TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Hà Nội, ngày 12 tháng 06 năm 2010 Tel: (094)-2222-408 BÀI TẬP VỀ NHÀ BẤT ĐẲNG THỨC VÀ MIN, MAX Bài 1: Cho số dương tùy ý x,y,z x y z    2x  y  z x  y  z x  y  2z CMR: Bài 2: Cho số dương x,y,z thõa mãn: xyz=1 x2 y2 z2    1 y 1 z 1 x CMR: Bài 3: Cho số không âm tùy ý x,y,z thõa mãn: x+y+z=0 CMR:  x   y   z 3 Bài 4: Cho số dương tùy ý a,b,c: c   a b    2 a2  b c 3 3 3 Tìm Min: A  4( a  b )  4(b  c )  4(c  a )   Bài 5: Cho số dương tùy ý x,y,z x  z  y 1 P x     y     z     zx   yz   xy  Tìm Min của: Bài 6: Cho số dương x,y,z thõa mãn điều kiện: xyz=1 Chứng minh rằng: x2 y2 z2 P   1 3 x y y z yzz x zxx y Bài 7: Cho số thực a,b,c tùy ý Chứng minh rằng: a c 1 a 1 c  a b 1 a 1 b  b c 1 b 1 c (*) Bài 8: Cho số thực a,b,c,d thõa mãn: a2 +b2=1; c – d =3 Chứng minh: F ac  bd  cd  Hocmai.vn – Ngơi trường chung học trị Việt 96 TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Hà Nội, ngày 12 tháng 06 năm 2010 Tel: (094)-2222-408 Bài 9: Cho: a c 0; b c Chứng minh: c(a  c)  c(b  c)  ab Bài 10: Cho x,y,z thuộc khoảng (0;1) thõa mãn điều kiện: xy + yz + zx = Tìm Min của: x y z P    x2  y  z Bài 11: Cho x, y, z >1 thoả mãn điều kiện : xy + yz + zx  2xyz Tìm giá trị lớn biểu thức A = (x - 1)(y - 1)(z - 1) Bài 12 Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số: y  x4   x2   x2  x2   x2  Bài 13 Cho số a,b,c,d thõa mãn: a+2b=9;c+2d=4 CMR: a  12a  b  8b  52  a  c  b  d  2ac  2bd  c  d  4c  8d  20 4 Bài 14: Cho số dương x,y,z thõa mãn: 3-x + 3-y + 3-z =1 CMR: 9x 9y 9z 3x  y  3z  y  z  x yz zx x y 3 3 3 Bài 15: Tìm Min của: x2 y2 z2 H   yz zx xy  x, y, z  Trong đó:  2 2 2  x  y  y  z  z  x 2010 Bài 16: Tìm Min, Max của: A xy x   y  x  x  12 y  Bài 17: Cho số thực thõa mãn: x2 + y2 + z2 =1 Page of 15 TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Hà Nội, ngày 12 tháng 06 năm 2010 Tel: (094)-2222-408 P ( x  y  z )  ( xy  yz  zx ) Tìm Min, Max của: Bài 18: Cho số dương x,y thõa mãn: x+y=5/4 Tìm Min của: A  x 4y Bài 19: CMR: Với tam giác ABC ta ln có: A A A  cos  cos 2 2 3 A A A  cos Bài 20: Cho số không âm tùy ý x,y thõa mãn x+y=1: Tìm Min, Max của: S x y  y 1 x 1 ………………….Hết………………… BT Viên mơn Tốn hocmai.vn Trịnh Hào Quang Page of 15 TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Hà Nội, ngày 12 tháng 06 năm 2010 Tel: (094)-2222-408 HDG ĐỀ LUYỆN TẬP SỐ 08 Kiến thức Bất đẳng thức tìm Min, Max đơi cịn xa lạ với nhiều bạn Khi đụng đến phần bạn thường thấy ngại làm Kể việc đọc giải bạn ln đặt câu hỏi: Vì lại tách mà khơng tách kiểu khác? Sao chứng minh BĐT lại có chiều quay lại…Đây kiến thức làm quen từ cấp II, trình học bạn phải rèn luyện nhiều, tham khảo nhiều giải hay, nhiều thủ thuật biến đổi tạm yên tâm Tơi có đơi điều Mong bạn ôn tập thật tốt! Bài 1: Cho số dương tùy ý x,y,z CMR: x x x    2x  y  z x  y  z x  y  2z Giải: Ta có: 1 1 1       2x  y  z  x  y    x  z   