Đang tải... (xem toàn văn)
Mọi vấn ñề phát sinh trong quá trình chấm phải ñược trao ñổi trong tổ chấm và chỉ cho ñiểm theo sự thống nhất của cả tổ. SỞ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO QUẢNG NINH.[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO QUẢNG NINH
HƯỚNG DẪN CHẤM THI LẬP ðỘI TUYỂN HSG LỚP 12 NĂM HỌC 2012-2013 MƠN TỐN (ngày thứ nhất) ðỀ CHÍNH THƯC
(Hướng dẫn chấm có 03 trang)
Bài Sơ lược lời giải Cho
ñiểm Bài
5 điểm ðể phương trình (1) có nghĩa x > ðặt u = 11 11
16 +16 +x , u >
ta thu hệ phương trình:
1
16 11 11
16
16 11 11
16
x u
u x
= + +
= + +
1,0
Nếu x ≥ u suy 16u = 11 11
16 x
+ + ≥ 11 11
16 u
+ + = 16x => x = u Nếu x < u suy 16u = 11 11
16 x
+ + < 11 11
16 u
+ + = 16x => x>u – vô lý Vậy u = x ta thu ñược phương trình: 16x = 11 11
16 x
+ + (2)
0,5
1,0
Giải (2): ðặt v =
16 11+xta ñược hệ phương trình
16 11 16 11
x v
v x
= +
= +
Giả sử x ≥ v suy 16v = 11+x≥ 11+v= 16x suy v = x Nếu x <v suy 16v = 11+x< 11+v = 16x (Vô lý) Vậy v = x ta phương trình: 16x = 11+x (3)
0,5
1,0
Giải (3): 16x = 11+x
2
0
0 1 11265
1 11265 512
256 11
512
x x
x
x x x
> >
+
⇔ ⇔ ± ⇔ =
− − = =
Nghiệm >0 Vậy phương trình cho có nghiệm 11265 512
x= + 1,0
Bài
5 ñiểm ðặt m = 2012 f(x) =
1 3 16 11 m
m
x x
x x
+ + +
− + Khi ta có xn+1= f x( )n ∀ =n 1, 2, 3 16 8 11
( )
11 11
m
m m
x x x x
f x x
x x x x
+ + + − +
= = +
− + − + (*); f(x)-4=
1 3 16 11 m
m
x x
x x
+ + +
− + -4=
( 4)( 7) ( 7) ( 4)
m m
x x
x x
− +
+ − −
Với x > ta có: ( )
f x − =
( 7)( 4) 1
( 4) ( 7)
m
m m
x x
x x x x
+ − = −
− − + − +
1,0
(2)Bài Sơ lược lời giải Cho ñiểm Bài
(tiếp) Bằng qui nạp theo n ta chứng minh ñược: xn ≥2012;∀ ≥n
1
1 1
1
7 4
m
n n n
n
x + = x − −x + − ∀ ≥
Từ công thức dãy (*) ta rút ra: 2012 = x 1<x2< < xn <…suy (xn) tăng 1,25 Giả sử dãy số ( )xn bị chặn tồn limxn =a a( f2012), chuyển qua
phương trình giới hạn ta ñược:
1
2 16
8 16
11 m
m
a a
a a a a
a a
+ + +
= ⇔ − + = ⇔ =
− + (vô lý)
Suy limxn = + ∞ 1,25
1 1
1 1
( )
7 4
n n
n m
i i i i i
y
x x x
= = +
= = −
+ − −
∑ ∑ ) =
1 1
1 1
4 n 2008 n
x − −x + − = −x + −
1 2008
→
khi n →+∞ Vậy limyn =
2008 1,0
Bài 5 ñiểm
O H I
N C
B
D
A
M
* Ta chứng minh O trực tâm tam giác IMN Trước hết chứng minh
IM ⊥ON:
Gọi H giao ñiểm thứ hai ñường trịn ngoại tiếp tam giác AID đường trịn ngoại tiếp tam giác BIC
Ta có MD MA =MB MC suy M thuộc trục ñẳng phương hai ñường tròn
ngoại tiếp tứ giác AIHD BIHC nên M, I, H thẳng hàng 1,0 Xét tứ giác DOHC, ta có:
0 ˆ ˆ
ˆ 360 ˆ ˆ ˆ
DHC= −DHI−IHC=DAC+DBC=DOCsuy tứ giác DOHC nội tiếp Tương tự, tứ giác AOHB nội tiếp
Hơn ta có: NA NB =NC ND suy N thuộc trục đẳng phương hai đường trịn ngoại tiếp tứ giác AOHB DOHC
(3)Bài Sơ lược lời giải Cho điểm Bài
(tiếp) Ta có: ˆ ˆ ˆ 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 0
(180 ) 90
IHO=IHD OHD− = −DAC −OCD= ADC+ACD OCD− =ADC+OCA=
Suy IM ⊥ON( O, H, N thẳng hàng M, I, H thẳng hàng) 1,0
Chứng minh tương tự IN ⊥OM Do O trực tâm tam giác IMN 1,0 Áp dụng toàn quen thuộc trực tâm tam giác, suy bán kính đường trịn
ngoại tiếp tam giác OMN; OMI; ONI (ñpcm!) 1,0 Bài
5 ñiểm Gọi số nguyên tố cần tìm P P1, 2, , P2011, theo giả thiết thì:
2011 2011
2010
1
i i
i
i
P P
= =
Π =∑ (*)
Giả sử số nguyên tố có k số khác 2011; ≤ k ≤ 2011 Ta xét trường hợp sau:
1) k = 0, nghĩa tất số ñều 2011 Khi ta có
2011 2011
2010
1 2011 2011 i
i
= =
Π =∑
Vì 2011 số nguyên tố nên pi =2011;i=1; 2; ; 2011,là 2011 số nguyên tố thoả mãn yêu cầu toán
1,0
2) k = 2011, nghĩa tất số piđều khác 2011 Khi pilà số ngun tố khác 2011 nên (pi; 2011) =
Theo định lý Fecma nhỏ 2010 1(mod 2011), 1, 2011 i
p ≡ i=
Do ,2011 2010
2011(mod 2011) i
i
P =
≡
∑ 2011
1 i i= p
Π không chia hết cho 2011 (vơ lý) 2,0 3) 1≤ ≤k 2010, nghĩa có 2011-k số 2011 Khi 2011 số hạng bên vế phải (*) có k số chia cho 2011 dư 2011-k số lại chia hết cho 2011
Do 2011 2010
(mod 2011) i
i
P k
=
≡
∑ ⇒2011 2010
1 i i
P =
∑ không chi hết cho 2011, dễ thấy 2011
1 i i= p
Π chia hết cho 2011 (mâu thuẫn) 1,75
Vậy có 2011 số nguyên tố thoả mãn, 2011 số ngun tố 2011 0,25 Các ý chấm:
1 Hướng dẫn chấm trình bày sơ lược giải Bài làm học sinh tiết, lập luận chặt chẽ, tính tốn xác điểm tối đa Các cách giải khác ñúng cho ñiểm Tổ chấm trao đổi thơng chi tiết khơng ñược số ñiểm dành cho câu, phần ñó
2 Có thể chia điểm thành phần khơng 0,25 điểm phải thống tổ chấm ðiểm tồn tổng số điểm phần chấm Khơng làm trịn điểm
3 Mọi vấn đề phát sinh q trình chấm phải trao ñổi tổ chấm cho ñiểm theo thống tổ