Tuyển tập 100 bài toán hệ phương trình

52 4 0
  • Loading ...
    Loading ...
    Loading ...

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Tài liệu liên quan

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 23/02/2021, 22:34

Với hệ này, cả hai ẩn và ở hai phương trình đều khó có thể rút ẩn này theo ẩn kia... Phương trình vô nghiệm.[r] (1)TUYỂN TẬP 100 HỆ PHƯƠNG TRÌNH LTĐH NĂM HỌC 2014-2015  NHÓM GIÁO VIÊN THỰC HIỆN 1) PHẠM VĂN QUÝ 2) NGUYỄN VIẾT THANH 3) DOÃN TIẾN DŨNG ĐƠN VỊ CÔNG TÁC: TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG, TX ĐỒNG XỒI, TỈNH BÌNH PHƯỚC Bài Giải hệ phương trình: 2 12 (12 ) 12 (1) 8 2 (2) x y y x x x y             (x, y  R) (ĐH khối A – 2014) Giải Điều kiện : 2 12 12 y x          2 12 2 3 y x         Cách 1: Đặt a  12y a,   0 y 12a2 PT (1) xa (12a2)(12x2)12  122 12x2 12a2 x a2 12xa  2 2 2 2 12 12 12 12 12 2.12 xa x a x a xa x a             2 12 12 2.12 12 xa x xa a          12 ( ) xa x a        Ta có (x – a)2 =  x = 12y (*) Thế (*) vào (2) : (12y) 12 y 12  y y2  (4y) 12 y y 2  (3y) 12 y 12   y 2 y 2  (3 ) 12 2(3 ) 12 y y y y y y             3 12 y y y y                1 (2)Vậy 3 x y       Cách 2: Ta có x 12 y (12x y2)  x2 12x212 y y 12 Dấu “=” xảy 2 12 12 y x y y     2 (12 )(12 ) x y y x     (3) Khi (1) tương đương với (3) (3) 2 2 0 0 144 12 12 12 144 12 12 (4) x x x x y x y x y y x y x                                    Thế (4) vào (2) ta có 3 (2)x 8x 1 10xx 8x  1 10x 0   3 8 3 2 1 10 0 x x x           2 1 (10 ) 3 1 10 x x x x x              2 9 3 1 10 x x x x x            2 2( 3) 3 1 10 x x x x x                    2 2 2( 3) x x x x x                  3 x y     Vậy 3 x y       Cách 3: Đặt       2 ; 12 ; 12 ; axx b  y y   12 ab  (1) 2 2   2 a b a b      a b    x 12y (2) x38x  3 10x2 2 3 (vo nghiem x 0) (3)       2 3 3 10 x x x x x x            x yx2 3x 1 10x2  1 2 3 x0 Đặt f x x2 3x 1 10x2  1 3 x   ' 0 f x    x phương trình vơ nghiệm Vậy nghiệm hpt trên: (3;3) Bài Giải hệ phương trình: (12 ) ( 1) 2 2 y x y x x y y y x y x y x y                    (ĐH khối B – 2014) Giải Điều kiện: 0 4 y x y x y           Phương trình thứ viết lại thành (1 ) (1 ) ( 1) ( 1) 1 (1 )(x y 1) ( 1) 1 1 y x y y x y x y y y y y x y x y x y y                              TH1 : y 1 thay xuống (2) ta có  93x 2 x  2 4x  8 x (TM) TH2 : x  y thay xuống (2) ta có 2 2 2 2 2 1 2 2( 1) ( ) 1 ( 1) 1 5 ( ) 2 y y y y y y y y y y y y y y y y x TM                                           Vậy hệ cho có nghiệm : ( ; ) (3;1),( 1; 1) 2 (4)Bài Giải hệ phương trình: 2 2 ( 2) ( 6) ( 1)( 7) ( 1)( 1) y x x x y y x x x y               Giải ĐK: x y, R Đặt a x b y        , ta có hệ trở thành: 2 2 2 2 ( 1) ( 1)( 6) ( 1)( 6) ( 1) (*) ( 1)( 6) ( 1) ( 1)( 6) ( 1)(**) b a a b a b b a b a a b b a a b                                   Trừ vế theo vế hai phương trình thu gọn ta có: ( )( 7) 2 a b a b a b ab a b ab                 Trường hợp 1: ab thay vào phương trình (*) ta có: 2 2 ( 1)( 6) ( 1) 3 a a a a a a a a                1 x x         hệ có nghiệm (x; y) là:  Trường hợp 2: a  b 2ab 7 Trừ vế theo vế hai phương trình (*) (**) rút gọn ta có: 2 5 2 2 a b                          Vậy ta có hệ phương trình: 2 2 5 2 2 a b ab a b                               Đây hệ đối xứng loại I, giải hệ ta có nghiệm: 2; 3; 2; 2 3 a a a a b b b b                                     Từ ta có nghiệm (x; y) là: (1;2),(2; 3),(1;3),(2;2) Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm là: (1;2),(2; 3),(1;3),(2;2) Bài Giải hệ phương trình: 3 2 2 12 16 4 x x y y x x y y                Giải ĐK: x   2;2 , y 0;4 Ta có PT(1)(x 2)36(x 2)y3 6y2 Xét hàm số f t( )t36 ,t t   0; 4 ta có f t'( ) 3t2 12t 3 (t t4)  0, t 0; 4 f t( ) nghịch biến 0;4 Mà phương trình (1) có dạng: f x( 2) f y( )yx2 thay vào phương trình (2) ta có: 4x2  6 4x2  x từ ta có y = (5)Bài Giải hệ phương trình: 3 2 4 52 x y x x y x y xy               Giải §K: y  1 3 3 4 4 13 52 x y HPT x x y xy x x y                  2 3 ( 1) 13 52 3 2 13 3 1 x y x x y x y x y x y x y y y                                      2 3 5 11 24 3 7 3 8 x y y y y x y x y y y y                                        Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm: 3 x y       Bài Giải hệ phương trình: 2 2 1 1 y x y x xy xy x y                ĐK: x 0;y 0;xy 1  1  y 2xyxxy  0  yx y 2 x 10  yx  y x thay vào (6)Bài Giải hệ phương trình:  3  2   2 5 5 5 2 x y x y x y xy xy xy x y x y                   ĐK: 1; 5 x   y Đặt u  x y u, 0;vxy v, 0  1 2u3 3u v2 uv2 2v3 0 u 2 2 u u 1 0 u 2 u 2v v v v v                                     2 2 x y xy x y x y         thay vào  2 , ta được:   5 5 5 3 3 5 2 2 x x x x x x x x x x x                               1 5 1 3 ì 5 5 2 x y VN v x x x                    KL: tập nghiệm hệ pt là: S   1;1 Bài Giải hệ phương trình:      2 3 2 3 2 1 2 1 1 1 x y x x x x y y x y y y x x y y                                  ĐK: y 0 Hệ           2 3 3 2 3 2 2 1 1 1 1 4 0 x y x y x y x y x y x x y y x x y y                                           1 1 y x x x y                  KL: S   1;2 Bài Giải hệ phương trình:   2 2 2 2 4 3 10 34 47 x xy y x xy y x xy y x xy y                ĐK: 2 2 3 4 x xy y x xy y          (7)Chuyển vế nhân liên hợp phương trình  1 , ta được:  2     2 2 1 5 6 4 x y n x xy y x y n x xy y x xy y                              Với xy thay vào  2 , ta được: 1 1 x y x x y              Với x  6ythay vào  2 , ta được: 47 47 6 82 82 82 47 47 47 6 82 82 y x y y x                  KL:   1;1 , 1; , 47; 47 ; 47;6 47 82 82 82 82 S                                        Bài 10 Giải hệ phương trình:     2 4 2 3 9 x xy x y x y x y x             Hệ   2 2 2 2 3 3 3 x y x xy x y x y x             Thay  1 vào  2 , ta được: 2  2 0 1 9 15 3 4 3 x y x y y y x y x x VN                          KL:  0;0 ; 1;1 3 S          Bài 11 Giải hệ phương trình:  2  2 2 2 2 4 13 2 x y xy x xy y x y x y x y                    ĐK: 0 2 x y x y x y         (8)Hệ     2 4 4 2 x xy y x y x y x y x y x y                   Ta có PT   1 2 4    2 x y x y x y x y l                 Với x 2y1 thay vào  2 , ta được:   3y1 y  1 3y9y 6y 13y     0 y x thỏa mãn KL: S   1; Bài 12 Giải hệ phương trình:     2 2 2 5 2 3 x x y x y x y x y              ĐK: x 2y Ta có  2 x2  6 3y thay vào  1 ta được: 15y 65y 5y     9 y x thỏa mãn KL: S   3;1 ;  3;1 Bài 13 Giải hệ phương trình:        2 2 2 1 1 4 1 1 x y y x y x y x x x y                               ĐK: 2 1 1 1 x x y x y               Đặt: 2 1, 0 1, a x a b y b           , ta được:   2 3 2 2 4 b a b a ab a b          Nhân chéo hai phương trình giải hệ đẳng cấp ta đươc tập nghiệm: S  10;2 ;  10;2 Bài 14 Giải hệ phương trình: 3 2 20 3 3 y y xy x y x y y            (9)Hệ     3 2 20 3 3 y y y x y x y y              Thế  2 vào  1 , ta phương trình bậc KL: 1; ; 3; 2 5 S              Bài 15 Giải hệ phương trình: 2 2 3 2 x y x y y x y x               ĐK: 2 y Ta có PT   2 2   3 0 1 3 6 y x y x y l x y y x y xy x y                          Với xy thay vào  2 , ta được:   2 1 2 11 2 2 2 y x y y y y y y y y l y x                              KL: S  1;1 ; 2  2;2 2 Bài 16 Giải hệ phương trình:     4 2 2 2 2 2 2 3 3 x y x y x y y x x y xy y x                ĐK: x y 0 Ta có PT       4 2 2 2 2 2 2 2 1 x y x x y y x y x y x y x y x y                                Với xythay vào  2 , ta được: x   1 y  Với x  y thay vào  2 , ta được: y    1 x (10)Bài 17 Giải hệ phương trình: 2 3 10 38 41 6 x y xy x y x xy y y x                 ĐK: 3 3 6 1 x xy y y x           Ta có PT  1 10x2 2x y 195y26y410 Tính Δ'x  49y12   0 y thay vào  1 x 2 thỏa hệ phương trình KL: S   2;1 Bài 18 Giải hệ phương trình: 3 2 3 2 2 x y x y xy xy x y x y x x y                 ĐK: xy Ta có PT     2  2 1 1 0 y x x y x y x y x y x y                    y  x thay vào  2 , ta được: 2 0 1 x y x x x x y                 x2 y2      x y x yv xì  y 0 thay vào hệ không thỏa KL: S  1; ; 0; 1  Bài 19 Giải hệ phương trình:     2 3 2 2 2 2 3 8 3 1 4 12 y x y y y y x y x                    ĐK: 1 2 x    Đặt: 2 2 1 , a y b x b          , ta có: 3 2 2 3 2 3 3 a a a b b a b b a a a b                 thay vào  1 , ta được:  3  2   2 3 2 3 0 0 0 bbbbbbb      b b a Khi ta có: 2 1 1 2 1 1 x x y y                          (11)KL: 1;1 ; 1; ; 1;1 ; 1; 2 2 S                         Bài 20 Giải hệ phương trình:    6 2 3 3 24 18 11 1 2 x y y x x y y x x y                 ĐK: y0 Ta có PT  1 x2 2y3x4 6x y2 9x2 12y2 18y10 Với x2 2y thay vào  2 , ta được:   3 3 2 3 3 1 1 1 1 (4 1) (2 1) x x x x x x x x x                            1 2 x y     KL: 1;1 2 S          Bài 21 Giải hệ phương trình:   2 2 1 4 x y x y xy xy x y xy x y y x                  ĐK: x 0;y0 Ta có PT     2 2 1  yxxy  0 xyxy   x y x y 2 xy thay vào  2 ta được:  xy 1xy xyxyxy 4 0 xy 1 Khi ta có:  3 3 2 1 3 5 2 x x y xy y                       KL: thay vào hệ ta có tập nghiệm: 3; 2 S                      Bài 22 Giải hệ phương trình:    1 4 2 1 1 1 1 1 2 2 x x x y y y y y x x y                         (12)ĐK: x 1;y1 Đặt: 1, 1, a x a b y b           Ta có     2 2 2 2 1  b2 a b 2abab 0 0 b a        1 5 1 x x y y                 thỏa hệ phương trình KL: S   1;5 Bài 23 Giải hệ phương trình: 3 3 1 4 1 1 2 3 x y y x y x y y                    ĐK: 1 2 3 y x y x y            Ta có   1  3 x y x y y x y                   thay vào  2 , ta được:    2 2 3 1 1 1 1 1 2 2 2 y y a a a a a a a y                              6 1 1 y x y        KL: S  8;2  Bài 24 Giải hệ phương trình sau:    1 21 42 00 ( , ) x y y x y y y x x                Giải Điều kiện: x 1 Đặt tx 1, t 0 Khi xt2 1 hệ trở thành 2 2 (1 ) 2 ( ) 2 ( ) 3 ( ) 3 t y y t y ty t y ty y y t t y ty t t y ty                                                    Suy 0 2( ) 3( ) 3 3 2 t y y t t y t y t y y t                           (13) Với 3, 2 y  t ta có 3 13 2 t t t t t                     Suy 19 13, 13 8 x   y   Vậy nghiệm (x; y) hệ Bài 25 Giải hệ phương trình sau: 2 2 ( 2) 1 x x x y y x y x y x y                   Giải Điều kiện:x2   y Phương trình (1) (x 2) (x 2)2     3 x y (y)2  3 y Xét hàm số f t( )t t2  3 t Có 2 2 '( ) 3 t f t t t t        Hàm số f(t) đồng biến RPhương trình (1)    x y Thay vào (2) ta có : 2 2 2 2 3 1 2 1 12 12 3 3 2 1 1 (tmdk) 2 3 13 10 10 3 x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x                                                                             Vậy hệ có nghiệm (x;y) = (-1;-1) Bài 26 Giải hệ phương trình sau: 53  10 2 5 48  ,  2 11 66 x x y y x y x y x x y x                          1 Giải ĐK: 10 10 9 2 6 2 11 11 x x y y x y x y x y x y                                                 (14) Xét hàm số f t 5t2 3t khoảng t 0; có f t/ 15t2    3 0, t hàm số đồng biến Từ (3) ta có f 10x  f 9y 10 x 9   y y x 1, 4  Thay (4) vào (2) ta x  7 10 x x22x660(5) ĐK: x   7;10 Giải (5) ta            2 9 7 10 63 7 10 1 9 [ ] 9, 7 10 x x x x x x x x x x x x x y x x                                  Vậy Hệ phương trình có nghiệm    x y;  9;8 Bài 27 Giải hệ phương trình sau: 1 1 1 1 1 2 y x x y x y x y                   Giải ĐK:0x y; 1 PT(1) 1 1 1 (1 ) y x x y x y            (*) xét h/s ( ) 1 t f t t t     ; có ' 2 1 (1 ) 2 ( ) , (1; ) (1 ) t t t t f t t t             vì (*)  f x( ) f(1y)  x y, vào pt(2) ta : 2 1 x 5 x 2  6 2x 2 56xx 8 2 2 1 5 6 ( 1) 2 x x x x x x x y               (tmđk) vậy hệ pt có nghiệm 1 2 x y        Bài 28 Giải hệ phương trình sau: 3 3 2 27 9 x y y x y y x         Giải Nhận xét y 0, nhân hai vế phương trình thứ hai với 7y, trừ phương trình thứ nhất, 3 (3 )xy 7(3 )xy 14(3 )xy  8 Từ tìm 3xy 1 3xy 2 3xy 4 Với 3xy 1, thay vào phương trình thứ nhất, y=1 3 (15)Với 3xy 2, thay vào phương trình thứ nhất, y=0 (loại) Với 3xy 4, thay vào phương trình thứ nhất, y=-2 3 x   Bài 29 Giải hệ phương trình sau: 3 2 4 3 x y x y x y          Giải Phương trình (1)2(x3y )3 4(2 x y) Từ phương trình (2) thay 4x2 3y2 vào phương trình rút gọn ta được: 2 0 6 5 y x y xy y x y x y                TH1 : y 0 thay vào hệ ta 3 4 2 x x x x           nghiệm (x; y) ( 2; 0) TH2 : x     y y x thay vào hệ ta : 3 2 1 4 x x x x          Hệ có nghiệm (x; y)(1; 1); ( 1;1)  TH3 : x  5y thay vào hệ ta có nghiệm (x; y) ( ; 1); ( 1; ) 7 7    Bài 30 Giải hệ phương trình sau:         2 (x; y R) 1 y x x y x y y x y x                 Giải ĐK: 2 1; 3 x y x y x           PT (1) x 2.yx y 2 x  2 có  y x2 8x 2  x 42   2 2 2 0 4 x y x y loai x                  với 2 2 x y y x y x x          , vào (1) ta      1 1 2 xx    x   xx   x 1.( x  2 1)x1   x 12  1  (*) (16)Xét hàm số f t( )tt2  1 1t t2  1 t , có 2 ' 2 ( ) 1 ( ) 1 t f t t f t t        đồng biến Vì PT (*)  2 1 ( 1) ( 1) 1 1 x f x f x x x x x                    x Với x =  y (thỏa mãn) Vậy hệ có nghiệm (x; y) = (3; 5) Bài 31 Giải hệ phương trình sau:   2 1 2 2 2 x y x y x y y y            Giải Lấy (1) + (2) vế theo vế ta được:        2 2 1 1 2 4 2 2 2 2 2 0 2 x x xy x y x x y x y x x y x y                      Trường hợp x=2 thay vào (2) ta có y = Trường hợp x+2y = thay vào (2) ta phương trình vơ nghiệm Vậy hệ có nghiệm x = 2; y = Bài 32 Giải hệ phương trình sau:     2 2 2 1 1 2 xy y y y xy x y y             Giải Điều kiện y 0        2 2 2 2 1 1 4 ( ) 1 2 5 x y y y x x y y I y x x y x y y                                        Đặt u y x 1 1;v x y      ta có hệ     2 5 5 10 2 15 1 1 1 10 u v v u u u v v u v u u y x y x hay y y x x                                                                                2 1 10 1 9 1 2 x y y y y y x x x y                                     (17)Bài 33 Giải hệ phương trình sau: 2 2 1 22 y x x y x x y y              Giải Điều kiện: x0, y 0 x2 + y2 - 0 Đặt u = x2 + y2 - v = x y Hệ phương trình (I) trở thành 3 21 u v u v          2 13 21 21 v v u v           u v       7 u v       + Với 9 u v        x y       3 x y         Với 7 u v         14 53 53 x y         14 53 53 x y           Vậy hệ có nghiệm (3;1), (-3;-1), 14 ;4 53 53             2 14 ; 53 53              Bài 34 Giải hệ phương trình :   3 1 1 x y x x y           (I) Điều kiện: 1 0 x x y y                     Ta có (I)     2 3 4 1 1 1 x x x x y              Từ phương trình : x 1 x12  1 x3 x    1 x3 x2 2x 2 (1) Ta thấy hàm số f x( ) x 1 hàm đồng biến  1;  Xét hàm số g x( )  x3 x2 2x 2 Miền xác định: D 1; Đạo hàm g x/( ) 3x2 2x  2  x D Suy hàm số nghich biến D Từ (1) ta thấy x 1 nghiệm phương trình nghiệm Vậy hệ có nghiệm  1;0 Bài 35 Giải hệ phương trình : 2 3 3 x x y y y x              (II) Điều kiện: (18)Ta có (II) 2 2 3 3 x x y x y y               Cộng vế theo vế ta có: 3x2 3 x  3 3y2 3 y 3 (2) Xét hàm số f t( ) 3t2 3 t 3 Miền xác định: D  1; Đạo hàm: / 2 3 ( ) 2 t f t x D t t        Suy hàm số đồng biến D Từ (*) ta có f x( ) f y( ) x y Lúc đó: 3x2  x 3 (3) + VT (3) hàm số hàm đồng biến D + VP (3) hàm D Ta thấy x 1 nghiệm phương trình (3) (thỏa điều kiện) Suy phương trình có nghiệm x 1 nghiệm Vậy hệ có nghiệm  1;1 Bài 36 Giải hệ phương trình : 3 2 2 (1) 1 2 (2) y x x x y y x xy x              ĐK : 1  x Từ (1) ta có : 2.y3 2(x1) 1 x 1 x 1 x y (thêm vào vế trái 1x ) 3 2y y 2( x) x       Xét hàm số f(t) = 2.t3+t có f’(t ) = 6t2 + >0 suy hàm số đồng biến Suy y = 1x vào (2), ta có 1  x 2x2 2x 1x2 (3) Vì 1  x nên đặt x = cos(t) với t [0; ] sau vào phương trình (3) kết Bài 37 Giải hệ phương trình: 2 2 1 (1) 57 4 (3 1) (2) 25 x y x x y x             Giải ĐK: x y, R Nhân vế phương trình (1) với 25 nhân vế phương trình (2) với 50 ta có: Hệ phương trình 2 2 25 25 200 150 114 50 (3 1) x y x x y x             Cộng vế theo vế hai phương trình hệ ta có: 2 225x 25y 25150xy 150x 50y 144  2 15 5 12 15 15 5 144 15 5 12 15 17 x y x y x y x y x y                           (19) Với 15x 5y 7 kết hợp với (1) ta có hệ phương trình: 2 2 15 1 x y x y          2 2 2 11 25 5 15 2 5 15 11 5 15 25 25 25 25 25 15 2 5 5 1 5 x y x y y x y x x x y x x x x y                                                                Với 15x 5y 17 kết hợp với (1) ta có hệ phương trình: 2 2 15 17 1 x y x y           2 2 2 5 17 15 5 17 15 15 25 25 25 17 15 5 y x y x y x x x y x x                                    hệ vô nghiệm Kết luận: Hệ phương trình có hai nghiệm là: 2 11 5; 25 1 5 25 x x y y                               Bài 38 Giải hệ phương trình: (1) 0 (2) x y x y x y x y              Giải Điều kiện : 3 x y x y         Hệ Phương trình tương đương 1 2 x y x y x y x y x y x y y x x y y x                                     2 2 x y 2x y y x x y x y y x x y y x                          (20)4 5 y x y x x y y x x x                            2 4 1 5 y x x x x x              4 1 9 11 y x x x x             4 1 2 y x x x x                 3 x y        Kết luận : Hệ phương trình có nghiệm 3 x y       Bài 39 Giải hệ phương trình: 2 2 3 2 2 (1) 2 (2) x y y x x y y x            Giải ĐK: 2x2 y2 0 Đặt : t  2x2 y2 (t 0)   2 2 1 1 3 1 2 t t t t t x y x y                    Khi hệ phương trình tương đương 2 3 2 2 x y x y y x             2 3 2 2 2 2 x y x y y x x y           2 3 2 2 5 2 ( 3) x y x x y xy y           (21) Hệ phương trình tương đương 2 2x x       ( vơ lí ) Vậy cặp ( x , 0) không nghiệm hệ TH2 : Chia hai vế ( ) cho y3ta có hệ phương trình tương đương 2 3 2 5 2 x y x x x y y y                                        2 2 1 x y x y          1 x y x y          Kết luận : Hệ phương trình có nghiệm S 1;1 , 1; 1 Bài 40 Giải hệ phương trình:   2 2 1 6 8 1 2 4 x y xy x y y x y                   Giải Điều kiện: x  y Hệ phương trình biến đổi tương đương           2 2 1 2 8 1 0 x y x y x y x y x y x y                       Đặt a x y b x y x y            Ta có hệ tương đương 2 2 8 0 a b a b             2 25 2 8 a b a b            2 5 25 2 4 5 b b a b                          5 a b          Vậy hệ có nghiệm   13 ; 8; ,8;8 (22)Bài 41 Giải hệ phương trình:      2 2 1 25 2 x y x y y x xy y x y               Giải Hệ phương trình tương đương            2 2 2 1 25 1 10 x y x y y x y x y y y                  Nhận xét y 1 khơng nghiệm hệ phương trình Chia hai vế phương trình hai cho y 1 ta có      2 2 1 25 1 10 x y x y y x y x y y                   Đặt 2 1 x y a y b x y             Khi ta có 25 10 a b a b          2 5 5 10 a x y y b x y                      Vậy hệ có nghiệm    ; 3;1 , 11; 2 x y      Bài 42 Giải hệ phương trình:   2 2 3 2 4 4 x x y y y x y x y y xy               Giải Nhận xét y 0 không nghiệm hệ phương trình Chia hai vế phương trình cho y2 hai y3   2 3 2 1 4 1 4 x x y y x x x y y y                 Đặt 1 a x y x b y          (23)2 2 a a b a ab            2 2 4 2 1 4 a b a a b a a                    1 x y        Hệ có nghiệm    x y;  1;1 Bài 43 Giải hệ phương trình: 2 2 5 4 5 x y x y x y x y x y xy                Giải Hệ phương trinh tương đương: 2 5 4 5 5 x y x y x y x y x y y x               2 2 5 4 5 x y x y x y x y y x x y                2 2 5 4 x y x y x y x y y x x y                Đặt 2 2 x a x y y b x y           ta có 4 1 1 a b a b         4 4 a b a ab b                  Hệ có nghiệm  ; 3; 2 x y      Bài 44 Giải hệ phương trình:    3 5 3 2 2 x y x y x y xy y                 Giải Điều kiện ta có ; 3; 3 yx  yx Phương trình (1) tương đương      2 3 x  yx y   2 52 122 12 x y x y y        6 x y x y        Với x 6y9 3 x 6y     9 y Suy phương trình vơ nghiệm Với x2y1thay vào phương trình ( ) ta có 2 3y 2 y 2 2y3y2      2 2 2 y y y y y (24)2 2 1( ) 3 2 y y vn y y              Vì 2 ;2 3 3y 2 y2  y  Vậy hệ có nghiệm ( ;2 ) Bài 45 Giải hệ phương trình:   2 2 10 1 3 1 1 y y x y y x y x y x                   Giải Điều kiện 2y2 7y 10x y 30;y 1 0;x  1 Ta có        2 2 10 1 1 y y x y x y x y x y x                              2 2 10 1 1 y y x y x x y y x y x y x                                    2 2 10 2 1 1 y y x y x x x y x y x x y                      Phương trình ( *) tương đương 2y2 4y 2 3xyx23x  2 x y x y           Với y = – x thay vào phương trình ( ) ta x 1 2     x 1 x x2 ( VN ) Với x = – 2y thay vào phương trình (2) ta phương trình đơn giản ẩn y Từ có nghiệm hệ Bài 46 Giải hệ phương trình: 2 2 2 2 ( ) 2 2 ( ) x x x y y y x y x y                 Giải Lấy ( ) – ( ) Ta có x2 3x  2 x  2 4y2 2y 2y1 2 (x 1) (x 1) x 4y 2y 2y           Xét hàm số : f t( )t2  t t1 '( )2 (25)  1 2 1 2 4 t t t          Suy f t' 0 Vậy f t  hàm đồng biến Suy x  1 2y Thay x 2y1 vào phương trình ( ) ta có 2y122y2 2 2 y   1 y 1 6 1 2 6 y x y y y x                  Vậy hệ có nghiệm  1;2 , 1; S          Bài 47 Giải hệ phương trình: 33  2 2 2 x x y y x y              Giải Điều kiện 2; 2 xy  Phương trình ( 1) tương đương : 2x 2 x 2 x 2y1 2 y 1 2y1     f x f y     Xét hàm số f t t3 t ta có f t' 3t2  1 sauy hàm số f t  đơn điệu tăng Từ suy f 2x  f 2y1 2 x 2y1   x 2y thay vào phương trình (2) Ta có 352y 2 y 2 5( * ) Đặt   35 2 2 u y v y v          (*) 2 2 u v u v          1; 3 65 23 65 ; 4 65 23 65 ; 4 u v u v u v                     2 233 23 65 32 233 23 65 32 y y y                 Vậy hệ có nghiệm   23 65 185 233 23 65 23 65 185 233 23 65 1;2 , 16 ; 32 , 16 ; 32 S                  (26)Bài 48 Giải hệ phương trình:     2 2 2 2 1 x y y x x x y x            Giải Với x 0 thay vào hệ phương trình ta có 0 y y         ( mâu thuẫn ) Chia hai vế phương trình ( 1) cho x3 ta có 3 3 2y y 2x x x x              y f f x x           Xét hàm số f t t3 2tf t' 3t2  2 sauy hàm số f t  đơn điệu tăng Từ suy y x x2 y y 0 x     Thay vào phương trình ( 2) ta có   2  2 2 1 xx   x  (*) Đặt   2 1 u x v x v         (*)u2vv2 2uv2uv2v 2u 0 vu v 2 0    v x Vậy hệ có nghiệm S   3; ,  3; 3 Bài 49 Giải hệ phương trình:     2 2 4 4 x x y y x y x              Giải Điều kiện : 3 x y        Phương trình ( ) biến đổi ta có       3 3 8x 2x  62y 52y  2x 2x  52y  52y Xét hàm số f t t3 t ta có f t' 3t2  1 suy hàm số f t  đơn điệu tăng Từ suy  f x 2  f 52y 2x  52y   2 5 0 x yx    Thay vào Phuong trinh ( 2) ta có 2 2 4 2 x x      x     Với 3 0; 4 x   Nhận xét 3 (27)  2 2 4 2 x g xx      x    Khi     2 ' 4 3 g x x x x      với 3 0; 4 x      Ta có 1; 2 g        x y    nghiệm hệ Bài 50 Giải hệ phương trình:   2 2 2 3 1 2 2 2 y y y x x x x x y                  Giải Điều kiện 2x 4y 2 Phương trình ( ) tương đương   2 2x 4y 2 y 1 2y y  1 y 2x 4y 2  y2  1 y2 (*) Thay vào phương trình (2) ta có  2  2 2 1 1 x   x    y  y 2 2 1 1 2 x x y y                 Xét hàm số f t( ) t t2 1 Khi dó 2 '( ) 1 t f t t     suy hàm số f t  đơn điệu tăng Từ suy   2 x f    f y     1 2 2 x x f    f y     y x y   thay vào phương trinh (*)ta  2 2 2 1 1 4 1 y y y y y y y                   5 x   Vậy hệ có nghiệm 3; 2           Bài 51 Giải hệ phương trình: 2 2 2 3 x x x y y x y x y               Giải Cộng hai phương trình ta có     2 2 2 2 2 1 4 x x x x y y x x y y                Xét hàm số f t  t t4t0 Khi ' 1214 (28)Từ suy f x  12 f y 2 x 12 y2 1 y x y x         Với y  x thay vào phuong trình hai ta có     2 2 3 1 xxx   xx   1 2 x y      Với y  1 x thay vào phương trình hai ta có     2 2 1 3 3 1 1 0 xxx   x  x   4 x   y Bài 52 Giải hệ phương trình:     2 2 2 2 32 1 x x y y y x y x y              Giải Xét phương trình thứ hai hệ : 2 2 x  x y   y Phương trình có nghiệm   1 4y24y  2 4y4y2 0 3 2 y     Phương trình thứ hai hệ biến đổi theo biến y 2 0 2 y  y x   x Phương trình có nghiệm 2 1 4x 4x 4x 4x          2 x     Phương trình thứ ta có 3 8x 2x  4y 2y  y 32 Xét hàm số   8 f xxx Khi f x' 24x2 4x với   0 ' 1 6 x f x x           Ta có  0 0; 1; 1 ; 63 2 54 2 ff  f  f        Xét hàm số   4 32 g y   yy  y g y'  12y2 4y1 với   1 ' y g y y           Ta có 1 63 1 1733 1 63 3 79 (29)Vậy hệ phương trình có hai căp nghiệm 1; ; 3; 2 2                        Bài 53 Giải hệ phương trình: 3 2 4 52 x y x x y x y xy               x y,  Giải §K: y  1 3 2 3 4 4 13 52 3 ( 1) 13 52 3 3 2 13 x y HPT x x y xy x x y x y x x y x y x y x y x y y y                                                          2 3 5 11 24 3 7 3 8 x y y y y x y x y y y y                                        Bài 54 Giải hệ phương trình:       2 2 2 5 2 x y xy y x y xy x y x y              x y,  Giải Biến đổi phương trình thứ hai hệ ta có 2 2 2 2 ( ) 2 ( ) ( ) ( 1) 2( 1)( 1) ( 1)( 2) xy x y x y x y x y xy xy xy xy x y                  (30)2 3x y6xy 3y  0 y x( y) 0 Vì xy = nên y 0, x = y Do x = y =1 x = y = -1 +) x2 y2 0 thay vào phương trình thứ rút gọn ta được: 3 4 5 2 0 ( 2 )( )2 0 2 x x y xy y x y x y x y x y               Từ giải nghiệm 2 2 (1;1),( 1, 1),(2 ; ),( ; ) 5 5     Bài 55 Giải hệ phương trình: 2 2 2 (1) 3 (2) x x x y y x y x y                x y,  Giải Từ (1): 2 2 2 3 2 x y x y x x x y          , thay (2) vào ta 2 1 ( )( 1) 2 x y x x y         x 3y Với x = 3y thay vào (2) giải được: ( , ) ( ; );( ; )3 2 4 x y  Bài 56 Giải hệ phương trình: 4 2 2 2 1 25 (1) (18 ) (2) x y y x x y y x             Giải Dễ thấy với y 0 hệ pt vô nghiệm Xét y 0.Chia (1) cho y2, chia (2) cho y ta hệ 4 2 2 2 2 2 2 25 1 18 x x y y y y x y x y y               2 2 2 2 ( ) 2( 1) 25 1 18 x y x y x y x y                   Đặt 2 2 1 x a y y b x           ta hệ 2 7 11 2 27 18 27 a b a b a b a b                          (31)+ Với 11 a b       ta giải 2 11 x y       2 11 x y       + Với 27 a b        vô nghiệm Vậy phương trình cho có nghiệm 2 11 x y       2 11 x y       Bài 57 Giải hệ phương trình: 3 2 8 65 2(2 ) (1 ) x y y x x y xy             Giải Hệ 2 2 2 2 (2 )(4 ) 65 (2 )[(2 ) ] 65 (2 )[3 (2 )] 4 x y x xy y x y x y xy x y xy x y x xy y x y xy                                 3 3 2 2 (2 ) (2 ) 65 (2 ) 2(2 ) 75 (2 ) 3(2 ) 15 0( ) 2.(2 ) +6 (2 ) 10 x y x y xy x y x y x y x y x y VN x y xy x y                                  Thay y = 2x – vào (1) ta có 3 2; 8 (2 5) 65 15 1 ; 2 x y x x x x x y                    Vậy hệ có nghiệm (2; 1);( ; 4)1 2   Bài 58 Giải hệ phương trình: 2 2 2( 1) 1 2( ) 1 y x x y x x              Giải ĐK: x 1 Hệ phương trình cho trở thành 2 2 2( 1) 1 2 ( 1) 1 y x x y x x x               Đặt 1 a y x b x        (32) 2 2 1( ) 2 2 2 1 1 1 1 b L a b b b b a b b a b a b a b b b b                                                            Với 2 1 a x y b          Vậy hệ phương trình cho có nghiệm x  y Bài 59 Giải hệ phương trình:   3 3 1 (9 ) (5 1) xy y xy xy y y           Giải Nhận thấy y 0 không nghiệm hệ Xét y 0hệ cho biến đổi thành 3 3 1 1 ( ) 2(9 5 ) 2(9 ) 1 1 3 5 0 (5 1) xy x xy xy y y y x xy x y y y                                           Đặt a x 1,b 5xy y     ta hệ 3 2 2 4 6 a a b b a b                      Với 4 a b       ta có hệ 1 1 2 1 9 x x y y xy                      Vậy hệ cho có nghiệm x  y Bài 60 Giải hệ phương trình:   2 1 3 2 x y x y x y x y               Giải §K: x  y 2 (1) 3( ) 4( ) 2 (2 1)(2 1) 1 3( ) 1 (2 1)( 2( ) 1) 1 3( ) 2 pt x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y                                 (33)Từ ta có hệ 2 2 3 3 1 2 2 6 x y x x y x                            Bài 61 Giải hệ phương trình:   3 2 3 9 x y x xy x x y            Giải      2 2 3 3 3 3 3 x x x y x x hpt x y x x x y                         2 3 2 1 2 x x x y         Nếu 2 13 3 2 3 11 3 13 2 x x x x y y                           3 13 2 11 13 2 x y             Nếu 2 3 2 17 2 3 10 17 2 2 x x x x y y                             3 17 2 10 17 2 x y             Bài 62 Giải hệ phương trình 2 2 2 ( )( 3) 3( ) (1) 4 16 (2) x y x xy y x y x y x                 x y,  Giải ĐK: 2, 16 3 x   y 3 (1)(x 1) (y1)   y x Thay y = x - vao (2) 2 4( 2) 3( 2) 4 22 ( 2)( 2) 2 22 x x x x x x x x x                 2 4 ( 2) 0(*) 2 22 x x x x                 (34)Xét f(x) = VT(*) 2;21        , có f’(x) > nên hàm số đồng biến suy x 1 nghiệm (*) Vậy hệ phương trình có nghiệm 2;0 ,  1;  Bài 63 Giải hệ phương trình 2 2 12 12 x y x y y x y           x y,  Giải Điều kiện: | |x | |y Đặt 2 2; 0 u x y u v x y          ; x  y không thỏa hệ nên xét x  y ta có 2 2 u y v v           Hệ phương trình cho có dạng: 2 12 12 u v u u v v                     Đến sử dụng phương pháp rút ta dễ dàng tìm kết tốn Bài 64 Giải hệ phương trình   2 2 4 4 3 2 x y x y y x x y x y            x y,  Giải Hệ tương đương 2 2 2 (1 ) (1) ( ) (1 ) (2) x y x y x y x y             Thay (1) vào (2)  2 2 0 (1 ) (1 ) (1 )(2 ) 2 x x y x y x y y y y                     Với x = suy y = Với 2 y0 thay vào (1) suy 2 x   y  (Vơ lí) Với y = suy x = x = Hệ có nghiệm (0; 0), (1; 2), (2; 2) Bài 65 Giải hệ phương trình 2 5 3 6 7 4 0 ( 2) 3 x y y x y y x x               ( ,x yR) x y,  Giải (35)  (x 4)2 Phương trình có hai nghiệm: 2 3 2 1 x x y x x y x                    Thay y= -3 vào pt thứ ta pt vô nghiệm Thay y  x vào pt thứ ta được: x2 5x  2 x25x  5 (3) Giải (3): đặt x2 5x 5= t, điều kiện t0  3   7 ( ) t tm t t t ktm             Với t=1  x2 5x 5=1 4 x y x y           ( thỏa mãn) Vậy, hệ phương trình có nghiệm là:(1;2)và (4;5) Bài 66 Giải hệ phương trình 2 2 2 2 2 1 2 x y x y y y x y xy x x xy y y                    ( ,x yR) Giải Từ phương trình (2) ta có đ/k : xy y, 0 y2  1 yy2  xy2  1 x  yxy2 Xét hàm số f t  t2  1 tt2liên tuc  0;  có /  2 1 2 1 t f t t t t     2 1 2 0 2 t t t t                  Suy hàm số nghịch biến 0; nên     f yf xy  x y Thay vào (1) ta có y2x2 x 1  0 y  x 4.Vậy hệ có nghiệm (x ;y) = (4 ; 2) Bài 67 Giải hệ phương trình      3 1 2 x x y y x y x y x y                 Giải Điều kiện: 1; 3 xy     2 2 (2)  y x3y2x6x 4 0;  3x5Vậy ta có: 10 yx xy          10 y  x vơ nghiệm 1; (36)2x     y y 2x 4, thay vào (1) ta có:           3 2 3 2 3 2 3 * x x x x x x x x                 *  3x  1 2x     3 x y 12 Kết luận:   x y,  4;12 Bài 68 Giải hệ phương trình 2 5 3 3 31 7 x xy y x y x y             Giải Điều kiện phương trình x  y         2 2 5 5 3 3 3 3 1 31 7 31 7 x xy y x xy y x y x y x y x y                             Lấy (2) nhân kết hợp với (1) ta phương trình đồng bậc  5  2 3 4   21 xy 31 xxyy xy 10x 31x y31x y 31xy 10y 0 Rõ ràng x  y khơng phải nghiệm hệ phương trình Đặt xty thay vào (3) ta được:      5 5 4 4 10 31 31 31 10 10 31 31 31 10 1 1 10 21 10 21 10 10 21 10 21 10 y t t t t t t t t t t t t t t t t t t                               Với t    1 t hay x     y x y (loại) Với 10t4 21t3 10t2 21t100 3  Vì t  khơng phải nghiệm phương trình (3) chia hai vế phương trình cho t2 ta được: 10 t2 12 21 t 10 t t                          , Đặt u t u 2; u2 t2 12 t2 12 u2 t t t            Khi (3) trở thành 2 2 10 21 10 5 u loai u u u               Với 2 u  ta có 2 1 2 1 2 2 t t t t t t                  Với t  2 ta có x  2y vào (1) ta có 3y2  3 y2    1 y tương ứng x 2 Với 2 (37)Bài 69 Giải hệ phương trình 3 2 7 2 x y y x y xy y          Giải Hệ phương trình         3 2 7 y x y y x y          Từ hệ suy x.y 0; x  y, y0 Lấy phương trình (1) lũy thừa ba, phương trình (2) lũy thừa bốn Lấy hai phương trình thu chia cho ta thu phương trình đồng bậc:     3 3 3 3 8 4 7 y x y y x y    Đặt xty ta phương trình:      3 3 3 8 1 7 t t    Từ phương trình suy t1 Xét       3 8 ; t 1 t f t t                                  2 7 2 3 3 8 2 3 8 9 1 1 1 9 8 f' 1 1 0 1 t t t t t t t t t t t t t t t t t t t                        Vậy f(t) đồng biến với t 1 Nhận thấy t 2 nghiệm (3) Vậy t 2 nghiệm Với t 2 ta có x 2y vào (1) ta y4   1 y (vì y0) suy x 2 Vậy hệ có nghiệm  2;1 Bài 70 Giải hệ phương trình 1 2 (1) 1 2 (2) y x x y              ĐK: 1, 2 xy  Trừ vế hai pt ta 1 2 y x (38)  1 2 0 1 1 2 2 y x y x y x y x xy xy x y xy y x y x                                     TH y   x y x vào (1) ta 2 x x    Đặt t ,t x   ta 2 2 2 2 2 1 2 4 t t t t t x t t t t t                                    y 1  TH   11 2 xy x y xy y x                TH vô nghiệm ĐK Vậy hệ có nghiệm (1; 1) Bài 71 Giải hệ phương trình: 2 2 8 2 2 3 x y y x y y x                          Điều kiện: x y 0 Quy đồng  1 vào  2 , ta được:     3 2 2 3x y3xy 5xy 2x x y2y 2yy x y 2y 2yx 2y x xy y2 1 0 x 2y         thay vào  1 , ta được: 3 4y 2y 2y     8 y x KL: S   2;1 Bài 72 Giải hệ phương trình: 6 2 3 2 2 8 (2 ) y y x xy x y xy y x x y               Giải 2 6 6 1 1 (1) (1) 4 2 2 (3) VP xy VT y y x y y x                     (39)3 2 3 2 3 2 2 3 8 2 2 4 (2 ) 8 2 (2 ) 4 (2 ) 1 (2 ) 4 ( ) (4) xy y y y x x x y xy y x x y xy y x x y x y y xy x y x                                 (4) 0, (4) VTVP  Do đó: 3 0 2 (4) 2 2 1 1 x y y x y x x y x y y y x y                                                Thử lại có: ( ; ) ( 1; 1) x y    thỏa mãn Vậy hệ cho có nghiệm ( ; ) ( 1; 1) 2 x y    Bài 73 Giải hệ phương trình     2 2 2 2 0 1 2 y x y x x x x y y                 Giải Từ PT (1) ta có: xy x(  1 x)y2 0 y 0 x y x2 x (3) y       Từ (2) & 3  ta có: 2 2 3 x y x y x y y x y y y y                                       Thay vào  3 giải ta có nghiệm 0; 1  Bài 74 Giải hệ phương trình: 3 2 2 1 3 0 x y x y xy y x y x                   (40)Ta có (1)  2x  1 2 y1 2x 1y10 ĐK: (2x + 1)(y + 1)  Mà x > 1 x y          Ta có PT (1)  2x  1 y1 2x  1 y10  2x  1 y 1  y 2x Thay vào (2): 36x  1 8x3 4x 1 6x 1 36x  1  2x 2x (3) Hàm số f(t) = t3 + t đồng biến R (3)  36x  1 2x 3 2 x x    Nhận xét: x >1 không nghiệm phương trình Xét 0 x 1: Đặt x = cos với 2   1 cos 2   2 9 2 9 k k              (kZ) Do 2   9   Vậy hệ có nghiệm: cos ;2 cos 9           Bài 75 Giải hệ phương trình:         4 2 4 3 9 3 3 ln 64 32 x y x y x y x y x y x y                               Giải Theo BĐT Cauchy ta có       4111 44 4.1.1.1 4 xy    xyx y xy Dấu xảy   x y (*) Từ kết hợp với điều kiện: x33 , x y y      PT thứ hai hệ 6443297283 ln 36449732283 ln 3 (41)Xét hàm số f(x) =   4 9 7 3 ln 64 32 x x x x     ( với x < )      ' 9 14 48 16 16 16( 3) x x x x x f x x x                2 2 4 3 9 13 6 0 16( 3) 16( 3) x x x x x x x x x             ( x < 3) Suy hàm số nghịch biến (-2; 3), f(x) = f(y)  x y ( **) Từ (*), (**) có x = y = 2 Bài 76 Giải hệ phương trình:    2 2 2 9 2 ln 9 3 y y x y x xy y x x x y xy                                   Giải Từ    2 2 2 9 ln 9 y y x y x xy y x x                           3 2 6 ln 9 2 6 ln 9 1 x x x x y y y y           Xét f t t32t 6 lntt2 9 t    2 2 6 2 ' 3 3 9 f t t t t t                   Ta có   2 2 2 2 2 2 2 29 1 26 29 9 3 27 27 9 9 t t t t t t t t                    2 26 29 26 29 29 127t 3 3          Suy f t' 0thàm số đồng biến liên tục R Mà (1) f x f y  x y (42)u -1 g’(u) + - - + g(u) Căn vào BBT phương trình (3) có nghiệm thuộc (0; 2) Đặt u 2 cos với 0; 2      Khi (3) trở thành: os3 =1 = cos 2 9 c   x Vậy hệ có nghiệm cos ; cos ; cos ; cos 9 9                            Bài 77 Giải hệ phương trình: 2 2 2 x y x y x y           Giải Ta có:     2 2 2 2 1 2 2 4 1 2 x y x y x y x y x y x y                   Theo BĐT Cauchy ta có: 2x2y 2y2x 2 2x2  y2 x y 2 24 8 PT  dấu “ = ” xảy Từ ta có x = y = Vậy hệ có nghiệm (1; 1) Bài 78 Giải hệ phương trình:   2 2 8 (1 ) 2 4 3 x y xy y y x x             Giải §K: tõ PT (2) ,suy x> Ta có PT (1)x x( 2 )y 4 (2y2 yx)(x 2 )(y x 4 )y2   0 x 2y( v× x+4y2> ) Thay vào phương trình (2) có x3 4xx2 2x 4 (*) Ap dông bÊt d¼ng thøc Cauchy tacã 2 2 2 2 3 4 3 2 ( 4) ( ) 4 4 3 ( ) 4 2 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x                       Dấu đẳng thức xảy x = Hệ phương trình có nghiệm (2,1) -1 -33 (43)(Chú ý :Cách khác : Bình phương vế pt (*) (x 2) (2 x2  x 4)0) Bài 79 Giải hệ phương trình: 2 4 8 ( 2) ( , ) 3 xy y x x x y R x y y              Giải    2 (1) 2 x x y x x y               Với x  4 thay vào pt (2) ta y 103 10 Với xy2 2 vào pt (2) ta y2   y 2y1 (*) Ta có y2   y 2y 1 (y2    y 1) 2y  1 5(2y1)3 2y1 Do pt (*) vô nghiệm KL: Nghiệm hệ x  4, y 103 10 Bài 80 Giải hệ phương trình: 3 2 8 3 3( 1) x x y y x y           Giải Ta có PT (1)  3 2 2(4 )(1) 6(2) x y x y x y          3 2 x x y 12xy     0 4 x x y x y            Thay trường hợp x vào  2  Hệ có nghiệm là:   3;1 , 3; , ( 4 ; ),(4 ; ) 13 13 13 13     Bài 81 Giải hệ phương trình:   2 2 8 4 x y xy y x x y x y               Giải Điều kiện: 3 x y       , phương trình    0 (1) 2 x y x y x y x y               Với x 2y 8 Ta có : 2 3 x x x y y y                      Khi đó: 3 x x y y         (44)Với x     y y x thay vào phương trình (2) Ta có PT (2) 2 x 3 x x2 5 Điều kiện:   3 x Ta có (2) 4 1  2 1  1 1 2 x x x x x x x x x                    1 4 1 (*) 2 x y x x x                    Xét phương trình (*), đặt ( ) 1 2 f x x x x         Ta có:       ' 2 2 ( ) 0; 3;2 2 2 3 f x x x x x x              Mặt khác f x( ) liên tục 3;2, suy f x( ) đồng biến 3;2 Ta có: f( 2) 0, suy (*) có nghiệm x    2 y Kết hợp điều kiện, hệ có hai nghiệm 1; ,  2;2 Bài 82 Giải hệ phương trình: 2 3( )(1 2) 2 2 2 y y x x x y y x                Giải ĐK: x 2 Ta có 2 3( )(1 2) 2 2 2 y y x x x y y x                2 3( )(1 2) ( 2 1) 2( ) y y x x x y y x                    Đặt 2 1 a y y b x          ta 2 2 1 3 3 11 2 10 21 11 , 10 a b b a ab b a b a a a b                                      Với a=b=1 suy hệ có hai nghiệm : 1 2, 2 1 2, 2 x y x y                Vì 5 b   x    b khơng Bài 83 Giải hệ phương trình:    3 2 2 1 3 2 x y x y y x y              , với x 0 x y, R (45)Điều kiện: (2x 1)(y1)0, Phương trình (1)2x  1 2 y1 2x 1y 1 0 Từ giả thiết x 0 ta có 2x     1 y Đặt a  2x 1,by1 ta có (1) trở thành: a2 2b2 ab 0  2  2 0   2  0 2 0( ) a b a b ab b a b a b a b l                  Với ab ta có: 2x     1 y y 2x thay vào phương trình (2) ta có:    3 3 36x  2 8x 4x 2 6x 2  36x  2 2x 2x , (*) Xét hàm số f t( )t3 t ta có f t'( )3t2    1 0, t R  hàm số f t( ) đồng biến R Do PT(*) 36x  2 2x  8x3 6x  2 2 1 ( ) 2( 1)(4 1) 1 ( ) x n x x x x l               Với x   1 y Bài 84 Giải hệ phương trình:           5 2 2 5 2 x y xy y x y xy y x y              Giải Từ (2) ta có : xy1x2 y2 2 0 xy  1 x2 y2 2  Với xy = 1; từ (1) suy : y4 2y2     1 y Vậy hệ có nghiệm (x;y)=(1;1),(-1;-1)  Với : x2 y2  2  1  3y x y24xy2 2x y2 2xy0   2 6y 4xy 2x y x y       1 xy2y xxy x 2y         Xét : xy = Đã giải Với : x = 2y , thay vào 2  ; 10; 10 , 10; 10 5 5 xy   x y              Vậy hệ có nghiệm : (x;y)=(1;1),(-1;-1), 10 10 10 10 ; , ; 5 5                        Bài 85 Giải hệ phương trình:        4 2 2 1 2 12 x y y x y x y y x y           Giải Điều kiện : y0;y 1 Khi :  1x y y216y22yx2 2 4yy14;x2 3 9yy11 (46)         2 2 2 1 1 4 1 1 4 1 1 3 y x y y y y y y y y y x y                              Bài 86 Giải hệ phương trình: 2 2 2 1 3 x y y x xy x xy y x           Giải Điều kiện : x 0,y 0 Chia hai vế phương trình (1) cho xy , thêm vào hai vế phương trình (2) nhóm chuyển dạng tích 1 1 4 1 1 4 x x x y x x x y                          Đặt : 1; 1 4 4 u v u x v u v uv x x y               Đến đậy toán trở thành đơn giản Bài 87 Giải hệ phương trình: 2 3 2 3 2 2 2 xy x x y x x xy y y x y y                  Giải Cộng hai vế phương trình hệ vế với vế ta có : 2 2 3 2 2 9 xy xy x y xx   yy   Ta có : x = y = nghiệm hệ Ta có : 3x2 2x  9 3x 12   8 2 VTxyxy 2xy Khi : VPx2 y2 2xy Cho nên dấu xảy : x = y = Vậy hệ có hai nghiệm : (x; y)=(0;0); (1;1) Bài 88 Giải hệ phương trình:         2 2 1 1 1 1 x x x y y y y x               Giải Dễ thấy : x = y = x = y = -1 nghiệm hệ Xét : x > Ta có: 1y7 1x1x21x4  1 x x2 x3 x4 x5 x6 x7  1 x7  y x Ta có: 1x7 1y1y21y4  1 y y2 y3 y4 y5 y6 y7  1 y7  x y Vậy hệ vô nghiệm Tương tự y>0 hệ vô nghiệm Xét : x < -1  1 x7    0 y (47)Hệ vô nghiệm Xét trường hợp  1 x0 Hệ vơ nghiệm Kết luận : Hệ có nghiệm : x y;   0;0 ;  1; 1 Bài 89 Giải hệ phương trình: 1 3 (1 ) (1) 7 (1 ) (2) x x y y x y             Giải ĐK x 0,y 0 Dễ thấy x = y = không thõa mãn hệ Với x > 0, y > ta có : 1 2 1 1 3 1 1 2 1 7 3 7 x y x x y x y x y x y y x y x y                                         ( nhân vế với vế) 2 21xy (7y 24 )(x x y) 24x 38xy 7y y 6x           (vì x, y dương) Thay vào phương trình (1) ta 1 7x 3 x x 3 21               Từ dễ dàng suy x y. Bài 90 Giải hệ phương trình: 3 2 3 49 (1) 8 17 (2) x xy x xy y y x            Giải Với hệ này, hai ẩn hai phương trình khó rút ẩn theo ẩn Tuy nhiên, rút 2 y từ (2) vào (1) ta phương trình mà ẩn y có bậc 1: 3 3 ( 8 8 17 ) 49 24 ( 1) 2 2 49 49 (3) xx  x xyyx    xy x   xxx  Nếu x=0 (1) vơ lí Nếu x=-1 hệ trở thành y2 16  y Nếu x  1 &x 0 từ (3) suy 2 2 49 49 24 x x y x    Thế trở lại phương trình (2) ta 2 2 2 2 8 2 49 49 49 49 49 49 17 24 24 x x x x x x x x x x x x                  2 2 4 2 4 3 3 2 49 49 49 192 (2 49 49) 49.192 3 24 196 196 2205 4606 2401 196 2205 2401 196 196 2205 2205 196 196 2401 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x                                       Phương trình cuối vơ nghiệm, chứng tỏ hệ có hai nghiệm (-1;4) (-1;-4) Bài 91 Giải hệ phương trình: 5 10 2 (1) 4 (2) x xy y y x y           (48)Giải ĐK: 4 x   Nếu y = từ phương trình (1) ta suy x = 0, vào phương trình (2) ta thấy không thỏa mãn, y khác Đặt x = ky ta (1) trở thành : 5 5 10 5 k ykyyyk  k yy (3) Xét hàm số f t( )t5 t , ta có 4 '( ) f tt    t  Do f(t) hàm số đồng biến , 2 (3) f k( ) f y( )   k y x y Thế vào (2) ta 2 4x  5 x   8 5x 132 4x 37x 40 362 4x 37x 40 235x 2 2 23 5 23 41 16 148 160 25 230 529 378 369 x x x x x x x x x x                                      Suy x = y  1 Bài 92 Giải hệ phương trình: 2 4 2 2 2 3 x x y y x y              Giải Điều kiện: 2 2 0 2 3 3 x x x y y y x y                             Mà: 2 2 2 4 2 2 ( 1) 1 2 2 ( 1) 1 2 2 1 x x x x x y y y y y                                2 2 2 2 2 2 x x y y        Vậy (1) có nghiệm x = y = thỏa (2) Bài 93 Giải hệ phương trình: 2 2 2 2 2 1 2 x y x y y y x y xy x x xy y y                    Giải ĐK: x  y 0;y   0 x y Từ (2) : y2  1 x y y2   y2 2xyx2  xy2  1 y   2  2 2 1 1 y   yy   xy   x  y xy Xét hàm số :   2 2 1 1 ( ) '( ) 2 2 1 t f t t t t t f t t t t t t t                         (Vì : 2 1 1 1 1 t t t         (49)Như hệ có nghiệm xảy : y  x y hay x = 2y Thay vào (1) :  2y y2 2 2 y 2y2 5y  2 4y3 10y2 5y 2    2 2 y y y y        : 4y22y 1 vơ nghiệm Vậy hệ có nghiệm : (x; y) = (4; 2) Bài 94 Giải hệ phương trình:        2 2 1 1 2 3 2 2 y x x y y x x y               Giải Điều kiện :x y, 0 Ta có PT (1)       4 2 2.2 x x 2.2 y y     Xét hàm số : f t( )2.t4 3t t 0 f t'( )8t3  3 Chứng tỏ f(t) đồng biến Do để phương trình (1) có nghiệm : x 2 y  x 4y  * Thay vào (2) :     4 5 2 2 y y   Xét hàm số : f(t)=24 '( ) 23 2 ttf tt   Nhận xét : f(1) = + 2  Suy t = nghiệm   1 4 4 1 5 ; ; 4 5 5 5 y x y x y y x                              Bài 95 Giải hệ phương trình:      2 6 4 27x (2) x x y y x y             Giải Ta có PT (1) x x2  4 2y2   4  2y Hàm số f t  t2  4 t đồng biến R nên  1   x 2y Thế vào PT (2) ta có:       6 2 3 3 3 3 3 27x 4x 3x 4x 1 4x 4x 3 x x x x x x                  (50)   3 2 3 4x 3x 1 13 6 x x x x             Bài 96 Giải hệ phương trình: 3 2 ( , ) 2 4 y y x x x x y y y x                 Giải Điều kiện:   4 x 1;y Ta có PT (1)2y3  y 1 x 2x 1 x 1 x 2y3  y 2(1x) 1 x 1x Xét hàm số f t( )2t3 t,ta có f t'( )6t2    1 0, t  f t( ) đồng biến  Vậy 2 (1) ( ) ( ) 1 y f y f x y x y x               Thế vào (2) ta 32x  1  x x 4(3) Xét hàm số ( ) 4, g x   x   x x  liên tục [-4;1], ta có 1 1 '( ) 3 2 g x x x x           x ( 4;1)g x( ) nghịch biến [-4;1] Lại có ( 3) g   nên x  3là nghiệm phương trình (3) Với x  3suy y 2 Vậy hệ có nghiệm 2 x y        Bài 97 Giải hệ phương trình: 2 2 ( 1)( 1) 1(1) 1 (2) x y x y x x xy x x              Giải Nhận xét x = không thỏa mãn phương trình (2) nên ta suy 2 1 1 x y x    (3) Thay (3) vào (1) ta 2 2 1 2 ( ) ( 1)( 1)(2 1) ( 1)(3 1) x x x x x x x x x x x x x               3 2 0 ( 1)(2 ) ( 1) ( 2) 2 x x x x x x x x x x                 (51)Loại nghiệm x = 0, phương trình có hai nghiệm: 1; , 2;          Bài 98 Giải hệ phương trình:     2 2 2 2 1 x y y x x x y x            Giải Ta có hệ                3 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 1 2 1 y x x y yx x x y x y x x y x x y x                                  Trường hợp 1: y =x2, thay vào (2) : x 2 x2  1 x2  1 2xt2x 2t 2x   0 t 2;tx 2 2 1 3 x x x x x x                   Trường hợp 2: 2x2 y2 yx2 x4  0 y2 yx2 2x2 x40   4 4 2 3 8 0 0 y x x x x x x R y               2 2 (, ) , f y x y yx x x y        Phương trình vơ nghiệm Do hệ có hai nghiệm : (x;y)= 3;3 ,  3;3 Chú ý: Ta cịn có cách giải khác Phương trình (1) x = y = không nghiệm không thỏa mãn (2) Chia vế phương trình (1) cho   3 3 0 1 2 y y 2 x x x x x                      Xét hàm số : f t 2tt3 f t'  2 3t2   0 t R Chứng tỏ hàm số f(t) đồng biến Để phương trình có nghiệm xảy : y x y x2 x    Đến ta giải phần Bài 99 Giải hệ phương trình:    2 1 1 6 x x y y x x xy xy x                Giải Ta có hệ     2 1 6 x x y y x x xy xy x                              (nhân liên hợp) Xét hàm số : 2 2 2 1 ( ) '( ) 1 1 t t t t t f t t t f t t R t t t                  (52)Thay vào phương trình (2) : 2 2 2 6 6 2 x x xx    xx   xx     x   2 2 2 x x x x x x               Trường hợp : 2 2 0 2 1; 2 x x x x x x y x x x x x                                 Trường hợp : 2 2 0 2 2 6 x x x x x x x x x x                             3 11 11 ; 2 xy      Vậy hệ có hai nghiệm : (x; y) = (1;-1),( 11; 11 2    ) Bài 100 Giải hệ phương trình:       3 2 8 4 2 x x y y x x y y y                Giải Điều kiện : 2 x  Ta có PT (1) 8x 3 2x   1 y 4y3 * Đặt t  2x  1 2xt2  1 8x 3 2x  1 4t2  1 3t 4t2 1t 4t3 t Do (*) : 4t3  t 4y3 y Xét hàm số : f(u) = 4u3  u f u' 12u2    1 u R Chứng tỏ hàm số đồng biến Do phương trình có nghiệm : f(t) = f(y)  2x  1 y 2xy2 1(**) Thay vào (2) : y2 12 4y2 12y3 y22y  3 y4 2y3 y2 2y 0          2 2 y y y y y y y y y y y y                Vậy :       0 0 1 ; ; , ; 1;1 1 1 2 2 2 y y y y x y x y x x y x x y                                                              2 2 1 5 ; 1;0 , 5 ; ; 1 2 2 2 y y y y x y x y x x y x y x                                                            Hết Đồng Xoài, ngày 05 tháng năm 2014 Chúc quý thầy cô em học sinh có tài liệu bổ ích
- Xem thêm -

Xem thêm: Tuyển tập 100 bài toán hệ phương trình, Tuyển tập 100 bài toán hệ phương trình