Tạp chí toán tuổi thơ 2 kỳ số 129

Trong bµi viÕt nµy, chóng t«i xin ®ða ra c¸ch khai th¸c, më réng vµ tæng qu¸t mét bµi to¸n tÝnh nhanh.. Trðíc hÕt chóng ta xÐt bµi to¸n sau:..[r]

2 Định lí

Cho khc góc bt Trn tia Mx lÊy hai ệiÓm A vộ B, trến tia My lÊy ệiÓm T (A, B vộ T khịc M) cho MT2 MA.MB thừ MT lộ tiạp tuyạn cựa ệđêng trưn ngoỰi tiạp tam giịc ABT

Chøng minh

Xét hai tam giác AMT TMB có: chung; (vì MT2 MA.MB)

Suy AMT TMB (c.g.c)

Do (1)

Gải tia Tz lộ tia tiạp tuyạn cựa ệđêng trưn ngoỰi tiạp tam giịc ABT (Tz, TM nỪm cỉng nỏa mẳt phỬng bê TB) thừ (2)

Tõ (1) vµ (2) suy

Suy hai tia Tz vộ TM lộ hai tia trỉng VẺy tia MT lộ tiạp tuyạn cựa ệđêng trưn ngoỰi tiạp tam giịc ABT

2 C¸c vÝ dơ minh häa

VÝ dô 1.Cho ệđêng trưn (O) vộ dẹy cung AB Gải M lộ ệiÓm chÝnh giọa cựa cung AB ậiÓm C bÊt kừ thuéc dẹy AB Tia MC cớt ệđêng trưn (O) tỰi D Chụng minh rỪng MA lộ tiạp tuyạn cựa ệđêng trưn ngoỰi tiạp tam giịc ACD

Giải Ta có (vì M điểm cung AB) (1)

Ta lại có (hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung MA) (2)

Tõ (1) vµ (2) suy MAC MDA (g.g) , suy MA2 MC.MD

VẺy MA lộ tiạp tuyạn cựa ệđêng trưn ngoỰi tiạp tam giịc ACD

VÝ dô 2.Cho ệđêng trưn (O) ệđêng kÝnh AB LÊy mét ệiÓm C tỉy ý nỪm giọa O vộ A Vỳ ệđêng trưn (O1) ệđêng kÝnh BC Qua trung ệiÓm H cựa AC vỳ dẹy PQ cựa ệđêng trưn (O) vuềng gãc vắi AB ậđêng thỬng QC cớt ệđêng trưn (O1) tỰi ệiÓm thụ hai M Chụng minh rỪng HM lộ tiạp tuyạn cựa ệđêng trưn (O1)

Giời Ta cã (gãc néi tiạp chớn nỏa ệđêng trưn)

Suy PH2 AH.HB HC.HB (1)

Tụ giịc APCQ lộ hừnh thoi (vừ cã hai ệđêng chĐo vuềng gãc vắi tỰi trung ệiÓm cựa mẫi ệđêng)

o APB 90 MA MC

MD MA

ADM ABM MAC MBA

ATM ATz ATz MBT ATM MBT

MT MB MA MT

3 Do QM // AP nên QM BP

Ta lỰi cã (gãc néi tiạp chớn nỏa ệđêng trưn)

Suy ba ®iĨm B, M, P thẳng hàng

Xt tam gic PMQ vuềng tỰi M cã ệđêng trung tuyạn MH nến

Suy MH PH (2)

Tõ (1) vµ (2) suy HM2 HC.HB

VẺy HM lộ tiạp tuyạn cựa ệđêng trưn (O1) VÝ dô 3.Cho hừnh thoi ABCD cã ậđêng thỬng khềng cớt hừnh thoi qua D cớt cịc ệđêng thỬng BA, BC lẵn lđĩt tỰi E, F Gải M lộ giao ệiÓm cựa AF vộ CE Chụng minh rỪng AD lộ tiạp tuyạn cựa ệđêng trưn ngoỰi tiạp tam giịc MDF

Gi¶i

Vì tứ giác ABCD hình thoi có nên AB // CD; AD // BC ACD tam giác đều, từ AC CD AD

XÐt hai tam gi¸c AED vµ CDF cã Suy AED CDF (g.g)

Do

Ta l¹i cã

Suy CAE FCA (c.g.c)

Do

Từ ACM AFC (g.g)

Suy AC2 AM.AF, từ AD2 AM.AF

VẺy AD lộ tiạp tuyạn cựa ệđêng trưn ngoỰi tiạp tam giịc MDF

Bµi tËp vËn dông

Bội Cho tam giịc ABC cã ba gãc nhản néi tiạp ệđêng trưn (O) Gải P lộ mét ệiÓm nỪm tam

giịc cho ờng

thẳng AP cắt BC M

a) Chụng minh rỪng MB lộ tiạp tuyạn cựa ệđêng trưn ngoỰi tiạp tam giịc ABP vộ MC lộ tiạp tuyạn cựa ệđêng trưn ngoỰi tiạp tam giịc ACP

b) ậđêng trung trùc cựa AP cớt BC tỰi Q Chụng minh rỪng QA tiạp xóc vắi ệđêng trưn (O) vộ QP lộ tiạp tuyạn cựa ệđêng trưn ngoỰi tiạp tụ giịc BHCP (vắi H lộ trùc tẹm tam giịc ABC)

Bội Cho ệđêng trưn (O) vộ mét ệiÓm A nỪm ngoội ệđêng trưn Qua A vỳ hai cịt tuyạn cớt ệđêng trưn (O) tỰi B, C vộ D, E (B nỪm giọa A vộ C, D nỪm giọa A vộ E) ậđêng thỬng qua D song song vắi BC cớt ệđêng trưn (O) tỰi ệiÓm thụ hai F ậđêng thỬng AF cớt ệđêng trưn (O) tỰi ệiÓm thụ hai G ậđêng thỬng EG vộ BC cớt tỰi M Chụng minh rỪng MA lộ tiạp tuyạn cựa ệđêng trưn ngoỰi tiạp tam giịc AGE

Bội 3.XĐt hừnh vuềng ABCD vộ mét ệiÓm E bÊt kừ trến cỰnh BC Tia Ax vuềng gãc vắi AE cớt CD kĐo dội tỰi F KĨ ệđêng trung tuyạn AI cựa tam giịc AEF vộ kĐo dội cớt CD tỰi K ậđêng thỬng qua E vộ song song vắi AB cớt AI tỰi G Chụng minh rỪng:

a) AE AF tứ giác EGFK hình thoi;

b) FA lộ tiạp tuyạn cựa ệđêng trưn ngoỰi tiạp tam giịc ACK tỰi K

CAP PCB BAP PBC;

AC AM AF AC

ACE CFA o CAE 120 FCA

AE CD AE AC

AD CF AC CF

AED CDF; ADE CFD

o B 60

o B 60

MH PQ

4 NhẺn xĐt.TÊt cờ cịc bỰn ệÒu chử chẫ sai cựa lêi giời ệở cho lộ: cịch nhãm nhđ vẺy cịc sè hỰng 54, 55, , 597 ệđĩc tÝnh hai lẵn Tuy vẺy, nhiÒu bỰn lỰi khềng chử cịch nhãm khịc ệÓ giời bội toịn, còng cã bỰn chử cịch lộm khịc nhđng vÉn giời sai

Lời giải Với nhận xét

5n 5n+3 5n(53 1) 5n.126 126, n , ta cã thĨ nhãm theo c¸ch sau:

P (5 52 53 54) (55 56 510) (595 596 5100)

(52 53) (5 54) [(55 58) (56 59) (57 510)] [(595 598) (596 599) (597 5100)] 150 126(5 55 56 597) Suy P kh«ng chia hÕt cho 126

Nhð đề sai Ta sửa lại đề cách tăng thêm cho tổng số hạng 5101, 5102để P nhóm thành nhóm có số hạng liên tiếp Khi tổng chia hết cho 126 Một cách tổng quát, số số hạng tổng, với số mũ số tự nhiên liên tiếp, phải bội

Ta thay câu hỏi đề là: chứng minh P không chia hết cho 126

Cịc bỰn sau ệđĩc nhẺn thđẻng: NguyÔn ậục Bừnh, 9B, THCS Lý Tù Trảng, Bừnh Xuyến, Vỵnh Phóc; Ngun Duy Trảng, 9H, THCS ậẳng Thai Mai, TP Vinh, Nghỷ An; Quờn ậục Bừnh, 9A1, THCS Lẹm Thao, Lẹm Thao, Phó Thả

anh kÝnh lóp Bội toịn.Giời phđểng trừnh x2 x (1)

Lời giải.(của bạn học sinh) Ta có (1) x2 x (2)

Mặt khác (1) x2 x x(x 1) (3)

Thạ (2) vộo (3) ta ệđĩc x( x2) x3 x VẺy x lộ nghiỷm cựa phđểng trừnh (1)

Bội giời trến chử dỉng biạn ệữi chuyÓn vạ vộ thay thạ, lộ nhọng biạn ệữi tđểng ệđểng Thạ nhđng thỏ x vộo (1) thừ lỰi khềng tháa mởn Cịc bỰn cã biạt vừ khềng?

5

Trong hình A, B, C, D, E, F chọn hình để điền vào dấu ? cho quy luật

trđểng cềng thộnh(sđu tẵm)

Trến ệẹy lộ mét ệoỰn vẽn miếu tờ cẽn phưng Cịc bỰn cã tến sau ệđĩc nhẺn thđẻng: NguyÔn Thỡ Tuyạt Nhung, ậẫ Thỡ Nhung, 8A, THCS ThỰch ậăng, Thanh Thựy, Phó Thả;ậẳng Thỡ Hđêng, 8B ; Chu Thỡ Hời Yạn, 7A3, THCS Yến Phong, Yến Phong,Bớc Ninh

Vò §« Quan

Quy luật hình cho, chấm đen nằm phần chung (giao) hình: hình trịn, hình tam giác hình lục giác Nhð hình phù hợp với hình cho hình E (lðu ý: hình D có tính chất giống nhðng có hình ngũ giác)

TÊt cờ cịc bỰn tham gia gỏi bội ệÒu cho ệịp ịn ệóng, nhđng xin nhđêng phẵn thđẻng cho cịc bỰn lắp bĐ nhÊt:

Cao Minh Nguyỷt, 6C, THCS Vỵnh Tđêng, Vỵnh Tđêng, Vỵnh Phóc; Ngun Tn Du, 6A2, THCS Yến Phong, Yến Phong, Bớc Ninh;ậẳng Quang Viỷt Anh, 6A, THCS Phđểng Tó, ụng Hưa, Hộ Néi;Trẵn Thạ Trung, 6A, THCS

Đặng Thai Mai, TP Vinh, Nghệ An;Hoàng Thị Linh Đan, 6/5, THCS Lê Văn Thiêm, TP Hà TÜnh, Hµ TÜnh

Cịc bỰn sau ệđĩc tuyến dđểng: NguyÔn Minh HỰnh, 7A, THCS ThỰch ThÊt, ThỰch ThÊt, Hộ Néi;

Trẵn Minh Hiạu, 7C, THCS Vẽn Lang, TP Viỷt Trừ, Phó Thả;Lế Khịnh Ly, 7A1, trđêng phữ thềng Hai Bộ Trđng, TX Phóc Yến, Vỵnh Phóc;Chu Thỡ Hời Yạn, 7A3, THCS Yến Phong, Yến Phong, Bớc Ninh;NguyÔn Thỡ Anh Thu, 8G, THCS Lđểng Thạ Vinh, TP Tuy Hưa, Phú Yn

