Đề thi thử THPT quốc gia

Cho đường tròn có bán kính cố định bằng R 0 , tam giác ABC nội tiếp đờng tròn đó... Tương tự ta có tan..[r]

1 DAYHOCTOAN.VN Bài Cho ba số thực dương thỏa mãn 1 1

x  y  z  xyz  1 Tìm giá trị lớn

2

1 1

y

x z

P

x y z



  

  

Lời giải:

Ta có A B C, , (0; ), A  B C  tan tan tan tan tan tan

2 2 2

A B B C C A

  

Theo giả thiết  1  x y y z  z x 1 Ta có tan

2

A

x  , tan

2

B

y  , tan

2

C

z  với A B C, , (0; ), A  B C  Ta có PsinAsinBcosC cos cos cos2

2 2

C AB C

  

2

1

2(cos cos ) cos

2 2 2

C AB AB

     

Vậy max

2

P Khi

2

6 C

A B

     

   

2

tan

12 3

x y z



 

  



  

  

Bài Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn abc1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

2 2

( 2)(2 1) ( 2)(2 1) ( 2)(2 1)

a b c

S

ab ab bc bc ac ac

  

     

Lời giải:

2

2

1 4

2 1

( 2)(2 1)

( )(2 ) ( ) ( )

a

a

ab ab

b b b b b

a a a a

  

       

đáp số : Min

3

S  Dấu "" xảy a  b c

Bài Tìm giá trị lớn biểu thức:

3

2

( )( )( )

x y P

x yz y zx z xy 

   , x, y, z số dương thỏa mãn: x  y z

Lời giải:

Ta có : xyz   z y yzy1z1   

1 1

yzx   z x zx x z   

1 1

zxy   x y xy x y

3 3

3 3

x y x y

P = =

(x+1) (y+1) (z-1) (x+1) (y+1) (x+ y) Theo CơSi ta có :

2

x x x

+ +1

2  ;

2

y y y

+ +1

2  ;

2

2 DAYHOCTOAN.VN Vậy

3

2

x y

P

27 27 729

( x )( y )4 xy

4

 

Dấu "" xảy x y 2; z5 Vậy MaxP = 729

Bài Cho số dương a, b, c thoả

a  b c CMR: B 13 13 13 729

a b c

   

      

   

Lời giải:

Ta có: B 13 13 13 313 3 31 3 31 313 3

a b c a b a c b c a b c

       

B  3

3 3 3 3 3 3

1 3 1 1

a b c a b c a b c a b c

   = 3 2 21 3 31 abc a b c a b c

   = 1 abc       

Mặt khác:   

 

  

3

ab

8

c a b c

3 

3

1 729

1 B             

Vậy 13 13 13 729

a b c

      

   

   

Dấu "" xảy

2

a  b c Bài Cho

       xyz z y x z y

x, , 0

CMR:

2 2

1 1

2

1 1

x y z

      Lời giải: ) ( ) ( ) )( ( ) ( 1

2 x z

z y x y z x y x yz xyz z y x x xyz x            

Tương tự VT

) ( ) ( 1 ; ) ( ) ( 1

2 y z

y z x z z z y z y x x y          

Dấu "" xảy x  y z 3

Bài Cho ABC nhọn thoả mãn hệ thức: tan3 tan3 tan3 tan tan tan

A B C

B C A Chứng minh tam giác ABC

Lời giải:

Do tam giác ABC nhọn nên tanA  ,tanB  , tanC  Viết lại bất đẳng thức :

3 3

cot cot cot

1

cot cot cot

B C A

A  B  C 

Áp dụng bất đẳng thức Côsi :

2

cot

cot cot cot cot

B

A B B

A  

3

2

cot

cot cot cot cot

C

B C C

B  

3

2

cot

cot cot cot cot

A

C A A

3 DAYHOCTOAN.VN Suy ra :

3 3

2 2

cot cot cot

2( cot cot cot )

cot cot cot

B C A

A B C

A  B  C    

vì cotAcotB  cotBcotC cotCcotA  Ta lại có 2

cot Acot Bcot CcotAcotB  cotBcotC cotCcotA   Từ suy :

3 3

cot cot cot

1

cot cot cot

B C A

A  B  C 

Bài Cho ABC thỏa mãn

12 cot cot cot sin sin sin

2    

  



 A B C A B C

Chứng minh ABC cân

Lời giải:

Ta có 12

2 cot cot cot sin sin sin

2    

  



 A B C A B C

(1)  15 B sin B sin A sin C sin B sin A sin 2 2             (2)

Theo bất đăng thức si ta có :

12 A sin A sin A sin A sin A sin A sin 2   

  12

2 A sin A sin 16  

Dấu "" xảy

3 A 2 A sin A sin A sin 16      

Tương tự ta có 12 B sin B sin 16 

 ; 12

2 C sin C sin 16    36 B sin B sin A sin C sin B sin A sin 16 2             (3)

Mặt khác ta có

2 B A cos B A cos B A sin 2 C sin B sin A

sin       

2 B A sin 2 B A sin B A sin 2

2  

              Do đó: C sin B sin A

sin    (4) Dấu "" xảy

3   B

A

Từ (3) (4) ta có:

2 14 36 C sin B sin A sin 14 B sin B sin A sin C sin B sin A sin 16 2                        15 B sin B sin A sin C sin B sin A sin 2 2             (5)

4 DAYHOCTOAN.VN Như tam giác ABC

Bài Với ; ;x y z0 thoả mãn: x4 y4z4 3 Tìm giá trị lớn biểu thức: P  x y 2z

Lời giải:

Ta có: với a0 Áp dụng BĐT Bunhiakopsky

 

2

2 1 2 2

ax

a

P a x a y z ay z

a a

   

        

 

 

  

2

4 2 4

1 16

P a x y z

a

 

      

 

 

2 43 1 2 16

P a

a

 

     

 

Dấu "=" xảy  2

2 2

2

4

x y

x y

ax z a x z

x z x az

a 

   

 

   

 

  



 



3 2 2 16 a x z x z

   a 316

Vậy dấu "=" xảy 4

4 4

16 x y

z x

x y z

  

 

    

3

4

3

3

;

2 16 16

x y z

   

 

Do  

2

max 3

2

3 16

16

P     

 

Bài Cho số dương , ,a b c thỏa mãn điều kiện abc1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức

2 2 2

bc ca ab

P

a b a c b a b c c a c b

  

  

Lời giải:

2 2

( ) ( ) ( )

bc ca ab

P

a b c b a c c a b

  

  

2 2

1 1

a b c

b c a c a b

bc ac ab

      2

1 1

1 1 1

a b c

b c c a a b

  

  

Đặt x a

 , y b

 , z c

 Do abc 1 xyz1 , ,a b c dương suy x y z, , dương Ta có

2 2

x y z

P

y z z x x y

  

  

Áp dụng bất đẳng thức Cơsi, ta có

4

x y z

x y z



 

 ,

2

4

y z x

y z x



 

 ,

2

4

z x y

z

x y



 



x y z

P   x y z

    

3

3

2 2

x y z

P   xyz

   

Dấu “=” xảy x  y z hay a  b c Vậy

3

5 DAYHOCTOAN.VN Bài 10 Cho số dơng a b c, , thoả mãn :

4

a b c   Tìm giá trị nhỏ biểu thức

3 3

1 1

3 3

P

a b b c c a

  

  

Lời giải:

áp dụng BĐT Côsi cho số dương ta có

 

3

1 1

3

x y z xyz

x y z xyz

 

      

 

1 1

x y z x y z

   

  (*) áp dụng (*) ta có

3 3

1 1

3 3

P

a b b c c a

  

   3

9

3 3

a b b c c a



    

áp dụng BĐT Cô si cho số dương ta có 3( 3 ).1.1 1 1( 3 2)

3

a b

a b      a b

3( 3 ).1.1 1 1( 3 2)

3

b c

b c      b c

3( 3 ).1.1 1 1( 3 2)

3

c a

c a      c a

3 3

3 3 [4( ) 6]

3

a b b c c a a b c

          

3 P  

Dấu “=” xảy

3

3 3

a b c

a b b c c a

    



      

1

a b c

    Vậy minP =

Bài 11 Cho số dương , ,a b c thoả mãn a b c  3 Chứng minh rằng:

2 2

1 1

3

1 1

a b c

b c a

     

  

Lời giải: :

Bất đẳng thức tương đương với:

2 2

1 1

1 1 3

1 1

a b c

a b c a b c

b c a

  

             

  

Hay      

2 2

2 2

1

3

1 1

a b b c c a

b c a

  

  

  

Bây ta dùng bất đẳng thức AM – GM cho mẫu thức:

           

2 2

1 1 1

1 1 2

a b b c c a a b b c c a

b c a b c a

     

    

  

 1  1  1

2 2

a b b c c a

6 DAYHOCTOAN.VN

3

3

ab bc ca

  

  Vì  

2 3

a b c ab bc ca     

Bài 12 Chứng minh điều kiện cần đủ để tam giác ABC tam giác

2 2

2

2 2 2

A B C A B B C C A

cos cos cos   cos  cos  cos  (*)

Lời giải:

2 2

(*) 4

2 2 2

A B C A B B C C A

cos cos cos cos  cos  cos 

    

 

2 cos cos cos

2 2

A B B C C A

A A A cos  cos  cos 

    

8sin sin sin

2 2 2

A B C A B B C C A

cos  cos  cos 

 

(Nhân vế với

2 2

A B C

cos cos cos )

   

8sin sin sinA B C sinA sinB sinB sinC sinC sinA

    

sinA sinB sinC

   (áp dụng BĐT Côsi)

A B C

   (ĐPCM)

Bài 13 Chứng minh x, y, z ba số dương tuỳ ý với tam giác ABC, ta có: a) 1cos 1cos 1cos

2 2

x y z

A B C

x  y  z  yz xz xy

b) Tam giác ABC có đặc điểm thoả mãn điều kiện: cos cos cos 2

C

A B 

Lời giải

a) 1cos 1cos 1cos

2 2

x y z

A B C

x  y  z  yz xz xy

Bất đẳng thức tương đương với:

2 2

2 cos cos cos

x y z  yz A xz B xy C

     

2 2 2 2

cos sin cos sin cos cos cos

x B B y A A z yz A xz B xy A B

         

   

 

2 2 2 2

2

cos cos cos cos sin sin sin sin

2 cos cos

x B y A xy A B x B y A xy A B

z z y A x B

      

   

  2 2

cos cos sin sin

x B A z x B y A

      (luôn đúng)

Dấu xảy hệ sau thoả mãn:

cos cos

sin sin

x B y A z

x B y A

  



  



sin

cos cos

sin sin sin

x B

x B A z

A

x y

A B

  

  

 



 

sin sin

sin sin

x A B z A

x y

A B

 

   

 

sin sin

sin sin

x C z A

x y

A B

 

  



 sin sin sin

x y z

A B C

7 DAYHOCTOAN.VN

Tức tam giác ABC đồng dạng với tam giác có ba cạnh x, y, z

b) Tam giác ABC có đặc điểm thoả mãn điều kiện: cos cos cos 2

C

A B 

Áp dụng phần a với x y 1, z

Nhận thấy

2 2

x y z

yz zx xy  Theo kết câu a ABC đồng dạng với tam giác có ba cạnh 1, 1, Nghĩa tam giác ABC vuông cân C

Bài 14 Cho ba số dương a, b, c thoả mãn abc1 Chứng minh rằng:

1 1

1

1 1

a b b c c a 

Lời giải

3 3 3  3 

a b  a b a  ab b  ab a b

 

3 3

1

a b ab a b

      3 

ab a b abc

   3 3 

ab a b c

  

   

3

3 3

3 3 3 3

1

1

abc c

a b ab a b c ab a b c a b c

   

       

Tương tự

3 3

1

a

b c   a b c ,

3

3 3

1

b

c a   a b c

Vậy 1 1

1 1

a b b c c a  Đẳng thức xảy a  b c

Bài 15 Cho ABC không tù Chứng minh rằng: tan tan tan tan tan tan 10

2 2 2

A B C A B C 

Dấu xảy nào?

Lời giải

Đặt tan

A

x , tan

2

B

y , tan

2

C z

 

, , 0;1 x y z

xy yz zx x y z

 



   

    

Áp dụng BĐT Cơsi cho ba só khơng âm 1x, 1y, 1z ta được: 1  1  1  3   

1 1

3

x y z

x y z

    

     31   x y z xyyzzxxyz

 

32 x y z xyz

    

3

3 10

2

3

x y z

x y z xyz      

            

    (ĐPCM)

Dấu xảy 3 x  y z

Bài 16 Cho số thực dương x, y, z thoả mãn x  y z xyz Chứng minh rằng:

2 2

3 1

xyyzzx  x   y   z 

8 DAYHOCTOAN.VN Ta có xyz   x y z xyz  

2

2

z xy xy z

    xy 1 z2

z  

  (ta loại trường

hợp

2 1 z z

xy    ,x y0)

Với

2 1 z xy

z  

 , ta có:    

2

2 1

2 z 1

z x y z xy z z

z  

     

Nên z x y2 1  1z2

Tương tự, ta có    2 1

x zy   x , y x z2 1  1y2

Cộng theo vế ba bất đẳng thức ta 2

3 1

xyyzzx  x  y  z (ĐPCM) Bài 17 Tính góc tam giác ABC, biết cạnh a, b, c góc A, B, C thoả mãn hệ thức:

 

4

2 3 sin sin sin

2 2

p p a bc

A B C

 

 

 

 



với p nửa chu vi tam giác ABC

Lời giải:

 

4p p a bc a b c b c a     bc b c 2a2bc b2 c2 a22bcbc

1

cos

2

A

  

cos

2

A

 

sin

2

A

  sin

2 A

 

1

sin sin sin sin cos cos

2 2 2 2

A B C A B C B C 

   

 

1

sin cos

2 2

A B C 

   

 

2

1 1

sin

8 2

A

 

    

 

2

1 3

8 2

  

     

 

Dấu xảy

3 sin

2

cos

2 A

B C 

 





 



2

6 A

B C

      

   

Bài 18 Cho , ,a b c0 thoả 21ab2bc8ca12 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P

a b c

  

Lời giải

Đặt x a

 , y b

 , z c

 Điều kiện toán trở thành , ,

2

x y z

xyz x y z

 

   



Bài toán quy tìm giá trị nhỏ P  x y z

Từ 2xyz2x4y7z z2xy72x4y

2

2

2

xy

x y

z xy   

  

 



Khi

14

2 11

2 2

x

x y x

P x y x y

xy x x xy

 

       

 

11

2

x

x x

9 DAYHOCTOAN.VN Dễ dàng chứng minh được: 2

7

2 x x



 

7

11 9 11

2

2 2 2

x

P x x x

x x x



        

Vậy 15

P

3

a ,

5

b ,

2

c Dễ dàng CM 2

7

2 x x



 

Bài 19 Cho hai số x, y thoả x24y2 4 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức

2

4

M  x  xy y

Lời giải

Từ

2

2 2

4

2

x

x  y     y 

 

Đặt sin

x 

 , ycos

2

16sin sin cos cos 3sin cos

M          

Áp dụng BĐT Bunhiacopki ta có M đạt giá trị lớn 9 58 giá trị nhỏ 9 58

Cách 2:  

2

2

4

4

x xy y

M

x y

 



 sử dụng điều kiện có nghiệm phương tình bậc hai, ta có kết

Bài 20 Cho , ,a b c0 ab bc ca  1 Chứng minh rằng:

2 2 2 2 2

2 2 1

1 1 1 1 1

a b c

a  b  c   a   b   c 

Lời giải

Từ điều kiện đầu bài, ta đặt tan

A

a , tan

2

B

b , tan

2

C

c A, B, C ba góc tam giác

Từ 2 2 2

2 2

2 2 1

1 1 1 1 1

a b c

a  b  c   a   b   c 

sin sin sin cos cos cos

2 2

A B C

A B C

       *

Mặt khác ta có: sin sin sin cos sin cos

2 2

A B A B A B C

A B      ,

sin sin cos

A

B C , sin sin cos

2

B

C A

Cộng bất đẳng thức trên, ta chứng minh  * Bài 21 Cho tam giác ABC có góc thoả mãn

2

10 DAYHOCTOAN.VN

Lời giải

Ta có:

2

A  B C 

3 C

 

   cos

2

C

  

     

cos 2Acos 2B2 cos A B cos A B  2 cosCcos A B  2 cosC(do cosC0

 

cos A B 1)

Dấu xảy AB

2

C

Từ    2

4 cos 2 cos 1 cos

P C   C   C

  8cos2C2cos2C 1 2cosC

 2  

4 2

16 cos C 8cos c 1 cosC 4 cos C 1 cosC 4

            

Dấu xảy

3

C Vậy P đạt giá trị nhỏ

3

A  B C 

Bài 22 Cho ba số dương a , b, c thoả mãn ab 1 c a b   Tìm giá trị lớn biểu thức

2 2

1 1

a b c

P

a b c

  

  

Lời giải

Đặt atan, btan , c tan với , 0;    

 , 2;0    

  Từ giả thiết, ta có:

   

1 tan tan tan tan tan

ab c a b        

1 tan tan tan tan tan

 

  



 

 tan  2 tan 

 

    

 

Đặt atan, btan, c tan với , 0; , ;0

2

 

     

   

2 k



   

     ,

2

          nên

2

     

Mà Ptan cos 2tan cos 2tan cos 2 1sin sin 2 sin2 

2   

  

   

   

1

2 sin cos sin cos cos cos

2

P              

  2 

cos cos

cos

2 4

P          

 

Đẳng thức xảy

 

 

2

cos

cos

cos

2

    

  



 

 

 

1 cos

2  

     

 

5 12

  

     

     

2

a b

11 DAYHOCTOAN.VN Vậy GTLN P

4 a  b 3, c

Bài 23 cho , ,x y z 0 Chứng minh

 2   2   3  53

xy yz zx

P

z x z y x y x z y z y x

   

     

Lời giải

Đặt a y z, b z x, c x y

Khi a, b , c ba cạnh tam giác ABC

Ta có:

       

2

4

b c a c a b c a b

xy

z x z y ab ab

     

 

 

2 2

1 1

cos

4 2

c a b

C ab

 

    

Tương tự

   12cos 12 yz

A

xy xz    ,    

1

cos

2

zx

B y z yx    Suy cos cos 3cos

2

P  C A B

 

Ta có cos cos 3cos cos cos 3cos

2 2

A C A C

C A B    B

2

2sin cos 2sin

2 2

B A C  B

    

 

2

3sin sin

2 2

B B

   

2

2 11 11

3 sin

2 6

B

 

      

 

Suy 11

2

P  

Dấu xảy

2

sin

2 3

B

b a

A C a c

   

 

 

   

 

2

x y z

  

Bài 24. Câu Cho , ,

6 a b c a b c

 

   

 Tìm GTNN

2 2

S a b c

b c a c a b

     

  

Bài giải:

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacơpxki ta có:

2 2

( ) (4 )

a a

b c b c

     

   

 

2 2

( ) (4 )

b b

a c a c

     

   

 

2 2

( ) (4 )

c c

b a b a

     

   

 

Cộng theo vế bất đẳng thức ta đợc: S 17 4(a b c) ( 1 )

a b b c a c

     

  

3

3

4( )

a b c

a b b c c a

   

   ( theo bất đẳng thức Côsi)

4(a b c)

a b b c a c

   

12 DAYHOCTOAN.VN

 

2 2

9

4( )

(1 1 ) ( ) ( ) ( ) a b c

a b a c b c

   

      

9

4( )

6( )

a b c

a b c

   

 

31 9

( )

8 6( ) 6( )

a b c a b c

a b c a b c

 

     

   

2

31 93 51

.6

8



   

51 17 S

  17

2 

Vậy ưMin 17

S  a  b c

Bài 25 Câu Chứng minh tam giác ABC thoả mãn:

2 tan tan tan

2 2

A B C R

S

  

Bài giải:

Trong S, R diện tích bán kính đường trịn ngoại tiếp ABC Ta có sin

2

S  ab C 2 sin sin sinR A B C vào đẳng thức cho ta được: tan tan tan sin si

(   ) R A nBsinC 9R

 2

4 sin sin sin sin sin sin sin sin sin

2 2

A B C

B C A C A B

 sin BsinCsinAsinCsinAsinB

 

2 sin sin cos sin sin cos sin sin cos

4

B C A A C B A B C

   

Theo BĐT Côsi: 2

sin s

sin Asin Bsin C A inBsinBsinCsinAsinC Nên

 2   2  2

2 sin sin sin sin sin sin sin sin sin

4

VT  A B C  A B C A B C (*)

Dấu đẳng thức xảy ABC Chứng minh BĐT (*):

Ta có sin2 sin2 sin2 cos cos sin2

2

A B

M  A B C     C

   

1 cos A B cos A B cos C

     

 

2

2 cos C cosCcos A B

   

Xét cos2 c s  

4 C o Ccos B

M    A 

  2 

1

cos cos sin

2

C A B A B

 

       

 

Dấu đẳng thức xảy ABC Suy điều phải chứng minh

Bài 26 Câu Tìm giá trị nhỏ biểu thức A2 11 2 y4 x y 5, với x, y số thực

thoả mãn 2

– – 6

13 DAYHOCTOAN.VN

Bài giải:

Ta thấy 2 – – 6 6 0

x y x y  phương trình đường trịn  C tâmI 1;3 , bán kính R2 Vì x y, thoả mãn x2y2 – – 6x y 6 nên ta có

2 11

A  y x y =2( 11 2 y+ 4x4y20)

=2( (x2y22x6y 6) (11 ) y + (x2y22x6y 6) (4x4y20)) = = 2(

2

(x1) (y4) + 2

(x1) (y5) )2NM PM, N 1; nằm bên  C ,  1;5

P  nằm bên ngoài C ,M x y   ;  C Gọi Mo giao điểm đoạn thẳng PN với  C 

( ) vµ cïng h-íng

o

NMo NP M  C 

  

  toạ độ điểm Mo nghiệm hệ

2

- - 6

1

0

2

x y x y

x y

   



  

 

 



1 23

5 x

y     



 

1 23 ; 5

o

M    

Với M x y   ;  C ta thấyNM PM PN  5, dấu “=” xảy M x y ; 23; 5

o

M  

  

 

= PN ( )C

Vậy min A 2NMoPM 2.PN 2 , đạt

1 23

5 x

y     





Bài 27 Câu Cho số thực a b c, , 1, a2b2c2 4 Tìm phần nguyên

1 1

2

a b c

B

a b c

 

    (Phần nguyên số thực x số nguyên lớn không vượt quáx, kí hiệu  x )

Bài giải:

Từ giả thiết suy 1a b c, , 2 Nh 2 –a a –1 0

2

a a  ≤

2 Tương tự

b b  ≤

2 ,

c c  ≤

2

Do ta có 1

2

a b c

B

a b c

 

    ≤

2  (1)

Theo BĐT Cauchy ta có

2

a a

 ≥ .1 a

a= Tơng tự

2

b b

 ≥ 2,

2

c c

 ≥ Suy B = 1

2

a b c

a b c

    

14 DAYHOCTOAN.VN

Bài 28 Câu Tìm giá trị lớn hàm số: f x y z , ,  yz x xz y xy z xyz

    

miền ( , , ) : 1; 2; 3

D x y z x y z

Bài giải:

 , , 

f x y z  x y z

x y z



 

 

Vận dụng bất đẳng thức Côsi cho cặp số ta có: x x 1.1

x x

 



2

 2

y y

y y

 



2

 ; 3

3

z z

z z

  

2 

Cộng vế vế bất đẳng thức ta đợc f x y z , ,  1(1 1 )

2

  

Đẳng thức xảy x2,y4,z6 Do max f x y z , ,  1(1 1 )

2   với x y z, , D Bài 29 Câu Cho x y, hai số dương thay đổi, có tổng bằng17

4 Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

2

2

1 11 11

1

x y

P x x

y y xy



    



Bài giải:

Ta có:

2

1

11

1

P x x

y y

x y

   

      

    

Đặt: t x y   

Ta có:

2

2 3 47

11 12 12

2 4

P t t t t t

t t t

   

           

   

Đẳng thức xảy

2

t Giải hệ:

17 1 x y

x y     

   

được:

4

x vày4

Vậy: Min 47

P đạt

4

x y4

Bài 30 Câu Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ

2

2

3

x xy y

P

x xy y

 



 

Bài giải:

•y0 P1 • y0

2

3 1

t t

P

t t   

  với x t

15 DAYHOCTOAN.VN

Gọi P giá trị phương trình sau ẩn t phải có nghiệm  

1

P t t t t

       1  3  – 1  0

P t P t P

     có nghiệm

Hay 2 2

(3 ) 4(1 ) (*) P

P P

 

      

(*) 3P2 – 6P13 0   1 3 P 1 Vậy giá trị lớn P1

Vậy giá trị nhỏ P  1 3

Bài 31 Câu Cho , ,a b c ba số thực dương.Chứng minh rằng: a b c b c  a c  b a 

Bài giải:

2 ( )

a a a

b c  a b c  a b c 

( )

b b b

a c  b a c  a b c 

( )

c c c

b a  c b a a b c 

Cộng bất đẳng thức vế theo vế ta có điều phải chứng minh Bài 32 Câu Tìm GTNN 2 2

6 12 45 10 16 89

P x y  x y  x y  x y

Bài giải:

2 2

6 12 45 10 16 89

P x y  x y  x y  x y Biến đổi;   2 2   2 2

3

P x  y  x  y

Trong mặt phẳng toạ độ với hệ Oxy ta gọi  đường thẳng có phương trình:x2y 4 0và điểm M x y ; ,A 3;6 ,B 5;8 PMAMB

Bài tốn trở thành tìm toạ độ điểm M thuộc  cho tổng MAMB đạt giá trị nhỏ Rõ ràng ,A B nằm phía với 

Ta tìm điểm A 5; ,đối xứng A qua 

Với M thuộc  ta có:MAMBMAMBA B (khơng đổi)

Đẳng thức xảy ,A M B , thẳng hàng hay M giao điểm  với đường thẳng A B

Tìm PT đường thẳng A B x– 0

Giải hệ PT: x

x y

  

    

5 x y

     

 Kết kuận:MinP6

5 x y

    

16 DAYHOCTOAN.VN Bài 33 Câu 10 Cho ba số thực a,b,c thỏa mãn: 12 12 12

a b c  Tìm GTLN biểu thức:

2 2 2

1 1

5 2 2 2

T

a ab b b bc c c ac a

  

     

Bài giải:

Ta có: •

2 2 2

1

5a 2ab 2b 3a 2a 2ab 2b 

    

1 3a 6ab 



2

3a 6ab 4

1 1

3a 3ab 3ab 9 a b 3 a b

  

 

3 3

1

3 a b a a b 

3 3

1 1

3 a a b

 1 12 12 12

3 a a b

 

    

 

2 2

3

1 1 1

3

3 a b a a b

   

2 2

2 2 2

1 1

1

1 1 1 1 1

2

3 3 6

a a b

a a b a a b

   

   

 

       

 

Suy ra: 2 2 2

2

1 1 1

6

5a 2ab 2b a a b

 

    

 

 

Tương tự ta có: 2 2 2

2

1 1 1

6

5b 2bc 2c b b c

 

    

 

 

2 2 2

2

1 1 1

6

5c 2ac 2a c c a

 

    

 

 

 12 12 12 1

6 3 3

T

a b c

 

       

 

Vậy

3

T

Max  a  b c

Bài 34 Câu 11 Cho x y z, , số thực dương thỏa mãn x  y z xyz.Chứng minh rằng:

2

1

1 x y 1 z

xyz

x y z

 

   

   (I)

Bài giải:

Giả thiết suy ra: 1 1 xy yzzx  Ta có:

2

2

1 x 1 1 1 1

x x xy yz zx x y x z

 

         

  

 

 

1 1 x y z

 

    

 

Dấu ""xảy  y z

17 DAYHOCTOAN.VN

2

1

1 x y 1 z

x y z

 

   

   1

x y z

 

 

 

 

Dấu ""xảy   x y z Ta chứng minh:3 1 xyz

x y z

 

  

 

       

2

3 xy yz zx xyz x y z

      

  2  2 2

0

x y y z z x

       (Điều luông đúng) Dấu có x y z

Vậy  I chứng minh,dấu có x  y z

Bài 35 Câu 12 Cho x y z, , số dương thỏa mãn điều kiện: x2y2z2 2011 Tìm giá trị nhỏ P xy yz zx

z x y

  

Bài giải:

 

2 2 2

2 2

2 2

x y x z z y

P x y z

z y x

      =

2 2 2

2 2 2.2011

x y x z z y

z  y  x 

Ta có,theo BĐT Cosi:

2 2 2

2 2

2 2

x y x z z y

x y z

z  y  x   

Nên P2 3.2011 P 3.2011

Vậy GTLN P 3.2011 đạt đợc 2011 x  y z

Bài 36 [0D4-4] Cho a,b,c số dương thỏa mãn:ab bc ca  3 Chứng minh :

     

2 2 2

1 1 1 1

+ +

1+ a b+ c 1+b c + a 1+ c a +b abc Lời giải

Từ giả thiết 3 = ab+bc+ca3 a b c3 2 2 2  3 a b c2 2 2 1

abc 1

 

Nên ta có :

     

2

1 1

1a b c abca b c  a ab bc ca  3a Tương tự:

 

2

1 1

1+b c + a 3b; 2 

1 1

1+ c a +b 3c Cộng vế với vế BĐT ta được:

2 2

1 1 1 1

3 3

1 ( ) ( ) ( )

ab bc ca

a b c abc abc

a b c b a c c b a

 

      

     

Dấu xảy    a b c 1.

Bài 37 [0D4-4] G Cho ba số thực không âm a b c, , thỏa mãn điều kiện: a b c  1 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức Fab bc ca  2abc

18 DAYHOCTOAN.VN Điều kiện: x 2

Từ giả thiết, a; b;c 0;1  0 abc1

Ta có ab bc ca  3 (abc)3 3 (abc)3 3abc2abc, suy F0 Dấu có xảy ra, chẳng hạn a b 0; c1

Vậy giá trị nhỏ Flà đạt a b 0; c1 hốn vị Khơng tính tổng qt giải sử a b c a 0;

3

 

     

Ta có: ab bc ca 2abc a b c  bc 2a  a a 1b c 2 2a

           

  1  2 

a a a 2a

4

         

1

1 a 2a a 1 2a a

4 4 

        

3

1 2a a a

1

4 27

          

 

 

 

Vậy giá trị lớn P

27 đạt khi:

1

a b c

3

  

Bài 38 [0D4-4] Cho a,b,c số thực khác 0.Chứn minh rằng: a b b c c a

c a b

2 2 2 2 2 2

2 2 2 6 Dấu

đẳng thức xảy nào?

Lời giải

2

t  t mx m    2 Ta có:

( ) ( ) ( )

a b b c c a a b a c b c

c a b b a c a c b

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

Do a,b,c khác0 nên a2, b2,c2 số dương.Á dụng bất đẳng thức cauchy ta có: a b

b a

2 2 2 2 a b

b a 2 2 2 2

2 2, a c

c a

2 2 2 2

a c c a 2 2 2 2

2 2, b c

c b

2 2 2 2

b c c b 2 2 2 2

2 2

Vậy a b b c c a

c a b

2 2 2 2 2 2

2 2 2 6

Dấu “=” xảy a2 b2 c2

Bài 39 [2D1-4] Chứng minh: x2ax b  2 x2cxd 2  2x212 với a, b, c, d thỏa mãn điều kiện: 2 2

1 a b  c d 

Lời giải

Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho cặp số:x x; ;1 x a b; ;  ta có:

2 2 2 2 2 2

) ( 1)( ) (2 1)( )

19 DAYHOCTOAN.VN

Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho cặp số:x x; ;1 x c d; ;  ta có:

) d c x )( x ( ) d c x )( x x ( ) d cx x

( 2   2 2 2 2  2 2 2  2 Từ  1  2 suy ra:

2 2 2 2 2 2

(x ax b ) (x cxd) (2x 1)(x a b ) (2 x 1)(x c d )

) d c b a x )( x

( 2 2 2 2 2

 2 2 ) x ( ) x )( x (    

 ( Vì a2b2 c2 d2 1) Vậy:   2  2 2

2

x ax b  x cxd  x  Đẳng thức xảy

2 1

x a b c d

x x

       a c bxdx

Bài 40 [0D4-4] Cho a1,a2, a10 số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

 

2 2

1 10

10

a a a

P

a a a a

  



  

Lời giải

Ta có: 2 2 2 2

1 10 10 10 10

1 1

9 9

a a  a a  a a  a  a  a Áp dụng BĐT cauchy ta có: 1 10

10

1 a a

3 a

a  

22 102 a2a10

3 a

a  

2

9 10 10

1

9

a  a  a a

 12 22 102 a10a1 a2 a9

2 a a

a       

   ) a a a ( a ) a a a ( a a a a a a a a P 10 10 10 10 2               

Bài 41 [0D4-4] Chứng minh rằng: 1 2; ,

n n

n n n n n n

n n

     

Lời giải Từ điều kiện n , n1 ta có: n

n n

n

n n

 

n

n n   

Áp dụng BĐT cauchy cho n số dương: ;1;1; ;1

n

n n

 ta có:

1 1.1

n n

n n n n

n n

 

    

20 DAYHOCTOAN.VN

1

n

n

n n

  

      

 

 

1 n

n n

n n

 

   

 

n

n n

   1 Áp dụng BĐT cauchy cho n số dương: ;1;1; ;1

n

n n

 ta có:

1 1.1

n n

n n n n

n n

 

    

 

1

1

n

n

n n

  

      

 

 

1 n

n n

n n

 

   

 

n

n n

   2

Từ  1 và 2 suy ra:

n n n

n n

n n

n

n

n n

n n

n

      



Đẳng thức khơng thể xảy n , n1 ta có:

n n 1 n

n

n n

  



Vậy:

n n n

n

1 n

n n

n

  



Bài 42 [0D4-4] Cho ai,bi ,i1, 2,3

a)Chứng minh rằng:     2

3 2 1 2 2 2

1 a a b b b a b a b a b

a         1

b) Giả sử a a1 2a a2 3a a3 14 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 4

1

Pa a a Lời giải

a) TH1: Nếu a1a2 a30 b1 b2 b3 0 BĐT TH2: Nếu 2

1

a a a 

Xét hàm số:    2 2    2 2

1 1 2 3

f x  a a a x  a b a b a b x b b b a x b1  1 2 a x b2  2 2 a x b3  320 với x Theo định lý dấu tam thức bậc hai thì:

2 2

1

0

a a a

   

   mà 2

1

a a a     0a b1 1a b2 2a b3 32 a12a22a32b12b22b32 Đẳng thức xảy

1

a

a a

b  b b

b) Áp dụng BĐT  1 ta có:          

2 2

4 4 4

1 1 2 3

a a a a a a  a a  a a  a a   2      

 2 2  2 2 2  2 2

1 2 3 1 1 2 3

a a  a a  a a    a a a a a a       

 2 2

1 2 3

16

3

a a a a a a

     3

Thay  3 vào  2 ta được:  

2

4 4

1

16

a a a      

 16

3

21 DAYHOCTOAN.VN Vậy giá trị nhỏ P là: 16

3

P 1 2 3

3

a a a 

Bài 43 [0D4-4] Cho x y z, , không âm thỏa mãn: xyyzzxxyz4 Chứng minh rằng: x  y z xyyzzx

Lời giải

Ta có: xyyzzxxyz4 xyyzzx4xyz  1 Do đó: xyzxyyzzx xyz4xyz (2)

Từ điều kiện đề bày , ,x y z không đồng thời không, có tối đa số khơng Khơng tính tổng quát giả sử rằng: ,x y0

Từ  1 ta có:

xy y x

xy z

 





Khi đó:  2 x y xy xy xy

x y xy x y xy

 

    

   

xy2xy x y 4 xy4xy4xy4xyx y2 x y 22xy1x1y (3)

i) Nếu 1x1y0  3 hiển nhiên

Đẳng thức xảy xy22 xy(1x)(1y)0xy1 Kết hợp với  2 ta có: x  y z

ii) Nếu (1x)(1y)0 Ta có:

  2 2

2 1

x y    x y  (1 x)2 (1 y)22(1x)(1y)4(1x)(1y)

xy22 4(1x)(1y)

  4

Nhưng do:

xy y x

xy

z 

 



 ,x y  0 xy0  4 xy 5 Từ  4  5 suy  3 chứng minh

Bài 44 Bài 27. Cho số thực a b c d, , , thoả mãn 4a2b2 2vàc d 4 Tìm giá trị lớn biểu thức P2ac bd cd 

Bài giải:

Ta có  

2

2

4

c

ac a   

2

2

d

bd b     

2

3

8

c d cd

cd   

Cộng vế      1 , , ta có

 2    2

2

2 2

2 4

4 8

c d c d

c d cd

P ac bd cd a  b      a b   

 

8 ; ; ; ;1; 2; 2

P  a b c d   

  Vậy giá trị lớp Pbằng

Bài 45 Bài 31 Cho a b c, , ba cạnh tam giác, chứng minh

2 2

2( ).

a b c  abbcca

22 DAYHOCTOAN.VN Trước hết ta chứng minh 2

(b c ) a

Tương tự: 2 2

(a c ) b , (b a ) c Từ suy ra:

2 2 2

2 2

( ) ( ) ( )

2( ) ( ).

b c a c b a a b c

a b c ab bc ca dpcm

       

     

Bài 46 Bài 33 Cho , ,x y zlà số dương thỏa mãn điều kiện x2  y2  z2 2012. Tìm giá trị nhỏ P xy yz zx

z x y

  

Bài giải:

 

2 2 2

2 2

2 2 2

x y x z z y

P x y z

z y x

     

2 2 2

2 2 2.2012

x y x z z y

z y x

   

Ta có, theo BĐT Cơsi:

2 2 2

2 2

2 2

x y x z z y

x y z

z  y  x   

2

3.2012 3.2012

P P

   

3.2012 MinP

  2012

3 x  y z

Bài 47 Bài 34 Cho x y z, , số thực thỏa mãn :x2 xy 4y2 3yz z2 3 2 Chứng minh

rằng x 5y z 13 2

2 2 Dấu " " xảy nào?

Bài giải:

Ta có: x2 xy 4y2 3yz z2 (x 1y)2 (3y z)2 3y2 3 2

2 2 2

Áp dụng BĐT Bunhiacốpski ta có:

(x y z) (x y) ( y z) y 2 2

5 1 3 1

2 2 2 2 (x y) ( y z) ( y)

2

1 3 1 3

2 2 6 2

( 2 2 ( 1 ) ) (2 x 1y)2 (3y z)2 3y2

1 1

2 2 2

6

(x 5y z)2 13 2

2 2 x y z

5 13

2

23 DAYHOCTOAN.VN Dấu " " xảy

x xy y yz z

y

x y y z

2 2 2

4 3 3 2

3 1 3 2 2 2 1 1 1 6 x y z

5 2 2 2 13

2 2 13 3 2 2 2 13

Bài 48 Bài 38 Cho , ,x y z0, x  y z Tìm MaxP ,

2 2 2

xy yz zx

P

x y y z z x

  

     

Bài giải:

1

2

2 1

cyc cyc cyc

xy xy xy xy xy

P xy

x y x y x y

   

        

       

  

   

3 ( )

3

xyyzzx  x y z   xyyzzx   2 

2

xy x y

x y x y xy

x y



    



Nên (2 2 )

9 9

x y y z z x

P        

 

Bài 49 Bài 39 Chứng minh:

3 2 4

xy yz xz x y z

x y z x y z x y z

 

  

     

Bài giải:

Áp dụng BĐT :

9 1 1 1 )

( A B C

24 DAYHOCTOAN.VN

Tương tự 9( )(3)

2 81

2

4 x y z

xz x

z z y x

xz

      

Từ (1);(2);(3) ta có

9 27

) (

2 27 )

(

) (

2 27

z y x z y x z y x z y x

zx yz xy z

y x

Q         

 

  

  

Vì  2

3

z y x zx yz

xy    

Cách 2: xy yz zx x y z.

3x 4y 2z 3y 4z 2x 3z 4x 2y 9

 

  

     

Áp dụng

2 2

(a b c) a b c

A B C A B C

    

  với , ,a b c không âm A B, dương Dấu " " xảy a b c

A B C ta có:

 2

6 2 1

xy xy xy xy 18 2 1

.

3x 4y 2z 2(x y z) 2y x 81 2(x y z) 2y x 81 x y z y x

   

      

             

 

    

     

xy 1 18xy

2x y (1)

3x 4y 2z 81 x y z Dấu " " xảy   x y z

Tương tự ta có: yz 1 18yz 2y z

3y 4z 2x 81 x y z

 

    

     (2)

Dấu " " xảy   x y z

zx 1 18zx

2z x

3z 4x 2y 81 x y z

 

    

     (3) Dấu " " xảy   x y z Cộng vế với vế (1);(2) (3) ta được:

xy yz zx 1 18(xy yz zx)

3x 3y 3z

3x 4y 2z 3y 4z 2x 3z 4x 2y 81 x y z

   

       

         

Lại có 3(xyyzzx)(x y z)2

   

        

         

2

xy yz zx 1 6(x y z)

3x 3y 3z

3x 4y 2z 3y 4z 2x 3z 4x 2y 81 x y z

x y z 9

  

(ĐPCM) Dấu " " xảy   x y z

Cách 3: xy yz zx x y z

3x 4y 2z 3y 4z 2x 3z 4x 2y 9

 

  

     

9xy 9yz 9zx

x y z

3x 4y 2z 3y 4z 2x 3z 4x 2y

     

25 DAYHOCTOAN.VN Ta có:

1 1

x y z x y z x 2y 3x 4y 2z

2xy xy 9xy

x y z x 2y 3x 4y 2z

  

      

  

    

Tương tự: 2yz yz 9yz x y zy 2z 3y 4z 2x  ;

2zx zx 9zx

x y zz 2x  3z 4x 2y Cộng vế bất đẳng thức trên, ta được:

 

   

2

9xy 9yz 9zx xy yz zx xy yz zx

2

3x 4y 2z 3y 4z 2x 3z 4x 2y x y z x 2y y 2z z 2x

x y z xy yz zx xy yz zx

2 x y z

3 x y z x 2y y 2z z 2x x 2y y 2z z 2x

                                                    

Ta cần chứng minh: xy yz zx x y z x 2y y 2z z 2x 3

 

  

  

Thật vậy: x 2y 2x y x y y x x y 9xy 2x y xy

9 x 2y



         

 Tương tự: 2y z yz ; 2z x zx

9 y 2z 9 z 2x

   

  3

Suy xy yz zx x y z. x 2y y 2z z 2x 3

 

  

   (Điều phải chứng minh)

Bất đẳng thức chứng minh

Dấu xảy x y z Bài 50 Bài 42 Chứng minh bất đẳng thức :

2 2 3 1 2 z y x x z z z y y y x

x   

   

 biết , ,x y z

là số thực dương

Bài giải:

Ta có: 1 (1)

2 1 2

2 2

2 3                        

 x y x y x y

x y

x x

1 (2)

1

2 2

2                      

z y z

y y

; 1 (3)

1

2 2

2                      

x z x

z z

Cộng với vế (1);(2);(3) ta đpcm

Bài 51 Bài 44 Cho x ylà hai số dương thỏa mãn x y 2010 Hãy tìm giá trị nhỏ biểu

thức:  

  2010 2010 x y P x y Bài giải:  

2010 y 2010 x 2010(  ) (  )(1)

P x y

26 DAYHOCTOAN.VN Theo BĐT Cô si ta có

y x y

x   

4

1

Đẳng thức xảy x y(2)

TheoBĐT Bunhiacốpski ta có( x  y )2 2(x y)2.20104020 x  y  4020(3) Đẳng thức xảy x y

Từ (1);(2) (3) ta suy 2010.4 4020  4020 4020

P Đẳng thức xảy x y

Vậy P đạt GTNN 4020 khix y 1005

Bài 52 Bài 45 Cho , ,x y z số thực dương thỏa mãn x y z  xyz Chứng minh rằng:

2 1 1

1 1

(1) y

x z

xyz

x y z

 

      

Bài giải:

Giả thiết suy ra: 1 1 xyyzzx 

Ta Có:

2

1 x 1 1 1 1

x x xy yz zx x y x z

 

         

  

 

 

1 1

;" " y z x y z

 

       

 

Viết hai BĐT tương tự cộng lại ta được:

2

2

1

1 1   1 1

 y  

x z

x y z

1 1

3 ;" " x y z x y z

       

 

 

Ta CM:3 1 xyz x y z

   

 

       

2

3 xy yz zx xyz x y z

      

xy 2 y z  2 z x2 0Điều lng

Dấu có , ,x y zVậy (I) CM, dấu có khix  y z

Bài 53 Bài 49 Cho , ,a b clà số dương thỏa mãn : ab bc ca  3 Chứng minh :

     

2 2

1 1 1 1

1 a bc 1 b c a 1 c a b abc

Bài giải:

Từ giả thiết 2

3ab bc ca  3 a b c abc1 Nên ta có :

     

2

1 1

1 a b c abc a b c  a ab bc ca  3a Tương tự

   

2

1 1

;

27 DAYHOCTOAN.VN

Bài 54 Bài 51 Cho a,b,c ba số thực dương thỏa mãn điều kiện : 3 3c

1 2b

1 a 1

 

 Tìm giá trị lớn biểu thức : 3 3 3 3 3 3

27c a

3ca c

27 8b

6bc b

8 a

2ab F



 

 



Bài giải:

Với ,x y0, ta có :x3y3xy x( y) Từ :

y x

1 y

x xy

3

3  

Mà )

y 1 x 1 ( 4 1 y x

1

 



Vậy : 3 3 3 3 3 3

c 27 a

3ca c

27 8b

6bc b

8 a

2ab F



 

  

2 3 ) a 1 3c

1 3c

1 2b

1 2b

1 a 1 ( 4

1      



Dấu xảy a2b3c1,khi

2 3 max F

Bài 55 Cho a b hai số thực dương, m số tự nhiên Chứng minh:

1

m m

m

b a

a b



      

   

   

Bài giải:

0,

a b nên b 0,1 a

a b

   

Áp dụng bđt Cosi:

1

m m

m m

b a

a b



       

   

   

Nên 1 1

m m m m

b a b a

a b a b

            

       

       

Hay: 1 2

m m m

b a b a

a b a b

          

     

     

Áp dụng bđt Cosi cho số b 0,a

a  b  : Ta có:

b a

a b

Bài 56. Cho hai số x y, thoả mãn 2

4x y 4 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ M x23xy2y2

Bài giải:

Ta có

2 2

2 2

4( - ) -12

4

x xy y x xy y

M

x y x y

 

 

 

+ y0 M 1

+ y0

2 -12

, ( ) (*)

t t x

M t

t y



 



Gọi M giá trị  * 4M 1t212tM  8 0có nghiệm t *, 1,

12

28 DAYHOCTOAN.VN *, M 1 để  * có nghiệm ’ 4 2– 9 –1 0

D   M M  M 85 9; 85

2

   

 

 

Vậy giá trị nhỏ 85 M  

Bài 57 Cho x y, thỏa mãn: x2y2 1 Tìm giá trị lớn biểu thức: P 2x2xy 2y2

Bài giải: Cách 1: Ta xét trường hợp:

TH1:y 0 x2 1 Khi P

TH2: y0 ta đặt xk y ĐK toán trở thành 2

(k 1)y 1 P( 2k k 2)y2 Do

2 2

2

2 2

( 2) 2

( 2) ( 2)

1 ( 1)

P k k y k k

P P k k P

k y k

   

        

  (*)

Để (*) có nghiệm  0 hay 4.( 2)( 2)

P P P

       suy

2

P Khi

2

P thay vào (*) k  2

Suy

2

2

1 (3 2)

1 18 12

1 2 y

k



  

    

  

 

Nếu y 2

18 12





1 18 12 x



Nếu y 2

18 12





1 18 12

x 



Vậy ax

3 m

P  với x y; nhận giá trị

Cách 2: Áp dụng BĐT aba2b2 ta

   

2

2 2 2

P x  y   x  y    

2

2

2 2 2

2

2

x y

x y

  

   

29 DAYHOCTOAN.VN Trong mặt phẳng tọa độ chọn u v cho

2

.( )

2

P u v

u v x y

   



  

  Khi chọn xong ta có BĐT: u   v u v

Từ tìm GTLN P xét điều kiện xảy dấu “=”  u v Bài 58 Cho số x y z t; ; ; x4;y6;z7;t8 Tìm giá trị lớn

A xyz t xyt z xzt y yzt x 4 xyzt

       

Bài giải:

Từ gt ta có A t z y x

t z y x



     

= 8 7 6 4

8

y

t z x

t z y x



     

1 1

2 8

t z y x

t z y x

       

Vậy GTLN A MaxA= 1 1

2 82 2 2

4

6

7

8

x y z t    

  



  

   

hay

8; 12 14; 16

x y z t

Bài 59 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: x A

x  

 Với x14;

Bài giải:

5

8

2

8 8

x x

A x x

x x x

 

       

  

- Áp dụng Cosi

2

x

x

  

 Đẳng thức xảy khi:

2

x

x

  

 x14 - Với 14

2

x  x  Đẳng thức xảy x14 Vậy:

2

A Đẳng thức xảy x14

Bài 60 Cho số dương a b c; ; thỏa mãn điều kiện a b c  3 Chứng minh: 2 2 2

1 1

a b c

b  c  a 

  

Bài giải:

Ta có:

2

2

1 2

a ab ab ab

a a a

b   b   b  

 

30 DAYHOCTOAN.VN

2 2 2

1 1 2

a b c ab bc ca

a b c

b c a

 

      

  

(Do a b c  3 nên dễ có: ab bc ca  3) Đẳng thức xảy a  b c

Bài 61 CMR với tam giác ABC ta có: 1) sin2 Asin2Bsin2C 2 cos cos cosA B C

2) sin sin sin cos cos cos

4 4

A B C

A B C  

         

 

Bài giải:

1) cos cos 2

sin cos( ).cos( ) cos

2

A B

VT      C   AB AB  C

   

2 cosC cos(A B) cosC cosC cos(A B) cos(A B)

        

2 2cos cos cosA B C  

2)Áp dụng BĐT Bunhia ta có:

1 sin sin 2(2 sin sin ) 2(2 2sin cos )

2

A B A B

A B A B  

       

2 cos 2 cos , (1)

2

C C

  

1 sin sin 2 cos , (2) sin sin 2 cos , (3)

4

A B

B C C A

       

Cộng theo vế ba BĐT suy điều phải chứng minh Dấu đẳng thức xảy khi tam giác ABC

Bài 62 Cho đường trịn có bán kính cố định R0, tam giác ABC nội tiếp đờng trịn Gọi m m ma, b, c lần lợt độ dài đờng trung tuyến kẻ từ đỉnh A B C, , tam giác ABC Tìm giá trị nhỏ biểu thức sin sin sin

a b c

A B C

P

m m m

  

Bài giải:

Áp dụng định lí Sin ta có :

0 1

(1) 2 a 2 b 2 c

a b c

P

R m m m

 

 

 

 

  

Mặt khác:  

2 2

2 4 3 2 2

2 4

a a

b c a

m     m  a  a  b c

Theo BĐT Côsi: 4 3 4

a a

m  a  a m Suy

2

2 2

3 2 a

a a

m a  b c ,

Tơng tự:

2

2 2

3 2 b

b b

m a  b c ,

2

2 2

3 2 c

c c

m a  b c

Thay vào  1 :

0 3 P

R

 KL: Giá trị nhỏ

0 3 P

R

31 DAYHOCTOAN.VN

Bài 63 Cho x y z, , số thực dương thỏa mãn xyyzzx3 Chứng minh bất đẳng thức:

2 2

3 3

8 8

x y z

x y z

  

  

Bài giải:

Theo bất đẳng thức Cauchy cho số thực dương ta có:

2

3 ( 2) ( 4)

8 ( 2)( 4)

2

x x x x x

x   x x  x        

2

2

2

x x

x x

x

 

  

Tương tự, ta có: 2 2 2

3

2

;

6

8

y y z z

y y z z

y z

 

   

 

Từ suy ra:

2 2 2

2 2

3 3

2 2

6 6

8 8

x y z x y z

x x y y z z

x y z

    

     

   (1)

Mặt khác, theo bất đẳng thức Cauchy - Schwarz:

2 2

2 2 2

2 2 2( )

6 6 ( ) 18

x y z x y z

x x y y z z x y z x y z

 

  

            (2)

Ta chứng minh:  

2

2 2

2( )

1

( ) 18

x y z

x y z x y z

 



     

Thật vậy, ta có:

x2y2    z2 (x y z) 18

  2   

2 18

x y z x y z xy yz zx

         

  2 

12

x y z x y z

       

Nên  3 2(x y z)2x2y2    z2 (x y z) 18 x2y2    z2 x y z

Mặt khác, x, y, z số dương nên ta có: x2y2z2 xyyzzx,

3( )

x  y z xyyzzx

Mà xyyzzx3 nên bất đẳng thức (3) Từ (1), (2) (3), ta có đpcm

Đẳng thức xảy x  y z Bài 64 Tìm GTLN   2 3  

1 , 1;3

y x x x 

Bài giải:

Ta có :72y(3x3) (6 )2  x

Áp dụng Côsi :(3x 3) (3x  3) (6 ) (6 ) (6 )x   x   x 5 725 y

13 13

5

3

min

8.5 8.5

y y

   

5

x

Bài 65 Cho a b c, , số dương thỏa mãn a b c  1 Chứng minh rằng:

a b b c c a

ab c bc a ca b

     

  

32 DAYHOCTOAN.VN

Biến đổi 1

1 (1 )(1 )

a b c c

ab c ab b a a b

    

     

Từ 1

(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )

c b a

VT

a b c a c b

  

  

     

Do a b c, , dương a b c  1 nên a b c, , thuộc khoảng  0;1  1 a,1b,1c dương áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta

3

1 1

3

(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )

c b a

VT

a b c a c b

  



      3 (đpcm)

Đẳng thức xảy

3

a  b c

Bài 66 Cho số thực x, y thỏa mãn x2  xy y2 3 Chứng minh rằng:

2

4 3 x xy 3y 4 3

      

Bài giải:

Đặt 2

3

Px xy y Qx2xyy2 Khi 0 Q

Nếu y0 0 Q x2 3 4 3 0   Q x2 3 3 bất đẳng thức cần chứng minh

Nếu y0

2

2

3 P x xy y

P Q Q

Q x xy y

 

 

  Chia tử mẫu cho

0

y  đặt x t y 

2

3

1 t t

P Q

t t   

  + Để ý 0 Q 3, nên cần chứng minh:

2

3

3

4 3 t t 4 3

R

t t   

 

    

Ta có    

2

2

3

1

1 t t

R R t R t R

t t  

       

   1 Nếu R1  1 phương trình bậc nhất, có nghiệm t 2  2

+ Với R1,  1 ln có nghiệm t, nên  R124R1R 3 Giải bất phương trình thu

3

4 3 4 3

R

    

R1  3 Từ    1 ,  3 suy điều phải chứng minh

Bài 67 Chứng minh với ABC nhọn ta ln có tan tan tanA B C1 Hướng dẫn giải

Vì ABC nhọn nên tan , tan , tanA B C0  1 Lại có tanA B tan C tanC0 Vì

 

tan tan tan

A B

A B

 

 nên  

tan tan

tan tan 1

tan

A B

A B

A B 

  



33 DAYHOCTOAN.VN Từ ba bất đẳng thức vừa kể suy 2

tan A tan B tan C1  2 Vậy tan tan tanA B C1 (do  1  2 )

Bài 68 Cho số thực dương x y z, , thỏa mãn điều kiện x5y5z5 3 Chứng minh

5 5

2 4 2

5

2 14 19

x y z

y  y  z x  z x  x y  xx  y  Hướng dẫn giải

Ta có

5

2

2

2

x x

y y

y y

    

  (1) Đẳng thức xảy y1 Xét hàm số

( ) 14

f z z  zx  x ( với x tham số) 0; ta có

( ) 4; ( )

f z  z  f z   z

Bảng biến thiên hàm số f z  sau

Từ bảng biến thiên ta có:  

( ) 11 10

f z  f x  x  Đẳng thức xảy z1,x1 Khi

5 5

4

5

4 14 10

y y y

z x  z x   (2)

Xét hàm số 2

( ) 19

g x x y  xx  y ( với y tham số) 0; ta có

( ) 6; ( )

g x  x  x g x   x

Bảng biến thiên hàm số g x  sau

Từ bảng biến thiên ta có:  

( ) 15 14

g x g  y  y  Đẳng thức xảy x1, y1 Khi

5 5

4 2

7

6 19 14

z z z

x y  xx  y   (3)

34 DAYHOCTOAN.VN

Bài 69 Cho a b c, , 0 Chứng minh 2abca1 2 b 1 2 c 12  2a b c   2 Hướng dẫn giải

Trong ba số a1,b1,c1 tồn hai số có tích khơng âm (ngun lý Dirchlet) Khơng tính tổng quát, giả sử b1c 1

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có

  2  2  2 2 1 2   

1 1 2

2

a  b  c  a  b c  a  b c

Do   2  2 2   

2 1 2

2

abc   a  b  c abc  a  b c Mà abc  2 a 2      b c a b c a b 1c   1 a b c

Suy  1 2 1 2 12

abc   a  b  c   a b c (1) Dấu “=” a  b c 0, 1

2

a b  c hoán vị

Bài 70 Cho số thực không âm a b c, , thỏa mãn a b c  1 Chứng minh 5

ab ac bc Hướng dẫn giải

Theo giả thiết ta có  

1 0

1 0

c a b a b

a c b b

               Khi

       

  2   

3 3 (

3

ab ac bc ab c a b bc ab a b a b b a b

a b a b b b ab

             

 

        

Xét hàm f x   x2 x x,  0;1 Chứng minh    0;1

4

f x   x

Theo chứng minh a b  0;1 ;b 0;1 nên   1;   1;

4

f ab  f b  ab Suy 3.1 2.1

4 4

ab ac bc  

Dấu đẳng thức xảy 0;

a b c

Bài 71 Cho x y z, , số thực dương thỏa mãn x y z Tìm GTNN biểu thức:

9 9 9

3 6 3 6 3 6

2x y 2y z 2z x

P

x y y x z y y z x z z x

  

  

     

Hướng dẫn giải

35 DAYHOCTOAN.VN 9

3 3 6

2x y

x

x y y x



 

  Từ ta có:

9 9 9

3 3

3 6 3 6 3 6

2 2

3 3

x y y z z x

P x y z xyz

x y y x z y y z x z z x

  

       

     

Đẳng thức xảy

3

x  y z Bài 72 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn  2

a b c  b c Tìm giá trị nhỏ biểu thức:   2  2  2   

1 1

1 1

1 1

P

a b c

a b c

   

  

  

Hướng dẫn giải

Từ điều kiện rút  2  2 2  

2

a b c a b c b c b c

a

       

Áp dụng BĐT Cauchy ta có:

  2      

1

1 1 1

1

P

b c a b c

a

  

    



Và       

2

2

2

1

1 2

4

a

b c b c

a a



 

         

 

Suy ra:

   

3

3

2

,

a a a

P f a a

a

  

  



Có      4

2 1

'

5

a

f a a

a 

   



Lập bảng biến thiên rút được: 91

108

P , xảy 1, 5

a b c

Bài 73 Cho x y z, , số thực dương thay đổi thỏa mãn: x2  y2 z2 xyz Chứng minh:

2 2

1

x y z

x yz y zxz xy

Lời giải

Đặt P 2 x 2 y 2 z

x yz y zx z xy

  

  

Vì , ,x y z0, áp dụng BĐT Cơsi ta có

2 2

2 2

1 1

2 2

2 2

1 2 1 1 1

4

1 1

2 2

x y z

P

yz zx xy

x yz y zx z xy

y z z x x y

yz zx xy

xy yz zx x y z xyz

xyz xyz xyz

     

   

           

 

 

   

   

36 DAYHOCTOAN.VN

Bài 74 Cho số không âm a b c, , thỏa mãn a b c  2 Chứng minh rằng:

2

3 3

4 4

a b c

a bc b ca c ab

  

  

Lời giải

Áp dụng BĐT Cauchy Shwars ta có

 

2

3 3

4 4

=2

3 3

4 4

a b c

VT a b c

a bc b ca c ab

a b c

a bc b ca c ab

 

 

      

    

 

 

 

 

 

    

 

Mặt khác 3

3 4

4

cylic

a bc ca ab

a bc b ca c ab

a bc

 

     

  

 





 

     

 

 

 

2

2 2 2 2

2 2 2 2

3

4 4

=

4

=

2 bc ca ab

bc a bc ca b ca ab c ab

bc ca ab

b c c a a b abc bc ca ab

b c c a a b abc a b c  



    

 

  

 



    

Tư suy

3

3 3

4 4

a b c

a bc b ca c ab

    

  

Dấu xẩy  , ,  2 2, , 3 a b c   

  a b c, ,   1,1, 0 hốn vị Bài 75 Cho x y z, , số thực thỏa mãn x2y2z2 9, tìm giá trị lớn biểu thức:

 

+ – F  xy z xyz

Bài giải:

Do vai trị x y z, , bình đẳng giả sử x  y  z

3

z

 

Ta có F 2xy  –xy z

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki ta có:

2xy  2 xy z 2 22 2 xy 2   xy2z2

      2 2 2 2 2

2 x y xy z 4xy x y x 2xy y z

          

 

37 DAYHOCTOAN.VN

2 2

2 xy x y  9 z 6 nên   3 t 3, từ bất đẳng thức (1) trở thành:

 2 

8

F  t t  t  F 2t3 t2 20t72 Xét hàm số  

2 20 72

f t  t  t t với t  3;3, ta chứng minh: f t 2t3 t2 20t72 100 (2)

3

2t t 20t 28

    

  

2 14

t t t

    

  2 

2

t t

   

Do t  3;3 nên bất đẳng thức đúng, dấu ‘=’ xảy t 2 Suy ra: F10 (3)

Dấu ‘=” bđt (1) xảy 

2 2

2

0 xy

x y z

x y z



  

  

    

Xét hệ: 2

2

0

xy

x y z

x y z

xy



  

 

    

     x y z, ,  2; 1; ,  1; 2; 2

   

Vậy gtln F10 đạt x y z, ,   2; 1; 2  hoán vị chúng Bài 76 Giả sử x y, số thực dương thỏa mãn x y Chứng minh rằng:

3

2

3

xy  x  y >

36 104 81 

Bài giải:

     3

3 3 3

1 1 4

4 3xyx y 3xy xy  x y  x 3xy xy y  xy  (1) Mặt khác,  

 

2

1 1

4

4 9

x y xy

xy x y xy

      

 (2)

Từ (1) (2) ta có:

3

2

3

xy  x  y

 

3

4

9 5 1 36 104

9xy x y 3xy 81 81



 

 

      



 

Bài 77 Cho a b c, , số thực dương Chứng minh 2a 2b 2c

abbcca 

Lời giải

Đặt x b, y c, z a

a b c

   , ta có x y z, , 0 xyz1 Bất đẳng thức cho trở thành: 2 2 2

38 DAYHOCTOAN.VN Giả sử xy  1 z

* Ta chứng minh đẳng thức sau: 2 2  1 1x 1y 1xy Thật vậy,    2   2 2

1  2x y 1xy 2 1x 1y  1 xyxy2 0(đúng)

Ta có: Theo bất đẳng thức Bunhiacopski

2 2 2

2 2 1

2

1 x y x y x y

     

    

     

           

 

Theo bất đẳng thức (1) suy ra: 2 2 8

1 1

z

x y xy z

   

     

 

Suy 2 2 2

1 1

z

x  y  z

  

Mặt khác, ta lại có 2 1z 1z

Suy 2 2 2 2

1 1 1

z

x  y  z  z  z

    

Do vậy, ta chứng minh : 2

1

z

z  z 

 

Thật vậy, ta có: 2 2 1  1 

1

z

z z z

z  z     

 

    2z 2 1z z z

       2z 1z20(luôn đúng) Vậy bất đẳng thức chứng minh

Dấu “=” xảy x  y z

Bài 78 Cho số thực không âm a b c, , thỏa mãn 2

2

a   b c Chứng minh

1 1

2ab2bc2ca 4

Lời giải

Bất đẳng thức tương đương với

2 2

1 1

2 2 2 2

ab bc ca

ab bc ca ab bc ca

             

           

     

 2 2 2 2 2 2

2a 2a 2a

2 2a ( )

ab b b b

ab  a b c b  a b c c a b a b c c

           

2 2

2 2 2 2

1 ( )

2 ( ) ( )

a b a b

c a c b c a c b

 



    

       (Sử dụng BẤT ĐẲNG THỨC Cauchy-Schwarz)

Tương tự ta có

2 2

2 2 2 2

1

;

2 2

bc b c ca c a

bc a b a c ca c b a b

   

       

39 DAYHOCTOAN.VN

Cộng vế với vế bất đẳng thức ta có đpcm, dấu "=" a  b c Bài 79 Cho ba số dương a, b, c Chứng minh rằng:

4 4

1 1 25

a b c

b c c a a b

      

      

    (1)

Lời giải

Không giảm tổng quát, giả sử c số lớn ba số a, b, c Đặt S   a b c R, abbcca P, abc

3

3

3

(1) ( )( )( ) 25( )( )( )

3 ( ) ( ) 27

25[ ( ) ( ) ]

4 27 25( )

4 13 0.(2)

S a S b S c S a S b S c

S S a b c S ab bc ca abc

S S a b c S ab bc ca abc

S SR P SR P

S SR P

       

       

       

    

   

Ta chứng minh (2) Thật vậy,

2 2

2

(2) ( ) 4( )( ) 13

=( )[( ) -4( )] 13 = ( )[( ) -4 ] 13

=( )( ) -4 ( ) 13 ( )( ) (9 4

VT a b c a b c ab bc ca

a b c a b c ab bc ca abc

a b c a b c ab abc

a b c a b c ab a b c abc

a b c a b c ab c a