BÀI TOÁN THỨ NHẤT 1 1 + 3 = 1 + 3 + 5 = 1 + 3 + 5 + 7 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 1 4 = 2 2 9 = 3 2 16 = 4 2 25 = 5 2 = 1 2 + 3 + 5 + 7 + 9 n + .+ (2n – 1) = n 2 2.2 1.1 3.3 4.4 5.5 .n Mệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên n∈N §1. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC Chương III DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN Bài toán : Chứng minh những mệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên n∈N Bước 1 : Bước 2 : Kiểm tra rằng mệnh đề là đúng với n = 0 Giả thuyết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kỳ n = k ≥ 0 (hay n = k ≥ p). Chứng minh nó cũng đúng với n = k + 1 Phương pháp quy nạp : (hay n = p) (hay n ≥ p, p∈N*) PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 1 Ta có đẳng thức : 1 + 3 + 5 + 7+ . . . + (2n – 1) = n 2 (*) Giải : 1) Khi : 1 + 3 + 5 + 7+ . . . + (2 – 1) = 2 2) Giả thiết (*) đúng với mọi số tự nhiên bất kỳ 1 + 3 + 5 + 7+ . . . + (2 – 1) = 2 n n n n Ta sẽ chứng minh (*) đúng : 1 + 3 + 5 + 7+ . . . + (2k – 1) khi n = k + 1 + [2(k + 1) – 1] k 2 + 2k + 2 – 1 = (k + 1) 2 Vậy (*) đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1 .1 1 hay 1 = 1. (*) đúng k k 1 + 3 + 5 + 7+ . . . + (2k – 1) = n = k ≥ 1 : n = 1 1 + 3 + 5 + 7+ . . . + (2n – 1) = n 2 1 + 3 + 5 + 7+ . . . + (2n – 1) = n 2 Ví dụ 1. 1 k k 2 BÀI TOÁN THỨ HAI 1 1 + 2 = 1 + 2 + 3 = 1 + 2 + 3 + 4 = 1 3 6 10 + 2 + 3 + 4 n + .+ n n ( ) = +n. n 1 2 4.5 2 = 2.3 2 = 3.4 2 = 1.2 2 = .(n + 1) 2 .3 1.2 3 .4 4.5 Mệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên n∈N PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 1 Ta có đẳng thức : Giải : 1) Khi : 1 + 2 + 3 + 4 + . . . + 2) Giả thiết (*) đúng với mọi số tự nhiên bất kỳ 1 + 2 + 3 + 4 + . . . + Ta sẽ chứng minh (*) đúng : 1 + 2 + 3 + 4 + . . . + k khi n = k + 1 + (k + 1) Vậy (*) đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1 hay 1 = 1. (*) đúng 1 + 2 + 3 + 4 + . . . + k = n = k ≥ 1: n = 1 n(n 1) (*) 2 + = ( 1) 2 + = ( 1) 2 + = (k 1)[(k 1) 1] 2 + + + = k(k 1) 2 + + (k + 1) 1 + 2 + 3 + 4 + . . . + n Ví dụ 2. n n n 1 1 1 n n nk k k 1 k k(k 1) 2 + 2 + 4 + 6 + 8 + . + 2n = n(n + 1) (n + 1)n BÀI TOÁN THỨ BA Bài tập về nhà : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 1 Ta có đẳng thức : . Chứng minh nó cũng đúng với n = k + 1 Phương pháp quy nạp : (hay n = p) (hay n ≥ p, p∈N*) PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên. đề phụ thuộc vào số tự nhiên n∈N §1. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC Chương III DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN Bài toán : Chứng minh những mệnh đề phụ