Bí quyết giải toán Số học THCS theo chủ đề - Huỳnh Kim Linh

• Tính chất 9.. Chúng ta vận dụng linh hoạt các tính chất cơ bản này trong nhiều các bài toán về chia hết.. Mặt khác 5 số nguyên liên tiếp luôn có một số chia hết cho 5 nên tích chúng c[r]

2𝑝 − 1

20192020 ∶ 19

BÍ QUYẾT THEO CHỦ ĐỀ

Giải tốn số học THCS

HUỲNH KIM LINH – NGUYỄN QUỐC BẢO

BÍ QUYẾT Giải tốn số học THCS

THEO CHỦ ĐỀ

Lêi giíi thiƯu Các em học sinh thầy giáo, cô giáo thân mến !

Cuốn sách Bí giải tốn số học THCS được tác giả biên soạn nhằm giúp em học sinh học tập tốt mơn Tốn THCS THPT sau

Các tác giả cố gắng lựa chọn tập thuộc dạng điển hình, xếp thành hệ thống để bồi dưỡng học sinh giỏi lớp THCS Sách viết theo chủ đềtương ứng với vấn đề quan trọng thường đề thi học sinh giỏi tốn THCS, vào lớp 10 chun mơn toán cảnước Mỗi chủđềđược viết theo cấu trúc lý thuyết cần nhớ, dạng toán thường gặp, tập rèn luyện hướng dẫn giải giúp em học sinh nắm vững kiến thức đồng thời rèn luyện kiến thức học Mỗi chủđề có ba phần:

A Kiến thức cần nhớ: Phần tóm tắt kiến thức bản, kiên thức bổ sung cần thiết đểlàm sở giải tập thuộc dạng chuyên đề

B Một số ví dụ: Phần đưa ví dụ chọn lọc, tiêu biểu chứa đựng kĩ phương pháp luận mà chương trình địi hỏi

Mỗi ví dụthường có: Lời giải kèm theo nhận xét, lưu ý, bình luận phương pháp giải, sai lầm thường mắc nhằm giúp học sinh tích lũy thêm kinh nghiệm giải toán, học toán

C Bài tập vận dụng:

Phần này, tác giảđưa hệ thống tập phân loại theo dạng tốn, tăng dần độ khó cho học sinh giỏi Có tập trích từcác đề thi học sinh giỏi Toán đề vào lớp 10 chuyên Toán Các em cố gắng tự giải Nếu gặp khó khăn có thểxem hướng dẫn lời giải cuối sách

Các tác giả hi vong sách tài liệu có ích giúp em học sinh nâng cao trình độvà lực giải tốn, góp phần đào tạo, bồi dưỡng học sinh giỏi cấp THCS Mặc dù có nhiều cố gắng biên soạn song sách khó tránh khỏi sai sót Chúng tơi mong nhận ý kiến đóng góp bạn đọc

Trong q trình soạn sách xin chân thành cảm ơn Thầy Trần Thanh Trà - Trường THCS Chu Văn An, quận Ngô Quyền, tỉnh Hải Phòng; Thầy Lưu Lý Tưởng - Trường THCS Văn Lang, TP Việt Trì, Phú Thọ; Thầy Phạm Văn Vượng - Trường THCS Nhữ Bá Sỹ, tỉnh Thanh Hóa, Cơ Quế Thị Lan Trường THCS Diễn Mỹ, Diễn Châu, Nghệ An tặng nhiều tài liệu đềthi quý để tác giả kham khảo

CH

UY

ÊN

Đ

Ề

S

Ố

H

Ọ

C

A.KiÕn thøc cÇn nhí I Ước bội

1) Định nghĩa ước bội

Ước: Số tự nhiên d ≠0được gọi ước số tự nhiên a a chia hết cho d Ta

nói d là ước a

Nhận xét: Tập hợp ước a Ư( ) {a = d∈N d a: | }

Bội: Số tự nhiên m được gọi bội a≠0 m chia hết cho a hay a

ước số m

Nhận xét: Tập hợp bội a(a≠0)là B a( ) {= 0; ; ; ;a a ka},k∈Z

2) Tính chất:

- Số bội số nguyên khác Số ước số nguyên - Các số -1 ước số nguyên

- NếuƯ( ) { }a = 1;a a số nguyên tố

- Số lượng ước số : Nếu dạng phân tích thừa số nguyên tố số tự nhiên A a b cx y z … số lượng ước A (x+1)(y+1)(z+1) …

Thật ước A số có dạng mnp…trong đó:

m có x+1 cách chọn (là

1, , , ,a a … ax) n có y+1 cách chọn (là1, , , ,b b2 … by)

p có z+1 cách chọn (là1, , , ,c c2 … cz),…

Do đó, số lượng ước A (x+1)(y+1)(z+1) II Ướcchung vàbộichung

1) Định nghĩa

Ước chung (ƯC): Nếu hai tập hợp Ư(a) Ư(b) có phần tử chung phần tửđó gọi ước số chung a và b Kí hiệu ƯC(a; b)

CH

Ủ

Đ

Ề

1 CÁC BÀI TOÁN VỀ

CH

IN

H

P

H

Ụ

C

K

Ỳ

T

H

I H

Ọ

C S

IN

H

GI

Ỏ

I C

ẤP

H

AI

Nhận xét: Nếu ƯC(a b; ) { }= a và b nguyên tố

Ước chung lớn (ƯCLN): Số d∈Nđược gọi ước số chung lớn a b (a b; ∈Z) d phần tử lớn tập hợp ƯC(a; b) Kí hiệu ước chung lớn a b ƯCLN(a; b) (a;b) gcd(a;b)

Bội chung (BC): Nếu hai tập hợp B(a) B(b) có phần tử chung phần tử gọi bội số chung a và b Kí hiệu BC(a; b)

Bội chung nhỏnhất (BCNN): Số m≠0được gọi bội chung nhỏ a b m

là số nhỏ khác tập hợp BC(a; b) Kí hiệu bội chung nhỏ a b BCNN(a; b) [ ]a b; lcm(a;b)

2)Cách tìm ƯCLN BCNN

a) Muốn tìn ƯCLN hai hay nhiều số lớn ,ta thực bước sau : Phân tích số thừa số nguyên tố

2.- Chọn thừa số nguyên tố chung

3.- Lập tích thừa sốđã chọn, thừa số lấy với sốmũ nhỏ Tích ƯCLN phải tìm

Ví dụ:

30=2.3.5, 20=2 5⇒ƯCLN(30; 20) =2.5=10

Chú ý :

- Nếu sốđã cho khơng có thừa số ngun tốchung ƯCLN chúng - Hai hay nhiều số có ƯCLN gọi số nguyên tố

- Trong số cho, số nhỏ ước số cịn lại ƯCLN số cho số nhỏ

b) Muốn tìm BCNN hai hay nhiều số lớn , ta thực ba bước sau : 1- Phân tích số thừa số nguyên tố

2- Chọn thừa số nguyên tố chung riêng

3- Lập tích thừa sốđã chọn , thừa số lấy với sốmũ lớn chúng Tích BCNN phải tìm

Ví dụ:

30=2.3.5, 20=2 5⇒BCNN(30; 20) =2 3.52 =60

Chú ý:

- Nếu sốđã cho đôi nguyên tố BCNN chúng tích số Ví dụ: BCNN(5 ; ; 8) = = 280

- Trong sốđã cho, số lớn bội số cịn lại BCNN sốđã cho số lớn Ví dụ: BCNN(12 ; 16 ; 48) = 48

3) Tính chất

CH

UY

ÊN

Đ

Ề

S

Ố

H

Ọ

C

● Nếu (a a1; 2; ;an)=1thì ta nói số a a1; 2; ;an nguyên tố

● Nếu (am;ak)= ∀ ≠1, m k m k,{ } {, ∈ 1; 2; ;n} ta nói số a a1; 2; ;an đơi nguyên tố

● c∈ƯC (a; b) thì a b; ( )a b;

c c c

  =     ● d ( )a b; a b;

d d   = ⇔ =

  ● (ca cb; ) ( )=c a b;

● ( )a b; =1 ( )a c; =1thì(a bc; )=1 ● (a b c; ; ) ( )=( a b c; ; )

● Cho a> >b

- Nếu a=b q ( )a b; =b

- Nếu a=bq+r r( ≠0) ( ) ( )a b; = b r;

Một số tính chất bội chung nhỏ nhất: ● Nếu [ ]a b; =M M M;

a b

  =

 

 

● [a b c; ; ] [ ]=  a b c; ; 

● [ka kb, ]=k a b[ ], ;

● [ ]a b; (a b; )=a b

4) Thuật tốn Euclid việc tính nhanh ƯCLN BCNN

“Thuật toán Euclid” thuật toán cổ biết đến, từ thời Hy Lạp cổđại, sau Euclid (ơ –clit) hệ thống phát triển nên thuật

toán mang tên ông Về số học, “Thuật toán Euclid” thuật toán để xác định ước số chung lớn (GCD – Greatest Common Divisor) phần tử thuộc vùng Euclid (ví dụ: số ngun) Khi có ƯCLN ta tính nhanh BCNN Thuật tốn khơng u cầu việc phân tích thành thừa số số nguyên

Thuật tốn Oclit – dùng đểtìm ƯCLN sốnguyên Đểtìm ƯCLN hai số nguyên a b ta dùng cách chia liên tiếp hay gọi “vòng lặp” sau:

• Bước 1: Lấy a chia cho b:

Nếu a chia hết cho b ƯCLN(a,b) = b

CH

IN

H

P

H

Ụ

C

K

Ỳ

T

H

I H

Ọ

C S

IN

H

GI

Ỏ

I C

ẤP

H

AI

• Bước 2:Lấyb chia cho số dư r: Nếu b chia hết cho r ƯCLN(a, b) = r

Nếu b chiar dư r1 (r1 ≠0) làm tiếp bước

• Bước 3:Lấy r chia cho số dư r1: Nếu r chia cho r1 dư ƯCLN(a, b) = r1 Nếu r chia r1 dư r2 (r1 ≠0) làm tiếp bước

Bước 4: Lấy r1 chia cho số dư r2 : Nếu r1 chia hết cho r2 ƯCLN(a, b) = r2 Nếu r1 cho cho r2 dư r3 (r3 ≠0 ) làm tiếp

như đến sốdư

Sốdư cuối khác dãy chia liên tiếp như ƯCLN (a,b)

Ví dụ: Tính ước số chung lớn 91 287

• Trước hết lấy 287 (số lớn số) chia cho 91: 287 = 91.3 + 14 (91 14 sẽđược dùng cho vòng lặp kế) Theo thuật tốn Euclid, ta có ƯCLN(91,287) = ƯCLN(91,14)

Suy tốn trởthành tìm ƯCLN(91,14) Lặp lại quy trình phép chia khơng cịn sốdư sau:

91 = 14.6 + 7(14 sẽđược dùng cho vòng lặp kế)

14 = 7.2 (khơng cịn sốdư suy kết thúc, nhận 7 làm kết quả) Thật vậy: = ƯCLN(14,7) = ƯCLN(91,14) = ƯCLN(287,91) Cuối ƯCLN(287,91) =7

Tính BCNN nhanh nhất

Để việc giải tốn BCNN ƯCLN nhanh, Nếu biết áp dụng “Thuật toán Euclid” : Biết rằng: hai số nguyên a, b có BCNN [ a,b] ƯCLN (a,b)

[ ] ( ) [ ] ( ) ( ) [ ]

, , , , ,

, ,

a b a b

a b a b a b a b a b

a b a b

= ⇒ = =

Nghĩa là: Tích số nguyên a b = ƯCLN (a,b) x BCNN (a,b)

Ví dụ: có a = 12; b = 18 suy ƯCLN (12,18) = thì: BCNN (12,18) = (12 x 18) : = 36

a b

b r1 q

1

r r2 q1

r q2 ……

n

r − (a, b)

CH

UY

ÊN

Đ

Ề

S

Ố

H

Ọ

C

Nếu làm theo cách phân tich thừa số nguyên tố phải tính: 12 = 22 x 3; 18 = x 32 suy BCNN (12,18) = 22 x 32 = 36

Nhận xét: Với cặp số ngun có nhiều chữ số việc phân tích thừa số nguyên tố nhiều thời gian; lấy tích số bấm máy tính cầm tay nhanh dễhơn 5) Phân số tối giản

a

b phân số tối giải (a b, )=1 Tính chất:

i) Mọi phân sốkhác có thểđưa phân số tối giản ii) Dạng tối giản phân số

iii)Tổng (hiệu) số nguyên phân số tối giản phân số tối giản

B. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

Dạng 1: Các toán liên quan tớisố ước số

* Cơ sởphương pháp:Nếu dạng phân tích thừa số nguyên tố số tự nhiên A a b cx y z … số lượng ước A (x+1)(y+1)(z+1) …

Thật ước A số có dạng mnp…trong đó: m có x+1 cách chọn (là

1, , , ,a a … ax) n có y+1 cách chọn (là1, , , ,b b2 … by)

p có z+1 cách chọn (là1, , , ,c c2 … cz),…

Do đó, số lượng ước A (x+1)(y+1)(z+1) * Ví dụminh họa:

Bài tốn 1. Tìm sốước số 96

18

Hướng dẫn giải

Ta có : 96 ( )2 96 192 96

18 = =3

Vậy số ước số 96

18 (96 192 1+ )( + =) 97.193 18721.=

CH

IN

H

P

H

Ụ

C

K

Ỳ

T

H

I H

Ọ

C S

IN

H

GI

Ỏ

I C

ẤP

H

AI

Hướng dẫn giải

Giả sử

k a a a

k

n= p p p với pi nguyên tố ai∈N*

n số phương a a1, 2, ,aklà số chẵn (a1 +1)(a2 +1 ) (ak +1) số lẻ

Mặt khác (a1+1)(a2 +1 ) (ak +1) số số ước n, tốn chứng

minh

Bài toán 3. Một số tự nhiên n tổng bình phương số tự nhiên liên tiếp Chứng minh rằng n khơng thểcó 17 ước số

Hướng dẫn giải

Tổng bình phương số tự nhiên liên tiếp có dạng :

( )2 ( )2

1

n= m− +m + m+ = m + khơng thể số phương

Nếu n có 17 ước số n là số phương (bài tốn 1), vơ lí Từ suy điều phải chứng minh

Dạng 2: Tìm số nguyênn để thỏa mãn điều kiện chia hết

* Cơ sởphương pháp: Tách số bị chia thành phần chứa ẩn số chia hết cho số chia phần nguyên dư, sau để thỏa mãn chia hết số chia phải ước phần sốngun dư, từ ta tìm số nguyên n thỏa mãn điều kiện

* Ví dụminh họa:

Bài tốn 1. Tìm số tựnhiên n để(5n + 14) chia hết cho (n + 2)

Hướng dẫn giải Ta có 5n + 14 = 5.(n + 2) +

Mà 5.(n + 2) chia hết cho (n + 2)

Do (5n + 14) chia hết cho (n +2) ⇔4 chia hết cho (n + 2) ⇔(n + 2) ước ⇔(n +2) ∈{1;2;4}

⇒ n ∈{0;2}

Vậy với n ∈{0; 2}thì (5n + 14) chia hết cho (n + 2)

Bài tốn 2. Tìm số tựnhiên n để

3 15

+ + n

n số tự nhiên

Hướng dẫn giải Để

3 15 + +

n n

CH

UY

ÊN

Đ

Ề

S

Ố

H

Ọ

C

⇒ [(n + 15) - (n + 3)] chia hết cho (n + 3) ⇔12 chia hết cho (n +3)

⇔(n + 3) Ư(12) = {1; 2; 3; 4; 6; 12} ⇔n ∈{0; 1; 3; 9}

Vậy với n ∈{0; 1; 3; 9}thì

3 15 + +

n n

số tự nhiên

Bài tốn 3. Tìm số tựnhiên n để n2+ 3n +  n +

Hướng dẫn giải

Ta có: n2+ 3n +  n +

Suy ra: n (n + 3) +  n + ⇔  n + => n + ∈ Ư(6) = {1; 2; 3; 6} => n = 0; n = Bài tốn 4. Tìm sốngun n để phân số 4n

2n

+

− có giá trị số nguyên

Hướng dẫn giải

Ta có: 4n

2n

+ − =

4n n(2n 1) 7

n

2n 2n 2n

− + = − + = +

− − −

Vì n nguyên nên để 4n

2n

+

− nguyên

7

2n 1− nguyên

=> 2n – ∈ Ư(7) = {–7; –1; 1; 7}

⇔ 2n ∈{– 6; 0; 2; 8} ⇔ n ∈ {– 3; 0; 1; 4} Vậy với n ∈ {– 3; 0; 1; 4} 4n

2n

+

− có giá trị số nguyên

Bài tốn 5. Tìm số tựnhiên n để biểu thức sau số tự nhiên:

2 17

2 2

n n n

B

n n n

+ +

= + −

+ + +

Hướng dẫn giải

Ta có:

2 17 2 17 19

2 2 2

n n n n n n n

B

n n n n n

+ + + + + − +

= + − = =

+ + + + +

4( 2) 11 11

2

n

n n

+ +

= = +

+ + Để B số tự nhiên 11

2

CH

IN

H

P

H

Ụ

C

K

Ỳ

T

H

I H

Ọ

C S

IN

H

GI

Ỏ

I C

ẤP

H

AI

Do n + > nên n + = 11 ⇒n = Vậy n = B ∈ N

Bài tốn 6 Tìm k nguyên dương lớn để ta có số ( )

1 23

k n

k

+ =

+ sốnguyên dương

Hướng dẫn giải

Ta có: ( ) ( )( )

2 2

1 23 21 484 484

1 ,

23 23 23 23

k k k k k

n k k Z

k k k k

+

+ + + + − +

= = = = − + ∈

+ + + + n

sốnguyên dương k+23 | 484, k+23>23

Ta có 484 = 222 = 4.121= 44.21 23 121 98 23 44 21

k k

k k

+ = =

 

⇒ ⇒

+ =  =

 Với k = 98, ta có n = 81

Với k = 21, ta có n = 11

Vậy giá trị k lớn thỏa mãn yêu cầu tốn 98

Dạng 3: Tìm số biết ƯCLN chúng * Cơ sởphương pháp:

* Nếu biết ƯCLN(a, b) = K a = K.m b = K.n với ƯCLN(m; n) = (là điều kiện số m, n cần tìm) , từđó tìm a b

* Ví dụminh họa:

Bài tốn Tìm hai số tự nhiên a, b, biết rằng: a + b = 162 ƯCLN(a, b) = 18

Hướng dẫn giải Giả sử a≤b

Ta có: a+ =b 162, (a b, )=18

Đặt 18

18

a m

b n

=  

=

 với (m, n)=1,m≤n

Từ a+ =b 162⇒18(m+n)=162⇒ + =m n

Do ( m, n ) = 1, lập bảng:

m

n

a 18 36 loai 72

CH

UY

ÊN

Đ

Ề

S

Ố

H

Ọ

C

Kết luận: Các số cần tìm là: (18;144 ; 36;126 ; 72;90) ( ) ( )

Bài tốn Tìm hai số nhỏhơn 200, biết hiệu chúng 90 ƯCLN 15

Hướng dẫn giải Gọi hai số cần tìm a, b (a b, ∈N a b; , <200)

Ta có: a− =b 90; (a b, )=15

Đặt ( )

( )

( )

,

15 ,

15 90

15

m n

a m m n

m n

b n m n

 =

=  =

 ⇒ ⇒

  

− =

= − =

  

  

Lại có: , 200 15 200 13

15 200 13

m m

a b

n n

< ≤

 

 

< ⇒ ⇒

< ≤

 

 

m n a b

13 195 105

11 65 75

7 85 15

Vậy: (a b, ) (= 195;105 , 65;75 , 85;15 ) ( ) ( )

Bài toán Tìm hai số tự nhiên có tích 432 ƯCLN

Hướng dẫn giải

Ta có: ab=432;(a b, )=6(a≤b)

Đặt a=6 ,m b=6n với (m, n) = m ≤ n ⇒36mn=432⇒mn=12

Ta được:

m n a b

1 12 72

3 18 24

Vậy (a, b) (= 6;72 , 18, 24) ( )

Bài tốn Tìm hai số a, b biết 7a=11b ƯCLN(a; b)= 45

Hướng dẫn giải

CH

IN

H

P

H

Ụ

C

K

Ỳ

T

H

I H

Ọ

C S

IN

H

GI

Ỏ

I C

ẤP

H

AI

TừƯCLN(a; b) = 45 ( ) ( )

1 1

1

45

; 1,

45

a a

a b a b

b b

= 

⇒ = = ≥



Mà: 1

1

11

11 11

7

7

a a

a

b

b b

= 

= ⇒ = ⇒ 

=

 (a b1; 1)=1=>

45.11 495 45.7 315

a b

= =



 = =

 Vậy hai số a,b cần tìm a = 495 b = 315

Dạng 4: Các toán phối hợp BCNN số với ƯCLN chúng * Cơ sởphương pháp:

* Nếu biết BCNN (a, b) = K ta gọi ƯCLN(a; b) = d a = m.d b = n.d với ƯCLN(m; n) = (là điều kiện số m, n cần tìm) , từđó tìm a b

* Ví dụminh họa:

Bài tốn Cho a=1980,b=2100 a) Tìm ( )a b, [ ]a b,

b) So sánh [ ]a b, ( )a b, với ab Chứng minh nhận xét hai số tự nhiên avà b khác 0tùy ý

( Nâng cao phát triển lớp tập – Vũ Hữu Bình)

Hướng dẫn giải

a) 2 2

1980=2 5.11, 2100=2 3.5 ƯCLN(1980, 2100)

2 3.5 60

= =

( ) 2

1980, 2100 7.11 69300

BCNN = =

b) [1980, 2100 1980, 2100] ( )=1980.2100( 4158000) Ta chứng minh

rằng [ ]a b, ( )a b, =a b

Cách Trong cách giải này, thừa số riêng coi thừa số

chung, chẳng hạn a chứa thừa số 11,bkhông chứa thừa số 11 coi bchứa

thừa số11 với sốmũ Với cách viết này, ví dụ ta có:

2

1980=2 5.7 11

2

2100=2 3.5 7.11

(1980, 2100)là tích thừa số chung với số mũ nhỏ 2 0

2 5.7 11 =60 [1980, 2100] tích thừa số chung với sốmũ lớn 2 7.112 2 =69300.

