1 ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP HỌC KÌ I MƠN TỐN PHẦN ĐẠI SỐ A/ LÝ THUYẾT: 1/Phát biểu qui tắt nhân đơn thức với đa thức; Đa thức với đa thức Áp dụng tính: a/ xy(3x2y - 3yx + y2) b/ (2x + 1)(6x3 - 7x2 - x + 2) 2/ Khi đơn thức A chia hết cho đơn thức B ? Đa thức C chia hết cho đa thức D ? Áp dụng tính: a/ (25x5 - 5x4 + 10x2) : 5x2 b/(x2 - 2x + 1):(1 -x) 3/ Thế phân thức đại số? Cho ví dụ? 4/Định nghĩa hai phân thức Áp dụng: Hai phân thức sau x3 x  4x  có khơng? x x2  x 5/Nêu tính chất phân thức đại số? Áp dụng: Hai phân thức sau hay sai? 6/ Nêu qui tắt rút gọn phân thức đại số Áp dụng : Rút gọn ( x  8) (8  x) = 2(8  x) 8x  8x  7/ Muốn qui đồng mẫu thức phân thức đại số ta làm ? Áp dụng qui đồng : 3x x 1 x 1 x  x 1 B/ BÀI TẬP: I / NHÂN ĐƠN THỨC VỚI ĐA THỨC, ĐA THỨC VỚI ĐA THỨC : Bài 1: Thực phép tính sau:  d) 3x 2 x3 – x  b)  2 x  x3 – 3x – x     c)   10 x3  y  z   xy     e)  xy  y – x  x y f)  3x y – xy  x  ( xy )   a) 2 xy ( x3 y  x2 y  5xy3 )   Bài 2: Thực phép tính sau:    a) x3  5x – x   x –     b) x – 3xy  y  c)  x –  x – 5x  – x x  11  x  y d) x(1  3x)(4  3x)  ( x  4)(3x  5) Bài 3: Chứng tỏ biểu thức sau không phụ thuộc vào biến a) (3x  7)(2 x  3)  (3x  5)(2 x  11) Thầy Đức Math - 0963.295.430 TÀI LIỆU TOÁN HỌC b) (3x2  x  1)( x2  x  3)  x( x2 1)  3x2 ( x2  2) Bài 4: Tìm x biết a)  x  3 3x     x  1 x  1  27 b) 5x 12 x   – 3x  20 x – 5  100 c) 0,6 x  x – 0,5 – 0,3x  x  1,3  0,138 d)  x  1 x  2 x  5 – x  x     8  27 II/ PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x2 yz  x3 y3 z  xyz b) x3  24 x2  12 xy c) x  m  n   y  m  n  d) x  x  y   y  y  x  e) x  a  b    b  a  f) 10 x  a  2b    x    2b  a  g) 50 x  x  y   y  y  x   h) 15a m2b  45a mb m  *  Bài a)  x  3   x   x      x  b)  2a  3b  4a  b    a  b2    3b  2a  c) a8  d) (x  y)2  4( x  y)  12 g) ( x  2)( x  3)( x  4)( x  5)  24 h) ( x2  x  5)( x2  10 x  21)  15 III/ CHIA ĐA THỨC CHO ĐƠN THỨC , CHIA HAI ĐA THỨC MỘT BIẾN Bài 1: Thực phép tính: a) 12 x3 y3 z  :  15 xy  b)  12 x15  :  3x10  c)  21a 4b2 x3 –  6a 2b3 x5   9a3b4 x  :  3a 2b2 x  d) 81a x y3 –  36 x5 y –  18ax5 y –  18ax5 y  :  9 x3 y  Bài 2: Thực phép chia: a)  x3 –  x2   x     3   :    x   1 b)  x3 –  6 x –  9 x     14    :    x   –  7  a)  x  12 x y  y  :  x  y  b)  64a 2b2 –  49m4 n2    :   8ab    7m2 n  Bài 3: Xác định số hữu tỉ cho: a) Đa thức 4x2 – 6x + a chia hết cho đa thức x – b) Đa thức 2x2 + x + a chia hết cho đa thức x + c) Đa thức 3x2 + ax – chia hết cho đa thức x – a Bài Chứng minh rằng: a a2( a + 1) + 2a( a + 1) chia hết cho với a  Z Thầy Đức Math - 0963.295.430 TÀI LIỆU TOÁN HỌC b a(2a –3) – 2a( a + 1) chia hết cho với a  Z c x2 + 2x + > với x  Z Bài 5: Tìm giá trị lớn đa thức sau: a) A  2x  6x  B  2xy  y  16x  5x  y 14 IV / PHÂN THỨC XÁC ĐỊNH : A xác định B  B Phân thức Bài : Tìm x để phân thức sau xác định : A= x6 x2 Bài 2: Cho phân thức E  B= x  6x C= x  16 3x  x 5x  x2  x a/ Tìm điều kiện x để phân thức xác định b/ Tìm giá trị x để giá trị phân thức -1 V / CÁC PHÉP TỐN VỀ PHÂN THỨC : Câu 1: Thực phép tính sau : a) xy  y 3xy  y  x2 y3 x2 y3 b) x3 4 x  x2 2 x Câu 2: : Thức phép tính sau : a) x 1 2x  + ; x  x  3x b) x6  2x  2x  6x c) x  x  3x : 3x  x  3x VI /CÁC BÀI TOÁN TỔNG HỢP: x2  x  2x    Bài : Cho : A  x  x  7x  10 x  a Rút gọn A b Tìm x nguyên