Bài Giải Thể Tích Khối Lăng Trụ – Khối Hộp

14 4 0
Bài Giải Thể Tích Khối Lăng Trụ – Khối Hộp

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.. GABC theo a..[r]

(1)

HƯỚNG DẪN GIẢI THỂ TÍCH CỦA KHỐI LĂNG TRỤ

GVBM : ĐOAØN NGỌC DŨNG

V KHỐI LĂNG TRỤ ĐỨNG BAØI 5.1 :

 Hướng dẫn :

 Tính thể tích khối tứ diện IABC Trong tam giác vuông A’AC, ta có :

5 a a a ' AA C

' A

AC   2 

Trong tam giác vuông ABC, ta coù : a a a AB AC

BC 2   

Gọi H hình chiếu I AC IH  (ABC) Vậy IH chiều cao tứ diện IABC

Xét hai tam giác đồng dạng MIA’ AIC, ta có :

1 AC

M ' A IC

'

IA   , suy

3 ' CA

CI 

Mặt khác : IH // AA’ nên ta coù :

3 a ' AA IH ' CA

CI ' AA IH

     

Dieän tích tam giác ABC :

ABC 21 AB BC 21 a 2a a

S       

Thể tích khối tứ diện IABC :

9 a

a a IH S

3

V

ABC

IABC       

 Tính khoảng cách từ điểm A đến (IBC)

Vẽ HK  BC Chứng minh BC  (IHK)  BC  IK Do HK // AB nên

3 a AB HK

2 ' CA

CI CA CH AB

HK      

vuông IHK có :

3 a HK IH

IK 2 

3 a

5 a a 2 IK BC S

2

IBC    

5 a

5 a

9 a S

V )) IBC ( A ( d )) IBC ( A ( d S

V 2

3

IBC IABC IBC

IABC      

 Cách khác :

Kẻ AK  A’B (K  A’B) (3)

Ta coù :   

 

' AA BC

AB BC

 BC  (ABB’A’)  BC  AK (4) Từ (3) (4) suy : AK  (IBC)

Do AK khoảng cách từ A đến mặt phẳng (IBC) Tam giác A’AB vuông A, ta có :

5 a AK a

1 a

1 AB

1 ' AA

1 AK

1

2 2

2           5

5 a IBC , A

d 

BAØI 5.2 :

 Hướng dẫn :

(ĐẠI HỌC D 2009)Cho hình lăng trụ đ ứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông B, AB = a, AA’ = 2a, A’C = 3a Gọi M trung ểm đoạn thẳng A’C’, I giao ểm AM A’C Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC) A

B

BÀÀI 16I 16 :

B

C A’

B’

C’

M

I

H K

a

3a 2a

(Ð? I H? C D 2009)Cho hình lang tr? d ? ng ABC.A’B’C’ có dáy ABC tam giác vuông t?i B, AB = a, AA’ = 2a, A’C = 3a G?i M trung di ?m c?a do?n th?ng A’C’, I giao di ?m c?a AM A’C Tính theo a th? tích kh?i t? di?n IABC kho?ng cách t? di?m

A d?n m?t ph?ng (IBC) A

B

BÀÀI 16I 16 :

B

C A’

B’

C’

M

I

H a

3a 2a

(2)

Thể tích khối lăng trụ laø :

2 a a a ' AA S

V ABC   

Gọi N trung điểm BB’ MN đường trung bình BCB’ Suy MN // CB’ Mà MN  (AMN) nên B’C // (AMN)

Do : d(AM , B’C) = d(B’C , (AMN)) = d(B’ , (AMN)) = d(B , (AMN)) Gọi BH chiều cao tứ diện BAMN d(B , (AMN)) = BH

Tứ diện BAMN có cạnh BA, BM, BN đơi vng góc nên ta có :

7 a BH a

7 a

4 a

4 a

1 BN

1 BM

1 BA

1 BH

1

2 2 2

2

2         

Vaäy d(AM , B’C) =

7 a

BAØI 5.3 :

 Hướng dẫn :

Gọi D trung điểm BC, ta có :

)) ABC ( ), BC ' A (( BC

AD BC D ' A

BC ) ABC ( ) BC ' A (

 

   

 

 

= goùc A’DA = 60

Vì AD đường cao đều ABC cạnh a nên

2 a AD

vng A’AD có góc 60 nên nửa tam giác  A'D2ADa

2 a 3 AD '

AA 

Vậy thể tích khối lăng trụ :

8 a

a

3 a ' AA S V

3

ABC   

 (ñvtt)