CH

UY

ÊN

Đ

Ề

S

Ố

H

Ọ

C

[ ]a b, ( )a b, =a b ( )1

Khi phân tích thừa số nguyên tố, thừa số nguyên tố hai vế ( )1

chính thừa số nguyên tố có avà b Ta chứng tỏ hai vế chứa

thừa số nguyên tốnhư với sốmũ tương ứng

Gọi plà thừa số nguyên tố tùy ý thừa số nguyên tố Giả sử số mũ ptrong a x,số mũ p blà ytrong x ycó thể

Khơng tính tổng qt, giả sử x≥ y Khi vế phải (1) chứa p với số mũ x+y Còn vế trái, [a, b] chứa p với số mũ x, (a, b) p với số mũ y nên vế trái chứa p với số mũ x+y

Cách Gọi d =( , )a b a=da b', =db′ (1), ( ', ')a b =1

Đặt ab m

d = ( )2 , ta cần chứng minh [ ]a b, =m

Để chứng minh điều này, cần chứng tỏ tồn số tự nhiên x, y cho

m=ax, m=by (x, y) =

Thật từ (1) (2) suy '

.b

m a ab

d

= = ,

'

.a

m b ba

d

= = Do đó, ta chọn ' '

, ,

x=b y=a ( )x y, =1 ( ' ')

,

a b = Vậy ab [ ]a b, ,

d = tức [ ]a b, ( )a b, =ab

Bài tốn Tìm hai số tự nhiên biết ƯCLN chúng 10, BCNN chúng 900

Hướng dẫn giải

Gọi số phải tìm a b, giả sử a≤b Ta có ( , )a b =10 nên a=10a', b = 10b', ' '

( , )a b =1,a′≤b' Do ab=100 ' 'a b (1) Mặt khác ab=[ ]a b, ( , )a b =900.10=9000 (2) Từ (1) (2) suy a b' '=90 Ta có trường hợp :

'

a

'

b 90 45 18 10

Suy ra:

a 10 20 50 90

CH IN H P H Ụ C K Ỳ T H I H Ọ C S IN H GI Ỏ I C ẤP H AI

Bài tốn Tìm hai số tự nhiên a, b cho tổng ƯCLN BCNN 15

Hướng dẫn giải Giả sử a < b

Gọi d =ƯCLN( a; b) ( ) ( )

1 1

1

, ;

a d a

a b a b b d b

= 

⇒ = < =

 , d < 15

Nên BCNN(a; b) = a b d1 .1

Theo ta có: d+a b d1 =15=>d(1+a b1 1)=15=> ∈d U( ) {15 = 1;3;5;15}, Mà d < 15, Nên

TH1 :

1

1

1

1 14

14 14

a a

d a b

b b

= ⇒ = 

= ⇒ = ⇒ 

= ⇒ =



1 2 7 a a b b = ⇒ =   = ⇒ = 

TH2 :

1

1

1

3

4 12

a a

d a b

b b = ⇒ =  = ⇒ = ⇒  = ⇒ = 

TH3 :

1

1

1

5

2 10

a a

d a b

b b

= ⇒ = 

= ⇒ = => 

= ⇒ = 

Vậy cặp số(a; b) cần tìm : (1;14), (2; 7), (3; 12), ( 5; 10) đảo ngược lại

Dạng 5: Các toán liên quan đến hai số nguyên tố nhau

* Cơ sở phương pháp: Để chứng minh hai số nguyên tố nhau, ta chứng minh chúng có ƯCLN =

* Ví dụminh họa:

Bài tốn 1.Chứng minh rằng:

a) Hai số tự nhiên liên tiếp (khác 0) hai số nguyên tố b) Hai số lẻ liên tiếp hai số nguyên tố

c) 2n + 3n + (n∈N ) hai số nguyên tố

Hướng dẫn giải

a) Gọi d ∈ ƯC (n , n + 1) ⇒(n+ −1) n d ⇒1d ⇒ =d Vậy n n + hai số nguyên tố

cùng

b) Gọi d ∈ ƯC (2n + 1, 2n + 3) ⇒(2n+ −3) (2n+1)d ⇒2d ⇒ ∈d { }1; Nhưng d ≠2vì d ước số lẻ Vậy d =

Vậy (2n + 1) (2n + 3) hai số nguyên tố

c) Gọi d ∈ ƯC (2n + 1,3n + 1) ⇒3(2n+ −1) 2(3n+1)d⇒1d ⇒ =d

CH

UY

ÊN

Đ

Ề

S

Ố

H

Ọ

C

Bài toán Cho a b hai số nguyên tố Chứng minh sốsau hai số nguyên tố nhau:

a) a a + b b) a2 a + b c) ab a + b Hướng dẫn giải

a) Gọi d∈ƯC(a, a + b) ⇒(a+b)−a d ⇒b d Ta lại có: a d ⇒ ∈d ƯC(a, b), d =

(vì a b hai số nguyên tố nhau) Vậy (a, a + b) =

b) Giả sử a2 a + b chia hết cho số nguyên tố d a chia hết cho d, b chia hết cho d Như a b chia hết cho số nguyên tố d, trái với giả thiết (a, b) =

Vậy a2và a + b hai số nguyên tố

c) Giả sử ab a + b chia hết cho số nguyên tố d Tồn hai thừa số a b, chẳng hạn a, chia hết cho d, b chia hết cho d, trái với (a, b) = Vậy (ab, a + b) =

Bài tốn Tìm số tự nhiên n để số: 9n +24 3n + số nguyên tố nhau?

Hướng dẫn giải Giả sử 9n + 24 3n + chia hết cho số nguyên tố d

Ta có (9n+24) (−3 3n+4)d ⇒12d ⇒ ∈d { }2;3 Điều kiện để (9n + 24, 3n + 4) =

2,

d ≠ d ≠ Ta dễ thấy d ≠3 3n + khơng chia hết cho Muốn d ≠2

trong hai số 9n + 24 3n +4 không chia hết cho Ta thấy 9n+ 24 số lẻ suy n lẻ, 3n + lẻ suy n lẻ

Vậy để (9n + 24, 3n + 4) = n phải số lẻ

Bài tốn Tìm n để18n + 31n +7 hai số nguyên tố

Hướng dẫn giải Gọi ƯCLN( 18n + ; 21n + 7)= d, d ∈N*

Khi ta có : ( )

( ) ( ) ( )

7 18 18

126 42 126 21 21

21 21

n d

n d

n n d d

n d n d

+ 

+

 ⇒ ⇒ + − + ⇒

 + 

+

 

 

 

 

( ) {21 1; 3; 7; 21}

d U

CH IN H P H Ụ C K Ỳ T H I H Ọ C S IN H GI Ỏ I C ẤP H AI

Do 21n + 7d, Mà 21n + không chia hết cho 3, nên d = d =7 Để hai số18n + 21n + hai số nguyen tốthì d khác hay 18n + 3/ ⇒7 18n + -2 1/7 ⇒ 18n - 18/7 ⇒ 18( n - 1)/7 ⇒ n - 1/7 ⇒ n - 1≠7k ⇒ n ≠7k +

Vậy n ≠7k + với k số tựnhiên 18n + 21n + hai số nguyên tố

Dạng 6: Các toán phân số tối giản

* Cơ sởphương pháp: Một phân số tối giản tử số mẫu số có ước chung lớn

* Ví dụminhhọa:

Bài toán Chứng minh

3

n n

+

+ phân số tối giản với số tự nhiên n

Hướng dẫn giải Gọi d ước chung (2n + 3) (3n + 4) Suy ra:

( )

( ) ( ) ( )

3

2

3 3

2

3

n d

n d

n n d d d

n d n d +  +  ⇒ ⇒ + − + ⇒ ⇒ ∈  +  +          Ư(1)

Mà Ư(1) = −{ }1;1 ⇒ ∈ −d { }1;1 Vậy

3

n n

+

+ phân số tối giản

Bài toán Chứng minh 21

14

n n

+

+ phân số tối giản với số tự nhiên n

Hướng dẫn giải Cách 1: Gọi (2n + 4, 14n + 3) = d ( )

( ) ( )

21

7 14 3

14

n d n n n d +  ⇒ ⇒ + ⇒ + +      Từ(1) (3) suy 1d ⇒ =d

Vậy 21

14

n n

+

+ phân số tối giản với số tự nhiên n

Cách 2: Giả sử phân số 21

14

n n

+

+ chưa tối giản

Suy 21n + 14n + có ước số chung nguyên tố d (21 4) (14 3)

14

n n n d

n d

⇒ + − + = +

⇒ +

CH

UY

ÊN

Đ

Ề

S

Ố

H

Ọ

C

Do đó: (14n+ −3) (14n+ =1) 1d,vơ lý

Vậy toán chứng minh

Bài toán Chứng minh 22

3

n

n n

+

+ + phân số tối giản với số tự nhiên n

Hướng dẫn giải Ta viết lại:

( )( )

2 3

1

3

n n

n n

n n

+ = +

+ +

+ +

Do n + n + hai số tự nhiên liên tiếp nên nguyên tố ⇒(n+1,n+2)=1

Suy tổng chúng (n + 1) + (n + 2) = 2n + tích chúng ( )( )

1

n+ n+ =n + n+ nguyên tố

Vậy phân số 22 ,

3

n

n N

n n

+

∈

+ + phân số tối giản

Bài toán Định n để

2

n n

+

− phân số tối giản với n số tự nhiên

Hướng dẫn giải Để

2

n n

+

− phân số tối giản (n + 8, 2n – 5) =

Giả sử d ước nguyên tố 2n – n + Suy ra: | n ( )( )1

| n

d d

+ 

 −

 Từ (1) (2) suy ra: d| 2(n+8) (= 2n− +5) 21 ( )3

Do d | 21⇒ =d 3,

Muốn cho phân số tối giản điều kiện cần đủ (n + 8) không chia hết cho Do đó: n≠3k+1,n≠7m−1với k m, ∈N

Vậy n≠3k+1và n≠7m−1là điều kiện cần tìm để phân số

2

n n

+

− tối giản

Dạng 7: Tìm ƯCLN biểu thức số

* Ví dụminh họa:

Bài tốn Tìm ƯCLN 2n−1 9n+4(n∈). Hướng dẫn giải

CH

IN

H

P

H

Ụ

C

K

Ỳ

T

H

I H

Ọ

C S

IN

H

GI

Ỏ

I C

ẤP

H

AI

Vì 2n−1 17 ⇒2n−18 17 ⇔2(n 9) 17−  ⇔ −n 17 ⇔ =n 17k+9 với k∈N Nếu n=17k + 2n - 117 9n + = 9(17k + 9)+ = Bội 17 + 8517 (2n - 1,9n + 4) = 17

Nếu n≠17k+9 2n - khơng chia hết cho 17 (2n - 1,9n + 4) =

Bài tốn Tìm ƯCLN ( 1)

2

n n+

2n+1(n∈*). Hướng dẫn giải Gọi d∈ƯC ( 1), 2 1

2

n n

n

 + 

+

 

  n n( +1)d 2n+1d

Suy n(2n+ −1) (n n+1)d tức n d2 .

Từ n n( +1)d n d2 suy n d Ta lại có 2n+1d, 1dnên d =1

Vậy ƯCLN ( 1)

2

n n+

và 2n +

Dạng 8: Liên hệ phép chia có dư với phép chia hết, ƯCLN, BCNN

* Cơ sởphương pháp:

* Nếu số tự nhiên a chia cho số tự nhiên bđược sốdư k ⇒ a – k ⋮b

* Nếu a ⋮ b a ⋮ c mà ƯCLN(a, b) = ⇒ a chia hết cho tích b.c (a, b, c ∈ N) * Nếu a ⋮ b a ⋮ c mà a số nhỏ ⇒ a = BCNN(a, b) (a, b, c ∈ N) * Nếu a ⋮ b m ⋮ b mà b lớn ⇒ b = Ư CLN(a, m) (a, b, m ∈ N)

* Ví dụminh họa:

Bài toán Bạn Nam nghĩ số có chữa số, bớt sốđó số 7, bớt số số8, bớt sốđó 10 số 9, Hỏi bạn Nam nghĩ sốnào?

Hướng dẫn giải Gọi x số bạn Nam nghĩ, Điều kiện: 99< <x 1000

Theo ta có:

8 7

9 8 7;8;9 (7;8;9) 10 9

x x

x x x x BC

x x

− −

 

 − ⇒ − ⇒ − ⇒ − ∈

 

 −  −

 

 

  

 

{ } { }

1 0;504;1008; 1;505;1009;

x− ∈ ⇒ ∈x , Mà 99 < x < 1000 nên x = 505 Vậy số có ba chữ số mà bạn Nam nghĩ 505

CH

UY

ÊN

Đ

Ề

S

Ố

H

Ọ

C

Hướng dẫn giải

Theo ta có: ( )

3 2

5 , , 10 (3;5; 7)

7 14

a m a m a

a n m n p N a n a a BC

a p a p a

= + = + −

  

 = + ∈ ⇒ = + ⇒ − ⇒ − ∈

  

 = +  = +  −

  

  

Vì a nhỏ nên 2a - nhỏ khác hay 2a - = BCNN( 3; 5; 7) = 105 ⇒2a = 106 ⇒a = 53

Vậy số tự nhiên nhỏ cần tìm 53

Bài tốn Tìm số tự nhiên nhỏ chia cho 5, 7, có sốdư theo thứ tựlà 3, 4,

Hướng dẫn giải Gọi số tự nhiên cần tìm a Theo ta có:

( )

5 10

7 , , 14 (9;5; 7)

9 18 10

a m a m a

a n m n p N a n a a BC

a p a p a

= + = + −

  

 = + ∈ ⇒ = + ⇒ − ⇒ − ∈

  

 = +  = +  −

  

  

Vì a nhỏ nên 2a - nhỏ khác hay 2a - = BCNN( 9; 5; 7) = 315 ⇒2a = 316 ⇒a = 158

Vậy số tự nhiên nhỏ cần tìm 158

Bài tốn Linh Mai mua số hộp bút chì màu, số bút đựng hộp lớn Kết quảLinh có 15 bút chì màu Mai có 18 bút chì màu hỏi hộp có bút?

Hướng dẫn giải

Gọi số bút hộp a Điều kiện: a∈N a, <15 a >1

Theo ta có : 15 a 18 a, Nên a ước chung 15 18 Và a phải lớn nhỏhơn 15 ⇒ kết quảđược a =

Bài toán Hai lớp 6A 6B tham gia phong trào tết trồng cây, em tròng số nhau, kết lớp 6A trồng 132 vag 6B 135 Hỏi lớp có học sinh

Hướng dẫn giải

Gọi số em trồng a, Điều kiện: a∈N a, <132,a>1

Theo ta có: 132a 135a ta thấy a UC∈ (132;135)={ }1;3

Vậy a = 3, Khi lớp 6A có 132: = 44 học sinh lớp 6B có 135: = 45 học sinh

CH IN H P H Ụ C K Ỳ T H I H Ọ C S IN H GI Ỏ I C ẤP H AI

kết bạn tham gia phân công đứng thành hàng dọc cho hàng có số bạn thi mơn nhau.Hỏi phân học sinh đứng thành hàng?

