1 PHẦN I PHẦN I : ĐẠI SỐ - LƯNG GIÁC VẤNĐỀ1: NHỊ THỨC BẬC NHẤT: f(x) = ax + b (a ≠ 0); nghiệm x = a b − Xét dấu: x - b/ a (phải cùng, trái nghòch) f(x) Trái dấu a 0 Cùng dấu a Bài tập: I/ Giải các bất phương trình sau: 1/ (4x –1)(2 – 3x)(x – 1) ≥ 0 ; 2/ 0 21 )4)(1( 2 ≤ − −+ x xx ; 3/ 22 1 23 2 +≥ − −− x x xx ; 4/ 0 34 )12)(65( 2 < − −+− x xxx ; 5/ 0 )2()7( )6()2()1( 23 43 ≤ −− ++− xx xxx ; 6/ 0 2 1 2 1 < + − − xx ; 7/ 0 4 6555 2 234 > − −++− xx xxxx ; 8/ 12 2 13 2 − − > + + x x x x II/ Giải các hệ: 1/    +<+ +≥+ 19234 7213 xx xx ; 2/        + − ≤− + +< + − + x xx xxx 3 2 1 4 53 6 2 3 2 2 1 ; 3/        ≤ − −+ ≥ − + 0 1 )42)(2( 1 1 32 x xx x x ; 4/      ∈ −≤− +≤+ Zx xx xx 1435 243 VẤN ĐỀ 2: TAM THỨC BẬC HAI: f(x) = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) ; ∆ = b 2 – 4ac ; (∆’ = b’ 2 – ac) + Nếu ∆ < 0 ; f(x) cùng dấu a hay a.f(x) > 0 , ∀x ∈ R + Nếu ∆ = 0 ; f(x) cùng dấu a hay a.f(x) > 0, ∀x ∈ R \ {- b/2a}; f(-b/2a) = 0 + Nếu ∆ > 0 ; f(x) = 0 có 2 nghiệm x 1 ; x 2 (x 1 < x 2 ) , (với x 1,2 = a b 2 ∆±− ). Xét dấu: (trong trái, ngoài cùng) VẤN ĐỀ3: SO SÁNH MỘT SỐ VỚI CÁC NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH BẬC II.: f(x) = ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) Với ∆ = b 2 – 4ac ; (∆’ = b’ 2 – ac) ; S = x 1 + x 2 = -b/a P = x 1 .x 2 = c/a + x 1 < α < x 2 < = > a.f(α) < 0 . + α < x 1 < x 2 < = >        >− > >∆ 0 2 0)(. 0 α α s fa ; + x 1 < x 2 < α < = >        <− > >∆ 0 2 0)(. 0 α α s fa + α < x 1 < β < x 2 < = >        >− > < 0 2 0)(. 0)(. α α β s fa fa ; + x 1 < α < x 2 < β < = >        <− < > 0 2 0)(. 0)(. β α β s fa fa -1- x x 1 x 2 f(x) Cùng dấu a 0 Trái dấu a 0 Cùng dấu a + f(x) ≥ 0 ;∀x ∈ R< = >    ≤∆ > 0 0a + f(x) ≤ 0 ;∀x ∈ R< = >    ≤∆ < 0 0a 2 VẤN ĐỀ 4: XÉT DẤU ĐA THỨC BẤT KỲø: f(x) = ax n + bx n-1 + … , bậc n Giả sử f(x) = 0 có nghiệm x 1 < x 2 < x 3 … + Nếu f(x) có bậc chẳn: Khoảng ( - ∞ ; x 1 ) có dấu cùng dấu a. + Nếu f(x) có bậc lẻ: Khoảng ( - ∞ ; x 1 ) có dấu trái dấu a. + Các khoảng kế tiếp có dấu theo qui tắc : “Dấu qua nghiệm đơn đổi dấu; dấu qua nghiệm kép không đổi ” VẤN ĐỀ 5: PHƯƠNG TRÌNH BẬC III: ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 có 3 nghiệm x 1 ; x 2 ; x 3 Ta có: x 1 + x 2 + x 3 = - b/a ; x 1 . x 2 . x 3 = -d/a ; x 1 .x 2 + x 2 .x 3 + x 3 .x 1 = c/a Bài tập: I/ Giải và biện luận các phương trình: 1/ (m – 2)x 2 – 2mx + m + 1 = 0 ; 2/ m 2 x 2 – m(5m + 1)x – (5m + 2) = 0 3/ x 2 + (1 – m)x – m = 0 ; 4/ (a + b)x 2 – (a 2 + 4ab + b 2 )x + 2ab.(a + b) = 0 II/ Tìm m để các phương trình sau: 1/ x 2 – 2mx + m 2 – 2m + 1 = 0 có 2 nghiệm phân biệt 2/ mx 2 – (2m + 1)x + m – 5 = 0 có 2 nghiệm phân biệt 3/ x 2 – 6x + m – 2 = 0 có 2 nghiệm dương phân biệt 4/ mx 2 + 2(m + 3)x + m = 0. a/ Có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu ; b/ Có 2 nghiệm âm phân biệt 5/ (m – 4)x 2 – 2(m – 2)x + m – 1 = 0 có 2 nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trò tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương. 6/ mx 2 – 2(m – 3)x + m – 4 = 0 có đúng 1 nghiệm dương. 7/ mx 2 – 2(m + 1)x + m(m + 1) 2 = 0 ; (với m ≠ 0 ; m ≠ – 1) a/ Có 2 nghiệm phân biệt. Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm độc lập đối với tham số m. b/ Có 2 nghiệm x 1 ; x 2 thoả x 1 = 3x 2 . 8/ x 2 – 2(m – 1)x + m 2 – 3m = 0. a/ Có 1 nghiệm x = 0. Tính nghiệm còn lại b/ Có 2 nghiệm x 1 ; x 2 sao cho : x 1 2 + x 2 2 = 8. 