Đang tải... (xem toàn văn)
Th ực hiện các phép biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậ hai rồi thu gọn các căn thức đồng d ạng hoặc rút gọn các thừa số chung ở tử và mẫu... N ếu quy đồng mẫu thì rất phức tạp..[r]
(1) Sưu tầm
PHÂN LOẠI CÁC DẠNG TOÁN CĂN THỨC BẬC HAI LỚP
(2)MỤC LỤC
PHẦN ĐẠI SỐ
Chương I CĂN BẬC HAI, CĂN BẬC BA
§1 CĂN BẬC HAI
§2 CĂN THỨC BẬC HAI VÀ HẰNG ĐẲNG THỨC A = A
§3 LIÊN HỆ GIỮA PHÉP NHÂN VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG 10
§4 LIÊN HỆ GIỮA PHÉP CHIA VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG 20
§6 §7 BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI 26
§8 RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI 37
(3)PHẦN ĐẠI SỐ
Chương I CĂN BẬC HAI, CĂN BẬC BA
§1 CĂN BẬC HAI
§2 CĂN THỨC BẬC HAI VÀ HẰNG ĐẲNG THỨC A2 = A A. TRỌNG TÂM KIẾN THỨC
1 Căn bậc hai số học
Với số dương a, số a gọi bậc hai số học a Số gọi bậc hai số học
Với a≥0 , ta có:
2 x a x
x a ≥ = ⇔
=
Với hai số avà b không âm, ta có a < b⇔ a < b 2 Căn thức bậc hai
Với A biểu thức đại số , người ta gọi Alà căn thức bậc hai của A, A gọi biểu thức lấy hay biểu thức dấu
A xác định ( hay có nghĩa ) A lấy giá trị khơng âm
Ta có nÕu A nÕu A < A
A A
A
≥
= = −
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng TÌM CĂN BẬC HAI SỐ HỌC CỦA MỘT SỐ
Phương pháp giải
Dựa vào định nghĩa bậc hai số học số không âm:
2 x a x
x a ≥ = ⇔
=
Ví dụ 1.Tìm bậc hai số học tìm bậc hai của:
a) 121 b)
2 −
(4)a) Ta cú 121=11 110 112 =121 Do ú s 121 có hai bậc hai 11 -11 b)
2
2
5
− =
2 ≥
2
2
5
= − Do số
2 −
có hai bậc hai
2 −
Ví dụ Tính giá trị biểu thức: 0,09 0,36 2,25.+ −
Giải
Ta có 0, 09+7 0,36−3 2, 25
=0,3 7.0, 3.1,5+ − =0,3 4, 4,5+ − =0
Ví dụ Giá trị biểu thức sau số vô tỉ hay hữu tỉ: - 18 ?
16 16
Giải
9 25
1 - 18 - 18 18
16 16 16 16 4
= = − = =
Vậy giá trị biểu thức cho số hữu tỉ, số tự nhiên
Dạng SO SÁNH CÁC CĂN BẬC HAI SỐ HỌC Phương pháp giải
Dựa vào tính chất : Nếu ,a b≥0 a< ⇔b a < b
Ví dụ Khơng dung máy tính bảng số , so sánh 8và 65
Giải
Cách 1: Ta có 8= 64 Vì 64 < 65 nên 8< 65
Cách 2: Vì ( )2
8 =64; 65 =65
Nên 82 <( )65 , suy < 65
(5)Như vậy, để so sánh hai số dương ta so sánh bình phương chúng Ví dụ 2. Khơng dung máy tính bảng số , so sánh 15 1− 10
Giải
Ta có 15 1− < 16 1− = – = 3, 10 > =
Vậy 15 1− < 10
Ví dụ Với a < số lớn hai số −a −2a ?
Giải
Ta có -1 > -2 nên –a < -2a (vì a < ) Do −a < −2a
Dạng GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH Phương pháp giải
Với a≥0 : •
x =
x =a ± a
•
x = a
x =a
•
x < a
x<a ≤
Ví dụ Giải phương trình:
3x =0, 75
Giải
Ta có 3x2 =0, 75⇔ x2 =0, 25 Do x= ± 0, 25 = ±0,5
Ví dụ Giải phương trình: 3x =12
Giải
ĐKXĐ: x≥0
Ta có : 3x =12⇔ 3x = ⇔6 3x=36⇔ =x 12 ( thỏa mãn điều kiện) Ví dụ Tìm số x khơng âm, biết 1 10
(6)Giải
Với x≥0 ta có : 10 20 x < ⇔ x < ⇔5x<400⇔ <x 80
Vậy 0≤ <x 80
Ví dụ Tính tổng giá trị x thỏa mãn đẳng thức x2+25=13
Giải
Ta có : x2+25 =13 ⇔ x2+25 169=
2
169 25 x
⇔ = −
2 144 x
⇔ =
12
x ⇔ = ±
Vậy tổng giá trị x thỏa mãn đẳng thức cho (-12) + 12 =
Dạng TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ A CÓ NGHĨA Phương pháp giải
• A có nghĩa A≥0;
•
A có nghĩa A>0
Ví dụ Tìm x để thức 2− x có nghĩa
Giải
5−2x có nghĩa 2 5
x x x
− ≥ ⇔ − ≥ − ⇔ ≤ Ví dụ Tìm x để thức 2
4
x − x+ có nghĩa
Giải
2
4
x − x+ có nghĩa
(7)Điều xảy
(x−2) > ⇔ ≠0 x
Ví dụ Với giá trị x biểu thức 25−x2 có nghĩa?
Giải
2
25−x có nghĩa 25−x2≥0 ⇔ − ≥ −x2 25
2 25 x
⇔ ≤
5 x
⇔ ≤
5 x
⇔ − ≤ ≤
Ví dụ Tìm giá trị x để biểu thức 2 100
x − có nghĩa
Giải
2
100
x − có nghĩa
100 x − > ⇔ x2 >100
10 x ⇔ >
10 10 x x
> ⇔ < −
Ví dụ Có giá trị nguyên x để biểu thức M = x+ +4 2−x có nghĩa?
Giải
M có nghĩa
4
2
x x
x x
+ ≥ ≥ −
⇔ − ≥ ≤
Vì x∈Z nên x∈ − − − −{ 4; 3; 2; 1;0;1; 2} Vậy có giá trị nguyên x để biểu thức M có nghĩa
Dạng RÚT GỌN BIỂU THỨC DẠNG A2 Phương pháp giải
(8)nÕu A nÕu A < A
A A
A
≥
= = −
Ví dụ Rút gọn biểu thức A= x − +x
Giải
2
2 1
4 2
A= x − + =x x− = −x
Nếu
x≥ A= −x
Nếu
x< A= −x
Ví dụ Rút gọn biểu thức B= x4 + x6
Giải
( )2 ( )2
4
B= x + x = x + x
3
x x x x
= + = +
Nếu x≥0 B= x2+x3; Nếu x<0 B=x2−x3
Ví dụ Tính giá trị biểu thức C = 2− − 6−4
Giải
C = ( ) ( )
2
3 2− − 2− = 1− − 2− = 1− − −2 = (2− − − 2)=2 2−3
Ví dụ Tìm giá trị nhỏ biểu thức D= 4x2−4x+ +1
Giải
2
4
D= x − x+ +
(9)Vậy minD = x=
Ví dụ Tìm x, biết x2−6x+ +9 7x=13
Giải
Ta có x2−6x+ +9 7x=13
⇔ (x−3)2 +7x=13
3 13 (1)
x x
⇔ − + =
Nếu x≥3 x− = −3 x Khi (1) trở thành
3 13 16
x− + x= ⇔ x= ⇔ =x ( không thuộc khoảng xét ) Nếu x<3 x− = −3 x Khi (1) trở thành
5
3 13 10
3
x x x x
− + = ⇔ = ⇔ = ( thuộc khoảng xét ) Vậy giá trị x thỏa mãn đẳng thức cho
3 x=
Ví dụ Cho biểu thức: P=3x− x2−10x+25 a) Rút gọn biểu thức P;
b) Tính giá trị P x =
Giải
a) P=3x− x2−10x+25 =3x− (x−5)2 =3x− −x
• Nếu x≥5 P = 3x – ( x – ) = 2x + 5; • Nếu x<5 P = 3x + ( x – ) = 4x – b) Khi x = < giá trị biểu thức :
P = 4.2 – =
Lưu ý: Nếu bạn thay x = vào biểu thức 2x + để tính giá trị P bạn sai lầm
biểu thức P = 2x + x≥5
(10)a) Rút gọn biểu thức Q;
b) Tính giá trị x để Q =
Giải:
a) 2
2x 2x 2x ( 1) 2x
Q= − x + + = − x+ = − +x
* Nếu x≥ −1 Q=2x− + = −(x 1) x * Nếu x< −1 Q=2x+ + =(x 1) 3x+1 b) Ta phải xét hai trường hợp:
*Q= ⇔ − = ⇔ =7 x x ( Không thỏa mãn x≥ −1) *Q= ⇔7 3x+ = ⇔ =1 x ( Không thỏa mãn x< −1) Vậy Q =7 x=8
C BÀI TẬP TỰ LUYỆN
1 Khơng dùng máy tính bảng số, so sánh:
a) 26+3 63 ; b)
2
3
− 2. Tìm x, biết:
a) 5x2 =80 b) x =1 c) 3x ≤6
3.Tìm x để thức bậc hai sau có nghĩa: a)
9−x b)
2
2x
x + + c*) x2−4x
4.Tìm x để biểu thức sau có nghĩa:
a) 9−x2 b)
2
4
x − c)
1
2
x x+ + x− 5. Rút gọn biểu thức sau:
a) ( )
2
3− 10 b) 5− c)3x− x2−2x 1+
6. Giải phương trình:
a) x2−10x+25 =2 b) x2 =3x−2 c) 4x2−12x+ = +9 x 7*. TÌm giá trị xsao cho x >x
HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ
1. a) 26+ >3 63 b) 1
2
− < 2. a) x= ±4 b)
4
x= c) 0≤ ≤x 12
3. a)x<9 b)x∈R c) x≥4 x≤0
4. a) − ≤ ≤3 x b) x > x < -2 c) x≥0 x≠9
5. a) 10−3 b) 5−2 c)
2x 4x +
− 1 x x
(11)6 a) x=3 x = b) x=1 c) 10; x∈ −
7 x >x (1) Điều kiện x > Khi
(1)⇔ >x x (do hai vế (1) dương)
0 x x ⇔ − >
(1 )
0
0
1
x x
x x
x
x x
⇔ − >
> >
⇔ ⇔ ⇔ < < − > <
§3 LIÊN HỆ GIỮA PHÉP NHÂN VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG
A TRỌNG TÂM KIẾN THỨC 1 Định lí:
Với hai số a b khơng âm, ta có:
a b = a b 2 ÁP dụng
Muốn khai phương tích số khơng âm, ta khai phương thừa số nhân kết với
Muốn nhân bậc hai số khơng âm, ta nhân số dấu khai phương kết
3 Chú ý:
Vói hai biểu thức A B khơng âm, ta có: A B = A B ngược lại A B = A B Đặc biệt A≥0, ta có: ( )2
A = A =A
B CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng 1:KHAI PHƯƠNG MỘT TÍCH
Phương pháp giải:
Dựa vào quy tắc khai phương tích: Với ,a b≥0thì a b = a b
Ví dụ 1: Tính:
a) 12,1.160 b) 2500.4,9.0,9
Giải:
a) 12,1.160 = 121 16 11.4= =44
b) 2500.4,9.0,9 = 25.49.9 = 25 49 =5.7.3 105= Ví dụ 2: Tính:
a) 412−402 b) 81.6, 25 2, 25.81− Giải:
a) 2
(12)81.6, 25 2, 25.81− = 81.(6, 25 2, 25)− = 81 =9.2 18=
Ví dụ 3:Đẳng thức x(1−y) = x 1−y với giá trị x y Giải:
Theo địnhlí khai phương tích
(1 )
x −y = x −ykhi x≥0 1-y hay x vàv ≥ ≥ y ≤1
Ví dụ 4: Cho cac biểu thức M = (x−1)(x+3) àv N = x−1 x+3 a) TÌm giá trị x để M có nghĩa;N có nghĩa
b) Với giá trị x M=N? Giải:
M có nghĩa (x−1)(x+ ≥3)
Trường hợp 1: 1
3
x x
x
x x
− ≥ ≥
⇔ ⇔ ≥
+ ≥ ≥ −
Trường hợp 2: 1
3
x x
x
x x
− ≤ ≤
⇔ ⇔ ≤ −
+ ≤ ≤ −
Vậy M có nghĩa x≥1 x≤ −3
N có nghĩa 1
3
x x
x
x x
− ≥ ≥
⇔ ⇔ ≥
+ ≥ ≥ −
b) Để M N đồng thời có nghĩa x≥1
Khi ta có M = N theo định lí khai phương tích Dạng 2:NHÂN CÁC CĂN BẬC HAI
Phương pháp giải:
Dựa vào quy tắc nhân bậc hai : Với ,a b≥0 thì a b= a b
Ví dụ 1: TÍnh:
a) 72 50 b) 12,8 0,
Giải:
a) 72 50 = 72.50 = 36.100 =6.10=60
b) 12,8 0, = 12,8.0, = 128.0, 02 = 64.0, 04 =8 0, 2=1, Ví dụ 2: Tính:
a) 40 20 4,5 b) 12
3 25 Giải:
a) 40 20 4,5 = 40.20.0,5= 400.9 =20.3=60 b) 12
3 25
2 12
3 25 25
= = =
Ví dụ 3: Thực phép tính:
(13)Giải:
a) ( 20+ 45− 5) = 100+ 225− 25 10 15 5= + − =20
b) ( 12+ 3)( 27 − 3) = 324− 36+ 81− 9=18 6− + − =9 18 c) ( 5− 1+ )( 1− ) = −5 5− 15+ 3+ 1− = −4 15+ Ví dụ 4: Tính:
a) ( 7+ 3)2 b) ( 8− 2)2 c) (3 5−2 7)(3 5+2 7) Giải:
a) ( 7+ 3)2 =( )7 2+2 3+( )3 = +7 21+ =3 10+2 21 b) ( 8− 2)2=( )8 2−2 2+( )2 = −8 16+ =2
c) (3 5−2 7)(3 5+2 7) =( ) ( )5 2− =25.3 4.7− =47 Dạng 3: RÚT GỌN, TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC:
Phương pháp giải:
*Trước hết tìm điều kiện biến để biểu thức có nghĩa (nếu cần)
* Áp dụng quy tắc khai phương tích, quy tắc nhân bậc hai, đẳng thức để rút gọn
* Thay giá trị biến vào biểu thức rút gọn thực phép tính Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức sau:
a) 3x 5x
5 27 với x > b)
6
.( 2)
x x− với x > Giải:
a)
2
3x 5x 3x 5x
5 27 27 3
x
x x
= = = = (Vì x>0 )
b)
.( 2)
x x− = x6 (x−2)2 = x3.x− =2 x x3( −2) (vì x > 2) Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức sau:
a) 15x 60
x b)
2
16(x −6x+9) Giải:
a) ĐK: x≠0
3 60 30x
15x 900 30
30
x x
x x
= = =
−
0 x x
> < b) 16( 6x 9) 16( 3)2 4( 3)
4( 3) x
x x x
x −
− + = − = − =
− −
3 x x
≥ < Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức M = 25x2(x−2 x+1) với < x < Giải:
Ta có ( ) ( )
2
25x 25
(14)Vì x > nên x =x
Vì < x < nên x<1 Do x− = −1 x Vậy M =5x 1( − x)
Ví dụ 4: Tính giá trị biểu thức sau:
a) 4+2 b) 15− c) 5− Giải:
a) ( )
2
4+2 = 3.1 1+ + = 1+ = 1+
b) ( )
2
8 15− = 5 3− + =3 5− = 5−
c) ( )
2
9 5− = 2.2 5− + =4 5−2 = 5−2
Nhận xét: Phương pháp giải ví dụ biến đổi biểu thức lấy thành bình phương
của tổng hay hiệu hai số áp dụng đẳng thức A = A Ví dụ 5: Rút gọn biểu thức sau:
a) x+2 x−1 b) x+ −2 x+1
Giải:
a) ( )
2
2 1 1 1 1
x+ x− = x− + x− + = x− + = x− + ( ĐK: x 1≥ )
b) ( )
2
2 1 1 1 1
x+ − x+ = x+ − x+ + = x+ − = x+ − ( ĐK x≥ −1 ) Nếu x≥0 x+ − =1 x+ −1
Nếu x<0 x+ − = −1 1 x+1
Dạng 4: BIẾN ĐỔI MỘT BIỂU THỨC VỀ DẠNG TÍCH Phương pháp giải:
Dùng cách đặt nhân tử chung, nhóm hạng tử, dùng đẳng thức, Ví dụ 1: Phân tích thành nhân tử:
a) 3− b) x+3 xy
c)x y −y x d) x− x− xy + y
Giải:
a) 3− 3= 3( 1− )
b) x+3 xy = x( x+3 y) ( ĐK x≥0;y≥0) c)x y −y x = xy( x− y) ( ĐK x≥0;y≥0)
( ) ( )
) 1
d x− x− xy + y = x x− − y y−
( x 1)( x y)
(15)Ví dụ 2: Phân tích thành nhân tử:
a) x3 −25 x b) 9x+6 xy +y
c) x3 + y3 d) x2− −9 x−3
Giải:
a) x3 −25 x = x( x2−25)= x( x−5)( x+5) ĐK: x≥0
b) 9x+6 xy + =y (3 x+ y)2 (ĐK: x y, ≥0)
c) x3 + y3 =( x+ y)(x− xy + y) (ĐK: x y, ≥0) d) x2− −9 x− =3 x−3( x+ −3 2) (ĐK: x≥3)
Ví dụ Rút gọn biểu thức: ( 14+ 6) 5− 21
Giải
( 14+ 6) 5− 21= 2( 7+ 3) 5− 21
( ) ( ) ( )2
7 10 7.3 7
= + − = + −
( 3)( 3)
= + − =
Dạng 5: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH Phương pháp giải:
• Trước tiên tìm điều kiện để thức có nghĩa
• Áp dụng quy tắc khai phương tích, áp dụng đẳng thức A2 = A ; ( )2
A = A (với A≥0) đưa phương trình cho phương trình đơn giản
• Có thể đưa phương trình tích
Ví dụ Giải phương trình: 25.(x+5)2 =15
Giải
Ta có 25.(x+5)2 =15
5
5 15
5
x x
x x
x x
+ = = −
⇔ + = ⇔ + = ⇔ ⇔
+ = − = −
(16)Ví dụ Giải phương trình: 9x2−90x+225 =6
Giải
Ta có: 9x2−90x+225 =6
( 2 ) ( )2
9 x 10x 25 x 3x
⇔ − + = ⇔ − = ⇔ − =
5
5
5
x x
x
x x
− = =
⇔ − = ⇔ ⇔
− = − =
Ví dụ Giải phương trình: x2−25 =2 x−5
Giải
ĐK: 25 25
5
x x
x
x x
− ≥ ≥
⇔ ⇔ ≥
− ≥ ≥
Khi
25
x − = x−
(x 5)(x 5) x
⇔ + − − − =
( )
5
x x
⇔ − + − =
( )
( )
5 5
5
5
x TM
x x x
x x
x x L
− = − = − = =
⇔ ⇔ ⇔ + =
= −
+ − = + =
Ví dụ Giải phương trình: 45 25 125
3
x− + x− = x− +
Giải
ĐK: x≥5
Ta có 45 25 125
3
x− + x− = x− +
( ) ( )
1
5 25
3
x x x
⇔ − + − = − +
5 5
x x x
⇔ − + − = − +
x
⇔ − =
5 36
x
⇔ − =
41
x
(17)Ví dụ Giải phương trình: x x + =
Giải
ĐK: x>0
Ta có: x x
+ =
( )2
1
2 x x
x x
x x
+ −
⇔ + − = ⇔ = ⇔ − =
1
x x
⇔ − = ⇔ = (thỏa mãn điều kiện)
Dạng 6: CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Phương pháp giải
Có thể dùng phương pháp sau:
• Với a≥0; b≥0 a≤ ⇔b a2≤b2; • Biến đổi tương đương
Ví dụ 1: Khơng dùng máy tính bảng số, chứng minh rằng: 5+ 8< 6+
Giải
Ta có 5+ 8< 6+
( ) (2 )2
5
⇔ + < + (vì hai vế dương) 40 42 13 40 13 42 ⇔ + + < + + ⇔ + < +
40 42 40 42
⇔ < ⇔ <
Bất đẳng thức cuối hiển nhiên nên bất đẳng thức cho Ví dụ 2: Khơng dùng máy tính bảng số, chứng minh rằng:
( )
3+ <2 +
Giải
(18)( ) ( ) (2 )
2 3 3
+ = + = + + = +
Vì 7+4 < +8 nên ( ) ( ) 2
3+2 < 1+ Do 3+ <2 2( 1+ )
Ví dụ 3: Cho a>0, chứng minh rằng: a+ <9 a+3
Giải
Ta có ( a+9)2 = +a 9;
( )2
3
a+ = +a a +
Do a>0 nên a+ < + +9 a a, ( ) ( )
2
9
a+ < a+ Vậy a+ <9 a+3
Chú ý: Căn bậc hai tổng không tổng bậc hai
Ví dụ Cho a b c, , >0 Chứng minh rằng:
a) a+ ≥b ab ; b) a+ + ≥b c ab+ bc + ca
Giải
a) Ta có a+ ≥b ab
2
a b ab
⇔ + − ≥
( )2
0
a b
⇔ − ≥ (dấu " "= xảy a=b) Bất đẳng thức cuối nên bất đẳng thức cho
Lưu ý : Bất đẳng thức a+ ≥b ab với ,a b≥0 gọi bất đẳng thức Cô – si b) Ta có a b c, , ≥0 Áp dụng bất đẳng thức Cô – si hai số ta được:
2 a+ ≥b ab
2 b+ ≥c bc
2 c+ ≥a ca
Công vế ba bất đẳng thức ta
( ) ( )
(19)Suy a+ + ≥b c ab+ bc+ ca (dấu " "= xảy a= =b c) Ví dụ 5: Cho
2
a≥ , chứng minh rằng: 2a− ≤1 a
Giải
Từ bất đẳng thức Cô – si a+ ≥b ab suy
2
a b
ab ≤ +
Áp dụng bất đẳng thức cho số không âm 2a−1 ta được:
( ) (2 1)
2 1
2 a
a− = a− ≤ − + =a
Vậy 2a− ≤1 a (dấu " "= xảy a=1)
C BÀI TẬP TỰ LUYỆN 1. Tính
a) 400.0,81 ; b)
27 20 ;
c) ( )−5 32 ; d) ( ) ( )
2
2− 2+ 2 Tính
a) ( x−3)( x+2) ; b) ( x− y)( x+ y) ;
c) 25 49 3
3
− +
; d) (1+ 3− 1)( + 3+ 5) 3 Rút gọn biểu thức sau:
a) 3+ 15− ; b) x− −1 x−2 4. Phân tích thành nhân tử
a) a−5 a ; b) a−7 với a>0 ;
c) a+4 a +4 ; d) xy −4 x+3 y−12 5 Giải phương trình
(20)c)
1
x x
x x
− −
=
+ +
6* Tìm x y, biết x+ +y 13=2 2( x+3 y) 7*.Chứng minh rằng: 7− 3< 6−
8 Chứng minh bất đẳng thức:
2
a+b ≥ a+ b
với ,a b≥0
9* Tính giá trị biểu thức A= 7+ 13− 7− 13 HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ
1. a) 18; b)
6 ; c) 15 ; d)
2 a) x− x−6 ; b) x−y ; c) ; d) 1−
3 a) ; b)
1
x khi x
x khi x
− − ≥
− − <
4 a) a( a−5) ; b) ( a− 7)( a+ 7) ;
c) ( a+2)2 ; d) ( x+3)( y−4)
5 a) x1 =6; x2 = −4 ; b) x1= −3; x2 =28; c) x=25 6* x+ +y 13=4 x+6 y (ĐK: x y, ≥0)
( ) ( ) ( ) (2 )2
2
4
x x y y x y
⇔ − + + − + = ⇔ − + − =
( )2
2
x
⇔ − = ( y −3)2 =0 ⇔ =x y=9 7* 7− 3< 6− 2
( ) (2 )2
7
⇔ + < + ⇔ + < +
9 14 18 14 18
⇔ + < + ⇔ <
(21)9* Tính A2 A2 =2, suy A=
§4 LIÊN HỆ GIỮA PHÉP CHIA VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG
A TRỌNG TÂM KIẾN THỨC 1 Định lí
Với số a khơng âm số b dương, ta có
a a
b = b 2 Áp dụng
Muốn khai phương thương a
b, a≥0 b≥0, ta khai phương số a số b, lấy kết thứ chia cho kết thứ hai
Muốn chia bậc hai số a không âm cho bậc hai số b dương, ta chia số a cho số b khai phương kết
3 Chú ý
Với biểu thức A≥0 B>0, ta có
A A
B = B
B CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng 1: KHAI PHƯƠNG MỘT THƯƠNG
Phương pháp giải
Dựa vào quy tắc khai phương thương: Với a≥0; b>0 a a
b = b
Ví dụ Tính a) : 49
25 121 ; b)
36 49 a −
với a<0
Giải
(22)b) 36 36 36
49 49 49
a a a a
− − − −
= = =
Lưu ý: Vì a<0 nên −a có nghĩa Ví dụ Tính
a)
2
65 52 225
−
; b) 11:1, 44 7:1, 44
9 −9
Giải
a) ( )( )
2
2 65 52 65 52
65 52 13.117 13.13.9 13.3 39
225 225 225 15 15 15
− +
−
= = = = =
b) 11:1, 44 7:1, 44 11 :144
9 9 100
− = −
4 144 144 12
: : :
9 100 100 10
= = = =
Ví dụ Đẳng thức 5
2
x x
y y
− −
=
+ + với giá trị x y?
Giải
Theo định lí khai phương thương
5
2
x x
y y
− = −
+ +
khi x− ≥5 y+ >2 hay x≥5 y > −2
Dạng CHIA CÁC CĂN BẬC HAI Phương pháp giải
Dựa vào quy tắc chia bậc hai: Với a≥0; b>0 a a
b
b =
Ví dụ Tính
a) 45 : 80 ; b) ( )2.3 :
(23)a) 45 : 80 45
80 16
= = =
b) ( )
5
5 3 5 2
3
2.3 : 2
2
= = =
Ví dụ Tính
a) 54 : : ; b) : 52
75 117
Giải
a) 54 : : 3= 54 : : = 27 : 3= =3
b) : 52 : 52 : 2:
75 117 25 10
75 117 = = = =
Ví dụ Thực phép tính
a) ( 45− 125+ 20 : 5) ; b) (2 18+3 8−6 : 2)
Giải
a) ( 45− 125+ 20 : 5) = 9− 25+ = − + =3 b) (2 18+3 8−6 : 2) =2 9+3 − =6 2.3 3.2 6+ − =6
Dạng RÚT GỌN, TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC Phương pháp giải
• Tìm điều kiện biến để thức có nghĩa
• Áp dụng quy tắc khai phương môt thương quy tắc chia bậc hai để rút gọn • Thay giá trị biến vào biểu thức rút gọn rịi thực phép tính
Ví dụ Rút gọn biểu thức
16 12
12
3
3
− −
Giải
( )
( )
12 16 12
4
12
3
3
3
3
3
− −
= = =
−
−
(24)( 2) 165 124
369
A= − x
Giải
( 2) ( )( )
165 124 165 124 165 124
369 369
A= − x= + − x
289.41 289 17
369 x x x
= = =
Với x=6 17.6 34
A= =
Ví dụ Cho biểu thức 1:
1
y x
B
y x
+ +
=
− −
Rút gọn tính giá trị B với x=5; y=10
Giải
1
:
1
y x
B
y x
+ +
=
− − ĐK: x>1; y>1
( )( )
( 1)( 1)
1
:
1
1 1
x x
y
x x
B
y
y x y y
+ −
+
+ −
= = =
−
− − − +
Với x=5; y=10
10
B= − = =
−
Ví dụ Cho biểu thức
6
x xy y
C
x xy y
− +
=
+ + với x>0, y>0 Rút gọn tính giá trị C với x=25; y=81
Giải
( )
( )
2
2
6 3
x y x y
x xy y
C
x xy y x y x y
− −
− +
= = =
+ + + +
(25)25 81 5 9 4 1 3.9 32 25 81
C
− −
= = = =
+
+
Dạng GIẢI PHƯƠNG TRÌNH Phương pháp giải
• Tìm điều kiện để thức có nghĩa
• Nếu hai vế khơng âm bình phương hai vế để khử dấu
Ví dụ Giải phương trình 2 x x
− = +
Giải
ĐKXĐ: 3x−1 x+2 dấu x=
Trường hợp 1:
1
3 1
3
2
2
x x
x x
x − > >
⇔ ⇔ >
+ >
> −
Trường hợp 2:
1
3
2
2
2
x x
x x
x − < <
⇔ ⇔ < −
+ <
< −
Vậy ĐKXĐ
x≥ x< −2
Bình phương hai vế phương trình ta được:
3
4 x x
− = +
( )
3x x ⇔ − = +
3x 4x
⇔ − = +
9
x= − (thỏa mãn điều kiện) Ví dụ Giải phương trình
2
x x
− = −
(26)ĐKXĐ:
7
5 7
2 1
2 x x
x x
x ≥ − ≥
⇔ ⇔ ≥
− >
>
Bình phương hai vế ta được:
5
1
2
x x
− = −
5x 2x
⇔ − = −
3x
⇔ =
2
x
⇔ = (thỏa mãn điều kiện)
C BÀI TẬP TỰ LUYỆN 1 Tính
a) 72 : ; b) ( 28− 7+ 112 : 7)
2 Tính
a) 49 : 31
8 ; b) 54 : 6x x ; c)
1 32 56
:
125 35 225 3 Làm phép chia
3
1
:
2 3
a a
a a a a
− +
+ − + − với a>1 4 Rút gọn biểu thức
a)
2
2 :
x x
y y với x y, ≠0;
b) ( ) ( )
( )
2 2
2
27 50
2
12 8 2
x x
x
x −
+ − −
− với 1< <x 5 Cho :
3
x= , tính giá trị biểu thức M = 6x+5 6* Chứng minh đẳng thức
6 5
5
+ = −
(27)HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ
1 a) 3; b)
2 a)
5 ; b) ; c)
6 35
3 ( )
2 a
a −
+ 4 a)
2
2
0 x khi x
x khi x >
− <
; b) 4x
5
x= ; M =3 6* Mỗi vế
§6 §7 BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI
A TRỌNG TÂM KIẾN THỨC 1 Đưa thừa số dấu
Với hai biểu thức A B, mà B≥0, ta có:
2
0 A B A
A B A B
A B A
≥
= =
− <
2 Đưa thừa số vào dấu
A B = A B, tức là:
• Nếu A≥0; B≥0 A B = A B2 ; • Nếu A<0; B≥0 A B = − A B2 3 Khử mẫu biểu thức lấy
Với biểu thức A B, mà A B ≥0 B≠0, ta có
A AB
B = B
4 Trục thức mẫu
(28)C C B B
B =
Trường hợp 2: Với biểu thức A B C, , mà A≥0; A≠B2
( )
2
C A B
C
A B
A B
± =
−
±
Trường hợp 3: Với biểu thức A B C, , mà A≥0, B≥0 A≠B
( )
C A B
C
A B
A B
± =
−
±
Hai biểu thức A+ B A− B gọi hai biểu thức liên hợp với
B CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng 1: ĐƯA THỪA SỐ RA NGỒI DẤU CĂN Phương pháp giải
• Biến đổi biểu thức lấy thành dạng tích có thừa số bình phương số biểu thức
• Khai phương thừa số viết kết ngồi dấu Ví dụ 1: Đưa thừa số dấu
a) 45 ; b) 2400 ; c) 147 ; d) 1, 25
Giải
a) 45= 9.5=3 ;
b) 2400 = 400.6 =20 ; c) 147 = 49.3=7 ; d) 1, 25 = 0, 25.5 =0,5 Ví dụ 2: Đưa thừa số dấu
a) 50.6 ; b) 14.21 ; c) 32.45 ; d) 125.27
Giải
a) 50.6 = 100.3=10 ;
(29)c) 32.45 = 16.2.9.5 = 16.9.10 =4.3 10 =12 10 ; d) 125.27 = 25.5.9.3= 25.9.15 =5.3 15=15 15 Ví dụ Đưa thừa số ngồi dấu
a) 18x ; b) 75x y2 ; c) 605x y3
Giải
a) 18x = 9.2x =3 2x (với x≥0)
b) 75x y2 = 25x2.3y =5x 3y (y≥0)
5
5
x y x x y x
≥
− <
c) 2
605x y = 121 x y 5x =11x y 5x (x≥0)
11
11
xy x y xy x y
≥
=
− <
Ví dụ Đưa thừa số ngồi dấu
a) 128(x−y)2 ; b) 150 4( x2−4x+1) ; c) x3−6x2+12x−8
Giải
a) 128(x−y)2 = 64(x−y)2.2=8x−y
( )
( )
8
8
x y khi x y
y x khi x y
− ≥
=
− <
b) ( ) ( )2
150 4x −4x+ =1 25.6 2x−1
( )
( )
1
5
2
1
5
2
x khi x
x
x khi x
− ≥
= − =
− <
c) x3−6x2 +12x− =8 (x−2)3 = (x−2 ) (2 x−2)
(x 2) x
(30)Dạng 2: ĐƯA THỪA SỐ VÀO TRONG DẤU CĂN Phương pháp giải
• Nếu A≥0 ta nâng A lên lũy thừa bậc hai viết kết vào dấu căn:
A B = A B (với A≥0; B≥0)
• Nếu A<0 ta coi A như − −( )A Ta nâng ( )−A lên lũy thừa bậc hai viết kết vào dấu Còn dấu " "− để đằng trước dấu căn:
2
A B = − A B (với A<0; B≥0)
Ví dụ Đưa thừa số vào dấu
a) ; b) ; c) 35
7
Giải
a) = 52 = 45 ; b) = 62 = 150 ;
c)
2
2 20
35 35
7 7
= =
Ví dụ Đưa thừa số vào dấu căn: a)
8
− ; b) 0, 06 250−
a) 421
8
− = − = −
b) −0, 06 250 = − (0, 06 250)2 = − 0,9 Ví dụ 3 Đưa thừa số vào dấu
a) x x b) y x
y c)
x y
y x Giải a) x x = x x2 = x3(x≥0)
b) ĐK: x y ≥0;y≠0
Xét trường hợp x≥0,y > 0, ta có y x y2 x xy
(31)Xét trường hợp x < 0; y < 0,ta có x x
y y xy
y = − y = −
c) ĐK: xy > 0, ta có
2
x y x y x
y x = y x = y
Ví dụ 4.Đưa thừa số vào dấu căn: a) x
x
− với x > b) x x −
− với x < Giải
a) Ta có x x2 3x
x x
− = − = − với x > b) Ta có x ( x)2 x
x x
− −
− = − − = −
với x <
Ví dụ 5 Chỉ chỗ sai biến đổi sau: a)
2
3
7
x
x = b) xy y y x2.y y xy
x = x =
Giải a) Biến đổi
2
3
7
x
x = x≥0
Nếu x <
2
3
7
x
x = −
b) Biến đổi xy y y x2.y y xy
x = x = x > Nếu x < xy y y x2.y y xy
x = − x = −
Dạng 3. KHỬ MẪU CỦA BIỂU THỨC LẤY CĂN Phương pháp giải
Vận dụng công thức A AB(A B 0;B 0)
B = B ≥ ≠ Cụ thể gồm bước sau : - Biến đổi mẫu thành bình phương số biểu thức ( cần ); - Khai phương mẫu đưa dấu
(32)Giải
Ta có 5.2 10 10
72 = 72.2 = 144 =12
Nhận xét : Nếu bạn nhân tử mẫu phân số
72với 72 kết biến đổi phức tạp : 5.72 3602 10 10
72 = 72.72 = 72 =72 =12 Vậy tìm thừa số phụ cho hợp lý ?
Trước hết bạn phân tích mẫu số thừa số nguyên tố: 72 = 23.32 Bạn thấy thừa số phụ
laf2, lúc số mũ thừa số nguyên tố chẵn Ví dụ 2 Khử mẫu biểu thức lấy
a) 11
27x b)
3
x y Giải
a) 11 11.3 332 33
27 27 x 81
x x
x
x = x = x = x (ĐK: x > 0) b) 3 53 15 4 12 15
5 5 25
x x y xy
xy
y = y y = y = y ( ĐK:xy≥0;y≠0) Ví dụ 3 Khử mẫu biểu thức lấy
a) 3 21
3
x + x + x+ b)
1
x −x Giải
a)
( )3 ( )4 ( )2
3
1 1
1
3 1 1
x
x
x x x x x x
+
= = = +
+ + + + + + (ĐK: x > -1 )
b) 12 13 x 31 x x.( 4 1) 12 x x.( 1)
x x x x x
− −
− = = = − ( ĐK: x≥1 x < )’
Dạng 4 TRỤC CĂN THỨC Ở MẪU Phương pháp giải
Cách 1: Rút gọn biểu thức ( ):
+ Phân tích tử số thành tích có thừa số thức mẫu + Chia tử mẫu cho thừa số chung
(33)Ví dụ 1 Trục thức mẫu a) 3
5 +
b) 2 +
+ Giải
a) Ta có 3 3.( 1) ( 1)
5
+ = + = +
b) Ta có 2 2.( 1)
2
+ = + =
+ +
Ví dụ 2 Trục thức mẫu a)
7 b)
2
3 1− c)
3 15+4 Giải
a) 3 7
7 = 7 =
b) 2.( 1) 2.( 1)
3 ( 1).( 1)
+ +
= = = +
−
− − +
c) 3.( 15 4) 3.( 15 4) 3.(4 15)
15 16 15 ( 15 4).( 15 4)
− −
= = = −
−
+ − +
Ví dụ 3 Trục thức mẫu a) 3
5 3 −
+ b)
2 1− 2+ Giải
a)
2
5 3 (5 3 5) 75 45 30 15
75 45 3 (5 3 5).(5 3 5)
30.(4 15)
4 15
30
− − + −
= =
−
+ + −
−
= = −
b)
2
2 2(1 3) 2(1 3) 2(1 3)
1 (1 3)(1 3) (1 2) (1 2
2(1 3)
2 2
− − − − − −
= = =
− + − + − − − − − + −
− − + −
= =
−
Ví dụ 4 Trục thức mẫu a)
1 a a −
+ với a≥0;a≠1 b)
1
a+ b− với a > 0; b > 0;
(34)a)
2
1 (1 )
1
1 (1 )(1 )
a a a a
a
a a a
− = − = − +
−
+ + −
b) 1.( 1) ( 1)
1 ( 1)( 1)
a b a b
a b a b a b a b ab
+ + + +
= =
+ − + − + + + + −
1
1
2
4
a b a b
a b
a b
+ + + +
= =
+
+ + −
Dạng 5 SO SÁNH HAI SỐ Phương pháp giải
Thực phép biến dổi đơn giản biểu thức chứa bận hai so sánh hai kết
Chẳng hạn:
- Đưa thừa số vào dấu dùng tính chất: Nếu A > B > A > B
- Đưa thừa số dấu dùng tính chất: Nếu A,B,C > A > B ⇔ A C >B C
Ví dụ 1 Khơng dùng máy tính bảng số , so sánh : a) b) 22
3
5 Giải
a) Ta có = 25.6 = 150; 3= 49.3 = 147
Vì 150> 147 nên >7 b) Ta có 22 9.8 24
3 = = 11 25.6 30
5 = =
Vì 24< 30nên 22 11 <
Ví dụ 2 Khơng dùng máy tính bảng số , so sánh : a)
4
7
3 b) 11− 23−
(35)a) Ta có 25.2 25 31
4 = 16 = =
4.7 28 31
3 = = =
Vì 31 31 > nên
5
2
4 > b) Ta có 11− = − 9.11= − 99
23− = − 4.23= − 92 Vì − 99< − 92 nên 11− < −2 23 Ví dụ 3. Sắp xếp theo thứ tự tăng dần
a) 3, 2,15 2,9 12
5 b)
2
71, 12, 21,
3
− −
Giải
a) Ta có 3= 36.3= 108;7 = 49.2 = 98; 15 225.2 90;9 12 81.11 99
5 = = = =
Vì 90< 98 < 99 < 108 nên 15 12 < < < b) Ta có 12 4.12 16 ;1
3 = = =
21 1.21 21 ;1
2 = = =
3− = − 25.3 = − 75
Vì 75 71 51 51
4
− < − < < nên 71 21 12
2
− < < <
Dạng 6 RÚT GỌN BIỂU THỨC Phương pháp giải
Thực phép biến đổi đơn giản biểu thức chứa bậ hai thu gọn thức đồng dạng rút gọn thừa số chung tử mẫu
Ví dụ 1 Rút gọn biểu thức sau :
a) 200 50
8
− + b) 3( 72+ 4,5+ 12,5) Giải
a) 200 50 10 21
8
(36)b) 3( 72+ 4,5+ 12,5)= 216+ 13,5+ 37,5
27 75
6 6 6 6
2 2
= + − = + − =
Ví dụ 2 Rút gọn biểu thức sau :
a) 12
3
−
; b)
2 1
4
9 + + 18 Giải
a) 12 12 6 6 6
3
− = − = − = −
b) 2 2 2
9 + + 18 = +2 +6 =
Ví dụ 3 Rút gọn biểu thức sau :
9 a b
P ab ab
b a ab
= + − − với a,b >
Giải
1
9 a b
P ab ab
b a ab
= + − −
7
3
P ab ab ab ab ab ab
b a ab b a
= + − − = −
Ví dụ 4 Rút gọn biểu thức
3
5 6
B= + +
− + +
Giải
3 3( 2) 4( 2) ( 5)
5 6
5 6
B= + + = + + − + −
− − −
− + +
( 2) ( 2) 6
B= + + − + − =
Nhận xét: Phương pháp giải ví dụ trục thức mẫu làm phép cộng,trừ Nếu quy đồng mẫu phức tạp
Ví dụ Cho a > b > 0, chứng minh ( )
2
2
4
8 2
6
75 15
a ab b
a b
b
a b a b
− +
= −
Giải
(37)2 2 2
4
2
2
8( ) 8( )
75 75
2( ) 2
5 15
a b a ab b a b a b b
a b a b a b a b b
a b a b b b
b
a b a b
− + −
=
− −
−
= = =
−
Ta thấy vế trái vế phải C BÀI TẬP TỰ LUYỆN
1.Đưa thừa số dấu :
a) 75a ; b) 98a (5 b2−6b+9) 2. Rút gọn biểu thức :
a) 125−5 45+6 20; b) 75−4 27+ 12 3. So sánh số sau:
a) 15 ; b) 5− 3− 4. Khử mẫu biểu thức lấy
a)
80 b) 75 5. Trục thức mẫu a)
2
a a
a −
− b) 13
2 5− c)
2
1
−
− + 6. Trục thức mẫu
a)
5−3 b)
1
5 2−2 c)
5
5
− + 7. Tính
a)
2
2
−
b) 1
1+ + 2+ 3+ 3+ + + 99+ 100 8. Cho 75 12
147 48
x= +
− chứng minh 3xlà số nguyên 9. Biến đổi 26
(38)10. Tìm cặp số nguyên dương ( ; )x y đóx< y cho x+ y = 539
HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ 1. a) 5a 3a (a≥0); b)
2
2
7 ( 3) (3 )
a b a
a b a
−
−
2. a) ; b)
3. a) >2 15 ; b) 5− < −5 4. a) 15
20 b)
6 15
5. a) a b) (2 3− +5) c) 35−6 6. a) 2( 5− +3) b) 2
30 +
c) 35−6 7. a) 5+2
b) trục thức pử mẫu số hạng tính tổng 100− 1=9 8. tính x
3
x= , 3x= ∈7 Z
9*. 26 13
10+4 =5 3+ = −
Vậy a=5;b= −2 a b=5.( 2)− = −10 10*. 539= 49.11=7 11
7 11= 11+6 11=2 11+5 11=3 11+4 11
7 11=7 11+ 36.11= 4.11+ 25.11= 9.11+ 16.11
11 396 44 275 99 176
x+ y = + = + = +
Bài tốn có ba đáp số: (11;396); (44;275) ; (99 ; 176)
§8 RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI A. TRỌNG TÂM KIẾN THỨC
Để rút gọn biểu thức có chứa thức bậc hai, ta có thế:
- Thực phép biến đổi đơn giản thức bậc hai nhằm làm xuất thức đồng dạng
- Phối hợp thực phép tính với biểu thức có dạng phân thức mà tử mẫu có chứa thức bậc hai theo quy tắc thực phép tính phân thức đại số
nếu
(39)B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
DẠNG 1. RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỈ CÓ CỘNG, TRỪ ĂN THỨC Phương pháp giải
Đưa thừa số vào dấu căn, khử mẫu biểu thức lấy dùng công thức:
( )
m A−n A+ p A+ =q m− +n p A+q A≥0
Ví dụ 1. Rút gọn biểu thức sau:
a) 20− 80+ 45; b) 18− 50+ 98 Giải
a) Ta có 20− 80+ 45 =2 5−4 5+3 = b) Ta có 18− 50+ 98=3 2−5 2+7 =5 Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức sau:
a) 4,5 72
2
− + b) 42 25 10 12 98
6 − −
Giaỉ
a)
1 9.2
4,5 72 2
2 2.2 2
3
2 2
2
− + = − +
= − + =
b)
25 98
42 10 12
6
5
42 10 12
6
35 6 28 6
− −
= − −
= − − =
Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức
M = 3 3
2x 16xy +7 25x y −3y 36x y với x≥0;y≥0 Giải
Ta có M =
3 3
2 16 25 36
8 35 18 25
x xy x y y x y
xy xy xy xy xy xy xy xy
+ −
= + − =
Ví dụ 4: Rút gọn biểu thức N = 3
2
(40)Ta có: N = 3
2
+ − −
=
( )
2
2 3 4
2 4
1
( 1) ( 1)
2
1
3 1) ( 1)
+ − − = + − −
= + − −
= + − − =
Ví dụ 5. Biến đổi biểu thức a a
b − b − ab dạng
x y z
ab
a b c
+ +
,
, 0; , ,
a b> x y z∈Z Tính tổng x+ +y z Giải
Ta có a a ab ab ab ab
b b ab a b ab a b ab
− − = − − = − −
Vậy x=5;y= −4;z= −1.do x+ + =y z
Dạng : RÚT GỌN BIỂU THỨC CÓ CHỨA CÁC PHÉP CỘNG, TRỪ , NHÂN, CHIA CĂN THỨC DƯỚI DẠNG PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
Phương pháp giải
- Xác định đieèu kiện để biểu thức có nghĩa gồm: điều kiện để biểu thức lấy không âm điều kiện để mẫu thức khác
- Vận dụng quy tắc phép tính phân thức đại số, kết hợp với phép tính thức để đưa biểu thức cho dạng đơn giản
Ví dụ 1. Rút gọn biểu thức P y x
xy x y xy
= −
− −
Giải
Điều kiện: x>0;y>0;x≠ y.khi ta có:
( ) ( ) ( )
y x y x
P
x y x y y x xy y x
−
= − =
− − −
= ( )( )
( )
y x y x y x
xy y x xy
− + +
=
−
Ví dụ 2. Rút gọn biểu thức :
xy x
P
y x xy
= − +
(41)Giải
Điều kiện: x>0;y>0 ta có:
3 ( )
3 :
3
xy x y x x y
x x y
P
y
y x xy y xy
− + −
= − = =
+
Ví dụ 3. Rút gọn biểu thức P x x y y xy : (x y)
x y − = + − − Giải ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) : ( )
x y x xy y
P xy x y
x y
P x xy y
x y
x y x y
P
x y
x y x y
− + + = + − − = + + − + + = = − − −
Ví dụ 4: rút gọn biểu thức :
1
x x
P
x x x x
+
= +
+ + −
Giải
Điều kiện: x≥0;x≠1 Khi ta có:
2
1
1
2 1
1
( 1) ( 1).( 1)
1
1
x x x x x
P
x x x
x x x x
P
x x x
x x x x
P
x x x
P x + + + − = + + + + + − = + + + + − + + = + + + = −
Ví dụ 5. Rút gọn biểu thức 2
1
x x x
P
x x
x x x
− − = + − − − + − Giải
(42)2
( 1) ( 1) 2
( 1)( 1)
2 2 2( 1)
( 1)( 1)
3 ( 1) 2( 1)
( 1)( 1)
x x x x x
P
x
x x
x x x x x x
P
x
x x
x x x
P
x
x x x
− + + + − − = + − − + + + + − − = + − + − = = + −
Dạng RÚT GỌN RỒI TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC HOẶC RÚT GỌN RỒI TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC ĐỂ BIỂU THỨC CĨ MỘT GIÁ TRỊ NÀO ĐÓ Phương pháp giải
Trước hết tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa rút gọn biểu thức sau thay giá trị biến vào biểu thức rút gọn thực phép tính
Hoặc phải sử dụng kết rút gọn, lập phương trình bất phương trình giải để tìm giá trị biến
Ví dụ 1. Cho biểu thức 2
2
x x x
P x x x − − = − − − + −
a) Rút gọn P
b) Tính giá trị P với
2
x=
− Giải
a) Điều kiện: x≥0;x≠4 Khi ta có:
( 1)( 2) ( 2) (2 )
( 2)( 2)
3 2
( 2)( 2)
2
( 2)( 2)
( 2)
( 2)( 2)
x x x x x
P
x x
x x x x x
P
x x
x x
P
x x
x x x
P
x x x
− − − + − − = + − − + − − − + = + − − − = + − − + = = + − −
b) Ta có 2(2 3) ( 1)2
2
x= = + = + ⇒ x = +
−
Do 3 ( 1)2 (2 3)
2
2 ( 1)
P= + = + = + = + = − +
− −
(43)Ví dụ 2. Cho biểu thức
2
:
1 ( 1)
x x x
P
x x x x
+ −
= −
− − + −
a) Rút gọn P
b) Tính giá trị P, biết x− =5 Giải
a) Điều kiện: x>0;x≠1 Khi ta có:
P =
( )( ) ( ) ( )
2
2
2
1
1
x x
x x x
x x − − + + − − −
P = ( )( ) ( )( )
( ) ( )
2
2 1 ( 1)
1
x x x x x
x
x x
+ − − − + −
− +
P = ( ) ( )
( ) ( )
2
2 ( 1)
1
x x x x x
x x x + − − − − − − + P = ( ) ( ) ( ) 2
( 1)
2 1 x x x x x x − + − +
P =
2 x
x +
b) Ta có | |
5
x x x x x − = = − = ⇔ ⇔ − = − =
Với x = 9, ta có P =
6
2
+ = =
Với x = 1, không thỏa mãn điều kiện nêu nên biểu thức P khơng có giá trị
Ví dụ 3. Cho biểu thức P =
2
xy x y x
x y x y x y
+
−
− − −
a) Rút gọn P
b) Tính giá trị P, biết x y =
Giải
(44)P =
2( )
xy x y x
x y x y x y
+ − − − − P =
4 ( )
2( )( )
xy x y x
x y x y x y
− +
− + −
P =
2( )( )
xy x xy y x
x y x y x y
− − −
− + −
P = ( )
2( )( )
x xy y x
x y x y x y
− − +
− + −
P =
2
( )
2( )( )
x y x
x y x y x y
− − − + − = x x y − +
b) Ta có
9 x y = x y ⇒ =
Do P =
3 5
9
2
4
x x x
x x x
x x
− = − = − = −
+ +
Ví dụ Cho :
4
2 4
P
x
x x x x
= − −
−
+ + + −
a) Rút gọn P
b) Tìm x để P = −
Giải
a) Điều kiện: ; x≥ x≠ Khi ta có:
P =
2
1 2
:
4
2 ( 2) x
x x x
− −
+ + − −
P =
2
2 2 ( 2)
: ( 2) x x x x + − − + − + P =
( 2)( 2)
( 2)
x x x x
x x x
− + = −
+ − +
b) Ta có P =
−
2 x x − ⇔ = − +
(45)⇔ x =6
⇔ =x 36 (thỏa mãn điều kiện) Ví dụ 5. Cho biểu thức
P = 1 : 3
3 3
x x
x x x x x x x
−
+ −
+ − + +
a) Rút gọn P b) Tìm x để P1
Giải
a) Điều kiện: ; 9x≥ x≠ Khi ta có:
P = ( 3) : 3
( 3)( 3) ( 3)
x x x x
x x x x x
− + − +
− + +
P = 3 ( 3)
( 3)( 3) 3
x x x x
x x x x x
− + +
− + − +
P = x−
b) Để P1 1 1
3
x x
⇔ > ⇔ − >
− −
3 x x
− +
⇔ >
−
3 x x
− ⇔ <
−
x
x − >
⇔
− <
4 x
x − <
− >
⇔ x 16 (thỏa mãn điều kiện)
Dạng 4. RÚT GỌN BIỂU THỨC RỒI CHỨNG MINH BIỂU THỨC CĨ MỘT TÍNH CHẤT NÀO ĐĨ HOẶC TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC
Phương pháp giải
Trước tiên tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa
Sau rút gọn biểu thức, biến đổi kết ( cần) lập luận đến điều kiện phải chứng minh đến điều phải tìm
Ví dụ Chứng minh giá trị biểu thức sau số với giá trị thích hợp x y :
A =
2
( )
x y x y y x
x
xy y xy x x y
− −
+
− − −
Giải
(46)A =
2
2 ( )
( ) ( ) ( )
x y xy x y
x
y x y x y x x y
− −
+
− − −
A =
2
2 ( )
( ) ( )
x xy y xy x y
xy x y x y
− + −
− −
A =
2
2
( ) ( )
( ) ( )
x y xy x y
xy x y x y
− −
− −
A =
Vậy giá trị biểu thức A số với giá trị thích hợp x y Ví dụ Cho biểu thức
B = 1
1 1
x x
x x x x x
+ + − −
+ − + +
a) Rút gọn B
b) Chứng minh B ln ln có giá trị khơng âm với giá trị thích hợp x
Giải
a) Điều kiện x≥ Khi ta có:
B = ( 1)( 1) ( 1)
( 1)( 1)
x x x x x
x x x
+ + − + − − +
+ − +
B = 1
( 1)( 1)
x x x x
x x x
+ + − − + −
+ − +
B =
( 1)( 1)
x x
x x x
+
+ − +
B = ( 1)
( 1)( 1)
x x
x x x
+
+ − +
B =
1 x x− x+
b) Ta cos x ≥ nên x ≥0 ( 1)2
2
x− x+ = x− + x với x
Do B =
1 x
x− x+ ≥ với x≥0
Ví dụ 3. Cho biểu thức C = :
1
1
x x
x x x x x
− −
− − + − +
a) Rút gọn C
b) Chứng minh C ln ln có giá trị âm với giá trị thích hợp x
Giải
(47)C = : 1
1 ( 1)( 1)
x x
x
x x x
− − −
− − + +
C = ( 1)
( 1)(x 1)
x x
x x x
+ − − +
− + − +
C = ( 1)( 1) ( 1)
( 1)(x 1)
x x x
x x x
− + − +
− + − +
C = ( 1) x
x x
− +
− +
b) Ta có x≥0 ; x≠1 nên (− x+ <1) :
2
1
1
2
x− x+ = x− + >
Do C = ( 1) x
x x
− +
− + với giá trị thích hợp x Ví dụ Cho biểu thức D = :
2 (2 3)( 1)
x x x
x x x x
− +
− +
− − + +
a) Rút gọn D
b) Chứng minh D <
Giải
a) Điều kiện: ;
x≥ x≠ Khi ta có:
D = 2(2 3) ( 1) 6: (2 3)
2 (2 3)( 1)
x x x x x
x x x
− − − + + −
− − +
D = 6:
2 (2 3)( 1)
x x x x x
x x x
− − + + + −
− − +
D = (2 3)( 1)
2 3
x x x
x x x
− − +
− + +
D = (2 3)( 1)
2 (2 1)( 1)
x x x
x x x
− − +
− + +
D =
2
x x
− +
b) Xét hiệu 10 13
2 2(2 1)
2 (2
3
2 )
3
D x x x
x x x
− = − − − − − = − <
+ = + +
Vậy D<
Nhận xét: Về mặt phương pháp, muốn chứng minh
(48)3 D− <
Ví dụ Cho biểu thức P = 1 : 1 x x x x − + − − − −
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị lớn P
Giải
a) Điều kiện:x≥0 ; x≠1 Khi ta có:
P = ( 1) :2.( 1) ( 4)
( 1)( 1)
x x x
x x x
+ + − − −
− + −
P =
( 1)( 1)
x x
x x x
+ −
− + +
P = 1 x+
b) Ta có P = 1 1
x+ ≤ = x ≥0 Do maxP = đạt x = ⇔ =0 x
Ví dụ 6. Cho biểu thức Q = 3 14
9
3
x x x
x x x − + − + − − + −
a) Rút gọn Q
b) Tìm giá trị nhỏ Q
Giải
a) Điều kiện:x≥0 ; x≠9 Khi ta có: Q =
2
( 3) 3) 14
( 3)( 3)
x x x
x x
− + + + −
+ −
Q = x 9 14
2
( 3)( 3)
x x x x
x x
− + + + + + −
+ −
Q = 32
2
( 3)( 3)
x x
x x
+ −
+ −
Q = 16 x
x +
+
b) Ta có Q = 16 x
x +
+ =
9 25 25
3 3 x x x x − + = − + + +
25 x
x
= + + −
+
( 3) 25 x
x
≥ + −
(49)Dấu “ = “ xảy 25 x x + = +
( 3) 25
3 x x ⇔ + = ⇔ + =
( 3) 25
3 x x x ⇔ + = ⇔ + = ⇔ =
⇔ =x (thỏa mãn điều kiện) Vậy minQ = x =
Dạng CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC
Phương pháp giải
Biến đổi vế thành vế biến đổi hai vế biểu thức thứ ba Ví dụ 1 Chứng minh đẳng thức sau với x≥0 ; y≥0 và x≠ y:
x y xy : x y x
x y
x y x x y
+ − − = − − + Giải
Xét vế trái T :
T = x y xy : x y
x y
x y x
+ − − − − T =
( )
( )( )
x y xy x
x y x y x y
+ −
− + −
T =
( )( )
x xy y xy x
x y x y x y
+ + − − + − T = ( ) ( )( )
x y x
x y x y x y
−
− + −
T = x x+ y
Ta thấy vế trái vế phải nên đẳng thức cho Ví dụ 2 Chứng minh đẳng thức sau với x≥0 ; y≥0 và x≠ y: x x y y xy : (x y) y
x y x y
+ − − = − + + Giải
Xét vế trái T :
T = x x y y xy : (x y)
x y + − − +
T = ( x y x)( xy y) xy
(50)T =
2
( )
( )( )
x y
x y x y
−
+ −
T = x y
x y
− + Xét vế phải P :
P = x y y x y
x y x y
+ − −
=
+ +
Rõ ràng T = P , suy điều phải chứng minh C BÀI TẬP TỰ LUYỆN
1. Rút gọn biểu thức sau :
a) 12
3
+ − + ;
b) a+3 25a3 −2 36ab3 −2 9a với , 0a b > 2. Biến đổi biểu thức 1
1
x x
x x
+ − −
− + dạng
2
2
1 m
x
x − − , 1x > Tính giá trị m
3. Rút gọn tính giá trị biểu thức P với x = 0,36 :
P =
9 3
x x
x
x+ − − x − −
4. Chứng minh đẳng thức sau với x≥0;y≥0;x≠ y:
x y x y : y x
x y
x y x y y y
+ − −
− =
− + − −
5. Cho biểu thức P = 1
1
x x
x x x x
−
+ −
− + +
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị nguyên x để P có giá trị nguyên
6*. Cho biểu thức P = : 36
36 2( 3)(x 3)
x x x x x
x x x x x
− −
−
− + − − +
a) Rút gọn P
b) Với giá trị x P có giá trị lớn ? Gía trị lớn bao nhiêu? 7*. Cho biểu thức P = 3 15 11
3 x 3)
x x x
x x x
+ + − − −
+ − + −
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị nhỏ P HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ
(51)2. Khử mẫu biểu thức lấy ta 22 1 x
x − − , suy m =
3. P =
3 x x
−
+ với điều kiện x ≥0 ; x ≠9 Khi x = 0,36, ta có P = − 4. Rút gọn vế trái xy x
x−y y = x−y 5. a) P = x 2(x 0);
x −
> b) x∈[ ]1; 6. a)
x 2− x+3 với điều kiện x>0;x≠9;x≠6 b) P =
2
6
3
( x−1) +2 ≤ = (
2 ( x−1) ≥0) Suy maxP = đạt x =
7 a) P =5 2( 0; 1)
x
x x
x
− ≥ ≠
+
b) P = 15 17 17
3
x
x x
+ − = −
+ +
17
P≥ − ( √𝑥 ≥0 )
P≥ − ( dấu xảy x = 0)
Vậy minP =
− , đạt x =
§9 CĂN BẬC BA
A. TRỌNG TÂM KIẾN THỨC 1. Khái niệm bậc ba
Căn bậc ba số a số x cho x3 = a
3 a = ⇔x x =a
Như vậy, ( )3a = a3 =a Nhận xét :
- Căn bậc ba số dương số dương ; - Căn bậc ba số âm số âm ; - Căn bậc ba số số ;
2. Tính chất
(52)• ab = a.3b ;
• 3
3
a a
b = b ( vớib≠0)
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng 1.TÌM CĂN BẬC BA CỦA MỘT SỐ
Phương pháp giải
Dựa vào định nghĩa bậc ba số : a =a.
Ví dụ 1 Hãy tìm :
a) 216 b) 3 729 c) 3331
Giải
a) 216 = 363 =6 b) 3729 = 393 =9 c) 3331= 3113 =11
Ví dụ 2 Hãy tìm :
a) −343 b) 3 −1000 c) 3 −1728.23 6<332 = 354
Giải
𝑎) 3
343 7
− = − = −
b) 3
1000 10 10
− = − = −
c) 3
1728 12 12
− = − = −
Ví dụ 2 Hãy tìm :
a)
27 b)
3 125 512
− c) 3−0, 064
Giải
a) 27 =
3
3 2
3
= b) 125
512
− =3 27.12 13 − = 3324 1− < 3343 1− = − =7 1 6 c) 3−0, 064= 3(−0, 4)3 = −0, 4
Dạng SO SÁNH
Phương pháp giải
(53)Ví dụ So sánh
a) 3345 b) 2 3 3 23
Giải
a) 7 343 345=3 <3 ; b) 23 6= 23.6 = 348
3 3
3 = 3.2 = 54 48<54 nên 2 63 <3 23 Ví dụ So sánh
a) 23 18
3
12
4 b)
3
130 1+ 3 12 1−
Giải
a) Ta có 23 18
3 =
3
3 .18 316 351
3 3
= =
3
12 =
3
3 .12 81 35
4 16 16
= =
Vì 51
3> 16 nên
18 >
3
12
b) Ta có 3130 1+ > 3125 1+ = + =5 1 6 ;
3 12 1− = 3 27.12 13 − =3324 1− < 3343 1− = − =7 1 6 ; Vậy 3130 1+ >
3 12 1−
Ví dụ Cho a < , hỏi số lớn hai số 32a 33a
Giải
Ta có < nên 2a>3a( vìa<0) Do 2a > 33a
Dạng 3. THỰC HIỆN CÁC PHÉP TÍNH
Phương pháp giải
Vận dụng định nghĩa bậc hai số, tính chất nhân bậc ba, chia bậc ba
Ví dụ Rút gọn biểu thức
a) 38+ −3 27+ −3 64 ; b) 354− −3 16+3128
Giải
a) Ta có 38+ −3 27+ −3 64 = + − + − = −2 ( ) ( )3 4 5
b) Ta có 354− −3 16+ 3128 = 33 23 − −3 ( 2) 23 +34 23 =3 23 +2 23 +4 23 =9 2.3 Ví dụ Tính
a) 316 13.53 −3120 : 153 ; b) 3
( 1)( 4+ − 1).+
Giải
(54)= 3 216− –
= = =6 – 2=4
b) 3
( 1)( 4+ − 1).+ = 38−34+3 2+ 34−3 2+1
= + =
Nhận xét: Để tính tích sử dụng đẳng thức : (a + b)(a2 –ab + b2) = a3 + b3
Ta có 3 3 3
( 1)( 4+ − 1)+ =( 2) + = + =1 Ví dụ Tính
a) ( 1)3 + 3−3 5( 1)3 + ; b) ( 43 −33)3+6 2( 1)3 −
Giải
a) Ta có ( 1)3 + 3−3 5( 1)3 + = 5 25+ +3 253 + − −3 53 =6.
b) Ta có 3 3 3 3
( 4− 3) +6 2( 1)− = −4 32 +3 16− +2 4−6 = 6−6 43 +6 23 − +2 6 43 −6 23 =2 Ví dụ Tính A = 5+ −2 5−2
Giải
Để tính giá trị A, ta tính A3 sau suy A
Bạn nên nhớ đẳng thức (a - b)3 = a3 -b3 – 3ab(a – b) Ta có A3 = (3 5+ −2 5−2)3
A =( 5+2) (− 5− −2) (33 5+2)( 5−2) (3 5+2) (−3 5−2)
4
A = − A
–
A + A =
(A 1)(A A 4)
⇔ − + + =
⇔ − =A ( A2+ + >A 0) Vậy 1A =
Ví dụ Rút gọn biểu thức
a) x3+ +1 (x x+1) ; b)
3
1 x
x x
+
− +
Giải
a) Ta có x3+ +1 (x x+1) = 3(x+1)3 = +x 1 b)
2
3
1 x
x x
+
− + =
2
3
3
3
( 1)( 1)
1
x x x
x
x x
+ − +
= +
(55)Dạng 4. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH • Nếu x3 = a x = √𝑎3 • Nếu x3 = b x = b3
Ví dụ 1. Giải phương trình
a) x+ − =7 3 1 ; b) 3
1−x + =2
Giải
a) Ta có x+ − = ⇔7 3 1 x+ = ⇔ + =7 4 x 7 64⇔ =x 57
b) Ta có 31−x2 + = ⇔2 31−x2 = − ⇔ −2 x2 = − ⇔8 x2 = ⇔ = ±9 x
Ví dụ 1. Giải phương trình
a) 31000x−364x−327x =15; b) 3 x− + =3 3 x
Giải
a) Ta có 31000x−364x−327x =15
3 3
3
3
10 15
3 15
5 125
x x x
x x x
⇔ − − =
⇔ =
⇔ =