Đề luyện thi THPT năm 2020 đề số 7

Người ta thả vào cốc nước 2 viên bi hình cầu có đường kính bằng đường kính đáy của cốc nước (như hình vẽ) thì thấy nước tràn ra ngoài... Hỏi sau 12 tháng ông An thu về được số tiền cả [r]

ĐỀ SỐ 07 Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề

Câu 1. Trong không gian (Oxyz), cho mặt phẳng ( )P :x+ − =y z Vectơ vectơ pháp tuyến ( )P ?

A. n=(1;1;1) B. n=(1; 1;1− ) C. n=(1;1; 1− ) D. n= −( 1;1;1) Câu 2. Với x số thực dương tùy ý, log3x4

A. log+ 3x B. log− 3x C. 3log4x D. log3x Câu 3. Cho hàm số y= f x( ) có bảng biến thiên sau

Hàm số y= f x( ) đồng biến khoảng đây?

A. (−;0) B. (−1; 2) C. ( )0; D. (2;+ ) Câu 4. Tậpnghiệm bất phương trình 32x9

A. S = −( ;1) B. S =(1;+ ) C. S = −( ; 2) D. S =(2;+ ) Câu 5. Trong hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình:

1

x t

y t

z t

= − 

 = − + 

 = + 

Trong vectơ

sau, vectơ VTCP đường thẳng d?

A. u1 =(1; 2;1− ) B. u2 = −( 1; 2;1) C. u3 =(1; 1; 3− − ) D. u4 = −( 1;1;3) Câu 6. Cho hàm số y=5x2−x Mệnh đề sau đúng?

A. y =5x2−x.ln B. y =5x2−x.ln 2( x−1) C. y =5x2−x 2( x−1) D. y =5x2−x.ln 5.(x2−x) Câu 7. Cho z1 = −1 2i z2 = +2 3i Tìm số phức liên hợp số phức z=z z1 2

A. 8−i B.1 8+ i C. 8+i D.1 8− i

Câu 8. Trong hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( )S có phương trình: x2+y2+z2−2x+6y+ =6 Hãy xác định tâm bán kính mặt cầu ( )S

A. I(−1;3;0 ;) R=2 B. I(1; 3;0 ;− ) R=2 C. I(1; 3;0 ;− ) R=4 D. I(−1;3;0 ;) R=4 Câu 9. Cho cấp số cộng ( )un thỏa mãn

3

26

2 11

u u u u

+ =



 − = −

 Tính tổng S2020

A. S2020 =12239180 B. S2020 =6119590 C. S2020 =6118580 D. S2020=4088480 Câu 10. Đồ thị hàm số có dạng đường cong hình vẽ bên ?

x – ∞ + ∞

y' – 0 + 0 –

y

+ ∞

1

5

– ∞

THUVIENTOAN.NET KỲ THI THPT QUỐC GIA 2020

A. y= − −x3 3x+1 B. y=x3+ +x C. y=x3−3x+1 D. y= − +x3 3x+1 Câu 11. Trong không gian cho tam giác ABC có cạnh 2a Gọi H trung điểm cạnh BC

Quay hình tam giác ABC xung quanh trục AH thu khối nón ( )N đỉnh A Tính thể tích khối nón ( )N

A.

3 a 

B..a3 C.

3

6 a 

D.

3

3 a



Câu 12. Một tổ gồm nam nữ Có cách chọn đội văn nghệ gồm người có nam?

A.1520 B. 840 C.1828 D.1526

Câu 13. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng

2

:

3

x t

d y t

z t

= −   = + 

 = − + 

Tìm tọa độ hình

chiếu vng góc N điểm Md lên mặt phẳng (Oxz) biết tung độ điểm M A. N(−1;0; 1− ) B. N(−1; 2; 1− ) C. N(0; 2;0) D. N(1; 2;1− )

Câu 14. Cho khối lăng trụ đứng ABC A B C ' ' ' có đáy ABC tam giác cạnh a Góc A B' mặt phẳng (ABC) 60 Tính thể tích V khối lăng trụ cho

A.

4 a

B.

3

4 a

C.

3

2 a

D.

3

3 a

Câu 15. Cho hàm số y= f x( ) có bảng biến thiên sau:

Khoảng cách hai điểm cực trị đồ thị hàm số y= f x( )

A. 29 B. C. 29 D.

Câu 16. Tìm họ nguyên hàm F x( ) hàm số ( ) 22 x x

x x f x =  − 

  với x0

A. F x( )=12x+x x+C B. ( )

2

ln ln

x x

x x x F x =  − 

 

C ( )

2 ln

ln ln

x x

x x x F x =  − 

  D. ( )

12 ln12

x

x x F x = − +C

x – ∞ + ∞

y' + 0 – 0 +

y

– ∞

3

–2

Câu 17. Cho hàm số y= f x( ) liên tục có bảng biến thiên sau

Phương trình f( )2x + =1 có tất nghiệm thực?

A. B.1 C. D.

Câu 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng,AB=a SA, ⊥(ABCD), SA=a 3+ Khi góc SC mặt phẳng (SAB)

A. 30 B.15 C. 45 D. 90

Câu 19. Cho số phức zthỏa mãn phương trình (1 2+ i z) + = +z 6i Khi số phức w= −1 2iz A.1 6+ i B. − +1 6i C.1 6− i D. − −1 6i Câu 20. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y= +x 1−x2

A. 2;1 B. 2;1 C. 2; 1− D. 2;1

Câu 21. Cho lăng trụ đứng ABC A B C    có đáy ABC tam giác vuông cân A Mặt bên BCC B  hình vng có cạnh 2a Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (A BC )

A. a

B.

5 a

C.

5 a

D.

5 a

Câu 22. Cho hàm số y= f x( ) liên tục tập có đạo hàm f( ) (x = x−1)(x+1) (2 x−3) Tìm khoảng đồng biến hàm số f x( )

A. (−;1) (3;+) B. (−1;1) (3;+) C. ( )1;3 D.

Câu 23. Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn loga=4, logb=7 logc= −3 Tính

( 4)

log 100 .a b c

A.10 B.11 C. D.19

Câu 24. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z−2z+ +5 20i=0 Điểm biểu diễn số phức z có tọa độ

A. 5; 20

 − 

 

  B.

5 ; 20

 

 

  C.

5 ; 20

− 

 

  D.

20 5;

3

− − 

 

 

Câu 25. Tập nghiệm S bất phương trình log23x+12 log9 x+ 5

A. 0; 1;

64

S =    + 

    B.

1

0; ;

243

S =    + 

   

C. 0; (9; )

27

S =  + 

  D. ( )

3

0; 27;

81

S =  + 

 

Câu 26. Một cốc nước hình trụ chứa đầy nước có chiều cao lần đường kính đáy Người ta thả vào cốc nước viên bi hình cầu có đường kính đường kính đáy cốc nước (như hình vẽ) thấy nước tràn ngồi Biết cốc nước có đường kính đáy cm( ) Thể tích lượng nước cịn lại cốc (bỏ qua bề dày lớp vỏ thủy tinh)

x – ∞ + ∞

y' + 0 – 0 +

y

– ∞

1

–3

A. 34 ( )cm3



B. 35 ( )cm3



C. 31 ( )cm3



D. 32 ( )cm3



Câu 27. Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số y= − +x2 y= − +x

A.

2 B.

8

3 C.

5

7 D.

Câu 28. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( ) (S : x−1) (2+ y−2) (2+ +z 1)2 =9 điểm (3; 4;0)

A thuộc ( )S Phương trình mặt phẳng ( )P tiếp xúc với mặt cầu ( )S A A. 2x−2y z− + =2 0. B. 2x−2y+ + =z

C. 2x+2y+ − =z 14 0. D. x+ + − =y z

Câu 29. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 2;3) hai mặt phẳng ( )P : 2x+2y+ + =z 0, ( )Q : 2x− +y 2z− =1 Đường thẳng d qua A song song với ( )P ( )Q có phương trình

A.

1

x+ = y− = z−

B.

5

x+ = y+ = z+

− −

C.

1

x− y+ z+

= = D.

5

x− y− z−

= =

− −

Câu 30. Cho số phức z thỏa mãn z+2z= +6 i Tính mơđun z

A. z =5 B. z = C. z = D. z =

Câu 31. Ông An gửi 50.000.000 đồng vào ngân hàng theo hình thức lãi kép với lãi suất 0,8% / tháng Cứ sau ba tháng lãi suất tăng 0,01% Hỏi sau 12 tháng ông An thu số tiền gốc lãi bao nhiêu? Biết suốt trình gửi ông An không rút tiền

A. 56.115.256 đồng B. 55.115.256 đồng C. 55.112.255 đồng D. 55.115.265 đồng Câu 32. Cho F x( )=lnx nguyên hàm f x( )3

x Tìm nguyên hàm hàm số f( )x ln x

A. ( )

2 ln d ln

2 x

f x x x=x x− +C

 B. ( )

2

ln d ln x

f x x x=x x+ +C



C. ( )

2

ln d ln x

f x x x=x x− +C

 D. ( )

2

2

ln d ln x

f x x x=x x+ +C



Câu 33. Cho hàm số f x( ) đồng biến thỏa mãn lim ( )

x→− f x = xlim→+ f x( )= + Có số nguyên dương m để đồ thị hàm số ( ) ( ) ( )

( ) 2( )

3

4

x f x

g x

x x m f x

+ − =

− + + có đường tiệm

cận

Câu 34. Cho f x( ) hàm số liên tục , có giá trị ln khác thỏa f ( )0 =1; ( ) ( ),

f x = f x  x Đặt g x( )=2x− f x( ) Tính ( ) ( )

0

I = f x g x dx

A. I =0 B.

2

2 e

I = − C.

2 e

I = −e − D.

2 e

I = −

Câu 35. Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a, tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Tính sin góc tạo đường thẳng MD mặt phẳng

(SBC), với M trung điểm BC A. 15

5 B.

15

3 C.

13

3 D.

13 Câu 36. Cho hàm số y= f x( ) hàm đa thức có đồ thị hàm y= f( )x hình vẽ

Hỏi hàm số ( ) ( )

2

3 x

y=g x = f −x − +x đồng biến khoảng sau đây? A. (− −; 1) B. ( )0;1 C. (−1;0) D. (1;+ )

Câu 37. Cho hình trụ có chiều cao h, hai đáy đường tròn tâm O tâm O có bán kính r (hr) Trên đường trịn tâm O lấy điểm A tùy ý Gọi ( ) mặt phẳng qua tâm O cho cách A khoảng lớn Thiết diện mặt phẳng ( ) cắt hình trụ có diện tích

2

r 

Tính thể tích khối trụ

A. 5r3 B.

3

5 r



C. 4r3 D. 2r3

Câu 38. Trong phịng học, có 36 bàn rời đánh số thứ tự từ đến 36, bàn dành cho học sinh Các bàn xếp thành hình vng có kích thước 6 Cô giáo xếp tùy ý 36 học sinh lớp, có hai em tên Hạnh Phúc, vào bàn Tính xác suất để Hạnh Phúc ngồi hai bàn xếp cạnh (theo chiều ngang chiều dọc)

A.

12 B.

2

21 C.

1

21 D.

1

Câu 39. Có số ngun m(0; 2020) để phương trình m+100x=m.ex có hai nghiệm phân biệt?

A. B. 2019 C. 2018 D.Vô số

Câu 40. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, SA⊥(ABCD) Biết AB=a,

A. a

B.

2 a

C. a D. 21

7 a

Câu 41. Xét hàm số f x( ) liên tục thỏa mãn 2x f x( 2− +2) 2f (1−x)=3x2 Tính giá trị tích phân ( )

16

1

2 d

f x

I x

x

−

=

A. I =5 B.

2

I = C. I =3 D. I =9

Câu 42. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0; 2; 1− − ), B(− −2; 4;3), C(1;3; 1− ) mặt phẳng ( )P :x+ −y 2z− =3 Biết điểm M a b c( ; ; ) ( ) P thỏa mãn T = MA MB+ +2MC đạt giá trị nhỏ Tính S= + +a b c

A. S = −2. B. S=0. C. S =1. D.

2 S= −

Câu 43. Cho hàm số bậc ba y= f x( ) có đồ thị hình Số nghiệm thực phương trình

( ) ( )

2 2

2f x − −1 9f x − +1 10=0

A. B. C. D.

Câu 44. Cho ( )H hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y=x3+2x2 y= +x Thể tích V khối trịn xoay tạo thành quay ( )H quanh trục Ox bao nhiêu?

A. 162

35

V = B. 648

105

V =  C. 442

105

V = D. 776

105 V =  Câu 45. Có giá trị nguyên tham số m −( 2020; 2020) để phương trình

( ) ( ) ( )

1 1

m− x+ m+ x x + =x + có nghiệm?

A. 2020 B. 2019 C. 2021 D.1

Câu 46. Cho f x( ) hàm đa thức, đạo hàm y= f ( )x có đồ thị hình vẽ

O

1

−

1

y

Hàm số y= f x( )+ −x f ( )0 có điểm cực trị?

A. B. C. D.

Câu 47. Cho hai vị trí A B, cách 615m, nằm phía bờ sơng hình vẽ Khoảng cách từ A từ B đến bờ sông 118m 487m Một người từ A đến bờ sông để lấy nước mang B Đoạn đường ngắn mà người là:

A. 569,5m B. 671, 4m C. 779,8m D. 741, 2m

Câu 48. Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh Biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC)

4 , từ B đến mặt phẳng (SAC) 15

10 , từ C đến mặt phẳng (SAB) 30

20 hình chiếu vng góc S xuống đáy nằm tam giác ABC Thể tích khối chóp

S ABC A.

36 B.

1

48 C

1

12 D

1 24

Câu 49. Có số thực m để tồn cặp số thực (x y; ) thỏa mãn đồng thời

( )

2

2

log 4

x+ +y x+ y m+ − − m

2

2

x +y + x− y+ =

A. 2 B. C. 4 D 0

Câu 50. Cho hàm số y= f x( ) có đồ thị hình vẽ Gọi S tập hợp giá trị tham số m để bất phương trình ( (sin )) (sin ) ( ( ) )

2f x 2.2f x 2f x

x m m

 − + + −  − 

  nghiệm với x Số

tập tập hợp S

A.4 B.1 C.2 D.3

O x

y

2

− −1

3

−

1

1

−

2

−

3

BẢNG ĐÁP ÁN

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

C D C A D B C B B D A D A B C D C B D C D A D A B 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

D A C D B B C B B A B D B C D C B C D B B C B A C HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1. Trong không gian (Oxyz), cho mặt phẳng ( )P x: + − =y z Vectơ vectơ pháp tuyến ( )P ?

A. n=(1;1;1) B. n= −(1; 1;1) C n=(1;1; 1− ) D. n= −( 1;1;1) Lời giải

Chọn C

Từ phương trình mặt phẳng ( )P x: + − =y z ta có vectơ pháp tuyến ( )P là:

(1;1; 1)

n= −

Câu 2. Với x số thực dương tùy ý, log3x4

A. 4 log+ 3x B. 4 log− 3x C. 3log4x D. 4log3x

Lời giải Chọn D

Ta có: log3x4 =4 log3x

Câu 3. Cho hàm số y= f x( ) có bảng biến thiên sau

Hàm số y= f x( ) đồng biến khoảng đây?

A. (−;0) B. (−1; 2) C ( )0;2 D. (2;+ ) Lời giải

Chọn C

Ta có: f x( )  0 x ( )0;2  Hàm số y= f x( ) đồng biến khoảng ( )0;2 Câu 4. Tậpnghiệm bất phương trình 32x9 là

A. S= −( ;1) B. S = + (1; ) C S = −( ; 2) D. S=(2;+ ) Lời giải

Chọn A

Ta có: 32x 9 32x 32 2x  2 x 1

Tập nghiệm bất phương trình S= −( ;1)

x – ∞ + ∞

y' – 0 + 0 –

y

+ ∞

1

5

Câu 5. Trong hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình:

2

x t

y t

z t

= − 

 = − + 

 = + 

Trong vectơ

sau, vectơ VTCP đường thẳng d ?

A. u1= −(1; 2;1) B. u2= −( 1;2;1) C. u3 =(1; 1; 3− − ) D. u4 = −( 1;1;3) Lời giải

Chọn D Câu 6. Cho hàm số

2

5x x

y= − Mệnh đề sau đúng? A.

2

5x x.ln

y = − B. y =5x2−x.ln 2( x−1)

C. y =5x2−x 2( x−1) D. ( )

5x x.ln

y = − x −x

Lời giải Chọn B

Ta có: y =5x2−x.ln 5.(x2−x)=5x2−x.ln 2( x−1)

Câu 7. Cho z1= −1 2i z2 = +2 3i Tìm số phức liên hợp số phức z =z z1.

A. 8−i B.1 8+ i C. 8+i D.1 8− i

Lời giải Chọn C

Ta có: z=z z1 2 =z z1 2 = +(1 3i) ( − i)= − + −2 3i 4i 6i2 = + + = +2 i i

Câu 8. Trong hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( )S có phương trình: x2+ + − + + =y2 z2 2x 6y 6 0 Hãy xác định tâm bán kính mặt cầu ( )S

A. I(−1;3;0 ;) R=2 B. I(1; 3;0 ;− ) R=2 C. I(1; 3;0 ;− ) R=4 D. I(−1;3;0 ;) R=4 Lời giải

Chọn B

Ta có: x2+y2+z2−2x+6y+ = 6 (x−1) (2+ y+3)2+z2 =4 Do đó: I(1; 3;0 ;− ) R=2

Câu 9. Cho cấp số cộng ( )un thỏa mãn

3

26

2 11

u u u u

+ =



 − = −

 Tính tổng S2020

A. S2020 =12239180 B. S2020 =6119590 C. S2020 =6118580 D. S2020=4088480 Lời giải

Chọn B

Giả sử cấp số cộng ( )un có số hạng đầu u1 cơng sai d Ta có

3

26

2 11

u u u u

+ =



 − = − 

( ) ( )

( ) ( )

1

1

3 26

2 11

u d u d

u d u d

+ + + =

  

+ − + = −



1

1

2 26

4 11

u d u

u d d

+ = =

 

 

− = −  =



Vậy 2020 2020(2.1 2019.3) 6119590

Câu 10. Đồ thị hàm số có dạng đường cong hình vẽ bên ?

A. y= − −x3 3x+1 B. y=x3+ +x C. y=x3−3x+1 D. y= − +x3 3x+1 Lời giải

Chọn D

Dựa vào hình dạng đồ thị ta thấy đồ thị hàm số bậc ba có hệ số a âm hàm số có hai điểm cực trị Suy loại đáp án B, C

Xét hàm số y= − −x3 3x+1

Có y = −3x2−  3 x Suy loại đáp án#A

Vẽ đồ thị hàm số phương án D ta thấy khớp với đồ thị D phương án Câu 11. Trong không gian cho tam giác ABC có cạnh 2a Gọi H trung điểm cạnh BC

Quay hình tam giác ABC xung quanh trục AH thu khối nón ( )N đỉnh A Tính thể tích khối nón ( )N

A.

3 a 

B..a3 C.

3

6 a 

D.

3

3 a



Lời giải

Chọn A

Từ giả thiết ta có AB=AC=BC=2a

Vì H trung điểm cạnh BC nên BH =a AH =a (AH đường cao tam giác ABC có cạnh 2a)

Xét khối nón ( )N có: bán kính đáy R=BH=a độ dài đường cao h=AH =a Thể tích khối nón ( )N

3

V =  R h 3 a a

= 3

3 a 

=

Câu 12. Một tổ gồm nam nữ Có cách chọn đội văn nghệ gồm người có nam?

A.1520 B. 840 C.1828 D.1526

Trường hợp 1: chọn nam nữ, có

6 840

C C = cách chọn Trường hợp 2: chọn nam nữ, có

6 560

C C = cách chọn Trường hợp 3: chọn nam nữ, có

6 120

C C = cách chọn Trường hợp 4: chọn nam, có

6

C = cách chọn Vậy có 840 560 120 1526+ + + = cách chọn

Câu 13. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng

2

:

3

x t

d y t

z t

= −   = + 

 = − + 

Tìm tọa độ hình

chiếu vng góc N điểm Md lên mặt phẳng (Oxz) biết tung độ điểm M A. N(−1;0; 1− ) B. N(−1; 2; 1− ) C. N(0; 2;0) D. N(1; 2;1− )

Lời giải Chọn A

Vì Md yM =2 nên ta có:

2

2 1

3

x t x

t t

z t z

= − = −

 

 = +  =

 

 = − +  = −

 

( 1; 2; 1) M

 − −

Suy hình chiếu vng góc N điểm Md lên mặt phẳng (Oxz) N(−1;0; 1− )

Câu 14. Cho khối lăng trụ đứng ABC A B C ' ' ' có đáy ABC tam giác cạnh a Góc A B' mặt phẳng (ABC) 60 Tính thể tích V khối lăng trụ cho

A.

4 a

B.

3

4 a

C.

3

2 a

D.

3

3 a

Lời giải

Chọn B

Vì ABC A B C ' ' ' khối lăng trụ đứng nên A A' ⊥(ABC) ( )

( ) ( )

' , ' , ' 60

A B ABC A B AB ABA

 = = =

Xét ABA' vuông A, AB=a, ABA'=600, suy AA'= AB tanABA'=a tan 600 =a Ta có:

2 ABC

a

S = (vì ABC cạnh a) Vậy

2

' ' '

3

'

4

ABC A B C ABC

a a

Câu 15. Cho hàm số y= f x( ) có bảng biến thiên sau:

Khoảng cách hai điểm cực trị đồ thị hàm số y= f x( )

A 29 B C 29 D

Lời giải Chọn C

Đồ thị hàm số y= f x( ) có điểm cực trị là: M( ) (2;3 ,N 4; 2− ) ( ) (2 )2

4 2 29

MN

 = − + − − =

Câu 16. Tìm họ nguyên hàm F x( ) hàm số ( ) 22 x x

x x f x =  − 

  với x0

A F x( )=12x+x x+C B ( )

2

ln ln

x x

x x x F x =  − 

 

C ( )

2

2 ln

ln ln

x x

x x x F x =  − 

  D ( )

12 ln12

x

x x F x = − +C Lời giải

Chọn D

Ta có ( ) 22 12

x x x

x x

f x =  − = − x

 

Nên ( ) (12 )d 12 ln12

x

x x x

F x = − x x= − +C

Câu 17. Cho hàm số y= f x( ) liên tục có bảng biến thiên sau

Phương trình f( )2x + =1 có tất nghiệm thực?

A. B.1 C. D.

Lời giải Chọn C

Đặt t=2x, điều kiện t0 Khi ứng với nghiệm t0, ta nghiệm x

x – ∞ + ∞

y' + 0 – 0 +

y

– ∞

3

–2

+ ∞

x – ∞ + ∞

y' + 0 – 0 +

y

– ∞

1

–3

Từ bảng biến thiên hàm số y= f x( ), ta thấy phương trình f t( )+ = 1 f t( )= −1 có ba nghiệm phân biệt t t t1, ,2 3 thỏa mãn t1   0 t2 t3

Vậy phương trình ( )2x

f + = có nghiệm thựC

Câu 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng,AB=a SA, ⊥(ABCD), SA=a 3+ Khi góc SC mặt phẳng (SAB)

A. 30 B.15 C. 45 D. 90

Lời giải Chọn B

Ta có: BC⊥AB BC, ⊥SABC⊥(SAB), suy SB hình chiếu vng góc SClên mặt phẳng (SAB) Do (SC SAB,( ))=(SC SA, )=BSC

SBC

 vuông Bnên

( )

2 2 2

tan

6

BC AB a

BSC

SB SA AB a a

= = = = −

+ + +

Suy BSC=150 Vậy ( ( ))

, 15

SC SAB =

Câu 19. Cho số phức zthỏa mãn phương trình (1 2+ i z) + = +z 6i Khi số phức w= −1 2iz A.1 6+ i B. − +1 6i C.1 6− i D. − −1 6i

Lời giải Chọn D

Giả sử z= +a bi a b,( ,  ,i2 = −1) Ta có:

(1 2+ i z) + = +  +z 6i (1 2i)(a bi+ )+ − = + a bi 6i (2a−2b)+2ai= +8 6i

2

2

a b a

a b

− = =

 

 

= = −

  Suy z= −3 i

Do w= −1 2iz= −1 3i( − = − −i) 6i

Câu 20. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y= +x 1−x2

A. 2;1 B. 2;1 C. 2; 1− D. 2;1

Lời giải Chọn C

Tập xác định: D= − 1;1

Với x −( 1;1), ta có: 2 2

2

0 2

1 ;

2

1

x x

y y x x x

x x

x

 

= − =  − =   =

− =

− 

Ta có: ( )1 1; ( )1 1; 2

y − = − y = y =

 

Câu 21. Cho lăng trụ đứng ABC A B C    có đáy ABC tam giác vuông cân A Mặt bên BCC B  hình vng có cạnh 2a Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (A BC )

A. a

B.

5 a

C.

5 a

D.

5 a

Lời giải Chọn D

Gọi d A A BC( ,(  ))=h

Ta có AB, AC AA đơi vng góc nên ta có 12 12 12 2 h = AB + AC + AA Tam giác ABC vuông cân A, BC=2a AB= AC=a

Mặt bên BCC B  hình vng có cạnh 2aAA=2a Khi 12 12 12 12 52

2 4

h = a + a + a = a

2 a h

 =

Vậy ( ,( )) a

d A A BC =

Câu 22. Cho hàm số y= f x( ) liên tục tập có đạo hàm f( ) (x = x−1)(x+1) (2 x−3) Tìm khoảng đồng biến hàm số f x( )

A. (−;1) (3;+) B. (−1;1) (3;+) C. ( )1;3 D Lời giải

Chọn A ( )

1

0

3 x

f x x

x

= −  

 =  =

 = 

Ta có bảng xét dấu

Vậy hàm số đồng biến khoảng (−;1) (3;+)

Câu 23. Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn loga=4, logb=7 logc= −3 Tính

( 4)

log 100 .a b c

Lời giải Chọn D

( 4)

log 100 .a b c =log100 log+ a +logb +logc = +2 2loga+3logb+4logc=19

Câu 24. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z−2z+ +5 20i=0 Điểm biểu diễn số phức z có tọa độ

A. 5; 20

 − 

 

  B.

5 ; 20

 

 

  C.

5 ; 20

− 

 

  D.

20 5; − −      Lời giải Chọn A

Gọi z= +a bi a b( ,  ) = −z a bi

Ta có: z−2z+ +5 20i=  + −0 a bi 2(a bi− )+ +5 20i=0 − +a 3bi= − −5 20i

5 20

5 20

3 20

3 a a z i b b =  − = −      = − = − = −  

Vậy điểm biểu diễn số phức z có tọa độ 5; 20

 − 

 

 

Câu 25. Tập nghiệm S bất phương trình log23x+12 log9 x+ 5

A. 0; 1;

64

S =    + 

    B.

1

0; ;

243

S =    + 

   

C. 0; (9; )

27

S =  + 

  D. ( )

3

0; 27;

81

S =  + 

  Lời giải Chọn B Ta có:

3

3

3 0

log

log 12 log

log log

log x x x x x x x x       − + +     + +      −   243 x x x              1 243 0; ;

1 243

3 x x x              +        

Vậy tập nghiệm bất phương trình cho là: 0; 1;

243

S =    + 

   

A. 34 ( )cm3



B. 35 ( )cm3

3 

C. 31 ( )cm3

3 

D. 32 ( )cm3



Lời giải

Chọn D

Gọi R bán kính đáy cốc nước, h chiều cao cốc nướC Theo giả thiết ta có: h=4R; Bán kính mặt cầu bằngR

Thể tích lượng nước ban đầu V thể tích khối trụ nên V =R h2 =R24R=4R3 Thể tích lượng nước tràn V1 tổng thể tích khối cầu nên 1 2.4

3

V = R = R

Thể tích lượng nước cịn lại cốc là:

( )

3 3 3

2

8 4 32

4 cm

3 3

V = − =V V R − R = R =  = 

Câu 27. Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số y= − +x2 y= − +x A.

2 B

8

3 C

5

7 D.

Lời giải Chọn A

Phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị hàm số là:

2

4 2

2 x

x x x x

x

= −  − + = − +  − − =  

=



Khi diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số

y= − +x y= − +x là:

( ) ( ) ( )

2

2

2

1 1

9

4 d d

3 2

x x

S x x x x x x x

− − −

 

= − + − − + = − + + = − + +  =

 

 

Câu 28. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( ) (S : x−1) (2+ y−2) (2+ +z 1)2 =9 điểm (3; 4;0)

A thuộc ( )S Phương trình mặt phẳng ( )P tiếp xúc với mặt cầu ( )S A A. 2x−2y z− + =2 0. B. 2x−2y+ + =z

C. 2x+2y+ − =z 14 0. D. x+ + − =y z Lời giải

Chọn C

Mặt cầu ( )S có tâm I(1; 2; 1− )

Vậy phương trình mặt phẳng ( )P là: 2(x− +3) (2 y− +4) (1 z−0)= 0 2x+2y+ −z 14=0 Câu 29. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 2;3) hai mặt phẳng

( )P : 2x+2y+ + =z 0, ( )Q : 2x− +y 2z− =1 Đường thẳng d qua A song song với ( )P ( )Q có phương trình

A.

1

x+ = y− = z−

. B.

5

x+ = y+ = z+

− −

C.

1

x− = y+ = z+

. D.

5

x− = y− = z−

− −

Lời giải Chọn D

Mặt phẳng ( )P có véctơ pháp tuyến n( )P =(2; 2;1) Mặt phẳng ( )Q có véctơ pháp tuyến n( )Q =(2; 1; 2− ) Gọi ud véctơ phương đường thẳng d

Do đường thẳng d song song với ( )P ( )Q nên ( )

( )

( ) ( ), (5; 2; 6)

d P

d P Q

d Q

u n

u n n

u n

 ⊥

  = = − −

  

⊥



Đường thẳng d qua A(1; 2;3) có véctơ phương ud =(5; 2; 6− − ) nên có phương trình

1

5

x− = y− = z−

− −

Câu 30. Cho số phức z thỏa mãn z+2z= +6 i Tính mơđun z

A. z =5 B. z = C. z = D. z =

Lời giải Chọn B

Giả sử z= +a bi a b( ,  ) = −z a bi Từ z+2z= +6 i  + +a bi 2(a bi− )= +6 i

3

3

1

a a

a bi i

b b

= =

 

 − = +  

− = = −

 

Vậy z = 2− =i 22+ −( )1 =

Câu 31. Ông An gửi 50.000.000 đồng vào ngân hàng theo hình thức lãi kép với lãi suất 0,8% / tháng Cứ sau ba tháng lãi suất tăng 0,01% Hỏi sau 12 tháng ông An thu số tiền gốc lãi bao nhiêu? Biết suốt q trình gửi ơng An khơng rút tiền

A. 56.115.256 đồng B. 55.115.256 đồng C. 55.112.255 đồng D. 55.115.265 đồng Lời giải

Chọn B

Đặt T =50.000.000 đồng

Sau tháng ông An có số tiền gốc lãi là:

( )3

3 0, 008 1, 008

Sau tháng ông An có số tiền gốc lãi là:

( ) (3 )3 3 3

6 0, 0081 1, 008 1, 008 1, 0081

T = +   =T  T

Sau tháng ông An có số tiền gốc lãi là:

( )3 3 3 3 3 3

9 0, 0082 1, 008 1, 0081 1, 0082 1, 0081 1, 008

T = +    =T   T

Sau 12 tháng ông An có số tiền gốc lãi là:

( )3 3 3 3 ( )3

12 0, 0083 1, 0082 1, 0081 1, 008 1, 008 1, 0081 1, 0082 1, 0083

T = +     =T    T

Vậy sau 12 tháng số tiền ông An nhận gốc lãi là:

( )3

12 1, 008 1, 0081 1, 0082 1, 0083 50 000 000 55.115.256

T =     T đồng

Câu 32. Cho F x( )=lnx nguyên hàm f x( )3

x Tìm nguyên hàm hàm số f( )x ln x

A. ( )

2 ln d ln

2 x

f x x x=x x− +C

 B. ( )

2

ln d ln x

f x x x=x x+ +C



C. ( )

2

ln d ln x

f x x x=x x− +C

 D. ( )

2

2

ln d ln x

f x x x=x x+ +C



Lời giải Chọn C

Vì F x( )=lnx nguyên hàm hàm số f x( )3

x nên theo định nghĩa nguyên hàm ta có: ( ) ( ) ( ) ( )

3

1

lnx f x f x f x x

x x x

=  =  =

Xét I = f( )x ln d x x Đặt

( ) ln

d d

u x

v f x x

= 

 = 

 ( )

1 du dx

x v f x

 =   

 = 

( ) ( ) 2

.ln d ln d ln

2

f x x

I f x x x x x x x x x C

x

 = − = − = − +

Câu 33. Cho hàm số f x( ) đồng biến thỏa mãn lim ( )

x→− f x = xlim→+ f x( )= + Có số nguyên dương m để đồ thị hàm số ( ) ( ) ( )

( ) 2( )

3

4

x f x

g x

x x m f x

+ − =

− + + có đường tiệm

cận

A. B. C. D.Vô số

Lời giải Chọn B

Điều kiện xác định hàm số g x( ):

x − ; x2−4x m+ 0

Vì

3

x − nên khơng tồn giới hạn lim ( ) x→−g x

Vì hàm số f x( ) đồng biến lim ( ) ( ) 1,

Ta có: ( ) ( ) ( )

( ) 2( )

3

lim lim

4

x x

x f x

g x

x x m f x

→+ →+

+ − =

− + +

( )

3

2

3

1

lim lim

4

1 1

1

x x

x x x m x x f x →+ →+ + − = = − + +

Suy đường thẳng y=0 tiệm cận ngang đồ thị hàm số g x( )

Ta có: ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ( )

2 2

3 3 3

4

x f x x f x

g x

x x m f x x x m x f x

+ − −

= =

− + + − + + + +

Đồ thị hàm số g x( ) có hai đường tiệm cận khỉ có đường tiệm cận đứng, tức phương trình

4

x − x m+ = có nghiệm kép 0, 0

x x  − có hai nghiệm phân biệt x x1, x1=1, 2

1 1,

3

x  x  − có hai nghiệm phân biệt x3, x4 3 x  −

, 4

1

,

3

x  − x 

Xét bảng biến thiên hàm số :

Ta có: x2−4x m+ =  = − +0 m x2 (1)x

Từ bảng biến thiên suy

4 13 m m m   =  =    −  

Do m số nguyên dương nên m 3,

Câu 34. Cho f x( ) hàm số liên tục , có giá trị ln khác thỏa f ( )0 =1; ( ) ( ),

f x = f x  x Đặt g x( )=2x− f x( ) Tính ( ) ( )

0

I = f x g x dx

A. I =0 B.

2

2 e

I = − C.

2 e

I = −e − D.

2 e

I = −

Lời giải Chọn B

Từ giả thiết toán ta có ( )

( ) ( )( )

' '

1,

f x f x

x dx dx

f x =    f x = ln ( ) ( )

x C

f x x C f x e +

 = +  = 

( )

Mà ( )

0 C

f = e + =  =C

Khi ( ) x

f x =e ( ) x

g x = x e−

( )

1 1

2

0 0

2

x x x x

I =e x e− dx= xe dx−e dx= −A B Tính

1

0 x A= xe dx Đặt , x

u= x dv=e dx Suy ra: du=2dx, chọn v=ex Áp dụng cơng thức tích phân phần ta được:

1

0

2 x x

A= xe − e dx=

1

2

0

1

2

x x e

B=e dx= e = −

Vậy ( ) ( )

1

0

5

2 e I = f x g x dx= − =A B −

Câu 35. Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a, tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Tính sin góc tạo đường thẳng MD mặt phẳng

(SBC), với M trung điểm BC A. 15

5 B.

15

3 C.

13

3 D.

13 Lời giải

Chọn A

Gọi H trung điểm SBthì AH ⊥SB

Do (SAB) (⊥ ABCD), (SAB) ( ABCD)=AB BC⊥ AB nên BC⊥(SAB) BC⊥ AH ( )

AH SBC

 ⊥ AH=d A SBC( ,( ))

Gọi  góc đường thẳng DM mặt phẳng (SBC) ( )

( , ) ( ,( ))

sin d D SBC d A SBC AH

DM DM DM



 = = =

Ta có

2

3

,

2 2

a a a

AH = DM = a +   =

 

3 15 sin

5 AH DM



Câu 36. Cho hàm số y= f x( ) hàm đa thức có đồ thị hàm y= f( )x hình vẽ

Hỏi hàm số ( ) ( )

2

3 x

y=g x = f −x − +x đồng biến khoảng sau đây? A. (− −; 1) B. ( )0;1 C. (−1;0) D. (1;+ )

Lời giải Chọn B

Ta có g x( )= −f(1−x)−x2+2x= −f(1−x) (− −1 x)2+1

( ) ( ) ( )2 ( ) ( )2

0 1 1 1

g x   −f −x − −x +   f −x  − −x

Đặt t= −1 x, suy ( ) f t  −t

Dựa vào hình vẽ ta thấy ( )

1 1

f t  −      t t x

Vậy hàm số y=g x( ) đồng biến ( )0;1

Câu 37. Cho hình trụ có chiều cao h, hai đáy đường tròn tâm O tâm O có bán kính r (hr) Trên đường trịn tâm O lấy điểm A tùy ý Gọi ( ) mặt phẳng qua tâm O cho cách A khoảng lớn Thiết diện mặt phẳng ( ) cắt hình trụ có diện tích

2

r 

Tính thể tích khối trụ

A. 5r3 B.

3

5 r



C. 4r3 D. 2r3 Lời giải

Vì mặt phẳng ( ) qua tâm O cho cách A khoảng lớn nên AO⊥( )

Mặt phẳng (AOO) cắt hình trụ theo thiết diện hình chữ nhật ABCD với B hình chiếu A lên đường trịn đáy tâm O

Trong đường tròn tâm O kẻ đường kính EF vng góc với BC, gọi I điểm CD cho OI ⊥AO(1) Mặt khác EF⊥BO, EF⊥AB nên EF ⊥AO(2), từ (1) (2) suy

( ) AO⊥ EFI

Xét hai tam giác đồng dạng ABO OCI (g-g), h=AB r=OC mà hr nên I điểm thuộc đoạn CD

Suy mặt phẳng ( ) mặt phẳng (EFI) cắt hình trụ theo thiết diện nửa Elip có diện tích

2

r 

Gọi  góc mp(EFI) mp đáy tâm O, EF⊥(ABCD) nên =IOC Diện tích nửa hình trịn đáy tâm O

2r Theo cơng thức hình chiếu

2r =

r 

.cos

1 2r

 =

2

r 

cosIOC

1

 =

4 cosOAB, (cos 2

AB h

OAB

AO h r

= =

+ )

 2

2 h +r = 5h =h 2r Vậy thể tích khối trụ V =r h2 =2r3 Chọn D

Câu 38. Trong phịng học, có 36 bàn rời đánh số thứ tự từ đến 36, bàn dành cho học sinh Các bàn xếp thành hình vng có kích thước 6 Cô giáo xếp tùy ý 36 học sinh lớp, có hai em tên Hạnh Phúc, vào bàn Tính xác suất để Hạnh Phúc ngồi hai bàn xếp cạnh (theo chiều ngang chiều dọc)

A.

12 B.

2

21 C.

1

21 D.

1 Lời giải

Chọn B

Xếp 36 học sinh tùy ý có 36! cách

Xếp 36 học sinh cho hai bạn Hạnh Phúc ngồi cạnh nhau: r

h A

B F

D

O C

O'

Trường hợp 1: Xếp Hạnh Phúc ngồi cạnh theo hàng ngang

Ta có hàng ngang có 2.5 10= cách xếp Hạnh Phúc ngồi cạnh mà có hàng ngang nên có 60 cách xếp Hạnh Phúc ngồi cạnh theo hàng ngang

Có 34! cách xếp 34 bạn cịn lại

Do trường hợp có 60.34! cách xếp

Trường hợp 2: Xếp Hạnh Phúc ngồi cạnh theo hàng dọC Tương tự trường hợp có 60.34! cách xếp

Vậy có tất 120.34! cách xếp cho Hạnh Phúc ngồi cạnh Xác suất cần tìm 120.34!

36! 21 P= =

Câu 39. Có số nguyên m(0; 2020) để phương trình m+100x=m.ex có hai nghiệm phân biệt?

A. B. 2019 C. 2018 D Vô số

Lời giải Chọn C

Nhận thấy phương trình m+100x=m.ex có nghiệm x=0 với m Khi x0 ta có m+100x=m.ex e 100

x

x m

−

 =

Xét hàm số ( ) e x f x

x

−

= , x0

Ta có ( ) e ( 21) x

x f x

x

− +

 =

Đặt g x( )=ex(x− +1) 1g x( )=xex Ta có g x( )=  =0 x

Bảng biến thiên hàm số y=g x( ):

Từ bảng biến thiên ta suy ( ) e ( 21) x

x f x

x

− +

 =  ,  x Ta có bảng biến thiên hàm số y= f x( )

x – ∞ + ∞

– +

0

+ ∞

x – ∞ + ∞

+ +

0

1 + ∞

Từ bảng biến thiên ta có thấy phương trình m+100x=m.ex có hai nghiệm phân biệt

100

100 m m

 

  

 



0 m 100

  

Do m(0; 2020) m nên có 2018 giá trị nguyên mthỏa mãn đề

Câu 40. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, SA⊥(ABCD) Biết AB=a,

BC = a, SA=a (với a , a0) Gọi M, N trung điểm đoạn thẳng SB, AD Tính khoảng cách hai đường thẳng AM BN theo a

A.

4 a

B.

2 a

C. a D. 21

7 a

Lời giải

Chọn D

Qua A kẻ đường thẳng song song với BN cắt CB E Gọi H trung điểm AB nên //

MH SA

Suy MH⊥(ABCD) MH đường cao khối chóp M ANBE Ta có a MH =

ANBE ANB

S = S 2

2a a

= =

Suy

3

1

3

M ANBE ANBE

a

V = MH S =

Ta lại có AM =a, AE=a 2, CB⊥(SAB)CB⊥SB Suy SBE vuông B ME= BE2+MB2 =a Ta có AE=ME=a  AME cân E

( )2 2

2 4

AME

a a a

S a

 = − =

Vì BN//(AME)d BN( ;(AME)) =d N( ;(AME)) N AME AME V S

=

3

2 M ANBE AME V S

= 21

7 a

=

Vậy ( ; ) 21

7 a d AM BN =

M

H

N A

B

D

C S

Câu 41. Xét hàm số f x( ) liên tục thỏa mãn 2x f x( 2− +2) 2f (1−x)=3x2 Tính giá trị tích phân ( )

16

1

2 d

f x

I x

x

−

=

A. I =5 B.

2

I = C. I =3 D. I =9 Lời giải

Chọn C

+) Xét tích phân: ( ) 16

1

2 d

f x

I x

x

−

=

Đặt d d

2

v x v x

x

= −  =

Đổi cận: Với x=  = −1 v với x=16 =v

Khi đó: ( ) ( ) ( )

2

1

d d

I f v v f x x

− −

=  =

+) Ta có 2x f x( 2− +2) 2f (1−x)=3x2

( ) ( )

2 2

2

1 1

2 x f x dx f x dx 3x dx

− − −

  − +  − = = ( )2

+) Xét tích phân: ( )

2

1

2 x f x dx

−

−



Đặt

2 d d

u=x −  u= x x

Đổi cận: Với x= −  = −1 u với x=  =2 u

Khi đó: ( ) ( ) ( ) ( )

2 2

2

1 1

2 x f x dx f u du f x dx I

− − −

− = = =

  

+) Xét tích phân: ( )

1

1 d

f x x

−

−



Đặt t= −  = −1 x dt dx

Đổi cận: Với x= −  =1 t với x=  = −2 t

Khi đó: ( ) ( ) ( ) ( )

2 2

1 1

1 d d d

f x x f t t f x x I

− − −

− = = =

  

+) Thay ( ) ( )3 , vào ( )2 ta được: I+2.I=  =9 I

Câu 42. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0; 2; 1− − ), B(− −2; 4;3), C(1;3; 1− ) mặt phẳng ( )P :x+ −y 2z− =3 Biết điểm M a b c( ; ; ) ( ) P thỏa mãn T = MA MB+ +2MC đạt giá trị nhỏ Tính S= + +a b c

A. S = −2. B. S=0. C.S =1. D.

2 S = − Lời giải

Gọi I trung điểm AB, J trung điểm IC Từ suy I(− −1; 3;1 ,) (J 0;0;0) Ta có: T = MA MB+ +2MC = 2MI+2MC =4MJ =4MJ

Từ đây, ta thấy T đạt giá trị nhỏ M hình chiếu vng góc J ( )P Gọi  đường thẳng qua J vng góc với ( )P Khi  có phương trình

2

x t

y t

z t

=   =   = − 

Ta

có M giao điểm và ( )P nên tọa độ M nghiệm hệ phương trình

2

1

1 1

; ; 1

2

2 2

1

2 t

x y z

x t x

M S

y t

y

z t

z

 = 

+ − − =

 

 =  =

    −  = + − =

 =   

 

=

 = − 

 

 = − 

Câu 43. Cho hàm số bậc ba y= f x( ) có đồ thị hình Số nghiệm thực phương trình

( ) ( )

2 2

2f x − −1 9f x − +1 10=0

A. B. C. D.

Lời giải Chọn C

Đặt

1,

t=x − t − Ta phương trình sau:

( ) ( )

2f t −9f t +10=0

( ) ( )

2 f t f t

=  

  =



( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

,

2

,

3

2

1

t a t l

t l

t b b

t c c a l

t d d l

t e e b

 =  − 

= − 

 = −   

  =   − 

 = −   − 

 = −    

Suy ra:

2

1

1

x b x b

x e x e



 − = =  +

  

− =  =  +

 

Câu 44. Cho ( )H hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y=x3+2x2 y= +x Thể tích V khối trịn xoay tạo thành quay ( )H quanh trục Ox bao nhiêu?

A. 162

35

V = B. 648

105

V =  C. 442 105

V = D. 776

105 V =  Lời giải

Chọn D

Xét phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị hàm số 2

y=x + x y= +x 2:

3

1

2 2

2 x

x x x x x x x

x

=  

+ = +  + − − =  = −

 = − 

Hình phẳng ( )H giới hạn hai đồ thị hàm số y=x3+2x2 y= +x phần gạch chéo chia thành hai hình ( )H1 ( )H2 (như hình vẽ)

Thể tích V1 khối trịn xoay tạo thành quay ( )H1 quanh trục Ox là:

( ) ( )

1

2

3

1

2 d

V  x x x x

−

−

 

=  + − + 

 



Thể tích V2 khối tròn xoay tạo thành quay ( )H2 quanh trục Ox là:

( ) ( )

1

2

2

2

2 d

V  x x x x

−

 

=  + − + 

 



Thể tích V khối trịn xoay tạo thành quay ( )H quanh trục Ox là:

( ) ( ) ( ) ( )

1

2 2

3

1

2

2 d 2 d

V V V  x x x x  x x x x

−

− −

   

= + =  + − +  +  + − + 

   

 

( ) ( )

1

6

2

4 4 d 4 4 d

x x x x x x x x x x x x

− 

− −

=  + + − − − −  + + − − −

1

7

2

2

2 4

2 4

7

x x x x x x x x

x x x x

 

−

− −

   

=  + + − − −  −  + + − − − 

   

72 152 496 72 776

35 105 105 35 105



   

=  − − − − =

    (đvtt)

( ) ( ) ( )

1 1

m− x+ m+ x x + =x + có nghiệm?

A. 2020 B.2019 C. 2021 D.1

Lời giải Chọn B

Ta có: (m−1) (x+ m+2) x x( 2+ =1) x2+1.( )1 Điều kiện : x0 ( 1) ( 2)

1

x x

m m

x x

 − + + − =

+ +

Đặt 2 x t

x

=

+ Với x0suy

2 0;

2 t  

 

Khi phương trình trở thành ( ) ( )

1

m− t + m+ t− = m t( 2+ = − +t) t2 2t ( )2 Phương trình ( )1 có nghiệm x0;+ ) Phương trình ( )2 có nghiệm 0;

2 t  

 

* Trường hợp : t=0 không nghiệm phương trình ( )2 * Trường hợp : 0;

2 t 

  ta có ( )2

2

2

t t

m

t t

− +  =

+

Xét hàm số ( )

2

t t

f t

t t

− + =

+

2 0;

2

 

 



 

Ta có ( )

( )

2 2 3t 2t f t

t t

− −  =

+

( ) f t =

( )

2 2

2

1 0;

2

3

0

1

0;

3

t t t

t t

t

  

= 

  

− −   

 =  

 

+  = − 

 

  



Bảng biến thiên hàm số f t( )trên 0; 2

 

 



 

Suy phương trình ( )2 có nghiệm có nghiệm 0;

t  m −

 

Mặt khác m nguyên m −( 2020; 2020)

Do m1; 2;3; ; 2018; 2019 Vậy có 2019 giá trị cần tìm x

Câu 46. Cho f x( ) hàm đa thức, đạo hàm y= f ( )x có đồ thị hình vẽ

Hàm số y= f x( )+ −x f ( )0 có điểm cực trị?

A. B. C. D.

Lời giải Chọn B

Xét hàm sốg x( )= f x( )+ −x f(0) có g x( )= f ( )x +1 Dựa vào đồ thị hàm sốy= f ( )x có:

( )

g x =  f ( )x = −1

0 x x x

=  

 =

 = 

Bảng biến thiên

Mặt khác từ đồ thị ta có

( ) ( )

1

0

( 1− − f x dx)  (f x +1)dx f(0) f(2) 2+  f(2) 2+ − f(0)0

 

Lại có g( )0 = 0 g( )1 0, g( )2 = f ( )2 + −2 f(0)0do g( )2 g(0) Suy hàm số y= f x( )+ −x f ( )0 có điểm cực trị

Câu 47. Cho hai vị trí A B, cách 615m, nằm phía bờ sơng hình vẽ Khoảng cách từ A từ B đến bờ sông 118m 487m Một người từ A đến bờ sông để lấy nước mang B Đoạn đường ngắn mà người là:

x – ∞ + ∞

g'(x) – 0 – 0 + 0 –

g(x) + ∞

– ∞

O

1

−

1

y

A. 569,5m B. 671, 4m C. 779,8m D. 741, 2m Lời giải

Chọn C

Giả sử người từA đến M để lấy nước từM vềB Ta cóBD=369,EF=492.Ta đặtEM =x,khi ta được:

( )2

2 2

492 , 118 , 492 487

MF = −x AM = x + BM = −x +

Như ta có hàm số f x( )được xác định tổng quãng đường AM MB:

( ) 2 ( )2

118 492 487

f x = x + + −x + vớix0; 492

Ta cần tìm giá trị nhỏ f x( )để có quãng đường ngắn từ xác định vị trí điểm M

( )

( )

2 2 2

492

'

118 492 487

x x

f x

x x

−

= −

+ − +

( )

( ) ( )

2 2 2 2 2

492 492

0

118 492 487 118 492 487

x x x x

f x

x x x x

− −

 =  − =  =

+ − + + − +

( )2 ( ) 2

492 487 492 118

x x x x

 − + = − +

( )2 ( )2( )

2 2

492 487 492 118

0 492

x x x x

x

  − + = − +

  

     

( ) (2 )2

487 58056 118

0 492

x x

x

 = −

  

58056 605

58056 58056

605 369

0 492

x

x x

x

 =  

 = −  =

 

  

Hàm số f x( )liên tục đoạn0; 492 So sánh giá trị f(0), 58056 605 f  

 , f (492)ta có

giá trị nhỏ 58056 779,8 605

f    m

 

Khi quãng đường ngắn xấp xỉ 779,8m Vậy đáp án làC

Câu 48. Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh Biết khoảng cách từ A đến

mặt phẳng (SBC)

4 , từ B đến mặt phẳng (SAC) 15

10 , từ C đến mặt phẳng (SAB) 30

20 hình chiếu vng góc S xuống đáy nằm tam giác ABC Thể tích khối chóp

S ABC A.

36 B.

1

48 C

1

12 D

1 24 Lời giải

Chọn B

Gọi O chân đường cao hạ từ S xuống mặt phẳng (ABC) Đặt d O BC( , )=a, d O AC( , )=b, d O AB( , )=c, SO=h

Ta có 3( )1

2

ABC OBC OAC OAB

S =S +S +S  + + =a b c Mặt khác ( ( ))

( )

( , ) ( ,( ))

4

, 3

d O SBC OM OI a a a

d O SBC

AM AK

d A SBC = = =  = =

Suy 22 12 12 a h

a =h +a  =

Tương tự ( ( )) ( )

( ) (( )) ( ( ))

, , 2 15

,

10

, 3

d O SAC d O AC b b b

d O SAC d B, AC

d B SAC = =  = =

A

B

C S

O M

N

Suy 52 12 12 b 2h

b =h +b  =

Tương tự ( ( )) ( )

( ) (( )) ( ( ))

, , 2 30

,

20

C, 3 10

d O SAB d O AB c c c

d O SAC d C, AB

d SAB = =  = =

Suy 102 12 12 c 3h

c =h +c  =

( ) 3 1

1

2 12 ABC 48

h h h h V SO S

 + + =  =  = =

Câu 49. Có số thực m để tồn cặp số thực (x y; ) thỏa mãn đồng thời

( )

2

2

logx+ +y 4x+4y m+ − − m x2+y2+2x−4y+ =1

A 2 B 6 C 4 D 0

Lời giải Chọn A

Từ yêu cầu đề, để tìm mthỏa mãn hai điều kiện đề cho, ta lập hệ phương trình:

( )

2

2 2 2

2 2

2

2 2 4 1 0

logx y 4 4

x y x y x y x y

x y m m x y m m x y

+ +

 + + − + =  + + − + =

 

 + + − −  

+ + − −  + +

 

( ) ( )

( ) ( )

2

2 2

1 (1)

2 (2)

x y

x y m m

 + + − =

  

− + −  − +



Ta có ( )1 phương trình đường trịn ( )C1 tâm I1(−1; ,) R1 =2; ( )2 phương trình hình trịn ( )C2 tâm ( )

2

2 2; ;

I R = m − +m

Để tồn cặp số thực (x y; ) hệ có nghiệm tương đương với ( )C1 ( )C2 tiếp xúc ngoài, nghĩa

( ) (2 )2

1 2 2 2

I I =R +R  + + − = m − + +m

2

1 0;

m m m m m m

 − + =  − =  = =

Câu 50. Cho hàm số y= f x( ) có đồ thị hình vẽ Gọi S tập hợp giá trị tham số m để bất phương trình ( (sin )) (sin ) ( ( ) )

2f x 2.2f x 2f x

x m m

 − + + −  − 

  nghiệm với x Số

tập tập hợp S

A.4 B.1 C.2 D.3

Lời giải

O x

y

2

− −1

3

−

1

1

−

2

−

3

Chọn C

Nhận xét phương trình 2f x( )− =1 có nghiệm đơn x=2 nên biểu thức đổi dấu qua điểm x=2 Do để bất phương trình nghiệm với x phương trình

( )

( sin ) (sin )

2f x 2.2f x

x m− + +m − = phải có nghiệm x=2 2 3 m

m m

m

= 

 + − =  

= −



Thử lại với m=1 ta có:

( )

( sin ) (sin ) ( ( ) )

1 2f x 2.2f x 2f x x

 − + −  − 

  (x−2 2)( − f(sinx))(2f x( )− 1)

(sin ) ( )

2f x f sinx

    sinx2 với x  =m thỏa mãn ycbt Thử lại với m= −3 ta có:

( )

( sin ) (sin ) ( ( ) )

3 2f x 2.2f x 2f x x

 − − + +  − 

   − −(x 2)( + f(sinx))(2f x( )− 1)

(sin )

3 2f x