Chuyên đề nguyên hàm tích phân và ứng dụng ôn thi THPT 2021

TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ MỨC 7-8 ĐIỂM Dạng 1.. TÍCH PHÂN- PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN Chuyên đề 26..[r]

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH – MỨC 5-6 ĐIỂM Dạng Nguyên hàm

Bảng nguyên hàm số hàm thường gặp (với C số tùy ý)   0dx C k xd kx C



1

d

1 n

n x

x x C

n 

 



  ( ) d ( )

1 n

n ax b

ax b x C

a n

 

  

 

 1dx lnx C

x  

  dx 1lnax b C

ax b a  

  12dx C

x

x   

  2d 1

(ax b) x   a axb C 

  sin dx x  cosxC  sin(ax b x)d 1cos(ax b) C. a

    

   cos dx x sinx C

 cos(ax b x)d 1sin(ax b) C a

   



 12 d cot

sin x x   x C

  2 d 1cot( )

sin ( )

x

ax b C

a

ax b    



 12 d tan

cos x x  x C

  2d 1tan( )

cos ( )

x

ax b C

a

ax b   



 e xxd ex C  eax bdx 1eax b C. a

   



 d

ln x

x a

a x C

a

 

  d

ln x

x a

a x C

a    

 

  



♦ Nhận xét Khi thay x (axb) lấy nguyên hàm nhân kết thêm 1 a Một số nguyên tắc tính

 Tích đa thức lũy thừa PP  khai triễn  Tích hàm mũ PP  khai triển theo công thức mũ

 Bậc chẵn sin cosin  Hạ bậc: sin2 1cos2 , cos2 1cos2

2 2

a  a a  a

 Chứa tích thức x PP  chuyển lũy thừa

Câu (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Hàm số F x( ) nguyên hàm hàm số f x( ) khoảng K

A F x'( ) f x( ), x K B f x'( )F x( ), x K C F x'( ) f x( ), x K D f x'( ) F x( ), x K Câu (Mã 101 - 2020 Lần 1) x dx2

A 2x C B 1

3x C C

x C D 3x3C NGUYÊN HÀM

Câu (Mã 102 - 2020 Lần 1) Họ nguyên hàm hàm số f x x3

A B C D

Câu (Mã 103 - 2020 Lần 1) x x4d A 1

5x C B

3

4x C C x5C D 5x5C Câu (Mã 104 - 2020 Lần 1) x dx5

A 5x4C B 1

6x C C

6

x C D 6x6C Câu (Mã 101- 2020 Lần 2) 5x dx4

A 1

5x C B

x C C 5x5C D 20x3C Câu (Mã 102 - 2020 Lần 2) 6x dx5



A 6x6C B x6C C 1

6x C D 30x C Câu (Mã 103 - 2020 Lần 2)

2

3 dx x

 bằng

A 3x3C B 6x C C

3x C D

3

x C Câu (Mã 104 - 2020 Lần 2)

4 dx x



A 4x4C B 1

4x C C

2

12x C D x4C Câu 10 (Mã 103 2018) Nguyên hàm hàm số f x x4x2

A 1

5x 3x C B

x x C C x5x3C D 4x32xC Câu 11 (Mã 104 - 2019) Họ tất nguyên hàm hàm số f x 2x4

A x2C B 2x2C C 2x24xC D x24xC Câu 12 (Mã 102 - 2019) Họ tất nguyên hàm hàm số f x 2x6

A x2C B x26x C C 2x2C D 2x26x C Câu 13 (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Họ nguyên hàm hàm số f x cosx6x

A sinx3x2C B sinx3x2C C sinx6x2C D sinx C Câu 14 (Mã 105 2017) Tìm nguyên hàm hàm số f x 2 sinx

A 2 sinxdx 2 cosx C B 2 sinxdx2 cosx C C 2 sinxdxsin2x C D 2 sinxdxsin 2x C Câu 15 (Mã 101 2018) Nguyên hàm hàm số f x x3x

A 1

4x 2x C B

3x  1 C C x3 x C D x4x2C Câu 16 (Mã 103 - 2019) Họ tất nguyên hàm hàm số f x 2x3

A x23xC B 2x23xC C x2C D 2x2C

4x C

3x C

x C

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

A   22 1

3

f x dx x x C

 B   12 1

3

f x dx x x C 

C  

3

f x dx  x C

 D  

2

f x dx x C 

Câu 18 (Đề Tham Khảo 2017) Tìm nguyên hàm hàm số f x  x2 22 x

 

A  

3 d

3 x

f x x C

x

  

 B  

3 d

3 x

f x x C

x

  



C  

1 d

3 x

f x x C

x

  

 D  

3 d

3 x

f x x C

x

  



Câu 19 (Mã 110 2017) Tìm nguyên hàm hàm số  

5

f x x 



A d 1ln

5

x

x C

x   

 B d ln

5

x

x C

x   



C d 1ln

5 2

x

x C

x    

 D d ln

5

x

x C

x   

 Câu 20 (Mã123 2017) Tìm nguyên hàm hàm số f x cos 3x

A cos 3xdx3 sin 3x C B cos sin 

x

xdx C

C cos 3xdxsin 3x C D cos  sin 

x

xdx C

Câu 21 (Mã 104 2018) Nguyên hàm hàm số f x x3x2 A 1

4x 3x C B

3x 2xC C x3x2C D x4x3C Câu 22 (Đề Tham Khảo 2019) Họ nguyên hàm hàm số f x exx

A x

e  C B exx2C C 2 x

e  x C D 1

1

x

e x C

x  

Câu 23 (Mã 101 - 2019) Họ tất nguyên hàm hàm số ( )f x 2x5

A x2C B x25x C C 2x25x C D 2x2C Câu 24 (Mã 104 2017) Tìm nguyên hàm hàm số f x 7x

A d

ln x x

x C

 B

7 dx x7x C 

C

1 7 d

1 x x

x C

x



 



 D 7 dx x7 ln 7x C

Câu 25 (Mã 102 2018) Nguyên hàm hàm số f x x4x A 4x3 1 C B x5x2C C 1

5x 2x C D

x  x C Câu 26 (Đề Tham Khảo 2018) Họ nguyên hàm hàm số f x( )3x21

A x3C B

3 x

x C

  C 6xC D x3xC

Câu 27 (THPT An Lão Hải Phịng 2019) Tìm ngun hàm x x 2715dx

 ?

A 1x2716C B

 16

7

x C

   C x2716C D

 16

Câu 28 (THPT Ba Đình -2019) Họ nguyên hàm hàm số (x) x

f e hàm số sau đây? A 3exC B 1

3 

x

e C C 1

3 

x

e C D 3e3xC Câu 29 (THPT Cẩm Giàng 2019) Tínhxsin dx x

A

sin x

x C

  B

2

cos 2

x

x C

  C cos

2 x

x  C D

cos

2

x x

C

 

Câu 30 (THPT Hoàng Hoa Thám Hưng Yên 2019) Nguyên hàm hàm số e2x

y 

 A 2e2x1C B e2x1C C 1e2

2 x

C



 D 1e

x C

 Câu 31 (THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Tìm họ nguyên hàm hàm số  

2

f x x

 

A ln 2x3C B 1ln

2 x C C

ln

ln x C D  

1

lg x C Câu 32 (THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Tìm họ nguyên hàm hàm số y x2 3x

x    A

3

2

3

, ln

x x

C C x

    B

3

2

3 ,

3 x x

C C x

   

C

3

ln ,

3 ln x x

x C C

    D

3

ln ,

3 ln x x

x C C

   

Câu 33 (THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Tìm họ nguyên hàm hàm số f x sin 3x

A 3cos3x C B 3cos3x C C 1cos3

3 xC D

1 cos3

3 x C

 

Câu 34 (Chuyên KHTN 2019) Họ nguyên hàm hàm số f x 3x2sinx

A x3cosxC B 6xcosx C C x3cosxC D 6xcosx C Câu 35 (Chuyên Bắc Ninh -2019) Công thức sau sai?

