Xuctu.com – Chun cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT CÁC BÀI TỐN HÌNH HỌC THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI HỌC SINH GIỎI TỐN Tham gia Nhóm: Chun đề Toán THCS để cập nhật nhiều Tại: https://www.facebook.com/groups/chuyen.de.toan.thcs/ Câu : Cho hình vng ABCD có AC cắt BD O M điểm thuộc cạnh BC (M khác B, C).Tia AM cắt đường thẳng CD N Trên cạnh AB lấy điểm E cho BE = CM Chứng minh : ∆OEM vuông cân Chứng minh : ME // BN Từ C kẻ CH BN ( H BN) Chứng minh ba điểm O, M, H thẳng hàng Hướng dẫn giải a Xét ∆OEB ∆OMC Vì ABCD hình vng nên ta có OB = OC �C �  450 Mặt khác: BE = CM ( gt ) Và B 1 Suy ∆OEB = ∆OMC ( c g.c) �O � � OE = OM O � O �  BOC �  900 tứ giác ABCD hình vng Lại có O Phát hành tồn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem tốn nhà- ĐT: 0918.972.605(Zalo) Xuctu.com – Chuyên cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT � O �  EOM � O  900 kết hợp với OE = OM � ∆OEM vuông cân O b Từ (gt) tứ giác ABCD hình vng � AB = CD AB // Chọn đáp án D + AB // CD � AB // CN � AM BM  ( Theo ĐL Ta- lét) (*) MN MC Mà BE = CM (gt) AB = CD � AE = BM thay vào (*) Ta có : AM AE � ME // BN ( theo ĐL đảo đl Ta-lét)  MN EB c Gọi H’ giao điểm OM BN �  OH � ' E ( cặp góc so le trong) Từ ME // BN � OME �  450 ∆OEM vng cân O Mà OME � ' B  450  C � � MH � ∆OMC : ∆BMH’ (g.g) � OM MH ' �  CMH � ' ( hai góc đối đỉnh)  ,kết hợp OMB OB MC � ∆OMB ∽ ∆CMH’ (c.g.c) � � ' C  450 � OBM  MH � ' C  BH � ' M  MH � ' C  900 � CH '  BN Vậy BH Mà CH  BN ( H � BN) � H �H’ hay điểm O, M, H thẳng hàng ( đpcm) Câu 2: Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn đường chéo BD Gọi E, F hình chiếu B D xuống đường thẳng AC Gọi H K hình chiếu C xuống đường thẳng AB AD Tứ giác BEDF hình ? Hãy chứng minh điều ? Chứng minh : CH.CD = CB.CK Chứng minh : AB.AH + AD.AK = AC2 Hướng dẫn giải a Ta có : BE  AC (gt); DF  AC (gt) => BE // DF Chứng minh : BEO  DFO ( g  c  g ) Suy ra: BE = DF Do : Tứ giác BEDF hình bình hành Phát hành tồn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem toán nhà- ĐT: 0918.972.605(Zalo) Xuctu.com – Chuyên cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT �  KDC � b Ta có: � ABC  � ADC � HBC Chứng minh : CBH : CDK ( g  g ) � CH CK  � CH CD  CK CB CB CD H C B F O A E K D c Chứng minh : AFD : AKC ( g  g ) � Chứng minh : CFD : AHC ( g  g ) � Mà : CD = AB � AF AK  � AD AK  AF AC AD AC CF AH  CD AC CF AH  � AB AH  CF AC AB AC Suy : AB.AH + AB.AH = CF.AC + AF.AC = (CF + AF)AC = AC (đfcm) Câu Cho hình vng ABCD, M điểm tuỳ ý đường chéo BD Kẻ MEAB, MFAD a Chứng minh: b Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy c Xác định vị trí điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn Hướng dẫn giải a Chứng minh: AE  FM  DF � AED  DFC � đpcm b DE, BF, CM ba đường cao EFC � đpcm Phát hành tồn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem tốn nhà- ĐT: 0918.972.605(Zalo) Xuctu.com – Chuyên cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT c Có Chu vi hình chữ nhật AEMF = 2a không đổi � ME  MF  a không đổi � SAEMF  ME.MF lớn � ME  MF (AEMF hình vng) � M trung điểm BD Câu 4: Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt O Đường thẳng qua O song song với đáy AB cắt cạnh bên AD, BC theo thứ tự M N a, Chứng minh OM = ON b, Chứng minh c, Biết SAOB= 20082 (đơn vị diện tích); SCOD= 20092 (đơn vị diện tích) Tính SABCD Hướng dẫn giải a Lập luận để có Lập luận để có  OM OD  , AB BD ON OC  AB AC OD OC  DB AC OM ON  OM = ON  AB AB b, Xét ABD để có OM DM  AB AD (1), xét ADC để có OM AM  DC AD Phát hành tồn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem toán nhà- ĐT: 0918.972.605(Zalo) (2) Xuctu.com – Chuyên cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT Từ (1) (2)  OM.( 1 AM  DM AD   1 ) AB CD AD AD từ có (OM + ON) ( 1 1  ) 2    AB CD AB CD MN S AOB OB S BOC OB S S    AOB  BOC  S AOB S DOC S BOC S AOD , S AOD OD S DOC OD S AOD S DOC C Chứng minh S AOD S BOC  S AOB S DOC ( S AOD ) Thay số để có 20082.20092 = (SAOD)2  SAOD = 2008.2009 Do SABCD= 20082 + 2.2008.2009 + 20092 = (2008 + 2009)2 = 40172 (đơn vị DT) Câu 5:Cho tam giác ABC vuông A (AC > AB), đờng cao AH (HBC) Trên tia HC lấy điểm D cho HD = HA Đờng vng góc với BC D cắt AC E Chứng minh hai tam giác BEC ADC đồng dạng Tính độ dài đoạn BE theo Gọi M trung điểm đoạn BE Chứng minh hai tam giác BHM BEC đồng dạng Tính số đo góc AHM Tia AM cắt BC G Chứng minh: Hướng dẫn giải + Hai tam giác ADC BEC có: Góc C chung + CD CA  (CDE CE CB ∽  CAB đồng dạng) Phát hành toàn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem tốn nhà- ĐT: 0918.972.605(Zalo) Xuctu.com – Chuyên cung cấp sách tham khảo môn Tốn THCS-THPT Do đó, chúng dồng dạng (c.g.c) � � Suy ra: BEC ADC  1350 (vì tam giác AHD vuông cân H theo giả thiết) Nên � AEB  450 tam giác ABE vng cân A Suy ra: BE  AB  m 2 Ta có: BM BE AD  �  � (do BEC BC BC AC ∽ ADC ) mà AD  AH (tam giác AHD vuông vân H) nên BM AD AH BH BH  �  �   (do ABH : CBA ) BC AC AC AB BE � �  1350 � � Do BHM : BEC (c.g.c), suy ra: BHM  BEC AHM  450 Tam giác ABE vuông cân A, nên tia AM cịn phân giác góc BAC Suy ra: GB AB AB ED AH HD    ABC : DEC    ED // AH   , mà GC AC AC DC HC HC Do đó: GB HD GB HD GB HD  �  �  GC HC GB  GC HD  HC BC AH  HC Câu 6: Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB < CD) Qua A vẽ đường thẳng song song với BC cắt BD E cắt CD K Qua B kẻ đường thẳng song song với AD cắt AC F cắt CD I Chứng minh rằng: a) DK = CI b) EF // CD c) AB2 = CD.EF Hướng dẫn giải a Tứ giác ABCK có: Phát hành tồn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem tốn nhà- ĐT: 0918.972.605(Zalo) Xuctu.com – Chuyên cung cấp sách tham khảo môn Toán THCS-THPT AB // CK (AB // CD, K � CD) AK // BC (gt) � ABCK hình bình hành � CK = AB � DK = CD – CK = CD – AB (1) Chứng minh tương tự, ta có DI = AB � IC = CD – DI = CD – AB (2) Từ (1) (2) suy ra: DK = IC A B F E D K I C b  DEK có AB // DK, theo hệ định lý Ta-let ta có: AE AB = EK DK (3)  FIC có AB // IC, theo hệ định lý Ta-let ta có: AF AB = FC IC (4) Mà: DK = IC (câu a) Từ (3), (4), (5) suy ra:  AKC có (5) AE AF = EK FC AE AF � EF // KC (định lý Ta-lét đảo) = EK FC � EF // CD c Ta có: AB CK = (vì AB = CK) CD CD (6)  BCD có EK // BC, theo định lý Ta-lét ta có: CK BE = CD BD  BDI có EF // DI, theo định lý Ta-let ta có: Phát hành tồn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem toán nhà- ĐT: 0918.972.605(Zalo) (7) Xuctu.com – Chun cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT BE EF = BD DI Mà DI = AB BE EF = BD AB Suy ra: AB CK BE EF = = = CD CD BD AB Từ (6), (7), (8) suy ra: � (8) AB EF � AB2 = CD EE = CD AB Câu 7: Cho hình vuông ABCD, cạnh AB lấy điểm E cạnh AD lấy điểm F cho AE = AF Vẽ AH vng góc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC BC hai điểm M, N Chứng minh tứ giác AEMD hình chữ nhật Biết diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH Chứng minh rằng: AC = 2EF Chứng minh rằng: Hướng dẫn giải � � (cùng phụ BAH � ) Ta có DAM = ABF AB = AD ( gt) � = ADM � BAF = 900 (ABCD hình vng) � ΔADM = ΔBAF (g.c.g) => DM=AF, mà AF = AE (gt) Nên AE = DM Lại có AE // DM ( AB // DC ) Suy tứ giác AEMD hình bình hành � = 900 (gt) Mặt khác DAE Vậy tứ giác AEMD hình chữ nhật Phát hành tồn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem toán nhà- ĐT: 0918.972.605(Zalo) Xuctu.com – Chuyên cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT b Ta có ΔABH : ΔFAH (g.g)  AB BH BC BH = = hay ( AB=BC, AE=AF) AF AH AE AH � = HBC � � ) Lại có HAB (cùng phụ ABH � ΔCBH : ΔEAH (c.g.c) � 2 SΔCBH SΔCBH �BC � BC � = (gt) � � = � �, mà = nên BC2 = (2AE)2 � � S SΔEAH �AE � ΔEAH �AE � � BC = 2AE � E trung điểm AB, F trung điểm AD Do đó: BD = 2EF hay AC = 2EF (đpcm) Do AD // CN (gt) Áp dụng hệ định lý ta lét, ta có: � AD AM AD CN = � = CN MN AM MN Lại có: MC // AB ( gt) Áp dụng hệ định lý ta lét, ta có: � MN MC AB MC AD MC = � = = hay AN AB AN MN AN MN Phát hành tồn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem tốn nhà- ĐT: 0918.972.605(Zalo) Xuctu.com – Chuyên cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT 2 2 AD � �AD � �CN � �CM � CN + CM MN � � = =1 � �+ � �= � �+ � �= MN MN �AM � �AN � �MN � �MN � (Pytago) 2 1 AD � �AD � � � � �+ � �=  AM  AN  AD �AM � �AN � (đpcm) Câu 8: Cho tam giác ABC vuông A Lấy điểm M cạnh AC Từ C vẽ đường thẳng vng góc với tia BM, đường thẳng cắt tia BM D, cắt tia BA E a) Chứng minh: EA.EB = ED.EC b) Chứng minh điểm M di chuyển cạnh AC tổng BM.BD+CM.CA có giá trị khơng đổi c) Kẻ Gọi P, Q trung điểm đoạn thẳng BH, DH Chứng minh Hướng dẫn giải a) Chứng minh EA.EB = ED.EC Chứng minh  EBD đồng dạng với  ECA (g-g) - Từ suy EB ED  � EA.EB  ED.EC EC EA b) Kẻ MI vng góc với BC ( I �BC ) Ta có  BIM đồng dạng với  BDC (g- g) � BM BI  � BM BD  BI BC (1) BC BD Tương tự:  ACB đồng dạng với  ICM (g-g) � CM CI  � CM CA  CI BC (2) BC CA Từ (1) (2) suy BM BD  CM CA  BI BC  CI BC  BC ( BI  CI )  BC (khơng đổi) Phát hành tồn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem tốn nhà- ĐT: 0918.972.605(Zalo) Xuctu.com – Chuyên cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT E D A M Q B P I H C c) Chứng minh  BHD đồng dạng với  DHC (g-g) � BH BD BP BD BP BD  �  �  DH DC DQ DC DQ DC �  DCQ � - Chứng minh  DPB đồng dạng với  CQD (c-g-c) � BDP �  PDC �  90o � CQ  PD �  PDC �  90o � DCQ mà BDP Câu 9:Gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD hình thang ABCD (AB//CD) Đường thẳng qua O song song với AB cắt AD BC M N a) Chứng minh OM=ON b) Chứng minh c) Biết Tính  ? d) Nếu