Hướng dẫn giải

Gọi số học sinh đứng hàng a Điều kiện : a∈N a, <72và a >

Vì hàng có số học sinh mơn nên ta có: 96 a ;120 a 72 a ,

Để có hàng số học sinh phải lớn hay a lớn

Hay a = ƯCLN ( 96; 120; 72) = 24, Vậy số hàng cần tìm : (96 + 120 + 72): 24 = 12 hàng

Dạng 9: Tìm ƯCLN hai số thuật tốn Ơ-clit

* Cơ sởphương pháp:

a) Trường hợp b a| (a, b) = b

b) Trường hợp b a| giả sửa = bq + c (a, b) = (b, c)

Thuật toán Euclid Giả sử:

1

1 2

1 2 3

2 1

1 , , , ,

n n n n n n

n n n

a bq r r b

b r q r r r

r r q r r r

r r q r r r

r r q

− − − −

−

= + < < = + < <

= + < < = + < < =

Thuật toán Euclid phải kết thức với sốdư

1

n

r+ ≠

Theo b) ta có

( ) ( ) (a b, = b r, = r r1, 2)= = (rn−1,rn)=rn

Vậy ƯCLN(a, b) sốdư cuối khác thuật tốn Euclid

* Ví dụminh họa:

Bài toán 1. Dùng thuật toán Euclid để chứng minh : ( )

3 1,

n + n + n + n =

Hướng dẫn giải

Ta có ( )

3

n + n + = n + n n+n +

( )

3

2

2

1 1

n n n n

n n n

n n

+ = + + + = + = +

Vậy ( )

3 1,

n + n + n + n =

a b

b r1 q

1

r r2 q1

r q2 ……

n

r − (a, b)

CH

UY

ÊN

Đ

Ề

S

Ố

H

Ọ

C

Bài toán Cho hai số tự nhiên a b a( >b)

a) Chứng minh a chia hết cho b ( , )a b =b

b) Chứng minh a không chia hết cho b ƯCLN hai số ƯCLN

của số nhỏ sốdư phép chia số lớn cho số nhỏ c) Dùng nhận xét để tìm ƯCLN(72, 56)

(Nâng cao phát triển lớp tập 1) Hướng dẫn giải

a) Mọi ước chung a b hiển nhiên ước b Đảo lại, a chia hết cho b

nên b ước chung a b Vậy ( , )a b =b

b) Gọi r số dư phép chia a cho b a( >b) Ta có a=bk+r k( ∈N), cần chứng

mình ( , )a b =( , ).b r

Thật vậy, a b chia hết cho d r chia hết cho d, ước chung

a b ước chung b r (1) Đảo lại b r chia hết cho d a chia hết cho d, ước chung b r ước chung a b (2) Từ (1)

(2) suy tập hợp ước chung a b tập hợp ước chung b r Do hai số lớn hai tập hợp nhau, tức ( , )a b =( , ).b r

c) 72chia 56 dư 16 nên (72, 56)=(56,16) ;

56chia 16 dư nên (56,16)=(16,8) ;

16chia hết (16,8)=8 Vậy (72, 56)=8

Nhận xét : Giảsử a không chia hết cho b a chia cho b dư r1, b chia cho r1 dư

2,

r r1 chia cho r2dư r3, ,rn−2chia cho rn−1dư r rn, n−1chia cho rn dư 0( dãy số b r r, , , 1 2 rn

dãy số tự nhiên giảm dần nên số phép chia hữu hạn q trìnhtrên kết thức với số dư 0) Theo chứng minh ví dụ ta có

( ) ( ) (a b, = b r, = r r1, 2)= (rn−1,rn)=rnvì rn−1 chia hết cho rn

Như UCLN a b( , ) số chia cuối dãy phép chia liên tiếp a cho b, b cho r r1, cho r2, , r r1, , số dư phép chia theo thứ tự

Trong thực hành ngườita đặt tính sau :

Việc thực dãy phép chia liên tiếp gọi thuật toán Ơ clit 72 56

56 16

16

CH

IN

H

P

H

Ụ

C

K

Ỳ

T

H

I H

Ọ

C S

IN

H

GI

Ỏ

I C

ẤP

H

AI

Trường hợp tìm ƯCLN ba số, ta tìm ƯCLN hai số tìm UCLN kết với số thứ ba

Bài toán Tìm ƯCLN( a,b) biết a số gồm 1991 chữ số2; b số gồm chữ số

Hướng dẫn giải

Ta có: 1991 chia dư 7, cịn chia dư Theo thuật tốn Ơ- Clít:

(a, b) =   =   =  =

1991 sè sè sè sè sè

( 22 ,22 2) (22 2,22 2) (22 2,2) 2.

Bài tốn Tìm ƯCLN

a) 

2004 sè

11 1 11111111 b) 123456789 987654321

(Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toánTHCS phần số học- Nguyễn Vũ Thanh)

Hướng dẫn giải

a) Gọi  

2004

;

11 11

sè sè

a= b= Ta có 2000 8 nên    

2000 8

2000

11 11 111 11

sè sè sè sè

sè

b

=

  

 

Do  ( ) ( ) ( )

2000

11 0000 1111 1111 , ,1111 1111 1111 so

a= + =bq+ ⇒ a b = b = do b

b) Gọi a = 987654321; b = 123456789 Ta có:

( ) ( ) ( )

8 , b , 9

a= b+ ⇒ a = b = dob

C BÀI TẬP ÁP DỤNG

Câu Tìm sốchia thương phép chia có số bị chia 145, sốdư 12 biết thương khác (sốchia thương số tự nhiên)

Câu Hãy viết số108 dạng tổng số tự nhiên liên tiếp lớn Câu 3. Tìm số tựnhiên n để3n + chia hết cho n –

Câu 4. Tìm a ∈Nđể a + bội a –

Câu 5. Tìm số tựnhiên cho 4n - chia hết cho 2n –

Câu Tìm sốnguyên n để:

5+n −2n chia hết cho n−2 Câu Tìm số nguyên nđể:

4

n + chia hết cho n+2 Câu8 Tím tất sốnguyên n để phân số

2

n n

+

CH

UY

ÊN

Đ

Ề

S

Ố

H

Ọ

C

Câu Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết tăng gấp n lần cộng chữ số với n ( n số tự nhiên, gồm nhiều chữ số)

Câu 10 Tìm số tự nhiên a biết 264 chia cho a dư 24, 363 chia cho a dư 43

Câu 11 Tìm số tự nhiên a biết 398 chia cho a dư 38 , cịn 450 chia cho a dư 18

Câu 12 Có 100 90 bút chì thưởng cho số học sinh, cịn lại vởvà 18 bút chì khơng đủchia Tính số học sinh thưởng

Câu 13 Phần thưởng cho học sinh lớp học gồm 128 vở, 48 bút chì, 192 nhãn Có thể chia nhiều thành phần thưởng nhau, phần thưởng gồm vở, bút chì, nhãn vở?

Câu 14 Tìm số tự nhiên a nhỏ cho a chia cho 3, cho 5, cho số dư theo thứ tự 2, 3, 4

Câu 15 Một thi chạy tiếp sức theo vòng tròn gồm nhiều chặng Biết chu vi đường tròn là330m , chặng dài75m , địa điểm xuất phát kết thúc chỗ

Hỏi thi có chặng?

Câu 16. Tìm số tự nhiên có ba chữ số, cho chia cho 17, cho 25 sốdư theo

thứ tự 8 16

Câu 17. Tìm số tư nhiên n lớn có ba chữ số, cho n chia cho 8 dư 7, chia cho 31 dư 28.

Câu 18 Nếu xếp số sách vào túi1 0 vừa hết, vào túi 12

thừa cuốn, vào túi 18 thừa 8 biết số sách khoảng từ 715 đến 1000. Tính sốsách đó?

Câu 19 Hai lớp , 6A Bcùng thu nhặt số giấy vụn Trong lớp 6A,một bạn

thu 25kg, cịn lại bạn thu 10kg Tính số học sinh lớp, biết số giấy

lớp thu khoảng từ 200kg đến 300kg

Câu 20 Có hai đồng hồ(có kim kim phút) Trong ngày, thứ chạy nhanh phút, thứ hai chạy chậm phút Cảhai đồng hồđược lấy lại xác Hỏi sau bao lâu, cảhai đồng hồ lại chạy xác?

Câu 21.Tìm hai số tự nhiên biết rằng:

a) Hiệu chúng 84, ƯCLN 28, số khoảng từ 300 đến 440 b) Hiệu chúng 48, ƯCLN 12

Câu 22 Tìm hai số tự nhiên biết ƯCLN chúng 36 tổng chúng 432

Câu 23 Tìm hai số tự nhiên biết tích chúng 864 ƯCLN Câu 24 Chứng minh 14n + 21n + (n ∈N )là hai số nguyên tố

Câu 25. Chứng minh 2n + 6n + hai số nguyên tố

CH

IN

H

P

H

Ụ

C

K

Ỳ

T

H

I H

Ọ

C S

IN

H

GI

Ỏ

I C

ẤP

H

AI

Câu 27 Cho a b hai số nguyên tố Chứng minh số sau hai số nguyên tố nhau:

a) b a b− (a>b);

b) 2

a +b ab

Câu 28 Chứng minh số c nguyên tố với a với b c nguyên tố với tích ab

Câu 29 Tìm số tự nhiên n cho: a) 4n−5 chia hết cho 13;

b) 5n+1chia hết cho 7;

c) 25n+3 chia hết cho 53

Câu 30 Tìm số tự nhiên n để số sau nguyên tố nhau: a) 4n+3 2n+3;

b) 7n+13 2n+4;

c) 9n+24 3n+4;

d) 18n+3 21n+7.

Câu31 Chứng minh có vơ số số tự nhiên n để n+15 n+72 hai số nguyên tố

cùng

Câu 32 Cho ( )a b, =1 Tìm :

( )

) ,

a a b a b+ − b) (7a+9 ,3b a+8b)

Câu 33 Tìm a, b biết: a) [ ]a b, +( )a b, =55; b) [ ]a b, −( )a b, =5; c) [ ]a b, +( )a b, =35

Câu 34.Tìm ƯCLN số sau thuật toán Ơ-clit: a) (187231,165148 ;)

b)  

100 chu so chu so (11 ,11 1). 

Câu 35 Tìm [n n; +1;n+2]

Câu 36 Tìm *

n∈ biết n< 30 để số 3n+4 5n+1 có ước chung lớn

Câu 37 Tìm số nguyên nđể phânsố

2

n n

+

+ có giá trị số nguyên

CH

UY

ÊN

Đ

Ề

S

Ố

H

Ọ

C

bến sau 56 phút lại sau phút Xe thứ ba quay bến sau 48 phút sau phút lại Hỏi ba xe lại xuất phát từ bến lần thứ hai vào lúc giờ?

Câu 39 Chứng minh với sốnguyên dương n phân số

6 + +

n

n tối giản

Câu 40 Cho phân số: ( )

+

= ∈

+ 

n

P n

n

a) Chứng tỏ phân số P phân số tối giản

b) Với giá trị n phân số P có giá trị lớn nhất?

Câu 41 Tìm hai sốnguyên dương biết a + 2b = 48 ƯCLN(a; b) +3.BCNN(a; b)= 114 Câu 42.Cho (a, b) = 1, tìm (11a + 2b, 18a + 5b)

Câu 43 Chứng minh (a, b) = (5a + 3b, 13a + 8b)

Câu 44 Cho ba số tự nhiên a, b, c nguyên tốcùng đôi Chứng minh (ab + bc + ca, abc) =

Câu 45. Tìm tất các số tự nhiên a, b nguyên tố biết rằng:

2

a b

a ab b 73

+ =

− +

Câu 46. Cho m, n∈N, 1≤m<n Chứng minh rằng: (22n +1, 22n + =1)

Câu 47. Cho 1≤m, n∈N Tìm ( m n ) −1, −1

Câu 48 Tìm hai số tự nhiên a b, biết: ƯCLN ( , )a b =15 vàBCNN a b( , )=300;

Câu 49 Cho a∈Z , tìm (a, a+2)

Câu 50. Cho a, m số nguyên lớn Chứng minh :

( ) ( )

1 m , ,

a a a − a m a

+ + + + − = −

Câu 51 Chứng minh a, b, c số lẻ , , ( , , )

2 2

a b b c c a

a b c

+ + +

  =

 

 

Câu 52 Tổng số tự nhiên a a1, 2, ,a49bằng 999 Hỏi ước số chung lớn chúng nhận giá trị lớn ?

Câu 53 Cho (a, b) = 1, tìm (11a + 2b, 18a + 5b) Câu 54 Cho (m, n) = Tìm ( 2)

,

m+n m +n

Câu 55 Chứng minh phân số sau tối giản với n∈Z

( )

21

) n ; ) n

CH

IN

H

P

H

Ụ

C

K

Ỳ

T

H

I H

Ọ

C S

IN

H

GI

Ỏ

I C

ẤP

H

AI

Câu 56 Tìm số nguyên nđể phân số sau tối giản

18 3

) ; )

21 7

n n

a b

n n

+ +

+ +

Câu 57.Tìm hai số tự nhiên a, b thỏa mãn a+ =b 128 ( )a b, =16 Câu 58.Tìm ƯCLN ab+ba 33 với a + b không chia hết cho

Câu 59 Chứng minh số tự nhiên có ba chữ số tận 136 có ước sốdương

Câu 60 Chứng minh kn−lm =1 (ma+nb ka, +lb) ( )= a b,

Câu 61 Tìm ƯCLN tất số có chữ sốđược viết chữ số 1, 2, 3, …, sốđó chữ sốđều khác

Câu 62 Cho (a, b) = tìm ƯCLN 2a + b a(a + b)

Câu 63 Chứng minh phân số sau tối giản với n số nguyên

2

12 15

) ; )

30 30 21 13

n n n

a b

n n n

+ + +

+ + +

Câu 64 Tìm sốnguyên n để phân số 13

2

n n

+

− tối giản

Câu 65. Chứng minh

5n +1 6

n

3

n

tối giản

Câu 66. Tìm số tự nhiên nhỏ để phân số sau tối giản : , , , 31

9 10 33

n+ n+ n+

Câu 67 Tìm số tự nhiên a, b biết ab=360,[ ]a b, =60

Câu 68 Tìm số tự nhiên nhỏ chia cho 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, có sốdư 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,

Câu 69.Tìm tất cặp số ( )a b; nguyên dương thỏa mãn hai điều kiện:

i) a b, khác 1và ước số chung lớn a b,

ii) Số N =ab ab( +1 2)( ab+1) có 16 ước số nguyên dương

Câu 70 Xác định số nguyên tố p q, cho p2 − pq+2q2 2p2 + pq+q2 số

nguyên tố

Câu 71.Tìm tất số tự nhiên khác 0: a b, cho: ( )a b, =1 2 2

25

a b a b

+ =

+

(Thi học sinh giỏi lớp TP Hồ Chí Minh năm 1992 – 1993) Câu 72 Cho m, n hai số nguyên tố Tìm ước chung lớn m n +

CH

UY

ÊN

Đ

Ề

S

Ố

H

Ọ

C

Câu 73.Tìm tất cặp số nguyên dương a, b thỏa mãn 4a 1+ 4b 1− nguyên tố nhau, đồng thời a b+ ước 16ab 1+

Câu 74.Tìm tất cặp số ( )a b; nguyên dương thỏa mãn hai điều kiện:

i) a b, khác 1và ước số chung lớn a b,

ii) Số N =ab ab( +1 2)( ab+1) có 16 ước số nguyên dương

(Trích đề học sinh giỏi toán Đăk Lăknăm học 2017-2018) Câu 75 Cho hai số tự nhiên m n thoảmãn

m n n

m+1+ +1

số nguyên Chứng minh ước chung lớn m n không lớn m+n

(Trích đề học sinh giỏi lớp Hải Dươngnăm học 2004-2005) Câu 76.Cho ba sốnguyên dương a b c, , đôi khác đồng thời thỏa mãn điều kiện:

i) a ước b c bc+ + ,

ii) b ước a+ +c ac,

iii) c ước a b ab+ + ,

a) Hãy ba số (a b c, , )thỏa mãn điều kiện

b) Chứng minh a b c, , không thểđồng thời số nguyên tố

CH

IN

H

P

H

Ụ

C

K

Ỳ

T

H

I H

Ọ

C S

IN

H

GI

Ỏ

I C

Ấ

P H

AI

A. KiÕn thøc cÇn nhí

1 Định nghĩa phép chia.

Cho hai số nguyên a b b ≠ ta ln tìm hai số nguyên q r cho a bq r , với = + 0≤ ≤r b −1 Trong a số bị chia, b số chia, q thương,

r số dư

Khi a chia cho b số dư r∈{0;1; 2; ;b −1}

• Nếu r 0= a bq , ta nói a chia hết cho b hay b chia hết a Ký hiệu: = a b hay

b a

Vậy a chia hết cho b tồn số nguyên q cho a bq = • Nếu r 0≠ , ta nói a chia b có số dư r

2 Một số tính chất cần nhớ

• Tính chất Mọi số ngun khác ln chia hết cho

• Tính chất Nếu a b b c a c

• Tính chất Nếu a b b a a = ±b

• Tính chất Nếu a.b m  (b,m)=1 a m  • Tính chất Nếu a m b m (a±b m)

• Tính chất Nếu a m , a n (m n, )=1 a mn

• Tính chất Nếu a b c d ac bd

• Tính chất Trong n số nguyên liên tiếp tồn số nguyên chia hết cho n

• Tính chất Nếu a b 0− ≠ với a, b số tự nhiên (an −bn)(a−b) (n∈N)

• Tính chất 10 Nếu a b 0+ ≠ với a, b, n số tự nhiên n số lẻ (an +bn)(a+b) 3.Một số dấu hiệu chia hết

Đặt A a a a a a , với = n n 1− 2 0 a ;a ; ;a ;a ;an n 1− chữ số Khi ta có dấu hiệu chia

hết sau:

CH

Ủ

Đ

Ề

2 QUAN HỆ CHIA HẾT

CH

UY

ÊN

Đ

Ề

S

Ố

H

Ọ

C

{ }

0

2 0; 2; 4; 6;8

A a a

•  ⇔  ⇔ ∈

( 1 )

3 n n

A a a a − a

•  ⇔ + + + + 

1

4

A a a

•  ⇔ 

{ }

0

5 0;5

A a a

•  ⇔  ⇔ ∈

2

8

A a a a

•  ⇔ 

( 1 )

9 n n

A a a a − a

•  ⇔ + + + + 

( ) ( )

11 11

A a a a a

•  ⇔ + + − + + 

1

25 25

A a a

•  ⇔ 

2

125 125

A a a a

•  ⇔ 

B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

Dạng 1: Sử dụng tính chất n số ngun liên tiếp có số chia hết

cho n (n ≥ 1)

* Cơ sởphương pháp: Sử dụng tính chất như: tích hai số nguyên liên tiếp chia hết cho 2, tích ba số nguyên liên tiếp chia hết cho chia hết cho Chúng ta vận dụng linh hoạt tính chất nhiều toán chia hết

Bài toán 1. Chứng minh rằng:

a) Tích số nguyên liên tiếp chia hết cho b) Tích số chẵn liên tiếp chia hết cho c) Tích số nguyên liên tiếp chia hết cho 120

Hướng dẫn giải

a) Trong số nguyên liên tiếp có số chia hết cho số chia hết tích số nguyên liên tiếp chia hết cho (do (2, 3) = 1)

b)Hai số chẵn liên tiếp có dạng 2n (2n + 2) với n Z∈

Do tích hai số ngun liên tiếp có dạng 4n(n + 1) Do n n + hai số nguyên liên tiếp nên n n 2( + )

Vì 4n n 8( + )

c)Ta có 120 = 3.5.8

CH

IN

H

P

H

Ụ

C

K

Ỳ

T

H

I H

Ọ

C S

IN

H

GI

Ỏ

I C

Ấ

P H

AI

5 số nguyên liên tiếp có số chẵn liên tiếp nên theo ý b) ta có tích số ngun liên tiếp chia hết cho

Mặt khác số nguyên liên tiếp ln có số chia hết tích chúng chia hết cho

Vậy tích số nguyên liên tiếp chia hết cho 120

Chú ý: Tổng qt ta có tích n số tự nhiên liên tiếp chia hết cho n!

