Đang tải... (xem toàn văn)
Định nghĩa 1 (Giới hạn của hàm số tại một điểm)... Phương pháp giải:.[r]
(1)CHƯƠNG 4 GIỚI HẠN BÀI GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ A TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Định nghĩa 1 (Giới hạn hàm số điểm)
Giả sử (a b; ) khoảng chứa điểm x0 f hàm số xác định tập hợp
(a b; ) \ x0 Ta nói hàm số f có giới hạn số thực L x dần đến x0 (hoặc điểm x0)
với dãy số ( )xn tập hợp (a b; ) \ x0 mà limxn =x0 ta có lim f x( )n =L
Khi ta viết ( )
0
lim
x→x f x =L f x( ) L
→ x→x0
Định nghĩa 2 (Giới hạn hàm số vô cực)
Giả sử hàm số f xác định khoảng (a;+) Ta nói hàm số f có giới hạn số thực
L x dần tới + với dãy số ( )xn khoảng (a;+) mà limxn = + ta có
( )
lim f xn =L
Khi ta viết lim ( )
x→+f x =L f x( )→L x→ +
GIỚI HẠN HỮA HẠN GIỚI HẠN VÔ CỰC
Giới hạn đặc biệt
1)
0
0
lim
x→x x=x
2)
0
lim
x→x c=c (c )
Giới hạn đặc biệt
1) lim k
x→+x = + 2) limx k
c x → =
3)
0
1 lim
x→− x
= − 4)
0
1 lim
x→+ x
= +
5) li ( 0)
m
x
k k k
k x
→−
+ =
−
Định lí
Nếu ( )
0
lim
x→x f x =L ( )
lim
x→x g x =M
1) ( ) ( )
0 lim
x→x f x g x = L M
2) ( ) ( )
0
lim
x→x f x g x =L M
3) ( )
( )
0 lim
x x
f x L g x M
→ = với M 0
Nếu f x( )0 ( )
0
lim
x→x f x =L
( )
0 lim
x→x f x = L xlim→x0 f x( )= L
Định lí
Nếu ( )
0
lim
x→x f x = L ( )
lim
x→x f x =
( ) ( ) ( )( )
0
lim
lim
lim
x x
x x
x x
L g x
f x g x
L g x
→ →
→
+
=
−
Nếu ( )
0
lim
x→x g x =
( ) ( )
( ) ( )
0
lim
x x
L g x f x
g x L g x
→
+
=
−
(2)Page
2
Giới hạn bên
( ) ( ) ( )
0 0
lim l
i i
l m m
x x
x x x x
f x f x L
f x L + −
→ = → = → =
B DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP
Dạng Tính giới hạn vô định dạng 0
0, đó tử thức và mẫu thức là các đa thức
Phương pháp giải:
Khử dạng vô định cách phân tích thành tích cách chia Hooc – nơ (đầu rơi, nhân tới, cộng chéo), rời sau đơn giản biểu thức để khử dạng vơ định
VÍ DỤ
Ví dụ 1. Tính giới hạn
2 2
2 14 lim
4
x
x x
A
x →
+ −
=
− Đs:
11
A=
Lời giải
Ta có
2
2 2
7 2(x 2)(x )
2 14 2 11
lim lim lim
4 (x 2)(x 2)
x x x
x x x
A
x x
→ → →
− +
+ − +
= = = =
− − + +
! Cần nhớ: ( )( )
1
( ) a
f x = x +bx+ =c a x−x x−x với x x1, 2là nghiệm phương trình
( )
f x = Học sinh thường quên nhân thêm a
Ví dụ Tính giới hạn
3
3
2
2
lim
4 13
x
x x x
A
x x x
→
− − −
=
− + − Đs:
11 17
A=
Lời giải
( )( )
( )( )
2
3 2
3 2
3 3
3
2 11
lim lim lim
4 13 3 4 17
x x x
x x x
x x x x x
A
x x x x x x x x
→ → →
− + +
− − − + +
= = = =
− + − − − + − +
Nhận xét:Bảng chia Hooc – nơ (đầu rơi, nhân tới cộng chéo) sau: Phân tích 2x3−5x2−2x−3thành tích số:
( )( )
3 2
2x 5x 2x x 2x x
− − − = − + + Phân tích
(3)( )( )
3 2
4x 13x 4x x 4x x
− + − = − − +
Ví dụ Tính giới hạn
100 50
2 lim
2
x
x x
A
x x
→
− +
=
− + Đs:
49 24
A=
Lời giải
Ta có ( ) ( )
( ) ( )
99
100 100
50 50 49
1 1
1
2 ( ) ( 1)
lim lim lim
2 ( ) ( 1) 1
x x x
x x x
x x x x x
A
x x x x x x x x
→ → →
− − −
− + − − −
= = =
− + − − − − − −
( )( ) ( )
( )( ) ( )
( )( )
( )( )
98 97 96
48 47 46
1
99 98 97
49 48 47
1
1 1
lim
1 1
1
lim
1
x
x
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
→
→
− + + + + + − −
=
− + + + + + − −
− + + + + + −
=
− + + + + + −
( )
( )
99 98 97
49 48 47
1
98 49
lim
48 24
x
x x x x x
x x x x x
→
+ + + + + −
= = =
+ + + + + −
!Cần nhớ:Hằng đẳng thức ( )( 2 )
1 1
n n n
x − = x− x − +x − + +x + +x
Chứng minh: Xét cấp số nhân 1, ,x x x2, 3, ,xn−1có n số hạng và u1=1,q=x
Khi đó
( )( )
2
1
1
1 1 1
1
n n
n n n
n
q x
S x x x u x x x x x
q x
− − − −
= + + + + = = − = − + + + +
− −
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Tính giới hạn sau:
1)
2 2
3 lim
4
x
x x
A
x →
− +
=
− ĐS:
1
A= 2)
2
1 lim
3
x
x A
x x
→
− =
+ − ĐS:
2
A=
3)
2
7 12 lim
9
x
x x
A
x →
− +
=
− ĐS:
1
A= − 4)
2
9 20 lim
5
x
x x
A
x x
→
− +
=
− ĐS:
1
A=
5)
2
3 10 lim
5
x
x x
A
x x
→
− +
=
− + ĐS: A=8 6)
2
2 lim
2
x
x x
A
x x
→
+ −
=
− − ĐS:
4
A=
7)
4 2
16 lim
6
x
x A
x x
→−
− =
+ + ĐS: A= −16 8)
2
lim
5
x
x x
A
x x
→
− − =
− + ĐS:
4
A= −
9)
3 2
8 lim
3
x
x A
x x
→
− =
− + ĐS: A=12 10)
3 2
8 lim
11 18
x
x A
x x
→−
+ =
+ + ĐS:
12
(4)Page
4
1)
3
2
2
lim
1
x
x x x
A
x →
− + +
=
− ĐS: A= −1 2)
3
3 lim
4
x
x x
A
x x
→
− +
=
− + ĐS:
1
A=
3)
3
3
1
2
lim
1
x
x x x
A
x x x
→−
+ + +
=
+ − − ĐS:
1
A= 4)
4
3
1
1 lim
5
x
x x x
A
x x x
→
− − + =
− + − ĐS:
3
A= −
5)
3
2
2
lim
3
x
x x x A
x →−
− + + + =
− ĐS:
18 19
A= +
6)
3
4
3
5
lim
8
x
x x x
A
x x
→
− + +
=
− − ĐS: A=0
7)
3
4
1
1 lim
4
x
x A
x x
→ − =
− + ĐS:
3
A= 8) 3
2
1 12
lim
2
x
A
x x
→
= −
− −
ĐS:
1
A=
9) 2 2
2
1
lim
3
x
A
x x x x
→
= +
− − − −
ĐS: A= −2
10) 2 3
1
1
lim
2
x
A
x x x
→
= −
+ − −
ĐS:
1
A=
Bài 3. Tính giới hạn sau: 1)
20 30
2 lim
2
x
x x
A
x x
→
− +
=
− + ĐS:
8 14
A= 2)
50
1 lim
3
x
x A
x x
→
− =
− + ĐS: A= −50
3)
( )2
1 lim
1
n x
x nx n
A
x →
− + −
=
− (Với n là số nguyên) ĐS:
2
n n
A= −
4) ( )
( )
1
2
1 lim
1
n
x
x n x n
A
x + →
− + + =
− ĐS:
( 1)
2
n n
A= +
5)
2
2
1
lim
n m x
x x x x n
A
x x x x m
→
+ + + + −
=
+ + + + − (m n, là số nguyên) ĐS:
( )
( )
1
n n A
m m + =
+
6)
1
lim
1 m n
x
m n
A
x x
→
= −
− −
ĐS:
m n A= −
LỜI GIẢI
Bài 1. 1) Ta có ( )( )
( )( )
2
2 2
1
3 1
lim lim lim
4 2
x x x
x x
x x x
A
x x x x
→ → →
− −
− + −
= = = =
− − + +
2) Ta có ( )( )
( )( )
2
1 1
1
1
lim lim lim
3 4
x x x
x x
x x
A
x x x x x
→ → →
− +
− +
= = = =
+ − − + +
3) Ta có ( )( )
( )( )
2
3 3
3
7 12
lim lim lim
9 3
x x x
x x
x x x
A
x x x x
→ → →
− −
− + −
= = = = −
(5)4) Ta có ( )( )
( )
2
5 5
4
9 20
lim lim lim
5 5
x x x
x x
x x x
A
x x x x x
→ → →
− −
− + −
= = = =
− −
5) Ta có ( )( )
( )( )
2
3 3
3
3 10 3
lim lim lim
5
x x x
x x
x x x
A
x x x x x
→ → →
− −
− + −
= = = =
− + − − −
6) Ta có ( )( )
( )( )
2
1 1
1
2 3
lim lim lim
2 1 2
x x x
x x
x x x
A
x x x x x
→ → →
− +
+ − +
= = = =
− − − + +
7) Ta có ( )( )( )
( )( )
( )( )
( )
2
4
2 2
2 4
16
lim lim lim 16
6 4
x x x
x x x x x
x A
x x x x x
→− →− →−
− + + − +
−
= = = = −
+ + + + +
8) Ta có ( )( )
( )( ) (( ))
1 1
1 3
2
lim lim lim
3
5 4
x x x
x x x
x x
A
x x x x x
→ → →
− + +
− −
= = = = −
− + − − −
9) Ta có ( )( )
( )( ) ( ( ) )
2
3
2 2
2 4
8
lim lim lim 12
3 2 1
x x x
x x x x x
x A
x x x x x
→ → →
− + + + +
−
= = = =
− + − − −
! Cần nhớ: Hằng đẳng thức a3+b3 =(a+b)(a2−ab b+ 2)và a3−b3=(a b− )(a2+ab b+ 2)
10) Ta có ( )( )
( )( ) ( ( ) )
2
3
2 2
2 4
8 12
lim lim lim
11 18 9
x x x
x x x x x
x A
x x x x x
→− →− →−
+ − + − +
+
= = = =
+ + + + +
Bài 2. 1) ( )( )
( )( )
2
3 2
2
1 1
1
2 2
lim lim lim
1 1
x x x
x x x
x x x x x
A
x x x x
→ → →
− − −
− + + − −
= = = = −
− − + +
2) ( ) ( )
( ) ( )
2
2
4 2
1 1
1
3 2
lim lim lim
4 3
x x x
x x
x x x
A
x x x x x x x
→ → →
− +
− + +
= = = =
− + − + + + +
3) ( ) ( )
( ) ( )
2
3
2
3
1 1
1
2 1
lim lim lim
1 1 1
x x x
x x
x x x x
A
x x x x x x
→− →− →−
+ +
+ + + +
= = = =
+ − − + − −
4) ( ) ( )
( ) ( )
2 2
4
2
3
1 1
1
1
lim lim lim
5 3
x x x
x x x
x x x x x
A
x x x x x x
→ → →
− + +
− − + + +
= = = = −
− + − − − −
5) Ta có ( )( ( ) )
( )( )
2
3
2
3
3 3 3
2
lim lim
3 3 3
x x
x x x
x x x A
x x x
→− →−
+ − + + +
− + + +
= = −
− + −
( )
2
3
2 3 3 18 19 3 lim
6
x
x x
x →−
− + + + +
= − =
−
6) Ta có ( )( )
( ) ( )(( ))
2
3
1 3
5
limx x x lim x x lim x x
(6)Page
6
7) Ta có ( )( )
( )( ) ( ( ) )
2
3
4 3
1 1
1 1
1
lim lim lim
4 3 3
x x x
x x x x x
x A
x x x x x x x x x
→ → →
− − − − − − −
−
= = = =
− + − + − − + − −
8) Ta có
( )( )
3
3
2
1 12 12 16
lim lim
2 8
x x
x x
A
x x x x
→ →
− +
= − =
− − − −
( )( )
( ) ( )
2
2 2
2
4
lim lim
2
2
x x
x x x
x x
x x x
→ →
+ − +
= = =
+ +
− + +
9) Ta có
( )( )
2
2 2
2
1
lim lim
3 6
x x
x x x x
A
x x x x x x x x
→ →
− − + − −
= + =
− − − − − − − −
( )
( ) ( )( ) ( )( )
2
2
2
2 2
lim lim
3
2
x x
x
x x
x x x
→ →
−
= = = −
− −
− − −
10) Ta có
( )( ) ( )( )
3
2 3
1 1
1 1
lim lim lim
2 2
x x x
x x x x x x
A
x x x x x x x x x
→ → →
− − − + − − +
= − = =
+ − − + − − + − −
( ) ( )
( ) ( )( ) ( )( )
2
2 2
1
1 1
lim lim
9
2
1
x x
x x x
x x x
x x x x
→ →
− + +
= = =
+ + +
− + + +
Bài 3. 1) Ta có ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
19 20
20
30 30 29
1 1
1
1
lim lim lim
2 1 1
x x x
x x x
x x x
x x
A
x x x x x x x x
→ → →
− − − − − −
− +
= = =
− + − − − − − −
( )( ) ( )
( )( ) ( )
( )( )
( )( )
18 17 19 18
28 27 29 28
1
1 1
lim lim
1 1
x x
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x
→ →
− + + + + − − − + + + −
= =
− + + + + − − − + + + −
( )
( )
19 18
29 28
1
18 9 lim
28 24
x
x x x
x x x
→
+ + + −
= = =
+ + + −
2) Ta có ( )( )
( )( )
49 48
50 49 48
2
1 1
1 x
1 x
lim lim lim 50
3 2
x x x
x x x
x x x
A
x x x x x
→ → →
− + + + +
− + + + +
= = = = −
− + − − −
3) Ta có
( ) ( )
( )
( )
2
1
1
1
lim lim
1
n n
x x
x n x
x nx n
A
x x
→ →
− − −
− + −
= =
− −
( )( ) ( )
( )
1
2
1 x 1
lim
1
n n
x
x x x n x
x
− −
→
− + + + + − −
=
−
( )( )
( )
1 1 2
2
1
1 x x 1
lim lim
1
n n n n
x x
x x x n x x n
x x
− − − −
→ →
− + + + + − + + + + −
= =
− −
1 2
1
1 x 1
lim
1
n n
x
x x x
x
− −
→
− + − + + − + −
=
(7)( )( ) ( )( ) ( )
1 x 1 x
lim
1
n n n n
x
x x x x x x x
x
− − − −
→
− + + + + + − + + + + + + − =
−
( ) ( )
1
lim n n x n n x
x x x x x
− − − −
→
= + + + + + + + + + + + ( 1) ( 2) 2
n n
n n −
= − + − + + =
4) Ta có ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
1
2 2
1 1
1 1
1
lim lim lim
1 1
n n
n
x x x
x x n x x x n x
x n x n
A
x x x
+ +
→ → →
− − − − − −
− + +
= = =
− − −
( )( ) ( )
( )
( )( )
( )
1
2
1
1 x 1 x
lim lim
1
n n n n
x x
x x x x n x x x x n
x x
− − −
→ →
− + + + + − − − + + + −
= =
− −
1 2
1
x 1 x 1
lim lim
1
n n n n
x x
x x x n x x x
x x
− −
→ →
+ + + + − − + − + + − + −
= =
− −
( )( ) ( )( ) ( )
1
1 x 1 x
lim
1
n n n n
x
x x x x x x x
x
− − − −
→
− + + + + + − + + + + + + − =
−
( ) ( )
1
lim n n x n n x
x x x x x
− − − −
→
= + + + + + + + + + + + ( 1) ( 2) ( 1)
2
n n
n n n +
= + − + − + + =
5) Ta có
2
2
1
1 1
lim lim
1 1
n n n
m m m
x x
x x x x n x x x x
A
x x x x m x x x x
− −
→ →
+ + + + − − + − + + − + −
= =
+ + + + − − + − + + − + −
( )( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( )
1 2
1 2
1
1 x 1 x
lim
1 x 1 x
n n n n
m m m m
x
x x x x x x x
x x x x x x x
− − − −
− − − −
→
− + + + + + − + + + + + + −
=
− + + + + + − + + + + + + −
( ) ( )
( ) ( )
1 2
1 2
1
x x lim
x x
n n n n
m m m m
x
x x x x
x x x x
− − − −
− − − −
→
+ + + + + + + + + + +
=
+ + + + + + + + + + +
( ) ( )
( ) ( ) (( ))
1
1 1
lim
1 1
x
n n n n n
m m m m m
→
+ − + − + + +
= =
+ − + − + + +
6) Ta có
1
1
lim lim
1 m n m 1 n
x x
m n m n
A
x x x x x x
→ →
= − = − − −
− − − − − −
1
1
lim lim
1 m 1 n
x x
m n
x x x x
→ →
= − − −
− − − −
Và ( ) ( ) ( ) ( )
2
1 1
1 x 1 x
1
lim lim lim
1 1 x
m m
m m m
x x x
m x x x x
m
x x x
− −
→ → →
− + + + + − + − + + −
− = =
− − − −
( ) ( ) ( )
( )( )
2
2
1
1 1
lim
1
m
m x
x x x x x
x x x x
− −
→
− + + + + + + + +
=
− + + + +
( ) ( 2)
2
1
1 1 1 1 1
lim
1
m m
x
x x x x m m
x x x m
− −
→
+ + + + + + + + + + + + − −
= = =
+ + + +
Tương tự ta có
1
1
lim
1 n
x
n n
x x
→
− − = − −
(8)Page
8
Dạng Tính giới hạn vô định dạng 0
0, đó tử thức mẫu thức có chứa thức
Phương pháp giải:
Nhân lượng liên hợp để khử dạng vơ định. VÍ DỤ
Ví dụ 1. Tính giới hạn
6
3
lim
6
x
x B
x →
− + =
− Đs:
1
B= −
Lời giải
Ta có: ( )( )
( )( )
6
3 3
3
lim lim
6 6 3 3
x x
x x
x B
x x x
→ →
− + + +
− +
= =
− − + +
( )
( )( ) ( )( )
6 6
9 1
lim lim lim
6
3 3
6 3 3
x x x
x x
x
x x x x
→ → →
− + − − −
= = = = = −
+ + + +
− + + − + +
Ví dụ 2. Tính giới hạn
3
2
3
lim
2
x
x x
E
x →
+ − − =
− Đs:E= −1
Lời giải
Ta có
3 3
2 2
3 2 3 2 2 2 5 6
lim lim lim
2 2
x x x
A B
x x x x
E
x x x
3
2 3 3
3
3 2
lim lim
2 2 3 2 2 3 2 4
x x
x x
A
x x x x
2
2 3 3
3
lim lim
4
3 2
2 2
x x
x
x x
x x x
2 2
4
2
lim lim lim
2 2 2 5 6 2 2 5 6
x x x
x x
x B
x x x x x
2
5
lim
4
2
x x x
Suy 4
E A B
Ví dụ Tính giới hạn
3
1
5
lim
1
x
x L
x →−
− + =
+ Đs:
5 12
L=
(9)Ta có:
3
1 3 3
5
5
lim lim
1 1 5 3 2 5 3 4
x x
x x
L
x x x x
2
1 3 13
5 5
lim lim
12 5
1 5
x x
x
x x
x x x
Ví dụ Tính giới hạn
3
2
3
lim
2
x
x x
E
x →
+ − − =
− Đs:
1
E= −
Lời giải
Ta có
3
3
2 2
3 2 2 3 2 2 3 2 2
lim lim lim
2 2
x x x
x x x x
E
x x x
2 3 3
3
lim lim
2 2
2 2
x x
x x
x x
x x x
2 3 3
3
lim lim
2 2
2 2
x x
x x
x x
x x x
2
2 3 3
3 3
lim lim
4
3 2
3 2
x x x
x x
Ví dụ Tính giới hạn
3
0
1
lim
x
x x
F
x →
+ + −
= Đs: F
3
=
Lời giải
3
0
1 1 1
lim lim
x x
x x x
x x
F
x x
3
0
1 1 2 1
lim lim
x x
x x x
x x
0 3 3
1 1
lim lim
1
1 4
x x
x x x
x x
x x x
2
0 3 3
4 2
lim lim
3
1
1 4
x x
x
x
x x
BÀI TẬP ÁP DỤNG
(10)Page
10
1)
8
8 lim
3
x
x B
x Đs:B 2)
2
1
4
lim
1
x
x x B
x Đs:
1
B
3)
2
3
2
lim
2
x
x x x
B
x Đs:
1
B 4) 2
2
2
lim
4
x
x B
x Đs:
1 16
B
5) 2
2
2
lim
4
x
x B
x Đs:
3 16
B 6) 2
9
3 lim
9
x
x B
x x Đs:
1 54
B
7) 2
2
2 lim
2 10
x
x B