6 Bài toán 1.Tính nhanh

Gi¶i.Ta cã

1 Cịc bội toịn tđểng tù Bội toịn 2.TÝnh nhanh

Gi¶i.Ta cã

2 Tổng quát

Dạng tổng quát thừa số tích (với n, k ; n, k vµ a 1, 2, 3, , k)

a) Víi n 10 vµ a 1, 2, 3, , 100 ta cã

b) Víi n 13 vµ a 1, 2, 3, , 20 ta cã

Víi n 13 vµ a 1, 2, 3, , 50 ta cã Víi n vµ a 1, 2, 3, , 10 ta cã

Bạn đọc tự tính F G

3 Mở rộng toán

Xét n ; k, m ; k, m vµ a k, k 1, k 2, , k m

1 1

G 1 1

3 15 120

12 12 12 12

F 1 1

230 264 300 3150

12 12 12 12

E 1 1

14 30 48 660

2.13 3.14 4.15 21.32 273 91 1.14 2.15 3.16 20.33 33 11 2.10 3.11 4.12 101.109

1.11 2.12 3.13 100.110

2.3.4 101 10.11.12 109 1010 101 1.2.3 100 11.12.13 110 110 11

9 9

D 1 1

11 24 39 11000

n 1 (a 1)(a n 1)

a(a n) a(a n)

2.9 3.10 4.11 101.108 b) C

1.10 2.11 3.12 100.109 2.3.4 101 9.10.11 108 909 1.2.3 100 10.11.12 109 109

2.7 3.8 4.9 101.106 a) B

1.8 2.9 3.10 100.107 2.3.4 101 7.8.9 106 707. 1.2.3 100 8.9.10 107 107

8 8

b) C 1 1

10 22 36 10900

6 6

a) B 1 1 ;

8 18 30 10700

2.8 3.9 4.10 101.107 A

1.9 2.10 3.11 100.108 2.3.4 101 8.9.10 107 1.2.3 100 9.10.11 108

808 202 108 27

7 7

A 1 1

9 20 33 10800

Cịc bội toịn tÝnh nhanh thđêng xuÊt hiỷn nhiÒu cịc kừ thi hảc sinh giái Trong bội viạt nộy, chóng tềi xin ệđa cịch khai thịc, mẻ réng vộ tững quịt mét bội toịn tÝnh nhanh

7 Víi n vµ a 3, 4, 5, , 10 ta cã

Víi n vµ a 5, 6, 7, , 20 ta cã

Vắi dỰng tững quịt vộ mẻ réng ệở ẻ trến chóng ta cã thĨ tỰo nhiÒu bội toịn khịc vắi cịch giời tđểng tù

4 Khai thác toán

Dạng Với a, b, c vµ b c n, b c, a n; a ta cã

D¹ng 2.Víi a, b, c vµ b c n, b c, a b; a c ta có

Với giá trị n, ta có nhiều giá trị b c thỏa mÃn b c n vµ a m, m 1, m 2, , m k (m ; k ) ta cã thÓ tạo toán Sau thÝ dơ

a) Víi n 3, b 1, c vµ a 1, 2, 3, , 100 ta cã Bài toán 3.Tính nhanh

Giải.Ta có

b) Với n a 5, 6, 7, , 20 Víi b vµ c ta cã

Bµi toán Tính nhanh

Với b c ta có

Bài toán Tính nhanh

Với b c ta có Bài toán TÝnh nhanh

Víi b vµ c ta có Bài toán Tính nhanh

c) Với n ; b 5; c vµ a 6, 7, 8, , 20 ta có

Bài toán TÝnh nhanh

d) Víi n ; b 5; c vµ a 20, 19, 18, , 10 ta có

Bài toán Tính nhanh

Cỏc bn giải toán tạo đề toán

10 10 10

T 1

( 25).( 18) 24.17 15.8

10 10 10

S 1 ;

( 20).( 23) 19.22 10.13

10 10 10

R 1

1.8 2.9 15.22

10 10 10

Q 1 ;

6.3 7.4 20.17

2 2

4 42 42 42

P 1

9 10 24

2 2

4 4

N 1 ;

5.13 6.14 20.28

3 15 15 15

P 1

8.10 9.11 23.25

3 15 15 15

N 1 ;

5.13 6.14 20.28

2 12 12 12

P 1

7.11 8.12 22.26

2 12 12 12

N 1 ;

5.13 6.14 20.28

1 7

P 1

6.12 7.13 21.27

1 7

N 1 ;

5.13 6.14 20.28

1.4 2.5 3.6 100.103 M

2.3 3.4 4.5 101.102 1.2.3 100 4.5.6 103 103

2.3.4 101 3.4.5 102 303 2.3 3.4 4.5 101.102 L

1.4 2.5 3.6 100.103 2.3.4 101 3.4.5 102 303 , 1.2.3 100 4.5.6 103 103

2 2

M 1

2.3 3.4 101.102

2 2

L 1 ;

1.4 2.5 100.103

bc a(a n)

1

(a b)(a c) (a b)(a c) bc (a b)(a c)

1

a(a n) a(a n)

3 3

K 1 1

3.5 4.6 5.7 18.20

2 2

H 1 1

2.3 3.4 4.5 9.10

8 II Phần thi đồng đội

1.Mẫi sè xuÊt hiỷn hai lẵn ệoỰn thỬng trõ hai sè bến xuÊt hiỷn ba lẵn Tững cựa hai sè ẻ bến lộ 23 17 Tững cựa chÝn sè tù nhiến liến tiạp ệã lộ (7.23 17) : 72 Trung bừnh céng cựa cịc sè ệã lộ 72 : 8, ệã sè ệã lộ 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 vộ 12 ậoỰn thỬng ẻ bến phời chử cã hai hừnh trưn Do ệã hai sè hai hừnh trưn ệã lộ 11 vộ 12, vắi 11 ẻ phÝa trến Tững hai sè cưn lỰi trến hai ệoỰn thỬng chụa 11 vộ 12 tđểng ụng bỪng 12 vộ 11 Ta cã 11 vừ ệở dỉng Mộ 12 8, ệã sè ẻ bến phời phời bỪng hoẳc Sè ệã khềng thÓ bỪng Do ệã sè ẻ bến phời vộ sè 10 ẻ bến trịi Ta lẵn lđĩt ệiÒn ệđĩc cịc sè cưn li nh sau

2.Số thiếu mảnh 2012 (2023 2012) 2001 Số thiếu mảnh thứ hai

2683 (2683 2012) 3354 Tổng hai số thiếu

2001 3354 5355

3.Ta ệẳt cịc sè cựa dởy sè ệở cho vộo cịc hộng hừnh bẺc thang, cã sè ẻ dưng ệẵu, cã sè ẻ dưng thụ hai, cã sè ẻ dưng thụ ba vộ cụ tiạp tôc nhđ thạ Ta sỳ tÝnh tững tÊt cờ cịc sè ẻ hừnh bẺc thang cã dưng Ta lÊy hừnh bẺc thang ệã xoay 180o răi ghĐp lỰi vắi hừnh bẺc thang ban ệẵu ệÓ tỰo thộnh mét hừnh chọ nhẺt nhđ hừnh vỳ Hừnh chọ nhẺt ệã cã sè cét lắn hển sè dưng lộ Do ệã hừnh chọ nhẺt nộy chụa 4.7 28 sè, tõ ệã sè cịc sè ẻ dưng ệẵu lộ 28 : 14 sè Cụ tiạp tôc lộm tđểng tù nhđ trến ta sỳ nhẺn ệđĩc hừnh chọ nhẺt cã sè

cột số dịng Ta cần tìm hình chữ nhật chứa khơng 2.2012 4024 số Mà 61.64 3904 62.65 4030 Do ta cần có hình bậc thang có 61 dịng chứa 3904 : 1952 số Để có 2012 số ta cần thêm số 2012 số số dòng thứ 62 Trong 2012 số có 62 số 2012 2012 62 1950 số

VËy tỉng cđa 2012 số 62.2012 1950.1 126694

4.Phn sè chử sè cẹu hái trờ lêi sai cựa mét mừnh Andrea lộ Do ệã sè cẹu hái phời lộ béi cựa 15 Vừ Barbara trờ lêi sai cẹu hái nến cờ hai ngđêi cỉng trờ lêi sai nhiÒu nhÊt cẹu hái Do ệã sè cẹu hái nhiÒu nhÊt lộ Do ệã sè cẹu hái lắn nhÊt lộ 30, ệã cã cẹu hái cờ hai bỰn ệÒu trờ lêi sai Cã cẹu hái bỡ trờ

1 30

1 : 35

5 1 2

9 lêi sai bẻi mét mừnh Barbara vộ cã cẹu hái bỡ trờ lêi sai bẻi mét mừnh Andrea VẺy sè cẹu hái nhiÒu nhÊt mộ cờ hai ngđêi cỉng trờ lêi ệóng lộ 30 19

5.Chó ý rỪng 28 1.28 2.14 4.7 Do ệã sè nhá thụ hai khềng nhá hển Do ệã sè lắn thụ hai khềng nhá hển Mộ 240 10.24 12.20 15.16 Do ệã sè lắn thụ hai khềng lắn hển 15, tõ ệã sè nhá thụ hai khềng lắn hển 13 Suy hai sè nhá nhÊt lộ vộ Mộ 128 khềng chia hạt cho vộ còng khềng chia hạt cho 10, 12 vộ 15 Mẳt khịc sè nhá nhÊt lộ vộ 128 : 32 24 nến 128 khềng lộ tÝch cựa vộ mét sè khịc Vừ vẺy 128 lộ tÝch cựa sè ẻ giọa vộ sè lắn nhÊt Sè lắn nhÊt phời lộ 16 vừ 20 vộ 24 khềng lộ đắc cựa 128 Do ệã sịu sè ệã lộ 4, 7, 8, 15 vộ 16 vộ tững cẵn từm lộ 50 Ta chia hừnh chọ nhẺt ABCD thộnh mét hừnh vuềng ẻ giọa vộ cịc hừnh chọ nhẺt nhá vộ tề mộu nhđ hừnh vỳ Hiỷu diỷn tÝch cựa phẵn tề mộu vộ phẵn hừnh chọ nhẺt khềng ệđĩc tề mộu ẻ ngoội hừnh vuềng lộ 312 123 189 cm2 Ta bá ệi cẳp tam giịc vuềng bỪng ẻ gãc thừ hiỷu diỷn tÝch hai hừnh chọ nhẺt tề mộu vộ hai hừnh chọ nhẺt khềng ệđĩc tề mộu lộ 189 cm2 Ta thÊy cịc hừnh chọ nhẺt ệã cã mét cỰnh bỪng vộ bỪng MN Mẳt khịc AB BC cm nến MN 189 : 27 (cm) Tõ ệã diỷn tÝch hừnh vuềng MNPQ lộ 272 729 (cm2)

7 Giờ sỏ sè nhẹn viến cựa hai cềng ty lóc ệẵu khềng lộ béi cựa 11 Sau thay ệữi nhẹn sù, sè nhẹn viến cựa cềng ty thụ hai lộ đắc cựa sè nhẹn viến cựa cềng ty thụ nhÊt Lóc nộy sè nhẹn viến cựa cềng ty thụ hai nguyến tè cỉng vắi 11 Tõ ệã sè nhẹn viến lóc sau lộ đắc cựa sè nhẹn viến lóc trđắc nến sè nhẹn viến lóc sau phời lộ đắc cựa 11 Do ệã sè nhẹn viến cựa cềng ty thụ hai sau sù thay ệữi nhẹn sù lộ Tõ ệã sè nhẹn viến hai cềng ty lóc ệẵu lộ 12