Bài tốn 2.Chứng minh tích số chẵn liên tiếp chia hết cho 48 Hướng dẫn giải

Ba số chẵn liên tiếp có dạng 2n, (2n + 2) (2n + 4) với n Z∈

Do tích hai số ngun liên tiếp có dạng 8n(n + 1)(n + 2)

Do n, (n + 1) (n + 2) số nguyên liên tiếp nên n n n 6( + )( + )

Vì n n n 2( + )( + )=6m m Z( ∈ )

Do tích số chẵn liên tiếp 8n n n 2( + )( + )=48m 48 Vậy toán chứng minh

Bài toán 3. Chứng minh với số nguyên n n n3−

chia hết cho

Hướng dẫn giải

Ta có:

( ) ( ) ( )

3− = − =1 −1 +1 n n n n n n n

Biểu thức tích số nguyên liên tiếp nên số chia hết cho 2, số chia hết cho mà (2, 3) = nên (n n3− )6

Bài toán 4. Chứng minh với số nguyên lẻ n

1

− − +

n n n chia hết cho 128

Hướng dẫn giải

Ta có:

( ) ( ) ( )( ) ( ) (2 )

6− 4− 2+ =1 − −1 2− =1 −1 4− =1 2−1 +1

n n n n n n n n n n

Vì n số lẻ nên đặt n = 2k + 1 (k N∈ ) Ta có:

( 2 )2 ( )2 ( 2 )2 ( )

1  1 4 4 

− = + −  = + = + 

 

n k k k k k

CH

UY

ÊN

Đ

Ề

S

Ố

H

Ọ

C

Mặt khác: n2 + =1 2( k+1)2 + =1 4k2+4k+ =2 2( k2+2k+1 2)

Do n n n6− 4− 2+ =1 (n2−1) (2 n2+1 128)

(đpcm)

Chú ý: Bình phương số lẻ số lẻ

Dạng 2: Phân tích thành nhân tử

* Cở sở phương pháp: Để chứng minh A(x) chia hết cho p ta phân thích A x( )=D x p( ) ,

cịn khơng thể đưa phân tích ta viết p=k q

Nếu ( )k q, =1 ta chứng minh A(x) chia hết cho k vàq

Nếu ( )k q, ≠1 ta viết A(x) = B(x).C(x) rồi chứng minh B(x) chia hết cho k và C(x) chia hết

cho q

* Ví dụminh họa:

Bài tốn 1. Cho a, b, c số nguyên khác thỏa mãn điều kiện:

 

+ + = + +

 

 

2

2 2

1 1 1 1

a b c a b c

Chứng minh rằng: a3+b c chia hết cho 3+

(Đề thi HSG lớp TP Thanh Hóa 2016-2017)

Hướng dẫn giải

Từ giả thiết  + +  = + + ⇔  + + =

   

2

2 2

1 1 1 2 1 0

a b c a b c ab bc ca

a b c

abc

+ +

⇔ =

Vì a, b, c ≠0 nên a + b + c =

( ) ( )

⇒ + = −

⇒ + = −

⇒ + + + = −

⇒ + + =

3

3 3

3 3

a b c

a b c

a b 3ab(a b) c

a b c 3abc

Vậy a3+b c 33+ 3 với a, b, c ∈Z

Bài toán 2. Cho A=1.2.3 29, B=30.31.32 58

Chứng minh A + B chia hết cho 59

CH

IN

H

P

H

Ụ

C

K

Ỳ

T

H

I H

Ọ

C S

IN

H

GI

Ỏ

I C

Ấ

P H

AI

Ta có:

(59 29)(59 28 59)( 27 59 1) ( ) 59 1.2.3 29 59 ( ) 59 59

= − − − − = − = − ∈ ⇒ + = 

B k k A k Z A B k

Vậy A + B chia hết cho 59

Bài toán 3. Cho số nguyên dương x, y, z Chứng minh rằng: ( ) (5 ) (5 )5

− + − + −

x y y z z x chia hết cho 5(x y y z z x− )( − )( − ) Hướng dẫn giải

Đặt a x y b y z= − , = − ⇒ − = − +z x (a b)

Do ta cần chứng minh: a b5+ 5− +(a b)5chia hết cho −5ab a b( + )

Ta có: a b5+ − +5 (a b)5 = −(5a b4 +10a b3 2+10a b2 3+5ab4)

( 3 2)

5 2

= − ab a b+ + a b+ ab

( )( ) ( )

( )( )

2

2

5

5

 

= −  + − + + + 

= − + + +

ab a b a ab b ab a b ab a b a ab b

Do tốn chứng minh

Bài tốn 4. Chứng minh với ba số tự nhiên a,b,c có số lẻ hai số

chẵn ta ln có ( ) (3 ) (3 ) (3 )3

c b a a c b c b a c b

a+ + − + − − + − − − + Chia hết cho 96

(Trích đề thi HSG lớp tỉnh Phú Thọ 2015)

Hướng dẫn giải

Đặt a+ − =b c z b; + − =c a x a; + − =c b y x+ + = + +y z a b c

Ta có (x y z+ + )3−x3−y z3− =3(x y)(y z)(x z) 3.2c.2a.2 b 24abc+ + + = =

Do số a, b, c có số chẵn nên abc chia hết cho 24abc chia hết cho 24.4 = 96

Vậy toán chứng minh

Dạng 3: Sử dụng phương pháp tách tổng

* Cởsởphương pháp: Để chứng minh A(x) chia hết cho p ta biết đổi A(x) thành tổng

số hạng chứng minh số hạng chia hết cho p

* Ví dụminh họa:

Bài tốn 1. Chứng minh m, n số nguyên ta có:

CH

UY

ÊN

Đ

Ề

S

Ố

H

Ọ

C

Hướng dẫn giải

a) Ta có: n n( 2+11)=n3+11n n n= 3− +12n n=( −1) (n n+ +1 12) n

Dễ chứng minh: (n−1) (n n+1 6, 12 6) n (n Z∈ )

Do đó: n n( 2+11 6)

b) Ta có: ( 2− 2)= ( 2− −1) ( 2−1)= ( 2− −1) ( −1)

 

mn m n mn m n mn m mn n

Do: mn m( 2− =1) n m( −1) (m m+1 6,) mn n( − =1) m n( −1) (n n+1 6)

Do đó: mn m n( 2− 2)6

c) Ta có: n n( +1 2)( n+ =1) (n n+1)(n+ + − =2 n 1) (n n+1)(n+ +2) (n−1) (n n+1) Do: n n( +1)(n+2 6,) (n−1) (n n+1 6)

Do đó: n n( +1 2)( n+1 6)

Chú ý: Tách tổng phương pháp chứng minh chia hết mà lời giải dễ hiểu, ngắn gọn đẹp mắt nên thường trình bày tốn giải nhiều phương pháp, nhiên để áp dụng em cần linh hoạt việc tách

Ví dụ: câu a) ta thấy 12n chia hết ta tách riêng phần cịn lại phân đưa dạng tích, dựa vào tính chất chia hết tích số tự nhiên dễ dàng chứng chia

Câu b) nghĩ việc thêm bớt để tạo tổng hai tích số tự nhiên liên tiếp Tương tự câu c) dễ dàng tách 2n + = (n – 1) + (n + 2) để đưa tổng hai tích số tự nhiên tiếp

Bài tốn 2. Chứng minh rằng: n vàn5có chữ số tận giống với n số tự nhiên Hướng dẫn giải

Để chứng minh n vàn5có chữ số tận giống ta chứng minh (n n5− )10

Thật vậy: ( ) ( )( ) ( ) ( )

1 1  5

− = − = − + = −  − + 

n n n n n n n n n n

( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )

1 1 1

− − + − = − − + + + − +

n n n n n n n n n n n n n

Nhận xét: (n−2)(n−1) (n n+1)(n+2)là tích năm số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho chia hết cho 10

Mặt khác (n−1) (n n+1)là tích số tự nhiên liên tiếp nên chia hết

( ) ( )

CH

IN

H

P

H

Ụ

C

K

Ỳ

T

H

I H

Ọ

C S

IN

H

GI

Ỏ

I C

Ấ

P H

AI

Do (n n5− )10 tốn chứng minh.

Bài toán 3.a) Chứng minh + 15+

n n n số nguyên với n Z∈

b) Chứng minh

12 24+ +

n n n số nguyên với n số nguyên chẵn

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

15 = −15 = − −5

n n n n n n

Do đó: 5

5 15 5

− −

+ + = + + − − = + +

n n n n n n n n n n n n n

Từ thí dụ ta dễ dàng chứng minh được: (n n5− ) (5, n n3− )3 tốn được

chứng minh

b) Do n số nguyên chẵn nên n = 2m (với m Z∈ )

Do đó: 3 3 ( 2)( 1)

12 24 6

+ +

+ +

+ + = + + = = m m m

n n n m m m m m m

Theo ý c) thí dụ ta có n n( +1 2)( n+1 6) tốn chứng minh

Bài toán 4. Chứng minh ax bx c Z x Z2+ + ∈ ∀ ∈, ,a a b+ ,c Z∈ Hướng dẫn giải

Ta có: 2 ( ) 2 ( 1) ( ) .

2

−

+ + = − + + + = x x + + +

ax bx c ax ax a b x c a a b x c

Dễ thấy: ( 1)

− ∈

x x

Z x và (x – 1) hai số nguyên liên tiếp Do đó: ax bx c Z x Z2+ + ∈ ∀ ∈, ,a a b+ ,c Z∈

Bài toán 5. Cho số nguyên a ;a ; ;a1 2 n Đặt A a a a= 1+ 2+ + n = 3+ 3+ +

1 n

B a a a Chứng minh A chia hết cho B chia hết cho

Hướng dẫn giải

Trước hết ta chứng minh bổ đề: Với số ngun a ta ln có a a 63− 

Thật vậy, ta có a a3 − =(a a a 1− ) ( + ).

CH

UY

ÊN

Đ

Ề

S

Ố

H

Ọ

C

Xét hiệu sau

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

− = 3+ + + − + + + = 3− + − + + −

1 n n 1 2 n n

B A a a a a a a a a a a a a

Áp dụng bổ để ta ( 3− ) ( 3− ) ( − )

1 2 n n

a a 6; a a 6; ; a a

Do ta B A Suy A chia hết cho B chia hết cho − 

Dạng 4: Sử dụng đẳng thức

Cởsởphương pháp: Nếu a, b số nguyên thì:

a bn− n chia hết cho a – b với n số tự nhiên a b≠

a bn− n chia hết cho a + b với n số tự nhiên chẵn a≠ −b a bn+ n chia hết cho a + b với n số tự nhiên lẻ a≠ −b

(a b+ )n =ka b+ n với k số nguyên, n số tự nhiên

(a+1)n=ac+1 (a−1)n =ac+ −( )1 n , n số tự nhiên

* Ví dụminh họa:

Bài toán 1.Với n số tự nhiên chẵn.Chứng minh rằng:

a) 22 55

22 +55 b) 20n+16n−3 323.n− 

Hướng dẫn giải

a) Ta có: 22 55 ( )22 ( )55 ( )22 ( )55

22 55 21 56 7

= + = + + − = + + −

P BS BS

= BS + + BS – = BS nên 22 55

22 +55 chia dư

b) Ta có: 323 17.19= Ta biến đổi 20n +16n−3 1n− =(20 1n− +) (16n−3n) Ta có: (20n−1 : 20 1) ( − ⇒) (20n−1 19)

Mặt khác n số chẵn nên (16n−3n)(16 3+ )⇒(16n−3 19n)

Do (20n− +1) (16n−3 19n) ⇒(20n+16n −3 19 1n− ) ( )

Ta biến đổi 20n+16n−3 1n− =(20n −3n) (+ 16n−1n)

Ta có: (20n−3 : 20 3n) ( − )⇒(20 17n− )

Mặt khác n số chẵn nên (16n−1n)(16 1+ ⇒) (16n−3 17 2n) ( )

CH

IN

H

P

H

Ụ

C

K

Ỳ

T

H

I H

Ọ

C S

IN

H

GI

Ỏ

I C

Ấ

P H

AI

Bài toán 2. Chứng minh với số tự nhiên n ta có:

n 2n n n 2n 2n n

a) 11 + +12 + 133 b) + +26.5 +8 + 59 c) 7.5 +12.6 19 Hướng dẫn giải

a)Ta có: 11n 2+ +122n 1+ =11 11 12.122 n + 2n =121.11 12.144n + n

(133 12 11 12.144) n n 133.11 12 144n ( n 11n)

= − + = + −

Do 133.11 133n 12 144( n−11n)(144 11 hay 12 144− ) ( n−11 133n)

Nên 133.11 12 144n+ ( n −11n)⇒11n 2+ +122n 1+ 133 (đpcm)

b)Ta có:

n n 2n n n 2n n n

5 + +26.5 +8 + =25.5 +26.5 +8.8 =51.5 +8.64 (59 8.64) n n 59.5 64n ( n 5n)

= − + = + −

Vì (64n−5n)(64 5− ⇒) (64n−5 59n)

Nên 59.5n+8 64( n−5 59n) ⇒5n 2+ +26.5n +82n 1+ 59(đpcm)

c) Ta có: 7.52n +12.6n =7.25n+(19 6− ) n =19.6 25 6n+ ( n− n)

Vì (25 6n− n)(25 6− ⇒) 7 25 19( n− n)

Nên 19.6n+7 25( n−6 19n) ⇒57.52n+12.6 19n (đpcm)

Bài toán 3. Chứng minh A 1993= 1997+1997199330 Hướng dẫn giải

Sử dụng tính chất (a b+ )n=ka b+ nvới k số nguyên, n số tự nhiên.

Ta có:

( ) ( )

( )

( )

1997 1993 1997 1993

1997 1993 1993

1993

A 1993 1997 1980 13 2010 13

1980c 13 2010d 13 1980c 2010d 13 13 30 66c 67d 952.13 30

= + = + + −

= + + −

= + +

= + + 

Bài toán 4. Chứng minh C 5= n( n+ −1 3) (n n+2 91 n N n) ( ∈ )

(Chuyên sư phạm Hà Nội 1997 – 1998)

CH

UY

ÊN

Đ

Ề

S

Ố

H

Ọ

C

Sử dụng tính chất (a b+ )n=ka b+ n, (a+1)n=ac+1, (a−1)n =ac+ −( )1 nvới k số nguyên, n số tự nhiên

Ta có:

( ) ( ) ( )

( )

25 18 12

21 14

21 14

7

= + − −

= + + − + − +

= + + − − − −

= − − 

n n n n

n n n n

n n n n

C

c d e

c d e

Mặt khác:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

26 13 13

26 13 13

13 13

= − + − + − −

= + − + − − − − −

= − − 

n n n n

n n n n

C

f g h

f g h

Vì (13, 7) = nên C 7.13 91  =

Bài toán 5. Chứng minh rằng: 3 3

1 100

= + + + +

A chia hết choB = + + + +1 100

Hướng dẫn giải

Ta có B = (1 + 100) + (2 + 99) + …+ (50 + 51) = 101.50

Để chứng minh A chia hết cho B ta chứng minh A chia hết cho 50 101 Ta có:

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( )

3 3 3

2 2 2

2 2 2

1 100 99 50 51

1 100 100 100 99 2.99 99 50 51 50 50.51 51

101 100 100 2.99 99 50 50.51 51 101

= + + + + + +

= + + + + + + + + + + + +

= + + + + + + + + + 

A

Ta lại có: ( 3) ( 3) ( 3)

1 99 98 50 100

= + + + + + +

A

Mỗi số hạng chia hết cho 50 nên A chia hết cho 50 (2)

Từ (1) (2) suy A chia hết cho 101 50 nên A chia hết cho B

Bài toán 6. Chứng minh với số nguyên n ta có: A n= +5 5+ 5+ + 5chia hết

choB= + + + +1 n

(Chuyên sư phạm Hà Nội 2001)

Hướng dẫn giải

CH

IN

H

P

H

Ụ

C

K

Ỳ

T

H

I H

Ọ

C S

IN

H

GI

Ỏ

I C

Ấ

P H

AI

Lại có: 2A=(n 15+ +) (n 1− )5+25 + (n 2− )5+35+ + + n( 5)

   

   

Nhận thấy số hạng chia hết cho (n +1) nên 2A n( +1) ( )1

Lại có 2A 2n− =(n 1− )5+15 + (n 2− )5+25+

   

    chia hết cho n

Do 2n n5 nên 2A n ( )2

Do 2n n5 nên 2A n ( )2

Từ (1) (2) suy 2A chia hết cho n(n + 1) 2A 2B ⇒A B (đpcm)

Chú ý: Ta có cơng thức tổng qt: với n số nguyên dương k số tự nhiên lẻ thì:

( )

( ) ( )

)1

)1 2

+ + + + + +

+ + + +

 

k k k

k

k k

a n n

b k n n

Đây tập, bạn đọc tự chứng minh để củng cố kiến thức

Dạng 5: Sử dụng phương pháp xét số dư

* Cơ sởphương pháp: Để chứng minh A(n) chia hết cho p ta xét số n có dạng n = kp + r

với r∈{0;1; 2; ;p−1 }

* Ví dụminh họa:

Bài toán Chứng minh n 2n 7( 2+ ) chia hết cho với số nguyên dương n. Hướng dẫn giải

Xét trường hợp:

- Trường hợp 1: n = 3k ( + )=  ( ) + = ( + )

 

2

2

n 2n 3k 3k 3k 18k 3

- Trường hợp 2: n = 3k +

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

 

+ = +  + + 

 

= +  + + + = + + +

2

2

n 2n 3k 3k

3k 18k 12k 3k 6k 4k 3

- Trường hợp 3: n = 3k +

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

 

+ = +  + + 

 

 

= +  + + + = + + +

2

2

n 2n 3k 2 3k

3k 18k 24k 3k 6k 8k 3

Từ trường hợp suy n 2n 7( 2+ ) chia hết cho 3.

CH

UY

ÊN

Đ

Ề

S

Ố

H

Ọ

C

Hướng dẫn giải

Trong số n (7n + 1) phải có số chẵn nên n 2n 7n 2( + )( + )

Mà (3, 2) = nên ta cần chứng minh n 2n 7n 3( + )( + )

Xét trường hợp:

- Trường hợp 1: n = 3k n 2n 7n 1( + )( + =) 3k 6k 21k 3( + )( + )

- Trường hợp 2: n = 3k + 2n 7+ =(6k 3+ ) ⇒n 2n 7n 3( + )( + )

- Trường hợp 3: n = 3k + 7n 1+ =(21k 15 3+ ) ⇒n 2n 7n 3( + )( + )

Từ trường hợp suy n(2n + 7)(7n + 1) chia hết cho

Bài toán Cho a, b, c số nguyên Chứng minh (a3+b c 93+ 3) một

trong ba số a, b, c chia hết cho

Hướng dẫn giải

Với a, b, c số nguyên ta có a 3q r ; b 3q= 1+ 1 = 2+r ;c 3q2 = 3+r3 với q ;q ;q1 2 3 số nguyên số dư r ;r ;r1 2 3∈ −{ 1;0;1}

Dễ thấy = = =

1

r r ;r r ;r r Từ ta

( ) ( ) ( )

= + = + = + = + = + = +

3 3

1 1 2 3 3

a 3q r 9k r ; b 3q r 9k r ;c 3q r 9k r

Khi ta 3+ 3+ = ( + + ) (+ + + ) 3

a b c k k k r r r

Mà theo giả thiết ta có (a3+b c 93+ 3) Do nên ta suy ( + + ) r r r Dễ thấy r r r1+ +2 3 ≤3, suy r r r 01+ + =2 3

Do r ;r ;r1 2 3∈ −{ 1;0;1} nên từ r r r 01+ + =2 3 suy r ;r ;r1 2 3 có số Điều có nghĩa ba số a, b, c có số chia hết cho

Bài toán Cho x, y, z số nguyên thỏa mãn (x y y z z x− )( − )( − )= + +x y z ( )* Chứng minh (x y z+ + )chia hết cho 27

CH

IN

H

P

H

Ụ

C

K

Ỳ

T

H

I H

Ọ

C S

IN

H

GI

Ỏ

I C

Ấ

P H

AI

Ta xét trường hợp sau:

- Nếu số x, y, z chia cho có số dư khác (x – y), (y – z), (z – x) khơng chia hết cho (x – y)(y – z)(z – x) không chia hết cho Nhưng tổng số (x + y + z) chia hết cho điều trái với điều kiện (*) tốn, trường hợp xảy

-Nếu số x, y, z có số chia cho có số dư (x – y), (y – z), (z – x) có hiệu chia hết cho (x – y)(y – z)(z – x) chia hết cho Nhưng tổng số (x + y + z) không chia hết cho điều trái với điều kiện (*) bày tốn, trường hợp xảy

Vậy số x, y, z chia cho phải số dư, (x – y), (y – z), (z – x) chia hết tích (x – y)(y – z)(z – x) chia hết cho 27 Mặt khác theo giả thiết (*) ta có (x – y)(y – z)(z – x) = x + y + z nên (x + y + z) chia hết cho 27

Vậy toán chứng minh

Dạng 6: Sử dụng phương pháp phản chứng

* Cơ sởphương pháp: Để chứng minh A(x) không chia hết cho n ta giả sử A(x) chia hết cho n sau dùng lập luận để mâu thuẩn để điều giả sử sai

* Ví dụminh họa:

Bài toán Chứng minh n2+ −n 16 không chia hết cho 25 với số tự nhiên n Hướng dẫn giải

Giả sử n2 + −n 16 chia hết cho 25

Do n2+ −n 16 chia hết cho 25 nên chia hết cho

Ta có: n2+ −n 16=(n n 10+ )( − )−

Do n2+ −n 16 10 chia hết (n + 3)(n – 2) chia hết cho (1)

Mặt khác (n + 3) (n – 2) có hiệu nên chúng chia hết cho không chia hết cho 5, lại (1) nên (n + 3) (n – 2) chia hết cho suy ta có (n + 3)(n – 2) chia hết hết cho 25

Tức n2+ −n 16 chia cho 25 dư 15 mâu thuẫn với giả sử, toán chứng minh

Bài toán Chứng minh với số tự nhiên n,n3 chia hết cho n chia hết

cho

CH

UY

ÊN

Đ

Ề

S

Ố

H

Ọ

C

Giả sử n không chia hết cho Khi n có dạng n = 3k +1 n = 3k + (với k số tự nhiên)

Nếu n = 3k + n3 =(3k 1+ )3 =27k3+27k2 +9k 1+ không chia hết cho 3 Nếu n = 3k + n3 =(3k 2+ )3 =27k3+54k2+36k 4+ khơng chia hết cho 3

Cả hai trường hợp mâu thuẫn suy n phải hết cho toán chứng minh

Bài toán Chứng minh số dương có tổng bình phương chia hết cho số phải chia hết cho

Hướng dẫn giải

Giả sử số ngun dương a, b có số khơng chia hết cho 3, chẳng hạn số a Khi a = 3k + a = 3k + với k số tự nhiên, ta cóa2 = +3l 1 số b chia hết cho

hoặc khơng chia hết cho a2 +b2 ln có dạng 3m + 3m + 2, nghĩa không chia

hết cho 3, mâu thuẫn

Vậy toán chứng minh

Dạng 7: Sử dụng phương pháp quy nạp

* Cơ sở phương pháp: Để kiểm tra mệnh đề với số tự nhiên n p≥ ta làm sau:

1) Kiểm tra mệnh đề với n = p.

