thị ( )1 A B song song với 3. Chứng minh rằng phương trỡnh: x2 + + =x 1 (x+1 9) − x2 cú đỳng nghiệm Câu 2: (5,0 điểm)
1 Áp dụng khai triển nhị thức Niutơn của (x2+x)100, chứng minh rằng:
99 100 99 198 100 199
100 100 100 100
1 1
100C 101C 199C 200C
2 2
⎛ ⎞ − ⎛ ⎞ + ⋅⋅⋅ − ⎛ ⎞ + ⎛ ⎞ =
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2. Cho tÝch ph©n
0
s 2 2cos 2 n
in nx
I dx
a x
π
= −
∫ , n∈N T×m cho a I2006, , I2007 I2008 theo thø tù Êy lËp thành cấp số cộng
Câu 3: (7,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đ−ờng tròn
(V ): x2+ y2 −4x+6y− =3 0 tâm I đ−ờng thẳng ( )Δ :x by+ − =2 0 Chứng minh ( (V ) cắt hai điểm phân biệt với mọi b Tìm để tam giác có diện tích lớn
)
Δ P Q,
b PIQ
2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm A(2 0; ; ), B(0 0; ; ), (0 3; ; )
C v N điểm thoả m·n: ONuuur uuur uuur uuur=OA OB OC+ + Mét mặt phẳng ( )P
thay i ct cỏc on OA, , , OB OC ON lần l−ợt điểm A B1, ,1 Hãy xác định toạ độ điểm cho:
1,
C N
1
N
1 1
2007
OA OB OC
OA +OB +OC = . Câu 4: (1,0 điểm)
Tỡm tập hợp điểm M khơng gian có tổng bình ph−ơng khoảng cách đến mặt tứ diện ABCD cho tr−ớc số d−ơng không đổi
k -Hết -
ã Học sinh không đợc sử dơng tµi liƯu gì.
(2)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 NĂM 2007 Mơn: TỐN THPT
(Đáp án - Thang điểm gồm trang)
Câu Ý Nội dung Điểm
I (7,0 điểm)
1 (3,0 điểm) • TXĐ: \{ }−1
• Sự biến thiên:
( )
2
2
0 2
1
' x x, ' hc
y y x
x
+
= = ⇔ = −
+ x=0
yCD = y( )−2 = −3, yCT = y( )0 =1
1,0
Bảng biến thiên:
1,0
•Đồ thị:
1,0
2 (3,0 điểm)
Phương trình hồnh độ giao điểm:
( ) ( ) ( ) (
2
2
1
2 1 1 2 0
1
x x
k x k x k x x
x
+ + = − + ⇔ ⇔ − + − = ≠ −
+ 1)
Có nghiệm phân biệt k ≠1vµ k ≠2
1,5
Thoả mãn yêu cầu toán khi: ( )0 2 0
1
' ' k
f f k
k
−
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟ ⇒ =
−
⎝ ⎠ 1,5
3 (1,0 điểm)
Số nghiệm phương trình số giao điểm đồ thị hàm số:
2 1
1
x x
y
x
+ + =
+ ( )1
và 9 2 0 2 ( )
9
y
y x
x y ≥ ⎧
= − ⇔ ⎨
+ =
⎩ 2 Đồ thị hàm số ( )2 nửa đường tròn
1,0
x y' y
−∞
−∞ −∞
+ ∞
+ ∞ + ∞
−3
0
−2 −1
− −
+ +
y
O −1
1
−2 x
(3)phía trục Ox, tâm O( )0 0; , bán kính Suy đpcm
II (5,0 điểm)
1 (3,0 điểm)
Ta có: 100( )100 100 101 99 199 100 200
100 100 100 100
