Phân loại các dạng toán Hàm số môn Toán lớp 9

T ập hợp các điểm M(m;3) là đường thẳng song song với trục hoành và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3 (hình 4). b) Ch ứng minh rằng đồ thị của hàm số đã cho luôn đi qua một điểm [r]

 Sưu tầm

PHÂN LOẠI CÁC DẠNG TOÁN HÀM SỐ LỚP

MỤC LỤC

Chương II HÀM SỐ BẬC NHẤT

§1 NHẮC LẠI VÀ BỔ SUNG CÁC KHÁI NIỆM VỀ HÀM SỐ

§2.HÀM SỐ BẬC NHẤT

§3 ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ 𝑦 =𝑎𝑥+𝑏(𝑎 ≠ 0) 18

§4 ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VÀ ĐƯỜNG THẲNG CẮT NHAU 31

§5 HỆ SỐ GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG y=ax+b (a≠0) 41

Chương II HÀM SỐ BẬC NHẤT

§1 NHẮC LẠI VÀ BỔ SUNG CÁC KHÁI NIỆM VỀ HÀM SỐ §2.HÀM SỐ BẬC NHẤT

A. TRỌNG TÂM KIẾN THỨC 1. Khái niệm hàm số

Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay đổi x cho với giá trị x, ta xác định giá trị tương ứng y y gọi hàm số x, x gọi

biến số

Khi y hàm số x ta viết y= f x( ), y=g x( ),

Khi hàm số cho công thức y= f x( ), ta hiểu biến số x lấy giá trị mà f x( ) xác định Tập hợp giá trị gọi tập xác định hàm số, kí

hiệu D

Giá trị f x( ) x0 kí hiệu f x( )0 hay y0 = f x( )0 Khi x thay đổi mà y nhận giá trị khơng đổi hàm số y gọi hàm

2. Đồ thị hàm số

Tập hợp " "G tất điểm biểu diễn cặp giá trị tương ứng (x f x; ( )) mặt phẳng tọa độ goi đồ thị hàm số y= f x( )

( 0) " "

M x y; ∈ G hay " "G qua điểm ( 0 0) ( )

0

x D

M x y

y f x

∈  ; ⇔ 

=



3. Hàm số đồng biến, nghịch biến

Cho hàm số y= f x( ) xác định D D khoảng đoạn nửa

khoảng với x x1, 2∈D

• Nếu x1<x2 mà f x( )1 < f x( )2 hàm số y= f x( )đồng biến D • Nếu x1<x2 mà f x( )1 > f x( )2 hàm số y= f x( ) nghịch biến D

4. Hàm số bậc

Hàm số bậc hàm số cho công thức y=ax+b, ,a b số cho trước a≠0

Khi b=0, hàm số có dạng y=ax (đã học lớp 7)

Hàm số bậc y=ax b a+ ( ≠0) xác định với x thuộc  Hàm số đồng biến

 a>0, hàm số nghịch biến  a<0

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng 1. TÌM TẬP XÁC ĐỊNH (TXĐ) CỦA HÀM SỐ

Phương pháp giải

Hàm số f x( ) chứa biến số mẫu ( ) ( )

A x

B x (hoặc A x( ) ( ): Β x ), điều kiện: B x( )≠0 Ví dụ 1. Với giá trị x hàm số sau xác định?

a) ( )

2

x

y f x

x

+ = =

− b) y= g x( )= x− +3 5−x Giải

a) f x( ) xác định khi: x2 − ≠ ⇔4 x2 ≠ ⇔ ≠ ±4 x b) g x( ) xác định khi: 3

5

x x x x x − ≥ ≥   ⇔ ⇔ ≤ ≤  − ≥  ≤  

Ví dụ 2. Tìm tập xác định D hàm số ( ) 2

x

y h x x

x − = = : − Giải ( )

h x xác định khi:

2

0

1

0 0 x x x x x x x x x − ≥   ≤  − ≠  ≠ ±  ⇔ ⇔ ∈∅  ≥  ≥    ≠  ≠ 

Vậy tập xác định hàm số D= ∅

(Tức khơng có giá trị x để hàm số xác định)

Ví dụ 3. Tìm tập xác định D hàm số ( ) 2

x

y f x

x

= =

+

Giải

( )

f x xác định khi: x2+ ≠ ⇔1 x2 ≠ − ⇔ ∈1 x  Vậy tập xác định D=

Ví dụ 4. Tìm tập xác định D hàm số

( ) 1

y= f x = x− + −x

Giải

( )

f x xác định khi:

2

1

1 1 x x x x x − ≥ ≥   ⇔ ⇔ =  − ≤ ≤ − ≥  

Vậy tập xác định D={ }1

Dạng 2. TÍNH GIÁ TRỊ CỦA HÀM SỐ KHI BIẾT GIÁ TRỊ CỦA BIẾN SƠ TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIẾN SỐ KHI BIẾT GIÁ TRỊ CỦA HÀM SỐ

Phương pháp giải

Tìm tập xác định D hàm số y= f x( )

• Thế giá trị x= ∈x0 D vào biểu thức hàm số tính giá trị biểu thức (đơi ta rút gọn biểu thức, biến đổi x0 thay vào để tính tốn)

• Thế giá trị y= y0 ta y0 = f x( )

Giải phương trình f x( )= y0 để tìm giá trị biến số x (chú ý: chọn x∈D)

Ví dụ 1. Tính giá trị hàm số ( )

4

y= f x = − x − x=1;x= −1

Giải

TXĐ: 

Ta có: (1) 3.12 1;

4 4

f = − − = − − = −

2

3 3

( 1) ( 1) 1

4 4 4 4

f − = − − − = − − = − − = − = −

Ví dụ 2. Cho hàm số

2

( )

3

x

y f x

x

− = =

+ Khi f(-3) ?

Giải

Điều kiện x≠ −3

Vì x= −3 không thỏa mãn điều kiện nên không tồn ( 3).f −

Ví dụ 3. Cho hàm số y= f x( )=mx+ −m , biết (2) 8.f = Tính (3).f Giải

TXĐ: 

Ta có (2)f = ⇔8 m.2+ − = ⇔m 3m= ⇔9 m=3 ( ) (3) 3.3 11

f x x f

Ví dụ 4. Cho hàm số y= f x( )= −(3 2)x−1 Tìm x, biết ( ) 0.f x =

Giải

TXĐ: 

Ta có ( )f x =0⇔ −(3 2)x− =1 (3 2)

1

3 2 (3 2)

x

x x

⇔ − =

⇔ = ⇔ = + −

Ví dụ 5. Cho hàm số y= f x( )= x+ 1−x a) Tìm x, biết ( ) 1;f x =

b) Tìm x cho ( )f x =0,5;

c) Tìm m để có giá trị x thõa mãn ( )f x =m

Giải

Điều kiện: 0≤ ≤x

a) Ta có: f x( )= ⇔1 x+ 1− = ⇔x ( x+ 1−x)2 =12

2 1

x x x x x x

⇔ + − + − = ⇔ − =

x

⇔ = 1− =x 0

x

⇔ = x=1 (thỏa mãn điều kiện)

b) Ta có: f x( )=0,5⇔ x+ 1− =x 0,5⇔( x+ 1−x)2 =0,5

2 1 0, 25

x x x x

⇔ + − + − = x x 0, 75

⇔ − = − (khơng xảy x 1− ≥x 0) Do khơng có giá trị x để ( ) 0,5.f x =

c) Ta có: f x( )= x+ 1− ⇒x f2( )x =( x+ 1−x)2

( ) 1

f x x x

Mặt khác: 1

2

x x

x − ≤x + − = (dấu xảy

x= ) Do 2

( ) 2

m = f x ≤ ⇒ ≤m

Do 1≤ ≤m có giá trị x thỏa mãn ( )f x =m

Chú ý: Ta chứng minh ( ) 1f x ≥ số cách khác sau:

Cách 1: Sử dụng bất đẳng thức A+ B ≥ A+B với ,A B≥0 (dấu “=” xảy A = B = )

Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức A ≥ A với A thỏa mãn điều kiện 0≤ ≤A

Dạng 3. BIỂU DIỄN ĐIỂM TRÊN MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ

XÁC ĐỊNH KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐIỂM TRÊN MẶT PHẲNG

Phương pháp giải

• Để biểu diễn điểm ( ; )M a b mặt phẳng tọa độ ta làm sau: Kẻ đường thẳng vng góc với trục hoành điểm a

Kẻ đường thẳng vng góc với trục tung điểm b Hai đường thẳng cắt điểm điểm M

• Xác định khoảng cách hai điểm ( ; )A xA yA B(xB;yB) Ta có: AH = xA−xB ;BH = yA−yB

Ta có: AB2 =AH2+BH2⇒ AB= AH2+BH2 hay: AB= (xB−xA)2+(yB −yA)2 (*)

Ví dụ 1. Biểu diễn hai điểm A( )2;1 B( )4;5 mặt phẳng tọa độ Tính khoảng cách hai điểm

Giải

Biểu diễn điểm A, B hình vẽ

Trong ∆ABH , ta có:

 90 ; 4 2 2; 5 1 4.

H = ° AH = − = BH = − =

x y

O a

b M(a;b)

x y

A

H

xB xA

yA yB

B

y

1

B

Áp dụng định lí Py-ta-go vào ∆ABH vng H, ta có:

2 2 2

2 20 20

AB AH BH

AB

= + = + =

⇒ = =

Chú ý: Sau thực hành ta vận dụng công thức (*) Ta có AB= (xB −xA) (2+ yB −yA)2 = (4−2) (2+ −5 1)2 =2

Ví dụ 2. Cho tam giác ABC có A(1;1); B(3;3) C(5;1) a) Tính chu vi tam giác ABC

b) Chứng minh tam giác ABC vuông cân

Giải

a) Ta có: AB= (3 1− ) (2+ −3 1)2 = =2 ( ) (2 )2 ( ) (2 )2

5 1 4; 3 4 2

AC = − + − = BC = − + − = + =

Vậy chu vi tam giác ABC là:

( )

2 2 4

AB+BC+AC = + + = +

b) Ta có:

• AB=BC=2 2, suy ∆ABC cân B (1)

• ( )

2

2

2 2

2

2 16

AB BC

AB BC AC

AC

 = = =

 ⇒ + =



 = = 

ABC

⇒ ∆ vuông B (2)

Từ (1) (2) suy ∆ABC vng cân B

Ví dụ 3.Cho điểm A(2;4), B(-1;0) C(0;4)

a) Biểu diễn điểm A, B, C mặt phẳng tọa độ b) Tính chu vi diện tích tam giác ABC

Giải

a) Biểu diễn điểm A(2;4), B(-1;0) C(0;4) hình

Hình

y

b) Ta thấy A, B, C không thẳng hàng nên A, B, C ba đỉnh tam giác Áp dụng công thức:

( ) (2 )2

N M N M

MN = x −x + y −y , ta tính AB=5;AC =2;BC= 17 Chu vi tam giác ABC là: 2+ + 17 = +7 17 (đvd)

Diện tích tam giác ABC là: 1.4.2

2

ABC

S = BH CA= = (đvdt)

Ví dụ 4. Cho hai điểm A(2;4) B(-1;0) hệ trục tọa độ

Oxy

a) Biểu diễn điểm A, B mặt phẳng tọa độ

b) Tìm điểm C trục hoành cho ∆ABC cân A

Giải

a) Biểu diễn điểm A(2;4), B(-1;0) hình

b) Vì C nằm trục hoành Ox nên tung độ điểm C 0, C(x;0) với x 1.≠

Áp dụng cơng thức: MN = (xN −xM) (2+ yN −yM )2 , ta tính ( ) (2 )2

5;

AB= AC= x− + −

Ta có ∆ABC cân A⇔ AB= AC

( ) (2 )2 ( )2 ( )2

2 16 25

x x x

⇔ − + − = ⇔ − + = ⇔ − =

x

⇔ = x= −1 (loại điều kiện x≠ −1) Vậy C(5;0) ∆ABC cân A

Chú ý:

• Ta giải cách khác sau:

ABC

∆ cân A ⇔ HB=HC⇔ HC =3(vì HB = 3)⇔ − = ⇔ =x x

Do đó, kết hợp với kiến thức hình học giải tốn đơn giản hơn, nhanh

• Ta thay đổi u cầu tốn thành “Tìm điểm C trục hồnh cho

ABC

∆ cân” Với yêu cầu ta phải giải toán ba trường hợp: - Trường hợp 1: ∆ABC cân A

y

x x

H

Hình

2 -1

B

A

- Trường hợp 2: ∆ABC cân B - Trường hợp 3: ∆ABC cân C

Dạng 4.ĐIỂM THUỘC ĐỒ THỊ ĐIỂM KHÔNG THUỘC ĐỒ THÌ CỦA HÀM SỐ Phương pháp giải

Cho hàm số y= f x( ) có miền xác định D có đồ thị G, đó: • M x y( 0; 0) thuộc đồ thị G

0

0 ( )0

x D

y f x

∈   ∈



•M x y( 0; 0) không thuộc đồ thị G y0 ≠ f x( )0 x0∉D

Ví dụ 1. Cho hàm số y= f x( )= x Trong điểm A(9;3), B(4; -2), M(-1;1) (4 3; 1)

N + − điểm không thuộc điểm thuộc đồ thị (G) hàm số cho ? Giải

Ta có: M∉( )G x= −1 hàm số khơng xác định ( )

B∉ G , = ≠ −2 ( )9;3 ( )

A ∈ G , f(9)= =3 (4 3; 1) ( )

N + − ∉ G vì:

( )2

(4 3) 3 3

f + = + = + = + ≠ −

Ví dụ 2. Điểm M(−1;1) thuộc đồ thị hàm số hàm số ?

(A) y=x2; (B) y=x4; (C) y=3x+2; (D) y= −x3

Giải

Loại (A), (B) tung độ M âm

Loại (D), hồnh độ tung độ M dấu Chọn (C)

Giải

a) Ta có f(m) = 3, m thay đổi f(m) nhận giá trị không đổi Hàm số y = f(m) = hàm

Đồ thị hàm số y = đường thẳng song song với trục hoành cắt trục tung điểm có tung độ (hình 4)

Tập hợp điểm M(m;3) đường thẳng song song với trục hoành cắt trục tung điểm có tung độ (hình 4)

b) Tập hợp điểm M(2; m) đường thẳng song song với trục tung cắt trục tung điểm có hồnh độ (hình 5)

Ví dụ 4. Cho hàm số y= f x( )=(m+1)x−2 m

a) Tìm m để đồ thị hàm số cho qua điểm A(1 ; 1)

b) Chứng minh đồ thị hàm số cho qua điểm cố định với m

Giải

a) A( )1;1 ∈d y: =(m+1)x−2m⇔ =1 (m+1).1 2− m⇔ =m b) M x y( ;0 0)∈d y: =(m+1)x−2m⇔ y0 =(m+1)x0−2m

0 0

( 2) ( )

m x x y

⇔ − + − = (1) d qua M với m (1) với m, tức là:

0

0 0

2

0

x x

x y y

− = =

 

⇔  − =  =  

Vậy d qua điểm (2; 2) cố định với m

Dạng 5.XÁC ĐỊNH HÀM SỐ BẬC NHẤT

y

x y = M m;3( )

Hình

m O

y

x x =

M 2;m( )

Hình m

Phương pháp giải

Hàm số bậc hàm số co dạng y=ax+b, a b số cho trước a≠0

Ví dụ 1. Trong hàm số sau, hàm số hàm số bậc ? a) y= −1 ;x b) y=2x2+ −x 5;

c) y=x2+x( 2−x)+3; d) y=( 1− )2x+1

Giải

a) Hàm số y= −1 3x hay y= − +3x có dạng y=ax+b, a= − ≠3 0, nên

y= − +x hàm số bậc

b) Hàm số y=2x2+ −x hàm bậc sau thu gọn khơng có dạng

y=ax+b

c) Hàm số y=x2+x( 2−x)+ =3 x2+ 2x−x2+ =3 2x+3 hàm số bậc hàm số có dạng y=ax+b, a= ≠0

d) Hàm số y=( 1− )2x+1 hàm số bậc hàm số có dạng y=ax+b,

( )2

3

a= − ≠

Ví dụ 2. Cho ba hàm số f x( )=x2+3; ( )g x =x2− +x h x( )=2x2+3x−1 Xét khẳng định:

(I) ( )f x −g x( ) hàm số bậc nhất; (II) ( )h x −g x( ) hàm số bậc nhất;

(III) ( )f x +g x( )−h x( ) hàm số bậc Trong khẳng định trên, khẳng định là: (A) Chỉ (I) (B) Chỉ (II)

(C) Chỉ (I) (II) (D) Chỉ (I) (III)

Giải

Ta thực phép tính cộng, trừ đa thức kết quả: ( ) ( )

2

( ) ( )

h x −g x = x + x− không hàm số bậc nhất; ( ) ( ) ( )

f x +g x −h x = − +x hàm số bậc Do đó, chọn (D)

Ví dụ 3. Cho hàm số y= f x( )= −(1 )m x+m2+2 Tìm m để hàm số cho hàm số bậc

Giải

Hàm số y= f x( )= −(1 )m x+m2 hàm số bậc khi:

1

2

m m

− ≠ ⇔ ≠

Ví dụ 4. Cho hàm số y= f x( )=(m2 −m x) 2+mx+2 Tìm m để hàm số cho hàm số bậc

Giải

Hàm số y= f x( )=(m2−m x) 2+mx+2 hàm số bậc khi:

( 1) 0

1

0

m m

m m

m m

m m

− =  − = 

⇔ ⇔ − = ⇔ =   ≠

≠ 



Khi m=1, ta có hàm số y= +x hàm số bậc

Dạng 6.XÁC ĐỊNH TÍNH ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ Phương pháp giải

• Vận dụng định nghĩa: Với x x1, 2 thuộc miền xác định D khoảng đoạn nửa khoảng:

Nếu x1 >x2 mà f x( )1 > f x( )2 hàm số y= f x( ) đồng biến D Nếu x1 >x2 mà f x( )1 < f x( )2 hàm số y= f x( ) nghịch biến D

• Trong thực hành giải toán ta làm sau: Với x x1, 2∈D x, 1≠ x2

Nếu 2 ( ) ( )

0

f x f x

x x

−

>

Nếu 2 ( ) ( )

0

f x f x

x x

− <

− hàm số y= f x( ) nghịch biến D • Hàm số y= f x( )=ax+b a( ≠0)

Nếu a>0 hàm số đồng biến  Nếu a>0 hàm số đồng biến 

Ví dụ 1. Chứng minh hàm số y= f x( )= x+3 đồng biến tập xác định

Giải

Hàm số xác định x≥ −3 Lấy x x1, 2 thõa mản x x1, 2≥ −3,x1 ≠x2, ta có:

( ) ( )

1

1 2

1 2 1 2 1 2 1 2

3

( ) ( ) ( 3) ( 3)

0

( ) 3 3

x x

f x f x x x

x x x x x x x x x x

+ − +

− + − +

= = = >

− − − + + + + + +

Do hàm số y= f x( )= x+3đồng biến tập xác định

Ví dụ 2. Cho hàm số y= f x( )= −m 2x (m số) Xét đồng biến, nghịch biến hàm số y= f x( ) 

Giải

Cách 1 Tập xác định:  Lấy x x1, 2 thuộc  cho x1<x2, ta có:

1 2 2

( ) ( ) (m ) ( ) 2 2( )

f x − f x = − x − m− x = −m x − +m x = x −x >

Do f x( )1 > f x( )2 , suy hàm số nghịch biến 

Cách 2 y= f x( )= −m 2x= − +2x m hàm số bậc có hệ số a= − <2 nên hàm số nghịch biến 

Ví dụ 3. Tìm m để hàm số y=(m2−2)x+1 (m tham số) đồng biến 

Giải

Hàm số y=(m2−2)x+1 hàm số bậc m2 ≠2 với hệ số a=m2−2 Do hàm số đồng biến 

2

m m

⇔ − > ⇔ < − m>

Ví dụ 4. Cho hai hàm số ( )f x =mx+2012 g( )x =(m2+1)x−2011 (m tham số) Xét tính Đúng, Sai khẳng định sau:

(A) ( )f x +g x( ) hàm số đồng biến ; (B) g( )x − f x( ) hàm số đồng biến ; (C) ( )f x −g x( ) hàm số đồng biến 

Giải

Ta thực phép tính cộng, trừ đa thức, kết quả:

( ) ( ) ( 1)

f x +g x = m + +m x+ hàm số bậc nhất, với hệ số

2

1

2

a=m + + =m m+  + >

  với m nên khẳng định (A)

g( )x − f x( )=(m − +m 1)x−4023 hàm số bậc nhất, với hệ số

2

1

2

a=m − + =m m−  + >

  với m nên khẳng định (B)

( ) ( ) ( 1) 4023

f x −g x = − m − +m x+ hàm số bậc nhất, với hệ số

2

( 1)

2

a= − m − + = −m m−  − <

  với m nên khẳng định (C)

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN

1. Cho hai hàm số ( )

x

y= f x = − y=g x( )= x+ 1−x a) Tìm tập xác định hàm số cho

b) Tính (2), , (0), g(1), g

2

f f    g   

   