9/ Gọi a; b; c là độ dài 3 cạnh tam giác. CMRằng ptrình: c 2 x 2 + (a 2 – b 2 – c 2 )x + b 2 = 0 vô nghiệm III/ Giải các phương trình: 1/ (c + a –2b)x 2 + (a + b –2c)x + b + c – 2a = 0 ; (c + a –2b ≠ 0) 2/ (a + b) 2 x 2 – (a – b)(a 2 – b 2 )x – 2ab(a 2 + b 2 ) = 0 ; (a + b ≠ 0) 3/ x 2 – 2(sina.sinb)x + sin 2 a + sin 2 b – 1 = 0 IV/ Giải các bất phương trình sau: 1/ (- x 2 + 3x – 2)(x 2 – 5x + 6) ≥ 0 ; 2/ 0 34 23 2 2 > +− +− xx xx ; 3/ x x xx −< − +− 1 23 34 2 ; 4/ 0 30 23 2 234 > +− +− xx xxx 5/ 1 154 1 3 1 2 2 2 − ++ ≥ + − + − − x xx x x x x ; 6/ 1 32 1 2 1 1 32 + + ≤ +− + + x x xx x ; 7/ 0 )2( 33 23 > − +−− xx xxx V/ Giải các hệ bất phương trình sau: 1/      ≥+− ≤+− 0158 067 2 2 xx xx ; 2/      <−− >+− 0166 03103 2 2 xx xx ; 3/      ≥−− ≤−+ 06717 0383 2 2 xx xx ; 4/ 1 23 2310 1 2 2 < −+− −− <− xx xx 5/      >+− ≤−− ≥++ 0352 0102 034 2 2 2 xx xx xx ; 6/ 1 75 22 13 1 2 2 ≤ +− −− ≤ xx xx ; 7/      ≥−− <−− 012 074 2 2 xx xx -2- 3 VẤN ĐỀ 6: HỆ PHƯƠNG TRÌNH: (Hệ đối xứng, phản đối xứng đối với x ; y) Đặt : S = x + y ; P = x.y . Khi đó: x ; y là nghiệm phương trình: X 2 – SX + P = 0 ; ĐK: S 2 – 4P ≥ 0. Giải các hệ sau: 1/    =+ =+ 5 3 22 yx yx ; 2/      =+ =+ 12 711 7 yx yx ; 3/      =+ =+ 3 3 7 33 22 yx yx ; 4/    −= =− 14 9 xy yx 5/      −= −=− 3 2 22 xy yx ; 6/    =+ =++ 5 5 22 yx xyyx ; 7/        += += x xy y yx 1 2 1 2 2 2 ; 8/      =+ +=+ 6 )(3)(2 3 3 3 2 3 2 yx xyyxyx ; 9/      +−= +−= 542 542 2 2 xxy yyx ; 10/        =− =− 4 1 1 4 1 1 2 2 xy yx ; 11/    +=+ =+ 2233 1 yxyx yx ; 12/    =+− =− 13 30 22 xyyx xyyx 13/        =+++ =+++ 9 11 5 11 22 22 yx yx yx yx ; 14/    = =− 4 63 33 xy yx ; 15/      =−− =−+ 15395 38453 22 22 yxyx yxyx ; 16/      =+ =+ 5 6 13 yx x y y x 17/    =++ −=++ 13 11 22 xyyx xyyx ; 18/    =−− =+ 18)1)(1( 65 22 yx yx ; 19/      =+ =+ 97 78)( 44 22 yx xyyx ; 20/      += += xyy yxx 2 2 3 3 21/      += += xyy yxx 23 23 2 2 ; 22/      +=− +=− xyxy yxyx 22 22 22 22 ; 23/      =+− −=+− 1333 13 22 22 yxyx yxyx VẤN ĐỀ 7: BẤT ĐẲNG THỨC: + BĐT Cauchy: cho n số a 1 ; a 2 ; …; a n không âm. Ta có: n n n aaaa n aaa . . 321 21 ≥ +++ Dấu “ = “ xãy ra khi: a 1 = a 2 = … = a n + BĐT trò tuyết đối: 1/a+b≤ a+b 2/ a- b≤ a-b≤ a - b≤ a+b + BĐT tam giác: với a ; b ; c ; là độ dài 3 cạnh của tam giác bất kỳ. Ta có: a + b > c ; b + c > a ; c + a > b ; a – c < b ; a – b < c ; b – c < a Bài tập: (Dùng biến đổi tương đương) Chứng minh rằng: 1/ Cho:a; b > 0. Ta có: a 3 + b 3 ≥ a 2 b + ab 2 ; 2/ Cho a + b ≥ 0. Ta có: Ta có: a 3 + b 3 ≥ ab(a + b). 3/ Cho:a;b > 0.Ta có: a 4 + b 4 ≥ a 3 b + ab 3 ; 4/ 222222 )()( dbcadcba +++≥+++ (a;b;c;d ∈ R) -3- 4 5/ Cho:a, b, c, d ∈ R. Ta có: a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + e 2 ≥ a(b + c + d + e). 6/ Cho:a + b ≥ 0;ta có: 3 33 22 baba + ≤ + ; 7/ Cho: a > b >0; x >y. x;y∈N. CMR: yy yy xx xx ba ba ba ba + − > + − 8/ CMR: 1;1 ≤≤ ba thì abba +<+ 1 ; 9/ Cho: a≥b≥c>0. CMR: a c c b b a c a b c a b ++≥++ 10/ CMR: (a 10 + b 10 )(a 2 + b 2 ) ≥ (a 8 + b 8 )(a 4 + b 4 ) ; 11/ Cos(sinx) > sin(cosx) , Với mọi x ∈ R (Dùng các bất đẳng thức thông dụng). Chứng minh rằng: 13/ Với: a; b; c ≥ 0. CMR: (1 + a)(1 + b)(1 + c) ≥ 3 3 )1( abc + . (Côsi) 14/ CMR: 2 9 4 3 943 abccba ≥++ , Với: a; b; c ≥ 0. (Côsi) 15/ Cho 3 số dương: a, b, c thoả: a + b + c = 1. CMR: P = (a+b)(b+c)(c+a).abc ≤ 8/729. (Côsi) 16/ Với: a, b, c ≥ 0. CMR: 33 cabcabcba ++ ≥ ++ . (sử dụng: a 2 + b 2 ≥ 2ab…) 17/ Với: a, b, c > 0. CMR: (a 2 + b 2 + c 2 ).( )( 2 3 ) 111 cba accbba ++≥ + + + + + . (Côsi) 18/ Với: a, b, c > 0. CMR: 2 222 cba ba c ac b cb a ++ ≥ + + + + + (Côsi) 19/ CMR: n n ≥++++ 1 . 