Chứng minh BD > AC Hướng dẫn giải a/ Ta có OA OB OM ON  OM=ON   Do MN//DC  AC BD DC DC b/ Do MN//AB CD  Do đó: OM AM OM DM   CD AD AB AD OM OM AM  MD    (1) DC AB AD Phát hành tồn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem toán nhà- ĐT: 0918.972.605(Zalo) Xuctu.com – Chuyên cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT Tương tự: ON ON  1 (2) DC AB Từ (1);(2)  MN MN 1  2    DC AB DC AB MN c/ Hai tam giác có đường cao tỉ số diện tích tam giác tỉ số cạnh đáy tương ứng Do : Nhưng S AOB OB S AOD OA   S AOD OD S COD OC S S OB OA  AOB  AOD  S AOD S COD OD OC  S AOD S AOB S COD a b nên S AOD ab Tương tự S BOC ab Vậy S ABCD  a  b  d/ Hạ AH, BK vng góc với CD H K Do Dˆ  Cˆ  90 nên H, K nằm đoạn CD Ta có AEˆ D  BCˆ D Cˆ  Dˆ  AD  AE Tứ giác BCEA hình bình hành nên BC=AE Vậy AD>BC  DH>KC  DK > CH Theo định lý pitago cho tam giác vuông BKD ta có : 2 DB  BK  DK  AH  CH  AC (Do AH  BK ) � BD  AC ĐẶT BỘ SÁCH THAM KHẢO TOÁN 8-NH-2020-2021 Phát hành tồn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem toán nhà- ĐT: 0918.972.605(Zalo) Xuctu.com – Chuyên cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT Bợ phận bán hàng: 0918.972.605(Zalo) Đặt mua tại: https://xuctu.com/ FB: facebook.com/xuctu.book/ Email: sach.toan.online@gmail.com Đặt online biểu mẫu: https://forms.gle/ypBi385DGRFhgvF Phát hành toàn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem tốn nhà- ĐT: 0918.972.605(Zalo) Xuctu.com – Chuyên cung cấp sách tham khảo môn Tốn THCS-THPT Câu 10: Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AD,BE,CF cắt H Tính tổng: Chứng minh: BH.BE + CH.CF = BC Chứng minh: H cách ba cạnh tam giác DEF Trên đoạn HB,HC lấy điểm M,N tùy ý cho HM = CN Chứng minh đường trung trực đoạn MN qua điểm cố định Hướng dẫn giải a Trước hết chứng minh: Tương tự có: Nên S ( HBC ) HD = S ( ABC ) AD HE S ( HCA) HF S ( HAB)   ; BE S ( ABC ) CF S ( ABC ) S ( HBC )  S ( HCA)  S ( HAB ) HD HE HF HD HE HF �     = =1 S ( ABC ) AD BE CF AD BE CF b Trước hêt chứng minh  BDH :  BEC � BH.BE = BD.BC Và  CDH :  CFB � CH.CF = CD.CB � BH.BE + CH.CF = BC.(BD + CD) = BC (đpcm) A E F H M I B K N D C O c Trước hết chứng minh:  AEF :  ABC � � AEF  � ABC Phát hành tồn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem toán nhà- ĐT: 0918.972.605(Zalo) Xuctu.com – Chuyên cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT �  CBA � Và  CDE :  CAB � CED � � � mà EB  AC nên EB phân giác góc DEF AEF  CED Tương tự: DA, FC phân giác góc EDF DFE Vậy H giao điểm đường phân giác tam giác DEF nên H cách ba cạnh tam giác DEF (đpcm) d Gọi O giao điểm đường trung trực hai đoạn MN HC, � � (1) ta có  OMH =  ONC (c.c.c) � OHM  OCN �  OCH � (2) Mặt khác ta có  OCH cân O nên: OHC �  OHB � � HO phân giác góc BHC Từ (1) (2) ta có: OHC Vậy O giao điểm trung trực đoạn HC p/giác góc BHC nên O điểm cố định Hay trung trực đoạn MN qua điểm cố định O Câu 11: Cho hình vng ABCD ( AB = a ), M điểm cạnh BC Tia Ax vng góc với AM cắt đường thẳng CD K Gọi I trung điểm đoạn thẳng MK Tia AI cắt đường thẳng CD E Đường thẳng qua M song song với AB cắt AI N 1/ Tứ giác MNKE hình ? Chứng minh 2/ Chứng minh: AK2 = KC KE 3/ Chứng minh