Tải 200 bài toán phương trình lượng giác - Tài liệu ôn tập ôn Toán lớp 12

Từ đó suy ra điều kiên (2) luôn được thoả mãn... Vậy phương trình vô nghiệm.[r]

(1)

Tuyển tập 200 tập Lượng giác có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ!

Giải

2

sin xsin 2x2cos x2

 sinx ( cosx – sinx ) = 0 sin

tan arctan

x x k

 

 

 

  

  

 

Bài 2: Giải phương trình : cos2x3sinx 2 Giải

2

1 2sin x 3sinx 2sin x 3sinx

        

2

sin

2 ,

1

6 sin

2 5

2

x k

x

x k k

x

x k

 

   

 



 

    

 

 

   

Bài 3: Giải phương trình : 3sinxcosx Giải 3sinxcosx 3sin 1cos

2 x x

  

2

sin cos cos sin

6

x  x 

   sin( ) sin

6

x  

  



2

6 12 ,

3

2

6 12

x k x k

k

x k x k

    

      

 

 

 

      



 



Bài 4: Giải phương trình : 3sinxcosx Bài 1: Giải phương trình : 2

sin xsin 2x2cos x2

(2)

3

sin cos

2 x x

  

2

sin cos cos sin

6

x  x 

   sin( ) sin

6

x  

  

5

2

6 12 ,

3 11

2

6 12

x k x k

k

x k x k

   

    

      

 

  

      



 



Bài 5: Giải phương trình : 2

2sin x3sin cosx x5cos x0 Giải

2

2 nta x nta x

   

tan

4 ,

5

5 tan

arctan( )

2

x x k

k x

x k

 





  

 



  

      

 

Bài 6: Giải phương trình : 3(sin5xcos )x 4(sinxcos5 )x Giải

3sin5x4cos5x4sinx3cosx 3sin 4cos5 4sin 3cos

5 x x x x

   

sin5 cosx cos5 sinx  sin sinx  cos cosx , (3 cos ,4 sin )

5   

sin(5x)cos(x) sin(5 ) sin( )

x   x 

    

5

12 3

2

5

2

x k

x x k

x x k x k

  



  

  

   



        

 

  



        

 

 

Bài 7: Giải phương trình :

(3)

Giải

(3sin3x 4sin )x 3cos9x

   

sin9x 3cos9x1 sin(9 ) sin

3

x  

  

2

18

7

54

x k

 

   

 

   

Bài 8: Giải phương trình : tan sin cos 2(2cos ) cos

x x x x

x

    

Giải

Điều kiện: cos

2 x   x  k

(1) sin sin cos 4cos

cos cos

x

x x x

x x

     

2

sinx 2sin cosx x cos cosx x 2(2cos x 1)

     

2

sin (1 2cosx x) cos cosx x 2cos 2x

    

sin cos2x x cos2 cosx x 2cos2x

    

cos (sinx x cosx 2)

    cos2

sin cos 2( )

x

x k

x x vn

 

 

   

 



Bài 9: Giải phương trình : 8sin

cos sin

x

x x

 

Giải Điều kiện: sin

2 x  x k

2

(*)8sin xcosx 3sinxcosx 4(1 cos2 )cos x x 3sinxcosx 4cos2 cosx x 3sinx 3cosx

(4)

1

cos3 cos sin

2

x x x

   cos3 cos( )

3

x x 

  

12

x k

 

   

 

    

C2 (*)8sin2xcosx 3sinxcosx 8(1 cos 2x)cosx 3sinxcosx

8cosx 8cos x 3sinx 3cosx

   

6cosx 8cos x 3sinx cosx

   

3

4cos 3cos cos sin

2

x x x x

    cos3 cos( )

3

x x 

  

6

12

x k

 

   

 

    

Bài 10: Giải phương trình : 9sinx6cosx3sin 2xcos2x8 Giải

2

6sin cosx x 6cosx 2sin x 9sinx

     

6cos (sinx x 1) (sinx 1)(2sinx 7)

     

(sinx 1)(6cosx 2sinx 7)

    

sin

6cos 2sin

x

x x

 

   

 x k2

 

  

Bài 11: Giải phương trình : sin 2x2cos2x 1 sinx4cosx Giải

2

2sin cosx x 2(2cos x 1) sinx 4cosx

      

2

sin (2cosx x 1) 4cos x 4cosx

     

Bài 12: Giải phương trình : 2sin 2xcos2x7sinx2cosx4 Giải

2

4sin cosx x (1 2sin x) 7sinx 2cosx

      

2

2cos (2sinx x 1) (2sin x 7sinx 3)

     

2cos (2sinx x 1) (2sinx 1)(sinx 3)

     

(5)

2sin

2cos sin 3,( )

x

x x vn

  

   



2

x k

 

   

 

   

Bài 13: Giải phương trình : sin 2xcos2x3sinxcosx2 Giải

2

2sin cosx x (1 2sin x) 3sinx cosx

      

2

(2sin cosx x cos ) (2sinx x 3sinx 1)

     

cos (2sinx x 1) (2sinx 1)(sinx 1)

     

(2sinx 1)(cosx sinx 1)

     2sin

cos sin

x

x x

 

   



2

2sin

5

2

x k

x

x k

 

   

   

   

2

cos sin cos( )

4 2

2 x k

x x x

x k

 

  

      

   