3 1 2 1 1 1 ; Với n ∈ Z + 20/ Cho n số: a 1 ; a 2 ; …; a n ≥ 0. Thoả : a 1 + a 2 + …+ a n = 1. CMR: 2 1 . 13121 − ≤+++ − n aaaaaa nn 21/ Cho a; b; c > 0. CMR: 2 ) 111 .(4 333 cacbbaacbcab + + + + + ≥++ . (CS) 22/ Cho 0 < α < 2 π . CMR: 223) cos 1 1)( sin 1 1( +≥++ αα . (CS) GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT: (ĐẠISỐ) 1/ Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức: P = (x – x 1 ) 2 + (x – x 2 ) 2 + (x – x 3 ) 2 + … + (x – x n ) 2 2/ Cho 3 số x; y; z thoả: x ≥ 4; y ≥ 3; z ≥ 2. Tìm giá trò lớn nhất của biểu thức: A = xyz yzxxyzzxy 342 −+−+− 3/ Cho 3 số dương x; y; z thoả: yzx 211 =+ . Tìm giá trò nhỏ nhất của A = yz yz yx yx − + + − + 22 4/ Cho 3 số dương a; b; c thoả: a + b + c = 2 π . Tìm giá trò lớn nhất của biểu thức: M = tgctgatgbtgctgatgb +++++ 111 5/ Cho 3 số dương a; b; c. Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức: P = c ba ba c b ac ac b a cb cb a + + + + + + + + + + + 6/ Cho a ≥ 0; b ≥ 0 ; m > n > 0. Chứng minh rằng: (a m + b m ) m 1 ≤ (a n + b n ) n 1 7/ Tìm giá trò lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y = 44 11 xx ++− ; với: -1 ≤ x ≤ 1 8/ Tìm giá trò lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức: P = 3cos2cos6cos4cos 22 +−+++ aaaa 9/ Cho x; y; z là những số dương thoả: x + y + z = 1. Tìm GTLN của: P = 111 + + + + + z z y y x x . 10/ Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh là a; b; c và S là diện tích. CMR: a 2 + b 2 + c 2 34S ≥ 11/ Cho a; b; c là những số dương thoả: a 2 + b 2 + c 2 = 1. Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức: P = 222222 ba c ac b cb a + + + + + -4- 5 12/ Cho x; y; z là những số dương thoả: x + y + z = 1. Tìm GTLN của M = xyz(x + y)(y + z)(z + x) 13/ Cho x 1 ; x 2 ; x 3 ; … ; x n > 0 và n >1; n ∈ NTìm GTNN của P = ) .( . 321 22 2 2 1 n n xxxx xxx +++ +++ VẤN ĐỀ 8: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI: Lưu ý: A =    <− ≥ 0; 0; AA AA + f(x)  = g(x) < = >    = ≥ )()( 0)( 22 xgxf xg ; + f(x)  < g(x) < = >    < > )()( 0)( 22 xgxf xg + f(x)  > g(x) < = >    > ≥ )()( 0)( 22 xgxf xg Hoặc : g(x) < 0 Bài tập: I/ Giải các phương trình sau: 1/ 445 2 +=+− xxx ; 2/ x 2 – 5 011 =−− x ; 3/ 03213 =+−− xx ; 4/ 2. 33 =−− xx . 5/ 0632 22 =−−− xx ; 6/ 23527 ++−=− xxx ; 7/ 844 =++− xx . 8/ 1 1 1 = − + x x ; 9/ x x x = − − 2 1 2 ; 10/ 2 )2( 11 2 = − ++− xx xx ; 11/ 4 3 43 22 3 2 2 22 =+−++− x x x x . 12/ 3423 =−−++− xxx ; 13/ 433221 =−+−−− xxx ; 14/ xxxx 223 22 −=+− . 15/ 332 22 −+=+−− xxxxx ; 16/ 0248384 232 =−+++− xxxx ; 17/ 112 =−− x . II/ Giải các Bất phương trình sau: 1/ xx 21 2 <− ; 2/ 112 −≥− xx ; 3/ xxxx 223 22 >++− ; 4/ xx 4752 −>+ 5/ 242 −+−≤ xxx ; 6/ 213 <+−− xx ; 7/ 2231 ≤+−− xx 8/ .13245 22 +−≥+− xxxx ; 9/ 1 2 4 2 2 ≤ ++ − xx xx ; 10/ 01 3 52 >+ − − x x ; 11/ 3 65 2 2 ≥ +− − xx x 12/ 2 2 ≥ −+ x xx ; 13/ 1 5 34 2 2 ≥ −+ +− xx xx ; 14/ 2 35 9 −≥ −− x x . VẤN ĐỀ 9: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ (CĂN THỨC): + )()( xgxf = < = >    = ≥ )()( 0)( 2 xgxf xg ; + )()( xgxf = < = >      = ≥ ≥ )()( 0)( 0)( xgxf xf xg + ⇔=+ )()()( xhxgxf Đ.Kiện: f(x) ≥ 0 ; g(x) ≥ 0 ; h(x) ≥ 0 ; B.phương 2 vế dưới dạng 1 tổng -5- 6 + )()( xgxf < < = >      < > ≥ )()( 0)( 0)( 2 xgxf xg xf ; + )()( xgxf > < = > ` 0)( 0)( )()( 0)( 2           ≥ <    > ≥ xf xg xgxf xg I/ Giải các phương trình sau: 1/ 1381 +−=+ xx ; 2/ 2193 2 −=+− xxx ; 3/ xxx −=+− 242 2 ; 4/ 2173 =+−+ xx 5/ 5485 22 =−++−+ xxxx ; 6/ 31 3 −=+ xx ; 7/ (x+1)(x+4) - 3 625 2 =++ xx 8/ 333 11265 +=+++ xxx ; 9/ 78231523 22 =+−++− xxxx ; 10/ 279 22 =−−+ xx 11/ 333 1131 −=+++ xxx ;12/ 1153853 22 =++−++ xxxx ; 13/ 7)73(8)37( 5 3 5 3 =−+− − xx 14/ 4235247 44 =++− xx ; 15/ )616(244 2 −−+=−++ xxxx ; 16/ 112575 33 =−−+ xx 17/ 41719 33 =++++− xx ; 18/ 1122145 =+−+++−+ xxxx 19/ 41268231243221222 =−−++−−+−−− xxxxxx ; 20/ 41432 =++− xx 21/ 73421 +−+=++− xxxx ; 22/ 1414 −+−=− xxx ; 23/ 333 13112 +=−+− xxx 24/ 333 3221 −=−+− xxx ; 25/ 2 3 1212 + =−−+−+ x xxxx II/ Giải các bất phương trình sau: 1/ 02162 2 >−++− xxx ; 2/ xxx ≤−−+ 12 ; 3/ 728317 +≤−−+ xxx 4/ xxx −>+− 112 2 ; 5/ 71105 2 ≥++ xx - 2x – x 2 ; 6/ (x – 3) ≤− 4 2 x x 2 – 9 7/ x x x − + <+ 2 )1(2 12 xxx −≥+− 112 24 ; 8/ 3 1 2 1 > + − + x x x x ; 9/ 1 1 3 1 1 2 2 − − > − x x x 10/ 195 >−−− xx ; 11/ xxx −<−− 712 2 ; 12/ 3421 2 +<−− xxx 13/ xxx −≥+− 112 24 ; 14/ 1162 2 +>++ xxx ; 15/ 8273 −>−−+ xxx . 16/ 1232 ≤+++ xx ; 17/ 2111 ≤−−− xx ; 18/ (x + 5)(x – 2) + 3 )3( + xx > 0 19/ 3 3 16 2 −+ − − x x x > 3 5 − x ; 20/ 2 11 4 31 2 −<− x x ; 21/ 4 34 2 1 2 2 −>− x x 22/ (x + 5)(x – 2) + 3 )3( +xx > 0 ; 23/ (x + 1)(x + 4) < 5 285 2 ++ xx ; 24/ 1253753 22 ≥++−++ xxxx ; 25/ 2 3 4 2 ≤ − − x xx ; 26/ 0 3 21517 2 ≥ + −− x xx 27/ 31 3 −>+ xx ; 28/ x + 2 3 3 8 +≤ x ; 29/ 01312 3 2 3 2 ≥−−+ xx VẤN ĐỀ 10: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC: I/ Phương trình cơ bản: 1/ CosX = Cosu < = >    +−= += π π 2 2 kuX kuX . 2/ SinX = Sinu < = >    +−= += ππ π 2 2 kuX kuX 3/ TanX = Tanu < = > X = u + kπ . 4/ CotX = Cotu < = > X = u + kπ II/ Nghiệm đặc biệt: + CosX = 1 < = > X = k2π. + CosX = 0 < = > X = π/2 + kπ. + CosX = - 1 < = > X = π + 2kπ + SinX = 1 < = > X = π/2 + k2π. + SinX = 0 < = > X = kπ. + SinX = - 1 < = > X = - π/2 + k2π -6- 7 + TanX = 0 < = > X = kπ. + CotX = 0 < = > X = π/2 + kπ. III/ Điều kiện khi đặt ẩn phụ: + Đặt : t = SinX; t = CosX. ĐKiện: t ≤ 1. + Đặt: t = SinX ± CosX; t = CosX ± SinX, ĐKiện: t ≤ 2 + Đặt t = tanX + cotX . Đkiện: t ≥ 2. + TanX có nghóa :X ≠ π/2 + kπ. + CotX có nghóa: X ≠ kπ. IV/ Một số lưu ý: SinX ± CosX = 2 Sin(X 4 π ± ). CosX ± SinX = 2 Cos(X 4 π  ). Bài Tập: Giải các phương trình sau: 1/ xx x xx 3sinsin2 cos 2cos3cos = . 2/ 1 6cos 4sin = x x . 3/ 8cosx.cos2x.cos4x = x x sin 6sin 4/ sin 2 x + cos 2 3x = 1. 5/ sin( 2 2 )cos 8 11 = x π . 6/ sin(5x + ) 6 π + cos(3x - 3 π ) = 2cos( x5 3 − π ) 7/ 22 812 36cos212cos ππ +− −− xx xx = 0. 8/ (1 + sin2x)(1 – tanx) = 1 + tanx. 9/ sinx + cosx = x x 2sin1 2cos − 10/ tgx x xx −= + ++ 2 sin1 cossin1 .11/ 5(sinx + cosx) + sin3x – cos3x = 2 2 (2 + sin2x). 12/ sin 2 x + cos2x + 3sinx + 3 = 0. 13/ 4sin 2 x – 2( 23 + )sinx + 6 = 0. 14/ 4cos 2 – 2( 23 − )cosx – 6 = 0. 15/ tan 2 x – ( 13 + )tanx + 3 = 0. ( x ∈ [-2π ; 2π]) 16/ tan(3x + 2 π ).cot(5x - π ) = 1. 17/ tan[π(2x+1)] – tan[π(x+1)] = 0 18/ tan(x - 4 π ).sin(3x + π) = - sin(3x + 2 π ). 19/ cosx + xsin3 = -1. 20/ cos2x + sin2x = 2 . 21/ 3sin 2 x + 8sinxcosx + 4cos 2 x = 0. 22/ 3sin 2 x – (3 + 3 )sinxcosx + 3 cos 2 x = 0. Với x ∈ [0 ; 2π]. 23/ 3(sinx + cosx) + 2sinxcosx = - 3. 24/ (1 + 2 )(sinx + cosx) – 2sinxcosx – 1 – 2 = 0. 25/ 2sin2x – ( 26 + )(cosx – sinx) = 2 + 3 . 26/ (sinx + cosx) 3 - 2 (1+sin2x) +sinx + cosx = 2 . 27/ cosx + x x x sin 1 sin cos 1 ++ = 3 10 . 28/ xxx 4sin 2 2sin 1 cos 1 =+ . 29/ Sinx + sin2x = sin3x 30/ 1 + sin3x = cos2x + sinx. 31/ cos3x – 4cos2x + 3cosx – 4 = 0. Với x ∈ [0 ; 14](K D :01-02) 32/ sinx + sin2x + sin3x = cosx + cos2x + cos3x. 33/ sin 2 x + sin 2 2x + sin 2 3x + sin 2 4x = 2. 