để A nguyên  x2   10  x      Bài : Cho M =   : x2  x x  x  x  x     a Tìm điều kiện xác định M b Rút gọn M c Tính giá trị M x =  y y2  y 1    Bài 3: Cho biểu thức N =  : y   y2 1  y 1  y Thầy Đức Math - 0963.295.430 TÀI LIỆU TỐN HỌC a Rút gọn N b Tính giá trị N y  c Tìm giá trị y để N ln có giá trị dương Bài 4: Cho biểu thức : A  x4  x3  x  x  x3  2x  x  a Rút gọn biểu thức A b Chứng minh A không âm với giá trị x PHẦN 2: HÌNH HỌC A/ LÍ THUYẾT: Định lí tổng góc tứ giác Định nghĩa, tính chất, dấu hiệu nhận biết hình thang, hình thang cân, hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vng Định nghĩa, tính chất đường trung bình tam giác, hình thang Tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác vuông Diện tích hình chữ nhật, hình vng, tam giác B/ BÀI TẬP: Bài 1:Cho hình thang ABCD (AB // CD) Gọi E, F, K, M trung điểm BD, AC, CD, AB a) Chứng minh: tứ giác AFKD hình thang tứ giác KEMF hình bình hành b) Chứng minh: EF // CD c) Đường thẳng qua E vng góc với AD đường thẳng qua F vng góc với BC cắt H Chứng minh: tam giác HCD tam giác cân Bài 2: Cho tam giác ABC vuông A có AH đường cao M trung điểm AB Gọi D điểm đối xứng H qua M a) Chứng minh tứ giác AHBD hình chữ nhật b) Trên đoạn HC lấy điểm E cho HB = HE Chứng minh tứ giác AEHD hình bình hành c) Gọi N điểm đối xứng A qua H Chứng minh: Tứ giác AENB hình thoi d) MN cắt BH K Chứng minh: BE = 3BK Câu 3: Cho hình chữ nhật ABCD Gọi E điểm đối xứng B qua C a) Chứng minh tứ giác ACED hình bình hành b) Gọi M trung điểm BC Tia AM cắt tia DC F Chứng minh tứ giác BDEF hình thoi Thầy Đức Math - 0963.295.430 TÀI LIỆU TOÁN HỌC c) Gọi I giao điểm AE DC Tia BI cắt DE K Chứng minh KI = AE Bài 4: Cho  ABC vuông A (AB < AC), đường cao AH (H BC) Kẻ HD  AB D HE  AC E a) Chứng minh: Tứ giác ADHE hình chữ nhật b) Gọi F điểm đối xứng điểm H qua điểm E Chứng minh: Tứ giác ADEF hình bình hành d) Gọi M trung điểm BC Chứng minh: AM  AF Bài Cho tam giác ABC vuông A (AB > AC) Gọi M trung điểm BC Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho MD = MA a) Chứng minh tứ giác ABDC hình chữ nhật b) Gọi E điểm đối xứng C qua A Chứng minh tứ giác ADBE hình bình hành c) EM cắt AB K cắt CD I Vẽ IH  AB (H  AB) Chứng minh IKB cân Bài 6: Cho tam giác ABC Gọi G, H E trung điểm cạnh AB, AC BC a) Chứng minh tứ giác BCHG hình thang b) Gọi O điểm đối xứng với E qua H Chứng minh tứ giác EAOC hình bình hành c) Chứng minh AE, GH, OB đồng quy Bài Cho tam giác ABC vuông A (AB < AC), đường cao AH, đường trung tuyến AM Vẽ HD  AB, HE  AC (D  AB, E  AC) a) Chứng minh: tứ giác ADHE hình chữ nhật AB AC = AH BC b) Gọi P điểm đối xứng A qua E Tứ giác DHPE hình gì? Vì sao? c) Gọi V giao điểm DE AH Qua A kẻ đường thẳng xy vng góc với đường thẳng MV Chứng minh ba đường thẳng xy, BC, DE đồng quy Bài Cho ABC cân A Gọi D, E trung điểm AB AC a/ Cho BC = 10 cm Tính độ dài DE b/ Chứng minh tứ giác BDEC hình thang cân c/ Gọi K trung điểm BC, F trung điểm BK, H giao điểm AK DE Chứng minh tứ giác DHKF hình chữ nhật d/ Chứng minh đường thẳng DK, HF, BE đồng quy Bài 9: Cho tam giác ABC vuông A, đường trung tuyến AM Gọi D trung điểm AB a/ Chứng minh: MD  AB b/ Gọi E điểm đối xứng với M qua D Chứng minh tứ giác EACM hình bình hành Thầy Đức Math - 0963.295.430 TÀI LIỆU TOÁN HỌC c/ Chứng minh tứ giác AEBM hình thoi d/ Cho