Đang tải... (xem toàn văn)
Định lý 3: Trong một tam giác vuông, tích của hai cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và đường cao tương ứng... • Vận dụng hệ thức về cạnh, về đường cao. • Sử dụng kỹ thuật đại s[r]
(1)CHƯƠNG I – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG CHỦ ĐỀ – HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM
GIÁC VUÔNG
A NỘI DUNG LÝ THUYẾT
1 Hệ thức cạnh góc vng hình chiếu cạnh huyền:
Giả thiết
∆ABC vuông A AH ⊥ BC, (H ∈ BC)
Kết luận
AB2 = BH BC AC2 = CH BC
Chứng minh:
AB2 = BH BC ⟺AB BH
BC= ABTa chứng minh AHB ∽ CAB Xét AHB&CABcó { ABĤ = CBÂ
AHB̂ = CAB̂ = 90o
Suy AB BH
AHB CAB AB BH.BC
BC AB
∽ = =
Tương tự AC2 = CH BC
2 1
H C
B
A
(2)2 Một số hệ thức liên quan tới đường cao:
Giả thiết
∆ABC vuông A AH ⊥ BC, (H ∈ BC)
Kết luận AH2 = BH HC
Chứng minh:
AH2 = BH HC ⟺AH HC
BH = AHTa chứng minh AHC ∽ BHA Xét AHC BHA có {Â = Ĉ (cùng phụ A1 ̂)2
AHĈ = BAĈ = 90o
Suy AHC BHA AH HC AH2 BH.HC BH HA
∽ = =
Giả thiết
∆ABC vuông A AH ⊥ BC, (H ∈ BC)
Kết luận AH BC = AB AC
2 1
H C
B
A
2 1
H C
B
A
Định lý 2: Trong tam giác vng, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền tích hai hình chiếu hai cạnh góc vng cạnh huyền
(3)Chứng minh:
Cách 1:
AH BC = AB AC ⟺AH AC
AB =BC Ta chứng minh AHC ∽ BAC Xét AHC BAC có { ACĤ = BCÂ
AHC
̂ = BAĈ = 90o
Suy AHC BAC AH AC AH.BC AB.AC AB BC
∽ = =
Cách 2:
Ta có ( ) ABC
1
AH.BC
S =
Mặt khác: ( ) ABC
1
AB.AC 2
S
=
Từ (1)(2) suy 1AH.BC 1AB.AC = hay AH BC = AB AC
Giả thiết
∆ABC vuông A AH ⊥ BC, (H ∈ BC)
Kết luận 1
2 2
AH AB AC
= +
2 1
H C
B
A
(4)Chứng minh:
( ) ( )
2 2
2
2 2 2
1 AB +AC BC BC AB +AC = AB AC = AB.AC = BC.AH =AH
3 Công thức cần ghi nhớ:
Cho tam giác ∆ABC vuông A (AB < AC), dựng AH ⊥ BC, (H ∈ BC)
Khi đó, ta có:
1) AB2 = BH BC; AC2 = CH BC 2) AH BC = AB AC
3) AH2
2 2 AH AB AC
= +
2 1
H C
B
A
(5)B CÁC DẠNG BÀI TẬP QUAN TRỌNG
DẠNG – TÍNH ĐỘ DÀI ĐOẠN THẲNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
Hướng dẫn giải:
Trong ∆ABC vng A có:
BC = √AB2+ AC2 = √52 + 122 = 13 cm AB2 = BH BC ⇔ 52 = BH 13
⇒ BH = 25 13 cm
⇒ CH = BC − BH = 13 −25 13=
144 13 cm