x x Đs:
1 36
B 8) 2
1
7 2
lim
1
x
x x B
x Đs:
1
B
9)
2
2
lim
3
x
x x x
B
x x Đs:
5
B
Bài Tính giới hạn sau: 1)
1
3
lim
8
x
x x
B
x Đs:B 2)
3
lim
4
x
x B
x x Đs:
3
B
3)
2
2
lim
1
x
x x
B
x x Đs:
1
B 4)
3
1
lim
2
x
x x
B
x x Đs:B
5)
2
2
lim
x
x x x
B
x x Đs:B 6)
4
1
4
lim
1
x
x B
x Đs:B
7)
2
2
2
lim
1
x
x x
B
x x
Đs:
3
B
Bài Tính giới hạn sau: 1)
0
9 16
lim
x
x x
L
x Đs:
7 24
B
2)
1
2 5
lim
1
x
x x
L
x Đs:
4
B
3)
3
2 2
lim
3
x
x x
L
x Đs:
5
L
4)
2
2
2
lim
2
x
x x x L
x Đs:L
5)
6
5 84
lim
6
x
x x x
L
x Đs:
74
(11)6)
0
1
lim
x
x x
L
x Đs:L
7) 2
0
4 3
lim
2
x
x x x
L
x x Đs:
5
L
8) 2
1
3 2
lim
2
x
x x x
L
x x Đs:
17 16
L
9) 2
0
4
lim
x
x x
L
x Đs:
5 12
L
10)
2
6
lim
1
x
x x x
L
x
Đs: 11
6
L
Bài Tính giới hạn sau: 1)
3
2
4
lim
2
x
x L
x Đs:
1
L 2)
3
0
1
lim
x
x L
x Đs:
1
L
3)
3
3
1 lim
3
x
x L
x Đs:
1
L 4)
3
1
7
lim
1
x
x L
x Đs:
1
L
5)
3
8
2 lim
2
x
x L
x Đs:
5 12
L 6)
3
1 lim
2
x
x L
x Đs:L
7)
3
2
10
lim
3
x
x x L
x x Đs:
3
L 8)
3 2
8 11
lim
3
x
x x
L
x x Đs:
7 54
L
9)
3
3
1
7
lim
1
x
x x
L
x Đs:
1
L
10)
3
0
2
lim
x
x x
L
x Đs:
11 12
L
11)
2
2
2 11
lim
4
x
x x x
L
x Đs:
5 72
L
12)
3
4
lim
x
x x
L
x x Đs: L
Bài Tính giới hạn sau: 1)
0
1
lim
n x
ax F
x Đs:
(12)Page
12
2)
0
1
lim
n m
x
ax bx
F
x Đs:
a b
n m
3)
0
1
lim ( 0)
1
n m x
ax
F ab
bx Đs:
am bn
4)
0
1
lim
1
n m
x
ax bx
F
x Đs:
a b n m LỜI GIẢI
Bài 1. 1)
8 8
8
8
lim lim lim
9
3 3
x x x
x x x x
x B
x
x x x
8
8
lim lim
8
x x
x x
x
x
2)
2
2
1
4
4
lim lim
1 1 4 2
x x
x x x x
x x B
x x x x
2
2
1 2
1
4
lim lim lim
4
4
1 4
x x x
x x
x x x
x x
x x x x x x
3)
2
2
3
2 3
2
lim lim
2 2 6 2 3
x x
x x x x x x
x x x B
x x x x x
3
3
lim lim
4
2 3 2
x x
x x x
x x x x x x x
4) 2
2
2
2 2
2
lim lim
4 4 2 2
x x
x x
x B
x x x
2
2 lim
2 2
x
x
x x x
1
lim
16
2 2
x
x x
5) 2
2
2 2
2 2 4 3 2
2
lim lim lim
4 4
x x x
x x x
x B
x x x x x
2
3 3
lim lim
16
2 2 2
x x
x
x x x x x
6) 2
2
9 9
3
3
lim lim lim
9 9
x x x
x x
x x
B
x x x x x x x x
1
lim
54
(13)7) 2
2
2 2
lim lim
2 10 2 2
x x
x x
B
x x x x x
1
lim
36
2 2
x x x
8)
2
2 2
1
7 2
7 2
lim lim
1 2
x x
x x
x x
B
x x x x
2
2
2 lim
1 2
x
x x
x x x
1
1 lim
1 2
x
x x
x x x x
3
lim
3
1 2
x
x
x x x
9)
2 2
2
1 2
2
2
lim lim
3 3 2 2 5 2 8
x x
x x x
x x x
B
x x x x x x x
2
1 2
1 17
2 19 17
lim lim
3 2 2
x x
x x
x x
x x x x x x x x x x
1
2 17
lim
2
2
x
x
x x x x
Bài 2. 1)
1 1
2 8
3
lim lim lim
8 3 3
x x x
x x x
x x
B
x x x x x x
2)
1
3
lim
4
x
x B
x x
1
lim
1
x
x x x
x x
1
4
lim
3
x
x x
x
3
3)
2
2
lim
1
x
x x
B
x x
2
lim
2 2
x
x x x
x x x
1
lim
2 2
x
x x
x x
1
4)
3
1
lim
2
x
x x
B
x x
2 3
lim
3
x
x x x
x x x
3
2
lim
1
x
x x
x x
5)
2
2
lim
x
x x x
B
x x
2
1 2
2 lim
1 2
x
x x x
x x x x x x x
2
1 2
1 lim
1 2
x
x
x x x x x x x 2
1 lim
2
x
x
(14)Page
14
6)
4
1
4
lim
1
x
x B
x 4
4
4
lim
1 4
x
x
x x x x
3
1 4 4 4
4 lim
4 4
x
x x x
1 7)
2
2
2
lim
1
x
x x
B
x x
2
2 2
2
lim
2 2
x
x x x x
x x x x
2
2
2
lim
2
x
x x
x x
2
Bài 3. 1)
0
9 16
lim
x
x x
L
x
9
lim
x
x x
x
0
9 16
lim
x
x x
x x
x
1
lim
9 16
x x x
7 24
2)
1
2 5
lim
1
x
x x
L
x
2 2
lim
x
x x
x
1
2
2 2
lim
1
x
x x
x x
x
2
lim
2 2
x x x
4
3)
3
2 2
lim
3
x
x x
L
x
2 6 2
lim
3
x
x x
x
3
6 2
2
6 2
lim
3
x
x x
x x
x
3
2
6 2
lim
3
x
x x
x x
x
3
2
lim
6 2
x x x
5
4)
2
2
4
2 2
2
lim
2
x
x x
x x x
x x
x
2
2
2
2 2
2
lim
2
x
x
x x x
x x
x
2
2
lim 2
2
x
x
x x
x x
5)
6
5 84
lim
6
x
x x x
L
x
5 3 16 96
lim
6
x
x x x x
x
2
2
lim
2
x
x x x L
x
2
2
2
lim
2
x
x x x x
(15)6
5 3 16
lim
6
x
x x x
x
2
5 16
2 3 lim
6
x
x
x x
x x
6
10
lim 16
2 3
x
x x
74
6)
0
1
lim
x
x x
L
x
2
0
24 10 1
lim
x
x x
x
2
0
24 10 1 lim
24 10 1
x
x x
x x x
0
24 10 lim
24 10 1
x
x x
x x x
24 10 lim
24 10 1
x
x
x x
5
7) 2
1
4 3
lim
2
x
x x x
L
x x 2
4
2 lim
1
x
x x
x x
x x
2
2
1
4
2 lim
1 1
x
x x
x x
x x x x x x
1
1
lim
2
x x x x x
5
8) 2
1
3 2
lim
2
x
x x x
L
x x
4 2
lim
1
x
x x x x
x
2
2
4
16 48 14 49
2 2
7
lim
1
x
x x
x x x
x x
x x
x
2
2
1
2 2
7
lim
1
x
x x
x x
x x
x
1
1
lim
7 2
x x x x x
17 16
9) 2
0
4
lim
x
x x
L
x
4
lim
x
x x x x
x
2
2
4 4 6
4
lim
x
x x x x x x
x x x x
x
2
2
2
lim
x
x x
x x x x
x
0
1
lim
2 4
x x x x x
(16)Page
16
10)
2
6
lim
1
x
x x x
L
x
2
2
2
lim
1
x
x x x
x
2
2
6 4
2
6
lim
1
x
x x x
x
x x
x
2
2
1
2
6
lim
1
x
x x
x x
x
1
1 lim
6
x x x
11
Bài 4. 1)
3
2
4
lim
2
x
x L
x 3
4 lim
2 16 4
x
x
x x x 3
4 lim
16 4
x
x x
1
2)
3
0
1
lim
x
x L
x 3
3
1 lim
1 1
x
x
x x x 3
1 lim
1 1
x
x x
1
3)
3
3
1 lim
3
x
x L
x
2
3 2 3 2
3
9 lim
3
x
x
x x x
2
3 2 3 2
3
3 lim
1
x
x
x x
1
4)
3
1
7
lim
1
x
x L
x 3 3
1 lim
1
7
1
x
x x
x x
x
2
1 3 3
1 lim
7
x
x
x x
1
5)
3
8
2 lim
2
x
x L
x
3
8
8
2
lim
2 16
2
x
x
x x
x x
8 3
2
lim
2
x
x
x x
5 12
6)
3
1 lim
2
x
x L
x
3
1
2 3
3
1 lim
1
2
x
x
x x
x
x x
2 3
3
3
1
2
lim
1
x
x x
x x
1 7)
3
2
10
lim
3
x
x x L
x x
3
1
10 2
lim
1
x
x x
(17)3
2
3 3
3
1
2
1
10 2 10
lim
1
x
x
x
x x
x x
2
2
3 3
3
1
2 1
1
10 2 10
lim
1
x
x x x
x
x x
x x
2
2
3 3
3
1
2
1
10 2 10
lim
2
x
x x
x x
x
3
8)
3 2
8 11
lim
3
x
x x
L
x x
3 2
8 11 lim
3
x
x
x x 2
7 lim
3
x
x
x x
2 3 3
8 11 27
lim
1 11 11
x
x
x x x x
7 lim
1
x
x
x x x
2 3 3
8 lim
1 11 11
x
x x x
1 lim
1
x x x
8
27 54
9)
3
3
1 1
7
lim lim lim
1 1
x x x
x x x x
L
x x x
3
1 3 3
3
7
lim lim
1
1 7
x x
x x
x x
x x x
3
1 3 3 3
3
1
lim lim
1
1 7
x x
x x
x x
x x x
2
2
1 3 3 3
3
1 1 1
lim lim
4
3
7
x x
x x x
x
x x
10)
3
0 0
2 2
lim lim lim
x x x
x x x x
L
x x x
0 3
3
4 8
lim lim
2 8 2 8 4
x x
x x
x x x x x
2
0 3 3
4 1 11
lim lim
12 12
2 8 2 8 4
x x x
x x
(18)Page
18
11)
2
3
2 2
2 2
2 11 11
lim lim lim
4 4
x x x
x x x x x x
L
x x x
2
2
2 2 2 2
3
2 11 27
lim lim
4
4 11 11
x x
x x x
x x
x x x x x
2
2 2 2 2
3
2
lim lim
4
4 11 11
x x
x x x
x x
x x x x x
2 2 2
3
2
lim lim
2
2 11 11
x x
x
x x
x x x x x
1
9 24 72
12)
3
2
0
4 2 4
4
lim lim
x x
x x x
x x
L
x x x x
3
2
0
0 3 3
0 3 3
4 2 4 4
lim lim
4 8 4
lim lim
1
1 8 4)
4
lim lim
1
1 8
1 1 2
x x
x x
x x
x x x
x x x x
x x x
x x x
x x x x
x
x x
x x x
Bài 5. 1)
0
1 1
lim lim
1 1
n
x x n n n n n
ax ax
F
x x ax ax ax
1
0
lim
1 n n 1
x n n n
a a
n
ax ax ax
2)
0
1 1
1
lim lim
n m
n m
x x
ax bx
ax bx
F
x x
0
1 1
lim lim
n m
x x
ax bx a b
x x n m
3)
0
1 1 1
lim lim
1 1
n n
m m
x x
ax ax
F
x
bx bx
(19)Xét
0
1
lim ;
n x
ax a A
x n
1
lim
m x
bx b
B
x m
1
a am
F
b
n bn
m
4)
0
1 1
1
lim lim
1 1
n m
n m
x x
ax bx
ax bx
F
x x
0
1 1
lim lim
1 1
n m
x x
ax bx
x x
0
1 1
lim lim
1 1
n m
x x
ax x bx x
x x x x
Ta có
0
1
lim
n x
ax a A
x n
0
1
lim
m x
bx b
B
x m 0
1
lim lim lim 1
1
1
x x x
x x
x
C x
x x
.2 2
a b a b
F
n m n m
Dạng Giới hạn hàm số khix→
Phương pháp giải:
- Đối với dạng đa thức không căn, ta rút bậc cao áp dụng công thức khix→ +
1 lim k
x→+x = +
2 lim
2
k x
khi k l x
khi k l →−
+ =
= − = +
3 lim k
x
c x
→+ = (c số)
- Đối với dạng phân sốkhông căn, ta làm tương tựnhư giới hạn dãy số, tức rút bậc cao tử
và mẫu, sau áp dụng cơng thức trên
- Ngồi việc đưa khỏi bậc chẵn cần có trị tuyệt đối, học sinh cần phân biệt đưa căn, liên hợp Phương pháp suy luận tương tựnhư giới hạn dãy số, cần phân biệt khix→ +hoặcx→ −
VÍ DỤ
Ví dụ 1. Tính giới hạn lim( )
x
A x x x
→+
= − − + + Đs:
Lời giải
3
lim
(20)Page
20
Ví dụ 2. Tính giới hạn
3
2
3 lim
2 6
x
x x
B
x x Đs:
1
Lời giải
3
2 2 3
3
3
3 3 1
1 1
1 0
lim lim
2
2 6 0 6
6
x x
x
x x x x
B
x
x x
x x
Ví dụ Tính giới hạn
lim
x
C x x x Đs:
Lời giải
2
2
1 1
lim lim
x x
C x x x x
x x x x
→− →−
= + + + = + + +
2
1 1
lim lim
x→− x x x x x→− x x x
= − + + + = − + + = −
(Vì lim
x x và
1
lim 2 1
x x x )
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Tính giới hạn sau:
1)
lim
x
A x x Đs: 2)
lim
x
A x x Đs:
3)
lim
x
A x x Đs: 4)
lim
x
A x x Đs:
5)
lim
x
A x x Đs:
Bài Tính giới hạn sau: 1) lim
2
x
x B
x Đs: B
2) lim
x
x B
x Đs: B
3)
4
4
2 15
lim
1
x
x x B
x Đs: B
4)
3
3
2
lim
1
x
x x B
x x Đs: B
5)
2
3
lim
2
x
x x
B
(21)6)
3
2
lim
3
x
x x
B
x x Đs:
2
B
7)
3
7
4
lim
2
x
x x
B
x Đs: B
8)
20 30
50
2 3
lim
1
x
x x
B
x
Đs:
30
3
B
9)
2
3
lim
4
x
x x
B
x Đs: B
10)
3
2
lim
x
x x
B
x Đs: B
Bài 3. Tính giới hạn sau:
1)
lim 10
x
C x x x Đs: 17
2
2)
4
2
lim
1
x
x x
C
x Đs:
3)
lim 4 13
x
C x x x Đs: 14
4)
lim
x
C x x x Đs:
2
5)
lim
x
C x x Đs:
6)
lim 2021
x
C x x x Đs: 2019
7) 2
lim
x
C x x x Đs:
2
8)
2
2
lim
5
x
x C
x x
Đs: -2
9) 2
lim
x
C x x x Đs:
4
10)
2
2 lim
2
x
x x x C
x Đs:
1
11)
lim 1
C x x x Đs:
(22)Page
22
12)
2
lim
10
x
x x x
C
x Đs:
13) 2
lim 21 13
x
C x x x x Đs:
2
14)
2
2 2
4
lim
2
x
x x x x
C
x x x
Đs:
15)
lim 4
x
C x x x Đs:
16) lim 3
x
x
C x
x x Đs: -1
17)
lim 16
x
C x x x Đs: 43
8
18)
3
5
2
lim
3
x
x x
C x
x x Đs:
19)
lim
x
C x x x Đs:
2
Bài 4. Tính giới hạn sau: 1)
3
5
2 lim
3
x
x x
x
x x Đs:
2)
2
2
lim
5
x
x x x
Đs:
3)
2
2
2 lim
4 1
x
x x x
x x
Đs:
4)
4 2
2
lim
5
x
x x x x
x x Đs:
2
2
5)
2
2
2
lim
1 10
x
x x x
x x x
Đs:
3
6)
3
2
3 1
lim
6
x
x x
x Đs:
1
7)
2
2
2
lim
5
x
x x
x x Đs:
(23)8)
2
2
4
lim
9
x
x x x
x x x
Đs:
4
9)
2
2 lim
x
x
x x x x
Đs:
10)
2
8 lim
6
x
x
x x x
Đs:
11)
2
2
1 lim
3
x
x x
x x x
Đs:
12) lim 2
x
x x
x Đs:
Bài 5. Tính giới hạn sau:
2
1) lim
x x x x Đs:
2
2) lim
x x x x Đs:
3) lim 2
x x x Đs:
2
4) lim
x x x x Đs:
1
2
5) lim
x x x x Đs:
2
6) lim
x x x x Đs:
5
3
7) lim 27
x x x x Đs:
1 27
2
8) lim
x x x x Đs:
1
2
9) lim 4
x x x x Đs:
4 2
10) lim
x x x x Đs:
3
2
11) lim 4
x x x x Đs:
19
2
(24)Page
24
3
2
4 13) lim
2
x
x x x
x x x
Đs: 16
9
3
14) lim
x x x Đs:
LỜI GIẢI
Bài 1. 1)
3
3
lim
x
A x
x x , (vì
3
lim
x x và
3
lim 1
x x x )
2) 3
3
3
lim , ì lim lim 1
x x x
A x v x v
x x x x
3) 4
2 4
2
lim , ì lim lim 1
x x x
A x v x v
x x x x
4) 4
2 4
2 3
lim , ì lim lim 1
x x x
A x v x v
x x x x
5) 4
2 4
1 6
lim , ì lim lim 1
x x x
A x v x v
x x x x
Bài 2. 1)
1 1
8 8
1 8
lim lim lim
1
2 2
2
x x x
x
x x x
B
x
x
x x
2)
2 2
1 1
2
lim lim lim
1
1 1
1
x x x
x
x x x
B
x
x
x x
3)
4
4 4
4
4
4
7 15 7 15
2 2
2 15 0
lim lim lim
1
1 1
1
x x x
x
x x x x x x
B
x
x
x x
4)
3
3 3
3
3
3
3 4
2
2 0
lim lim lim
1 1
1 0
1
x x x
x
x x x x x x
B
x x
x
x x x x
5)
2
3
lim
2
x
x x
B
x
3
2 3
3
3
3 7
0 0
lim lim
1
2
x x
x
x x x x x x
x
x x
6)
3
2
lim
3
x
x x
B
x x
2
2
2
lim
3
x
x x
(25)3
3
2
4
2
lim lim
4
3 3
x x
x
x x
x
x x x x
2
3
7)
3
7
4
lim
2
x
x x
B
x
3
3
7
3
4
4
lim
3
2
x
x x
x
8)
20 30
50
2 3
lim
1
x
x x
B
x
20 30
20 30 30
50 50
3
2
2 3
lim
2
1
2
x
x x
x
9)
2
3
lim
4
x
x x
B
x
2
2 2
1 1 3
3 3
lim lim ,
4
1
x x
x
x x x x
x x
x x
2
1 3
ì lim lim
4
x x
x x
v x v
x
10)
3
2
lim
x
x x
B
x
3
2 2 3
2
2 2 3
2 2
lim lim ,
5
1
x x
x
x x x x
x x
x x
2
2
2
2
ì lim lim
5
x x
x x
v x v
x
Bài 3. 1)
lim 10
x
C x x x 10 lim
x x x x
2
3 10 lim
3
x
x
x x x
3 10 lim
3
x
x
x x x
2
2 10 lim
3
1
x
x
x x
3 17 10
(26)Page
26
2)
4
2
lim
1
x
x x
C
x
2
2 4
1 1
2
lim lim
1
2
x x
x
x x x x x
x
x x
,
2
1
2
ì lim lim
1
2
x x
x x
v x v
x
3)
lim 4 13
x
C x x x 13 lim 4
x x x x
2
2
4 4
13 lim
4
x
x x x
x x x
2
4 13 lim
4
4
x
x
x x
x x
2
1 13 lim
4
4
x
x x
x x
x x
1 13 lim
4
4
x
x x
x x
x x
2
1
13 lim 14
4
4
x
x
x x
4)
lim
x
C x x x lim 1 lim 1
x x x x x x x
1 1
1
5 lim lim
2
1
1 1
x x
x x
x x
5)
lim
x
C x x lim 12 lim 12
x x x x x x x ,
2
1
ì lim 2 lim
x x
v v x
x
6)
lim 2021
x
C x x x 2021 lim 2021 lim
x x x x x x x
4
1
4
2021 lim 2021 lim 2021 2019
2
4
1 1
x x
x x
x x
(27)7) 2
2
1
lim lim
1
x x
x
C x x x
x x x
2
2
1
lim lim
1 1
1 1
1
1 lim
2
1
1
x x
x
x x
x x x x
x x x x
x
x x
8)
2
2
lim
5
x
x C
x x
2
2
2
lim lim
1 5 0
1
x x
x
x x x
x
x x x x
9) 2
lim
x
C x x x lim 32 14 2
x x x x x
2
2
2 4
3 1
4
3
lim lim
4
3
4
x x
x x x
x
x x x x
10)
2
2 lim
2
x
x x x C
x
1
1
lim
2
x
x x
x x
1 1
1 1 2
1
lim lim
3
3 2 2
2
x x
x
x x
x
x x
11)
lim 1
x
C x x x lim 1 12
x x x x x
2
1
1 lim 1
x x x x
2
2
1
1
1 lim
1
1
x
x x
x
x x
2
1
1
1 lim
2 1
1
x
x
x x
(28)Page
28
12)
2
lim
10
x
x x x
C
x
1
1
1
lim lim
10
10 1
x x
x
x x
x x x
x
x
13) 2
lim 21 13
x
C x x x x lim 212 132
x x x x x x x
2
2
9 21 13
4
lim
9 21 13
4
x
x x x x
x
x x x x 2
34
2
lim
2 2
9 21 13
4
x
x
x x x x
14)
2
2
4
lim
2
x
x x x x
C
x x x
3
2 3
2 2
2
4 7
4
lim lim
2
1 3
2
x x
x x
x
x x x x x x x x
x x
x x x x
15)
lim 4
x
C x x x lim 4 12
x x x x x
2
2
4 4
3 lim
4
4
x
x x
x
x x
1
4
3 lim
4
4
x
x
x x
16) lim 3
x
x
C x
x x
2
3 2
3
1
1 1
lim lim 1
5 0
1
x x
x x
x
x x
x
x x x x
17)
lim 16
x
C x x x
3
5 lim 16 lim 16
3
16 16
3 3 43
5 lim lim 5
4 8
3
16 16
x x
x x
x x x
x x
x x
(29)18)
3
5
2 lim
3
x
x x
C x
x x
3
2 2
5
3
3
1 1
2 2
lim lim
1
1
1
x x
x
x x
x x
x x
x x
19)
lim
x
C x x x lim 1 12
x x x x x
2
1 lim 1
x x x x
2
2
1 1
3 lim
1 1
x
x x
x
x x
2
1
1
3 lim
2
1 1
x
x
x x
Bài
1)
3
5 2
2
1
2
lim lim lim
1
3
x x x
x x
x x x x x
x x
x x x x x x
x x
2)
2
2
3
2 3
lim lim lim
1 5
5
1
x x x
x x x
x x
x
x x x x
3)
2 2 2
2
2
1 2
1 1
2 1
lim lim lim
2
1 1
4 1
4
x x x
x x
x x x x x x x x