2) Giả sử mệnh đề n = k (Giải thiết quy nạp) 3) Chứng minh mệnh đề với n = k + 1.

Nhận xét: Trong việc chứng minh phương pháp quy nạp bạn cần khai thác triệt để giả thiết quy nạp (là mệnh đề chia hết n = k), tức trình giải toán bước chứng minh n = k + bạn phải biến đổi xuất giả thiết quy nạp

* Ví dụminh họa:

Bài toán Chứng minh n 2n 7( 2+ ) chia hết cho với số nguyên dương n. Hướng dẫn giải

Với n = ta có: n 2n 7( + )=1 7( + )=9 3 , tốn với n=1

Giải sử toán đến n=k với k≥1,k N∈ tức là:

( ) ( ) ( *)

CH

IN

H

P

H

Ụ

C

K

Ỳ

T

H

I H

Ọ

C S

IN

H

GI

Ỏ

I C

Ấ

P H

AI

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

( )

2 2

3 2

3

2

k k n 2n 4n

2n 4n 9n 2n 4n

2n 7n 6n 6n

3x 2n 2n 3y

 

+  + + = + + +

 

= + + + + +

= + + + +

= + + + = 

Do n 2n 7( + ) chia hết cho với

1

n= +k

Vậy toán chứng minh

Bài toán Chứng minh 4n +15n−1 chia hết cho với n N∈ *

Hướng dẫn giải

Với n = ta có: A 18=

chia hết cho 9, tốn với n = Giải sử toán đến n=kvới k≥1,k N∈ tức là:

( )

2 *

4k 15k hay 4k 15k 9x x N+ −  + − = ∈ ⇔4k =9x 15k 1− + ,

ta cần chứng minh toán với n = k + 1 Thật vậy:

( )

( )

k k

4 15 k 1 4.4 15k 14

4 9x 15k 15k 14 36x 45k 18

+ + + − = + +

= − + + +

= − + 

Do A 4n 15n 1= 2+ − chia hết cho với

1

n= +k Vậy toán chứng minh

Bài toán Chứng minh 52n+7 chia hết cho với số nguyên dương n Hướng dẫn giải

• Với n 1, ta có = 5 32 82 + =  (đúng) • Giả sử mệnh đề với , tức ta có 52n+7 8 .

• Ta cần chứng minh mệnh đề với n Thật vậy, ta có+

( +) ( )

+ = + = + +

2 n 2n 2n 2n

5 25.5 24.5

Để ý 52n+7 8 24.5 82n Do ta ( )+

+ 

2 n

5

Vậy theo nguyên lý quy nạp ta 52n+7 chia hết cho với số nguyên dương n

Bài toán Cho n số nguyên dương, Chứng minh rằng: 2 ( )

7.2 − −

= n + n 

CH

UY

ÊN

Đ

Ề

S

Ố

H

Ọ

C

Hướng dẫn giải

Xét với n = ta có: C =10 5 Vậy (1) với n =

Giả sử (1) với n = k (k≥1,k N∈ ), tức là: 2 ( )

7.2 − −

= k + k 

k

C

Ta chứng minh (1) với n = k + 1, tức phải chứng minh:

( ) ( )

2 2 1

1 7.2

+ − + −

+ = k + k 

k

C

Ta có: 2( 1) 2( 1) 2 2 2 2

1 7.2 7.2 3 4.7.2 9.3

+ − + − + − − − −

+ = k + k = k + k = k + k

k

C

( 2 1) 2

4 7.2 − − 5.3 − 5.3 −

= k + k + k = + k 

k

C

Vậy theo nguyên lý quy nạp ta 2

7.2 − −

= n + n

C chia hết cho với số nguyên

dương n

Bài toán Chứng minh số tạo 3n chữ số giống chia hết cho3n

với ∈ *

n N

(Đề thi học sinh giỏi lớp toàn quốc năm 1978) Hướng dẫn giải

Với n = 1, ta có: aaa=111.a3, Vậy tốn với n =

Giả sử toán đến n = k (k≥1,k N∈ ), tức là: 

3

k

k

aa a

Ta chứng minh mệnh đề đến n = k +

Thật vậy:         

1 1 1

1

3 3 3 3 3

100 0100 01 100 0100 01

k k k k k k k k k

n

aa a aa a aa a aa a aa a do

+ − − − −

+  

= = ×  

 

 

Vậy toán chứng minh

Dạng 8: Sử dụng nguyên lý Dirichlet

* Cơ sởphương pháp: Đầu tiên ta phải nắm nguyên lý Dirichlet: “Nhốt m = kn + 1

con thỏ vào k (k < n) chuồng tồn chuồng có n + thỏ”

Áp dụng nguyên lý Dirichlet vào toán chia hết sau: “Trong m = kn + số có

n + số chia hết cho k có số dư”

* Ví dụminh họa:

Bài tốn Chứng minh số ngun tìm ba số có tổng chia hết cho

CH

IN

H

P

H

Ụ

C

K

Ỳ

T

H

I H

Ọ

C S

IN

H

GI

Ỏ

I C

Ấ

P H

AI

Trường hợp 1: Nếu tồn loại số dư chia cho thì:

( )

1

2 2 3

3

3

3 3

3

= +



 = + ⇒ + + = + + +

 

= +





a k

a k a a a k k k

a k

Trường hợp 2: Chỉ tồn hai loại số dư, theo nguyên lýDirichlettrong số ngun ln tồn số dư chia cho suy tổng số chia hết cho

Trường hợp 3: Chỉ tồn tài du loại số dư chia hết cho suy số tùy số chia hết cho

Bài toán Cho số nguyên phân biệt a, b, c, d Chứng minh rằng:

( )( )( )( )( )( )12

= − − − − − − 

A a b a c a d b c b d c d

Hướng dẫn giải

Theo nguyên lýDirichlet số nguyên tùy ý tồn hai số nguyên tùy ý có số dư chia hết cho suy A3

Trường hợp 1: số số chẵn nên tồn hiệu chia hết cho suy A4

Trường hợp 2: số số lẻ nên tồn hiệu chia hết cho suy A4

Trường hợp 3: số chẵn hai số lẻ nên tồn hiệu chia hết cho suy A4

Trường hợp 4: số chẵn số lẻ , từ số chẵn cho ta hiệu chia hết cho suy A4

Trường hợp 5: số lẻ số lẻ, từ số lẻ cho ta hiệu chia hết cho suy A4

Do A chia hết cho mà (3, 4) = nên A chia hết cho 12

Bài toán Chứng minh 101 số ngun tìm hai số có chữ số tận giống

Hướng dẫn giải

Lấy 101 số nguyên chia cho 100 theo nguyên lý Dirichle có có số có số dư chia cho 100 Suy 101 số cho tồn số có chữ số tận giống

Bài toán Cho 2014 số tự nhiên x ,x ,x , ,x Chứng minh tồn số 1 2 3 2014 chia hết cho 2014 tổng số số chia hết cho 2014

Hướng dẫn giải

CH

UY

ÊN

Đ

Ề

S

Ố

H

Ọ

C

Nếu tồn Si với i = 1, 2, 3, …., 2014 chia hết cho 2014 tốn chứng minh Nếu không tồn Si với i = 1, 2, 3, …., 2014 chia hết cho 2014 Đem 2014 số chia cho 2014 nhận 2014 số dư Giá trị số dư nhận thuộc vào tập hợp{1,2,3, ,2013 Vì 2014 số dư mà có 2013 giá trị nên theo nguyên lý Dirichlet có 2} số dư

Kí hiệu hai số S ,S có số dư chia cho 2014 m n {m,n N,1 n m 2014∈ ≤ < ≤ }

Thì hiệu: Sm−Sn =xn 1+ +xn 2+ + + xmchia hết cho 2014

Nhận xét:Ta tổng qt hóa tốn sau: Cho n số tự nhiên x ; x ; ; x1 2 n Chứng minh rằng n số có số chia hết cho n số số có tổng chia hết cho n.

Bài toán Chứng minh số tự nhiên có chữ số chọn hai số mà viết liền ta số có chữ số chia hết cho

Hướng dẫn giải

Lấy số cho chia số dư nhận giá trị 0, 1, 2, 3, …, Theo nguyên tắc Dirichlet có hai số số dư, giả sử abc def chia cho có số

dư Giả sử abc=7k+r def =7k+r Ta có:

( ) ( )

100 1000 7 1000 1001

abcdef = abc+def = k+r + l+ =r k+ +l r

Vậy tốn chứng minh

Bài tốn Có hay không số nguyên dương k để 29k số có chữ số tận

là 0001

Hướng dẫn giải

Ta cần chứng minh tồn số nguyên k cho

29k −1 10 Thật vậy, lấy 104 +1 số:

4

2 10

29, 29 , , 29 − chia cho 104, có hai số có hiệu chia hết cho 104, giả sử 29n

và 29m(n>m) Ta có 29m −29 10n hay 29m(29n m− −1 10 )

Vì ( 4)

29 ,10m =1 nên 29n m− −1 10 (đpcm) Dạng 9: Xét đồng dư

CH

IN

H

P

H

Ụ

C

K

Ỳ

T

H

I H

Ọ

C S

IN

H

GI

Ỏ

I C

Ấ

P H

AI

Định nghĩa: Cho a, b số nguyên (n số nguyên dương) Ta nói a đồng dư với b

theo modunn kí hiệu a b≡ (mod n)nếu a b có số dư chia cho n.

Như vậy: a b≡ (mod n) (⇔ −a b n) .Ví dụ: 2019 mod 5≡ ( )

Một số tính chất bản:

1) Với số nguyên a ta có: a a≡ (mod n)

2) a b≡ (mod n)⇔ ≡b a(mod n)

3) a b≡ (mod n) b c≡ (mod n)⇒ ≡a c(mod n)

4) a b≡ (mod n) c d≡ (mod n) (⇒ ± ≡ ±a c) (b d)(mod n)

Hệ tính chất 4)

( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 2

1 2

mod , mod , , mod

a mod

n n

n n

a b n a b n a b n

a a b b b n

≡ ≡ ≡

⇒ + + + ≡ + + +

5) a b≡ (mod n) và c d≡ (mod n)⇒a c b d ≡ mod( n)

Hệ tính chất 5)

( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 2

1 2

mod , mod , , mod

a mod

n n

n n

a b n a b n a b n

a a b b b n

≡ ≡ ≡

⇒ ≡

6) a b≡ (mod m)⇔an ≡bn(mod m) ∀ ∈n N

7)Nếu a b≡ (mod m) d là ước chung a b cho (d, m) = 1

thìa b(modm) d d≡

8)Nếu a b≡ (mod m) d là ước chung a, b, m thìa b modm

d d d

 

≡  

 

9)Nếu a r≡ (mod m) 0≤ <r m,thì r số dư phép chia a cho m.

* Cơ sởphương pháp:Sử dụng định nghĩa tính chất đồng dư thức để giải toán chia hết

* Ví dụminh họa:

Bài tốn Chứng minh rằng:

7.5 n 12.6n

A= + chia hết cho 19

Hướng dẫn giải

CH

UY

ÊN

Đ

Ề

S

Ố

H

Ọ

C

( ) ( ) ( )

≡ ⇒ ≡ ⇒ ≡

25 mod 19 25n mod 19n 7.25n 7.6 mod 19n

Do

( )

⇒7.25 12.6n+ n ≡7.6 12.6 mod 19n+ n

Mà 7.6 12.6n+ n=19.6 19n ⇒7.25 12.6 19n+ n ⇒ =A 7.52n+12.6 19n

Vậy toán chứng minh

Bài toán Chứng hai số: A=61000−1 và B=61001+1

Chứng minh A B bội số

Hướng dẫn giải

Ta có: 6≡ −1 mod 7( )⇒61000 ≡ −( ) (1 1000 mod 7)⇒61000 ≡1 mod 7( )⇒61000−1 7

Vậy A bội

Từ 61000 ≡1 mod 7( )⇒61001 ≡6 mod 7( )

Mà 6≡ −1 mod 7( )⇒61001 ≡ −1 mod 7( )⇒61001+1 7

Vậy B bội

Bài toán a) A = 22225555 + 55552222 chia hết cho

b) 1962 1964 1966

1961 1963 1965

B= + + + chia hết cho

Hướng dẫngiải

a) Xét số dư 22225555 chia cho

Ta có: 2222 ≡ (mod 7) (1)

⇒22224≡34 (mod 7) ⇒ 22224≡ 81 (mod 7)

Mà 81 ≡ (mod 7)

⇒22224≡ (mod 7) (2)

Nhân vế với vế (1) (2) ta 22225≡ 3.4 (mod 7) ⇒22225≡ (mod 7) ⇒22225555≡ 51111 (mod 7) (3)

CH

IN

H

P

H

Ụ

C

K

Ỳ

T

H

I H

Ọ

C S

IN

H

GI

Ỏ

I C

Ấ

P H

AI

Cộng vế với vế (3) (4) ta có: A ≡ 21111 + 51111 (mod 7) (5)

Mặt khác: 21111 + 51111≡ (2 + 5) (mod 7)

≡0 (mod 7) (6)

Từ (5) (6) ta được: A ≡ (mod 7) Vậy: A = 22225555 + 55552222 chia hết cho

b) Ta có:

Ta có: 1961 ≡ (mod 7) => 19611962 ≡ (mod 7)

Tương tự: 1964 1964( ) ( )3 654( ) 654( ) ( )

1963 ≡3 mod ≡9 mod ≡9.27 mod ≡2 mod

1966 ( ) (1966 ) ( )3 655( ) 655( ) ( )

1965 ≡ −2 mod ≡2 mod ≡2.8 mod ≡2 mod

( ) ( )

1 2 mod mod

B

⇒ ≡ + + + ≡

Vậy: 1962 1964 1966

1961 1963 1965

B= + + + 

Bài tốn Tìm số dư phép chia: 1532 15− cho

Hướng dẫn giải

Ta có: 1532 mod9≡ ( )⇒15325 ≡2 mod 95( )

Mà 25 ≡5 mod9( )⇒15325 ≡5 mod 9( )⇒1532 mod 95− ≡ ( )

Vậy số dư phép chia 1532 15− cho

Dạng 10: Tìm điều kiện biến để chia hết

Bài tốn 1.

a) Tìm n nguyên để

2

= + − +

A n n n chia hết cho = 2− B n n

b) Tìm anguyên để a 2a 7a 73− 2+ − chia hết cho a 32 + Hướng dẫn giải

a) Chia A cho B ta có: ( )( )

2 3

+ − + = + − +

n n n n n n

Để A chia hết cho B phải chia hết cho ( )

1

− = −

n n n n chia hết cho n, ta có:

n -1 -2

n - -2 -3

n(n – 1) 2

CH

UY

ÊN

Đ

Ề

S

Ố

H

Ọ

C

Vậy để giá trị biểu thức

2

= + − +

A n n n chia hết cho giá trị biểu thức B=n2−nthì n = -1

hoặc n =

b) Thực phép chia a 2a 7a 73− 2+ − cho a 32+ kết quả:

( )( ) ( )

3 2

a 2a 7a 7− + − = a +3 a 2− + 4a 1−

Để phép chia hết 4a 1− phải chia hết cho a 32+

( ) ( )

( )( ) ( )

( ) ( )

− +

⇒ − + + ∈ ⇒ + ∈

⇒ − +



  



2

2

2

4a a

4a 4a a (a 4a )

16a a

( )

( )

⇒ +

 + =  =

⇒ + = ⇒ = −

 



 2

49 a

a a

a 49 loai a

Thử lại ta a = a = - thỏa mãn

Bài tốn 2. Tìm số tự nhiên n để n2+(n 1+ ) (2 + n 2+ ) (2 + n 3+ )3chia hết cho 10 Hướng dẫn giải

Ta có: A n= 2+(n 1+ ) (2+ n 2+ ) (2+ n 3+ )3 =2 2n 6n 7( 2+ + )

( )

⇔ + + ⇔ + + ⇔ + +

⇔ + +

   



2 2

2

A 10 2n 6n 2n 6n n 3n

n 3n

Do n(n + 3) có tận hay n có tận

Vậy n có tận thỏa mãn yêu cầu tốn

Bài tốn 3. Tìm số ngun dương n để (n + 3)(n + 4) chia hết cho 3n

Hướng dẫn giải

Ta có: (n n 3n+ )( + ) ⇔n 7n 12 3n2 + +  ⇔n2+ +n 12 3n

( ) ( )  + +

 ⇒ 

+ + 

 

2

n n 12 n

n n 12

Từ (1) suy ra: 12 n ⇒ ∈n {1,2,3,4,6,12} ( )3

Từ (2) suy ra: ( + ) ⇒ = += ( ∈ ) 

 n 3k

n n k N

CH

IN

H

P

H

Ụ

C

K

Ỳ

T

H

I H

Ọ

C S

IN

H

GI

Ỏ

I C

Ấ

P H

AI

Loại số có dạng n = 3k + (1) ta được:

n 12

3n 18 36

n2 + n + 12 18 24 54 168

Chỉ có n = n = n n 12 chia hết cho 3n đó: 2+ + (n n 3n+ )( + )

Vậy n = n =

Bài tốn 3. Tìm số nguyên dương x y lớn cho x + chia hết cho y y + chia hết cho x

Hướng dẫn giải

Giải sử ≤ x ≤ y

a) Xét y = x = 2, khơng thỏa mãn x + chia hết cho y

b) Xét y ≥ Đặt x + = ky (k∈N) (1) ky = x + ≤ y + ≤ y + y = 2y nên k ≤ 2.