Phương pháp giải:
• Xác định vị trí cạnh huyền, cạnh góc vng
• Vận dụng hệ thức cạnh, đường cao
• Sử dụng kỹ thuật đại số hình học
Bài 1: Cho ∆ABC vng A có AB = cm, AC = 12 cm, đường cao AH với H ∈ BC Tính BH, CH, AH
H C
B
A
(6)AH BC = AB AC ⇒ AH =AB AC
BC =
5.12 13 =
60 13 cm
Vậy BH = 25
13 cm; CH = 144
13 cm; AH = 60 13 cm
Hướng dẫn giải:
Trong ∆ABC vuông A có:
AC = √BC2− AB2 = √102 − 82 = cm AB2 = BH BC ⇔ 82 = BH 10
⇒ BH =
10= 6,4 cm
⇒ CH = BC − BH = 10 − 6,4 = 3,6 cm
AH BC = AB AC ⇒ AH =AB AC
BC =
6.8
10 = 4,8 cm Vậy BH = 6,4 cm; CH = 3,6 cm; AH = 4,8 cm
Bài 2: Cho ∆ABC vng A có AB = cm, BC = 10 cm, đường cao AH với H ∈ BC Tính BH, CH, AH
H C
B
A
8cm
(7)Hướng dẫn giải:
Trong ∆ABC vuông A có:
AC = √BC2− AB2 = √102 − 82 = cm AC2 = CH BC ⇔ 202 = CH 25
⇒ CH =20
25 = 16 cm
⇒ BH = BC − CH = 25 − 16 = cm
AH = √AC2 − HC2 = √202− 162 = 12 cm Vậy BH = cm; CH = 16 cm; AH = 12 cm
Bài 3: Cho ∆ABC vuông A có AC = 20 cm, BC = 25 cm, đường cao AH với H ∈ BC Tính BH, CH, AH
25cm
20cm
A
B C
(8)Hướng dẫn giải:
Trong ∆ABC vng A có:
BC = BH + HC = 1,8 + 3,2 = 𝑐𝑚
AB2 = BH CH = 1,8 3,2 ⇒ AH = 2,4 cm
AC2 = CH BC = 3,2 = 16 ⇒ AC = cm
AB2 = BH BC = 1,8 = 16 ⇒ AB = cm
Vậy AH = 2,4 cm; AB = cm; AC = cm
Bài 4: Cho ∆ABC vuông A , đường cao AH với H ∈ BC Có BH = 1,8 cm, CH = 3,2 cm Tính AH, AB, AC
3,2 cm
H C
B
A
(9)Hướng dẫn giải:
Đặt BH = 𝑥 (0 < 𝑥 < 6,4) suy BC = 𝑥 + 6,4
Trong ∆ABC vng A có:
AB2 = BH BC ⇔ 62 = 𝑥(𝑥 + 6,4) ⇔ 𝑥2 + 6,4𝑥 − 36 = ⇔ (𝑥 − 3,6)(𝑥 + 10) =
⇔ [ 𝑥 = 3,6 𝑥 = −10
⇔ 𝑥 = 3,6 (vì < 𝑥 < 6,4)
Suy BH = 3,6 cm
Vậy AH = 4,8 cm; BC = 10 cm; AC = cm
Bài 5: Cho ∆ABC vuông A, AB < AC, AH ⊥ BC với H ∈ BC Có AB = cm, CH = 6,4 cm Tính AH, BC, AC
6 cm
A
B C
H
(10)Hướng dẫn giải:
Đặt BH = 𝑥 (𝑥 > 0) suy CH = 10 − 𝑥
Trong ∆ABC vng A có:
AH2 = BH CH
⇔ 4,82 = 𝑥(10 − 𝑥) ⇔ 𝑥2− 10𝑥 + 23,04 = 0
⇔ (𝑥 − 3,6)(𝑥 − 6,4) = ⇔ [𝑥 = 3,6 𝑥 = 6,4
Ta có AB < AC ⇒ BH < CH ⇔ 𝑥 < 10 − 𝑥 ⇔ 𝑥 < ⇒ Chọn 𝑥 = 3,6 𝑐𝑚
Suy BH = 3,6 cm⇒ CH = 10 − 3,6 = 6,4 cm
Ta có:
AH2 = BH CH = 3,6 6,4 = 23,04 ⇒ AB = 4,8 cm AB2 = BH BC = 3,6 10 = 36 ⇒ AB = cm AC2 = CH BC = 6,4 10 = 64 ⇒ AC = cm Vậy AB = cm; AC = cm