Giả sử số nhân viên hai công ty lúc đầu bội 11 Ta chia công ty thành 11 chi nhánh nh

nhau Sau thay ệữi nhẹn sù sè nhẹn viến mẫi chi nhịnh cựa cềng ty thụ nhÊt gÊp 11 lẵn sè nhẹn viến mẫi chi nhịnh cựa cềng ty thụ hai Tõ ệã suy sè nhẹn viến mẫi chi nhịnh cựa cềng ty thụ hai lộ đắc cựa 11 Nạu sè ệã lộ thừ mẫi chi nhịnh lóc ệẵu cựa cềng ty thụ hai cã nhẹn viến, tõ ệã mẫi cềng ty cã 22 nhẹn viến Nạu sè ệã lộ 11 thừ mẫi chi nhịnh lóc ệẵu cựa cềng ty thụ hai cã 12 nhẹn viến, tõ ệã mẫi cềng ty cã 132 nhẹn viến

8 Chú ý rằng: EABK, EAKL, EALM, EAMN EANC hình bình hành (vì có cặp cạnh đối song song nhau)

Từ suy AKE KAB, ALE LAK,

AME MAL, ANE NAM, ACE CAN

Do

AKE ALE AME ANE ACE 45o

9.Ta xĐt hừnh tề mộu thụ nhÊt vộ hừnh tề mộu thụ hai cã chung hai ề nến hiỷu cựa hai sè cưn lỰi lộ Do ệã hai sè cẵn ệiÒn vộo lộ vộ Tđểng tù xĐt hừnh tề ệẺm thụ ba vộ thụ tđ cã chung hai ề, cã hai ề chụa vộ Do ệã hai ề cưn lỰi chụa hai sè tù nhiến liến tiạp Hai sè ệã chử cã thÓ lộ vộ 4; vộ 5; vộ hoẳc vộ Ta cã ba trđêng hĩp ệẵu tiến, trđêng hĩp cuèi cỉng hiỷu cựa hai sè ẻ trến cỉng vộ dđắi cỉng cựa cét giọa lộ nhđng giị trỡ lắn nhÊt cựa hiỷu hai sè ba sè 3, vộ chử cã thÓ lộ VẺy ta cã ba kạt quờ sau:

ậÒ thi vộ ệịp ịn cựa bội 10 cưn cã nhiÒu ý kiạn khịc TTT mong nhẺn ệđĩc cịc ý kiạn trao ệữi cựa bỰn c

10 Bài 1.a) ĐKXĐ: x vµ x Ta cã

Kạt hĩp vắi ệiÒu kiỷn ta ệđĩc x vộ x b) Ta c㠒 (m 2)2 (3m 2) m2 m VẺy phđểng trừnh luền cã hai nghiỷm phẹn biỷt Theo ệỡnh lÝ ViĐt ta cã x1 x2 2m (1) vộ x1x2 3m (2)

Mµ x2 2x1 nên kết hợp với (1) suy

Thay vộo (2) ta ệđĩc

Bội 2.a) ậKXậ: Phđểng trừnh ệở cho tđểng ệđểng vắi

5x 3x 13 x (tháa m·n) (1)

NÕu x th× VT(1) 6; nÕu x th× VT(1) Ta thÊy x tháa m·n (1)

VËy S {1; 7}

b) Biạn ệữi phđểng trừnh (1) trẻ thộnh y2 (x 3)y 2x2

Coi ệẹy lộ phđểng trừnh bẺc hai Èn y vắi x lộ tham sè Ta cã (x 3)2 4(2 2x2)

9x2 6x (3x 1)2 Tõ ệã tÝnh ệđĩc y 2x hoẳc y x

Thay y 2x vộo (2) ta ệđĩc

x2 (2x 2)2 3x2 8x 0: vô nghiệm

Thay y x vộo (2) ta ệđĩc x2 (1 x)2 x y Bội a) Vừ OC // AH nn

Mà (vì DO phân giác gãc ADE) nªn

b) Ta cã ABC DOA (g.g)

c) Ta cã EF 2EG

2EF.EG EF2 EC2 EB.EA 2EB.EI BEF GEI (c.g.c)

Mà BE FG nên IFG nhận điểm B cố định trực tâm

Bµi a) Ta cã

đúng Đẳng thức xảy x y

1 (x y)(xy 1)

x y :

x y xy

BFE GIE BF IG EF EC EB 2EB 2EG

AD CD BO AB AD

2 BC AB OD.BC AB.AO AB .

AO OD

CH AD AD.CE CH.DE. CE DE

OA AD OE DE

CH OA CE OE

5x 3x 13

5x 3x 13 5x 3x 13

1( 5x 3x 13)( 5x 3x 13)

5x 3x 13

x

5

2

8m m m 1;

8

2m 4m 11 3m

3

1 2m 4m 11

x , x

3

2

1

m 0, m

2

A 2( x 2) x x x

x(x x 4) (x 3)( x 2) (7 x 10) A

( x 2)(x x 4)

x 4(x 4) x x

:

x x ( x 2)(x x 4) x 4( x 2) V× x nên

x

Môn thi: Toán chung * Năm học: 2013 - 2014

THI TUYN SINH LỚP 10

THPT CHUYÊN TRẦN PHÚ, HẢI PHÒNG

11 Câu (5,0 điểm)

1)Tính giá trị biểu thức 2)Rút gọn biểu thức

Câu (4,0 điểm)

1)Gii phng trnh 2)Giời hỷ phđểng trừnh Cẹu (4,0 ệiÓm)

1)Cho hộm sè y x2 Từm cịc giị trỡ cựa m ệÓ ệđêng thỬng cã phđểng trừnh y x m cớt ệă thỡ hộm sè tỰi hai ệiÓm phẹn biỷt A(x1; y1),

B(x2; y2) thỏa mãn (x2 x1)4 (y2 y1)4 18 2)Tìm tất ba số nguyên tố a, b, c đôi khác thỏa mãn điều kiện

20abc 30(ab bc ca) 21abc C©u (6,0 ®iÓm)

Cho tam giịc ABC vuềng tỰi A (AB AC), cã ệđêng cao AH vộ O lộ trung ệiÓm cựa cỰnh BC ậđêng trưn tẹm I ệđêng kÝnh AH cớt AB, AC thụ tù tỰi M vộ N OA vộ MN cớt tỰi D

1)Chøng minh tø gi¸c BMNC néi tiÕp 2)Chøng minh

3)Cho AB vộ AC TÝnh bịn kÝnh ệđêng trưn ngoỰi tiạp tam gic BMN

Câu (1,0 điểm)

Cho ba sè dđểng a, b vộ c tháa mởn abc Chụng minh rỪng

2 12 12 12 1.2

a 2b b 2c c 2a

1 1

AD HB HC

2

2

x y xy 4y

(x 1)(x y 2) y

3

3 x 2x 3x 10

a 2 a a

P

3 a 11 a

3 a 1

:

a a 2 a

3

A 26 15 26 15

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH BẮC GIANG

Mơn thi: Tốn lớp * Năm học: 2012 - 2013 Thời gian làm bài:150 phút (khơng kể thời gian giao đề)

b) Gi¶ sử a b c Đặt

Ta có

Đẳng thức xảy x x 2, đồng thời xy (a; b; c) (1; 1; 2), (1; 2; 2) hoán v

Câu 5.a) Từ giả thiết suy a (mod 3), b (mod 3), a (mod 7), b (mod 7)

Suy A 4a 9b a b 1 (mod 3) hay A (mod 3) (1)

XÐt a 3k 1, b 3q 2, víi k, q Ta cã 4a 43k+1 4.64k (mod 7) vµ 9b 93q+2 23q+2 8q.4 (mod 7)

Do A 4a 9b a b 4 1 (mod 7) hay A 10 (mod 7)

Tõ (1) suy A 10 (mod 3), mà nguyên tố

cùng nªn A 10 (mod 21) VËy A chia cho 21 d 10

b) Tô màu dòng bảng ô vuông hai màu đen trắng xen kẽ, dòng đen, dòng trắng, dòng đen, dòng tr¾ng,

Khi miếng lát ln phủ ô đen ô trắng ô trắng ô đen

Trong bờng, sè ề ệen bỪng sè ề trớng nến sè miạng lịt phự ề ệen ề trớng bỪng sè miạng lịt phự ề trớng ề ệen, ệã phời cã chơn miạng lịt Tuy nhiến bờng cã 65 miạng lịt, mẹu thuÉn VẺy khềng thÓ phự ệđĩc bờng tháa mởn

1 x 3x

(x ) ( ) (2 )

x x 2 x

3(x 1)(x 2) 2x

1 1

VT VP (x ) (y ) (xy )

x y xy

b c

x , y (víi x, y 2; xy y )

12

Bài 1(127).Cho

So sánh với Lời giải.Đặt Ta có

Ta lại có

Từ (1) vµ (2) suy

Do Vậy

NhẺn xĐt Cịc bỰn sau cã lêi giời tèt: Phan Phó Dịng, ậộo Tn Ninh, 7A3, THCS Lẹm Thao, Lẹm Thao, Phó Thả; Ngun Vẽn Quang, ậẳng Duy ậan, 7D, THCS Vỵnh Tđêng, Vỵnh Tđêng, Vỵnh Phóc

Ngun ngäc H¢N

Bội 2(127) Tăn tỰi hay khềng hai sè nguyến dđểng a vộ b tháa mởn a3 b3 2013?

Lời giải Ta thấy 2013 số chia hết cho nhðng kh«ng chia hÕt cho

Giờ sỏ tăn tỰi hai sè nguyến dđểng a, b tháa mởn a3 b3 2013

Ta cã (a b)3 a3 b3 3ab(a b)

Vì a3 b3và 3ab(a b) chia hÕt cho nªn (a b)3 Suy (a b)

Do ệã (a b)3 vộ 3ab(a b) Suy 2013 a3 b3 (a b)3 3ab(a b) (về lÝ) VẺy khềng tăn tỰi hai sè nguyến dđểng a, b tháa mởn a3 b3 2013

NhËn xÐt Víi a b th× 2013 a3 1000 nên a {11; 12} Thử lại không thỏa mÃn

Kạt luẺn trến vÉn ệóng nạu thay 2013 bẻi mét sè nguyến dđểng cã dỰng 9k ẻệẹy cã mét kạt quờ thó vỡ ệèi vắi hai sè tù nhiến a, b lộ:

NÕu (a3 b3) th× (a b)

Bội toịn tững quịt: Vắi sè tù nhiến n nộo thừ tõ (an bn) suy (a b) 3? Nhắ rỪng nạu (a2 b2) thừ a vộ b nến (a b) Ta còng cã kạt quờ: Nạu (a4 b4) thừ (a b) Cịc bỰn hởy suy nghỵ vộ từm lêi giời ệịp cho bội toịn tững quịt nhĐ Chóc cịc bỰn thộnh cềng Cịc bỰn sau ệẹy cã bội giời tèt: Trẵn Thỡ DiÔm Quúnh, 7G; ậộo Quèc Khịnh, 7D, THCS ậẳng Thai Mai, TP Vinh, Nghỷ An; NguyÔn Thộnh Vinh, NguyÔn Ngảc Xuẹn Huy, ậẫ Minh Trung, Lế Khịnh Ly, 7A1, trđêng phữ thềng Hai Bộ Trđng, TX Phóc Yến, Vỵnh Phóc;Ngun Minh ậục, 6C, THCS Ngun Cao, Quạ Vâ, Bớc Ninh;NguyÔn Dđểng Hoộng Anh, 7C, THCS Vẽn Lang, TP Viỷt Trừ, Phó Thả

ngun anh dịng Bi 3(127) Gii phng trnh

Lời giải.Lu ý x không nghiệm (1) Điều kiện x

Đặt Ta có

(1) 2x3 (3x2 t2)t 2x3 3tx2 t3 (x t)2(2x t)

t x (t 0)

3

2x (3x x 1) x (1) A 12013.

