congthdbd@gmail.com MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH I/ Dạng A B A B A B = =−  = ⇔  Ví dụ : Giải các phương trình sau 2 ) 1 3 2 ) 4 3 2 1 a x x b x x x − = − − + = − ) 5 3 2 7c x x+ = − II/ Dạng ( ) ( ) 0 0 A B A A B A A B = ≥ − = ≤  = ⇔   (Với A có dạng ax+b) Ví dụ : Giải các phương trình sau 2 2 ) 3 2 2 ) 2 3 2 a x x x b x x x − + = + + = − + 2 ) 5 1 1 0c x x− − − = III/ Dạng 2 2 0 0 ≥  ≥   = ⇔ ⇔ =    =    = −   B B A B A B A B A B (Với B có dạng ax+b) IV/ Dạng 2 2 =  = ⇒ = ⇒  = −  A B A B A B A B (Với A,B có dạng 2 ax bx c+ + ) Sau đó thế nghiệm vào phương trình ban đầu Bài tập 1. 2 3 5x x− = − 2. 3 2 1x x+ = + 3. 2 1 7x x+ = − 4. 2 5 1x x− = + 5. 6 2 3 4x x− = − 6. 3 2 2x x− = − 7. 2 3 1x + = 8. 2 2 1x x− = − 9. 2 1 3x x− = − 10. 2 1 2x x− = + 11. 1 2 1x x− = − 12. 2 2x x− = − 13. 3 5 2 1x x− = + 14. 7 4 3 4x x− = − 15. 2 1x x+ = 16. 3 4 2x x+ = − 17. 3 2 1x x− = − 18. 2 5 3 2x x+ = − 19. 3 2 1x x− = − 20. 2 2 5− = −x x NC 21. 2 1 1x− = 22. 2 1 1 4x x− = − 23. 2 4 1 2 4x x x+ = + − 24. 2 3 5 2 3x x x− = + − 25. 2 2 2 8 1x x x− + = − 26. 2 5 3 2 5 0x x x+ − − − = 27. 2 5 1 1 0x x− − − = 28. 2 2 3 2 6x x− = − 29. 1 3 1 2 3 1 x x x x − − + = − + 30. 2 12 2 3 x x x x − − = − 31. 2 3 3 2 1 x x x − = + − 32. 2 3 2 1 2 1 x x x x + − + = − + ĐỖ CHÍ CƠNG - gv THPT Trịnh Hồi Đức 1 congthdbd@gmail.com V/ Phương trình chứa dấu căn: 1)Dạng: 2 0B A B A B ≥  = ⇔  =  Ví dụ: Giải các phương trình sau 2 ) 2 7 4 )2 6 2 5 a x x b x x x − + = − + = − 2 ) 3 9 1 2c x x x− + = − 2)Dạng 0 0A vB A B A B ≥ ≥  = ⇔  =  Ví dụ : Giải các phương trình sau 2 2 ) 4 1 3 5 5 ) 8 3 7 5 1 a x x x b x x x − = − + + + = + 3)Dạng , 0 2 A B A B C A B AB C ≥   + = ⇔  + + =   Ví dụ : Giải các phương trình sau ) 1 3 4 ) 8 3 a x x b x x x + = − + + − = + 2 2 ) 4 4 4 2 ) 3 2 4 2 1 1 x x c d x x x x − = − + − + − − = IV/ Phương pháp đặt ẩn phụ của phương trình chứa dấu căn Giải các phương trình sau 2 2 2 2 2 2 ) 7 2 3 3 19 ) 2 3 11 3 4 )4 9 2 7 3 2 1 a x x x x x x b x x x x c x x x x x + + = + + = + + + − + = + − + + + = − + − ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 ) 5 2 3 ) 6 12 7 2 ) 1 4 1 4 5 d x x x x e x x x x g x s x x x + − = + − + = − + + − + + − = Phương trình quy về phương trình bậc hai I/ Phương trình trùng phương 4 2 0ax bx c+ + = phương pháp đặt x 2 = t ( t >=0) ví dụ : Giải các phương trình 4 2 2 2 ) 12 0 )(1 )(1 ) 3 0 a x x b x x − − = − + + = II/ Phương trình dạng ( ) ( ) ( ) ( ) x a x b x c x d k+ + + + = Với a + b = c + d Đặt t = ( ) ( ) x a x b+ + Ví dụ 1: Giải phương trình ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 4 5 112x x x x− − + + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 4 5 112 1 4 2 5 112 3 4 3 10 112 x x x x x x x x x x x x − − + + = ⇔ − + − + = ⇔ + − + − = ĐỖ CHÍ CƠNG - gv THPT Trịnh Hồi Đức 2 congthdbd@gmail.com Đặt t = x 2 + 3x ta có phương trình ( ) ( ) ' ' 4 10 112 14 72 0, 49 72 121 11 7 11 4 7 11 18 t t t t t t ⇔ − − = ⇔ − − = ∆ = + = ⇒ ∆ = ⇒ = − = − = + = Với t = -4 ta có phương trình x 2 + 3x + 4 = 0 7 0∆ = − < Với t = 18 ta có phương trình x 2 + 3x – 18 = 0 1 2 9 4.18 81 3 9 3 9 6 3 2 2 x x ∆ = + = − − − + ⇒ = = − ⇒ = = Ví dụ 2: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 2 9 20 4 1 2 4 5 4 6 5 6 8 4 x x x x x x x x x x x x − + − + = ⇔ − − − − = ⇔ − + − + = Ví dụ 3: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 8 15 9 1 1 3 5 9 4 5 4 3 9 x x x x x x x x x x x − + + = ⇔ − + + + = ⇔ + − + + = III/ Phương trình dạng: ( ) ( ) 2 2 2 x ax c x bx c mx+ + + + = Chia cả hai vế cho x 2 rồi đặt x c t x + = Ví dụ: giải phương trình ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 ) 1 5 1 3 )4 5 6 10 12 3 10 ) 1 2 4 8 9 a x x x x x b x x x x x c x x x x x − + − + = − + + + + = − − − − = VI/ Phương trình dạng: 4 3 2 0;( 0)ax bx cx bx a a+ + ± + = ≠ Đưa về dạng 2 2 1 1 0a x b x c x x     + + ± + =  ÷  ÷     Đặt 1 t x x = ± Ví dụ : Giải các phương trình ĐỖ CHÍ CƠNG - gv THPT Trịnh Hồi Đức 3 congthdbd@gmail.com 4 3 2 4 3 2 3 3 ) 4 5 4 1 0 ) 3 2 6 4 0 1 1 ) 3 a x x x x b x x x x c x x x x + + = + + = + = + ữ V / Daùng khaực ( ) ( ) 2 2 2 . . 0m a x bx c n a x bx c p+ + + + + + = ẹaởt t = 2 .a x bx c+ + Giaỷi caực phửụng trỡnh sau ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 ) 3 4 3 3 4 4 ) 1 3 3 1 0 a x x x x b x x x x + + + = + + = CHUấN GII V BIN LUN PHNG TRèNH BC HAI I/ Dng I tỡm iu kin phng trỡnh 2 . 0a x bx c+ + = cú hai nghim phõn bit, chng minh phng trỡnh luụn cú nghim: 1) Phng phỏp tớnh 2 4b ac = nu 0 thỡ phng trỡnh luụn cú hai nghim phõn bit 2) Cỏc vớ d: Vớ d 1: Tỡm m phng trỡnh x 2 + 5x + ( m - 4 ) = 0 cú hai nghim phõn bit Gii phng trỡnh cú hai nghim phõn bit thỡ ( ) 25 4 4 0 41 4 0 41 4 m m m = > > < Vớ d 2: cho phng trỡnh x 2 -2( m + 1 )x +4m = 0 a) Chng minh rng phng trỡnh luụn cú nghim vi mi giỏ tr ca m b) Tỡm m phng trỡnh cú nghim x 1 v x 2 tho món iu kin 1 2 2 1 5 2 x x x x + = Gii a) Ta cú ( ) ( ) 2 2 2 1 4 2 1 1 0 m m m m m = + = + = b) Theo vi ột ta cú 1 2 1 2 x .x 2( 1);x x 4m m= + + = CH CễNG - gv THPT Trnh Hoi c 4 congthdbd@gmail.com ( ) 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 5 5 2 2 4 2.2( 1) 5 2( 1) 2 4 2.2( 1) 5( 1); 1 4 9 9 0; 81 144 225, 15 x x x x x x x x x x m m m m m m m m m + − + = ⇔ = − + ⇔ = + ⇔ − + = + ≠ − ⇔ − − = ∆ = + = ∆ = 1 9 15 24 3; 8 8 m + ⇒ = = = 2 9 15 3 8 4 m − − = = Ví dụ 3: Cho phương trình x 2 + ( 2m – 1 )x – m = 0 a) Chừng minh rằng phương trình ln có nghiệm với mọi m b) Tìm m để 2 2 1 2 1 2 6A x x x x= + − đạt giá trị nhỏ nhất Ví dụ 4:Cho phương trình bậc hai x 2 – 2(m + 1)x + m 2 + 3 = 0 a)Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt b) Tìm m để phương trình có nghiệm là 2, tìm nghiệm còn lại c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x 1 và x 2 thoả mãn 2 2 1 2 x +x 8= Ví dụ 5: Tìm các giá trò của m để các nghiệm của phương trình a) ( ) 2 2 5 0+ − + + =x m x m Thoả mãn 2 2 1 2 10x x+ = b) 2 ( 1) 0x mx m− + − = Thoả mãn ( ) 1 2 1 2 2 19 0x x x x+ + − = Ví dụ 6: Cho phương trình ( ) 2 3 2( 2) 0x m x m− + + + = a) Với giá trò nào của m thì phương trình có hai nghiệm phân biệt b) Tìm m để phương trình có nghiệm thoả mãn 1 2 2x x= c) Chứng tỏ rằng A = ( ) 1 2 1 2 2 x x x x + − độc lập với m Ví dụ 7: Cho phương trình bậc hai (m – 4)x 2 – 2( m – 2)x + m – 1 = 0 a ) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt b) Tìm m để 1 2 1 1 5 x x + = c) Tìm hệ thức giữa x 1 và x 2 độc lập với m giải 2 4 2 4 4 2 2 4 4 4 m m S S m m m − − = ⇒ − = − = − − − (1) 1 1 3 1 1 4 4 4 m m P P m m m − − = ⇒ − = − = − − − (2) Lấy (1) chia cho (2) ta có: ( ) ( ) 1 2 1 2 2 4 3 2 4 1 1 3 3 4 2 0 3( ) 4 2 0 S S P P S P x x x x − = ⇒ − = − − ⇒ − − = ⇒ + − − = ĐỖ CHÍ CƠNG - gv THPT Trịnh Hồi Đức 5 congthdbd@gmail.com II/ Dạng 2: Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm kép Phương pháp tính ∆ rồi xét ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép Ví dụ 1:Tìm m để phương trình 2 2 3 (2 1) 0x mx m m− + − − = có nghiệm kép tìm n kép đó Giải ( ) 2 2 2 2 2 9 4 2 1 9 8 4 4 ( 2)m m m m m m m∆ = − − − = − + + = + Phương trình có nghiệm kép khi 2 ( 2) 0 2m m∆ = + = ⇒ = − Nghiệm kép đó là 1 2 3 6 3 2 2 m x x − = = = = − Ví dụ 2: Tìm các giá trị của m để mỗi phương trình sau có nghiệm kép tìm nghiệm kép đó 2 2 2 3 2 2 ) 2( 2) 9 0 )( 4) 2 2 0 )( 1) ( 1) 0 )( 3) 0 a mx m b m x mx m c m x m x m m d m x mx m + + + = − − + − = + − + − = + − + = III/ Dạng 3: Tìm điều kiện để hai phương trình có nghiệm chung Ví dụ 1: Tìm m để hai phương trình sau 2 1 0x mx+ + = và 2 0x x m+ + = có nghiệm chung tìm nghiệm chung đó Giải Giả sử x 0 là nghiệm chung của hai phương trình ta có 2 0 0 1 0x mx+ + = và 2 0 0 0x x m+ + = Trừ vế với vế của mỗi phương trình ta được ( m – 1)(x 0 – 1) = 0 a) Nếu m = 1 thì hai phương trình đã cho trở thành x 2 + x +1 = 0 Phương trình này vô nghiệm do 3 0∆ = − < Vậy 1m ≠ do đó x 0 = 1 Thay x 0 = 1 vào phương trình (1)ta được m = -2 -Với m = -2 thì phương trình x 2 – 2x + 1 = 0 có nghiệm kép x 1 = x 2 = 1 Phương trình x 2 +x – 2 = 0có nghiệm x 3 = 1; x 4 = -2 Ví dụ 2: x 0 = 1ới giá trị nào của m thì hai phương trinh sau 2 2 (3 1) 9 0x m x+ + − = và 2 6 (7 1) 19 0x m x+ − − = có ít nhất một nhiệm chung tìm nhiệm chung đó. Ví dụ 3: Tìm m để hai phương trình sau có nghiệm chung 2 ( 2) 0x x m+ + − = và 2 ( 2) 8 0x m x+ − + = ĐỖ CHÍ CÔNG - gv THPT Trịnh Hoài Đức 6 . = Phương trình quy về phương trình bậc hai I/ Phương trình trùng phương 4 2 0ax bx c+ + = phương pháp đặt x 2 = t ( t >=0) ví dụ : Giải các phương trình. Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm kép Phương pháp tính ∆ rồi xét ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép Ví dụ 1:Tìm m để phương trình 2 2 3 (2 1)