BC = 6cm, tính chu vi tứ giác AEBM Bài 10: Cho tam giác ABC vuông A (AB < AC) Gọi M, N, K thứ tự trung điểm AB, AC BC a) Chứng minh KN AB ABKN hình thang vng b) Qua M kẻ đường thẳng song song với BN cắt tia KN Q.Chứng minh AKCQ hình thoi c) MN cắt BQ O AK cắt BN I Biết BC = 24cm, tính độ dài OI Bài 11 Cho ABC vng A có AB = cm, AC = cm Gọi M trung điểm cạnh AB, N trung điểm cạnh AC a) Tính độ dài đoạn thẳng MN b) Gọi D trung điểm cạnh BC Chứng minh tứ giác BMND hình bình hành c) Chứng minh tứ giác AMDN hình chữ nhật Gọi E điểm đối xứng D qua M Chứng minh tứ giác BDAE hình thoi Bài 12: Cho ABC vng A có AB < AC Gọi M trung điểm BC Từ M kẻ MN vng góc với AC N, kẻ ME vng góc với AB E a) Chứng minh tứ giác ANME hình chữ nhật tứ giác NMBE hình bình hành b) Vẽ D đối xứng M qua E Chứng minh tứ giác ADBM hình thoi c) Vẽ đường cao AH ABC Chứng minh tứ giác MNEH hình thang cân Bài 13: Cho hình thang ABCD có độ dài đáy lớn AB lần đáy nhỏ CD Gọi I trung điểm AB Đường thẳng AD cắt đường thẳng BC E a) Chứng minh AICD BCDI hình bình hành b) Chứng minh AD = DE c) Giả sử A = D = 900 AD = CD Chứng minh BC  AC Bài 14: Cho tam giác ABC vuông A  AB  AC  M , N , P trung điểm AB, AC, BC a) Chứng minh: Tứ giác BMNP hình bình hành b) Vẽ Q đối xứng với P qua N Chứng minh: Tứ giác APCQ hình thoi c) Vẽ R đối xứng với P qua M Chứng minh: R, A, Q thẳng hàng Bài 15: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC) Gọi M, N, K trung điểm AB, BC AC a) Chứng minh tứ giác AMNK hình bình hành b) Vẽ đường cao AH tam giác ABC Tứ giác MKNH hình gì? Vì sao? Thầy Đức Math - 0963.295.430 TÀI LIỆU TOÁN HỌC c) Gọi I điểm đối xứng H qua M AH IC cắt MK E F Chứng minh HC – HB = 2EF HƯỚNG DẪN GIẢI I / NHÂN ĐƠN THỨC VỚI ĐA THỨC, ĐA THỨC VỚI ĐA THỨC : Bài a) 2 xy ( x3 y  x2 y  5xy3 ) b)  2 x4  3x3  x2 – x  2 xy x3 y  xy 2 x2 y  xy 5xy3  2 x4 y3  x3 y  10 x y5 c) x y – xy  xyz d) x5 –  3x3   15x2 e) x3 y   3x y – 5x3 y f)  4 x3 y   8x y –  12 x y Bài 2: a) x4 – x3 – 37 x2  15x  – b) x3 – x2 y   – xy  y c) x3 –  5x2  x – x2  10 x – 2  – x3 –11x d) x 1  3x   3x    x   3x  5   7 x –  2  x  3x     3x    x  43x  5   x  3x  12 x  x3    3x  x  12 x  20    x3  15 x  x    3x  x  20   x3  15x2  x  3x2  x  20  x3  18x2  11x  20 Bài 3: a) (3x  7)(2 x  3)  (3x  5)(2 x  11)  3x(2 x  3)  7(2 x  3)  3x(2 x  11)  5(2 x  11)  x2  x  14 x  21  x2  33x  10 x  55  76 Vậy biểu thức không phụ thuộc vào biến x b) (3x2  x  1)( x2  x  3)  x( x 1)  3x ( x  2)  3x2 ( x2  x  3)  x( x2  x  3)  ( x2  x  3)  x.x  x  3x 2.x  3x 2.2  3x4  x3  x2  x3  x2  x  x2  x   x3  x  3x4  x2 0 Vậy biểu thức không phụ thuộc vào biến Thầy Đức Math - 0963.295.430 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Bài a)  x  3 3x     x  1 x  1  27 (4 x  12)(3x  2)  (3x  3)(4 x 1)  27 b) 5x 12 x   – 3x  20 x – 5  100 60 x2  35x – 60 x2  15x  100 12 x2  8x  36 x  24  12 x2  3x  12 x   27 50 x  100 43x  27  27 x  43x  27  27 43x  x0 x  3x    x  5 – x3 – 8x  27 c) 0,6 x  x – 0,5 – 0,3x  x  1,3  0,138 d) 0,6 x2 – 0,3x – 0,6 x2 – 0,39 x  0,138 x3  5x2  3x2  15x  x  10  – x3 – 8x2  27 0,69 x  0,138 17 x  10  27 x  0, 17 x  17 x  II/ PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Bài 1: a) x2 yz  x3 y3 z  xyz b) x3  24 x2  12 xy  xyz  x  x y  z   x  x2  x  y  c) x  m  n   y  m  n  d) x  x  y   y  y  x    