34/ cos 3 x.cos3x + sin 3 x.sin3x = 4 3 . 35/ sin 3 x – 6sin 2 xcosx + 11sinxcos 2 x – 6cos 3 x = 0. 36/ 9sin 3 x – 5sinx + 2cos 3 x = 0. 37/ tanx + tan 2 x + tan 3 x + cotx + cot 2 x + cot 3 x = 6. 38/ cos3x – cos2x = sin3x. 39/ sin 2 x + sinx + cos 3 x = 0. 40/ (cos2x – cos4x) 2 = 4 + cos 2 3x 41/ xxxx cossin22sin12cos +=++ . 42/ xx 2sin2cos32 =− .43/ xx cos22cos43 =+ 44/ 2 3 1sin2 3 sin3 − − = x tgx x . 45/ x tgxgx sin 1 cot += . 46/ 12sin4cossin =+− xxx 47/ sin 4 x + cos 4 x = sin 4 2x + cos 4 2x. 48/ cos 4 x – cos2x + 2sin 6 x = 0. 49/ sin 8 x + cos 8 x = x2cos 6 17 2 50/ 15cos 2 x + 1993sin 1992 x = 1993. 51/ sinx + cosx = )2sin2(2 7 x − . 52/ sin 5 x + cos 5 x = 1. 53/ sin7x.sin9x = sin5x.sin11x. 54/ sin 2 x + sin 2 2 3x + sin 2 2x + sin 2 2 9x = 2. 55/ sin 4 x + cos 4 x = cos4x. 56/ sin17x.cos3x = sin11x.cos9x. 57/ 9cos3x.cos5x + 7 = 9cos3x.cosx + 12cos4x. 58/ 2cos13x + 3(cos5x + cos3x) = 8cosx.cos 3 4x. 59/ cos 3 x.cos3x + sin 3 x.sin3x = sin 3 5x. 60/ 5(sinx + x xx 2sin21 3sin3cos + + ) = cos2x+3.Với x∈(0;2π). 61/ sin 2 3x – cos 2 4x = sin 2 5x – cos 2 6x. 62/ cotx – 1 = xx x x 2sin 2 1 sin tan1 2cos 2 −+ + . 63/ cotx – tanx + 4sin2x = x2sin 2 . 64/ sin 2 ( 42 π − x ).tan 2 x – cos 2 (x/2) = 0. -7- 8 65/ 5sinx – 2 = 3(1 – sinx)tan 2 x. 66/ (2cosx –1)(2sinx + cosx) = sin2x – sinx VẤN ĐỀ 11: PHƯƠNG TRÌNH MŨ: Cần Nhớ: a f(x) = b có nghóa khi b > 0, 0 < a ≠ 1. PP giải: 1/ Đưa về cùng cơ số: a f(x) = a g(x) < = > f(x) = g(x) 2/ Đặt ẩn phụ: t = a f(x) . ĐKiện: t > 0. Giải ptrình đại số theo t, nhận t > 0. 3/ Logarit hoá: a f(x) = b < = > f(x) = log a b . 4/ Sử dụng tính đơn điệu: a f(x) < a m < = >    <<> >< 10:,)( 1:,)( aNeumxf aNeumxf Hoặc: + Hs luôn đ/biến và hs luôn n/biến cắt nhau tại 1 điểm là nghiệm pthđg.điểm của chúng. + H/số luôn đ/biến và h/s hằng y = y 0 cắt nhau tại 1 điểm là n 0 pthđg.điểm của chúng. + H/số luôn n/biến và h/s hằng y = y 0 cắt nhau tại 1 điểm là n 0 pthđg.điểm của chúng. Giải các phương trình sau: 1/ xxx 318 42 2 −+− = . 2/ 2 2.16 2 5 6 2 = −− xx . 3/ 3 4x + 8 – 4.3 2x + 5 + 27 = 0. 4/ 2 2x + 6 + 2 x + 7 – 17 = 0. 5/ 2 2x – 3 – 4 53 2 −+ xx = 0. 6/ 9 1 2 − x - 36.3 3 2 − x + 3 = 0. 7/ 0639 11 22 =−− ++ xx .8/ 084)3()3( 10 105 =−+ − xx . 9/ 4 2 2 −+ xx - 5.2 21 2 −+− xx - 6 = 0. 10/ 2 3 4 + x + 9 x = 6 x+1 . 11/ 2. xxx 111 9.364 −−− =− 12/ 2 1 2 − x - 21 222 233 +− −= xxx . 13/ 3. 16 x + 2.81 x = 5. 36 x . 14/ 2.16 x – 15.4 x – 8 = 0. 15/ 7.3 x+1 – 5 x+2 = 3 x+4 – 5 x+3 . 16/ 4 x+1 + 2 x+4 = 2 x+2 + 16. 17/ 8 x – 3.4 x – 3.2 x+1 + 8 = 0. 18/ 7)7,0.(6 100 7 2 += x x x 19/ 2 x+3 - xxxxx 233 5262 22 −= −+−+ . 20/ 6.9 x – 13.6 x + 6.4 x = 0. 21/ 5 x + 5 x+1 + 5 x+2 = 3 x + 3 x+3 – 3 x+1 . 22/ 2 x .3 x-1 .5 x-2 = 12. 23/ 3 x+1 + 3 x-2 – 3 x-3 + 3 x-4 = 750. 24/ 7.3 x+1 – 5 x+2 = 3 x+4 – 5 x+3 . 25/ 2. 3) 2 77 .(7) 2 77 ( 2 −= + − + −− xxxx . 26/ 4 x + 4 -x + 2 x + 2 -x = 10 27/ 4 x = 2.14 x + 3.49 x . 28/ 3.4)1132()1132( 1212 =−++ −− xx . 29/ 25 x +15 x = 2.9 x 30/ .14)32()32( =++− xx 31/ 4)347()347( coscos =−++ xx . 32/ 3 x + 4 x = 5 x . 33/ 22 2.10164 −− =+ xx . 34/ 1 2 12 2 1 2.62 )1(3 3 =+−− − xx xx . 35/ 125 x + 50 x = 2 3x+1 36/ 8444)24.(2 22 1 −−+=−−+ xxxx x . 37/ 4.3 x – 9.2 x = 5.6 x/2 . 38/ 1 + 3 x/2 = 2 x . 39/ 5 2x = 3 2x + 2.5 x + 2.3 x . 40/ 3.25 x-2 + (3x – 10).5 x-2 + 3 – x = 0. 41/ 3.4 x + (3x –10).2 x + 3 – x = 0. 42/. )32(4)32).(347()32( +=−+++ xx 43/ 3 2)215.(7)215( + =++− xxx . 44/ 022.92 2212 22 =+− +++ xxxx 45/ 8.3 x + 3.2 x = 24 + 6 x . 