Đang tải... (xem toàn văn)
— Dạng mũ nhân lượng giác là dạng nguyên hàm từng phần luân hồi.[r]
(1)Chun đề
§ NGUYÊN HÀM VÀ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM
Khái niệm nguyên hàm tính chất 1 Khái niệm nguyên hàm
— Cho hàm số f x( ) xác định K Hàm số F x( ) được gọi là nguyên hàm của hàm số f x( ) K nếu: F x( ) f x( ), x K
— Nếu F x( ) là một nguyên hàm của f x( ) K thì họ nguyên hàm của hàm số f x( ) K
là: f x x( )d F x( ) C const, C
2 Tính chất: Nếu f x( ), ( )g x hai hàm số liên tục K k ta ln có: f x x( )d f x( ) C, f x x( )d f x( ) C, f ( )dx x f x( ) C, k f x x( )d k f x x( )d , với k là số thực khác
f x( ) g x( ) dx f x x( )d g x x( )d F x( ) f x( ) (định nghĩa)
Bảng nguyên hàm số hàm thường gặp (với C là hằng số tùy ý)
0dx C k xd kx C
1
d
1
n
n x
x x C
n
1
1 ( )
( ) d
1
n
n ax b
ax b x C
a n
1dx lnx C
x
1
dx lnax b C
ax b a
12 dx C
x
x
1 1
d
(ax b) x a ax b C
sin dx x cosx C sin(ax b x)d 1cos(ax b) C
a
cos dx x sinx C cos(ax b x)d 1sin(ax b) C
a
12 d cot
sin x x x C
d
cot( )
sin ( )
x
ax b C a
ax b
12 d tan
cos x x x C
d
tan( )
cos ( )
x
ax b C a
ax b
e dx x ex C eax bdx 1eax b C
a
d
ln
x
x a
a x C
a
1
d
ln
x
x a
a x C
a
♦ Nhận xét Khi thay x bằng (ax b) lấy nguyên hàm nhân kết quả thêm
a
NGUN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
(2)Dạng tốn Tính nguyên hàm bảng nguyên hàm
BT 1. Tìm ngun hàm F x( ) của hàm sớ f x( ) (giả sử điều kiện được xác định):
1
d
1
n
n x
x x C
n
Më réng
1
1 ( )
( ) d
1
n
n ax b
ax b x C
a n
Một số công thức thường sử dụng: k xd kx C kf x x( )d k f x x( )d f x( ) g x( ) dx f x x( )d g x x( )d a) Tìm họ nguyên hàm của f x( ) 4x3 x
Giải Ta có: F x( ) f x x( )d
2
3
(4 5)d
2
x
x x x x x C
b) Tìm họ nguyên hàm của f x( ) 3x2 x
c) Tìm họ nguyên hàm của f x( ) 15 x2
x
Ta có: F x( ) 15 x2 dx (x x2)dx
x
d) Tìm họ nguyên hàm của f x( ) 13 x2
x
e) Tìm I (x2 )(x x 1)dx
Phân phối được: I (x3 2x2 )dx x
f) Tìm I (x 1)(x2 2)d x
g) Tìm I (2x 1) d5 x (cơng thức mở rộng).
h) Tìm I (2x 10)2020d x
1. Tìm một nguyên hàm F x( ) của hàm số f x( ) 4x3 4x thỏa mãn F(1)
A F x( ) x4 2x2 5x
B F x( ) x4 4x2 5x C F x( ) x4 2x2 5x
D ( ) 2
2
F x x x x
Ta có: F x( ) f x x( )d (4x3 4x 5)dx x4 2x2 5x C Theo đề bài, ta có: F(1)
4
1 2.1 5.1 C C
Do F x( ) x4 2x2 5x
(3)2. Tìm một nguyên hàm F x( ) của hàm số f x( ) 3x2 2x thỏa mãn F(1) A F x( ) x3 x2 5x
B F x( ) x3 x2 5x
C F x( ) x3 x2 5x D F x( ) x3 x2 5x
3. Hàm số f x( ) 5x4 4x2 có nguyên hàm F x( ) thỏa F(3) Tính F( 3)
A F( 3) 226 B F( 3) 225
C F( 3) 451 D F( 3) 225
4. Hàm số f x( ) x3 3x có mợt ngun hàm F x( ) thỏa F(2) 14 Tính F( 2)
A F( 2) B F( 2) 14
C F( 2) D F( 2) 14
5. Hàm sớ f x( ) (2x 1)3 có mợt nguyên hàm là F x( ) thỏa
2
F Tính
2
P F
A P 32 B P 34
C P 18 D P 30
6. Hàm số f x( ) (1 )x có mợt ngun hàm là F x( ) thỏa
2
F Tính F(1) A F(1) 10 B F(1)
C (1) 59 12
F D (1) 71
12
F
7. Gọi F x( ) là một nguyên hàm của hàm số f x( ) (2x 3)2 thỏa (0)
3
F Tính giá trị của
biểu thức T log (1)2 F (2) F
A T B T
C T 10 D T
8. Hàm số f x( ) x3 3x có mợt ngun hàm F x( ) Biết đồ thị của hàm số y F x( ) qua
điểm M(2;10) Giá trị của F( 2) bằng
A 18 B 7
C D 20
(4)BT 2. Tìm ngun hàm F x( ) của hàm sớ f x( ) (mục đích cho học sinh rèn luyện cơng thức). Làm quen nhóm cơng thức có mẫu số bản:
1
dx lnx C x
Më réng dx 1lnax b C.
ax b a
2
1
dx C
x x
Më réng
2
1 1
d
(ax b) x a ax b C
a) Tìm I 3x2 d x
x
b) Tìm I 3x2 12 d x
x x
c) Tìm
2 3 1
d
x x
I x
x
d) Tìm
2
2
d
x x
I x
x
e) Tìm d
2
I x
x
f) Tìm d
3
I x
x
g) Tìm 2 d
(2 1)
I x
x
h) Tìm 12 2 d
2
( 1)
I x
x x
i) Tìm 2 d
4
I x
x x
j) Tìm 2 d
6
I x
x x
k) Tìm 12 d
( 1)
x
I x
x
l) 22 d
4
x
I x
x x
(5)9. (Đề thi thử nghiệm – Bộ GD & ĐT năm 2017) Biết F x( ) một nguyên hàm của hàm số
( )
1
f x
x F(2) Giá trị của F(3) bằng
A 7
4 B ln2
C 1
2 D ln2 1.
10. Biết F x( ) một nguyên hàm của ( )
2
f x
x F( 1) Giá trị của F( 4) bằng
A 1ln
2 B 2ln7
C ln D 1ln
2
11. Biết F x( ) một nguyên hàm của hàm ( )
2
f x
x thỏa F(1) Giá trị của F(2) bằng
A 4 ln2 B 3 ln2
C 3ln
2 D 1
12. Nguyên hàm F x( ) của hàm số ( )
2
f x
x biết
e
2
F
A F x( ) ln 2x 0, B F x( ) ln 2x 1
C ( ) 1ln 1
2
F x x
D F x( ) 0, ln 2x 0,
13. Tìm một nguyên hàm F x( ) của hàm số f x( ) ax b2 ( , a b , x 0),
x biết F( 1) 1,
(1)
F f(1)
A
2
3
( )
4
x F x
x
B
2
3
( )
4
x F x
x
C
2
3
( )
2 4
x F x
x
D
2
3
( )
2 2
x F x
x
(6)BT 3. Tìm ngun hàm F x( ) của hàm sớ f x( ) (giả sử điều kiện được xác định): Làm quen nhóm cơng thức ngun hàm hàm lượng giác
1
sin dx x cosx C sin(ax b x)d cos(ax b) C
a
1
cos dx x sinx C cos(ax b x)d sin(ax b) C
a
Cần nhớ: sin2x 2sin cos ,x x cos2x cos2x sin2x 2cos2x 1 1 2sin 2x
a) Tìm I (sinx cos )d x x
b) Tìm I (3 cosx sin )d x x
c) Tìm I (2 sin 2x cos )d x x
d) Tìm I sin cos d x x x
e) Tìm cos
2
x I
f) Tìm sin
3
x I
g) Tìm I (sinx cos ) d x x
h) Tìm I (cosx sin ) d x x
i) Tìm I (cos2x sin )d 2x x
j) Tìm I (cos4x sin4x x)d
Nhóm áp dụng cơng thức:
2
2
1 d
d (1 cot )d cot cot( )
sin sin ( )
x
x x x x C ax b C
a
x ax b
2
2
1 d
d (1 tan )d tan tan( )
cos cos ( )
x
x x x x C ax b C
a
x ax b
k) Tìm 12 12 d
cos sin
I x
x x
l) Tìm 62 d cos
I x
x
m) Tìm I tan2x xd
n) Tìm I (tanx cot ) d x x
(7) Bậc chẵn PP Hạ bậc lấy công thức nguyên hàm Công thức hạ bậc: sin2 1cos
2
x x cos2 1cos
2
x x
(Cần nhớ:Mỗi lần hạ bậc xuất hiện hai số 1;
2 sin trừ, cos cộng, cung góc tăng gấp đơi)
o) Tìm I sin2x xd
p) Tìm I cos2x xd
q) Tìm I sin d x x
r) Tìm I cos d x x
s) Tìm I (2 sin ) d x x
t) Tìm I (2 cos ) d x x
Tích bậc sin cos PP Áp dụng cơng thức tích thành tổng
1
sin cos sin( ) sin( )
a b a b a b sin sin cos( ) cos( )
2
a b a b a b
1
cos cos cos( ) cos( )
a b a b a b
u) Tìm I sin cos d x x x
v) Tìm I sin cos d x x x
w)Tìm I sin sin d x x x
x) Tìm I sin sin d x x x
y) Tìm I cos cos d x x x
z) Tìm I cos cos d x x x
(8)14. Biết F x( ) là một nguyên hàm của hàm f x( ) sin2x
F Tính
6
P F
A
4
P B P
C
2
P D
4
P
15. Tìm một nguyên hàm F x( ) của hàm số f x( ) 2x sinx 2cosx thỏa mãn F(0)
A F x( ) x2 cosx sinx B F x( ) x2 cosx sin x C F x( ) cosx 2sin x
D F x( ) x2 cosx sinx
16. Tìm một nguyên hàm F x( ) của hàm số ( ) sin 12
cos
f x x
x thỏa mãn
2
4
F
A F x( ) cosx tanx C B F x( ) cosx tanx C F x( ) cosx tanx
D F x( ) cosx tanx
17. Cho F x( ) là một nguyên hàm của f x( ) cos2x thỏa F( ) Tìm F x( )
A F x( ) 3x sin2x
B ( ) 4sin3 5
F x x x
C ( ) 4cos3 5
3
F x x x
D F x( ) 3x sin2x
18. Biết rằng F x( ) cos2x xd ax bsin 2x C Giá trị của a2 b2 bằng
A 1
2 B
5 16
C 2 D 5
4
19. Biết (sin 2x cos ) dx x x acos 4x C,
b với a b, số nguyên dương, a
b phân
số tối giản và C Giá trị của a b bằng A 2 B 3
C 4 D 5
(9)BT 4. Tìm nguyên hàm F x( ) của hàm số f x( ) (giả sử điều kiện được xác định): Làm quen nhóm cơng thức mũ
1
e dx ex eax bd eax b
x C x C
a
1
d d
ln ln
x x
x a x a
a x C a x C
a a
a) Tìm I e d 2x x
b) Tìm I e1 2xd x
c) Tìm I (2x e )d x x
d) Tìm I e (1x 3e 2x)d x
e) Tìm I (3 e ) d x x
f) Tìm I (2 e ) d 3x x
g) Tìm I 22x 1d x
h) Tìm I 41 2xd x
i) Tìm I d x x x
j) Tìm I 3x x 1d x
k) Tìm d2 5
e x
x I
l) Tìm d3 2 x
x I
m)Tìm
1
4 d
x x
x
I x
n) Tìm
2 1
4 d
x x
x
I x
(10)20. Biết F x( ) là một nguyên hàm của hàm số f x( ) e2x thỏa (0)
F Giá trị của
2
F bằng
A 1e
2 B
1 e
C 2e D 1e
2
21. Một nguyên hàm F x( ) của hàm số f x( ) 2ex 3x2 thỏa (0)
F
A 2e 3
2
x x
B 2e
2
x x
C e
x x
D 2e
2
x x
22. Biết F x( ) là một nguyên hàm của hàm số f x( ) 4x thỏa (1) ln
F Giá trị của F(2) bằng
A (2)
ln
F B (2)
ln
F
C (2) ln
F D (2)
ln
F
23. Họ nguyên hàm của hàm số f x( ) 72x x x
A 84
ln 84
x
C B
2
2
ln 4.ln 3.ln
x x x
C
C 84x C D 84 ln 84x C
24. Biết F x( ) là một nguyên hàm của hàm số f x( ) e3x thỏa mãn (0) e
3
F Tính ln (1) 3 F
A ln (1)3 F 64. B ln (1)3 F C ln (1)3 F 81. D ln (1)3 F 27
25. Biết một nguyên hàm F x( ) của hàm số f x( ) 4 2x 2x thỏa mãn (0)
ln
F Tính giá trị của
biểu thức
3 10
ln (1)
F A
A A B A
C A 16 D A 32
(11)Dạng toán Nguyên hàm hàm số hữu tỷ (phân số không căn)
Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ ( )d ,
( )
P x
I x
Q x với P x( ), Q x( ) là các đa thức
Nếu bậc của tử số P x( ) bậc của mẫu số Q x( ) PP Chia đa thức Nếu bậc của tử số P x( ) bậc của mẫu số Q x( ) :
Sử dụng định nghĩa, lưu ý: u dx lnu dx lnu C
u
Mẫu phân tích được thành tích sớ PP Đồng nhất thức (pp che)
( )( )
k m n
ax b cx d ax b cx d ( )( )
mx n
ax b cx d ax b cx d
2 2
1
( ) ( ) ( ) ( )
A B C D
x a x b
x a x b x a x b
2
1
,
( )( )
A Bx C
x m
x m ax bx c ax bx c với
2 4 0.
b ac
BT 5. Tìm nguyên hàm F x( ) của hàm số f x( ) (giả sử điều kiện được xác định): a) Tìm 1d
1
x
I x
x
Có 3( 1) 4d d
1
x
I x x
x x
3x lnx C
b) Tìm 1d
x
I x
x
c) Tìm 1d
x
I x
x
d) Tìm 3d
2
x
I x
x
e) Tìm
2
d
x
I x
x
Ta có:
2
( )
d
x
I x
x
( 1)( 1) 1
d d
1
x x
x x x
x x
f) Tìm
2
d
x
I x
x
(12)2
ln
2
x
x x C
g) Tìm
3
d
x
I x
x
h) Tìm
3
d
x
I x
x
i) Tìm
2 1
d
x x
I x
x
Chia đa thức ngoài nháp:
2 1 2
x x x
Ta có: d
2
I x x
x
j) Tìm
2
2
d
x x
I x
x
k) Tìm
2
4
d
2
x x
I x
x
l) Tìm
2
3
d
x x
I x
x
m)Tìm 24 d
5
x
I x
x x
Ta có:
2
( 5)
2 d
5
x x
I x
x x
lnx2 x C
n) Tìm 24 d
2
x
I x
x x
(13)Nhớ: u dx lnu dx lnu C
u
o) Tìm 24 d
4 x I x x x
p) Tìm 26 d
3 x I x x x
q) Tìm 25 d
2
x
I x
x x
Áp dụng f x( ) ax2 bx c a x( x1)(x x2)
với x1, x2 là hai nghiệm f x( ) 0, ta được:
2
5 5
( 2)(2 3)
2
2( 2)
x x x
x x
x x
x x
2
a b
x x với
2 2 x x x a x x b x
Khi đó, ta có lời giải sau:
2
5
d
2
2
x
I dx x
x x
x x
r) Tìm d
( 1)( 3)
I x x x
s) Tìm d
(2 4)( 5)
I x x x
t) Tìm 2 d
4
I x
x x
u) Tìm 24 d
2 x I x x x
v) Tìm 24 11 d
5 x I x x x
w)Tìm 2 d
( 1)
I x
x x
Ta có: 2 d
1
a b c
I x
x x x
0 d 1, d x a
x x 0
1
1 1x
b
x
2 1 x c
x nên
1 1
d
I x
x x x
x) Tìm 2 d
( 1)( 2)
(14)
Dạng toán Nguyên hàm phần
Định lý: Nếu hai hàm số u u x( ) và v v x( ) có đạo hàm và liên tục K thì ( ) ( )d ( ) ( ) ( ) ( )d
I u x v x x u x v x u x v x x hay I u vd uv v ud Vận dụng giải toán:
— Nhận dạng: Tích hai hàm khác loại nhân nhau, Ví dụ: exsin d , x x xln d , x x — Đặt:
d d
d d
Vi phân
Nguyên m
u u x
v x v Suy ra: I u vd uv v ud
— Thứ tự ưu tiên chọn u: log –đa –lượng – mũ và dv phần còn lại
— Lưu ý rằng bậc của đa thức và bậc của ln tương ứng với số lần lấy nguyên hàm — Dạng mũ nhân lượng giác là dạng nguyên hàm từng phần luân hồi
BT 6. Tìm nguyên hàm F x( ) của hàm số f x( ) (giả sử điều kiện được xác định): a) Tìm I (x 1)sin d x x
Chọn:
/ /
1 d d
d sin d cos
v p n h
u x u x
v x x v x
Suy ra: I (x 1)cosx cos dx x (x 1)cosx sinx C
b) Tìm I xln d x x
c) Tìm I x.e d x x
d) Tìm I x.e d x x
e) Tìm 2 d
sin
x
I x
x
f) Tìm 2 d
cos
x
I x
x
(15) Cần nhớ: cot dx x ln sinx C
Cần nhớ: tan dx x ln cosx C g) Tìm I ln d x x
h) Tìm I (2x 1)ln d x x
i) Tìm I xsin cos d x x x
j) Tìm I x(2 cos2x 1)d x
k) Tìm I e sin d x x x
Chọn
/ /
sin d cos d
d e d e
v p n h
x x
u x u x x
v x v
e sinx e cos dx e sinx
I x x x x A
Tìm A Chọn cos d sin d
d e dx ex
u x u x x
v x v
e cosx e sin d x
A x x x
Thế A vào I, ta được:
e sinx e cosx e sin dx
I x x x x
e sinx e cosx e sin dx
I x x x x
e (sinx cos )
I x x I
e
(sin cos )
x
I x x C
l) Tìm I e cos d x x x
m)Tìm 1 ln( 1)d
2
I x x x
x
n) Tìm
2
ln(4 3)
d ( 1)
x x
I x
x
(16)
o) Cho F x( ) lnx là một nguyên hàm của
3
( )
f x
x Tìm nguyên hàm của hàm f x( )ln x
Áp dụng định nghĩa: F x( ) f x( ), ta có:
2
3
( ) ( )
(ln )x f x f x f x( ) x
x
x x
Tìm I f x( )ln dx x ?
Chọn
2
1
ln d d
d ( )d ( )
u x u x
x
v f x x v f x x
2
2ln d 2ln .
2
x I x x x x x x C
p) Cho F x( ) lnx là một nguyên hàm của hàm
2
( )
f x
x Tìm nguyên hàm của f x( )ln x
q) Cho F x( ) 13
x là một nguyên hàm của
2
( )
f x
x Tìm nguyên hàm của hàm f x( )ln x
r) Cho F x( ) 12
x là một nguyên hàm của
( )
f x
x Tìm nguyên hàm của
4
(x x f x) ( )
s) Cho F x( ) x2 là một nguyên hàm của
2
( )e x
f x Tìm nguyên hàm của hàm e2xf x( )
t) Cho F x( ) x.ex
là một nguyên hàm của
2
( )e x
(17)
Dạng toán Phương pháp đổi biến số
Định lí: Cho f u u( )d F u( ) C và u u x( ) là hàm sớ có đạo hàm liên tục thì
( ) ( )d ( )
f u x u x x F u x C
Có sẵn Tách từ hàm Nhân thêm
Một số dạng đổi biến thường gặp
1
2
( ) d d d
d d ( 1) d ,
1
( ) d d d
PP n
m n
PP n n
n
PP n
I f ax b x x t ax b t a x x
I x t x t n x x
ax
I f ax b x x t ax b t ax x
với m n,
I n f x f x( ) ( )dx PP Đặt t n f x( ) tn f x( ) ntn 1dt f x( )d x
1 (ln ) d
1
( ln ) d
I f x x x
I f a b x x x
PP
Đặt
1
ln d d
ln d d
t x t x
x b t a b x t x
x
I f(e ).e dx x x PP Đặt e d e d
e d e d
x x
x x
t t x
t a b t b x
I f(cos ).sin dx x x PP Đặt cos d sin d
cos d sin d
t x t x x
t a b x t b x x
I f(sin ).cos dx x x PP Đặt sin d cos d
sin d cos d
t x t x x
t a b x t b x x
(tan ) d2 cos
x
I f x
x
PP
Đặt tan d 12 d (1 tan )d cos
t x t x x x
x
(cot ) d2 sin
x
I f x
x
PP
Đặt cot d d2 (1 cot )d
sin
x
t x t x x
(18) I f(sin ; cos ).sin d2x 2x x x PP Đặt
2
sin d sin d
cos d sin d
t x t x x
t x t x x
I f(sinx cos ).(sinx x cos )dx x PP Đặt t sinx cos x
Lưu ý: Sau đổi biến và tính nguyên hàm xong, ta cần trả lại biến cũ ban đầu x
Nhóm 1
2
( ) d d d
d d ( 1) d ,
1
( ) d d d
PP n
m n
PP n n
n
PP n
I f ax b x x t ax b t a x x
I x t x t n x x
ax
I f ax b x x t ax b t ax x
với m n,
BT 7. Tìm nguyên hàm F x( ) của hàm số f x( ) (giả sử điều kiện được xác định): a) Tìm I x(1 x)2018d x
Đặt t x x t v p/ dx d t
Khi đó: I (1 t t)2018dt (t 1)t2018dt
2020 2019
2019 2018
( )d
2020 2019
t t
t t t C
2020 2019
(1 ) (1 )
2020 2019
x x
C
b) Tìm I x x( 1)2019d x
c) Tìm I x x( 1) d x
d) Tìm I x x2( 1) d x
e) Tìm 2d
2
x x I
x
Đặt t x2 x2 t vp dx x dt
1
d d
2
x x t Khi đó:
2
1 1
d ln ln
2 2
I t t C x C
t
f) Tìm d 5
( 1)
x x I
x
g) Tìm
5
d
x x I
x h) Tìm
4 10
d
x x I
(19)
i) Tìm
2017 2019
( 1)
d (2 3)
x
I x
x
Ta có:
2017
2
1
d
2 (2 3)
x
I x
x x
Đặt d 2 d
2 (2 3)
x
t t x
x x
Khi đó:
2018
2017d
2018
t
I t t C
2018
1
2018
x
C x
j) Tìm
5
d ( 1)
x x I
x
k) Tìm
99 101
(7 1) d (2 1)
x x
I
x
l) Tìm
2001 1002
d
(1 )
x x I
x
Nhóm Tìm I n f x f x( ) ( )dx PP Đặt t n f x( ) tn f x( ) ntn 1dt f x( )d x
BT 8. Tìm nguyên hàm F x( ) của hàm số f x( ) (giả sử điều kiện được xác định): a) Tìm
2
2
d
x
I x
x
Đặt t 3x2 t3 x2
b) Tìm
2
8
d
4
x
I x
x
(20)/
3 d d
v p t t x x
Khi đó:
2
3 d
3 d
t t t
I t t C
t
2
3
3
( 4)
2 x C
c) Tìm I 4x x2 d x
d) Tìm I x 2020 x xd
e) Tìm
2
d
x I
x x
Đặt t x2 t2 x2 x2 t2
/ 2 d 2 d d d
v p x x t t x x t t
Khi đó:
2 2
d d
4
x x x
I
x x x x
2
.d
d ( 2)( 2) ( 4)
t t
t t t
t t
f) Tìm
2
d
x I
x x
g) Tìm I lnx lnx d x
x
h) Tìm
3
d ln
x I
x x
i) Tìm I ex e d x x
j) Tìm I sinx 2018 cos d x x
(21)
k) Tìm
2
d
x x I
x x
Ta có:
2
2
( 1)
d
( 1)( 1)
x x x
I x
x x x x
2
2
2
1
d ( 1)d
( 1)
x x x
x x x x x
x x
3
2d 1d .
3
x
x x x x x A
Tìm A ?
l) Tìm
3
4
d
x x I
x x
m)Tìm d
( 1)
x I
x x x x
n) Tìm d
3 ( 3)
x I
x x x x
(22)
Hai công thức thường được sử dụng
1
dx ax b C
a ax b
3
2
d ( )
3
ax b x ax b C a
Nhóm
1 (ln ) d
1
( ln ) d
I f x x x
I f a b x x x
PP
Đặt
1
ln d d
ln d d
t x t x
x b t a b x t x
x
BT 9. Tìm nguyên hàm F x( ) của hàm số f x( ) (giả sử điều kiện được xác định): a) Tìm I lnx d x
x
Đặt t lnx v p/ dt 1d x
x
Khi đó:
2
(2 )d
2
t
I t t t C
2
ln
2 ln
2
x
x C
b) Tìm
2
ln d
x
I x
x
c) Tìm I lnx d x
x
d) Tìm
4
1 ln d
x
I x
x
e) Tìm ln 1d
ln
x
I x
x x
f) Tìm ln 2 d
(2 ln )
x
I x
x x
g) Tìm I lnx d x
x
h) Tìm ln d
1 ln
x
I x
x x
(23)
Nhóm Tìm I f(e ).e dx x x PP Đặt e d e d
e d e d
x x
x x
t t x
t a b t b x
BT 10.Tìm nguyên hàm F x( ) của hàm số f x( ) (giả sử điều kiện được xác định):
a) Tìm d
ex
x I
Đặt t ex ex t v p/ dt e d x x
Khi đó: d e d
e e (e 3)
x
x x x
x x
I
d ( 3)
t
t t
b) Tìm d
ex
x I
c) Tìm e d
e
x x
x I
d) Tìm e d
e
x x
x I
e) Tìm d
ex 2e x
x I
f) Tìm e d
e e
x
x x
x I
g) Tìm
2
e d
e
x x
x
I h) Tìm
2
e d e
x x
(24)
Nhóm đổi biến hàm số lượng giác
BT 11. Tìm nguyên hàm F x( ) của hàm số f x( ) (giả sử điều kiện được xác định): a) Tìm I sin3x xd
2
sin sin d (1 cos )sin d
I x x x x x x
Đặt t cosx
b) Tìm I cos3x xd
c) Tìm I cos2017xsin d x x
d) Tìm I sin2019xcos d x x
e) Tìm I (1 sin )cos d x x x
f) Tìm I sin cosx 2x xd
g) Tìm sin d
2 cos
x
I x
x
h) Tìm cos d
9 sin
x
I x
x
(25)
k) Tìm cos d 2
6 sin sin
x x I
x x
l) Tìm sin d
cos cos
x x I
x x
m) Tìm d
cos
x I
x
Ta có: d cos d2 cos d2
cos cos sin
x x x x x
I
x x x
Đặt
n) Tìm d
sin
x I
x
o) Tìm d
sin cos
x I
x x
p) Tìm d
cos sin
x I
x x
q) Tìm tan2 d
cos
x
I x
x r) Tìm
cot d sin
x
I x
(26)Đặt tan / d 12 d cos
v p
t x t x
x
s) Tìm
2
(1 tan ) d cos
x
I x
x
t) Tìm
2
(2 cot ) d sin
x
I x
x
u) Tìm sin 22 d
1 cos
x
I x
x
v) Tìm sin 22 d sin
x
I x
x
w)Tìm sin cos d
sin cos
x x
I x
x x
x) Tìm sin cos d
sin cos
x x
I x
x x
y) Tìm cos d
sin cos
x
I x
x x z) Tìm
sin cos d sin
x x
I x
(27)