Đang tải... (xem toàn văn)
Chọn đáp án A..[r]
(1)
CÁC BÀI TẬP VẬN DỤNG BIẾN ĐỔI HÀM SỐ MŨ VÀ LŨY THỪA:
Câu 1: Cho a b, 0 Giá trị rút gọn biểu thức P a a :( a b)2 b b
= − + −
là:
A a
b B
1
b C
b
a D b
Lời giải: Ta có:
( )2 ( )2 ( )2 1
1 a a : a : a b :
P a b a b a b
b b b b b
−
= − + − = − − = − =
Chọn B
Câu 2: Tập xác định hàm số
2
3
2
3
x x y
−
= −
là:
A 0; B (−;1 2;+) C 1; D −1; 2
Lời giải: Ta có điều kiện xác định hàm số cho là:
2
3
2
2 2
0 2
3 3
x x x x
x x x
− − −
− − −
Chọn C.
Câu 3: Gọi m M giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số ( ) 3x f x =e −
đoạn 0; Mối liên hệ m M là:
A m+M =1 B M − =m e C M m 12
e
= D M
e m =
Lời giải: Ta có:
4
1
0; 2 4; x ;
x x e e M m
e e
−
− − =
Câu 4: Cho hàm số ( )
4 x x f x =
+ góc tùy ý Tính ( ) ( )
2
sin cos
S = f + f
A S=1 B S =2 C S =3 D sin
4 a S =
Lời giải: Ta có ( ) ( ) ( ) ( )
sin cos 1
S = f + f = f t + f − =t Câu 5: Cho hàm số ( ) ,
3 x
x f x =
+ x Nếu a+ =b f a( )+ f b( −2) có giá trị bằng:
A 1 B 2 C
4 D
3
Lời giải: Ta có ( ) ( ) ( ) ( )
1
9 9
2 1
3 9 3.9
a a a
a a a a
f a f b f a f a
− −
+ − = + − = + = + =
+ + + +
(2)Câu 6: (Chuyên Sơn La) Cho 4x +4−x =7 Biểu thức 2
8 4.2 4.2
x x
x x
P
− −
+ +
=
− − có giá trị bằng:
A
2
P= B
2
P = − C P=2 D P = −2
Lời giải: Ta có 4x +4−x = =7 (2x+2−x)2− 2 2x +2−x =3 4.3 P = + = −
−
KỸ THUẬT ĐẶT ẨN PHỤ ĐẶC BIỆT:
Ví dụ: Cho x y z, , ba số thực khác thỏa mãn 3 6 182
z
x = y = z− Giá trị biểu thức
1 1 ? x+ + =y z
Lời giải tham khảo:
Ta đặt
1
1
2
3 18 , ,18
z z
x y z t tx ty t z
− −
= = = = = =
Mà 3.6=18 suy ra:
1
1
1 1 1
2
z y
x z z
t t t
x y z z x y z
− −
= + = = − + + =
Câu 7: Cho x y z, , ba số thực khác thỏa mãn 2x =5y =10−z Tính A= xy+ yz+zx:
A 3 B 0 C D 2
Lời giải: Ta đặt
1
1
2x =5y =10−z = =t tx;5=ty;10=t−z Vì
1
1
1 1
10 2.5 t tx y t z A xy yz zx
x y z
−
= = + = − = + + =
Câu 8: Cho số thực dương x y z, , thỏa mãn điều kiện 6 9 543
xy x = y = −z
Tính giá trị biểu thức
? P= + +x y z
A P=3 B P =1 C P=6 D P =4
Lời giải: Ta có
1
1
3 1
6 54 , , 54
z xy
x y z t tx ty t xy z x y z
x y xy
−
− −
= = = = = = + = + + =
Câu 9: Cho số thực a b c, , 1 số thực dương thay đổi x y z, , thỏa mãn x y z
a =b =c = abc
Tìm giá trị lớn biểu thức 16 16
P z
x y
= + −
A 20 B
3
3 20
4
− C 24 D
3
3 24
4
−
Lời giải: Ta có: ( )
1
1
2
1
2
1 1 x
y
x y z
z a t b t
a b c abc t
x y z c t
abc t
= =
= = = = + + =
=
=
1 1
2
x y z
+ = −
Do ( ) 16 ( )
32 20
P f z z f
z
(3)Câu 10: Cho số thực a b c, , khác thỏa mãn 3a =5b =15−c Hỏi giá trị nhỏ biểu thức
( )
2 2
4
P =a +b +c − a+ +b c là:
A − −3 log 35 B −4 C − −2 D − −2 log 53
Lời giải: 3a =5b =15−c = t ab+bc+ca =0 Suy ra: P=((a+ +b c)2−2(ab+bc+ca))−4(a+ +b c)
=(a+ +b c)2−4(a+ +b c) (= a+ + −b c 2)2− −4 Chọn B
TƯ DUY VỀ HÀM ĐẶC TRƯNG:Nếu f x( ) hàm số đồng biến nghịch biến
D thì:
• a b, D ta có f a( )= f b( ) a=b
• a b, D ta có f a( ) f b( ) ab hàm số f x( ) đồng biến
• a b, D ta có f a( ) f b( ) ab hàm số f x( ) nghịch biến
Ví dụ: Cho hai số thực x y, thỏa mãn 2 2 1
1
3
2
x y x y y
y x y
+ − − +
+
+ + + − = + Tìm GTLN
2 ?