46/ x 2 – (3 – 2 x )x + 2(1 – 2 x ) = 0 VẤN ĐỀ 12: PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT: Cần Nhớ: b xf xa = )( )( log có nghóa khi f(x) > 0, 0 < a(x) ≠ 1. Đặc biệt: a b c b ca loglog = PP giải: 1/ Đưa về cùng cơ số: )(log)(log xgxf aa = < = > f(x) = g(x). Với ĐK:    ≠< > 10 0)();( a xgxf 2/ Dùng Đònh nghóa: bxf a = )(log < = > f(x) = a b . Với ĐK:    ≠< > 10 0)( a xf -8- 9 3/ Đặt ẩn phụ: t = )(log xf a . ĐKiện:    ≠< > 10 0)( a xf . Giải ptrình đại số theo t. 4/ Sử dụng tính đơn điệu: )(log)(log xgxf aa < < = >    <<> >< 10:);()( 1:);()( aNeuxgxf aNeuxgxf Hoặc: + Hs luôn đ/biến và hs luôn n/biến cắt nhau tại 1 điểm là nghiệm pthđg.điểm của chúng. + H/số luôn đ/biến và h/s hằng y = y 0 cắt nhau tại 1 điểm là n 0 pthđg.điểm của chúng. + H/số luôn n/biến và h/s hằng y = y 0 cắt nhau tại 1 điểm là n 0 pthđg.điểm của chúng. Giải các phương trình sau: 1/ 3)1(log)3(log 22 =−+− xx . 2/ 8 444 log2)1(log)3(log −=−−+ xx . 3/ lg5 + lg(x + 10)–1 = lg(21x– 20)–lg(2x–1). 4/ 3 2 )127( 2 )23( 2 log3loglog 22 +=+ ++++ xxxx . 5/ lg 2 x – lgx 3 + 2 = 0. 6/ lg(x – 3) + lg(x + 6) = lg2 + lg5. 7/ lgx - ) 8 1 lg( 2 1 ) 2 1 lg() 2 1 lg( 2 1 +−+=− xxx . 8/ lg(x – 4) + lg(x + 3) = lg(5x + 4). 9/ 3 log x 2 + x 3 2 log = 6. 10/ 4loglog2log ) 2 1 ( 5 )2( 5 )2( 5 3 =++ − −− x xx . 11/ 0loglog.2 2 )4( 3 )2( 3 =+ −− xx . 12/ 3 2 )10( 2 )2( 2 log.4loglog 22 =+ ++ xx . 13/ 0 6 7 loglog 4 2 =+− x x . 14/ 2logloglog 5 )6( 55 +−= + xxx . 15/ x xxx lglogloglog 432 =++ . 16/ 2 11 logloglog 2793 =++ xxx . 17/ 3loglog 4 2 2 2 =+ x x . 18/ 2loglog )(log 2 )(log 4 42 =+ xx 19/ 3logloglog )3( 3 3 1 3 43 =++ xxx . 20/ 1 + 4 )1( )1( 2 loglog − − = x x . 21/ 3. xx x 216 16 log2log4log =− 22/ 2log )452( 2 = +− xx x . 23/ 3loglog 64 2 16 2 =+ x x . 24/ )18,0lg(2)1lg()45lg( 2 1 +=++− xx 25/ 3log )6( = + x x .26/ )13 4( 3 log − x = 2x + 1. 27/ 2log.log )22( 2 )12( 2 1 = ++ + xx . 28/ 1623 3 2 3 log)(log =+ xx x 29/ x 2 . 4log.log 9 27 += x x x . 30/ 02loglog )26( 3 )8( 9 =+− ++ xx . 31/ 9loglog 44 3 )2( 3 22 =+ +++ xxx 32/ ln(x 3 + 1) - 2 1 ln(x 2 + 2x + 1) = ln3. 33/ )63.4( 2 log − x - 1log )69( 2 = − x . 34/ 2log )652( 5 2 = +− − xx x . 35/ ) 13 73 ( 2 ) 1 2 ( 2 log1log − − − − =− x x x x . 36/ 2. 1loglog ) 1 1 ( 2 ) 1 7 ( 2 =+ + − − − x x x x . 37/ 4 3 13 3 )25( 3 log1log2log −=− +− xx . 38/ lg(10x 2 ) . lgx = 1. 39/ 2 10log9log 3 9 =+ x x . 40/ 1).(loglog 2 25 )125( = xx x . 41/ 1log)(log ) 5 ( 5 2 5 =+ x x x 42/ 25).5(5 )(log 4 9 loglog x x xx +=+ . 43/ lg(lgx) + lg(lgx 3 – 2) = 0. 44/ 4 )(log 2 log 2 22 2. 4 1 xx x = . 45/ )3( 3 ) 2 1 ( 3 )65( 9 loglog 2 1 log 22 − − +− += x x xx . 46/ )1( 2 )1( 2 )1( 2 )1( 2 242422 loglogloglog +−+++−++ +=+ xxxxxxxx 47/ )2( 75 loglog + = xx . 48/ 2x – lg(5 2x + x – 2) = lg4 x . 49/ 32 4log 2 = + x x . 50/ 9 2 )2( log = − x x x . VẤN ĐỀ 13: BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ, LÔGARIT: Phương pháp: + a f(x) > a g(x) < = >    <<< >> 10);()( 1);()( axgxf axgxf . + )(log)(log xgxf aa > < = >    <<< >> 10);()( 1);()( axgxf axgxf . Giải các BPT sau: 1/ 0 12 122 1 ≤ − +− − x xx . 2/ 2 1 1 )25()25( + − − −≥+ x x x .3/ 222 21212 15.34925 xxxxxx −−+−+ ≥+ . 4/ (x 2 +x+1) x < 1 -9- Ngoài ra ta vẫn sử dụng các pp đặt ẩn phụ, đưa về cùng cơ số…. như giải phương trình 10 5/ 1) 2 1 ( )32 2 ( 3 log > −− xx . 6/ 64 27 ) 4 3 ( 106 2 < +− xx . 7/ 3 log )23( 2 2 +− xx > 3. 8/ 2 2x+1 – 21.(1/2) 2x+3 + 2 ≥ 0 9/ (0,1) x+1 < 0,8 + 2. 10 x . 10/ 2 x + 2 -x < 3. 11/ 3 4 – 3x – 35.3 3x – 2 + 6 ≥ 0. 