Bài 14:Giải phương trình : (sin cos )2 cos(2 )

x x   x

Giải

Ta có: sin cos 2( sin 21 3cos ) 2cos(2 )

2

x x x x  x

Đặt: tsin 2x cos , 2x   t Phương trình trở thành:

5 t

t   2t2 t 100

2 t

t     

  

5 : t

(6)

7

2 : 2cos(2 )

6 12

t x  x  k

        

2cos xcos2xsinx0 Giải

2

2cos x(cosx 1) (1 sin )x

    

2(1 sin x)(cosx 1) (1 sin )x

     

2(1 sin )(1 sin )(cosx x x 1) (1 sin )x

      

(1 sin )[2(1 sin )(cosx x x 1) 1]

     

(1 sin )[1 2sin cosx x x 2(sinx cos )] 0x

     

sin

1 2sin cos 2(sin cos )

x

x x x x

 

     

sin

2

x x  k 

    

1 2sin cosx x 2(sinx cos )x

    

(sinx cos )x 2(sinx cos )x

    

(sinx cos )(sinx x cosx 2)

     sinxcosx0

tan

4

x x  k

      

Bài 16: Giải phương trình : 1 cot cos 22 sin

x x

x 

 

2 x  x k cos

(*) cot

1 cos x x

x 

  



1 cot

1 cos x

x

  



cos

1

sin cos x

x x

  



sin (1 cos2 ) cos2 (1 cos2 )x x x x sin 2x

    

sin cos 2x x cos (1 cos )x x

    cos2 (sin 2x xcos2x 1)

cos2

sin cos2

x

x x

 

    



cos

4

x x  k

    

sin 2x cos2x

    sin(2 ) sin( )

4

x  

   

2

x k

 

    

 

(7)

Vậy,phương trình có nghiệm:

4

x  k Bài 17: Giải phương trình : 4

4(sin xcos x) 3sin 4x2 Giải

2 2 2

4[(sin x cos x) 2sin xcos x] 3sin 4x

    

2

4(1 sin ) 3sin

2 x x

    cos4x 3sin 4x 2

12

x k

 

   

 

    

1 sin cos sin

2

x x x

  

Giải sin 4x 2(sin 2x cos )(1 sin cos )x x x

     

(2 sin ) (sin 2x x cos )(2 sin )x x

     

(2 sin )(sin 2x x cos2x 1)

     sin 2xcos2x 1

2

sin(2 )

4

x 

   

2

x k

 

    

 

   

Bài 19: Giải phương trình : tanx3cotx4(sinx 3cos )x Giải

Điều kiện: sin

2 x  x k

sin cos

(*) 4(sin cos )

cos sin

x x

   

2

sin x 3cos x 4sin cos (sinx x x 3cos )x

    

(sinx 3cos )(sinx x 3cos ) 4sin cos (sinx x x x 3cos ) 0x

(8)

(sinx 3cos )(sinx x 3cosx 4sin cos )x x

    

sin cos

sin cos 4sin cos

x x

x x x x

  

 

  



sin cos tan

3

x x x x  k

         

sinx 3cosx 4sin cosx x

    2sin 2xsinx 3cosx

1

sin sin cos

2

x x x

   sin sin( )

3

x x 

  

4

9

x k

 

    

 

   

Vậy,phương trình có nghiệm là: ;

3

x   k

9

x  k  Bài 20: Giải phương trình : 3

sin xcos xsinxcosx Giải

2

sin (sinx x 1) cos x cosx

    

2

sin cosx x cos x cosx

    

cos ( sin cosx x x cos x 1)

    

2

cos

sin cos cos

x

x x x

 

    

cos

2

x x  k

    

2

sin cosx x cos x

     1sin cos

2

x

x 

     sin 2xcos2x3,(vn)

Vậy,phương trình có nghiệm là: ,

2

x  k k Bài 21: Giải phương trình : 4

cos sin ( )

4

x x  Giải

2

1 1

(1 cos ) [1 cos(2 )]

4 x x



     

2

(1 cos )x (1 sin )x

(9)

3

cos(2 ) cos

4

x  

   2

4

x k

 

   

 

    

4sin xcos3x4cos xsin3x3 3cos4x3 Giải

3 3

4sin x(4cos x 3cos ) 4cosx x(3sinx 4sin x) 3cos4x

     

3

12sin xcosx 12cos xsinx 3cos4x

    

2

4sin cos (cosx x x sin x) 3cos4x

   

2sin cos2x x 3cos4x

   sin 4x 3cos4x1

1

sin cos

2 x x

   sin(4 ) sin

3

x  

   24 2,

8

x k

k

x k

 

    

 

   

Bài 23: Cho phương trình: 2

2sin xsin cosx xcos xm (*) a.Tìm m cho phương trình có nghiệm

b.Giải phương trình m = -1

Giải (*) (1 cos ) 1sin 1(1 cos )

2

x x x m

      sin 2x3cos2x 2m1

a (*)có nghiệm khi: c2 a2 b2  (1 )m  1 94m2 4m 9

1 10 10

2 m

 

  

b.Khi m = -1 phương trình trở thành:

sin 2x3cos2x3 sin cos

10 x 10 x 10

  

sin cosx  cos2 sinx  sin ,

   ( cos , sin )

10   10  

sin(2x ) sin

   2

2

x k

  

   

   

     

2 x k

x k

   

 

 

(10)

