IV CÁC DẤU HIỆU CHIA HẾT: 1.Dấu hiệu chia hết cho 4: Các số có hai chữ số tận cùng tạo thành một số chia hết cho 4 thì số đó chia hết cho 4 và ngược lại các số chia hết cho 4 thì hai chữ số tận cùng tạo thành một chia hết cho 4. Ví dụ:2500 và 35124 đều chia hết cho 4 vì hai chữ số tận cùng của mỗi số tạo thành các số 00 và 24 đều chia hết cho 4. Số 1945 không chia hết cho 4 vì hai chữ số tận cùng tạo thành số 45 không chia hết cho 4. 2.Dấu hiệu chia hết cho 8:Các số có ba chữ số tận cùng tạo thành một số chia hết cho 8 thì số đó chia hết cho 8 và ngược lại các số chia hết cho 8 thì ba chữ số tận cùng tạo thành một chia hết cho 8. Ví dụ:+ Số 345 120 chia hết cho 8 vì ba chữ số tận cùng tạo thành số 120 chia hết cho 8. + Số 456 004 không chia hết cho 8 vì ba chữ số tận cùng tạo thành số 004 không chia hết cho 8. Tổng quát: Các số có n chữ số tận cùng tạo thành chia hết cho 2 n thì số đó chia hết cho 2 n . 3.Dấu hiệu chia hết cho 6:Các số chia hết cho 2 và chia hết cho 3 thì chia hết cho 6, nếu không thì không chia hết cho 6. Ví dụ: 534 vừa chia hết cho 2 (chữ số tận cùng là 4) vừa chia hết cho 3 (5 + 3 + 4 = 12, 12 M 3) nên 534 M 6 Số 544 không chia hết cho 6 vì 544 / M 3 (5 + 4 + 4 = 13; 13 / M 3). Số a chia hết cho các số b 1 , b 2 , b 3 … (đôi một nguyên tố cùng nhau) thì a M b 1 . b 2 . b 3 … 4.Dấu hiệu chia hết cho 11:Các số có hiệu của tổng các chữ số hàng chẵn và tổng các chữ số hàng lẻ (hiệu của tổng các chữ số hàng lẻ và tổng các chữ số hàng chẵn) kể từ phải qua trái là một số chia hết cho 11 thì số đó chia hết cho 11. trong những trường hợp khác thì không chia hết cho 11. Ví dụ:+ Số 6 172 639 chia hết cho 11 vì tổng các chữ số hàng lẻ là 6 + 7 + 6 + 9 = 28 và tổng chữ số hàng chẵn là 1 + 2 + 3 = 6, hiệu của hai tổng bằng 28 – 6 = 22 là một số chia hết cho 11. + Số 45 729 không chia hết cho 11 vì tổng các chữ số hàng lẻ là 4 + 7 + 9 = 20 và tổng các chữ số hàng chẵn là 5 + 2 = 7, hiệu hai tổng bằng 20 – 7 = 13 không chia hết cho 11. 5.Dấu hiệu chia hết cho 10; 100; 1000 … 10 n ( n ∈ ¥ ) Các số tận cùng là 0 thì chia hết cho 10, các số có hai chữ số tận cùng là 0 thì chia hết cho 100, các số có ba chữ số tận cùng là 0 thì chia hết cho 1000, các số có n chữ số tận cùng là 0 thì chia hết cho 10 n . 6.Dấu hiệu chia hết cho 25:Các số có hai chữ số tận cùng tạo thành một số chia hết cho 25 (tức là có hai chữ số tận cùng là 00, 25, 50 hay 75) thì số đó chia hết cho 25. Các trường hợp còn lại không chia hết cho 25. Ví dụ:+ Số 8150 chia hết cho 25 vì hai chữ số tận cùng tạo thành số 50 chia hết cho 25. + Số 7132 không chia hết cho 25 vì hai chữ số tận cùng tạo thành số 32 không chia hết cho 25. CHUYÊN ĐỀ: CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT TÍCH, MỘT LŨY THỪA 1. Trong thực tế nhiều khi ta không cần biết giá trò của một số mà chỉ cần biết một hay nhiều chữ số tận cùng của nó. Chẳng hạn, khi so xổ số muốn biết có trúng những giải cuối hay không ta chỉ cần so 2 chữ số cuối cùng. Trong toán học, khi xét một số có chia hết cho 2, 4, 8 hoặc chia hết cho 5, 25, 125 hay không ta chỉ cần xét 1, 2, 3 chữ số tận cùng của số đó (xem § 10). 