12/ 6.(2 x – 1) -1 < 2 x . 13/ 3 lgx + 2 < 5lg 2 3 + x .14/ )lg(lg 2.32) 2 1 ( 2 xx −− >+ .15/ 1log.log.log 4 2 2 2 2 > x xx . 16/ 16 24 2 2 2 log 2 5 log.3)(log ≥+ xx 17/ )2sin3( 125 )(sin 5 loglog − > xx . 18/ 1log ) 14 224 ( ) 16 25 ( 2 2 > −− − xx x . 19/ 2 1 log ) 2 54 ( 2 ≥ − − x x x . 20/ 2 1 log ) 34 34 .(2 2 −> − − x x . 21/ 126 6 2 6 log)(log ≤+ xx x . 22/ 1log )3( )3( 2 > − − x xx . 23/ lg(x 2 – 2x – 2) ≤ 0. 24/ 2log )4311( 5 2 < +− xx . 25/ 2 - 0log )3( 2 2 ≥ + xx . 26/ 0log ) 2 82 ( 2 3 < − − x x . 27/ ) 1 24 ( 2 2 log + +− x xx ≤ 1. 28/ 2 1 log ) 23 ( 4 ≤ + x x 29/ 1log ) 1 12 ( 3 < + + x x . 30/ 2 1 log1 log1 2 4 ≤ + − x x . 31/ 2 5 loglog 3 3 1 −> x x . 32/ lg 2 x + 3.lgx – 4 ≥ 0 33/ 0148log.20)(log)(log 2 2 4 1 2 1 4 2 5 <+−− x x x . 34/ [ ][ ] 36log3).(log28log3).(log2 3 2 33 2 3 ≥−−−− xxxx . Giải các phương trình sau: 1/ 2 1 log sin cos8 1 2 = x x . 2/ 0loglog )2cos 2 (sin 3 1 )sin 2 (sin 3 =+ +− x x x x . 3/ 1log ) 2 3 sin 2 (sin )sin( = + − xx x . 4/ 07lgcoslglog 2sin 1,0 =−+ x x 5/ x xx xx xx 2sin ) 10 6 ( )sin3(sin ) 10 6 ( 22 loglog −− + −− = .6/ 2 7 ) cos.2sin sin22sin3 ( 7 2 2 loglog x xx xx x − − − = . 7/ 2log )cos1( sin.2 = + x x . 8/ 2 1+2cos5x + 16 sin ) 2 5 ( 2 x = 9 9/ (5 + 2 6 ) tgx + (5 – 2 6 ) tgx = 10. 10/ xx sin 9 cos 3 log 2 1 2 1 log 2 1 963 ++ =+ . 11/ 2833 22 sin22sin1cos22sin =+ +−+ xxxx . 12/ 4 cos2x + 4 cos x2 2 = 3, Với x ∈ [3/4 ; 1] Một số bài toán tham số: 1/ Tìm m để phương trình: a/ (m + 3).16 x + (2m – 1).4 x + m + 1 = 0. Có 2 nghiệm trái dấu. b/ m.9 x + 3(m – 1).3 x – 5m + 2 = 0, có 2 nghiệm cùng dấu. 2/ Cho phương trình: 4 x – m.2 x+1 + 2m = 0. a/ Giải phương trình khi m = 2. b/ Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x 1 ; x 2 sao cho: x 1 + x 2 = 3 3/ Cho phương trình: 4 x – 4m.2 x + 2m + 2 = 0. a/ Giải phương trình khi m = 1; b/ Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x 1 ; x 2 ∈ (0 ; 1) c/ Giải và biện luận phương trình VẤN ĐỀ 14 : HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ, LÔGARIT: Giải các hệ sau: 1/      = = − + 14 1255 2 )( yx yx .2/      = = −− + 15 1284 323 yx yx . 3/      =− =− 723 7723 2 2 y x yx . 4/      −=− −=− ++ 1932 63.22.3 11 yx yx . 5/      = = = y y x yx zy zx 6/      =+ =+ 182).( 9)( 1 x x yx yx . 7/      = = −+ 1. 2 yx yx yxyx . 8/      =+ =+ 7 63).( 2 x x yx yx . 9/      = = 2 .2324 9 x x y y . 10/      = = 16 2 1 x x y y -10- [...]... ngẫu nhiên 5 con bài trong bộ bài 52 con Tính xác suất để được ít nhất 1 con J 25/ Trong 1 lớp 12 phân ban A, có 85% học sinh thích môn Toán, 60% thích môn Lý, 50% thích cả 2 môn Toán, Lý Chọn ngẫu nhiên một học sinh Tính xác suất để chọn được một học sinh thích Toán hoặc Lý 26/ Trong một kỳ thi lớp 12T có 90% học sinh thi đậu Lớp có 5 nữ sinh Tính xác suất để chỉ có 2 nữ sinh thi đậu 27/ Trong một... tuyến, đường cao kẻ từ A của tam giác ABC c/ Xác đònh tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC 29/ Cho họ mặt cong (Sm): x2 + y2 + z2 – 4mx + 4y +2mz + m2 + 4m = 0 a/ Tìm m để (Sm) là họ mặt cầu b/ CMR tâm (Sm) luôn nằm trên 1 đường thẳng cố đònh Khi m thay đổi c/ Tìm mặt cầu có bán kính nhỏ nhất trong họ (Sm) (Tìm m để (Sm) có bán kính nhỏ nhất)  x = − 1+ t  30/ Cho đường thẳng (D): ... SABC có SBC và ABC là 2 tam giác đều cạnh a; SA = a 2 a/ Tìm tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC b/ Gọi O là trung điểm BC, kéo dài AO một đoạn OD = OA Tính các cạnh tứ diện SBCD 8/ Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; SD⊥(ABCD) và