Với k = 1, từ (1) có x + = y Thay vào: y+3x x+6xnên lại có x > nên

{2;3; }

∈

x

x

y

Với k = 2, từ (1) có x + = 2y Thay vào: y+3x 2y+6x⇒ +x 9x⇒9x

do x > nên x∈{ }3;9

Khi x = y = 3, thử lại

Khi x = y = 6, loại trái với x ≤ y

Các cặp số (x, y) phải tìm (2; 5), (5; 2), (3; 6), (6; 3), (6; 9), (9; 6), (3; 3)

Dạng 11: Các tốn cấu tạo số liên quan đến tính chia hết số tự nhiên

* Cơ sởphương pháp: Số tự nhiên A a a a biểu diễn dạng tổng lũy = n n 1− 0

thừa sau: −

− −

= = n+ n 1+ +

n n n n

A a a a a 10 a 10 a Trong a ;a ; ;an n 1− 0 chữ số an khác Khi ta có dấu hiệu chia hết sau:

{ }

0

2 0; 2; 4; 6;8

A a a

•  ⇔  ⇔ ∈

( 1 )

3 n n

A a a a − a

•  ⇔ + + + + 

1

4

A a a

CH

UY

ÊN

Đ

Ề

S

Ố

H

Ọ

C

{ }

0

5 0;5

A a a

•  ⇔  ⇔ ∈

2

8

A a a a

•  ⇔ 

( 1 )

9 n n

A a a a − a

•  ⇔ + + + + 

( ) ( )

11 11

A a a a a

•  ⇔ + + − + + 

1

25 25

A a a

•  ⇔ 

2

125 125

A a a a

•  ⇔ 

* Ví dụminh họa:

Bài tốn Tìm số tự nhiên có ba chữ số, chia hết cho 9, biết chữ số hàng chục trung bình cộng hai chữ số

Hướng dẫn giải

Gọi số phải tìm abc Do a+ +b c chia hết cho 9 2b= +a c nên 3b chia hết cho

9, suy b chia hết cho 3 Như b∈{0;3;6;9} Do abc5 nên c∈{ }0;5

Xét số ab0 với a=2b, ta số 630

Xét số ab5 với a=2b−5, ta số 135 675

Bài toán Tìm chữ số a b, cho:

a) a− =b 4 7 1a b chia hết cho

b) a− =b 6và 5a + b chia hết cho

Hướng dẫn giải

a) Số 3a b  ⇒ + + + +7 a b 3 ⇒13+ +a b3⇒ +a 3 chia cho dư 2( )1

Ta có а− =b nên:

4≤ ≤a 9

0≤ ≤b

Suy 4≤ + ≤a b 14 ( )2

Mặt khác a−b số chẵn nên a+b số chẵn( )3 Từ ( )1 , ( )2 , ( )3 suy га: а+ ∈b {8;14 }

CH

IN

H

P

H

Ụ

C

K

Ỳ

T

H

I H

Ọ

C S

IN

H

GI

Ỏ

I C

Ấ

P H

AI

b) 9a + b  ⇒512 10+ (a+b)9

( )

504 a b a b

⇒ + + + + +  ⇒ +a b chia cho 9 dư

Do a+ ≥ − =b a b nên a+ =b 10 Từ tìm được:a=8; b=2

Bài toán Chứng minh ab=2.cd abcd chia hết cho 67

Hướng dẫn giải

Ta có abcd =100⋅ab+cd =201⋅cd chia hết cho 67

Bài toán Cho số abc chia hết cho 27 Chứng minh bca chia hết cho 27

Hướng dẫn giải Ta có: abc27

0 27

1000 27

999 27

27.37 27 abc

a bc

a a bc

a bca

⇒

⇒ +

⇒ + +

⇒ +



  

Do 27.37a27 nên bca27

Bài toán Chứng minh ab+cd +eg chia hết cho 11 abcdeg chia hết cho 11 Hướng dẫn giải

( )

deg 10000.abc = ab+100×cd +eg =9999×ab+99×cd + ab+cd +eg chia hết cho 11

Bài tốn Tìm chữ số a, b cho 62ab427 chia hết cho 99

Hướng dẫn giải

Cách 1. Ta có 99 9.11= (9,11 1)= nên ta có 62ab427 chia hết cho 99 62ab427 chia hết cho chia hết cho 11

CH

UY

ÊN

Đ

Ề

S

Ố

H

Ọ

C

Từ ta (a b 3+ + ∈) {9;18} nên suy (a b 3+ + ∈) { }6;15

• Ta có 62ab427 chia hết cho 11 (6 a 7+ + + ) (− b 11+ + ) hay (a b 11− + )

Từ ta (a b 2− + ∈) { }0;11 nên suy (a b− ) {∈ −2;9} Từ ta xét trường hợp sau

+ Trường hợp 1:  − = + =



a b

a b 6, trường hợp không tồn chữ số a, b thỏa mãn + Trường hợp 2:  − = + =



a b

a b 15, trường hợp không tồn chữ số a, b thỏa mãn + Trường hợp 3:  − = − ⇔ =

+ = =

 

a b a

a b b

+ Trường hợp 4:  − = − + =



a b

a b 15, trường hợp không tồn chữ số a, b thỏa mãn Vậy chữ số thỏa mãn yêu cầu toán a 2; b 4= =

Cách 2. Ta có 62ab427 62.100000 ab.1000 427 62630.99 ab.990 10.ab 57= + + = + + +

Suy 62ab427 chia hết cho 99 10.ab 57 chia hết cho 99 +

Từ ta 10.ab 57 99.k với k số tự nhiên + =

Dễ thấy 10.ab 57 có chữ số tận 7, + 99.k phải có chữ số tận nên ta k 3=

Từ suy 10.ab 57 99.3+ = ⇒ab 24 =

Vậy chữ số thỏa mãn yêu cầu toán a 2; b 4= =

Bài tốn Tìm chữ số a biết 20 20 20a a a chia hết cho

Hướng dẫn giải

20 20 20 20 20 1000 20 (20 1000 20 ).1000 20

n= a a a= a a + a= a + a + a

1001.20 1000a 20a

= +

Theo đề n chia hết cho 7, mà 1001 chia hết 20a chia hết cho

CH

IN

H

P

H

Ụ

C

K

Ỳ

T

H

I H

Ọ

C S

IN

H

GI

Ỏ

I C

Ấ

P H

AI

Dạng 12: Cácbài chia hết sử dụng định lý Fermat

* Cơ sởphương pháp:

Với p số nguyên tố ta có: ap ≡a(mod p)

Đặc biệt, (a p, )=1thì

1 p

a − ≡ (mod p)

Chứng minh

Xét số a, 2a, …, (p−1)a Dễ thấy, khơng có số p−1 số chia hết

cho p khơng có hai số có số dư chia cho p Vậy chia p−1 số nói

cho p, ta nhận số dư 1, 2, …, p−1 Suy a 2( ) ( ) (a 3a ( p−1)a)≡1.2.3.(p−1)

(mod p) hay (1.2.3 (p−1 ))ap−1≡1.2.3 (p−1) (mod p)

Vì (1.2.3 (p−1 ,) p)=1 nên

1 p

a − = (mod p)

* Ví dụminh họa:

Bài tốn Cho *

; ,

a∈Z m n∈N Chứng minh a6n +a6m7khi a7

Hướng dẫn giải

Giả sử 6

7

n m

a +a  a  7ta có ( )a, =1

Theo định lý Fermat: ( ) ( )

1 mod n mod

a ≡ ⇒a ≡ a6m ≡1 mod 7( )

( )

6

2 mod

n m

a a

⇒ + ≡ Vơ lí! Vậy a7

Ngược lại, a7 a6n +a6m7

Bài toán Chứng minh 24 34

3 n+ +2 n+ +5 11, với n∈N

Hướng dẫn giải Theo định lí Fermat, ta có 10 ( )

3 ≡1 mod11 210 ≡1 mod11 ( )

Ta tìm số dư phép chia

2 n+ 34n+1 cho 10, tức tìm chữ số tận

chúng

Ta có ( )

2 n+ =2.16n ≡2 mod 10 ⇒2 n+ =10k+2

( ) ( )

4

3 n+ =3.81n ≡3 mod 10 ⇒3 n+ =10l+3 k l, ∈N

Mà 10 ( )

3 k ≡1 mod11 210l ≡1 mod 11( )nên

( )

4

2 10 10 3

3 n+ +2 n+ + =5 k+ +2 l+ + ≡5 +2 + ≡5 mod 11 Vậy 24 34

CH

UY

ÊN

Đ

Ề

S

Ố

H

Ọ

C

Bài tốn Một số có 6n chữ số chia hết cho Chứng minh chuyển chữ số tận lên đầu số số chia hết cho

Hướng dẫn giải

Gọi số ban đầu N = 10A + a, với a chữ số tận N A có 6n – chữ số Sau chuyển a lên đầu ta số

.10 n

M =a − +A

Ta chứng minh N−3M7

Thật vậy, ta có ( )

3 3.10 n

N − M = A−a − −

Áp dụng định lý Fermat ta có:

( ) ( ) ( )

6 6

10 ≡1 mod ⇒10 n ≡1 mod ⇒3.10 n ≡ ≡3 10 mod

( )

6

3.10 n− mod

⇒ ≡

Vậy N −3M7, từ suy điều phải chứng minh

Dạng 13: Các toán chia hết liên quan đến đa thức

* Cơ sởphương pháp:

Định lýBơdu:

Phần dư phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x - a giá trị đa thức x = a Tức là: f(x) = (x - a).g(x) + f(a)

Chứng minh : Gọi g(x) đa thức thương R số dư thì: f(x) =(x - a).g(x) + R

f(a) = (a - a).g(a) + R = R (đpcm)

* Ví dụminh họa:

Bài tốn Cho đa thức

( )

P x =ax +bx c+ Biết P x( ) chia cho x + dư 3,P x( )chia cho x dư

1 vàP x( )chia cho x – dư Tìm hệ số a, b, c

(Trích đềvào 10 Chuyên Nam Định năm 2015-2016)

Hướng dẫn giải

Vì P(x) chia cho x + dư nên P(x) – chia hết cho x +

⇒P(x) – = f(x).(x + 1)

Thay x = –1 vào đẳng thức ta có: P(–1) – = f(–1).( –1 + 1) =

CH

IN

H

P

H

Ụ

C

K

Ỳ

T

H

I H

Ọ

C S

IN

H

GI

Ỏ

I C

Ấ

P H

AI

P(x) chia cho x – dư nên P(1) = (3)

Từ (1), (2), (3) ta có hệ phương trình:

2

2

2

.( 1) ( 1) 3

.0 1

5

.1

a b c a b c a

a b c c b

a b c c

a b c

 − + − + =  − + =  =

 + + = ⇔ = ⇔ =

  

 + + =  + + =  =

 



⇒P(x) = 3x2 + x + Thử lại ta thấy P(x) thỏa mãn đề Vậy P(x) = 3x2 + x + 1.

Bài toán 2. Tìm số thực a, b, cho đa thức 4x4 −11x3 −2ax2 +5bx 6− chia hết cho đa

thức x2 −2x 3.−

(Thi học sinh giỏi lớp 9, TP Hà Nội, năm học 2012 – 2013)

Hướng dẫn giải

Ta có x2 −2x x− = −2x 4+ − = (x 1− )2 −4

(x x 2)( ) (x x 1)( )

= − − − + = − +

Đặt thương q(x) ta có: 4x2 −11x3 −2ax2 +5bx 6− =(x x q x− )( + ) ( )

Chọn x=3 ta có: 4.34 −11a3 −2 3a +5 .3 6b − =0

⇒ 15b−18a= − ⇒21 5b−6a= −7 1( )

Chọnx= −1 , ta có: 4.( )−1 −11.( )−1 3−2a( )−1 +5b( )− − =1

⇒5b + 2a = (2)

Từ (1) (2) suy : 8a 16+ ⇒ =a Thay vào (2) suy ra: 5b 9+ = ⇒ =b

Bài tốn 3.Tìm đa thức f(x) biết: f(x) chia cho x + dư 1; f(x) chia cho x – dư 8; f(x) chia cho (x + 3)(x – 4) 3x cịn dư

Hướng dẫn giải

Theo định lý Bézout ta có f(3) 1;f(4) 8= =

Đặt dư f(x) chia cho (x x 4+ )( − )là ax + b

CH

UY

ÊN

Đ

Ề

S

Ố

H

Ọ

C

• Với x =- ta có: 1= − +( 3)(− −3 3) ( ) ( )− +a 3− + b⇒ −b 3a 1= (1) • Với x = ta có: =(4 4 3.4+ )( − )( )+a.4 b+ ⇒ +b 4a 8=

(2)

Từ (1) (2) suy ra: 7a = ⇒ =a thay vào (2) ta b =

Từ ta được: f x( ) (= x x 3x x 4+ )( − ) + + Hay f x( ) 3= x3 −3x2 −35x +4

Bài toán 4.Chứng minh đa thức f x( ) (= x 3− )200 +(x 2− )100 −1chia hết cho đa thức

( )

g x = x −5x 6+

Hướng dẫn giải Ta có f 2( ) (= 3− )200+(2 2− )100 − =1 0nên f x( ) ( x 2− )

( ) ( )200 ( )100

f = 3− + 1− − =1 nên f(x) ⋮ (x - 3) Nên f(x) chia hết cho (x – 2)(x – 3) = x2 – 5x +

Bài toán 5.Cho đa thức P x( )=x x3− Q x( )=x81+x49+x25+x9+ +x 1.

a) Tìm số dư phép chia Q(x) cho P(x) b) Tìm x để Q x P x( ) ( )

Hướng dẫn giải

a) Ta có: P x( )=x x 1( 2− ); Q x( )=x x( 80− +1 x x) ( 48− +1 x x) ( 24 − +1 x x 5x 1) ( − +) +

Vì đa thức x80−1; x48−1; x 18 − chia hết cho x 12− nên phép chia Q(x) cho

P(x) dư 5x +

b) Để Q x P x( ) ( ) 5x x

+ = ⇔ = −

TỔNG KẾT CÁC PHƯƠNG PHÁP THƯỜNG ÁP DỤNG Để làm giải tốt toán chia hết, cần sử dụng linh hoạt phương pháp nêu trên, nhiều toán chia hết giải nhiều phương pháp, có tốn nhìn tương tự có phương pháp giải Để mô điều trích viết tác giả Nguyễn Đức Tấn tạp chí Tốn học tuổi trẻ:

CH

IN

H

P

H

Ụ

C

K

Ỳ

T

H

I H

Ọ

C S

IN

H

GI

Ỏ

I C

Ấ

P H

AI

Cách 1:(Sử dụng phương pháp xét sốdư) Ta xét trường hợp sau:

- Trường hợp 1: n = 3k(k Z∈ ) n2+ + =n 3k k 1( + +) - Trường hợp 2: n = 3k + (k Z∈ )thì n2+ + =n 9k k 3( + +) - Trường hợp 3: n = 3k + (k Z∈ )thì n2+ + =n 3k( 2+5k 1+ )+

Từ trường hợp suy n n2+ +1 không chia hết cho với số nguyên n

Cách 2: (Sử dụng phương pháp tách tổng)

Ta có: n n2+ + =1 (n−1)(n+ +2 3)

Do (n + 2) – (n – 1) = nên (n + 2) và (n – 1) đồng thời không đồng thời chia hết cho

Nếu (n+2 3;) ( n−1 3) ⇒(n−1)(n+2 9) nên (n−1)(n+2 3)+ không chia hết cho

Nếu (n + 2) (n – 1) đề không chia hết cho (n−1)(n+2 3)+ khơng chia hết cho

Vậy n n2 + +1 không chia hết cho với số nguyên n

Cách 3: (Sử dụng phương pháp phản chứng)

Giả sử (n n2+ +1 9.) Đặt n n2+ + =1 9m m Z( ∈ )⇒n n2+ + −1 9m=0 *( )

Phương trình (*) có ∆ =36m− =3 12( m−1)

Ta thấy ∆ số phương chia hết cho mà khơng chia hết (*) khơng có nghiệm Vô lý!

Vậy n n2 + +1 không chia hết cho với số nguyên n

Cách 4: Ta có: 4(n n2+ + =1) (2n+1)2+3

Nếu (2n+1 3) ⇒(2n+1 9)2 nên (2n+1)2+3sẽ không chia hết cho

Nếu (2n + 1) không chia hết cho (2n+1)2 khơng chia hết (2n+1)2+3sẽ khơng chia hết cho không chia hết cho

Vậy 4(n n2 + +1)

không chia hết n n2+ +1sẽ không chia hết cho với số nguyên n

Các bạn rèn luyện khảnăng sử dụng phương pháp chứng minh tốn chia hết thơng

qua toán tương tựsau: 1) Chứng minh: n2+11n+39

không chia hết cho 49 2) Chứng minh: n2+3n+5

không chia hết cho 49 3) Chứng minh: n2+5n+16

CH

UY

ÊN

Đ

Ề

S

Ố

H

Ọ

C

Tuy nhiên với toán:

Chứng minh: 9n3+9n2+3n−16

không chia hết cho 343 với số nguyên n.

Ta dễ thấy với cách 1, 2, có lẽ phải bó tay, khai thác giải ý 343 7= ta có lời giải thật “dễthương” sau:

( )3

9n +9n +3n−16= 3n+1 −49

Nếu (3n+1 7) ⇒(3n+1 7)3 =343

nên (3n+1)3−49sẽ không chia hết cho 343

Nếu (3n + 1) không chia hết cho (3n+1)3−49 khơng chia hết (3n+1)3−49 không chia hết cho 343 7= 3

Vậy 9n3+9n2+3n−16sẽ không chia hết cho 343 với số nguyên n

Do để giỏi toán cần linh hoạt nắm vững phương pháp giải để vận dụng tốt ở các toán khác nhau!

C BÀI TẬP ÁP DỤNG

Câu Chứng minh a a 30 a5−  ( ∈)

Câu a) Đặt A n= +3n2 +5n 3.+ Chứng minh Achia hết cho với giá trị

nguyên dương n

b) Nếu achia 13 dư 2và b chia 13 dư a b2+ 2chia hết cho 13

Câu Chứng minh rằng: A=n n 73( 2− )2−36n 7

 

  với ∀ ∈n 

Câu Chứng minh n 28n3− chia hết cho 48 với nlà số nguyên chẵn

Câu Cho nlà số tự nhiên lẻ Chứng minh n n3− chia hết cho 24

Câu Chứng minh n 17n3+ chia hết cho 6 với n∈

Câu Chứng minh rằng: Q n= +(n 1+ ) (3+ n 9+ )3 với n∈*

Câu Chứng minh : 2019 2021

2021 +2019 chia hết cho 2020

Câu Chứng minh

a) 8 25+ 11chia hết cho 17

b) 1919 +6919chia hết cho 44

Câu 10 Chứng minh A n n 2= + + không chia hết cho 15 với số nguyên n.

