Đang tải... (xem toàn văn)
Trong quá trình giảng dạy và làm toán, tôi đã hệ thống được một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên, hi vọng sẽ giúp các em học sinh biết lựa chọn phương pháp thích hợp khi [r]
(1)MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN
Trong trình giảng dạy làm tốn, tơi hệ thống số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên, hi vọng giúp em học sinh biết lựa chọn phương pháp thích hợp giải toán loại
Phương pháp : Đưa dạng tích
Biến đổi phương trình dạng : vế trái tích đa thức chứa ẩn, vế phải tích số ngun.
Thí dụ : Tìm nghiệm ngun phương trình : y3 - x3 = 91 (1)
Lời giải : (1) tương đương với (y - x)(x2 + xy + y2) = 91 (*)
Vì x2 + xy + y2 > với x, y nên từ (*) => y - x >
Mặt khác, 91 = x 91 = x 13 y - x ; x2 + xy + y2 nguyên dương nên ta có bốn khả
sau :
y - x = 91 x2 + xy + y2 = ; (I)
y - x = x2 + xy + y2 = 91 ; (II)
y - x = x2 + xy + y2 = ; (III)
y - x = x2 + xy + y2 = 13 ; (IV)
Đến đây, toán coi giải Phương pháp : Sắp thứ tự ẩn
Nếu ẩn x, y, z, có vai trị bình đẳng, ta giả sử x ≤ y ≤ z ≤ để tìm nghiệm thỏa mãn điều kiện Từ đó, dùng phép hốn vị để => nghiệm phương trình cho.
Thí dụ : Tìm nghiệm nguyên dương phương trình : x + y + z = xyz (2)
Lời giải :
Do vai trị bình đẳng x, y, z phương trình, trước hết ta xét x ≤ y ≤ z
Vì x, y, z nguyên dương nên xyz ≠ 0, x ≤ y ≤ z => xyz = x + y + z ≤ 3z => xy ≤ => xy thuộc {1 ; ; 3}
Nếu xy = => x = y = 1, thay vào (2) ta có : + z = z, vơ lí Nếu xy = 2, x ≤ y nên x = y = 2, thay vào (2), => z = Nếu xy = 3, x ≤ y nên x = y = 3, thay vào (2), => z =
Vậy nghiệm nguyên dương phương trình (2) hốn vị (1 ; ; 3) Thí dụ : Tìm nghiệm ngun dương phương trình :
1/x + 1/y + 1/z = (3)
Lời giải : Do vai trị bình đẳng x, y, z, trước hết ta xét x ≤ y ≤ z Ta có : = 1/x + 1/y + 1/z ≤ 3.1/x => x ≤ 3/2 => x =
Thay x = vào (3) ta có :
1/y + 1/z + = => = 1/y + 1/z ≤ 2/y => y ≤ => y = => 1/z = (vơ lí)
hoặc y = => 1/z = => z =
Vậy nghiệm nguyên dương phương trình (3) hoán vị (1 ; ; 2) Phương pháp : Sử dụng tính chất chia hết
Phương pháp sử dụng tính chất chia hết để chứng minh phương trình vơ nghiệm tìm nghiệm phương trình.
Thí dụ : Tìm nghiệm nguyên phương trình : x2 - 2y2 = (4)
Lời giải : Từ phương trình (4) ta => x phải số lẻ Thay x = 2k + (k thuộc Z) vào (4), ta :
4k2 +4k + - 2y2 =
tương đương 2(k2 + k - 1) = y2
(2)Đặt y = 2t (t thuộc Z), ta có : 2(k2 + k - 1) = 4t2
tương đương k(k + 1) = 2t2 + (**)
Nhận xét : k(k + 1) số chẵn, 2t2 + số lẻ => phương trình (**) vơ nghiệm
Vậy phương trình (4) khơng có nghiệm ngun
Thí dụ : Chứng minh không tồn số nguyên x, y, z thỏa mãn : x3 + y3 + z3 = x + y + z + 2000 (5)
Lời giải : Ta có x3 - x = (x - 1).x.(x + 1) tích số nguyên liên tiếp (với x số nguyên)
Do : x3 - x chia hết cho
Tương tự y3 - y z3 - z chia hết cho Từ ta có : x3 + y3 + z3 - x - y - z chia hết cho
Vì 2000 khơng chia hết x3 + y3 + z3 - x - y - z ≠ 2000 với số nguyên x, y, z tức
phương trình (5) khơng có nghiệm ngun
Thí dụ : Tìm nghiệm ngun phương trình : xy + x - 2y = (6)
Lời giải : Ta có (6) tương đương y(x - 2) = - x + Vì x = khơng thỏa mãn phương trình nên (6) tương đương với:
y = (-x + 3)/(x - 2) tương đương y = -1 + 1/(x - 2)
Ta thấy : y số nguyên tương đương với x - ước hay x - = x - = -1 tương đương với x = x = Từ ta có nghiệm (x ; y) (1 ; -2) (3 ; 0)
Chú ý : Có thể dùng phương pháp để giải tốn này, nhờ đưa phương trình (6) dạng : x(y + 1) - 2(y + 1) = tương đương (x - 2)(y + 1) =
Phương pháp : Sử dụng bất đẳng thức
Dùng bất đẳng thức để đánh giá ẩn từ đánh giá => giá trị nguyên của ẩn này.
Thí dụ : Tìm nghiệm nguyên phương trình : x2 - xy + y2 = (7)
Lời giải :
(7) tương đương với (x - y/2)2 = - 3y2/4
Vì (x - y/2)2 ≥ => - 4y2/4 ≥
=> -2 ≤ y ≤
Lần lượt thay y = -2 ; ; -1 ; ; vào phương trình để tính x Ta có nghiệm nguyên phương trình :
(x ; y) thuộc {(-1 ; -2) ; (1 ; 2) ; (-2 ; -1) ; (2 ; 1) ; (-1 ; 1) ; (1 ; -1)}
Chắc chắn nhiều phương pháp để giải phương trình nghiệm ngun cịn nhiều thí dụ hấp dẫn khác Mong bạn tiếp tục trao đổi vấn đề Các bạn thử giải số phương trình nghiệm nguyên sau :
Bài : Giải phương trình nghiệm nguyên : a) x2 - xy = 23 ;
b) 3x - 3y + = ; c) 19x2 + 28y2 =729 ;
d) 3x2 + 10xy + 8y2 = 96
Bài : Tìm x, y nguyên dương thỏa mãn : a) 4xy - 3(x + y) = 59 ;