PHẦN CHUYÊN ĐỀ TÍNH TÍCH PHÂN TÍCH PHÂN & PP TÍNH TÍCH PHÂN ❑ DẠNG TỐN 1: TÌM TÍCH PHÂN DỰA VÀO TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN PHƯƠNG PHÁP Q b  f ( x ) dx = F ( x ) Biến đổi đưa dạng tích phân bản: b a = F (b ) − F ( a ) a b b a a Tính chất 1:  k f ( x ) dx =  f ( x ) dx k số b b b Tính chất 2:   f ( x )  g ( x )  dx =  f ( x ) dx   g ( x ) dx a Tính chất 3: a a b c b a a c  f ( x ) dx =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx (a  c  b) DẠNG 1.1 ÁP DỤNG TÍNH CHẤT ĐỂ GIẢ  BÀI TẬP NỀN TẢNG  Câu 1:  (Mã 103 - BGD - 2019) Biết f ( x ) dx = B −4 A 2  g ( x ) dx = ,   f ( x ) − g ( x )  dx 1 D −8 C Lời giải Chọn B Ta có: 2 1   f ( x ) − g ( x )  dx =  f ( x ) dx −  g ( x ) dx = − = −4 Câu 2: (Mã 102 - BGD - 2019) Biết tích phân  f ( x ) dx =  g ( x ) dx = −4 Khi   f ( x ) + g ( x ) dx A −7 B C −1 D Lời giải TÀI LIỆU LUYỆN THI THPTQG Trang | CHUYÊN ĐỀ TÍNH TÍCH PHÂN Chọn C Ta có 1 0   f ( x ) + g ( x ) dx =  f ( x ) dx +  g ( x ) dx = + ( −4 ) = −1 (Mã đề 104 - BGD - 2019) Biết Câu 3: A  f ( x)dx = B −6  g ( x)dx = −4 , C −2   f ( x ) + g ( x )  dx D Lời giải Chọn C   f ( x) + g ( x) dx =  1 0 f ( x)dx +  g( x)dx = + ( −4) = −2 (Mã đề 101 - BGD - 2019) Biết Câu 4:  f ( x )dx = −2 A −1   f ( x ) − g ( x ) dx 0 C −5 B  g ( x )dx = , D Lời giải Chọn C 1 0   f ( x ) − g ( x )dx =  f ( x )dx −  g ( x )dx = −2 − = −5 Câu 5: (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2018-2019) Cho  f ( x ) dx =  g ( x ) dx = ,   f ( x ) − g ( x )  dx A −8 C −3 B D 12 Lời giải Chọn A Ta có 1 0   f ( x ) − g ( x ) dx =  f ( x ) dx − 2 g ( x ) dx = − 2.5 = −8 Câu 6: (THPT BA ĐÌNH NĂM 2018-2019 LẦN 02) Khẳng định khẳng định sau với hàm f , g liên tục K a , b số thuộc K ? b b A b   f ( x) + g ( x)dx =  f ( x)dx +2  g ( x)dx a b b a B  a a f ( x) dx = g ( x)  f ( x)dx a b  g ( x)dx a b C b   f ( x).g ( x)dx =  f ( x)dx  g ( x)dx a a b b D  a a b  f ( x )dx =   f ( x )dx  a  Lời giải TÀI LIỆU LUYỆN THI THPTQG Trang | CHUN ĐỀ TÍNH TÍCH PHÂN Chọn A Theo tính chất tích phân ta có: b b b b b a a a a a   f ( x) + g ( x)dx =  f ( x)dx +  g ( x)dx;  kf ( x)dx = k  f ( x)dx , với k  −2 −2 (THPT CẨM GIÀNG NĂM 2018-2019) Cho Câu 7:  f ( x ) d x = ,  f ( t ) dt = −4 Tính  f ( y ) dy A I = B I = −3 C I = D I = −5 Lời giải Chọn D 4 4  f ( t ) d t =  f ( x ) d x ,  f ( y ) dy =  f ( x ) dx Ta có: −2 −2 Khi đó: 4  f ( x ) d x +  f ( x ) d x =  f ( x ) dx −2   f ( x ) dx = −2 −2 −2  f ( x ) d x −  f ( x ) dx = − − = − Vậy  f ( y ) dy = −5 (THPT CÙ HUY CẬN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho Câu 8:   f ( x ) dx =  g ( x ) dx = ,  f ( x ) + g ( x ) dx B −18 A 16 C 24 D 10 Lời giải Chọn C Ta có:   f ( x ) + 3g ( x ) dx =  f ( x ) dx + 3 g ( x ) dx = + 3.7 = 24 0 2 Câu 9: (THPT - YÊN ĐỊNH THANH HÓA 2018 2019- LẦN 2) Cho  f ( x ) dx = −1 ;  f ( x) dx = Tính  f ( x) dx A B C D Lời giải Chọn C Ta có 3 3 0 1 0  f ( x) dx =  f ( x) dx +  f ( x) dx   f ( x) dx =  f ( x) dx −  f ( x) dx = 5+ 1= TÀI LIỆU LUYỆN THI THPTQG Trang | CHUYÊN ĐỀ TÍNH TÍCH PHÂN Vậy  f ( x) dx = Câu 10: (THPT QUỲNH LƯU NGHỆ AN NĂM 2018-2019) Cho  f ( x ) dx = −3  f ( x ) dx = Khi  f ( x ) dx A 12 B D −12 C Lời giải Chọn C 3 1  f ( x ) d x =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx = −3 + = Câu 11: Cho hàm số f ( x ) liên tục, có đạo hàm  −1; 2 , f ( −1) = 8;f ( ) = −1 Tích phân  f ' ( x )dx −1 A C − B D Lời giải Chọn C Ta có  f ' ( x )dx = f ( x ) −1 −1 = f ( ) − f ( −1) = −1 − = −9 Câu 12: (SỞ GD&ĐT THANH HÓA NĂM 2018 - 2019) Cho hàm số f ( x ) liên tục R có 4  f ( x)dx = 9;  f ( x)dx = Tính I =  f ( x)dx A I = B I = 36 C I = D I = 13 Lời giải Chọn D 4 0 Ta có: I =  f ( x )dx =  f ( x )dx +  f ( x)dx = + = 13 Câu 13: (ĐỀ THI THỬ VTED 02 NĂM HỌC 2018 - 2019) Cho −1  f ( x ) dx = 3 f ( x ) dx = Tích phân  f ( x ) dx A B C D Lời giải Chọn B TÀI LIỆU LUYỆN THI THPTQG Trang | CHUYÊN ĐỀ TÍNH TÍCH PHÂN Có 3 −1 −1 −1  f ( x ) dx = 3;  f ( x ) dx = 1;  f ( x ) dx =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx = + = Câu 14: (CHUYÊN NGUYỄN TRÃI HẢI DƯƠNG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số f ( x ) liên tục 4 3  f ( x ) dx = 10 ,  f ( x ) dx = Tích phân  f ( x ) dx A B C D Lời giải Chọn D Theo tính chất tích phân, ta có:  Suy ra: 4 0 4 f ( x ) dx +  f ( x ) dx =  f ( x ) dx  f ( x ) dx =  f ( x ) dx −  f ( x ) dx = 10 − = Vậy  f ( x ) dx = Câu 15: (TRƯỜNG THPT HOÀNG HOA THÁM HƯNG YÊN NĂM 2018-2019) Nếu F( x) = F (1) = giá trị F ( ) 2x −1 A ln B + ln C ln D + ln Lời giải Chọn B 4 1 Ta có:  F  ( x )dx =  dx = ln | x − 1| = ln 2x −1 2 1 Lại có:  F  ( x )dx = F ( x ) = F ( ) − F (1) 1 Suy F ( ) − F (1) = 1 ln Do F ( ) = F (1) + ln = + ln 2 Câu 16: (THPT ĐOÀN THƯỢNG - HẢI DƯƠNG - 2018 2019) Cho hàm số f x liên tục thoả mãn A I 12 12 4  f ( x ) dx = ,  f ( x ) dx = ,  f ( x ) dx = Tính I =  f ( x ) dx 17 B I C I 11 D I Lời giải Chọn D 12 12 Ta có: I =  f ( x ) dx =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx 1 8 12 4 =  f ( x ) d x +  f ( x ) d x −  f ( x ) dx = + − = TÀI LIỆU LUYỆN THI THPTQG Trang | CHUYÊN ĐỀ TÍNH TÍCH PHÂN Câu 17: (THPT QUANG TRUNG ĐỐNG ĐA HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Cho hàm số f ( x ) liên tục  0;10  thỏa mãn 10  f ( x ) dx = ,  B P = A P = 10 10 f ( x ) dx = Tính P =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx C P = D P = −6 Lời giải Chọn B Ta có Suy 10 10 0 10 10 6  f ( x ) dx =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx +  f ( x ) dx  f ( x ) dx +  f ( x ) dx =  f ( x ) dx −  f ( x ) dx = − = Câu 18: (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 3) Cho hàm số f ( x ) liên tục đoạn  0;10  10  f ( x ) dx = ;  A P = 10 f ( x ) dx = Tính P =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx B P = 10 C P = D P = −4 Lời giải Chọn A 10 Ta có:  10 f ( x ) dx =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx +  f ( x ) dx  = P+3 P = Câu 19: (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN ĐIỆN BIÊN LẦN NĂM 2018-2019) Cho f , g hai hàm 3 1 liên tục đoạn 1;3 thoả:   f ( x ) + g ( x ) dx = 10 ,   f ( x ) − g ( x ) dx = Tính   f ( x ) + g ( x ) dx A B C D Lời giải Chọn B 3   f ( x ) + 3g ( x ) dx = 10   f ( x )dx + 3 g ( x ) dx = 10 (1) 1 3   f ( x ) − g ( x ) dx = 3  f ( x )dx − g ( x )dx = 3 1   1 (2) Đặt X =  f ( x )dx , Y =  g ( x )dx  X + 3Y = 10 X = Từ (1) ( ) ta có hệ phương trình:    2 X − Y = Y = TÀI LIỆU LUYỆN THI THPTQG Trang | CHUYÊN ĐỀ TÍNH TÍCH PHÂN 3 1 Do ta được:  f ( x )dx =  g ( x ) dx = Vậy   f ( x ) + g ( x ) dx = + = Câu 20: (THPT NĂM 2018-2019 LẦN 04) Cho f , g hai hàm số liên tục 1; 3 thỏa mãn điều kiện 3   f ( x ) + 3g ( x ) dx=10 đồng thời   f ( x ) − g ( x ) dx=6 Tính   f ( x ) + g ( x ) dx 1 A B C D Lời giải Chọn B Ta có:   f ( x ) + 3g ( x ) dx=10   1 3 f ( x )dx+3 g ( x )dx=10 3 1   f ( x ) − g ( x ) dx=6   f ( x )dx- g ( x )dx=6 3 1 Đặt u =  f ( x )dx; v =  g ( x )dx 3   f ( x )dx=4 u + 3v = 10 u = 1  3  Ta hệ phương trình:   2u − v = v =  g x dx=2  ( ) 1 Vậy   f ( x ) + g ( x ) dx=6 Câu 21: (THPT ĐƠNG SƠN THANH HĨA NĂM 2018-2019 LẦN 02) Cho f , g hai hàm liên 3 1 tục 1;3 thỏa:   f ( x ) + g ( x )  dx = 10   f ( x ) − g ( x )  dx = Tính I =   f ( x ) + g ( x )  dx A B C D Lời giải Chọn D 3 1 Đặt a =  f ( x ) dx b =  g ( x ) dx Khi đó,   f ( x ) + g ( x )  dx = a + 3b ,   f ( x ) − g ( x )  dx = 2a − b  a + 3b = 10 a =  Theo giả thiết, ta có   2a − b = b = Vậy I = a + b = TÀI LIỆU LUYỆN THI THPTQG Trang | CHUYÊN ĐỀ TÍNH TÍCH PHÂN DẠNG 1.2: ÁP DỤNG BẢNG CÔNG THỨC CƠ BẢN  BÀI TẬP NỀN TẢNG  Câu 22: (THPT YÊN PHONG BẮC NINH NĂM HỌC 2018-2019 LẦN 2) Tính tích phân I=  ( x + 1) dx −1 A I = B I = D I = − C I = Lời giải Chọn A I=  ( x + 1) dx = ( x + x) −1 −1 = 0−0 = Câu 23: Tích phân  ( 3x + 1)( x + 3) dx A 12 B C D Lời giải Chọn B 1 0  ( 3x + 1)( x + 3) dx =  ( 3x + 10 x + 3) dx = ( x + x + 3x ) = Ta có: 1 Vậy :  ( 3x + 1)( x + 3) dx =  Câu 24: (KTNL GV THPT LÝ THÁI TỔ NĂM 2018-2019) Giá trị  sin xdx A B C -1 D  Lời giải Chọn B   Tính  sin xdx = − cos x = 0  Câu 25: (KTNL GV BẮC GIANG NĂM 2018-2019) Tính tích phân I = (2 x + 1) dx A I = C I = B I = D I = Lời giải Chọn B  ( Ta có I = (2 x + 1) dx = x + x TÀI LIỆU LUYỆN THI THPTQG ) =4+2=6 Trang | CHUYÊN ĐỀ TÍNH TÍCH PHÂN  Câu 26: (MĐ 104 BGD&DT NĂM 2017) Cho   f ( x ) dx = Tính I =   f ( x ) + sin x  dx = B I = + A I =  D I = +  C I = Lời giải Chọn A   2 0   2 0  Ta có: I =   f ( x ) + sin x  dx =  f ( x ) dx +2  sin x dx =  f ( x ) dx − cos x 02 = − ( − 1) = f ( x ) dx =  Câu 27: (MÃ ĐỀ 110 BGD&ĐT NĂM 2017) Cho −1  g ( x ) dx = −1 Tính −1 I=   x + f ( x ) − 3g ( x )  dx −1 A I = 17 B I = C I = D I = 11 Lời giải Chọn A x2 Ta có: I =   x + f ( x ) − g ( x )  dx = −1 −1 2 −1 −1 +  f ( x ) dx −  g ( x ) dx = 17 + 2.2 − ( −1) = 2 Câu 28: (THPT HÀM RỒNG THANH HĨA NĂM 2018-2019 LẦN 1) Cho hai tích phân −2 −2 −2  f ( x ) dx =  g ( x ) dx = Tính I =   f ( x ) − g ( x ) − 1 dx A 13 C −11 B 27 D Lời giải Chọn A I=   f ( x ) − g ( x ) − 1 dx = −2 = −2 −2 −2  −2 5 −2 −2 f ( x ) dx −  g ( x )dx −  dx =  −2 5 −2 −2 f ( x ) dx −  g ( x )dx −  dx  f ( x ) dx +  g ( x )dx −  dx = + 4.3 − x −2 = + 4.3 − = 13 Câu 29: (SỞ GD&ĐT BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho  f ( x)dx = −1  g ( x)dx = −1 , −1 A   x + f ( x) + 3g ( x) dx −1 B C 17 D 11 Lời giải Chọn A Ta có 2 2 −1 −1 −1 −1   x + f ( x) + 3g(x)  dx =  xdx +  f ( x)dx +  g ( x)dx = + − = TÀI LIỆU LUYỆN THI THPTQG Trang | CHUYÊN ĐỀ TÍNH TÍCH PHÂN Câu 30: (SỞ GD&ĐT PHÚ THỌ NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho  f ( x ) dx = ,  g ( x ) dx = −1 0   f ( x ) − g ( x ) + x  dx bằng: A 12 B C D 10 Lời giải Chọn D 2 2 0 0   f ( x ) − g ( x ) + x  dx =  f ( x ) dx − 5 g ( x ) dx +  xdx = + + = 10 Câu 31: (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH LẦN NĂM 2018-2019) Cho  f ( x ) d x = −2 Tích phân   f ( x ) − x  dx A −140 B −130 C −120 D −133 Lời giải Chọn D 5 0 2   f ( x ) − 3x  dx = 4 f ( x ) dx −  3x dx = −8 − x = −8 − 125 = −133 Câu 32: (THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho 2 1   f ( x ) − x  dx = Khi  f ( x )dx bằng: B −3 A D −1 C Lời giải Chọn A 2 2 x2 f x − x dx =  f x dx − xdx =  f x dx −   ( ) ( ) ( )  1  1 1 1 2 1 =1   f ( x ) dx =   f ( x ) dx = 1 Câu 33: (ĐỀ THI THỬ VTED 03 NĂM HỌC 2018 - 2019) Cho  f ( x ) dx = tích phân  ( f ( x ) − 3x ) dx A B C D −1 Lời giải Chọn A 1  ( f ( x ) − 3x ) dx = 2 f ( x ) dx − 3 x dx = − = 2 0 b Câu 34: Với a , b tham số thực Giá trị tích phân  ( 3x − 2ax − 1) dx TÀI LIỆU LUYỆN THI THPTQG Trang | 10 CHUYÊN ĐỀ TÍNH TÍCH PHÂN Do đó: I =  1 1 d ( x + 1) x dx =  dx =  = ln ( x + 1) = ln  0, 35 2 x +1 2 f ( x) +1 x +1 0 f ( x) Vậy I  ( 0;1) ❑ DẠNG TỐN 7: TÍNH TÍCH PHÂN CỦA CÁC HÀM SỐ KHÁC DẠNG 7.1 TÍCH PHÂN CỦA HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI  BÀI TẬP NỀN TẢNG  Câu 86: (PEN I - THẦY LÊ ANH TUẤN - ĐỀ - NĂM 2019) Cho a số thực dương, tính tích a phân I =  x dx theo a −1 a2 + A I = a2 + B I = −2 a + C I = 3a − D I = Lời giải Chọn A a2 + a2 Vì a  nên I = −  x dx +  x dx = + = 2 −1 0 a Câu 87: (KTNL GIA BÌNH NĂM 2018-2019) Cho hàm số f ( x ) liên tục có  f ( x ) dx = ;  f ( x ) dx = Tính I =  f ( x − ) dx −1 A I = B I = C I = D I = Lời giải Chọn D I= 1 −1 −1  f ( x − ) dx =  f (1 − x ) dx +  f ( x − 1) dx = I Xét I1 = + I2 2 3 1 = f t d t = f ( x ) dx = f − x d − x ( ) ( ) ( ) 0 0 −1  f (1 − x ) dx = − 1 1 1 f ( x − 1) dx =  f ( x − 1) d ( x − 1) =  f ( t ) dt =  f ( x ) dx = 20 20 21 −1 Xét I =  TÀI LIỆU LUYỆN THI THPTQG Trang | 109 CHUYÊN ĐỀ TÍNH TÍCH PHÂN Vậy I = I1 + I = Câu 88: (THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Khẳng định sau đúng? A   3 x dx = −1  −1 x dx B  2018 −1 x − x + dx =  2018 −1 (x − x + 1) dx C e −2 x  ( x + 1) dx = −2 e ( x + 1) dx x D  −  − cos x dx =   sin xdx 2 − Lời giải Chọn B 1 1  Ta có: x − x + = x − x + + =  x −  +  0, x  2 4   Do đó: 2018 −1 x − x + dx =  2018 −1 (x − x + 1) dx Câu 89: (THPT LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 1) Cho số thực m  thỏa m mãn  2mx − dx = Khẳng định sau đúng? A m  ( 4; ) B m  ( 2; ) C m  ( 3;5 ) D m  (1;3) Lời giải Chọn D  Do với m  1, x  1; m   2mx −  2m m m 2mx − dx =  ( 2mx − 1) dx = mx − x = m − m − m + = m − 2m + 1 Do m   2m   m Vậy  ( ) m = Từ theo ta có m − 2m + =   m =  Do m  m = Câu 90: (CHUYÊN  BẮC GIANG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Cho tích phân x−2 dx = a + b ln + c ln với a, b, c số nguyên Tính P = abc x +1 A P = −36 B P = C P = −18 D P = 18 Lời giải Chọn A Ta có:  x−2 x−2 x−2 dx = −  dx +  dx x +1 x + x + 1 2 5     = −  1 −  dx +   −  dx x +1 x +1 1 2 = − ( x − 3ln x + ) + ( x − 3ln x + ) = − ( − 3ln ) + − 3ln + − 3ln − + 3ln = − ln + 3ln TÀI LIỆU LUYỆN THI THPTQG Trang | 110 CHUYÊN ĐỀ TÍNH TÍCH PHÂN Vậy a = 2, b = −6, c =  P = abc = −36 Câu 91: (THPT CHU VĂN AN -THÁI NGUYÊN - 2018) Tính tích phân I = 2 x − − x dx −1 A ln B ln C 2ln D ln Lời giải Chọn A I= 2 x − − x dx ta có x − − x =  x = −1 I=  x − − x dx = −1  −1 x − − x dx +  x − − x dx = 0  (2 x − − x )dx + −1  (2 x − − x )dx  x + 2− x   x + 2− x  = +    =  ln  −1  ln  ln Câu 92: (CHUYÊN HẠ LONG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Có số tự nhiên m  x − m dx = (x để − m ) dx A Vô số B C Duy D Lời giải Chọn D  x − m dx = (x − m ) dx ( *)  x = −m Ta có: x − 2m =    x = m TH1 Nếu m = (*) ln  x − 2m  (1) TH2 Nếu m  thi (*)   với x   0;  x − m  ( )  +) m  (1)  −m  m  (vô nghiệm)   − m  m  ( )  m  −m     m m   m     +) m  (1) m  −m   (vô nghiệm)   m  − m TÀI LIỆU LUYỆN THI THPTQG Trang | 111 CHUYÊN ĐỀ TÍNH TÍCH PHÂN ( )  m   m    m− m  −  −m    ( ) Suy m  − ; −    ; +   0 giá trị cần tìm   Câu 93: (CHUYÊN KHTN LẦN NĂM 2018-2019) Cho hàm số f ( x ) liên tục có  f ( x)dx = −1  f ( x)dx = Tính  f ( x − )dx A B 11 C D Lời giải 1 −1 −1 Ta có =  f ( x − )dx =  f ( x − )dx +  f ( x − )dx 4  f (1 − x)dx +  f (4 x − 1)dx = I + J −1 +) Xét I =  f (1 − x)dx −1 Đặt t = − x  dt = −4dx; Với x = −1  t = 5; x = I=  t = 5 1 −1 f (1 − x)dx = 5 f (t )(− dt ) = 0 f (t )dt = 0 f ( x)dx =1 +) Xét J =  f (4 x − 1) dx Đặt t = x −  dt = 4dx; Với x =  t = 3; x = J =  f (4 x − 1) dx =   t = 3 1 f (t )( dt ) =  f (t ) dt =  f ( x )dx = 40 40 Vậy  f ( x − )dx = −1 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPTQG Trang | 112 CHUYÊN ĐỀ TÍNH TÍCH PHÂN Câu 94: Cho hàm số f ( x ) liên tục thỏa  f ( x ) dx = 2  f ( x ) dx = 14 Tính  f ( x + ) dx −2 A 30 B 32 C 34 D 36 Lời giải + Xét  f ( x ) dx = Đặt u = x  du = 2dx ; x =  u = ; x =  u = Nên =  f ( x ) dx = 2 f ( u ) du   f ( u ) du = 0 + Xét  f ( x ) dx = 14 Đặt v = x  dv = 6dx ; x =  v = ; x =  v = 12 Nên 14 =  f ( x ) dx = + Xét 12 f ( v ) dv  0 12  f ( v ) dv = 84 0 −2  f ( x + ) d x =  f ( x + ) dx +  f ( x + ) dx −2 Tính I1 =  f ( x + ) dx −2 Đặt t = x + Khi −2  x  , t = −5 x +  dt = −5dx ; x = −2  t = 12 ; x =  t = I1 = 12  −1 1 f t d t = f t d t − f ( t ) dt  = ( 84 − ) = 16 ( )  ( )   12 50  Tính I1 =  f ( x + ) dx Đặt t = x + Khi  x  , t = x +  dt = 5dx ; x =  t = 12 ; x =  t = 12 12  1 1 I =  f ( t ) dt =   f ( t ) dt −  f ( t ) dt  = ( 84 − ) = 16 52 50  Vậy  f ( x + ) dx = 32 −2 Câu 95: Cho hàm số f ( x ) liên tục ( 0;3) 0  f ( x ) dx = 2;  f ( x ) dx = Giá trị tích phân  f ( x − ) dx = ? −1 A B TÀI LIỆU LUYỆN THI THPTQG C D Trang | 113 CHUYÊN ĐỀ TÍNH TÍCH PHÂN Lời giải Ta có  f ( x − ) dx = −1 Tính I =  −1 f (1 − x ) dx +  f ( x − 1) dx = I + J 2  f (1 − x ) dx −1 Đặt t = − x  dt = −2dx Đổi cận x = −1  t = 3; x = t =0 1 1  I = −  f ( t ) dt =  f ( t ) dt =  f ( x ) dx = = 23 20 20 Tính J =  f ( x − 1) dx Đặt t = x −  dt = 2dx Đổi cận x = 1  t = 0; x =  t = 1  J =  f ( t ) dt =  f ( x ) dx = = 20 Vậy  f ( x − ) dx = I + J = + = −1 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPTQG Trang | 114 CHUYÊN ĐỀ TÍNH TÍCH PHÂN DẠNG 7.2 TÍCH PHÂN CỦA HÀM SỐ CHO BỞI NHIẾU CÔNG THỨC  BÀI TẬP NỀN TẢNG  x   2 x Câu 96: (ĐỀ 04 VTED NĂM 2018-2019) Cho số thực a hàm số f ( x ) =  a x − x ) x    ( Tính tích phân A  −1 f ( x ) dx bằng: a − B 2a + C a + D 2a − Lời giải Chọn A Ta thấy,  −1 ( ) f ( x ) dx =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx =  xdx +  a x − x dx 1 −1 −1  x x3  1 a = ( x ) + a  −  = −1 + a   = − −1 0 6  2 Câu 97: x   2 x Cho số thực a hàm số f ( x ) =  Tính tích phân  f ( x ) dx bằng: −1 a x − x ) x    ( a 2a a 2a + − A − B C + D 6 Lời giải Chọn A Ta thấy,  −1 ( ) f ( x ) dx =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx =  xdx +  a x − x dx 1 −1 −1  x x3  1 a = ( x ) + a  −  = −1 + a   = − −1 0 6  2 Câu 98: x  x  e + m Cho hàm số f ( x ) =  liên tục 2 x + x x     f ( x )dx =ae + b + c , ( a, b, c  Q ) Tổng a + b + 3c −1 B −10 A 15 C −19 D −17 Lời giải Chọn C ( ) Ta có lim+ f ( x ) = lim+ ( e x + m ) = m + , lim− f ( x ) = lim− x + x = f ( ) = m + x →0 x →0 x →0 x →0 Vì hàm số cho liên tục nên liên tục x = Suy lim+ f ( x ) = lim− f ( x ) = f ( ) hay m + =  m = −1 x→0 x→0 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPTQG Trang | 115 CHUYÊN ĐỀ TÍNH TÍCH PHÂN 1 −1 −1 = (3 + x2 ) + x2 3 + x dx +  ( e − 1)dx =  + x d ( + x  f ( x )dx =  x Khi x −1 0 + (ex − x) = e + − −1 Suy a = , b = , c = − ) +  (e x − 1)dx 22 22 Vậy tổng a + b + 3c = −19 Câu 99: Cho  −1 hàm x   e + m, f ( x) =   2 x + x , số x  liên x  tục f ( x)dx = ae + b + c, (a, b, c  ) Tổng T = a + b + 3c B −10 A 15 C −19 D −17 Lời giải Chọn C nên hàm số liên tục x = Do hàm số liên tục  lim+ f ( x ) = lim− f ( x ) = f ( )  + m =  m = −1 x→0 x→0  Ta có −1 −1 f ( x)dx =  f ( x)dx +  f ( x)dx = I1 + I 0 −1 −1 I1 =  x + x d x =  ( + x ) d ( + x ) = 23 ( + x ) I =  ( e x − 1) dx = ( e x − x ) 1 0 2 + x2 −1 =2 3− 16 = e−2 22 22  a = 1; b = 2; c = − 3 Vậy T = a + b + 3c = + − 22 = −19   f ( x ) dx = I1 + I = e + − −1 f ( x ) hàm liên tục đoạn Câu 100: Cho a dx  1+ f ( x) =  0; a   f ( x ) f ( a − x ) = thỏa mãn   f ( x )  0, x   0; a  b ba , b , c hai số nguyên dương phân số tối giản Khi b + c c c có giá trị thuộc khoảng đây? A (11; 22 ) B ( 0;9 ) C ( 7; 21) D ( 2017; 2020 ) Lời giải Chọn B Cách Đặt t = a − x  dt = − dx Đổi cận x =  t = a; x = a  t = 0 a a a f ( x ) dx dx − dt dx dx = = = = 1+ f ( x) a 1+ f (a − t ) 1+ f (a − x) 1+ 1+ f ( x) 0 f ( x) a Lúc I =  a f ( x ) dx a dx + = 1dx = a Suy I = I + I =  + f ( x ) 0 + f ( x ) 0 a TÀI LIỆU LUYỆN THI THPTQG Trang | 116 CHUYÊN ĐỀ TÍNH TÍCH PHÂN Do I = a  b = 1; c =  b + c = DẠNG 7.3 TÍCH PHÂN CỦA HÀM SỐ CHẴN, LẺ  BÀI TẬP NỀN TẢNG  Câu 101: (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2017) Cho hàm số f ( x ) liên tục thoả mãn 3 f ( x ) + f ( − x ) = + cos x , x  Tính I = − A I = −6 B I =  f ( x ) dx D I = C I = −2 Lời giải Chọn D Đặt x = −t Khi − 0 3  f ( x ) dx =  f ( −t ) d ( −t ) = −  f ( −t ) dt =  f ( − x ) dx 3 Ta có: I = − Hay I =  0 3 3 3 0  f ( x ) d ( x ) =  f ( x ) d ( x ) +  f ( x ) d ( x ) =  f ( − x ) d ( x ) +  f ( x ) d ( x ) − 3 3 0  ( f ( − x ) + f ( x )) d ( x ) =  3 I= 3 3 2 + cos xd ( x ) = 3  0 cos xd ( x ) = 2  2(1 + cos x ) d ( x )   cos x d ( x ) =  cos xd ( x ) −  cos xd ( x )  3 Vậy I = sin x |02 −2 sin x | = Câu 102: (THCS - THPT NGUYỄN KHUYẾN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho f ( x ) hàm số chẵn đoạn  − a; a  k  Giá trị tích phân a f ( x)  1+ e kx dx −a a A a a  f ( x ) dx B  f ( x ) dx C  f ( x ) dx −a −a a D  f ( x ) dx Lời giải Chọn A a Ta có f ( x)  1+ e −a kx dx = f ( x)  1+ e −a TÀI LIỆU LUYỆN THI THPTQG kx a dx +  f ( x) + e kx dx Trang | 117 CHUYÊN ĐỀ TÍNH TÍCH PHÂN f ( x)  1+ e Xét tích phân kx dx −a  dt = − dx  − dt = dx Đặt t = − x  x = −t Đổi cận: x = − a  t = a x=0t =0 0 a f ( x) f ( −t ) f (t ) Khi đó:  d x = − d t = dt ( ) kx  k ( −t )  1+ e + e − kt −a a 1+ e a = e kt f ( t ) + e kt Do đó, + e kx f ( x) a e kx f ( x ) a dx =   1+ e kx −a a dx =  dx e kx f ( x ) + e kx f ( x) a dx +  a dx =  + e kx (e kx + 1) f ( x ) + e kx a d x =  f ( x ) dx  Câu 103: (THPT HÀM RỒNG - THANH HÓA - 2018) Cho  − a , b, c  sin x + x2 + x dx =  a − c , với b , b  15 Khi a + b + c bằng: A 10 C 11 B D 12 Lời giải Chọn C  I=  sin x  − + x2 + x dx =  −  + x sin xd x −  x sin xdx − 4 I1 I2 Ta nhận thấy + x sin x hàm lẻ nên I1 = u = x  d u = d x  dv = sin xdx Choïn v = − cos x   I = − x cos x Suy I = −  4 +  − cos xd x = −  −   + sin x −  =−  + 4  2 − = − = − 16 Vậy a + b + c = 11 Câu 104: Cho f ( x), f (−x) thỏa mãn f ( x ) + f ( − x ) = liên tục   f ( x ) dx = m Khi giá trị m Biết x +4 2 I= −2 A m = B m = 20 C m = D m = 10 Lời giải Chọn B TÀI LIỆU LUYỆN THI THPTQG Trang | 118 CHUYÊN ĐỀ TÍNH TÍCH PHÂN thỏa mãn f ( x ) + f ( − x ) = Hàm số f ( x ) , f ( − x ) liên tục 2  ( f ( x ) + f ( − x ) ) dx =  x −2 −2 nên ta có: x +4 dx (1) +4 2 2 −2 −2 −2  ( f ( x ) + f ( − x ) ) dx =  f ( x ) dx +  f ( − x ) dx Đặt K = Đặt − x = t  dx = − dt ; f ( − x ) = f ( t ) , x = −2  t = 2; x =  t = −2  Do f ( − x ) dx = −2 −2  f ( t ) ( − dt ) = f ( t ) dt =  −2 2  f ( x ) dx −2 2 2 −2 −2 −2 −2 −2  K =  f ( x ) dx +  f ( − x ) dx =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx =  f ( x ) dx ( ) dx    ; x = tan  ,    − ;  , +4  2 Đặt J = x −2 Ta có: dx = d ( tan  ) = Với x = −2   = −   Do J = − 2d = (1 + tan  ) d cos    ; Với x =   = 4 (1 + tan  ) tan  +  d =  − d =  2 4  −  =   f ( x ) dx = m Mà theo giả thiết, I = nên −2 Chú ý: Có thể tính nhanh x −2 x Từ đó: ( 3) Từ (1) , ( ) ( ) , ta có K = J   f ( x ) dx = −2      f ( x ) dx = 20 −2   =  m = 20 m 20 dx công thức: +4 x dx x = arctan + C +a a a dx x = arctan + C +4 2 dx x 1       = arctan = ( arctan1 − arctan ( −1) ) =  −  −   = x +4 2 −2 2    −2 2 Câu 105: Cho hàm số f ( x ) , f ( − x ) liên tục thõa mãn f ( x ) + f ( − x ) = Tính + x2 I =  f ( x ) dx −2 A I =  20 B I =  10 C I = − 20 D I = − 10 Lời giải Chọn A Tính  −2 f ( − x ) dx Đặt t = − x  dt = − dx TÀI LIỆU LUYỆN THI THPTQG Trang | 119 CHUYÊN ĐỀ TÍNH TÍCH PHÂN Đổi cận −2 x t −2 −2   f ( − x ) dx = −  −2 f ( t ) dt =  f ( t ) dt =  f ( x ) dx 2 −2 −2 2 1 dx   ( f ( x ) + f ( − x ) ) dx =  −2 + x −2 4+ x 2 dx   f ( x ) dx =  −2 + x −2 f ( x) + f (−x) =   f ( x ) dx = −2     1 x =  +  = dx = arctan    5 −2 + x   −2 10  4  20 Câu 106: Cho hàm số y = f ( x ) hàm lẻ liên tục  −4; 4 biết  f ( − x ) dx = −2 f ( −2 x ) dx = Tính I =  f ( x ) dx  A I = −10 B I = −6 C I = D I = 10 Lời giải Chọn B Xét tích phân  f ( − x ) dx = −2 Đặt − x = t  dx = −dt Đổi cận: x = −2 t = ; x = t = 2 0 0 −2  f ( − x ) dx = −  f ( t ) dt =  f ( t ) dt   f ( t ) dt =   f ( x ) dx = Do hàm số y = f ( x ) hàm số lẻ nên f ( −2 x ) = − f ( x ) Do  2 1 f ( − x ) dx = −  f ( x ) dx   f ( x ) d x = − Xét  f ( x ) dx Đặt 2x = t  dx = dt 2 Đổi cận: x = t = ; x = t =    f ( t ) dt = −8  f ( x ) dx =  f ( t ) dt = −4 22  f ( x ) dx = − 4 0 Do I =  f ( x ) dx =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx = − = −6 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPTQG Trang | 120 CHUYÊN ĐỀ TÍNH TÍCH PHÂN Câu 107: Cho hàm số f ( x ) liên tục đoạn  − ln 2; ln 2 thỏa mãn f ( x ) + f ( − x ) = Biết e +1 x ln  f ( x ) dx = a ln + b ln ( a; b  ) Tính P = a + b − ln A P = B P = −2 C P = −1 D P = Lời giải Chọn A ln Gọi I =  f ( x ) dx − ln Đặt t = − x  dt = −dx Đổi cận: Với x = − ln  t = ln ; Với x = ln  t = − ln − ln Ta I = − ln ln  f ( −t ) dt =  f ( − t ) d t =  f ( − x ) dx − ln ln ln Khi ta có: 2I = − ln ln ln  f ( x ) dx +  f ( − x ) dx ==  − ln − ln − ln  f ( x ) + f ( − x )  dx = ln dx e +1 − ln  x ln dx Đặt u = e x  du = e x dx e +1 − ln  Xét x Đổi cận: Với x = − ln  u = ln Ta ; x = ln  u = ln ln ex = dx =  d x du x   x x e +1 u u + ( ) − ln e ( e + 1) − ln − ln ln =  1 = ln u − ln u + − d u ( ) = ln    u u +1 − ln  Vậy ta có a = 1 , b = 0 a+b = 2 Câu 108: Cho y = f ( x ) hàm số chẵn liên tục Biết  f ( x ) dx = f ( x) 3 x −2 +1 f ( x ) dx = Giá trị 1 dx A C B D Lời giải Chọn D Do  1 f ( x ) dx =  f ( x ) dx =   f ( x ) dx =1 21 2  f ( x ) dx = 2   f ( x ) d x +  f ( x ) d x =  f ( x ) dx = Mặt khác  f ( x) +1 −2 x dx = f ( x) 3 x −2  f ( − x ) = f ( x ) x  TÀI LIỆU LUYỆN THI THPTQG +1 dx +  f ( x) 3x + dx y = f ( x ) hàm số chẵn, liên tục Trang | 121 CHUYÊN ĐỀ TÍNH TÍCH PHÂN f ( x) 3 Xét I = x −2 f ( x) 3 I= +1 x −2 f ( x)  3 −2 dx Đặt t = − x  dx = − dt dx = −  dx = +1 x +1 f ( −t ) 3− t + f ( x) 3 +1 x −2 dt =  dx +  f ( x) +1 x f ( −t ) dt = +1 3t dx =   3t f ( t ) 3t + 3x f ( x ) +1 x dt =  dx +  f ( x) +1 x 3x f ( x ) 3x + dx =  dx (3 x + 1) f ( x ) 3x + dx =  f ( x ) dx = Câu 109: Hàm số f ( x ) hàm số chẵn liên tục  f ( x ) dx = 10 Tính I = B I = 10 C I = 20 f ( x) 2 −2 A I = 10 x +1 dx D I = Lời giải Chọn A Đặt t = − x  dt = −dx Đổi cận: x = −2  t = , x =  t = −2 2 f (t ) 2t 2x I =  −t dt =  t f ( t ) dt =  x f ( x ) dx +1 +1 +1 −2 −2 −2 f ( x)  2I = 2 x −2 +1 2 2x f ( x ) dx =  f ( x ) dx =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx =  f ( x ) dx + 10 x + −2 −2 −2 −2 dx +  Mặt khác f ( x ) hàm số chẵn nên f ( − x ) = f ( x ) Xét J =  f ( x ) dx , đặt t = − x  dt = −dx −2 2 0  J =  f ( −t ) dt =  f ( − x ) dx =  f ( x ) dx = 10  I = 20  I = 10 - Câu 110: Cho f ( x ) hàm số liên tục  thỏa mãn f ( x ) + f ( − x ) = − cos x Tính tích 3 phân I = −  f ( x ) dx B I = A I = C I = D I = Lời giải Chọn C Ta có I = 3 − 3  f ( x ) dx =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx − 0 Xét −  f ( x ) dx Đặt t = − x  dt = − dx ; Đổi cận: x = − TÀI LIỆU LUYỆN THI THPTQG 3 3 t = ; x =0t =0 2 Trang | 122 CHUYÊN ĐỀ TÍNH TÍCH PHÂN Suy − 0 3 3 3 0  f ( x ) dx = −  f ( −t ) dt =  f ( −t ) dt =  f ( − x ) dx Theo giả thiết ta có: f ( x ) + f ( − x ) = − cos x    3 3 3 0  f ( x ) dx +  f ( − x ) dx =  3 3 3 0  ( f ( x ) + f ( − x ) ) dx =  − cos xdx sin x dx  3 0 3  f ( x ) dx +  f ( x ) dx =  sin x dx −  sin x dx   f ( x ) dx = − − Câu 111: Cho hàm số y = f ( x ) hàm số chẵn, liên tục đoạn  −1;1  f ( x ) dx = Kết −1 f ( x)  + 2018 dx x −1 A C B D Lời giải Chọn B f ( x) Xét tích phân  + 2018 x dx Đặt x = − t ; dx = − dt ; x = −1  t = ; x =  t = −1 −1 f ( x) f ( −t ) f (t ) 2018t f ( t ) dt =  dt = t  + 2018 x dx = − 1 + 2018−t dt = −1 1 + 2018 −1 − 1+ 2018t f ( x) Vậy −1  + 2018 x dx + −1 Do 2018 x f ( x ) −1 f ( x)  + 2018  x dx = −1 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPTQG + 2018 x  −1 2018 x f ( x ) + 2018 x dx dx =  f ( x ) dx = −1 = Trang | 123 ... TÀI LIỆU LUYỆN THI THPTQG Trang | 21 CHUYÊN ĐỀ TÍNH TÍCH PHÂN ❑ DẠNG TỐN 3: GIẢI TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP VI PHÂN  BÀI TẬP NỀN TẢNG  Câu 65: (MÃ ĐỀ 110 BGD&ĐT NĂM 20 17) Cho F ( x ) nguyên... Trục xét dấu: 17 − Từ ta thấy hàm số có điểm cực trị TÀI LIỆU LUYỆN THI THPTQG Trang | 25 CHUYÊN ĐỀ TÍNH TÍCH PHÂN ❑ DẠNG TỐN 4: GIẢI TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG 4.1 HÀM SỐ... 27 2 = 2  3x + Vậy x 9x2 −1 16 35 35 16 35 +  a = 7, b = , c=− 27 27 27 27 dx = − 32 35 − ? ?7 = − 27 27 Vậy P = a + 2b + c − = + Câu 100: (THPT x PHAN dx x + + ( x + 1) x 2 35 16 35 − 27