Gọi H tâm tam giác ABC 

3 DA DH ' DA

DG    GH // AA’  GH  (ABC)

 GH trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Vẽ mặt phẳng trung trực GA, mặt phẳng cắt GA E cắt GH I, ta có IG = IA = IB = IC  I tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC

GEI đồng dạng GHA 

GH GA GH

GA GE GI GH GE GA

GI    

GH // AA’ 

2 a

a 3 ' AA GH

1 DA DH ' AA GH

   

 

vuông GHA có :

12 a

3 a 2

a AH GH

GA

2 2

2

2 

   

 

         

Do :

12 a a 12

a GH GA GI

2

  

BAØI 5.4 :

 Hướng dẫn :

AD // B’C’ vaø AD = B’C’  AB’C’D hình bình hành  DB’ cắt AC’ trung ñieåm I (1)

AC // A’C’ AC = A’C’ ACC’A’ hình bình hành  MN đường trung bình hình bình hành ACC’A’

 MN cắt AC’ trung điểm AC’  MN qua trung điểm I (2) Từ (1) (2)  DB’ MN cắt trung điểm I đường  B’, M, D, N nằm mặt phẳng

(ĐẠI HỌC B 2010) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có AB = a Góc hai mặt phẳng (A’BC) (ABC) 60 Gọi G trọng tâm A’BC Tính thể tích khối lăng trụ cho tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

GABC theo a A

B

BÀÀI 18I 18 :

B

C A’

B’

C’

D a

60 

G

H E

I

(ĐẠI HỌC B 2003) Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đ áy ABCD hình thoi cạnh a, góc BAD = 60 Gọi M trung điểm cạnh AA’ N trung điểm cạnh CC’

Chứng minh điểm B’, M, D, N thuộc mặt phẳng Hãy tính độ dài cạnh AA’ theo a đ ể tứ giác B’MDN hình vng

B

B

BÀÀI 19 :I 19

D C B’

D’ C’

M

I

a A

A’

N

(3)

Ta coù: DM2 = DA2 + AM2 = DC2 + CN2 = DN2  DM = DN

 hình bình hành B’MDN hình thoi

Hình thoi B’MDN hình vuông  MN = B’D  AC = B’D  AC2 = B’D2 = B’B2 + BD2

 3a2 = B’B2 + a2  B’B2 = 2a2  B’B = a

Vậy A’A = a  Cách khaùc :

a) Do M trung điểm cạnh AA và N trung điểm cạnh CC’ nên ta có AM // NC’ AM = NC’  Tứ giác AMCN’ hình bình hành

Gọi I giao điểm MN AC’ I trung điểm MN (1) Mặt khác, tứ giác AB’C’D hình bình hành nên I = AC’  B’D  I trung điểm B’D (2)

Từ (1) (2) suy tứ giác B’MDN hình bình hành Vậy B’, M, D, N nằm mặt phẳng

b) ta có DAM = DCN  DM = DN  Tứ giác B’MDN hình thoi

Do : B’MDN hình vng  MN = B’D (*) BDB’ vng B, ta có : B’D2 = B’B2 + DB2 Khi :

(*)  MN2 = B’D2  AC2 = B’B2 + BD2   2

a = B’B2 + a2  B’B2 = 2a2  B'Ba A'A Vaäy A’A = a

BAØI 5.5 :

 Hướng dẫn :

AA’  (ABC)  góc A’BA góc A’B với đáy  góc A’BA = 60

Ta có AA’ = AB.tan60 AA/ a 3

2

3

3

4

a a

Va

G

GoọïiiKKllaàøttrruunnggđđiieểmåmccuủûaaBBCCMMNNKKvvuuoônânggttaạïiiKKccoóù::

1 a

MK AB ; NK AA ' a

2

   

 2 2

2 13 13

3

2

a a a

MNa     MN

 

BAØI 5.6 :

 Hướng dẫn :

 Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’

Trong tam giác ABC kẻ đường cao CH CHAA'B'B  A’H hình chiếu vng góc A’C mặt phẳng AA'B'B  góc CA’H = 30o

Áp dụng định lí cô-sin ABC, ta có :

2

2 o

2

2 7a

2 a a a a 120 cos BC AC BC AC

AB 

      

  

 

7 a AB 

Diện tích tam giác ABC :

2 a

3 a a 120 sin CB AC

S o

ABC    

Mặt khác :

7 21 a a

3 a AB S CH AB CH S

2

ABC

ABC 

  

 

A

B

C A’

B’

C’

K a

M

60

N

(4)