2. Cho điểm A(2;3), B(-2;0) C(4;3)

a) Biểu diễn điểm A, B, C mặt phẳng tọa độ b) Tính chu vi diện tích tam giác ABC

3. Cho hàm số y= f x( )= −mx+ −m Biết ( 2) 6.f − = Tính ( 3).f −

4 Cho hàm số y= f x( )=( 3− 2)x+ 2+ Tìm x cho f x( )=

5. Cho hàm số y= f x( )= −mx+4

a) Tìm m để đồ thị hàm số cho qua điểm ( 1;1).A −

b) Chứng minh đồ thị hàm số cho qua điểm cố định với m

6. Với giá trị m hàm số sau hàm số bậc ? a) y=(4m2−1)x

b) y= 5−m x( −2)

c) y=m x2 2+m x( + −2 4x2) + − x

7. Xác định tính đồng biến, nghịch biến hàm số sau:

a) y= f x( ) = −(1 2)x+1, với x∈ b) y= f x( )= x−2, với x≥2 c) y= f x( )=x2+2, với x<0

8. Cho hàm số y= f x( )= −(1 3)x−1 f m( +1), (f m+ 2) hai giá trị tương ứng hàm số x= +m 1,x= +m Khi đó:

(A) f m( + >1) f m( + 2) (B) (f m+ <1) f m( +2) (C) (f m+ =1) f m( +2)

(B) Không thể so sánh phụ thuộc vào giá trị m

9. Chứng minh không tồn đa thức ( )f x bậc ba với hệ số nguyên cho (7) 2010

f = (11)f =2012

HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ 1. a) Hàm số ( )

3

x

Hàm số y=g x( )= x+ 1−x xác định khi:

0

0

1

x x x x x ≥ ≥   ⇔ ⇔ ≤ ≤  − ≥  ≤  

b) (2) 0;

f = f   

  không xác định;

1 1

(0) 1;g(1) 1;g

2 2

g = =   = + = =

 

2. a) Biểu diễn điểm A(2;3), B(-2;0) C(4;3) hình b) Ta thấy A, B, C không thẳng hàng nên A, B, C ba đỉnh tam giác Áp dụng công thức:

( ) (2 )2

N M N M

MN = x −x + y −y , ta tính

5; 2;

AB= AC = BC =

Chu vi tam giác ABC là: 5+ + = +7 Diện tích tam giác ABC là:

1

.3.2

2

ABC

S = BH AH = = (đvdt)

c) M(6;0)

d) N(0; 21) (0;N − 21)

3. f ( 2)− = ⇔ − − + − = ⇔6 m( 2) m 3m= ⇔9 m=3 ( ) ( 3)

f x x f

⇒ = − ⇒ − =

4. ( ) ( 2) ( )

3

f x = ⇔ − x+ + ⇔ =x − = − +

−

5. a) ( 1; 1)A − − ∈d y: = −mx+ ⇔ − = − − + ⇔4 m( 1) m= −5

b) M x y( ;0 0)∈d y: = −mx+ ⇔4 y0 = −mx0+ ⇔4 mx0+y0− =4 (1) d qua M với m (1) với m, tức là: 0

0

0

4

Vậy d qua điểm M(0;4) cố định với m

6. a)

2

m≠ ± b) m<5 c) m = m =

7. a) Với x x1, 2∈,x1>x2 , ta có:

1 2

( ) ( ) (1 2)( )

f x − f x = − x −x < , 1− 2<0,x1−x2 >0 Do ( )f x hàm số nghịch biến 

b) Với x x1, 2 ≥2,x1≠ x2 , ta có:

( )( )

( )( )

1 2

1

1

1 2 2

2 2

2

( )

0

2

2

x x x x

x x

f x x

x x x x x x x x x x

− − − − + − − − −

− = = = >

− − − − + − − + −

Do ( )f x hàm số đồng biến với x≥2 c) Với x x1, 2 <0,x1>x2 , ta xét:

2

1 2 2

( ) ( ) ( 2) ( 2) ( )( )

f x − f x = x + − x + = x −x x +x <

Vì x1−x2 >0,x1+x2 <0 với x x1, 2 <0,x1 >x2, hàm số nghịch biến với

0

x<

8. Hàm số y= f x( )= −(1 3)x−1 hàm số nghịch biến a= −1 3<0 Ta có: f m( + >1) f m( + 2) m+ < +1 m Chọn (A)

9. Giả sử có đa thức f x( )=ax3+bx2+cx+d a b c d: , , , ∈,a≠0 thỏa mãn (7) 2010, (1) 2012

f = f = Ta có:

3

(11) (7) ( 11 11 11 ) ( 7 )

f − f = a +b +c +d − a +b +c +d

= 3 2

4 4

.(11 ) (11 ) (11 )

a − +b − +c −

  

  

§3 ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ 𝒚=𝒂𝒙+𝒃(𝒂 ≠ 𝟎)

A TRỌNG TÂM KIẾN THỨC

1 Đồ thị hàm số 𝒚=𝒂𝒙+𝒃(𝒂 ≠ 𝟎)

Đồ thị hàm số y=ax+b a( ≠0) đường thẳng ( kí hiệu (d) ): + Cắt trục tung điểm có tung độ b hay (d) qua điểm B(0;b)

+ Song song với đường thẳng y=ax b≠0; trùng với đường thẳng y=ax b = Chú ý.  b gọi tung độ gốc đường thẳng

 Đồ thị hàm số y=ax+b a( ≠0) gọi đường thẳng y=ax+b đường thẳng ax− + =y b

2 Cách vẽ đồ thị hàm số𝒚=𝒂𝒙+𝒃(𝒂 ≠ 𝟎)

Trường hợp 1: Khi b = y=ax Đồ thị hàm số y=ax đường thẳng qua gốc tọa độ (0;0)O điểm (1; ).A a

Trường hợp 2: y=ax+b với a≠0 b≠0 Cách 1.+ Xác định hai điểm đồ thị

Chẳng hạn cho x=1 y=a.1+ = +b a b, ta (1;B a+b); cho x=2 y=a.2+b ta điểm (2;2C a+b)

+ Vẽ đường thẳng BC ta đồ thị hàm số

Cách 2.+ Xác định giao điểm đồ thị với hai trục tọa độ: • Cho x= ⇒ =0 y a.0+ = ⇒b b M(0; )b thuộc trục tung • Cho y 0 a x b x b N( b;0)

a a

= ⇒ = + ⇔ = − ⇒ − thuộc trục hoành + Vẽ đường thẳng MN ta đồ thị hàm số

Chú ý. Khi b=0 y=ax ; đồ thị hàm số y=ax qua gốc tọa độ (0;0).O Khi b≠0 đồ thị hàm số y=ax+b qua điểm B(0;b)

Khi a>0 đồ thị hàm số y=ax+b đường thẳng có chiều lên từ trái sang phải (hàm số đồng biến)

Đường thẳng y=x đường phân giác góc phần tư thứ (I) (III) Đường thẳng y= −x đường phân giác góc phần tư thứ (II) (IV)

B CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng 1.ĐIỂM THUỘC ĐƯỜNG THẲNG

ĐIỂM KHÔNG THUỘC ĐƯỜNG THẲNG

Phương pháp giải

Cho điểm M x y( ;0 0) đường thẳng (d) có phương trình y=ax+b Khi đó:

0

0

( ) ( )

M d y ax b

M d y ax b

∈ ⇔ = + ∉ ⇔ ≠ +

Ví dụ 1. Cho đường thẳng (d): y= − +3x Trong điểm ( 1; 2), (0;1), 1;0

M − N P 

  Hãy xác định điểm thuộc không thuộc đường thẳng (d)

Giải

Ta có: M( 1; 2)− ∉( )d x = -1 -3(-1) + = + = ≠ 2; (0;1) ( )

N ∈ d , x = -3.0 +1 = + = 1;

;0 ( )

P  ∈ d

  ,

x= 3.1 1

− + = − + =

Ví dụ 2. Điểm ( 2;1)M thuộc đường thẳng đường thẳng ? (A) y= + −x (B) x+ −y 1+ =0

(C) y= 2x+ −1 (D) x+ −y 2=0

Giải

Kí hiệu đường thẳng trường hợp (A) , (B) , (C) (D)

( ) :d y= + −x

2

(d ) :x+ −y 1+ =0

3

4

(d ) :x+ −y =0

Ta có: M( 2;1)∈( )d1 , x= 1+ − =1

2 ( 2;1) ( )

M ∉ d , x= − 2+ 1− = − ≠1

3 ( 2;1) ( )

M ∉ d , x= 2 1+ − = −3 ≠1

4 ( 2;1) ( )

M ∉ d , x= − 2+ 2= ≠0 Chọn (A)

Ví dụ 3. Cho đường thẳng (d): y= − +2x Tìm m để đường thẳng (d) qua điểm (A − −m; 3)

Giải

Đường thẳng (d): y= − +2x qua điểm (A − −m; 3) khi: 2.( m) 2m m

− = − − + ⇔ = − ⇔ = −

Vậy đường thẳng (d): y= − +2x qua điểm (A − −m; 3) m= −3

Ví dụ 4. Cho đường thẳng (d): y=(m+2)x+3m−1 Tìm m để đường thẳng (d) qua điểm ( 2;3)

M −

Giải

( 2;3) ( )

M − ∈ d :y=(m+2)x+3m−1 khi:

3=(m+2)( 2)− +3m− ⇔ = −1 2m− +4 3m− ⇔1 m=8

Vậy đường thẳng (d): y=(m+2)x+3m−1đi qua điểm ( 2;3)M − m=8

Ví dụ 5. Chứng minh đường thẳng (m−2)x+ +y 4m− =3 qua điểm cố định với giá trị m

Giải

Gọi M x y( ;0 0) điểm thuộc (d), ta có:

(m+2)x0+y0+4m− =3 ⇔ m x( 0+4) (+ 2x0+ y0−3)=0 Đường thẳng ( )d qua M x y( 0; 0) với m khi:

0

0 0

4

2 11

x x

x y y

+ = = −

 

⇔  + − =  =

Vậy ( )d qua điểm cố định M(−4;11) với giá trị m

Dạng XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG THẲNG Phương pháp giải

Gọi hàm số cần cần tìm là: y=ax+b (a≠0), ta phải tìm a b + Với điều kiện toán xá định hệ số liên hệ a b + Giải phương trình để tìm ,a b

Ví dụ 1. Cho hàm số bậc y= − +2x b Xác định b nếu: a) Đồ thị hàm số cắt trục tung điểm có tung độ b) Đồ thị hàm số qua điểm A(−1; 2)

Lời giải

a) Đồ thị hàm số y= − +2x b cắt trục tung điểm có tung độ 2, nên b=2 Vậy đồ thị hàm số cần tìm y= − +2x

b) Đồ thị hàm số y= − +2x b qua điểm A(−1; 2) khi: ( ) ( )