x  y x  z  x 1 x x        2x  y  z  x  y x  z   y 1 y y   1 x y yz xz          VT    x  2y  z  x  y y  z   4 x y y z xz  z 1 z z      x  y  2z  x  z y  z   Dấu “=” xảy x=y=z Bài 2: Cho số dương x,y,z thõa mãn: xyz=1 CMR: x2 y2 z2    1 y 1 z 1 x Giải: Ta có: Page of 15 TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Hà Nội, ngày 12 tháng 06 năm 2010 Tel: (094)-2222-408  x2  y  x  1 y   y 1 z  ( x  y  z ) 3( x  y  z )  xyz  3   y   VT ( x  y  z )     1 z 4 4   z 1 x  z  1 x  Dấu “=” xảy x=y=z=1 Bài 3: Cho số không âm tùy ý x,y,z thõa mãn: x+y+z=0 CMR:  x   y   z 3 Giải: Đặt: a 4 x   a , b, c  y Và :  a   b   c 3 (1) b 4   abc   c 4 z  Ta có :  a 1   a 3 a  3  abc  18 1  16   a  3.a  VT(1)   a  b  c    3 Dấu “=” xảy x=y=z=0 Bài 4: Cho số dương tùy ý a,b,c: c   a b  2 2 a  b c 3 3 3 Tìm Min: A  4(a  b )  4(b  c )  4(c  a )   Giải: Page of 15 TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Hà Nội, ngày 12 tháng 06 năm 2010 Tel: (094)-2222-408  a b c  A  4(a3  b3 )  4(b3  c )  4(c  a )      b c a  Vì :4( a  b3 ) 8 (ab)3   3 4(a  b3 ) 2 ab 4(a  b3 )  4(b3  c )  4(c  a ) 2   ab  bc  ca 6 abc 1    a b c  Và     6  A 6  abc   12  Min A 12 abc abc  b c a   Dấu “=” xảy a=b=c=1 Bài 5: Cho số dương tùy ý x,y,z Tìm Min của: x  z  y 1 P x     y     z     zx   yz   xy  Giải: Ta có: P 1  x2  y2  z2 x2 y2 z2 x2  y  z x2  y  z       x  y  z     xyz xyz xyz xyz  xyz  Vì : x  y  z 3 ( xyz ) Và 1 1 1    1   xyz  xyz xyz  ( xyz ) 9  P 3 ( xyz )   MinP  ( xyz ) 2 Dấu “=” xảy x=y=z=1 Bài 6: Cho số dương x,y,z thõa mãn điều kiện: xyz=1 Chứng minh rằng: x2 y2 z2 P   1 x  y  y3 z y  z  z x z  x  x3 y Giải: Page of 15 TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Hà Nội, ngày 12 tháng 06 năm 2010 Tel: (094)-2222-408 x2 x3 Vì :  x  y  y z x  xy  y x3  y x3  y y3  z3 z  x3 Mà : x  y    0 x  xy  y x  xy  y y  yz  z z  zx  x x3 y3 z3 y3 z3 x3       x  xy  y y  yz  z z  zx  x x  xy  y y  yz  z z  zx  x  2P  x3  y y3  z3 z  x3   x  xy  y y  yz  z z  zx  x x3  y x  xy  y x  xy  y Vì : ( x  y ) mà :  x  xy  y x  xy  y x  xy  y x3  y x y    P  ( x  y  z ) 2 xyz 2  P 1 x  xy  y 3 Bài 7: Cho số thực a,b,c tùy ý Chứng minh rằng: a c 1 a 1 c  a b 1 a 1 b  b c 1 b 1 c (*) Giải: Đặt: a tan   b tan   (*)  sin(   )  sin(   )  sin(  ) c tan   Vì : sin(  )  sin  (   )  (   )  )  sin(   )cos(   )  cos(   ) sin(   )  sin(   ) cos(   )  cos(   ) sin(   )  sin(   )  sin(   )  Điều phải chứng minh Bài 8: Cho số thực a,b,c,d thõa mãn: a2 +b2=1; c – d =3 Chứng minh: F ac  bd  cd  96 Giải: Gọi: Page of 15 TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Hà Nội, ngày 12 tháng 06 năm 2010 Tel: (094)-2222-408 A  a; b   A  (C ) : x  y 1 B  c; d   B  d : x  y 3 Ta có : AB (a  c)  (b  d ) a  b  c  d  2ac  2bd  a  b2   (c  d )2  2(ac  bd  cd ) 1   F Vì AB nhỏ A,B thuộc đường vng góc với d kẽ từ O 3 2 22  12  1  AB  2 22  12 11  6  10  F   5 F   F 4  AB Min