Tam giác A’CH vuông H, ta coù :

7 21 a 30 sin

CH C

'

A  o 

Tam giác A’AC vuông A, ta có :

7 35 a a

21 a AC

C ' A '

AA

2

2  

   

   

Thể tích khối lăng trụ cho :

14 105 a

35 a

3 a ' AA S

V ABC    (đvtt)

 Tính khoảng cách từ đỉnh A’ đến (ACM) Dễ thấy dA ,'ACM2dB,ACM

Trong tam giác ABC kẻ đường cao BK, ta có : AK BKM BM

AK BK AK

  

 

 

Mà BKACM nên ACM  BKM theo giao tuyeán KM

Trong tam giác BKM kẻ đường cao BI BIACM Suy dB,ACMBI Ta có : BKBC.sin60o a 3

Tam giác vuông BKM, ta có :

89 1335 a BI a

35 196 a

3 BM

1 BK

1 BI

1

2

2

2          89

1335 a ACM , B

d 

 Vaäy d A ' , ACM   2a 1335

89

BAØI 5.7 :

 Hướng dẫn :

 Tính thể tích khối tứ diện EABD

Ta có ABADa góc BAD = 60o nên ABD tam giác cạnh a Suy BDa,

3 a AO

AC 

Tam giác ACC’ vuông C, ta coù : a a a AC ' AC '

CC 2  2 

Gọi IAC'A'C I trung điểm AC’  E trọng tâm A’AC

Trong AEO kẻ đường cao EH EHABD Do EH//A'A nên ta có :

3 a A ' A EH

1 ' OA OE A ' A

EH     

Thể tích khối tứ diện EABD :

36 a a

3 a EH S

VEABD  ABD     (đvtt)  Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BDE)

Ta coù : BD A'AO BD A'O

' AA BD

AC BD

  

 

 

 

Tam giác EBD có EO vừa đường cao, vừa đường trung tuyến nên cân E Tam giác A’AO vng A, ta có :

6 a O ' A EO

7 a

3 a a AO A

' A O ' A

2

2

2    

        

 Diện tích tam giác EBD :

12 a EO BD

SEBD  

 

    

7 21 a 12

7 a 36 a S

V EBD , A d EBD , A d S

V 2

3

EBD EABD EBD

EABD 

  

 Vaäy   

7 21 a EBD , A

(5)

BAØI 5.8 :

 Hướng dẫn :

Đặt ABx x0 ; ta có 2x 60 cos

AB

AC o  , BCAB.tan60ox

Ta coù :

2 x BC AB

SABC  

Mặt khác : SABCpr, với    2  x 3 BC AC AB

p     ,  

2 a

r 

    x a

2 a

x 3

3 x2

      

Dựng hình bình hành ADBC AC//A'BD, ta có : AC,A'B dAC,A'BD dA,A'BD

d  

Trong tam giác ABD kẻ đường cao AK, ta có : A'AK

BD ' AA BD

AK BD

  

 

 

Mà BDA'BD nên A'BD  A'AK theo giao tuyeán A’K

Trong tam giác A’AK kẻ đường cao AH AHA'BD

    

5 15 a AH BD

' A , A d B ' A , AC

d   

Tam giác A’AK vuông A coù : 2 2 2

AK ' AA AH

1  

Tam giaùc ABD vuông A, ta có : 2 2 2 AD

1 AB

1 AK

1  

Do : AA' a

a

1 a

1 ' AA a

3 AD

1 AB

1 ' AA AH

1

2 2

2

2

2         

Vậy thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' :

2 a 3 a a a ' AA BC AB ' AA S

V ABC    (ñvtt)

BAØI 5.9 :

 Hướng dẫn :

 Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ Ta có : A'C' ABB'A'

' AA ' C ' A

' B ' A ' C ' A

 

  

 

Trong tam giác A’AB kẻ đường cao AI, ta có :

 

 

  

 

' A ' ABB '

C ' A ' C ' A AI

B ' A AI

BA'C' AI

Mặt khác AB'M  BA'C' nên AIAB'M hay IAB'A'B

Suy tứ giác ABB’A’ hình vng

Ta có : a

2 BC AB '

AA  

Vậy thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' : 2a a a 2

1 ' AA S

V

ABC   

 (đvtt)

 Tính khoảng cách từ B’ đến (AC’M) Ta có : AM BCC'B'

' BB AM

BC AM

  

 

(6)

Trong tam giác B’C’M kẻ đường cao B’H, ta có :    B'H AC'M '

B ' BCC AM

do AM H

' B

M ' C H ' B

  