m  n   x2  y   x2  x  y   y  x  y      m  n x  3y x  3y    x  y   4x2  y    x  y  x  y  x  y  e) x  a  b    b  a  f) 10 x  a  2b    x    2b  a   x2  a  b    a  b   10 x  a  2b    x    a  2b  2   a  b   x2  2  2   a  2b  10 x  x      a  b x  x     a  2b   x       a  2b  3x  3x  2 g) 50 x  x  y   y  y  x   50 x  x  y   y  x  y    x  y   50 x  y  Thầy Đức Math - 0963.295.430 2   m   m   h) 15a m2b  45a mb m  *  15am a2b  45a mb *  15a mb  a  3  * TÀI LIỆU TOÁN HỌC    x  y   25x  y    15a mb a  a   m   *   x  y   5x  y  5x  y  Câu : a )  x  3   x   x      x    x  3   x   x     x  3 b)  2a  3b  4a  b    a  b    3b  2a    2a  3b  4a  b    a  b    2a  3b  2   x  3  x   1   x   x     2a  3b  4a  b  2a  3b    a  b  a  b    x  3  x     x   x     2a  3b  2a  2b    a  b  a  b    x  4  x2  5x     a  b  3a  5b  c) a -1 d ) (x  y)  4( x  y )  12   a4  1  ( x  y )  4( x  y )   16 2   a  b  4a  6b  a  b    x  4  x2  6x   x  2  ( x  y  2)  16  ( x  y   4)( x  y   4)   a  1 a  1   a  1 a  1 a  1  ( x  y  6)( x  y  2)   a  1 a  1  a  1 a  1 g ) A  ( x  2)( x  3)( x  4)( x  5)  24 h) B  ( x2  x  5)( x2  10 x  21)  15 = [( x  2)( x  5)].[( x  3)( x  4)]  24  ( x  5)( x  1)( x  3)( x  7)  15  ( x  7x  10)( x  x 12)  24  ( x2  8x 15)( x2  8x  7)  15 Đặt x2  7x  10  t Đặt x2  8x   t  A  t ( t  2)  24  t  4t  6t  24  B  (t  8) t  15  t  8t  15  t ( t  4)  6(t  4)  (t  4)(t  6)  t  3t  5t  15  A  ( x2  7x  10  4)( x2  7x  10  6)  t (t  3)  5(t  3)  (t  3)( t  5) Vậy ( x  2)( x  3)( x  4)( x  5)  24  B  ( x  8x   3) ( x  8x   5) 2  ( x  8x  10)( x  8x  12)  ( x2  7x  6)( x2  7x  16) Vậy ( x2  x  5)( x2  10 x  21)  15  ( x2  8x  10)( x2  8x  12) III/ CHIA ĐA THỨC CHO ĐƠN THỨC , CHIA HAI ĐA THỨC MỘT BIẾN Bài 1: a) 12 x3 y3 z  :  15xy  = c) Thầy Đức Math - 0963.295.430 12 x3 y z = x2z 15 xy b)  12 x15  :  3x10  = 12 x15 = - 4x5 x10 d) TÀI LIỆU TOÁN HỌC 10  21a b x = –  6a 2b3 x5   9a3b4 x  :  3a 2b2 x  21a 4b2 x3 6a 2b3 x5 9a3b4 x   3a 2b2 x 3a 2b2 x 3a 2b x   7a2 x   –  2bx3   3ab2 x2 81a x y = –  36 x5 y –  18ax5 y –  18ax5 y  :  9 x3 y  81a x y 36 x5 y 18ax5 y 18ax5 y    9 x3 y 9 x3 y 9 x3 y 9 x3 y   9a x  x y  2ax y  2ax y Bài 2: x3  x  x  ( x3  x )  (2 x  x)  (3x  3)  a) x 1 x 1 x ( x  1)  x( x  1)  3( x  1)  x 1  x2  x  x3  x  x  14 x3  x  x  x  x  14  b) x7 x7 x ( x  7)  x( x  7)  2( x  7)  x7  x2  x  x  12 x y  y (2 x  y )   x2  y a) 2 2 2x  y 2x  y 64a 2b2  49m4 n2 (8ab  7m2 n)(8ab  7m2 n)   8ab  7m2 n b) 2 8ab  7m n 8ab  7m n Bài 3: x  x  a x  12 x  x  18  a  18 x( x  3)  6( x  3)  a  18   a) x 3 x 3 x 3 = 4x   a  18 x 3 Để đa thức 4x2 – 6x + a chia hết cho đa thức x – a  18 =0 x 3  a + 18 =  a = - 18 x  x  a x  x  x  15  a  15 x( x  3)  5( x  3)  a  15   b) x3 x3 x3  2x   a  15 x3 Thầy Đức Math - 0963.295.430 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 16 B A N D M C I F K E e) Chứng minh tứ giác ACED hình bình hành Ta có BC = CE (E điểm đối xứng B qua C) BC = AD (ABCD hình chữ nhật) nên CE = AD mà AD//CE (do AD//BC) Vậy tứ giác ACED hình bình hành f) Gọi M trung điểm BC Tia AM cắt tia DC F Chứng minh tứ giác BDEF hình thoi Xét tam giác ABM FCM có: ˆ B  CM ˆ F (đối đỉnh) AM BM = CM ˆ M  90 ˆ M  FC AB Nên  ABM =  FCM Suy AB = CF Mà AB = CD (ABCD hình chữ nhật) Do CF = CD Tứ giác BDEF có dường chéo BE CF vng góc trung điểm