x x+ =C x +C x + + C x +C x
1,0 Lấy đạo hàm hai vế ta suy
( )
( )99( ) 0 99 1 100 100 199
100 100 100
100 x x+ 2x+ =100.C x +101.C x + + 200.C x 1,0
Thay x
= − ta suy B 0.= 1,0
2 (2,0 điểm)
Ta có: 2008 2006
0
s 2.2008 s 2.2006
2cos 2
in x in x
I I d
a x
π +
+ =
−
∫ x
( )
0
s 4014 cos 2
2s 4014 cos 2
2cos 2 2cos 2
in x a x a
in x x
dx dx
a x a x
π π − −
= = −
− −
∫ ∫
1,0
2007 2007
0
0
s 2.2007 cos 4014
s 4014
2cos 2 4014
in x x
in xdx a dx aI aI
a x
π
π π
= − + = + =
−
∫ ∫
Thoả mãn yêu cầu toán a=2
1,0
III (7,0 điểm)
1 (3,0 điểm)
Tâm I(2 3;− ), bán kính R=4, khoảng cách từ I đến ( )Δ
2
3 1
b d
b =
+ , suy d R< ⇔9b2 <16 16+ b2 ⇔7b2 +16 0> ∀b
1,5
Diện tích tam giác PIQ
2
1
8
2 . .sin 2
R
S = IP IQ PIQ≤ = lớn Khi
S 90
PIQ= o
2
3 2
2 2 2 2
2 1
b R
d b
b
= ⇔ = ⇔ = ±
+
1,5
2 (4,0 điểm)
(2 3; ; )
ONuuur= suy phương trình 1( )
2
8 2 3
3
: ; ;
x t
ON y t N t t t
z t
= ⎧
⎪ = ⇒
⎨ ⎪ = ⎩
1,5
Giả sử A a1( ; ;0 0) (, ; ;B1 0 0b ), ; ;C1(0 0 c) ( , ,a b c>0) suy phương trình mặt phẳng ( )P : x y z 1
a + + =b c
1,5
( )
1
N ∈ P suy 2t 8t 3t 1
a + b + c = Từ giả thiết có:
2 3
2007
a b c+ + = suy
ra 1
2007
t= Do 1 2 8 3
2007 2007 2007; ;
N ⎛⎜ ⎞⎟
⎝ ⎠
(4)IV (1,0 điểm)
Gọi G trọng tâm ΔABC, O trung điểm Tính chất tứ diện cho ta vng góc với đơi Chọn hệ toạđộ Oxyz cho:
DG , ,
OA OB OC (3 0; ; )
A a , B(0 0; a; ), C(0 3; ; a) (a >0) Suy ra: G a a a( ; ; )
( ; ; )
D a a a− − − Ta có phương trình mặt tứ diện là:
(ABC x y z): + + −3a=0, (DAB x y): + −5z−3a=0,
(DBC):− + + −5x y z 3a =0 (DCA x): −5y z+ −3a =0 Giả sử ( 0; 0; 0)
M x y z khoảng cách từ M đến mặt (ABC) (, DAB) (, DBC) (DCA) thứ tự d d1, 2,d3 d4ta có: k d= 12 +d22 +d32 +d42
( )2 ( )2
0 0 0
1 1
3 5
3 x y z a 27 x y z 3a
= + + − + + − −
+ 1 ( 5 0 0 0 3 )2 1 ( 0 5 0 0 )2
27 − x + y + −z a +27 x − y + −z 3a
2 2 2
0 0
3 9
2 2 2
a a a k
x y z −
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⇔⎜ − ⎟ +⎜ − ⎟ +⎜ − ⎟ =
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 4
a
2
2 3 9
4
k a
IM −
⇔ = Trong
2 2; ;
a a a I⎛⎜ ⎞
⎝ ⎠⎟ trọng tâm tứ diện ABCD
Nếu k <3a2 tập hợp điểm M ∅ Nếu k =3a2 M ≡I Nếu tập hợp điểm
2
3
k > a M mặt cầu tâm I bán kính
2
3 4
k a r = −
1,0 y
x
z O
G B
D
A
C