Tài Liệu Luyện Thi THPTQG PHÂN DẠNG CÂU HỎI THEO CHỦ ĐỀ TRONG ĐỀ THI THPTQG 2017-2018-2019-2020 CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN 1.Sử dụng định nghĩa-tính chất bản: Câu 1: (Nhận biết) (Đề tham khảo BGD 2017) Tìm nguyên hàm hàm số 𝑓 (𝑥) = 𝑥 + 𝑥 A ∫ 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 = C ∫ 𝑓(𝑥 )𝑑𝑥 = 𝑥3 𝑥3 B ∫ 𝑓(𝑥 )𝑑𝑥 = − 𝑥 + 𝐶 D ∫ 𝑓(𝑥 )𝑑𝑥 = + 𝑥 + 𝐶 𝑥3 𝑥3 − 𝑥 + 𝐶 + 𝑥 + 𝐶 Lời giải Chọn A Ta có ∫ (𝑥 + 𝑥 2) 𝑑𝑥 = Câu 2: 𝑥3 − 𝑥 + 𝐶 (Nhận biết) (Đề thử nghiệm THPTQG 2017) Tìm nguyên hàm hàm số 𝑓(𝑥 ) = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝟏 𝟏 A ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = 𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙 + 𝑪 B ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = − 𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙 + 𝑪 C ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = 𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙 + 𝑪 D ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = −𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙 + 𝑪 Lời giải Chọn A Áp dụng công thức ∫ 𝑐𝑜𝑠( 𝑎𝑥 + 𝑏)𝑑𝑥 = 𝑎 𝑠𝑖𝑛( 𝑎𝑥 + 𝑏) + 𝐶 với 𝑎 ≠ 0; thay 𝑎 = 𝑏 = để có kết Câu 3: (Nhận biết) (Đề tham khảo BGD năm 2017-2018) Họ nguyên hàm hàm số 𝑓 (𝑥 ) = 3𝑥 + A 𝑥 + 𝐶 B 𝑥3 + 𝑥 + 𝐶 D 𝑥 + 𝑥 + 𝐶 C 6𝑥 + 𝐶 Lời giải Chọn D Ta có ∫(3𝑥 + 1)𝑑𝑥 = Câu 4: 𝑥3 + 𝑥 + 𝐶 = 𝑥 + 𝑥 + 𝐶 (Nhận biết) (Đề thức BGD 2017 mã đề 104) Tìm nguyên hàm hàm số 𝑓(𝑥 ) = 7𝑥 7𝑥 A ∫ 𝟕𝒙 𝒅𝒙 = 𝟕𝒙 𝒍𝒏 𝟕 + 𝑪 B ∫ 7𝑥 𝑑𝑥 = 𝑙𝑛 + 𝐶 C ∫ 7𝑥 𝑑𝑥 = 7𝑥+1 + 𝐶 D ∫ 7𝑥 𝑑𝑥 = 7𝑥+1 𝑥+1 +𝐶 Trang Tài Liệu Luyện Thi THPTQG Lời giải Chọn B 𝑎𝑥 Áp dụng công thức ∫ 𝑎 𝑥 dx = 𝑙𝑛 𝑎 + 𝐶, (0 < 𝑎 ≠ 1) ta đáp án B Câu 5: (Nhận biết) (Đề Chính Thức 2018 - Mã 101) Nguyên hàm hàm số 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 𝑥 A 𝑥 + 𝑥 + 𝐶 B 3𝑥 + + 𝐶 C 𝑥 + 𝑥 + 𝐶 1 D 𝑥 + 𝑥 + 𝐶 Lời giải Chọn D 1 Ta có ∫(𝑥 + 𝑥 )𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝑥 + 𝐶 Câu 6: (Nhận biết) (Đề Chính Thức 2018 - Mã 104) Nguyên hàm hàm số 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 𝑥 A 𝑥 + 𝑥 + 𝐶 1 B 𝑥 + 𝑥 + 𝐶 C 3𝑥 + 2𝑥 + 𝐶 D 𝑥 + 𝑥 + 𝐶 Lời giải Chọn B Câu 7: (Nhận biết) (THPT QG 2019 Mã đề 101) Họ tất nguyên hàm hàm số 𝑓 (𝑥 ) = 2𝑥 + là: A 𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 + 𝑪 B 𝟐𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 + 𝑪 C 𝑶𝒛 D 𝒙𝟐 + 𝑪 Lời giải Chọn A Ta có: ∫(2𝑥 + 5)𝑑𝑥 = 𝑥 + 5𝑥 + 𝐶 Câu 8: (Nhận biết) (THPTQG 2019 Mã đề 102) Họ tất nguyên hàm hàm số 𝑓 (𝑥 ) = 2𝑥 + A 𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 + 𝑪 B 𝟐𝒙𝟐 + 𝑪 C 𝟐𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 + 𝑪 D 𝒙𝟐 + 𝑪 Lời giải Chọn A 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + có họ tất nguyên hàm 𝑭(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 + 𝑪 Câu 9: (Nhận biết) (THPT QG 2019 Mã đề 103) Họ tất nguyên hàm hàm số 𝑓 (𝑥 ) = 2𝑥 + A 2𝑥 + 𝐶 B 𝑥 + 3𝑥 + 𝐶 C 2𝑥 + 3𝑥 + 𝐶 D 𝑥 + 𝐶 Lời giải Chọn B Trang Tài Liệu Luyện Thi THPTQG Ta có: ∫(2𝑥 + 3) 𝑑𝑥 = 𝑥 + 3𝑥 + 𝐶 Câu 10: (Nhận biết) (THPT QG 2019 Mã đề 104) Họ tất nguyên hàm hàm số 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + A 2𝑥 + 4𝑥 + 𝐶 B 𝑥 + 4𝑥 + 𝐶 C 𝑥 + 𝐶 D 2𝑥 + 𝐶 Lời giải Chọn B Ta có ∫(2𝑥 + 4)𝑑𝑥 = 𝑥 + 4𝑥 + 𝐶 Câu 11: (Nhận biết) (Đề tham khảo THPTQG 2019) Họ nguyên hàm hàm số 𝑓(𝑥 ) = 𝑒 𝑥 + 𝑥 A 𝑒 𝑥 + 𝑥 + 𝐶 B 𝑒 𝑥 + 𝑥 + 𝐶 C 𝑥+1 𝑒 𝑥 + 𝑥 + 𝐶 D 𝑒 𝑥 + + 𝐶 Lời giải Chọn B Ta có ∫(𝑒 𝑥 + 𝑥 )𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥 + 𝑥 + 𝐶 Câu 12: (Nhận biết) (Đề THPTQG 2017 Mã 123) Tìm nguyên hàm hàm số 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑠𝑖𝑛 3𝑥 A ∫ 𝑐𝑜𝑠 𝑥𝑑𝑥 = 𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 𝐶 B ∫ 𝑐𝑜𝑠 𝑥𝑑𝑥 = C ∫ 𝑐𝑜𝑠 𝑥𝑑𝑥 = 𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 𝐶 D ∫ 𝑐𝑜𝑠 𝑥𝑑𝑥 = − +𝐶 𝑠𝑖𝑛 3𝑥 +𝐶 Lời giải Chọn B Ta có:∫ 𝑐𝑜𝑠 𝑥𝑑𝑥 = 𝑠𝑖𝑛 3𝑥 +𝐶 Câu 13: (Thông hiểu) (Đề Minh Họa 2017) Tìm nguyên hàm hàm số 𝑓(𝑥 ) = √2𝑥 − A ∫ 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 = (2𝑥 − 1)√2𝑥 − + 𝐶 C ∫ 𝑓(𝑥 )𝑑𝑥 = − √2𝑥 − + 𝐶 B ∫ 𝑓(𝑥 )𝑑𝑥 = (2𝑥 − 1)√2𝑥 − + 𝐶 D ∫ 𝑓(𝑥 )𝑑𝑥 = √2𝑥 − + 𝐶 Lời giải Chọn B 1 ∫ 𝑓 (𝑥 )𝑑𝑥 = ∫ √2𝑥 − 1𝑑𝑥 = ∫(2𝑥 − 1)2 𝑑(2𝑥 − 1) = (2𝑥 − 1)√2𝑥 − + 𝐶 Câu 14: (Thông hiểu) (Đề thử nghiệm THPTQG 2017) Biết 𝐹 (𝑥 ) nguyên hàm 𝑓 (𝑥 ) = 𝑥−1 𝐹(2) = Tính 𝐹 (3) A 𝐹(3) = 𝑙𝑛 − B 𝐹(3) = 𝑙𝑛 + 1 C 𝐹(3) = D 𝐹 (3) = Lời giải Trang Tài Liệu Luyện Thi THPTQG Chọn B 𝐹(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑥−1 𝑑𝑥 = 𝑙𝑛|𝑥 − 1| + 𝐶 𝐹(2) = ⇔ 𝑙𝑛 + 𝐶 = ⇔ 𝐶 = Vậy 𝐹(𝑥) = 𝑙𝑛|𝑥 − 1| + Suy 𝐹(3) = 𝑙𝑛 + Câu 15: (Thơng hiểu) (Đề thức BGD 2017 mã đề 104) Tìm nguyên hàm F ( x ) hàm số   f ( x ) = sin x + cos x thoả mãn F   = 2 A F ( x ) = cos x − sin x + B F ( x ) = − cos x + sin x + C F ( x ) = − cos x + sin x − D F ( x ) = − cos x + sin x + Lời giải Chọn D Có F ( x ) =  f ( x ) dx =  ( sin x + cos x ) dx = − cos x + sin x + C     Do F   = − cos + sin + C =  + C =  C =  F ( x ) = − cos x + sin x + 2 2 Câu 16: (Thơng hiểu) (Đề thức BGD 2017 mã đề 110) Tìm nguyên hàm hàm số 𝑓 (𝑥 ) = 5𝑥−2 𝑑𝑥 𝑑𝑥 B ∫ 5𝑥−2 = 𝑙𝑛|5𝑥 − 2| + 𝐶 𝑑𝑥 D ∫ 5𝑥−2 = − 𝑙𝑛|5𝑥 − 2| + 𝐶 A ∫ 5𝑥−2 = 𝑙𝑛|5𝑥 − 2| + 𝐶 𝑑𝑥 C ∫ 5𝑥−2 = 𝑙𝑛|5𝑥 − 2| + 𝐶 Lời giải Chọn B 𝑑𝑥 𝑑𝑥 Áp dụng công thức ∫ 𝑎𝑥+𝑏 = 𝑎 𝑙𝑛|𝑎𝑥 + 𝑏| + 𝐶 (𝑎 ≠ 0) ta ∫ 5𝑥−2 = 𝑙𝑛|5𝑥 − 2| + 𝐶 Câu 17: (Thông hiểu) (Đề Chính Thức 2018 - Mã 102) Nguyên hàm hàm số 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 𝑥 A 𝑥 + 𝑥 + 𝐶 B 𝟒𝒙𝟑 + 𝟏 + 𝑪 C 𝒙𝟓 + 𝒙𝟐 + 𝑪 𝟏 𝟏 D 𝟓 𝒙𝟓 + 𝟐 𝒙𝟐 + 𝑪 Hướng dẫn giải Chọn D 𝟏 𝟏 Ta có∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = ∫(𝒙𝟒 + 𝒙)𝒅𝒙 = 𝟓 𝒙𝟓 + 𝟐 𝒙𝟐 + 𝑪 Câu 18: (Thơng hiểu) (Đề Chính Thức 2018 - Mã 103) Nguyên hàm hàm số 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 𝑥 A 4𝑥 + 2𝑥 + 𝐶 1 B 𝑥 + 𝑥 + 𝐶 C 𝑥 + 𝑥 + 𝐶 D 𝑥 + 𝑥 + 𝐶 Lời giải Chọn B  f ( x ) dx = ∫(𝑥 1 + 𝑥 )𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝑥 + 𝐶 Trang Tài Liệu Luyện Thi THPTQG Câu 19: (Thông hiểu) (THPT QG 2019 Mã đề 101) Họ tất nguyên hàm hàm số 2𝑥−1 𝑓 (𝑥 ) = (𝑥+1)2 khoảng (−1; +∞) B 𝑙𝑛(𝑥 + 1) + 𝑥+1 + 𝐶 D 𝑙𝑛(𝑥 + 1) − 𝑥+1 + 𝐶 A 𝑙𝑛(𝑥 + 1) + 𝑥+1 + 𝐶 C 𝑙𝑛(𝑥 + 1) − 𝑥+1 + 𝐶 Lời giải Chọn B 2𝑥−1 Ta có ∫ (𝑥+1)2 𝑑𝑥 = ∫ 2(𝑥+1)−3 −3 𝑑𝑥 = ∫ (𝑥+1) 𝑑𝑥 + ∫ (𝑥+1)2 𝑑𝑥 = 𝑙𝑛(𝑥 + 1) + 𝑥+1 + 𝐶 (𝑥+1)2 Câu 20: (Thông hiểu) (Đề THPTQG 2017 Mã 123) Cho hàm số 𝑓(𝑥 ) thỏa mãn 𝑓′(𝑥 ) = − 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑓 (0) = 10 Mệnh đề đúng? A 𝑓 (𝑥 ) = 3𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + B 𝑓 (𝑥 ) = 3𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + C 𝑓(𝑥 ) = 3𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 15 D 𝑓(𝑥 ) = 3𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + Lời giải Chọn A Theo giả thiết 𝑓 (0) = 10 nên + 𝐶 = 10 ⇒ 𝐶 = Vậy 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + Câu 21: (Vận dụng) (Đề Chính Thức 2018 - Mã 101) Cho hàm số 𝑓 (𝑥 ) thỏa mãn 𝑓 (2) = − 𝑓 ′ (𝑥 ) = 2𝑥[𝑓(𝑥 )]2 với 𝑥 ∈ ℝ Giá trị 𝑓(1) 35 A − 36 19 B − C − 36 D − 15 Lời giải Chọn B 𝑓(𝑥)≠0 𝑓′ (𝑥) Ta có 𝑓 ′ (𝑥 ) = 2𝑥[𝑓 (𝑥)]2 ⇔ [𝑓(𝑥)]2 ′ = 2𝑥 ⇔ [𝑓(𝑥)] = −2𝑥 ⇔ 𝑓(𝑥) = −𝑥 + 𝐶 Từ 𝑓 (2) = − suy 𝐶 = − Do 𝑓 (1) = 2 −12 +(− ) = − Câu 22: (Vận dụng) (THPTQG 2019 Mã đề 102) Họ tất nguyên hàm hàm số 3𝑥−1 𝑓(𝑥) = (𝑥−1)2 khoảng (1; +∞) B 𝑙𝑛( 𝑥 − 1) + 𝑥−1 + 𝐶 D 𝑙𝑛( 𝑥 − 1) + 𝑥−1 + 𝐶 A 𝑙𝑛( 𝑥 − 1) − 𝑥−1 + 𝐶 C 𝑙𝑛( 𝑥 − 1) − 𝑥−1 + 𝐶 Lời giải Chọn A Đặt 𝑡 = 𝑥 − Trang Tài Liệu Luyện Thi THPTQG 3(𝑡 + 1) − 3𝑡 + 2 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑡 = ∫ 𝑑𝑡 = ∫ 𝑑𝑡 + ∫ 𝑑𝑡 = 𝑙𝑛( 𝑥 − 1) − +𝐶 2 𝑡 𝑡 𝑡 𝑡 𝑥−1 Câu 23: (Vận dụng) (THPT QG 2019 Mã đề 103) Họ tất nguyên hàm hàm số 2𝑥+1 𝑓 (𝑥 ) = (𝑥+2)2 khoảng (−2; +∞) là: B 𝑙𝑛(𝑥 + 2) − 𝑥+2 + 𝐶 D 𝟐 𝒍𝒏(𝒙 + 𝟐) + 𝒙+𝟐 + 𝑪 A 𝑙𝑛(𝑥 + 2) + 𝑥+2 + 𝐶 𝟑 C 𝑙𝑛(𝑥 + 2) − 𝑥+2 + 𝐶 Lời giải Chọn D 2𝑥+1 Ta có: ∫ (𝑥+2)2 𝑑𝑥 = ∫ = 2∫ 𝑑(𝑥+2) 𝑥+2 2(𝑥+2)−3 (𝑥+2)2 2(𝑥+2) 𝑑𝑥 = ∫ (𝑥+2)2 𝑑𝑥 − ∫ (𝑥+2)2 𝑑𝑥 3 − ∫ 3(𝑥 + 2)−2 𝑑(𝑥 + 2) = 𝑙𝑛|𝑥 + 2| + 𝑥+2 + 𝐶 = 𝑙𝑛(𝑥 + 2) + 𝑥+2 + 𝐶 Câu 24: (Vận dụng) (THPT QG 2019 Mã đề 104) Họ tất nguyên hàm