đường Nên tứ giác BDEF hình thoi g) Gọi I giao điểm AE DC Tia BI cắt DE K Chứng minh IK = AE Gọi N giao điểm AC BI Ta có tứ giác ACED hình bình hành, I giao điểm AE CD nên I trung điểm AE Thầy Đức Math - 0963.295.430 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 17 Tam giác ABE có đường trung tuyến AC BI cắt N nên N trọng tâm  ABE Suy IN = IB Ngoài IB = AE (do BI trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác vuông ABE) Do IN = AE Mặt khác IK = IN (do hình bình hành ACED hình có tính chất đối xứng) Vậy IK = AE Bài 4: F A E O D B H C M a) Chứng minh tứ giác ADHE hình chữ nhật (tứ giác có góc vng) b) Ta có AD//HE AD = HE (cạnh đối HCN) Mà HE = EF (t/c đối xứng)  AD //EF AD = EF  DECM HBH (2 cạnh đối // nhau) c) H F đối xứng qua E nên HE = EF (t/c đối xứng) HF  AC nên tam giác AHF cân A (đường cao đồng thời trung tuyến)  AFE  AHE mà AHE  C (cùng phụ góc CHE) Có AM trung tuyến thuộc cạnh huyền B D tam giác ABC  AM = MC = BC/2   AMC cân M  MAC  C  MAC  AFE (= C  AHE ) H I Có AFE  FAE  90 (vì HE  AC)  M MAC  FAE  900  AM  AF Bài 5: K Thầy Đức Math - 0963.295.430 TÀI LIỆU TOÁN HỌC E A C 18 a) Chứng minh tứ giác ABDC hình chữ nhật CM: ABCD hình bình hành CM: ABCD hình chữ nhật b) Gọi E điểm đối xứng C qua A Chứng minh tứ giác ADBE hình bình hành CM: BD = AE CM: ADBE hình bình hành c) EM cắt AB K cắt CD I Vẽ IH  AB (H  AB) Chứng minh IKB cân CM: K trọng tâm EBC  AK  AB CM: AK = HK CM: HK = BH CM: IKB cân Bài 6: A O G B H E C a) Xét tam giác ABC có G trung điểm AB (gt) H trung điểm AC (gt) Vậy GH đường trung bình tam giác ABC =>GH // BC Xét tứ giác BCHG có GH // BC (cmt) Vậy tứ giác BCHG hình thang b) Xét tứ giác AECO có H trung điểm AC (gt) H trung điểm OE (O đối xứng với E qua H) Vậy tứ giác AECO hình bình hành c) Chứng minh tứ giác AGEH hình bình hành => Hai đường chéo AE GH cắt trung điểm AE GH Chứng minh tứ giác ABEO hình bình hành Thầy Đức Math - 0963.295.430 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 19 => AE cắt BO trung điểm AE BO Điều phải chứng minh Bài x F B H D M V A E P C y a) Chứng minh: tứ giác ADHE hình chữ nhật ADH  900 (AB  DH) AEH  900 (AC  HE) EAD  900 (  ABC vng A) Vậy tứ giác AEHD hình chữ nhật AH BC  AB AC S ABC  S ABC Vậy AB AC  AH BC b) Chứng minh: tứ giác DHPE hình gì? Vì sao? Chứng minh PE // DH Chứng minh PE = DH Vậy tứ giác DHPE hình bình hành Giải thích c) Gọi F giao điểm Ax BC V trực tâm tam giác AMF (MV  Ax; AV  BC)  FV  AM (1) Thầy Đức Math - 0963.295.430 TÀI LIỆU TỐN HỌC 20 Ta lại có AM  BC (AM đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC  vuông ABC)  MAC  MCA Mà AEV  EAV (Tứ giác AEHD hình chữ nhật) Đồng thời EAV  ACM  900 (tam giác ACH vuông H)  AEV  CAM  900 Do DE  AM (2) Từ (1) (2) suy điểm E, V, D, F thẳng hàng Vậy ba đường thẳng Ax, BC, DE đồng quy F Câu 8: a/ Cho BC = 10 cm Tính độ dài DE Xét ABC có: D trung điểm AB (gt) E trung điểm AC (gt) Suy DE đường trung bình ABC Suy DE // BC DE  1 BC  10   cm  2 b/ Chứng minh tứ giác BDEC hình thang cân Xét tứ giác BDEC có: DE // BC (cmt) B  C (do ABC cân A) Nên tứ giác BDEC hình thang cân c) Gọi K trung điểm BC, F trung điểm BK, H giao điểm AK DE Chứng minh tứ giác DHKF hình chữ nhật  Xét ABK có: D trung điểm AB (gt) (1) DH // BK (do DE // BC) Nên H trung điểm AK ( H  AK ) (2) Từ (1) (2) suy ra: DH