OB  OA  Bài 9: Cho: a c 0; b c Chứng minh: c(a  c)  c(b  c)  ab Giải: Gọi:  a  b  c, b  c  a  c b  c  b  a  c, c  b  a  c  c  a    Do : a.b  a b  c(a  c )  c(b  c)  ab     Bài 10: Cho x,y,z thuộc khoảng (0;1) thõa mãn điều kiện: xy + yz + zx = Tìm Min của: x y z P    x2  y  z Giải: Đặt Page of 15 TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Hà Nội, ngày 12 tháng 06 năm 2010 Tel: (094)-2222-408 A  x  tan  A B C  tan tan tan B      t anA  tan B  tan C   y tan  P  A B C 2   tan  tan  tan 2 2 C   z tan  Vì :Trong ABC ta có : t anA  tan B  tan C t anA.tan B.tan C 3 t anA.tan B.tan C  t anA  tan B  tan C t anA.tan B.tan C 3  P  3 Dấu “=” xảy A=B=C=600 hay x  y  z  Bài 11 Cho x, y, z số thực dương lớn thoả mãn điều kiện : xy + yz + zx  2xyz Tìm giá trị lớn biểu thức A = (x - 1)(y - 1)(z - 1) Giải: Ta có: xy + yz + zx  2xyz  1   2 x y z Đặt:  x  a   y  b   z  c    a , b, c  1        1 2     1  a 1  b 1   c 1   a   b   c  1 b c bc   2 a 1 b 1 c 1 (b  1)(c  1) ca ab 2 ; 2 b 1 (c  1)(a  1) c  (a  1)(b  1)  abc 8  abc   a 1  b  1  c 1  a 1  b  1  c 1 1   x  1  y  1  z  1   MaxA  8 Bài 12 Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số: Page of 15 TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy y Hà Nội, ngày 12 tháng 06 năm 2010 Tel: (094)-2222-408  x4   x2   x2  x2   x2  Giải: Đặt:  a   x  a, b  2ab  a  b  ; y    2 a b2 a  b 2 b   x t  a  b   12  ( 1)   a  b  4     Coi : t a  b    t2 t y   t 2  t    2; 2  t 0     y '    t     y  t     t 2   Max y  y (0) 1  lim y   t   Vậy hàm số đạt Max=1 không đạt Min Bài 13 Cho số a,b,c,d thõa mãn: a+2b=9;c+2d=4 CMR: a  12a  b  8b  52  a  c  b  d  2ac  2bd  c  d  4c  8d  20 4 Giải: Chọn A(a;b) B(c;d) ta có: M(6;4) N(2;-4) và:  A  (d1 ) : x  y  0   B  (d ) : x  y  0 Ta có : a  12a  b  8b  52   a  6   b    AM a  c  b  d  2ac  2bd   a  c   b  d   AB c  d  4c  8d  20   c  2 2   d   BN Mà : AM  AB  BN MN  (6  2)  (4  4) 4 Bài 14 Cho số dương x,y,z thõa mãn: 3-x + 3-y + 3-z =1 Chứng minh rằng: Page 10 of 15 TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Hà Nội, ngày 12 tháng 06 năm 2010 Tel: (094)-2222-408 9x 9y 9z 3x  y  3z  y  z  x yz z x x y 3 3 3 Giải: Đặt: a 3x a, b, c    y  ab  bc  ca abc b 3   1    c 3z  a b c  a2 b2 c2 a3 b3 c3 Ta có :VT       a  bc b  ca c  ab a  abc b  abc c  abc a3 a3 a3 Vì :   a  abc a  ab  bc  ca  a  b   a  c  a3 b3 c3  VT     a  b  a  c  b  c  b  a  c  a   c  b a3 a b a c a3 3 Ta có :   3  a 64  a  b  a  c b3 c3  b;  c  b  c  b  a  c  a  c  b a b c  a b a c b c   VT   VP  dpcm   ( a  b  c)  VT    Bài 15 Tìm Min của: x2 y2 z2 H   yz zx xy  x, y, z  Trong đó:  2 2 2  x  y  y  z  z  x 2010 Giải: Đặt: Page 11 of 15 TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Hà Nội, ngày 12 tháng 06 năm 2010 Tel: (094)-2222-408 a  x  y  a, b, c   2 b  y  z   a  b  c 2010  2 c  z  x Theo Bunhiacopxki ta có : x  y  2( x  y ); y  z  2( y  z ); z  x  2( z  