Bài 24: Cho phương trình: 2

5 4sin( ) 6tan

2

sin tan

x x



 

 



 (*)

a.Giải phương trình

4

   

b.Tìm để phương trình (*) có nghiệm

Giải

Ta có: sin(3 ) sin( ) cos

2 x x x

       

2

6 tan

6 tan cos 3sin ,cos

1 tan

    

   



5 4cos

(*) 3sin

sin x

x 



  3sin sin x4cosx5 (**)

a

4



   phương trình trở thành:

3sinx4cosx 5 3sin 4cos

5 x x

   

3

sin cos cos sin 1,( cos , sin )

5

x  x   

     

sin(x )

   

2

x   k 

   

b.Phương trình có nghiệm khi:

cos

(3sin ) 16 25 



 

  



cos

sin

 

 

  



cos

sin

 

 

  

 cos k

 

 

    

Bài 25: Giải phương trình : 5(sin cos3 sin ) cos 2sin

x x

x 

  



Giải

Điều kiện: sin 12 ,

7

12

x k

 

    

   

   

Ta có: 5(sin cos3 sin ) 5sin 2sin sin cos3 sin

1 2sin 2sin

x x x x x x x

x

x x

   

 

(11)

sin cos cos3 cos3 sin

1 2sin

x x x x x

x

   





(sin sin ) cos

1 2sin

x x x

x

 





2sin cos cos

1 2sin

x x x

x  



(2sin 1)cos

5

1 2sin

x x

x  

 5cosx

(1)5cosxcos2x3 2cos2x5cosx 2

cos

2 x

 

3

x  k 

   

Bài 26: Giải phương trình : 2 cos cos 2x xcos x0

Giải

1(1 cos6 )cos 1(1 cos )

2 x x x

    

cos6 cos2x x

   (*)

Cách 1:

(*)(4cos 2x3cos )cos 2x x 1 4cos 24 x2cos 22 x 1

cos 2x

  sin 2x0

2 x k  

Cách 2: (*) 1(cos8 cos )

2 x x

    cos8xcos4x 2

2cos 4x cos 4x

    cos4x1

2 x k  

Cách 3: (*) cos6 cos

cos6 cos

x x

 



    



Cách 4: (*) 1(cos8 cos )

2 x x

    cos8xcos4x2 cos8x cos4x

  

cos sin cos( )sin(3 )

4

x x x x  

Giải

(sin2 cos2 )2 2sin2 cos2 1[sin(4 ) sin ]

2 2

x x x x x  x

(12)

2

1

1 sin ( cos sin )

2 x x x

      

2

1 1

sin (1 2sin ) sin

2 x x x

      

2

sin 2x sin 2x

    sin 2x1

4 x  k   

5sinx 2 3(1 sin ) tan x x Giải

Điều kiện: cos

2 x   x  k

2

2 sin

(1) 5sin 3(1 sin )

cos x

x x

x

    5sin 3(1 sin ) sin2 2

1 sin x

x x

x

   



2 3sin

5sin

1 sin x x

x

  



2

2sin x 3sinx

    sin

2 x

 

2

x k

 

   

 

   

Bài 28: Giải phương trình : 2sin 2cos3

sin cos

x x

  

2 x  x k

1

(*) 2(sin cos3 )

sin cos

x x

   

3 1

2[3(sin cos ) 4(sin cos ]

sin cos

x x x x

x x

     

2 sin cos

2(sin cos )[3 4(sin sin cos cos )]

sin cos

x x

x x x x x x

x x



     

sin cos

2(sin cos )( 4sin cos )

sin cos

x x

x x x x

x x



     

1

(sin cos )( 8sin cos )

sin cos

x x x x

x x

(13)

2

(sin cos )(4sin 2)

sin

x x x

x

    

2

(sinx cos )(4sin 2x x 2sin 2x 2)

    

2

sin cos

4sin 2sin 2

x x

 



    



tan

sin

sin 1/

x x x

  



 

   

4 12 12

x k

 

    

 

    

   

2

cos (2sin 2) 2cos

1 sin

x x x

x

   

 (*)

4 x     x  k

2

(*)2sin cosx x3 cosx2cos x  1 sin 2x

2cos x cosx

    cos

2 x

 

4

x  k

   

Đối chiếu điều kiện phương trình có nghiệm: ,

x  k k Bài 30: Giải phương trình : cos cos cos3 sin sin sin3

2 2 2

x x x x

x  x 

Giải

1 1

cos (cos cos ) sin (cos cos )

2 x x x x x x

    

2

cos cos 2x x cos x sin cos 2x x sin cosx x

    

2

cos (sinx x cos ) sinx x sin cosx x

      

cos (sinx x cos ) sin (sinx x x cos )x

    

(sinx cos )(cos 2x x sin )x

   

2

(sinx cos )( 2sinx x sinx 1)

     

2

sin cos

2sin sin

x x

 



    

(14)

tan

sin

sin 1/ x x x

  



  

 



4 2

5

2

6

x k

x k x k

 

   

   

  

    

      

4cos x3 sin 2x8cosx Giải

3

4cos x sin cosx x 8cosx

   

2

2cos (2cosx x sinx 4)

   

2cos (2sinx x sinx 2)

   

cos

2 sin

2 x x

 



   

2

x k

 

   

 

   

   

Bài 32: Giải phương trình : cos(2 ) cos(2 ) 4sin 2(1 sin )