hàm số 3𝑥−2 𝑓 (𝑥 ) = (𝑥−2)2 khoảng (2; +∞) 𝟒 B 𝟑 𝒍𝒏(𝒙 − 𝟐) + 𝒙−𝟐 + 𝑪 𝟐 𝟐 D 𝟑 𝒍𝒏(𝒙 − 𝟐) − 𝒙−𝟐 + 𝑪 A 𝟑 𝒍𝒏(𝒙 − 𝟐) + 𝒙−𝟐 + 𝑪 𝟒 C 𝟑 𝒍𝒏(𝒙 − 𝟐) − 𝒙−𝟐 + 𝑪 Lời giải Chọn D 3𝑥−2 Ta có ∫ (𝑥−2)2 𝑑𝑥 = ∫ 3(𝑥−2)+4 (𝑥−2)2 4 𝑑𝑥 = ∫ [𝑥−2 + (𝑥−2)2 ] 𝑑𝑥 = 𝑙𝑛(𝑥 − 2) − 𝑥−2 + 𝐶 Câu 25: (Vận dụng) (Đề tham khảo THPTQG 2019) Họ nguyên hàm hàm số 𝑓(𝑥 ) = 4𝑥(1 + 𝑙𝑛 𝑥 ) A 2𝑥 𝑙𝑛 𝑥 + 3𝑥 B 2𝑥 𝑙𝑛 𝑥 + 𝑥 C 2𝑥 𝑙𝑛 𝑥 + 3𝑥 + 𝐶 D 2𝑥 𝑙𝑛 𝑥 + 𝑥 + 𝐶 Lời giải Chọn D Cách Ta có ∫ 𝑓 (𝑥 )𝑑𝑥 = ∫ 4𝑥(1 + 𝑙𝑛 𝑥 )𝑑𝑥 = ∫ 4𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 4𝑥 𝑙𝑛 𝑥 𝑑𝑥 + Tính∫ 4𝑥 𝑑𝑥 = 2𝑥 + 𝐶1 + Tính ∫ 4𝑥 𝑙𝑛 𝑥 𝑑𝑥 Đặt { 𝑢 = 𝑙𝑛 𝑥 𝑑𝑢 = 𝑥 𝑑𝑥 ⇒{ 𝑑𝑣 = 4𝑥𝑑𝑥 𝑣 = 2𝑥 Suy ∫ 4𝑥 𝑙𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = 2𝑥 𝑙𝑛 𝑥 − ∫ 2𝑥 𝑑𝑥 = 2𝑥 𝑙𝑛 𝑥 − 𝑥 + 𝐶2 Do 𝐼 = 2𝑥 𝑙𝑛 𝑥 + 𝑥 + 𝐶 Cách Ta có (2𝑥 𝑙𝑛 𝑥 + 𝑥 )′ = (2𝑥 )′ 𝑙𝑛 𝑥 + 2𝑥 (𝑙𝑛 𝑥 )′ + (𝑥 )′ = 4𝑥 𝑙𝑛 𝑥 + 2𝑥 𝑥 + 2𝑥 = 4𝑥(1 + 𝑙𝑛 𝑥 ) Trang Tài Liệu Luyện Thi THPTQG Do 2𝑥 𝑙𝑛 𝑥 + 𝑥 nguyên hàm hàm số 𝑓(𝑥 ) = 4𝑥(1 + 𝑙𝑛 𝑥 ) 2 Hay 2𝑥 𝑙𝑛 𝑥 + 𝑥 + 𝐶 họ nguyên hàm hàm số 𝑓 (𝑥 ) = 4𝑥(1 + 𝑙𝑛 𝑥 ) Câu 26: (Vận dụng) (Đề THPTQG 2017 Mã 123) Cho 𝐹 (𝑥 ) = 𝑥 nguyên hàm hàm số 𝑓(𝑥) 𝑒 2𝑥 Tìm nguyên hàm hàm số 𝑓′(𝑥 ) 𝑒 2𝑥 A ∫ 𝑓′(𝑥 ) 𝑒 2𝑥 𝑑𝑥 = 2𝑥 − 2𝑥 + 𝐶 B ∫ 𝑓′(𝑥 ) 𝑒 2𝑥 𝑑𝑥 = −2𝑥 + 2𝑥 + 𝐶 C ∫ 𝑓′(𝑥 ) 𝑒 2𝑥 𝑑𝑥 = −𝑥 + 𝑥 + 𝐶 D ∫ 𝑓′(𝑥 ) 𝑒 2𝑥 𝑑𝑥 = −𝑥 + 2𝑥 + 𝐶 Lời giải: Chọn B Ta có 𝑓(𝑥 ) 𝑒 2𝑥 = 𝐹 ′(𝑥) = 2𝑥 ⇒ (𝑓(𝑥 ) 𝑒 2𝑥 )′ = hay 𝑓 ′ (𝑥 )𝑒 2𝑥 + 2𝑓(𝑥 )𝑒 2𝑥 = ⇒ 𝑓′(𝑥)𝑒 2𝑥 + 4𝑥 = Suy 𝑓′(𝑥)𝑒 2𝑥 = − 4𝑥 nên ∫ 𝑓′(𝑥 ) 𝑒 2𝑥 𝑑𝑥 = −2𝑥 + 2𝑥 + 𝐶 Câu 27: (Nhận biết) (THPT QG 2020 Mã đề 101)  x dx A x +C B x + C D 20x + C C 5x + C Dùng phương pháp nguyên hàm phần: Câu 28: (Nhận biết) (THPT QG 2017 Mã 105) Tìm nguyên hàm hàm số 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛 𝑥 A ∫ 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 𝐶 B ∫ 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = −2 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝐶 C ∫ 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝐶 D ∫ 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + 𝐶 Lời giải Chọn B Câu 29: (Thông hiểu) (THPT QG 2017 Mã 105) Cho 𝐹(𝑥 ) nguyên hàm hàm số 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥 + 2𝑥 thỏa mãn 𝐹 (0) = Tìm 𝐹 (𝑥 ) A 𝐹(𝑥 ) = 2𝑒 𝑥 + 𝑥 − B 𝐹 (𝑥 ) = 𝑒 𝑥 + 𝑥 + C 𝐹 (𝑥 ) = 𝑒 𝑥 + 𝑥 + D 𝐹(𝑥 ) = 𝑒 𝑥 + 𝑥 + Lời giải Chọn D Ta có 𝐹 (𝑥 ) = ∫(𝑒 𝑥 + 2𝑥)𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥 + 𝑥 + 𝐶 Theo ta có: 𝐹(0) = + 𝐶 = ⇒ 𝐶 = Câu 30: (Vận dụng) (Đề thức BGD 2017 mã đề 104) Cho 𝐹 (𝑥 ) = hàm số 2𝑥 là một nguyên hàm của 𝑓(𝑥) 𝑥 Tìm nguyên hàm của hàm số 𝑓 ′ (𝑥 ) 𝑙𝑛 𝑥 𝑙𝑛 𝑥 A ∫ 𝑓 ′ (𝑥 ) 𝑙𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = − ( 𝑥 + 2𝑥 2) + 𝐶 B ∫ 𝑓 ′ (𝑥 ) 𝑙𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑙𝑛 𝑥 𝑥2 + 𝑥2 + 𝐶 Trang Tài Liệu Luyện Thi THPTQG D ∫ 𝑓 𝑥 ) 𝑙𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 + 2𝑥 + 𝐶 𝑙𝑛 𝑥 ′( 𝑙𝑛 𝑥 ′( C ∫ 𝑓 𝑥 ) 𝑙𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = − ( 𝑥 + 𝑥 2) + 𝐶 Lời giải Chọn A 𝑓(𝑥) Ta có: ∫ 𝑥 𝑑𝑥 = 2𝑥 Chọn 𝑓(𝑥 ) = −1 𝑥2 𝑑𝑥 𝑑𝑢 = 𝑥 𝑢 = 𝑙𝑛 𝑥 Khi đó:∫ 𝑓 𝑥) 𝑙𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥 𝑙𝑛 𝑥 𝑑𝑥 Đặt {𝑑𝑣 = 𝑑𝑥 ⇒ { −1 𝑣 = 𝑥2 𝑥3 ′( Khi đó:∫ 𝑓 ′ (𝑥) 𝑙𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑙𝑛 𝑥 𝑥3 𝑑𝑥 = − 𝑙𝑛 𝑥 𝑥2 𝑙𝑛 𝑥 + ∫ 𝑥 𝑑𝑥 = − ( 𝑥 + 2𝑥 2) + 𝐶 Câu 31: (Vận dụng) (Đề thức BGD 2017 mã đề 110) Cho 𝐹 (𝑥 ) = (𝑥 − 1)𝑒 𝑥 nguyên hàm hàm số 𝑓 (𝑥 )𝑒 2𝑥 Tìm nguyên hàm hàm số 𝑓 ′ (𝑥 )𝑒 2𝑥 2−𝑥 A ∫ 𝑓 ′ (𝑥 )𝑒 2𝑥 𝑑𝑥 = (𝑥 − 2)𝑒 𝑥 + 𝐶 B ∫ 𝑓 ′ (𝑥 )𝑒 2𝑥 𝑑𝑥 = C ∫ 𝑓 ′ (𝑥 )𝑒 2𝑥 𝑑𝑥 = (2 − 𝑥 )𝑒 𝑥 + 𝐶 D ∫ 𝑓 ′ (𝑥 )𝑒 2𝑥 𝑑𝑥 = (4 − 2𝑥)𝑒 𝑥 + 𝐶 𝑒𝑥 + 𝐶 Lời giải Chọn C Theo đề ta có ∫ 𝑓(𝑥 ) 𝑒 2𝑥 𝑑𝑥 = (𝑥 − 1)𝑒 𝑥 + 𝐶, suy 𝑓(𝑥 ) 𝑒 2𝑥 = [(𝑥 − 1)𝑒 𝑥 ]′ = 𝑒 𝑥 + (𝑥 − ) 𝑒 𝑥 ⇒ 𝑓(𝑥 ) = 𝑒 −𝑥 + (𝑥 − 1) 𝑒 −𝑥 ⇒ 𝑓 ′ (𝑥 ) = (1 − 𝑥 ) 𝑒 −𝑥 Suy ∫ 𝑓 ′ (𝑥 )𝑒 2𝑥 𝑑𝑥 = ∫(1 − 𝑥 )𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = ∫(1 − 𝑥 ) 𝑑(𝑒 𝑥 ) = 𝑒 𝑥 (1 − 𝑥 ) + ∫ 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥 (2 − 𝑥 ) + 𝐶 x Câu 32: (Vận dụng) (Đề thức BGD 2020 mã đề 101) Biết F ( x ) = e + x nguyên hàm hàm f ( x ) Khi A 2e x + x + C B  f ( x ) dx 2x e + x2 + C C 2x e + 2x2 + C D e x + x + C Lời giải Cách 1: F ( x ) nguyên hàm hàm f ( x )  f ( x ) = e x + x, x  Vậy  f ( x ) dx =  ( e Cách 2: 2x nên ta có f ( x ) = F  ( x ) , x   f ( x ) = e2 x + x ) + x dx = 2x e + 2x2 + C 1  f ( x ) dx =  f ( x ) d ( x ) = F ( x ) + C = e 2x + ( 2x )  + C = e2 x + 2x + C  Tích phân bản: Câu 1: 𝑑𝑥 (Nhận biết) (Đề Chính Thức 2018 - Mã 104) ∫1 A 𝑙𝑛 B 𝑙𝑛 2𝑥+3 C 𝑙𝑛 D 𝑙𝑛 Lời giải Trang Tài Liệu Luyện Thi THPTQG Chọn D 𝑑𝑥 Câu 2: 1 = 𝑙𝑛|2𝑥 + 3|| = (𝑙𝑛 − 𝑙𝑛 5) = 𝑙𝑛 2𝑥+3 Ta có ∫1 1 (Nhận biết) (THPT QG 2019 Mã đề 101) Biết 𝑦 = ∫0 𝑔(𝑥 ) 𝑑𝑥 = 3, ∫0 [𝑓(𝑥 ) − 𝑔(𝑥)] 𝑑𝑥 A −𝟓 B 𝟓 C −𝟏 D 𝟏 Lời giải Chọn A 1 ∫0 [𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥 )] 𝑑𝑥 = ∫0 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 − ∫0 𝑔(𝑥 ) 𝑑𝑥 = −2 − = −5 Câu 3: 1 (Nhận biết) (THPTQG 2019 Mã đề 102) Biết ∫0 𝑓 (𝑥 )𝑑𝑥 = ∫0 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = −4 ∫0 [𝑓(𝑥 ) + 𝑔(𝑥)] 𝑑𝑥 A −7 B C −1 D Lời giải Chọn C 1 Ta có: ∫0 [𝑓(𝑥 ) + 𝑔(𝑥 )] 𝑑𝑥 = ∫0 𝑓 (𝑥 )𝑑𝑥 + ∫0 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = − = −1 Câu 4: 2 (Nhận biết) (THPT QG 2019 Mã đề 103) Biết∫1 𝑓 (𝑥 )𝑑𝑥 = ∫1 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = 6, ∫1 [𝑓(𝑥 ) − 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥bằng A D −8 C D −4 Lời giải Chọn D Ta có: ∫1 [𝑓(𝑥 ) − 𝑔(𝑥 )]𝑑𝑥 = − = −4 Câu 5: 1 (Nhận biết) (THPT QG 2019 Mã đề 104) Biết ∫0 𝑓(𝑥 )𝑑𝑥 = ∫0 𝑔(𝑥 )𝑑𝑥 = −4, ∫0 [𝑓(𝑥 ) + 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 A B −6 C −2 D Lời giải Chọn C 1 Ta có ∫0 [𝑓(𝑥 ) + 𝑔(𝑥 )]𝑑𝑥 = ∫0 𝑓 (𝑥 )𝑑𝑥 + ∫0 𝑔(𝑥 )𝑑𝑥 = + (−4) = −2 Câu 6: 1 (Nhận biết) (Đề tham khảo THPTQG 2019) Cho ∫0 𝑓(𝑥 )𝑑𝑥 = ∫0 𝑔(𝑥 )𝑑𝑥 = ∫0 [𝑓(𝑥 ) − 2𝑔(𝑥 )]𝑑𝑥 A −3 B 12 C −8 D Lời giải Trang Tài Liệu Luyện Thi THPTQG Chọn C 1 Ta có ∫0 𝑔(𝑥 )𝑑𝑥 = ⇔ ∫0 𝑔(𝑥 )𝑑𝑥 = 10 ⇔ ∫0 2𝑔(𝑥 )𝑑𝑥 = 10 1 Xét ∫0 [𝑓(𝑥 ) − 2𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 = ∫0 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 − ∫0 2𝑔(𝑥 )𝑑𝑥 = − 10 = −8 Câu 7: (Thông hiểu) (Đề thử nghiệm THPTQG 2017) Cho hàm số 𝑓(𝑥 ) có đạo hàm đoạn [1; 2], 𝑓 (1) = 𝑓(2) = Tính 𝐼 = ∫1 𝑓 ′ (𝑥 )𝑑𝑥 A 𝐼 = B 𝐼 = −1 C 𝐼 = D 𝐼 = Lời giải Chọn A Ta có 𝐼 = ∫1 𝑓 ′ (𝑥 )𝑑𝑥 = 𝑓 (𝑥 )|21 = 𝑓 (2) − 𝑓(1) = − = Câu 8: 𝑑𝑥 (Thông hiểu) (Đề thử nghiệm THPTQG 2017) Biết 𝐼 = ∫3 𝑥 +𝑥 = 𝑎 𝑙𝑛 + 𝑏 𝑙𝑛 + 𝑐 𝑙𝑛 , với 𝑎, 𝑏, 𝑐 số nguyên Tính 𝑆 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 A 𝑆 = B 𝑆 = C 𝑆 = −2 D 𝑆 = Lời giải Chọn B Ta có: 𝑥 +𝑥 1 = 𝑥(𝑥+1) = 𝑥 − 𝑥+1 𝑑𝑥 Khi đó: 𝐼 = ∫3 𝑥 +𝑥 1 = ∫3 (𝑥 − 𝑥+1) 𝑑𝑥 = (𝑙𝑛 𝑥 − 𝑙𝑛( 𝑥 + 1)) | = (𝑙𝑛 − 𝑙𝑛 5) − (𝑙𝑛 − 𝑙𝑛 4) = 𝑙𝑛 − 𝑙𝑛 − 𝑙𝑛 Suy ra: 𝑎 = 4, 𝑏 = −1, 𝑐 = −1.Vậy 𝑆 =  Câu 9: (Thông hiểu) (Đề thức BGD 2017 mã đề 104) Cho  f ( x ) dx = Tính  I =   f ( x ) + sin x  dx B I = + A I =  C I = D I = +  Lời giải Chọn A 𝜋 𝜋 𝜋 Ta có: 𝐼 = ∫02 [𝑓 (𝑥) + 𝑠𝑖𝑛 𝑥 ]dx= ∫02 𝑓 (𝑥 )dx+2 ∫02 𝑠 𝑖 nxdx 𝜋 𝜋 𝐼 = ∫02 𝑓(𝑥 ) dx − 2cosx | = − 2(0 − 1) = Câu 10: (Thơng hiểu) (Đề thức BGD 2017 mã đề 110) Cho ∫−1 𝑓(𝑥 )𝑑𝑥 = Trang 10 Tài Liệu Luyện Thi THPTQG Dựa vào đồ thị ta có ℎ(𝑥 ) = 𝑎𝑥 + (𝑏 − 𝑑 )𝑥 + (𝑐 − 𝑒)𝑥 + có ba nghiệm 𝑥 = −2; 𝑥 = 3 1; 𝑥 = 3 Với 𝑥 = −2 ta có −8𝑎 + 4(𝑏 − 𝑑 ) − 2(𝑐 − 𝑒) = − , (1) Với 𝑥 = ta có 𝑎 + (𝑏 − 𝑑 ) + (𝑐 − 𝑒) = − , (2) Với 𝑥 = ta có 27𝑎 + 9(𝑏 − 𝑑 ) + 3(𝑐 − 𝑒) = − , (3) 𝑎=4 −8𝑎 + 4(𝑏 − 𝑑 ) − 2(𝑐 − 𝑒) = − Từ (1), (2) (3) ta có ⇔ 𝑏 − 𝑑 = − 𝑎 + (𝑏 − 𝑑 ) + (𝑐 − 𝑒 ) = − ( ) ( ) {27𝑎 + 𝑏 − 𝑑 + 𝑐 − 𝑒 = − {𝑐 − 𝑒 = − Hay ta có 3 1 ( )| 𝑆 = ∫ |𝑓(𝑥) − 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ | 𝑥 − 𝑥 − 𝑥 + | 𝑑𝑥 + ∫ | 𝑥 − 𝑥 − 𝑥 + | 𝑑𝑥 2 −2 −2 4 63 = 16 + = 253 48 Câu 18: (Vận dụng cao) (THPT QG 2019 Mã đề 101) Cho đường thẳng 𝑦 = 𝑥 va parabol 𝑦 = 𝑥 + 𝑎 (𝑎 tham số thực dương) Gọi 𝑆1 , 𝑆2 diện tích hai hình phẳng gạch chéo hình vẽ bên Khi 𝑆1 = 𝑆2 𝑎 thuộc khoảng đây? A 𝐴3 (2; 0; 0) B (0; 3) C (3 ; 5) D (5 ; 7) Lời giải Chọn C Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑥 𝑦 = 𝑥 + 𝑎: 1 𝑥 = 𝑥 + 𝑎 ⇔ 𝑥 − 𝑥 + 𝑎 = (có 𝛥 = − 2𝑎) Theo hình, ta có: < 𝑎 < Gọi 𝑥1 , 𝑥2 (0 < 𝑥1 < 𝑥2 ) hai hoành độ giao điểm: 𝑥1 = − √1 − 2𝑎, 𝑥2 = + √1 − 2𝑎(1) 𝑥 𝑥 Khi đó: 𝑆1 = 𝑆2 ⇔ ∫0 (2 𝑥 + 𝑎 − 𝑥) 𝑑𝑥 = ∫𝑥 (𝑥 − 𝑥 − 𝑎) 𝑑𝑥 𝑥2 𝑥1 ⇔ ( 𝑥 + 𝑎𝑥 − 𝑥 )| = ( 𝑥 − 𝑥 − 𝑎𝑥)| 2 𝑥1 𝑥22 𝑥23 ⇔ − − 𝑎𝑥2 = ⇔ 3𝑥2 − 𝑥22 − 6𝑎 = (2) Trang 34 Tài Liệu Luyện Thi THPTQG Từ (1), (2) ⇔ √1 − 2𝑎 = 4𝑎 − ⇔ { 𝑎≥4 16𝑎2 − 6𝑎 = ⇔ 𝑎 = Câu 19: (Vận dụng cao) (THPTQG 2019 Mã đề 102) Cho đường thẳng 𝑦 = 𝑥 parbol 𝑦 = 𝑥 + 𝑎 (𝑎 tham số thực dương) Gọi 𝑆1 , 𝑆2 diện tích hai hình phẳng gạch chéo hình vẽ bên Khi 𝑆1 = 𝑆2 𝑎 thuộc khoảng đây? A (4 ; 32) B (16 ; 32) C (0; 16) D (32 ; 4) Lời giải Chọn B Phương trình hồnh độ giao điểm: 𝑥 = 𝑥 + 𝑎 ⇔ 2𝑥 − 3𝑥 + 4𝑎 = (∗) Từ hình vẽ, ta thấy đồ thị hai hàm số cắt hai điềm dương phân biệt Do phương trình (∗) có hai nghiệm dương phân biệt 𝛥 = − 32𝑎 > (∗) có hai nghiệm dương phân biệt ⇔ {𝑆 = > ⇔ < 𝑎 < 32 𝑃 = 2𝑎 > Khi (*) có hai nghiệm dương phân biệt 𝑥1 = 3−√9−32𝑎 , 𝑥2 = 3+√9−32𝑎 , (𝑥1 < 𝑥2 ) 𝑥1 𝑥2 3 ∫ ∫ 𝑆1 = 𝑆2 ⇔ ( 𝑥 + 𝑎 − 𝑥) 𝑑𝑥 = ( 𝑥 − 𝑥 − 𝑎) 𝑑𝑥 4 𝑥1 𝑥 𝑥 𝑥3 3𝑥 3𝑥 𝑥 ⇔ ( + 𝑎𝑥 − )| = ( − − 𝑎𝑥)| 8 𝑥 𝑥1 3𝑥1 3𝑥2 𝑥2 3𝑥1 𝑥1 ⇔ + 𝑎𝑥1 − = − − 𝑎𝑥2 − ( − − 𝑎𝑥1 ) 8 3𝑥2 𝑥2 ⇔ − − 𝑎𝑥2 = Trang 35 Tài Liệu Luyện Thi THPTQG ⇔ −4𝑥2 + 9𝑥2 − 24𝑎 = + √9 − 32𝑎 + √9 − 32𝑎 ⇔ −4 ( ) + − 24𝑎 = 4 ⇔ 3√9 − 32𝑎 = 64𝑎 − 9 𝑎 ≥ 64 ⇔{ 𝑎≥ 64𝑎 − > 27 64 ⇔{ ⇔ { 𝑎 = ⇔ 𝑎 = 128 9(9 − 32𝑎) = (64𝑎 − 9) 27 [ 4096𝑎2 − 864𝑎 = 𝑎 = 128 Câu 20: (Vận dụng cao) (THPT QG 2019 Mã đề 103) Cho đường thẳng 𝑦 = 3𝑥 parabol 𝑦 = 2𝑥 + 𝑎 (𝑎 tham số thực dương) Gọi 𝑆1 𝑆2 diện tích hai hình phẳng gạch chéo hình vẽ bên Khi 𝑆1 = 𝑆2 𝑎 thuộc khoảng đây? A (5 ; 10) B (0;  5) C (1;  8) D (10 ;  1) Lời giải Chọn A Xét phương trình: 2𝑥 + 𝑎 = 3𝑥 ⇔ 2𝑥 − 3𝑥 + 𝑎 = 0   (1) Xét 𝛥 = − 8𝑎 > ⇔ 𝑎 < nên phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt 𝑥1 = 3−√9−8𝑎 ; 𝑥2 = 3+√9−8𝑎 (𝑥1 < 𝑥2 ) 𝑥 Từ hình vẽ ta có: 𝑆1 = ∫0 1(2𝑥 − 3𝑥 + 𝑎)𝑑𝑥 = (3 𝑥 − 𝑥 + 𝑎𝑥)| 𝑥1 𝑥 Và 𝑆2 = − ∫𝑥 (2𝑥 − 3𝑥 + 𝑎)𝑑𝑥 = − (3 𝑥 − 𝑥 + 𝑎𝑥)| 𝑥2 𝑥1 𝑥 = 𝐹 (𝑥 )|0 = 𝐹(𝑥1 ) 𝑥 = −𝐹 (𝑥 )|𝑥12 = 𝐹(𝑥1 ) − 𝐹(𝑥2 ) Theo giả thiết 𝑆1 = 𝑆2 ⇔ 𝐹 (𝑥2 ) = ⇔ 𝑥23 − 𝑥22 + 𝑎𝑥2 = 9 + √9 − 8𝑎 ⇔ (2𝑥22 − 𝑥2 + 3𝑎) = ⇔ 3𝑥2 − 𝑎 − 𝑥2 + 3𝑎 = − 3𝑥2 + 4𝑎 = ⇔ 4𝑎 = 3 2 ⇔ 3√9 − 8𝑎 = 16𝑎 − ⇔ Câu 21: {16 ℎ(−2) B ℎ(2) > ℎ(−2) > ℎ(4) C ℎ(4) = ℎ(−2) > ℎ(2) D ℎ(4) = ℎ(−2) < ℎ(2) Lời giải Chọn A Ta có ℎ′(𝑥 ) = 2[𝑓′(𝑥) − 𝑥 ]; ℎ′(𝑥 ) = ⇒ 𝑥 ∈ {−2; 2; 4} Bảng biến thiên: Suy ℎ(2) > ℎ(4) Kết hợp với BBT ta có ′( ′( ′( ∫ ℎ 𝑥 )𝑑𝑥 > ∫ −ℎ 𝑥)𝑑𝑥 ⇔ ∫ ℎ 𝑥 )𝑑𝑥 > ∫ ℎ′ (𝑥)𝑑𝑥 −2 −2 ⇔ ℎ(2) − ℎ(−2) > ℎ(2) − ℎ(4) ⇔ ℎ(4) > ℎ(−2) Vậy ta có ℎ(2) > ℎ(4) > ℎ(−2) Câu 22: (Vận dụng) (THPT QG 2020 Mã đề 101) Gọi D hình phẳng giới hạn đường y = e , 3x y = , x = x = Thể tích khối trịn xoay tạo thành quay A   e3 x dx B  e x dx C   e6 x dx D quanh trục Ox D  e3 x dx Bài tốn thực tế sử dụng diện tích hình phẳng Câu 22: (Vận dụng) (Đề thử nghiệm THPTQG 2017) Ơng An có mảnh vườn hình Elip có độ dài trục lớn 16𝑚 độ dài trục bé bằng10𝑚 Ông muốn trồng hoa dải đất rộng 8𝑚 nhận trục bé elip làm trục đối xứng (như hình vẽ) Biết kinh phí để trồng hoa 100.000 đồng/1𝑚2 Hỏi ông An cần tiền để trồng hoa dải đất đó? (Số tiền làm trịn đến hàng nghìn.) Trang 37 Tài Liệu Luyện Thi THPTQG 8m A 7.862.000 đồng B 7.653.000 đồng C 7.128.000 đồng D 7.826.000 đồng Lời giải Chọn B Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Giả sử elip có phương trình 𝑥2 𝑦2 + 𝑏2 = 𝑎2 Từ giả thiết ta có 2𝑎 = 16 ⇒ 𝑎 = 2b = 10  b = 5 Vậy phương trình elip 𝑥2 64 𝑦2 + 25 𝑦 = √64 − 𝑥 (𝐸1 ) =1⇒[ 𝑦 = − √64 − 𝑥 (𝐸2 ) Khi diện tích dải vườn giới hạn đường (𝐸1 ); (𝐸2 ); 𝑥 = −4; 𝑥 = diện 5 tích dải vườn 𝑆 = ∫−4 √64 − 𝑥 𝑑𝑥 = ∫0 √64 − 𝑥 𝑑𝑥 Tính tích phân phép đổi biến 𝑥 = 𝑠𝑖𝑛 𝑡, ta 𝑆 = Khi số tiền 𝑇 = ( Câu 23: 40𝜋 40𝜋 + 20√3 + 20√3) 100000 = 7652891,82 ≃ 7.653.000 (Vận dụng cao) (Đề Chính Thức 2018 - Mã 101) Cho hai hàm số 𝑓(𝑥 ) = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥 − 𝑔(𝑥 ) = 𝑑𝑥 + 𝑒𝑥 + (𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒 ∈ ℝ) Biết đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥 ) 𝑦 = 𝑔(𝑥 ) Trang 38 Tài Liệu Luyện Thi THPTQG cắt ba điểm có hoành độ −3; −1; (tham khảo hình vẽ) Hình phẳng giới hạn hai đồ thị cho có diện tích A B C D Lời giải Chọn C Diện tích hình phẳng cần tìm −1 −1 𝑆 = ∫−3 [𝑓 (𝑥 ) − 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 + ∫−1[𝑔(𝑥 ) − 𝑓(𝑥)]𝑑𝑥 = ∫−3 [𝑎𝑥 + (𝑏 − 𝑑 )𝑥 + (𝑐 − 𝑒)𝑥 − 2] 𝑑𝑥 − ∫−1 [𝑎𝑥 + (𝑏 − 𝑑 )𝑥 + (𝑐 − 𝑒)𝑥 − 2] 𝑑𝑥 Trong phương trình 𝑎𝑥 + (𝑏 − 𝑑 )𝑥 + (𝑐 − 𝑒)𝑥 − = (∗) phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥 ) 𝑦 = 𝑔(𝑥) Phương trình (∗) có nghiệm −3; −1; nên 3 −27𝑎 + 9(𝑏 − 𝑑 ) − 3(𝑐 − 𝑒) − = −27𝑎 + 9(𝑏 − 𝑑 ) − 3(𝑐 − 𝑒) = −𝑎 + (𝑏 − 𝑑 ) − (𝑐 − 𝑒) − = ⇔ −𝑎 + (𝑏 − 𝑑 ) − (𝑐 − 𝑒) = 3 ( ) ( ) {𝑎 + 𝑏 − 𝑑 + 𝑐 − 𝑒 − = −1 ( ) ( ) {𝑎 + 𝑏 − 𝑑 + 𝑐 − 𝑒 = 3 1 𝑎=2 ⇔ (𝑏 − 𝑑 ) = ( ) { 𝑐 − 𝑒 = −2 Vậy 𝑆 = ∫−3 [2 𝑥 + 𝑥 − 𝑥 − 2] 𝑑𝑥 − ∫−1 [2 𝑥 + 𝑥 − 𝑥 − 2] 𝑑𝑥 = − (−2) = Câu 24: (Vận dụng cao) (Đề tham khảo THPTQG 2019) Một biển quảng cáo có dạng hình elip với bốn đỉnh 𝐴1 , 𝐴2 , 𝐵1 , 𝐵2 hình vẽ bên Biết chi phí sơn phần tơ đậm 200.000 đồng/𝑚2 phần lại 100.000 đồng/𝑚2 Hỏi số tiền để sơn theo cách gần với số tiền đây, biết 𝐴1 𝐴2 = 8 𝑚, 𝐵1 𝐵2 = 6 𝑚 tứ giác 𝑀𝑁𝑃𝑄 hình chữ nhật có 𝑀𝑄 = 3 𝑚? B2 N M A1 A2 Q P B1 Trang 39 A 7.322.000 đồng Tài Liệu Luyện Thi THPTQG C 5.526.000 đồng D 5.782.000 đồng B 7.213.000 đồng Lời giải Chọn A y B2 N A2 M A1 O Q x P B1 𝑥2 𝑦2 Giả sử phương trình elip (𝐸 ): 𝑎2 + 𝑏2 = 𝐴 𝐴 =8 𝑎 = ( ) 𝑥2 𝑦2 2𝑎 = Theo giả thiết ta có { ⇔{ ⇔{ ⇒ 𝐸 : 16 + = ⇒ 𝑦 = ± √16 − 𝑥 𝐵1 𝐵2 = 2𝑏 = 𝑎=3 Diện tích elip (𝐸 ) 𝑆(𝐸) = 𝜋𝑎𝑏 = 12𝜋 (𝑚 ) 𝑀 = 𝑑 ∩ (𝐸 ) 3 Ta có: 𝑀𝑄 = ⇒ { với 𝑑: 𝑦 = ⇒ 𝑀 (−2√3; 2) 𝑁 (2√3; 2) 𝑁 = 𝑑 ∩ (𝐸 )  Khi đó, diện tích phần khơng tơ màu S = 3 16 − x  3   dx = 4 − (𝑚 )  Diện tích phần tơ màu 𝑆 ′ = 𝑆(𝐸) − 𝑆 = 8𝜋 + 6√3 Số tiền để sơn theo yêu cầu toán 𝑇 = 100.000 × (4𝜋 − 6√3) + 200.000 × (8𝜋 + 6√3) ≈ 7.322.000 đồng Thể tích giới hạn đồ thị (tròn xoay) Câu 25: (Nhận biết) (Đề Minh Họa 2017) Viết cơng thức tính thể tích V khối trịn xoay tạo quay hình thang cong, giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x ) , trục Ox hai đường thẳng x = a, x = b ( a  b ) , xung quanh trục Ox b A V =   f ( x )dx b B V =  f ( x )dx a b C V =   f ( x )dx a a b D V =  f ( x ) dx a Lời giải Chọn A Câu 26: (Nhận biết) (Đề tham khảo BGD năm 2017-2018) Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥 ) liên tục đoạn [𝑎; 𝑏] Gọi 𝐷 hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥 ), trục hoành hai đường thẳng 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏 (𝑎 < 𝑏) Thể tích khối trịn xoay tạo thành quay 𝐷 quanh trục hồnh tính theo cơng thức b A V =   f ( x ) dx a b b b a a a B V = 2  f ( x ) dx C V =   f ( x ) dx D V =   f ( x ) dx Lời giải Trang 40 Tài Liệu Luyện Thi THPTQG Chọn A Theo công thức tính thể tích vật trịn xoay quay hình (𝐻) quanh trục hồnh ta có b V =   f ( x ) dx a Câu 27: (Thơng hiểu) (Đề Minh Họa 2017) Kí hiệu (𝐻) hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = 2( x − 1)e x , trục tung trục hồnh Tính thể tích 𝑉 khối trịn xoay thu quay hình ( H ) xung quanh trục 𝑂𝑥 B V = ( − 2e )  A V = − 2e D V = ( e − )  C V = e − Lời giải Chọn D x Phương trình hoành độ giao điểm ( x − 1) e =  x = Thể tích của khối tròn xoay thu đượ c quay hình ( H ) xung quanh trục 𝑂𝑥 là:  du = ( x − 1) dx u = ( x − 1)   V =    ( x − 1) e  dx = 4  ( x − 1) e dx Đặ t  e2 x 2x v = dv = e dx  0   1 x 2x 1 2x e2 x e2 x e  V = 4 ( x − 1) − 4  ( x − 1) dx = 4 ( x − 1) − 4  ( x − 1) e x dx 2 0 u = x −  du = dx Gọi I1 =  ( x − 1) e dx Đặ t  e2 x 2x  dv = e dx  v =  2x 1 e2 x e2 x  I1 = 4 ( x − 1) − 4  dx = 2 −  e x = 2 −  e +  = 3 −  e 2 e2 x − I1 = −2 − 3 −  e =  e − Vậy V = 4 ( x − 1) ( Câu 28: ) ( ) (Thơng hiểu) (Đề thức BGD 2017 mã đề 104) Cho hình phẳng 𝐷 giới hạn với đường cong 𝑦 = √𝑥 + 1, trục hoành đường thẳng 𝑥 = 0, 𝑥 = Khối tròn xoay tạo thành quay 𝐷 quanh trục hồnh tích 𝑉 bao nhiêu? A 𝑽 = 𝟒𝝅 𝟒 B 𝑽 = 𝟐𝝅 𝟑 C 𝑽 = 𝟑 D 𝑽 = 𝟐 Lời giải Chọn A Thể tích khối trịn xoay tính theo công thức: 𝑉 = 𝜋∫ (√𝑥 1 𝑥3 4𝜋 + 1) 𝑑𝑥 = 𝜋 ∫ (𝑥 + 1)𝑑𝑥 = 𝜋 ( + 𝑥)| = 3 0 2 Trang 41 Câu 29: Tài Liệu Luyện Thi THPTQG (Thơng hiểu) (Đề thức BGD 2017 mã đề 110) Cho hình phẳng 𝐷 giới hạn đường cong 𝑦 = √2 + 𝑠𝑖𝑛 𝑥, trục hoành đường thẳng 𝑥 = 0, 𝑥 = 𝜋 Khối tròn xoay tạo thành quay 𝐷 quay quanh trục hồnh tích 𝑉 bao nhiêu? A 𝑉 = 2𝜋 B 𝑉 = 2𝜋(𝜋 + 1) C 𝑉 = 2𝜋 D 𝑉 = 2(𝜋 + 1) Lời giải Chọn B Ta có phương trình √2 + 𝑠𝑖𝑛 𝑥 = vô nghiệm nên: 𝜋 𝜋 𝑉 = 𝜋 ∫0 (√2 + 𝑠𝑖𝑛 𝑥) 𝑑𝑥 = 𝜋 ∫0 (2 + 𝑠𝑖𝑛 𝑥 )𝑑𝑥 = 𝜋(2𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥 )|𝜋0 = 2𝜋(𝜋 + 1) Câu 30: (Thông hiểu) (Đề Chính Thức 2018 - Mã 103) Cho hình phẳng (𝐻) giới hạn đường 𝑦 = 𝑥 + 3, 𝑦 = 0, 𝑥 = 0, 𝑥 = Gọi 𝑉 thể tích khối trịn xoay tạo thành quay (𝐻) xung quanh trục 𝑂𝑥 Mệnh đề đúng? A 𝑉 = 𝜋 ∫0 (𝑥 + 3)2 𝑑𝑥 2 B.𝑉 = 𝜋 ∫0 (𝑥 + 3)𝑑𝑥 C 𝑉 = ∫0 (𝑥 + 3)2 𝑑𝑥 D 𝑉 = ∫0 (𝑥 + 3)𝑑𝑥 Lời giải Chọn A Thể tích khối trịn xoay tạo thành quay (𝐻) xung quanh trục 𝑂𝑥 là: 𝑉 = 𝜋 ∫0 (𝑥 + 3)2 𝑑𝑥 Câu 31: (Thơng hiểu) (Đề Chính Thức 2018 - Mã 104) Cho hình phẳng (𝐻) giới hạn đường thẳng 𝑦 = 𝑥 + 2, 𝑦 = 0, 𝑥 = 1, 𝑥 = Gọi 𝑉 thể tích khối tròn xoay tạo thành quay (𝐻)xung quanh trục 𝑂𝑥 Mệnh đề đúng? B 𝑉 = ∫1 (𝑥 + 2)2 𝑑𝑥 D 𝑉 = ∫1 (𝑥 + 2)𝑑𝑥 A 𝑉 = 𝜋 ∫1 (𝑥 + 2)2 𝑑𝑥 2 C 𝑉 = 𝜋 ∫1 (𝑥 + 2)𝑑𝑥 Lời giải Chọn A Ta có: 𝑉 = 𝜋 ∫1 (𝑥 + 2)2 𝑑𝑥 Câu 32: (Thông hiểu) (Đề THPTQG 2017 Mã 123) Cho hình phẳng 𝐷 giới hạn đường cong 𝜋 𝑦 = √2 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥, trục hoành đường thẳng 𝑥 = 0, 𝑥 = Khối tròn xoay tạo thành 𝐷 quay quanh trục hồnh tích 𝑉 bao nhiêu? A 𝑉 = (𝜋 + 1)𝜋 B 𝑉 = 𝜋 − C 𝑉 = 𝜋 + D 𝑉 = (𝜋 − 1)𝜋 Lời giải Chọn A Trang 42 Tài Liệu Luyện Thi THPTQG 𝜋 2 𝑉 = 𝜋 ∫ (√2 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥) 𝑑𝑥 = 𝜋(2𝑥 + Câu 33: 𝜋 𝑠𝑖𝑛 𝑥 )|02 = 𝜋 (𝜋 + 1) (Vận dụng) (Đề thử nghiệm THPTQG 2017) Cho hai hình vng có cạnh xếp chồng lên cho đỉnh 𝑋 hình vng tâm hình vng cịn lại (như hình vẽ) Tính thể tích 𝑉 vật thể trịn xoay quay mơ hình xung quanh trục 𝑋𝑌 X A 𝑉 = C 𝑽 = 125(1+√2)𝜋 Y B 𝑉 = 𝟏𝟐𝟓(𝟓+𝟒√𝟐)𝝅 𝟐𝟒 D 𝑽 = 𝟏𝟐𝟓(𝟐+√𝟐)𝝅 𝟒 125(5+2√2)𝜋 12 Lời giải Chọn C Cách : X Y Khối tròn xoay gồm phần: Phần 1: khối trụ có chiều cao 5, bán kính đáy 𝑉1 = 𝜋 × (2) × = tích: 125𝜋 Phần 2: khối nón có chiều cao bán kính đáy 5√2 tích: √2 5√2 125𝜋√2 𝑉2 = × 𝜋 × ( ) × = 2 12 Phần 3: khối nón cụt tích Trang 43 Tài Liệu Luyện Thi THPTQG 𝑉3 = 𝜋 × 5(√2−1) × (( 5√2 2 ) + ( 2) + 5√2 × 2) = 125(2√2−1)𝜋 24 Vậy thể tích khối trịn xoay là: 𝑉 = 𝑉1 + 𝑉2 + 𝑉3 = 125𝜋 + 125𝜋√2 12 + 125(2√2−1)𝜋 24 = 125(5+4√2)𝜋 24 Cách : Thể tích hình trụ tạo thành từ hình vng 𝐴𝐵𝐶𝐷 là: 𝑉𝑇 = 𝜋𝑅2 ℎ = 125𝜋 Thể tích khối trịn xoay tạo thành từ hình vng 𝑋𝐸𝑌𝐹 là: 𝑉2𝑁 = 𝜋𝑅2 ℎ = Thể tích khối trịn xoay tạo thành từ tam giác 𝑋𝐷𝐶 là: 𝑉𝑁′ = 𝜋𝑅2 ℎ = Thể tích cần tìm 𝑉 = 𝑉𝑇 + 𝑉2𝑁 − 𝑉𝑁′ = 125𝜋 5+4√2 24 125𝜋√2 125𝜋 24 10 Thể tích tính theo mặt cắt s(x) Câu 34: (Thơng hiểu) (Đề tham khảo BGD 2017) Tính thể tích V phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng 𝑥 = 𝑥 = 3, biết cắt vật thể mặt phẳng vng góc với trục 𝑂𝑥 điểm có hồnh độ 𝑥 (1 ≤ 𝑥 ≤ 3) thiết diện hình chữ nhật có độ dài hai cạnh 3𝑥 √3𝑥 − A 𝑉 = 32 + 2√15 C 𝑉 = B 𝑉 = 124 124𝜋 D 𝑉 = (32 + 2√15)𝜋 Lời giải Chọn C Diện tích thiết diện là: S ( x ) = x x − ⇒ Thể tích vật thể là: 𝑉 = ∫1 3𝑥 √3𝑥 − 2𝑑𝑥 = 124 Trang 44 Tài Liệu Luyện Thi THPTQG 11 Tốn thực tế Câu 35: (Thơng hiểu) (Đề Minh Họa 2017) Một ô tô chạy với vận tốc 10m/s người lái đạp phanh; từ thời điểm đó, tơ chuyển động chậm dần với vận tốc v ( t ) = −5t + 10 (m/s), t khoảng thời gian tính giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh Hỏi từ lúc đạp phanh đến dừng hẳn, ô tô di chuyển mét? A 0,2m B 2m C 10m D 20m Lời giải Chọn C Xét phương trình −5𝑡 + 10 = ⇔ 𝑡 = Do vậy, kể từ lúc người lái đạp phanh sau 2s ô tô dừng hẳn Quãng đường ô tô kể từ lúc người lái đạp phanh đến ô tô dừng 𝑠 = ∫ (−5𝑡 + 10)𝑑𝑡 = (− 𝑡 + 10𝑡) | = 10𝑚 Câu 36: 1 (Thông hiểu) (THPT QG 2017 Mã 105) Cho ∫0 (𝑥+1 − 𝑥+2) 𝑑𝑥 = 𝑎 𝑙𝑛 + 𝑏 𝑙𝑛 với 𝑎, 𝑏 số nguyên Mệnh đề đúng? A 𝑎 + 𝑏 = −2 B 𝑎 + 2𝑏 = C 𝑎 + 𝑏 = D 𝑎 − 2𝑏 = Lời giải Chọn B 1 ∫0 (𝑥+1 − 𝑥+2) 𝑑𝑥 = [𝑙𝑛|𝑥 + 1| − 𝑙𝑛|𝑥 + 2|]10 = 𝑙𝑛 − 𝑙𝑛 3; 𝑎 = 2; 𝑏 = −1 Câu 37: (Thông hiểu) (Đề thức BGD 2017 mã đề 104) Một người chạy thời gian giờ, vận tốc 𝑣 (km/h) phụ thuộc vào thời gian 𝑡 (h) có đồ thị phần parabol với đỉnh 𝐼 (2 ; 8) trục đối xứng song song với trục tung hình bên Tính quảng đường 𝑠 người chạy khoảng thời gian 45 phút, kể từ chạy? A 𝑠 = (km) B 𝑠 = 2,3 (km) C 𝑠 = 4,5 (km) D 𝑠 = 5,3 (km) Lời giải Chọn C Trang 45 Tài Liệu Luyện Thi THPTQG Gọi parabol (𝑃): 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 Từ hình vẽ ta có (𝑃) qua 𝑂(0; 0), 𝐴(1; 0) điểm 𝐼 (2 ; 8) 𝑐=0 𝑎 = −32 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = Suy {𝑎 𝑏 ⇔ {𝑏 = 32 + + 𝑐 = 𝑐=0 Vậy (𝑃): 𝑦 = −32𝑥 + 32𝑥 Quảng đường người là: 𝑠 = ∫0 (−32𝑥 + 32𝑥)𝑑𝑥 = 4,5(km) Câu 38: (Vận dụng) (Đề thức BGD 2017 mã đề 110) Một vật chuyển động với vận tốc 𝑣(km/h) phụ thuộc thời gian 𝑡(ℎ)có đồ thị phần đường parabol có đỉnh 𝐼(2; 9) trục đối xứng song song với trục tung hình bên Tính qng đường 𝑠 mà vật di chuyển A 𝑠 = 26,75(km) B 𝑠 = 25,25(km) C 𝑠 = 24,25(km) D 𝑠 = 24,75(km) Lời giải Chọn D Tìm phương trình vận tốc 𝑣(𝑡) = − 𝑡 + 3𝑡 + 3 Vậy 𝑆 = ∫0 (− 𝑡 + 3𝑡 + 6)𝑑𝑡 = 24,75 Câu 39: (Vận dụng) (Đề Chính Thức 2018 - Mã 103) Một chất điểm 𝐴 xuất phát từ 𝑂, chuyển động 13 thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian quy luật 𝑣 (𝑡) = 100 𝑡 + 30 𝑡 (m/s), 𝑡 (giây) khoảng thời gian tính từ lúc 𝐴 bắt đầu chuyển động Từ trạng thái nghỉ, chất điểm 𝐵 xuất phát từ 𝑂, chuyển động thẳng hướng với 𝐴 chậm Trang 46 Tài Liệu Luyện Thi THPTQG 2) ( 10 giây so với 𝐴 có gia tốc 𝑎 m/s (𝑎 số) Sau 𝐵 xuất phát 15 giây đuổi kịp 𝐴 Vận tốc 𝐵 thời điểm đuổi kịp 𝐴 A 15 (m/s) B 9(m/s) C 42 (m/s) D 25 (m/s) Lời giải Chọn D Ta có 𝑣𝐵 (𝑡) = ∫ 𝑎.dt = 𝑎𝑡 + 𝐶, 𝑣𝐵 (0) = ⇒ 𝐶 = ⇒ 𝑣𝐵 (𝑡) = 𝑎𝑡 Quãng đường chất điểm 𝐴 25 giây 𝑆𝐴 = 25 ∫0 13 (100 𝑡 + 30 𝑡 ) dt = (300 𝑡 + 13 𝑡 ) 60 25 | = 375 Quãng đường chất điểm 𝐵 15 giây 15 𝑆𝐵 = ∫0 𝑎𝑡.dt = Ta có 375 = 225𝑎 𝑎𝑡 2 15 | = 225𝑎 ⇔ 𝑎 = Vận tốc 𝐵 thời điểm đuổi kịp 𝐴 𝑣𝐵 (15) = 15 = 25 (m/s) Câu 40: (Vận dụng) (Đề THPTQG 2017 Mã 123) Một vật chuyển động với vận tốc 𝑣(𝑘𝑚/ℎ) phụ thuộc vào thời gian 𝑡(ℎ) có đồ thị vận tốc hình bên Trong thời gian kể từ bắt đầu chuyển động, đồ thị phần đường parabol có đỉnh 𝐼(2; 9) trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian lại đồ thị đoạn thẳng song song với trục hồnh Tính qng đường 𝑠 mà vật chuyển động (kết làm tròn đến hàng phần trăm) A 𝑠 = 15,50(𝑘𝑚) B 𝑠 = 23,25(𝑘𝑚) C 𝑠 = 13,83(𝑘𝑚) D 𝑠 = 21,58(𝑘𝑚) Lời giải Chọn D 𝑐=4 Gọi phương trình parabol 𝑣 = 𝑎𝑡 + 𝑏𝑡 + 𝑐 ta có hệ sau: {4𝑎 + 2𝑏 + 𝑐 = 𝑏 − 2𝑎 = Trang 47 Tài Liệu Luyện Thi THPTQG 𝑏=5 𝑐=4 ⇔{ 𝑎=− Với 𝑡 = ta có 𝑣 = 31 31 4 Vậy quãng đường vật chuyển động 𝑠 = ∫0 (− 𝑡 + 5𝑡 + 4) 𝑑𝑡 + ∫1 𝑑𝑡 = 259 12 ≈ 21,583 Câu 41: (Vận dụng) (Đề Chính Thức 2018 - Mã 102) Một chất điểm 𝐴 xuất phát từ 𝑂, chuyển động 59 thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian quy luật 𝑣 (𝑡) = 150 𝑡 + 75 𝑡(𝑚/𝑠), 𝑡 (giây) khoảng thời gian tính từ lúc 𝐴 bắt đầu chuyển động Từ trạng thái nghỉ, chất điểm 𝐵 xuất phát từ 𝑂, chuyển động thẳng hướng với 𝐴 chậm giây so với 𝐴 có gia tốc 𝑎(𝑚/𝑠 ) (𝑎 số) Sau 𝐵 xuất phát 12 giây đuổi kịp 𝐴 Vận tốc 𝐵 thời điểm đuổi kịp 𝐴 A 20(𝑚/𝑠) B 16(𝑚/𝑠) C 13(𝑚/𝑠) D 15(𝑚/𝑠) Hướng dẫn giải Chọn B +) Từ đề bài, ta suy ra: tính từ lúc chất điểm 𝐴 bắt đầu chuyển động bị chất điểm 𝐵 bắt kịp 𝐴 15 giây, 𝐵 12 giây +) Biểu thức vận tốc chất điểm 𝐵 có dạng 𝑣𝐵 (𝑡) = ∫ 𝑎𝑑𝑡 = 𝑎𝑡 + 𝐶, lại có 𝑣𝐵 (0) = nên 𝑣𝐵 (𝑡) = 𝑎𝑡 +) Từ lúc chất điểm 𝐴 bắt đầu chuyển động bị chất điểm 𝐵 bắt kịp quãng đường hai chất điểm Do 15 59 12 ∫0 (150 𝑡 + 75 𝑡) 𝑑𝑡 = ∫0 𝑎𝑡𝑑𝑡 ⇔ 96 = 72𝑎 ⇔ 𝑎 = Từ đó, vận tốc 𝐵 thời điểm đuổi kịp 𝐴 𝑣𝐵 (12) = 12 = 16(𝑚/𝑠) Trang 48 ... Thi THPTQG Do 2