 

 

 

 

d B' , AC' M B' H

 

Tam giác C’CM vuông C, ta có : C'M CC'2CM2  2a2 a2 a Diện tích tam giác MB’C’ laø : 2a.a a

2 ' BB ' C ' B

S

' C '

MB   

Mặt khác

3 a a

2 a M ' C S H ' B M ' C H ' B

S MB'C'

' C '

MB      

Vaäy d B' , AC ' M   2a

BAØI 5.10 :

 Hướng dẫn :

 Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’

Gọi I trung điểm A’B’ CI'A'B' (do A’B’C’ cân C’) Mặt khác C'IAA', suy CI'ABB'A'

 BI hình chiếu BC’ mặt phẳng ABB'A'

 góc C’BI = 60o góc hợp BC’ với mặt phẳng ABB'A'

BB’I vuông B’, ta có :

2 a a a I' B ' BB

BI 2  2  BC’I vuông I, ta có :

2 15 a 60 tan BI I'

C  o 

Diện tích tam giác A’B’C’ :

4 15 a

15 a a I' C ' B ' A

SA'B'C'      Vậy thể tích khối lăng trụ cho :

4 15 a a

15 a ' AA S

V A'B'C'    (đvtt)  Tính khoảng cách hai đường thẳng AM, NP

Gọi Q trung điểm B’C’ MQ//BC'//PN, suy BC’ PN song song với mặt phẳng AMQ  Do : dAM,PNdPN,AMQ2dBC ,'AMQ

Trước hết ta tính khoảng cách từ BC’ đến mặt phẳng AMQ  Gọi HAMBI, ta có : ABMBBI'  góc BAM = góc B’BI

Mặt khác : góc AMB + goùc BAM = 90o  goùc AMB + goùc B’BI = 90o  goùc BHM = 90o AMBI

Ngoài AMCI' doCI'ABB'A', suy AMBCI'AMBC'

Kẻ HKBC' KBC' HK đoạn vng góc chung AM BC’, tức : AM,BC' HK dBC,'AMQ

d  

ABM vuông B, ta có :

5 a BH a

5 a

4 a

1 BM

1 AB

1 BH

1

2 2 2

2       

BHK vuông K, ta có :

10 15 a 60 sin BH

HK o 

Vaäy d AM , PN  2HK a 15

 

BAØI 5.11 :

 Hướng dẫn :

(7)

Tam giác ABC vuông A, ta có : ACAB.tan60o 2a 3, 4a

60 cos

AB

BC o 

a ' C ' B M '

A  

Trong tam giác A’B’C’ kẻ đường cao A’H, ta có : A'H.B'C'A'B.'A'C'

3 a a

4 a a '

C ' B

' C ' A ' B ' A H '

A   

Thể tích khối chóp A'.BCM laø :

3 a a a a H ' A MN BC H ' A S

V

BCM BCM

'

A     

Goïi I trung điểm A’M, ta có :

13 a a a ' BB ' B ' A B ' A

BM  2  2 

 A’BM cân B BIA'M

Diện tích tam giác A’BM : A'M.BI

1

SA'BM  , với BI A'B2AI'2  13a2 a2 2a

3 a a a 2

S

BM '

A  

Mặt khác :       3a

3 a

3 a S

V BM ' A , C d BM ' A , C d S V

V 23

BM ' A

BCM ' A BM

' A BM

' A C BCM '

A      

 Tính góc hai mặt phẳng (A’BM) (ABC)

Diện tích tam giác ABN : a

2 a a 2 60 sin BN AB

S o

ABN    

Gọi  góc hai mặt phẳng A'BM ABC , N trung điểm BC  Do ABN hình chiếu A’BM mặt phẳng ABC nên ta có : 

o

2

BM ' A

ABN BM

' A

ABN 2 60

1 a

a S

S cos cos

S

S      

BAØI 5.12 :

 Hướng dẫn :

A1B1C1 vuông B1 ta có : B1C1  A1C12 A1B12  5a2a2 2a Kẻ A1HAB1, ta có : BC AAB  BC AH

AA C

B

B A C B

1 1 1

1 1

1

1 1

1    

  

 

Từ : 1  1 1

1 1

1

1 A H ABC

C B H A

AB H A

 

  

 

