Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 9 của Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Phú Thọ năm 2018- 2019

Ta có a b c , , cùng chẵn nên đương nhiên chọn bất kỳ cặp nào cũng có tổng và cả hiệu của chúng là số chia hết cho 2. Hai trường hợp đầu có 3 cặp số thỏa mãn đầu bài. Hai trường hợp cu[r]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CÁC MƠN VĂN HĨA LỚP CẤP TỈNH NĂM HỌC 2018-2019

Môn: Toán Thời gian: 150 phút A TRẮC NGHIỆM (8 điểm)

Câu Có tất số nguyên dương nsao cho

2 1024

15

n



là số tự nhiên

A B C D

Câu Cho hình thang ABCDcó hai cạnh đáy AB CD, cho AB4,CD9,

DABDBC Độ dài đường chéo BDbằng:

A B C D 10

Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường thẳng di qua điểm M 2;5 song song với đường thẳng y2xcó phương trình là:

A y2x1 B y2x1 C y  2x D y  2x

Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,cho hai điểm A 2;3 B 6;1 Độ dài đường cao hạ từ đỉnh O tam giác OAB bằng:

A

2 B

5

2 C D

2

Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,cho bốn điểm A  2;3 ;B 2; ;  C  2; 2,D3;3 Diện tích tứ giác ABCD bằng:

A 15

2 B

15

2 C 15 D 30

Câu Cho bốn điểm A B C D, , , nằm đồ thị hàm số y x2sao cho ABCDlà tứ giác lồi nội tiếp đường trịn đường kính AC.Gọi M x y 1; 1 ;N x y2; 2lần lượt trung điểm

,

AC BD Giá trị y1y2 bằng:

A B

2 C D

Câu Cho tam giác ABC vuông A có AB3,AC 4và phân giác AD Giá trị

DCDBbằng: A

7 B

3

7 C

4

7 D

5

Câu Gọi S tập nghiệm phương trình, số nghiệm phương trình

1 2019 2019 2020

x   x  x x  x là:

A B C 2019 D 2020

Câu 10 Biết x 2  2 3là nghiệm phương trình x3a1x2a0

Giá trị  a a2 1bằng: A

2



B 1 C 2



D 1

Câu 11 Cho tam giác ABCvuông A có đường cao AH,trung tuyến AM Biết 24

25

AH

A 3,5 B C 8,75 D 14

Câu 12 Cho tam giác ABCvng A có AB 5, đường cao AH 2.Kẻ HK vng góc AC K( thuộc AC) Độ dài CK bằng:

A

2 B

2 C

5

2 D

16 5

Câu 13 Một học sinh đứng mặt đất cách tháp ăng-ten 100m Biết học sinh nhìn thấy đỉnh tháp góc 19 so với đường nằm ngang, khoảng cách từ mắt đến mặt đất 1,5 m Chiều cao tháp (làm tròn đến đơn vị mét) bằng:

A 34 B 35 C 36 D 38

Câu 14 Tỉ số bán kính đường trịn nội tiếp bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác là:

A

4 B

1

3 C

1

2 D

2

Câu 15 Cho tam giác ABC vuông A, đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC D Biết BD2DC10.Diện tích tam giác ABCbằng:

A 25 B 50 C 50 D 100

Câu 16 Có tất cách xếp bạn An, Bình, Cường, Thắng , Việt ngồi thành hàng ngang cho hai bạn Thắng Việt không ngồi cạnh

A 48 B 72 C 96 D 118

B Tự luận (12 điểm) Câu (3,0 điểm)

a) Chứng minh số nguyên dương đôi phân biệt tồn số có tổng hợp số

b) Bạn Thắng chia số 2018 cho 1;2;3;4…;2018 viết 2018 số dư tương ứng sau bạn Việt chia số 2019 cho 1;2;3;4;….;2019 viết 2019 số dư tương ứng Hỏi có tổng số dư lớn lớn

Câu (3,0 điểm)

a) Giải hệ phương trình:  

 

3

2

3 32

x y xy

x y x y

   

 

    



b) Giải phương trình:   

1

10 11

x x x

x

     

 

 

Câu (5,0 điểm)

Cho tam giác ABCnội tiếp  O ,D thuộc đoạn BC (D không trùng B, C)  O' tiếp xúc với O K, tiếp xúc với đoạn CD AD, F, E Các đường thẳng KF KE, cắt (O) M, N

a) Chứng minh MN / /EF

b) Chứng minh MCtiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác KFC

c) Chứng minh EF qua điểm cố định Dchạy BC

Câu (1,0 điểm) Cho số thực x x1, 2, ,xn 0;1

ĐÁP ÁN Câu 1,

a) Áp dụng quy tắc chẵn – lẻ Xét trường hợp sau:

Ta có a b c, , chẵn nên đương nhiên chọn cặp có tổng hiệu chúng số chia hết cho

Ta có a b c, , củng lẻ nên đương nhiên chọn cặp có tổng hiệu chúng số chia hết cho

Ta có a b c, , có cặp số lẻ nên hiệu tổng số lẻ chiaa hết cho , ,

a b ccó cặp số chẵn nên hiệu tổng số chẵn chia hết cho

Hai trường hợp đầu có cặp số thỏa mãn đầu Hai trường hợp cuối có cặp số thỏa mãn đầu Vậy có cặp số mà tổng hiệu chúng chia hết hợp số

Áp dụng quy tắc số dư Ta thấy phép chia cho số dư 0,1,2 ,3,4, Xét trường hợp:

*Cả số có số dư khác 0,1,2,3 ; 0,2,3,4 ; 0,1,4,2 ; 0,4,2,3      1, 2,3,  có cặp số có số dư 1 4 hoặc 2 3 nên tổng cặp số chia hết cho Với nhóm số dư 1, 2,3, nên suy cặp có tổng chia hết cho 

*Cả số có số dư trùng nên cặp đơi có hiệu nên chia hết cho *Cả cặp số có số dư trùng nên hiệu cặp số chia hết cho

*Cả cặp có số dư trùng nên hiệu cặp số chia hết cho

Vậy chọn cặp số mà tổng hiệu chúng chia hết cho Hay số nguyên dương đơi phân biệt ln tồn số có tổng hợp số

b) Gọi T tổng số dư Thắng, V tổng số dư Việt Gọi t1; t2018là số dư chia 2018cho 1,2, ,2018; gọi v1; v2019là số dư chia 2019 cho 1,2 2019.Ta thấy rằng: T   t1 t2 t2018;V    v1 v2 v2019 với i1,2,3, 2018 Nếu

1

2019 i v 0  ti i Nếu v1 i 1  v1 ti

 1  1  2018 1 2019 2018 2019

V t t t S T S

            Trong

2019

S tổng ước không vượt 2018của 2019 Ta có 2019 1.3.773 Suy 2019 677

S  nên ta có V  T 2018 677  T 1341.Suy V T

Và V  T 1341

Câu

a) Ta có:  

 

 

 3    

3

2

2

3 32 3 32

x y xy

x y xy

x y x y x y xy x y x y

   



   

 

 

           

 

 

Ta đặt  

,

x y s xy p s  p Khi hệ tương đương với :

3

2

3 32

s p

s ps s

   



   

b) Điều kiện xác định: x0

     

  

2

2 4 3 2

2

2

2

9 21 1 12

1 17

4 8

4

3 1 13

6 17 13

;

8

x x x x x x x x

x

x

x x

x x x x

x x

x

S

             

 

 

 

 

    

        



   

 



   

 

  

 

 

Câu

a) Qua K kẻ tiếp tuyến chung  d với  O  O' Gọi H giao (d) BC / /

KEF FKH MNK MN EF

b) Ta có tam giác HKFcân H suy HKF HFK MBMCsuy AMlà phân giác BAC.Suy BCM MKCnên ta có MClà tiếp tuyến KFC

I

H

M N

O A

O'

B D C

K

c) Gọi AMcắt EF I Ta chứng minh I cố định Thật vậy, ta có AKN  AMN  AIE

nên tứ giác AEIKnội tiếp

Suy DEF EKF EAIEIAEKI IKEEIAIKFhay MIF IKF Suy MIF MKI g g( )MI2 MK MF (1)

Ta có MClà tiếp tuyến KFCsuy MC2 MF MK (2) Từ (1) (2) suy MI MK.Lúc ta có:

MICMCI IACICAMCBBCI ICABCI

Nên CI phân giác ABC,mà AM phân giác BAC nên I cố định

Câu

Áp dụng BĐT AB2 4AB với A1;B x1 xnta có:

 2  

1 3

1 x x  x xn 4 x x  x xn với x x1, 2, xn 0;1 Nên x x1 1  1 x12    x1 x1 x12.Tương tự ta có:

2 2 2

2 2; ; n n n n

x x x x  x x  x x x x x  x

Suy 1 x1 x2  x3 xn2 4x1x2 x3 xn4x12x22x32 xn2