Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 Sở Giáo dục và đào tạo Quảng Trị năm 2018 - 2019

và tứ giác EFHC nội tiếp b) Chứng minh rằng HD là tia phân giác của EHF. c) Chứng minh rằng F là trung điểm của MN[r]

SỞ GD&ĐT QUẢNG TRỊ ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP NĂM HỌC 2018-2019

MÔN: TOÁN

Câu Cho a 4 102  4 102

a) Chứng minh alà nghiệm phương trình a2 2a 4 b) Tính giá trị

4

2

4

2 12

a a a a

P

a a

   



 

Câu a) Giải hệ phương trình

3

8 2 x y

x y xy    

  



b) Giải phương trình x1x2x3 2 x4x5360 Câu

a) Chứng a2 b2 c2 ab bc cavới số thực a b c, ,

b) Cho a b c, , 1và abacbc9.Tìm GTNN GTLN Pa2 b2 c2

Câu Cho ABCvuông A AC AB.Gọi H hình chiếu vng góc Atrên BC, D điểm nằm đoạn thẳng AH(D khác ,A H).Đường thẳng BDcắt đường trịn tâm C bán kính CA E F (Fnằm B D), M điểm đoạn thẳng ABsao cho

2

ACF  BFM, MF cắt AH N

a) Chứng minh BH BC BE BF tứ giác EFHCnội tiếp b) Chứng minh HDlà tia phân giác EHF

c) Chứng minh Flà trung điểm MN

Câu Cho số nguyên a b c, , thỏa mãn

2

2 2

2

a c c

a b  a c  bc Chứng minh bc

ĐÁP ÁN Câu

a) Ta có:

  

   

2

2

2

8 10 10

8 5

5 5 2

a

a a a a a a

        

      

             

Nên alà nghiệm phương trình a2 2a 4 b) Ta có:

   

4 3 2

2

2 2

2

2 4 8

2 16

2 2 4 8 1

2 16 16

a a a a a a a a

P

a a

a a a a a a a a

a a                             Câu

a) Hệ phương trình    

2

3

2

x y x y xy

x y xy

     

  



   



.Đặt x y a xy b       với

a  b

Ta có:

   

3

3 16

2 16 16 2

2

a a b a ab

a a a a a a

b a a b                            

3 2

2

2 14 16 2

a a a a a

a a a

      

    

Vì 2a2 7a 8 vô nghiệm, nên a  2 b Hệ có nghiệm      x y;  0;2 ; 2;0  b) Phương trình : x2 6x5x26x8x2 6x9360

Đặt

6

x  x t, ta có:

     

Vì t2 12t720vô nghiệm nên 0 x

t x x

x        

   Vậy S 0; 6 

Câu

a) Ta có : 2a2 b2c22ab bc ca 0 a b  2  b c 2 c a2 0 Dấu " " xảy a b c

b) Vì a b c, , 1nên

  

  

  

 

1 1

1 1 12

1 1

a b a b ab

b c b c bc a b c ab bc ca

c a ca

c a

  

    

 

              

 

       

 

 2 2 2 2 2 2 2

6 36 2.9 36 18

a b c a b c a b c a b c

                

Vậy GTLN Plà 18, đạt a b c; ; là hoán vị 1;1;4  Mặt khác a2 b2 c2 ab bc ca9nên GTNNcủa P Đạt

3

Câu

a) Ta có: FAB AEB BAF BEA BF BA BA2 BE BF

BA BE

       

áp dụng hệ thức lượng tam giác vng BA2 BH BC BH BC BE BF

BH BF

BHF BEC BHF BEC

BE BC

       nên tứ giác EFHCnội tiếp

b) Ta có BHF BECCFE CHEmà AHB AHC 900nên AHF AHEHDlà tia phân giác EHF

c) Gọi K giao điểm AHvới (C) , chứng minh BKlà tiếp tuyến đường trịn (C) , ta có 2BFM ACF 2AEF

K

N

E F

H

A C

B

/ /

BFM AEF MN AE ANM KAE

     lại có : NAM  AEK

(1)

MN AN

AMN EKA

KA EA

     Do

180

AFN FAE

0 1

180

2

EKF FAE  AFN EKF  ECF  EHF  AHE

Hay AFN AHE ANM; HAE AFN EHA AN NF (2)

EA AH

      

Từ (1) (2) ta có: 2 2

MN NF NF NF

MN NF FM FN

KA  AH  AH  KA    

Câu

Ta có:

2 2

2 2 2 2

2

0

a c c a c c c

a b  a c bc  a b bca c bc 

   

  

   

           

2 2 2 2

2 2 2 2

a b c c a b c b c c a c b a bc c a bc

b c a b b c a c b c a b b c a c

        

     

       

  

   

   

2

2 2 2 2

2

0

0

a bc b c

a bc b c

b c a b a c b c a b a c

a bc b c

 

  

     

       

   