 HK hình chiếu vng góc A1K mặt phẳng AB1C1  góc A1KH = 30o góc A1K AB1C1

Đặt AA1 x x0

AA1B1 vuông A1, ta có : 2 2

1 2

1 a

1 x

1 B A

1 AA

1 H

A

1      1

AA1C1 vuoâng A1, ta có : 2 2

1 2

1 5a

1 x

1 C A

1 AA

1 K

A

1      2

A1HK vuông H, ta có : AK

2 30 sin K A H

A1  o   3

Thế  3 vào  1 , ta có : 2 2 2

1 a

1 x

1 K A

(8)

B

BÀÀI 20I 20::(ĐẠI HỌC A 2008)Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC tam giác vuông A, AB = a, AC = ,hình chiếu vng góc đỉnh A’ (ABC) trung ểm BC Tính thể tích khối chóp A’.ABC tính cosin góc AA’, BB’

3 a

A

B

C A’

B’

C’

2a

a

3 a

H

Từ  2  4 ta : x 15a x a 15 a

1 x

1 a

1 x

1

4 2

2 2

2      

  

 

Vậy thể tích khối lăng trụ ABC.A1B1C1 là: a.2a.a 15 a 15

1 AA C B B A AA S

V

1 1 1

ABC   

BAØI 5.13 :

 Hướng dẫn :

Vẽ AHBCA'HABC  góc A’HA = 30o

3 a 30 cot ' AA

AH o

3 a AC a

12 a

1 a

1 AC

1 AC

1 AB

1 AH

1

2

2 2

2

2        

Do : 2a.2a 3.a 2a

2 ' AA AC AB

V

' C ' B ' A

ABC    

 B'C'//A'BCdB'C ,'A'C dB'C,'A'BC dB,'A'BC

Gọi IAB'A'B  I trung điểm B’A  dB,'A'BC d A,A'BC Vẽ AKA'HAKA'BCdA,A'BCAK

Ta có :

2 a 30 sin AH

AK o  Vaäy    

2 a C ' A ,' C ' B d

3 a BC ' A , A

d   

VI KHỐI LĂNG TRỤ XIÊN BAØI 6.1 :

 Hướng dẫn :

Gọi H trung điểm BC, theo giả thiết ta có : A’H  (ABC)  A’H đường cao hình lăng trụ đường cao hình chóp A’ABC V SABC B' H

3

  

2 a a a AC AB

SABC       

ABC vuông A có : BC a

2 AH a

2 a a AC AB

BC 2      

vuông A’HA có : A'H AA'2AH2  4a2a2 a

Thể tích khối chóp A’ABC laø :

2 a a

3 a H ' A S

V  ABC    

Tính cosin góc AA’ B’C’

Gọi  góc AA’ B’C’

Do BB’ // AA’ BC // B’C’ nên ta coù : goùc (AA’ , B’C’) = goùc (BB’ , BC) =  Tam giác HA’B’ vuông A’ ta có : B'H A'H2A'B'2  3a2a2 2aBB'

Do đó, B’BH tam giác cân B’ Vậy góc B’BH = 

B’H2 = BB’2 + BH2 – 2BB’.BHcos  4a2 = 4a2 + a2 – 2.2a.a.cos  cos =

4

 Cách khác : Gọi  góc AA’ B’C’

Do BB’ // AA’ BC // B’C’ nên ta có : goùc (AA’, B’C’) = goùc (BB’, BC) =  HA’B’ vuông A’ ta có : B'H A'H2 A'B'2  3a2 a2 2aBB'

 B’BH cân B’ neân cos BH a 2.BB' 2.2

   

 Cách khác : Có thể tính thể tích hình chóp A’.ABC dựa thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ sau :

2 a 3 a

3 a H ' A S V

3

ABC '

C ' B ' A

ABC      Vaäy

2 a a 3 V

3 V

3 '

C ' B ' A ABC ABC

'

(9)

BAØI 6.2 :  Hướng dẫn :

Gọi M trung điểm AC H trọng tâm ABC  H  BM

Theo giả thiết, ta có B’H  (ABC) nên B’H đường cao hình lăng trụ đường cao hình chóp A’ABC V SABC B' H

3

  

Do B’H  (ABC) nên BH hình chiếu vng góc BB’ lên (ABC)  góc B’BH góc hợp BB’ (ABC)  góc B’BH = 60o

 vng B’HB có góc B’BH = 60o nên nửa tam giác

 BH BB' a

2

  vaø B' H BH a

 

Do H trọng tâm ABC nên

4 a BH

BM 

Vì BM đường trung tuyến ABC nên :

2 2 2

2 AB BC AC AB BC

BM AC

2 2

 

     

9a2 3AB2 AB2 9a2 2 AB2

AB 7AB

16 4 16 16 16

 

        

 

2 2

2

9a 3AB 9a 3a

AB AB

16 16 13

     