đường trung bình ABK  DH  BK Thầy Đức Math - 0963.295.430 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 21 Mà FK  BK (do F trung điểm BK) Nên DH = FK  Xét tứ giác DHKF có: DH // FK (do DE // BC; F  BC ; H  DE ) DH = FK Do tứ giác DHKF hình bình hành Lại có: AKB  900 (do ABC cân A có AK trung tuyến nên đường cao) Vậy tứ giác DHKF hình chữ nhật d) Chứng minh đường thẳng DK, HF, BE đồng quy - Chứng minh tứ giác DEKB hình bình hành - Gọi O giao điểm hai đường chéo hình chữ nhật DHKF Nên O trung điểm DK HF (*) - Hình bình hành DEKB có O trung điểm đường chéo DK (cmt) Nên O trung điểm đường chéo BE (**) Từ (*) (**) suy ra: đường thẳng DK, HF, BE đồng quy Bài 9: B E D M A C a/ Tam giác ABC có: M trung điểm AB (gt) D trung điểm AC (gt)  MD đường trung bình ABC  MD // AB Mà AC  AB (vì tam giác ABC vng A)  MD  AB b/ Ta có: MD = AC : (vì MD đường trung bình tam giác ABC) MD = ME : (vì E đối xứng với M qua D) Thầy Đức Math - 0963.295.430 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 22  AC = ME Mà AC // ME (vì AC // MD)  Tứ giác EACM hình bình hành c/ Xét tứ giác EAMB có: D trung điểm AB D trung điểm EM  Tứ giác EAMB hình bình hành Mà EM  AB (vì MD  AB)  Tứ giác EAMB hình thoi d/ Ta lại có: tam giác ABC vng A có AM trung tuyến  AM = BC : = : = (cm)  EA = AM = MB = BE = 3cm Vậy chu vi tứ giác EAMB là: EA + AM + MB + BE = + + + = 12 (cm) Bài 10: a) C/m:NK đường trung bình tam giác ABC nên: NK//AB, NK=1/2AB Và A  90 (gt) Nên T/g ABKN hthang vng b) C/m BNQM hình bình hành.N trung điểm QK C/m AKCQ hình bình hành KQ  AC Hình bình hành AKCQ hình thoi c) Chứng minh I trọng tâm tam giác ABC, C, I, M thẳng hàng Gọi V cho I trung điểm MV OI=1/2NV=1/2.1/2AI=1/4.2/3AK=1/6AK; OI=2cm Câu 11: B a) Tính độ dài đoạn thẳng MN Xét tam giác ABC vng A, ta có: E D M BC2  AB2  AC2 (định lý Pytago) A Thầy Đức Math - 0963.295.430 N C TÀI LIỆU TOÁN HỌC 23 BC2  62  82  36  64  100  BC  100  10 (cm) Ta lại có: M trung điểm AC (gt) N trung điểm AB (gt)  MN đường trung bình tam giác ABC  MN // BC MN  BC 10   (cm) 2 b) Gọi D trung điểm cạnh BC Chứng minh tứ giác BMND hình bình hành Ta có: MN // BC MN  Mà D thuộc BC BD  BC (cmt) BC (do D trung điểm BC)  MN // BD MN = BD  Tứ giác BMND hình bình hành c) Chứng minh tứ giác AMDN hình chữ nhật Ta có: D trung điểm BC (gt) M trung điểm AB (gt)  DM đường trung bình tam giác ABC  DM // AC DM  AC Mà N thuộc AC AN  AC (do N trung điểm AC)  DM // AN DM = AN  Tứ giác AMDN hình bình hành Mà BAC  900 (tam giác ABC vuông A)  Tứ giác AMDN hình chữ nhật d) Gọi E điểm đối xứng D qua M Chứng minh tứ giác BDAE hình thoi Ta có : M trung điểm AB (gt) M trung điểm ED (E D đối xứng qua M)  Tứ giác BDAE có hai đường chéo cắt trung điểm đường Nên tứ giác BDAE hình bình hành Mà ED  AB (do AMDN hình chữ nhật) Thầy Đức Math - 0963.295.430 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 24  Tứ giác BDAE hình thoi (hình bình hành có hai đường chéo vng góc) Bài 12: C a) Chứng minh tứ giác ANME hình chữ nhật Chứng minh E trung điểm AB M N Chứng minh NM = BE NM//BE H Kết luận tứ giác NMBE hình bình hành b) Chứng minh tứ giác ADBM hình bình hành A B E Chứng minh tứ giác ADBM hình thoi c) Chứng minh NH = NA D Chứng minh tứ giác MNEH hình thang cân Bài 13: I A B a/ AICD, BCDI hình bình hành (đúng dấu hiệu: cạnh đối song