SD = AB = AD = a; DC = 2a a/ Các mặt bên của hình chóp là tam giác gì? Xác đònh tâm và tính bán kính mặt cầu qua 4 điểm S; B;... chóp tứ giác A.MNPQ, đáy MNPQ là tứ giác đều có diện tích là S AM ⊥ (MNPQ), mặt bên (ANP) hợp với đáy 1 góc α a/ Tính thể tích hình chóp b/ Tính diện tích xung quanh hình chóp Xác đònh α để diện tích xung quanh = S 3 11/ Cho tứ diện SABC và SA = SB = SC = 2a Đáy ABC là tam giác đều cạnh a a/ Tính thể tích và diện tích toàn phần của tứ diện SABC b/ Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện 12/ Cho... kÝnh mỈt cÇu ngo¹i tiÕp h×nh chãp 2 S.ABCD 36/ Một hình trụ có bán kính đáy R và có thiết diện qua trục là một hình vng 1 Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình trụ 2 Tính thể tích của khối trụ 3 Tính thể tích của hình lăng trụ tứ giác đều nội tiếp hình trụ đó 37/ Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O’, bán kính đáy bằng 2cm Trên đường tròn đáy tâm O lấy hai điểm A, B... lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ cạnh đáy a chiều cao 2a Biết rằng O’ là tâm của A’B’C’D’ và (T) là đường tròn nội tiếp đáy ABCD Tính thể tích hình nón có đỉnh O’ và đáy (T) 41/ Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ cạnh đáy a chiều cao 2a Biết rằng O’ là tâm của A’B’C’ và (T) là đường tròn nội tiếp đáy ABC Tính thể tích hình nón có đỉnh O’ và đáy (T) 42/ Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh... 4z = 0 a/ Tìm toạ độ tâm và bán kính mặt cầu (S) b/ Gọi A; B; C là giao điểm của mặt cầu (S) với các gốc toạ độ (khác O) Viết ph.trình mp(ABC) c/ Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ tâm mặt cầu đến mp(ABC) Tìm toạ độ H 62/ Cho mp(P): 2x + 2y + z = 0 Viết phương trình mặt cầu (S) qua 3 điểm A(1; 0; 0) ; B(0; 1; 0) ; C(0; 3; 2) và cắt pm(P) theo thiết diện là đường tròn có bán kinh bằng 1 63/ Viết phương... 14/ Cho hình chóp SABC đỉnh S, đáy là tam giác cân AB=AC=3a,BC=2a biết rằng các mặt bên (SAB), (SBC),(SCA) đều hợp với mặt phẳng đáy (ABC)một góc 60o Kẻ đường cao SH của hình chóp a/ Chứng tỏ H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC và SA ⊥ BC b/ Tính thể tích của khơi chóp 15/ Cho hình chóp đều SABCD, đáy ABCD là hình vng có cạnh 2a.Cạnh bên SA = a 5 Một mặt phẳng (P) đi qua A,B và vng góc với mp(SCD),(P)... mp(ABCD) SD = a a/ CMR: tam giác SBC vuông Tính diện tích tam giác SBC b/ Tính khoảng cách từ A đến mp(SBC) Tính thể tích hình chóp S.ABCD 3/ Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a, đường cao SO = h a/ Tìm tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp theo a và h b/ Tính diện tích toàn phần của hình chóp 4/ Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = a... 4y – 1 = 0 ; 8x + y – 7 = 0 Đường Tròn (C) 1/ Cho họ đường cong (Cm): x2 + y2 – 2(m+2)x – 2(m+4)y + 4m + 2 = 0 (1) a/ Tìm m để (1) là phương trình của đường tròn Tìm tâm và bán kính, tìm tập hợp tâm của nó b/ Tìm đường tròn có bán kính nhỏ nhất trong họ (Cm) c/ Tìm các điểm cố đònh mà họ (Cm) qua với mọi m d/ Tìm các điểm trong mp(Oxy) mà mọi đường tròn của họ (Cm) không qua với mọi m 2/ Cho họ (Cm): . x 2 ) , (với x 1,2 = a b 2 ∆±− ). Xét dấu: (trong trái, ngoài cùng) VẤN ĐỀ3: SO SÁNH MỘT SỐ VỚI CÁC NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH BẬC II.: f(x) = ax 2 + bx + c =. 0 1 )42)(2( 1 1 32 x xx x x ; 4/      ∈ −≤− +≤+ Zx xx xx 1435 243 VẤN ĐỀ 2: TAM THỨC BẬC HAI: f(x) = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) ; ∆ = b 2 – 4ac ; (∆’ =