Bí kíp giải hệ phương trình bằng Casio - Nguyễn Tấn Lực

Có rất nhiều em gửi thắc mắc tới anh : “tại sao anh lại giải câu hệ như vậy ?” đó cũng là câu hỏi anh đã từng băn khoăn hồi còn ôn thi như các em, mà không một thầy giáo nào giải thích [r]

Bí Kíp Cơng Phá Kì Thi THPT Quốc Gia

Giải Hệ Phương Trình Bằng Máy Tính Fx 570 ES PLUS

Version 2.1 Finally

I, Giới thiệu

Xin chào tất em! Khi em đọc dòng em nắm tay bí kíp giải hệ phương trình giúp tăng khả lấy điểm thứ em cách dễ dàng Hi vọng, sau đọc xong tài liệu này, em cảm thấy Hệ Phương Trình thật đơn giản khơng cịn thấy sợ câu thứ

Ở phiên 2.0 anh bổ sung, sửa đổi, hoàn thiện, nâng cấp nhiều vấn đềcủa version 1.0 II, Lý chọn đề tài

Có nhiều em gửi thắc mắc tới anh : “tại anh lại giải câu hệ ?” câu hỏi anh băn khoăn hồi cịn ơn thi em, mà không thầy giáo giải thích cho anh cả, anh phải tự mị mẫm cho lý do, thầy dạy cho phương pháp làm thầy giải thích thường đưa dấu hiệu người ta cho làm

Nhưng hơm nay, anh trình bày với em hướng việc cơng pháp điểm thứ với máy tính fx 570 ES PLUS, đảm bảo học xong em mức Trung Bình –khá chăm chút làm được, thực tế sau anh phát hành version 1.0 nhiều bạn quay lại cảm ơn anh, làm thành cơng nhiều hệ phương trình

III, Yêu cầu chung

1 Có tinh thần Quyết tâm đỗ Đại Học !!!

2 Có kiến thức sử dụng phương pháp thế, đưa phương trình tích, phương pháp hàm số, phương pháp đánh giá

Ví dụ như:

Đưa phương trình tích 0

A A B

B

     



Phương pháp hàm số: f x( ) f y( ) mà hàm f đồng biến( nghịch biến)trên đoạn  a b; x y,  a b; Thì phương trình có nghiệm x = y

Phương pháp đánh giá: thường sử dụng BĐT Cơ-Si BĐT có SGK lớp 10 Ta có : a b, 0;a b ab

3 Có máy tính có tính SOLVE : fx 570 es plus, fx 570 es,

Lý anh chọn Fx 570 ES PLUS máy tính đại mang vào phịngthi nâng cấp fx 570 es nên cho tốc độ cao chút có số tính

Anh hướng dẫn em công phá tất hệ phương trình từ 2010 máy fx 570 es plus

theo cách tự nhiên dễ hiểu

* Đường lối chung để giải hệ phương trình :

Vậy vai trị máy ? Máy tính giúp ta làm chủ chơi tác giả nữa, tức nhờ máy ta tìm mối quan hệ Bước để áp dụng phương pháp cho thích hợp, tránh tượng “mị”, Bước Vai trị giúp ta định hướng cách làm nhanh hơn.

 Nội dung tài liệu này:

(Anh bám sát nội dung thi, không xa đà vào hệ khó, phức tạp so với đề thi) Anh chia làm dạng :

1.Từ phương trình tìm ln quy luật ( 90% Đềthi thử vàĐH cho dạng này)

Biểu hiện: cho Y nguyên X,

X tìm số nguyên

2.Phải kết hợp phương trình tìm quy luật ( sốđề thi thử cho)

Biểu cho Y nguyên X,

X lẻ

Muốn tìm quy luật x y dạng em cần kết hợp phương trình cộng trừ vế để khử số hạng tự

*Sau tìm mối liên hệ X Y vào phương trình cịn lại lại có khả chính a Bấm máy phương trình nghiệm đẹp : xác suất 90% xử lý

b Bấm máy phương trình nghiệm xấu:

Từ phương trình, phức tạp phải kết hợp phương trình

Mối quan hệ x y

(muốn làm điều em phải dùng pp thế, đưa phương trình tích, ẩn phụ, hàm số, đánh giá….)

thường đề ĐH họ cho nghiệm xấu dạng a

a b

c      

là nghiệm phương trình bậc 2, muốn xử lý ta phải áp dụng định lý Vi-et đảo, anh nói

rõ tập

Với phương pháp em xử lý 90% hệ đề thi thử THPT Quốc Gia đề thi thức, phương pháp giúp luyệngiải phương trình vơ tỷ tốt, chí bất phương trình vơ tỉ.

Nhưng phương pháp có giới hạn nó, có điểm mạnh điểm yếu riêng, anh trình bày cụ thể trong trình giải bài.