x x
x x
x x x
4)
2
4 2 2 2
2
1 3
2
2
lim lim lim
5
5 2
2
x x x
x x
x x x x x x x x
x x
x
x x
5)
2 2 2
2
2
1 1
2 4
2
lim lim lim
3
1 10 1 10
1 10
1 9
x x x
x x
x x x x x x x x
x x x
x x
x x x x x
6)
3
2 2 3 2 3
1 1
3 8
3 1
lim lim lim
x x
x x x x x x
(30)Page
30
7)
2
2
1
3
2 1
2 1
2
lim lim lim
1
5 5
5
x x x
x x
x x x x x
x x x x
x
8)
2 2 2
2
2
3
4
4 1
lim lim lim
4
1 3
9 9 5 3 9 5
x x x
x x
x x x x x x x
x x x x x
x x x x x
9)
2
1
2 2
lim lim lim
2
1 1
1 1
x x x
x x x
x x x x
x x
x x x x
10)
2
2
3
8
lim lim lim
1 3
6
6
x x x
x x x
x x x
x x
x x x x
11)
2 2 2
2
2
1
1 7
1
lim lim lim
3 3
3
1 5
x x x
x x
x x x x x
x x x
x x x
x x x x x
12)
2
1 2
2
2
lim lim lim
1
1 1
x x x
x x
x x x x x x
x x
x
Bài
2 1
1) lim lim lim 1
x x x x x x x x x x x
1
ì lim lim 1
x x
V x v
x
2
2
2
4
2) lim lim lim
4
1
x x x
x x x x
x x x
x x x
x x
2
3) lim 2 lim lim
2 2
1
x x x
x x
x x
x x
x
x x
4 1
ì lim lim
2
2
1
x x
V v
x
x x
(31)2
2
2
2
1 1
4) lim lim lim
1
1
1
x x x
x x x x
x x x
x x x
x x
x x
2
1
1 lim
2
1
1
x
x
x x
2
2
2
2
4
5) lim lim lim
4
4 1 2
x x x
x x x
x x x
x x x x x
x x
2
3
lim
4
1
x
x
x x x
2
2
2
2
3 5
6) lim lim lim
3
3
1
x x x
x x x x
x x x
x x x
x x
x x
2
4
5 lim
2
3
1
x
x
x x x
3
3
2
3 3 2
27 27
7) lim 27 lim
27 27
x x
x x x
x x x
x x x x x x
2
2
2 3 23 3 3
1
lim lim
27
1 1
27 27 27 27
x x
x
x x x
x x x x
2
2
2
2
4 2
8) lim lim lim
2
2
2
x x x
x x x x
x x x
x x x
x x
x x
2
1
1 lim
2
2
x
x
x x
2 2
2
2
2 4 16
9) lim 4 lim lim
2 4 3 4
x x x
x x x x
x x x
(32)Page
32
2
6 16 16
lim lim
4 3
2 4
x x
x x
x x
x x x x x
4
4 2
4 2
2
2
4
10) lim lim lim
3
4
4
x x x
x x x x
x x x
x x x
x x
x x
2
2
1
3 lim
4
3
4
x
x
x x
2
2
2
2
4 19 15
11) lim 4 lim lim
3
4
4
x x x
x x x x
x x x
x x x
x x
x x
2
15 19
19 lim
4
3
4
x
x
x x x
2
2
2
2
4 16
12) lim 4 lim lim
4
4
4
x x x
x x x x
x x x
x x x
x x
x x
2
8 16
lim
4
4
x
x
x x x
13)
3 3
2
2
2 2 3 2 3 3 2 3
4 4
lim lim
4
2 4 4
x x
x x x x x x x x x
x x x
x x x x x x x x x
2
3
3
2
4 16
lim
3 4 4
1 1
x
x
x x
14)
3
3
2
2
3
3
8
lim lim
8
x x
x x
x x
(33)2
2
3
3
12
lim
8
x
x x
x x x x
2
2 2
3
3
6 12
lim
1 1
8
x
x x
x x x x
Dạng Giới hạn bên x→x0+ x→x0− Phương pháp giải:
- Sử dụng định lý giới hạn hàm số
Chú ý: x→x0+ x x0x−x0 0
x x0 x x0 x x0
− −
→
VÍ DỤ
Ví dụ 1. Tính giới hạn
1
2
lim
1
x
x A
x + →
− =
− Đs: −
Lời giải
Vì
1
1
lim
2
lim lim
1
1 1
x
x x
x
x
x A
x
x x x
Ví dụ 2. Tính giới hạn
2
15
lim
2
x
x A
x + →
− =
− Đs: −
Lời giải
Vì
2
2
lim 15 13
15
lim lim
2
2 2
x
x x
x
x
x A
x
x x x
Ví dụ 3. Tính giới hạn
3
2 lim
3
x
x A
x − →
− =
− Đs: −
Lời giải
Vì
( )
( )
3
3
lim
2
lim lim
3
3 3
x
x x
x
x
x A
x
x x x
−
− −
→
→ →
−
− = −
−
− = = = −
−
→ −
Ví dụ 4. Tính giới hạn
2
1
lim
2
x
x A
x + →
+ =
− Đs: +
(34)Page
34
Vì
( )
( )
2
2
lim
1
lim lim
2
2 2
x
x x
x
x
x A
x
x x x
+
+ +
→
→ →
+
+ =
+
− = = = +
−
→ −
Ví dụ 5. Tính giới hạn
( )2
5
lim
4
x
x A
x − →
− =
− Đs: −
Lời giải
Vì
( )
( )
( ) ( )
4
2
2
4
2
lim
5
lim lim
4
4
x
x x
x
x
x A
x
x x
−
− −
→
→ →
−
− = −
−
− = = = −
−
→ −
Ví dụ 6. Tính giới hạn
( )2
3
lim
3
x
x A
x − →
− =
− Đs: +
Lời giải
Vì
( )
( )
( ) ( )
3
2
2
3
2
lim
3
lim lim
3
3
x
x x
x
x
x A
x
x x
−
− −
→
→ →
−
− =
−
− = = = +
−
→ −
Ví dụ 7. Tính giới hạn
( ) ( )
2
2
lim
3
x
x x
A
x + → −
+ −
=
+ Đs: −
Lời giải
Ta có
( ) ( ) ( )
( )( )
( ) ( )
2
2
3 3
2
2
lim lim lim
3
3
x x x
x x
x x x
x
x x
+ + +
→ − → − → −
− +
+ − = = −
+
+ +
Vì
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
3
2
3
lim
2
lim lim
3
3 3
x
x x
x
x x
x A
x
x x x
+
+ +
→ −
→ − → −
+
− = −
+ −
+ = = = −
+
→ − − +
Ví dụ 8. Tính giới hạn 2
2
1
lim
2
x
A
x x
− →
= −
− −
Đs: −
Lời giải
Ta có:
( )( )
2
2
1 1
lim lim
2 2
x x
x A
x x x x
− −
→ →
+
= − =
− − − +
(35)Vì
( )
( )( )
( )( )
2
2
2
lim
1
lim 2 lim
2
2 2
x
x x
x
x x A
x x
x x x x
−
− −
→
→ →
−
+ =
− + = = − = −
− −
→ − +
Ví dụ 9. Tính giới hạn 2
2
2
lim
2
x
x B
x x
− →
− =
− + Đs:
1
−
Lời giải Vì x→2− − = −x 2 x x
Do
( )( )
2
2 1
lim lim
2 2
x x
x B
x x x
− −
→ →
− −
= = = −
− − −
Ví dụ 10.Tính giới hạn
3
3
lim
5 15
x
x B
x + →
− =
− Đs:
1
Lời giải
Vì x→3+ − = −x x x
Do
( )
3
3 1
lim lim
5 5
x x
x B
x
− −
→ →
−
= = =
−
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Tính giới hạn sau:
1) 3
1
1
lim
2
x
x A
x x
− →
− =
+ − Đs:
1
−
2)
2
2
lim
2
x
x B
x →
− =
− Đs: Không tồn
3)
2
3
9
lim
3
x
x C
x →
− =
− Đs: Khơng tờn
Bài 2. Tính giới hạn sau: 1)
2
2
2
lim
2
x
x x x x
C
x x
− →
− + − +
=
− + Đs:
7
2)
2
2
lim
1
x
x C
x − →
− =
− − Đs: −2
3)
2
2
7 12
lim
9
x
x x
D
x −
→
− +
=
− Đs:
(36)Page
36
5)
2
1
1
lim
x
x x D
x x −
→
− + − =
− Đs:
6) ( ) 3 2
1
5
lim
2
x
x
D x
x x
+ →
+
= −
+ − Đs:
7)
3
3
lim
5
x
x x
D
x x
− →
− +
=
− + Đs:
3
Bài 3. 1)Tính giới hạn ( )
1
lim
x
C f x
→
= với ( )
4
3
5
3
x x x khi x
f x
x x khi x
− −
=
−
Đs:−2
2) Tính giới hạn ( )
1
lim
x
C f x
→
= với ( )
2
3
1
x khi x
f x
x khi x
−
=
− +
Đs:−2
3) Tính giới hạn ( )
2
lim
x
C f x
→−
= với ( )
3
2
10
x
khi x f x x
x khi x −
−
= +
+ −
Đs:8
Bài 4. Tìm m để hàm số ( )
3
2
1
1
1
x
khi x
f x x
mx x m khi x
+
−
= +
− + −
có giới hạn x= −1
Đs: m=1 m= −2
LỜI GIẢI
Bài 1. 1) 3
1
1
lim
2
x
x A
x x
− →
− =
+ −
Vì x→ − = − −1− x x (x )
Do ( )
( )( )
1
1 1
lim lim
2
1 2
x x
x A
x x
x x x
− −
→ →
− − −
= = = −
+ +
− + +
2)
2
2
lim
2
x
x B
x →
− =
−
+) Vì x→2− − = − −x x (x 2) nên ( ) ( )
2
2
lim lim 1
2
x x
x x
− −
→ →
− −
= − = −
−
+) Vì x→2+ − = −x x x nên
2
2
lim lim 1
x x
x x
− −
→ →
−
= =
−
Suy
2
2
lim lim
2
x x
x x
x x
− +
→ →
− −
− − nên không tồn giới hạn
2
lim
2
x
x B
x →
− =
(37)3)
2
3
9
lim
3
x
x C
x →
− =
−
Ta có
3
3
lim
3
x
x x
C
x →
− +
=
− Do đó:
+) ( )
2
3 3
9 3 3
lim lim lim
3
x x x
x x x
x
x x
+ + +
→ → →
− − +
= = + =
− −
+) ( ) ( )
2
3 3
9
lim lim lim
3
x x x
x x x
x
x x
− − −
→ → →
− − − +
= = − + = −
− −
Suy giới hạn
2
3
9 lim
3
x
x C
x →
− =
− không tồn
Bài 2. 1)
2
2
2
lim
2
x
x x x x
C
x x
− →
− + − +
=
− +
Vì x→ − − = − −1− x x (x 1) Do
( ) ( )
( ) ( )( )
2
1 1
2 1 3
lim lim lim
1
1
x x x
x x x x x x x x
C
x
x x x x
− − −
→ → →
− − − + − + − −
= = =
−
− − + +
( )( )
( )( )
1
1 4
lim lim
4
2
1
x x
x x x
x x
x x x
− −
→ →
− + +
= = =
+ +
− + +
2)
2
2
lim
1
x
x C
x − →
− =
− −
Vì x→2− − − = − −x x (x 2) Do đó:
( )( )
( ) ( )
2
2 1
lim lim 1
1
x x
x x
C x
x
− −
→ →
− − − +
= = − − + = −
− −
3)
2
2
7 12
lim
9
x
x x
D
x −
→
− +
=
−
Ta có ( )( )
( )( )
3 3
3 3 4 4 1
lim lim lim
3 3
3
x x x
x x x x x
D
x x x
x x
− − −
→ → →
− − − − −
= = = =
− + +
− +
4)
2
2
5
lim
4
x
x x
D
x −
→
− +
=
−
Ta có ( )( )
( )( )
2 2
2 2 3 3 1
lim lim lim
2
2 2
2
x x x
x x x x x
D
x x x
x x
− − −
→ → →
− − − − −
= = = =
− + +
(38)Page
38
5)
2
1
1
lim
x
x x D
x x −
→
− + − =
−
Ta có ( )
( )
( )2
1 1
1
1 1
lim lim lim
1
x x x
x x
x x x
D
x
x x
x x
− − −
→ → →
− − −
− − − − −
= = = =
− −
6) ( ) 3 2
1
5
lim
2
x
x
D x
x x
+ →
+
= −
+ −
Ta có ( ) ( )
( )( ) ( )( )
2
2
1
1 5
lim lim
3
1 3
x x
x x x x
D
x x
x x x
+ +
→ →
− + − +
= − = − =
+ +
− + +
7)
3
3
lim
5
x
x x
D
x x
− →
− +
=
− +
Ta có ( ) ( )
( )( ) (( ))( )
2
1 1
1 2
lim lim lim
1 4
x x x
x x x x x
D
x x x x x
− − −
→ → →
− + − + +
= = = =
− − − − −
Bài 1)Ta có:
+) ( ) ( )
1
lim lim
x x
f x x x
− −
→ = → − = −
+) ( ) ( )
1
lim lim 6
x x
f x x x x
+ +
→ = → − − = − − = −
+) Vì ( ) ( )
1
lim lim
x x
f x f x
− +
→ = → = − nên hàm số f x( ) có giới hạn x=1 ( )
1
lim
x→ f x = −
2) Ta có:
+) ( ) ( )
1
lim lim
x x
f x x
− −
→ = → − = −
+) ( ) ( )
1
lim lim 2
x x
f x x
+ +
→ = → − + = −
+) Vì ( ) ( )
1
lim lim
x x
f x f x
− +
→ = → = − nên C=limx→1 f x( )= −2
3) Ta có: +)
( )2 ( ) ( )2
3
lim lim
1
x x
x f x
x
− −
→ − → −
−
= =
+
+)
( )2 ( ) ( )2 ( )
lim lim 10
x x
f x x
+ +
→ − = → − + =
+)Vì
( )2 ( ) ( )2 ( )
lim lim
x x
f x f x
− +
→ − = → − = nên C=xlim→−2 f x( )=8
(39)+)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3
2
1 1
1
lim lim lim
1
x x x
x
f x x x
x
− − −
→ − → − → −
+
= = − + =
+
+)
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
1
lim lim
x x
f x mx x m m m
+ +
→ − = → − − + = + +
+) Để hàm số có giới hạn x= −1
2
3
2
m
m m m m
m = = + + + − = = −
Dạng Giới hạn hàm số lượng giác Phương pháp giải:
- Sử dụng định lý giới hạn hàm số
- Sử dụng công thức biến đổi lượng giác - Lưu ý:
0
sin
lim
x
x x VÍ DỤ
Ví dụ 1. Tính giới hạn 2
6
2sin
lim
4 cos
x
x A
x
→
− =
− Đs:
1
A= −
Lời giải
Ta có:
( )
2 2
6 6
2sin 2sin 2sin 1
lim lim lim lim
4 cos sin 4sin 2sin
x x x x
x x x
A
x x x x
→ → → →
− − − −
= = = = = −
− − − − +
Ví dụ 2. Tính giới hạn 2
4
2 sin
lim
2 cos
x
x A
x
→
− =
− Đs:
1
A= −
Lời giải
Ta có:
( )
2 2
4 4
2 sin sin sin 1
lim lim lim lim
2 cos sin 1 2sin sin
x x x x
x x x
A
x x x x
→ → → →
− − − −
= = = = = −
− − − − +
Ví dụ 3. Tính giới hạn
0
cos
lim
sin
x
x A
x →
−
= Đs: A=0
Lời giải
Ta có:
2 2
0
cos cos sin cos sin
lim lim
sin 2sin cos
x x
x x x x x
A
x x x
→ →
− − − −
= =
2
0
2sin sin
lim lim
2sin cos cos
x x
x x
x x x
→ →
− −
= = =
Ví dụ 4. Tính giới hạn
0
1 sin cos
lim
1 sin cos
x
x x
A
x x
→
− −
=
(40)Page
40
Ta có: ( )
( )
2
2
0
1 2sin cos cos sin sin cos
lim lim
1 sin cos 2sin cos cos sin
x x
x x x x
x x
A
x x x x x x
→ →
− − −
− −
= =
+ − + − −
( )
( )
2
0 0
2sin sin cos
2sin 2sin cos sin cos
lim lim lim
2sin 2sin cos 2sin sin cos sin cos
x x x
x x x
x x x x x
x x x x x x x x
→ → →
−
− −
= = = = −
+ + +
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Tính giới hạn sau: 1)
0
1 sin cos
lim
1 sin cos
x
x x
A
x x
→
+ −
=
− − Đs: A= −1 2)
sin
lim
1 sin cos
x
x A
x x
→ =
− − Đs: A= −1
3)
0
sin sin
lim
sin
x
x x
A
x →
−
= Đs: A=2 4)
0
sin sin
lim
sin
x
x x
A
x →
−
= Đs: A=2
5)
0
1 cos
lim
sin
x
x A
x →
−
= Đs: A=0
6)
3
cos cos 2
lim
sin
x
x x
A
x
→
+ +
= Đs:
3
A=
7)
2
1 sin cos
lim
cos
x
x x
A
x
→
+ +
= Đs: A=2
Bài 2. Tính giới hạn sau: 1)
0
1 cos
lim
1 cos
x
ax B
bx →
− =
− Đs:
2
a B
b
= 2)
0
sin
lim
x
x B
x →
= Đs: B=5
3) 3
0
sin sin sin lim
45
x
x x x
B
x →
= Đs:
3
B= 4) 2
0
1 cos lim
x
x B
x →
−
= Đs:
2
B=
5)
0
1 cos lim
1 cos
x
x B
x →
− =
− Đs:
25
B= 6) 2
0
1 cosa lim
x
x B
x →
−
= Đs:
2
2
a B=
7)
2
0
1 cos lim
sin
x
x B
x x
→ −
= Đs: B=4 8) 3
0
sin tan lim
x
x x
B
x →
−
= Đs:
B= −
9) 3
0
tan sin lim
sin
x
x x
B
x →
−
= Đs:
2
B= 10)
3
0
1 cos lim
sin
x
x B
x x
→ −
= Đs:
2
B=
Bài 3. Tính giới hạn sau:
1) ( )
2
4
cos8 sin lim
3
x
x x
B
x →
−
= Đs: B= −48 2)
0
1
lim
sin
x
x B
x →
− +
= Đs:
2
B= −
3) 2
0
1 cos cos lim
x
x B
x →
−
= Đs:
2
B= 4)
3
1 cos
lim tan
x
x B
x →
−
= Đs:
6
(41)5)
3
tanx lim
2sin
x
B
x
→
− =
− Đs:
1
B=
6) 3
0
1 tan sin
lim
x
x x
B
x →
+ − +
= Đs:
4
B= 7)
( )2
0
1 cos
lim
1
x
x B
x →
− =
− − Đs: B=2
8)
2
1 cos
lim
x
x x
B
x →
+ −
= Đs: B=1 9)
0
1 sin
lim
3
x
x x
B
x x
→
− + + =
+ − − Đs: B=0
10)
3
0
2 1
lim
sin
x
x x
B
x →
+ − +
= Đs:
Bài Tính giới hạn sau: 1)
4
lim tan tan
x
C x x
→
= −
Đs:
1
C=
2)
( )2
1 cos
lim
x
x C
x
→ + =
− Đs:
1
C=
3) lim sin2 ( 1)
x
x C
x x
→
− =
− + Đs:
1
C= −
4) limsin sin
x a
x a
C
x a →
− =
− Đs: C=cos a
LỜI GIẢI
Bài 1. 1) ( )
( )
2
2
0
1 2sin cos cos sin sin cos
lim lim
1 sin cos 2sin cos cos sin
x x
x x x x
x x
A
x x x x x x
→ →
+ − −
+ −
= =
− − − − −
( )
( )
2
0 0
2sin sin cos
2sin 2sin cos sin cos
lim lim lim
2sin 2sin cos 2sin sin cos sin cos
x x x
x x x
x x x x x
x x x x x x x x
→ → →
+
+ +
= = = = −
− − −
2)
( 2 )
0
sin 2sin cos
lim lim
1 sin cos 2sin cos cos sin
x x
x x x
A
x x x x x x
→ →
= =
− − − − −
( )
2
0 0
2sin cos 2sin cos cos
lim lim lim
2sin 2sin cos 2sin sin cos sin cos
x x x
x x x x x
x x x x x x x x
→ → →
= = = = −
− − −
3)
0 0
sin sin 2cos sin
lim lim lim 2cos
sin sin
x x x
x x x x
A x
x x
→ → →
−
= = = =
4)
0 0
sin sin 2cos sin
lim lim lim 2cos
sin sin
x x x
x x x x
A x
x x
→ → →
−
(42)Page
42
5)
2
0 0
2sin sin
1 cos 2 2
lim lim lim
sin
2sin cos cos
2 2
x x x
x x
x A
x x x
x
→ → →
−
= = = =
6) ( )
3 2
3
3
4 cos 3cos cos sin cos cos 2
lim lim
sin 3sin 4sin
x x
x x x x
x x
A
x x x
→ →
− + − +
+ +
= =
−
( ) ( ( ) )
2
3
2
3
cos cos cos cos 3cos cos
lim lim
sin 4sin sin cos
x x
x x x
x x x
x x x x
→ →
− +
− +
= =
− − −
( ) ( )( )
( )( ) (( ))
2
2
3 3
cos cos cos 2 cos 3 cos 1 cos 2 cos 3 2 3
lim lim lim
sin cos cos sin cos
sin cos
x x x
x x x x x x x
x x x x x
x x
→ → →
+ − + − +
= = = =
− + +
−
7)
2
2
1 sin cos 2 cos 2sin cos
lim lim
cos cos
x x
x x x x x
A
x x
→ →
+ + +
= =
( ) ( )
2
2 cos cos sin
lim lim cos sin
cos
x x
x x x
x x
x
→ →
+
= = + =
Bài 1)
2
2
0 2
2sin sin
1 cos 2 2 2
lim lim lim
1 cos
2sin sin
2 2
x x x
ax ax bx
ax a a
A
bx ax bx
bx b b
→ → →
−
= = = =
−
(Vì
0
sin
lim
2
x
ax ax
→ =
2
lim
sin
x
bx bx
→ = )
2)
0
sin sin
lim lim 5
5
x x
x x
B
x x
→ →
= = =
(Vì
sin
lim
5
x
x x
→ = ).