P= x+ y
Lời giải tham khảo:
Ta có: ( ) 2 ( )
2 2 2
1
1 1
3 3
2 2
x y x y y x y y
y x y x y x y y
+ − − + + +
+ + +
+ + + − = + − + + − = −
2
2
2
1
1
3
2
x y y
y
x y x y y
+ +
+ +
− + + = − + +
Ta có ( )
1
2 t
t
f t = − +t hàm đồng biến
(TABLE)
Do vậy: 2
2 1
x + y= + y y = −x Thay vào ta ( 2) ( )2
2 2
P = x+ =y x+ −x = − x− Câu 11: Cho hai số thực dương x y, thay đổi thỏa mãn
2
1
3 2
3 x y xy
xy x y
+
− − = − − −
Tìm giá trị
nhỏ biểu thức P =2x+3y
A 6 2−7 B 10
10
+
C 15 2−20 D 3
2
−
Lời giải: Ta có: ( ) ( ) ( ) ( )
1
1
2 2 2
3
xy x y
xy x y f xy f x y xy x y
− +
− − = − + − = + − = +
Với ( )
3 t f t = − t
nghịch biến Khi ( )
1
2 0 1;
2 x
y x x x y
x
−
+ = − =
+
Và ( ) min( )0;1 ( )
2
x
P f x x f x f
x
−
= = + = − = −
+
Chọn A
Câu 12: Cho hai số thực dương x y, thỏa mãn ( )
5
3
xy
x y x y
xy x y x
+ + + + = + − − + −
Tìm giá trị nhỏ biểu thức S = +x 2y
(4)Lời giải: Ta có: ( )
5
3
xy
x y x y
xy x y x
+ + + + = + − − + − 2 1
5x+ y 3− −x y x y 5xy− 3−xy xy
− + + = − + −
( )
1 2 2;
2 x
xy x y y x x x y
x
+
− + + = − = + =
−
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2;
2
min 6
2 x
S f x x f x f
x +
+
= = + = + = +
− Chọn B
Câu 13: Cho hai số thực x y, thay đổi thỏa mãn 2
2
4 1
4
x y x y x y x
e − + − −e + − − =y − Biết giá trị lớn
của biểu thức 2
2
P=x + y − x + y− +x a
b với a b, số nguyên dương a b
phân số tối giản Tính S = +a b
A S =85 B S =31 C S =75 D S =41
Lời giải: Ta có: − 1 x có biến đổi: 2 2 ( )
4ex− y+ +x −4ey + −x = y − x−4y
2 2
2 2
4 x y x y x
x y x e − + − y x e + −
− + − + = + − +
( 2) ( 2)
4 1
f x y x f y x
− + − = + − 2 2
4 1
x y x y x x y y
− + − = + − = +
Trong f t( )= +t 4et đồng biến
Do ( ) ( )
( )
3 2
1;1
1 58
2 2 2 max
3 27
P x x x y y f x x x x f x f
−
= − − + + + = = − + + = =
Câu 14: Cho x y z, , số thực thỏa mãn điều kiện 4x+9y +16z =2x+3y+4z Tìm giá trị lớn
của biểu thức 1
2x 3y 4z P = + + + + +
A. 87
2
+
B 5 87
2
+
C 7 87
2
+
D 3 87
2
+
Lời giải: Đặt a=2 ,x b=3 ,y c=4z ta có: a b c2, , 2 2
a b c a b c
+ + = + +
Ta cần tìm minP=2a+3b+4c
2 2
P a b c
− = − + − + −
( )
2 2
2 2
9 1
2
2 2
P a b c
− + + − + − + −
2
max
9 87
29
2
P P +
− =
(5)ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM
1 10
B B C C B B A A A A
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 A C D D B
ĐÁP ÁN CHI TIẾT BÀI TẬP VỀ NHÀ
Câu 1: Cho a b, số thực dương Giá trị rút gọn biểu thức
4
3
3
a b ab P
a b
− =
− là:
A a+b B ab C ab D 2
a b
Lời giải: Ta có:
1
3
4
3
1
3
3
ab a b
a b ab
P ab
a b
a b
−
−
= = =
− − Chọn đáp án B
Câu 2: (Chuyên Phan Bội Châu – Nghệ An Lần 4)Hàm số ( 2)
9
y= −x có tập xác định
A (0;+) B (−3; ) C −3; D (−; ) Lời giải: Điều kiện xác định:
9−x − 0 x Chọn đáp án B
Câu 3: (THPT Lương Văn Chánh – Phú Yên Lần 1) Tìm tập nghiệm S
1
1
2
16 x x−
A S =(2;+) B S = −( ; 0) C S =(0;+) D S = − +( ; ) Lời giải: Điều kiện xác định: x0.Ta có:
1
4
1 1
2 2
16 x
x x x x x
x
−
− − − −
Chọn
đáp án C
Câu 4: Hàm số sau có tập xác định ?