A ln dx x C x

 

 B 12 d tan

cos x x x C



C sin dx x cosx C D e dx xex C

Câu 36 (Chuyên Bắc Ninh 2019) Nếu  f x dx4x3x2C hàm số f x  A  

3

3 x

f x x  Cx B f x 12x22x C

C f x 12x22x D  

3

3 x f x x 

Câu 37 (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Trong khẳng định sau, khẳng định sai? A cos 1sin

2 d

x x x C

 B

e e

1 d

e x

x x C



 





C 1dx ln x C

x  

 D

1 e e d

1 x x

x C

x



 





Câu 38 (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Nguyên hàm hàm số y2x A 2xdxln 2.2xC

 B 2xdx2xC C

2

d

ln x x

x C

 D

1 d

2

x x

x C

x

 



TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 39 (Liên Trường Thpt Tp Vinh Nghệ An 2019) Tìm họ nguyên hàm hàm số

  sin f x  x x

A f x x d 3x2cosx C B  

2

d cos

2 x

f x x  x C



C  

2

d cos

2 x

f x x  x C

 D f x x d  3 cosx C Câu 40 (Sở Bình Phước 2019) Họ nguyên hàm hàm số ( )f x xs inxlà

A x2cos x+C B x2cos x+C C

cos x+C

x

 D

2

cos x+C

x  Câu 41 (THPT Minh Khai Hà Tĩnh 2019) Họ nguyên hàm hàm số ( )f x cosx là:

A cosx C B cosx C C sinx C D sinx C

Câu 42 (THPT Đoàn Thượng - Hải Dương - 2019) Họ nguyên hàm hàm số f x x4x2 A 4x32x C B x4x2C C 1

5x 3x C D x x C Câu 43 (THPT Cù Huy Cận 2019) Họ nguyên hàm hàm số f x ex2x

A ex x2C B exx2C C

x

e x C

x   D

x

e  C Câu 44 (Chuyên Hùng Vương Gia Lai 2019) Họ nguyên hàm hàm số ycosx x

A sin 2

x x C B sinxx2C C sin 2

x x C

   D sinxx2C Câu 45 (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Họ nguyên hàm hàm số y x2 3x

x

  

A

3

3

ln

3

x x

x C

   B

3

3

ln

3

x x

x C

  

C

3

3

ln

3

x x

x C

   D

3

2

3

3

x x

C x

  

Câu 46 (Chuyen Phan Bội Châu Nghệ An 2019) Họ nguyên hàm hàm số f x  sinx x

  A lnxcosxC B 12 cosx C

x

   C ln xcosx C D ln xcosx C Câu 47 (THPT Yên Phong Bắc Ninh 2019) Hàm số  

3

F x  x nguyên hàm hàm số sau  ; ?

A f x 3x2 B f x  x3 C f x x2 D   4 f x  x Câu 48 (THPT Yên Phong Bắc Ninh 2019) Tìm họ nguyên hàm hàm số f x 2x

A  f x dx2xC B  d

ln x f x x C



C f x dx2 ln 2x C

 D  

1 d

1 x

f x x C

x



 





Câu 49 (THPT - n Định Thanh Hóa 2019) Tìm nguyên hàm hàm số  

2 x f x

x



A  

1 d

3 x

f x x C

x

  

 B  

3 d

3 x

f x x C

x

  



C  

1 d

3 x

f x x C

x

  

 D  

3 d

3 x

f x x C

x

  



Câu 50 (Sở Hà Nội 2019) Hàm số hàm số sau nguyên hàm hàm số yex? A y

x

 B yex C yex D ylnx

Câu 51 (Chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai 2019) Tính F x( )e dx2 , e số 2, 718

e A

2 ( )

2 e x

F x  C B

3 ( )

3 e

F x  C C F x( )e x C2  D F x( )2ex C Câu 52 (Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị 2019) Tìm nguyên hàm hàm số  

1 f x

x 



;

 



 

  A 1ln

2 x C B  

1

ln

2  x C C

ln

2 x C

   D ln 2x 1 C Câu 53 (Chuyên Hưng Yên 2019) Nguyên hàm hàm số f x 2xx

A

2

2

ln 2 2

x x

C

  B

2x

x C

  C 2

ln 2

x

x C

  D

2

2 2

x x C

  Câu 54 (Chuyên Sơn La 2019) Họ nguyên hàm hàm số f x  1 sinx

A cos x C B cos x C C xcosxC D xcosxC Câu 55 (THPT Đơng Sơn Thanh Hóa 2019) Ngun hàm hàm số f(x) 2 2019

3x  x  x A x  x  x C

2

2 12

1

B

2

4

1

2019

9

x

x  x   x C C

2

4

1

2019

12

x

x  x   x C D

2

4

1

2019

9

x

x  x   x C Câu 56 (THPT Yên Khánh - Ninh Bình - 2019) Họ nguyên hàm hàm số ( )

3

f x x



 khoảng

1 ;

3

 



 

  là:

A 1ln(3 1)

3 x C B ln(1 ) x C C

ln(1 )

3  x C D ln(3x 1) C Câu 57 (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Trong khẳng định sau, khẳng định sai?

A 2 dx x2 ln 2x C B

2

2 e

e d

x x

x C



C cos d 1sin 2

x x x C

 D d ln

1 x x C

x   

   x 1

Câu 58 (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Cho hàm số

4

2

( ) x f x

x



TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A

3

2

( )

3

x

f x dx C

x

  

 B

3

2

( )

3 x

f x dx C

x

  



C

3

2

( )

3 x

f x dx C

x

  

 D f x dx( ) 2x3 C

x

  



Câu 59 (Sở Thanh Hóa 2019) Cho hàm số f x 2x x 1 Tìm  f x dx A  f x dx2xx2 x C B  d 1 2 1

ln 2 2

x

f x x  x  x C



C  d 2 1

2 x

f x x  x  x C

 D  d 1 2 1

1 2

x

f x x x x C

x   

 



Câu 60 (Liên Trường Thpt Tp Vinh Nghệ An 2019) Tìm họ nguyên hàm hàm số   sin

f x  x x

A f x x d 3x2cosx C B  

2

d cos

2 x

f x x  x C



C  

2

d cos

2 x

f x x  x C

 D f x x d  3 cosx C Câu 61 (Chuyên Bắc Giang 2019) Hàm số   x2

F x e nguyên hàm hàm số hàm số sau:

A f x( )2xex2 B f x( )x e2 x21 C f x( )e2x D

2

( )

x e f x

x



Câu 62 (Chuyên Đại Học Vinh 2019) Tất nguyên hàm hàm số ( )f x 3x A

ln x

C



  B 3xC C 3xln 3C D 3

ln x

C





Câu 63 (Sở Phú Thọ 2019) Họ nguyên hàm hàm số f x x3x2 A

4  

x x

C B x4x3C C 3x22xC D

4

3  

x x

C

Câu 64 (Chuyên ĐHSP Hà Nội 2019) Hàm số hàm số sau không nguyên hàm hàm số yx2019?

A 2020

1 2020

x

 B

2020 2020

x

C y2019x2018 D 2020

1 2020

x

 Câu 65 (Chuyên Quốc Học Huế 2019) Tìm họ nguyên hàm hàm số yx23x 1

x A

3

ln ,

3 ln x x

x C C R

    B

3

ln ,

3 ln x x

x C C R

   

C

2

3 ,

3 x x

C C R x

    D

3

2

3

, ln

x x

C C R x

   

Câu 66 (Quảng Ninh 2019) Tìm nguyên hàm hàm số   2017 20185 x

x e

f x e

x



 

   

 

A  d 2017 x 20184

f x x e C

x

  

 B  d 2017 x 20184

f x x e C

x

  



C  d 2017 x 504,54

f x x e C

x

  

 D  d 2017 x 504,54

f x x e C

x

  

Câu 67 (HSG Bắc Ninh 2019) Họ nguyên hàm hàm số 2 cos

x

x e

y e

x



 

   

 

A 2ex tanx C B 2extanx C C 2

cos x

e C

x

  D 2

cos x

e C

x

 

Câu 68 (Chuyên Hạ Long 2019) Tìm nguyên F x  hàm số f x   x1x2x3 ? A.  

4

3 11

6

4

x

F x   x  x  x C B. F x x46x311x26x C . C.  

4

3 11

2

4

x

F x   x  x  x C D. F x x36x211x26x C Câu 69 (Sở Bắc Ninh 2019) họ nguyên hàm hàm số  

5

  f x

x là: A. 1ln 5 4

5 x C B ln 5x4C C.

ln

ln x C D

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ – MỨC 7-8 ĐIỂM

Dạng Nguyên hàm có điều kiện

Bảng nguyên hàm số hàm thường gặp (với C số tùy ý)   0dx C k xd kx C. 

 

1

d

1

n

n x

x x C

n



 



    

1

1 ( )

( ) d

1

n

n ax b

ax b x C

a n





  



  

  1dx lnx C

x  

     dx 1lnax b C

ax b a  

  

  12dx C

x

x   

     2d 1

(ax b) x   a axb C

  

  sin dx x  cosxC. 

  sin(ax b x)d 1cos(ax b) C

a

    

  

  cos dx x sinx C. 

  cos(ax b x)d 1sin(ax b) C

a

   

  

  12 d cot

sin x x   x C

     2 d 1cot( )

sin ( ) x

ax b C

a

ax b    

  

  12 d tan

cos x x  x C

     2d 1tan( )

cos ( ) x

ax b C

a

ax b   

  

  e xxd ex C

  

  eax bdx 1eax b C

a

   

  

  d

ln

x

x a

a x C

a

 

     d

ln

x

x a

a x C

a

   





  

  

♦ Nhận xét Khi thay x (axb) lấy nguyên hàm nhân kết thêm 1

a 

Một số nguyên tắc tính  Tích đa thức lũy thừa PP  khai triễn

 Tích hàm mũ PP  khai triển theo cơng thức mũ

 Bậc chẵn sin cosin  Hạ bậc: sin2 1cos2 , cos2 1cos2

2 2

a  a a  a

 Chứa tích thức x PP  chuyển lũy thừa. 

Câu (Đề  Tham  Khảo  2018)  Cho  hàm  số  f x( )  xác  định  trên  \

     

   thỏa  mãn 

  ,  0 1,  1

2

f x f f

x

   

  Giá trị của biểu thức  f 1  f  3  bằng

A 2 ln15 B 3 ln15 C ln15 D 4 ln15  

Câu (Sở Phú Thọ 2019) Cho F x  là một nguyên hàm của    1

 

f x

x  trên khoảng 1; thỏa 

mãn F e 14Tìm F x . 

NGUYÊN HÀM

A 2 lnx12  B lnx13 C 4 lnx1  D lnx13

Câu (THPT Minh Khai Hà Tĩnh 2019) Cho F x   là một nguyên hàm của hàm  số    ,

f x x



  

biết F 1 2. Giá trị của F 0  bằng 

A 2 ln 2. B ln C 2ln2  D ln 2

Câu (KTNL GV Thuận Thành 2 Bắc Ninh 2019)  Cho  F x   là  một  nguyên  hàm  của  hàm 

 

2

f x x



 ; biết F 0 2. Tính F 1  

A  1 2

F  ln    B F 1 ln32.  C F 1 2 2ln    D  1 2

F  ln    Câu (Chuyên ĐHSP Hà Nội 2019) Hàm số F x  là một nguyên hàm của hàm số y

x

  trên ;0  thỏa mãn F 2 0. Khẳng định nào sau đây đúng? 

A   ln  ;0

2

x

F x      x

   

B F x ln xC   x  ;0 với C là một số thực bất kì.  C F x ln xln 2  x  ;0. 

D F x lnxC   x  ;0 với C là một số thực bất kì. 

Câu (THPT  Minh  Khai Hà Tĩnh  2019)  Cho  hàm  số  f x   xác  định  trên  R\ 1   thỏa  mãn 

 

1

f x

x

 

 ,  f 0 2017,  f  2 2018. Tính S f 3  f 1  

A Sln 4035.  B S4.  C S ln 2.  D S1. 

Câu (Mã 105 2017)  Cho F x   là một nguyên hàm của hàm  số  ( ) x2

f x e x thỏa mãn   0 3

F  

Tìm F x 

A    21

x

F x e x B    25

x

F x e x

C    23

x

F x e x D  2  21

x

F x e x  

Câu (THCS - THPT Nguyễn Khuyến 2019) Biết F x  là một nguyên hàm của hàm số  f x e2x  và F 0 0. Giá trị của Fln 3 bằng 

A 2.  B 6.  C 8.  D 4. 

Câu (Sở Bình Phước 2019) Biết F x  là một nguyên hàm của hàm số e2x và   0 201

F   Giá trị 

1

F  

  là 

A 1 200

2e B 2e100 C

1 50

2e D

1 100 2e

Câu 10 (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019)  Hàm  số  f x   có  đạo  hàm  liên  tục  trên    và: 

 

2e x 1,

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 

Câu 11 (Sở Bắc Ninh 2019) Cho hàm số   2  x

f x x e  Tìm một nguyên hàm F x  của hàm số  f x   thỏa mãn F 0 2019. 

A F x x2ex2018.  B F x x2ex2018.  C   2 x2017

F x x e   D   x2019

F x e  

Câu 12 Gọi F x   là  một  nguyên  hàm  của  hàm  số  f x 2x,  thỏa  mãn   0 ln

F    Tính  giá  trị  biểu 

thức T F 0 F 1  F2018F2019.  A

2019

2

1009 ln

T     B T 22019.2020. 

C

2019

2

ln

T     D

2020

2

ln

T    

Câu 13 (Mã 104 2017) Tìm nguyên hàm F x  của hàm số  f x sinxcosx thoả mãn  2

F   

A F x  cosxsinx3 B F x  cosxsinx1 C F x  cosxsinx1 D F x cosxsinx3 

Câu 14 (Mã 123 2017) Cho hàm số  f x  thỏa mãn f x'  3 sinx và f 0 10. Mệnh đề nào dưới  đây đúng?

A f x 3x5 cosx15 B f x 3x5 cosx2

C f x 3x5 cosx5 D f x 3x5 cosx2 

Câu 15 (Việt Đức Hà Nội 2019) Cho hàm số  f x  thỏa mãn  f x  2 5sinx và  f 0 10. Mệnh đề  nào dưới đây đúng? 

A f x 2x5 cosx3.  B f x 2x5 cosx15.  C f x 2x5 cosx5.  D f x 2x5 cosx10. 

Câu 16 (Liên Trường Thpt Tp Vinh Nghệ An 2019)  Biết  F x   là  một  nguyên  hàm  của  hàm 

  cos

f x  x và 

2

F 

   Tính F



     . 

A

9

F  

    B

3

9

F  

    C

3

9

F  

    D

3

9

F  

   

Câu 17 (Chuyên  Lê  Quý  Đôn  Quảng  Trị  2019)  Cho  F x   là  một  nguyên  hàm  của  hàm  số 

 

1 cos

f x

x

  Biết 

4

F kk

   với mọi k. Tính F 0 F  F F10. 

A 55.  B 44.  C 45.  D 0. 

Câu 18 (Yên Lạc - Vĩnh Phúc - 2020) Gọi F x  là một nguyên hàm của hàm số    2x

f x  , thỏa mãn 

 0

ln

F   Tính giá trị biểu thức T F 0 F 1 F 2  F2019.  A

2020

2

ln

T     B

2019

2

1009

T     C T 22019.2020.  D

2019

2

ln

T    

Dạng Tìm nguyên hàm phương pháp đổi biến số

Giả sử ta cần tìm họ nguyên hàm If x dx  , trong đó ta có thể phân tích 

     ' 

f x g u x u x dx thì ta thức hiện phép đổi biến số tu x  

 

'

dt u x dx

   Khi đó: Ig t dt  G t CG u x  C 

Chú ý: Sau khi ta tìm được họ nguyên hàm theo t thì ta phải thay tu x   1 Đổi biến số với số hàm thường gặp

   f ax b x x(  )n d   PP t ax b

    ( ) ( )d ( )

b

PP

n n

a

f x f x x  t f x





1

   (ln ) d ln

b

PP

a

f x x t x

x  



    ( ) d

b

PP

x x x

a

f e e x t e

 

   (sin ) cos d sin

b

PP

a

f x x x t x



    (cos ) sin d cos

b

PP

a

f x x x t x

 

2

1

   (tan ) d tan

cos b

PP

a

f x x t x

x  



    (sin cos ).(sin cos )d sin cos

b

a

f x x x x x t x x





2 2

   f( a x )x ndx PP x asin t





  



    f( x2 a2)mx2ndx PP x atan t 



  

     f a x dx PP x acos t

a x





  

 

 

 

 







d

( )( )

x

t ax b cx d

ax b cx d





    

 

 

1

   s ,.,sk d n

R ax b ax b x t ax b





      

 



    d

( )

PP n

n n

x

x t

a bx a bx





  

 

  2 Đổi biến số với hàm ẩn

 Nhận dạng tương đối: Đề cho f x( ), yêu cầu tính f(x) đề cho f(x), yêu cầu tính f x( )

 Phương pháp: Đặt t ( x)

 Lưu ý: Đổi biến nhớ đổi cận sử dụng tính chất: “Tích phân khơng phụ thuộc vào biến số, mà phụ thuộc vào hai cận”, nghĩa ( )d ( )d ( )d

b b b

a a a

f u u f t t   f x x 

  

Câu 19 (Mã 101 – 2020 Lần 2) Biết F x ex x2 là một nguyên hàm của hàm số   

f x  trên . Khi  đó  f 2x dx bằng 

A 2ex 2x2C.  B 1 2

x

e x C   C 1 2

2 x

e  x C   D e2x4x2C. 

Câu 20 (Mã 102 - 2020 Lần 2) Biết    x 2

F x e  x  là một nguyên hàm của hàm số  f x  trên . Khi  đó  f 2x dx bằng 

A 2ex4x2C.  B 1 4 .

x

e  x C   C e2x8x2C.  D 1 2 .

x

e  x C  

Câu 21 (Mã 103 - 2020 Lần 2) Biết F x exx2 là một nguyên hàm của hàm số 

 

f x  trên . Khi  đó  f 2x dx bằng 

A 1 2 2

x

e  x C B e2x4x2C C 2ex2x2C D 1 2

2 x

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 

Câu 22 (Mã 104 - 2020 Lần 2) Biết    ex 2

F x   x  là một nguyên hàm của hàm số  f x  trên . Khi  đó  f 2x dx bằng 

A e2x8x2C.  B 2ex 4x2C.  C 1e2 2 2

x x C.  D 1e2 4 2

x x C. 

Câu 28 [DS12.C3.1.D09.b] (Thi thử Lômônôxốp - Hà Nội lần V 2019) Biết 

2 d sin2 ln

f x x x xC

  Tìm nguyên hàm f x dx?  A  d sin2 ln

2

x

f x x  x C

   B  f x dx2sin 22 x2lnx C     C  d 2sin2 ln

2

x

f x x  x C

   D  f x dx2sin2x2lnx C   Câu 46 [DS12.C3.1.D09.b] Cho  f(4 ) dx xx23x c  Mệnh đề nào dưới đây đúng? 

A

2

( 2) d

4

x

f x x  xC

   B  f x( 2) dxx27x C   

C

2

( 2) d

4

x

f x x  xC

   D

2

( 2) d

2

x

f x x  xC

   

Câu [DS12.C3.1.D09.b] Cho f x dx4x32x C 0. Tính I xf x 2 dx A I 2x6x2C B

10

10 6

x x

I   C C I 4x62x2C D I 12x22

Câu 23 (Sở Bắc Ninh 2019) Tìm họ nguyên hàm của hàm số f x  x2.ex31. 

A  

3

d e

3 

 

 f x x x x C.  B  f x dx3ex31C.  C  f x dxex31C. D  d 1e

3 

 

f x x x C. 

Câu 24 (THPT Hà Huy Tập - 2018) Nguyên hàm của f x sin x esin2x là 

A sin2 sin2x

x e  C

   B

2

sin

sin x

e

C x





   C

2

sin x

e C.  D

2

sin

sin x

e

C x





  

Câu 25 Tìm tất cả các họ nguyên hàm của hàm số    9 5

3x

f x x



  

A  

4

4

1

x ln

3x 36

x

f x d C

x

   



 B  

4

4

1

x ln

12x 36

x

f x d C

x

   



  

C  

4

4

1

x ln

3x 36

x

f x d C

x

   



   D  

4

4

1

x ln

12x 36

x

f x d C

x

   



  

Câu 26 (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019)  Tìm  hàm  số  F x   biết   

3 d

1

x

F x x

x

 

   và 

 0

F   

A F x lnx411. B   1ln 1

4

F x  x    

C   1ln 1

Câu 27 Biết   

 

2017

2019

1 1

,

1

b

x x

dx C x

a x

x

   

     



 



  với  ,a b. Mệnh đề nào sau đây đúng? A a2b.  B b2a.  C a2018b.  D b2018a. 

Câu 28 (Chuyên Quốc Học Huế - 2018)  Biết  rằng  F x   là  một  nguyên  hàm  trên    của  hàm  số 

 

 2018 2017

1

x f x

x

 

 thỏa mãn F 1 0. Tìm giá trị nhỏ nhất m của F x . 

A

2

m    B

2017 2018

2

m    C

2017 2018

2

m    D

2

m  

Câu 29 Cho  F x   là  nguyên  hàm  của  hàm  số   

1

x

f x e



   và  F 0  ln 2e.  Tập  nghiệm  S  của 

phương trình F x lnex12 là: 

A S  3   B S 2;3  C S   2; 3  D S   3;3  Câu 30 (THPT Lê Quý Đôn Đà Nẵng 2019) Họ nguyên hàm của hàm số  f x  x3x212019là 

A    

2021 2020

2

1

1

2 2021 2020

x x

   

  

 

 

.  B    

2021 2020

2

1

2021 2020

x  x 

  

C    

2021 2020

2 1 1

2021 2020

x x

C

 

    D    

2021 2020

2

1

1

2 2021 2020

x x

C

   

  

 

 

. 

Câu 31 (THPT Hà Huy Tập - 2018) Nguyên hàm của   ln

.ln

x f x

x x



  là: 

A ln d ln ln ln

x

x x C

x x



 

   B ln d ln 2.ln

.ln

x

x x x C

x x



 

  

C ln d ln ln ln

x

x x x C

x x



  

   D ln d ln ln

.ln

x

x x x C

x x



 

  

Câu 32 (Chuyên Hạ Long - 2018) Tìm họ nguyên hàm của hàm số  f x x e2 x31  A f x dxex31C

  B f x dx3ex31C

  

C  d 3

x

f x x e  C

 

   D  

3 d

3

x

x

f x x e  C

  

Câu 33 (Chuyên Lương Văn Chánh Phú Yên 2019) Nguyên hàm của hàm số   

3

f x  x  là 

A  f x dx3x133x 1 C B  f x dx33x 1 C C  d 133

3

f x x x C

 D  d 13 133

4

f x x x x C

  

Câu 34 Nguyên hàm của hàm số  f x  3x2 là  A 2(3 2)

3 x x C B

(3 2) 3 x x C  C 2(3 2)

9 x x C D

3

2 3x2 C 

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 

A 12 1

3 x x C

      B 1

2 x C. 

C 22 1

3 x x C.  D  

1

2

3 x x C. 

Câu 36 (THPT An Lão Hải Phòng 2019) Cho hàm số  f x  x ln

x

  Hàm số nào dưới đây không là 

nguyên hàm của hàm số f x ? 

A F x 2 x C  B F x 2 2 x1C 

C F x 2 2 x 1C  D  

2 x

F x   C

Câu 37 (THPT Yên Phong Số 1 Bắc Ninh 2019)  Khi  tính  nguyên  hàm  d

x x x

 

 ,  bằng  cách  đặt 

u x  ta được nguyên hàm nào?

A 2u24 d u.  B u24 d u.  C u23 d u.  D 2u u 24 d u.  Câu 38 (Chuyên Hạ Long - 2018) Tìm họ nguyên hàm của hàm số   

2

f x

x



  

A  d 2

f x x x C

   B  f x x d  2x 1 C. 

C  f x x d 2 2x 1 C.  D  

 

1 d

2

f x x C

x x

 

 

  

Câu 39 (THCS - THPT Nguyễn Khuyến - 2018) Nguyên hàm của hàm số f x lnx x21 là  A F x xlnx x21 x2 1 C.  B

  ln 1 1

F x x x x   x  C. 

C F x xlnx x21C.  D F x x2lnx x21C.  Câu 40 (Chuyên Hạ Long - 2018)  Biết rằng trên khoảng  3;

2

 

 

 

 , hàm số   

2

20 30

2

x x

f x

x

 



   có 

một  nguyên  hàm  F x ax2bx c  2x3  (a b c, ,   là  các  số  nguyên).  Tổng  Sa b c   

A 4.  B 3   C   D 6  

Câu 41 (Chuyên Bắc Ninh 2019) Tìm nguyên hàm của hàm số  ( ) sin 3cos

x f x

x



  

A ( ) d 1ln 3cos

f x x  xC

   B  f x( ) dxln 3cos xC.  C  f x( ) dx3ln 3cos xC.  D ( ) d 1ln 3cos

3

f x x   xC

  

Câu 42 (Sở Thanh Hóa 2019) Tìm các hàm số  f x( ) biết  '

2

cos ( )

(2 sin )

x f x

x



  

A ( ) sin 2 (2 sin )

x

f x C

x

 

   B

1 ( )

(2 cos )

f x C

x

 

  

C ( ) sin

f x C

x

  

   D

sin ( )

2 sin

x

f x C

x

 

Câu 43 (THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội 2019)  Biết  F x là  một  nguyên  hàm  của  hàm  số 

sin ( )

1 3cos

x f x

x



  và F 2

  

    

.Tính F 0   A (0) 1ln 2

3

F      B (0) 2ln 2

F     C (0) 2ln 2

F     D (0 1ln 2

F     

Câu 44 (Liên Trường Thpt Tp Vinh Nghệ An 2019)  Biết f x dx3 cos 2x  x5C.  Tìm  khẳng  định đúng trong các khẳng định sau

A  f 3x dx3 cos 6x  x5C  B  f 3x dx9 cos 6x  x5C  C  f 3x dx9 cos 2x  x5C  D  f  3x dx3 cos 2x  x5C  Câu 45 (Chuyên Hạ Long - 2018) Tìm họ nguyên hàm của hàm số  f x tan5x. 