B 2014

C 2013 C B 1 2013.

B 2014 B 2014

C

B C 2013B 2014C

2013

1 C C (2)

2 4026 2013

2013 ph©n sè 2013 1

2 2

1 1

1 C (1)

4 4026

1 1

B

3 4025

1 1

C A B

2 4026

2013

1

2014 A

B

1 1

B

3 4025

1 1

A

13 NÕu x t th×

Vắi x ta ệđĩc x2 x x2 x Nạu 2x t thừ

Vắi x ta ệđĩc 4x2 x 4x2 x

VËy nghiƯm cđa (1) lµ

NhẺn xĐt Cịc bỰn sau cã lêi giời ệóng vộ gản hển cờ: Bỉi Thỡ Thu HiÒn, 8A, THCS Lđểng Thạ Vinh, thỡ trÊn Phỉng, ậan Phđĩng, Hộ Néi;

Ngun Thỡ Tó Linh, NguyÔn Thỡ Tẹm, NguyÔn Thỡ Thếm, NguyÔn Thỡ Hđểng Ly, Hoộng Thỡ Minh Anh, 9A1, THCS Yến LỰc, Yến LỰc; ậẫ Vẽn Quyạt, NguyÔn Quèc Nghiến, 9C, THCS Vỵnh Tđêng, Vỵnh Tđêng, Vỵnh Phóc; Ngun Thanh Bừnh, 9A1, THCS Lẹm Thao, Lẹm Thao, Phó Thả;

Chu Thanh Hun, Mẫn Bá Tuấn, 9A, THCS Yên Phong, Yên Phong, Bắc Ninh; Nguyễn Mạnh Khang, 9A; Nguyễn Hồng Quốc Khánh, 9C, THCS Đặng Thai Mai, TP Vinh, Nghệ An;Lê Thị Ngọc Trâm, 8B; Trần Nguyễn Đức Thọ, 9B, THCS Hoàng Xuân HÃn, Đức Thọ, Hà Tĩnh

hồ quang vinh

Bội 4(127) Giờ sỏ viạt sè 2001 thộnh tững cựa cựa m sè nguyến dđểng chơn khịc vộ n sè nguyến dđểng lĨ khịc Từm giị trỡ lắn nhÊt cựa A 5m 2n

Lêi giời.Tững cựa m sè nguyến dđểng chơn khịc nhá nhÊt lộ

Tững cựa n sè nguyến dđểng lĨ khịc nhá nhÊt lộ (2n 1) n2

Tõ gi¶ thiÕt suy 2001 m2 m n2

Ta cã

(do áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki) Vì m, n số nguyên nên A 238

Đẳng thức xảy 5m 2n 238, m2 m n2 2001 Xảy ra, chẳng hạn với m 40, n 19 Vậy A đạt giá trị lớn 238

NhẺn xĐt ậẹy lộ bội toịn mắi lỰ vộ hay NhiÒu bỰn tham gia giời bội, hẵu hạt cịc bỰn giời ệóng ệịp sè, mét sè bỰn lẺp luẺn sai Sau ệẹy lộ mét sè bỰn cã lêi giời tèt: Trỡnh ậục Viỷt, 7B, trđêng phữ thềng chuyến Hộ Néi - Amsterdam, Hộ Néi;

NguyÔn Thanh Bừnh, Quờn ậục Bừnh, 9A1; Vò Thỉy Linh, 9A3, THCS Lẹm Thao, Lẹm Thao, Phó Thả; MÉn Bị TuÊn, 9A, THCS Yến Phong, Yến Phong,Bớc Ninh;NguyÔn Thanh Tẹm, 8B, THCS Vỵnh Tđêng, Vnh Tờng, Vnh Phúc

Cao văn dũng

Bi 5(127) Cho A, B, C tập hợp Biết A B C tập hợp gồm ba (a, b, c), a A, b B, c C

Cho A {1, 2}, B {x, y, z}, C {3, 4} a) Tìm phần tử A B C b) Gọi n(M) số phần tử tập M Tìm n(A B C)

Lời giải.a) Các phần tử tập hợp A B C là: (1, x, 3), (1, x, 4), (1, y, 3), (1, y, 4), (1, z, 3), (1, z, 4), (2, x, 3), (2, x, 4), (2, y, 3), (2, y, 4), (2, z, 3) vµ (2, z, 4)

b) n(A B C) 12

2 2

(5 ) m n

2

8005

29 238,407

4

1

A 5m 2n m 2n

2

2

2

1 1 8005

m n m n

2 4

2 2m(m 1)

2 2m m m

2

1 15 17

x , x

2

1 17 17

x (nghiƯm x 0, lo¹i)

8

2x x

1 5

x (nghiƯm x 0, lo¹i)

2

14 Nhận xét Tất bạn gửi đến tòa soạn giải Bạn Phan Nguyên Khôi, 9A, THCS Đặng Thai Mai, TP Vinh, Nghệ An đề xuất toán tổng quát sau:

Cho cịc tẺp hĩp A1, A2, , Am (vắi m *) Biạt A1 A2 Amgăm cịc bé (a1, a2, , am) ệã a1 A1, a2 A2, , am Am; cịc tẺp hĩp A1, A2, , Amlẵn lđĩt cã b1, b2, , bmphẵn tỏ (vắi b1, b2, , bm *) Gải n(M) lộ sè phẵn tỏ cựa tẺp hĩp M TÝnh n(A1 A2 Am)

Ngoài bạn Khôi, bạn sau cã lêi gi¶i tèt:

Ngun MỰnh Nhung, 9B, THCS Hoộng Xuẹn Hởn, ậục Thả, Hộ Tỵnh; NguyÔn Hăng Quèc Khịnh,9C, THCS ậẳng Thai Mai, TP Vinh, Nghỷ An; ậộo Minh Tiạn, 7D, THCS Bớc Lý, Lý Nhẹn, Hộ Nam;Bỉi Thỡ Thu HiÒn, 8A, THCS Lđểng Thạ Vinh, thỡ trÊn Phỉng, ậan Phđĩng, Hộ Néi;

NguyÔn Quúnh Anh, 7A1; PhỰm ậẫ Nguyỷt Anh, NguyÔn Thỡ Thanh Hđểng, 9A, THCS Yến Phong, Yến Phong, Bớc Ninh;NguyÔn Thỡ Hđểng Ly, NguyÔn Thỡ Tẹm, 9A1, THCS Yến LỰc;

NguyÔn Hoội Phđểng, 7D; NguyÔn Thanh Tẹm,

8B; NguyÔn Quèc Nghiến, Bỉi Minh Hiạu, 9C, THCS Vỵnh Tđêng, Vỵnh Tđêng, Vỵnh Phóc;

Nguyễn Thanh Bình, 9A1, THCS Lâm Thao, Lâm Thao,Phú Thä

TRỡNH HOộI DẩầNG Bội 6(127).Cho tam giịc ABC nhản, ệđêng cao BH, CK Gải M lộ trung ệiÓm BC, I lộ giao ệiÓm cựa AM vắi HK, E lộ hừnh chiạu vuềng gãc cựa I trến BC Chụng minh rỪng

Lêi giời.Bá qua trđêng hĩp ệển giờn AB AC Khềng mÊt tÝnh tững quịt sỏ AB AC

Gọi F trung điểm HK

Vì M trung điểm BC AHK ABC nªn AFK AMC

Do

Vì BH AC, CK AB MB MC nên Kết hợp với FH FK suy MF HK Mà IE BC nên tứ giác MEFI nội tiếp Do

Tõ (1) vµ (2) suy

Do A, F, E thẳng hàng (3)

Tõ (1) vµ (3) suy ta có đpcm Nhận xét Nếu gọi P, Q hình chiếu E AB, AC I trùc t©m cđa APQ

Nhọng bỰn sau cã lêi giời tđểng ệèi tèt: ậẫ Vẽn Quyạt, Lế Huy Quang, 9C, THCS Vỵnh Tđêng, Vỵnh Tđêng, Vỵnh Phóc; Ngun Trung Phóc, Ngun MỰnh Khang, 9A, THCS ậẳng Thai Mai, TP Vinh, Nghỷ An;MÉn Bị TuÊn, 9A, THCS Yến Phong, Yến Phong, Bớc Ninh

Ngun Minh Hµ EAB MAC,

o AFK KFE AMC AMB 180

KFE AMB (2)

MH BC MK

2

AFK AMC, FAK MAC (1) EAB MAC

15 Cho tam giác ABC không cân Hãy cách để chia tam giác ABC thành: a) tam giỏc cõn;

b) tam giác cân; c) tam giác cân

nguyễn ngọc hân

Ta phi tìm số nhiên n để

1 n 2013 hay n(n 1) 4026 (1) Ta cã 4026 2.3.11.61

Vì 61 số nguyên tố, n n hai số tự nhiên liên tiếp 2.3.11 66, số khác 60 62 nên (1) vô nghiÖm

XÐt m, n *, m n tháa m·n (m 1) (m 2) n 2013

(1 n) (1 m) 2013 n(n 1) m(m 1) 4026

(n2 m2) (n m) 4026 (n m)(n m 1) 4026

Sè sè hỰng tững lộ n m, lộ mét đắc sè lắn hển cựa 4026 2.3.11.61

a) Thỏ n m thừ n m 2013 Tõ ệã từm ệđĩc n 1007, m 1005

VËy tỉng cã Ýt sè h¹ng nhÊt gåm số hạng 1006 1007 2013

b) Ta thÊy n m n m Suy (n m)2 4026

Chó ý 632 4026 642nến n m 63 Mộ n m lộ đắc sè cựa 4026 nến n m 61 Thỏ n m 61 thừ n m 66 Tõ ệã từm ệđĩc n 63, m

VËy tỉng cã nhiỊu sè h¹ng nhÊt gåm 61 số hạng 63 2013

Nhn xĐt ậa sè cịc bỰn gỏi lêi giời ệÒu kạt quờ ệóng Cịc bỰn sau ệđĩc thđẻng kừ nộy: KhuÊt Bờo Chẹu, 7A, THCS ThỰch ThÊt, ThỰch ThÊt;

Ngun Vẽn Cao, 8A, THCS Ngun Thđĩng HiỊn, ụng Hưa, Hộ Néi; Lế ậục Anh, 9G, THCS ậẳng Thai Mai, TP Vinh, Nghỷ An;NguyÔn Quèc Nghiến, 9C, THCS Vỵnh Tđêng, Vỵnh Tđêng, Vỵnh Phóc; Vị Thỡ Thu HiỊn, 8A, THCS ThỰch ậăng, Thanh Thựy, Phó Thả

Anh Com pa khen bạn sau: Trần Thị Diễm Quỳnh, 7G, THCS Đặng Thai Mai, TP Vinh, Nghệ An; Đỗ Văn Giang, 8A1, THCS Quảng Thanh, Thủy Nguyên, Hải Phòng

Anh com pa

Danh sịch cịc bỰn giời ệóng kừ 54: ậộm Tiạn ậỰt, 9A3, THCS Chu MỰnh Trinh, Vẽn Giang, Hđng Yến; Trẵn Thỡ DiÔm Quúnh, sè nhộ 13, ngâ 5, ệđêng An Dđểng Vđểng, K6, P Trđêng Thi, TP Vinh, Nghỷ An

16

óc ệã lộ buữi trđa, ệđêng khị vớng lẳng Võa rêi quịn cộ phế, ệang thong thờ dỰo bđắc trến vửa hÌ, chĩt thịm tỏ Sếlềccềc nghe tiạng khãc thót thÝt vẽng vỬng tõ ệẹu ệã Nhừn quanh mét lóc, ềng phịt hiỷn cã cề gịi ệang ngăi trến ghạ ệị dđắi gèc cẹy ven ệđêng Thịm tỏ ệạn bến hái han:

- Cề lộm thạ? Tềi lộ thịm tỏ Sếlềccềc ệẹy Cề cã viỷc gừ cẵn tềi gióp khềng? Cề gịi ngõng khãc, nĐt mẳt tđểi hỬn lến:

- Chộo thịm tỏ Ự! May quị chịu gẳp ệđĩc ềng Xin ềng hởy gióp chịu! - Cã viỷc gừ, cề cụ bừnh tỵnh kÓ lỰi ệi!