Suy AC = 13

a

3 , BC = 13

3 a

Diện tích tam giác ABC :

104 a 13

3 a 13

a BC AC

SABC       

Thể tích khối tứ diện A’ABC :

208 a

3 a 104

3 a H ' B S

V  ABC    

 Chú ý : Đặt AB = x (x > 0)

Tam giác vuông ABC có góc BAC = 60o nên nửa tam giác  AC =

2

x vaø BC =

2 x

AC 

Theo tính chất đường trung tuyến, ta có : AB2 + BC2 = 2BM2 +

2 AC2

 x2 +

8 x

a 2

3

x 2

             

 x2 =

13 a

 x = 13

a

3 Suy AC = 13

a

3 , BC = 13

3 a

BAØI 6.3 :

 Hướng dẫn :

Gọi H trung điểm AB A’H  (ABC)

Hình chiếu vuông góc A’C lên (ABC) HC Vậy góc A’C (ABC) A'CH60o

A’HC vuoâng

2 a

3 a H ' A HC

H ' A 60

tan o      

 

8 a

3 a

a ABC dt

H ' A

VLT     

 Caùch : Do AB cắt (A’AC) A mà H trung điểm AB nên dB,A'AC2dH,A'AC

(10)

Do AC  (A’IH)  AC  HK (2) Từ (1) (2)  HK  (A’AC)

A’HI vuoâng

13

a 16

a a

4 a

a I'

A HI ' HA

HK 2 2 

   

 Vaäy  

13 a HK AC ' A , B

d  

 Caùch :     

13 a a

39 a

1

3 a AC I ' A V AC

' A dt

V AC ' A , B d

3

LT ABC

'

A 

 

 

 

BAØI 6.4 :

 Hướng dẫn :

a) Gọi H trung điểm AC

Theo giả thiết A’H  (ABC)  A’H đường cao hình lăng trụ ABC.A’B’C’  VABC.A’B’C’ = SABC.A’H

ABC vuông cân B neân : a

2 a 2

2 AC BC

AB   

ABC 2 a a a

1 AC AB

S       

 

Do A’H  (ABC) nên BH hình chiếu vng góc A’B lên (ABC)  góc tạo A’B (ABC) H

B ' A 

 A'BH = 45o  A’HB vuông cân H

a AC BH H '

A   

Vaäy VABC.A’B’C’ = a2.a = a3 (đvtt)

b) Gọi I = A’B  AB’ (tính chất đường chéo hình bình hành)  HI / B’C (HI đường trung tuyến AB’C’)

HA’B vuông cân H nên đường trung tuyến HI xuất phát từ đỉnh nên đường cao  HI  A’B

Do A’B  HI vaø HI // B’C nên A’B  B’C  Cách khác :

Để chứng minh A’B  B’C ta chứng minh A’B  (AB’C) có chứa B’C

 

 

 

  

 

 

ABC H

' A H ' A AC

ABC cân vuông

đỉnh từ phát xuất tuyến trung đường BH BH AC

AC  (A’HB)  AC  A’B

 vuông A’AH có : AA' A'H2AH2  a2 a2  2a2 a Maø ABa  AA'ABa

Hình bình hành ABB’A’ có AA’ = AB nên hình thoi  A’B  AB’ Vì A’B  AC A’B  AB’ nên A’B  (AB’C)  A’B  B’C

BAØI 6.5 :

 Hướng dẫn :

Gọi O giao điểm AC BD  A1O  (ABCD)

 A1O đường cao hình lăng trụ ABCD.A1B1C1D1

1 1

ABCD.A B C D ABCD

V S A O

Đáy lăng trụ hình chữ nhật ABCD biết hai cạnh a

AB , ADa nên ta dễ dàng tính diện tích

a

S

ABCD

Gọi E trung điểm AD, ta có :

AD  OE (OE đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh tam giác cân OAD)

B

BÀÀI 22I 22 :: (ĐẠI HỌC B 2011) Cho hình lăng trụ ABCD.A1B1C1D1có đ áy ABCD hình chữ nhật AB = a, AD = Hình chiếu vng góc điểm A1trên (ABCD) trùng với giao điểm AC BD Góc hai mặt phẳng (ADD1A1) (ABCD) 60.Tính thể tích khối lăng trụ cho khoảng cách từ điểm B1 đến (A1BD) theo a

3 a

A

B

C D

A1

B1 C1

D1

O

E 60

(11)