A  d 1tan4 1tan2 ln cos

4

f x x x x xC

  

B  d 1tan4 1tan2 ln cos

4

f x x x x xC

  

C  d 1tan4 1tan2 ln cos

4

f x x x x xC

  

D  d 1tan4 1tan2 ln cos

4

f x x x x xC

  

Câu 46 (Hồng  Bàng  -  Hải  Phòng  -  2018)  Biết F x  nguyên hàm hàm số

 

sin cos

f x  x x F 0  Tính

2

F 

 

A

2

F    

.  B

2

F   

.  C

2

F    

.  D

2

F   

. 

Câu 47 Cho F x   là  một  nguyên  hàm  của  hàm  số    ln

f x

x x

   thỏa  mãn  e

F  

    và F e ln 2. 

Giá trị của biểu thức  12  e2 e

F F

   bằng  

A 3ln 2   B ln 2   C ln 1   D 2ln 1   

Câu 48 (Chuyên Nguyễn Huệ-HN 2019) Gọi F x   là  nguyên  hàm  của  hàm  số 

2 ( )

8

 

x f x

x

  thỏa 

mãn F 2 0. Khi đó phương trình F x x có nghiệm là:

A x0 B x1 C x 1 D x 1 Câu 49 Gọi F x  là nguyên hàm của hàm số    12

1

x f x

x x

 

  Biết F 3 6, giá trị của F 8  là

A 217

8 B 27 C

215

24 D

215  

Câu 50 Họ nguyên hàm của hàm số   

20 30

2

x x

f x

x

 



  trên khoảng 

3 ;

 



 

 

 là

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 

1 Công thức thường áp dụng

1

dx lnax b C

axb a  



 2 d 1

(ax b) x   a axb C 



lnalnbln( ).ab

 lna lnb lna b

  



lnan nln a

  ln 10

2 Phương pháp tính nguyên hàm, tích phân hàm số hữu tỷ ( )d ( )

P x

I x

Q x 

 Nếu bậc tử số P x( ) bậc mẫu số Q x( ) PP  Chia đa thức

 Nếu bậc tử số P x( ) bậc mẫu số Q x( ) PP  phân tích mẫu Q x( ) thành tích số, sử dụng phương pháp che để đưa công thức nguyên hàm số 01

 Nếu mẫu khơng phân tích thành tích số PP  thêm bớt để đổi biến lượng giác hóa cách đặt X atan ,t mẫu đưa dạng X2a2

Câu 51 (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Họ  tất  cả  các  nguyên  hàm  của  hàm  số  ( )

x f x

x

 

   trên  khoảng 

1; là 

A x3lnx1C.  B x3lnx1C.  C

 2

3

x C

x

 

   D  2

3

x C

x

 

  

Câu 52 (Mã đề 104 - BGD - 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số   

 2

3

2

x f x

x

 



 trên khoảng 

2; là

A 3 ln 2 2

x C

x

  

 B  

2 ln

2

x C

x

  



C 3 ln 2

x C

x

  

 D  

4 ln

2

x C

x

  



Câu 53 (Mã đề 101 - BGD - 2019)  Họ  tất  cả  các  nguyên  hàm  của  hàm  số   

 2

2 1  



x f x

x   trên 

khoảng  1;  là A 2 ln 1

1

  



x C

x B  

3 ln

1

  



x C

x

C 2 ln 1

  



x C

x D  

3 ln

1

  



x C

x  

Câu 54 (Chun  Lê  Q  Dơn  Diện  Biên  2019)  Tìm  một  ngun  hàm  F x của  hàm  số 

  2 , b

f x ax x

x

   biết rằng F 1 1,F 1 4,f 1 0  A   3

2 4

F x x

x

     B   3

4

F x x

x

   . 

C   3

4

F x x

x

     D   3

2 2

F x x

x

Câu 55 Cho biết 

  

2 13

dx ln ln

1

x

a x b x C

x x



    

 

  

Mệnh đề nào sau đây đúng? 

A a2b8.  B ab8.  C 2a b 8.  D a b 8.  Câu 56 Cho biết    

3

dx aln x x bln x C

x x     

  Tính giá trị biểu thức: P2a b  

A 0.  B -1.  C 1

2.  D 1. 

Câu 57 Cho biết  24 11 dx ln ln

5

x

a x b x C

x x



    

 

  Tính giá trị biểu thức: Pa2ab b 2. 

A 12.  B 13.  C 14.  D 15. 

Câu 58 Cho hàm số  f x  thỏa mãn  f  x ax2 b3 x

   ,  f 1 3,  f 1 2,  1

2 12

f      Khi đó  2ab 

A

 B 0 C 5 D 3

2 Câu 59 (Mã 102 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số  ( ) 12

( 1)

x f x

x

 

  trên khoảng (1;) là

A 3ln( 1) 1

x c

x

  

 B

2 3ln( 1)

1

x c

x

  



C 3ln( 1)

x c

x

  

 D

1 3ln( 1)

1

x c

x

  

  

Câu 60 (Mã 103 - 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số   

 2

2

2

x f x

x

 



 trên khoảng 2;  là

A 2 ln 2

x C

x

  

 B  

1 ln

2

x C

x

  



C 2 ln 2

x C

x

  

 D  

3 ln

2

x C

x

  

  

Câu 61 (THPT  Yên  Khánh  -  Ninh Bình  -  2019)  Cho  F x( )  là  một  nguyên  hàm  của  hàm  số 

 

2

2

x f x

x x x

 

    trên  khoảng  0;  thỏa  mãn   

1

2

F    Giá  trị  của  biểu  thức 

 1  2  3 2019

S F F F   F  bằng

A 2019

2020 B

2019.2021

2020 C

1 2018

2020 D 2019 2020

  

Câu 62 Giả sử   

     

2 d

1



  

   

 x x C

x x x x g x  (C là hằng số). 

Tính tổng các nghiệm của phương trình g x 0. 

A 1.  B 1.  C 3.  D 3. 

Câu 63 (Nam Trực - Nam Định - 2018)  Cho 

 

3

1

I dx

x x





   ln ln 1 2

a

b x c x C

x



       Khi 

đó S a b c   bằng  A

4 

.  B 3

4.  C

7

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 

Câu 64 (Trường VINSCHOOL - 2020) Cho  hàm  số  f x   xác  định  trên  R\1;1  thỏa  mãn 

  '

1

f x x



   Biết  f 3  f 3 4  và 

1

2

3

f   f 

      Giá  trị  của  biểu  thức 

 5  0  2

f   f  f  bằng 

A 5 1ln 2

   B 6 1ln

2

   C 5 1ln

2

   D 6 1ln

2

  

Câu 65 (Quảng Xương - Thanh Hóa  -  2018)  Cho  hàm  số  f x   xác  định  trên  \2;1  thỏa  mãn   2

2

f x

x x

 

  ,  f 3  f  3 0  và   

3

f    Giá  trị  của  biểu  thức 

 4  1  4

f   f   f  bằng 

A 1ln

3 3 B ln 80 1   C

ln ln

3 5    D

ln 5  

Câu 66 (Chuyên Nguyễn Quang Diêu - Dồng Tháp - 2018)  Cho  hàm  số  f x   xác  định  trên \ 1   thỏa mãn   

1

f x

x

 

 ,  f 0 2017,,  f 2 2018. Tính S f 3 2018f 1 2017. 

A S 1.  B

1 ln

S    C S 2 ln 2.  D ln

S  

Câu 67 (Sở Phú Thọ - 2018)  Cho  hàm  số  f x   xác  định  trên  \1;1  thỏa  mãn    22

1

f x

x

 

 , 

 2  2

f   f   và  1

2

f  f  

     Tính f 3  f  0  f 4  được kết quả 

A ln6

5   B

6 ln

5   C

4 ln

5   D

4 ln

5   Dạng Nguyên hàm phần

Cho hai hàm số u và v liên tục trên a b;  và có đạo hàm liên tục trên a b; . Khi đó: 

  udvuv vdu 

   

Để tính tích phân   

b

a

I  f x dx bằng phương pháp từng phần ta làm như sau: Bước 1:Chọn u v,  sao cho  f x dx  udv (chú ý: dvv x dx'  ). 

Tính vdv và duu dx' . 

Bước 2:Thay vào cơng thức   và tính vdu

Cần phải lựa chọn u và dv hợp lí sao cho ta dễ dàng tìm được v và tích phân vdu dễ tính hơn 

udv

  Ta thường gặp các dạng sau  Dạng :   sin

cos

x

I P x dx

x

 

  

 

 , trong đó P x  là đa thức  Với dạng này, ta đặt   ,   sin

cos

x

u P x dv dx

x

 

   

 

. 

