Đề thi Olympic Toán học thiếu niên Balkan - JBMO năm 2020

Tiếp theo, Bob chọn một số từ tập A rồi đến lượt Alice chọn, các số được chọn phải thỏa các điều kiện sau: ban đầu Bob chọn bất kỳ số nào anh ta muốn, sau đó số được chọn ở mỗi bước [r]

ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN HỌC THIẾU NIÊN BALKAN – JBMO NĂM 2020

Câu

Tìm tất số thực a b c, ,  thỏa mãn:

2 2

2 2

1 1

1 1

a b c

a b c

a b c

a b c

      



      

Câu

Cho tam giác ABC có BAC90 Gọi E chân đường cao hạ từ đỉnh A tam giác ABC, Z điểm đường thẳng AB cho ABBZ Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEZ cắt CZ

tại điểm D FD đường kính AEZ Đường thẳng FE cắt đường thẳng CZ điểm P Tiếp tuyến Z đường tròn ngoại tiếp tam giác AEZ cắt PA T Chứng minh bốn điểm T E P Z, , , đồng viên

Câu

Alice Bob chơi trò chơi sau: Alice chọn tập A1, 2, ,n với n số tự nhiên lớn Tiếp theo, Bob chọn số từ tập A đến lượt Alice chọn, số chọn phải thỏa điều kiện sau: ban đầu Bob chọn số muốn, sau số chọn bước phải khác với tất số chọn nguyên tố với số vừa chọn trước Trị chơi kết thúc tất số từ tập A chọn Alice thắng tổng tất số mà cô chọn hợp số (không phải số ngun tố) Nếu khơng Bob thắng

Hỏi người chơi có chiến lược để thắng? Câu

Tìm tất số nguyên tố p q cho

q p

p q

p q

 

 số nguyên tố

LỜI GIẢI ĐỀ THI JBMO NĂM 2020

Câu

Tìm tất số thực a b c, ,  thỏa mãn:

2 2

2 2

1 1

1 1

a b c

a b c

a b c

a b c

               Lời giải Ta có: abc0

Theo giả thiết, ta có:

   

 

2 2

2 2

2

1 1

1 1 1

2

1 1

a b c

a b c a b c ab bc ca

a b c ab bc ca ab bc ca

ab bc ca abc ab bc ca a b c

                                     

Mặt khác a b c 1 1, a b c

     nên:

 

 

2 2

1 1

1

1

0

abc ab bc ca

a b c

a b c ab bc ca ab bc ca

abc abc

ab bc ca

                      

Nếu abbcca0 a  b c Suy a2b2c20 hay a  b c 0, vô lí Nếu abc 1 a  b c abbcca0 Khi ta có:

1a1b1     c a b c abbccaabc0

Khơng tính tổng quát giả sử a 1 Ta có bc1 Khi b c,  t,1 t

 



  với t,t0

Trong trường hợp này, nghiệm hệ hoán vị 1; ;t t

 

 

 

Nếu abc1 a  b c abbcca Khi ta có:

1a1b1     c a b c abbccaabc0

Khơng tính tổng qt, giả sử a1 Ta có bc1 Khi b c,  t,1 t

 



  với t,t0

Trong trường hợp này, nghiệm hệ hoán vị 1; ;t t

 

 

 

 

Tóm lại a b c, ,  hốn vị 1; ;t t

 

 

 

  hoán vị

1 1; ;t

t

 

 

 

 

Câu

Cho tam giác ABC có BAC90 Gọi E chân đường cao hạ từ đỉnh A tam giác ABC, Z điểm đường thẳng AB cho ABBZ Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEZ cắt CZ

tại điểm D FD đường kính AEZ Đường thẳng FE cắt đường thẳng CZ điểm P Tiếp tuyến Z đường tròn ngoại tiếp tam giác AEZ cắt PA T Chứng minh bốn điểm T E P Z, , , đồng viên

Lời giải T

P

F

D

O E

Z C

A

Tứ giác AEDZ nội tiếp nên EDCEAZEAB

Mặt khác ABC đồng dạng với EAB nên EABBCA Suy EDCBCA Do 

90

FED nên 

90

PED Khi ta có:    

90 90

EPD EDC BCAEAC

Hay tứ giác ACPE nội tiếp Suy  

90

CPACEA

Tam giác APZ vng có B trung điểm AZ nên PB trung tuyến Suy ABBZPB hay tam giác PBZ cân B Suy BPZBZP Lại có:

,

CA CE CB CP CZ nên tứ giác PEBZ nội tiếp (1) Suy EPDEACCBAEBA

Khi đó, ta có: PAEPCEZPBPBEPZBPZEEZB Suy PA tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác AEZ Do TZTA hay tam giác TZATAZPABAPB Do PTZB tứ giác nội tiếp (2)

Từ (1) (2) suy T E P Z, , , đồng viên Câu

Alice Bob chơi trò chơi sau: Alice chọn tập A1, 2, ,n với n số tự nhiên lớn Tiếp theo, Bob chọn số từ tập A đến lượt Alice chọn, số chọn phải thỏa điều kiện sau: ban đầu Bob chọn số muốn, sau số chọn bước phải khác với tất số chọn nguyên tố với số vừa chọn trước Trị chơi kết thúc tất số từ tập A chọn Alice thắng tổng tất số mà cô chọn hợp số (khơng phải số ngun tố) Nếu khơng Bob thắng

Hỏi người chơi có chiến lược để thắng?

Lời giải

Alice có chiến lược chiến thắng có nghĩa tìm số n để tạo thành tập A cho trả lời cách xác tất lựa chọn Bob luôn nhận tổng hợp số cô hợp số

Nếu n không tồn tại, điều có nghĩa Bob có chiến lược chiến thắng

1 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8

Trong trường hợp, tổng Alice số chẵn lớn khác 15 21, Alice ln thắng

Câu

Tìm tất số nguyên tố p q cho

q p

p q

p q

 

 số nguyên tố Lời giải

Rõ ràng: pq Đặt ,

q p

p q

r

p q



 

 r số nguyên tố

Ta có:  1 

q p

q p

p q

r p q r p q

p q



      



Theo định lý Fermat nhỏ, ta có: pqqp  qmodp

Suy pqqp p1pq

Nếu p số nguyên tố lẽ, áp dụng định lý Fermat nhỏ, ta có: q p mod 

p q  p q

Mà     

1 mod

p pq  p p q Suy ra:      

mod mod

p  p p q  p p  q

Do pq nên p 2 mod q hay p2 chia hết cho q Suy q  p p Ta có: q p  1 ,

p q  p pq suy ra:

Mà gcdq p,  1 nên đặt kordp1 q p k k p Suy k1

Khi ta có: q 1 mod p  1 q p, vơ lí

Do p chẵn, suy p2 Khi ta có: 2q q2 q Với số nguyên q6, ta có 2qq2 q Suy q5 Thử trực tiếp ta thấy q5 thỏa mãn

Thử lại thấy p2, q5 hai số nguyên tố cần tìm

     

0 mod 1 mod 1 mod

q p p p