3) 3
0
sin sin sin sin sin sin 1
lim lim
45 3
x x
x x x x x x
B
x x x x
→ →
= = =
(Vì
0
sin
lim
5
x
x x
→ = ,
sin
lim
3
x
x x
→ = ,
sin
lim
x
x x
→ = )
4)
2
2
0
2sin
1 cos 2
lim lim
2
x x
x x
B
x x
→ →
−
= = =
, (vì
2
2
sin
lim
2
x
x
x → =
.
5)
2
2
2
0 2
2
5
5 sin .
2sin
1 cos 2 2 25 25
lim lim lim
3
1 cos 2sin 9
.sin
2 2 2
x x x
x x
x x
B
x
x x x
→ → →
−
= = = =
−
(43)(Vì
2
2
5 sin
2
lim
5
x
x
x
→ =
2
0 2
3
lim
3 sin
2
x
x
x →
= )
6)
2
2
2
0
2sin
1 cosa 2
lim lim
4
2
x x
ax
x a a
B
x ax
→ →
−
= = =
, (vì
2
2
sin
lim
2
x
ax
ax
→ =
).
7)
2 2
2
0 0
sin 4sin cos sin
lim lim lim cos
.sin sin
x x x
x x x x
B x
x x x x x
→ → →
= = = =
, (vì
sinx
lim
x→ x = ).
8) 3 3 3
0 0
sin sin
sin tan cos sin cos sin
lim lim lim
cos
x x x
x x
x x x x x x
B
x x x x
→ → →
−
− −
= = =
( )
2
0
sin
sin cos 2sin 2
lim lim
cos cos
2
x x
x
x x x
x x x x x
→ →
− − − − −
= = =
(vì
0
sinx
lim
x→ x = và
2
2
sin
lim
2
x
x
x →
=
)
9) 3 3 3
0 0
sin
sin
tan sin cos sin sin cos
lim lim lim
sin sin sin x cos
x x x
x
x
x x x x x x
B
x x x
→ → →
−
− −
= = =
2
2
0 2 2 2
2sin
1 cos 2 1
lim lim lim
sin x cos
4.sin cos cos cos cos
2 2
x x x
x x
x x x
x
x x
→ → →
−
= = = =
10) ( )( ) ( )
2
2
0
2sin cos cos
1 cos cos cos 2
lim lim
sin 2 sin cos
2
x x
x
x x
x x x
B
x x
x x x
→ →
+ +
− + +
= =
2
0
sin
1 cos cos
lim
2 cos
2
x
x
x x
x x
→
+ +
= =
, (vì
0
sin
lim
2
x
x x
→ = )
( ) ( )
(44)Page
44
=
2
0
sin sin 96
lim 48
4 cos8
x
x x
x x x
→
−
= − +
2)
0
1 2 1
lim lim
sin sin 2
x x
x x
B
x x x
→ →
− + −
= = = −
+ +
3)
( ) ( ( ))
2
2
2 2 2
0 0
1 cos sin
1 cos cos cos cos
lim lim lim
1 cos cos cos cos
x x x
x
x x x x
B
x x x x x x x
→ → →
− −
− −
= = =
+ +
( )
( ) ( )
2 2 2 2 2
2
0
2 2
0
sin cos cos 2sin sin 2sin cos
lim lim
1 cos cos cos cos
sinx cos
lim
2 cos cos
x x
x
x x x x x x x
x x x x x x
x
x x x
→ →
→
+ − − +
= =
+ +
+
= =
+
4)
( )
3
2
0
3
3
1 cos cos
lim lim
sin tan
1 cos cos cos
x x
x x
B
x x
x x
x
→ →
− −
= =
+ +
( ) ( )
2
2
0 2 2 3 3 2 2 3 3 2
4sin cos
cos
2
lim lim
6
2sin cos cos cos cos cos cos
2
x x
x x
x
x x x
x x x x
x
→ →
= = =
+ + + +
5)
( )( )
3
2 2 2 3 2
3
4
tanx tan
lim lim
2 sin sin cos tan tan 1
x x
x B
x x x x x
→ →
− −
= =
− − + +
( 2 )(3 ) ( )(3 )
4
sin cos
1
cos
lim lim
3
sin cos tan tan cos sin cos tan tan
x x
x x
x
x x x x x x x x x
→ →
−
= = =
− + + + + +
6)
( )
3 3
0
1 tan sin tan sin
lim lim
1 tan sin
x x
x x x x
B
x x x x
→ →
+ − + −
= =
+ + +
( ) ( )
( )
2
3
0
2
0
2 sin sin
sin sin cos 2
lim lim
cos tan sin cos tan sin
sin
sin 2
lim
4 tan sin
2
x x
x
x x
x x x
x x x x x x x x
x x
x
x x x
→ →
→
−
= =
+ + + + + +
= =
+ + +
(45)7)
( )
( ) ( )
2 2
2
2
0 0
2 sin 1 sin 2 1 1
1 cos 2 2
lim lim lim
4 1
2
x x x
x x
x x
x B
x x
x
→ → →
+ − + −
−
= = = =
− −
8)
( ) ( )
2 2 2
2
0 2 2
1 cos cos sin
lim lim lim
1 cos cos
x x x
x x x x x x
B
x x x x x x x
→ → →
+ − + − +
= = =
+ + + +
2
2 2 2
0
sin 1 1
= lim
2
1 cos cos
x
x
x x x x x
→
+ = + =
+ + + +
9)
0 0
1 sin sin
lim = lim lim
3 4
x x x
x x x x
B
x x x x x x
→ → →
− + + − +
= +
+ − − + − − + − −
( )
( )( ) ( ( ) )
( )
( )( )
2
0
0
2 sin
lim lim
1
1
2 sin 3 4 2
lim lim
1 1
4
x x
x x
x x x x x x
x x
x x x
x x x x x
x x
x x
→ →
→ →
− + + + + + +
= +
− +
− − + +
− + + + + + +
= +
− −
− − + +
= − =
10)
3 3
0 0
2 1 1 1 1 1
lim lim lim lim
sin sin sin sin
x x x x
x x x x x x
B
x x x x
→ → → →
+ − + + − + − + + − − +
= = = +
( ) ( )
2
0 3 2 2
3
2
lim lim
sin 1 sin 1 1 1
x x
x x
x x x x x
→ →
−
= + =
+ + + + + +
Bài 4. 1)
4
lim tan tan
x
C x x
→
= −
Đặt
4
t= −x ,
x→ → t Khi đó:
( )
0 0
cos
lim tan ( 1) tan lim cot tan lim
2 cos
t t t
t
C t t t t
t
→ → →
= + − = = =
2)
( )2
1 cos lim
x
x C
x
→ + =
−
Đặt t = −x , x→ → t Khi đó:
2
2
0
2 sin
1 cos 2
lim lim
2
t t
t t
C
t t
→ →
−
= = =
( )
(46)Page
46
Đặt t = −x , x→ →1 t Khi đó:
( ) ( )
( )( ) ( )
2 0
sin sin sint
lim lim lim
4 3 2
x x t
x x
C
x x x x t t
→ → →
− −
= = = = −
− + − − −
4) limsin sin
x a x a C x a → − = −
Đặt t= −x a x→ →a t Khi đó:
( )
0
2 cos sin
sin sin 2 2
lim lim cos
2
t t
t a t
t a a
C a t t → → + + − = = =
C BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1. Tính giới hạn sau:
1 2
3 lim x x x x → −
− − ĐS:
1
5
2 15 lim x x x x → + −
− ĐS :
3 2
3 lim x x x x →− +
+ − ĐS:
1
4
2 2 lim x x x x → − +
− ĐS:
1 2 lim x x x x →− + +
− ĐS:
1 − 2 12 lim x x x x → − +
− ĐS:
1 − 2 1 lim x x x x → −
+ − ĐS:
2
5
2 2 lim x x x x → + − − ĐS: 2
2 14
lim x x x x → + −
− ĐS:
11
4 10
2
9
l im
4 x x x x → −
− + ĐS:
11 2 10 lim 18 x x x x x → − −
+ − ĐS:
11
7 12
2 5 lim 25 x x x x → −
− ĐS:
1 13 2 lim
2 10 12
x
x
x x
→
−
− + ĐS: 14
2 2 lim x x x x → −
− − ĐS:
4 − 15 2 lim x x x x x → − +
− ĐS:
1
3 16
2 20 lim x x x x x → − +
− ĐS:
1 17 2
3 10
lim x x x x x → − +
− + ĐS: 18 2 3 lim x x x x x → + −
− − ĐS:
19 2 lim x
x x x
x →
− +
− ĐS:
1
− 20
4 2 16 lim x x x x →− −
+ + ĐS: −16
21 2 lim x x x x → −
− + ĐS: 12 22
3 2 lim 11 18 x x x x →− +
+ + ĐS:
(47)23 2 lim 2 x x x x → − − +
− ĐS:
2 − 24 2 lim x x x x → −
− + ĐS: 12
25 2 2 lim x x x →− +
− ĐS:
3
− 26 ( )
3 1 lim x x x → + −
ĐS:
27 ( )
3 27 lim x x x → + −
ĐS: 27 28
4
27
lim
2
x
x x
x x
→
−
− − ĐS:
29
3
2
5 10
lim
2
x
x x x
x →
− + −
− ĐS: 30
3
2
2
lim
1
x
x x x
x →
− + +
− ĐS: −1
31 2 lim x x x x → − −
− ĐS:
5
2 32
3 2 lim x
x x x
x x
→−
+ +
− − ĐS:
2 − 33 2 10 lim x x x x x →− − −
− + ĐS:
9 11 − 34 2 1 lim x
x x x
x x
→
− − +
− + ĐS:2
35 lim x x x x → −
− − ĐS:
4
9 36
3 2 2 lim x
x x x
x →
− − +
− ĐS:
3 37 3 lim x x x x x → + −
+ − ĐS:
5
8 38
3
2
3
lim
3
x
x x x
x x
→
− − +
− − ĐS:
1 − 39 2 lim x
x x x
x x
→
+ − −
− + ĐS: 11 40
3
2
lim x x x x x → − +
− + ĐS: -1
41 2 lim
3
x
x x
x x x
→−
− −
+ − + ĐS:
6 19
− 42
3 1 lim x x x x → −
− + ĐS:
3 43
5
lim
8
x
x x x
x x
→
− + +
− − ĐS: 44
3
4
1
6
lim
9
x
x x x
x x
→
− + −
+ − ĐS:
2 45 lim x x x x x → + −
− + ĐS:
4
− 46
3 lim x x x x x → − +
− + ĐS:
1 47 2 2 lim x
x x x
x →
− + −
− ĐS:
17
4 48
4
3
1
1 lim
5
x
x x x
x x x
→
− − +
− + − ĐS:
3 − 49 3
2
lim
4 13
x
x x x
x x x
→
− − −
− + − ĐS:
11
17 50
3
3
1
2
lim
1
x
x x x
x x x
→−
+ + +
+ − − ĐS:
1 51 3
2
lim
4 12 12
x
x x x
x x x
→
− − −
− + − ĐS:
11
20 52
3
2 lim ( 1) x x x x → − +
− ĐS:
1
53
4
3
2
2 4
lim
3 14 20
x
x x x x
x x x
→−
+ + − −
+ + + ĐS:
7
− 54
3
2
2
lim
3
x
x x x x →−
− + + +
− ĐS:
7
55
4
5
limx − x + x − x+ ĐS: 56
5
5
(48)Page
48
57 2
1
1
lim
1
x→ x x
−
− − ĐS:
1
2 58
1 12
lim
2
x→ x x
−
− − ĐS:
1
59 2 2
2
1
lim
3
x→ x x x x
+
− + − +
ĐS: −2 60 2
2 26
lim
2
x
x x
x x
→−
− −
−
+ − ĐS:
7
61 2 3
1
1
lim
2
x→ x x x
−
+ − −
ĐS:
2
9 62
(1 )(1 )(1 ) lim
x
x x x
x →
+ + + −
ĐS:
63
1
1 lim
1
n m x
x x →
−
− ĐS: n
m 64
1 lim
( 1)
n x
x nx n
x →
− + −
− ĐS:
( 2)( 1)
n− n−
65
100 50
2 lim
2
x
x x
x x
→
− +
− + ĐS: 66
2
1
lim
1
n x
x x x n
x →
+ + + −
− ĐS:
( 1)
n n+
Lời giải
1
( )( )
2
3 3
3 1
lim lim = lim
6
x x x
x x
x x x x x
→ → →
− = − =
− − + − +
2 ( )( ) ( )
2
3 3
3
2 15
lim lim = lim
3
x x x
x x
x x
x
x x
→ → →
− +
+ − = + =
− −
3 2
3
3 lim
2
x
x
x x
→−
+
+ − 3( )( )
3 lim
3
x
x
x x
→−
+ =
+ −
4
2 2
3 lim
4
x
x x
x →
− +
−
( )( )
( )( )
2
1
lim
2
x
x x
x x
→
− − =
− +
1
lim
1
x→− x
= =
−
1
lim
2
x
x x →
−
= =
+
5 ( )( )
( )( )
2
2 2
1
3 1
lim lim = lim
4 2
x x x
x x
x x x
x x x x
→− →− →−
+ +
+ + = + = −
− − + −
6 ( )( )
( )( )
2
3 3
3
7 12
lim lim = lim
9 3
x x x
x x
x x x
x x x x
→ → →
− −
− + = − = −
− − + +
7 ( )( )
( )( )
2
1 1
1
1
lim lim = lim
3 4
x x x
x x
x x
x x x x x
→ → →
− +
− = + =
+ − − + +
8 ( )( )
( )( )
2
2 2
2
6
lim lim = lim
4 2
x x x
x x
x x x
x x x x
→ → →
− +
+ − +
= =
− − + +
9 ( )( )
( )( )
2
2 2
2
2 14 11
lim lim = lim
4 2
x x x
x x
x x x
x x x x
→ → →
− +
+ − = + =
− − + +
10 ( )( )
( )( )
2
3 3
3
9
l im lim = lim
4 3 1
x x x
x x
x x
x x x x x
→ → →
− +
− = + =
− + − − −
11 ( )( )
( )( )
2
2 2
2
3 10 11
lim lim = lim
4 18 9 17
x x x
x x
x x x
x x x x x
→ → →
− +
− − = + =
(49)12 ( )
( )( )
2
5 5
5
5
lim lim = lim
25 5
x x x
x x
x x x
x x x x
→ → →
−
− = =
− − + +
13 ( )( )
( )( ) ( )
2
2 2
2
4
lim lim lim
2 10 12 2 3
x x x
x x
x x
x x x x x
→ → →
− +
− − −
= = =
− + − − −
14 ( )( )
( )( )
2
2 2
2
4
lim lim lim
2 2 3
x x x
x x
x x
x x x x x
→ → →
− +
− − − −
= = =
− − − + +
15 ( )( )
( )
2
3 3
2
5
lim lim = lim
3 2
x x x
x x
x x x
x x x x
→ → →
− −
− + = − =
− −
16 ( )( )
( )
2
5 5
4
9 20
lim lim = lim
5 5
x x x
x x
x x x
x x x x x
→ → →
− −
− + = − =
− −
17 ( )( )
( )( )
2
3 3
3
5
lim lim = lim
3
x x x
x x
x x x
x x x x x
→ → →
− −
− + = − =
− − − −
18 ( )( )
( )( )
2
3 3
1
2 3
lim lim = lim
2 1 2
x x x
x x
x x x
x x x x x
→ → →
− +
+ − +
= =
− − − − −
19 ( )( )
( )( ) ( )
3
2
3 3
2
5
lim lim = lim
9 3
x x x
x x x x x
x x x
x x x x
→ → →
− − −
− +
= = −
− − + − −
20 ( )( )( )
( )( ) ( )( )
2
4
2 2
4 2
16
lim lim = lim 16
6 4
x x x
x x x x x
x
x x x x x
→− →− →−
+ − + + −
− = = −
+ + + + +
21
3 2
8 lim
5
x
x
x x
→ −
− + =
( )( )
( )( )
2
2
2
lim
2
x
x x x
x x
→
− + +
− −
22 ( )( )
( )( )
2
2
2
2
8
lim lim
11 18
x x
x x x
x
x x x x
→− →−
+ − +
+
=
+ + + +
( )
2
2
lim 12
3
x
x x x →
− + +
= =
−
2
2 12
lim
9
x
x x
x →−
− +
= =
+
23 ( )( )
( )( )
2
3 2
2 2
2
2 2 2
lim lim = lim
6
2 2 2 2
x x x
x x
x x x
x x x x x x
→ → →
− − +
− − + = − + = −
− − + + + +
24 ( )( )
( )( )
2
3
2
2 2
2
8
lim lim = lim 12
3 2
x x x
x x x
x x x
x x x x x
→ → →
− + +
− + +
= =
− + − − −
25 ( )( )
( )( )
2
3
2
2 2
2 2
2 2
lim lim = lim
2 2 2
x x x
x x x
x x x
x x x x
→− →− →−
− − +
+ = − + = −
(50)Page
50
26 ( ) ( )
3 3 2
2
0 0
1 3
lim lim lim 3
x x x
x x x x
x x
x x
→ → →
+ − + +
= = + + =
27 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
2
0 0
3 3
1 27
lim lim = lim 3 27
x x x
x x x
x
x x
x x
→ → →
+ + + +
+ −
= + + + + =
28 ( )( )
( )( ) ( )
2
4
3 3
3 9
27
lim lim = lim
2 3
x x x
x x x x x x x
x x
x x x x x
→ → →
− + + + +
− = =
− − − + +
29 ( )( ) ( )
2
3
2
2 2
2
5 10
lim lim = lim
2
x x x
x x x
x x x
x x
x x
→ → →
− − +
− + − = − + =
− −
30 ( )( )
( )( )
2
3 2
2
1 1
1
2 2
lim lim = lim
1 1
x x x
x x x
x x x x x
x x x x
→ → →
− − −
− + + = − − = −
− − + +
31 ( )( )
( )( )
2
3
2
2 2
2 2
2 2
lim lim = lim
4 2 2
x x x
x x x
x x x x
x x x x
→ → →
− + +
− − = + + =
− − + +
32 ( )( )
( )( ) ( )
3
2
2 2
1
3 2
lim lim = lim
6 3
x x x
x x x x x
x x x
x x x x x
→− →− →−
+ + +
+ + = = −
− − + − −
33 ( )( )
( )( )
2
3 2
2 2
2
2 10
lim lim lim
6 2 3 11
x x x
x x
x x x
x x x x x x x
→− →− →−
+ −
− − +
= = = −
− + + − + − +
34 ( ) ( )
( ) ( )
2
3
2
1 1
1
1
lim lim = lim
2 1
x x x
x x
x x x
x
x x x
→ → →
− +
− − +
= + =
− + −
35 ( )( )
( )( ) ( )
2
2
3
2 2
2
4
lim lim = lim
3 2 1
x x x
x x
x x
x x x x x
→ → →
− +
− = + =
− − − + +
36 ( )( )
( )( )
2
3 2
2
2 2
2
2
lim lim = lim
4 2
x x x
x x
x x x x
x x x x
→ → →
− −
− − + = − =
− − + +
37
2
3 2
1 1
3 ( 1)( 4)
lim lim lim
2 ( 1)(2 3) 3
x x x
x x x x x
x x x x x x x
→ → →
+ − − + +
= = =
+ − − + + + +
38
3 2
2
1 1
3 ( 1)(3 3) 3
lim lim lim
3 ( 1)(3 1)
x x x
x x x x x x x x
x x x x x
→ → →
− − + − − − − −
= = = −
− − − + +
39
3 2
2
2 2
5 ( 2)( 1)
lim lim lim 11
3 ( 2)( 1)
x x x
x x x x x x x x
x x x x x
→ → →
+ − − − + + + +
= = =
− + − − −
40
3 2
2
1 1
2 ( 1)(2 3) 2
lim lim lim
3 ( 2)( 1)
x x x
x x x x x x x
x x x x x
→ → →
− + − + − + −
= = = −
− + − − −
41
2
3 2
2 2
2 ( 2)( 4)
lim lim lim
3 ( 2)(3 3) 3 19
x x x
x x x x x
x x x x x x x x
→− →− →−
− − + − −
= = = −
(51)42
3 2
4 3
1 1
1 ( 1)( 1)
lim lim lim
4 ( 1)( 3) 3
x x x
x x x x x x
x x x x x x x x x
→ → →
− = − − − − = − − − =
− + − + − − + − −
43
3 2
4 3
3 3
5 ( 3)( 3)
lim lim lim
8 ( 3)( 3) 3
x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x x x
→ → →
− + + = − − − = − − =
− − − + + + + + +
44
3 2
4 3
1 1
3 3
6 (3 1)(2 1) 2
lim lim lim
9 (3 1)(3 1) 3
x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x x x
→ → →
− + − = − − + = − + =
+ − − + + + + + +
45
1 1
2 ( 1)( 3)
lim lim lim
3
5 ( 1)( 4)
x x x
x x x x x
x x x x x
→ → →
+ − = − + = + = −
− + − − −
46
3
4 2
1 1
3 ( 2)( 1)
lim lim lim
4 ( 1)( 3)
x x x
x x x x x x
x x x x x x x x
→ → →
− + = + − + = + =
− + − + + + + +
47
5 4
2
2 2
2 ( 2)( 1) 17
lim lim lim
4 ( 2)( 2)
x x x
x x x x x x
x x x x
→ → →
− + − = − + = + =
− − + +
48
4 2
3 2
1 1
1 ( 1)( 1)
lim lim lim
5 ( 1)( 3)
x x x
x x x x x x x x x
x x x x x x x
→ → →