Dạng :I  x eax b dx

Với dạng này, ta đặt   

ax b

u P x

dv e  dx

      

, trong đó P x  là đa thức  Dạng : IP x  ln mx n dx   

Với dạng này, ta đặt   

 

ln

u mx n

dv P x dx

         

Dạng : sin cos

x

x

I e dx

x           Với dạng này, ta đặt  sin cos x x u x dv e dx

            

 để tính vdu ta đặt 

sin cos x x u x dv e dx

                

Câu 68 (Mã 101 - 2020 Lần 1) Cho  hàm  số    2 x f x x  

.  Họ  tất  cả  các  nguyên  hàm  của  hàm  số 

     

g x  x f x  là 

A 2 2 2 x x C x       B 2 x C x      C 2 2 x x C x       D 2 2 x C x     

Câu 69 (Mã 102 - 2020 Lần 1) Cho  hàm  số  f x  x x

 

2

3

.  Họ  tất  cả  các  nguyên  hàm  của  hàm  số 

   1   g x  x f x  là

A x x C x     2 3

.  B x C

x    3

.  C x x C

x     2 3

.  D x C

x    3  

Câu 70 (Mã 103 - 2020 Lần 1) Cho  hàm  số 

2 ( ) x f x x  

.  Họ  tất  cả  các  nguyên  hàm  của  hàm  số 

( ) ( 1) '( )

g x  x f x  

A 2 2 x x C x       B 1 x C x      C 2 1 x x C x       D 1 x C x     

Câu 71 (Mã 104 - 2020 Lần 1) Cho  hàm  số    x f x x  

.  Họ  tất  cả  các  nguyên  hàm  của  hàm  số 

   1   g x  x f x  là 

A 4 x C x      B 4 x C x      C 2 4 x x C x       D 2 4 x x C x      

Câu 72 (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Cho hàm số  f x  liên tục trên . Biết cos 2x là một nguyên hàm  của hàm số  f x ex, họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f x ex là: 

A sin 2xcos 2xC. B 2 sin 2xcos 2xC. 

C 2 sin 2xcos 2xC.  D 2 sin 2xcos 2xC.  Câu 73 (Đề Tham Khảo 2019) Họ nguyên hàm của hàm số  f x 4x1 ln x là:

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 

A F x xcosxsinx C B F x xcosxsinx C C F x  xcosxsinx C D F x  xcosxsinx C   Câu 75 (Chuyên Phan Bội Châu 2019) Họ nguyên hàm của hàm số  f x( )x e 2x là : 

A

( )

2

x

F x  e x C

 

  B  

( )

2

x

F x  e x C 

C F x( )2e2xx2C  D ( ) 2 2

x

F x  e x C

 

Câu 76 (THPT Gia Lộc Hải Dương 2019) Họ nguyên hàm của hàm số  f x   2x1ex là  A 2 3 x

x e C.  B 2 3 x 

x e C. 

C 2 1 x

x e C.  D 2 1 x

x e C. 

Câu 77 (Chuyen Phan Bội Châu Nghệ An 2019) Tìm họ nguyên hàm của hàm số  f x( )xe2x?

A

( )

2

x

F x  e x C

 

B  

( )

2

x

F x  e x C

C ( ) 2x 2

F x  e x C D ( ) 2

2

x

F x  e x C

 

Câu 78 (Chuyên Sơn La 2019) Họ nguyên hàm của hàm số  f x x1 sin x là  A

2

sin cos

x

x x x C

     B

2

cos sin

x

x x x C

    

C

cos sin

x

x x x C

     D

2

sin cos

x

x x x C

    

Câu 79 (Chuyên Thái Bình - Lần - 2020) Giả sử F x ax2bx c e  x là một nguyên hàm của hàm  số  f x x e2 x.Tính tích Pabc. 

A 4.  B 1.  C 5.  D 3.  Câu 80 Họ nguyên hàm của hàm số  ( )f x 2 (1x ex)là

A 2 1 x

x e x   B 2 1 x

x e x   C 2 2 x

x e x   D 2 2 x

x e x  

Câu 81 Họ nguyên hàm của  f x xlnx là kết quả nào sau đây?  A   2ln

2

F x  x x x C.  B   2ln

2

F x  x x x C. 

C   2ln

2

F x  x x x C.  D   2ln

2

F x  x x x C  

Câu 82 (Chuyên  Lê  Hồng  Phong  Nam  Định  2019)  Tìm  tất  cả  các  nguyên  hàm  của  hàm  số 

  3 1 ln

f x  x  x. 

A    

3

1 ln

x f x dxx x  x C

   B  

3

ln

x f x dxx x C

  

C    

3 1 ln

3

x

f x dxx x  x  x C

   D  

3 3ln

3

x

f x dxx x  x C

  

Câu 83 (Chuyên Đại Học Vinh 2019)  Tất  cả  các  nguyên  hàm  của  hàm  số    2

sin

x f x

x

   trên  khoảng 

0; là 

C xcotxln sinx C. D xcotxln s in xC. 

Câu 84 (Sở Phú Thọ 2019) Họ nguyên hàm hàm số y3x x cosx A x33xsinxcosxC B x33xsinxcosxC

C x33xsinxcosxC D x33xsinxcosxC

Câu 85 (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Họ nguyên hàm của hàm số    ex

f x x x  là 

A 1  1 e

x

x  x C.  B 1  1 e

x

x  x C. 

C 1 e

x

x x C.  D 4  e x

x  x C. 

Câu 86 Cho hai hàm số F x G x ,   xác định và có đạo hàm lần lượt là  f x   ,g x  trên . Biết rằng 

     

ln

F x G x x x   và     

3 2

1

x F x g x

x



  Họ nguyên hàm của  f x G x     là 

A x21 ln x212x2C.  B x21 ln x212x2C.  C x21 ln x21x2C.  D x21 ln x21x2C.  Câu 87 (Sở Bắc Ninh 2019) Mệnh đề nào sau đây là đúng? 

A xe xxd ex xexC.  B

2 d

2

  

xe xx x ex ex C.  C xe xxd xexexC.  D

2 d

2

 

xe xx x ex C. 

Câu 88 (Sở Bắc Giang 2019) Cho hai hàm số F x , G x  xác đinh và có đạo hàm lần lượt là  f x , 

 

g x   trên .  Biết       

.G ln

F x x  x x    và      2

1

x F x g x

x



   Tìm  họ  nguyên  hàm  của 

    f x G x

A x21 ln x212x2C B x21 ln x212x2C C x21 ln x21x2C D x21 ln x21x2C Câu 89 Cho  biết    2

3

F x x x

x

     là  một  nguyên  hàm  của      2

2

x a

f x

x



   Tìm  nguyên  hàm  của 

  cos

g x x ax. 

A xsinxcosx C   B 1 sin 1cos 2x x4 x C   C xsinxcosC  D 1 sin 1cos

2x x4 x C  

Câu 90 Họ nguyên hàm của hàm số   

l

2x x n

y

x x

 

  là 

A  

2

1 ln

x

x x x

x     C.  B  

2

1 ln

x

x x x

x     C. 

C  

2

1 ln

x

x x x

x     C.  D  

2

1 ln

x

x x x

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 

Câu 91 (Mã 104 2017) Cho    12

2

F x x

  là một nguyên hàm của hàm số  f x 

x  Tìm nguyên hàm của 

hàm số f x lnx

A f  x ln dx x ln2x 12 C

x x

 

    

 

 B  ln d ln2 12

2

x

f x x x C

x x

   



C  ln d ln2 12

x

f x x x C

x x

 

    

 

 D f  x ln dx x ln2x 12 C

x x

   

  

Câu 92 (Mã 105 2017) Cho     13 F x

x  là một nguyên hàm của hàm số    f x

x  Tìm nguyên hàm của 

hàm số f x lnx

A   ln d ln3  15  x

f x x x C

x x B      

ln

ln d

5 x

f x x x C

x x

C   ln d  ln3  13  x

f x x x C

x x D      3

ln

ln d

3 x

f x x x C

x x  

Câu 93 (Mã 110 2017) Cho     1 x

F x  x e  là một nguyên hàm của hàm số  f x e  2x. Tìm nguyên hàm  của hàm số  f x e2x

A f x e2xdx42x e xC

 B f x e2xdxx2ex C



C   d 2

x x x

x

f e x  e C

 D  f x e2xdx2x e xC

Câu 94 Cho hàm số  f x thỏa mãn    x

f x xe và  f  0 2.Tính  f 1  

A f  1 3.  B f  1 e.  C f 1  5 e.  D f 1  8 2e. 

Câu 95 (Chuyên Đại Học Vinh 2019)  Cho  hàm  số  f x   thỏa  mãn  f x  f x e ,x  x   và 

 0

f   Tất cả các nguyên hàm của  f x e2x là 

A x2 e xexC  B x2 e 2xexCC x1 e xC  D x1 e xC 

Câu 96 (Việt Đức Hà Nội 2019)  Cho  hàm  số  y f x   thỏa  mãn  f '  x  x1 e ,   x f 0 0  và 

 d  ex

f x x ax b c

  với a b c, ,  là các hằng số. Khi đó: 

A ab2.  B ab3.  C ab1.  D ab0. 

Câu 97 (THPT Nguyễn Thị Minh Khai - Hà Tĩnh - 2018) Gọi F x  là một nguyên hàm của hàm số 

  e x

f x x  . Tính 

 

F x  biết F 0 1. 

A F x  x1 e x2.  B F x   x1 e x1.  C F x   x1 e x2.  D F x  x1 e x1

Câu 98 (Sở Quảng Nam - 2018)  Biết xcos dx xaxsin 2x b cos 2x C   với a, b  là  các  số  hữu  tỉ.  Tính tích ab? 

A

8

ab   B

4

ab   C

8

ab    D

4

ab   

Câu 99 (Chuyên Đh Vinh - 2018)  Giả  sử  F x   là  một  nguyên  hàm  của  f x  lnx2 3 x



   sao  cho 

 2  1

A. 10ln 5ln

3 6 B. C.

7 ln

3   D.

2

ln ln

3 6

Câu 100 (THCS&THPT Nguyễn Khuyến - Bình Dương - 2018) Gọi g x  là một nguyên hàm của hàm  số  f x lnx1.  Cho  biết  g 2 1  và  g 3 alnb  trong  đó  ,a b  là  các  số  nguyên  dương  phân biệt. Hãy tính giá trị của T 3a2b2 

A. T 8 B.T  17 C. T 2 D. T  13

Câu 101 (Sở Quảng Nam - 2018)  Biết xcos dx xaxsin 2x b cos 2x C   với a, b  là  các  số  hữu tỉ Tính tích ab? 

A

8

ab   B

4

ab   C

8

ab    D

4

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

TÀI LIỆU DÀNH CHO HỌC SINH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM

Dạng Nguyên hàm hàm ẩn liên quan đến phương trình f(x),f’(x),f’’(x) Dạng Bài tốn tích phân liên quan đến đẳng thúrc u x f x( ) ( )u x f x'( ) ( )h x( )

Phương pháp:

Dễ dàng thấy ( )u x f x( )u x f x( ) ( )[ ( ) ( )]u x f x 

Do dó ( )u x f x( )u x f x( ) ( )h x( )[ ( ) ( )]u x f x  h x( ) Suy u x f x( ) ( )h x x( )d

Từ ta dễ dàng tính f x( )

Dang Bài tốn tích phân liên quan đến biếu thúrc f x( ) f x( )h x( ) Phương pháp:

Nhân hai vế vói ex ta durọc exf x( )exf x( )exh x( )ex f x( ) exh x( ) Suy x ( ) x ( )d

e f x e h x x Từ ta dễ dàng tính f x( )

Dang Bài tốn tích phân liên quan đến biếu thúc f x( ) f x( )h x( ) Phương pháp:

Nhân hai vế vói ex ta durọc ex f x( )exf x( )exh x( )ex f x( ) exh x( ) Suy ex f x( )exh x x( )d

Từ ta dễ dàng tính f x( )

Dạng Bài tốn tích phân liên quan đến biếu thúrc f x( ) p x( )f x( )h x( ) (Phương trình vi phân tuyên tinh cấp 1)

Phương pháp:

Nhân hai vế với ep x dx( ) ta

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) p x dx ( ) p x dx ( ) ( ) p x dx ( ) p x dx ( ) p x dx

f x e p x e f x h x e f x e h x e



       

          

 

Suy f x e( ) p x dx( ) ep x dx( ) h x x( )d Từ ta dễ dàng tính f x( )

Dang Bài tốn tích phân liên quan đến biếu thúc f x( ) p x( ) f x( )0 Phương pháp:

Chia hai vế với f x( ) ta đựơc ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

f x f x

p x p x

f x f x

 

    

Suy ( )d ( )d ln | ( ) | ( )d ( )

f x

x p x x f x p x x

f x



    

  

Từ ta dễ dàng tính f x( )

Dạng Bài tốn tích phân liên quan đến biểu thức f x( ) p x( ) [ ( )] f x n0 Phương pháp:

Chia hai vế với [ ( )]f x n ta ( ) ( ) 0 ( ) ( )

[ ( )]n [ ( )]n

f x f x

p x p x

f x f x

 

    

Suy

1

( ) [ ( )]

d ( )d ( )d

[ ( )]

n n

f x f x

x p x x p x x

f x n

  

    

 

  

Từ dầy ta dễ dàng tính f x( )

Câu (Mã 103 2018) Cho hàm số f x  thỏa mãn  2 25  

f f x 4x3f x 2 với 

x Giá trị f 1 A 391

400

 B

40

 C 41

400

 D

10 

Câu (Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An - 2020) Cho hàm số y f x  đồng biến có đạo hàm liên tục  thỏa mãn f x 2  f x e  , x  x 

 0

f  Khi f 2 thuộc khoảng sau đây?

A 12;13  B 9;10  C 11;12  D 13 14; .

Câu (Chuyên Thái Bình - 2020) Cho hàm số y f x  thỏa mãn  2 19 f  

  2 

f x x f x  x  Giá trị f 1 A

3

 B

2

 C 1 D

4 

Câu (Lý Nhân Tông - Bắc Ninh - 2020) Cho hàm số y f x  liên tục \1;0 thỏa mãn điều kiện: f 1  2 ln x x. 1  f x  f x x2x Biết f  2 a b ln (a, b) Giá trị 2a2b2

A 27

4 B 9 C

3

4 D

9

Câu (Hải Hậu - Nam Định - 2020) Cho hàm số y f x  thỏa mãn f x 0, x có đạo hàm

 

f x liên tục khoảng 0;  thỏa mãn f  x  2x1f2 x , x  1

f   Giá

trị biểu thức f  1  f 2   f2020 A 2020

2021

 B 2015

2019

 C 2019

2020

 D 2016

2021



Câu (Bắc Ninh 2019) Cho hàm số y f x  liên tục \1;0 thỏa mãn f 1 2 ln 1 ,

 1    2    1

x x f x  x f x x x ,  x \1;0 Biết f 2 a b ln 3, với a, b hai số hữu tỉ Tính T a2b

A

16

T  B 21 16

T  C

2

T  D T 0

Câu (THPT Nguyễn Trãi - Đà Nẵng - 2018) Cho hs y f x  thỏa mãn y xy2 f 1 1 giá trị f 2

A e2 B 2e C e1 D e3

Câu (Sở Hà Nội Năm 2019) Cho hàm số f x  liên tục , f x 0 với x thỏa mãn

 1

2

f   , f  x  2x1f2 x Biết f 1 f 2 f2019 a b

     với

 

, , ,

a b a b  Khẳng định sau sai?

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Câu (THPT Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Cho hàm số y f x  liên tục 0; thỏa mãn 2xf x  f x 3x2 x Biết  1

2

f  Tính f 4 ?

A 24 B 14 C 4 D 16

Câu 10 (Chuyên Thái Nguyên 2019) Cho hàm số f x 0 với x, f  0 1

   

f x  x f x với x Mệnh đề đúng?

A f x 2 B 2 f x 4 C f x 6 D 4 f x 6

Câu 11 (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục

2;  f x 0, x 2; 4 Biết     3, 2; ,  2

x f x f x  x  x f  Giá trị

 4

f

A 40



B 20



C 20



D 40



Câu 12 (Chuyên Thái Bình 2019) Cho f x( ) hàm số liên tục  thỏa mãn

    ,

f x  f x x  x  f 0 1 Tính f 1 A 2

e B

1

e C e D

e

Câu 13 (THPT NGHĨA HƯNG NĐ- GK2 - 2018 - 2019) Cho hàm số f x  thỏa mãn

  2    

1

xf x x f x f x

      

    với x dương Biết f  1  f 1 1 Giá trị f2 2 A f2 2  2 ln 22 B

 

2 ln 2

f  

C f2 2 ln 1 D f2 2  ln 1

Câu 14 (Chuyên Bắc Ninh 2019) Cho hàm số f x( ) thỏa mãn ( '( ))f x 2 f x f( ) ''( )x x32 ,x  x R

và f(0) f'(0) 1 Tính giá trị T  f2(2)

A 43

30 B

16

15 C

43

15 D

26 15 Câu 15 (Sở Bình Phước 2019) Cho hàm số f x  liên tục có đạo hàm 0;

2 

 

 

 

, thỏa mãn

  tan   cos

x

f x x f x

x 

  Biết 3 ln

3

f f a b

    a b, 

 Giá trị biểu thức Pa b

A 14

9 B

2

 C 7

9 D

4 

Câu 16 (THPT Yên Phong Số Bắc Ninh 2019) Cho hàm số y f x  đồng biến 0;;

 

y f x liên tục, nhận giá trị dương 0; thỏa mãn  3 f 

     

'

f x  x f x

 

  Tính f 8

A f  8 49 B f  8 256 C  8 16

f  D  8 49

64

Câu 17 Cho hàm số f x  thỏa mãn f 1 2 x212 f x f x 2x21 với x Giá trị f 2

A 2

5 B

2

 C

2

 D 5

2

Câu 18 (Chuyên Nguyễn Tất Thành Yên Bái 2019) Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục khoảng 0; , biết f  x  2x1f2 x 0,

  0,

f x   x  2

f  Tính giá trị

 1  2 2019

P f  f   f

A 2021

2020 B

2020

2019 C

2019

2020 D

2018 2019

Câu 19 Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục đoạn 2;1 thỏa mãn f 0 3

 

f x 2.f x 3x24x2 Giá trị lớn hàm số

 

y f x đoạn 2;1 A

2 42 B

2 15 C 3

42 D 3

15

Câu 20 (Đề Thi Công Bằng KHTN 2019) Cho hàm số f x( ) thỏa mãn f(1)4

3

( ) ( )

f x xf x  x  x với x0 Giá trị f(2)

A 5 B 10 C 20 D 15

Câu 21 (Sở Bắc Ninh 2019) Cho hàm số f x  liên tục R thỏa mãn điều kiện: f 0 2 2,

 0,

f x  x  f x f    x  2x1 1 f2 x ,  x  Khi giá trị f  1

A 26 B 24 C 15 D 23

Câu 22 (Cần Thơ 2018) Cho hàm số f x  thỏa mãn f x 2 f x f .  x 2x2x1

  ,  x 

 0  0

f  f  Giá trị f 1 2

A 28 B 22 C 19

2 D 10

Câu 23 (Chuyên Lê Hồng Phong - 2018) Cho hàm số f x  có đạo hàm  thỏa mãn

x2   f x  x1  f x ex  0

f  Tính f 2 A  2 e

3

f  B  2 e

6

f  C  

2

e

3

f  D  

2

e

6

f 

Câu 24 (Liên Trường - Nghệ An - 2018) Cho hàm số y f x  liên tục \ 0; 1 thỏa mãn điều kiện f 1  2 ln x x 1  f x  f x x2x Giá trị

 2 ln

f a b , vớia b,  Tính

2

a b A 25

4 B

9

2 C

5

2 D

13

Câu 25 (THPT Lê Xoay - 2018) Giả sử hàm số y f x  liên tục, nhận giá trị dương 0; thỏa mãn f 1 1, f x  f x 3x1, với x0 Mệnh đề sau đúng?

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Câu 26 (THPT Quỳnh Lưu - Nghệ An - 2018) Cho hàm số f x 0 thỏa mãn điều kiện

    2 

2

f x  x f x  0

f   Biết tổng

 1  2  3 2017 2018 a

f f f f f

b

      với a,b* a

b phân số tối giản Mệnh đề sau đúng?

A a

b  B

a

b C ab1010 D ba3029

Câu 27 (THPT Nam Trực - Nam Định - 2018) Cho hàm số f x 0,    

4

2

3x x

f x f x

x

 

 

 1

3

f   Tính f 1  f 2   f 80 A 3240

6481

 B 6480

6481 C

6480 6481

 D 3240

6481

Câu 28 (Sở Hà Tĩnh - 2018) Cho hàm số f x  đồng biến có đạo hàm đến cấp hai đoạn 0; 2 thỏa mãn f x 2 f x f   x f x 20 Biết f  0 1, f 2 e6 Khi

 1

f

A

3

e B e3 C

5

e D e2

Câu 29 Cho hàm số y f x  liên tục  thỏa mãn f x 2 x f x ex2,  x  f 0 0 Tính f 1

A f 1 e2 B

 1 e

f   C  1 12 e

f  D  1 e

f 

Câu 30 Cho hàm số y f x  thỏa mãn f '   x f x x4x2 Biết f 0 2 Tính f2 2 A 2  313

2 15

f  B 2  332

2 15

f  C 2  324

2 15

f  D 2  323

2 15

f 

Câu 31 (Chuyên Đại học Vinh - 2019) Cho hàm số f x  thỏa mãn f x  f  x e ,x x 

   

 0

f  Tất nguyên hàm f x e2x A x2 e xexC B x2 e 2xexC C  e x

x C D  e x x C

Câu 32 Cho hàm số y f x  có đạo hàm 0;  thỏa mãn 2xf x  f x 2x  x 0 ; ,

 1

f  Giá trị biểu thức f 4 là: A 25

6 B

25

3 C

17

6 D

17

Câu 33 (Chu Văn An - Hà Nội - 2019) Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục  thỏa mãn điều kiện x6 f x 327 f x 1 0 , x

   

     f 1 0 Giá trị f 2

A 1 B C 7 D 7

Câu 34 (Bến Tre 2019) Cho hàm số f x  thỏa mãn: f x 2 f x f   x 15x412x,  x 

 0  0

f  f  Giá trị f2 1

A 5

Câu 35 Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục 1;  thỏa mãn

   

   

2 ln

xf x  f x xx  f x ,  x 1; ; biết f 3e 3e Giá trị f 2 thuộc khoảng

nào đây? A 12;25

2

 

 

  B

27 13;

2

 

 

  C

23 ;12

 

 

  D

29 14;

2

 

 

 

Câu 36 (Chuyên Nguyễn Du-ĐăkLăk 2019) Cho hàm số f x  có đạo hàm  thỏa mãn

   

 

3 1

2

2 3f x ef x x x

f x

 

   với  x  Biết f 0 1, tính tích phân  

7

0

d

x f x x



A 11

2 B

15

4 C

45

8 D

9

Câu 37 (SP Đồng Nai - 2019) Cho hàm số y f x  liên tục không âm  thỏa mãn

 .   2 2  1

f x f x  x f x  f 0 0 Gọi M m, giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y f x  đoạn 1;3 Biết giá trị biểu thức P2Mm có dạng

 

11 , , ,

a b c a b c Tính a b c 

A a b c  7 B a b c  4 C a b c  6 D a b c  5

Câu 38 Cho hàm số y f x  liên tục \1; 0 thỏa mãn f 1 2 ln 1 ,

 1    2    1

x x f x  x f x x x ,  x \1; 0 Biết f 2  a bln 3, với a b, hai số hữu tỉ Tính T a2b

A 21

16

T  B

2

T  C T 0 D

16

T  

Câu 39 Cho hàm số y f x  liên tục 0;  thỏa mãn x f x x f2  x 2f2 x , với

  0, 0; 

f x   x    1

f  Gọi M m, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ

hàm số y f x  đoạn 1; 2 Tính M  m A

10 B

21

10 C

5

3 D

7 Dạng Một số toán khác liên quan đến nguyên hàm

Câu (Chuyên Thái Nguyên 2019) Cho F x  nguyên hàm hàm số f x ex2x34x Hàm số  



F x x có điểm cực trị?

A 6 B 5 C 3 D 4

Câu (THCS - THPT Nguyễn Khuyến 2019) Cho     

2

1 cos sin cot sin

x x x

F x dx

x

 

 S tổng

tất nghiệm phương trình  

F x F 

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Câu (Chuyên Quốc Học Huế 2019) Cho hàm số F x  nguyên hàm hàm số

 

2 cos sin

x f x

x 

 khoảng 0; Biết giá trị lớn F x  khoảng 0; 3 Chọn mệnh đề mệnh đề sau

A. 3

6

F  

  B.

2

3

F  

  C. F 3

  

   

  D.

5

3

F     Câu Biết F x  nguyên hàm hàm số f x  xcosx2 sinx

x



 Hỏi đồ thị hàm số yF x  có điểm cực trị khoảng 0; 4?

A. B.1 C. D.

Câu (Chuyên - Vĩnh Phúc - 2019) Biết F x  nguyên hàm hàm số f x  x cos2 x x 

 Hỏi đồ thị hàm số yF x  có điểm cực trị?

A.1 B.2 C.vơ số điểm D.0

Câu (Chuyên Lê Quý Đôn – Điện Biên 2019) Cho hàm số y f x  Đồ thị hàm số  

'

y f x 5;3 hình vẽ (phần cong đồ thị phần parabol

2

y ax bx c )

Biết f 0 0, giá trị 2f 5 3f  2