Đề thi thử THPT quốc gia

Áp dụng bổ đề suy ra điều cần chứng minh.. Chứng minh rằng:.. Điều này luôn đúng.. Bất đẳng thức được chứng minh.. Suy ra điều phải chứng minh. Vậy A không phải là số nguyên dương.. b) [r]

DAYHOCTOAN.VN

1 DAYHOCTOAN.VN Bài 102. Cho , ,a b c số thực dương Chứng minh bất đẳng thức:

   

2 2

10

2

a b c abc

b c a c a b a b b c c a

       

           

     

Lời giải

Biến đổi bất đẳng thức sau:

    

2

10

a a b a c

abc a b

b c

 

  



 

     

2

3

2 10

a a bc

a a abc a b

b c

  

 

     



 

 

  

     

2

3

2

a a b a c

a abc a b

b c

 

     



  

     

2

3

2

a a b a c

a abc a b c b c

 

     



 

     

2

2

a a b a c

a a b a c b c

 

    



 

 2    

0

a b c

a a b a c b c

 

   





Theo bất đẳng thức Schur bất đẳng thức cuối nên bất đẳng thức ban đầu chứng minh

Bài 103. Cho , ,x y z 0 x  y z Chứng minh rằng: 2

2

xy z x  y   xy

Lời giải

Cần chứng minh:  

2

2

1

xy z x y z x y

x y z xy

    

   

   2

2

x z y z x y x y z xy

        

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

2x22y2 2xy24xy2xy 2 x y 2  xy2 2x22y2  x y Cần chứng minh: zxzy z xy

   

2

2

z xy z x y z xy z xy z x y

          (Đúng)

Đẳng thức xảy

1 x y z    

    

Bài 104. Cho số thực không âm , , zx y thỏa mãn 2 2

x y z  Chứng minh rằng: (xy y)( z z)(  x) 4xyz xy( yzzx 2) 4xyz x( 2y2z2)

Lời giải

DAYHOCTOAN.VN

2 DAYHOCTOAN.VN

Bổ đề: Xét biểu thức S (x y S)2 z (y z S)2 x (x z S)2 y Nếu x y z S Sy; yS Sz; ySx 0 S0

Chứng minh

2 2

( ) z ( ) x ( ) y S  x y S  y z S  x z S

2

(Sz Sy)(x y) (Sy Sx)(y z) 2(x y)(y z)Sy

         

Chứng minh

Nếu x y z0 Bất đẳng thức Nếu x y z0 Ta có

2 2

(xy y)( z z)(  x) 4xyz xy( yzzx 2) 4xyz x( y z )

( )( )( )

2

4

x y y z z x

xy yz zx xyz

  

     

( )( )( )

2

4

x y y z z x

xy yz zx xyz

  

       (1)

Ta có

2 2

( )(y )( ) ( ) ( ) ( )

2

4

x y z z x x y z y z x z x y

xyz xyz

         

2 2

2 2

1

2(1 ) ( ) ( ) ( )

2

xy yz zx

x y y z z x

x y z

   

        

 

Do (1) 1 1 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

4 4

x y y z z x

xy yz zx

         

Đặt ( 1); ( 1); ( 1)

4 4

z x y

S S S

xy yz xz

     

Giả sử ( 1)

4

y x y z S

xz

     

Mà + 1 1 =

4 4

y x

y z xyz

S S

xz yz xyz

 

   

2

2 2

2 (x )

(y )( )

=

4

yz yz xyz

z x y z xyz

xyz xyz

 

     

Tương tự SySz 0

Áp dụng bổ đề suy điều cần chứng minh Đẳng thức xảy

3

x  y z

Bài 105. Cho , ,a b c số thực dương Chứng minh rằng:

3(a2ab b 2)(b2bc c 2)(c2caa2)abc a( 3 b3 c3)

Lời giải

Nhận xét:

4

2 2 4 4 2

2(a ) ( )

2 a b

ab b a b a b a b a ab b 

           

Ta chứng minh bất đẳng thức:

4 4 4

3 3

3 ( )( )( ) ( )

2 2

a b b c c a

abc a b c

  

DAYHOCTOAN.VN

3 DAYHOCTOAN.VN

 4 4 4 2 3

9 a b (b c )(c a ) 8a b c a( b c )

      

Trước tiên ta chứng minh

Bổ đề 1: Cho , ,x y z số thực dương ta có: 9(xy)(yz)(zx)8(x y z xy)( yzzx) Chứng minh:

9(xy)(yz)(zx)8(x y z xy)( yzzx)

2 2 2

6

x y y z z x xy yz zx xyz

       ( theo AM- GM) Bổ đề 2: : Cho , ,x y z số thực ta có:

2 2 2 2

( )

x y y z z x x y xyz x y z Chứng minh:

2 2 2 2

( )

x y y z z x x y xyz x y z

2 2

(xy yz) (yz zx) (zx xy)

       ( ) Áp dụng vào tốn

Ta có:

 4 4 4 4 4 4 4

2 2 4 2

9 ( )( ) 8( )( )

( )( )

a b b c c a a b c a b b c c a

a b c a b c a b c

       

    

Mà (a4b4c4)(a2b2c2)(a3 b3 c3 2) ( bất đẳng thức C-S) Suy 9a4b4(b4c4)(c4a4)8a2b c a2 2( 3 b3 c3 2)

Vậy 2 2 2 3

3(a ab b )(b bc c )(c caa )abc a(  b c ) Đẳng thức xảy a b c

Bài 106. Cho a, b, c số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

3 3

a b c

P

b c c a a b

     

     

  

     

Lời giải

Ta có:

3

3

2

a b a b 

    

3 3

3

4

c c

a b a b

 

  

 

 

Do

 

3 3

3

4

c c

a b a b

  

   

  (1) Đẳng thức xảy  a b Tương tự ta có:

 

3 3

3

4

a a

b c b c

  

   

  (2),  

3 3

3

4

b b

c a c a

  

   

  (3)

Từ (1), (2), (3) ta có

3 3

3 3 3

4P a b c

b c c a a b

  

  

     

 3 3 3 

3 3 3

1 1

3

2 a b b c c a b c c a a b

 

         

  

 

9

3

2

  

DAYHOCTOAN.VN

4 DAYHOCTOAN.VN

Vậy

8 MinP

Bài 107. Cho số dương , ,a b c thỏa mãn a b c   2 abc Tìm giá trị nhỏ S 1 a b c   

Lời giải

Chú ý a b c   2 abcnên suy ra:

(a1)(b1)(c 1) (a1)(b  1) (b 1)(c  1) (c 1)(a1) Do ta thu 1 1 1

1 1

1 1 1 1 1

a b c

a b c

      

     

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta

1 1 1

1 1

1 1 2

1 1

a b c

a b c

 

 

         

 

 

     

 

Từ hai điều ta suy 1 a  b c Vậy S nhỏ

2 , dấu xảy a b c nghiệm của:

3 2

a  a     a b c

Bài 108. Cho , ,x y z số thực dương thỏa mãn xyyzzx3xyz Chứng minh :

2 2

2 2

3

( 1) ( 1) ( 1)

y z x

x y   y z  z x   (1)

Lời giải

Ta viết lại giả thiết xyyzzx3xyz thành 1

x  y z

Đặt a x

 ; b y

 ; c z

 Ta có a b c  3

Thay vào (1), ta cần chứng minh: 2 2 2

1 1

a b c

b  c  a 

  

Thật 2 22

1 2

a ab ab ab

a a a

b   b   b  

 

Làm tương tự cộng lại ta có: 2 2 2 ( ) 1( )

1 1

a b c

a b c ab bc ca

b  c  a      

  

Ta có bất đẳng thức quen thuộc:

(a b c  ) 3(ab bc ca  )

Do đó:

2 2

1

( ) ( )

1 1

a b c

a b c a b c

b  c  a       

   (vì a b c  3)

Dấu xảy a  b c hay x  y z

DAYHOCTOAN.VN

5 DAYHOCTOAN.VN

2 2

2 2 2 8( )

ab bc ca

a b c

a b b c c a

    

 

Lời giải

Đặt tab bc ca  , suy

3

( )

0

3

a b c

t  

  

Áp dụng điều kiện: a b c  1, bất đẳng thức cần chứng minh trở thành

2 8[( ) 2( )]

2 ( )

t

a b c ab bc ca

t  abc a b c      

2 8(1 )

2 t

t t abc

  



Do abc0 nên ta có đánh giá: 2 2

t t

t  abc t t Để kết thúc toán ta chứng minh 8(1 )t

t   (*)

Thật (*) 16t2   8t (4t1)20.Điều

Dấu xảy khi:

1

1

a b c abc

t ab bc ca



    

  

    



Khi , ,a b c nghiệm phương trình

x x  x Do  ; ;  1; ;0

2 a b c   

  hoán vị Bài 110. Cho , ,a b c số thực dương Chứng minh rằng:

2 2

3

a b c

ab b bc c ca a

  

  

Lời giải

Ta có

2 2

1 1

a b c

a b c b c a

a b c

ab b bc c ca a

b c a

    

     

2

1 1

a b c

b c a

a b c

b c a

 

 

 

 



    

Đặt x a,y b,z c xyz

b c a

    

Ta có  

2

2

1 1

1 1

a b c

x y z

b c a

a b c x y z

b c a

 

 

   

  

    

DAYHOCTOAN.VN

6 DAYHOCTOAN.VN

   

   

2 6

3 3

x y z xy yz zx x y z

x y z x y z

       

 

     

Suy  

2 2

3

3

a b c S

S x y z S

ab b bc c ca a



       

  

Ta có 3 3

2 2 2

S S

S

S S

 

      

  Suy

3

3

S S

 

Bất đẳng thức chứng minh

Dấu xảy a b c

Bài 111. Cho số thực a, b, c, d thỏa mãn : 2 2

a b c d  Tìm giá trị lớn nhỏ

biểu thức: 2

( )( )

2

Ea c  ac bd

Bài giải:

 2 1   2  2 2

2

Ea c  ac bd a c  a c b d

a2 c2  1 a2c2   1 b2d2

     

2 2

2 2

2

a c b d

a c     

  

 2 2

2

2 a c b d

 

    

Dấu “=” xảy khi:  

2 2

2

8

2

8

2

8

2

8

a

a c

b

b d

a b

c

a b c d

d

 

     

 



   



 

   

  

 

     

 

 

   

2

8

2

8

2

8

2

8

a

b

c

d

 

    

     

 

  

 

  

 2 1   2  2 2

2

Ea c  ac bd a c  a c b d

     

2 2 2

2

a c  a c   b d 

          

  2   2

2 2

2

a c b d

a c     

  

 2 2

1 2

2 a c b d

 

DAYHOCTOAN.VN

7 DAYHOCTOAN.VN Dấu “=” xảy khi:  

2 2

2

8

2

8

2

8

2

8

a

a c

b

b d

a b

c

a b c d

d

 

      

 



   



 

    

   

     

 

 

   

hoặc

2

8

2

8

2

8

2

8

a

b

c

d

 

    

    

  

 

 

    Bài 112. Cho số thực không âm a b c, , thoả mãn 2

2

a b c  Chứng minh bất đẳng thức

 

 

2 2 2

3 3

2

8 ; ;

3 max a b b c c a

a b c abc

a b c

   

 

Bài giải:

Do tính đối xứng bất đẳng thức nên khơng tổng quát, giả sử a b c  0 Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có 3 3  

3

a b  c abca b  ab ab

Và  2 2  

2 2 2

a b c a b c  ab bc ca  ab ab

Từ  1  2 suy  3  2 2  2 2 2

3 8 ; ;

a   b c abc a b c   a b  max a b b c c a

Hay  

 

2 2 2

3 3

2

8 ; ;

3 max a b b c c a

a b c abc

a b c

   

  Dấu “=” xảy a   b c

Tóm lại:  

 

2 2 2

3 3

2

8 ; ;

3 max a b b c c a

a b c abc

a b c

   

  Dấu “=” a   b c hoán vị

Bài 113. Cho số thực dương a b c, , thỏa mãn 2  2

a b c  a b c  Chứng minh bất đẳng thức

  2  2 2

1 1

3

ab bc ca

a b b c c a

     

  

Bài giải:

Ta có: 2  2 2

4

a b c  a b c  a b c ab bc ca Ta chứng minh:

  2  2 2

2 2 2

6

ab bc ca

a b b c c a

     

  

Thật vậy, 2

2a b c abbcca nên ta có:

              

2

2 2

2 2

2 2

1

a b c a c b c a c b

ab ab a b c ab bc ca

a b a b a b a b

     

          

   

Suy

 2    2 

2

1 c a c b (1) ab

a b a b

 

  

 

Tương tự ta có

 2    2   2    2 

2 2

1 a b c a (2), a b b c (3)

bc ca

b c b c c a c a

   

     

DAYHOCTOAN.VN

8 DAYHOCTOAN.VN Cộng BĐT (1), (2) (3) theo vế với vế ta có:

  2  2 2    2     2     2 

2 2 2

3 c a b c a b c a b c a b

ab bc ca

a b b c c a a b b c c a

     

        

     

Áp dụng BĐT Cauchy cho số dương ta có:   

 2    2     2  c a b c a b c a b c a b

a b b c c a

     

  

  

Suy điều phải chứng minh

Dấu “=” xảy 3 a  b c

Bài 114. Chứng tỏ tổng 20142 20142 20142 20142

2013 2013 2013 2013 2013

A

n

     

    (2013 số hạng)

không phải số nguyên dương

Bài giải:

Trước hết ta giải toán tổng quát:

“Chứng minh tổng 2 2 2

1

n n n

A

n n n n

  

   

   (n số hạng, n1) số nguyên dương”

Ta có A n 21 n 21 n 21

n n n

  

    (n số hạng) n 21.n 1

n n



   

Mặt khác A n2 n2 n2

n n n n n n

  

   

   (n số hạng)

1

n n

n n



 



Do 1 A

Vậy A số ngun dương Với n2013 ta có toán cho

Bài 115. Cho a b c, , số thực dương thỏa mãn: a b c  1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: (ab 1)(bc 1)(ca 1)

P

abc

  



Bài giải:

Ta có: P a b c abc 1 1

b c a abc a b c

   

           

   

Vì a b c  1 nên từ BĐT Cauchy cho số dương ta có:

3 27

a b c

abc abc

 

   

Do đó: 27 (27 )(1 27 )

27 27

abc abc

abc

abc abc

 

    

Suy ra: 27 730

27 27

abc abc

   

Mặt khác ta lại có: a b c 1 1

a b c a b c

 

         

 

Từ suy ra:

2

730 10

9

27

P      

DAYHOCTOAN.VN

9 DAYHOCTOAN.VN Vậy

2 10

3

P   

 

Dấu “=” xảy

x  y z

Bài 116. Tìm giá trị lớn số thực k cho bất đẳng thức sau:2 1a21b21c2

 2 2 2  2 2 2

2 1b 1c 1d 2 1c 1d 1a 2 1d21a21b2

 2

k ab bc cd ac bd da

       với số thực a b c d, , , thay đổi tùy ý

Bài giải:

Điều kiện cần: Bất đẳng thức với a   b c d thay vào BĐT ta 4.2.8k6.3 2   k

Điều kiện đủ: Ta chứng minh BĐT với k4  2 2 2

2 1a 1b 1c 2 1b21c21d22 1c21d21a2  2 2 2

2 d a b

   

 2 2 2  

, , ,

2 1

a b c d

a b c ab ac ad bc bd cd

           

 2 2 2  

, , ,

1 1 2

a b c d

a b c ab ac ad bc bd cd

           

Ta có: 1a21b21c2  1a2bc1 2 b c2 bc 1 a b c  ab bc ca     Tương tự ta được:

 2 2 2

2 1a 1b 1c 2 1b21c21d22 1c21d21a2  2 2 2

2 d a b

   

 2 2 2  

, , ,

1 1 2

a b c d

a b c ab ac ad bc bd cd

           

Dấu “=” xảy a    b c d

Vậy giá trị lớn k Khi BĐT ln với số thực a b c d, , , thay đổi tùy ý Bài 117. Giải bất phương trình: 2x

2x

x

x

     1

Bài giải:

ĐK: x0

 1 5

4x

x x

x

     

 

   

 

Đặt ,

2

t x t

x

  

1

x t

x

   

 1 thành

5

t   t 2  1 

2

nhận loại

t t

   

   2 3 3

1 2

2

x x x x

DAYHOCTOAN.VN

10 DAYHOCTOAN.VN Bài 118. Giải bất phương trình: x1x2x4x 8 4x2 1

Bài giải:

    

1  x 6x8 x 9x8 4x

 x0:  1 8.80 (Sai)

 x0:  1 x x

x x

  

      

  

Đặt x t x

  , t 4 *   1 thành

15 50 10

t  t    t

So với điều kiện  * , ta được: t 10 x 10 17 x 17

x

          

Vậy  1   x 5 17;5 17

Bài 119. Giải phương trình: x x2 1 x x2 1 1 

Bài giải:

ĐK: x1

Nhận xét: 2

1 1

x x  x x  

Đặt

1

t  x x  , t0  1 thành t t

t

   

 

1  x x    1 x

Bài 1. Giải bất phương trình: 2 3x 2 x 2 34 3x2x2 1  

Bài giải:

TXĐ: [ ;2 )

D 

Trên D: x 2 0, ta chia vế cho x 2  1 2 1 34

2

x x

x x

 

  

 

Đặt 2; 0 x

t t

x 

 



 1 thành

2 0

2

t      t t t1

 Với 0 2 34

2 2 47

x

t x

x 

      



 Với 1 1 2

2 x

t x

x 

    



Vậy tập nghiệm  1 34; 2;  47

T   

DAYHOCTOAN.VN

11 DAYHOCTOAN.VN Bài 120. Giải bất phương trình:  

2

1

0

4 x

x x

 



  

Bài giải:

ĐK:

4

1 2;

2

x x

x x

x

   

    

  

  2 1

1

2

4 x

x x

 



  

Nếu 1 x  x2 4x  3 2x4, bất phương trình nghiệm với : 1x  x Nếu 2 x

2

2

4

x

x x

  



   



 

1 2x   4 x 4x3 2

4x 16x 16 x 4x

      

5x 20x 19

   

5

2

5

x x

     

Kết hợp nghiệm, trường hợp ta có: 5 x

  

Vậy tập nghiệm  1 cho:  1; 2 5;3

 

  

 

Bài 121. Giải bất phương trình:   2x 6x   1 x

Bài giải:

  2  2

2

3

2

1 3 7

2

2

2

x

x

x x x

x x x

x x

x x

  

      

 

       

   



 



   



Vậy tập nghiệm  1 là: ;3 3; 

  

   

 



 

Bài 122. Giải bất phương trình:   2

3 (1)

x x  x  Lời giải

Ta có:    

(1) x3 x   4 x 0 (2) TH1: x   3 x

2 2

(2) 4 ( 3)

6

x x x x x

           

Kết hợp với x3 ta x3 (*)

TH2: x   3 x 3(2) x2  4 x (3)

+) Nếu x    3 x (3) thỏa mãn với   x (4)

+) Nếu 2

3 (3) ( 3)

DAYHOCTOAN.VN

12 DAYHOCTOAN.VN

3 (5)

6 x     

Từ (4) (5) ta có (**)

x  Từ (*) (**) ta có nghiệm bất phương trình là:

6

x  x3

Bài 123. Giải bất phương trình:

6(x 3x 1) x x  1 (xR) Lời giải

Ta có : 4 2

1 0, ( 1) ( 1)

x x    x x x   x  x   x  x

BPT 2 2

6 2( x x 1) (x x 1) 6(x x 1)(x x 1)

            

2

2

1 6( 1)

12

1

x x x x

x x x x

     

    

   

 

Đặt 6(22 1) ( 0)

x x

t t

x x  

 

 

BPT trở thành:

2 0

2 t      t t

2

6( 1) 11 21 11 21

5 11 ;

1 10 10

x x

x x x

x x

 

   

          

 

Bài 124. Giải bất phương trình:

6 2(2 )

x  x  x x

Lời giải Điều kiện:

2

x Đặt t 2x1 (t0) 2x t2

Khi ta có: 2

6 2(2 ) 3( 1)

x  x  x t x  tx t t   

2

(x t) (2t 1) (x 3t 1)(x t 1)

          

1

x t

   (do 0; 1;

2

x    t x  t )

Với x 1 t, ta có: 2 2

2 x

x x x

x x x

 

      

   



Đối chiếu điều kiện ta có tập nghiệm bất phương trình S  [2 2;)

Bài 125. Cho ̣ bát phương trình: 2

1 2( 1)

x

x m x m

  

 

    

a) Giải ̣ với m =

b) Xác định m để hệ bất phương trình có nghiệm Lời giải a) Khi m0 ̣ trở thành

2

1

x

x x

  

    

 

2

1;1

1

( 1) x R

x x

x

  

 

 

  

 



  

DAYHOCTOAN.VN

13 DAYHOCTOAN.VN b)

2

1 (1) 2( 1) (2)

x

x m x m

  

 

    

Giải (1) ta x[-1;1] Xét (2):  ' m22m TH 1:  ' m[0;2]

Khi bất phương trình (2) có tập nghiệm  hệ bất phương trình có nghiệm TH 2:  ' m ( ; 0)(2;) (*)

Ta có 2

1 , 2

x   m m  m x   m m  m

Hệ bất phương trình có nghiệm

1 (3) (4) x

x     

 +) Giải (3) ta

3

m  Kết hợp (*) [ 2; 0) (2; )

m

    

+) Giải (4) ta m = (loại) KL: Vậy hệ bất phương trình có nghiệm m 

Bài 126. Giải bát phương trình:  

2x 5x7 x 2  1 Lời giải

TH 1: Với x2 đó  1 luo n đúng, va ̣y x2 là nghiê ̣m TH 2: Với x2 đó  

1

1 7

2 x

x x

x    

    

  

Do x > nên x Vậy tập nghiệm:  2 7;

2 S   



Bài 127. Giải bất phương trình  

3  x x2 x

Lời giải

Đkxđ: x2 Đặt t x2,t0 suy x t2 2, thay vào bất phương trình ta được:  3

3 2

1      t t t t 2  3 t t t t

       

  

3

4 3

t t t t t t

        3 11

0 0 2 1

t x x

t x x



   

 

  

      

  

Kết hợp với Đkxđ ta tập nghiệm S   2;3 11;

Bài 128. Tìm m để hệ sau có nghiệm :

4

2

4 10

x x m

x x x m

   

 

    



Lời giải Hệ cho viết thành dạng :  

   2

2 2

2

4 10 10

x x m x x m

x x x m x x m

  

    

 

 

        

 

DAYHOCTOAN.VN

14 DAYHOCTOAN.VN

Ta có hệ có nghiệm x0 có nghiệm 2x0 hệ có nghiệm

0 0

2x x x 1 Khi x0 1, ta có 1

m

m m

   

    

 Với m1 hệ cho trở thành :

4

2

4

x x

x x x

   

 

   

      

2

2

2

1 ( 1)

1

2 3

2 x x

x

x x x x

x x



   

   

      

   

 



Bài 129. Giải bất phương trình: 4 12

x

x x

  



Lời giải

TH 1: x 1 Bất phương trình trở thành: 4 2

2

4

x x

x

x x

 

    

 

Đối chiếu điều kiện, suy     1 x x

TH 2: x 1 Bất phương trình trở thành 4 22  ; \  2; 0

x

x

x x

      



Đối chiếu với điều kiện, suy x   ; \  2

Vậy nghiệm bất phương trình là: S  ;0  2;   \ 2

Bài 130. Tìm m để bất phương trình sau vơ nghiệm: (m24m5)x22(m1)x 2 Lời giải

TH1:

0 5

a m  m      m m

Với m1, bpt trở thành: 2 0 vô nghiệm Do đó: m1 (nhận) Với m 5, bpt trở thành: 12

6

x    x , bpt có nghiệm  m (loại)

TH2:

5 m a

m       



YCBT    

2

2

2

0

4 2 0,

0 10 11

a m m

m m x m x x

m m



   

 

          



     

 

11

m m

     Vậy giá trị m cần tìm là: m   ; 11   1; 

Bài 131. Tìm tất giá trị m cho bất phương trình m1x22m2x2m 2 vô nghiệm (x ẩn, m tham số)

Lời giải

Bất phương trình cho vô nghiệm    

1 2 2

m x  m x m   x

TH1: Nếu m1 0, 2,

3

x      x x  x vơ lí TH2: Nếu m1 m1x22m2x2m   2 x

  2  

1 1

4

' 2

m m

m m

m m m

 

  

 

 

   

      

 



1

2 10 10

2 10 m

m m

m   

     



   



DAYHOCTOAN.VN

15 DAYHOCTOAN.VN

Bài 132. Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm:

   

10

3

8

2

x

x

x x

m x m x

  

   



    



Lời giải

Ta có: 10

8

x

x

x  x    1 Điều kiện:

1 x  Ta thấy x0 nghiệm bpt  1

 

 

8 10 10

3

8

8

x x x

x

x x

x x

x x

  

     

  

  

 

2

2 3 19

313 274 39

x

x x x x

x x

  

        

   



Kết hợp với điều kiện:  x

Ta có:    

2

m  xm  x    

3 2

m  m x m  2 +) m1, bpt  2 vô nghiệm  Hệ bpt vô nghiệm

+) m2, bpt  2 nghiệm với x Hệ bpt có nghiệm +) m 1; , ta có:  2

1 x

m

  

 Hệ bpt có nghiệm +) m   ;1 2; , ta có:  2

1 x

m  

 Hệ bpt có nghiệm  1;3

1 m

m    Kết luận: m 1;3

Bài 133. Tìm tất giá trị tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm thực:

 

2

2

4 2

4

5

8 16 16 32 16

x x

x

x x mx m m



 

 



      



Lời giải Giải BPT :

   

2

2

5

x x

x

 



  2

2,

2

x x

x x

x x

 

       

 

 

2

2

2

4

2

5

x

x x x

x x x

x



 

   

     

  

   

   Từ ta tìm : x2    2 x

Giả sử x0là nghiệm PT : x48x216mx16m232m160 (2)

Khi PT : 2

0 16 16 32 16

x  x  mx  m  m  phải có nghiệm m

Suy PT :  

0 0

DAYHOCTOAN.VN

16 DAYHOCTOAN.VN

 2     

' 2

0 0 0 0

64 x 16 x 8x 16 16x x x 2x 0 x

               

Như (2) có nghiệm nghiệm lớn nghiệm nhỏ Do hệ (1) ,(2) có nghiệm PT (2) có nghiệm x2

Thay x2vào (2) ta : m24m    4 m Vậy m 2thì hệ PT cho có nghiệm

Bài 134. Giải bất phương trình: 2

3 x

x x

 



Lời giải Điều kiện:

4

x    x  (*) Ta có:

2

3 x

x x

 

 

2

3 x x

x

 

 (1)

TH1: Với x 2 Bất phương trình vơ nghiệm (Do vế trái âm) TH 2: Với x2 Bình phương hai vế bpt  1 , ta được:

 

2

2

2 2 2

4

45 45

4 4 4

x x x x

x

x x x x

     

   

Đặt:

2 ,

4 x

t t

x

 

 Khi bpt  2 có dạng:

2

4

2

4 45 ( 0)

2 20

5 25 100

5

4

t t t t

x x

x

x x

x

x x

     

   



       

 

   

Vậy nghiệm bất phương trình là: S   2;  5;

Bài 135. Giải bất phương trình: x 3 2x  4 x

Nếu: x 3    x 2x        4 x 4x x Kết hợp đk   x

Nếu:   3 x bpt trở thành: x 3 2x        4 x 2x x Kết hợp với đk    3 x

Nếu x2 bpt trở thành: x 3 2x   4 x 2x  6 x Kết hợp với đk  x

Vậy tập nghiệm bất phương trình là: T     ;1 3; 

Bài 136. Giải bất phương trình: x x

x

x

5 2

2 

  



Lời giải

Điều kiện: 1 x

Theo BĐT Cauchy ta có :   

2 5

1

6

2          

x x x x x x

Nên: 0 x26x52 Suy ra:

2   

x x

Vậy (1) (2)

5

2

x x

x

x  

    

DAYHOCTOAN.VN

17 DAYHOCTOAN.VN Mặt khác : x2 12x

với x1

6

2    

x x

Do (2) ln nghiệm

Vậy (1) nghiệm với 1 x

Bài 137. Giải bất phương trình: x23x 2 x24x 3 2 x25x4

Lời giải

* Điều kiện: 2

3

x x

x x

x x

    

   

    



4 x x

    

* Bất phương trình tương đương (x1)(x 2) (x1)(x 3) (x1)(x4) (1) TH1: Nếu x1 Khi đó:

(1) (1x)(2x) (1x)(3x)2 (1x)(4x)  1x 2 x 1x 3 x 1x 4x

 1x( 2 x 3 x 4x)0 (2)

+ Với x1 thoả mãn (2) nên x1 nghiệm bất phương trình + Với x1 1 x 0 nên ta có:

(2)  2 x 3 x 4 x  2 x 3 x 4x

( 2 x 3x)24(4x)  2x 3  x 11 2x

 4(2x)(3x)(11 ) x (Vì x1)  97 24

x không thoả mãn x1

TH2: Nếu x4 Khi đó:

(1)  x1 x 2 x1 x 3 x1 x4  x1( x 2 x 3 x4)0

 x 2 x 3 x 4 ( Vì x4 nên x 1 0)  x 2 x 3 x4  (x2)(x 3) 2x11 (3) + Nếu 11

2 x

  hiển nhiên thoả mãn (3) VP 0 VT

+ Nếu 11

x ta có:

(3)  4(x2)(x 3) (2x11)2  97

24

DAYHOCTOAN.VN

18 DAYHOCTOAN.VN Vậy bất phương trình có tập nghiệm là: S  1 4; Bài 138. Giải bất phương trình:

2

1

0

4 x

x x

 



   (1)

Lời giải

* Điều kiện:

4 3 0

1 2;2 3

2             x x x x x (1) 1 1 2 4

4 3 x

x x

 



  

Nếu 1 x 2

4

 x x   x , bất phương trình nghiệm với x:

1 x 2 Nếu

2

2 4 0

2 3

4 3 0

x x x x           

 bất pt

2

2x x 4x

     

2

4 16 16

 x  x   x x

5 20 19

 x  x  5;

5

x x

    

Kết hợp nghiệm, trường hợp ta có: 5 x

  

Tập nghiệm bất phương trình cho:  1;2 2 5;3 5

 

  

 

Bài 139. Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm 12 ) ( ) ( ) ( ) ( 2           m x x x x x x x x Lời giải Đặt x x

t 1, tốn quy tìm Điều kiệnđể bất phương trình 2      m t t t t

đúng với t Vì mẫu xác định với t nên  m 3t tm0,t

12

0

Do bất phương trình tương đương với : 2t2 t16t2 2t2m,t t

m t

t     

4 0, 916(2m1)0

32 25  m

Bài 140. Giải bất phương trình:  x2 8x12 102x

Lời giải

* Điều kiện:

8 12

x x x

      

* Nếu 5 x 6  x2 8x12 0 10 2 x, bất phương trình nghiệm x5;6 * Nếu

2

10 2 0

2 5

8 12 0

x x x x           

 bất pt cho

2

8 12 40 100

x x x x

       28

5 48 112 0 4

5

x x x

DAYHOCTOAN.VN

19 DAYHOCTOAN.VN Kết hợp nghiệm, trường hợp ta có: 4 x 5

Tập nghiệm bất phương trình cho: (4;6]

Bài 141. Giải bất phương trình 2x 3 x 1 3x8 (2) Lời giải

+ Điều kiện: (2.1) x

  

(2) 2x 3 3x 8 x 1 5 x 3x 8 x 1

           

5  2 3 8 1 2 5 33 0

5

5 0

x x

x x x

x x

        

 

 



  

 



11

3

11

5

x

x x

  



  



 

  

(2,2)

+Kết luận: Kết hợp (2.1) (2.2) bất phương trình có nghiệm: 8 3 3 x

Bài 142. Giải bất phương trình: 2

x  x  x x   x

Lời giải

* Điều kiện: x1

Đặt t x 2 x1 Suy ra:

2

2 2

2 2

2

t t  x  x    x x x    x 

Khi bất phương trình trở thành:

2

t       t t

- Với t 2 suy ra: x 2 x   1 x  2 x1

6

x x x x x

           (đúng  x 1) - Với t4 suy ra: x 2 x  1 x 2 x 1

2 15 13

x x x x

          (đúng  x 1) Vậy tập nghiệm bất phương trình  1; 

Bài 143. Tìm m để bất phương trình sau có tập nghiệm : 2

(x  x 1)(x  x m)0

Lời giải

Đặt

tx  x suy

2

1 5

2 4

tx    



Khi bất phương trình cho trở thành:  

1 ( 1)

t t    m t m t (1) Để bất phương trình cho có tập nghiệm (1) phải có tập nghiệm 5;

4 

 



 

Xét

( ) ( 1)

f t  t m t Ta có trường hợp: - TH1: ( 1)

2

m

m

    

Khi ta có bảng biến thiên f t( ) 5; 

 



DAYHOCTOAN.VN

20 DAYHOCTOAN.VN Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy để f t( )0 với 5; t  

  

  thì:

0 f   

  hay

2

5 5

.( 1)

4 m m m

         

   

Kết hợp với Điều kiện ta thấy khơng có m thỏa mãn

- TH2: ( 1)

2

m

m

     

Khi ta có bảng biến thiên f t( ) 5; 

 



 

Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy để f t( )0 với 5; t     

 thì:

( 1)

m

f    

 

Hay

2

2

( 1) ( 1)

0 ( 1)

4

m m

m m

         

(thỏa mãn Điều kiện) Vậy Điều kiện để bất phương trình cho có tập nghiệm là m 1 Bài 144. Giải bất phương trình 2 3x 2 x 2 3 (34 x2)(x2)

Lời giải

* Tập xác định: 2; D 



* Trên D x 2 , Chia vế (1) cho x2 ta 2 1 34

2

x x

x x

 

 

 

Đặt 0

x t

x



 



bất phương trình  2 – 02

t t   

2 t

  t1 * Với

2 t

 

2

x x

 

 

2 34

3 x 47 * Với t1 1 2

2

x

x x

   

DAYHOCTOAN.VN

21 DAYHOCTOAN.VN Vậy tập nghiệm bất phương trình (1) 34; 2; 

3 47

T   

 

Bài 145. Giải bất phương trình x2 3x2 x2 6x5  2x2 9x7

Lời giải

* Điều kiện:x;5  1; - Với x 1 Hiển nhiên nghiệm

- Với x 1 Bất phương trình tương đương

       

 

 

       

5

2

x x x x

x

x

Bất phương trình vơ nghiệm

- Với x 5:Bất phương trình tương đương: x5 x2  2x7  x5 Vậy bất phương trình có nghiệm: x 1; x 5

Bài 146. Giải bất phương trình :

2

3

4

3 x x

x x

x

     

  

 

Lời giải

Bất phương trình tương đương       

 

2

2

3

4

3

x x

x x

x

* Xét TH1:     

  



2 0

4

4

3

x

x x

x x

* Xét TH2:

     



   

       

 

 



2

4

0

4

3

1

0

x x

x x

x

x x

x x

x

Vậy tập nghiệm BPT x 0 4;

Bài 147. Cho bất phương trình:

   

2

9

1

9 2

m mx

x x x x



      ( m tham số ) a) Giải bất phương trình với m28

b) Tìm m để bất phương trình  1 có nghiệm

Lời giải:

TXĐ:D

+) x0 khơng nghiệm phương trình  1 :

  9 4

1

9

1

m m

x x

x x



  

    Đặt

9

,

t x t

x

DAYHOCTOAN.VN

22 DAYHOCTOAN.VN +) Với m28:  1 trở thành:

30 225 15

t  t   t ( điểm)

+) Bpt có hai nghiệm: x15 189 x15 189 ( điểm)  1 trở thành:

( ) ( 2)

f t  t m t m   2

+) Để  1 có nghiệm x  2 phải có nghiệm t    , 6 6; (0,5 điểm) +) Tìm m để  2 vô nghiệm 49; 28

14

m  

   

  ( điểm)

+) KL:Bpt có nghiệm ; 49 28;  14

m  

     

 

Bài 148. Giải bất phương trình: x26x 2 2(2x) 2x1

Lời giải:

Điều kiện:

x Bpt

2 2 4(2 1) 1

x x x x x x

         

  2 2

2 2 1

x x x

     

2 2 1

x x x

      ( vế dương) 2x 2x

    2

2

x

x x x

   

   

   x 2

Đối chiếu đk ta có nghiệm bất phương trình là:x 2 Bài 149. Giải bất phương trình:

2

7x 7x 9 x   x 2x1

Lời giải:

ĐK: x3 Bpt tương đương:

  

2

7x 7x  x x 2x 1

        

  

2

6x 14x 2x x x

      

 

3 2x 5x 2x 5x x (x 2)

         

2

2 5

3

2

x x x x

x x

   

   

 

2

18 46 29

2

x x

x x

   

  

  

DAYHOCTOAN.VN

23 DAYHOCTOAN.VN 23 1051

18 23 1051

18

3 19 19

2

x x

x

 

  

 

   

  

  



Bài 150. Với giá trị m bất phương trình sau nghiệm với x :

6x 4x 5 2x4mx1  1

Lời giải:

Vì 6x24x 5 với x nên:  1  6x24x 5 2x24mx 1 6x24x5

2

(1 )

4 2(1 )

x m x

x m x

    

  

   

  2

Vậy,  1 nghiệm với x hai bất phương trình hệ  2 đồng thời nghiệm với x Điều tương đương với:

2

1

2

2

(1 )

(1 ) 12 11

m m m

m m m

       

 

       



Bài 151. Giải bất phương trình:

3

x  x  x

Lời giải:

Nếu x 3thì phương trình trở thành :   x 2x        4 x 4x x kết hợp điều kiện   x

Nếu 3  x 2thì phương trình trờ thành :x 3 2x        4 x 2x x kết hợp điều kiện    3 x

Nếux2thì phương trình trở thành :x 3 2x   4 x 2x  6 x kết hợp điều kiện  x

Vậy tập nghiệm bất phương trình : T    ;1 3; Bài 152. Tìm m để bất phương trình 4x2  m x vô nghiệm

Lời giải:

Điều kiện : 2  x Bất phương trình :

DAYHOCTOAN.VN

24 DAYHOCTOAN.VN Bài 153. Giải bất phương trình 9 x x

x x

   

Lời giải:

Điều kiện :

9

3

0

3

0 x

x x

x x

x    

 

    

   

 

  

Nếu 3  x 0.Thì x x 9

x x

     suy bất phương trình vơ nghiệm

Nếu x x x x

    

Nên bất phương trình tương đương với

2

9 9

9 x 2x x x x 2x x x

x x x x

           

Mà  

2

2

3

9 1 37

9

2   

 

     

  

 

 

x x

x x

x

x x

Vậy tập nghiệm : 3; \ 37

  

 

    

 

 

S

Bài 154. a) Tìm m để nghiệm bất phương trình sau chứa đoạn  1; 2

2

3

3 1

m x x

x x

   

  

b) Giải bất phương trình: 4 6 2 4 6 2 4 6

(2 )m x x  (1 m )x  x  (1 m )x x với 0 m

Lời giải:

a) Với  1; 1

x    x  x  

Đặt

3 1;

4 t x  x    t  

  Ta có bất phương trình:

2

0

mt m

t t t

   

 

Xét ( ) 22 , 1;5

f t t

t t

 

   

  

2

4

( ) 1;

( )

t

f t t

t t

  

       

  

DAYHOCTOAN.VN

25 DAYHOCTOAN.VN

t ( )

f t 

( )

f t

2

32 45 Vậy để bất phương trình có nghiệm chứa đoạn  1; 32

45 m b) Vì (m21)x2 4x 0  x; m

Ta có

2 2

2

2

1

1

x x x x

m m

m m

     



   

 

   

    (1)

Đặt tan 0;

2

t

m t  

  Bất phương trình (1) có dạng: 4 6 4 6

(sin )t x x (cos )t x  x 1 (2)

Vì

2

2

( 2) 2 ( 2) 2

( 2) 2

(sin ) sin

(cos ) cos

x x

x x

t t

t t

   

     

 



 



Khi 2

4 6 2

(sin )t x x (cos )t x x (sin )t (cos )t 1 t Vậy bất phương trình có nghiệm với x

Bài 155. Giải bất phương trình 2x4  

12

2

9 16 x x

x 

  



Lời giải:

Nhân biểu thức liên hợp vế trái ta có ( với x  2; 2 )

2

6 2(6 4)

2 2 16

x x

x x x

 



    ( 0,5đ )

   

3x  9x 16 2x 2 x 

        

  2

3x 9x 8x 32 16 2x

      

  2 2

3x x 2x x 2x

DAYHOCTOAN.VN

26 DAYHOCTOAN.VN Do 8x2 82x2 0 nên  2 3x2(x2 82x2)0

2

3

2

x

x

    

 

  



Tập nghiệm bất phương trình 2;2 2;

3

T    

   

Bài 156. Tìm giá trị tham số a để bất phương trình 2 1

4

x ax x a





   nghiệm với x

Lời giải:

Trước hết cần

4

ax  x  a Với mọix

'

1 ( 3)

a

a a a

 

   

    

 a4 ( 0,5 điểm )

Nếu a 1 ax24x  a 0.Với x Bất phương trình cho thỏa mãn với x

2

1

x ax x a

      thỏa mãn vớix

5

ax x a

     thỏa mãn vớix

 

25 4a a

      ( a 1 )

2 41

4 16 25

2

a a a 

        ( a 1 ) (1,0 điểm) Nếu a4 ax24x  a Vớix

Bất phương trình cho thỏa mãn với x

1

x ax x a

      thỏa mãn với x

5

ax x a

     thỏa mãn với x

 

25 4a a

      ( vìa 4 0 (1,0 điểm)

2 41

4 16 25

2

a a a 

      ( a4 )

Kết luận : ;4 41 41;

2

a         

   

Bài 157. Tìm m để hệ  

 

2

2

7

x m x m

x m x m

    

 

   

 có nghiệm

DAYHOCTOAN.VN

27 DAYHOCTOAN.VN

 

 

2

2 (1) 7 (2)

x m x m

x m x m

    

 

   



  2

1 m

     2 m72 0  m m7 hệ phương trình vơ nghiệm  Với

7 m m

   

 m0thì tập nghiệm (1) D1



 tập nghiệm (2) D2  nên hệ phương trình vơ nghiệm

 Với m0 tập nghiệm D1m; 2 tập nghiệm D2    7; m  hệ phương trình ln có nghiệm Vậy hệ phương trình ln có nghiệm với m0

Bài 158. Tìm m để bất phương trình: mx2mx  m có nghiệm x 1; Lời giải

Gián tiếp loại bỏ     0, 1; f x mx mx m    x

   

2

1 1;

1

m x x m x

x x

       

 

Xét ( ) 2 ,  1;

g x x

x x

  

  , 2

2(2 1)

'( )

( 1)

x g x

x x

 

  

  hàm số nghịch biến khoảng  1;

 1;2

2 ( )

7 m Min g x

  

Vậy

m bất phương trình có nghiệm  x  1;

Bài 159. Tìm m để nghiệm bất phương trình sau chứa đoạn  1;

2

3

3

m x x

x x

   

 

Lời giải Với  

1; 1

4

x   x  x  

Đặt

3 1

t x  x   t Ta có bất phương trình: 22

mt m

t t t

   

 

Xét f x( ) 22 t t 

 với

5 1;

4 t  

 , 2

4

'( ) 0; 1;

( )

t

f t t

t t

  

     

  

Ta có bảng sau:

Vậy để bất phương trình có nghiệm chứa đoạn  1; 32 45 m

Bài 160. Tìm tất giá trị m để bất phương trình sau có nghiệm thuộc đoạn 2; 2 : t

 

'

f t   

f t

DAYHOCTOAN.VN

28 DAYHOCTOAN.VN (m2)x  m x

Lời giải

Ta có (m2)x   m x (m2)x m (x1)2 m x(  1) x21 (1) + Nếu x1 Phương trình (1) vơ nghiệm

+ Nếu x(1; 2] :

2 (1)

1

x m

x

  

 Xét hàm số

2 ( )

1

x f x

x

 

 (1; 2] ta có:

2 2

'( )

( 1)

x x

f x

x  

 

 (1; 2] Vậy

1;2 ( ) (2)

Min f x  f  Do TH bất phương trình có nghiệm  m +) Nếu x[-2;1):

2 (1)

1

x m

x

  

 Xét hàm số

2 ( )

1

x f x

x

 

 [-2;1) ta có:

2

1 2

'( )

( 1) 1 2

x

x x

f x

x x

    

   

   

Bảng biến thiên

2 ( )

1

x f x

x

 

 [-2;1) : x 2 1

f x'( ) + 0 - 2 2

( )f x  

Vậy TH bất phương trình có nghiệm   m 2

Tóm lại bất phương trình cho có nghiệm    m ( ; 2 2][5;+ ) Bài 161. Giải bất phương trình:

 3

3

3 2 ( )

x  x  x  x x

Lời giải Điều kiện xác định: x 2

Đặt y x2, điều kiện y0 Bất phương trình trở thành: 3

3

x  xy  y 

  2 

2

2 x y

x y x y

x y  

     

 

 Với x y 2

2 x

x x x

x x

 

    

  

Với x + 2y ≥

2

0

2

2

4( 2) x

x x

x x

x

x x

 

   

    

  

 

   

2

x

  

DAYHOCTOAN.VN

29 DAYHOCTOAN.VN

 

3 2

3

5 17 7

3

x x x x x

x mx

      

 

  



Lời giải Bất phương trình  

5 17 7

x  x  x  x  x 

  3  2   2  2  2  2

2 2 7 7

x x x x x x x

            

Xét hàm số ( )

f t   t t t, f(t) hàm số đồng biến khoảng 0; Phương trình có dạng    

2

f x  f x    x 2x27

1 x

  

Hệ bất phương trình có nghiệm

3

x mx

    có nghiệm x 1;3  

2

3m x g x

x

     có nghiệm x 1;3    1;3

3m Maxg x

 

Hàm số   2

g x x

x

   hàm số nghịch biến  1;3 :    1;3

(1)

Maxg x g  

Vậy m 1

Bài 163. Giải bất phương trình: 5x261x 4x2 Lời giải

BPT

2

4 61 61 (4 2)

x

x x

x x x

  



  

   



2

(5 61) 11 45

x x x

x x

   

  

   



 

 

1 ;

61

; 0;

5

; 4;

11 x

x x

  

 

  



   

    

 



  

   

  

 



1

0; (4; ) 11

x  

    

Bài 164. Tìm tất giá trị thực tham số m để hệ sau có nghiệm thực:

2

2

4 2

4

5 ( 2)

8 16 16 32 16

x x

x

x x mx m m



 

 



      



Lời giải * Giải BPT:

2

2

5 (1) ( 2)

x x

x

 

 Với x 2, (1) tương đương với

2

2 2

2

2

5

2 2

5 x

x x x x x

x

x x x x x

x 

 

 

           

 

     

      

DAYHOCTOAN.VN

30 DAYHOCTOAN.VN Từ tìm x2    2 x

* Giả sử x0 nghiệm PT:

4 2

8 16 16 32 16

x  x  mx m  m  (2)

Khi đú PT: 2

0 16 16 32 16

x  x  mx  m  m  phải có nghiệm m

Suy PT:

0 0

16m 16(x 2)mx 8x 160 phải có nghiệm m Do

2 2

0 0 0 0

' 64(x 2) 16(x 8x 16) 16 (x x 2)(x 2x 8) 0 x

               

Như (2) có nghiệm nghiệm lớn nghiệm nhỏ Do hệ phương trình có nghiệm PT (2) có nghiệm x2

Thay x2 vào (2) ta được: m24m    4 m Vậy với m 2 hệ phương trình có nghiệm

Bài 165. Giải bất phương trình: ( x 3 x1)(1 x22x3)4 Lời giải

Điều kiện x 1

Nhân hai vế bpt với x 3 x1, ta được:

   

4 1 x 2x-3 4 x 3 x  1 x 2x-3 x 3 x1

2 2 x -2

2x-2 2x-3 2x+2 2x-3 -

x

x x x x  

          

  Kết hợp với điều kiện x1 ta x2

Bài 1. Giải bất phương trình: 5 2( 2)

x x

x x

   

Lời giải Điều kiện x0

Đặt

2

t x

x

   Ta có bất phương trình :   5t2 t  1

2

2t 5t

    

1 2 t t    

 

Kết hợp điều kiện ta t2

Ta có : 2

x x

 

3

2

2 x x      

   

Bài 166. Tìm mđể bất phương trình sau: m( x22x  2 1) x(2x)0 có nghiệm thuộc 0;1 3 Lời giải

2

2

( 2) ( 2 1) (2 )

2 x x

m x x x x m

x x



       

  

Xét hàm số

2

( 2)

, 0;1 2

x x

y x

x x

  

   

DAYHOCTOAN.VN

31 DAYHOCTOAN.VN

 

 

2

2 2

( 1)

2( 1) 2 ( )

2 '

2

x

x x x x x

x x

y

x x



     

  

  

 

2

2 2

2

1 2)

2

2

x x x x x

x

x x

x x

     

   

 

  

1

(0) 0, (1) , (1 3)

2

y  y  y  

Vậy để bất phương trình sau :

( 2 1) (2 )

m x  x  x x  có nghiệm thuộc 0;1  3 m Bài 167. Bài Câu (4 điểm)

a Tìm m để nghiệm bất phương trình sau chứa đoạn  1; :

2

2

3

3 1

m x x

x x

   

  

b Giải bất phương trình: 4 6 2 4 6 2 4 6

(2 )m x x  (1 m )x  x  (1 m )x x với 0 m Với  

1; 1

4

x   x  x  

Đặt

3 1;

4 t x  x    t  

 

Ta có bất phương trình: 22

mt m

t t t

   

 

Xét ( ) 22 1;5

f t t

t t

 

   

  

2

4

'( ) 1;

( )

t

f t t

t t

  

      

  

Bảng biến thiên

Vậy để bất phương trình có nghiệm chứa đoạn  1; 32 45 m b Vì (m21)x2 4x 0  x; m

Ta có 2

2

4 6

2

2

( ) ( )

1

x x x x

m m

m m

      

  (1)

Đặt tan 0;

2

t

m t  

DAYHOCTOAN.VN

32 DAYHOCTOAN.VN

2

4 6

(sin )t x  x (cos )t x  x 1 (2)

Vì

2

2

( 2) 2 ( 2) 2 ( 2) 2 (sin ) sin (cos ) cos

x x

x x

t t

t t

   

    

 

Khi 4 6 4 6 2 2

(sin )t x  x (cos )t x  x (sin )t (cos )t 1 t Vậy bất phương trình có nghiệm với x

Bài 168. Bài Bài 2: (4 Điểm )

( Tốn bồi dưỡng học sinh: nhóm tác giả Hàn Liên Hải , Phan Huy Khải ) b) Giải bất phương trình

2 12

2 2 16

x

x x

x 

   

 b) Giải bất phương trình

2 12

2 2 (1) 16

x

x x

x 

   



Nhân biểu thức liên hợp vế trái ta có ( Với x  2; 2)

6 2(6 4)

>

2 2 16

x x

x x x

 

    (0,5đ)

2

2

(3 2) 16 2( 2 >0

(3 2)(9 32 16

(3 2)( )(8 >0

x x x x

x x x x

x x x x x

 

        

      

      

(0,5đ)

Do 8 x 2 x2 >0 nên (2) (3x2)(x2 2 x2)0

2

3

2

x x     

 

  



Tập nghiệm bất phương trình 2;2 2;

3

T     

    (1đ)

Bài 169. Bài Bài 2: Tìm giá trị tham số a để bất phương trình :

2

1

4

x ax x a

 

  

Đợc nghiệm với x Bài (3 điểm )

Trước hết cần ax24x  a 0với x '

0

4 ( 3) a

a a  

     

  a < -1 a > (0,5 điểm) + Nếu a < -1

4

ax  x  a vớix Bất phương trình cho thỏa mãn với x



1

DAYHOCTOAN.VN

33 DAYHOCTOAN.VN  ax2 5x  a thỏa mãn với x

  25 ( a a 4) (vì a < -1) (1,0 điểm)

 41

4 16 25

2

a a a 

       (do a < - 1) + Nếu a >

4

ax  x  a với x Bất phương trình cho thỏa mãn với x



1

x ax  x a thỏa mãn với x  ax25x  a thỏa mãn với x (1,0 điểm)   25 ( a a 4) 0(vì a = > 0)  16 25 41

2

a  a   a  (do a > 4) Kết luận: ;4 41 41;

2

a        

    (0,5 điểm)

Bài 170. Bài Bài (4 điểm)

1 Tìm m để hệ 2

( 2)

( 7)

x m x m

x m x m

    



   

 có nghiệm

2

x -(m+2)x+2m<0 (1) x +(m+7)x+7m<0 (2) 

 



1 (m 2)

     2 (m7)2 0 m = m = hệ phương trình vơ nghiệm  Với

7 m m

   

 m0 tập nghiệm (1) D1 R



 tập nghiệm (2) D2 R nên hệ phương trình vô nghiệm

 Với m < tập nghiệm D1= (m; 2) tập nghiệm D2= (-7; -m)  hệ phương trình ln có nghiệm

Hệ phương trình ln có nghiệm với m <

Bài 3 ( điểm)

Bài 171. Tìm m để bất phương trình: mx2mx  m 0cónghiệm x(1; 2) Gián tiếp loại bỏ

( )

f x mx mx  m ,  x (1; 2)

( 1) 2

1

m x x m

x x

     

    x (1; 2) Xét ( ) 2

1 g x

x x 

  g(x) =  x (1; 2)   '

2

2(2 1)

( )

1

x g x

x x

 

  

  hàm số nghịch biến khoảng (1; 2) 

 1;2 ( )

7

mMin g x 

Vậy m >

7 bất phương trình có nghiệm  x (1; 2) Bài 172. Tìm m để nghiệm bất phương trình sau chứa đoạn  1;

2

3

3

m x x

x x

   

DAYHOCTOAN.VN

34 DAYHOCTOAN.VN

1.( điểm): Với  1; 1

4

x    x  x   (0,25 điểm)

Đặt

3 1

t x  x   t (0,25 điểm) Ta có bất phương trình: 22

1

mt m

t t t

   

  (0,25 điểm)

Xét f x( ) 22 t t 

 với

5 1;

4 t   

  (0,25 điểm)

 

'

2

4

( ) t

f t

t t



  



5 1;

4 t  

     (0,25 điểm)

Ta có bảng sau:

Vậy để bất phương trình có nghiệm chứa đoạn  1; 32 45

m (0,25 điểm)

Câu 3: (4 điểm)

Bài 173. Bài b) Tìm m để bất phương trình sau với x 2cos x  1 sin 2x 2m 1 Hàm số có đạo hàm x = liên tục x =

0

lim ( ) lim ( ) (0)

x x

f x f x f b

 

 

    

Ta lại có:

3

0

1 cos

'(0 ) lim

3 x

a x x a

f

x



 

   

 

 Và

0

ln(1 )

'(0 ) lim

x

x f

x



 

 

 

  a =

Vậy hàm số có đạo hàm x = a = b = Bài (x24 ) 2x x23x 2

BPT

2 2

2

4

2

x x

x x

x x

   



    

    

1 ; 2

( ; 0] [4; )

( ; ) (2; )

x x

x x

    



     

DAYHOCTOAN.VN

35 DAYHOCTOAN.VN BPT có tập nghiệm ( ; 1] {2} [4; )

2

    

Câu 1: (6 điểm)

Bài 174. Bài Tìm tất giá trị m để bất phương trình sau có nghiệm thuộc đoạn 2; 2 : (m2)x  m x

Câu 1.a) Câu 1.b)

Ta có (m2)x   m x (m2)x m (x1)2 m x(  1) x21(1) +) Nếu x=1 (1) Vô nghiệm

+) Nếu x (1; 2] :

2 (1)

1

x m

x

  

 Xét hs

2 ( )

1

x f x

x

 

 (1; 2] ta có:

'

2

( )

( 1)

x x

f x

x

 

 

 (1; 2] Vậy 1;2

( ) (2)

x

Min f x f

  

Do TH BPT có nghiệm  m +) Nếu x [-2;1) :

2 (1)

1

x m

x

  

 Xét hs

2 ( )

1

x f x

x

 

 [-2;1) ta có:

'

2

1 2

( )

( 1) 1 2

x

x x

f x

x x

  

 

   

    BBT

2 ( )

1

x f x

x

 

 [-2;1) :

Vậy TH BPT có nghiệm   m 2

Tóm lại BPT cho có nghiệm    m ( ; 2 2][5;+ ) Bài 175. Bài Giải bất phương trình:

 3

3

3 2 ( )

x  x  x  x x Điều kiện xác định: x 2

Đặt y x2, điều kiện y0

Bất phương trình trở thành: 3

3

x  xy  y 

  2 

2

2 x y

x y x y

x y  

     

 



Với x ythì 2

2 x

x x x

x x

 

    

   Với x2y0thì

2

0

2

2

4( 2) x

x x

x x

x

x x

 

   

    

  

 

   

2

x

DAYHOCTOAN.VN

36 DAYHOCTOAN.VN

Kết hợp điều kiện suy tập nghiệm bất phương trình cho T 2 3;  Bài 176. Bài 1: Bất phương trình x35x217x 7 2x24 2x27

Lời giải

  3  2   2  2  2  2

2 2 7 7

x x x x x x x

            

Xét hàm số

( )

f t   t t t, f(t) hàm số đồng biến khoảng 0;

Phương trình có dạng    

2

f x  f x    x 2x27 x

  

Hệ bất phương trình có nghiệm

3

x mx

    có nghiệm x 1;3

  2

3m x g x

x

     có nghiệm x 1;3  

 1;3 3m Maxg x

 

Hàm số   2

g x x

x

   hàm số nghịch biến  1;3    1;3

(1)

Maxg x g  

Vậy m 1

Bài 177. Bài 2: Giải bất phương trình: 5x261x 4x2 (1) Lời giải

BPT (1)

2

4 61 61 (4 2)

x

x x

x x x

  



  

   



2

(5 61) 11 45

x x x

x x

   

  

   



 

 

1 ;

61

; 0;

5

; 4;

11 x

x x

  

 

  



   

    

 



  

   

  

 



1

0; (4; ) 11

x  

    

Bài 178. Bài 3: (3,0 điểm) Tìm tất giá trị thực tham số m để hệ sau có nghiệm thực:

2

2

4 2

4

5 ( 2)

8 16 16 32 16

x x

x

x x mx m m



 

 



      



Lời giải

Giải BPT:

2

2

5 (1) ( 2)

x x

x

 

DAYHOCTOAN.VN

37 DAYHOCTOAN.VN

2

2 2 2 2

2

2

5

2 2

5 x

x x x x x

x

x x x x x

x 

 

 

            

 

     

      

  

Từ tìm x2    2 x

* Giả sử x0 nghiệm PT:

4 2

8 16 16 32 16

x  x  mx m  m   2

Khi PT: 2

0 16 16 32 16

x  x  mx  m  m  phải có nghiệm m

Suy PT:

0 0

16m 16(x 2)mx 8x 160 phải có nghiệm m Do

2 2

0 0 0 0

' 64(x 2) 16(x 8x 16) 16 (x x 2)(x 2x 8) 0 x

                Như

nếu  2 có nghiệm nghiệm lớn nghiệm nhỏ

Do hệ    1 , có nghiệm PT  2 có nghiệmx2

Thay x2 vào  2 ta được: m24m  4 m 2

Vậy với m 2 hệ    1 , có nghiệm

Bài 179. Bài 4: Giải bất phương trình: ( x 3 x1)(1 x22x3)4 Lời giải

  

3 1 2x-3

x  x  x  

Điều kiện x 1

Nhân hai vế bpt với x 3 x1, ta

 1 4 1  x22x-34. x 3 x  1 x22x-3 x 3 x1

2 2 x -2

2x-2 2x-3 2x+2 2x-3 -

x

x   x    x  x    

 

Kết hợp với điều kiện x 1 ta x2

Bài 180. Bài 5: Giải bất phương trình: 5 2( 2)

x x

x x

   

Lời giải

5

5 2( 2)

4

x x

x x

    (điều kiệnx0 )  

5t t

   

(Với

2

t x

x

   )

2

2

2

t t t

      (loại)

Giải

2

x x

  3

2

x x

      

Bài 181. Bài 6: Tìm m để bất phương trình m( x22x  2 1) x(2x)0 có nghiệm thuộc đoạn

0;1

  

 

DAYHOCTOAN.VN

38 DAYHOCTOAN.VN

2

( 2) ( 2 1) (2 )

2 x x

m x x x x m

x x



       

  

( 2)

XÐt y= trªn 0;1 2

x x

x x

   

 

  

 

 

2

2 2

( 1)

2( 1) 2 ( )

2 '

2

x

x x x x x

x x

y

x x



     

 



  

 

2

2 2

2

1 2)

2

2

x x x x x

x

x x

x x

     

   

 

  

(0)

y  , (1)

y   , (1 3)

y  

Vậy

( 2 1) (2 )

m x  x  x x  có nghiệm thuộc 0;1 3

3

m

Bài 182. Bài 7: Tìm m để hệ bất phương trình

  

2

2

6

4 16

x x x

x x x mx

    

 

   

 có nghiệm thuộc

Lời giải

Với x 1;3 , bất phương trình thứ hai tương đương với:

2

2

2

4 16 16

1

x x x

m m x x

x x x x

        

        

  

  

Xét hàm số

2

4 16

( )

f x x x

x x

  

     

  , đặt

4

t x x

  suy ta

Hàm số f x( )trở thành hàm -

-Dễ tìm GTNN hàm - - 24

Do hệ có nghiệm

Bài 183. Bài 8: Giải bất phương trình sau tập số thực x 7 x22x 3 4x2 Lời giải

Điều kiện:

2

x Bất phương trình cho

        

2

2 2

7

3 3

1 3 *

7

x x

x x x x x x

x x

x

x x x x

x x x x

  

            

  

  

          

       

Ta có hàm số  

7

f x x

x x

  

   liên tục

1 ;

 

DAYHOCTOAN.VN

39 DAYHOCTOAN.VN

và  

 2  

1

1

2

'

2

7

x x

f x x f x

x x



 

     

   đồng biến

1 ;

 

  

Do   3

2 15

f x  f       x  

Từ bpt (*)     x x

Kết luận: Tập nghiệm bpt cho 1;3

2      

Bài 184. Bài 9: Giải bất phương trình 3 x2x x 2 2(x23 )x

Lời giải

Giải bất phương trình: 2

2 3 x x x 2 2(x 3 )x

Điều kiện: x2 Phương trình có dạng x x( 1)(x 2) 2x26x2

3 x x( 1)(x 2) (x x 2) 2(x 1)

       ( 2) ( 2)

1

x x x x

x x

 

  

 

Đặt ( 2)

1 x x t

x 

 

 ta bất phương trình

2

2t   3t

1

2

2 t

t t

   

  

  

( dot0)

Với ( 2)

2

1 x x

t x x

x 

      



3 13

3 13 13

x

x x

  

   

 

 (do x2) Vậy

bất phương trình có nghiệm x 3 13

Bài 185. Bài 10: Giải bất phương trình:

2

6(x 3x 1) x x  1 (x ) Lời giải

Tập xác định:

BPT6 2( x2  x 1) (x2 x 1) 6(x2 x 1)(x2  x 1)

2

2

1 6( 1)

12

1

x x x x

x x x x

   

   

    (vì

2

1 0,

x    x x) Đặt:

2

6( 1)

1 x x t

x x   

  (t > 0), ta

2

2t   t 0

t

   BPT cho tương đương với

2

2

6( 1) 11 21 11 21

5 11 ;

1 10 10

x x

x x x

x x

 

      

    

   

Bài 186. Bài 11: Giải bất phương trình

2

35 12 x x

x

 



Lời giải

Điều kiện x 1

0

DAYHOCTOAN.VN

40 DAYHOCTOAN.VN

Ta xét x 1

x

   

Đặt cos

x  

2

1 35

(1)

cos 12

cos

cos

 



  



1 35

cos sin 12

  

12(sin cos ) 35sin cos 

  

2 144 288sin cos  1225(sin cos ) 

   (1)

Đặt tsin cos 

(1)1225.t2288.t1440 12

0

35

t

  

suy cos cos

5

 

   

Vậy 5

4

x x

   

Bài 187. Giải bất phương trình: 2

3 2 1

x  x  x  x  x Tìm m để phương trình:    

2 2

m x  x  x x  (2) có nghiệm x0;1 3

Lời giải

1.BPT có tập nghiệm S   ;1/ 2  

2.Đặt  

2

t x  x t YcbtBPT

2

t m

t

 

 có nghiệm    1;2    

1; max

3 t

t   g t g  Vậy

m

Bài 188. Tìm tất giá trị thực tham số m để hệ sau có nghiệm thực:

 

2

2

4 2

4

5

8 16 16 32 16

x x

x

x x mx m m



 



 

      



Lời giải

* Giải BPT:

2

2

5 (1) ( 2)

x x

x

 



Với x 2 ,  

2

2 2 2 2

2

2 4

1 5

2 2

5 x

x x x x x

x

x x x x x

x

 



  

 

            

   

      

DAYHOCTOAN.VN

41 DAYHOCTOAN.VN Từ tìm rax2 hoặc   2 x

* Giả sử x0 nghiệm PT x48x216mx16m232m160 (2) Khi PT x48x216mx16m232m160 phải có nghiệm m Do

2 2

0 0 0 0

' 64(x 2) 16(x 8x 16) 16 (x x 2)(x 2x 8) 0 x

               

Như nếu 2 có nghiệm nghiệm lớn nghiệm nhỏ Do hệ   1 , có nghiệm PT 2 có nghiệm x2

Thay x2 vào 2 ta m24m    4 m Vậy với 𝑚 = −2 hệ   1 , có nghiệm

Bài 189. Giải biện luận phương trình: 4x 1 2m1 x 1 m1 4x23x1 theo tham số m

Lời giải

Điều kiện

1

4 1

4 x

x x

x   

    

  

PT  1 2 1

1

x x

m m

x x

 

     

 

Đặt 1 x t

x  

 t0,t2 PT trở thành    

1

t  m t m  Giải ta t

t m     



Nghiệmt m thỏa mãn điều kiện nênm1,m3 Theo cách đặt ta tính

2

2

2

m m

x

m m

 



  Kết luận

3

m m

   

 PT vô nghiệm

3

m m

   

 PT có nghiệm 2

2

2

m m

x

m m

 



  Bài 190. Giải bất phương trình: 5x261x 4x2 (1)

DAYHOCTOAN.VN

42 DAYHOCTOAN.VN BPT (1)

 

 

2

2 2

1 ;

4

61

5 61 (5 61) ; 0;

5

5 61 (4 2) 11 45

1

; 4;

11

0; (4; ) 11

x

x x

x x x x x

x x x x x

x x

  

 

  

  

   

 

   

          

 

        



   

   

  

 



 

    

Bài 191. Tìm tất giá trị m để bất phương trình sau có nghiệm thuộc đoạn 2; 2 : m2xm  x

Lời giải

Ta có (m2)xm   x (m2)x m (x1)2 m x(  1) x2 1(1) +) Nếux1 PT  1 Vô nghiệm

+) Nếu x(1; 2] :

2 (1)

1

x m

x



 

 Xét hàm số

2 ( )

1

x f x

x

 

 (1; 2] ta có:

2

2

2

( )

( 1)

x x

f x

x

 

  