2. Tìm chữ số tận cùng của tích. - Tích các số lẻ là một số lẻ. 1 - Đặc biệt, tích của một số lẻ có tận cùng là 5 với bất kì số lẻ nào cũng có chữ số tận cùng là 5. - Tích của một số chẵn với bất kì một số tự nhiên nào cũng là một số chẵn. Đặc biệt, tích của một số chẳn có tận cùng là 0 với bất kì số tự nhiên nào cũng có chữ số tận cùng là 0. 3. Tìm chữ số tận cùng của một luỹ thừa. - Các số tự nhiên có tận cùng bằng 0, 1, 5, 6 khi nâng lên luỹ thừa bất kì ( khác 0 ) vẫn giữ nguyên chữ số tận cùng của nó. -Các số tự nhiên tận cùng bằng những chữ số 3, 7, 9 khi nâng lên luỹ thừa 4n đều có tận cùng là 1. .3 4n = .1; .7 4n = .1; 9 4n = .1 - Các số tự nhiên tận cùng bằng những chữ số 2, 4, 8 nâng lên lũy thừa 4n (n ≠ 0) đều có tận cùng là 6. : .2 4n = .6 ; .4 4n = .6 ; 8 4n = .6 ( Riêng đối với các số tự nhiên có chữ số tận cùng là 4 hoặc 9, nâng lên lũy thừa lẻ đều có chữ số tận cùng bằng chính nó; nâng lên lũy thừa chẵn có chữ số tận cùng lần lượt là 6 và 1). 4. Một số chính phương thì không có tận cùng bằng 2, 3, 7, 8. Thí dụ 1:Cho A = 51 n + 47 102 (n є N).Chứng tỏ rằng A chia hết cho 10. Giải:51 n = … 1 ; 47 102 = 47 100 . 47 2 = 47 4.25 . 47 2 = … 1 × … 9 = … 9. Vậy A = … 1 + … 9 = … 0 ; Vậy A chia hết cho 10. Thí dụ 2: Ta đã biết ngoài dương lòch, Âm lòch người ta còn ghi lòch theo hệ đến CAN CHI, chẳng hạn Nhâm Ngọ, Quý Mùi, Giáp Thân, … Chữ thứ nhất chỉ hàng CAN của năm. Có 10 can là: Hàng can Giáp t Bính Đinh Mậu Kỉ Canh Tân Nhâm Quý Mã số 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (0) Muốn tìm hàng CAN của một năm ta dùng công thức đơn giản sau đây rồi đối chiếu kết quả với bảng trên: Hàng CAN = Chữ số tận cùng của năm dương lòch _ 3 (Nếu chữ số tận cùng của năm dương lòch nhỏ hơn 3 thì ta mượn thêm 10). Bây giờ bạn hảy tìm hàng CAN của các năm Ngọ quan trọng trong lòch sử giành độc lập của dân tộc ta trong thế kỉ XX đó là năm 1930 năm Đảng CSVN ra đời và năm 1954 chiến thắng Điện Biên Phủ. Giải : 10 _ 3 = 7 ⇒ CANH ; 1930 là năm CANH NGỌ 4 _ 3 = 1 ⇒ GIÁP ; 1954 là năm GIÁP NGỌ BÀI TẬP 1. Nước Việt Nam dân chủ cộng hòa ra đời sau cách mạng tháng Tám năm 1945, đó là một năm Dậu. Hãy tìm hàng CAN của năm Dậu đó. 2. Em tuổi gì ? Tìm hàng CAN của tuổi đó. 3. Tìm chữ số tận cùng của các số sau :74 30 ; 49 31 ; 97 32 ; 58 33 ; 23 35 . 4. Tìm hai chữ số tận cùng của các số sau 5 n ( n > 1 ). 5. Chứng tỏ rằng các tổng, hiệu sau không chia hết cho 10. a) A = 98 . 96 . 94 .92 _ 91 . 93 . 95 . 97 ; b) B = 4 05n + 2 405 + m 2 (m,n є N ; n ≠ 0). 6. Tìm chữ số tận cùng của các số sau : a) 234 567 ; b) 579 675 7. Tích các số lẻ liên tiếp có tận cùng là 7. Hỏi tích đó có bao nhiêu thừa số ? Tích A = 2 . 2 2 . 2 3 2 10 x 5 2 . 5 4 . 5 6 …5 14 tận cùng bằng bao nhiêu chữ số 0 ? 8*. Cho S = 1 + 3 1 + 3 2 +3 3 + … + 3 30 . 2 Tìm chữ số tận cùng của S, từ đó suy ra S không phải là số chính phương. 3 . HIỆU CHIA HẾT: 1.Dấu hiệu chia hết cho 4: Các số có hai chữ số tận cùng tạo thành một số chia hết cho 4 thì số đó chia hết cho 4 và ngược lại các số chia. không chia hết cho 4. 2.Dấu hiệu chia hết cho 8:Các số có ba chữ số tận cùng tạo thành một số chia hết cho 8 thì số đó chia hết cho 8 và ngược lại các số chia