2= −2 − + ⇔ = + ⇔ =1 b 2 b b Vậy b=0 y= −2x qua điểm A(−1; 2)

Ví dụ 2.Xác định đường thẳng ( )d , biết ( )d có dạng y=ax−4 qua điểm A(−3; 2)

Lời giải

Đường thẳng ( )d :y=ax−4 qua điểm A(−3; 2) khi: ( )

2=a − −3 ⇔ − = + ⇔ = −3a a

Vậy ( )d có phương trình y= − −2x qua điểm A(−3; 2)

a) Đồ thị ( )d hàm số y=(m−2)x+ +m cắt trục hồnh điểm có hồnh độ

− nên A(−2;0) thuộc ( )d

Do đó: 0=(m−2 ) ( )− + +2 m ⇔ −2m+ + + = ⇔ =4 m m

b) Đồ thị ( )d hàm số y=(m−2)x+ +m qua gốc tọa độ O( )0;0 thuộc ( )d Do đó: 0=(m−2 0) + +m ⇔ + = ⇔ = −m m

Ví dụ 4.Xác định đường thẳng qua hai điểm A(−3;0) B( )0;

Lời giải

Gọi phương trình đường thẳng AB là: y=ax+b Ta có:

( 3;0)

A − ∈AB ⇒ =0 a.( )− +3 b hay b=3a ( )0; 2

B ∈AB⇒ =a +b hay b=2

Từ suy

a=

Vậy phương trình đường thẳng AB là: 2

y= x+

Ví dụ 5. Cho đường thẳng ( )d1 :y=2012x+2 Xác định đường thẳng ( )d2 cho ( )d1 ( )d2 cắt điểm nằm trục tung

Lời giải

y

x

-3

Hình B

Đồ thị hàm số y=2012x+2 cắt trục tung điểm có tung độ có tung độ gốc

b= ⇒ đường thẳng ( )d1 qua điểm A( )0; nằm trục tung

Vì ( )d1 ( )d2 cắt điểm nằm trục tung nên A( )0; thuộc ( )d2

Do ( )d2 có phương trình y=2 x=0 (trục tung) y=ax+2 (với 0, 2012

a≠ a≠ )

Chú ý Có vơ số đường thẳng qua điểm A( )0;

Dạng VỀ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ y=ax+b a( ≠0) Phương pháp giải

+ Tìm hai điểm thuộc đồ thị hàm số cách cho x nhận hai giá trị xác định tính hai giá trị tương ứng y (thơng thường ta lấy hai điểm giao điểm đồ thị với trục hoành trục tung)

+ Đường thẳng qua hai điểm vừa tìm đồ thị hàm số cần vẽ

Ví dụ 1. Cho hàm số sau: y= − +x ( )1 ; y=2x−1 2( )

a) Vẽ đồ thị hàm số ( ) ( )1 , mặt phẳng tọa độ b) Xác định tọa độ giao điểm I ( )1 ( )2

Lời giải

a) Hình * Vẽ đồ thị hàm số ( )1 : y y = 2x-1

D C

I

-1

1

Hình B A

O

Cho x=0 ⇒ = ⇒y A( )0; ∈Oy; ( )

0 2;0

y= ⇒ = ⇒x B ∈Ox

Đường thẳng AB đồ thị hàm số y= − +x * Vẽ đồ thị hàm số ( )2 :

Cho x= ⇒ = −0 y ⇒C(0; 1− ∈) Oy;

1

0 ;0

2

y= ⇒ = ⇒x D ∈Ox

 

Đường thẳng CD đồ thị hàm số y=2x−1

b) Cách 1. Từ giao điểm I hai đồ thị hàm số ta vẽ đường thẳng vng góc với trục hồnh, cắt trục điểm có hồnh độ Vậy tọa độ giao điểm I( )1;1

Cách 2. Gọi tọa độ giao điểm I (x y1; 1)

Vì I giao điểm AB CD nên I vừa thuộc AB, vừa thuộc CD Vì I x y( 1; 1)∈AB y: = − +x nên y1= − +x1

Vì I x y( 1; 1)∈CD y: =2x−1 nên y1 =2x1−1 Suy ta có: − + =x1 2x1− ⇔1 3x1 = ⇔3 x1 =1

1 2

y x

⇒ = − + = − + = Vậy tọa độ giao điểm I I( )1;1

Ví dụ 2. Cho hàm số: 1( )

y= x− d

a) Vẽ đồ thị ( )d hàm số cho

b) Tính khoảng cách từ gốc O hệ trục tọa độ đến đường thẳng ( )d

Lời giải

a) Cho x= ⇒ = −0 y ⇒ A(0; 1− ∈) Oy y; = ⇒ = ⇒0 x B( )2;0 ∈Ox Đường thẳng AB đồ thị ( )d hàm số 1

2

b) Kẻ OH vuông góc với ( )d H Khi OH khoảng cách từ O đến đường thẳng

( )d (hình 9)

Trong tam giác vng OAB, ta có:

2 2 2

1 1 1

1

OH =OA +OB = + =

Từ suy ra:

5

OH = ⇒OH =

Vậy khoảng cách từ O đến ( )d 5

Ví dụ 3. Cho hàm số sau: y=2 1( ); y= +x ( )2 ; y=2mx+ −m 3( ) a) Vẽ đồ thị hàm số ( ) ( )1 , mặt phẳng tọa độ

b) Tìm m để đồ thị hàm số ( )3 qua giao điểm hai đồ thị ( )1 ( )2

Lời giải

a) Vẽ đồ thị hàm số y=2 (1);

Đồ thị hàm số y=2 đường thẳng song song với trục hoành cắt trục tung điểm có tung độ

Vẽ đồ thị hám số y= +x (2) y

H -1

Hình B A

Ta có:

( )

1 1

1

x x

y x

x x

+ ≥ − 

= + = − + ≤ −



Từ đó, ta đồ thị có hình chữ V hình 10

Từ hình vẽ ta thấy đồ thị hai hàm số ( )1 ( )2 cắt hai điểm M( )1; ( 3; 2)

N −

b) Đồ thị ( )d hàm số y=2mx+ −m qua giao điểm hai đồ thị hàm số ( )1 đồ thị hàm số ( )2 ( )d qua điểm M N

+ Trường hợp ( )d qua M( )1; Kh đó: 2 1= m + −m ⇔3m=3 ⇔ =m + Trường hợp ( )d qua N(−3; 2) Khi đó:

( )

2=2 .m − + − ⇔3 m 5m= −3

m

⇔ = − Vậy với m=1

5

m= − đồ thị hàm số ( )3 qua giao điểm đồ thị hàm số ( )1 đồ thị hàm số ( )2

Ví dụ 4. Cho hàm số y=mx+3 ( )d Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường

thẳng ( )d lớn

Lời giải

y

M

o

2

-3

Hình 10 N

Trường hợp Xét m=0

Khi m=0 ( )d có phương trình: y=0.x+ =3 hay y=3

Đồ thị hàm số y=3 đường thẳng song song với trục hoành cắt trục tung điểm có tung độ nên khoảng cách từ O đến ( )d

Trường hợp Xét m≠0

Khi ( )d :y=mx+3 qua điểm A( )0;3 nằm trục tung

Kẻ OH vng góc với ( )d H Khi OH khoảng cách từ O đến đường thẳng

( )d

Ta có: OH ≤OA hay OH ≤3 (Dấu “=” khơng xảy m≠0 nên H khơng trùng A) Do OH <3

Kết hợp hai trường hợp ta có m=0 khoảng cách từ O đến đường thẳng ( )d lớn

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN

1. Đồ thị hàm số y= 2x+ −1 qua điểm sau đây?

A M(−1;1) B N( )1;1 C P(1; 1− ) D Q( )2;1

2. Điểm E(−2;0) thuộc đường thẳng đường thẳng sau đây? ( )d1 :y= +x 2; ( )d2 :y= − −2x 4; ( )d3 :y=3x+6; ( )4

2 :

3

d y= x+ Hình 11

y

x H

d

3

y = A

C. Chỉ thuộc ( )d2 ( )d3 D. Thuộc bốn đường thẳng cho

3. Cho hai đường thẳng ( )d1 :y=2x+2012 ( )2 : 2012

d y= − x+ Đường thẳng

dưới không qua giao điểm ( )d1 ( )d2 ?

A y=2012x B y= +x 2012

C y=2012x+2012 D y= − +x 2012

4. Vẽ đồ thị hàm số sau hệ trục tọa độ:

2

y= x+ ; y= − +2x 2; y= − +2x

5. Xác định đường thẳng qua hai điểm A(−2;0) B( )0;3

6. Cho ( )d1 : y=x,( )d2 : y=0,5x; đường thẳng ( )d song song với trục Ox cắt trục tung

Oy điểm C có tung độ Đường thẳng ( )d cắt ( )d1 , ( )d2 D E Khi đó, tính diện tích tam giác ODE

7. Với giá trị m đồ thị hàm số y=2x+ −4 m y=3x+ −m cắt điểm nằm trục tung

8. Cho hai đường thẳng ( ) (d1 : m−2)x+4my+ =1 ( ) (d2 : m−2)x+2012y+ − =5 m (

m tham số)

a) Chứng minh ( )d1 qua điểm cố định m thay đổi

b) Tìm m để hai đường thẳng ( ) ( )d1 , d2 cắt điểm thuộc trục hoành

9. Cho hàm số y= f x( ) (= m−2)x+2 có đồ thị đường thẳng ( )d a) Tìm m để ( )d qua điểm M(−1;1)

b) Xác định m để khoảng cách từ điểm O( )0;0 đến ( )d có giá trị lớn

HƯỚNG DẪN GIẢI - ĐÁP SỐ

1. Ta thử cặp giá trị mà triệt tiêu trước Thử N( )1;1 thấy Chọn ( )B

3. ( )d1 ( )d2 có tung độ gốc 2012 , hệ số a khác Các đường thẳng có

tung độ 2012 qua giao điểm ( )d1 ( )d2 Do đó, ta loại (B), (C), (D), có tung độ gốc 2012 Chọn (A)

4. (h.12) Vẽ đồ thị hàm số 2

y= x+ ( )d1

Cho x= ⇒ = ⇒0 y A( )0; Cho y= ⇒ = − ⇒0 x B(−4;0)

Biểu diễn điểm ,A B mặt phẳng tọa độ Vẽ đường thẳng AB đồ thị ( )d1

Tương tự ta vẽ được:

( )d2 :y= − +2x 2; ( )d3 : y= − +2x

5. Gọi phương trình đường thẳng AB là: y=ax+b Ta có: ( 2;0) ( )2

A − ∈AB⇒ =a − +b hay b=2a ( )0;3

B ∈AB⇒ =a +b hay b=3 Từ suy

a=

Vậy phương trình đường thẳng AB là: 3

y= x+

6. Vẽ nhanh đồ thị Từ đồ thị ta thấy: DE=2,OC=2

Hình 12

o

2

x

d2

( )

d1

( )

d3

( )

4

1 A

B

Do diện tích tam giác cần tìm là: 1.2.2

2

ODE

S∆ = OC DE = = (đvdt)

7. M∈Oy⇒M(0;y0) Giả sử M giao điểm ( )d1 ( )d2 ( )1 : 4

M∈ d y= x+ − ⇔m y = −m;

( )2 : 2

M∈ d y= x+ − ⇔m y = −m

Suy 4− = − ⇔ =m m m (Thử lại thấy đúng) Vậy m=3 ( )d1 cắt ( )d2 M( )0;1 thuộc Oy

8. a) 1;

M − 

 

b) Giao điểm thuộc trục hoành, nên tung độ y=0 Vậy: (m−2)x+4 1m + =0 (m−2)x+2012.0 5+ − =m Suy ra: 5= − ⇔ =m m (thử lại thấy đúng)

9. a) m=3 b)

(h 13) Khi m=2 :y=2 ⇒ Khoảng cách từ O đến ( )d OH =2 Khi m≠2: y=(m−2)x+2

Cho 2 ;0

2

y x A

m m

−  −  = ⇒ = ⇒  

−  −  Hình 13

y

x O

K

d ( )

y = H

A

Vẽ OK ⊥( )d Ta có:

( )0; : ( 2)

H ∈d y= m− x+ với m Suy ra: OK <OH hay OK <2

Vậy khoảng cách từ điểm O đến ( )d lớn 2, đạt m=2 §4 ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VÀ ĐƯỜNG THẲNG CẮT NHAU

A TRỌNG TÂM KIẾN THỨC 1 Hai đường thẳng song song

Hai đường thẳng y=ax+b a( ≠0) y=a x′ +b a′ ′( ≠0) song song với a=a b′, ≠b′ trùng a=a b′, =b′

2 Hai đường thẳng cắt

Hai đường thẳng y=ax+b (a≠0) y=a x b a′ + ′ ′( ≠0) cắt a≠a′

Chú ý

+ Khi a≠a b′, =b′ hai đường thảng có tung độ gốc, chúng cắt

điển trục tung có tung độ b

+ Hai đường thẳng vuông góc với a a′ = −1

B CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Dạng NHẬN DẠNG CẶP ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI NHAU, CẶP ĐƯỜNG THẲNG CẮT NHAU, CẶP ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI NHAU

Phương pháp giải

Cho hai đường thẳng ( )d :y=ax+b a( ≠0) ( )d′ : y=a x′ +b a′ ′( ≠0) + ( ) ( )d // d′ ⇔ =a a' b≠b'

Ví dụ 1. Hãy hai cặp đường thẳng song song với đường thẳng sau: ( )d1 : y=2x+1; ( )2

3 :

2

x

d y= + ; ( )3 :

2

d y= − x+ ; ( )d4 : y=0,5x−1; ( )d5 :y= +4 2x; ( )d6 : y= −1 2x

Lời giải

Hai cặp đường thẳng song song với là: ( ) ( )d1 // d5 a=a'( )=2 ; b≠b' 1( ≠4); ( ) ( )d2 // d4 a≠a′(=0,5); b≠b' 1,5( ≠ −1)

Ví dụ 2. Hãy cặp đường thẳng vng góc với đường thẳng sau: ( )d1 : y=2x+1; ( )2

3 :

2

x

d y= + ; ( )3 : y 2

d = − x+ ; ( )d4 :y=0,5x−1; ( )d5 :y= +4 5x

và ( )d6 : y= −1 2x

Lời giải

Bốn cặp đường thẳng vng góc với nhau: ( ) ( )d1 ⊥ d3 ; ( ) ( )d2 ⊥ d6 ; ( ) ( )d3 ⊥ d5 ; ( ) ( )d4 ⊥ d6 có 'a a = −1

Ví dụ 3. Chứng tỏ hai đường thẳng sau cắt với giá trị m: a) ( )d1 : y=(m2− +m 1)x+1 ( )2 : y

2

x m

d = − +

b) ( )d3 :y=(m2+1)x+2012 ( )d4 : y= −mx+2012

Lời giải

a) Xét ( )d1 có:

2

2 3

1

2 4

a=m − + =m m−  + ≥ >

  ; ( )d2 có

1

a′ = − <

Suy a≠a' với m nên ( )d1 ln cắt ( )d2

b) Ta có: ( )

2

2 3

' 1

2 4

a− =a m + − −m =m + + =m m+  + ≥ >

  nên a≠a' với

m, suy ( )d3 cắt ( )d4

Ví dụ 4. Chứng minh giao điểm hai đường thẳng y= −mx y x

m

= + ln nằm đường trịn cố định với m≠0

Lời giải

Kí hiệu đường thẳng y= −mx ( )d , đường thẳng y x

m

= + ( )d' Ta có ( )d :y= −mx ln qua gốc tọa độ O( )0;0 cố định;

( )

:

d y x

m

′ = + qua điểm B( )0; cố định Xét a a ' ( )m 1

m

= − = − với m≠ ⇒0 ( ) ( )d ⊥ d' A (A giao điểm hai đường thẳng ( )d ( )d' )⇒OAB = °90

Do giao điểm A ( )d ( )d′ nằm đường trịn đường kính OB cố định, với O( )0;0 B( )0;

Dạng XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG THẲNG VỚI QUAN HỆ SONG SONG Phương pháp giải

Viết phương trình đường thẳng qua điểm song song với đường thẳng cho trước: Gọi phương trình đường thẳng cần tìm y=ax+b

+ Sử dụng điều kiện hai đường thẳng song song với để xác định hệ số a + Với a vừa tìm được, sử dụng điều kiện cịn lại để xác định tung độ gốc b

Ví dụ 1. Tìm m để đường thẳng ( )d1 :y=(2−m2)x− −m song song với đường thẳng ( )d2 :y= − +2x 2m+1

Lời giải

( ) ( )

1 // 2

d d ⇔ −m = − (1) − − ≠m 2m+1 ( )2 Giải ( )1 : 2 2

2

m

m m

m

=  − = − ⇔ = ⇔ 

Ví dụ 2. Cho đường thẳng ( )d : 2x+ − =y điểm M(−1;1) Viết phương trình đường thẳng ( )d′ qua điểm M song song với ( )d

Lời giải

Gọi phương trình đường thẳng ( )d′ y=ax+b Ta có ( )d : 2x+ − =y hay y= − +2x

Vì ( ) ( )d′ // d nên a= −2 b≠3 Mặt khác, ( )d′ qua điểm M(−1;1) nên ( )

1=a − +1 b

( )

1

a b b

⇔ − + = ⇔ − − + = (vì a= −2) ⇔ = − ≠b 1( )3 Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là: y= − −2x

Ví dụ 3. Cho M( ) ( ) (0; ,N 1;0 ,P − −1; 1) trung điểm cạnh BC CA, AB tam giác ABC Viết phương trình đường thẳng AB

Lời giải

Gọi phương trình đường thẳng MN là:y=ax+b Ta có: ( )1;0

N ∈MN ⇒ =a +b hay a= −b ( )0; 2

M ∈MN ⇒ =a +b hay b= ⇒ = −2 a Do phương trình đường thẳng MN là: y= − +2x

Vì M N, trung điểm CB CA nên MN đường trung bình ∆ABC

//

MN AB

⇒

Vì AB MN// nên phương trình đường thẳng AB có dạng: y= − +2x b b′ ′( ≠2) Vì P(− −1; 1) trung điểm đoạn AB nên đường thẳng AB qua P(− −1; 1)

( )

1 b′ b'

⇒ − = − − + ⇔ = − (thỏa mãn)

Vậy phương trình đường thẳng AB là: y= − −2x

Ví dụ 4. Cho ba đểm khơng thẳng hàng A(− −2; ,) ( )B 0; C(2;02) Xác định điểm D mặt phẳng tọa độ cho ABCD hình bình hành

Dễ thấy BC y: = − +2x

Giả sử có D để ABCD hình bình hành

Khi AD BC// nên đường thẳng AD có phương trình: y= − −2x (vì đường thẳng AD qua A)

Vì D∈AD nên D x( 0; 2− x0−6)

Tứ giác ABCD hình bình hành nên: AD=BC⇔ AD2 =BC2

( ) (2 )2 2 ( )2

0 2 4

x x

⇔ + + − − = + − 0

0

x x

=  ⇔  = −



( ) ( )

1 4; , 0;

D D

⇒ − − Từ hình 14 suy loại D1 khơng thứ tự đỉnh tứ

giác ABCD Vậy D(0; 6− )

Dạng XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG THẲNG VỚI QUAN HỆ VNG GĨC Phương pháp giải

Viết phương trình đường thẳng qua điểm vng góc với đường thẳng cho trước:

Gọi phương trình đường thẳng cần tìm y=ax+b D

2 A

o

Hình 14 y B

C

-2 -2

+ Sử dụng điều kiện hai đường thẳng vng góc để xá định hệ số a

+ Với a vừa tìm được, sử dụng điều kiện điểm thuộc đường thẳng để xác định tung độ gốc b

Ví dụ 1. Tìm m để đường thẳng ( )d :y=m x2 + −1 m vng góc với đường thẳng

( )

: 2012

4

d′ y= − x+

Lời giải

( ) ( )

'

4

d ⊥ d′ ⇔a a = − ⇔ m − = −

 

2

4

2

m m

m

=  ⇔ = ⇔ 

= −  Vậy m= ±2 ( ) ( )d ⊥ d′

Ví dụ 2. Tìm a b, biết đường thẳng ( )d1 : y=ax b+ vng góc với đường thẳng ( )2

1 :

2

d y= − x ( )d1 qua điểm P(1; 1− )

Lời giải

Vì ( ) ( )d1 ⊥ d2 nên 1 3

a a′ = − ⇔a− = − ⇔ =a

  Ta có: ( )d1 :y=3x b+ Vì ( )d1 qua điểm P(1; 1− ) nên 3.1+ = −b ⇔ = −b

Vậy a=3 b= −4

Ví dụ Cho ba điểm A( )1; , B( ) ( )3;0 ,C 0;1

a) Chứng minh , ,A B C ba đỉnh tam giác

b) Viết phương trình đường thẳng chứa đường cao AH ∆ABC

Lời giải

a) Gọi phương trình đường thẳng qua B( )3;0 C( )0;1 BC y: =ax+b Ta có: B∈BC nên 0=a.3+ ⇔b 3a+ =b (1)

C∈BC nên: 1=a.0+ ⇔ =b b (2) Từ ( )1 ( )2 suy ra: 1 : 1

3

Vì A∉BC nên ba điểm , ,A B C không thẳng hàng Vậ ba điểm , ,A B C ba đỉnh

tam giác

b) Gọi phương trình đường cao AH ( )d′ : y=a x b′ + ′ Vì AH đường cao tam giác ABC nên

( ) '

AH ⊥BC ⇔ d′ ⊥BC⇔ a a = − ' 1 '

3

a   a

⇔ − = − ⇔ =   Mặt khác: A( ) ( )1; ∈ d′ nên 2=a′.1+ ⇔ =b′ 3.1+ ⇔ = −b′ b′ Vậy phương trình đường caoAH ∆ABC y=3x−1

Ví dụ 4. Cho M( ) ( ) (0; ,N 1;0 ,P − −1; 1) trung điểm cạnh BC, CA AB tam giác ABC Viết phương trình đường trung trực đoạn thẳng AB

Lời giải

Gọi phương trình đường thẳng trung trực đoạn AB ( )d :y=mx+n Gọi phương trình đường thẳng MN là: y=ax+b Ta có:

( )1;0

N ∈MN ⇒ =a +b hay a= −b ( )0; 2

M ∈MN ⇒ =a +b hay b= ⇔ = −2 a Do phương trình đường thẳng MN là: y= − +2x

Vì M N, trugn điểm CB CA nên MN đường trung bình ∆ABC

//

MN AB

⇒

Vì ( )d đường trung trực đoạn AB nên ( )d ⊥ AB Hình 15

P -1;-1( ) N M

C

B

( ) ( )

2

d MN m m

⇒ ⊥ ⇒ − = − ⇒ =

( )

:

d y x n

⇒ = +

Vì P(− −1; 1) trung điểm đoạn AB nên đường thẳng ( )d qua P(− −1; 1) ( )

1

1

2 n n

⇒ − = − + ⇔ = −

Vậy phương trình đường trung trực đoạn thẳng AB là: 1 2

y= x−

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN

1. Cho đường thẳng ( )d :y=ax+b Tìm giá trị a b trường hợp sau:

A. ( ) ( )d // d1 :y=2x+3; B. ( )d trùng ( )d2 :y= − +x 1;

C. ( )d cắt ( )3 :

d y= x; D. ( ) ( )4 :

2

d ⊥ d y= − x

2. Viết phương trình đường thẳng ( )d′ song song với đường thẳng ( )d :y= − +4x qua điểm M(1; 1− )

3. Xác định a b để đường thẳng ( )d1 : y=ax b+ vng góc với đường thẳng ( )2

1 :

2

d y= − x qua điểm P(−1; 2)

4. Đường thẳng ( )d :y= − +ax 2011 song song với đường phân giác góc phần tư ( )I ( )III hệ số a ( )d bằng:

A 1 B −1 C 0 D

2011 − 5. Cho bốn đường thẳng ( )1 :

3

d y= x− ; ( )d2 :y= −3x; ( )d3 :y= − +3x ( )4

1

:

3

d y= x+ cắt bốn điểm phân biệt , , ,M N P Q Khi bốn điểm , , ,M N P Q bốn đỉnh:

A. Một hình thang B. Một hình bình hành

6. Cho tam giác ABC có A( ) (1;5 ,B −3;1 ,) ( )C 5;3 a) Viết phương trình đường trung trực cạnh BC

b) Viết phương trình đường trung bình MN tam giác ABC (MN BC// )

7. Cho M( ) ( ) (0; , N 2;0 ,P − −1; 2) trung điểm cạnh BC CA, AB tam giác ABC Viết phương trình đường thẳng AB

8. Cho hai đường thẳng ( )d1 :y=mx+m ( )d2 : y= 3x+m2+ Chứng minh ( )d1 ( )d2 không trùng với giá trị m

9. Cho ba điểm không thẳng hàng A(−3;0 ,) ( )B 0; C( )1;0 Xác định điểm D mặt phẳng tọa độ cho ABCD hình bình hành

HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ 1. a) ( ) ( )d // d1 ⇔ =a 2;b≠3

b) ( ) ( )d ≡ d2 ⇔ = −a 1;b=1 c) ( )d cắt ( )3 1;

2

d ⇔ ≠a b∈

d) ( ) ( )d ⊥ d4 ⇔ a a '= − ⇔ =1 a 2;b∈

2. Gọi phương trình đường thẳng ( )d' y=ax+b

Vì ( ) ( )d' // d :y= − +4x nên a= −4 b≠5 Mặt khác ( )d′ qua M(1; 1− ) nên a.1 b

− = + ⇔ + = − ⇔ − + = −a b b (vì a= −4) ⇔ =b (thỏa mãn) Vậy ( )d' :y= − +4x

3. Vì ( ) ( )d1 ⊥ d2 nên ' 1 2

a a = − ⇔a− = − ⇔ =a

  Do ( )d1 : y=2x b+ Vì ( )d1 qua điểm P(−1; 2) nên 2.( )− + = ⇔ =1 b b

4. ( )d' :y=x đường phân giác góc phần tư (I) (III)

5. ( ) ( )d1 // d4 '; 2 '

a= =a b= − ≠ =b ; tương tự ( ) ( ) ( ) ( )d2 // d3 ; d2 ⊥ d4 1.( )3 − = −

Do đó, bốn điểm , , ,M N P Q bốn đỉnh hình chữ nhật Chọn (C)

6. a) Gọi phương trình đường thẳng BC là: y=ax+b Vì B(−3;1)∈BC nên 1= − + ⇒ = +3a b b 3a ( )1 ;

( )5;3

C ∈BC nên 3=5a+b ( )2 Thay (1) vào (2) ta 1;

4

a= b= Do đó: : 4

BC y= x+

Trung trực BC đường thẳng ( )d vng góc với BC trung điểm I BC Tọa độ điểm I là: 1;

2

B C B C

I I

x x y y

x = + = y = + = hay I( )1; Do đường trung trực ( )d :y= − +4x m qua I( )1; nên ta m=6 Vậy đường thẳng ( )d là: y= − +4x

b) Gọi ,M N trung điểm AB AC, Khi ta có: M(−1;3) Vì MN / /BC nên MN có dạng:

4

y= x+n

4

n

 ≠   

  Do M(−1;3) thuộc MN nên 13

4

n= (thỏa mãn)

Vậy MN có phương trình: 13

4

y= x+

7. Phương trình đường thẳng MN là: y= − +2x

Vì AB MN// nên phương trình đường thẳng AB có dạng: y= − +2x b b'( '≠2) Vì đường thẳng AB qua P(− −1; 2) nên − = − − + ⇔ = −2 2.( )1 b′ b'

Vậy phương trình đường thẳng AB là: y= − +2x

8. Cách ( ) ( ) ( )

( )

1 2

3

'

' 3 2

m

a a

d d

b b m m

 = =

  ≡ ⇔ ⇔

= = +

Thay (1) vào (2) ta được: 3= (vơ lí) Dơ ( )d1 không trùng ( )d2 với m

Cách Giả sử: ' 3

4

b= ⇔b m=m + ⇔ m − + +m − =

1

3

2

m

    ⇔ −  + − =

    (vơ lí) Do điều giả sử sai Vậy ( )d1 không trùng ( )d2 với m

Chú ý: Chỉ cần a≠a' b≠b' ( )d1 :y=ax b+ khơng trùng ( )d2 : y=a x′ +b′

9. Đáp số: D(− −2; 2)

§5 HỆ SỐ GĨC CỦA ĐƯỜNG THẲNG y=ax+b (a≠0)

A TRỌNG TÂM KIẾN THỨC 1 Hệ số góc đường thẳng

+ Góc α tạo tia Ax (A giao điểm đường thẳng y=ax+b với trục Ox) tia AB, tia AB phần đường thẳng

y=ax+b nằm nửa mặt phẳng có bờ x’x chứa tia Oy gọi góc tạo đường thẳng y=ax+b trục Ox (hình 16)

+ Vì có liên quan hệ số a với góc tạo đường thẳng y=ax+b trục Ox nên người ta gọi a hệ số góc đường thẳng

y=ax+b

Khi góc α nhọn a=tanα

Khi góc α tù a= −tan 180( 0−α)

+ Các đường thẳng có hệ số góc a tạo với Ox góc Các đường thẳng song song trùng có hệ số góc + Khi a>0 góc α nhọn, hệ số a lớn α lớn

+ Khi a<0 góc α tù, hệ số a lớn α lớn

A y = ax + b

α

o

Hình 16 y

B

B CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng 1.XÁC ĐỊNH HỆ SỐ GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG

Phương pháp giải

Ví dụ 1 Đường thẳng y=(m+1)x+5 qua điểm F(−1;3) có hệ số góc bao nhiêu? Giải

Kí hiệu ( )d đường thẳng y=(m+1)x+5 Vì F(−1;3) ( )∈ d nên 3=(m+1)( )− + ⇔ =1 m

Vậy hệ số góc đường thẳng ( )d a= + = + =m 1

Ví dụ 2 Tính hệ số góc đường thẳng ( )d :y=(m−2)x+3 biết song song với đường thẳng ( )d' : 2x− − =y Vẽ đồ thị ( )d vừa tìm

Giải

+ Đường thẳng ( )d' có phương trình 2x− − = ⇔ =y y 2x−1

Vì ( ) ( )d / / d' ⇔ =a a' b≠b' nên m− =2 3≠ −1

Do hệ số góc đường thẳng ( )d

+ Ta có ( )d :y=2x+3 Vẽ đường thẳng qua hai điểm A( )0;3 3;0

2

B− 

  đường thẳng ( )d cần vẽ (h.17)

Ví dụ 3. Tính hệ số góc đường thẳng ( )d :y= −(1 m x) +1, biết vng góc với đường thẳng ( )d' :x−2y− =4 Vẽ đồ thị ( )d vừa tìm

Giải

y

-3

A

o

Hình 17

B

+ Đường thẳng ( )d' có phương trình

2

2

x− y− = ⇔ =y x−

Vì ( ) ( )' ' (1 ).1 1 2

d ⊥ d ⇔a a = − ⇔ −m = − ⇔ − = −m

Do hệ số góc đường thẳng ( )d −2

+ Ta có ( )d :y−2x+1 Vẽ đường thẳng qua hai điểm ( )0;1

A 1;0

2

B 

  đường thẳng ( )d cần vẽ (h.18)

Ví dụ 4. Tính hệ số góc đường thẳng qua hai điểm A(−1;1) B(2; 3− ) Giải

Giả sử phương trình đường thẳng qua hai điểm A(−1;1) B(2; 3− ) :

AB y =ax+b

Ta có: A∈AB nên: 1=a.( )− + ⇔ − + = ⇔ = +1 b b b a (1) B∈AB nên: 3− =a.2+ ⇔ = − −b b 2a (2) Từ (1) (2) ta có:

3

a a a

− − = + ⇔ = − Vậy hệ số góc đường thẳng AB là:

3

a= −

Dạng 2.XÁC ĐỊNH GÓC Phương pháp giải

Vận dụng định nghĩa góc đường thẳng y=ax+b (a≠0) trục Ox; vận dụng tỉ số lượng giác góc nhọn; vận dụng tam giác đồng dạng

Ví dụ 1. Tính góc tạo đường thẳng y= − +2x trục Ox Giải

Vẽ đường thẳng y= − +2x Khi BAx góc tạo đường thẳng y= − +2x với trục Ox (hình 19)

y

1

o

Hình 18

x

Vận dụng định nghĩa góc đường thẳng trục Ox; vận dụng tỉ số lượng giác góc nhọn; vận dụng tam giác đồng dạng

y B

Xét tam giác vuông ABO, ta có:

 

tan 63 26 '

1,5

OB

OAB OAB

OA

= = = ⇔ ≈

 

180 116 34 '

BAx OAB

⇒ = − ≈

(Trong giá trị tuyệt đối hệ số góc đường thẳng y= − +2x 3)

Ví dụ 2. Cho đường thẳng ( )d :y=mx+ Tính góc tạo đường thẳng ( )d với trục Ox, biết ( )d qua điểm A(−3;0)

Giải

Vì ( 3;0) ( ):

A − ∈ d y=mx+ ⇒ =m

Khi ( )d có phương trình 3

y= x+

Gọi α góc tạo đường thẳng ( )d với trục Ox Khi ta có:

0

tan 30

3

α = ⇒ =α

Vậy góc tạo đường thẳng ( )d với trục Ox 30

Ví dụ 3.Cho hai đường thẳng ( )d1 : y= −2x ( )2

d = x ( )d đường thẳng song song với trục Ox cắt Oy điểm có tung độ 3; ( )d cắt ( )d1 ( )d2 A B Chứng minh rằng: AOB=900

Giải

Vẽ ba đường thẳng ,( )d , ( )d1 ,( )d2 hình 21

Xét hai tam giác AHO OHB, ta có:

^ ^

0

90 ;

2

HA HO

AHO OHB

HO HB

= = = =

Do đó: ∆AHO ∽ ∆OHB⇒  AOH =OBH

y Hình 20 α -3 A o d

( ):y =

3x +

Mà  AOH +HOB=900 ⇒AOB=900

Chú ý: ( )d1 : y= −2x có hệ số góc a1= −2; ( )2

d = x có hệ số góc 2

a =

Ta thấy: 1 2 ( )2 1

a a = − = − , đó: ( ) ( )d1 ⊥ d2

Dạng 3. XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG THẲNG

Phương pháp giải

Ví dụ 1 Xác định đường thẳng ( )d qua điểm A(−2;3) có hệ số góc −2 Giải

Gọi phương trình đường thẳng ( )d là: y=ax+b

Vì ( )d có hệ số góc −2 nên a= − ⇒2 ( )d :y= − +2x b

Vì A(−2;3) ( )∈ d nên 3= −( ) ( )2 − + ⇔ = −2 b b Do phương trình đường thẳng ( )d y= − −2x

Ví dụ 2 Xác định đường thẳng ( )d qua điểm A(−1;1) tạo với trục Ox góc

45 Giải

Đường thẳng ( )d có dạng y=ax+b Vì A(−1;1) ( )∈ d nên ( )

1=a − + ⇔ = +1 b b a

Vì ( )d tạo với trục Ox góc 45 nên a=tan 450 = ⇒ =1 b Do phương trình đường thẳng ( )d y= +x

Ví dụ 3 Xác định đường thẳng ( )d qua điểm A( )0;1 tạo với đường thẳng y=2 góc 60

Giải

• Gọi phương trình đường thẳng cần tìm Ta cần xác định a b • Chú ý rằng: Gọi góc tạo đường thẳng với trục Ox

Ta có:

− Khi góc nhọn

Đường thẳng ( )d có dạng y=ax+b Vì A( ) ( )0;1 ∈ d nên 1=a.0+ ⇔ =b b

Vì đường thẳng y=2 song song với trục hồnh nên từ đề ta có ( )d tạo với trục Ox góc 60

Ta có: a=tanα =tan 600 = Vậy ( )d :y= 3x+1

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN

1 Đường thẳng ( )d qua giao điểm hai đường thẳng y= +x 1, y=2x song song với đường thẳng y=2 x+ +2 là:

(A) y= 4x+ −2 2; (B) y=(2+ 2)x+1; (C) y= 2x+ −2 2; (D) y= +x

2 Đường thẳng

2

y= x+ vng góc với đường thẳng đây?

(A) 2

y= − x− ; (B)

2

y= x− ;

(C)

y= − +x ; (D) 2

y= x−

3 Đường thẳng y=(m+1)x−2 vng góc với đường thẳng 2011

y= x+ m ? (A) −2 (B) −3 (C) −1 (D)1

4 Xác định đường thẳng ( )d biết có hệ số góc qua điểm A(−3; 2)

5 Tính hệ số góc đường thẳng qua hai điểm A( )1; B( )3;

6 Cho đường thẳng ( )d :mx+3 Tính góc α tạo đường thẳng ( )d với trục Ox, biết: a) ( )d qua điểm A(− 3;0)

7 Xác định đường thẳng ( )d qua điểm A( )0;3 tạo với đường thẳng y=2 góc

60

HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ 1 (C)

2 (C)

3 (B)

4 y=2x+8

5 AB y: = + ⇒x đường thẳng AB có hệ số góc a=1

6 a) α =60

b) m= − <1 nên −tan 180( 0−α)= − ⇔1 1800− =α 450 ⇔ =α 135

ÔN TẬP CHƯƠNG II

A TRỌNG TÂM KIẾN THỨC 1 Hàm số

+ Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay đổi x theo quy tắc f cho với giá trị x, ta xác định giá trị tương ứng y mà y= f x( ) y gọi

là hàm số x x gọi biến số

+ Cách cho hàm số: Hàm số thường cho công thức

Chú ý: Có số cách khác cho hàm số như: Bảng, sơ đồ Ven, đồ thị

+ Đồ thị hàm số: Tập hợp điểm biểu diễn cặp giá trị tương ứng (x f x; ( )) mặt phẳng tọa độ gọi đồ thị hàm số y= f x( )

+ Tính đồng biến, nghịch biến hàm số: Cho hàm số y= f x( ) xác định tập hợp

D khoảng, nửa khoảng hay đoạn, với x x1, 2∈D:

Nếu x1<x2 mà f x( )1 < f x( )2 hàm số y= f x( ) đồng biến D

Nếu x1<x2 mà f x( )1 > f x( )2 hàm số y= f x( ) nghịch biến D

2 Hàm số bậc

+ Hàm số bậc hàm số cho cơng thức y=ax+b, a, b số

cho trước a≠0 + Tập xác định: 

+ Khi a>0 hàm số đồng biến ; Khi a<0 hàm số nghịch biến  + Đồ thị hàm số đường thẳng

+ Hệ số a a( ≠0) gọi hệ số góc đường thẳng y=ax+b

+ Cho hai đường thẳng ( ) :d y=ax+b (a≠0) đường thẳng ( ') :d y=a x' +b' (a'≠0) Ta có:

( ) ( )d / / d' ⇔ =a a' b≠b' ( ) ( )d ≡ d' ⇔ =a a' b=b' ( )d cắt ( )d' ⇔ ≠a a'

B CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng 1. VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ BẬC NHẤT

Phương pháp giải

Ví dụ 1 Cho hàm số ( ) :d y= −x ( ') :d y= − +x

Vẽ đồ thị ( )d ( )d' hệ trục tọa độ Xác định tọa độ giao điểm ( )d

và ( )d' Giải

+ TXĐ: 

+ Vẽ ( )d :

Cho x= ⇒ = − = − ⇒0 y 1 A(0; 1− ) thuộc trục tung

Cho y= ⇒ = − ⇒ = ⇒0 x x B( )1;0 thuộc trục hoành

Vẽ đường thẳng AB ta đồ thị ( )d (hình 22) + Vẽ ( )d' :

Cho x= ⇒ = + = ⇒0 y 3 C( )0;3 thuộc trục tung Bước 1 Tìm tập xác định ( TXĐ hàm số bậc ) Bước 2. Vẽ đồ thị

Cách 1. + Xác định hai điểm phân biết đồ thị vẽ đường thẳng qua hai điểm

Cách 2. + Xác định giao điểm đồ thị với hai trục tọa độ:

• Cho thuộc trục tung

• Cho thuộc trục

hoành

Vẽ đ hẳ MN đ đồ hị hà ố

Hình 22 O -1A

B

d' d

D I

C

y

Cho y= ⇒ = − + ⇒ = ⇒0 x x D( )3;0 thuộc trục hoành Vẽ đường thẳng CD ta đồ thị ( )d'

+ Xác định tọa độ giao điểm I ( )d ( )d' :

Cách 1 Từ giao điểm I ta vẽ đường vng góc với hai trục tọa độ ta xác định I( )2;1

Cách 2 Gọi tọa độ giao điểm I (x yI; I)

Vì giao điểm ( )d ( )d' nên I vừa thuộc ( )d , vừa thuộc ( )d' Vì I x y( I; I) ( )∈ d :y= −x nên y1= −x1

Vì I x y( I; I) ( )∈ d' :y= − +x nên y1 = − +x1

Suy ra: x1− = − + ⇔1 x1 2x1= ⇔4 x1= ⇒2 y1= − + = − + =x1 3 Vậy tọa độ giao điểm I ( )2;1

Chú ý

• Hồnh độ giáo điểm I nghiệm phương trình x− = − +1 x

• Số giao điểm ( )d : y= f x( ) ( )d' :y= g x( ) số nghiệm phương trình f x( )=g x( ) ngược lại

Ví dụ 2 Vẽ đồ thị ( )G hàm số y= −x Giải

Vẽ

( ): 2 ( 2) (1)

2 ( 2) (2)

x x

G y x

x x

− ≥ 

= − = − + < 

Đồ thị ( )G gồm hai nhành (1) (2) Nhánh (1) ( )G : điều kiện x≥2 Cho x= ⇒ = − = ⇒2 y 2 A( )2;0 thuộc trục hoành

Cho x= ⇒ = − = ⇒3 y B( )3;1

O

Hình 23

x = 2 1

2 ( )

1 ( ) B

3 2 A 2

y

Vẽ tia AB ta nhánh (1) đồ thị ( )G

Tương tự, vẽ nhánh (2) ta thu đồ thị ( )G có hình chữ V hình 23 Chú ý. Hai nhánh ( )G đối xứng qua đường thẳng x=2

Ví dụ 3. Cho hàm số y= +x 2x−2

a) Vẽ đồ thị ( )G hàm số

b) Biện luận theo tham số m số nghiệm phương trình x+ 2x− =2 m Giải

a) Vẽ ( )

( )

3 ( 1) (1)

: 2

2 (2)

x x

G y x x

x x

− ≥ 

= + − = 

− + < 

Đồ thị ( )G gồm hai nhánh (1) (2) Nhánh (1) ( )G : điều kiện x≥1 Cho x= ⇒ =1 y 3.1 1− = ⇒ A( )1;1 Cho x= ⇒ =2 y 3.2 2− = ⇒4 A( )2; Vẽ tia AB ta nhánh (1) đồ thị ( )G

Tương tự, vẽ nhánh (2) ta thu đồ thị ( )G hình 24

b) Số nghiệm phương trình x+ 2x− =2 m (*) số giao điểm đường thẳng ( )d :y=m đồ thị ( )G :y= +x 2x−2

Từ đồ thị ta thấy:

+ Nếu m<1thì phương trình ( )* vơ nghiệm + Nếu m=1thì phương trình ( )* có nghiệm

+ Nếu m>1thì phương trình ( )* hai nghiệm phân biệt

Ví dụ 4. Với giá trị tham số a phương trình 2x− + = +a x (*) có nghiệm nhất?