A ( )
1
4
y= x+ B
3
2 x y
x
+
= C ( )0,1
4
y= x + D ( )
2 y= x + x− −
Lời giải: Ta có:
Hàm số ( )
1
4
y= x+ có điều kiện xác định x+ −4 x
Hàm số
3
2
+
= x
y
x có điều kiện xác định x0
Hàm số ( )0,1
4
= +
y x có điều kiện xác định
4
+
x (luôn x )
Hàm số ( )
2
y= x + x− − có điều kiện xác định
2
+ −
x x
3
−
x
(6)Câu 5: (Chuyên Thái Bình Lần 3)Tìm tập nghiệm S bất phương trình
1
5
3
x x
+
A ;
5 S = − −
B ( )
2
; 0;
5
S = − − +
C S =(0;+) D 2;
5 S =− +
Lời giải: Điều kiện xác định: x0.Bất phương trình tương đương với: 5x
x x x
+
+
2
x x
−
Chọn đáp án B
Câu 6: Giả sử a b số thực thỏa mãn 3.2a +2b =7 5.2a−2b =9 Tính a+b
A 3 B 2 C D 1
Lời giải: Ta có:
3
3.2 2 2 2
2
5.2 2
2
a b a
a b b
a
a b b
=
+ = =
+ =
− = =
=
Chọn đáp án B
Câu 7: (Lương Thế Vinh – Hà Nội – Lần 2) Biết 3x −3−x =4 Tính giá trị
3
27
9
x x
x x
T
− −
− −
=
+
A T =4 B T =9 C 15
4
T = D T =6
Lời giải: Ta có: (3x −3−x)2 =169x +9−x − =2 169x +9−x =18
( )( )
3
27x −3− x = 3x −3−x 9x +9−x +1 =4.19=76 76 4 18
T −
= = Chọn đáp án A
Câu 8: Cho hàm số ( )
4
x x
f x =
+ Tính tổng:
1 2016
2017 2017 2017
S= f + f + + f
?
A 1008 B 2016 C 2017 D 2017
2
Lời giải: Ta có: ( ) ( )
1
4 4
1
4 4
x x x
x x x x
f x f x
− −
+ − = + = + =
+ + + +
Khi đó: 2016 2015 1008 1009 1008
2017 2017 2017 2017 2017 2017
S =f + f + f + f + +f + f =
Chọn đáp án A
Câu 9: (Chuyên Hưng Yên – Lần 3) Cho số thực x y z, , khác thỏa mãn 3x =4y =12−z Tính
giá trị biểu thức P= xy+ yz+zx
A P=0 B P =12 C P=1 D P =144
Lời giải: Đặt
1
1
1 1
3x 4y 12 z t tx, ty,12 t z xy yz zx
x y z
− −
(7)Câu 10: Cho số thực x y z, , khác thỏa mãn điều kiện x
2xy =3yz =6−z Tính giá trị biểu thức:
( )
5 5
2 2
x y z
P
xyz x y z
+ +
=
+ +
A 5
2 B
2
5 C
3
5 D
5
Lời giải: Đặt
2 x
3
log
2 log
log xy yz z
xy t
t yz t x y z
zx t
−
=
= = = = + = −
= −
5 5 5 3 2 2
2 2 2 2 2
( ) ( ) ( ) 10 ( ) 5( ) 10
2
( ) ( ) ( ) ( )( ) 2( )
x y z x y x y xy x y x y x y x y xy xy
P
xyz x y z xy x y x y x y xy x y x y xy x y xy
+ + + − + + + + + − +
= = = = =
+ + + + + + + + + + +
Chọn đáp án A
Câu 11: Cho x y z, , ba số thực khác thỏa mãn
3 21
xyz x = y = −xy
Tìm giá trị nhỏ biểu
thức 2 ( )
6
P = x + y + z − x+ +y z
A −13 B −11 C −9 D −7
Lời giải: Ta đặt
1
1
3 21 ; ; 21
xyz
x y xy t tx ty txyz z
− −
= = = = = =
Vì
1
1
1 1 1
21 3.7 t tx y txyz z xy yz zx
x y xyz z x y z xyz
−
= = + = − + + = + + =
Khi đó: 2 ( ) ( )2 ( ) ( )2
6 13 13
P=x +y +z − x+ +y z = x+ +y z − x+ +y z − = x+ + −y z − −
Dấu “=” xảy
3
xy yz zx
x y z
+ + =
+ + =
Câu 12: Cho số thực x y z, , khác thỏa mãn điều kiện 3 5 154
z x = y = z−
Tính giá trị biểu thức
1 1 ? P
x y z
= + +
A 1 1
x+ + =y z B
1 1
x+ + =y z C
1 1
x+ + =y z D
1 1 x+ + =y z
Lời giải: Ta có
1
1 1
4
4 1 1
3 15 , , 15
z
x y z t tx ty t z t tx y t z
x y z
− −
−
= = = = = = = + + =
Câu 13: Cho hai số thực không âm x y, thay đổi thỏa mãn 3 ( )
3x+ y− x + x −3x+ +1 y 3x =3x+1 Gọi
,
M m giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức
3
3
P=x +y + y− x + x+ Tính M+ =m ?
A M+m=18 B M +m=30 C M + =m 27 D M + =m 24
Lời giải: Ta có: 3 ( ) 3
3x+ y− x + x −3x+ +1 y 3x =3x + 1 y− x +x −3x+ + = +1 y 3−x ( )
3 3
3 y− x y 3x 3−x x
+ − = + − f (3 y−3x)= f ( )−x
Với ( )
3t
f t = +t đồng biến ta có: 3 3
3 3
(8)Mặt khác: ( ) ( )
2x
P= x − + x+ + y + y Xét ( )
2
g x = x − x + x+ 0;1 4 g x( ) Xét ( )
3
h y = y + y 0; 0 h y( )14 Suy ra: 4 P 16
Vậy
0
x P
y
=
= =
1
max 20
2
x P
y
=
=
=
hay M + =m 24
Câu 14: Cho hai số thực a b, thay đổi thỏa mãn
3
1
4
2 a b a b
a b
+ −
+ − − + + − =
Tìm giá trị nhỏ
của biểu thức 2
2
P=a + ab+ b
A
27 B
16
9 C
8
9 D
16 27 Lời giải: Từ điều kiện tốn ta có: 2
2 a+ b− −2− a b− + +5a+3b− =4
( )
2 2
2 a+ b− 2a b 2− a b− + 3a b
+ + − = + − − + f (2a+2b−2)= f (−3a− +b 2)
Với f t( )=2t +t đồng biến , ta có: 2a+2b−2b= −2 3a− b 5a+3b=4
Đặt
3
a t
b t
= −
= −
, ta có:
2
2 2 17 16 16
2 54 68 22 54
27 27 27 P=a + ab+ b = t − t+ = t− +
Dấu “=” xảy
8
17 9
4 27
27 a t
b
=
=
= −
Vậy
8
16 9
min
4 27
27 a P
b
=
=
= −
Câu 15: Cho hai số thực dương a b, thay đổi thỏa mãn 2ab a b 1( ab) a b
+ = −
+ Biết giá trị nhỏ biểu
thức 2
P = +a b +ab có dạng m+n (m n, ) Tính m+ =n ?
A 2 B −1 C 0 D 1
Lời giải: Từ điều kiện toán ta có: 1−ab0 2ab a b 1( ab) (a b).2a b 1( ab).4 ab a b
+ = − + + = − −
+
( ) ( ) 2
.2a b 2 ab
a b + ab −
+ = − f a( +b)= f (2−2ab)
Với f t( )=t.2t đồng biến (0;+), ta có: 2 a
a b ab b
a
−
+ = − =
+
Khi ta có:
2
2 2
1
a a
P a b ab
a
− +
= + + =
+
Mặt khác b 0 a
Xét hàm số ( )
2
1
a a
P a
a
− +
=
+ ( )0; ta có
2
min
2
P = − + =a − +
Vậy
2
min 2
1
a P
b
− +
=
= − +
= − +