- Lóc gẵn trđa hềm nay, chịu ệi rót tiỊn ẻ ngẹn hộng răi vộo luền quịn ven ệđêng ẽn trđa vộ uèng nđắc Buăn ngự quị nến chịu gơc xng bộn vộ thiạp ệi lóc nộo khềng biạt Lóc chĩt tửnh, chịu khềng thÊy tói tiỊn ệẹu nọa

- Chết thật! Sao cô lơ đễnh thế? Mà có nhiều khơng?

- DỰ, cịng nhiÒu ậã lộ tiÒn cựa cềng ty nểi chịu lộm chụ khềng phời tiÒn riếng cựa chịu - Thềi, ệỪng nộo còng mÊt răi, cề ệõng khãc nọa Hởy bừnh từnh kÓ lỰi mải viỷc, may tềi cã thÓ gióp ệđĩc

Sau ệã cề gịi ệđa thịm tỏ tắi quịn ẽn lóc trđắc Hai ngđêi ngăi vộo ệóng bộn mộ trđắc ệã cề ệở ngăi Thịm tỏ Sếlềccềc quan sịt hiỷn trđêng, hái han mét sè bờo vỷ vộ nhẹn viến phôc vô cựa quịn, lộm viỷc vắi chự quịn Cuèi cỉng ềng ệở “khoanh vỉng” ệđĩc hai ệèi tđĩng ệịng nghi nhÊt Cờ hai ệÒu lộ nhẹn viến phơc vơ cựa quịn Lóc ệã ệở hạt ca, cờ hai ệÒu ệở vÒ nhộ nến thịm tỏ phời từm ệạn tẺn nểi ẻ cựa Ngđêi ệẵu tiến ềng tắi gẳp lộ mét phô trĨ Thịm tỏ hái:

17 Thịm tỏ ệở hái Tamara xem cã phời ệở nãi mẺt mở cho chó vứt khềng Cẹu hái cựa thịm tỏ ệở khiạn hiÓu mải chuyỷn: Bản trém ệở từnh cê nghe ệđĩc mẺt mở kĐt sớt vứt nãi

Kừ nộy cịc thịm tỏ Tuữi Hăng gỏi bội tham dù rÊt ệềng vộ bỰn nộo còng cã cẹu trờ lêi ệóng Phẵn thđẻng ệđĩc trao cho: Vị Hoộng Nam, 7C, THCS Vẽn Lang, Viỷt Trừ, Phó Thả; NguyÔn Minh ậục, 6C, THCS NguyÔn Cao, Quạ Vâ, Bớc Ninh; NguyÔn Họu Duy, 6A, THCS Quạ Nham, Tẹn Yến, Bớc Giang; Tõ Anh Dòng, 7A15, THCS Giờng Vâ, Ba ậừnh, Hộ Néi;PhỰm Huy Hoộng, 6G, THCS ậẳng Thai Mai, Vinh, Ngh An

Thám tử Sêlôccôc

- Một khách hàng bị tiền ăn trða Chắc biết việc đó? - Vâng Tơi có nghe

- Sao lại nghe? Lúc khơng quán à?

- ậang lộm viỷc thừ tềi cã ngđêi gải ngoội gẳp Khi quay vộo thừ tềi nghe mải ngđêi lao xao bộn tịn Tềi cịng chử nghe loịng thoịng thềi vừ lóc quay vộo lộ tềi chỰy ệi từm ngđêi quờn lÝ ệÓ xin phĐp nghử cã viỷc gÊp Răi tềi rêi quịn

- Tiếc quá! Tôi hi vọng biết kĩ giúp tơi tìm manh mối Khổ thân gái quá! Sơ sểnh tí

- Vâng, khổ thân quá! Mất túi tiền có phải đâu! Ngủ thiếp tí mà sạch! Nhìn cô khóc mà ngại

Ngđêi khờ nghi thụ hai lộ mét chộng trai

- Chào anh! Tôi nghe nói tra anh phục vụ bàn nơi cô gái bị tiền ngồi?

- Thđa vẹng ậóng lộ tềi ệở bđng cểm vộ nđắc uèng cho cề Êy Quịn rÊt ệềng nến bđng xong lộ tềi lỰi phời phôc vô bộn khịc

- Sao anh biÕt viƯc c« Êy mÊt tiỊn?

-à, tất bật bng bê nghe thấy có tiếng kêu hốt hoảng Rồi cô gái khóc ầm lên chạy nháo nhào khắp quán Tôi thấy cô vừa hỏi vừa chăm chăm nhìn xem có cầm nhầm túi không

- Anh có làm việc suốt ca kh«ng?

19 It follows easily that

This contradicts our assumption Let f and g be functions such that

The equation (1) has a unique solution g for every f

The second statement follows immediately from the first

Application of definition (1) gives (2) Addition of (1) and (2) gives

Comparison of (1) and (2) shows that It follows from theorem (1) that

We thus obtain the inequality (1) To prove the theorem, we first let Insert (1) into (2) to find that

We need to consider the following three cases Repeating the previous argument

M is easily shown to have Neither statement is true There are at most such r in n is greater than k

n no greater than k

n is greater than or equal to k (2) has one and only one solution n is less than k

25 is greater than 21 22 is less than 26

P is the smallest number such that Let a, b and c be distance numbers There are an infinite number of sets F is no identically 0

For every g in Y there exists an M

Dễ dàng suy rằng

Điều mâu thuẫn với giả thiết Cho f g hµm sè cho

Phđểng trừnh (1) cã mét nghiỷm nhÊt g ệèi vắi mải f

Mệnh đề thứ hai suy từ mệnh đề thứ nhất

áp dụng định nghĩa (1) cho ta (2) Cộng (1) (2) cho

So sánh (1) (2) chứng tỏ rằng Từ định lí (1) suy rằng

Chóng ta thu ệđĩc bÊt ệỬng thục (1) ậÓ chụng minh ệỡnh lÝ, trđắc hạt ta ệẳt ChÌn (1) vộo (2) ệĨ từm rỪng

Chóng ta cẵn xĐt ba trđêng hĩp sau Lẳp lỰi lẺp luẺn ẻ trến

Ta dễ dàng M có Khơng có mệnh đề đúng Có nhiều số r nhð trong n lớn k

n không lớn k n lớn k

(2) có nghiƯm n nhá h¬n k

25 lớn 21 đơn vị 22 nhỏ 26 đơn vị P số nhỏ cho

Cho a, b c số phân biệt Có vô hạn tập

Hc toịn lộ rÌn khờ nẽng tđ vộ phđểng phịp suy luẺn Giời toịn lộ viỷc lộm khềng dÔ vắi nhiÒu bỰn Mẫi bội toịn thđêng cã nhiÒu cịch giời khịc Nạu chỡu khã ệộo sẹu suy nghỵ, liến kạt, vẺn dông kiạn thục, biạt ệđa bội toịn lỰ vỊ bội toịn quen thừ ta cã thĨ ệđĩc kạt quờ mắi, lộm phong phó vèn hiĨu biạt vộ thÊy ý nghỵa cựa viỷc hảc

Ta xÐt bµi to¸n nhá sau

Bội toịn Cho tam giịc ABC cè ệỡnh cã cịc gãc B, C nhản vộ hừnh chọ nhẺt MNPQ thay ệữi nhđng luền cã M, N trến cỰnh BC cưn P, Q lẵn lđĩt trến cịc cỰnh AC vộ AB

Xác định vị trí đỉnh P, Q cho hình chữ nhật MNPQ có diện tích lớn

Lêi gi¶i

Cịch 1.Gải AH lộ ệđêng cao cựa ABC AH cớt PQ ti I

Đặt BC a, AH h, PQ x, MQ y

Ta cã AI h y

V× APQ ACB nªn

Vừ a, h lộ cịc hỪng sè dđểng nến S lắn nhÊt vộ chử (h y)y lắn nhÊt

Ta thÊy h y vộ y lộ hai sè dđểng cã tững lộ h, khềng ệữi, nến tÝch lắn nhÊt vộ chử hai sè bỪng nhau, tục lộ y h y

Khi ệã P, Q tđểng ụng lộ trung ệiÓm cựa AC, AB VẺy PQ lộ ệđêng trung bừnh cựa ABC thừ

SMNPQ lớn

Cách 2.Kẻ PE // AB (E BC)

Ta thấy tứ giác BEPQ hình bình hành SMNPQ SBEPQ

Kí hiệu SABC S, SAPQ S1, SPEC S2 Đặt

V AQP ABC nn S1 St2 Tđểng tù S2 S(1 t)2

Suy SMNPQ SBEPQ S S1 S2 S St2 S(1 t)2 2S( t2 t) Ta cã

ậỬng thục xờy vộ chử tháa mởn Tõ ệã SMNPQ ệỰt giị trỡ lắn nhÊt lộ P, Q tđểng ụng lộ trung ệiÓm cựa AC, AB

Nhận xét Giải xong toán, bạn suy nghĩ vấn đề sau:

1) Tại giả thiết cho hai góc B, C nhọn? Nếu tam giác ABC thay đổi giả thiết đỉnh hình chữ nhật MNPQ nhð nào? 2) Với điều kiện tam giác ABC chu vi hình chữ nht MNPQ khụng i?

3) Dựng điểm P, Q cho tứ giác MNPQ hình vuông

S

t :

2

2 1

t t t

2 4

2

S t

S

AP t PC 1 t (víi t 1).

