Chuyên đề BDHSG hình học 9 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- CHUYÊN ĐỀ 4 : BÀI TOÀN CỰC TRỊ CƠ BẢN VÀ ỨNG DỤNG Bài 1: Cho đường tròn (O) và dây cung AB cố định. M là điểm di chuyển trên cung lớn AB, H là hình chiếu của M trên AB. Tìm vị trí của M để MH đạt giá trị lớn nhất. Giải bài toán trong trường hợp M thuộc cung nhỏ AB. Hướng dẫn giải: Vẽ OI vuông góc với AB (I thuộc AB). Ta có . Dấu ” =” xảy ra khi và chỉ khi M, O, I thẳng hàng hay M là trung điểm cung AB. Vậy MA + MB đạt giá trị lớn nhất khi M là trung điểm cung AB. Tương tự đối với trường hợp M là trung điểm cung nhỏ AB. Bài 2: Cho đường tròn (O) và dây cung AB cố định. M là một điểm thay đổi trên cung nhỏ AB. Tìm vị trí của M để tổng MA + MB đạt giá trị lớn nhất. Hướng dẫn giải: Trên tia đối của tia MA lấy điểm C sao cho MB = MC. Khi đó ta có MA + MB = AC. Ta có Suy ra C thuộc cung chứa góc dựng trên đoạn AB. Từ đó AC lớn nhất khi AC là đường kính. Khi đó M là trung điểm cung AB. Vậy MA + MB lớn nhất khi M là trung điểm cung AB. Trên đây là hai bài toán cực trị cơ bản của lớp 9, từ hai bài toán trên ta có thể giải các bài toán sau: Bài 1: Cho đường tròn (O) và dây cung AB cố định. C là điểm thay đổi trên cung lớn AB. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Tìm vị trí của C để chu vi, diện tích tam giác HAB có giá trị lớn nhất. Bài 2: Cho đường tròn (O) và AB là dây cố định. Tìm điểm C thuộc cung lớn AB sao cho đạt giá trị nhỏ nhất. ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Phạm Thị Tuyến – THCS TT Yên Ninh Chuyên đề BDHSG hình học 9 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bài 3: Chứng minh rằng trong các tứ giác nội tiếp đường tròn (O) thì hình vuông có chu vi lớn nhất. Bài 4: ( CT NK 2007 - 200 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (C). P là một điểm trên cung BC không chứa điểm A. Hạ AM, AN lần lượt vuông góc với PB, PC. a) Chứng minh rằng MN luôn đi qua một điểm cố định khi P thay đổi. b) Xác định vị trí của P sao cho biểu thức AM.PB + AN.PC đạt giá trị lớn nhất. Bài 5: Cho tam giác ABC cân nội tiếp đường tròn tâm O. Trên cạnh BC lấy một điểm M.Đường tròn tâm D qua M và tiếp xúc với AB tại B và đường tròn tâm E qua M tiếp xúc AC tại C cắt nhau tại I. a) Tìm vị trí của M để DE có giá trị nhỏ nhất. b) Tìm vị trí M để chu vi tam giác IBC có giá trị lớn nhất. Bài 6: Trên các cạnh AB, AB, AC của tam giác ABC cố định, người ta lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho: a) Tính theo và b) Tính k sao cho đạt giá trị nhỏ nhất Hướng dẫn giải Ta có: Vì Do đó: Chứng minh tương tự ta cũng có: Từ đó ta có: b) Vì diện tích tam giác ABC không đổi nên để diện tích tam giác MNP nhỏ nhất thì đạt giá trị nhỏ nhất. Ta có . Dấu bằng xảy ra khi k = 1. Vậy diện tích tam giác MNP lớn nhất bằng diện tích tam giác ABC khi k = 1. ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Phạm Thị Tuyến – THCS TT Yên Ninh . Chuyên đề BDHSG hình học 9 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- CHUYÊN ĐỀ 4 :. ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Phạm Thị Tuyến – THCS TT Yên Ninh Chuyên đề BDHSG hình học 9 -------------------------------------------------------------------------------------------------------