(Đề thi HSG lớp huyện Thủy Nguyên 2018-2019)

Câu 11.Chứng minh với n N thì: ∈ n 6n 11n4+ 3+ 2+30n 24− chia hết cho 24

(Đề thi HSG lớp huyện Thanh Hà 2016-2017)

Câu 12 Cho a, b số nguyên thỏa mãn: 2a 3ab 2b2+ + 2 chia hết cho Chứng minh 2

CH

IN

H

P

H

Ụ

C

K

Ỳ

T

H

I H

Ọ

C S

IN

H

GI

Ỏ

I C

Ấ

P H

AI

Câu 13. Cho n số tự nhiên không chia hết cho Chứng minh P=32n+ +3n chia hết cho 13 (Đề thi HSG lớp huyện Vũ Quang 2018-2019)

Câu 14. Cho biểu thức P a a a a= 1+ 2+ 3+ + 2019 với a ;a ;a ; ;a1 2 3 2019 số nguyên dương P chia hết cho 30 Chứng minh 5 5

1 2019

Q a= +a +a a+ + chia hết cho 30

(Đề thi HSG Thành Phố Hải Phòng 2018-2019)

Câu 15. Cho x số tự nhiên chẵn Chứng tỏ biểu thức M= x3 +x2 + x

24 12 có giá trị số nguyên

(Đề thi Chọn HSG lớp THCS Hiệp An 2018-2019)

Câu 16.Chứng minh với số tự nhiên n ta có:

7.5 n 12.6n

A= + chia hết cho 19

(Đề thi HSG lớp huyện Phù Ninh 2013-2014)

Câu17. Chứng minh với số tự nhiên nthì : A 5= n 2+ +26.5 8n+ 2n 1+ 59

Câu 18. Cho a ,a , ,a1 2 2016là số tự nhiên có tổng chia hết cho

Chứng minh rằng: 3

1 2016

A a a a= + + + chia hết cho

Câu 19 a)Chứng minh tổng hai số nguyên chia hết cho tổng lập phương chúng chia hết cho

b) Tìm số nguyên n để n 15+ chia hết cho n 13+

Câu 20. Cho số nguyên dương a, b, c thỏa mãn a2+b2 =c2 Chứng minh ab chia hết

cho a+ +b c

(Đềthi vào 10 Chuyên Lam Sơn năm 2019-2020)

Câu 21. Tìm số nguyên dương n bé để F = n3 + 4n2– 20n – 48 chia hết cho 125

(Đề thi HSG lớp huyện Hoằng Hóa 2015-2016)

Câu 22.Tìm tất cặp số nguyên dương a,b cho:

a+b chia hết cho a b2 −1

(đề thi học sinh giỏi lớp huyện Thanh Oai 2012-2013)

Câu 23. Cho số nguyên dương x, y, z thỏa mãn x y2 + =z2

Chứng minh A = xy chia hết cho 12

(Đề thi HSG lớp huyện Vĩnh Lộc 2016-2018)

Câu 24 Chứng minh số tự nhiên A 1.2.3 2017.2018 1 1

2 2017 2018

 

=  + + + + + 

 

chia hết cho 2019

(Đề thi HSG lớp huyện Hoài Nhon 2018-2019)

Câu 25 Tìm số dư phép chia đa thức (x x x x 2010+ )( + )( + )( + )+ cho đa thức x 10x 212+ +

CH

UY

ÊN

Đ

Ề

S

Ố

H

Ọ

C

Câu 27. Cho đa thức f(x) x 3x= 3− 2+3x 4.− Với giá trị nguyên x giá trị đa

thức f(x)chia hết cho giá trị đa thức x2+2

Câu 28. Giả sử f(x) đa thức bậc với hệ số nguyên.Chứng minh rằng: Nếu f(x) 7với x

∀ ∈ Ζ hệ số f(x) 7

(Đề thi học sinh giỏi lớp trường Trần Mai Ninh năm 2012-2013)

Câu 29 Tìm số dư phép chia (x x x x 2033+ )( + )( + )( + )+

cho x 12x 302+ +

Câu 30 Tìm đa thức f(x) biết : f(x) chia cho x 2+ dư 10, f x( )chia cho x 2− dư 26, ( )

f x chia cho x 42 − được thương −5xvà dư

Câu 31. Cho đa thức P(x) = ax3 + bx2 + cx + d với a, b, c, d hệ số nguyên Chứng minh

rằng P(x) chia hết cho với giá trị nguyên x hệ số a, b, c, d chia hết cho

(đề thi học sinh giỏi lớp huyện Thạch Hà 2016-2017)

Câu 32. Cho p số nguyên tố lớn Chứng minh p20−1 chia hết cho 100

(Đề thi HSG lớp huyện Lục Nam 2018-2019)

Câu 33. Chứng minh với số tự nhiên n

3 11

n + n+ không chia hết cho 49

(Đề thi HSG lớp TP Hà Nội 2019-2020)

Câu 34 Cho N = k4 + k3– 16 k2– 2k +15, k số nguyên Tìm điều kiện k để số N chia

hết cho 16

(Đề thi HSG huyện Lê Ninh 2018-2019)

Câu 35. Cho hai số nguyên, số thứ chia cho dư 1, số thứ hai chia cho dư Hỏi tổng bình phương chúng có chia hết cho không ?

Câu 36. Chứng minh với số n nguyên dương thì: 5 5n( n+ −1 3) (n n+2 91n)

Câu 37. Chứng minh A = + + 32 + 33 + + 311 chia hết cho 40

Câu 38. Tìm đa thức f x( )biết: f x( ) chia cho x−2dư 5; f x( )chia cho x−3dư 7; f x( )chia cho (x−2)(x−3)được thương x2 −1và đa thức dư bậc với x

Câu 39. Cho số tự nhiên n>3. Chứng minh 2n =10a+b a b( , ∈,0< <b 10)thì tích

abchia hết cho

Câu 40. Cho a b, số nguyên dương thỏa mãn 2

p=a +b số nguyên tố

p− chia hết cho Giả sử số nguyên x y, thỏa mãn ax2−by2 chia hết cho p Chứng

minh hai số x y, chia hết cho p

(Đề thi HSG lớp TP Hải Phòng 2017-2018)

Câu 41. Cho ba số nguyên dương a b c, , thỏa mãn a3+b3+c3 chia hết cho 14 Chứng

CH

IN

H

P

H

Ụ

C

K

Ỳ

T

H

I H

Ọ

C S

IN

H

GI

Ỏ

I C

Ấ

P H

AI

(Trích đềChun tốn Sư Phạm Hà Nội 2019-2020)

Câu 42.

a) Tìm tất số tự nhiên n cho 2n+1 chia hết cho

b) Cho n số tự nhiên n>3 Chứng minh 2n+1 không chia hết cho 2m−1 với

mọi số tự nhiên m cho 2< ≤m n

(Trích đề PhổThơng khiếu Hồ Chí Minh 2019-2020)

Câu 43. Chứng minh với số nguyên dương n, số 4

9.3 8.2 2019

= n− n+

M chia

hết cho 20

(Trích đề Chuyên Quảng Nam 2019-2020)

Câu 44. Có số tự nhiên n không vượt 2019 thỏa mãn n3+2019 chia hết cho (Trích đềChuyên Nam Định 2018-2019)

Câu 45. Cho x y, số nguyên cho x2−2xy−y xy2; −2y2−x chia hết cho

Chứng minh 2

2x +y +2x+ycũng chia hết cho

(Trích đề Chuyên KHTN Hà Nội 2018-2019)

Câu 46.Tìm tất số nguyên không âm a b c, , thỏa mãn ( ) (2 ) (2 )2

6

a−b + b−c + c−a = abc a3 +b3 +c3+1 chia hết cho a+ + +b c

(Trích đềChuyên Nam Định 2016-2017)

Câu 47. Cho n sô tự nhiên chẵn, chứng minh số n n n

20 −3 +16 −1chia hết cho số 323

(Trích đềChun Bình Định 2018-2019) Câu 48. Cho a2+b2 bội số với a b số nguyên Chứng minh hai số

= +

A 2a b B 2b a= − hai số A' 2a b= − B' 2b a= + chia hết cho

Câu 49 Cho phương trình x3+2y3+4z3=9!(1)với

; ;

x y zlà ẩn 9! Là tích số nguyên

dương liên tiếp từ đến

a) Chứng minh có số nguyên x y z; ; thỏa mãn (1) x y z, , chia hết

cho

b) Chứng minh không tồn số nguyên x y z, , thỏa mãn (1)

(Trích đềChuyên Vĩnh Phúc 2018-2019)

Câu 50. Cho plà số nguyên tố lớn Chứng minh p2−1chia hết cho 24

(Trích đề Chuyên Bến Tre 2018-2019)

Câu 51. Cho số tự nhiên n≥2và số nguyên tố pthỏa mãn p−1chia hết cho nđồng thời

3

1

n − chia hết cho p Chứng minh n+plà số phương

(Trích đề Chuyên Phan Bội Châu 2018-2019)

Câu 52. Với n số tự nhiên chẵn, chứng minh rằng: (20n+16n− −3n 323)

CH

UY

ÊN

Đ

Ề

S

Ố

H

Ọ

C

Câu 53. Đặt N = + +a1 a2 +a2018,

5 5

1 2018

M =a +a + +a (a a1; 2; a2018∈+) Chứng

mỉnh N chia hết cho 30 M chia hết cho 30

(Trích đề Chuyên Hải Dương 2018-2019)

Câu 54. Cho a, b,c số nguyên Chứng minh 2016 2017 2018

a +b +c chia hết cho 2018 2019 2020

a +b +c chia hết cho 6

(Trích đềChun Tun Quang 2018-2019)

Câu 55. Tìm dạng tổng quát số nguyên dương n biết: M = n.4n + 3n chia hết cho

(Trích đề Chuyên Hải Dương 2016-2017)

Câu 56. Chứng minh với số tự nhiên n thì

9 27

− +

n n khơng chia hết cho 81 (Trích đềChun Quảng Ngãi 2018-2019)

Câu 57. Cho m n, số nguyên thỏa mãn 4(m+n)2−mnchia hết cho 225 Chứng minh

rằng: mncũng chia hết cho 225

(Trích đềChuyên Lào Cai 2018-2019)

Câu 58. Cho n số nguyên dương tùy ý, với số nguyên dương k đặt 1k 2k k

k

S = + + +n Chứng minh S2019S1

(Chuyên toán Thanh Hóa 2018-2019)

Câu 59. Chứng minh p (p + 2) hai số nguyên tố lớn tổng chúng chia hết cho 12

(Trích đề Chun Hịa Bình 2015-2016)

Câu 60. Chứng minh số nguyên n lớn thoả mãn n2+ n2+16 số

nguyên tố n chia hết cho 5.

(Trích đề Chuyên Phú Thọ 2015-2016)

Câu 61. Chứng minh biểu thức 3( ) (2 )( 3 )

2

S =n n+ + n+ n − n+ − n− chia hết cho 120,

với n số ngun

(Trích đềChun Bình Phước 2017-2018)

Câu 62. Cho ( 2015 2015 2015)

2

A= + + +n với n số nguyên dương Chứng minh A

chia hết cho n(n + 1)

(Trích đềChuyên Quảng Nam 2015-2016)

Câu 63. Cho biểu thức

2 16 15

Q=a + a − a − a+ Tìm tất giá trị nguyên a để Q

chia hết cho 16

(Trích đềChuyên Quảng Nam 2016-2017)

CH

IN

H

P

H

Ụ

C

K

Ỳ

T

H

I H

Ọ

C S

IN

H

GI

Ỏ

I C

Ấ

P H

AI

Câu 65. Cho a, b, c ba số nguyên khác thỏa 1 1= +

a b c Chứng minh rằng: abc chia hết cho

(Trích đề thi HSG lớp tỉnh Đồng Nai 2019)

Câu 66. Chứng minh

2 n 4n 16

A= + + chia hết cho với số nguyên dương n

(Trích đề thi HSG lớp tỉnh Nghệ An Bảng A 2019)

Câu 67.Chứng minh A=4n +17 chia hết cho với số nguyên dương n

(Trích đề thi HSG lớp tỉnh Nghệ An Bảng B 2019)

Câu 68. Cho *

n∈N Chứng minh 2n + 3n + số phương n

chia hết cho 40

(Trích đề thi HSG lớp tỉnh Thanh Hóa 2019)

Câu 69.Chứng minh với số nguyên n chẵn thì: n3+20n 96+ chia hết cho 48 (Trích đề thi HSG lớp tỉnh Bình Phước 2019)

Câu 70. Cho p số nguyên tố thỏa mãn p a b= 3− 3 với

a,b hai số nguyên dương

phân biệt Chứng minh lấy 4p chia cho loại bỏ phần dư nhận số bình phương số nguyên lẻ

(Trích đề thi HSG lớp tỉnh Khánh Hòa 2018)

Câu 71.Cho đa thức f(x) x a x b 1.= 2− ( + ) + − Xác định a, b để f(x) chia hết cho (x – 1) và

và đa thức (x + 2)

Câu 72.1 Cho p số nguyên tố lớn Chứng minh p2016 – chia hết cho 60.

2 Cho x y z, , số dương khác đôi 3

x + y +z chia hết cho x y z2 2 Tìm

thương phép chia 3 2

:

x +y +z x y z

(Trích đề thi HSG lớp tỉnh Thanh Hóa 2017)

Câu 73. Cho hai số nguyên a b thỏa 24a b 2+ = Chứng minh có số a

hoặc b chia hết cho

(Trích đề thi HSG lớp tỉnh Quảng Nam 2017)

Câu 74.Cho p q số nguyên tố lớn thỏa mãn p q 2= + Tìm số dư chia p q+ cho 12

(Trích đề thi HSG lớp tỉnh Vĩnh Long 2016)

Câu 75.Cho nguyên a, b, c, d thỏa mãn điều kiện a3+b3 =2 c 8d( 2− 3).

Chứng minh a b c d+ + + chia hết cho

(Trích đề thi HSG lớp Thành Phố Hà Nội 2016)

Câu 76 Chứng minh với số nguyên n, số 3 15

A n  n chia hết cho 18

CH

UY

ÊN

Đ

Ề

S

Ố

H

Ọ

C

Câu 77. Biết a b; số nguyên dương thỏa mãn a2−ab b+ chia hết cho 9, chứng minh

rằng a b chia hết cho

(Trích đề thi HSG lớp Thành Phố Hà Nội 2019)

Câu 78 Chứng minh 3 3

1 n

a +a +a + +a chia hết cho 3, biết a a a1, 2, 3, ,an chữ

số 2018

2019

(Trích đề thi HSG lớp tỉnh Hải Dương 2019)

Câu 79 Cho n số tự nhiên lẻ Chứng minh: 46n +296.13n chia hết cho 1947

(Trích đề thi HSG lớp tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu 2019)

Câu 80 Chứng minh

2n +3n +n chia hết cho 6với số nguyên n

(Trích đề thi HSG lớp tỉnh Lâm Đồng 2019)

Câu 81. Cho a b c, , số nguyên thỏa mãn a b+ = −c3 2018c Chứng minh 3

A=a + +b c chia hết cho

(Trích đề thi HSG lớp tỉnh Quảng Ngãi 2019)

Câu 82. Chứng minh số có dạng 20142014 2014 có số chia hết cho 2013

(Trích đềvào 10 Chuyên Lạng Sơnnăm 2013-2014)

Câu 83. Cho a b, hai số nguyên dương thỏa mãn a+20 b+13 chia hết cho 21

Tìm số dư phép chia A=4a +9b + +a b cho 21

(Trích đềvào 10 Chun Hải Phịng năm 2013-2014)

Câu 84 Cho biểu thức: ( 2020 2020 2020) ( 2016 2016 2016)

A= a +b +c − a +b +c với a,b,c số

nguyên dương Chứng minh A chia hết cho 30

(Trích đềvào 10 Chuyên Tin Lam Sơn năm 2019-2020)

Câu 85. Cho hai số nguyên dương x y, với x>1 thỏa mãn điều kiện: 2x2− =1 y15

Chứng minh x chia hết cho 15

(Trích đềvào 10 Chun Tốn Lam Sơn năm 2019-2020)

Câu 86. Cho số 1; 2; 3; ; 100 Viết cách tùy ý 100 số nối hàng ngang ta số tự nhiên Hỏi số tự nhiên có chia hết cho 2016 hay khơng?

(Trích đềvào 10 Chuyên Toán Lam Sơn năm 2015-2016)

Câu 87. Tìm k để tồn số tự nhiên n cho (n2−k 4) với k∈{0;1; 2; 3}.

Câu 88. Cho n số dương Chứng minh rằng: (n n 2n+ )( + ) ( ) chia hết cho 2n.

Câu 89 Tìm a b, để P x( )=3x3+ax2+bx+9 chia hết cho Q x( )=x2−9

(Đề thi học sinh giỏi huyện Chương Mỹ - Hà Nội năm 2019-2020)

Câu 90 Chứng minh rằng: ( 2019 2020)

2019 +2021 2020

CH

IN

H

P

H

Ụ

C

K

Ỳ

T

H

I H

Ọ

C S

IN

H

GI

Ỏ

I C

Ấ

P H

AI

Câu 91. Tìm tất số nguyên dương m, n cho

m+n chia hết cho

m −n n+m

chia hết cho n −m

(Đề thi học sinh giỏi tỉnh Bắc Ninh năm 2017-2018)

Câu 92 Chứng minh

2

n − n +n chia hết cho 36 với n nguyên dương

(Trích đề thi học sinh giỏi tỉnh Bình Định năm 2017-2018)

Câu 93 Tìm số tự nhiên có dạng ab Biết ab2−ba2 số chia hết cho 3267

(Trích đề thi học sinh giỏi tỉnh Hải Dương năm 2017-2018)

Câu 94 Với a, b số nguyên Chứng minh 2

4a + 3ab 11b− chia hết cho

thì a4 −b4 chia hết cho

(Trích đề thi học sinh giỏi tỉnh Hải Dương năm 2011-2012)

Câu 95 Tìm cặp số nguyên dương ( )x y; cho x y2 + +x y chia hết cho

2

1

xy + +y

(Trích đề thi Chuyên Phan Bội Châu năm 2019-2020)

Câu 96. Tìm tất cặp số nguyên dương  x y; cho x2 2xy2.

(Trích đề thi Chuyên Phan Bội Châu năm 2016-2017)

Câu 97. Cho a, b số nguyên dương thỏa mãn 2

a +b ab

Tính giá trị biểu thức 2

a b

A

ab

+ =

(Trích đề thi Chuyên Phan Bội Châu năm 2015-2016)

Câu 98 Giả sử a, b, c số nguyên cho 2

c b

a + + chia hết cho Chứng minh

a, b, c đồng thời chia hết cho

(Trích đề thi Chuyên Vinh – NghệAn năm 2012-2013)

Câu 99. Chứng minh (53n+2 +22n+3)11, với số tự nhiên n

(Trích đề thi Chuyên Vinh – NghệAn năm 2007-2008)

Câu 100.Cho số nguyên dương x, y thỏa mãn x x chia hết cho 2 + + xy 1− Tính giá trị

của biểu thức = + + −

2

x x

A

xy

Câu 101.Cho S tập số nguyên dương n có dạng 2

3

= +

n x y , x, y số

nguyên Chứng minh rằng: a) Nếua b, ∈S ab∈S

b) Nếu N∈S N số chẵn N chia hết cho ∈ N

S

CH

UY

ÊN

Đ

Ề

S

Ố

H

Ọ

C

Câu 102 Tìm tất số nguyên tố p có dạng 2

p=a +b +c với a, b, c số nguyên

dương thỏa mãn 4

a +b +c chia hết cho p

(Trích đềthi Chuyên Sư phạm Hà Nội năm 2011-2012)

Câu 103. Chứng minh với số nguyên dương n, ta ln có

( )7 ( )7 ( )7

27n 10 10n 27 5n 10 27

 + +  + + +  + + + 

     

chia hết cho 42

(Trích đề thi Chuyên KHTN Hà Nội năm 2019-2020)

Câu 104. Với x, y số nguyên thỏa mãn đẳng thức 2

2

x  y  Chứng minh

2 40

x y 

(Trích đề thi Chuyên KHTN Hà Nội năm 2016-2017)

Câu 105. Tìm số ngun  x y; khơng nhỏ cho xy1 chia hết cho x1y1

(Trích đề thi Chuyên KHTN Hà Nội năm 2015-2016)

Câu 106 Có số nguyên dương có chữ số abcde cho abc10d e  chia hết cho 101?