− − + = − + + + = + + = −
− + − − + − −
49
3 2
3 2
3 3
2 ( 3)(2 1) 11
lim lim lim
4 13 ( 3)(4 1) 17
x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x x
→ → →
− − − − + + + +
= = =
− + − − − + − +
50
3 2
3 2
1 1
2 (2 1)( 1) 1
lim lim lim
1 ( 1)( 1)
x x x
x x x x x x x
x x x x x x x
→− →− →−
+ + + = + + + = + =
+ − − − + + −
51
3 2
3 2
3 3
2 ( 3)(2 1) 11
lim lim lim
4 12 12 4( 3)( 1) 4( 1) 20
x x x
x x x x x x x x
x x x x x x
→ → →
− − − = − + + = + + =
− + − − + +
52
3 3
2 2 3 2 2 3 2 2
1 3
2 ( 1) 1
lim lim lim
( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
x x x
x x x
x x x x x x
→ → →
− + = − = =
− − + + + +
53
4 2 2
3 2
2 2
2 4 (2 1)( 4)
lim lim lim
3 14 20 (3 2)( 4)
x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x
→− →− →−
+ + − − − + + −
= = = −
+ + + + + + +
54
3 2
2
3
2 ( 3)(2 (3 3) 3)
lim lim
3 ( )( )
x x
x x x x x x
x x x
→− →−
− + + + = + − − + −
− − +
2
3
2 (3 3) 3
lim
6
x
x x
x →−
− − + −
= =
−
55
4 3
4 2
1 1
5 ( 1) ( 2)
lim lim lim
3 ( 1) ( 2)( 1)
x x x
x x x x x x x
x x x x x x x x
→ → →
− + − + − − −
= = =
(52)Page
52
56
5 4
2
1
5 ( 1)( 5)
lim lim
1 ( 1)( 1)
x x
x x x x x x x x x x
x x x
→ →
+ + + + − = − + + + +
− − +
4
1
2 15
lim
1
x
x x x x
x →
+ + + +
= =
+
57 2
1 1
1 1
lim lim lim
1 ( 1)( 1)
x x x
x
x x x x x
→ → →
−
− = = =
− − − + +
58 3 2 2
2 2
1 12 ( 2)( 4)
lim lim lim
2 ( 2)( 4)
x x x
x x x
x x x x x x x
→ → →
− + +
− = = =
− − − + + + +
59 2 2
2 2
1 2( 2)
lim lim lim
3 ( 2)( 3)( 1) ( 3)( 1)
x x x
x
x x x x x x x x x
→ → →
−
+ = = = −
− + − + − − − − −
60 2
2 2
2 26 2( 5)( 2) 2( 5)
lim lim lim
2 ( 2)( 2) 2
x x x
x x x x x
x x x x x
→− →− →−
− − − + −
− = = =
+ − − + −
61 2 3 2 2
1 1
1 ( 1)( 1)
lim lim lim
2 ( 1)( 2)( 1) ( 2)( 1)
x x x
x x x
x x x x x x x x x x
→ → →
− + +
− = = =
+ − − − + + + + + +
62 ( )
2
2
0 0
(1 )(1 )(1 ) (6 11 6)
lim lim lim 11 6
x x x
x x x x x x
x x
x x
→ → →
+ + + − + +
= = + + =
63
1 2
1 2
1 1
1 ( 1)( 1)
lim lim lim
1 ( 1)( 1)
n n n n n
m m m m m
x x x
x x x x x x x x n
x x x x x x x x m
− − − −
− − − −
→ → →
− = − + + + + = + + + + =
− − + + + + + + + +
64
1
2
1
1 ( 1)( 1) n( 1)
lim lim
( 1) ( 1)
n n n
x x
x nx n x x x x x
x x
− −
→ →
− + − = − + + + + − −
− −
1 2
1
( 1) ( 1) ( 1) ( 1) lim
1
n n
x
x x x x
x
− −
→
− + − + + − + −
=
−
( 3 )
1
lim ( n n 1) ( n n 1)
x x x x x x x
− − − −
→
= + + + + + + + + + + +
( 2)( 1) ( 2) ( 3)
2
n n
n n − −
= − + − + + + =
65
100 50
2 lim
2
x
x x
x x
→
− +
− +
99 98
49 48
1
( 1)( 1) ( 1) lim
( 1)( 1) ( 1)
x
x x x x x
x x x x x
→
− + + + + − −
=
− + + + + − −
99 98
49 48
1
49 lim
24
x
x x x
x x x
→
+ + +
= =
+ + +
66
2
1
( 1) ( 1) ( 1)
lim lim
1
n n
x x
x x x n x x x
x x
→ →
+ + + − − + − + + −
=
− −
1
1
( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1) lim
1
n n
x
x x x x x x x
x
− −
→
− + − + + + − + + + +
=
−
1
1
lim(1 ( 1) ( n n 1))
x x x x x
− −
→
= + + + + + + + + n ( 1)
n n+ = + + + + = Bài Tính giới hạn sau:
1
1
3 lim
1
x
x x →
+ −
− ĐS:
1
4 2
2 lim
3
x
x x →−
+
(53)3 3 lim x x x → − +
− ĐS:
1
−
8 lim x x x → −
− + ĐS: −6
5 lim x x x x →− + + −
+ ĐS:
1
−
2 3 lim x
x x x
x →
− −
− ĐS:
1
7 2
2 2 lim x x x → + −
− ĐS:
1
16 2
2
lim x x x → − −
− ĐS:
3 16 − 9 lim x x x → −
+ − ĐS: 24 10 9
3 lim x x x x → −
− ĐS:
1 54 − 11 49 lim x x x → −
− − ĐS: −56 12 1
2 lim x x x x → − +
− ĐS:
7
13 2
3 lim x x x x x → − +
− ĐS:
2
9 14
2 lim x x x x x → −
− − ĐS:
15 2
2
4 lim x x x x → + −
− ĐS:
1
3 16
3 3 lim x x x x → − −
− ĐS:
1
17 2
2 2 lim 10 x x x x → + −
+ − ĐS:
1
4 18
2 lim 1 x x x x → − +
− − ĐS:
19 4 lim x x x x → − −
+ − ĐS: 30 20 1
3 lim x x x x → + −
+ − ĐS:
1
21 2
1 lim x x x → −
− ĐS:
1
4 22
2
2
3 3( 1) lim
3
x
x x
x →
− +
− + ĐS: 12−
23 1 lim x x x x → + −
+ ĐS: 24
2 lim x x x →− +
− − ĐS:
1 − 25 2 lim x x x x x → − −
− ĐS: 26 2
2 5
lim x x x x x → + + −
− ĐS:
2 27 lim
2
x
x x
x x
→
−
+ + − ĐS:
3
4 28
2 lim x x x x →− − + −
− ĐS:
1 29 2
2
lim
3
x
x x x
x x
→−
+ − + +
+ + ĐS:
5
2 30
5
lim x x x x → − − +
− ĐS:
31
1
3 lim
3 2
x
x
x x
→−
+
+ − + ĐS:6 32
2
2
2 6
lim
4
x
x x x x
x x
→
− + − + −
− + ĐS:
1 − 33 2
(54)Page
54
35
9
3 lim
5
x
x x →
−
− − ĐS:
2
− 36
1
3
lim
8
x
x x
x →
+ − +
+ − ĐS:
37
2
2
lim
1
x
x x
x x
→
+ −
− − − ĐS:
1
− 38
1
3
lim
4
x
x
x x
→
+ −
+ − + ĐS:
3
39
3
1
lim
2
x
x x
x x
→
+ − −
+ − + ĐS: −3 40
2
2
2
lim
1
x
x x
x x
→
+ − +
+ − + ĐS:
2
41
2
1 lim
3
x
x
x x x
→
−
+ + − ĐS:
4
− 42
4
1
4 lim
1
x
x x →
+ −
− ĐS:
43
4
2
1 3
lim
2
x
x x x x
x →
− + − + +
− ĐS:
Lời giải
1 Ta có
1 1
3 ( 2)( 2) 1
lim lim lim
1 ( 1)( 2)
x x x
x x x
x x x x
→ → →
+ − = + − + + = =
− − + + + +
2 Ta có
2 2
2 ( 2)( 1)
lim lim lim ( 1)
3 ( 1)( 1)
x x x
x x x
x
x x x
→− →− →−
+ = + + + = + + =
+ − + − + +
3 Ta có
6 6
3 (3 3)(3 3) 1
lim lim lim
6 ( 6)(3 3) 3
x x x
x x x
x x x x
→ → →
− + = − + + + = − = −
− − + + + +
4 Ta có
8 8
8 ( 8)(3 1)
lim lim lim
1
3 (3 1)(3 1)
x x x
x x x x
x x x
→ → →
− = − + + = + + = −
−
− + − + + +
5 Ta có
2
2
1 1
4 ( 1)
lim lim lim
1 ( 1)( 4 2) 4 2
x x x
x x x x x
x x x x x x
→− →− →−
+ + − = + = = −
+ + + + − + + −
6 Ta có
2 2
2
3
2 ( )( )
lim lim
2 (2 6)( 2 3 )
x x
x x x x x x x x x
x x x x x
→ →
− − = − − − +
− − − +
2
3
( 3)
lim lim
4
2( 3)( ) 2( )
x x
x x x
x x x x x x x
→ →
−
= = =
− − + − +
7 Ta có 2
2 2
2 2 1
lim lim lim
4 ( 2)( 2)( 2) ( 2)( 2) 16
x x x
x x
x x x x x x
→ → →
+ − = − = =
− − + + − + + −
8 Ta có 2
2 2
2 3(2 ) 3
lim lim lim
4 ( 2)( 2)(2 2) ( 2)(2 2) 16
x x x
x x
x x x x x x
→ → →
− − −
= = = −
− − + + − + + −
9 Ta có
2
3 3
9 ( 3)( 3)( 2)
lim lim lim ( 3)( 2) 24
1 ( 2)( 2)
x x x
x x x x
x x
x x x
→ → →
− + − + +
= = + + + =
(55)10 Ta có 2
9 9
3 1
lim lim lim
9 (9 )( 3) ( 3) 54
x x x
x x
x x x x x x x
→ → →
− − −
= = = −
− − + +
11 Ta có
2
7
49 ( 7)( 7)(2 3)
lim lim
2 (2 3)(2 3)
x x
x x x x
x x x
→ →
− − + + −
=
− − − − + −
7
( 7)( 7)(2 3)
lim lim( 7)(2 3) 56
7
x x
x x x
x x
x
→ →
− + + −
= = − + + − = −
−
12 Ta có
2
1 1
2 4
lim lim lim
1 ( 1)( 1)(2 3) ( 1)(2 3)
x x x
x x x x x
x x x x x x x x
→ → →
− + = − − = + =
− − + + + + + +
13 Ta có
2
3 3
3 2
lim lim lim
3 ( 3)( ) ( )
x x x
x x x x x
x x x x x x x x x
→ → →
− + = − − = + =
− − + + + +
14 Ta có
2 2
2
1 1
( 1)( 1) ( 1)
lim lim lim
2 ( 1)
2
x x x
x x x x x x x x x
x x x
x x
→ → →
− = − − + = − + =
− + − − −
− −
15 Ta có 2
2 2
4 4( 2)
lim lim lim
2 ( 2)( 3) ( 3)
x x x
x x
x x x x x x x
→ → →
+ − = − = =
− − + + + +
16 Ta có 2
4 4
3 3 3( 4)
lim lim lim
4 ( 4)( 3 3) ( 3 3)
x x x
x x
x x x x x x x
→ → →
− − = − = =
− − − + − +
17 Ta có 2
2 2
2 ( 2)( 2)
lim lim lim
2 10 ( 2)(2 5)( 2) (2 5)( 2)( 2)
x x x
x x x x
x x x x x x x x
→ → →
+ − = + − + + = −
+ − − − + + − − + +
2
1
lim
4
(2 5)( 2)
x→ x x
= = −
− + +
18 Ta có
2
2 2
3 ( 1)( 2)( 1)
lim lim lim( 1)( 1)
1 ( 1)( 1)
x x x
x x x x x
x x
x x x
→ → →
− + = − − − + = − − + =
− − − − − +
19 Ta có
2
4 4
3 ( 1)( 4)( 3)
lim lim lim( 1)( 3) 30
4
5
x x x
x x x x x
x x
x x
→ → →
− − = + − + + = + + + =
−
+ −
20 Ta có 2
1 1
3 3( 1)
lim lim lim
2 ( 1)( 2)( 2) ( 2)( 2)
x x x
x x
x x x x x x x
→ → →
+ − −
= = =
+ − − + + + + + +
21 Ta có 2
1 1
1 1
lim lim lim
1 ( 1)( 1)( 1) ( 1)( 1)
x x x
x x
x x x x x x
→ → →
− −
= = =
− + − + + +
22 Ta có
2
2
3 4( 1) ( 2)(3 2)(3 1)
lim lim
3 (3 1)(3 1)
x x
x x x x x
x x x
→ →
− + = − + + +
− + − + + +
( 2)(3 2)(3 1)
lim
4(2 )
x
x x x
x →
− + + +
=
−
(3 2)(3 1)
lim 12
4
x
x x
→
+ + +
(56)Page
56
23 Ta có
3
2 3 3
0 0
1
lim lim lim
( 1)( 1) ( 1)( 1)
x x x
x x x
x x x x x x x
→ → →
+ − = = =
+ + + + + + +
24 Ta có
3
2
3
2 2
2 ( 2)( 3)
lim lim lim
( 2)( 4) ( 4)
1
x x x
x x x x
x x x x x
x
→− →− →−
+ + − + − +
= = =
− + − + − − +
− −
25 Ta có
2
2 2 2
1 1
2 ( 1) ( 1)
lim lim lim
( 1)( 1) ( 1)
x x x
x x x x
x x x x x x x x x
→ → →
− − = − − = − − =
− − − + − +
26 Ta có
2
2
2 5 12 20
lim lim
2 ( 2)( ( 5))
x x
x x x x
x x x x x x
→ →
+ + − = − + −
− − + − +
2
( 2)( 10) ( 10)
lim lim
3
( 2)( ( 5)) ( ( 5))
x x
x x x
x x x x x x x
→ →
− − − − −
= = =
− + − + + − +
27 Ta có
2
2
1 1
( 1)( ( 4) ( ( 4)
lim lim lim
10 ( 9)
2
x x x
x x x x x x x x x
x x x
x x
→ → →
− = − + − − = + − − =
− + − − −
+ + −
28 Ta có
2
1
2 2
lim lim
1 ( 1)( 1)(( 2) )
x x
x x x x
x x x x x
→− →−
− + − − −
=
− − + − − −
1
3
lim
6
( 1)(( 2) )
x
x
x x x
→−
+
= =
− − − −
29 Ta có
2
2 2
1
2 17
lim lim
3 ( 2)((2 5) 2 8)
x x
x x x x
x x x x x x
→− →−
+ − + + = + =
+ + + + + + +
30 Ta có
2 2
5 4( 2)
lim lim lim
2 ( 2)( 2) ( 2)
x x x
x x x
x x x x x x
→ → →
− − + = − = =
− − − + + − + +
31 Ta có
1
3 3( 1)( 2)
lim lim
1
3 2
x x
x x x x
x x x
→− →−
+ = + + + +
+
+ − + =xlim 3( 2→−1 + x+ x+2)=6
32 Ta có
2
2 2 2
3
2 6
lim lim
4 ( 1)( 2 6 2 6)
x x
x x x x
x x x x x x x
→ →
− + − + − = − =
− + − − + + + −
33 Ta có
2
4 2 2
1
2 1
lim lim
( 1)( )
x x
x x x x
x x x x x x x x
→− →−
+ + − − +
= =
+ − + + + + −
34 Ta có
2
2 3
lim lim
2
7 2
x x
x x
x x
→ →
− + + +
= − = −
+ − + +
35 Ta có
9
3 2
lim lim
3
5
x x
x x
x x
→ →
− = − − + = −
− − +
36 Ta có
1
3 2( 3)
lim lim
8 3
x x
x x x
x x x
→ →
+ − + = + + =
(57)37 Ta có
2
2
lim lim
4
1 2
x x
x x x x
x x x x
→ →
+ − − + −
= = −
− − − + +
38 Ta có
1
3
lim lim
2
4
x x
x x x
x x x
→ →
+ − + + +
= =
+ − + + +
39 Ta có
3
1
lim lim
2
x x
x x x x
x x x x
→ →
+ − + = − + + + = −
+ − + + + +
40 Ta có
2
2
2
2 5
lim lim
3
1 2
x x
x x x x
x x x x
→ →
+ − + = + + + =
+ − + + + +
41 Ta có
2
3
2
1
1 ( )
lim lim
5 3
3
x x
x x x x
x x x
x x x
→ →
− = + − − = −
− + − −
+ + −
42 Ta có
4
3
1 4
4
lim lim
1 (4 3) (4 3) 4 3 1
x x
x
x x x x
→ →
− −
= =
− − + − + − +
43 Ta có
4
2
1 3
lim
2
x
x x x x
x →
− + − + + =
−
Bài Tính giới hạn sau:
1
3
2
4 lim
2
x
x x →
−
− ĐS:
1
3
3
1
5 lim
1
x
x x →−
− +
+ ĐS:
5 12
3
3
1 lim
x
x
x x
→
− −
+ ĐS:
1
3
3
1
2
lim
1
x
x x →
− +
− ĐS:
5 12
−
3
3
3 lim
1
x
x x →
−
− − ĐS:
1 lim
1
x
x x →
−
+ − ĐS:
7
3
5 lim
2
x
x x
x x
→
− −
− − ĐS:
2
9
1 lim
1
x
x x →
−
− ĐS:
9
3
3
3
27 lim
1 28
x
x
x x
→
−
+ − + ĐS: 54 10
3
5 lim
30
x
x
x x
→
+ −
+ − ĐS:
1 336
11
3
2
10
lim
3
x
x x
x x
→−
+ + −
+ + ĐS:
3
2 12
3
2
1 lim
3
x
x x →
−
+ + − ĐS:
2
13
3
1 lim
7
x
x x →
−
+ − ĐS: 14
2
3
3
lim
1
x
x x →−
+ −
+ ĐS:
3
−
15
3
1
2
lim
1
x
x x
x →
− −
− ĐS:
2
3 16
3
2
1 lim
2
x
x x →
−
(58)Page
58
17
3
3
1 lim
4
x
x x →
−
+ − ĐS: 18
3
2
2 lim
1
x
x x
x →−
+ +
− ĐS:
1
−
19
3
3
9
lim
1
x
x x
x →
+ + −
+ ĐS:
1
12 20
3
3
19
lim
4 3
x
x x →
− +
− − ĐS:
27
−
21
3
2
1
lim
4
x
x x
x x
→
+ − −
− ĐS:
1
− 22
3
2 1 lim
1
x
x x →
− −
− ĐS:
2
23
3
2
3
lim
3 2
x
x x
x →
+ −
− − ĐS: 1− 24
4
1 lim
2 1
x
x x →
+ −
+ − ĐS:
2
Lời giải
1) Ta có
3
3
2
4
lim lim
2 16 2 4 4
x x
x
x x x
→ →
− = =
− + +
2) Ta có
( )
3
2
1 13
5 5
lim lim
1 5 3 2 5 3 4 12
x x
x
x x x
→− →−
− + = =
+ − − − +
3) Ta có
( )( ( ) )
3
0 3
3
1 1
lim lim
3
1 1
x x
x
x x x x x
→ →
− −
= =
+ + + − + −
4) Ta có
( )
3
2
1 3 3
2 5
lim lim
1 4 5 3 5 3 12
x x
x
x x x
→ →
− + = − = −
− + + + +
5) Ta có ( )
2 3
2
3
3
3
1
3
lim lim
3
x x
x x
x
x x
→ →
− + − +
− = =
+ − −
6) Ta có ( 3( )2)
3
1
1
lim lim 2
1
x x
x
x x
x
→ →
− = − − + − =
+ −
7) Ta có
( ) (( ) )
2
2
1 3 3
5 4
lim lim
2 2 1 5 4 5 4 4
x x
x x x x
x x x x x
→ →
− − = − − + =
− − + − + − +
8) Ta có (3 )
3
1
1
lim lim
1
x x
x
x x
x
→ →
− = + + =
(59)9) Ta có
3
3
3
27 lim
1 28
x
x
x x
→
− + − +
( )( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
2
2 3
2 3
2
3 1 28 28
lim
3
x
x x x x x x x
x x x
→
− + + + + + + + +
=
− + +
( ) ( ) (2 )3 3( )2
2
3 1 28 28
lim 72
2
x
x x x x x x
x x
→
+ + + + + + + +
= =
+ +
10) Ta có
( ) ( )
3
3 3
5 1
lim lim
30 3 10 5 5 4 336
x x
x
x x x x x x
→ →
+ −
= =
+ − + + + + + +
11) Ta có
3
2
10
lim
3
x
x x
x x
→−
+ + −
+ + ( )( ) ( ) ( ) ( )
3
1 3 3 3 2
3
3 3
lim
1 10 10
x
x x x
x x x x x x
→−
− + +
=
+ + + + − + + −
( ) ( ) ( ) ( )
2
1 3 3 3
3
3
lim
2
2 10 10
x
x x
x x x x x
→−
− +
= =
+ + + − + + −
12) Ta có
( )( )
2
2
1 3
1 2
lim lim
3
3 1
x x
x x
x x x x
→ →
− = + + =
+ − + + +
13) Ta có ( )
2 3
3
3
1
7
1
lim lim
7
x x
x x
x
x x
→ →
+ + + +
− = =
+ − +
14) Ta có ( )( )
3
2
3
1
1
3
lim lim
2
1
x x
x x x
x
x x
→− →−
− − +
+ − = = −
+ + +
15) Ta có
( ) ( )
3
2
1 3
2 1
lim lim
3
1 2 1 2 1
x x
x x x
x x x x x
→ →
− − = + =
− − + − +
16) Ta có ( )
2 3
3
3
1
2
1
lim lim
2 1
x x
x x
x
x x x
→ →
− − − +
−
= =
− + + +
17) Ta có ( )
( )