AC AC

h

y

2 MNPQ

a(h y) a

x S xy (h y)y

h h

PQ AI x h y

BC AH a h

21

Ngđêi thịch ệÊu:NguyÔn Minh Hộ, GV trđêng THPT chuyến ậỰi hảc Sđ phỰm Hộ Néi

Bội toịn thịch ệÊu:Cho tam giịc ABC khềng vuềng BE, CF lộ cịc ệđêng cao, trùc tẹm H M, N, P, Q, S theo thụ tù lộ trung ệiÓm cựa BF, CE, BE, CF, EF K lộ giao ệiÓm cựa ệđêng thỬng qua M vuềng gãc vắi BS vộ ệđêng thỬng qua N vuềng gãc vắi CS L lộ giao ệiÓm cựa ệđêng thỬng qua P vuềng gãc vắi BS vộ ệđêng thỬng qua Q vuềng gãc vắi CS Chụng minh rỪng 2KL HA

XuÊt xø: S¸ng t¸c

Thêi hỰn:Trđắc ngộy 08.12.2013

Lêi gi¶i a) LÊy U, V theo thø tù thuéc AK, AL cho

Ta cã

(v× BMQ BCA, CNP CBA) Hay

Do ABU ACV (c.g.c) Vậy

b) Gäi H, Z theo thứ tự giao điểm XY với BC, MN

Vì tứ giác MNPQ hình chữ nhật MN // BC nªn

Do AH // NP

Mà NP BC nên AH BC Điều có nghĩa H cố định

Vậy XY qua điểm cố định (điểm H)

Chó ý Trong câu b), giả thiết không cần thiết

Nhn xĐt.Bội toịn nộy khềng quị khã Vâ sỵ ệở nhẺn lêi thịch ệÊu vộ cã lêi giời ệóng (tuy hểi dội) lộ vâ sỵ ậẫ Vẽn Quyạt, 9C, THCS Vỵnh Tđêng, Vỵnh Tđêng, Vỵnh Phóc Dỉ khềng thẺt hội lưng vắi lêi giời cựa vâ sỵ Quyạt nhđng tềi vÉn khỬng ệỡnh rỪng vâ sỵ Quyạt lộ ngđêi ệẽng quang trẺn ệÊu nộy

Ngun Minh Hµ o

BAC 90

HP ZM XM MN AN HC HC XC CB AC

KAB LAC BU AB CV AC BA CA BA CA BA CA

BK CA ML (v× NA // BU,MN//BC,MA // CV) NK BA CL

BQ CA MN BQ.CA NM BA CP BA.CP BQ CA NP (v× MQ NP) MQ BA CP

BU BU NA MA CV NA MA CV

22 Trong tịc phÈm Nguyến lÝ bÊt hự cựa mừnh, Euclid ệở ệđa hai kạt quờ ệịng chó ý vỊ sè nguyến tè Mỷnh ệỊ IX.14, ngộy gải lộ ệỡnh lÝ cể bờn cựa sè hảc, nãi rỪng: “Mẫi sè tù nhiến lắn hển ệÒu biĨu diƠn ệđĩc nhÊt dđắi dỰng tÝch cựa lịy thõa cịc sè nguyến tè” Tõ kạt quờ nộy suy rỪng mn hiĨu biạt vỊ cịc sè tù nhiến, trđắc hạt cẵn từm hiĨu vỊ cịc sè nguyến tè Mỷnh ệÒ IX.20, ngộy gải lộ ệỡnh lÝ Euclid, nãi rỪng: “Sè cịc sè nguyến tè lộ hỰn”, lỰi lộm cho mải ngđêi yến tẹm nghiến cụu vÒ tẺp hĩp cịc sè nguyến tè vừ sù giộu cã vộ phong phó cựa tẺp hĩp nộy Chóng tềi xin lến mét sè bội toịn liến quan ệạn dởy sè nguyến tè ệẵu tiến cỉng lêi giời Giờ sỏ p1 2, p2 3, , pnlộ n sè nguyến tè ệẵu tiến ệđĩc xạp theo thụ tù tẽng dẵn KÝ hiỷu Sn p1 p2 pn, n p1p2 pn

Bội toịn 1.Chụng minh rỪng vắi mẫi sè tù nhiến n ệÒu tăn tỰi mét sè chÝnh phđểng m2 cho Sn m2 Sn+1

Lêi giời.+ Vắi n thừ S1 2, S2 m + XĐt n Vừ n2 bỪng tững cựa n sè lĨ ệẵu tiến nến Sn n2 Gải (n k)2 lộ sè chÝnh phđểng lắn nhÊt khềng vđĩt quị Sn(vắi k )

Ta cã (n k)2 Sn (n k 1)2 (1) Ta sỳ chụng minh pn+1 2(n k) (2) ThẺt vẺy, sỏ ngđĩc lỰi pn+1 2(n k) Vừ pn pn+1 nến pn 2(n k)

Chó ý pnlẻ nên pn 2(n k)

Từ ó, vắi n thừ pn-1 pn 2(n k) Cụ tiạp tôc nhđ vẺy ta ệđĩc p2 2(n k) (2n 1) Riếng p1 p2 nến p1 2(n k) 2n

Céng theo vạ n bÊt ệỬng thục trến, ta ệđĩc Sn 2n(n k) [3 (2n 1)] 2n

2n(n k) (n2 1) 2n n2 2nk 2n

(n k)2 (k2 2n 1) (n k)2: mẹu thuÉn vắi (1) Do ệã (2) ệđĩc chụng minh

Từ Sn+1 Sn pn+1 (n k)2 2(n k) (n k 1)2 Snnên m n k

Bài toán Chứng minh p1pn+1 n, với n Lời giải Vì p1 nên n 2p2p3 pn

2(2k 1) (2k 1) (2k 3), víi k Vì n nên k Đặt d (2k 1, 2k 3) Ta thấy d lẻ 2k (2k 1) chia hÕt cho d nªn d

Từ ( n, 2k 1) ( n, 2k 3)

Gải p lộ mét đắc nguyến tè cựa 2k vộ q lộ mét đắc nguyến tè cựa 2k Ta cã (p, q) vộ p q Thạ thừ vắi j 1, 2, , n ta cã pj p ThẺt vẺy, nạu tăn tỰi j cho pj p thừ n p nến p lộ đắc cựa ( n, 2k 1) 1: mẹu thuÉn vắi p lộ sè nguyến tè Do ệã pn+1 p

LẺp luẺn tđểng tù ta cã pn+1 q

V× p q nªn 2pn+1 p q, pn+1 pn+2 p q (2k 1) (2k 3) n

Từ p1pn+1 2pn+1 pn+1 pn+2 n

23 Bài toán Chứng minh số tự nhiên n pn 4n

Lêi gi¶i Víi k *, gọi Ak tập hợp số nguyên lẻ m mà 105(k 1) m 105k

Xột k Ta thấy Ak chứa 52 số Vì 105 3.5.7 nên 52 số lẻ có (5.7 1) :

17 sè lộ béi cựa (vộ dỵ nhiến chóng lộ hĩp sè), cã 10 sè lộ béi cựa Trong sè liến tiạp lộ béi cựa thừ cã mét sè lộ béi cựa VẺy cã nhiÒu nhÊt sè lộ béi cựa mộ khềng phời lộ béi cựa Tđểng tù, sè ệã cã sè ệăng thêi lộ béi cựa vộ vộ cã mét sè ệăng thêi lộ béi cựa vộ Chó ý rỪng Akkhềng cã sè nộo chia hạt cho 105 nến chử cã tèi ệa sè chử lộ béi cựa mộ khềng phời lộ béi cựa

VËy Akcã 17 28 hợp số nên Ak có tối đa 24 số nguyên tố

Ta thấy A1 A2 chứa tất số nguyên tố, trừ số

Dùng bảng số nguyên tố ta thấy 315 số nguyên có 65 số nguyên tố Vì số nguyên tố 315 số nguyên tố nên tËp A1, A2, A3cã 64 sè nguyªn tè XÐt tập Akvới k Theo lập luận ta thÊy mäi sè nguyªn tè pn tËp Akcã chØ sè n 65 24(k 3) n 24k

Mà pn 105(k 1) nên Chọn k

Vậy từ tập A9trở đi, số nguyên tố pntrong chúng có tính chất pn 4n

Bài toán Cho dÃy số {un} với un 4n Chứng minh có vô số số hạng dÃy số nguyên tố

Lời gii.Trc ht ta chụng minh nhẺn xĐt: Mải sè nguyến dđểng n tháa mởn n (mod 4) ệÒu cã đắc nguyến tè p tháa mởn p (mod 4) (*) ThẺt vẺy, nạu n lộ sè nguyến tè thừ kạt luẺn trến lộ hiÓn nhiến

Giả sử n hợp số Khi tồn a, b cho n ab với a, b n Vì n lẻ nên a, b lẻ Nếu a, b (mod 4) a, b (mod 4) ab (mod 4) hay n (mod 4): mâu thuẫn với giả thiết Vậy a (mod 4), b (mod 4) a (mod 4), b (mod 4) Giả sử a (mod 4)

Khi ệã, nạu a lộ sè nguyến tè thừ nhẺn xĐt trến lộ ệóng Nạu a lộ hĩp sè thừ a sỳ cã đắc lộ a1 tháa mởn a1 (mod 4)

Tiạp tôc lẺp luẺn nhđ vẺy, tăn tỰi cịc sè nguyến dđểng a, a1, giờm dẵn, lộ đắc sè cựa n cho ai (mod 4) Quị trừnh dÉn ệạn tăn tỰi sè nguyến tè aklộ đắc cựa n tháa mởn ak (mod 4) Bẹy giê ta giời bội toịn Chản n m! 1, vắi m Theo nhẺn xĐt (*) thừ n cã mét đắc nguyến tè tháa mởn p (mod 4)

Vừ 2, 3, , m khềng phời lộ đắc cựa n nến p m ậÓ chụng minh dởy {un} cã hỰn sè nguyến tè ta lộm nhđ sau:

- Chản m1 4, ệã theo nhẺn xĐt trến tăn tỰi sè nguyến tè p1 m1sao cho p1 (mod 4) - Chản m2 p1, theo nhẺn xĐt trến tăn tỰi sè nguyến tè p2 m2sao cho p2 (mod 4) Lẳp lỰi quị trừnh trến, ta ệđĩc mét dởy cịc sè nguyến tè hỰn {pm} lộ dởy cựa {un} Bội tẺp tù luyỷn

Bµi 1.Chøng minh r»ng

a) b) pn 2n, víi n

Bội 2.Giờ sỏ Pnlộ tÝch cựa tÊt cờ cịc sè nguyến tè khềng vđĩt quị n Chụng minh Pn 4n Bội 3.Cho dởy sè {pn} vắi p1 vộ vắi n thừ pn lộ đắc nguyến tè lắn nhÊt cựa p1p2 pn-1 Chụng minh pn

Bµi 4.Chøng minh r»ng d·y sè {un} víi un 2003 23n chứa vô hạn số lũy thừa cđa cïng mét sè nguyªn tè

n

2 n

p

105(k 1) 24k

n

p 105(k 1).

24 Câu Hãy nêu tính chất đặc trðng phần tử tập hợp sau:

A {2; 4; 6; ; 50}; B {1; 3; 5; ; 29}

Câu 2.Tính tổng phần tử tập hợp sau A {5; 10; 15; ; 90};

B {3; 6; 9; ; 57}

Câu Viết tập hợp sau rõ tập hợp có phần tử

a) Tp hp A cỏc s tự nhiên x mà : x b) Tập hợp B số tự nhiên x mà x Câu 4.Bạn phải dùng chữ số để đánh số trang sách dày 150 trang

Chỉ ghi đáp số

Cẹu 5.Từm sè trang cựa mét cuèn sịch, biạt rỪng ệÓ ệịnh sè trang bỪng cịc sè tù nhiến bớt ệẵu tõ ngđêi ta dỉng hạt 222 chọ sè

Chỉ ghi đáp số Câu 6.Tính nhanh A 45.39 65.39 390; B 33.77 66.77 77 Câu 7.Tìm số tự nhiên x biết: a) 412 15(27 x) 97 b) 5x x 54

c) 125 : (2x 7) 55: 53 d) 3x 4x 49

Câu 8.Tìm x biết a) 4.3x 324 b) 2x 1: 32 Câu

a) So sánh A 2013.2015 vµ B 20142 b) Chøng minh r»ng B 30 31 32 310 (311 1) :

c) T×m x biÕt (x 3) (x 4) (x 5) (x 22) 450

ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG I SỐ HỌC LỚP 7

Thời gian làm bài:45 phút (không kể thời gian giao đề)