*Dạng 1: Các mối quan hệ rút từ phương trình Khởi động dễ trước :

* Các ví dụ

Khởi động đơn giản trước !!! Ví dụ 1: (CĐ-2014) Giải hệ phương trình sau

2

2

x xy y

(x, y R)

x xy 2y x 2y

   

 



    

 * Nhận xét chung:

Hệ gồm phương trình ẩn, điều đặc biệt chỗ phương trình biến đổi cịn phương trình khơng có mà biến đổi, nhìn qua em thấy

Vậy dàn ý chung là: từ phương trình biến đổi đưa mối quan hệ x y vào phương trình

không biến đổi được

Bằng giác quan ta tìm để xử lý phương trình số 2, em đa số viết dùng đủ cách nhóm tự biến đổi mị lúc mối quan hệ x y

Nhưng anh trình bày phương pháp sử dụng máy tính để tìm mối liên hệ sau: Sử dụng tính Solve:

Các em biến đổi phương trình hết vế : 2

X XY2Y  X 2Y0 Ấn máy:

Alpha X x2 - Alpha X Alpha Y– Alpha Y x2 Alpha + alpha X- alpha Y

( không cần ấn = 0, khác version 1.0)

Giải thích “Alpha X, Alpha Y” làgọi biến X, biến Y với máy tính mặc định X biến, Y tham số Sau em bấm: Shift Solve

Máy : Y?tức máy hỏi ban đầu cho tham số Y để cịn tìm X

Các em khởi tạo giá trị ban đầu cho Y 0bằng cách nhập: 0 =

Bây máy xử lý Máy hiện:

X = 0 tức y=0 có nghiệm x=0

-R= sai số nghiệm 0

Rồi được Y=0 X=0

Tiếp theo em ấn“mũi tên sang trái” để quay trở phương trình Lại bắt đầu khởi tạo giá trị ban đầu Y=1, X=0

Thì máy lại tính ra X =

Cứ tới Y=5, X =0 ta bảng giá trị sau:

Bảng 1:

Y 1 2

X 2 -3 -4 -5 -6

*Cách 2: phức tạp kiểm sốt tồn nghiệm Với Y = ta tìm nghiệm X =

Để xem phương trình có cịn nghiệm khác không em làm sau: Ấn mũi tên sang ngang sửa phương trình thành: 2

(X XY 2Y  X 2Y) : (X 0) Phương trình để bỏ nghiệm vừa tìm tìm nghiệm

Sau lại bấm ban đầu X = -1

Sau lại ấn

2

X XY 2Y X 2Y

(X 0)(X 1)

   

 

Sau lại bấm giải nghiệmthì máy báo “Can’t solve” tức vô nghiệmhay hết nghiệm Vậy Y=0 X=0, X = -1

Tiếp theo em ấn“mũi tên sang trái” đểquay trở phương trình Ta lại phải sửa phương trình thành: 2

X XY 2Y  X 2Y Lại bắt đầu khởi tạo giá trị ban đầu Y=1, X=0

Thì máy lại tính X = -2

Cứ tới Y=5 kết sau: Bảng 2:

Y 1 2

Cách đẩy đủ thời gian chỉnh sửa phương trình nên tài liệu đa phần anh giải cách 1, thi ĐH không phức tạp

*Cách 3: Để tìm nghiệm khác ngồi nghiệm tìm được

Ví dụ Y=0, lúc máy hỏi “ Solve for X” Các em ấn = tìm nghiệm X = Các em ấn “-9=” nghiệm X = -1

Các em ấn “9=” nghiệm X=0

Vậy ta tìm nghiệm X = -1 X =0 Y=

Anh hay dùng cách cho hệ cách cho phương trình ẩn, để tăng tốc độ làm

Các kết hoàn toàn máy, từ bảng ta thấy Y = 2tới Y=5anh thấy xuất quy luật

Tại Y=0, Y=1 khơng xuất quy luật có nhân tử khác gây nhiễu tính Solve tính dị nghiệm theo cơng thức Newton nên tìm nghiệm gần với giá trị biến X, TH

đều khởi tạo giá trị ban đầu X = 0

Từ Y=2anh thấy xuất quy luật đó, dễ dàng nhận thấy x+y+1 =

Vậy anh biến đổi phương trình theo xem không: Thêm bớt để ép nhân tử :

2

2

2

x xy 2y x 2y

x xy 2y x 2y

x(x y 1) 2xy 2y 2y x(x y 1) 2y(x y 1) (x 2y)(x y 1)

    

     

      

      

    

Vậy nghiệm vừa bị nhiễu x-2y =0

Cịn lại dễ dàng nào:

( 1)

x y

x y

 

   

 vào phương trình * x=2y thì: 4y22y2y2    7 y * x= -(y+1) em tự xử lý

Anh nói dài thơi lúc làm nhanh lắm!!!

Như anh vừa trình bày chi tiết cách giải hệ máy tính casio fx-570 ES Plus

Tiếp tục nhé, nâng level nên

 Nhận xét chung

Thấy phương trình số khó biến đổi, phương trình 1có vẻ dễ hơn, ta thử xem

Lưu ý này: điều kiện pt x y lúc khởi tạo giá trị ban đầu “ Solve for X” em phải nhập số

lớn Y, chẳng hạn “9=” Tại lại ?

Vì em cho Y = mà giá trị ban đầu X = máy có kiểu dị nghiệm

1 : 22,12, 22,3 : 1, 71,81,92

Nhưng theo đường xy khơng xác định ngay, máy dừng dị nghiệm báo “Can’t Solve”

Do phải khởi tạo giá trị ban đầu X lớn Y Các em làm tương tự, anh cho kết luôn:

Y

X

Dựa vào bảng ta thấy : x y x y

Vậy anh theo hướng “x-y-1=0” trước vế phải có sẵn kìa, cần biến đổi số cịn

lại xem có khơng chuyển hướng luôn (1 y) x y x (x y 1) y

(1 y) x y x (x y 1) y

(1 y) x y (x y 1) (y 1) (x y 1) y

(1 y) x y (x y 1) y

      

        

           

   

          

Tới phải nói may mắn

   

(1 )( 1) 1

1

1

1

pt y x y y x y

x y x y

y y

 

         

      

 



  



Ví dụ 2: (ĐH-B-2014) Giải hệ phương trình

2

(1 y) x y x (x y 1) y

2y 3x 6y x 2y 4x 5y

       

 

       



Thếvào phương trình ta được:

Với y = 9-3x =0  x=3

Với y = x -

2

2 3( 1) 1

2

y y y y y

y y y

       

    

Điều kiện ban đầu y0 mà lại có y1 Vậy y 0;1

Dễ thấy VT đồng biến với điều kiện trên, VP nghịch biến, em tính đạo hàm thấy nên

phương trìnhcó nghiệm nghiệm nhất

Thử bấm máy xem nào: alpha X x2 + alpha X -2 Alpha = 1- alpha X Sau bấmShift solve ,5 =

Phải dùng biến X mà máy mặc định rồi

Ta tìm X khoảng [0;1] mà nên phải khởi giá trị ban đầu X = 0,5 chẳng hạn X=0,618033…

Nếu x nguyên xong đằng khơng cịn may mắn nữa. Vậy Bộ Giáo Dục cốtình nghiệm lẻ để làm khó ta, anh có cách

Ta thử bình phương nghiệm X lên xem có đẹp khơng câu trả lời khơng! Hi vọng nghiệm khơng q xấu, có dạng a b

c 

là dạng nghiệm phương trình bậc ta giải được.

*Tư là: phương trình bình phương lên bậc đầy đủ nên phân tích được

thành: (x2SxP x)( 2S x' P')

Do anh cần tìm nhân tử

(x SxP) là xong, ta cần tìm nghiệm Về lý thuyết thựctế anh tìm nghiệm ln

Bản chất phương trình bậc nên ta bình phươnglên để cănrồi chuyển sang vế Các em nhập lại phương trình thành: (2 alpha X x2 + alpha X -2)2- (1- alpha X)

Các em bấm dấu “=” để lưu phương trình vào máy Sau bấm Shift solve =

Máy báo X = 0,3228…

Nhấn nút đẩy lên lần để tìm phương trình ta lưu Đưa mũi tên sang trái, sửa phương trình thành:

((2 alpha X x2 + alpha X -2)2- (1- alpha X)): ( X-A) Sau bấm Shift solve

Máy hỏi A? 0,3228… em bấm dấu = Máy “Solve for X” em ấn 0= Máy báo X = 0,6180

Các em ấm phím đẩy sang trái ấn = để lưu lại phương trình

Sau em bấm RCL X Shift STO B để lưu nghiệm X vừa tìm vào B

Vậy có nghiệm thứ 2, em lại ấn nút đẩy lên lần, đẩy sang trái để sửa phương trình tìm nghiệm thứ em lại sửa thành

((2 alpha X

x + alpha X -2)2

- (1- alpha X)) : ( X-A)(X-B) Sau bấm Shift solve = = 0=

Được nghiệm thứ : X= -1,61803…

Các em ấm phím đẩy sang trái ấn = để lưu lại phương trình

Sau em bấm RCL X Shift STO C để lưu nghiệm X vừa tìm vào C Tương tự phương trình tìm nghiệm thứ :

((2 alpha X x2 + alpha X -2)2- (1- alpha X)) : ( X-A)(X-B)(X-C) Sau bấm Shift solve = = = 0=

Các em nghiệm thứ : X = -2,3228… Vậy tađã nghiệm A,B,C,X

Ta biết rõ ràng nghiệm B = 0,618… nghiệm phương trình ban đầu nên ta xét tích BA,BC,BX xem tích đẹp

Thấy ngay: BC = - B+C = -1

Vậy phương trình chứa nghiệm B,C

x  x ( định lý Vi-et đảo) Đây cách phân tích phương trình bậc thành nhân tử với máy tính Vậy ta cố nhóm để xuất nhân tử này: với

1

2

2

2

2

2

2( 1)

(1 )

2( 1)

1

( 1)(2 )

1

5

( )

2

1

5 ( )

y y y

y y y y

y y

y y

y y

y y

y y

y tm x

y y

y loai

   

      

 

    

 

    

 

  

  

 

    

 

 

 Các em tự kết luận nhé!

Ví dụ 3: (ĐH-AA1-2014) Giải hệ phương trình

2

x 12 y y(12 x ) 12

x 8x y

    

 

    



(x, y số thực) *Nhận xét chung:

Ta thấy phương trình dễ biến đổi phương trình Điều kiện 2 12

12

y x

  

 



* Anh cho bảng kết bấm máy

Y 12 0

X 3,16 2,828 2,64 2,44 3,464

Nhận xét chung Y tăng X giảm

Với Y=2, Y=4, Y=5, Y=6 kết xấu ta thử bình phương lên xem có sử dụng khơng

Y 12 0

2

X 9,9999 12

Chứng tỏ bác BGD khơng làm khó ta Nhận thấy

12 yx 

Căn vào phương trình 12 y x

Làm để chứng minh điều này, dễ thấy phân thích thành nhân tử trước Giờ cịn hàm số đánh thơi

Do x, y không độc lập lên không dùng hàm số ( kinh nghiệm nhỏ anh) Vậy thử đánh giá, mà có tích nên có Cô-si

Chúng ta dùng chức năng CALC để tính giá trị biểu thức

Các em nhập nguyên vế trái vào:

x 12 y  y(12 x )

Alpha X 12 – alpha Y + alpha Y – (12 – alpha X x2)

Sau em bấm CALC Máy X? em nhập =

Máy lại hỏi Y? em nhập vào là 11= tùy ý

X 1 1 2 2 3 3 4

Y 10 11 10 11 8 11

Giá trị hàm 11,9 12 11,7 11,38 10,89 8,7 error

Ta nhận thấy VT12VP đánh giá phương pháp đắn

Áp dụng Bất đẳng thức Cô-si ta được:

2

2 x (12 y) y (12 x )

x 12 y y(12 x ) 12

2

   

     

Dấu “=” xảy 12 2 2

12 12

x

x y

y x

y x

    

 

   

 

 



Thế vào phương trình ta được:

8 10

x   x x

Ta bấm máy xem có nghiệm ngun khơng , có coi xong

Các em bấm sau: Alpha X Shift x2 -8 Alpha X -1 = 10 – alpha X x2 Sau ấnShifl Solve 9=

( em ấn 0= sẽ bị nghiệm -1, nên phải ấn 9= để tìm nghiệm dương xem thêmcách 3nhé)

Ra được x=3, tới mỉm cười

Ta biến đổi theo x-3 =

3

3

8 10

( 3) 2(1 10 )

x x x

x x x

   

      

Anh ghép với

10x vì nhân liênhợp xuất x2 9 (x3)(x3)

Tới em vào máy giải phương trình bậc xem nghiệm nhé, đừng nói em khơng biết

bấm máy này

Được x=3 nghiệm xấu không

Ta tiến hành chia

8

Vậy ta có:

2

2

2

2

2

( 3)( 1) 2(1 10 )

9

( 3)( 1)

1 10 2( 3)

( 3)

1 10

x x x x

x

x x x

x x

x x x

x

      



     

 

  

      

 

 

Ta có x0 nên

2 2( 3)

3

1 10

x

x x

x 

   

 

Do phương trình có nghiệm x=y=3

Ví dụ 4: Đề thi thử THPT Quốc Gia Sở GD TP HCM

Giải hệ phương trình :   2

2

2

1 2

1 y

y y x

x

x y

x y y

y x



    



 

    

 Giải:

Khi nhìn vào phương trình ta thấy phương trình số dễ biến đổi phương trình 1, em khơng nhìn điều thử phương trình được.

Điều kiện: x2,y0

Các em nhập phương trình : x y

x y y

y x



    như sau:

Alpha X + AlphaX

AlphaY



+ AlphaY

AlphaX = Alpha Y

2

x + Alpha Y Sau em bấm:

Shift Solve máy hiện“ Y?” các em nhập =

Máy hiện“ Solve for X” tức khai báo giá trị ban đầu của X

Các em bấm“ = ”

Máy trả giá trị nghiệm X = 0,5 Vậy Y = X = 0,5 Để tìm nghiệm tiếp với Y=2 em bấm :

Shift Solve máy hiện“ Y?” các em nhập =

Cứ vớiY = 3,4,5 ta thu bẳng giá trị sau:

Y

Dựa vào bảng, ta thấy xuất quy luật : 1

X XY X

Y

    

 Ta ép để xuất nhân tử sau:

2

2

2

2

1

0

( 1)

( 1) ( 1)

( 1)( ) 0(3)

x y

x y y

y x

xy x y

y y

y x

xy x x y y x xy

xy x x y xy x

xy x x y



   

 

    

      

      

    

Rất may không bị nhiễu nhân tử

x y ví dụ

Với x2,y0 xy  x nên từ (3) ta có : x y2 vào phương trình (1) ta có:

 

 

   

2

2

2

2

2

2

2

1 2

1 ( 2) 2

1

1

y y y

y y y

y y

y y

    

      

    

    

2

2

1( )

2( )

y y

y y

y loai

y tm x

  

   

  

    



Vậy hệ có nghiệm (4; 2)

*Dạng 2: Các mối quan hệ rút từ kết hợp phương trình Dấu hiệu là: bấm nghiệmcủa phương trình ra xấu Ví dụ 1:

3

4 2

2( ) 0(1)

( ) 0(2)

x y xy

x y x xy y x y

    



       

 Giải:

Để sử lý dạng này, phải cộng (trừ) (1) với (2) nhân với k, đơn giản k =1 có phải cộng (trừ) k =1,2,3,4,5, Nhưng dạng hiếm, khó em

4 2

(xy) 2x 4xy2y  x 3y 1 k.[2(xy) 4xy 3]

Ta bảng giá trị sau:

Y

X -1

Dễ thấy quy luật x + y =1 Ta biến đổi sau:

4 2

4 2

3 2

3 2

3

( ) [2( ) 3]

( ) 2( ) 2

( ) ( 1) 3[( ) 1] 2( 1) ( 1)

( ) ( 1) 3[( ) 1] 2[ ( 1) ] ( 1)

( 1){( ) 3[( )

x y x xy y x y x y xy

x y x y x y x y

x y x y x y x y y x y

x y x y x y x y x y

x y x y x y

           

         

              

             

      

3

3

( ) 1)]-2(x-y+1)+1}=0

( 1){( ) 3( ) +2+x+5y}=0

1 0(3)

( ) 3( ) +2+x+5y=0(4) x y

x y x y x y

x y

x y x y

 

     

   

    



Lấy 2.(4) –(1) : 6(xy)22x10y 4 4xy 3

2

2 2 2

2

2 2

6( ) 10

16 14 25 25

(5 ) ( 1) [ 10 ( ) ] ( )

5 14 14

4 14 25 25

( ) ( 1) [ ]

5 14

5

x xy y xy x y

x xy y x x y y

x y x y

       

            

 

         

  Do VT > nên phương trình vơ nghiệm

Vậy: x +y -1 = thay vào (1) được:

2 1

2 (1 ) 4

2

x x x x x y

           

Vậy hệ có nghiệm

x y ( em có thểlàm theo phương phápđánh giá )

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình :

2

2

2 11

4 22 21 (2 1)

x x y

x x y y y x x

    

 

       

 Gợi ý:

Bấm máy phương trình Y nguyên X lẻ nghĩ tới dạng 2: kết hợp phương trình Lấy (2) –k(1) bấm máy với k = 1,2,3,4… Y= 0

2 2

Với k= 2, Y=0……….X = đẹp, thử tiếp Y = X =2,5

Vậy xong rồi

Ta có bảng giá trị sau :

Y

X 2,5 8,5 13

Chú ý có phải bấm ln với X xem có đẹp khơng?

Dễ dàng suy được: y 1 2x1 muốn chứng minh điều có dùng hàm số thơi, để ý vào phương trình nhé, cố ép dạng hàm, thường người ta gợi ý cho x, y độc lập vế nghĩ tới hàm số

Lấy (2) - 2.(1) ta được:

 

3

3

3

3 (2 1)

( 3 1) 2( 1) (2 1) 2

( 1) 2( 1) 2

y y y x x

y y y y x x x

y y x x

     

          

       

Xét hàm f t( ) t3 2t xong, phần lại em tự làm tiếp

* Dạng anh mở rộng thêm chủ yếu anh tập chung vào dạng có tới 90% hệ đề thi

thử ĐH dạng 1, minh chứng ví dụ sau đây:

Ví dụ (ĐH-AA1-2013)Giải hệ phương trình:

4

2

1

2 ( 1)

x x y y

x x y y y

      



     

 (với x, y số thực)

Giải:

Điều kiện x1

 Bảng kết với phương trình 1: x+ +1 4x- 1- y4+ 2= y

Y

X Can’t 17 82 257

Dự đoán: y x1

Từ em kết hợp với PP hàm số x y đứng độc lập nên nghĩ tới hàm số Ta biến đổi phương trình thành: 4 4 4

1 2

x   x  y  y

Xét hàm: f t( ) t4 2 t với t0

4

'( )

2

t f t

t

  

 vớivt0 hàm đồng biến nên :

1 y x Thế vào phương trình (2) ta được:

( 4)

y y  y  y  (3)

7

( ) 4, '( )

g y  y  y  y g y  y  y   với y0

Ví dụ (ĐH-B-2013)Giải hệphương trình:

2

2

2 3

4 4

x y xy x y

x y x x y x y

      

 

      

 x y, R

Giải:

 Bảng kết với phương trình 1: 2

2x + y - 3xy+3x- 2y 1+ =

 Lưu ý trường hợp ban đầu cho X = nhé, để KQ em trung với anh

Y

X -0,5 0,5 1,5

Dễ dàng nhận quy luật 2x+1 = y, em ghép để xuất nhân tử (2x-y+1) được

2

2

2 3

(2 1) 2

(2 1) (2 1)

( 1)(2 1)

x y xy x y

x x y xy x y y

x x y y x y x y

x y x y

     

        

         

     

ở có phần tử gây nhiễu là x-y+1 nhưng mà may không ảnh hưởng lúc ta bấm máy

Vậy :

2

y x

y x

  

   

*Với y = x + thay vào phương trình (2) ta có:

2

3x   x 3x 1 5x4 em bấm nghiệm là x = x = chỉ cần khởi tạo giá trị ban đầu

“-9=” “9=” các em tìm nghiệm có nhân tử“x2x” Ta phân tích thành:

2

2

2

3( ) ( 1) ( 4)

1

( )

1

1

0

x x x x x x

x x

x x x x

x

x x

x

         

 

     

     

 

 

    

 

Vậy ta tìm nghiệm là (0;1) (1;2) *Với y = 2x + thay vào phương trình (2) được:

3 3 x 4x 1 9x4 làm tương tự được:

4

(3 ) 0

4 1

x x

x x

    

   

Ví dụ 3: (ĐH-AA1-2012)Giải hệ phương trình:

3

2

3 22

1

x x x y y y

x y x y

      

 

   

 x y, R

Gợi ý:

 Bảng kết với phương trình 1: 3

x - 3x - 9x+22= y +3y - 9y

Y 100

X 1,79 -1 102

Bài có phần tử gây nhiễu cho việc bấm máy, ta tìm đc có nhân tử:

x = y+2 x-1= y+3 x-2 = y x-1 = y+1 vào mà chọn mối quan hệ thích hợp Rõ ràng x y độc lập với nên nghĩ tới pp hàm số, em biến đổi thành:

3

3

( 3 1) 12( 1) ( 3 1) 12( 1)

( 1) 12( 1) ( 1) ( 1)

x x x x y y y y

x x y y

          

       

Để xét hàm em phải ý vào đoạn mà ta cần xét nhé, phải bám vào pt 2, BGD giải chi tiết rồi, anh định hướng cho em

Ví dụ (ĐH-A-2011)Giải hệ phương trình:

2

2 2

5 2( )

( ) ( )

x y xy y x y

xy x y x y

     



   

 (với x, y số thực)

Gợi ý:

 Bảng kết với phương trình 2: 2

xy(x + y )+ 2= (x+ y)

Y

X -1,4141 0,5 1/3 1/4 1/5

Rõ ràng ta thấy pt có nhân tử (xy-1) ta cố tính nhóm để xuất

2 2 2

2

2

(xy 1)(x y ) (x y ) (x y) (xy 1)(x y ) 2(1 xy)

(xy 1)(x y 2)

- + - + + - + =

- + + - =

- + - =

+ TH 1: xy = : Các em tự làm đơn giản

+TH : x2y2 2, thay vào : (y x2y2) 4 xy22x y2 2(xy)0 Các em bấm máy để tìm quy luật phương trình : 2

6y4xy 2x y2(xy)0

Y

X 0,5 1/3 1/4 1/5

Vậy lại có nhân tử (xy -1) = ta lại ép nhân tử :

2

2

6 2( )

2

2 ( 1) ( 1)

( )( 1)

y xy x y x y

xy x y x y

y xy x xy

x y xy

    

     

     

   

Ví dụ (ĐH-A-10)Giải hệ phương trình:

2 2

(4 1) ( 3) 0(1)

4 7(2)

x x y y

x y x

     

 

   

 ( ,x yR)

Đây câu 10 điểm đề ĐH 2010:

ĐK:

2

y , x

 Bảng kết với phương trình 1:

(4x +1)x+(y- 3) 5- 2y=

Y -1 -2

X 1,11 0,866 0,5 1/3 1,3228 1,5

2 X 4

Can’t solve

4

9

Dự đoán:

Y

X   2x 2 y

Để ý vế x, y hoàn toàn độc lập nên ta lại áp dụng phương pháp hàm số

2

(4x 1)x (y 3) 2y

5 2y x

[(2x) 1] [(5 2y) 1]

2

+ + - - =

-+ = - +

Xét hàm: ( ) ( 1) 1( )

2

t

f t  t   t t hàm đồng biến biến f t'( )0

0

2

5 2

x x

x y y

x y



 

      

 vào (2)

2

2

4 2 0(3)

2

x   x    x 

 

Xét hàm

2

2

( ) 2

2

g x  x   x    x

  đoạn

3 0,       2

5 4

'( ) 8 (4 3)

2 4

g x x x x x x

x x

 

        

 

  nên hàm số nghịch biến

Mà

2 g   

  nên

x nghiệm (3)

Với

2

x  y

Vậy hệ có nghiệm 1; 2

 

 

*Mở rộng : Ngồi giải Hệ Phương trình, máy tính FX – 570 ES PLUS hỗ trợ tốt việc giải Bất Phương Trình Phương Trình bậc cao phương trình vơ tỷ.

Sau anh muốn bổ sung thêm vậy:

Trích Đề thi thử THPT Chuyên Vinh lần 2015 ngày 17/5/2015

Giải bất phương trình :

3(x 1) 2x 1 2(x x ) Giải: ĐK:

2 x 

2 (1)(x1)[3(x1) 2x 1 2x ]0

Bấmmáy giải nghiệm phương trình: 3(x1) 2x 1 2x Được nghiệm X = 6,464… X = -0,464…

Các em lưu A B, để ý AB = -3 A+B = nên chắn có nhân tử x26x3 Ta cố gắng ép để có nhân tử:

2

2

2

2

2

3( 1) 2

3( 1) 2( 3) (12 6)

3 1( 2 1) 2( 3)

( 1) 4(2 1)

3 2( 3)

1 2

6

3 2( 3)

1 2

x x x

x x x x x

x x x x x

x x

x x x

x x

x x

x x x

x x

  

       

       

  

    

  

 

    

  

Vậy ta có:

2

3

( 1).( 3)( 2)

1 2

( 1).( 3)[- 2( 1)]<0 ( 1).( 3)[-(2x+1)- - 1]<0

x

x x x

x x

x x x x x

x x x x



    

  

      

    

Mà -(2x+1)- - = -[(2x+1)+ + 1]= - [( 1) + ] < 02

2

x x x 

2

(x 1).(x 6x 3)

    

Tới em, biểu diễn nghiệm trục số:

Từ sơ đồxét dấu điều kiện ta có:

       

1

2 3 3;1 3 3;

3 3;1 3;

x

x x



 

    

    

    

Ngồi cịn cách hay đưa phương trìnhvề bậc chất bình phương lên bậc

4 mà

Các em làm phần anh hướng dẫn hệ khối B –2014 để tìm nghiệm( có thơi, sau tìm

được nghiệm em sử dụng Vi-et đảo phương trình bậc 2, lấy phương trình bậc ban đầu chia cho

phương trình bậc phương trình bậc vơ nghiệm cịn lại nhé)

2

2

2

3

4

2

3( 1) 2

3( 1) 2 9( 1) (2 1)

9( 1)(2 1)

9(2 1)

4 18 45 36

( 3)( 3)

x x x

x x x

x x x

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

   

  

   

    

    

      

      

Từ ta thấy: 2

3(x1) 2x 1 2x (x 6x3)( 4 x 6x3)

Vậy kết hợp với đề ta có 2

(x 1)(x 6x 3)( 4x 6x 3) (x 1)(x 6x 3)

            

Ta kết luận tương tự

Tiếp theo phần phương trình vơ tỷ, phần hệ anh nói kĩ phần giải phương trình vơ tỷ nghiệm đẹp phương trình vơ tỷ có1 thứcnghiệm xấu, anh minh họa chứa 2

nghiệm xấu coi loại khó người ta đề thi rồi, nhiều mà có nghiệm đẹp đề khối D-2014 đơn giản

*Giảiphương trình vơ tỷ Sở Giáo Dục Bắc Ninh thi hơm 21/5

Giải phương trình :

3 5x 4 x 4 4x 18x120

Anh nghĩ dạng khó người ta rồi, chủ yếu anh đưa câu vào để trình bày kĩ thuật tìm phương trình chứa nghiệm xấu tìm biểu thức ghép liên hợp, thi anh nghĩ khơng khó tới mức Các em đặt ĐK đàng hoàng :

5

x 

Bấm máy thơi : em nhập phương trình:

3 5x 4 x 4 4x 18x12 vào, bấm dấu “=” để lưu lại Tiếp theo em bấm Shift Solve =

Máy cho ln nghiệm X = 0, ta cần tìm tất nghiệm, anh hướng dẫn đề kB 2014

Sửa phương trình thành (3 5x 4 x 4 4x218x12) :X Tiếp theo em bấm Shift Solve = X = 3,797…

Các em lưu nghiệm vào A

Rồi lại sửa thành

(3 5x 4 x 4 4x 18x12) :X X( A)

Tiếp theo em bấm Shift Solve = = lâu máy báo 50 1.10

X   nghiệm xấp xỉ nghiệm 0, tức vô nghiệm

Phương trình vơ tỷ họ hay cho nghiệm lẻ, nghiệm đẹp, nghiệm lẻ bị loại điều kiện nhằm gây khó khăn cho

*Cách 1: Mị phương trình tạo nghiệm lẻ :

Nghiệm nghiệm phương trình bậc ln có dạng :

ax bx c 0 Thông thường a =1, c nguyên nên chủ yếu ta tìm b

Ta lưu nghiệm lẻ vào A, ta lưu lại vào X cách RCL A Shift STO X

Các em nhập sau :

:

X BX B B

Nhập sau : Alpha X x2 + Alpha B Alpha X Alpha : Alpha B Alpha = Alpha B + Sau bấm CALC :

Máy X? 3,79… Các em ấn =

Máy B? … Các em ấn -9 =

Sau em lại ấn “=”cho tới em nhìn thấy

X BX số nguyên

ở anh bấm B 3 X2BX 3 Vậy ta có

3

x  x  nhân tử cần tìm -

Ta cá thể dùng tính table cho nhanh em vào: Mode

Máy f(x)= em nhập :

A XA ( X chạy mà, A nghiệm) ấn =

Máy Start ? em bấm -9 = ( bắt đầu )

Máy End ? Các em bấm = ( Kết thúc)

Máy Step ? Các em bấm = ( Bước nhảy ví dụ từ 23 bước nhảy ) Nhìn vào bảng ta thấy ln X = -3 f(x) = 3vậy

( ) 3

f x  A  A Vậy ta có

3

x  x  nhân tử cần tìm

Nếu mà khơng có giá trị đẹp em lại sửa thành : 2

2A XA A, XA, mò mà, keke, thường anh nói thơi hệ số

x

*Cách 2: Mò biểu thức để ghép liên hợp : các toán thường ghép liên hợp, vấn đề

ghép với số nào?

Dạng : x

4 ' '

x a b

x a x b

   

 

  

 ta phải tìm a,b,a’, b’ sau :

Ta có 5x 4 axb ( để tí ghép liên hợp đó)

Ta lại mị 5x 4 ax nguyên dừng, ta dị a = , 5x 4 ax=1 Lưu ý phải lưu nghiệm A = 3,79… sang nghiệm X =3,79… xong bấm

Tương tự x   4 x Vậy ta có

2

5 ( 1) ( 3)

5 ( 1)

5 ( 1) ( 1)

x x x x x

x x

x x x x

      

    

     

2

4 ( 1) ( 3)

4 ( 1)

4 ( 1) ( 1)

x x x x x

x x

x x x x

      

    

     

*Cách 3: Đảo dấu :Mò nghiệm ngoại lai  phương trình nhân tử

Cơ sở phương pháp ta nhân liên hợp, bình phương kiểu ….

Bản chất từ a a tức   cái làm xuất nghiệm ngoại lai, muốn lọai nghiệm nghoại lai

ta kết hợp với ĐK ban đầu vậy

Tức trình bình phương hay nhân liên hợp vơ tình tình tạo thêm phần tử âm từ phần tử dương có giá triệt tuyệt đối khác dấu, khóhiểu

Tức 2 

 hiểu đơn giản

Bởi muốn tìm nghiệm ngoại lai cần giải phương trình ngoại lai, nghiệm ngoại lai có tác dụng hỗ trợ việc giải phương trình mà khơng phải nghiệm thống

Ta có ;

5

5

5

x

x x

x

 

  



4

4

4 x

x x

x

 

  



Nghiệm ngoại lai kết hợp với nghiệm X = 3,797… ra đẹpsẽ nghiệm số phương trình ngại lai sau :

2

2

3 4 18 12 0(1)

3 4 18 12 0(2)

3 4 18 12 0(3)

x x x x

x x x x

x x x x

       

       



       



Các em bấm nghiệm phương trình (1), (2), (3) nhân với X = 3,797… lưu A xem đẹp nhận

(1) có nghiệm : X=5,402… lưu vào B, nghiệm X = -0,5022… Lưu vào C, có nghiệm thơi thử tích AB, AC xem có đẹp khơng? Ko đẹp sang phương trình (2)

(2) có nghiệm X=-0,7696…… lưu vào B, nghiệm X = -0,79128… Lưu vào C, nghiệm X = 6,76… lưu vào D

hết nghiệm rồi, ta xét tích AB,AC,AD Thấy tích AC = -3 thử A+C =

(3) Không cần giải

Vậy ta có ln phương trình chứa1 nghiệm phương trình ban đầu nghiệm ngoại lai

3

x  x 

Trong cách anh thấy nhanh cách 2, cần nhậy bén chút, trâu bò cách mà chắc ăn, vừa vừa dùng cách được

Vậy ta xácđịnh có nhân tử

3

x  x  xác định lượng liên hợp cần ghép với để biểu thức ( cách 1+3 ) cịn cách xác định sẵn cịn đâu

Dùng kết cách ta ghép sau :

2

2

2

3 4 18 12

3[ ( 1)] 3[ ( 1)] 4( 3)

3( 3) 3( 3)

4( 3)

1 4

x x x x

x x x x x x

x x x x

x x

x x x x

      

           

     

     

     

2 3

( 3)

1 4

x x

x x x x

 

      

     

2

3

3

( )

1 4

x x

g x

x x x x

   



     

      

 Ta có :

 2  2

3

'( ) 1 0,

5

2 4

1 4

g x x

x x x

x x x x



   

        

   

   

     

Mà g(0)  0 x nghiệm g x( )

Với : 21

3

2

x  x   x  thử lại có nghiệm 21

x  thỏa mãn

Vậy phương trình có nghiệm : x0 21 x 

V,Tổng Kết

Đây phương pháp giúp ta định hướng nhanh mối quan hệ x y, thích hợp áp dụng với phương pháp phân tích thành nhân tử, phương pháp hàm số đánh giá…

Đặc biệt khả sử dụng để giải phương trình, bất phương trình vơ tỷ, phân tích phương trình bậc thành nhân tử,…

Hi vọng sau tài liệu em có nhìn khác Hệ Phương trình, nhiều em có phản hồi lại cho anh em biết làm làm tốt, em khơng cịn thấy hệ phương trình khó

Facebook: https://www.facebook.com/toanmath

Chúc em học tốt !!!