(Thi vào khối PT chuyên Toán – Tin ĐHSPHN năm học 1997-1998)

y

x y = m

( )

( )

A m

1

2 O

+ Ta có: ( )* ⇔ 2x− = + −a x (1)

Số nghiệm phương trình (1) số giao điểm đồ thị ( )G :y= 2x−a đồ thị

( )G' :y= + −x

Vẽ hai đồ thị ( )G ( )G' hình 25

Phương trình ( )* có nghiệm ⇔( )1 có nghiệm

( )G

⇔ ( )G' có điểm chung

2

a

⇔ = − 2

a = −

8

a

⇔ = − a= −4

Dạng 2 XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG THẲNG Phương pháp giải

Ví dụ 1 Tìm m n để đường thẳng ( )d :y=(m−1)x+ −2 n qua hai điểm A(2; 1− ) ( 3; 6)

B − − Giải

Ta có: A∈( )d nên − =1 (m−1 2) + − ⇔2 n 2m− = − ⇔ =n n 2m+1 (1) ( )

B∈ d nên − =6 (m−1 ) ( )− + − ⇔ −3 n 3m− = −n 11 (2) Thay (1) vào (2) ta được: −3m−(2m+ = − ⇔ −1) 11 5m= − ⇔ =10 m

2 2.2

n m

⇒ = + = + =

1 Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cho trước

2 Viết phương trình đường thẳng qua điểm có hệ số góc cho trước

3 Viết phương trình đường thẳng qua điểm song song với đường cho trước

4 Viết phương trình đường thẳng qua điểm vng góc với đường thẳng cho trước

y

x

Hình 25 -1

G' ( ) G

( )

y = 2x - a

y = x + -

-a

2

a -2 -3

Vậy m=2 n=5 ( )d : y= −x qua hai điểm A(2; 1− ) B(− −3; 6)

Ví dụ 2. Viết phương trình đường thẳng ( )d cắt ( )d' điểm có tung độ −1 biết ( )d

có hệ số góc Giải

Gọi A giao điểm ( )d ( )d' Vì A có tung độ −1 nên hoành độ

điểm A 1− = −x hay x=2 Do : A(2; 1− ) Gọi phương trình đường thằng ( )d là: y=ax+b

Ta có ( )d có hệ số góc nên a= ⇒2 ( )d :y=2x+b Vì A(2; 1− ∈) ( )d nên 1− =2.2+ ⇔ = −b b

Do phương trình đường thẳng ( )d y=2x−5

Ví dụ 3. Cho đường thẳng ( )d : y=3x−2 điểm M(−1;1) Viết phương trình đường thẳng ( )d' qua song song với ( )d

Giải

Gọi phương trình đường thẳng ( )d' y=ax+b Vì ( ) ( )d' / / d :y=3x−2 nên a=3 b≠ −2 Mặt khác ( )d' qua M(−1;1) nên:

( )

1=a − + ⇔ − + = ⇔ =1 b b b (thỏa mãn) Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là: y=3x+4

Ví dụ 4. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho M( )2; , N( )0; Tìm điểm A mặt phẳng tọa độ Oxy cho AM = AN

Giải

Cách 1 Tọa độ trung điểm đoạn MN là:

1;

2

M N M N

I I

x x y y

x = + = y = + = hay I( )1;3

( )2; 4

M ∈MN ⇒ a=a +b hay b= −2a+4; ( )0; 2

N ∈MN ⇒ =a +b hay b= ⇒ =2 a Do phương trình đường thẳng MN là: y= +x

Vì AM = AN ⇒ A thuộc đường trung trực đoạn MN hay A∈( )d Vì ( )d đường trung trực MN nên ( )d ⊥MN ⇔ m.1= − ⇒ = −1 m

( ) :d y x n

⇒ = − +

Vì I( )1;3 trung điểm đoạn MN nên đường thẳng ( )d qua I( )1;3 ( )

3 1 n n ⇒ = − + ⇒ =

Vậy tập hợp điểm A đường thẳng ( )d :y= − +x Cách 2 Gọi tọa độ A ( )x y;

Ta có: AM = AN ⇔ (2−x) (2+ 4−y)2 = (0−x) (2 + 2−y)2

( ) (2 ) (2 ) (2 )2

2 2

2

4 16 4

16 4

x y x y

x x y y x y y

x y

y x

⇔ − + − = − + − ⇔ − + + − + = + − + ⇔ − =

⇔ = − +

Vậy tập hợp điểm A mặt phẳng Oxy thỏa mãn tốn đường thẳng có phương trình: y= − +x

Dạng 3. CỰC TRỊ

Phương pháp giải

• Vận dụng bất đẳng thức đại số

• Vận dung quan hệ đường xiên đường vng góc • Vận dụng hệ thức lượng tam giác vuông

Ví dụ 1. Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ O( )0;0 đến đường thẳng ( )d có phương trình

2 2

2 m y x m m − = +

− − đạt giá trị lớn ( với m≠ −2) Giải

Vì tung độ gốc 2

b m

= ≠

− nên ( )d không qua gốc tọa độ

Trường hợp 1: Xét m=1 Khi ( )d : y= −2 Do khoảng cách từ O( )0;0 đến ( )d

Trường hợp 2 Xét m≠1

Khi ( )d cắt trục hồnh điểm ;0 A m −    − 

  cắt trục tung điểm

2 0; B OA m m   ⇒ =  −  −  

2 OB m = −

Kẻ OH vng góc với ( )d H độ dài OH khoảng cách từ O đến ( )d Áp dụng hệ thức 12 12 12

h = a +b vào tam giác vng ABO ta có:

( ) ( )

2 2

2

2 2 2

1 1

2

OA OB OH

OH =OA +OB ⇒ = OA +OB = m− + m−

2

2 2

5

5 12 6 4

5 5 OH m m m ⇒ = = ≤ = − +   − +     (dấu “=” xảy

5

m= )

Kết hợp hai trường hợp ta có

m= OHmax =

Giải

Điều kiện (*)

( )

( )

( )

( )

6 1;

2 1;

4 1;

0 1;

x y x y

x y x y

x y x y

x y x y

 + = ≥ ≥  − = ≥ ≤  ⇔  − + = ≤ ≥  − − = ≤ ≤ 

⇒ Tập hợp điểm A, B thỏa mãn (*) hình vng MNPQ hình 26

6

AB MP

⇒ ≤ ≤

Dấu “=” xảy A, B hai đỉnh đối hình vng MNPQ

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN 1. Hàm số 1

2

y

x x

= +

− − khôngxác định với:

(A) x=2 (B) x>2 (C) x<2 (D) Với x thuộc 

2. Với giá trị m hàm số y=(m2−2)x+1 hàm số bậc đồng biến? (A) − 2< <m 2; (B) m> m< − 2;

(C) m≠ ±2; (D) Với giá trị m thuộc 

3. Cho hàm số y= f x( )=ax5+bx3+2007x+1 với a b, ∈*, biết f ( )2 =2, tính f ( )−

4. Cho hàm số y=(m−3)x2+m x( − +1)

a) Với giá trị m hàm số cho hàm số bậc nhất?

b) Với giá trị vừa tìm m câu a, hàm số cho đồng biến hay nghịch biến?

5.Cho đường thẳng ( ): 3

d y= x+

a) Vẽ đường thẳng ( )d

b) Tính góc tạo đường thẳng ( )d trục Ox

c) Tính diện tích tam giác đường thẳng ( )d tạo với hai trục tọa độ

6 Xác định hàm số y=ax+b, biết đồ thị song song với đồ thị hàm số y= −2x

và qua điểm A(1; 3− )

7.Cho đường thẳng ( )1 : 3; ( )2 : 1; ( )3 : 2

d y= − +x d y= x+ d y= − −x

Khơng vẽ đồ thị hàm số đó, cho biết vị trí tương đối đường thẳng nào?

8.Cho đường thẳng ( )d1 : y=(2m−1)x+m2−1; ( )d2 : y=(m+3)x−3 a) Tìm giá trị m để ( ) ( )d1 / / d2

b) Tính giá trị m để ( )d1 qua gốc tọa độ

9 Tìm điểm đường thẳng ( )d :y= − +2x 25 cho khoảng cách OM nhỏ nhất, với O gốc tọa độ

HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ 1. (D)

2. (B)

3. f ( )− =0

4. a) m=3 b) Đồng biến

5. b) 36 52 '; c) (đvdt)

6. y= − −2x

7. ( ) ( )d1 / / d3 ; ( ) ( )d1 ⊥ d2 ( ) ( )d2 ⊥ d3 8. a) m=4; b m) = ±1

9. Gọi tọa độ điểm M ( )a b; Khoảng cách OM = a2+b2 Ta có M a b( ) ( ); ∈ d :y= − +2x 25 nên b= − +2a 25⇔ 2a+ =b 25

Áp dụng bất đẳng thức (ax+by)2 ≤(a2+b2)(x2+ y2) với ( ) ( )x y; = 2;1 , ta có:

( )2 ( )( )

2 2 2 2

Do ( )

2 25

10

5 10;5

5

a b

a

OM a M

b b

+ =

  = 

= ⇔  ⇔ = ⇒

= 



Chú ý. Ta giải tốn sau : OMmin ⇔OM ⊥( )d Ta xác định tọa độ điểm M cách: