Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Toán trường THPT chuyên KHTN - ĐHQG Hà Nội

Chứng minh rằng với mọi cách tô màu trên các điểm (chỉ dùng 3 màu: xanh, đỏ, vàng) và mọi cách tô màu trên các đoạn thẳng nối giữa các cặp điểm (chỉ dùng hai màu: tím hoặc nâu) ta đều[r]

(1)

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯỜNG THPT CHUN KHTN NĂM 1990 MƠN THI: TỐN (thi vào chun Tốn)

Thời gian làm bài: 120 (khơng kể thời gian phát đề) Câu

Phân tích biểu thức sau thành nhân tử:

4 4 2 2 2

2

a b  c a b a b c  c a Câu

a) Cho biết 2

1

x

x  x   Hãy tính giá trị biểu thức:

2

1 x P

x x



  b) Tìm giá trị lớn biểu thức:

2

1 x Q

x x



  Giá trị lớn đạt giá trị x

Câu

Cho biểu thức ( )P n anbnc, a b c, , số nguyên dương Chứng minh với giá trị nguyên dương n P n, ( )luôn chia hết cho m (m số nguyên dương cố định), b2 phải chia hết cho

m

Với ví dụ sau chứng tỏ khơng thể suy b chia hết cho m: ( ) 3n

P n   n (xét m4) Câu

Cho đa giác lời sáu cạnh ABCDEF Gọi M I L K N H, , , , , trung điểm cạnh

, , , , ,

AB BC CD DE EF FA Chứng minh trọng tâm hai tam giác MNL HIK trùng

Câu

Giả sử trường hợp có n lớp ta ký hiệu am số học sinh thứ ,m dk số lớp lớp có k học sinh, M số học sinh lớp đông Chứng minh rằng:

a) a1a2  and1d2  dM

(2)

a) Rút gọn biểu thức: A 32 34 26 4416

b) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: Pxy 5 y z 5 z x5 Câu

a) Cho số a b c x y z, , , , , thỏa mãn:

0 0

x y z

a b x

a b c

    



    



    

Hãy tính giá trị biểu thức: Qxa2yb2zc2

b) Cho bốn số thực a b c d, , , không âm nhỏ Chứng minh rằng: 0    a b c d ab bc cdda2

Khi đẳng thức xảy ra? Câu

Cho trước a d số nguyên dương Xét tất số có dạng sau:

, , , , ,

a ad a d and

Chứng minh số cho có số mà chữ số 1991 Câu

Trong hội thảo khoa học có 100 người tham dự Giả sử người quen biết với 67 người Chứng minh tìm nhóm người mà người nhóm quen biết Câu

a) Cho hình vng ABCD Lấy điểm M nằm hình vuông cho MAB MAB15 Chứng minh tam giác MCD tam giác

(3)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM 1992 MƠN THI: TỐN (thi vào chun Tốn)

Thời gian làm bài: 120 (không kể thời gian phát đề) Câu

a) Tìm tất số nguyên n để n42n32n2 n số phương b) Cho a b c, , số thực dương thỏa mãn a  b c Chứng minh rằng:

2 2

1 1

9

2 2

a  bcb  cac  ab

Câu

Cho a tổng chữ số  29 1945,blà tổng chữ số a Tìm tổng chữ số b Câu

Cho tam giác ABC Giả sử đường phân giác ngồi góc A cắt đường thẳng BC D L, Chứng minh ADAK 2

4 ,

AB AC  R Rlà bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác

ABC

Câu

Trong mặt phẳng kẻ 1992 đường thẳng cho đường song song khơng có ba đường đồng quy Tam giác tạo ba đường thẳng số đường thẳng cho gọi "tam giác xanh" khơng bị đường thẳng số đường thẳng lại cắt

a) Chứng minh số tam giác xanh khơng 664

b) Chứng minh kết luận mạnh hơn: Số tam giác xanh khơng 1328 Câu5.

(4)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯỜNG THPT CHUN KHTN NĂM 1994 MƠN THI: TỐN (thi vào chuyên Toán)

Giải hệ phương trình:

  

2

4

x y y z xy z

y z z x yz x

z x x y zx y

    

    

    

Câu

Tìm tất cặp số nguyên x y,  thỏa mãn phương trình:

 

2

12x 6xy3y 28 xy

Câu

Xác định giá trị nguyên dương n với n3 cho n! chia hết cho B    1 n Câu

Cho a b c, , số thực lớn Chứng minh rằng:

3 3

4 4

1 1 1

1a1b1c1 ab 1 bc 1 ca Câu

Cho tam giác ABC có ABAC

a) Chứng minh BAC200 ln tìm điểm D K cạnh AB AC cho

AD AKKCCB

b) Ngược lại, chứng minh tồn điểm D K cạnh AB AC cho

(5)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM 1995 MÔN THI: TỐN (thi vào chun Tốn)

Cho hai số thực x y, thỏa mãn x x23y y233 Tính giá trị biểu thức E x y

Câu

1

x xy y

y yz z

z zx x

    

    

    

Câu

Cho hai số thực không âm x y, thỏa mãn x2y21 Chứng minh rằng:

3

1 2x y  Câu

Tìm số ngun có chín chữ số Aa a a b b b a a a1 2 3 2 3, a10 b b b1 3 2a a a1 2 3 đồng thời A viết dạng A p p p p12 22 32 42 với p1, p2, p3, p4 bốn số nguyên khác

Câu

Cho đường tròn  O hai dây cung AB CD, cắt I với I nằm đường tròn Gọi M trung điểm BD, MI kéo dài cắt AC N Chứng minh rằng:

2

AN AI

(6)

Giải phương trình:  x 1 132 x  1 x Câu

1 1

x y

y z

z x

   

   

   

Câu

Cho x y, hai số nguyên dương thay đổi thỏa mãn điều kiện x y 201 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức: Px x 2y y y2x Câu

Cho đoạn thẳng BC đường thẳng  d song song với BC Biết khoảng cách đường thẳng  d đường thẳng qua BC nhỏ

2 BC

Giả sử A điểm thay đổi đường thẳng  d a) Xác định vị trí A để bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC nhỏ

b) Gọi ha,h hb, c độ dài đường cao tam giác ABC Hãy xác định vị trí điểm A để tích h h ha b c lớn

Câu

Cho x y z, , số thực dương thỏa mãn

x  y z Chứng minh rằng:

2 2

1 1 17

2

x y z

(7)

3

2

3

y y x x y

x xy

     

   

Câu

Có tồn hay khơng số nguyên x y, thỏa mãn điều kiện: 1993 1994

1992x 1993x 1995 Câu

Số 1997 viết dạng tổng n hợp số, không viết dạng tổng n1 hợp số Hỏi n bao nhiêu?

Câu

Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường trịn có bán kính Gọi ha,h hb, c độ dài đường cao hạ từ đỉnh A B C, , tới cạnh đối diện Tìm giá trị lớn biểu thức:

1 1

2 2

a b b c c a

M

h h h h h h

  

  

Câu

Trên đường tròn cho 16 điểm dùng màu: xanh, đỏ, vàng để tô điểm (mỗi điểm tô màu) Giữa cặp điểm nối đoạn thẳng tơ màu tím màu nâu

(8)

a) Giải hệ phương trình:

2 4

2

1

x x x x y y y y

x y

        

   

b) Với giá trị a phương trình sau có nghiệm:

1 x 1    x a a

Câu

Tìm nghiệm nguyên phương trình: 19x398y21998 Câu

a) Cho a b c, , số thực thỏa mãn điều kiện sau: (i) 0 a b

(ii) Phương trình ax2bx c vơ nghiệm Chứng minh rằng: a b c

b a

   

b) Cho x y z, , số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

2 2

x y z

P

x yz y zx z xy

  

  

Câu

Cho bảng vng kích thước 1998 2000 (bảng gồm 1998 hàng 2000 cột) Ký hiệu m n,  ô vuông nằm giao hàng thứ m (tính từ xuống dưới) cột thứ n (tính từ trái qua phải)

Cho số nguyên p q, với 1 p 1993 1 q 1995 Tô màu ô vuông bảng theo quy tắc: Lần thứ tô màu năm ô: p q;  , p1,q1 , p2,q2 , p3,q3 , p4,q4  Lần thứ hai trở đi, lần tơ năm chưa có màu nằm liên tiếp hàng cột

Hỏi cách ta tơ màu hết tất vng bảng hay khơng? Vì sao? Câu

(9)

Giải phương trình:

8 2 1

x

x x

x



   



Câu

Các số a a1, 2, xác định công thức:

 

2

3

k

k k

a

k k

 



 với

* k

Tính giá trị tổng: 1 a1 a2 a9 Câu

Chứng minh tồn số chia hết cho 1999 tổng chữ số số 1999 Câu

Cho đường tròn O R;  Giả sử A B hai điểm cố định đường tròn với ABR

a) Giả sử M điểm thay đổi cung lớn AB đường tròn Đường tròn nội tiếp MAB tiếp xúc với MA E tiếp xúc với MB F Chứng minh đường thẳng EF tiếp xúc với đường tròn cố định M thay đổi

b) Tìm tập hợp tất điểm P cho đường thẳng  d vng góc với OP P cắt đoạn thẳng AB Câu 5.

(10)

a) Tìm tất cặp số nguyên x y,  thỏa mãn đẳng thức y x  1 x22 b) Cho cặp số x y,  thỏa mãn x y xy  x y

Chứng minh x 2, y 2 Câu

a) Giải phương trình: x x 2x

x   x x

b) Cho ( )

f x ax bxc có tính chất f   1 , f f 9 số hữu tỉ Chứng minh a b c, , số hữu tỉ

Câu

a) Cho tứ giác lồi ABCD Chứng minh góc B D tứ giác góc vng góc từ

ACBD

b) Cho đoạn thẳng AC cố định điểm B di động Hãy tìm tập hợp điểm B để tam giác ABC tam giác không từ BAC góc bé tam giác

Câu

(11)

a) Cho f x( )ax2bxc có tính chất f x( ) nhận giá trị nguyên x số nguyên Hỏi hệ số a b c, , có thiết phải số nguyên hay không? Tại sao?

b) Tìm số ngun khơng âm x y, thỏa mãn đẳng thức: 2

1

x y  y

Câu 2.

Giải phương trình: x 1 x25x14 Câu

Cho số thực a b x y, , , thỏa mãn hệ:

2

3

4

5 17

ax by

  



   

   

  



Tính giá trị biểu thức: 5

Aax by Bax2001ax2001 Câu

Cho đoạn thẳng AB có trung điểm O Gọi d1, d2 đường thẳng vng góc với AB tương ứng A

B Một góc vng đỉnh O có cạnh cắt d1 M, cịn cạnh cắt d2 N Kẻ OH vng góc xuống MN Vòng tròn ngoại tiếp tam giác MHB cắt d1 điểm thứ hai E khác M, MB cắt NA I, đường thẳng HI cắt

EB K Chứng minh K nằm vòng tròn cố định góc vng quay xung quanh đỉnh O Câu

(12)

a) Giải phương trình: x23x 2 x 3 x 2 x22x3 b) Tìm nghiệm nguyên phương trình xxy y

Câu

2

3

1

x y xy

x y x y

    

    

Câu

Cho mười số nguyên dương 1, 2, , 10 Sắp xếp mười số cách tuỳ ý thành hàng Cộng số với số thứ tự hàng, ta mười tổng Chứng minh mười tổng tồn hai tổng có chữ số tận giống

Câu

Cho a b c, , độ dài ba cạnh tam giác Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

4 16

a b c

P

b c a a c b a b c

  

     

Câu

Đường tròn  C tâm I có bán kính r, nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh BC CA AB, , tương ứng điểm A B C, ,  Gọi giao điểm đường tròn  C với đoạn IA IB IC, , M N P, , a) Chứng minh đường thẳng A M B N C P ,  ,  đồng quy

b) AI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC D Chứng minh IB IC r ID

(13)

Cho phương trình x42mx2 4

Tìm giá trị tham số m để phương trình có nghiệm phân biệt x x1, 2, x3, x4 thỏa mãn: 4 4

1 32 x x x x  Câu

2

x xy y y x

x y x y

      

     

Câu

Tìm số nguyên x y, thỏa mãn đẳng thức: 2 2

x xyy x y

Câu

Cho đường tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh BC CA AB, , tương ứng điểm , ,

D E F Đ đường trịn tâm O bàng tiếp góc BAC tiếp xúc với cạnh BC phần kéo dài cạnh ,

AB AC tương ứng điểm P M N, , a) Chứng minh BPCD

b) Trên đường thẳng MN ta lấy điểm I K cho CKAB BI, AC Chứng minh tứ giác

BICE BKCF hình bình hành

c) Gọi  S đường trịn qua ba điểm I K P, , Chứng minh  S tiếp xúc với đường thẳng

, ,

BC BI CK Câu

Cho số thực x thay đổi thỏa mãn x2 3 x25 Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

 4  2

4

3

(14)

Giải phương trình: x 3 x 1 Câu

Giải hệ phương trình:   

  

2

15

x y x y

   



   



Câu

Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

  

3 2

1

x y x y

P

x y

   

 

Câu 4.

Cho hình vng ABCD điểm M nằm hình vng

a) Tìm tất vị trí điểm M cho MAB MBC MCD MDA

b) Xét điểm M nằm đường chéo AC Gọi N chân đường vng góc hạ từ điểm M xuống AB O trung điểm AM Chứng minh tỷ số OB

ON có giá trị không đổi M di chuyển đường chéo AC c) Với giả thiết M nằm đường chéo AC, xét đường trịn  S1  S2 có đường kính tương ứng AM CN Hai tiếp tuyến chung  S1  S2 tiếp xúc với  S2 P Q Chứng minh đường thẳng PQ tiếp xúc với  S1

Câu

Với số thực a, ta định nghĩa phần nguyên số a số nguyên lớn không vượt a ký hiệu  a Dãy số x0, x1, , xn, xác định công thức:

2

n

n n

x      

   

   

(15)

Giải phương trình: 2 x 2 x 4x2 2 Câu

3

4

1

4

x y xy

x y x y

    

    

Câu

Cho x y, hai số không âm thỏa mãn điều kiện: x2y2 1 a) Chứng minh rằng: 1  x y

b) Tìm giá lớn nhỏ biếu thức: P 12x 12 y

Câu

Cho hình vng ABCD điểm P nằm tam giác ABC a) Giả sử BPC135 Chứng minh rằng: 2PB2PC2PA2

b) Các đường thẳng AP CP cắt cạnh BC BA tương ứng điểm M N Gọi Q điểm đối xứng với B qua trung điểm đoạn MN Chứng minh P thay đổi tam giác ABC, đường thẳng

PQ qua D

Bài

a) Cho đa giác  H có 14 đỉnh Chứng minh đỉnh  H ln có đỉnh đỉnh hình thang

b) Có phân số tối giản m

(16)

Chứng minh rằng: 31 84 31 84

9

A    số nguyên Câu

2

4

x y x y

x y

     

   

Câu

a) Tìm nghiệm nguyên phương trình: 2 2

8x y x y 10xy

b) Ký hiệu  x phần nguyên số x (số nguyên lớn không vượt x) Chứng minh với số tự nhiên n, ta có:

3

372n 1 9n 39n 1 72n 7

         

     

     

Câu

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn  O I điểm nằm tam giác ABC Các đường thẳng AI BI CI, , cắt  O A B C, ,  (khác A B C, , ) Dây cung B C  cắt cạnh AB AC, tương ứng điểm

,

M N Dây cung C A  cắt cạnh AB BC, tương ứng điểm Q P, Dây cung A B  cắt cạnh BC CA, tương ứng điểm F E,

a) Giả sử AM  AN BP, BQ CE, CF xảy đồng thời Chứng minh I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC

b) Giả sử AM ANBPBQCECF Chứng minh sáu điểm M N P Q E F, , , , , thuộc đường tròn

Câu

(17)

2

4

2

x y

x y xy

  



   



b) Cho a b c, , số thực khác Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 2

2 2

1

b c

P a

b c a

  



   

Câu

a) Tìm cặp số nguyên x y,  thỏa mãn 5x2y2 172xy b) Tìm tất số nguyên tố p cho

2

p  số nguyên tố Câu

Cho hai đường thẳng d1 d2 vng góc O Đường trịn  O1 tiếp xúc với d d1, 2 A B, Đường tròn  O2 tiếp xúc với d d1, 2 C D,

a) Chứng minh B trực tâm tam giác ACD

b) Giả sử CB cắt  O1 E, AD cắt  O2 F Chứng minh ACEF hình thang cân Câu

Trong tứ giác có ba cạnh a cho trước Tìm tứ giác diện tích lớn Câu

Cho dãy số a0,a1, ,an, xác định sau: a00 an1 2 an  1 an  n  Chứng minh rằng:    

2

2 3

4

n n

a      

 

(18)

2

3

2

8

x y y x

x y

   

   

b) Cho 0 x Tìm giá trị lớn biểu thức: y x 1 x Câu

a) Tìm tất số nguyên x y, thỏa mãn: 2x2y23xy3x2y 2

b) Tìm số nguyên dương a b c, , cho ab 1bc 1ca 1

abc

  

số nguyên

Câu

a) Tìm nghiệm nguyên phương trình: 8x y2 2x2y210xy

b) Ký hiệu  x phần nguyên số x (số nguyên lớn không vượt x) Chứng minh với số tự nhiên n, ta ln có:

3

372n 1 9n 39n 1 72n 7

         

     

     

Câu

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn  O Giả sử tiếp tuyến với đường tròn  O B C cắt P nằm khác phía với A so với BC Trên cung BC không chứa A lấy điểm K K B C,  Đường thẳng PK cắt  O điểm thứ hai Q khác A

a) Chứng minh đường phân giác góc KBQ,KCQ qua điểm đường thẳng

PQ

b) Giả sử đường thẳng AK qua trung điểm M cạnh BC Chứng minh AQ BC Câu

Cho phương trình: a x0 na x1 n1a x2 n2  an1xan0 thỏa mãn hệ số a0,a a1, 2, , an nhận ba giá trị: 0, 1, 1 a00

(19)

a) Giải phương trình: 14 x356 x 1 84 x236x35 b) Chứng minh rằng:

 

2

4

1

4 4 2 1

n n



   

     với

* n

Câu

Tìm số nguyên dương n cho tất số n1,n5, n7, n13,n17,n25, n37 số nguyên tố

Câu

Hai đường tròn  O  O cắt hai điểm A B Trên đường thẳng AB ta lấy điểm M A nằm đoạn BM M A Từ điểm M kẻ tới đường tròn  O tiếp tuyến MC MD, với C D, tiếp điểm C nằm  O Đường thẳng AC cắt lần thứ hai  O điểm P đường thẳng AD cắt lần thứ hai  O Q CD cắt PQ K

a) Chứng minh hai tam giác BCD BPQ đồng dạng

b) Chứng minh M thay đổi đường trịn ngoại tiếp tam giác KCP ln qua điểm cố định Câu

Cho x y z, , số thực thuộc 0;  x  y z Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức

   

4 4

12 1

(20)

a) Giải phương trình: x 3 3x 1 b) Giải hệ phương trình:

  

2

5 2 26

3 11

x y xy

x x y x y

    

    

 Câu

a) Tìm tất sô nguyên dương n để n2391 số phương

b) Giả sử x y z, , số thực dương thỏa mãn điều kiện x  y z Chứng minh rằng: 2

2

1

xy z x y

xy

  

 

Câu

Cho tam giác ABC nhọn M điểm nằm tam giác Gọi H hình chiếu M cạnh BC , , ,

P Q E F hình chiếu H lên đường thẳng MB MC AB AC, , , Giả sử bốn điểm , , ,

P Q E F thẳng hàng

a) Chứng minh rằng: M trực tâm tam giác ABC b) Chứng minh BEFC tứ giác nội tiếp

Câu

Trong dãy số gồm 2010 số thực khác xếp theo thứ tự a a1, 2, ,a2010, ta đánh dấu tất số dương tất số mà tổng số số liên tiếp liền sau số dương Ví dụ với dãy số

8, 4, 4, 1, 2, 1, 2, 3, 4, , 2005

(21)

a) Giải phương trình:  x 3 x 1  x 1

b) Giải hệ phương trình:

  

2 2

1

x y x y

x y xy x y

   

   



Câu

a) Với số thực a, ta gọi phần nguyên a số ngun lớn khơng vượt q a, kí hiệu  a Chứng minh với số nguyên dương n, biểu thức

2 1

27

A n n

 

 

    

 

 

biểu diễn dạng

lập phương số nguyên dương

b) Cho x y z, , số thực dương thỏa mãn xyyzzx5 Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

   

3

6 5

x y z

P

x y z

 



    

Câu

Cho hình thang ABCD với BC AD Các góc BAD,CDA góc nhọn Hai đường chéo AC BD cắt I P điểm đoạn thẳng BC (P không trùng với B C, ) Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác BIP cắt PA M khác P đường tròn ngại tiếp tam giác CIP cắt PD N khác P

a) Chứng minh năm điểm A M I N D, , , , nằm đường trịn Gọi đường trịn  K b) Các đường thẳng BM CN cắt Q Chứng minh Q năm  K

c) Giả sử P I Q, , thẳng hàng Chứng minh rằng: PB BD PC CA Câu

(22)

a) Giải phương trình:  x 4 2 4 x 22 x

b) Giải hệ phương trình:  

  3

2

9 26

xy x y

xy x y x y

  



    



Câu

a) Tìm hai chữ số cuối số A41106572012

b) Tìm giá trị lớn hàm số:

y x x  x với 2 x Câu

Cho tam giác ABC có ABAC, nội tiếp đường trịn  O Giả sử M N, hai điểm thuộc cung nhỏ BC cho MN song song với BC tia AN nằm hai tia AM AB, Gọi P hình chiếu vng góc C

AN Q hình chiếu vng góc M AB

a) Giả sử CP cắt QM T Chứng minh T nằm đường tròn  O

b) Gọi giao điểm NQ  O R khác N Giả sử AM cắt PQ S Chứng minh bốn điểm , , ,

A R Q S thuộc đường tròn

Câu

Với số nguyên n2 cố định, xét tập n số thực đôi khác X x x1, 2, ,xn Kí hiệu C X 

(23)

a) Giải phương trình: x 3 1x2 3 x 1 1x b) Giải hệ phương trình:

3

7

x y y x xy

xy y x

      

   



Câu

a) Tìm cặp số nguyên x y,  thỏa mãn: 2

5x 8y 20412

b) Giả sử x y, hai số thực dương thỏa mãn x y Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

2 1

1

P x y

x y

  

     

Câu

Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn  O có trực tâm H Gọi P điểm nằm đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC P B C H, ,  nằm tam giác ABC PB cắt  O M khác B, PC cắt  O N khác C

BM cắt AC E, CN cắt AB F Đường tròn ngoại tiếp tam giác AME đường tròn ngoại tiếp tam giác

ANF cắt nhạu Q khác A

a) Chứng minh ba điểm M N Q, , thẳng hàng

b) Giả sử AP phân giác MAN Chứng minh PQ qua trung điểm BC Câu

Cho dãy số thực có thứ tự x1x2x3  x192 thỏa mãn điều kiện: i) x1x2  x1920

ii) x1  x2   x192 2013 Chứng minh rằng: 192 1 2013

(24)

a) Giả sử x y, hai số thực dương phân biệt thỏa mãn:

2

2 4 8

2

4

y y y y

xyx y x y x y 

Chứng minh rằng: 5y4 x

2

2 12

6 12

x y xy

x x y y y x

    

     

Câu

a) Cho x y, số nguyên lớn cho 4x y2 27xy số phương Chứng minh rằng: x y

b) Giả sử x y, hai số thực không âm thỏa mãn 3 2

x y xyx y

Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức sau:

2

x x

P

y y

 

 

 

Câu

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn  O điểm P nằm tam giác thỏa mãn PBPC Gọi D diểm thuộc cạnh BC D B D, C cho P nằm đường tròn ngoại tiếp tam giác DAB đường tròn ngoại tiếp tam giác DAC Đường thẳng PB cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác DAB E khác B Đường thẳng PC

cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác DAC F khác C

a) Chứng minh bốn điểm A E P F, , , thuộc đường tròn

b) Đường thẳng AD cắt đường tròn  O Q khác A, đường thẳng AF cắt đường thẳng QC L Chứng minh tam giác ABE đồng dạng với tam giác CLF

c) Gọi K giao điểm đường thẳng AE đường thẳng QB Chứng minh rẳng:

QKL PAB QLK PAC

    

Câu

Cho tập hợp A có 31 phần tử dãy gồm m tập A thỏa mãn: i) Mỗi tập thuộc dãy có phần tử

(25)

a) Cho a b c, , số thực thỏa mãn:

 3   3  3 3

27 a b c 24 3a b c  3b c a  3c a b Chứng minh rằng: a2b b 2a c 2a1

  3

2

27 26 27

x y xy

x y y x x x

    

      

 Câu

a) Tìm số tự nhiên n để n5 n30 số phương b) Tìm hai số ngun x y, thỏa mãn 1 x  y x y

c) Cho x y z, , số thực lớn Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

4 4

x y z

P

y z z x x y

  

     

Câu

Cho tam giác nhọn ABC không cân với ABAC Gọi M trung điểm BC H hình chiếu vng góc B AM Trên tia đối tia AM lấy điểm N cho AN2MH

a) Chứng minh rằng: BNAC

b) Gọi Q điểm đối xứng với A qua N Đường thẳng AC cắt BQ D Chứng minh bốn điểm , , ,

B D N C thuộc đường tròn, gọi đường tròn  O

c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AQD cắt  O G khác D Chứng minh rằng: NG BC Câu

(26)

a) Giải phương trình:

3

2

64

5

5 6

x x

   

  b) Giải hệ phương trình:

2

4

4 10

x y

x y xy x y

   

    

 Câu

a) Với x y, số nguyên thỏa mãn đẳng thức:

2

1

2

x  y 

 Chứng minh rằng: 2

x y chia hết cho 40 b) Tìm tất cặp số nguyên x y,  thỏa mãn

2

x  x y

Câu

Cho hình vng ABCD nội tiếp đường trịn tâm  O P điểm thuộc cung nhỏ AD đường tròn  O ,

PA D Các đường thẳng PB PC, cắt AD M N, Đường trung trực AM cắt AC PB, E K, Đường trung trực cảu DN cắt BD PC, F L,

a) Chứng minh ba điểm K O L, , thẳng hàng

b) Chứng minh đường thẳng PO qua trung điểm EF

c) Giả sử đường thẳng EK cắt đường thẳng BD S, đường thẳng FL AC cắt T Đường thẳng

ST cắt đường thẳng PC PB, U V, Chứng minh bốn điểm K L U V, , , thuộc đường tròn Câu

Chứng minh với số tự nhiên n3 tồn cách xếp bộn n số 1, 2, 3, ,n thành

1; 2; 3; ; n

x x x x cho

2

i k

j

x x

(27)

2

3

x y x y

x y xy

    

    

b) Cho a b, hai số thực dương thỏa mãn ab  a b Chứng minh rằng:

  

2 2 2

1

1 2 1 1

a b ab

a b a b



 

   

Câu

a) Cho p q, hai số nguyên tố thỏa mãn    

1

p p q q  Chứng minh tồn số nguyên dương k

sao cho

1 ,

p kq q  kp Tìm tất số nguyên tố p q, thỏa mãn đẳng thức

b) Cho a b c, , số thực dương thỏa mãn abbccaabc2 Tìm giá trị lớn biểu thức:

2 2

1 1

2 2 2

a b c

M

a a b b c c

  

  

     

Câu

Cho tam giác ABC nhọn với ABAC Gọi E F, trung diểm CA AB, Trung trực đoạn thẳng EF cắt BC D Giả sử có điểm P nằm EAF nằm tam giác EAF cho

PEC DEF

   PFB DFE PA cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác PEF Q khác P a) Chứng minh rằng: EQF BACEDF

b) Tiếp tuyến P đường tròn ngoại tiếp tam giác PEF cắt CA AB, M N, Chứng minh bốn điểm C M B N, , , nằm đường tròn Gọi đường tròn  K

c) Chứng minh đường tròn  K tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF Câu

Cho n số nguyên dương, n5 Xét đa giác lồi n cạnh Người ta muốn kẻ số đường chéo đa giác mà đường chéo chia đa giác cho thành k miền, miền ngũ giác lồi (hai miền khơng có điểm chung)

(28)

a) Giải phương trình: 93 x32x7 x5 32 x

b) Giải hệ phương trình:  

  

3 3

7 1 31

xy x y

x y x y x y

  



      



Câu

a) Cho x y, số nguyên cho x22xyy xy2y2x chia hết cho Chứng minh 2

2x y 2xy chia hết cho

b) Cho a a1, 2,a3, ,a50 số nguyên thỏa mãn:

1 50

1 a a   a 50 a1a2  a50 100 Chứng minh từ số cho ta chọn vài số có tổng 50 Câu

Cho ngũ giác lồi ABCDE nội tiếp đường trịn  O có CD BE Hai đường chéo CE BD cắt P Điểm M thuộc đoạn BE cho MAB PAE Điểm K thuộc đường thẳng AC cho MKAD, điểm

L thuộc đường thẳng AD cho ML AC Đường tròn ngoại tiếp tam giác KBC cắt BD CE, ,

Q S Q khác B S, khác C

a) Chứng minh ba điểm K M Q, , thẳng hàng

b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác LDE cắt BD CE, T R, T khác D R, khác E.Chứng minh năm điểm M S Q R T, , , , thuộc đường tròn

c) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR tiếp xúc với đường tròn  O Câu

Cho a b c, , số thực dương Chứng minh rằng:

1

2

ab bc

a b b c a b b c

  

    

  

  

      

(29)

a) Giải phương trình:

 

2

27 27

2

x x x

x

x x

   

 

  

  

2

3

x y xy

x y x xy

   



    



Câu

a) Chứng minh với số nguyên dương n, ta ln có:

 

 7  7 7  7 7

27n5 10  10n27 5  5n10 27

chia hết cho 42

b) Cho x y, số thực dương thỏa mãn 2

4x 4y 17xy5x5y1 Tìm giá trị nhỏ thức: P17x217y216xy

Câu

Cho tam giác ABC cân A, có đường trịn nội tiếp  I Các điểm E F, theo thứ tự thuộc cạnh CA AB,

E khác C A, F khác B A cho EF tiếp xúc với đường tròn  I điểm P Gọi K L, hình chiếu vng góc E F, lên BC Giả sử FK cắt EL điểm J Gọi H hình chiếu vng góc

J lên BC

a) Chứng minh HJ phân giác EHF

b) Ký hiệu S1 S2 diện tích tứ giác BFJL CEJK Chứng minh rằng:

2

S BF

S CE

c) Gọi D trung điểm BC Chứng minh ba điểm P J D, , thẳng hàng Câu

(30)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯỜNG THPT CHUN KHTN NĂM 2020 MƠN THI: TỐN (VỊNG 2)

a) Giải hệ phương trình:   

  3 

1

5 12 13 243

x y x

y xy x y x y y

   



        



b) Giải phương trình: x12 7 2x12 7 243x70 Câu

a) Tìm tất số nguyên dương a b c, , cho ba số 4a25 , 4b b25 , 4c c25a bình phương số nguyên dương

b) Từ bốn số thực a b c d, , ,  ta xây dựng số ab b, c c, d d, a liên tiếp xây dựng số theo quy tắc Chứng minh hai thời điểm khác ta thu số (có thể khác thứ tự) số ban đầu phải có dạng a,a a, ,a

Câu

Cho tam giác ABC cân có BAC90 Điểm E thuộc cạnh AC cho AEB90 Gọi P giao điểm BE với trung trực BC Gọi K hình chiếu vng góc P lên AB Gọi Q hình chiếu vng góc

E lên AP Gọi giao điểm EQ PK F

a) Chứng minh bốn điểm A E P F, , , thuộc đường tròn

b) Gọi giao điểm KQ PE L Chứng minh LA vng góc với LE

c) Gọi giao điểm FL AB S Gọi giao điểm KE AL T Lấy R điểm đối xứng A qua

L Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác AST đường tròn ngoại tiếp tam giác BPR tiếp xúc Câu

Với a b c, , số thực dương thỏa mãn a  b c Chứng minh rằng:

1 1

3 1 a b c

a b c abc bc ca ab

   

           

   

 

Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Toán trường THPT chuyên KHTN - ĐHQG Hà Nội

Thông tin tài liệu

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

Tài liệu liên quan