song nhau) (hình bình hành thứ cần chứng minh tương tự) D C b/ CIDE hình bình hành (đúng dấu hiệu)  DE = IC mà AD = IC nên E kết luận c/ Tam giác ABE vng cân A có AC trung tuyến đường cao nên kết luận ( Câu c không cần vẽ hình ) Bài 14: a)Ta có M trung điểm củaAB(gt) Thầy Đức Math - 0963.295.430 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 25 N trung điểm AC (gt) nên MN đường trung bình tam giác ABC =>MN//BC MN = BC =>MP//BPvà MN = BP =>Tứ giác MBPN hình bình hành (dấu hiệu nhận biết) b) Tứ giác APCQ hình bình hành( Vì NA=NC ; NP = NQ (gt) mà AP trung tuyến ứng với cạnh huyền ABC vuông A (gt) nên AP = PC Do hình bình hành APCQ hình thoi (Hình bình hành có hai cạnh kề nhau) c) Chứng minh tứ giác ARBP hình thoi =>đường chéo AB phân giác ̂ => ̂ = ̂ (1) Tứ giác APCQ hình thoi (cmt) =>đường chéo AC phân giác ̂ Ta có ̂ = ̂ ̂ + ̂ => ̂ = ̂ (2) ̂ = ̂ + ̂ = ̂ = 2.900 = 1800 Vậy R,A,Q thẳng hàng Bài 15: A I K M B H N C a) Chứng minh AMNK hình bình hành b) Chứng minh MKNH hình thang cân c) chứng minh ME đường trung bình tam giác ABH  ME = BH/2 chứng minh KF đường trung bình tam giác CIA  KF = AI/2 chứng minh BH = AI  ME=KF Chứng minh HC = 2KE mà HB =2EM  HC  HB   EK  EM    EK  KF   2EF Thầy Đức Math - 0963.295.430 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 26 MỘT SỐ ĐỀ TỰ LUYỆN ĐỀ SỐ Bài 1: Thực phép tính: a) 4x (3x2 – 4xy + 5y2) b) ( 6x4y3 – 15x3y2 + 9x2y2 ) : 3xy c)  x 1 1 x  x x 1 2x x : 3x  y x  y Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử: a) 10x + 15y b) x2 – xy – 2x + 2y Bài 3: Rút gọn biểu thức: x2  y a) 3x  y b) (5x + 3)2 – 2(5x + 3) (x + 3) + (x + 3)2     c)  x      x  2 x  x2   Bài 4: Tìm x biết: a) (x – 1)2 + x (5– x) = b) x2 – 3x = d) Bài 5: Cho tứ giác ABCD có B  600 , C  800 , D  1000 Tính số đo góc A? Bài 6: Cho hình thang ABCD (AB//CD), gọi M, N trung điểm AD, BC Biết AB = cm, CD = 10 cm Tính MN? Bài 7: Cho hình chữ nhật ABCD có AD = 6cm, BD = 10cm Tính diện tích tam giác ADB Bài 8: Cho tam giác ABC vuông A M trung điểm BC Vẽ MD vng góc với AB D, ME vng góc với AC E Chứng minh DE = BC Thầy Đức Math - 0963.295.430 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 27 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ SỐ A.ĐẠI SỐ: Bài 1: (1,5 điểm) a/4x (3x2 – 4xy + 5y2) = 12x3 – 16x2y + 20xy2 b/( 6x4y – 15x3y2 + 9x2y2 ):3xy = 2x3 –5x2y + 3xy c/ d/   x x 1 1 x x 1 42 x 2 x   x 1 x 1  x 1  2 x 1  x x 1 3x  x  y  3x x2 :  x  y x  y  x  y  x 3x  x  y    2  x  y  x 2x 0,5 0,5 0,25 3 x  y  3x  y   2 x y  x  y  x  y  x  y   c /  x  2      x  2x  x    3.2( x  2)  5( x  2)  12.2    x  2   2( x  2)( x  2)    0,5 0,25 0,25 A  B  C  D  3600 thay vào tính Bài (1,0 điểm) Hình vẽ A = 1200 0,5 0,5 0,25 Hình thang ABCD (AB//CD), M, N trung điểm AD, BC nên MN đường trung bình  MN  AB  CD  10  MN   8(cm) 2 0,25 0,5 Bài 7: (1,0 điểm) 0,5 Hình chữ nhật ABCD  tam giác ABD vuông A 0,5  S ADB  Từ  S ADB 0,25 0,25 0,25 AB.DB(1) Tính AB = 8cm(2) 1  6.8  24(cm2 ) 0,25 0,25 Bài 8: (1,5điểm) Hình vẽ 0,25 Nêu tứ giác ADME hình chữ nhật có góc vng DE = AM(1) AM = ½ BC(2)( t/c đường trung tuyến tam giác vng) 1,  DE = ½ BC 0,5 0,25 Bài 4: (1,0 điểm) a/(x – 1)2 + x (5– x) =  x2 – 2x + + 5x – x2 =  3x + = x tứ giác ABCD  0,25 b/ (5x + 3)2 – 2(5x + 3) (x + 3) + (x + 3)2 2   5x + 3   x + 3    x   16 x Bài 5: (1,0 điểm) 0,25 0,25 Bài 2: (1,5 điểm) a/10x + 15y = 5(2x + 3y) b/x2 – xy – 2x + 2y = x(x – y) – 2(x – y) = (x – y)(x – 2) Bài 3: (1,5 điểm) a/ B.HÌNH HỌC: 0,25 1 0,25 b/x2 – 3x =  x(x – 3)=  x = x = Thầy Đức Math - 0963.295.430 0,5 0,25 0,25 0,25 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 28 ĐỀ SỐ Câu ( điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử a, 5x - 5y + ax - ay b, x2 - 2xy + y2 - z2 Câu ( điểm)Thực phép tính x 16 3x  :  2x  x  x x 1 x3 b,  2x  2x  a, x  8x  x  4x  4x  a, Tìm điều kiện xác định biểu thức P b, Tìm x cho P = c, Tìm giá trị x nguyên cho P nhận giá trị nguyên Câu 4.( điểm) Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC BD vng góc với Gọi M, N, P, Q trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA a, Tứ giác MNPQ hình gì? Vì sao? b, Để tứ giác MNPQ hình vng tứ giác ABCD cần có điều kiện gì? c, Cho AC = cm, BD = cm Hãy tính diện tích tứ giác MNPQ Câu 5.( điểm) Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH ( H  BC) Gọi D, E theo thứ tự điểm đối xứng với điểm H qua cạnh AB AC Chứng minh AD = AE Câu 3.(2 điểm) Cho biểu thức P = Thầy Đức Math - 0963.295.430 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 29 ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM ĐỀ SỐ Câu Nội dung Điểm 0,25 0,25 a, 5( x - y ) + a( x- y) = (x - y)( + a) b, ( x2 - 2xy + y2) - z2 = (x - y)2 - z2 = (x - y - z)(x - y + z) 4( x  2)( x  2)  x a, 3( x  2) (1  x) 4( x  2) = 3(1  x) x 1 x3 ( x  1)( x  1)  ( x  3)( x  1) b, =  2( x  1) 2( x  1) 2( x  1)( x  1) = x 1 x ( x  2)  ( x  2) ( x  2)(2 x  1)  Ta có: P = 2x  (2 x  1) a, Điều kiện để biểu thức xác định là: 2x+1   x  ( x  2)(2 x  1) = 2x  2  2( 2x +3x - 2) = 3( 2x + 1)  4x2 - = 0,25 0,25 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 0,5 b, Để P = 0,25 0,25 7 x = (thõa mãn điều kiện) 2 x  3x  c, P = =x+12x  2x   x= 0,25 0,25 nguyên nghĩa 2x  phải chia hết cho (2x +1) hay (2x + 1) phải ước Khi 2x+1  1,1,3,3 Vậy x   2,0,1,2 Với x nguyên P nhận giá trị nguyên 0,25 a, Ta có MN đường trung bình  ABC MN // AC MN = AC (1) PQ đường trung bình  ADC PQ // AC PQ = AC (2) Từ (1) (2) suy MN // PQ MN = PQ Do tứ giác MNPQ hình bình hành Thầy Đức Math - 0963.295.430 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 30 Mặt khác MQ // BD mà AC  BD (3) Từ (1) (3) suy MN  MQ hay NMQ = 900 Vậy hình bình hành MNPQ hình chữ nhật b, Để tứ giác MNPQ hình vng MN = MQ tức AC = BD Vậy tứ giác ABCD cần thêm điều kiện AC = BD tứ giác MNPQ hình vng c, Theo câu a, ta có MN = AC = 3cm MQ = BD = cm 2 Vậy S  Q = 3.4 =12 (cm ) 0,5 0,5 1 Ta có D đối xứng với H qua AB nên A nằm đường trung trực DH  AD = AH (1) C Tương tự A nằm đường trung trực HE  AH = AE (2) Từ (1) (2) suy AD = AE Thầy Đức Math - 0963.295.430 TÀI LIỆU TOÁN HỌC ... 49m4 n2 (8ab  7m2 n)(8ab  7m2 n)   8ab  7m2 n b) 2 8ab  7m n 8ab  7m n Bài 3: x  x  a x  12 x  x  18  a  18 x( x  3)  6( x  3)  a  18   a) x 3 x 3 x 3 = 4x   a  18 x 3... (gt) Suy DE đường trung bình ABC Suy DE // BC DE  1 BC  10   cm  2 b/ Chứng minh tứ giác BDEC hình thang cân Xét tứ giác BDEC có: DE // BC (cmt) B  C (do ABC cân A) Nên tứ giác BDEC hình... 5)  24  B  ( x  8x   3) ( x  8x   5) 2  ( x  8x  10)( x  8x  12)  ( x2  7x  6)( x2  7x  16) Vậy ( x2  x  5)( x2  10 x  21)  15  ( x2  8x  10)( x2  8x  12) III/ CHIA