TIN TỨC - HOẠT ĐỘNG - GẶP GỠ

Trong hai ngộy vộ 6.10.2013, tỰi trđêng THPT chuyến Lế Hăng Phong, Nam ậỡnh, Héi Toịn hảc Hộ Néi vộ Sẻ GD - ậT Nam ậỡnh ệở ệăng tữ chục Héi thờo Cịc chuyến ệÒ Toịn chản lảc theo xu hđắng héi nhẺp Quèc tạ Tham dù Héi thờo cã GS TSKH Trẵn Vẽn Nhung, Tững thđ kÝ Héi ệăng chục danh Giịo sđ nhộ nđắc; NGND GS TSKH NguyÔn Vẽn MẺu, Chự tỡch Héi Toịn hảc Hộ Néi; ThS Ngề Vủ Nềng, Phã Giịm ệèc Sẻ GD - ậT Nam ậỡnh cỉng cịc héi viến cựa Héi, cịc thẵy cề giịo giờng dỰy chuyến toịn cựa Nam ậỡnh vộ mét sè tửnh ThS Vò Kim Thựy, Tững biến tẺp tỰp chÝ TTT cỉng cịn bé Tưa soỰn ệở tham dù Héi thờo ậẹy lộ lẵn thụ hai héi thờo tữ chục tỰi Nam ậỡnh

PV MÃ ĐỀ: RDKTH011

25

Câu 1.(1,5 điểm)

Cho M ab(a b c) bc(b c a) ca(c a b) víi a, b, c số nguyên

Chứng minh a b c 12 M 12 Câu 2.(1,5 điểm)

Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức

Câu 3.(1,5 điểm)

Tìm số a, b, c thỏa mÃn Câu 4.(1,5 điểm)

Giời phđểng trừnh Cẹu 5.(2,0 ệiÓm)

Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H Chứng minh Câu 6.(2,0 điểm)

Cho tứ giác ABCD có

Gọi M trung điểm CD Chứng minh r»ng AM BD.CAB CAD o

ACB ADC 90 HA.HB HB.HC HC.HA

CA.CB AB.AC BC.BA

1 1 1

3x 2x 9x 4x

2 2

a c b a c b.

b c a

2

3x 10x 11

y

x 2x

ẹỀ THI HOẽC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LễÙP 8 Thời gian làm bài:120 phút (không kể thời gian giao đề)

MÃ ĐỀ: RDKTH008

5(129).Given a graph G Let e {u,v} be an edge inG, in which uandvare the endpoints (vertices) of the edge e Such vertices uandvare said to be adjacent and ean edge connecting u and v The degree of the vertex u, denoted by deg(u) is the number of edges taking u as one endpoint The vertex u is called either an odd or even vertex depending whether its degree is odd or even a) Find the set V of vertices, and the set E of edges of the the graph Gbelow

b) Find the degree of the vertices of G and state whether each vertex is odd or even

6(129).LetABC be a triangle circumscribed by a circle with center at Oand radius R, and its height AH

be equal to Let MandNbe the perpendicular projections of H on AB and AC, respectively Prove that M,O, and Nare collinear

26

BỰn thđêng nghe nãi: Tin ịp thÊp nhiỷt ệắi, Tin bởo gẵn, Tin bởo xa Bội hảc hềm sỳ gióp bỰn hiĨu râ hển cịc bờn tin ệã

Mét hiỷn tđĩng thêi tiạt phục hĩp diÔn trến mét vỉng réng (trến ệÊt liỊn hoẳc biĨn) vắi giã xoịy tẺp trung quanh mét vỉng ịp thÊp nhđng chđa ệự mỰnh ệÓ gải lộ bởo, ệã chÝnh lộ ịp thÊp nhiỷt ệắi ậÓ phẹn biỷt giọa ịp thÊp nhiỷt ệắi vộ bởo ngđêi ta dựa vo cấp gió

Sau bảng cÊp giã

Nđắc ta phẹn loỰi cÊp bởo trỉng phẹn loỰi cÊp giã

Khi gió cấp - gọi áp thấp nhiệt đới

Tõ cÊp trở lên gọi bÃo Từ cấp 10 trở lên gọi bÃo mạnh

Từ cấp 12 trở lên gọi bÃo mạnh siêu bÃo

Mủ vộ mét sè nđắc theo cịch phẹn loỰi bởo theo cÊp vộ bởo cÊp lộ cỉng khựng khiạp Cẵn phẹn biỷt tèc ệé giã vắi tèc ệé di chuyÓn cựa bởo.Cã giã xoịy mỰnh tắi 200 km/h nhđng chử di chuyÓn ệđĩc 20 km mẫi giê Giã mỰnh nhÊt thđêng gẵn tẹm

Tin ịp thÊp nhiỷt ệắiệđĩc ệđa cịc trđêng hĩp:

-ịp thÊp nhiỷt ệắi tÝnh tõ tẹm ệạn ệiÓm gẵn nhÊt thuéc bê biÓn nđắc ta lộ trến 500 km

-ịp thÊp nhiỷt ệắi cịch 300 - 500 km nhđng chđa cã khờ nẽng di chun vỊ ệÊt liỊn nđắc ta 24 h - Khi bởo ệữ bé vộo nđắc ta nhđng suy yạu vÒ cÊp giã tục khềng cưn gải lộ bởo ệđĩc nọa

27 - Tẹm ịp thÊp nhiỷt ệắi cịch ệiÓm gẵn nhÊt bê biÓn nđắc ta dđắi 300 km

- Tẹm ịp thÊp nhiỷt ệắi cịch ệiÓm gẵn nhÊt bê biÓn nđắc ta 300 - 500 km nhđng chđa cã khờ nẽng ờnh hđẻng ệạn nđắc ta 24 h tắi ậèi vắi bởo:

Tin b·o xa:

- Tẹm bởo vđĩt qua kinh tuyạn 120oậ (tục lộ qua ệờo Ludền, Philippin, hoẳc tđểng ệđểng vỡ trÝ qua ậội Loan) cịch ệiĨm gẵn nhÊt ệÊt liỊn nđắc ta trến 1000 km, cã khờ nẽng di chun vỊ phÝa nđắc ta - Tẹm bởo cịch 500 - 1000 km nhđng chđa cã khờ nẽng di chun vỊ phÝa ệÊt liỊn nđắc ta

Tin b·o gÇn:

- Vỡ trÝ tẹm bởo cịch 500 - 1000 km vộ cã khờ nẽng di chun vỊ phÝa nđắc ta

- Vỡ trÝ tẹm bởo cịch 300 - 500 km vộ chđa cã khờ nẽng di chun vỊ phÝa ệÊt liỊn nđắc ta mét vội ngộy tắi

Tin b·o khÈn cÊp:

-Tẹm bởo cịch ệiÓm gẵn nhÊt thuéc bê biĨn ệÊt liỊn nđắc ta 300 - 500 km vộ cã khờ nẽng di chun vỊ phÝa ệÊt liỊn nđắc ta mét ệạn hai ngộy tắi

- Tẹm bởo cịch ệiÓm gẵn nhÊt thuéc bê biÓn ệÊt liÒn nđắc ta dđắi 300 km

Nhð tin bão khẩn cấp tin thời gian muốn nói bão đến Muốn biết mức độ bão phải nghe cấp bão cấp gió Bão nguy hiểm kèm theo mða lớn dài ngày Cách đða tin bão trang thời tiết: 6; 21 00; 20-08-2003; 11; TB

ậã lộ cển bởo sè lóc 21 h ngộy 20.8.2003 cÊp giã 11 di chuyÓn theo hđắng Tẹy Bớc Vỡ trÝ thđêng xịc ệỡnh bẻi giao cựa cịc kinh tuyạn vộ vỵ tuyạn Bờn ệă Viỷt Nam tin bởo thđêng vỳ thự ệề Hộ Néi, cịc thộnh lắn ven biÓn: Hời Phưng, Nam ậỡnh, Vinh, ậộ Nơng, Nha Trang vộ cịc ệờo lắn gẵn khu vùc ờnh hđẻng cựa bởo Bờn ệă bịo bởo thđêng in cờ cịc ệiĨm trịnh tró bởo nhđ: ệờo ậị Tẹy, ệờo Cề Tề, ệờo BỰch Long Vỵ, ệờo Cịt Bộ, Cỏa Hắi, Cỏa Héi, Hưn La, ệờo Căn Cá, Cỉ lao Chộm, Lý Sển, Tam Quan, Cỉ lao Xanh, Hưn Rắ, Cỏa Ninh Chọ, Cỏa Phó Hời, ệờo Phó Quý, Cỏa sềng Dinh, ệờo Cền Sển, hưn Khoai, Cỏa RỰch Cẹu hái dộnh cho bỰn:BỰn hởy ệữi tèc ệé giã cịc cÊp sang m/s

ậĨ phơc vơ tèt hển nhu cẵu cựa bỰn ệảc, tõ nẽm 2014 tỰp chÝ Toịn Tuữi thể sỳ cã nhọng thay ệữi cịch trừnh bộy cịc chuyến môc cho ệứp hển, phỉ hĩp hển vắi cịc bỰn hảc sinh Ngoội cịc chuyến môc ệđĩc yếu thÝch sỳ ệđĩc tẽng tẵn suÊt, tỰp chÝ cưn bữ sung thếm cịc chuyến mơc mắi ệĨ ngộy cộng phơc vơ bỰn ệảc tèt hển

To¸n Ti thơ dành cho bậc THCS: - Hai chuyên mục Học Giải toán ghép lại thành chuyên mục Học -Giải toán

- Các chuyên mục Lịch sử toán học, Từ Zero đến vô cùng, Số chữ số xuất với tần suất lớn

- Chuyªn mơc míi:

+ Tốn quanh ta: Gồm liên quan đến sống hàng ngày ứng dụng tốn học sống

+ ậỊ thi cịc nđắc vộ khu vùc: Găm ệÒ thi vộ lêi giời ệđĩc ệẽng nguyến vẽn Anh ngọ

+ Góc Olympic: Gồm tốn lời giải có mức độ nhð đề Olympic Toán Tuổi thơ

+ Cuộc thi giải toán riêng cho học sinh nữ (từ 8.3.2014 đến 8.3.2015)

Toán Tuổi thơ dành cho cấp Tiểu học: - Thay chuyên mục Đến với tiếng Hán Từ Hán Việt kho tàng tiếng Việt

- Bên cạnh chuyên mục Toán tiêu dùng có chuyên mục Toán quanh ta

- Chuyên mục mới:

+ Khoa hảc: Găm cịc bội viạt song ngọ Anh -Viỷt vÒ cịc chự ệÒ lÝ, hãa, sinh, mềi trđêng, thiến vẽn

Mong bạn đọc cộng tác viên đọc viết cho chuyên mục

28

Gđểng mẳt rỰng ngêi ệẹu chử tõ ịnh mớt mộ chÝnh lộ ẻ nô cđêi Lóc vui, thoời mịi thừ cđêi cho thờn, toỰi nguyỷn vắi mải viỷc ệở lộm, ệở thu ệđĩc kạt quờ

Mứ thđêng nãi: Nơ cđêi nhđ thĨ hoa ngẹu Mừnh nộo ệở biạt hoa ngẹu, chử biạt lộm gịi thừ phời giọ lÊy nô cđêi Hộm rẽng trớng ệỊu, nơ cđêi e Êp, táa rỰng ệÊy lộ cịi “duyến” phời cã

BỰn bÌ gẳp nhau, chđa nãi ệở cđêi, rộng, vui vĨ Còng cã ệã nhớc nhứ: Chóng nã thẺt duyến! Thềi, nì trịch lị hảc trư nhử! ậang tuữi ẽn, tuữi chểi, nộo ệẹu ệở biạt lo toan, cÈn thẺn Nhđng ệiÒu nộy thừ chử mừnh tù trịch mừnh Êy lộ chiÒu nộo khềng nhắ, bÊt chĩt nhừn nớng vộng trến vỰt ruéng ven sềng, tù nhiến mừnh mửm cđêi vắi chÝnh mừnh RÊt may chử cã nớng vộng, hoa vộng biạt Còng tõ ệé Êy lưng mừnh rung lến nhọng vui buăn khã tờ, cắ, chỬng biạt tõ ệẹu? Ai ệã nãi: ậÊy lộ mừnh cđêi lưng, cđêi thẵm

TẺp ờnh cựa lắp giẻ lỰi, gđểng mẳt cịng rỰng rì nơ cđêi Nô cđêi tuữi hoa niến sịng, hăn nhiến

ẩắc gừ nô cđêi Êy cụ tđểi mởi cỉng nẽm thịng, ệõng ệĨ nhọng đu phiỊn che lÊp

Cờ nơ cđêi lưng cịng vẺy!