x )  H x2 2( y  z )  y2 2( z  x )  z2 2( x  y ) a  b2  c2 a  b2  c2  a  b2  c2 Và : x  ;y  ;z  2 2 2 2 2  a  b  c a  b  c  a  b  c2   H     b c a 2   1  ( a  b  c) 2  2  nên :  (a  b  c )  a  b  c   2(a  b  c )  Vì : (a  b  c )  2    H   (a  b  c)   (a  b  c)  1 1  (a  b  c )      2(a  b  c)    2(a  b  c )    3 2 a b c   2 a  b  c 2010 1005 1005    Min H   x  y  z  224450 2 2 2 Bài 16: Tìm Min, Max của: A xy x   y  x  x  12 y  Giải: Page 12 of 15 TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hồng Đạo Thúy Ta có : A   A Hà Nội, ngày 12 tháng 06 năm 2010 Tel: (094)-2222-408   x 2  y           12     y    x     1       12t t     Coi : t  y x   3t     t   12t t2  12t      3t    12t  2 1  12t  u  Coi : u   12 t ( u  1)  A   f (u ) 12t  u2   u  1  f '(u ) 0    A  f (u )  f (3)   MaxA  18  u 3 Và : lim f (u ) 0  MinA 0 u  Bài 17: Cho số thực thõa mãn: x2 + y2 + z2 =1 Tìm Min, Max của: P ( x  y  z )  ( xy  yz  zx) Giải: Đặt: t  x  y  z  t 3( x  y  z ) 3  t    3;  t   t  2t  Và P t    f (t )  f '(t ) 0  t 1   3;  2  MaxP  f (1) 1 Qua BBT ta có :   MinP  f ( 3)  (  1) Bài 18: Cho số dương x,y thõa mãn: x+y=5/4 Tìm Min của: A  x 4y Giải: Ta có: Page 13 of 15 TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Hà Nội, ngày 12 tháng 06 năm 2010 Tel: (094)-2222-408 16 y   y 16 y  x 60 y  A   xy y (5  y ) y(  y) a 4 y 0  a , b  16a  b 16 16 Coi :    Và : A       f (a) ab b a 5 a a b 5  y a  b 5  f '( a)  16   a  a 0 16  0    MinA  f (1)   5  a  a  Dấu “=” xảy x=1; y=1/4 Bài 19: CMR: Với tam giác ABC ta ln có: A A A  cos  cos 2 2 3 A A A  cos Giải: x2 Xét hàm số: y   cos x    y '  x  sin x y '' 1  cos x  0; x   o;   2 x2 Ta thấy y’ đồng biến ta có: y > Vậy ta có: cos x   Áp dụng cho góc A/2, B/2 , C/2 ta có: A A2 B B2 C C2 cos   ;cos   ;cos   8 A B C 1 1  VT       ( A  B  C ) 2  A B C  A B C 18  144      3  8 Bài 20: Cho số khơng âm tùy ý x,y thõa mãn x+y=1: Tìm Min, Max của: Page 14 of 15 TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy S Hà Nội, ngày 12 tháng 06 năm 2010 Tel: (094)-2222-408 x y  y 1 x 1 Giải: Ta có: x y ( x  y )  ( x  y )  xy S    y 1 x 1 xy  ( x  y )   xy ( x  y)2  2t  1 Mà :  xy   Coi : t xy  t   0;  S     f (t ) 4 t t 2  4  6  MinS  f ( )   S' 0  (t  2)  MaxS  f (0) 1 ………………….Hết………………… BT Viên mơn Tốn hocmai.vn Trịnh Hào Quang Page 15 of 15 ... 2010 Tel: (094)-2222-408 HDG ĐỀ LUYỆN TẬP SỐ 08 Kiến thức Bất đẳng thức tìm Min, Max đơi cịn xa lạ với nhiều bạn Khi đụng đến phần bạn thường thấy ngại làm Kể việc đọc giải bạn ln đặt câu hỏi: Vì... chiều quay lại…Đây kiến thức làm quen từ cấp II, trình học bạn phải rèn luyện nhiều, tham khảo nhiều giải hay, nhiều thủ thuật biến đổi tạm yên tâm Tơi có đơi điều Mong bạn ơn tập thật tốt! Bài 1:... Bài 3: Cho số không âm tùy ý x,y,z thõa mãn: x+y+z=0 CMR:  x   y   z 3 Giải: Đặt: a 4 x   a , b, c  y Và :  a   b   c 3 (1) b 4   abc   c 4 z  Ta có :  a 1   a 3