AD  A1O (do A1O  (ABCD))  AD  (A1OE)  AD  A1E

Vì OE  AD A1E  AD nên góc (ADD1A1) (ABCD) góc A1EO  góc A1EO = 60

Tam giác vng AOE có góc 60 nên nửa tam giác 

2 a O A1 

Vaäy

2 a O A S

V

3

ABCD D

C B A

ABCD 1 1 1 1   

Ta coù B1C // A1D  B1C // (A1BD)  d(B1, (A1BD)) = d(C, (A1BD))

Veõ CH  BD (H  BD)  CH  (A1BD)  d(C, (A1BD)) = CH

Tam giác vuông CBD có : CH.BD = CB.CD 

2 a CB CD

CD CB BD

CD CB CH

2

2  

 

Vaäy d(B1, (A1BD)) =

2 a

 Cách khác : Do A1B đường chéo hình bình hành ABB1A1 nên S S

1 1AB ABB

A 

 

 hình chóp D.A1AB hình chóp D.A1BB1 tích có chiều cao xuất phát từ D

Maø

4 a O A S V

V

3 ABD ABD

A AB A

D 1  1    vaø

2 a O A AD AB O A BD S

2

2

B

DA1    

)) B DA ( , B ( d S V

VD.ABB B.DAB DAB 1 1

1 1

1   

2 a S

V )) B DA ( , B ( d

B DA

BB A D

1

1

1 

 

BAØI 6.6 :

 Hướng dẫn :

 Tính thể tích khối chóp C’.BMN

Gọi H hình chiếu A’ mặt phẳng ABC ; A’ cách đỉnh A, B, C nên H tâm đường  trịn ngoại tiếp ABC Mà ABC vng cân A nên H trung điểm BC Gọi IAC'MN

Ta có CI'3AI nên dC ,'BMN3dA,BMN, suy C'.BMN A.BMN VA'.ABC

3 V

3

V  

Ta có BCa nên ABACa

2 a AH

Tam giác A’HA vuông H, ta có :

2 14 a a a AH ' AA H

'

A  2  2 

Thể tích khối chóp A'.ABC

12 14 a

14 a a H ' A S

V

ABC ABC

'

A     

Vaäy

16 14 a

VC'.BMN  (đvtt)

 Tính khoảng cách từ C’ đến mặt phẳng (BMN)

Gọi K trung điểm AH MK đường trung bình A’AH, ta có :

H ' A //

MK , A'H

2

MK vaø MKABC

Gọi J hình chiếu K BN, ta coù : BN MJ MK

BN KJ BN

  

 

 

Mà MJBMN nên BMN  MKJ theo giao tuyến MJ

Trong tam giác MKJ kẻ đường cao KP KPBMN  dK,BMNKP Gọi GAHBN G trọng tâm ABC

Ta coù :

12 a AH AH AH GH KH

(12)

Tam giác ABN vuông A, ta có :

3 a BN BG

5 a a a AN AB

BN   2    

Xét hai tam giác vuông đồng dạng KJG BHG ta có :

20 a BH 20

10 KJ 20

10

5 a12

2 a BG KG BH

KJ      

Tam giác MKJ vuông K, ta có :   

284 994 a KP BMN

, K d a 80 a

8 KJ

1 MK

1 KP

1

2 2

2       

Ta coù :    dA,BMN 4dK,BMN AH

6

AH KG AG BMN

, K d

BMN ,

A

d     

 

       

71 994 a BMN ,

K d 12 BMN , A d BMN ,'

C

d   

BAØI 6.7 :

 Hướng dẫn :

Gọi H trung điểm BC B'HABC

Khi đó, góc BB’ ABC góc B’BH = 60 o

Ta coù :

2 a 60 sin ' BB H '

B  o  ; BC a 3

2 a 60 cos ' BB

BH o   

a a a BC AB

CA    

Vaäy

4 a a a 2

a S

H ' B

VABC.A'B'C'  ABC   (ñvtt) Do CABC vaø CAB'H CABB'C'CCABB'

Trong mặt phẳng BB'C'C, kẻ CMB'BBB'CMABB'MA Vậy góc BB'C'C ABB'A' góc hai đường thẳng MC MA Do BB’C nên M trung điểm BB’

2 a MB BC

MC 2  ;

2 a 13

a a MB AB

MA 2   

Vaäy

13 MA

MC

CA MA MC

A M C

cos   2     góc hai mặt phẳng BCC'B' ABB'A' góc CMA mà

13 A M C

cos  

BAØI 6.8 :

 Hướng dẫn :