điểm M di chuyển cạnh BC tam giác CME ln có chu vi khơng đổi 4/ Tia AM cắt đường thẳng CD G Chứng minh khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M Hướng dẫn giải + Từ MN // AB // CD MI = IK áp dụng định lý Ta let ta có NI = IE + Chỉ tam giác AMK vng cân A để có AE  KM + Tứ giác MNKE hình bình hành có hai đường chéo vng góc với nên MNKE hình thoi Phát hành tồn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem toán nhà- ĐT: 0918.972.605(Zalo) Xuctu.com – Chuyên cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT A B M N I D K 2: E + Từ tính chất hình vng có  ACK = 45 C G + Chứng minh hai tam giác AKE CKA đồng dạng, suy ĐPCM 3: + Từ hai tam giác ABM ADK ta có MB = DK nên EK = MB + ED + Tam giác AMK vng cân A có MI = IK Nên AI trung trực MK Do ME = EK + Từ ME = MB + ED, suy ME + CM + CE = 2a 4: + Tam giác AMK vuông cân A nên AM = AK; 1 1   2 = AM AG AK AG + Tam giác AKG vuông A nên AK AG = KG AD = dt AKG, AK2 AG2 = KG2 AD2 + Mặt khác lại có KG2 = AK2 + AG2 AD = a nên ta có 1 AK  AG  AK AG = a ( AK + AG ), hay , suy =  2 AK AG a2 AK AG a2 2 2 Câu 12: Cho hình vuông ABCD, độ dài cạnh a Một điểm M chuyển động cạnh DC (MD, MC) chọn điểm N cạnh BC cho MAN = 45o, DB thứ tự cắt AM, AN E F Chứng minh:  ABF  AMC 2.Chứng minh AFM = AEN = 90o Phát hành tồn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem toán nhà- ĐT: 0918.972.605(Zalo) Xuctu.com – Chun cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT Chứng minh SAEF = SAMN Chứng minh chu vi  CMN không đổi M chuyển động DC Gọi H giao điểm MF NE Chứng Minh: MH.MF + NH.NE = CN2 + CM2 Hướng dẫn giải A B F N H I E K D M C Chứng minh:  ABF ∽  AMC -Ta cm: � ABF  � ACM  450 � � �  450 450 ) - BAF ( cộng với góc CAN  MAC suy :  ABF ∽  AMC Chứng minh:  � AFM  � AEN    90o Từ ABF ∽  AMC (g.g) => AF AB AF AM    (1) AM AC AB AC �  BAC �  450 (2) Có MAF Từ =>  AFM ∽  ABC => � AFM  � ABC   90o C/M hồn tồn tơng tự có: � AEN  900 vậy: � AFM  � AEN    90o S  AEF = 1/2 S  AMN Phát hành tồn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem toán nhà- ĐT: 0918.972.605(Zalo) Xuctu.com – Chuyên cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT Có  AFM ∽  AEN => AF AE  AM AN =>  AEF =  AMN (c.g.c) => SAEF AF ( ) (1) SAMN AM � Có: FAM  450 , � AFM  900 =>  AFM Vuông cân đỉnh F nên AM2 = AF2 + FM2 = 2AF2 => ( AF ) = AM Thay vào (1) ta đợc SAEF = hay: S  AEF = 1/2 S  AMN SAMN C/M chu vi  CMN không đổi Trên tia đối tia DC lấy điểm K cho DK = BN � �  ADK =  ABN => AK = AN BAN  DAK  AMN =  AKM (c.gc) => MN=KM Vì vậy: Chu vi  CMN = MN + CN +CM = CM + KM + CN = CD + KD + CN = CD + NB + CN = CD + CB = 2a không đổi Tức là: Chu vi  CMN không thay đổi M chuyển động cạnh DC Chứng Minh: MH.MF + NH.NE = CN2 + CM2 Kẻ HI  MN I - Cm:  MHI ∽  MNF => MH.MF =MI.MN - Cm:  NHI ∽  NME => NH.NE =NI.NM - suy ra: MH.MF + NH.NE =MI.MN + NI.NM = MN( MI+NI ) = MN - áp dụng định lí Pitago vào  CMN ta có: MN2 = MC2 +CN2 Vậy: MH.MF + NH.NE = MC2 +CN2 Phát hành tồn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem toán nhà- ĐT: 0918.972.605(Zalo) Xuctu.com – Chun cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT Câu 13: Cho tam giác ABC nhọn (AB