29 My leaves are white They never grow And everything You want to know Is stored in those Black marks you see On every leaf

You find in me

Minh Hµ(Hµ Néi)

Chự Vđên rÊt vui mõng vừ lẵn nộy cịc bỰn ệở dỡch ệóng vắi cịch dỡch mét bội thể ý thể, vẵn ệiỷu, hừnh ờnh ệỊu ệđĩc chun sang tiạng Viỷt mét cịch khị nhuẵn nhuyÔn Tuy nhiến, bến cỰnh nhọng bỰn tù dỡch bỪng ngền tõ cựa mừnh thừ vÉn cã mét sè bỰn lỰi chĐp bờn dỡch ệở ệđĩc lđu truyÒn trn mng

Mời bạn tham khảo dịch bạn Nguyễn Minh Hạnh(7A, THCS Thạch Thất, Hà Nội):

Ngoội bỰn HỰnh, nhọng bỰn sau còng sỳ ệđĩc nhẺn quộ kừ nộy: KhuÊt Bờo Chẹu, 7A, THCS ThỰch ThÊt, ThỰch ThÊt, Hộ Néi; NguyÔn Vẽn Nghỵa, 7A2, THCS Yến Phong, Yến Phong, Bớc Ninh; ậộo MỰnh Hỉng, 9H, THCS Vẽn Lang, TP Viỷt Trừ, Phó Thả;Ngun HỰnh Nhung, 9B, THCS Hoộng Xuẹn Hởn, ậục Thả, Hộ Tỵnh

Chự Vđên

quế ẻ xở Tụ Minh, CÈm Giộng, Hời Dđểng (nay thuéc thộnh Hời Dđểng)

Thêi vua Trẵn Anh Tềng cã mÊy nẽm mÊt mỉa liÒn, dẹn từnh ệãi khữ, bếnh dỡch phịt sinh PhỰm Cềng Bẹn ệở xẹy thếm nhộ ệÓ ệãn ngđêi bỷnh nhẹn nộo, kĨ cờ nhọng ngđêi mớc bỷnh trun nhiƠm hay nhọng ngđêi tộn tẺt

Vừ tÊm lưng ệục ệé ệã, ềng ệở ệđĩc ệềng ệờo

nh©n d©n kÝnh träng

TTT chóc mõng cịc bỰn sau ệđĩc nhẺn quộ kừ nộy:Lế Thỡ Nhđ Quúnh, 7D, THCS Nhọ Bị Sủ, thỡ trÊn Bót Sển, HoỪng Hãa, Thanh Hãa; Dđểng Lẹm Anh, 7A4, THCS Yến Phong, Yến Phong, Bớc Ninh;NguyÔn Thỡ Anh Thđ, 8G, THCS Lđểng Thạ Vinh, P.7, TP Tuy Hưa, Phó Yến; Ngun Tiạn Hời, 9A3, THCS Lẹm Thao, Lẹm Thao, Phó Thả; Ngun Thỡ Hăng HỰnh, 9B, THCS Hoộng Xuẹn Hởn, ậục Thả, Hộ Tỵnh

30 1 DiƯn tÝch cđa Singapore lµ 710 km2.

2 Dẹn sè trung bừnh lộ 100 000 ngđêi. 3 Thự ệề cựa Singapore ệăng thêi lộ thộnh phè Singapore vộ ệẹy lộ mét quèc ệờo. 4 Thu nhẺp bừnh quẹn ệẵu ngđêi lộ 56 500 ệề la Mủ.

5 Cịc ệỡa ệiÓm nữi tiạng ẻ Singapore: - Thiến ệđêng Sentosa (mét hưn ệờo vắi nhiÒu khu vui chểi, giời trÝ, tham quan, mua sớm) NhỰc nđắc

- Tđĩng nhẹn sđ Merlion (Sđ tỏ biÓn) - Vđên chim Jurong (Jurong Bird Park) - Thạ giắi i dng

- Bảo tàng sáp

- Vờn thú m (Night Safari)

- Nhà hát vịnh Esplanada (Nhà hát trái sầu riêng)

- Cng vin bđắm vộ thạ giắi cền trỉng - Vđên NhẺt Bờn

- Vđên phong lan

- §u quay cao nhÊt thÕ giíi Singapore Flyer - Chinatown (Khu Tµu)

- Little India (Khu TiÓu Ên)

- Universal Studios (Trđêng quay)

- Marina Bay Sands (tỉ hỵp vui chơi giải trí, sòng bạc)

- Vịnh Marina (Marina Bay)

- ậội phun nđắc lắn nhÊt thạ giắi (Foutain of Wealth)

- Phè thêi trang Haji - Cầu Helix Bridge - Phố ẩm thực - Sân bay Changi

- Nhà thuyền vịnh Marina

6 Việt Nam Singapore lập quan hệ ngoại giao tõ 1.8.1973.

NhẺn xĐt. RÊt vui vừ nhiÒu bỰn gỏi cẹu trờ lêi vÒ tưa soỰn Vội bỰn nhẵm lÉn trờ lêi cẹu 2 lộ mẺt ệé dẹn sè Cịc bỰn ệđĩc nhẺn phẵn thđẻng: Ngun Tiạn Dịng, 8A1, THCS Phè Lu, Bờo Thớng, Lộo Cai; Hoộng Ngảc Hời Linh, 8A, THCS ậoộn Thỡ ậiÓm, Yến Mủ,

Hđng Yến; Trẵn Minh Hiạu, 7C, THCS Vẽn Lang, Viỷt Trừ; NguyÔn Tiạn Hời, 9A3, THCS Lẹm Thao, Lẹm Thao, Phó Thả; Ngun Minh Cềng, 9E, THCS Vỵnh Tđêng, Vỵnh Tđêng, Vỵnh Phóc; Ngun Thỡ Thu HiỊn, 9B, THCS Minh Tẹn, Kinh Mền, Hời Dđểng;

Ngun C«ng Huynh, 8A4, THCS Núi Đèo, Thủy Nguyên, Hải Phòng; Lê Thị Nh Quỳnh, 7D, THCS Nhữ Bá Sỹ, thị trấn Bút Sơn, Hoằng Hóa, Thanh Hóa;Võ Thị Hoàng Anh, 8C; Nguyễn Thị Hồng Hạnh, 9B, THCS Hoàng Xuân HÃn, §øc Thä, Hµ TÜnh;

Ngun Thỡ Anh Thđ, 8G, THCS Lđểng Thạ Vinh, TP Tuy Hưa, Phó Yến.

31

Hái: Cã thĨ gi¶i nhiều chuyên mục tờ giấy không ạ?

Nguyễn Thị Thành (6A3, THCS Yên Phong, Yên Phong,

Bắc Ninh)

Đáp:

Mi tờ chuyn môc Vừ ngđêi chÊm khịc Anh ệở nãi rÊt nhiÒu ậõng viạt chung tê giÊy Chung phong bừ ệđĩc ệÊy ậĨ ệì tiỊn mua tem

Hái: Nạu em lộm ệóng nhđng tê giÊy em cớt chđa ệđĩc thỬng thừ cã ệđĩc ệẽng khềng Ự?

Ngun ThÞ Hun (6A4, THCS Yên Phong, Yên Phong,

Bắc Ninh)

Đáp:

Giy thng l th hin Mỡnh tụn trng Thầy thêm thiện cảm Nếu thêm chữ đẹp xinh

Hái:Anh Phã ểi! Em ệở gỏi rÊt nhiÒu bội mộ vÉn chđa ệđĩc ệẽng bội nộo TỰi vẺy anh? Mét bỰn giÊu tến (6C, THCS Tiến Du, Tin Du, Bc Ninh)

Đáp:

Mun ng phải có tên Bài hay đăng sớm đề tên rõ ràng

Vẽn A tến lắp, tến trđêng

ậĨ cã nhuẺn bót biạt phđểng gỏi vỊ

32

1(129).Find all two digit numbers such that the number is a multiple of 72

2(129) For each real number x, denote the integer part of x, or the largest integer not larger than x, as [x] Find the last two digits of the number

3(129).Solve the following simultaneous equations

4(129) Leta,b, and c be positive real numbers such that abc Find the minimum value of the expression

(Xem tiÕp trang 25)

2ab 2bc 2ca P

b c c a a b

2( ) 1, 2( ) 3,

4 3

3( ) 2( ) 5.

2

x y x z x z y z

x y xy x z xz x z xz y z yz

y z x y

y z yz x y xy

2020 100 101

10 10 .

10

A

64 72a b ,

ab

Translated by Nam Vũ Thành

Bài 1(129) Tìm tất số có hai chữ số biết số bội số 72

nguyn

(Hải Phòng)

Bội 2(129).Vắi mẫi sè thùc x, kÝ hiỷu phẵn nguyến cựa x lộ [x], lộ sè nguyến lắn nhÊt khềng vđĩt quị x Từm hai chọ sè tẺn cỉng cựa sè

thịi nhẺt phđĩng

(GV THCS NguyÔn Văn Trỗi, Cam Nghĩa, Cam Ranh, Khánh Hòa)

Bi 3(129) Gii h phng trnh

phạm trung kiên

(GV THCS Hồ Tùng Mậu, Ân Thi, Hng Yên)

Bội 4(129) Cho cịc sè thùc dđểng a, b vộ c tháa mởn ệiÒu kiỷn abc Từm giị trỡ nhá nhÊt cựa biÓu thục

cao minh quang

(GV THPT chuyªn Ngun BØnh Khiªm, VÜnh Long)

Bội 5(129).Cho mét ệă thỡ G Giờ sỏ e {u, v} lộ mét cỰnh cựa G, tục lộ u vộ v lộ cịc ệẵu mót (ệửnh) cựa e Ta nãi hai ệửnh u, v kÒ vộ cỰnh e lộ ệđêng nèi u vắi v BẺc cựa u, kÝ hiỷu deg(u), lộ sè cỰnh coi u lộ ệẵu mót ậửnh u gải lộ ệửnh chơn hay lĨ tỉy theo bẺc cựa u lộ chơn hay lĨ a) Hởy từm tẺp hĩp V cịc ệửnh, tẺp hĩp E cịc cỰnh cựa ệă thỡ G sau:

b) Từm bẺc vộ tÝnh chơn, lĨ cựa mẫi ệửnh cựa G Vò kim thựy Bội 6(129).Cho tam giịc ABC néi tiạp ệđêng trưn tẹm O bịn kÝnh R vộ ệđêng cao AH bỪng M, N theo thụ tù lộ hừnh chiạu vuềng gãc cựa H trến AB, AC Chụng minh rỪng M, O, N thỬng hng

lê phúc lữ

(HS 12 Toán, THPT chuyªn tØnh BÕn Tre)

R

ab bc ca

P

2b c 2c a 2a b

x y 2(x z) 1

x y 4xy x z 3xz

2(x z) y z 3

x z 3xz y z 2yz 3(y z) 2(x y) 5. y z 2yz x y 4xy