Đề thi học sinh giỏi toán 9 Sở Giáo dục và đào tạo tỉnh Sơn La năm 2018 - 2019

Vẽ đường tròn tâm O thay đổi nhưng luôn đi qua B và C(O không nằm trên đường thẳng ).[r]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH SƠN LA

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2018-2019

MƠN THI: TỐN Ngày thi: 18/03/2019 Câu (3,0 điểm)

Cho biểu thức

3

6

3 3

x x

A

x x

x 

 

 



Tìm giá trị nguyên xđể biểu thức Anhận giá trị nguyên Câu (4,0 điểm)

Cho phương trình  

2 3 (1)

x  m x m 

a) Tìm msao cho phương trình  1 có hai nghiệm phân biệt x x1, 2thỏa mãn biểu thức M x12 x22 5x x1 2đạt giá trị nhỏ

b) Xác định mđể phương trình  1 có hai nghiệm phân biệt lớn Câu (5,0 điểm)

a) Giải phương trình: 2 213

2 3

x x

x  x  x  x  b) Giải hệ phương trình:

3

3

2 12

8 12

x xy y

y x

   

 

  

Câu (6,0 điểm) Cho điểm , ,A B Ccố định nằm đường thẳng d(B nằm A C) Vẽ đường tròn tâm O thay đổi qua B C(O không nằm đường thẳng ).d Kẻ AM AN, tiếp tuyến đường tròn tâm O M N Gọi Ilà trung điểm BC,AO cắt MNtại H cắt đường tròn điểm Pvà Q(Pnằm Avà O), BC cắt MNtại K

a) Chứng minh điểm O M N I, , , nằm đường tròn b) Chứng minh điểm Kcố định đường tròn tâm Othay đổi

c) Gọi Dlà trung điểm HQ,từ Hkẻ đường thẳng vng góc với MDcắt đường thẳng MPtại E Chứng minh Plà trung điểm ME

Câu (2,0 điểm)

Cho hình vuông ABCDvà 2019 đường thẳng phân biệt thỏa mãn: đường thẳng cắt hai cạnh đố hình vng chia hình vng thành phần có tỷ số diện tích

ĐÁP ÁN Câu

Ta có: 3x2 3x 4  3x 12   3 0; x

Nên điều kiện để Acó nghĩa  3x 3 8  3x2 3 x2 3x4  0; x

0 4

0

3

x x x                    3

6

3

3

6 3

3 3

3 4

0

3

3 3

x x

A

x x

x

x x x

A

x x x

x x

A x

x

x x x

                            

Với xnguyên dương, để biểu thức Anhận giá trị ngun

3x 2ngun Khi đó:

3

3 3

3 1

3 3 x x x x x x x                    

Vì xnguyên dương nên x3, A1 Vậy x3 Câu

a) PT (1) có hai nghiệm phân biệt ' (*) m m m m           

Với ĐK (*) phương trình có hai nghiệm x x1, 2.Ta có:

 

1

1

2

3

x x m

x x m

   



  

 2  2  

2

1 2 2

2

5 3

1 81 81

4

4 16 16

M x x x x x x x x m m

M m m m

         

 

         

 

Dấu " " xảy

Vậy 81

16

MinM     m

b) ĐK:  ' m2 5m 4 (*)

Đặt x    1 t x t 1thay vào phương trình (1) ta được:

    

 

2

2

1 1 3

2 (2)

t m t m

t m t m

      

    

Phương trình  1 có hai nghiệm phân biệt xlớn PT(2)có hai nghiệm phân biệt tlớn

  

2 1 4 0

' 4

0 0 4( )

0 4

m m

m m m m

P m m m m tmdk

S m m m

  

 

       

 

 

 

         

         

   

Vậy m4 Câu

a) Với x0,phương trình (1) có dạng 6 (vô lý) Vậy x0không nghiệm phương trình (1) 0,

x ta có:  1 13

3

2x 2x

x x

  

    Đặt 2x t,

x

  PT (1) trở thành: 13

5

t t 

2

1 39 33 11

2 t

t t

t   

    

  

+)Với t 1ta có PT 2x 2x2 x x

      , có  0nên phương trình VN

+)Với 11

t  ta có PT

2 11

2 11 3

2

4 x

x x x

x x

         

   Vậy 2;3

4 S   

 

b) Giải hệ phương trình:

3

3

2 12 (1)

8 12 (2)

x xy y

y x

   

 

  

Nếu y0thì từ (1) suy x0khơng thỏa mãn phương trình (2) Xét y0, PT (3)

3

2

x x x

y y y

   

          

Đặt x t

y  ta được:

3

2 t    t t   

2

2

2

4 0( )

t

t t t t

t t VN

  

           



Với t    2 x ,y thay vào (2) 1

1

y x

y

y x

    

       

Vậy hệ phương trình cho có nghiệm 2;1 ; 2; 1    Câu

a) I trung điểm BC(dây BC không qua O)OI BCOIA90 Ta có: AMO900(do AMlà tiếp tuyến (O))

0

90

ANO (do ANlà tiếp tuyến (O))

Suy điểm , , ,O M N I thuộc đường trịn đường kính OA

E

D

K H

Q P

I N M

O B

b) Ta có AM AN, hai tiếp tuyến với (O) cắt A nên OAlà tia phân giác MONmà OMNcân Onên OAMN

1

&

ABN ANC ANB ACN sd NB CAN chung

     

 

2

(1)

AB AN

AB AC AN

AN AC

   

+)ANOvuông N đường cao NH nên ta có AH AO  AN2(2) Từ (1) (2) suy AB AC  AH AO (3)

 

90 &

AHK AIO AHK AIO OAI chung

   

(4)

AH AK

AK AI AH AO

AI AO

   

Từ (3) (4) suy AI AK AB AC AK AB AC AI

  

Mà A B C, , cố định nên Icố định suy AKcố định, K giao điểm dây BCvà dây MNnên K thuộc tia ABsuy K cố định

c) Ta có PMQ900(góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) Xét MHEvà QDMcó MEH DMQ(cùng phụ với DMP),

EMH MQD(cùng phụ với MPO)

  ( ) ME MH *

MHE QDM g g

MQ DQ

    

 

90 ;

PMH MQH MHP QHM PMH MQH

    

(**)

MP MH MH

MQ HQ DQ

  

Từ (*) (**) suy 2

MP ME

ME MP P

Câu

Gọi MN EF, đường nối trung điểm hai cạnh đối hình vng (hình vẽ)

Giả sử đường thẳng d1cắt cạnh AB A1cắt MN I cắt cạnh CD B1.Ta có tứ giác AA B D1 1 BCB A1 1là hình thang có MI NI, đường trung bình hai hình thang Khi đó:

 

 

1

1

1

AA

1

1

2

2

1 2 2

2

B D A BCB

AD AA DB

S IM IM

S BC A B B C IN IN



   



Suy MI

MN  nên

1

MI  MN, điểm Icố định Lập luận tương tự ta tìm điểm H J K, , cố định

( , ,I J H K, chia đoạn thẳng cố định MN NM EF FE, , , theo tỉ số 1: 2)

Có điểm cố định mà có 2019 đường thẳng qua nên theo ngun lý Dirichle phải có 505 đường thẳng đồng quy

B1 I A1

N

F M

E

C D

A B

J H