(Trích đề thi Chuyên KHTN Hà Nội năm 2014-2015)

Câu 107 Tìm hai chữ số cuối số : A41106572012

(Trích đề thi Chuyên KHTN Hà Nội năm 2012-2013)

Câu 108 Tìm chữ số tận số 13 2009

2009

13 + +

(Trích đề thi Chuyên KHTN Hà Nội năm 2009-2010)

Câu 109 Cho m n, hai số nguyên Chứng minh rằng: 7(m+n)2+2mn chia hết cho 225

mn chia hết cho 225

(Trích đề thi Chuyên TP HồChí Minh năm 2019-2020)

Câu 110 Cho m, n số thực dương thỏa mãn 5mn m 5n Chứng minh m n (Trích đề thi Chuyên TP Hồ Chí Minh năm 2016-2017)

Câu 111. Cho x, y hai số nguyên dương thỏa mãn x2 y2 10 chia hết cho xy

a) Chứng minh x y hai số lẻ nguyên tố b) Chứng minh k x2 y2 10

xy

 

 chia hết cho k 12

(Trích đềthi Chun tốn TP HồChí Minh năm 2016-2017)

Câu 112. Cho x, y số ngun khơng đồng thời Tìm giá trị nhỏ

2

5 11

F = x + xy− y

CH

IN

H

P

H

Ụ

C

K

Ỳ

T

H

I H

Ọ

C S

IN

H

GI

Ỏ

I C

Ấ

P H

AI

Câu 113. Cho a b, số nguyên, chứng minh rằng: P=a b7 3−a b3 chia hết cho 30

Câu 114. Cho đa thức

a 5a 5a 6a 240

5

P=a − + + − + Chứng minh a số nguyên

thì P chia hết cho 120

Câu 115. Cho a b, số nguyên dương a+1,b+2007 chia hết cho Chứng

minh rằng: P=4a + +a b chia hết cho

(Vòng 1, THPT Chuyên – Đại học Quốc gia Hà Nội, năm học 2007-2008)

Câu 116 Cho P=(a b b c c+ )( + )( +a)−abc, với a b c, , số nguyên Chứng minh

nếu a b c+ + chia hết cho P chia hết cho

(Vịng 2, THPT Chuyên – TP Hà Nội, năm học 2005-2006)

Câu 117. a) Chứng minh không tồn số nguyên x y z, , cho:

2 2

560 647

x +y +z =

b) Chứng minh không tồn số nguyên a b c d, , , thoản mãn:

3 3

660 064

a + + +b c d = + + + +a b c d Câu 118. Chứng minh với số nguyên a thì:

a)

3a 53

P=a + + không chia hết cho 49

b)

5a 185

Q=a + + khơng chia hết cho 169

Câu 119 Tìm số tự nhiên n 2 2

1 n

P= + + + + khơng chia hết cho

Câu 120. Tìm số nguyên a cho:

a)

124

P=a − +a chia hết cho 121

b)

7 14

Q=a − a + a− chia hết cho a2+3 Bài 121

a) Tìm m để đa thức

( ) 21

A x =x − x + x + + −x m chia hết cho đa thức

2

( )

B x =x − −x

b) Tìm a b để đa thức f x( )=2x3−3bx2+2x+ −a chia hết cho x−1 x+2

Bài 122 Tìm đa thức A x( ), biết A x( ) chia cho x−5 dư 7, A x( ) chia cho x+3 dư −1 A x( )

chia cho

2 15

x − x− thương 2x3+1 dư Bài 123 Cho đa thức

1880 1840 1800 20 10

( ) , ( )

P n =n +n +n Q n =n +n +

Chứng minh với n∈Z P n( ) chia cho Q n( ) Bài 124: Cho a số nguyên dương Chứng minh rằng:

a) P=(a+4)(a+5)(a+ + +6) (2a+5)(2a+6) chia hết cho 2a+3 b) Q=(a+1)(a+2)(a+3) (3a−1)3a chia hết cho 3a

Bài 125: Tổng hai số tự nhiên chia hết cho tổng lập phương chúng chia hết cho

CH

UY

ÊN

Đ

Ề

S

Ố

H

Ọ

C

Bài 126 Chứng minh

20

m + m chia hết cho 48 với số chẵn m

(Thi học sinh giỏi TP Hồ Chí Minh 1979 – 1980 vịng 2)

Bài 127 Tìm tất số tự nhiên mà gạch bỏ chữ số số giảm 71 lần

(Thi học sinh giỏi TP Hồ Chí Minh 1982 – 1983 vịng 2)

Bài 128 Tìm số có hai chữ số; biết số chia hết cho thêm số vào chữ số cộng vào số tạo thành số hai lần chữ số hàng trăm số lớn gấp lần số phải tìm

(Thi học sinh giỏi TP Hồ Chí Minh năm học 1983 – 1984 Vòng 2)

Bài 129 Chứng minh ( 2)

3

x +y  x y chia hết cho

(Thi học sinh giỏi TP Hồ Chí Minh 1984 – 1985 vòng 2)

Bài 130 Một số gồm chữ số giống chia cho số gồm chữ số giống thương 16 số dư số r Nếu số bị chia số chia bớt chữ số thương khơng đổi số dư giảm bớt 200 Tìm số

(Thi học sinh giỏi TP Hồ Chí Minh 1986 – 1987 vòng 2)

Bài 131

a) Tìm số có ba chữ số cho tỷ số số tổng chữ số có giá trị lớn b) Chứng minh rằng:

( ) (4 )4

4

A= + −a b a− b− chia hết cho 16 với số nguyên a b

4n 60

B= + + n− chia hết cho 36 với số tự nhiên n

(Thi học sinh giỏi TP Hồ Chí Minh 1987 – 1988)

Bài 132

a) Chứng minh biểu thức ( )( )

2 n 2n

A= + + n −n chia hết cho 30 với số tự nhiên n

b) Chứng tỏ n=1988 số tự nhiên cho tổng chữ số S n( )

bằng ( )

1988 26

S n =n − n+

c) Chứng minh hai số: 1; ( 1)

n n

A= n+ B= + hai số nguyên tố với

số tự nhiên n

(Thi học sinh giỏi TP Hồ Chí Minh 1988 – 1989 vịng - vòng 2)

Bài 133

a) Cho hai số nguyên dương a b (a≥b) đề không chia hết cho Chứng minh rằng:

4

a −b chia hết cho

b) Cho số a a a1, 2, 3, ,an mà giá trị −1 Chứng minh

1 2 3 n

a a +a a +a a + +a a = n chia hết cho

c) Tìm tất số tự nhiên n cho: n+S n( )+S S n( ( ))=60 Trong kí hiệu S n( )

CH

IN

H

P

H

Ụ

C

K

Ỳ

T

H

I H

Ọ

C S

IN

H

GI

Ỏ

I C

Ấ

P H

AI

(Thi học sinh giỏi TP Hồ Chí Minh 1982 – 1983 vịng 2)

Bài 134 Cho số 1997 1993

1993 1997

M = +

a) Chứng minh rằng: M chia hết cho 15

b) Hỏi M tận chữ số nào? (có giải thích)

(Thi học sinh giỏi TP Hồ Chí Minh 1992 – 1993)

Bài 135. 1) Cho biết x y, , z số nguyên cho (x−y)(y−z)(z−x)= + +x y z Chứng

minh ta có: x+ +y z bội số 27

2) Chứng minh với k nguyên dương a số nguyên tố lớn

1

k a −

chia hết cho 240

(Thi học sinh giỏi TP Hồ Chí Minh 1995 – 1996)

Bài 136.

a) Tìm tất số nguyên dương n cho n.2n+3n chia hết cho

b) Tìm tất số nguyên dương n cho n.2n+3n chia hết cho 25

(Thi vào lớp 10 toán – tin P.T.N.K Đại học quốc gia TP Hồ Chí Minh)

Bài 137.

a) Chứng minh với n nguyên dương ta có:

( ) ( )

5n 5n 6n 3n 2n

A= + − + chia hết cho 91

b) Tìm tất cặp số nguyên tố p, q thỏa mãn phương trình sau:

2

2 2

5 p +1997=5 p +q

(Thi vào lớp 10 chuyên toán – tin ĐHSP Hà Nội 1997 - 1198)

Bài 138. Tìm tất số nguyên n P 1999n= 2+1997n 30+ chia hết cho 6n

Bài 139. a) Cho hai số tự nhiên a, b cho 1995

ab=1996 Hỏi a+b có chia hết cho 1995

hay không?

b) Cho hai số tự nhiên c, d cho cd=19911992 Hỏi c+d có chia hết cho 1992 hay

không?

(Thi vào 10 chuyên tốn Hà Nội – AMSTERDAM 1991)

Bài 140. Tìm số nguyên x, y thỏa mãn 3

x +y =1995

Bài 141.Cho *

n Chứng minh rằng: 2019 2019 2019

1

n

S     n chia hết cho

1 n

T     n

Bài 142.Cho m n, số nguyên dương, giả sử  

3

2

m n

A

n



 số nguyên lẻ Tìm giá trị bé A tìm m n, thỏa mãn giá trị Chứng minh cho câu trả lời

Bài 143.Tìm số nguyên dương a, b cho 1,

1

a b b a

a b

− +

CH

UY

ÊN

Đ

Ề

S

Ố

H

Ọ

C

Bài 143. Cho số tự nhiên a b c d e, , , , biết:a b c d+ + + + =e 3a=4b=5 ,c d+ =e 13 Tìm số

lớn số a b c d e, , , , .

Bài 144.Tìm tất số nguyên dương m, n cho 2

( )

m+n  m −n vàn+m2(n2−m)

Bài 145 Tìm số nguyên dương x, y cho 2xy−1chia hết cho (x−1)(y−1)

Bài 146 Tìm số nguyên dương x y, cho 4x +6x 32 + chia hết cho 2xy l−

Bài 147 Tìm số nguyên dương x, y cho

2

x − chia hết cho xy+2

Bài 148 Tìm số tự nhiên x, y cho 2

3

x + xy+y lũy thừa

Bài 149 Cho x, ylà số nguyên x, y≠ −1 cho

4

1

1

x y

y x

− + −

+ + số nguyên Chứng

minh: 44

1

x y − chia hết y+1

Bài 150.Xác định tất cá số nguyên tố p, q cho 1

1

n

p q

p q

+ − −

=

− − với n>1,n∈

Bài 151.Cho a b, số nguyên p số nguyên tố lẻ Chứng minh

p ước

của 2

a +b a a( + b)2thì p4cũng ước a a( +b)

Bài 152 Cho a b, ∈ a≠b thỏa ab a( +b)chia hết cho a2+ab b+ Chứng minh rằng:

3

a b− > ab

Bài 153 Cho n số nguyên dương Tìm tổng tất số chẵn nằm

1

n − +n n2+ +n

Bài 154 Cho m, n số nguyên dương, giả sử ( )

2

m n A

n

+

= số nguyên lẻ, tìm giá trị bé có A tìm m, n thỏa mãn giá trị Chứng minh cho câu trả lời

Bài 155 Tìm tất số nguyên n>1 cho với ước số nguyên tố n6−1

một ước ( )( )

1

n − n −

Bài 156 Tìm n để 100 0100 01

n n

M =    chia hết cho 37

Bài 157 Tìm tất số có năm chữ số abcde cho 3abcde =ab

Bài 158 Tìm chữ số a, b, c với a≥1 cho abc=(a b+ ) c

Bài 159 Tìm số có chữ số abc biết abc= + +a! b! c!

Bài 160 Cho số tự nhiên a, b Chứng minh:

a, 2

a +b chia hết cho a, b chia hết cho

b, 2

a +b chia hết cho a, b chia hết cho

c, 4

a +b chia hết cho 15 a, b chia hết cho

Bài 161 Tìm tất số nguyên dương m, n cho m n+ 2(m2−n) n m+ 2(n2−m)

Bài 162 Xét phân số

5

n A

n

+ =

+ Hỏi có số tự nhiên n khoảng từ đến

2017 cho phân số A chưa tối giản

Bài 163 Cho a, b∈ cho a b

b a

+ +

+ ∈ Chứng minh ước chung lớn

CH

IN

H

P

H

Ụ

C

K

Ỳ

T

H

I H

Ọ

C S

IN

H

GI

Ỏ

I C

Ấ

P H

AI

A.KiÕn thøc cÇn nhí

1.Định nghĩa số nguyên tố, hợp số.

1) Số nguyên tố số tự nhiên lớn 1, có ước số Ví dụ: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19

2) Hợp số số tự nhiên lớn có nhiều ước Ví dụ: có ước số: ; nên hợp số

3) Các số só ngun tố khơng phải hợp số 4) Bất kỳ số tự nhiên lớn có ước số ngun tố

2 Một số tính chất.

● Có vơ hạn số nguyên tố

• Nếu số nguyên tố p chia hết cho số nguyên tố q p q =

• Nếu tích abc chia hết cho số ngun tố p thừa số tích abc chia hết cho số nguyên tố p

• Nếu a b khơng chia hết cho số ngun tố p tích ab khơng chia hết cho số nguyên tố p

●Nếu A hợp số A có ước ngun tố khơng vượt q A

Chứng minh Vì n hợp số nên n=ab với a b, ∈,1< ≤ <a b n a ước nhỏ n

Thế

n≥a Do a≤ n

3 Phân tích số thừa số ngun tố:

•Phân tích số tự nhiên lớn thừa số nguyên tố viết số dạng tích thừa số ngun tố

+ Dạng phân tích thừa số nguyên tố số ngun tố số

+ Mọi hợp số phân tích thừa số nguyên tố, phân tích khơng tính thứ tự thừa số

Chẳng hạn A a b c , a, b, c số nguyên tố = α β γ α β, , , γ ∈N* Khi số ước số A tính (α+1)(β+1 ) (γ +1)

Tổng ước số A tính α − β+ − γ+ −

− − −

+1 1

a b. c a b c

CH

Ủ

Đ

Ề

CH

UY

ÊN

Đ

Ề

S

Ố

H

Ọ

C

4 Số nguyên tố nhau.

Hai số a b nguyên tố ( )a,b =1 Các số a, b, c nguyên tố (a,b,c)=1

Các số a, b, c đôi nguyên tố ( ) ( ) ( )a,b = b,c = c,a =1

5 Cách nhận biết số nguyên tố.

Cách 1

Chia số cho số nguyên tố từ nhỏ đến lớn: 2; 3; 5;

-Nếu có phép chia hết số khơng số ngun tố

-Nếu thực phép chia lúc thương số nhỏ số chia mà phép chia có số dư số số ngun tố

Cách 2

- Một số có hai ước số lớn số khơng phải số ngun tố

-Nếu A hợp số A có ước nguyên tố không vượt A

-Với quy tắt khoảng thời gian ngắn, với dấu hiệu chia hết ta nhanh chóng trả lời số có hai chữ số ngun tố hay khơng

B. MỘT SỐ DẠNG TOÁN SỐ NGUYÊN TỐ, HỢP SỐ

Dạng 1: Chứng minh số số nguyên tố hay hợp số

Bài toán 1.Nếu p p28 số nguyên tố p22 số nguyên tố Hướng dẫn giải

Xét p3k1 (k nguyên) p28 3 , hợp số Xét p3k2 p28 3 , hợp số

Vậy p3k, mà p số nguyên tố nên p3

Khi

2 11

p   , số nguyên tố

Bài toán Chứng minh

4

+

n số nguyên tố n=1

Hướng dẫn giải Ta có: 4 4 2 2 ( 2 )2 ( )2

4 4 2

+ = + + − = + −

n n n n n n

( )( ) ( )2 ( )2

2 2  1   1

= n + − n n + + n = n− +   n+ + 

Nếu n>1 hai thừa số lớn Như n4+4 số nguyên tố n=1

Bài toán 3. Chứng minh với số tự nhiên n>1thì

1

CH

IN

H

P

H

Ụ

C

K

Ỳ

T

H

I H

Ọ

C S

IN

H

GI

Ỏ

I C

Ấ

P H

AI

Hướng dẫn giải Ta có: ( )( )

1 1

n +n + = n + +n n − +n

Mà n>1 nên

1

n + + >n suy n5+n4+1 hợp số

Bài toán 4. Chứng minh 2n −1 số nguyên tố (n>2) 2n+1 hợp số Hướng dẫn giải

Trong ba số nguyên 2n−1; ; 2n n+1 có số chia hết cho Mặt khác, 2n không chia hết cho 3, hai số 2n −1; 2n +1 phải có số chia hết cho 3, nghĩa hai số phải có hợp số Để cho 2n−1 số nguyên tố (n>2) nên chắn

chắn 2n+1 hợp số

Bài toán 5. Cho p 8p−1 số nguyên tố Chứng minh 8p+1 hợp số

Hướng dẫn giải Vì 8p−1 số nguyên tố nên p≠2

Nếu p=3 8p+ =1 25 hợp số

Nếu p>3 8p(8p−1 8)( p+1)3 Vì p 8p−1 số nguyên tố lớn nên 8p+1 chia hết cho hay 8p+1 hợp số

Bài toán 6. Chứng minh với số nguyên dương n, chọn 2020 2019

1

n +n +

số nguyên dương liên tiếp mà tất hợp số Hướng dẫn giải Xét ( 2020 2019 )

1 ! 2

A = n +n + + 

( )

( ) ( )

2020 2019

2020 2019

2020 2019 2020 2019 2020 2019

2 ! 3

2 ! 2

n n

A n n

A + + n n n n n n

= + + +

= + + + + + + +





Dãy 1 2 2020 2019

1 , , ,

n n

A A A + + hợp số liên tiếp

Dạng 2: Chứng minh sốbài tốn có liên quan đến tính chất sốnguyên tố

Bài toán Chứng minh nếup p+2 hai số nguyên tố lớn tổng

chúng chia hết cho 12

CH

UY

ÊN

Đ

Ề

S

Ố

H

Ọ

C

Ta có : p+(p+2) (=2 p+1)

• p số nguyên tố lớn nên p số nguyên tố lẻ, suy :

( )

1 2

p+  ⇒ p+  (1)

• p p, +1,p+2 ba số nguyên liên tiếp nên có số chia hết cho 3, mà p p +

không chia hết :

( )

1 3

p+  ⇒ p+  (2)

Từ (1) (2) suy : 2(p+1 12.) (đpcm)

Bài toán 2.Chứng minh ước nguyên tố 2014! 1− lớn 2014

Hướng dẫn giải

Gọi p ước nguyên tố 2014! 1−

Giả sử p≤2014⇒1.2.3 2014 p⇒2014! p

Mà (2014! 1− ) p nên 1 p Điều mâu thuẫn dẫn đến p>2014

Bài toán 3. Cho số p= +bc a q, =ab+c r, = +ca b số nguyên tố (a b c, , ∈N*)

Chứng minh ba số p, q, r có hai số Hướng dẫn giải

Trong số a b c, , có hai số tính chẵn lẻ

Giả sử hai số tính chẵn lẻ a b