Gọi H trung điểm CM

Từ giả thiết      o

1

1H ABC CCH CC ; ABC 45

C    

Từ tam giác vuông ABC với BC2a, ABC60o  AC2a 3 a

4

AM , AB 2a CH a CH CHtan45 a

2

CM o

1  

    

3

ABC

' C ' B ' A

ABC CH.S a.2a 3a

V   

Kẻ HKAC  đường xiên C1KAC ABC ; ACC1A1C1KH Tam giác MCA cân M MCAMAC30o

  ABC ; ACCA  arctan2 HK

CH KH C tan

a 30 sin HC

HK o   1    1 1 

(13)

VII HÌNH HỘP

BÀI 7.1 :

 Hướng dẫn :

Hình chóp có C'B'ABB' nên C’B’ đường cao đáy tam giác ABB’ vuông đỉnh B, nên

coù : AB.BB.'CC'

2 V

VABB'C'  C'.ABB'  

Ta biết A’AC tam giác vng cân, có cạnh huyền A'Ca, ta tính

2 a AC A '

A  

Tam giác ABC tam giác vuông cân, đỉnh B, có cạnh huyền

2 a

AC nên ta có

2 a

a

AC

AB   Vậy ta có :

48 a 24

a a a a

VC'.ABB'       

Trong tam giác ABA’, kẻ đường cao AHA'B, AH vng góc với đường thẳng A'BBCD'A' Ta có: CBABB'A' mà AHABB'A' nên AHBC

Từ AHA'B AHBC  AHA'BC  H hình chiếu A mặt phẳng A'BC hay AH khoảng cách từ H đến A'BC, khoảng cách đến mặt phẳng BCD'

Trong tam giác vuông A’AB, AH đường cao thuộc cạnh huyền nên để tính AH, ta áp dụng cơng thức :

2

2 AB

1 ' AA AH

1   ; với

2 a '

AA vaø

2 a

AB , ta tính

6 a

AH

BAØI 7.2 :

 Hướng dẫn :

 Tính thể tích hình hộp

Gọi OACBD, ta có :   BD A'AO

D ' A B ' A O ' A BD

AC BD

  

 

 

 góc A’OA = 60o góc A'BD ABCD 

Từ giả thiết suy ABC tam giác Ta có : ACa, BD2OBa

Tam giác A’AO vuông A, ta có :

2 a 60 tan OA '

AA o 

Thể tích hình hộp cho :

4 a

3 a a a ' AA BD AC ' AA S

V ABCD    (đvtt)

 Tính khoảng cách CD’ (A’BD) Ta có : CD'//BA', suy CD'//A'BD

Do đó, dCD,'A'BDdC,A'BDdA,A'BD

Trong tam giác A’AO kẻ đường cao AH, ta có :    

 

 

AO ' A BD BD AH

O ' A AH A'BD dA,A'BD AH

AH  

 Ta coù :

4 a AH a

3 16 a

4 a

4 AO

1 A ' A

1 AH

1

2 2 2

2        Vaäy    4

3 a BD ' A ,' CD

d 

 Cách khác : Ta có :

8 a

3 a

3 a ' AA S

VA'.BCD ABD     vaø 2

3 a O ' A BD

SA'BD  

Mặt khác :      

4 a S

V BD ' A , A d BD ' A , A d S V

V

BD ' A

BD ' A A BD

' A BD

' A A ABD '

A     

Vaäy   

4 a BD ' A ,' CD

(14)

BAØI 7.3 :

 Hướng dẫn :

 Tính thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’

Ta có ABADa góc BAD = 60o nên ABD tam giác cạnh a

Tam giaùc BDK vuông K, ta có :

14 a a a BK BD

DK   2  , với

4 a ' BB

BK 

Ta coù :

2 a a

14 a a BD

' BB DK H ' B ' BB DK BD H '

B      

Tam giác B’HB vuông H, ta có : a a a H ' B ' BB

BH 2   

Suy H trung điểm BD HACBD

Diện tích hình thoi ABCD :

2 a S

2

SABCD ABD

Vậy thể tích khối hộp cho :

4 21 a

7 a

3 a H ' B S

V ABCD    (đvtt)

 Tính khoảng cách hai đường thẳng B’C C’D Ta có :   DC'//AB'C

C ' AB '

AB ' AB // ' DC

 

 

Do : d B'C , C' D d C' D , AB'C  d D , AB'C  

Ta coù : DH AC DH B ' H

 

 

     

a

DH AB'C d D , AB'C HD

2

    

Vaäy  

2 a D ' C , C ' B

Ngày đăng: 08/04/2021, 21:13

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan