Đang tải... (xem toàn văn)
Cho tam giác ABC.[r]
(1)Lý thuyết tập
Mệnh đề - Tập hợp
(2)cGV: Dương Phước Sang 1
MỆNH ĐỀ – TẬP HỢP
A TÓM TẮT LÝ THUYẾT I MỆNH ĐỀ
1 Mệnh đề: khẳng định là sai vừa
đúng vừa sai
Ví dụ: “2 + = 5” MĐđúng “ số hữu tỉ” MĐ sai
“Mệt quá!” MĐ
2 Mệnh đề chứa biến
Ví dụ: Cho khẳng định “2 + n = 5” Khi thay mỗi giá trị cụ thể của n vào khẳng định ta mệnh đề Khẳng định có đặc điểm thếđược gọi mệnh đề chứa biến
3 Phủđịnh mệnh đề
Phủđịnh mệnh đề P ký hiệu P mệnh đề thoả mãn tính chất nếu P đúng P sai, cịn nếu P sai Pđúng
Ví dụ: P: “3 số nguyên tố” P: “3 không số nguyên tố”
4 Mệnh đề kéo theo
Mệnh đề “Nếu P Q” gọi mệnh đề kéo theo, ký hiệu P ⇒ Q Mệnh đềP ⇒ Q chỉ sai P đúng đồng thời Q sai
Ví dụ: Mệnh đề “1>2” mệnh đề sai
Mệnh đề “ < ⇒2 3<4” mệnh đềđúng Trong mệnh đề P ⇒ Q
P: gọi giả thiết (hay P điều kiện đủđể có Q)
Q: gọi kết luận (hay Q điều kiện cần để có P)
5 Mệnh đềđảo – Hai mệnh đề tương đương
Mệnh đềđảo mệnh đề P ⇒ Q mệnh đề Q ⇒ P
Chú ý: Mệnh đềđảo đềđúng chưa hẵn mệnh đềđúng Nếu hai mệnh đề P ⇒ Q Q ⇒ P đều đúng ta nói P Q hai mệnh
đề tương đương Ký hiệu P ⇔ Q
(3)cGV: Dương Phước Sang 2
Cách phát biểu khác: + P chỉ Q
+ P điều kiện cần đủđể có Q + Q điều kiện cần đủđể có P
6 Ký hiệu ∀, ∃
∀: đọc với ∃: đọc tồn Ví dụ: ∀x ∈R, x 2≥ 0: ∃n ∈Z, n2 – 3n + = 0: sai
7 Phủđỉnh mệnh đề với mọi, tồn
Mệnh đề P: ∀x ∈ D, T(x) có mệnh đề phủđịnh ∃ ∈x D T x, ( ) Mệnh đề P: ∃x ∈ D, T(x) có mệnh đề phủđịnh ∀ ∈x D T x, ( ) Lưu ý:
Phủđịnh của “a < b” “a ≥ b” Phủđịnh của “a = b” “a ≠ b” Phủđịnh của “a > b” “a ≤ b” Phủđịnh của “a ⋮ b” “a⋮b” Ví dụ: P: ∃n ∈Z, n < P :∀ ∈n ℤ,n≥0
II TẬP HỢP
Cho tập hợp A Nếu a phần tử thuộc tập A ta viết a ∈ A
Nếu a phần tử không thuộc tập A ta viết a ∉ A
1 Cách xác định tập hợp a Cách liệt kê
Viết tất phần tử tập hợp vào dấu {}, phần tử cách dấu phẩy (,)
Ví dụ: A = {1,2,3,4,5}
b Cách nêu tính chất đặc trưng
Chỉ tính chất đặc trưng cho phần tử tập Ví dụ: A = {x ∈R|2x 2 – 5x + = 0}
Ta thường minh hoạ tập hợp đường cong khép
kín gọi biểu đồ Ven A
2 Tập hợp rỗng: Là tập hợp không chứa phần tử Ký hiệu φ
(4)cGV: Dương Phước Sang 3 , A⊂B ⇔ ∀ ∈x A x ∈B
Chú ý: A⊂A φ⊂A A⊂B B, ⊂C ⇒A⊂C
4 Hai tập hợp nhau:
,( )
A=B⇔ ∀x x ∈A⇔x ∈B III CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP
1 Phép giao: A∩B = {x | x ∈A x ∈B}
hay x A B x A
x B ∈ ∈ ∩ ⇔ ∈ B A
2 Phép hợp: A∪B = {x | x ∈A hoặc x
∈B}
hay x A B x A
x B ∈ ∈ ∪ ⇔ ∈ B A
3 Hiệu hai tập hợp: A\B = {x |x ∈A x ∉B}
hay
x A
x A B
x B ∈ ∈ ∪ ⇔ ∈ A\ B B A
4 Phần bù: Khi B⊂Athì A\B gọi phần bù của B A Ký hiệu
B A C
Vậy, CAB = A\B B⊂A
A B
IV CÁC TẬP HỢP SỐ:
(5)
cGV: Dương Phước Sang 4
Tập số nguyên Z = {…, –3,–2,–1,0,1,2,3,…}
Tập số hữu tỉQ = {x = m
n | m,n ∈Z n ≠ 0}
Tập số thực R gồm tất số hữu tỉ vô tỉ Tập số thực biểu diễn trục số
-2 -1 + ∞
- ∞
1 Quan hệ tập số: N⊂Z⊂Q⊂R 2 Các tập thường dùng R
(a ; b) = {x ∈R | a < x < b}
(a ; +∞) = {x ∈R | x > a}
(–∞ ; b) = {x ∈R | x < b}
[a ; b] = {x ∈R | a ≤ x ≤ b}
[a ; b) = {x ∈R | a ≤ x < b}
(a ; b] = {x ∈R | a < x ≤ b}
[a ; +∞) = {x ∈R | x ≥ a}
(–∞ ; b] = {x ∈R | x ≤ b}
(6)cGV: Dương Phước Sang 5 Chú ý: R = (–∞ ; +∞)
3 Cách tìm giao, hợp, hiệu tập hợp A,B ⊂R
a Cách tìm giao của A B
Biểu diễn tập hợp A B đó lên trục số thực (gạch bỏ khoảng không thuộc A khoảng khơng thuộc B) Phần cịn lại trục số kết quả A ∩ B
Ví dụ: [1 ; 7] ∩ (–3 ; 5) = [1 ; 5)
5 -3
)
( 1[ 7] + ∞
- ∞ b Cách tìm hợp của A B
Tô đậm khoảng của A, tô đậm khoảng của B (không gạch bỏ khoảng trục số), sau gạch bỏ khoảng không tô
đậm Lấy hết tất khoảng tô đậm làm kết cho tập A ∪ B Ví dụ: [1 ; 7) ∪ (–3 ; 5) = (–3 ; 7)
) ) [
(
-3 + ∞
- ∞ c Cách tìm hiệu của A cho B
Tô đậm tập khoảng tập A gạch bỏ khoảng tập B, sau đó gạch bỏ ln khoảng chưa tơ đánh dấu Phần tô đậm không bị gạch bỏ tập hợp A\B
Ví dụ: [1 ; 7) \ (–3 ; 5) = [5 ; 7)
) ) [
( 5
-3 1 7 + ∞
- ∞
\\\\\\\\\\\ \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
(7)cGV: Dương Phước Sang 6 §1 MỆNH ĐỀ BÀI TẬP CƠ BẢN
1.1.Câu mệnh đềđúng, câu mệnh đề sai?
a.Đây đâu? b.PT x + x – = vô nghiệm
c.x + = d.16 không số nguyên tố
1.2.Các mệnh đề sau hay sai Nêu mệnh đề phủđịnh chúng
a.“Phương trình x – x – = vô nghiệm”
b.“6 số nguyên tố” b.“∀n ∈N, n2 – số lẻ”
1.3.Xác định tính sai mệnh đề A, B tìm phủđịnh
A: “∀x ∈R, x > x 2” B: “∃x ∈N, x ⋮ (x +1)”
1.4.Phát biểu mệnh đề P ⇒ Q, xét tính đúng sai phát biểu mệnh đềđảo
a.P: “ABCD hình chữ nhật” Q: “AC BD cắt trung điểm đường”
b.P: “3 > 5” Q: “7 > 10”
c.P: “ABC tam giác vuông cân tại A” Q: “Góc B = 450”
1.5.Phát biểu mệnh đề P ⇔ Q bằng cách xét tính sai
a.P: “ABCD hình bình hành” Q: “AC BD cắt trung
điểm đường”
b.P: “9 số nguyên tố” Q: “92 + số nguyên tố”
1.6.Hãy xét tính sai mệnh đề sau phát biểu mệnh đềđảo chúng
P: “Hình thoi ABCD có đường chéo AC BD vng góc nhau”
Q: “Tam giác cân có góc bằng 600 tam giác đều”
R: “13 chia hết 13 chia hết cho 10”
1.7.Cho mệnh đề chứa biến P(x): “x > x 2” Xét tính sai mệnh
đề sau:
a.P(1) b.P(1
3) c.∀x ∈N, P(x) d.∃x ∈N, P(x) 1.8.Phát biểu mệnh đề A ⇒ B A ⇔ B của cặp mệnh đề sau xét tính
đúng sai chúng
(8)cGV: Dương Phước Sang 7
b.A: “Tứ giác T hình vng”, B: “Tứ giác T có góc vuông”
c.A: “x > y”, B: “x 2 > y 2”(Với x,y số thực)
d.A: “Điểm M cách đều cạnh của góc xOy”, B: “Điểm M nằm
đường phân giác góc xOy”
1.9.Hãy xem xét mệnh đề sau hay sai phủđịnh chúng
∀x ∈N, x2≥ 2x ∃x ∈N, (x2 + x)⋮2 ∀x ∈Z, x2
– x – =
1.10.Trong mệnh đề sau, mệnh đề có mệnh đềđảo
A: “Một số tự nhiên tận sốđó chia hết cho 2”
B: “Tam giác cân có góc = 600 tam giác đều”
C: “Nếu tích số số dương sốđó số dương”
D: “Hình thoi có góc vng hình vng”
1.11.Phát biểu thành lời mệnh đề sau xét tính sai chúng
a.A: ∀x ∈R,x2 < B: ∃x ∈R,x2 <
b.C: ∀x ∈R,1
x> x + D: ∃x ∈R,
1
x> x + c.E: ∀x ∈R,
2 4
2 x
x −
− = x + F: ∃x ∈R,
2 4
2 x
x −
− = x +
d.G: ∀x ∈R,x2 –3x + > G: ∃x ∈R,x2 –3x + >
1.12.Cho số thực x Xét mệnh đề chứa biến
P: “x2 = 1” Q: “x = 1”
a.Hãy phát biểu mệnh đề P ⇒ Q, mệnh đềđảo tính sai mệnh đềđó
b.Hãy chỉ giá trị của x làm cho mệnh đề P ⇒Q sai
1.13.Cho tam giác ABC Phát biểu mệnh đềđảo mệnh đề sau xét tính sai chúng
a.Nếu AB = BC = CA ABC tam giác đều
b.Nếu AB > BC ACB>BAC
c.Nếu BAC =900 ABC một tam giác vng
BÀI TẬP NÂNG CAO
1.14.Hãy phát biểu chứng minh định lý sau
a.∀n ∈N, n2⋮ ⇒ n ⋮ b.∀n ∈N, n2⋮
(9)cGV: Dương Phước Sang 8 c.∀n ∈N, n2⋮ ⇒ n ⋮
1.15.Xét tính sai mệnh đề sau, nêu rõ lý lập mệnh đề
phủđịnh cho mệnh đề đâY
a.∃r ∈Q, 4r2 – = b.∃n ∈N, (n2 + 1) ⋮
c.∀x ∈R,x2 + x + > d.∀n ∈N*,(1 + + … + n) ⋮11
1.16.Cho P(n): “n số chẵn” Q(n): “7n + số chẵn”
a.Phát biểu chứng minh định lý “∀n ∈N, P(n) ⇒ Q(n)”
b.Phát biểu chứng minh định lý đảo định lý
c.Phát biểu gộp định lý cách
1.17.CMR, số vơ tỉ
§2 TẬP HỢP
BÀI TẬP CƠ BẢN
2.1.Xác định tập hợp sau cách liệt kê
A = {x ∈Q | (2x + 1)(x2 + x – 1)(2x2 – 3x + 1) = 0}
B = {x ∈Z | 6x2 – 5x + = 0}
C = {x ∈N | (2x + x2)(x2 + x – 2)(x2 – x – 12) = 0}
D = {x ∈N | x2 > x < 4}
E = {x ∈Z | x ≤ x > –2}
F = {x ∈Z ||x | ≤ 3}
G = {x ∈Z | x2− = 0}
H = {x ∈R | (x − 1)(x2 + 6x + 5) = 0}
I = {x ∈R | x2− x + = 0}
J = {x ∈N | (2x − 1)(x2− 5x + 6) = 0}
(10)cGV: Dương Phước Sang 9
L = {x ∈Z | x2 > |x| < 10}
M = {x ∈Z | x = 3k với k ∈Z −1 < k < 5}
N = {x ∈R | x2− = x2− 4x + = 0}
2.2.Hãy liệt kê phần tử tập hợp sau
B = {x ∈N|6x2 – 5x +1 = 0} F = {x ∈R|2x2 – 5x + = 0}
G = {x ∈Z|2x2 – 5x + = 0} H={x ∈Q|
2 x
α
= ,α∈N, x ≥1 8} I tập hợp số phương khơng vượt q 400
2.3.Cho tập hợp A = {x ∈N | x2 – 10x + 21 = hoặc x3 – x = 0} Hãy liệt kê tất tập của A chứa phần tử
2.4.Tìm tập hợp tập sau
a.φ b.{φ}
2.5.Hãy xét quan hệ bao hàm tập hợp sau
A tập hợp tam giác
B tập hợp tam giác
C tập hợp tam giác cân
2.6.Cho hai tập hợp
A={n ∈Z|n ước của 6}, B={n ∈Z|n ước chung 18} Hãy xét quan hệ bao hàm hai tập
2.7.Hãy xét quan hệ bao hàm tập hợp A B dưới Hai tập hợp A và B có bằng khơng?
a.A tập hình vng B tập hình thoi
b.A={n ∈N|n ước của 6},B={n∈N|n ước chung 24 30}
2.8.Xét mối quan hệ bao hàm tập hợp sau
A tập hình tứ giác B tập hình bình hành
C tập hình vng D tập hình chữ nhật
2.9.Xét mối quan hệ bao hàm tập hợp sau
A tập hình tứ giác B tập hình bình hành
C tập hình thang D tập hình chữ nhật
(11)cGV: Dương Phước Sang 10
2.10. Cho Tv = tập hợp tất tam giác vuông T = tập hợp tất tam giác
Tc = tập hợp tất tam giác cân
Tđ = tập hợp tất tam giác
Tvc= tập hợp tất tam giác vuông cân Xác định tất quan hệ bao hàm tập hợp
BÀI TẬP NÂNG CAO
2.11. Hãy liệt kê phần tử tập hợp sau
A= {(x ; x2) | x ∈ {–1;0;1}} B= {(x ;y)|x2 + y2≤ x,y ∈Z}
2.12. Viết tập hợp sau cách nêu tính chất đặc trưng chúng {2, 6,12, 20, 30, }
A= ⋯ 1, , ,1 1 , ,
4 16 25 B =
⋯
2
, , , , , 10 17 26 37 C =
3 2, , , , ,
2 D =
⋯
2.13. Tìm tập hợp X cho {a,b} ⊂ X ⊂ {a,b,c,d}
2.14. Tìm tập hợp X cho X ⊂ A X ⊂ B, đó
A = {a,b,c,d,e} B = {a,c,e,f} 2.15. Chứng minh
Với A = {x ∈Z|x ước của 6}, B = {x ∈Z|x ước 18}
A ⊂ B
2.16. Cho A = {2;5} ; B = {5;x} ; C = {x;y;5}
Tìm giá trị cặp số (x;y) để tập hợp A = B = C
2.17. Cho A = {1,2,3,4} ; B = {2,4,3} ; C = {2,3} ; D = {2,3,5}
a.Tìm tất tập X cho C ⊂ X ⊂ B
b.Tìm tất tập Y cho C ⊂ Y ⊂ A
2.18. Cho A = {x | x ước nguyên dương của 12}; B = {x ∈N | x < 5}
C = {1,2,3} D = {x ∈N | (x + 1)(x − 2)(x − 4) = 0}
(12)cGV: Dương Phước Sang 11 b.Tìm tất tập Y cho C ⊂ Y ⊂ B
§3 CÁC PHÉP TỐN TRÊN TẬP HỢP BÀI TẬP CƠ BẢN
3.1.Cho A = {1,2,3,4} B = {2,4,6} C = {1,3,5}
Xác định tập hợp A ∪ B, A ∩ B, A ∪ C, A ∩ C,C ∪ B, C ∩ B
3.2.Cho tập E = {a,b,c,d} ; F = {b,c,e,g} ; G = {c,d,e,f} Chứng minh E ∩(F ∪G)=(E ∩F) (∪ E∩G) 3.3.Cho A = {1,2,3,4,5} B = {2,4,6,8} Hãy xác định A\B, B\A
3.4.Cho A = {a,e,i,o} E = {a,b,c,d,i,e,o,f} Xác định CEA 3.5.Cho E = {x ∈N|x ≤ 8}, A = {1,3,5,7}, B = {1,2,3,6}
a.Tìm CEA,CEB,CEA∩CEB b.Chứng minh CEA B∪ ⊂CEA B∩ 3.6.Cho E = {x ∈Z||x| ≤ 5}, F = {x ∈N||x| ≤ 5}
và B = {x ∈Z|(x – 2)(x + 1)(2x2 – x – 3) = 0}
a.Chứng minh A ⊂ E B ⊂ E
b.Tìm CEA B∩ ,CEA B∪ tìm quan hệ hai tập
c.Chứng minh CEA B∪ ⊂CEA
3.7.Cho A = {x ∈N|x ⋮ 6}, B = {x ∈N|x ⋮ 15}, C = {x ∈N|x ⋮ 30}
Chứng minh C =A∩B
3.8.Hãy xác địnhA∩A A, ∪A A, ∩φ,A∪φ,CAA,CAφ 3.9.Cho A = {x ∈R | x2 + x – 12 = 2x2 – 7x + = 0}
B = {x ∈R | 3x2 – 13x + 12 =0 hoặc x2 – 3x = 0} Xác định tập hợp sau đây A ∩ B ; A\B ; B\A ; A ∪ B
3.10.Cho A = {x ∈N | x < 7} B = {1;2;3;6;7;8}
(13)cGV: Dương Phước Sang 12 b.CMR, (A∪B)\(A∩B) = (A\B)∪(B\A)
BÀI TẬP NÂNG CAO
3.11.Cho tập hợp A Hãy cho biết quan hệ tập B tập A nếu
\ \
A B B A B A A B A
A B B A B φ A B A
∩ = ∩ = ∪ =
∪ = = =
3.12.Cho A B hai tập hợp Hãy xác định tập hợp sau
a.(A ∩ B) ∪ A b.(A ∪ B) ∩ B
c.(A\B) ∪ B d.(A\B) ∩ (B\A)
3.13.Cho A B hai tập hợp khác rỗng phân biệt Mệnh đề sau mệnh đềđúng
a.A ⊂ B\A b.A ⊂ A ∪ B c.A ∩ B ⊂ A ∪ B d.A\B ⊂ A
3.14.Chứng minh
a.A ∩ B ⊂ A A ∩ B ⊂ B
b.A = {x ∈Z|x ước của 6}, B = {x ∈Z|x ước của 18} A ⊂ B
c.A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
d.P(A ∩ B) = P(A) ∩ P(B), với P(X) tập hợp tập của X
e.Với A = {x ∈Z|x bội của 4}, B = {x ∈Z|x bội 12} ta có A = B
3.15.Tìm tập hợp X cho A ∪ X = B với A = {a,b}, B = {a,b,c,d}
3.16.Gọi N(A) số phần tử tập A Cho N(A) = 25; N(B)=29, N(A∪B)= 41
Tính N(A∩B); N(A\B); N(B\A)
3.17.a.Xác định tập hợp X cho {a;b} ⊂ X ⊂ {a;b;c;d;e}
b.Cho A = {1;2} ; B = {1;2;3;4;5} Xác định tập hợp X cho A
∪X = B
c.Tìm A,B biết A∩B = {0;1;2;3;4}; A\B = {–3 ; –2}
và B\A = {6 ; 9;10}
3.18.Cho A = {x ∈Z | x2 < 4}; B = {x ∈Z | (5x – 3x2)(x2 – 2x – 3) = 0}
(14)cGV: Dương Phước Sang 13 b.CMR (A∪B)\(A∩B) = (A\B)∪(B\A)
3.19.Cho tập hợp E = {x ∈N | ≤ x < 7}
A= {x ∈N | (x2– 9)(x2 – 5x – 6) = 0}
B = {x ∈N | x số nguyên tố không 5}
a.CMR, A ⊂ E B ⊂ E b.Tìm CEA ; CEB ; CE(A∩B) 3.20.Chứng minh
a.Nếu A ⊂ C B ⊂ D (A∪B) ⊂ (C ∪D) b.A\(B ∩C) = (A\B)∪(A\C)
c.A \(B ∪C) = (A\B)∩(A\C)
§4 CÁC TẬP HỢP SỐ
4.1. Xác định tập hợp sau biểu diễn chúng lên trục số
a.[–3;1) ∪ (0;4] b.[–3;1) ∩ (0;4]
c.(–∞;1) ∪ (2;+∞) d.(–∞;1) ∩ (2;+∞)
4.2. Cho tập hợp A = (–2;3) B = [1;5) Xác định tập hợp
A ∪ B, A ∩ B, A\B, B\A
4.3. Cho A = {x ∈R | |x | ≤ 4} ; B = {x ∈R | –5 < x – ≤ 8} Viết tập hợp sau dạng khoảng – đoạn – nửa khoảng
A ∩ B ; A\B ; B\A ; R\(A ∪B) 4.4. Cho A = {x ∈R | x2≤ 4} ; B = {x ∈R | –2 ≤ x + < 3}
Viết tập hợp sau dạng khoảng – đoạn – nửa khoảng
A∩B ; A\B ; B\A ; R\(A∪B)
(15)cGV: Dương Phước Sang 14
4.6. Cho hai tập hợp A = {x ∈R| x > 2} B = {x ∈R| –1 < x ≤ 5} Xác
định tập hợp A ∪ B, A ∩ B, A\B, B\A
4.7. Cho hai tập hợp A = {2,7} B = (–3;5] Xác định tập hợp
A ∪ B, A ∩ B, A\B, B\A
4.8. Xác định tập hợp sau biểu diễn chúng lên trục số
a.R\((0;1) ∪ (2;3)) b.R\((3;5) ∩ (4;6))
c.(–2;7)\[1;3] d.((–1;2) ∪ (3;5))\(1;4)
4.9. Cho A = {x ∈R|1 ≤ x ≤ 5}, B = {x ∈R|4 ≤ x ≤ 7}
C = {x ∈R|2 ≤ x < 6}
a.Hãy xác định A ∩B, A ∩C, B ∩C, A ∪C, A\(B ∪C)
b.Gọi D = {x ∈R|a ≤ x ≤ b} Hãy xác định a,b để D ⊂ A ∩B ∩C 4.10.Viết phần bù R tập hợp: A = {x ∈R | – ≤ x < 10}
B = {x ∈R | |x | > 2} ; C = {x ∈R |–4 < x + ≤ 5}
4.11.Cho A = {x ∈R | x ≤ –3 hoặc x > 6}, B = {x ∈R | x2 – 25 ≤ 0}
a.Tìm khoảng, đoạn, nửa khoảng sau A\B ; B\A ; R\(A∪B); R\(A∩B) ; R\(A\B)
b.Cho C = {x ∈R | x ≤ a} ; D = {x ∈R | x ≥ b} Xác định a b biết rằng C ∩B D ∩B đoạn có chiều dài lần lượt Tìm C