Bài 6: Cho ∆ABC vuông A, AB < AC, AH ⊥ BC với H ∈ BC Có AH = 4,8cm, BC = 10cm Tính AB, AC
H C
B
A
4,8 cm
(11)3 2 1
L K
D
A B
C I
Hướng dẫn giải:
a) Tam giác DIL tam giác cân
Ta có: D̂ + D1 ̂ = 90°2 & D̂ + D2 ̂ = 90°3
Suy D̂ = D1 ̂3
Xét ∆DAI & ∆DCL có:
+ D̂ = D1 ̂3 + AD = DC
+ Â = D̂ = 90°
Suy ∆DAI = ∆DCL ⇒ DI = DL Suy ∆DIL cân D
b) Tổng 12 2
DI +DK không đổi I thay đổi cạnh AB
DI = DL ⇒ DI2+
1 DK2 =
1 DL2+
1 DK2
Trong ∆LDK vuông D có đường cao DC, ta có
1 DL2+
1 DK2 =
1
DC2 (Ko đổi)
Bài 7: (9/tr70/SGK) Cho hình vng ABCD Gọi I điểm nằm A B Tia DI tia CB cắt K Kẻ đường thẳng qua D, vng góc với DI Đường thẳng cắt đường thẳng BC L
Chứng minh rằng:
a) Tam giác DIL tam giác cân b) Tổng 12 2
(12) BÀI TẬP TỰ ƠN TẬP
Câu Hãy tìm 𝑥, 𝑦, 𝑧 hình sau
Hình Hình
Hình Hình
Hình Hình
H C
B
A
5cm
20cm
x y x y
8cm 6cm
A
B C
H
H C
B
A
1cm 4cm
x y
H C
B
A
5cm x 7cm
y
y
x 1cm
2cm
A
B C
H
y
6,4cm
H C
B
A
6cm
(13)Hình Hình
Hình Hình 10
Câu Cho ∆ABC (Â = 90°) , AB = 12 cm, BC = 13cm Tính AC, đường cao AH, đoạn thẳng BH, CH diện tích tam giác
Câu Cho ∆ABC vuông cạnh huyền AB, cạnh AC = 15, đường cao CH chia AB thành hai đoạn AH HB với HB = 16 Tính diện tích tam giác vng ABC
Câu Cho tam giác ABC cân A có cạnh bên 15cm, cạnh đáy 18cm Tính độ dài đường cao
Câu Tính diện tích tam giác cân có chiều cao ứng với cạnh đáy 10cm, chiều cao ứng với cạnh bên 12cm
Câu Cho tam giác ABC vuông A, đường phân giác BE, biết EC = 3, BC = Tính độ dài đoạn thẳng AB, AC
15cm x H C B A AB AC =
3 4 y 5cm z 2cm H C B A x y H C B A 30cm x y AB AC =
5 6 y x 125cm A B C H AB AC =
(14)Câu Tính diện tích tam giác có độ dài ba cạnh 10cm, 17cm, 21 cm Câu Cho tam giác ABC cân A (𝐴̂ < 90°), kẻ BM ⊥ CA Chứng minh
2
AM AB
2
MC AC
= −
Câu Cho tam giác ABC vuông A với đường cao AH Trên nửa mặt phẳng bờ BC có chứa điểm A lấy điểm D cho DB = DC = AB
2 Chứng minh BD, DH HA độ dài ba cạnh tam giác vuông
Câu 10 Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Gọi D, E hình chiếu H AB AC Hãy chứng minh hệ thức sau:
1)
3
CE CA BD AB
= 2) AH3 = BC BD CE
k: https://www.facebook.com/feo.pro