Tạp chí Toán học tuổi thơ kỳ số 141

Trong lêi gi¶i nµy, kÝ hiÖu S(XYZ) chØ diÖn tÝch tam gi¸c XYZ. Cã hai trðêng hîp x¶y ra. RÊt nhiÒu b¹n tham gia gi¶i, tuy nhiªn nhiÒu lêi gi¶i qu¸ dµi.. Cã nhiÒu b¹n göi lêi gi¶i vÒ Tßa [r]

2 Khi giời cịc bội toịn chóng ta ệở khềng Ýt lẵn mớc phời sai lẵm ệịng tiạc Trong chuyến môc Sai ẻ ệẹu? Sỏa cho ệóng, cã rÊt nhiỊu lêi giời sai lẵm ệở ệđĩc chử Nhộ sđ phỰm toịn nữi tiạng G.Polya ệở nãi Con ngđêi phời biạt hảc nhọng sai lẵm vộ thiạu sãt cựa mừnh A.A Stoliar cưn nhÊn mỰnh: Khềng ệđĩc tiạc thêi gian ệÓ phẹn tÝch trến giê hảc cịc sai lẵm cựa hảc sinh, cưn J.A.Komenxkee nãi BÊt kừ mét sai lẵm nộo cịng cã thĨ lộm cho hảc sinh kĐm ệi nạu nhđ giịo viến khềng chó ý ệạn sai lẵm ệã, vộ hđắng dÉn hảc sinh nhẺn ra, sỏa chọa, khớc phơc sai lẵm Sau ệẹy chóng ta sỳ phẹn tÝch mét sè sai lẵm thđêng gẳp cựa hảc sinh giời toịn vÒ tử lỷ thục

TÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng Cho a, b, c, x, y, z số thực

(Vi iu kiện mẫu số khác 0)

1 Sai lầm áp dụng sai tính chất dÃy tỉ số

Bài toán Tìm x, y biết xy 90 Lời giải sai lầm:áp dụng tính chất d·y tØ sè b»ng ta cã

Suy x 2.9 18; y 5.9 45

Phân tích sai lầm:Lời giải áp dụng tính chất khơng đúng, ú l

Li gii ỳng:

Cách 1: Đặt x 2k; y 5k Vì xy 90 nên 2k.5k 90

10k2 90 k2 k + Víi k th× x 6; y 15 + Víi k th× x 6; y 15 VËy (x; y) (6; 15); ( 6; 15)

C¸ch 2: Ta cã x2 36

x

+ Víi x th× y 15 + Víi x th× y 15 VËy (x; y) (6; 15); ( 6; 15)

2 Sai lẵm khềng xĐt trđêng hĩp tỏ sè bỪng Bội toịn Từm x, y biạt

Lêi gi¶i sai lầm:áp dụng tính chất dÃy tỉ số ta cã

Suy 6x 12 x y

Phẹn tÝch sai lẵm: Lêi giời trến cưn thiạu trđêng hĩp 2x 3y

Lời giải đúng: áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có

+ NÕu 2x 3y th× 6x 12 x 2, y + NÕu 2x 3y th× 2x 3y

VËy (x, y) (2, 3);

Bài toán 3.Cho dÃy tỉ số nhau:

Tính

Lời giải sai lầm:Từ gi¶ thiÕt suy

a 1 b 1

b c d a c d

c 1 d 1

a b d b c a

a b b c c d d a

B

c d a d a b b c

a b c d .

b c d a c d a b d b c a 2; .

2

1

x ; y

2

2x 3y 2x 3y

5 6x

(2x 1) (3y 2) 2x 3y

5 12

2x 3y 2x 3y

5 6x

(2x 1) (3y 2) 2x 3y

5 12

2x 3y 2x 3y

5 6x

2

x xy 90 18

2 5

x y k

x y xy a b ab

x y xy 90 9.

2 2.5 10 x y a b c a b c a b c x y z x y z x y z

MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG GẶP

khi giải toán tỉ lệ thức nguyƠn thÞ thu h»ng

3 b c d a c d a b d b c a a b c d, suy B

Phẹn tÝch sai lẵm:Lêi giời trến cưn thiạu trđêng hĩp a b c d

Lêi giời ệóng: Lộm tđểng tù nhđ trến ta cẵn xĐt thếm trđêng hĩp a b c d thừ a b (c d); b c (a d)

3 Sai lẵm khềng xt trờng hp mẫu số bng

Bài toán Cho c¸c sè x, y, z kh¸c tháa mÃn điều kiện

HÃy tính giá trị biểu thức

Lời giải sai lầm: Ta có

áp dông tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng ta cã:

Phẹn tÝch sai lẵm:Khi ịp dông tÝnh chÊt dởy tử sè bỪng lêi giời trến ệở khềng xĐt trđêng hĩp x y z

Lêi giời ệóng: Lộm tđểng tù nhđ trến ta ệđĩc + Nạu x y z thừ:

¸p dơng tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng ta cã

Suy M 2.2.2

+ Víi x y z th× y x z; z y x; x z y

Do

4 Sai lầm khơng nắm định nghĩa giá trị tuyệt đối

NhËn xÐt x2 a (a 0) |x| a x a Bài toán Tìm x, y, z biết 2x2 3y2 5z2 405

Lời giải sai lầm:Đặt x 2k, y 3k, z 4k

Mµ 2x2 3y2 5z2 405 nªn 2(2k)2 3(3k)2 5(4k)2 405

8k2 27k2 80k2 405 45k2 405 k2 k

Do ệã x 2.3 6; y 3.3 9; z 4.3 12 Phẹn tÝch sai lẵm: Cịch giời trến cưn thiạu trđêng hĩp k 3, tõ ệã ta cã thếm kạt quờ x 2.( 3) 6; y 3.( 3) 9; z 4.( 3) 12 Cịc bỰn hởy giời cịc bội tẺp sau vộ ệõng mớc cịc sai lẵm nhđ trến nhĐ:

Bµi Tìm số x, y, z biết xyz 648

Bài Tìm x biết

Bi Cho a, b, c khác đôi thỏa mãn

Tính giá trị biểu thức Bài 4.Tìm x, y, z biÕt

y z x z x y .

x y z x y z

a b c

P 1

b c a

a b b c c a

c a b

x 60 15 x

x y z x y z k

2

x y z

x y z y x z y x z

M 1

y z x y z x

z x y ( 1).( 1).( 1) z x y

y z z x x y 2(x y z)

x y z x y z

y z z x x y

x y z

y z z x x y 2(x y z)

x y z x y z

x y z

M 1

y z x

y x z y x z

y z x

y x z y x z 2.2.2

z x y

y z z x x y

x y z

y z 1 z x 1 x y 1

x y z

y z x z x y x y z

x y z

x y z

M 1

y z x

y z x z x y x y z

x y z

a b b c c d d a

B

c d a d a b b c a b c d a b c d

b c d a c d

a b c d a b c d

4 Chử cã bỰn PhỰm Thu Hđểng, 8A4, THCS Trẵn ậẽng Ninh, TP Nam ậỡnh, Nam ậỡnhchử ệđĩc chẫ sai vộ ệđa lêi giời ệóng

Lêi giời ệóng Lêi giời ệở cho mắi chử ệđêng thỬng BM cớt ệđêng thỬng xy, cưn phời chụng minh tia BM cớt xy Do ệã ta cẵn bữ sung nhđ sau: Vừ xy qua a vộ song song vắi BC nến xy nỪm trến mét nỏa mẳt phỬng bê BC chụa A Mẳt khịc, tia BM cã gèc B trến BC vộ M nỪm giọa A, C nến tia BM còng nỪm trến mét nỏa mẳt phỬng bê BC

chứa A, nghĩa tia đối tia BM nằm nửa mặt phẳng bờ BC không chứa A tia đối tia BM khơng cắt xy Vậy tia BM cắt xy

BỰn PhỰm Thu HđểngnhẺn giời kừ nộy

anh kÝnh lóp Bµi to¸n Cho tam gi¸c

ABC, ệđêng cao AH ậẳt BC a, CA b, AB c TÝnh chiÒu dội ệoỰn thng BH theo a, b v c

Lời giải.Đặt BH x th× CH a x

áp dụng định lí Pytago ta có AH2 AB2 BH2 AC2 CH2 Suy c2 x2 b2 (a x)2

c2 x2 b2 a2 2ax x2 c2 a2 b2 2ax

VËy

Theo bạn, lời giải hoàn chỉnh chða? Cao ngọc toản (GV THPT Tam Giang, Phong Điền,

Thõa Thiªn - HuÕ) 2

a c b

BH

2a 2

a c b

x

2a

(TTT2 sè 137+138)

TÌM CHIỀU DÀI ĐOẠN THẲNG

CỊN CẦN GÌ NỮA KHƠNG?

Chỉ có bạn giải th c kỡ 64:

Phạm Bá Lộc, 7I, THCS Lê Quý Đôn, Cầu Giấy, Hà Nội.

Lê tó

Đen trước chiếu hết sau nước

VŨ ĐÌNH HÒA

5

(TTT2 sè 139) NhËn xÐt.Quy lt bµi rÊt dƠ, tất gửi

u cho ỏp ỏn Bài 2: Hầu hết bạn chọn số cần điền 92, nhðng số bạn cho kết mà khơng giải thích, nêu mối liên hệ cụ thể số, không nêu quy luật khái quát

Quy luËt

Bài 1.Tổng số bốn vng nhỏ hai hình đầu 30, số cịn thiếu cần điền vào trống hình thứ ba 14

Bµi 2.XÐt d·y sè

95, 98, 89, 95, 83, , 77, 89

Các số vị trí lẻ giảm dần cách đơn vị, số vị trí chẵncũng giảm dần cách đơn vị Theo quy luật đó, số cần điền vào chỗ trống 92

Cịc bỰn ệđĩc thđẻng kừ nộy: NguyÔn nh Linh, 7A2;ậỰi Vẽn Thđẻng, 9A1, THCS Yến LỰc, Yến

LỰc;Lế nh Tuyạt, 6E1, THCS Vỵnh Tđêng, Vỵnh Tđêng,Vỵnh Phóc;Ngề Thỡ Ngảc nh, 8A, THCS Cao Xuẹn Huy, DiÔn Chẹu, Nghỷ An;Trỡnh Thộnh An, 8A, THCS Phan Huy Chó, ThỰch Hộ, Hộ Tỵnh

Cịc bỰn sau ệđĩc tuyến dđểng: Ngun Trung Dịng, 8A, THCS Lế Vẽn Thỡnh, Gia Bừnh, Bớc Ninh; NguyÔn Huy Quang, 6A, THCS Hoộng Xuẹn Hởn, ậục Thả, Hộ Tỵnh; Ngun Tróc Qnh, 7A2, THCS Yến LỰc, Yến LỰc; Lế Minh Viỷt Anh, 6A, THCS Vỵnh Yến, TX Vỵnh Yến; Nhãm bỰn Trẵn ậan Trđêng, NguyÔn Mai Chi, NguyÔn Thỡ Minh Nguyỷt, NguyÔn Thỡ Ninh Hđểng, ậộo Ngảc Hời ậẽng, 6A, THCS Lý Tù Trảng, Bừnh Xuyến, Vỵnh Phóc;Vị Trang Nhung, 8A;Trẵn ậục Hiạu, 6A, THCS MỰc ậỵnh Chi, Ba nh,H Nội

nguyễn Xuân Bình ẹIEN SO NAỉO?

QUY LUAT Kè LAẽ

Bạn hÃy tìm quy luật số hình vẽ điền tiếp số vào ô trống

6 Ngộy nay, cịc mịy soi ệở trẻ nến rÊt quen thuéc: Tõ mịy soi ệă kiÓm tra an ninh ẻ sẹn bay ệạn mịy chôp “X-quang” hay MRI ẻ cịc bỷnh viỷn, cho ệạn cịc mịy dư mừn Cịc mịy ệã khịc vắi cịc mịy ờnh thềng thđêng ẻ chẫ lộ nã khềng cho cịc bục ờnh trùc tiạp, mộ chử cho cịc “hộm mẺt ệé” (cho biạt chẫ nộo “ệẳc hển chẫ nộo” theo hđắng nộo) Răi tõ cịc hộm mẺt ệé ệo theo nhiÒu hđắng khịc ệã, ngđêi ta mắi dỉng biạn ệữi toịn hảc ệÓ từm cịc bục ờnh LoỰi biạn ệữi toịn hảc mộ chóng ta nãi ệạn ệđĩc cịc nhộ toịn hảc, ệẳc biỷt lộ ềng Radon, bớt ệẵu nghiến cụu tõ ệẵu thạ kũ XX mộ ngộy chóng biạt ệạn dđắi tến gải “biạn ệữi Radon” (hay lộ cịc mẻ réng cựa nã)

Bội toịn mộ tõ viỷc ệo ệỰc ệđĩc mét sè tÝnh chÊt gừ ệã (vÝ dô nhđ lộ mẺt ệé theo cịc hđắng) cựa mét hừnh thÓ, từm ệđĩc hừnh dỰng cựa hừnh thÓ ệã, toịn nãi chung ệđĩc gải lộ “bội toịn ngđĩc” VÊn ệÒ “bội toịn ngđĩc” lộ mét nhọng vÊn ệỊ quan trảng ệẵy ụng dơng cựa toịn hảc hiỷn ệỰi, tõ viỷc dư mừn cho ệạn dư dẵu khÝ cho ệạn ệự cịc thụ khịc (Mải thụ mộ khềng “nhừn thÊy” ệđĩc trùc tiạp, mộ chử ệoịn qua cịc chử sè ệo ệđĩc giịn tiạp thềi)

§Ĩ làm ví dụ, ta thử giải baby Radon transform” sau

Cho hình vng mà ô viết số nhð hình vẽ (hình dung đựng thứ đó, số mật độ thứ đó):

Bẹy giê khềng ệđĩc cịc thụ ệĨ xem ề nộo

ệùng thụ gừ, nhđng cã mịy chiạu xiến qua hừnh vuềng ệÓ ệo mẺt ệé Xiến theo cịc hộng ngang thừ biạt ệđĩc cịc tững a b c, d e f, g h k Xiến theo cịc hộng dảc thừ biạt a d g, b e h, c f k Xiến 45 ệé thừ biạt d b a, g e c, h k f Xiến 45 ệé theo ệđêng chĐo khịc thừ biạt thếm tững nọa lộ d h g, a e k, b f c Cẹu hái lộ: Nạu biạt 12 tững ệã thừ cã thÓ từm ệđĩc sè a, b, , k khềng?

Nạu từm ệđĩc thừ tục lộ lộm ệđĩc mét biạn ệữi “baby Radon”

ậÓ giời bội toịn nộy, ta chó ý mẫi cịch chiạu xiến thừ tững cựa ba tững bỪng tững cựa sè VẺy ta lÊy mét cịch chiạu xiến ệẵy ệự phđểng trừnh, ba cịch chiạu xiến cưn lỰi, mẫi cịch ta lÊy phđểng trừnh Ta cẵn giời hỷ phđểng trừnh ệĨ từm sè

VÝ dơ ta cã hỷ găm phđểng trừnh sau:

a b c m1, d e f m2, g h k m3, a d g m4, b e h m5, d b a m6, g e c m7, d h g m8, a e k m9 (với m1, m2, , m9là số biết)

NGUYÊN TẮC TOÁN HỌC CỦA MÁY SOI

GS Ngun TiÕn Dịng

7

Bµi 1.Rót gän biĨu thøc víi x vµ a b 2a

Bµi a) Chøng minh số nguyên x y nµo tháa m·n hƯ thøc 2008x2009 2009y2010 2011

b) XĐt dởy sè a1 1, a2 vộ an 2 2an 1 an vắi mải sè nguyến dđểng n Chụng minh rỪng A 4anan 2 lộ sè chÝnh phđểng

Bội a) Giời hỷ phđểng trừnh

b) Từm cịc nghiỷm tù nhiến (x, y) cựa phđểng trừnh (x2 4y2 28)2 17(x4 y4 14y2 49) Bội 4.Cho cịc sè thùc dđểng a, b, c tháa mởn a3 b3 c3 Từm giị trỡ nhá nhÊt cựa biÓu thục

Bội Cho tam giịc nhản ABC, gải H lộ trùc tẹm vộ O lộ tẹm ệđêng trưn ngoỰi tiạp tam giịc ABC Chụng minh rỪng AH AO vộ chử

Bội Trong hừnh chọ nhẺt ABCD kÝch thđắc 5, cho ệiÓm phẹn biỷt Chụng minh rỪng tăn tỰi hai ệiÓm mộ khoờng cịch giọa chóng khềng vđĩt quị 17

o ABC 60 2 2010

A a b c

a b c

3xy 2(x y) 5yz 6(y z) 4zx 3(z x)

1 2a b

a b

1 ax bx

A ,

1 ax bx

ẹEÀ THI HOẽC SINH GIỎI LễÙP CẤP HUYỆN Thời gian làm bài:90 phút (không kể thời gian giao đề)

8 A Đề thi cá nhân

1.V by giê Mini tuữi nến tuữi cựa Mini bẹy giê lộ lẵn mét sè chÝnh phđểng, tõ ệã tuữi cựa Max sau ệẹy mét nẽm còng lộ lẵn mét sè chÝnh phđểng Vừ tuữi cựa Mini sau ệẹy mét nẽm lộ lộ mét sè chÝnh phđểng nến tuữi cựa Max bẹy giê lộ mét sè chÝnh phđểng lĨ Chó ý rỪng 1, 25 vộ 81 khềng lộ lẵn mét sè chÝnh phđểng nến tuữi cựa Max bẹy giê lộ 49 tuữi

2.Chóng ta bớt ệẵu tõ cịc phẹn sè Ta sỳ céng tỏ sè cựa hai phẹn sè nộy vắi vộ céng mÉu sè cựa hai phẹn sè nộy vắi ta ệđĩc mét phẹn sè mắi nỪm giọa hai phẹn sè ban ệẵu Ta cã

Quị trừnh ệã cụ lẳp lỰi, ta ệđĩc vộ

Ta thÊy ph©n sè nằm

Vy số tr em tham gia dộn hĩp xđắng nhá nhÊt lộ vộ sè trĨ em nam lộ

3 Giờ sỏ cã 13 cề gịi vộ 10 ngùa thừ ta cã tững sè chẹn lộ 13.2 10.4 66 Vừ 990 : 66 15 nến cã (13 10).15 45 cề gịi phời ệĩi ệạn lđĩt mừnh cđìi ngùa

4.Trđắc hạt chóng ta từm hiỷu cựa hai tỏ sè 57 23 34, hiỷu cựa hai mÉu sè 78 30 48 ậÓ ệđĩc ệỬng thục ệóng thừ cịc phẹn sè mắi cã kạt quờ

b»ng Mµ vµ

Do số phải trừ

5.Sè tÊt cờ cịc ệéi, găm cờ ệéi khềng cã ngđêi nộo lộ 210 1024 Sè tÊt cờ cịc ệéi khềng cã bỰn

nọ nộo, găm cờ ệéi khềng cã ngđêi nộo lộ 26 64 Sè cịc ệéi chử cã mét bỰn lộ 26 256 Do ệã sè cịc ệéi cã Ýt nhÊt mét bỰn lộ 1024 64 256 704

6 Chú ý 2014 2.19.53 Nếu tích có thừa số ta có giá trị tổng Nếu tích có thừa số ta có giá trị tổng Nếu tích có bốn thừa số ta có giá trị tổng Vậy số tổng khác

7.Mét ngộy sau, chử cưn lỰi 54 chuét ệen Trẻ lỰi nhọng ngộy vÒ trđắc, mẫi ngộy sè chuét trớng tẽng thếm vộ hiỷu giọa sè chuét ệen vộ chuét trớng mẫi ngộy tẽng thếm Ta cẵn cã 54 : 27 ngộy ệÓ sè chuét ệen vộ sè chuét trớng bỪng Vừ ban ệẵu sè chuét ệen gÊp lẵn sè chuét trớng nến thêi gian ệÓ sè chuét trớng bỪng sè chuét trớng ban ệẵu lộ 27 : ngộy Do ệã ban ệẵu cã 4.9 36 chuét trớng vộ cã 3.36 108 chuét ệen VẺy sè chuét mộ mÌo bớt ệđĩc lộ 36 108 144

8

Gọi N trung điểm AB Ta có AN 12 cm Theo tính chất đối xứng điểm P phải nằm đoạn thẳng MN để có PA PB Nếu điểm P cần N PA ngắn PM dài Vì tồn điểm P để PA PB PM Khi cho PN cm PM 24 15 cm Vậy giá trị nhỏ độ dài đoạn thẳng PM 15 cm

2

PA 12 15 cm

57 51 17 78 72 24 23 17

30 24 34 17

48 24

2

2 1 3 1 5 1 1 5

0 1 1, 3

0 1 1

1

DTH(DÞch vµ giíi thiƯu)

LỜI GIẢI ĐỀ THI OLYMPIC

TỐN HỌC TRẺ QUỐC TẾ TẠI HÀN QUỐC

(KIMC 2014)

9 9.Nạu chử cã 63 ngđêi thừ sè cịi bớt tay nhiÒu nhÊt lộ Nạu cã 64 ngđêi thừ sè cịi bớt tay nhiÒu nhÊt lộ sè nộy lắn hển 2014 lộ Khi ệã Bob bớt tay 63 61 ngđêi Nạu cã 65 ngđêi thừ sè cịi bớt tay nhiÒu nhÊt lộ sè nộy lắn hển 2014 lộ 66 Do ệã Bob khềng bớt tay bÊt cụ vộ cưn cã hai ngđêi nộo ệã khềng bớt tay (loỰi) VẺy tững sè cã 64 ngđêi tham gia bọa tiỷc vộ sè ngđêi mộ Bob khềng bớt tay lộ 2014 1953 61 ngđêi

10.Ta thÊy tững sè tiÒn vĐ cho mét ngđêi lắn vộ mét trĨ em bỪng sè tiÒn vĐ cho thiạu niến Chóng ta sỳ thay thạ mét ngđêi lắn vộ mét trĨ em bỪng hai thiạu niến Nạu nhđ ệi xem nhỰc giao hđẻng chử cã 131 thiạu niến thừ sè tiÒn mua vĐ lộ $18.131 $2358, ệã sè tiÒn chếnh so vắi thùc tạ lộ $2358 $2014 $344 Tiạp tôc ta sỳ thay mét sè thiạu niến bỪng nhọng trĨ em Mẫi trĨ em thay thạ cho mét thiạu niến thừ sè tiÒn mua vĐ giờm ệđĩc $18 $10 $8 VẺy sè trĨ em ệđĩc thay thạ cho cịc thiạu niến lộ 344 : 43 VẺy sè trĨ em nhiÒu hển sè ngđêi lắn lộ 43 em

11

Diện tích hình vng lớn 9.4 36 cm2nên hình vng lớn có cạnh cm Diện tích hình vng nhỏ 4.4 16 cm2 nên hình vng nhỏ có cạnh cm Chu vi hình cạnh tạo hai hình vng chồng lên tổng chu vi hai hình vng trừ chu vi hình chữ nhật phần chung hai hình vng Để chu vi hình cạnh nhỏ chu vi hình chữ nhật tơ màu phải lớn nhất, diện tích hình chữ nhật tơ màu lớn Mà hình chữ nhật tơ màu có diện tích cm2 có độ dài cạnh cm nên độ dài cạnh lại : cm Vậy chu vi nhỏ hình cạnh tạo hai hình vng chồng lên 4.(6 4) 2.(4 1) 30 cm

12.Số bầu trời

(10 2)(10 2) (100 2)(100 2) (100 00 2)(100 00 2)

(100 4) (10000 4) (100 00 4) 1010 10100 4.2015

1010 10100 8060 1010 12040

Số chữ số số 2015 2013 Vậy tổng chữ số số bầu trời 2013 2019

13

Ta cã SDFPQ SABC (SBDF SAFP SCDQ) SABC (SDFK SAFP SCDQ)

SABC (SDFPK SKPQ SAFP SCDQ)

Do

Suy SABC 3.10 30 cm2

14 Vắi mẫi km cựa ệoỰn ệđêng Nadia mÊt 15 ệĨ ệi lến dèc, mÊt 10 ệĨ ệi xng dèc, tục lộ mÊt 25 ệÓ ệi cờ lến dèc vộ xuèng dèc Trến ệoỰn ệđêng bỪng Nadia mÊt 2,5 : 0,5 giê hay 30 cho chiỊu ệi vộ mÊt 30 cho chiÒu vÒ Tững thêi gian cờ ệi vộ vÒ cựa Nadia trến hai ệoỰn ệđêng dèc lộ giê 36 giê 39 (30 30 phót) 135 Tững ệé dội hai ệoỰn ệđêng dèc lộ 135 : 25 5,4 km VẺy chiÒu dội tõ vỡ trÝ xuÊt phịt ệạn chẫ cịi hă lộ 5,4 2,5 7,9 km

15.Trđắc tiến cã cịch ệÓ tề mộu cho mẳt cỉng mộu Hai mẳt ệã cã thÓ lộ hai mẳt ệèi diỷn hoẳc hai mẳt kÒ

Nạu hai mẳt ệèi diỷn cỉng mộu thừ mẳt cưn lỰi ệđĩc tề cịc mộu khịc Cã ba cịch khịc ệÓ tề mộu hai mẳt ệèi diỷn mẳt ệã, hai mộu cưn lỰi tề cho hai mẳt ệèi diỷn cưn lỰi

Nạu hai mẳt ệđĩc tề cỉng mộu lộ hai mẳt kÒ thừ sè cịch ệÓ tề mộu cho hai mẳt ệèi diỷn vắi hai mẳt ệã lộ 4.3 : cịch Trong mẫi cịch tề mộu hai mẳt ệã cã cịch ệÓ tề mộu hai mẳt cưn lỰi VẺy sè cịch ệÓ tề mộu hừnh lẺp phđểng ệã lộ 5.(3 6.2) 75 cịch

KPQ AFP CDQ ABC

S S S S

3 ABC ABC ABC

S S S

10 Bài 1:a) Điều kiện: x

Khi ệã hai vạ cựa phđểng trừnh khềng ẹm, bừnh phđểng hai vạ ta ệđĩc

(3 x)2(3 x)(9 x2) 80(3 x) (3 x)[(9 x2)(9 x2) 80] (3 x)(81 x4 80)

(3 x)(1 x4)

x {3, 1, 1} (thỏa mÃn điều kiện) b) Vì x nªn

Phđểng trừnh ệở cho trẻ thộnh

Bài 2: a) Điều kiện: y Ta thấy (x2 9) (y 7) x2 y

b) Gäi O trung điểm BD Ta có

Vy chu vi hừnh thoi ABCD lộ 4.AB 24 (m), bịn kÝnh ệđêng trưn ngoỰi tiạp ABC lộ DA (m) Bội 3: a) Vắi m ta ệđĩc

b) XĐt phđểng trừnh mx2 (m 3)x 2m (2) Giờ sỏ (2) cã hai nghiỷm phẹn biỷt x1, x2

Ta cã

Bµi 4: a) Ta cã hay

2

( a b) 400 a b 20 S 20

a b ab 200

2

2 2

1 2

7 mx (m 3)x (2m 1) 21x 58

17

21x 21x 58 x x

7 m 17 m 7 Thư l¹i tháa m·n.

m

2

1 2

21x 7m(2 x x ) 58 21x

2

x 4x x 1.

x

2

ABCD

OAB OB.OA 3OB S

S

2

OB AB

AB 2OB, AO 3OB

2 2 2 2 2 2 2

x y x y

*)

x y x y

x y 16 x 7, y

x 7, y (tháa m·n)

(x 9)(y 7) 15 x y 15

*)

x y x y

x 5, y x 16, y

x 0, y 18

x 3, y

x 4, y 2(tháa m·n). x 0, y 18

2

x

2 2

2 2

2

(x y)(x y)(x xy y ) 6 x y 6

y (y xy y ) y

x 7 x 7 (v× x 0).

y y

y

2 |1 | 1.

(1 4x 1) 4x 4x

1 4x

Năm học: 2014 - 2015 * Môn thi: Toán(không chuyên) THI TUYN SINH LỚP 10 PTNK ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH

11 b) Ta cã xy x(100 a)%.y(100 m)% nên

Bài 5:a) Vì BE BC BA nên ABE cân B Gọi O trung điểm CD O tâm T Vì OB EC DE EC nên OB // DE

Mà DO // FB nên tứ giác DOBF hình bình hành Vậy BF DO a nên AF a

b) Gọi K trung điểm BP Ta có

M KO lộ ệđêng trung bừnh cựa hừnh thang vuềng BCDP nến KO CD

VẺy ệđêng trưn ệđêng kÝnh BP tiạp xóc vắi CD tỰi O hay ệđêng trưn ngoỰi tiạp tam giịc ABP tiạp xóc vắi CD

Vì EP.EB EO2, EB 2a, EO a nên Do

c) Ta có

Vậy M trung điểm cung CD

Suy AM AF2 FM2 a2 9a2 a 10

o o o o

o o

180 ABE 180 EBC 180 ABC 135

2 2

MEC 45 MED 45

AEC AEB BEC

a 3a AP

PD AP

2 PD

a

EP

2 o

1DOC 90 KO 1BP.

2

1

POB POE EOB DOE EOC

2

10000 100a

100 m m

100 a 100 a

Câu 1: (1,5 điểm)

a) Tìm hai số tự nhiên a b biết: BCNN(a, b) 300; ƯCLN(a, b) 15; b) Tìm x, y biết (x 1)(2y 5) 143 Câu 2: (1,5 điểm)

Cho S 32 33 3100 a) TÝnh 2S 3;

b) Tìm chữ số tận S

Câu 3: (1,5 điểm) Cho (với n ) a) Tìm n để A có giá trị số nguyên; b) Tìm n để A đạt giá trị lớn (GTLN), giá trị nhỏ (GTNN)

Cẹu 4: (2 ệiÓm) Cho ệiÓm O nỪm giọa A vộ B Trến cỉng nỏa mẳt phỬng bê lộ ệđêng thỬng AB vỳ ba tia OC, OD, OE cho

a) Chứng tỏ tia OD tia phân giác gãc COE;

b) Vỳ OM lộ tia phẹn giịc cựa gãc AOD; tia OK lộ phẹn giịc cựa gãc DOC TÝnh sè ệo gãc MOK Cẹu 5: (2 ệiÓm)Từm sè cã chọ sè , biạt rỪng lộ sè chÝnh phđểng vộ nạu céng thếm 72 vộo sè thừ ệđĩc mét sè chÝnh phđểng Cẹu 6: (1,5 ệiÓm) Từm cịc sè tù nhiến a, b, c khịc tháa mởn ệiÒu kiỷn a b c abc

abcd abd

abcd

o o o

BOC 38 , AOD 98 , AOE 54

4n A

2n

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI

HUYN VNH TNG, VNH PHC

Năm học: 2014 - 2015 * Môn: Toán lớp 6

12 Bội 1(139).Cho x vộ y lộ cịc sè nguyến dđểng tháa mởn Từm giị trỡ nhá nhÊt cựa x

Lời giải.Ta có

Vì y * nên y x 2014 VËy x nhá nhÊt b»ng 2014 y

NhẺn xĐt.Cã mét vội bỰn nhẵm quến ệiÒu kiỷn x, y nguyến dđểng nến xĐt cờ x y Cịc bỰn cẵn lđu ý kạt luẺn GTNN cựa x ệỰt ệđĩc y Cịc bỰn sau cã lêi giời ệóng vộ trừnh bộy ệứp: Phan Lế Vẹn Nhi, NguyÔn An Na, 6A, THCS Hoộng Xuẹn Hởn, ậục Thả, Hộ Tỵnh; Trẵn Thỡ Hoộng Minh, 7C, THCS Cao Xuẹn Huy, DiÔn Chẹu,Nghỷ An; NguyÔn nh Linh, 7A2; Lế ậục Thịi, 6A2, THCS Yến LỰc, Yến LỰc; Lế ậục Anh, Trẵn Thanh HuyÒn, 7A1, THCS - THPT Hai Bộ Trđng, TX Phóc Yến, Vỵnh Phóc

Phïng kim dung

Bài 2(139) So sánh biểu thức P víi biÕt

(víi 1! 1, 2! 1.2, 3! 1.2.3, )

Lời giải.Với số tự nhiên n 0, ta cã

ịp dông vắi n 1, 2, , 2012 ta ệđĩc

VËy

Nhận xét Hầu hết giải gửi Tòa soạn cho đáp số Các bạn sau có lời giải tốt: Đỗ Đức Anh, 6A2; Tạ Kim Thanh Hiền, 6A4, THCS n Lạc, n Lạc, Vĩnh Phúc;Nguyễn Chí Cơng, 6A3, THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ; Nguyễn Ngọc nh, Phạm Hiếu Ngân, Nguyễn Hải Ly, Phạm nh Tuyết, Nguyễn An Na, Thái Thị Thu Sang, Hoàng Tuấn Tài, Phạm Yến Nhi, 6A; Nguyễn Văn Việt, 6B, THCS Hoàng Xuân Hãn, Đức Thọ, Hà Tĩnh

hå quang vinh

Bi (139).Gii phng trnh

Lời giải.Điều kiện

áp dụng bất đẳng thức AM - GM cho hai số khơng âm, ta có

2

1 x (4 4x) 3x

x x x 4x ;

2 4

1 9x (4 4x) 13x

x x 9x 4x

6 12 12

2

x x 0 x 1.

x x

2

13 x x x x 16

1

P

2

1 1 1

P

2! 3! 3! 4! 2013! 2014!

1 1 1.

2! 2014! 2!

n n

n! (n 1)! (n 2)! n!(1 n 1) (n 2)!

n (n 2)

(n 2)(n! (n 1)!) n!(n 2) (n 2)!

1 1

(n 1)! (n 2)!

3 2014

P

1! 2! 3! 2! 3! 4! 2012! 2013! 2014! 1,

2

x y y 2015 1 y 1

x y 2015 x y 2015

y x 2014 x 2014y.

x y 2015 y

x 2y 2016

x y 2015

13 Suy

Đẳng thức xảy

(thỏa mn ệiÒu kiỷn) VẺy phđểng trừnh cã nghiỷm nhÊt lộ

Nhận xét Có nhiều bạn gửi giải hầu hết làm theo cách Có thể giải toán cách sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski

Cịc bỰn sau ệẹy cã bội giời tèt: Trẵn Quèc LẺp, Trẵn Thỡ Thu HuyÒn, 8A3, THCS Lẹm Thao, Lẹm Thao,Phó Thả;Vị Ngảc Duy, Kim Thỡ Hăng Lỵnh, 8E1, THCS Vỵnh Tđêng, Vỵnh Tđêng, Vỵnh Phóc; Ngun Thỉy Linh, Vâ Viỷt Anh, NguyÔn Vẽn Quẹn, NguyÔn Thỡ HỪng, Dđểng Thỡ Linh Chi, Lế Phđểng Nam, 9B; PhỰm Trẵn Anh, 9E, THCS Lý NhẺt Quang, ậề Lđểng, Nghỷ An; NguyÔn Thỡ Linh, 9B; Ngun Thóy HỪng, Trẵn Huy Thớng, 9A, THCS Phó Phóc, Lý Nhẹn Hộ Nam; ậẳng Quang Anh, 8A, THCS NguyÔn ChÝch, ậềng Sển, Thanh Hãa; NguyÔn Tỉng Lẹm, 9A3, THCS Tõ Sển, TX Tõ Sển, Bớc Ninh;NguyÔn Quang Bin, 9A1, THCS Giờng Vâ, Ba ậừnh, Hộ Néi

Ngun Anh Dịng

Bài 4(139).Tìm x để biểu thức

t giỏ tr nh nht

Lời giải.Điều kiện x Ta có

Đẳng thức xảy vµ chØ

Vậy với biểu thức A đạt giá trị nhỏ Nhận xét Đây khơng khó nên có nhiều bạn tham gia giải Hầu hết bạn giải đúng, số bạn giải thiếu giá trị

x, cã nhiÒu bỰn lộm bội gièng hỷt Nhọng bỰn sau ệẹy cã lêi giời ệóng: Trỡnh ậục Viỷt, 8A, THPT chuyến Hộ Néi - Amsterdam; ậẳng Thanh Tỉng, 9B, THCS Ngun Thđĩng HiỊn, ụng Hưa; Phan Thộnh Trung, 9A4, THCS Ngề Sỵ Liến, Hoộn Kiạm; PhỰm Quang Minh, NguyÔn Quang Bin, 9A1, THCS Giờng Vâ, Ba ậừnh, Hộ Néi;ậẫ Minh Trung, 8A1, THCS Hai Bộ Trđng, Phóc Yến; ậẫ Minh Hiỷp, 8A, THCS Vỵnh Yến, Vỵnh Yến, Vỵnh Phóc; Lế Quang Bờo, 9A; Ngun Minh Trang, 8A1, THCS Yến Phong, Yến Phong; NguyÔn Tỉng Lẹm, 9A3, THCS Tõ Sển, TX Tõ Sển, Bớc Ninh; Trẵn Quèc LẺp, 8A3; ậộo Thanh Phóc, 9A3, THCS Lẹm Thao, Lẹm Thao; Hoộng ậục ThuẺn, Lế Hỉng, 9A, THCS Vẽn Lang, TP Viỷt Trừ, Phó Thả; Ngun Vẽn Quẹn, Ngun Thỡ HỪng, 9B, THCS Lý NhẺt Quang, ậề Lđểng; Lế Thộnh Vinh, THCS ng Thai Mai, TP Vinh, Ngh An

cao văn dòng

Bài 5(139) Cho n số tự nhiên Ta định nghĩa n! (đọc n giai thừa) nhð sau:

a) NÕu n th× n!

b) Nếu n n! n.(n 1)! 1) Hãy tính 5! theo định nghĩa

2) Hãy viết 2014! thành tích số tự nhiên từ định nghĩa

Lêi gi¶i.1) Ta cã 5! 5.(5 1)! 5.4!

5.4.(4 1)! 5.4.3! 5.4.3.(3 1)! 5.4.3.2! 5.4.3.2.(2 1)! 5.4.3.2.1! 5.4.3.2.1.(1 1)! 5.4.3.2.1.0! 5.4.3.2.1.1 120

2) Ta cã 2014! 2014.(2014 1)! 2014.2013! 2014.2013 3.2.1

NhẺn xĐt.TÊt cờ cịc bội ệỊu giời ệóng, nhiến cã mét sè bỰn quến khềng ghi ệỡa chử nến khềng ệđĩc khen kừ nộy

Cịc bỰn sau ệẹy cã lêi giời tèt: ậẺu Anh Kiến, TỰ Họu Tiạn Thộnh, 8A; Cao Khớc Tẹn, 7A, THCS Cao Xuẹn Huy, DiÔn Chẹu, Nghỷ An;Phan Trẵn Hđắng,9A, THCS Quịch Xuẹn Kừ, Hoộn KÌo, Bè TrỰch, Quờng Bừnh;ậẳng Quanh Anh, 8A, THCS Ngun ChÝch, ậềng Sển; NguyÔn Thỡ Thờo Linh, 8D, THCS Nhọ Bị Sủ, HoỪng Hãa, Thanh Hãa; Ngun Thóy HỪng, Trẵn Huy Thớng, 9A, THCS Phó Phóc; Ngun Thỡ Lan Hđểng, 9A, THCS Nam Cao; Trẵn Duy Long, 8D, THCS Nhẹn HẺu, LÝ Nhẹn, Hộ Nam; TỰ Lế Ngảc Sịng, 8E, THPT chuyến Hộ Néi - Amsterdam; Tõ Anh Dòng, 8A15; NguyÔn Duy Khđểng, 9A9; NguyÔn Quang Bin, 9A1, THCS Giờng Vâ, Ba ậừnh; ậẳng Thanh Tỉng, 9B, THCS NguyÔn Thđĩng HiÒn, ụng Hưa, x 2 2x 2

x x

2

x

2 2

2

2 2 2

2 2

1

x (x 4x 4) 4x

x

x (x 2) 2x x (x 2)

x

x x x x

2

2

A x x

x

2

2

1 A x x

x

4

x

5

x 4x x

9x 4x

13(4 3x) 3(4 13x) 16

4

2

14 Hộ Néi; Ngun Trung Dịng, 8A, THCS Lế Vẽn Thỡnh, Gia Bừnh; Trẵn Minh Quẹn, 7A1, THCS Tõ Sển, TX Tõ Sển; TỰ Viạt Hoộn, 7C, THCS NguyÔn Cao, Quạ Vâ, Bớc Ninh; PhỰm Hoộng Ly, Phan Thỡ Nguyỷt, 9A1; TỰ Kim Thanh HiỊn, 6A4, THCS Yến LỰc, Yến LỰc; Ngun Duy Ngảc, 9E1;Phỉng Quèc Lẹm, 6E2;TỰ Nam Khịnh, Cao ậục Thộnh, 7E1; Lế Anh Dòng, Kim Thỡ Hăng Lỵnh, 8E1, THCS Vỵnh Tđêng, Vỵnh Tđêng; PhỰm Ngảc Hoa, 8A1, THCS Sềng Lề; ậẫ Minh Hiỷp, 8A, THCS Vỵnh Yến, TP Vỵnh Yến, Vỵnh Phóc; Lẹm Bờo Ngảc, ThỰch Ngun Ngảc Thờo, NguyÔn Trđêng Thỡnh, 6A1; NguyÔn Tiạn ậỰt, 6A2; ậộo Quèc Hđng, NguyÔn Thạ Bờo, 6A3; NguyÔn Thỡ BÝch Ngảc, Vị Tỉng Chi, 7A1; Dđểng Hời Anh, 7A2;Ngun Tỉng Lẹm, ậinh Thỡ Ngảc Anh, Lế Thạ Hời, Bỉi Hđểng Giang, Bỉi ậục Thớng, Ngun Thỡ Thanh Hun, Khững Thỡ Thờo Vẹn, Bỉi Thỡ Qnh, Ngun Thu HiỊn, Ngun Phđểng Thờo, Bỉi Trảng Vinh, NguyÔn Khớc Nhẹn, NguyÔn Họu MỰnh, NguyÔn Hộ Minh TrÝ, NguyÔn Họu Trung Kiến, TỰ Phđểng Chi, NguyÔn Thỉy Dđểng, 7A3; Trẵn MỰnh Cđêng, 8A3; NguyÔn Xuẹn Bịch, 9A1; TỰ Anh Dòng, 9A3, THCS Lẹm Thao, Lẹm Thao; Ngun Thu HiỊn, 8A2, THCS HỰ Hưa, HỰ Hưa; Hoộng Lế Cềng Khềi, 8B, THCS Thanh Hộ, Thanh Ba; Hoộng ậục ThuẺn,9A, THCS Vẽn Lang, TP Viỷt Trừ, Phó Th

TRịNH HOàI DƯƠNG

Bi 6(139) Cho tam giác ABC có tỉ số hai cạnh chung đỉnh A : Vẽ trung tuyến AM phân giác AK Tính tỉ số diện tích hai tam giác AKM AKB

Lêi gi¶i.Trong lêi gi¶i này, kí hiệu S(XYZ) diện tích tam giác XYZ

Cã hai trđêng hĩp xờy Trđêng hĩp

Chó ý r»ng vµ ta cã

Trđêng hĩp

Chó ý r»ng vµ ta cã

NhẺn xĐt.RÊt nhiÒu bỰn tham gia giời, nhiến nhiÒu lêi giời quị dội Xin tến mét sè bỰn cã lêi giời tđểng ệèi tèt: NguyÔn Duy Khđểng, 9A9, THCS Giờng Vâ, Ba ậừnh, Hộ Néi; NguyÔn Khời Hđng, 9D, THCS Nhọ Bị Sỵ, HoỪng Hãa, Thanh Hãa; Hoộng Thỡ Thu Uyến, 9A3, THCS Tõ Sển, TX Tõ Sển, Bớc Ninh; NguyÔn Thỡ Lan Hđểng, 9A, THCS Nam Cao, Lý Nhẹn, Hộ Nam;NguyÔn Thỡ HỪng, Lế Phđểng Nam, 9B, THCS Lý NhẺt Quang, ậề Lđểng, Nghỷ An; NguyÔn Tháa Chi, Trẵn Thỡ Thu HuyÒn, 8A3, THCS Lẹm Thao, Lẹm Thao, Phó Thả; ậẫ Minh Hiỷp, 8A, THCS Vỵnh Yến, TP Vỵnh Yến; Kim Thỡ Hăng Lỵnh, 8E1, THCS Vỵnh Tđêng, Vỵnh Tđêng, Vỵnh Phóc

ngun minh hµ S(AKM) KM KC KB KC 1S(AKB) KB 2KB 2 KB

1 AC 1 1 1.

2 AB 2

KC AC , KB AB KC KB

KM

2 AC AB

S(AKM) KM KB KC 1 KC

S(AKB) KB 2KB KB

1 1 AC 1 1.

2 AB

KC AC, KB AB KB KC

KM

15 Bội toịn.Dùng tụ giịc ABCD biạt AB a, BC b, CD c, MN m, PQ n, vắi M, N, P, Q tđểng ụng lộ trung ệiÓm cựa cịc cỰnh AB, BC, CD, DA

nguyÔn hưa (Sè 1, ệđêng Trẵn Hđng ậỰo, TP Vinh, Nghỷ An)

DỰNG TỨ GIÁC

ĐÁP ÁN NAØO ĐÚNG? (TTT2 sè 139)

Ta cã CBQ DCE (c.g.c) Mµ

Do

Vậy tam giác vuông DCE, DMC, CME đồng dạng

Mà DC 2CE nên DM 2MC, CM 2ME DM 4ME

Vì EI // AD nên

Vy AM 4MI Đáp án c)

NhẺn xĐt.Cã nhiÒu bỰn gỏi lêi giời vÒ Tưa soỰn Cịc bỰn ệở giời bội nộy bỪng nhiÒu cịch giời khịc Mét sè bỰn cưn giời dội Cịc bỰn sau cã lêi giời tèt ệđĩc thđẻng kừ nộy: Phan Vẽn ậỰt, 9C, THCS Hoộng Xuẹn Hởn, ậục Thả, Hộ Tỵnh;ậẳng Quang Anh, 8C, THCS NguyÔn ChÝch, ậềng Sển, Thanh Hãa; Trẵn nh Dđểng, 9A, THCS Yến Phong, Yến Phong, Bớc Ninh; Vò Ngảc nh, 6A3, THCS Lẹm Thao, Lẹm Thao, Phó Thả; Ngun Vẽn Cao, 9B, THCS Ngun Thđĩng HiỊn,ụng Hưa, Hộ Néi

Ngoội ra, cịc bỰn sau còng ệđĩc khen: Trỡnh Hđểng Giang, 9A2, THCS PhỰm Huy Quang, ậềng Hđng, Thịi Bừnh; Khững Tó Uyến, 9A, THCS Vẽn Lang, TP Viỷt Trừ, Phó Thả; ậẳng Thanh Tỉng, 9B, THCS Ngun Thđĩng HiÒn, ụng Hưa, Hộ Néi

ANh com pa AM DM

MI ME

o EMC 90

o o

16

ng Giền lộ chự mét doanh nghiỷp sèng cỉng ệụa chịu ệang lộ sinh viến vộ hai ngđêi gióp viỷc Do thđêng xuyến ệi cềng tịc xa vộ ệi thẽm vĩ con ệang ệỡnh cđ ẻ nđắc ngoội nến ềng giao toộn bé nhộ cỏa, vđên tđĩc cho nhọng ngđêi ẻ cỉng.

Hềm nay, nhđ thđêng lỷ, ềng Giền trẻ vÒ nhộ sau ệĩt cềng tịc dội ngộy Cờ ba ngđêi trong nhộ ệÒu vui vĨ chộo ệãn ềng ẻ phưng khịch Lộ ngđêi chu ệịo, ềng chia quộ cho tõng ngđêi răi mắi lến phưng riếng Ngờ lđng mét lóc, ềng Giền ệụng dẺy mẻ ngẽn kĐo tự ệĨ cÊt giÊy tê tỉy thẹn Khềng thÊy chiạc ệăng hă ệeo tay quý giị vÉn thđêng ệÓ ngẽn kĐo, ềng Giền hèt hoờng lôc tung hạt ngẽn nộy ệạn ngẽn khịc

Đốn nhà lấy trộm chiếc đồng hồ nhðng ông Giôn cố giữ bình tĩnh, coi nhð chða biết chuyện xảy ra. Sau hồi suy nghĩ, ông định gọi điện nhờ thám tử Sêlôccôc giúp đỡ.

Gẵn mét tiạng sau, thịm tỏ ệở tắi nhộ ềng Giền Hai ngđêi trư chuyỷn phưng riếng, sau ệã, thịm tỏ yếu cẵu ềng Giền cho gẳp cờ ba ngđêi - lộ ệụa chịu vộ hai ngđêi gióp viỷc.

Đầu tiên bà Carina - nội trợ.

- Trong ngày ông Giôn vắng vừa rồi, bà làm gì, đâu?

- Tềi chử quanh quÈn dản dứp, nÊu nđắng, giẳt giò thềi Thùc lưng, tềi rÊt muèn tranh thự vÒ quế mÊy ngộy nhẹn dỡp ềng chự ệi vớng Nhđng ệĩt nộy tềi hay mÊt ngự, mỷt quị, nến ệộnh thềi.

CHIẾC ĐỒNG HỒ biến mất

17

Ngđêi thụ hai lộ ềng Ben - bờo vỷ kim lm vờn.

ngày ông Giôn vắng?

- Tềi ệở xin ềng chự cho nghử hềm ệĨ vỊ nhộ Nhọng ngộy cưn lỰi tềi vÉn lộm vic bnh thờng y.

- Nhà ông ®©u?

- ẻ ngoỰi ề thộnh nộy thềi Vĩ tềi cụ giơc vỊ ệĨ gióp thu hoỰch khoai tẹy Bộ ý cưn bớt tềi mang ệẹy mÊy cẹn khoai mắi. Ngđêi cuèi cỉng lộ anh Brad - sinh viến, chịu ềng Giền.

- Trong ngày ông Giôn vắng, anh đã đâu, làm gì?

- Chịu ệi du lỡch vắi nhãm bỰn cỉng trđêng. RÊt vui bịc Ự.

- ThÕ ð? C¸c cháu vùng nào?

- Bn chỏu i tham quan suối Đá Trắng ở núi Mây à, cháu có mang đặc sản của con suối đấy, Giơn thích lắm.

- Nghe hÊp dẫn nhỉ? Cháu mang về thế?

- Ngao Ự Chó Giền rÊt thÝch ẽn ngao nến dỉ nẳng chịu cịng cè xịch vỊ mÊy cẹn. Hái chuyỷn cờ ngđêi xong, thịm tỏ nãi nhá vắi ềng Giền:

hởy nãi chuyỷn riếng vắi ngđêi ệã nhĐ Tềi hi vảng ngđêi ệã sỳ thộnh thùc nhẺn téi. * ậè cịc bỰn biạt, thịm tỏ Sếlềccềc ệở nghi ngờ ai? V sao?

Bà ta phải trả lại

Lộ chuyỷn ệđểng nhiến răi Vừ chọ tÝn lóc nộy

Nhđ ngản ệÌn trđắc giã Nạu mộ Bic ệở kÓ Cho ngội thịm tỏ nghe Chuyỷn ta thÊt tÝn Thừ cưn dịm tin? Kạ nhá mộ thềng minh Bội hảc cho kĨ xÊu BỰn hởy giọ cho mnh Lm hnh trang sống.

Trên câu trả lời thơ bạn

Nguyn Văn Quang ở Bắc Ninh Kì này, tất cả bạn phán đốn xác thế

mà có câu trả lời Xin chúc mừng và xin gửi q tới bạn có cách trình bày mạch lạc, rõ ràng nhất: Nguyễn Văn Đức, 6C;

Nguyễn Văn Quang, 8A, THCS Lê Văn Thịnh, Gia Bình, Bắc Ninh;Đỗ Gia Nam, 6D;

Cao c Thnh, 7E2, THCS Vỵnh Tđêng, Vỵnh Tđêng, Vỵnh Phóc;Vị Lế Minh Vò, 6H, THCS ậẳng Thai Mai, Vinh, Nghỷ An.

Thám tử Sêlôccôc

19

1 Integers

An integer is any number in the set { , 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, } If x and y are integers and x 0, then x is a divisor (or factor) of y provided that y xn for some integer n In this case, y is also said to be divisible by x or to be a multiple of x For example, is a divisor or factor of 18 since 18 (6)(3) If x and y are positive integers, there exist unique integers q and r, called the quotient and remainder, respectively, such that y xq r and r x For example, when 18 is divided by 5, the quotient is and the remainder is since 18 (5)(3) 3.

Note that y is divisible by x if and only if the remainder r is For example, 16 has a remainder of when divided by because 16 is divisible by Also, note that when a smaller integer is divided by a larger integer, the quotient is and the remainder is the smaller integer For example, divided by 5 has the quotient and the remainder since 3 (5)(0) 3.

(Cßn tiÕp)

Bạn dịch đoạn để hiểu số nguyên và vài tính chất ban đầu Sau từ vựng bạn cần biết.

2 Maths terms

integer sè nguyªn

divisor sè chia

factor đắc sè

multiple béi sè

positive dđểng

there exist unique tån t¹i nhÊt

quotient thđểng

remainder sè dð

divided by chia cho

divisible by chia hÕt cho

smaller integer sè nguyªn nhỏ hơn

larger integer số nguyên lớn hơn Tạp chí dành suất quà tặng bạn có bài dịch sát nhất, gửi sớm nhất.

ARITHMETIC

20 Khi lộm bội tẺp sịch giịo khoa, mét sè hảc sinh thđêng lộm xong yếu cẵu cựa ệÒ bội răi dõng lỰi Nhđng nạu cịc em chỡu khã ệÓ ý vộ từm tưi thếm thừ sỳ thÊy cã nhiỊu ệiỊu thó vỡ ậềi nhê kạt quờ cựa nhọng bội tẺp ệã gióp dƠ dộng giời ệđĩc nhiỊu bội tẺp hay vộ khã Chóng ta sỳ sỏ dông kạt quờ hai bội tẺp sịch giịo khoa lắp vộ lắp sau ệẹy ệÓ giời mét sè bội toịn khịc Bội toịn Chụng minh rỪng vắi mải sè nguyến n thừ n3 n (Bội 58 SGK toịn tẺp 1) Lêi giời.Ta cã n3 n n(n 1)(n 1) lộ tÝch cựa sè nguyến liến tiạp Vừ sè nguyến liến tiạp luền cã mét sè chia hạt cho 2, mét sè chia hạt cho vộ (2, 3) Do ệã n3 n

Nhê kạt quờ bội toịn nộy ta cã thĨ dƠ dộng giời ệđĩc cịc bội toịn sau ệẹy:

Bội toịn 1.1.Chụng minh rỪng vắi mải sè nguyến n thừ n3 5n (ậÒ thi vộo 10 trđêng THPT chuyến ậHKHTN nẽm 1997)

Lêi gi¶i.Ta có n3 5n n3 n 6n

Bài toán 1.2.Chứng minh với số nguyên a, b a3b ab3

Lêi gi¶i Ta cã a3b ab3 a3b ab ab ab3 b(a3 a) a(b3 b)

Bài toán 1.3 Cho a, b, c số nguyªn tháa m·n a b c 20111982

Chøng minh r»ng M a3 b3 c3 Lêi gi¶i.Ta cã a3 b3 c3

(a3 a) (b3 b) (c3 c) (a b c) (vì a3 a, b3 b, c3 c chia hết cho a b c 20111982 6)

Bài toán 1.4.Chứng minh với số nguyên a, b ab(ab 1)2 ab(a b)2 36

Lêi gi¶i.Ta cã ab(ab 1)2 ab(a b)2 ab(ab a b)(ab a b) ab(a 1)(b 1)(a 1)(b 1) (a3 a)(b3 b) 36

Bài toán 1.5 Tìm số d phÐp chia sè A 20142014201420143 2014201420142016 cho 30

Lời giải Đặt a 2014201420142014 ta có A a3 a (a3 a) (2a 2)

Vì a3và a có chữ số tận nên a3 a a3 a nên a3 a 30

Mặt khác B 2a 4028402840284030 chia hết cho 10 vµ chia cho dð suy B 20 chia hÕt cho 30 VËy A chia cho 30 d 10

Bài toán Với a 0, b HÃy so sánh (Bài 26b SGK toán tËp 1) Lêi gi¶i Ta cã

Từ suy a 0, b ta có (2)

Dấu xảy a b

Sau toán áp dụng (1) (2) Bài toán 2.1 Chứng minh

Lời giải.áp dụng bất đẳng thức (1) ta có

Bài toán 2.2 Gọi a, b, c độ dài cạnh tam giác Chứng minh

Lời giải.áp dụng bất đẳng thức (1) ta có

Céng theo vạ bÊt ệỬng thục trến ta c

Bài toán 2.3 Tìm giá trị nhỏ hàm số (Đề thi vào lớp 10 chuyên ngữ - ĐHQGHN năm 2011)

(Xem tiếp trang 29)

y x x

a b c b c a c a b

2a 2b 2c a b c

2

a b c b c a 2b;

b c a a c b 2c;

a b c c a b 2a

a b c

a b c b c a c a b

2

2

2(x 4x 4) 2(x 2) 2

2 2

x x x 7x 14 2x 8x 16

2

x x x 7x 14 2

a b a b

a b a b (1)

( a b) a b ab a b

a b

a b

ỨNG DỤNG BAØI TẬP TRONG SÁCH GIÁO KHOA

để giải số toán hay khó

phan d©n

21 Nhận xét Có ba võ sĩ nhận lời thách đấu với ba lời giải nhðng phải sử dụng tứ giác nội tiếp, kiến thức hình học 9, học kì II học Do khơng có võ sĩ đăng quang trận đấu

Xin giới thiệu lời giải toán thách đấu, dùng kiến thức hình học

Ta cần có hai bổ đề (bạn đọc tự chứng minh) Bổ đề Nếu điểm X nằm điểm Y, Z nằm tam giác ABC cho tam giác XBC, YAC, ZBA đồng dạng tứ giác AZXY hình bình hành

Bổ đề Nếu P trung điểm BC điểm S nằm tam giác ABC cho

Trở lại giải toỏn thỏch u

Gọi S giao điểm AX YZ; K, H theo thứ tự hình chiếu Y, Z AC, AB

Điều kiện cần

Vì ABZ CAY YN ZM nên

VËy ABC ANM (1)

Vì tứ giác AYXZ hình bình hành (theo bổ đề 1) nên SY SZ Mà YN ZM nên SN SM

KÕt hỵp víi (1) ABP ANS

VËy

Điều kiện đủ Gọi U, V theo thứ tự hình chiếu S AB, AC

Vì ABZ CAY nên theo bổ đề 2, ta có

Suy

KÕt hỵp víi SU // ZH, SV // YK suy

KÕt hỵp víi SY SZ suy

VËy YN ZM

ngun minh hµ ZM SM ZM SM SZ 1.YN SN YN SN SY

SM SU SV SN ZM ZH YK YN

SU SV ZH YK

2

SU S(SAB). AC AB AC AB ZH. .

SV AB S(SAC) AC AB AC YK

PAB XAC

PAB SAN XAC

YK.AN AM S(AYN) AM YN AM AM. . . . ZH.AM AN S(AZM) AN ZM AN AN

AC YK AB ZH

2 S(SAB) AB S(SAC) AC

PAB SAC

Ngđêi thịch ệÊu:NguyÔn Minh Hộ, GV THPT chuyến ậỰi hảc Sđ phỰm Hộ Néi

Bội toịn thịch ệÊu: Bội toịn thịch ệÊu:Cho tam giịc ABC ậđêng trưn néi tiạp (I) tiạp xóc vắi BC tỰi D ậiÓm M thuéc ệoỰn BC (I1, r1) vộ (I2, r2) theo thụ tù lộ ệđêng trưn néi tiạp cịc tam giịc ABM, ACM (I1, r1) theo thụ tù tiạp xóc vắi MB, MA tỰi X, Y (I2, r2) theo thụ tù tiạp xóc vắi MC, MA tỰi Z, T XY cớt ZT tỰi S Giờ sỏ r1 r2 Chụng minh rỪng IS BC

XuÊt xø: S¸ng t¸c

Thêi hỰn:Trđắc ngộy 08.12.2014 theo dÊu bđu ệiỷn

TRẬN ĐẤU THỨ MỘT TRĂM MƯỜI CHÍN (TTT2 sè 139)

22 KÝ hiỷu.Vắi n lộ mét sè tù nhiến, n! (ệảc lộ n giai thõa) lộ tÝch cịc sè tù nhiến tõ ệạn n Quy đắc 0!

Với a, b, m số nguyên, m 0, kÝ hiÖu a b (mod m) nÕu (a b) m

Định lí.Nếu p số nguyên tố th× (p 1)! (mod p) (1)

Chứng minh.Ta thấy (1) với p p Xét p số nguyên tố lớn

XĐt j lộ mét sè nguyến dđểng bÊt kừ, j p Khi chia p sè lộ j, 2j, 3j, , (p 1)j cho p sỳ ệđĩc cịc sè dđ khịc vộ khịc ThẺt vẺy, cịc sè dđ ệÒu khịc vừ p lộ mét sè nguyến tè vộ cịc sè 1, 2, , p 1, j ệÒu nhá hển p Cịc sè dđ ệÒu khịc vừ nạu ngđĩc lỰi, tăn tỰi sè lộ mj nj (mod p), vắi n m p Khi ệã (m n)j p: lÝ vừ m n p

VẺy tăn tỰi sè nguyến dđểng k p mộ kj (mod p)

Nạu k j thừ j2 (mod p) nến j hoẳc j Vắi j p thừ tăn tỰi k j, k p cho kj (mod p) Khi ệã tẺp hĩp cịc sè {2, 3, , p 2} sỳ ệđĩc chia thộnh cẳp sè cã tÝnh chÊt trến Suy (p 2)! (mod p)

Mà (p 1) (mod p) nên (p 1)! (mod p)

NhẺn xĐt.ậiÒu ngđĩc lỰi cựa ệỡnh lÝ Wilson cịng ệóng, tục nạu (p 1)! (mod p) thừ p lộ mét sè nguyến tè ThẺt vẺy, nạu p lộ hĩp sè thừ tăn tỰi mét đắc sè lộ x cựa p, vắi x p

Suy (p 1)! x Mà p x nên x: vơ lí Thí dụ Chứng minh p số nguyên tố lẻ (p 1)! p (mod p(p 1)) Lời giải.Từ chứng minh định lí Wilson ta có (p 2)! (mod p) hay (p 2)! p Suy [(p 2)! 1](p 1) p(p 1) hay (p 1)! p (mod p(p 1))

Thí dụ 2.Chứng minh p số nguyên tố lớn 6(p 4)! (mod p)

Lêi gi¶i.Ta cã 6(p 4)! ( 1)( 2)( 3)(p 4)! 1.(p 1)(p 2)(p 3)(p 4)! (mod p) 1.(p 1)! (mod p) (mod p) (theo (1)) ThÝ dô 3.Cho a, n *, n vµ (a, n) Chøng minh r»ng an (n 1)! (mod n) n số nguyên tố

Li giải Nếu n số nguyên tố theo định lí Fermat ta có an 1 (mod n)

Theo (1) ta có (n 1)! (mod n) Do an (n 1)! (mod n)

Ngđĩc lỰi, sỏ an (n 1)! (mod n) Nạu n khềng phời lộ sè nguyến tè thừ n xy, vắi x n Vừ an (n 1)! n nến an (n 1)! x Mộ (n 1)! x nến an x: lÝ vừ (a, n) ThÝ dô Chụng minh rỪng

61! 63! (mod 71)

Lời giải.Với p số nguyên tè, k *, k p ta cã (p 1)! k!(k 1)(k 2) (p 1)

k!(k p)(k p) (p p) k!( 1)p k 1(p k 1)(p k 2) k!( 1)p k 2k(p k 1)!

( 1)kk!( 1)p 1(p k 1)! (mod p) p

2

ẹềNH L WILSON

KIềU ĐìNH MINH

23 Do đó, p lẻ ( 1)kk! (mod p)

(p k 1)! (mod p)

ịp dông vắi p 71 vộ k 7, k ta ệđĩc 61! 63! (mod 71)

ThÝ dô Chøng minh r»ng p số nguyên tố lẻ n *, n p, ta cã

(n 1)!(p n)! ( 1)n(mod p)

Lêi gi¶i.Theo (1), tÝnh theo mod p, ta cã (p 1)! (n 1)!n(n 1) (p 1)

(n 1)!(p (n p))(p (p n 1)) (p 1) (n 1)!( 1)p n(p n)(p n 1)) (n 1)!( 1)p n(p n)!

(n 1)!( 1)n 1(p n)! (v× p lẻ)

Thí dụ Cho p số nguyên tố lẻ Chứng minh

Lời giải.a) Theo (1), tÝnh theo mod p, ta cã (p 1)! 1.3 (p 2).2.4 (p 1)

1.3 (p 2).(2 p)(4 p) 12.32 (p 2)2

b) Tđểng tù cẹu a)

Thí dụ 7.Tìm tất số nguyên tè p cho nÕu a, b * vµ a2 b2 p a p b p Lời giải.Với p chọn a, b lẻ: loại Xét p

TH1.p 4k

Theo (1) ta cã (p 1)! p hay (4k)! p TÝnh theo mod p, ta cã

1 (4k)! 1.2.3 (2k).(2k 1)(2k 2) (4k) 1.2.3 (2k).( 2k)( 2k 1) ( 1)

12.22.32 (2k)2 ((2k)!)2 Tøc lµ ((2k)!)2 12 p

VËy số nguyên tố có dạng p 4k không tháa m·n

TH2.p 4k Ta chứng minh phản chứng Giả sử a b không chia hết cho p Suy hai số a, b khơng chia hết cho p

Theo định lí Fermat, ta có ap 1 p, bp 1 p Suy ap bp p hay a2(2k 1) b2(2k 1) p

Mµ a2(2k 1) b2(2k 1) (a2 b2), (a2 b2) p nên p, vô lí

Vậy p 4k số cần tìm Bài tập

Bài 1.Chứng minh p số nguyên tố có dạng p 4k tồn số tự nhiên a nhỏ p cho a2 p

Bµi 2.Cho p 4q 1, q * số nguyên tố lẻ Chứng minh r»ng (q!)2 ( 1)q p

Bài 3.Tìm n * để với a, b phân biệt thuộc {1!, 2!, , (n 1)!} (a b) khơng chia hết cho n

p

2 2

1 (p 2) ( 1) p

2 ( 1)

p

2 2 2

p

2 2 2

24

INTERNATIONAL

MATHEMATICAL OLYMPIAD

18 May 2013 (Saturday)

Instructions to Contestants:

- The contest comprises a hours written test - Questions are in bilingual versions

Contestants should answer all ques - Put your answers on the answer sheet - The use of calculators is NOT allowed

- Measuring instruments like rulers, compasses, etc can be used

1 Let a, b, c, d be positive numbers such that Find d

2 How many three-digit positive integers are there such that, the three digits of every integer, taken from left to right, form an arithmetic sequence?

3 Let

Find the value of x [x], where [x] denotes the greatest integer not exceeding x

4.Let x, y, z be non-negative numbers such that

Find the minimum value of x y z

5 Peter, Paul and David joined a table tennis tournament On the first day, two of them were randomly chosen to play a game against each other On each subsequent day, the loser of the game on the previous day would take a rest and the other two persons would play a game against each other After a certain number of days, it was found that Peter had won 22 games, Paul had won 20 games and David had won 32 games What was the total number of games

that Peter had played?

6.The sequence 1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 2, 1, 2, 2, 2, 2, 1, is formed as follows: write down infinitely many ‘1’s, insert a ‘2’ between the first and the second ‘1’s, insert two ‘2’s between the second and the third ‘1’s, insert three ‘2’s between the third and the fourth ‘1’s, and so on If denotes the n-th term of the sequence, find the value of a1a2 a2a3 a2013a2014

7 There are n different positive integers, each one not greater than 2013, with the property that the sum of any three of them is divisible by 39 Find the greatest value of n

8.If x is a real number, find the smallest value of 9.The equation 9x3 3x2 3x has a real root of the form where a, b, c are positive integers Find the value of a b c 10 By permuting the digits of 20130518, how many different eight-digit positive odd numbers can be formed?

(Xem tiÕp trang 26) 3a

b 1, c

2

x 4x x 8x 25

2 2 13

x y z x 2y 3z

4

2 2

2

1 1

x 1

1 2

1

2012 2013

3 3

1 512 125 d .

a b c (a b c)

ThS.Phïng Kim Dung

25 Bội 13NS.ậẳt r a [a] {a} lộ phẵn lĨ cựa a Ta viạt [a] cb q vắi c, q Vừ b nguyến dđểng nến r 1; q b vộ b Khi ệã a cb q r

Ta cã

Đặt M N

Do b, q nên tõ q b ta cã q b KÕt hỵp víi r ta cã q r b

* NÕu q b vµ r Ta cã

Do r vµ b nªn Suy VËy N

* NÕu q b hc r NÕu r th× q r q

Tõ q b ta cã q b hay q b

Do b nªn

Mặt khác q nên q Từ Vậy N

NÕu q b th× q b 2, suy q r b r

Do r b nên

Khi

Vậy N Do M N

VËy biÓu thøc M nhËn hai giá trị 3;

Nhn xột.õy l bi tốn hay khó, có bạn Hồng Thị Thu Uyên, 9A3, THCS Từ Sơn, TX Từ Sơn,Bắc Ninhcó lời gii ỳng

Bài14NS.ĐKXĐ x

Ta thấy x khềng lộ nghiỷm cựa phđểng trừnh Vắi x phng trnh cho tng ng vi

Đặt t x x ta cã x

2x x x x

3( x 1) 2(x x 1) ( x 1)(x x 1)

x x x x

3

x x

q r q r

1

b b

1 r

0

b q r 1 r.

b b

q 1

b

q b

q 1

b r 1 b r b

q r r r

q b 1

b b b

q r q r

0

b b

q r q r

N

b b

q r q r q r q r

c c

b b b b

a b a cb q r b cb q r

M

b b b b

Bội 19NS.Hởy tÝnh tững cịc đắc tù nhiến cựa sè 27 000 001

Trẵn bị linh (SV lắp K34 ậỰi hảc Kinh tạ TP Hă ChÝ Minh) Bội 20NS.Giời phđểng trừnh:

trÇn anh Tuấn (GV THCS Phú Phúc, Lý Nhân, Hà Nam) Bài 21NS.Cho tam giác ABC vuông A Trên cạnh BC lấy điểm D cho CD AB Gọi E hình chiếu D AB Tia phân giác góc ABC cắt DE F Tia AF cắt BC M Chứng minh M trung điểm BD

thẹn vẽn chđểng (GV THCS Vâ Nhđ Hđng, ậiỷn Bộn, Quờng Nam) x (x 1) x 1 (x 1) 4x

x

4 x x

26 Giời ta ệđĩc phđểng trừnh cã nghiỷm lộ NhẺn xĐt.Bội toịn nộy bỰn: Khững Tó Uyến, 9A, THCS Vẽn Lang, TP Viỷt Trừ, Phó Thả cã lêi giời ệóng

Bội 15NS Theo lêi giời cựa bỰn Kim Thỡ Hăng Lỵnh, 8E1, THCS Vỵnh Tđêng, Vỵnh Tđêng, Vỵnh Phóc

Trên cạnh BC lấy điểm E cho tam giác AEC vuông cân A tam giác EBA cân E, từ ta có

Suy

NhẺn xĐt Cịc bỰn sau ệẹy cã lêi giời ệóng cho bội toịn trến: Kim Thỡ Hăng Lỵnh, 8E1, THCS Vỵnh Tđêng, Vỵnh Tđêng, Vỵnh Phóc; Hoộng Thỡ Thu Uyến, 9A3, THCS Tõ Sển, TX Tõ Sển, Bớc Ninh; Khững Tó Uyến, 9A, THCS Vẽn Lang, TP Viỷt Trừ, Phó Thả

Cịc bỰn sau ệđĩc khen kừ nộy:Hoộng Thỡ Thu Uyến, 9A3, THCS Tõ Sển, TX Tõ Sển, Bớc Ninh; Khững Tó Uyến, 9A, THCS Vẽn Lang, TP Viỷt Trừ, Phó Thả; Kim Thỡ Hăng Lỵnh, 8E1, THCS Vỵnh Tđêng, Vỵnh Tđêng, Vỵnh Phóc

nh cịc bỰn ệđĩc khen ẻ bừa

Ngun Ngäc H©n

CA 2 1.

CB

CB ( 1)AC

o EAC 90 x 22

2 t

2t 7t t

2

11 Let , and be the three roots of the equation 8x3 2012x 2013 Find the value of ( )2 ( )2 ( )2

12 ABCD is a square on the rectangular coordinate plane, and (31, 27), (42, 43), (60, 27) and (46, 16) are points on its sides AB, BC, CD and DA respectively Find the area of ABCD 13 In ABC, AB 8, BC 13 and CA 15 Let H, I, O be the orthocentre, incentre and circumcentre of ABC respectively Find

14 Let ABCD be a convex quadrilateral and E be a point on CD such that the circumcircle of ABE is tangent to CD uppose AC meets BE at F, BD meets AE at G, and AC meets BD at H If FG CD, and the areas of ABH, BCE and ADE are 2, and respectively, find the area of ABE

15.Let I be the in-centre of ABC If BC AC AI

and find

16.A, B, C, M, N are points on the ircumference of a circle with MN as a iameter A, B are on the same side of MN and C is on the other side, with A being the midpoint of arc MN CA and CB meet MN at P and Q respectively If MN and

, find the greatest length of PQ 17.How many pairs (m, n) of non-negative integers are there such that m n and is an odd positive power of 2?

18.A positive integer is said to be ‘good’ if each digit is or and there is neither four consecutive 1’s nor three consecutive 2’s Let denote the number of n-digit positive integers that are ‘good’ Find the value of

19 Let p and q be positive integers If 0.123456789 (i.e when is expressed as a decimal the first digits after the decimal point are to in order), find the smallest value of q 20 Let a and b be real numbers such that 17(a2 b2) 30ab 16 Find the maximum value of 16a2 4b 16ab 12a 6b 9.2

p q

p q 10

7

a a a

a a 50688 m n 12 MB 13 BAC o

ABC ACB 13 ,

HIO

27

Vui cười

KHAÂM PHỤC

Hoa nói với Hương:

- Hương này, tớ khâm phục cô Tâm bán bánh kẹo trước cổng trường mình thật đấy!

- Khâm phục? Tại thế?

- Vì cô ngồi ngày mà không ăn một kẹo, bánh nào, cậu ạ! - ?!!

ĂN KEM

Mẹ hỏi Tý:

- Tý, giả sử có que kem, ăn hết que; lại que kem? - Dạ, khơng cịn que kem ạ! - Ủa! trừ mà.

- Dạ, ăn xong que kem thì que lại chảy nước hết, mẹ ạ! - Trời!!

CHỮ HOA

Thìn gọi điện cho Dậu:

- Dậu ơi, máy tính tớ lần đăng nhập lại có thơng báo: “Từ chối truy cập”, tớ phải nhỉ?

- Cậu thử lại lần đi! Mà cậu nhớ dùng chữ thường nhé.

- Nhưng phím tồn chữ in hoa thôi, cậu ạ!

- ?!!

QUEN TRƯỚC

Mẹ nướng bánh gatô bếp. Hai anh em thập thị ngồi cửa Tý nói với em gái:

- Em vào xin mẹ bánh đi, mẹ chiều em nhất nhà mà!

- Thơi, anh Tý vào đi! Anh quen mẹ trước em, anh vào đi!

- ?!!

CỔ TÍCH @

Lợi dụng lúc dê mẹ vắng nhà, Sói lẻn đến gõ cửa gọi:

- Dê ngoan ngoãn mau mở cửa ra! - Chúng tơi đổi Password từ lâu rồi, Sói già ạ! – Các Dê đồng thanh nói to.

DANH TỪ

Cô giáo giảng bài:

- Danh từ trừu tượng từ thứ mà các em nghĩ đến khơng thể chạm vào Tý, em cho cơ ví dụ nào!

- Thưa cơ, ví dụ xe tay ga mà bố em dự định mua năm ạ! - Trời!!

28

Phđểng trừnh hỷ tảa ệé Descartes:

x4 x2 y2, vắi (x; y) (0; 0). ậẹy lộ mét ệđêng cong ệđĩc nhộ toịn hảc,thiến vẽn hảc Eudoxus (408 - 347 trđắc Cềng nguyến) nghiến cụu từm cịch giời bội toịn cữ ệiÓn cẵu phđểng hừnh trưn

ngđêi ệẵu tiến mề tờ cịc chưm vộ từm giắi thiỷu cịc nghiến cụu vÒ thiến vẽn hảc, toịn hảc vộo Hy LỰp

từm thÊy cềng thục ệÓ ệo kÝch thđắc nhọng kim tù thịp hừnh nãn vộ hừnh trô dùa trến phđểng phịp vt cn.

Hoàng nguyên linh(Su tầm)

29 TẺp thÓ găm cịc bỰn Trẵn Trung, cịn bé UBND xở QuÊt Lđu; Lđu Thỡ Phđểng Lan, GV THCS Sển Lềi, Sển Lềi; Trẵn Thiến Thựy, 8C, THCS Lý Tù Trảng, Hđểng Canh, Bừnh Xuyến, Vỵnh Phóc

Vò ậục Duy, 7E2, THCS Vỵnh Tđêng, Vỵnh Tđêng, Vỵnh Phóc

Vị ậục Dịng, Ngề Thỡ Ngảc nh, 7A, THCS Cao Xuẹn Huy, DiÔn Chẹu, Nghỷ An; NguyÔn Phđểng Thờo Vy, 8A1, THCS Hăng

Bộng, Hăng Bộng, Hời Phưng; Bỉi Hđểng Giang, 7A3, THCS Lẹm Thao, Lẹm Thao, Phó Thả;Ngun Duy Khịnh, 9A1, THCS Sềng Lề, Sềng Lề, Vỵnh Phóc; Dđểng Lẹm Anh, 8A1, THCS Yến Phong, Yến Phong, Bớc Ninh; Ngun Thỡ HiỊn, GV THCS Nhẹn ChÝnh, Lý Nhẹn,Hộ Nam

NhẺn xĐt.Mét sè bội toịn cã thĨ cã lêi giời khịc ệịp ịn nhđng ệóng vÉn c tính iểm

Toán Tuổi thơ

DANH SCH ĐOẠT GIẢI CUỘC THI VUI CHÀO HÈ 2014

Ngun An Na, 6A, THCS Hoộng Xuẹn Hởn, ậục Thả, Hộ Tỵnh; NguyÔn Tỉng Lẹm, 9A3, THCS Tõ Sển, TX Tõ Sển, Bớc Ninh; Hoộng ậục ThuẺn, 9A, THCS Vẽn Lang, TP Viỷt Trừ, Phó Thả;Ngun Vẽn Quẹn, Ngun Thỡ HỪng, Lế Phđểng Nam, 9B, THCS Lý NhẺt Quang, ậề Lđểng,Nghỷ An;Ngun Thóy HỪng, Trẵn Huy Thớng, 9A, THCS Phó Phóc; NguyÔn Thỡ Lan

Hđểng, 9A, THCS Nam Cao, LÝ Nhẹn, Hộ Nam; NguyÔn Quang Bin, 9A1; NguyÔn Duy Khđểng, 9A9, THCS Giờng Vâ, Ba ậừnh; ậẳng Thanh Tỉng, 9B, THCS Ngun Thđĩng HiỊn, ụng Hưa, Hộ Néi; TỰ Kim Thanh HiÒn, 6A4, THCS Yến LỰc, Yến LỰc; ậẫ Minh Hiỷp, 8A, THCS Vỵnh Yến, TP Vỵnh Yến; Kim Thỡ Hăng Lỵnh, 8E1, THCS Vỵnh Tđêng, Vỵnh Tđêng, Vỵnh Phóc

Lời giải.áp dụng bất đẳng thức (2) ta có Dấu “ ” xảy x x Vậy Miny x x

Bài toán 2.4 Tìm giá trị nhỏ biểu thức (Đề thi học sinh giỏi lớp thành phố Hà Nội năm 2008)

Li gii.ỏp dng bt đẳng thức (2) ta có

DÊu “ ” x¶y x VËy MinA x

Bội toịn 2.5 Giời phđểng trừnh Lêi giời ậKXậ

áp dụng bất đẳng thức (2) ta có

Dấu xảy

Mặt khác 4x2 28x 47 (2x 7)2 Dấu “ ” x¶y

VẺy phđểng trừnh ệở cho có nghim l

Bài tập áp dơng

Bµi Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyên n 2n3 3n2 n

Bài 2.Cho số tự nhiên M 20032004 Viết M thành tổng k số tự nhiên n1, n2, nk Đặt S n13 n23 nk3 T×m sè dð chia S cho

Bội 3.Chụng minh rỪng phđểng trừnh sau khềng cã nghiỷm nguyến x6– 2x4 6x3 x2– 6x – 2010 Bội 4.Từm giị trỡ nhá nhÊt cựa biÓu thục

Bội 5.Giời phđểng trừnh

x 2 x x 4 x 3

A x x 10 x

7 x x x x

2x 2x 2x 2x

3 x 7.

2

2

2x 2x 4x 28x 47

2

2

A x 2x 5x

2x 4x 2(x 1)

2

A x 2x 5x

y x x x x

30

đểng Thạ Vinh (tến chọ lộ Cờnh Nghỡ, hiỷu lộ Thôy Hiến, tến dẹn gian gải ềng lộ TrỰng Lđêng) quế ẻ lộng Cao Hđểng, huyỷn Thiến Bờn, phự Nghỵa Hđng, trÊn Sển Nam HỰ, lộ thền Cao Hđểng, xở

nguyến khoa Quý Mỉi 1463 Cuéc ệêi ềng cưn ệĨ lỰi nhiỊu trun thuyạt Ngay tõ nhá ềng ệở lộ cẺu bĐ giái nữi tiạng, ệđĩc gải lộ

mà thực đề tốn đố nhð lớp bây

hiĨu nghỷ thuẺt chÌo, viạt Hý phđêng phờ lơc ngđêi ệẳt nỊn mãng cho loỰi hừnh móa rèi nđắc, ệẳc sớc cựa Viỷt Nam ậiỊu thó vỡ chÝnh lộ quị trừnh hảc vộ dỰy cựa ềng vộ hảc lộ Lđểng Hay Sau ệã Lđểng Thạ Vinh lỰi dỰy cựa thẵy hảc mừnh lộ Lđểng ậớc BỪng Lđểng ậớc BỪng sau ệẫ Bờng nhởn (thụ hai, chử sau TrỰng nguyến) Lđểng ậớc BỪng dỰy NguyÔn Bửnh Khiếm NguyÔn Bửnh Khiếm ệẫ TrỰng nguyến khoa Êt Mỉi (1535). NguyÔn Bửnh Khiếm nữi tiạng vắi cịc lêi tiến thó vỡ chđa dõng lỰi Ngun Bửnh Khiếm lỰi dỰy Lđểng Họu Khịnh lộ Lđểng ậớc BỪng, thẵy hảc cựa mừnh Lđểng Họu Khịnh

ệẺu thụ thi Héi, răi bá thi ậừnh Tiạn sỵ Lđểng Họu Khịnh sau lộm Thđĩng thđ Bé Binh (ngang Bé trđẻng Quèc phưng bẹy giê). ậÊy lộ mét chuẫi cịc danh nhẹn TrỰng nguyến, Bờng nhởn, Tiạn sỵ truyÒn lỏa cho nhau vộ truyÒn lỏa cho ệêi.

Ngộy chử trõ cã Lđểng Hay, nhọng nhộ khoa bờng nãi trến ệđĩc ệẳt tến cho nhiÒu ệđêng phè, nhiÒu trđêng hảc Vit Nam.

Câu hỏi kì này:

1 Bạn hÃy kể tên vị Trạng nguyên Việt Nam.

2 Theo bạn, sau học vị Trạng nguyên là những học vị khoa cử ngày xa?

TÌNH THẦY TRÒ

TÌNH THẦY TRÒ

CỦA NHỮNG NHAØ KHOA BẢNG

CỦA NHỮNG NHAØ KHOA BẢNG

31

Hái: DỰo nộy em cờm thÊy rÊt lđêi hảc, nhừn thÊy sịch vẻ lộ ệẵu ãc cụ ệiến cuăng lến anh Ự Anh cã cịch gừ gióp em ệđĩc khềng?

Ngun Đăng Mạnh (9D, THCS Hoàng Xuân HÃn, Đức Thọ,

Hà Tĩnh)

Đáp:

Bc sn th giởn HÝt thẻ Ýt khÝ trêi TẺp chẹn tay xong răi Sỳ thờnh thểi ệẵu ãc Vèc nđắc lỰnh rỏa mẳt Răi trẻ lỰi hảc bội.

Hái: Khi viạt bội Giời toịn qua thđ mộ quến khềng dịn phiạu ệẽng kÝ dù thi thừ bội lộm cã ệđĩc chÊp nhn khng ?

Một bạn quên ghi tên

Đáp:

Không có phiếu tham dự Thì gửi cho vui

Bao giê cã phiạu răi Thừ dù thi ệđĩc tÝnh Quy chạ lộ nhđ vẺy Cho tÊt cờ mải ngđêi.

Hái: Anh Phã ểi! Em cã mét thớc mớc nhá: Lóc nộo em cịng thÊy anh bẺn mộ tỰi sao anh lỰi khềng ệđĩc lến lộm anh Trđẻng?

NguyÔn Minh Ngäc (6A7, THCS Chu Văn An, Ngô Quyền,

Hải Phòng)

Đáp:

Anh chử ệđĩc lộm Phã Trđẻng ệở cã chỡ nhộ Trong hộng còng thạ Chử lộ Thụ trđẻng mộ Viỷc thừ lộm nhđ trđẻng Chục cụ phã em ộ.

32

Bội 1(141).BỰn An vỳ mét sè tia chung gèc A BỰn Bừnh vỳ mét sè tia chung gèc B Biạt bỰn Bừnh vỳ nhiỊu hển bỰn An ệóng tia vộ tững sè gãc hai bỰn vỳ ệđĩc lộ 100 Hái mẫi bỰn ệở vỳ bao nhiếu tia?

bùi văn tuyên(Long Biên, Hà Nội) Bài 2(141).Cho tam giác ABC có Dựng điểm D bên tam giác ABC cho ACD tam giác Chứng minh AB2 BC2 BD2

chu tn (GV THCS Ngun Thđĩng HiỊn, ng Hưa, Hộ Néi)

Bội 3(141).Giời hỷ phđểng trừnh

nguyÔn tiạn lẹm (GV trđêng THPT chuyến ậỰi hảc KHTN Hộ Néi) Bội 4(141).Cho x, y vộ z lộ cịc sè thùc dđểng tháa mởn xy yz zx Từm giị trỡ nhá nhÊt cựa biĨu thục

lế lọ (SV ậỰi hảc FPT, TP Hă ChÝ Minh) Bội 5(141).Tững cựa sè thùc khềng ẹm bỪng Chụng minh rỪng ta cã thÓ xạp sè nộy trến mét ệđêng trưn cho tững cịc tÝch cựa cẳp sè ệụng cỰnh khềng lắn hển

vò ệừnh hưa(GV ậỰi hảc Sđ phỰm Hộ Néi) Bội 6(141).Cho hừnh vuềng ABCD Cịc ệiÓm E, F lẵn lđĩt thuéc cỰnh AB, BC cho EF AE CF Dùng hừnh chọ nhẺt EBFG AC cớt EG tỰi M, DE cớt FG tỰi N Dùng MP AD (P AD) Chụng minh rỪng NP // AC

trần quang hùng (GV THPT chuyên Đại häc KHTN Hµ Néi)

5

2 2

3 3

x y z

P

x y z

x y

y z

z x

o B 30

1(141).An drew some rays from the point A Binh drew some rays from the point B Given that Binh drew one ray more than An, and the total number of angles drawn is 100 Find the number of rays each person drew

2(141).LetABCbe a triangle having B 30o Let Dbe the point outside the triangle such that ACD is an equilateral triangle Prove that AB2 BC2 BD2

3(141).Solve the following simultaneous equations

4(141) Let x,y, and z be positive real numbers such that xy yz zx Find the minimum value of the expression

5(141).Given non-negative real numbers having a sum of Prove that the numbers can be arranged on a circle such that the sum of the products of pairs of adjacent numbers is not greater than

6(141) Given a square ABCD Let the points E and F be on AB and BC respectively such that EF AE CF Draw the rectangle EBFGand let Mbe the intersection of ACand EG, and Nbe the intersection of DEandFG Let PonADsuch that MP AD Prove that NP//AC

1

2 2

3 8 8 8

x y z

P

x y z

3

1

6

x y

y z

z x