2 3
3
3
1 3
4 4 4
1
lim lim
4 4 1
x x
x x
x
x x x
→ →
+ + + +
−
= =
+ − + +
18) Ta có
( ) ( ) ( )
3
2
1 3
2
lim lim
1 1 2 2
x x
x x
x x x x x x
→− →−
+ + = = −
− − + − + +
(60)Page
60
19) Ta có
3
3
9
lim
1
x
x x
x →−
+ + − +
( ) ( ) ( )( ) ( )
1 2 2
3 3
3
lim
2
1 9 6
x
x x x x x x
→−
= =
− + + − + − + +
20) Ta có ( )( )
( )
2
3
3 3 3 3
3
9 3
19 27
lim lim
8 3
4 19 19
x x
x x x
x x
x x
→ →
− + − +
− +
= = −
− − − − − − +
21) Ta có
( ) ( ) ( )
3
2
0 3 3 2 3
1
lim lim
4 4 1 1 1
x x
x x
x x x x x x
→ →
+ − −
= = −
− − + + − + −
22) Ta có
( ) ( )
3
1 2 3 3
2 1 2
lim lim
1 1 2 1 2 1 1
x x
x
x x x x x
→ →
− − = =
− + + − + − +
23) Ta có ( ) ( )
( )
2
2 3 3 2
1 2
3
lim lim
3 2 3 3 2 3 2
x x
x x
x x
x x x x x
→ →
− + − +
+ − = = −
− − + + + +
24) Ta có ( )( )
( )
4
4
0 3 3
2 1 1
1
lim lim
3
2 1 2 1 1 1
x x
x x
x
x x x
→ →
+ + + +
+ − = =
+ − + + + +
Bài Tính giới hạn sau:
1)
0
9 16
lim
x
x x
x →
+ + + −
ĐS:
24 2)
2 5
lim
1
x
x x
x →
+ + + −
− ĐS:
4
3)
3
2 2
lim
3
x
x x
x →
+ + − −
− ĐS:
5
6 4)
2 4
lim
x
x x
x →
+ + + −
ĐS:5
4
5)
2
2 7
lim
2
x
x x x
x →
+ + + −
− ĐS:
8
3 6)
2
2
2
lim
2
x
x x x x →
− + −
− ĐS:8
7) ( )
6
5 84
lim
6
x
x x x
x →
− − + −
− ĐS:
74
3 8)
3
0
1
lim
x
x x
x →
+ − +
ĐS:0
9)
3
1
7
lim
1
x
x x
x →
+ − +
− ĐS:
1
− 10)
3 2
8 11
lim
3
x
x x
x x →
+ − +
− + ĐS:
7 54
11)
3
0
2
lim
x
x x
x →
+ − −
ĐS:13
12 12)
3
1
3
lim
1
x
x x
x →
+ − +
− ĐS:
1
13)
2
1
7
lim
1
x
x x
x →
+ − −
− ĐS:
7
12 14)
3
2
3
lim
2
x
x x
x →
+ − −
− ĐS:
1
(61)15)
3
2
3
lim
2
x
x x
x →
+ − −
− ĐS:−1 16)
3
2
2 11
lim
4
x
x x x
x →
+ + − +
− ĐS:
5 72
17)
3
3
2
5
lim
1
x
x x
x →
− − +
− ĐS:
11 24
− 18)
3
2
3 24
lim
4
x
x x x
x →
− + + − −
− ĐS:
17 16
−
19)
3
2
3
lim
3
x
x x x
x x
→
− − − −
− + ĐS:
5
6 20)
3
2 2
lim
1
x
x x x
x →
− + − −
− ĐS:
3
21)
3
2
1
lim
x
x x
x x
→
+ − −
+ ĐS:
1
2 22)
3
2
6
lim
2
x
x x
x →
+ − +
− ĐS:
13 96
−
23)
0
1
lim
x
x x
x →
+ + −
ĐS:5 24)
3
0
1
lim
x
x x
x →
+ + −
ĐS:7
3
25)
3
1
3 2
lim
1
x
x x
x →
+ − −
− ĐS:
1
12 26)
3
4
lim
x
x x
x x →
+ + −
+ ĐS:1
27) 2
0
4
lim
x
x x
x →
+ + − −
ĐS:
12
−
28)
3
1
lim
x
x x
x →
+ − +
ĐS:1
2
29)
( )
2
6
lim
1
x
x x x
x →
+ + −
− ĐS:
11
6 30)
4 3
lim
2
x
x x x
x x →
− + − − +
− + ĐS:
5
−
31) 2
1
3 2
lim
2
x
x x x
x x →
− − + + + −
− + ĐS:
17 16
− 32)
2
2
4
lim
2 2
x
x x
x x x
→
− +
+ − − + − ĐS:
8
33)
3
3
1
6 2
lim
1
x
x x
x x x
→
+ −
− − + ĐS:
1
8 34) ( )
3
2
2
2
lim
2
x
x x x x
x →
− + − − +
− ĐS:
1
35)
3
1
lim
x
x x
x →
+ − +
ĐS:1
2 36)
3
1
lim
x
x x
x →
+ − +
ĐS:2
Lời giải
1)
0
9 16
lim
x
x x
I
x →
+ + + − =
Ta có
0
9 16
lim
x
x x
I
x x
→
+ − + −
= +
( )( )
( ) ( ( )( ) )
0
9 16 16
lim
9 16
x
x x x x
x x x x
→
+ − + + + − + +
= +
+ + + +
( ) ( ) ( ) ( )
0
9 16 16
lim lim
9 16 16
x x
x x x x
x x x x x x x x
→ →
+ − + −
= + = +
+ + + + + + + +
1 1
(62)Page
62
2)
1
2 5
lim
1
x
x x
I
x →
+ + + − =
−
Ta có
1
2 2
lim
1
x
x x
I
x x
→
+ − + −
= +
− −
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
1
2 2 2 5
lim
1 2
x
x x x x
x x x x
→
+ − + + + − + +
= +
− + + − + +
( )( ) ( )( )
1
2
lim
1 2
x
x x
x x x x
→
+ − + −
= +
− + + − + +
( )
( )( )
( )
( )( )
1
2
lim
1 2
x
x x
x x x x
→
− −
= +
− + + − + +
1
2 5
lim
4
2 2
x→ x x
= + = + =
+ + + +
3)
3
2 2
lim
3
x
x x
I
x →
+ + − − =
−
Ta có
3
2 6 2
lim
3
x
x x
I
x x
→
+ − − −
= +
− −
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
3
2 6 2 2 2
lim
3 3 2
x
x x x x
x x x x
→
+ − + + − − − +
= +
− + + − − +
( )
( )( ) ( )( )
3
2 2
lim
3 3 2
x
x x
x x x x
→
+ − − −
= +
− + + − − +
( )
( )( )
( )
( )( )
3
2 3
lim
3 3 2
x
x x
x x x x
→
− −
= +
− + + − − +
3
2 2
lim
6
6 2
x→ x x
= + = + =
+ + − +
4)
0
2 4
lim
x
x x
I
x →
+ + + − =
Ta có
0
2
lim
x
x x
I
x x
→
+ − + −
= +
( )( )
( ) ( ( )( ) )
0
2 1 1 4
lim
1
x
x x x x
x x x x
→
+ − + + + − + +
= +
+ + + +
( )
( ) ( )
0
2 1 4
lim
1
x
x x
x x x x
→
+ − + −
= +
+ + + +
2
lim
2 4
1
x→ x x
= + = + =
+ + + +
5)
2
2 7
lim
2
x
x x x
I
x →
+ + + − =
(63)Ta có ( )
2
2 2
lim
2
x
x x x x
I
x →
− + + + − + + −
=
−
2
lim
2
x
x x
x
x x
→
+ − + −
= + + +
− −
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
2
2 2 2 7
2 lim
2 2
x
x x x x
x x x x
→
+ − + + + − + +
= + +
− + + − + +
2
2
2 lim
4
2
x→ x x
= + + = + + =
+ + + +
6)
2
2
2
lim
2
x
x x x I
x →
− + − =
−
Ta có ( )
2
2
2 4
lim
2
x
x x x x
I
x →
− − + − − + −
=
−
2
2
4 4
lim
2
x
x x
x
x x
→
− − −
= − + +
− −
( )( )
( )( )
( )( ) ( )
( )( )
2
4 1 1 2 2 4 1 1
2 lim lim
2
2 1 1
x x
x x x x x
x x
x x x x
→ →
− − − + − + − −
= + + = + + +
− + + − − + +
2
4
2 lim 2
2 1
x→ x x
= + + + = + + = − +
7) ( )
6
5 84
lim
6
x
x x x
I
x →
− − + −
=
−
Ta có ( )
6
5 30 26 78
lim
6
x
x x x x
I
x →
− − + − − + −
=
−
( ) ( )
6
26 3
5 6
lim
6 6
x
x
x x x
x x x
→
− − − − −
= + +
− − −
( )( )
( )( )
6
26 3 3
lim
6 3
x
x x
x
x x
→
− − − +
= − + +
− − +
( )
( )( )
( )
( )( )
6
26 26.2
15 lim 15 lim
6 3 3
x x
x x
x x x x
→ →
− − −
= + + = + +
− − + − − +
6
52 52 74
15 lim 15
6
2 3
x→ x
= + + = + + =
− +
8)
3
0
1
lim
x
x x
I
x →
+ − + =
Ta có
3
0
1 1 1
lim lim
x x
x x x x
I
x x x
→ →
+ − + − + + − − +
= = +
( )( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
2
3 3
0 3 3
1 1 3
1 1 lim
1 1 1 3 1 3
x
x x x
x x
x x x x x
→
− + + + + +
+ − + +
= +
+ + + + + +
(64)Page
64
( ) ( ( () ) ) ( )2
0 3 3
1
1 2
lim lim
1
1 1 1 3 1 3 1 1 3 1 3
x x
x x
x
x x x x x x x
→ →
− +
+ − −
= + = +
+ +
+ + + + + + + + + +
2
0
−
= + =
9)
3
1
7
lim
1
x
x x
I
x →
+ − +
=
−
Ta có
3
1
7 2
lim
1
x
x x
I
x →
+ − + − +
=
−
3
1
7 2
lim
1
x
x x
x x
→
+ − − +
= +
− −
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
2
3 3 3 2 2
1 3 3 3
3
7 7 2 3 2 3
lim
1
1 7
x
x x x x x
x x
x x x
→
+ − + + + +
− + + +
= +
− + + + + − + +
( ) ( )
( )
( )( )
2
1 3 3 3
3
4
7 lim
1
1 7
x
x x
x x
x x x
→
+ − − +
= +
− + + + + − + +
( ) ( ) ( )( )
3
1 3 3 3
3
1
lim
1
1 7
x
x x
x x
x x x
→
− −
= +
− + + + + − + +
( )
2
2
1 3 3 3
3
1
lim
12 4
2
7
x
x x x
x
x x
→
+ + +
= − = − = −
+ +
+ + + +
10)
3 2
8 11
lim
3
x
x x
I
x x →
+ − + =
− +
Ta có
3
2 2
2
8 11 3 11 3
lim lim
3 3
x x
x x x x
I
x x x x x x
→ →
+ − + − + + − − +
= = +
− + − + − +
( )( ( ) )
( )( ( ) )
( )( )
( )( )
2
3 3
2
2 2 3 3
8 11 11 11 3 7 3 7
lim
3
3 11 11
x
x x x x x
x x x
x x x x
→
+ − + + + +
− + + +
= +
− + + +
− + + + + +
( )( ( ) )
( )
( )( )
2 2 3 3
9
8 11 27 lim
3
3 11 11
x
x x
x x x
x x x x
→
− +
+ −
= +
− + + +
− + + + + +
(65)( )
( )( ) (( ) ) ( )( )( )
2 3 3
8 2
lim
1
1 11 11
x
x x
x x x
x x x x
→
−
−
= +
− − + +
− − + + + +
( ) (( ) ) ( )( )
2 3 3
8
lim
27 54
1
1 11 11
x x x
x x x
→
= − = − =
− + +
− + + + +
11)
3
0
2
lim
x
x x
I
x →
+ − − =
Ta có
3
0
2 2 2
lim lim
x x
x x x x
I
x x x
→ →
+ − + − − + − − −
= = +
( )( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
2
3 3
0 3 3
2 8
2 1 1
lim
1 4 8 8
x
x x x
x x
x x x x x
→
− − + − + −
+ − + +
= +
+ + + − + −
( )
( ) ( ( )( ) )
0 3 3
2 1 8
lim
1 4 8 8
x
x x
x x x x x
→
+ − − −
= +
+ + + − + −
( )2
0 3 3
2 13
lim
2 12 12
1 4 8 8
x x
x x
→
= + = + =
+ + + − + −
12)
3
1
3
lim
1
x
x x
I
x →
+ − +
=
−
Ta có
3
1
3 2 3 2
lim lim
1 1
x x
x x x x
I
x x x
→ →
+ − + − + + − − +
= = +
− − −
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
2
3 3
1 2 3 2
3
3 5 2 3 2 3
lim
1
1 5
x
x x x x x
x x
x x x
→
+ − + + + +
− + + +
= +
− + + + + − + +
( ) ( )
( )
( )( )
2
1 2 3 2
3
4
3
lim
1
1 5
x
x x
x x
x x x
→
+ − − +
= +
− + + + + − + +
( )
( ) ( ) ( )( )
2
1 2 3 2
3
3 1
lim
1
1 5
x
x x
x x
x x x
→
− −
= +
− + + + + − + +
(66)Page
66
( )
( )2
1 2 3 2
3
3 1 1
lim
12 4
2
3 5
x
x
x
x x
→
+
= − = − =
+ +
+ + + +
13)
2
1
7
lim
1
x
x x
I
x →
+ − −
=
−
Ta có
2
3
1
7 2 2
lim lim
1 1
x x
x x x x
I
x x x
→ →
+ − + − − + − − −
= = +
− − −
( )( ( ) )
( ) (( ) )
( )( )
( )( )
2
3 3 2
1 3 3
7 7 5
lim
1
1 7
x
x x x x x
x x
x x x
→
+ − + + + + − − + −
= +
− + −
− + + + +
( ) (( ) )
( )
( )( )
2
1 3 3
4
lim
1
1 7
x
x x
x x
x x x
→
− −
+ −
= +
− + −
− + + + +
( ) (( ) ) ( )( )
2
1 3 3
1
lim
1
1 7
x
x x
x x
x x x
→
− −
= +
− + −
− + + + +
( )2
1 3
1 1
lim
12 12
7
x
x x
x x
→
+
= + = + =
+ + + + + −
14)
3
2
3
lim
2
x
x x
I
x →
+ − − =
−
Ta có
3
2
3 2 3 2
lim lim
2 2
x x
x x x x
I
x x x
→ →
+ − + − − + − − −
= = +
− − −
( )( ( ) )
( ) (( ) )
( )( )
( )( )
2
3 3
2 3
3
3 2 2 2 3 2 2 3 2
lim
2
2 2
x
x x x x x
x x
x x x
→
+ − + + + +
− − + −
= +
− + −
− + + + +
( ) (( ) )
( )
( )( )
2 3 3
4
3 lim
2
2 2
x
x x
x x
x x x
→
− −
+ −
= +
− + −
− + + + +
( )
( ) (( ) ) ( )( )
2 3 3
3
lim
2
2 2
x
x x
x x
x x x
→
−
−
= +
− + −
− + + + +
( )2
2 3 3
3 3
lim
12
2
3 2
x x
x x
→
−
= − = + = −
+ + + + + −
(67)15)
3
2
3
lim
2
x
x x
I
x →
+ − − =
−
Ta có
3
2
3 2 2
lim lim
2 2
x x
x x x x
I
x x x
→ →
+ − + − − + − − −
= = +
− − −
( )( ( ) )
( ) (( ) )
( )( )
( )( )
2
3 3
2 3
3
3 2 2 2 5 6 2 5 6
lim
2
2 2
x
x x x x x
x x
x x x
→
+ − + + + +
− − + −
= +
− + −
− + + + +
( ) (( ) )
( )
( )( )
2 3
3
4
3 lim
2
2 2
x
x x
x x
x x x
→
− −
+ −
= +
− + −
− + + + +
( )
( ) (( ) ) ( )( )
2 3
3
3 10
lim
2
2 2
x
x x
x x
x x x
→
−
−
= +
− + −
− + + + +
( )2
2 3 3
3 5
lim
12
2
3 2
x x
x x
→
−
= − = + = −
+ + + + + −
16)
3
2
2 11
lim
4
x
x x x
I
x →
+ + − +
=
−
Ta có
3
2 2
2
2 11 3 11 3
lim lim
4 4
x x
x x x x x x
I
x x x
→ →
+ + − + − + + + − − +
= = +
− − −
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
2
3 3
2
2 2 2 3 2
3
2 11 11 11 3 7 3 7
lim
4
4 11 11
x
x x x x x x x x
x x
x x x x x
→
+ + − + + + + + +
− + + +
= +
− + + + + + + − + +
( ) ( )
( )
( )( )
2
2
2 2 2 3 2
3
9
2 11 27 lim
4
4 11 11
x
x
x x
x x
x x x x x
→
+ + − − +
= +
− + + + + + + − + +
( ) ( ) ( )( )
2
2
2 2 2 3 2
3
2 16
lim
4
4 11 11
x
x x x
x x
x x x x x
→
+ − −
= +
− + + + + + + − + +
( )( )
( ) ( ) ( )( )
2
2
lim
4
x
x x x
x x
→
− + −
= +
(68)Page
68
( )
( ) ( ) ( )( )
2 2 3 2
3
2 12
lim
108 24 72
2
2 11 11
x
x
x x
x x x x x
→
+ −
= − = + =
+ + + + + + + + + +
17)
3
3
2
5
lim
1
x
x x
I
x →
− − +
=
−
Ta có
3
3
2 2
1
5 2 2
lim lim
1 1
x x
x x x x
I
x x x
→ →
− − + − + − − − +
= = +
− − −
( )( )
( )( )
( ) ( )
( ) ( )
2
3 3
3
1 2 3 2 2
3
2 7
5
lim
1 1 4 2 7 7
x
x x x
x x
x x x x x
→
− + + + + +
− − − +
= +
− − + − + + + +
( )( ) ( ) ( ) ( )
2
1 2 3 2 2
3
8
5
lim
1 1 4 2 7 7
x
x x
x x x x x
→
− − − +
= +
− − + − + + + +
( )( ) ( ) ( )
3
1 2 3 2 2
3
1
lim
1 1 4 2 7 7
x
x x
x x x x x
→
− −
= +
− − + − + + + +
( )
( )( ) ( )
2
2
1 3 2 2
3
1 1 3 1 11
lim
8 12 24
1 4 2 7 7
x
x x
x x x x
→
− + +
− −
= + = − + = −
+ − + + + + +
18)
3
2
3 24
lim
4
x
x x x
I
x →
− + + − −
=
−
Ta có
3
2
3 24 2 8
lim
4
x
x x x
I
x →
− − + + − + − −
=
−
1
3
2 2
2 2
3 24 2 8
lim lim lim
4 4
x x x
I I I
x x x
x x x
→ → →
− − + − − −
= + +
− − −
1 I
3
2
3 24 lim
4
x
x x →
− −
=
−
( )
( )
2
3 3 3
2
2 2 3 3 3 3 2
3 24 24 24.2
lim
4 24 24.2
x
x x x
x x x
→
− − − + − +
=
− − + − +
(69)( )
( ) ( )
3
2
3
2 3
3 24 lim
4 24 24.2
x
x
x x x
→
− −
=
− − + − +
( )
( ) ( )
3
2
3
2 3
3.4 lim
4 24 24.2
x
x
x x x
→
− =
− − + − +
( )( )
( )( ) ( )
2
2
3 3
12 2
lim
2 24 24.2
x
x x x
x x x x
→
− + +
=
− + − + − +
( )
( ) ( )
2
2
2 3 3 3 3 2
12
lim
2 24 24.2
x
x x
x x x
→
− + +
=
+ − + − +
144 48
= − = −
2
I 2
2
2
lim
x
x x →
+ − =
−
( )( )
( 2)( )
2
2 2
lim
4 2
x
x x
x x
→
+ − + +
=
− + +
( )
( )( )( )
2
2 lim
2 2
x
x
x x x
→
+ − =
− + + +
( )( )
1
lim
16
2 2
x→ x x
−
= = −
+ + +
3
I 2
2
8
lim
x
x x →
− −
=
−
( )( )
( 2)( )
2
8 3 lim
4
x
x x
x x
→
− − + −
=
− + −
( )
( )
( )( )
2
8 lim
2
x
x
x x
→
− −
=
+ −
( )
( )( )( )
2
8.2 lim
2 2
x
x
x x x
→
− =
− + + + 2( )( )
16 lim
2 1
x
x x
→ =
+ + + −
16
= =
1
3
16
I = − − + 17
16
= −
Bài Tính giới hạn sau:
1 ( )
lim
x→+ x − x ĐS: + ( )
3
lim
x→− x − x + ĐS: −
3 ( )
lim
x→+ − −x x + x+ ĐS: − ( )
3
lim
x→− − +x x− ĐS: +
5 ( )
lim
x→+ x − x + ĐS: + ( )
4
lim 10
x→− x − x + ĐS: +
7 ( )
lim
x→+ − +x x + ĐS: − ( )
4
lim
x→− − − +x x ĐS: −
9
lim
x→ x − x+ ĐS: + 10 ( )
2
lim
x→− x + +x ĐS: +
11 ( )
lim
x→− x + + +x x ĐS: − 12 ( )
2
lim
x→+ x + + −x x ĐS: +
(70)Page
70
14 lim( 16 3)
x→− x+ + x+ ĐS: không tồn giới hạn
Lời giải
1 lim 2( 3 )
x
I x x
→+
= −
Ta có lim 2( 3 )
x
I x x
→+
= −
2
3
lim
x→+x x
= − = + (vì
3
lim
x→+x = +
3
lim 2
x→+ x
− =
)
lim( 3 2)
x
I x x
→−
= − +
Ta có lim( 3 2)
x
I x x
→−
= − +
3
3
lim
x→−x x x
= − + = −
(vì
3
lim
x→−x = −
3
3
lim 1
x→− x x
− + =
)
3 lim( 1)
x
I x x x
→+
= − − + +
Ta có lim 92 13
x
I x
x x x →+
= − − + + = −
(vì lim
x→+x = +
6
lim 1
x→+ x x x
− − + + = −
)
4 lim( 3 1)
x
I x x
→−
= − + −
Ta có lim 32 13
x
I x
x x →−
= − + − = +
(vì
3
lim
x→−x = −
3
lim 1
x→− x x
− + − = −
)
5 lim( 2 1)
x
I x x
→+
= − +
Ta có lim 22 14
x
I x
x x →+
= − + = +
(vì
4
lim
x→+x = +
2
lim 1
x→+ x x
− + =
)
6 lim( 10)
x
I x x
→−
= − +
Ta có lim 82 104
x
I x
x x →−
= − + =
(vì
4
lim
x→−x = +
8 10
lim 1
x→− x x
− + =
)
7 lim( 2 3)
x
I x x
→+
= − + +
Ta có
2
2
lim
x
I x
x x →+
= − + + = −
(
4
lim
x→+x = +
2
lim 1
x→+ x x
− + + = −
)
8 lim( 6)
x
I x x
→−
= − − +
Ta có
2
1
lim
x
I x
x x →−
= − − + = −
(vì
4
lim
x→−x = +
1
lim 1
x→− x x
− − + = −
)
9 lim
x
I x x
→
= − +
Ta có lim 42
x
I x
x x
→
= − +
3
lim
x→ x x x
= − + = +
(vì lim
x→ x = +
3
lim 1
x→ x x
− + =
)
10 ( )
lim
x
I x x
→−
(71)Ta có lim( 2 )
x
I x x
→−
= + + lim 12
x→−x x
= − + + = +
(vì lim
x→−x= −
1
lim 2
x→− x
− + + = − +
)
11 ( )
lim
x
I x x x
→−
= + + + lim 1 12
x→−x x x
= − + + + = −
(vì lim
x→−x= −,
1
lim
x→− x x
− + + + =
)
12 lim( )
x
I x x x
→+
= + + − lim 12
x→+x x x
= + + − = +
(vì lim
x→+x= +,
1
lim 1
x→+ x x
= + + − =
)
13 lim( 1)
x
I x x
→+
= + − + lim 1
x→+ x x x
= + − + = −
(vì lim
x→+ x = +,
1
lim
x→+ x x x
= + − + = −
)
14 lim ( 16 3)
x
I x x
→−
= + + +
Tập xác định hàm số f x( )= 16x+ +7 9x+3 1;
D= − +
Ta có x→ − hàm số f x( )= 16x+ +7 9x+3 không xác định Do
( )
lim 16
x→− x+ + x+ không tồn
Bài Tính giới hạn sau:
1 lim
x
x x →+
+
− ĐS:
2 lim
1
x
x x
→− + ĐS:
3 lim
x
x x →+
−
− ĐS:
1
− lim
1
x
x x →−
−
+ ĐS:
5
3
3
2
lim
1
x
x x
x x
→+
+ −
− − + ĐS: −2
( )
( )( )
2
2
3
lim
5
x
x x
x x x
→+
−
− + ĐS:
6
7
4
4
2 15
lim
1
x
x x
x →−
+ −
+ ĐS:
( )( )
( )( )
2
3
4
lim
2
x
x x
x x
→+
+ −
− + ĐS:
9 ( ) ( )
( )
2
4
1
lim
3
x
x x
x →−
− +
+ ĐS:
25
81 10
( ) ( )
( ) ( )
4
5
1
lim
2
x
x x
x x
→−
+ −
+ + ĐS:
1
−
11 ( ) ( )
( )( )
2
2
2
lim
2 1
x
x x
x x
→−
+ +
+ − ĐS: − 12
( ) ( )
( )
3
5
2 lim
1
x
x x
x x →−
+ −
− ĐS:
1 32
(72)Page 72 13 2 lim
3
x x x x x →− − − +
ĐS:
2 14 3 lim x x x x →− − +
− ĐS:
15 2 lim x x x x x →+ + +
+ + ĐS: 16
( )( )
( )( )
2
3
4
lim
2
x
x x
x x
→+
+ −
− + ĐS:
17 ( )( )
2
2
4
lim x x x x x →− + +
− + ĐS: − 18
3 2 lim x x x x x →+ + +
+ + ĐS: +
19 3 2 lim x
x x x
x x
→−
+ + +
+ + ĐS: − 20
4 3 2 lim x
x x x
x x
→+
+ + +
− ĐS: −
21 11 lim x x x x →+ − +
− ĐS: + 22
4 2 lim x x x x →+ + −
− ĐS: +
23 lim x x x x →+ −
− ĐS: + 24 ( )( )
5 3 lim x x x
x x x
→+
+ −
− + ĐS:
25 3 lim x x x x →+ + +
+ ĐS: 26
4 2 lim x x x x →+ + −
− ĐS: − Lời giải
1 lim x x I x →+ + = − lim 1 x x x x x →+ + = − lim 1 x x x →+ + = − =
2 lim x x I x →− = + lim 1 x x x x →− + lim 1 x x →− = + =
3 lim x x I x →+ − = − 1 lim x x x x x →+ − = − 1 lim 2 x x x →+ − = = − −
4 lim x x I x →− − = + lim 1 x x x x x →− − = + lim 1 x x x →− − = + = 3
2
lim x x x I x x →+ + − = − − + 3 3 lim 1 x x x x x x x →+ + − = − − + 3 lim 1 x x x x x →+ + − = − − − + 2 lim x x x x I x x x x →+ − = − + lim
1
(73)7
4
4
2 15
lim x x x I x →− + − = + 4 4 15 lim 1 x x x x x x →− + − = + 4 15 lim 1 x x x x →− + − = = +
8 ( )( )
( )( )
2
3
4
lim
2
x x x I x x →+ + − = − + 2 3 1 lim x x x x x x x x x →+ + − = − + 1 lim x x x x x x x →+ + − = = − +
9 ( ) ( )
( )
2
4
1
lim x x x I x →− − + = + 2 2 4 lim x x x x x x x →− − + = + 2 25 lim 81 x x x x →− − + = = +
10 ( ) ( )
( ) ( )
4
5 2
1
lim
2
x x x I x x →− + − = + + 4 5 2 1 lim x x x x x x x x x →− + − = + + 1 lim x x x x x →− + − = = − + +
11 ( ) ( )
( )( ) 2 2 2 lim
2 1
x x x I x x →− + + = + − 2 2 2 1 lim 1 x x x x x x x x x →− + + = + − 2 2 2
1
lim 1 x x x x x x →− + + = = − + −
(vì lim
x→−x= −,
2 2 2 1 lim 1 x x x x x →− + + = + − )
12 ( ) ( )
( ) 2 lim x x x I x x →− + − = − 4 5 2 1 lim x x x x x x x x →− + − = − 1 1 lim 32 x x x x →− + − = = − − 13 2 lim
3
x x x I x x →− = − − + Ta có 2 lim
3
x x x I x x →− = − − + ( ) ( ) ( )( )
3 2
2
3
lim
3
x
x x x x
x x →− + − − = − + ( )( ) 2 lim
3
x x x x x →− + = − + lim 3 x x x x x x x →− + = − + 2 lim
4
3 x x x x →− + = = − + 14
lim x x
I = − +
−
2
2
3
lim
x
x x x
− + =
3
lim x x x
− +
=
(74)Page
74
Bài Tính giới hạn sau:
1 lim x x x + → −
− ĐS: − 2
15 lim x x x + → −
− ĐS: −
3 lim x x x − → −
− ĐS: + ( )2
4 lim x x x − → −
− ĐS: −
5 lim x x x − → − +
− ĐS: +
3 lim x x x − → −
− ĐS: −
7 lim x x x + → −
− ĐS: −
1 lim x x x + → +
− ĐS: +
9 3 lim 15 x x x + → −
− ĐS:
1
5 10 ( )3
7 lim x x x − → − −
+ ĐS: −
11 2
2
2 lim
2
x x x x − → −
− + ĐS:
1
3 12
1 lim x x x x + → −
+ − ĐS:
1
13 3
1 lim x x x x − → −
+ − ĐS:
1
− 14
2 lim x x x x + → − +
− ĐS:
15 lim x x x → −
− ĐS: không tồn 16 4
4 lim 20 x x x x → −
+ − ĐS: không tồn
17 2 lim 1 x x x − → −
− − ĐS: 18
3 lim
5 11
x x x − → −
− − ĐS:
4 − 19 2 lim 1 x x x − → −
− − ĐS: −3 20
2 25 lim x x x − → −
− − ĐS: −30
21
( )2 3 lim x x x + → −
− ĐS: + 22
3 2 25 lim x x x x → + −
− − ĐS:
1 81 23 2 lim 16 x x x + → +
− ĐS: + 24
lim x x x x x + → +
− ĐS: −1
25 2 lim x x x + → −
− ĐS: 26
2 lim x x x x x + → +
− ĐS: −2
27 ( ) ( )( ) lim 1 x x x x x + → − + +
+ − − ĐS: 28
2 lim x x x x − → − +
− ĐS:
1 − 29 2 lim x x x x x − → − +
− + − ĐS: − 30 ( )
2 lim x x x x x + → − + +
+ ĐS:
31 ( ) 2
2 lim x x x x +
→ − − ĐS: 32 ( ) ( )
3 lim 1 x x x x +
→ − + − ĐS:
33 ( ) 2
1 lim x x x x x + → + −
+ − ĐS: 34
1 lim
2 1
x x x x x − → −
− + − ĐS:
1 35 lim x x x x + → −
ĐS: 36 ( ) ( )
2
2
lim x x x x + → − + −
(75)37 2
2
1
lim
2
x→ − x x
−
− −
ĐS: − 38
3 lim x x x x x − → − +
− + ĐS:
3 − Lời giải 1 lim x x x + → − = −
−
( )
( )
1
lim
lim
1 0,
x x x x x x + + → → + − = − − = − → 2 15 lim x x x + → − = −
−
( )
( )
2
2
lim 15 13
lim
2 0,
x x x x x x + + → → + − = − − = − → lim x x x − → − = +
−
( )
( )
3
3
lim
lim
3 0,
x x x x x x − − → → − − = − − = − →
( )2 lim x x x − → − = − −
( ) ( ) ( ) 4
lim
lim
4 0,
x x x x x x − − → → − − = − − = − → lim x x x − → − + = +
−
( )
( )
2
2
lim
lim
2 0,
x x x x x x − − → → − − + = − − = − → lim x x x − → − = −
−
( )
( )
1
1
lim
lim
1 0,
x x x x x x − − → → − − = − = − → lim x x x + → − = −
−
( )
( )
2
2
lim
lim
4 0,
x x x x x x + + → → + − = − − = − → lim x x x + → + = +
−
( )
( )
2
2
lim
lim
2 0,
x x x x x x + + → → + + = − = − →
9 Do x→3+ nên x− = −3 x suy
3
3
lim lim
5 15 15
x x x x x x + + → → − = − =
− −
1 lim
5
x→+
=
10
( )3
7 lim x x x − → − − = −
+
( ) ( )
( )
3
3
lim 22
lim
(76)Page
76
11 Do x→2− nên 2− = −x x suy
( )( )
2
2
2
lim lim
2 2
x x
x x
x x x x
− −
→ →
− = −
− + − −
2
1
lim
2
x→− x
= =
−
12 Do x→1+ nên x− = −1 x suy
( )( )
3
1
1
lim lim
2 2
x x
x x
x x x x x
+ +
→ →
− = −
+ − − + +
2
1
lim
2
x→+ x x
=
+ +
13 Do x→1− nên x− = −1 x suy
( )( )
3
1
1
lim lim
2 2
x x
x x
x x x x x
− −
→ →
− = −
+ − − + +
2
1
lim
2
x→− x x
−
= −
+ +
14 Ta có ( )( )
3 2
x − x+ = x− x− , x→2+ nên
3
x − x+ , suy
( )( ) ( )
2
2 2
3 2
lim lim lim 1
2
x x x
x x x x
x
x x
+ + +
→ → →
− + − −
= = − =
− −
15 Ta có ( )( )
2
3
9 3
lim lim
3
x x
x x x
x x
→ →
− + −
=
− −
TH1: x3 ta có ( )( ) ( )
2
3 3
9 3
lim lim lim
3
x x x
x x x
x
x x
+ + +
→ → →
− + −
= = + =
− −
TH2: x3 ta có ( )( ) ( )
2
3 3
9 3
lim lim lim
3
x x x
x x x
x
x x
− − −
→ → →
− − + −
= = − − = −
− −
Do
2
3
9
lim lim
3
x x
x x
x x
+ −
→ →
− −
− − nên không tồn
3
9 lim
3
x
x x →
− −
16 Ta có
( )( )
2
4
4
lim lim
4
20
x x
x x
x x
x x
→ →
− = −
− +
+ −
TH1: x4, ta có
( )( )
2
4 4
4 1
lim lim lim
4 5
20
x x x
x x
x x x
x x
+ + +
→ → →
− = − = =
− + +
+ −
TH2: x4, ta có
( )( )
2
4 4
4 1
lim lim lim
4 5
20
x x x
x x
x x x
x x
+ − −
→ → →
− = − = − =−
− + +
+ −
Do
2
4 lim
20
x
x x x +
→
−
+ − 4
4 lim
20
x
x x x −
→
−
+ − nên không tồn 4
4 lim
20
x
x x x →
− + −
17 Do x→2− nên x− = −2 x suy
2
2 lim
1
x
x x − →
− − −
( )( )
2
2 1
lim
1
x
x x
x −
→
− − +
=
− −
( )
2
lim 1
x→ − x− + =
18 Do x→3− nên x− = −2 x suy
3
3 lim
5 11
x
x x − →
− − −
( )( )
3
3 11
lim
5 11
x
x x
x −
→
− − +
=
− −
( )
3
5 11 4
lim
5
x
x −
→
− − +
(77)19 Do x→2− nên x− = −2 x suy 2 lim 1 x x x − → − − −
( )( )
3
2
2 1
lim
1
x
x x x
x − → − − + − + = − − ( )
( )
3
2
lim 1
x→− x x
= − − + − + = −
20 Ta có ( )( )
25 5
x − = x− x+ , x→5− nên x2−250, suy
2 25 lim x x x − → − − −
( 2)( )
3
5
25 4
lim
4
x
x x x
x − → − − + − + = − − ( ( ))( ) 3
lim 4 30
x
x x x
− →
= − + − + − + = −
21
( )2 3 lim x x x + → − = +
− ,
( ) ( ) ( ) 3
lim
lim
3 0,
x x x x x x + + → → + − = − = − →
22 Ta có
3 2 25 lim x x x x → + −
− − 2( )( )( )
3
25 27 lim
2 25 25
x
x
x x x x
→
+ −
=
− + + + + +
( )( )
2 3
1
lim
81
1 25 25
x
x x x
→ = = + + + + + 23 2 lim 16 x x x + → + = +
− ,
( )
2 2
2
lim
lim 16
4 16 0,
x x x x x x + + → → + + = − = − → 24 lim x x x x x + → + − ( ) ( ) 0 1
lim lim
1
x x
x x x
x x x + + → → + + = = = − − − 25 2 lim x x x + → − − ( )( ) ( ) 2 2
lim lim 2
2 x x x x x x x + + → → − + = = − + = − 26 lim x x x x x + → + − = ( ) ( ) 0 2
lim lim
1
x x
x x x
x x x + + → → + + = = − − −
27 Ta có
( ) ( )( ) lim 1 x x x x x + → − + +
+ − − ( )1 ( ) ( )1
2
lim lim
1
1 1
x x
x x x
x x x + + → − → − + + + = = = − + + − +
28 Ta có x2−6x+ =9 (x−3)2 = −x 3, x→3− nên x2−6x+ = −9 x, suy
2 lim x x x x − → − + − ( )( ) 2
3 3
6 1
lim lim lim
9 3
x x x
x x x
x x x x
− − −
→ → →
− + − −
= = = = −
− − + +
29 Do x→1− nên x− 1 0, từ ta có
2 lim x x x x x − → − + − + − ( )( ) ( )( ) 1 lim x x x x x − → − − =
− − − ( )( )
1 lim x x x x x − → − − =
− − − ( )
3 lim x x x x − → − = − −
lim −x
(78)Page 78 lim x x x − → − = −
−
1 lim
1
x→− x
= + − 30 ( ) lim x x x x x + → − + + + ( ) ( )( ) 1 lim x x x x x + → − + + = + ( ) ( ) 1 lim x x x x + → − + + = =
31 ( ) 2
2 lim x x x x + → − − ( ) ( )( ) ( ) 2
lim lim
2 2
x x
x x x
x
x x x
+ +
→ →
−
= − = =
− + +
32 Ta có
( ) ( ) lim 1 x x x x + → − + − ( ) ( )( ) ( )( )
lim 1
1
x
x
x x x
x x + → − = + − + − + ( ) ( ) ( ) 1
lim
1 x x x x x x + → − + = − + = −
33 Do x→1+ nên 1− x 0, ta có
( ) 2
1 lim x x x x x + → + − + − ( )( ) ( )( ) lim x x x x x + → + − = − + ( )( ) lim x x x x + → + − = = + 34 ( ) 1 1 lim lim
2 1
x x
x x x x
x x x x
− −
→ →
− = −
− + − − + −
1 lim 2 x x x − → = = + − 35 lim x x x x + → − ( ) lim x x x x + → − =
( )
lim
x x x + → = − = 36 ( ) ( ) 2
2
lim x x x x + → − + − + ( ) ( )( )
( )2 ( )
3
2
lim lim
3
x x
x x x
x x + + → − → − − + − = = = − + +
37 2
2
1
lim
2
x→ − x x
−
− −
( )( )
2 lim 2 x x x x − → + − = − +
1 lim 2 x x x x − → + = = − + −
38 Do x→1− nên x− 1 0, suy (x−1)2 = − = −x 1 x nên ta có
3 lim x x x x x − → − + − + ( )( ) ( )( ) 2 lim x x x x x − → + − = − + ( ) ( )( ) 1 lim x x x x x − → − + =
− +
2 lim x x x − → − + = = − +
Bài Tính giới hạn sau:
1) sin lim x x x
→ ĐS: 2)
tan lim x x x
→ ĐS:
2
3) 2
0 cos lim x x x → −
ĐS:
2 4)
sin sin sin lim
45
x
x x x
x
→ ĐS:
1
5)
0
1 cos lim
1 cos
x x x → − − 6)
1 cos lim sin x x x x → −
ĐS:
7) ( )
0 sin lim cos x x ax a ax
→ − ĐS:
2
a 8)
1 cos lim cos x ax bx → −
− ĐS: 2 a b
9) 2 ( )
0
1 cos
lim ;
x x a x → −
ĐS:
2
2
a
10) 3
(79)11) 3
0
tan sin
lim
sin
x
x x
x →
−
ĐS:1
2 12)
sin sin
lim
x a
x a
x a →
−
− ĐS: cosa
13) limcos cos
x b
x b
x b →
−
− ĐS:−sinb 14)
1
lim
sin
x
x x →
− +
ĐS:
2
−
15) ( ) ( )
0
cos cos
lim
x
a x a x
x →
+ − −
ĐS: −2sina 16) limtan tan
x c
x c
x c →
−
− ĐS:
1 cos c
17)
3
0
1 cos lim
sin
x
x
x x
→ −
ĐS:
2 18)
2
2
sin sin lim
x a
x a
x a
→
−
− ĐS:
sin 2
a a
19) 2
0
cos cos lim
x
x x
x
→
−
ĐS:
2
2
−
20)
( )
3
2
8 lim
tan
x
x x →−
+
+ ĐS:12
21)
0
1 cos cos cos
lim
1 cos
x
x x x
x →
−
− ĐS:1422)
( ) ( )
2
sin 2sin sin
lim
x
a x a x a
x →
+ − + +
ĐS:−sin( )
23)
0
sin tan
lim ;( 0)
( )
x
ax bx
a b a b x
→
+
+
+ ĐS: 24) 0
cos cos cos lim
x
x x x
x →
−
ĐS: 33
2
−
25)
0
cos cos cos
lim
1 cos
x
ax bx cx
x →
−
− ĐS:
2 2
2
b −a −c
26) ( ) ( )
0
sin sin
lim
tan( ) tan( )
x
a x a x
a x a x
→
+ − −
+ − − ĐS:
3
cos a
27)
3
0
2 1
lim
sin
x
x x
x →
+ − +
ĐS: 28)
2
sin sin sin lim
x
x x x
x →
−
ĐS:
29)
2
cos
lim
2
x
x x
→− +
ĐS: 30)
0 2
sin sin lim
1 sin
x
x x
x x
→
−
−
ĐS: -1
31)
2
1 cos
lim
x
x x
x →
+ −
ĐS: 32) 3
0
1 tan sin
lim
x
x x
x →
+ − +
ĐS:
33) 2
0
1 cos cos
lim
sin 11
x
x x
x →
−
ĐS: 37
121 34)
3
lim
tan( 1)
x
x x →
+ − − ĐS:
1
35)
( )2
1 cos
lim
x
x x
→ +
− ĐS:
1
2 36)
sin( 1) lim
4
x
x
x x
→
−
− + ĐS:
1
−
37)
2
1 cos
lim
x
x x
x →
+ −
ĐS:
2 38)
1 cos cos lim
x
x x
x →
−
ĐS:3
Lời giải.
1)
0
sin sin
lim lim 5
5
x x
x x
x x
→ →
= =
(80)Page
80
3)
2
2
0 0
2 sin sin
1 cos 2
lim lim lim
4
2
x x x
x x
x
x
x x
→ → →
− = = =
4) 3
0
sin sin sin sin sin sin
lim lim
45 3
x x
x x x x x x
x x x x
→ →
= =
5)
2
2
0 2
5
2sin sin
1 cos 2 25 2 2 25
lim lim lim
3
1 cos 9
2sin sin
2 2
x x x
x x x
x
x x x
x
→ → →
− = = =
−
6)
2 2
2
0 0
1 cos sin 4sin cos sin
lim lim lim lim cos
sin sin
x x x x
x x x x x
x
x x x x x x
→ → → →
− = = = =
7)
2
2
0 2
sin sin sin 2
lim lim lim
1 cos
2sin sin
2
x x x
ax
x ax x ax ax
a
ax ax
ax ax a a
→ → →
= = =
−
8)
2
2
2
2
0 2
2sin sin
1 cos 2 2 2
lim lim lim
1 cos 2sin sin
2 2
x x x
ax ax bx
ax a a
bx ax bx
bx b b
→ → →
− = = =
−
9)
2
2
2
0 0
2sin sin
1 cos 2 2
lim lim lim
4
2
x x x
ax ax
ax a a
ax
x x
→ → →
− = = =
10) Ta có 3 (3 )
0
sin cos sin tan
lim lim
cos
x x
x x
x x
x x x
→ →
−
− =
2
3
0
2sin sin sin
2 sin 1
2
lim lim
cos cos
2
x x
x x
x
x
x
x x x x
→ →
−
= = − = −
11) ( )
( ) ( )
3
0 0
sin cos
tan sin 1
lim lim lim
sin cos sin cos cos cos
x x x
x x
x x
x x x x x x
→ → →
−
− = = =
+
−
12) Ta có
2 cos sin
sin sin 2 2
lim lim
x a
x a
x a x a
x a
x a → x a
→
+ −
− =
− −
sin
lim cos cos
2
2
x a
x a x a
a x a
→
−
+
= − =
(81)13) Ta có
2 sin sin
cos cos 2 2
lim lim
x b x b
x b x b
x b
x b x b
→ →
+ −
−
− =
− −
sin
lim sin sin
2
2
x b
x b x b
b x b
→
−
+
= − − = −
14) Ta có
( )
0
1 1
lim lim
sin sin 2 1 2 1
x x
x x
x x x
→ →
− + = − −
+ +
1
lim
sin 2
1
x
x x x
→
= − = − + +
15) Ta có
0
2 sin sin
cos( ) cos( ) 2 2
lim lim
x x
a x a x a x a x
a x a x
x x
→ →
+ + − + − + −
+ − −
=
0
sin
lim 2sin 2sin
x
x
a a
x →
= − = −
16) ( )
( ) ( )
sin sin
tan tan 1
lim lim lim
cos cos cos cos cos
x c x c x c
x c x c
x c
x c x c x c x c x c c
→ → →
− −
−
= = =
− − −
17) Ta có ( )( )
2
0
1 cos cos cos
1 cos
lim lim
sin sin
x x
x x x
x
x x x x
→ →
− + +
− =
( )
2
2
0
2sin cos cos sin
1 cos cos
2
lim lim
2
2 sin cos cos
2 2
x x
x x
x x
x x
x x x x
x
→ →
+ + + +
= = =
18) Ta có
( )( )
2
2
1 cos cos
sin sin 2 2
lim lim
x a x a
x a
x a
x a x a x a
→ →
− − −
− =
− − +
( ) ( )
2sin sin cos cos
lim lim
2( )( ) 2( )( )
x a x a
a x a x
a x
x a x a x a x a
→ →
− + −
−
= =
− + − +
sin( ) sin( ) sin
lim
2
x a
a x a x a
x a a x a
→
+ −
= =
+ −
19) Ta có
( ) ( )
2
0
2sin sin
cos cos 2 2
lim lim
x x
x x
x x
x x
→ →
+ −
− −
=
( )
( )
( )
( )
2
0
sin sin
2
lim
2 2
2
x
x x
x x
→
+ −
+ − −
= − =
+ −
20) Ta có
( ) ( )( ) ( ) ( )
2
2
2 2
2 2
8
lim lim lim 12
tan tan( 2) tan( 2)
x x x
x x x x
x
x x
x x x
→− →− →−
+ − + +
+
= = − + =
(82)Page
82
2
0 2 2
3 2sin
2sin 2
lim cos cos cos
2sin 2sin
2
x
x x
x x x
x x
→
= + +
2 2
2
0
3 sin
sin 2 2 2
lim cos cos cos 14
3
sin sin sin
2 2
x
x x x
x
x x x
x x x
x →
= + + = + + =
22) Ta có ( ) 2 ( ) 2 ( )
0
sin 2sin( ) sin 2sin cos 2sin
lim lim
x x
a x a x a a x x a x
x x
→ →
+ − + + + − +
=
( )
2
0
4 sin sin
2 sin( )(cos 1) 2
lim lim
x x
x a x
a x x
x x
→ →
− +
+ −
= =
( )
2
0
sin
1 2
lim sin sin
4
x
x
a x a
x →
= − + = −
23) Ta có
0 0
sin tan sin tan
sin tan
lim lim lim
( ) ( )
x x x
ax bx ax bx
ax bx a b
ax bx ax bx ax bx a b
a b x a b x a b a b
→ → →
+
+ +
= = = =
+ + + +
24) Ta có 2 2
0
cos cos cos cos cos cos cos cos
lim lim
x x
x x x x x x x x
x x
→ →
− = − + −
2
2
0
7 sin sin cos sin
2 sin sin cos (1 cos ) 2
lim lim
x x
x
x x x
x x x x
x x
→ →
−
+ −
= =
2
0
7 sin
sin sin 49 2 49 33
lim cos
7
4 2
2
x
x
x x
x
x
x x
→
= − = − = −
25) Ta có 2 2
0
cos cos cos cos cos cos cos cos
lim lim
x x
ax bx cx ax bx bx bx cx
x x
→ →
− − + −
=
( ) ( )
2
0
( ) ( )
2sin sin cos (1 cos ) 2sin sin cos sin
2 2 2
lim lim
x x
b a x b a x
a b x a b x cx
bx cx bx
x x
→ →
− −
+ +
+ − −
= =
( )
( )
2
2 2 2 2 2
0
( )
sin sin sin
2 2
lim 2 cos
( )
4 2
2 2
x
b a x
a b x cx
b a c b a c b a c
bx
a b x b a x cx
→
+ −
− − − −
= + − = − =
−
(83)26) Ta có
( ) ( )
( ) ( )
0
sin( ) sin( ) cos sin
lim lim
sin
tan tan
cos cos
x x
a x a x a x
x
a x a x
a x a x
→ →
+ − − =
+ − −
+ −
( ) ( )
0
cos cos cos
lim cos
cos
x
a a x a x
a x
→
+ −
= =
27) Ta có
3
0
2 1 1 1
lim lim
cos sin
x x
x x x x
x x
→ →
+ − + = + − + − +
( )
2
2
3
0
2
2 1 1 1 1
lim
sin
x
x x
x x x
x →
− +
+ + + + + +
=
( )2
3
0
2
2 1 1 1 1
lim
sin
x
x x
x x x
x x →
−
+ + + + + +
= =
28) Ta có ( )
2
4
0
sin sin 2sin cos sin sin sin
lim lim
x x
x x x x
x x x
x x
→ →
−
−
=
( )
4
0
3 sin sin sin sin
2 sin sin cos cos 2 2
lim lim
x x
x x x x
x x x x
x x
→ →
−
= =
0
3 sin sin sin sin 2 2
lim
3 2
2
x
x x
x x
x x
x x
→
= =
29)
2
sin
cos
lim lim
2
x x
x x
x x
→− →−
+
= =
+ +
30) ( )
0 2 0
sin cos
sin sin sin cos
lim lim lim
cos cos
1 2sin
x x x
x x
x x x x
x x x x x
x
→ → →
−
− = = − = −
−
31) Ta có
2
2
0
1 cos 1 cos
lim lim
x x
x x x x
x x
→ →
+ − = + − + −
2
0
1 1 cos lim
x
x x
x x
→
+ − −
= +
( )
2
2
0 2
2sin
1 2
lim
1
x
x x
x
x x
→
+ −
= +
+ +
2
2
sin
1 2 1
lim
2
1
2
2
x
x x x
→
= + = + =
+ +
(84)Page
84
32)
( )
3 3
0
1 tan sin tan sin
lim lim
1 tan sin
x x
x x x x
x x x x
→ →
+ − + + − −
=
+ + +
( )
( )
3
sin cos lim
cos tan sin
x
x x
x x x x
→
− =
+ + + ( )
2
3
2sin sin lim
cos tan sin
x
x x
x x x x
→ =
+ + +
( )
2
0
sin
2 sin 2
lim
4
cos tan sin
2
x
x x
x x
x x x
→
= =
+ + +
33) 2 2 ( )
0
1 cos cos cos cos cos
lim lim
sin 11 sin 11
x x
x x x
x x
x x
→ →
− + −
− = 2
2
0
5
2sin cos sin
2
lim
sin 11 sin 11
x
x x
x
x x
→
= +
2
2
0
5
sin sin
25 2 11 49 2 11
lim cos
5
242 sin11 242 sin11
2
x
x x
x x
x
x x x x
→
= +
25 49 37 242 242 121
= + =
34)
( ) ( )( )
1
3
lim lim
tan tan 1 3 2
x x
x x
x x x
→ →
+ − = + −
− − + + ( )
1 1
lim
tan
3
x
x x x
→
−
= =
− + +
35)
( ) ( )
2
2
2 cos
1 cos 2
lim lim
x x
x x
x x
→ →
+
=
− − ( )
2
2
2sin sin
1
2
lim lim
2
2
x x
x x
x x
→ →
− −
= = =
−
−
36) ( ) ( )
( )( ) ( )
2
1 1
sin sin sin 1
lim lim lim
4 3
x x x
x x x
x x x x x x
→ → →
− − −
= = = −
− + − − − −
37)
2
2
0
1 cos 1 cos
lim lim
x x
x x x x
x x
→ →
+ − + − + −
=
( )
2 2
2 2
0 2
1 1 cos 1 2sin
lim lim
1
x x
x x x x
x x x x x
→ →
+ − − + −
= + = +
+ +
2
2
1 sin
lim 2
2
1
x
x x x
→
= + = + =
+ +
38) 2 2( )
0
1 cos cos cos cos cos
lim lim
x x
x x x
x x
x x
→ →
− + −
(85)( ) ( )
( )
2
2 2 2
0
2sin
cos cos cos 1 cos 2
1 cos 2
lim lim
1 cos
x x
x
x x x x
x
x x x x x
→ →
− − −
= + = +
+
( )
2
2
0
sin sin
1 2 2 sin
lim lim
2 cos 2 cos 2
x x
x x
x x x
x x
→ →
= = = + =
+
+
Bài Tính giới hạn sau:
1)
0
cos cos lim
cos cos
x
x x
x x
→
−
− ĐS:
1
3 2) 6
1 2sin lim
4 cos
x
x x
→ −
− ĐS:
1
3)
2
1 sin cos lim
cos
x
x x
x
→
+ +
ĐS: 24)
0
sin sin lim
sin
x
x x
x →
−
ĐS:
5)
4
2 cos lim
sin
x
x x
→
− −
ĐS: 2 6)
3
0
1 cos
lim sin
x
x x →
−
ĐS:
7)
3
3
sin cos lim
sin
x
x x
x
→
−
ĐS:
−
8)
4
lim tan tan
x
x x
→
−
ĐS:
9)
3
cos cos 2 lim
sin
x
x x
x
→
+ +
ĐS:
3 10)
3
tan lim
2sin
x
x x
→
−
− ĐS:
1 12
−
Lời giải
1)
0 0
sin
cos cos 2sin sin sin
lim lim lim lim
sin
cos cos 2sin sin sin 3
3
x x x x
x
x x x x x x
x
x x x x x
x
→ → → →
− = − = = =
− −
2) 2 2
6 6
1 2sin 2sin 1
lim lim lim
4 cos 4sin 2sin
x x x
x x
x x x
→ → →
− = − = =
− − +
3) ( )
2
2 2
1 sin cos 2 cos sin
lim lim lim cos 2sin
cos cos
x x x
x x x x
x x
x x
→ → →
+ + = + = + =
4)
0 0
sin sin 2cos sin
lim lim lim 2cos
sin sin
x x x
x x x x
x
x x
→ → →
− = = =
(86)Page
86
5)
4 4
2
2 cos 2 cos cos
2
2 cos
lim lim lim
sin sin sin
4 4
x x x
x x
x
x x x
→ → →
−
−
− = =
− − −
4
4 sin sin
8
lim
2 sin cos
2 8
x
x x
x x
→
− + −
=
− −
2sin
8
lim
cos
x
x
x
→
+
= =
−
6) ( )
2
2
0 2 3 3 2
1 cos cos cos
lim lim
tan
sin cos cos
x x
x x
x x
x x x
→ →
−
−
=
+ +
( )
2
0 3 3 2
cos
lim
6 cos cos cos
x
x
x x x
→
= =
+ + +
7)
( ) sin
3 3 3
2sin 3
sin 2sin
3
sin cos
lim lim lim lim
sin sin 3
sin 3
3
x x x x x
x
x x
x x
x x
x
x
→ → → − − − →
−
− −
− = = = = −
− + −
−
−
8)
( )2
2
4 4
2 tan tan tan
lim tan tan lim lim
4 tan tan tan
x x x
x x x
x x
x x x
→ → →
− = − = =
− + +
9)
3
3
3
cos cos 2 cos 3cos cos
lim lim
sin 3sin 4sin
x x
x x x x x
x x x
→ →
+ + = − +
−
( )( )
( )( )
3
2 cos cos cos lim
2sin 2sin sin
x
x x x
x x x
→
− +
=
+ −
( )
3
cos cos cos cos
lim
3
x
x x x
→
− +
=
( )
( )
3
sin cos cos
2
lim
3
cos 2sin sin
2
x
x
x x
x
x x
→
− + +
= =
+ +
10) ( )
( ) ( )
2
2
2 3
4
tan cos tan
lim lim
2sin 1 tan . tan tan 1
x x
x x
x
x x x x
→ →
− − =
− − + +
( ) ( )
2
3
4
cos lim
1 tan tan tan
x
x
x x x
→
− =
+ + +
1 12
(87)Bài 10 Tính giới hạn sau:
1)
0
cos lim
sin
x
x x →
−
ĐS: 2)
0
1 sin cos lim
1 sin cos
x
x x
x x
→
+ −
− − ĐS: 1−
3)
0
sin lim
1 sin cos
x
x
x x
→ − − ĐS: 1− 4)
1 cos lim
sin
x
x x →
−
ĐS:
5)
0
sin sin lim
sin
x
x x
x →
−
ĐS: 6)
0
1
lim
sin tan
x→ x x
−
ĐS:
7) 2
4
2 sin lim
2 cos
x
x x
→
− − ĐS:
2
−
8)
6
sin lim
1 2sin
x
x x
→
−
− ĐS:
2 3
9)
4
sin lim
1 sin
x
x x
→
−
− ĐS: 10)
2
lim cot
sin
x→ x x
−