4

x  x  x   x

Giải

2cos cos 4sin 2 sin

4

x  x x

     

2

2(1 2sin x) 4sinx 2 sinx

      

2

2 sin x (4 2)sinx

    

1 sin

2 x

 

5

2

x k

 

   

 

   

(15)

Giải Điều kiện: sinx  0 x k

2

4

cos cos

(1) 2 (2 2)

sin sin

x x

   

Đặt: cos2 sin

x t

x

 phương trình trở thành:

2

3 (2 2) 2 2

3 t

t t

t          



2

2 cos

:

3 sin

x t

x

  

3cosx 2(1 cos x)

  

2cos x 3cosx

   

1 cos

2 x

 

3

x  k 

   

2 cos

2 :

sin x t

x

  

cosx 2(1 cos x)

  

2 cos x cosx

   

cos

2 x

 

4

x  k 

   

Vậy,phương trình có nghiệm: ,

3

x   k  x   k  Bài 34: Giải phương trình :

2

4sin 6sin 3cos

0 cos

x x x

x

   

(*)

Giải Điều kiện: cos

2 x   x  k

2

(*)4(1 cos ) 3(1 cos ) 3cos x   x   x0 4cos 22 x6cosx 2

cos

1 cos

2 x x

  

 

  

2

x k

 

   

 

    

3 x   k

Bài 35: Giải phương trình : cosxcos3x2cos5x0 Giải

(cos5x cos ) (cos5x x cos3 )x

(16)

Giải

8 4 4

sin xcos x(sin xcos x) 2sin xcos x

2 2 2

[(sin cos ) 2sin cos )] sin

8

x x x x x

   

2

1

(1 sin ) sin

2 x x

  

1 sin sin

8

x x

  

2

(*) 16(1 sin sin ) 17(1 sin )

8

x x x

    

2sin 2x sin 2x

   

2

sin 2 x

 

1 2sin 2x

   cos 4x0

8

x  k   

Bài 37: Giải phương trình : sin5 5cos3 sin

2

x x

x

 (*)

Giải

Ta thấy: cos cos

2 x

x  k  x

      

Thay vào phương trình (*) ta được:

sin( ) sin( )

2 k k

       

không thỏa mãn với k 2cos3 cos2x x 2cos4 cosx x

  

3

(4cos x 3cos )cos 2x x (2cos 2x 1)cosx

    

2

cos [(4cosx x 3)cos 2x 2cos 2x 1]

    

2

cos {[2(1 cos ) 3]cos 2x x x 2cos 2x 1}

     

2

cos (4cos 2x x cos 2x 1)

   

cos

1 17

cos

8

1 17

cos

8 x x

x 

 



 

  



 



2

1 17

arccos

8

1 17

arccos

8

x k

 

  

 

 

   





   



Bài 36: Giải phương trình : 8 17

sin cos cos

16

(17)

Do cos

xkhơng nghiệm phương trình nên:

5 3

(*) sin cos 5cos sin cos

2 2

x x x x

x

  1(sin3 sin ) 5cos3 sin

2 x x x x

  

3

3sinx 4sin x 2sin cosx x 5cos xsinx

    

2

sin (3 4sinx x 2cosx 5cos x)

    

3

sin (5cosx x 4cos x 2cosx 1)

    

sin

cos

1 21

cos

10

1 21

cos

10 x

x x

x  

 



  

  

  

 



2

1 21

arccos

10

1 21

arccos

10 x k x k

x k

 

 

 



  

   



  

  

 

Vậy,phương trình có nghiệm: xk2 , arccos 21 10

x    k 

1 21

arccos

10

x    k 

Bài 38: Giải phương trình : sin (cotx xtan )x 4cos2x (1) Giải

Điều kiện: sin

cos

4

x k x

x x k



 

   

 

    

 



Ta có: cot tan cos sin

sin cos

x x

   cos cos sin sin

sin cos

x x x x

x x



 cos

sin cos x

x x



cos 2

(1) 2sin cos 4cos

sin cos x

x x x

x x

 

2

cos 2

2cos cos

x

x x

  cos2x(1 2cos2 ) x 0

cos

cos 1/ x x

 

  



2

x k

 

   

 

(18)

x  k ,

6 x   k Bài 39: Giải phương trình : 2cos26 3cos8

5

x  x

Giải

12 24

(1 cos ) 2(2cos 1)

5

x x

     4cos34 3cos4 2(2cos24 1)

5 5

x x x

    

Đặt: cos4 , 1

5 x

t   t phương trình trở thành:

3

4t 6t   3t

1

1 21

4 t t

 



 

  

4

cos

5

x

x k 

   

4 21 21

cos arccos

5 4

x

x k 

 

     

xk  , 5arccos1 21

4

x   k 

Bài 40: Giải phương trình : tan (3 ) tan

x  x (1)

Giải

Điều kiện:

cos

2

cos( )

4

x x k

x

x k

 





  

 

 

   

   

 

3

(tan 1)

(1) tan

3 (1 tan )

x

x x



  



3

(tanx 1) (tanx 1)(1 tan )x

    

3

(tanx 1)[(1 tan )x (tanx 1) ]

     

3

(tanx 1)(tan x 2tan x 5tan )x

    

2

tan (tanx x 1)(tan x 2tanx 5)

(19)

tan

x x

 

   

4 x k

x k



 

   

   

C2: Đặt:

4 t x 

Bài 41: Giải phương trình : sin 24 cos 24 cos 44

tan( ) tan( )

4

x x

x

x x

      (1)

Giải

Điều kiện:

sin( )cos( )

4

sin( )cos( )

4

x x

 

   

 

   



sin( )

4

cos

sin( )

4 x

x x

 

  



  

  



1 tan tan

tan( ) tan( )

4 tan tan

x x

       

 

4 4

(1)sin 2xcos 2xcos 4x  1 2sin cos 22 x xcos 44 x

1 2 4

1 sin cos

2 x x

   1(1 cos )2 cos 44

2 x x

   

4

2cos 4x cos 4x

    cos 42 x1

2

1 cos 4x

   sin 4x0

4 x k  

2 xk

Bài 42: Giải phương trình : 48 (1 cot cot )

4

cos sin

x x

    (*)

2 x  x k Ta có: cot cot cos cos

sin sin

x x

   cos sin sin sin

sin cos

x x x x

x x

 

cos

2 2sin cos

x

x x



(20)

1

(*) 48

4

cos x sin x

    48 1

4

cos x sin x

  

4 4

48sin xcos x sin x cos x

   3sin 24 1sin 22

2

x x

  

4

6sin 2x sin 2x

    sin 22

2 x

   1 2sin 22 x0

cos 4x

 

8

x  k   

8

x  k

Bài 43: Giải phương trình : sin8 cos8 2(sin10 cos10 ) 5cos

x x x x  x

Giải

8

sin (1 2sin ) cos (2cos 1) cos

4

x x x x x

    

5

8

sin cos cos cos cos

4

x x x x x

  

8

4cos2 (cosx x sin x) 5cos2x

   

4 4

4cos2 (cosx x sin x)(cos x sin x) 5cos2x

    

2 2 4

4cos2 (cosx x sin x)(cos x sin x)(cos x sin x) 5cos2x

     

1

2 2

4cos (cos sin )(1 sin ) 5cos

2

x x x x x

    

1

2

4cos (1 sin ) 5cos

2

x x x

   

2

4cos2 (4cos2x x 2cos2 sin 2x x 5)

   

2

4cos2 [4cos2x x 2cos2 (1 cos ) 5] 0x x

    

3

4cos2 (2cos 2x x 2cos2x 5)

    cos 2x0

4

x  k   

Bài 44: (Đề thi tuyển sinh ĐH – CĐ 2010, khối A)

Giải phương trình :

1 sin os2 sin

1 4

cos

1 t anx 2

x c x x

x 

 

    

  

(21)

Giải

Điều kiện: cos sin

tan x t anx

x x 

 



     

 

Khi

1 sin os2 sin

1

cos

1 t anx

x c x x

x



 

    

  



   

cos sinx cos 2.sin cos sin cos

4

x x x   x x x

      

 

 1 sinx cos  2.sin sin cos 

x x   x x

     

  (do cosx0)

     

   

 

2

sin cos sin os2 sin cos sin 2sin

tan

sin cos

sin sin

2sin sin

1

sin sin /

2 2

.2

1

sin

7

.2

x x x c x x x x x

x L

x x

x x L

x x

x x t m

x k

x k Z

x k

 

        

 

     

  

 

    

  

  

  

 

    

    

   

Bài 45: Cho hàm số: y= -x3

+3x2+3(m-1)x-3m2+1

1, Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m=1

2 Tìm m để đồ thị hàm số có cực đại , cực tiểu hai điểm cực đại cực tiểu cách đường thẳng x-y-2=0

Giải Điều kiên để hàm số có cực trị : m >0

Chia y cho y’ ta có phương trình đường thẳng qua hai điểm cực tri la: y= 2mx-3m2 +m

Thỏa mãn yêu cầu  TH 1: BA song song với d

TH2: d qua trung điểm AB Đáp số: m=

(22)

m=

21 3

Bài 46: (Đề thi tuyển sinh ĐH – CĐ 2006, khối B) Giải phương trình cot sin tan tan

2 x x x  x 

 

Giải

Lời giải: Điều kiện

cos

s inx s in2x

os

2 x

x c 

 

   

 

 



Ta có

sin

cos s inx 2

cot sin tan tan s inx

2 s inx cos os

2 x

x x

x x x

x x c

 

 

 

        

   

 



cos os s inx.sin

cos 2 2 cos s inx

s inx 4

s inx cos os s inx cos

2

x x

x c

x x

x c

  

 

     

 

 

 

2

4 sin /

sin 2

2

6 12

5

2

6 12

x t m

x

x k x k

k Z

x k x k

   

   

     

 

  

     

 



Bài 47: Giải phương trình : 1 cosxsin 2x  sin 4x

(23)

Điều kiện

2

cos sin sin sin

s in2x s inx s inx s inx

sin os2 1 2sin 0 2

sin

2

x x x x

x c x x

x   

      

  

       

   

       

     



Khi 1 1 2

cosxsin 2x  sin 4x

 

sin 4s inx os2 os2 s inx 2sin s inx-1 sin

1 sin

2

x

c x c x x x

x



  



       



 



Đối chiếu với điều kiện ta  

.2

1 6

sin

5

.2

x k

x k Z

x k

 

   

  

   

Vậy phương trình có nghiệm  

.2

x k

k Z

x k

 

   

 

   

4

sin os

os

tan tan

4

x c x

c x

x x

 

 

     

   

   

Giải

Điều kiện

sin

4

os sin

4

os2 sin

sin sin

4

os

4

x

c x x

x x

c x



 



   

 

  



       

     

          

 

   

       

     



 

   

  

(24)

Nhận thấy tan tan

4 x x

 

     

   

    , phương trình cho trở thành

4 4 4

2

1

sin os os sin os os os

sin os sin

os2

x c x c x x c x c x c x

x

c x x

c x

        

 

     

 

Đối chiếu điều kiện ta sin  

2

x  x k kZ

2

sin os sin cos

x c x

x x

  

Giải Điều kiện sin 2x0

Khi phương trình cho trở thành

2

2 4

2

os sin

sin os os os

sin

os

c x x

x c x c x c x

x

c x

    

       

 

 



Đối chiếu điều kiện ta sin 2  

2

x  x  k    x  k kZ Bài 50: Giải phương trình : cos3 tan5x xsin 7x

Giải

Điều kiện os5c x0

 

2 2sin os3 2sin os5 sin sin12

20 10

k x

x c x x c x x x k Z

k x

  

  

    

   

Với

2 k

x  os5 os5 os os  

2 2

k k k

c xc  c   k c     k m mZ

   

Với

20 10 k

x    os5 os

4

k c xc    

(25)

Vậy phương trình cho có nghiệm ;  , 

20 10

k

xm x    m kZ Bài 51: (Đề thi tuyển sinh ĐH – CĐ, 2011, khối A)

Giải phương trình

1 sin2x+cos 2

2 sinx sin 2 1 cot x

x

 



Giải

Điều kiện sinx 0 cosx 1

 

     

2 2

sin sin os2 2 sin cos 2sin cos os 2 cos

cos /

2cos sinx cos

sinx cos *

x x c x x x x x c x x

x t m

x x

x

       

 

     

 



Giả sử sinx 0 cosx 1,  *   0 (vơ lí) Do phương trình tương đương với

cos

2

cos

2

4

x x k

x

x k

 

 



   

    

      

  

 

Vậy phương trình có nghiệm  

2

x k

k Z

x k

 

   

 

   

Bài 52: Giải phương trình : 3sinx 2cos t anx  cos x

x

   

Giải

Điều kiện c xos  0 sinx 1

(26)

     

 

   

     

1

3s inx 2cos t anx cos 3s inx 2cos cos s inx cos

cos 3s inx 2cos cos 3s inx 2cos cos 3s inx 2cos 3s inx 2cos

cos 1

3s inx 2cos cos

3s inx 2cos

x x x x

x

x x x x

x x x

x

x x

x

        

     

      

  

      

  



 1 cosx1 thoả mãn điều kiện, ta đượcxk2 , kZ

Tiếp theo giả sử c xos  0 sinx 1, thay vào (2) ta 0   (vơ lí)

Tức nghiệm (2) thoả mãn điều kiện Giải (2) ta ar os

13

x  cc k  kZ,

(với os ; sin

13 13

c   )

Vậy phương trình có nghiệm

2

1

ar os

13

x k

k Z

x cc k



 

 

 

   



2

tan t anx

sin

tan

x

x x



    

 

  

Giải

Điều kiện c xos  0 sinx 1

Khi

 

     

    

2

tan t anx 2 2

sin os tan t anx sinx cos

tan 2

1

sin cos sinx sinx cos 2sinx sinx cos sinx cos

2

sinx cos 2sinx *

x

x c x x x

x

x x x x x

x

  

       

 

   

    

        

   

Giả sử c xos  0 sinx 1, thay vào (*) ta    1 1  0(vơ lí)

Tức nghiệm (*) thoả mãn điều kiện

Giải (*) ta ; ;  

4 6

x  k x  k  x  k  kZ

(27)

Giải

Điều kiện  

   

1

os5 10 5

,

os2

2

4

x m

c x

m n Z

c x

x n

 

   



  

  

   



phương trình tương đương với

 

1

tan tan cot

tan 14

x x x x k k Z

x

 

      

+ Đối chiếu điều kiện (1)

Giả sử

14 10 5

m

k m k m

          

Do k m, Z nên : 2

5

m t

t Z t  m t 

     

Lại t m Z,  nên : 2

t

s Z s  t s

     

Từ k 7s Suy

14

x  k với k7s3 thoả mãn phương trình + Đối chiếu điều kiện (2)

Giả sử 14  3

14 k7 n2 k n

        

Ta thấy vế trái (3) chẵn, vế phải (3) lẻ nên không tồn k n Z,  thoả mãn (3) Từ suy điều kiên (2) ln thoả mãn

Vậy phương trình cho có nghiệm  

14

x  k kZ

Bài 55: (Đề thi tuyển sinh ĐH – CĐ 2011, khối D)

Giải phương trình sin2x +2cos sinx 1 0

tanx + 3

x  

(28)

Điều kiện t anx 3  ,  cos

2

x m

m n Z

x x n

 

    

  

  

 



   



Khi phươngtrình cho trở thành

   

  

sin2x +2cos sinx 2cos sinx sinx

sinx x

2

sinx 2cos 1

cos

2

3

x x

k x

x

x k

 

       



    

 



      

    

 

Kết hợp với điều kiện đường trịn lượng giác (như hình bên)

ta nghiệm phương trình  

3

x  k  kZ

Bài 56: (Đề thi tuyển sinh ĐH – CĐ 2006, khối A)

Giải phương trình  

6

2 cos sin sin cos

0 2sin

x x x x

x

 

 

Giải

Điều kiện  

2

sinx ,

3

2

x m

m n Z

x n

 

   

  

  



 

6

2

2 cos sin sin cos

3

2 sin sin

4

3sin sin sin

x x x x

x x

x x x

x  k k Z

  

 

    

 

     

   

Kết hợp với điều kiện đường trịn lượng giác (như hình bên) ta nghiệm

phương trình  

5

x  k  kZ

3 

2  

2 

3 

3  

O

y

x

o y

x 

4 

5

(29)

Bài 57: Giải phương trình : sin sin sin

x x

x

  

Giải

Điều kiện sin 3

3 x  xk  x k

Khi sinsin 3sin sin sin sin

2sin cos sin

x x

x x x

x

x x x

      

  

 

sin

sin 2cos 1

cos

2 x

x x

x  



   

  

2 x k

x k



 

    

    

Kết hợp với điều kiện đường tròn lượng giác Ta nghiệm phương trình

2

x  k

Bài 58: [ĐH A02] Tìm x0;2:5 sin x cos3x sin 3x cos 2x 2sin 2x



   

  

 

Giải

Điều kiện : sin 2 x 

cos3x sin 3x sin x 2sin x sin 2x cos3x sin 3x

5 sin x

1 2sin 2x sin 2x

   

    

     

   

sin cos cos3 cos3 sin

1 2sin

x x x x x

x

   

 

   

sin sin cos 2sin cos cos

5

1 2sin 2sin

x x x x x x

x x

  

   

    

 

   

cos (1 2sin )

5 5cos

1 2sin

x x



 

  



 

(1)

5cosx cos2x 2cos x 5cosx

      

cos (L)

cos cos

2

x

x 

  



  

O x

2  

y 

3 

3  

3 

4

(30)

cos cos

x  

2

x k

k

x k

 

   

 

    

Vì x0;2 Nên nghiệm phương trình : ;

3

x x 

Bài 59: [ĐH B02] 2 2

sin 3x cos 4x sin 5x cos 6x Giải

2 2

sin 3x cos 4x sin 5x cos 6x

1 cos cos8 cos10 cos12

2 2

x x x x

   

   

cos12x cos10x cos8x cos6x

   

2cos (cos11x x cos7 )x 4cos sin9 sin 2x x x

    

2 k x

k k x

    

 

  

Bài 60: [ĐH D02] Tìm x0;14 : cos3x 4cos 2x 3cos x 4   0

Giải

Tìm x0;14 : cos3x 4cos 2x 3cos x 4   0 (1)

Ta có :

cos3x4cos x3cosx

(1)cos3x3cosx4(1 cos2 ) x 0

3

4cos x 8cos x

  

 

2

4cos x cosx cosx

     ;

2

x  k k Vì x(0;14) ;3 ;5 ;7

2 2

x   

 

Bài 61: [Dự bị ĐH02] Xác định m để phương trình sau có nghiệm thuộc 0; 

 

 

 

 4 

2 sin x cos x cos 4x sin 2x m  0

Giải

Xác định m để phương trình sau có nghiệm thuộc 0; 

 

 

 :

 4 

(31)

(1)  2 

2 2sin xcos x sin 2x 2sin 2x m

      

2

3 m 3sin 2x 2sin 2x

    

2

3t 2t (m 3)

     (2) với tsin 2x

Ta có : 0;  0;  0;1

x  x   t

 

Bài toán thành : Xác định m để phương trình sau có nghiệm thuộc đoạn  0;1

(2)

3t 2t m

   

Đặt

2

3 (P) d

y t t

y m

  

  



Số nghiệm (2) số giao điểm d (P) Khảo sát hàm số : y3t22t t 0;1

' y  t

1

'

3

y      t t

BBT

Phương trình (2) có nghiện đoạn  0;1

1

3

10

2

m m     

    

Bài 62: [Dự bị ĐH02]

4

sin x cos x 1

cot 2x

5sin 2x 8sin 2x

  

Giải

4

sin x cos x 1

cot 2x

5sin 2x 8sin 2x

  

(1) Điều kiện : sin 2x0

(1)

2

1 2sin cos 1

cos

5

x x

x 

  

2

sin 5

1 cos 2 (1 cos ) 5cos

2

x

x x x

        

1 x

'

y y



 

0

1 



(32)

2

9 cos ( )

9 2

cos 5cos

1

cos 2

x L

x x

x

 



     

 



2

3

cos cos

2

3

x k x k

x k

x k x k

   



   

     

 

   

       

 

 

Bài 63: [Dự bị ĐH02]  

2

4

2 sin 2x sin 3x tan x

cos x 

 

Giải

Điều kiện : cosx0

(1)sin4xcos4x (2 sin )sin 32 x x

2

sin

1 (2 sin )sin

2

2 sin (2 sin )2sin x

x x

x x x

   

2

(2 sin )(1 2sin ) 1 2sin sin

2

x x

   

     ;sin 3x sin6  

3

6

3

6

18

5

18

x k

k x

 

   



  



   



  



k

Bài 64: [Dự bị ĐH02] tan x cos x cos x2 sin x tan x.tan x

2

 

     

 

Giải

2 x

tan x cos x cos x sin x tan x.tan

 

     

  (1)

Điều kiện :

cos

2 x x

  

 



Ta có : 1 tan tan 1 sin sin2 cos cos2 sin sin2

2 cos cos cos cos

2

x x x

x x



(33)

cos

1

cos cos cos

2 x x

x x

x

  

 

 

 

(1) sin

tan cos cos

cos x

x x x

x

   

cos (L) cos (1 cos )

cos x

x x

x  

    



  x k2 ; k

Bài 65: [Dự bị ĐH02] Cho phương trình : 2sin x cos x a

sin x 2cos x

  

 

a) Giải phương trình với a=1

b) Tìm a để phương trình có nghiệm

Giải

a)Với

3

a , phương trình thành : 2sin x cos x 1 sin x 2cos x 3

  

  (1)

vì : sinx2cosx   3 x

(1)

6sin 3cos sin 2cos

5sin 5cos sin cos

2 sin sin

4

x x x x

x  x 

     

     

   

       

   

sin

4 4

x  x  k x  k

         

 

 

k

b) 2sin x cos x a sin x cos x a sin x 2cos x 3  sin x 2cos x

        

 

(2 a)sinx (2a 1)cosx 3a

      (2)

Điều kiện để phương trình (2) có nghiệm :   2  2 2

2a  2a1  3a1 4a 6a 4

2 a    

Bài 66: [Dự bị ĐH02] 12 sin x 8cos x 

(34)

2

sin x

8cos x  (1)

Điều kiện : cos

sin x x

 

 



(1) 2

2

sin 8sin cos

8cos x x x x

   

2

2sin cos 4

2

k

x x x  k x  

          

Vì : sinx0

2

x  m ;

8

x  m  ;m ;

8

x  m  ;

8

x  m 

Bài 67: [ĐH A03] cos 2x

cot x sin x sin 2x

1 tan x

   



Giải

cos 2x

cot x sin x sin 2x

1 tan x

   

 (1)

Điều kiện : sin

tan

x x

 

  



(1)

2

cos cos sin

1 sin (sin cos )

sin

sin 1

cos

x x x

x x

x 

    



 

2

cos sin cos (cos sin )

sin (sin cos )

sin sin cos

cos sin

cos (cos sin ) sin (sin cos ) sin

(cos sin ) sin sin cos

x x x x x

x x x

x x

x x x x x x

x

x x x x x

 

   

 

    

    

2

cos sin

sin sin cos

x x

x x x

 



    



* cos sin cos

4 x x  x

 

cos ;

4 4

x  x   k x  k k

 

           

 

* cos sin

sin sin cos 1

2

x x

x x x      

sin 2x cos 2x

    ( vô nghiệm )

Bài 68: [ĐH B03] cot x tan x 4sin 2x sin 2x

(35)

Giải

Điều kiện : sin 2x0

(1) cos sin 4sin 2

sin cos sin

x x

x

x x x

   

 

2

cos sin

4sin

sin cos sin

2cos 4sin 2 2cos cos 2

x x

x

x x x

x x x x



  

      

2

cos

2cos cos 1

cos 2 x

x x

x  



    

  



3 x k

k

x k



 

 

 

    

Bài 69: [ĐH D03] x 2x

sin tan x cos

2



    

 

 

Giải

(1)  

2

1 sin

1 cos cos

2 cos

x

x x

x 

  

       

 

 

   

     

2

1 sin sin cos cos

1 sin cos cos sin

x x x x

   

     

1 sinx1 cosxsinx cosx

    

sin sin 2

cos cos

sin cos

sin

4

x k

x x

x x x k

x x

x k

x

 



 

   

 

 

 

 

        

 

    

       

 

   



So với điều kiện : cosx0 Nghiệm (1) :

2

x k

k

x k

 

  

 

    

Bài 70: [Dự bị ĐH A03] 3 tan x tan x  2sin x6cos x0 Giải

 

3 tan x tan x 2sin x 6cos x0 Điều kiện : cosx0

sin sin 2sin cos

3 6cos

cos cos

x x x x

x

x x



 

    

(36)

 

   

  

2 2

2

3cos sin 2cos 6cos

3cos 2cos sin 2cos

1 2cos 3cos sin

x x x x

x x x

    

    

   

2

2 cos

1 2cos 2 1

cos

1

4cos

cos x x

x x

x

  



 



   

  

 



1

1 cos cos cos

2

x x 

       >

2

cos cos

2

3

x k

x

x k

 



 

  



  

   



3

x k

k

x k

 

   

 

    

Bài 71: [Dự bị ĐH A03]   cos 2x cos x 2tan x 1  2

Giải

2 2sin

cos cos

cos x

x x

x

   

2

2 2sin

cos cos 2sin cos

1

2sin 1 cos

cos x

x x x

x

x x

x

     

 

    

 

2

2(1 cos x)(1 cos )x (1 cos ) cosx x

    

 

1 cosx 2(1 cos )x cosx

     

2

cos

1 cos

2cos 5cos

2 x x

x

x x

  

 

 

 



  

  ->

3

x k

 

  



    

Bài 72: [Dự bị ĐH B03]

3cos4x 8cos x 2cos x 3 0 Giải

3cos4x 8cos x 2cos x 3 0

2

3(1 cos ) 2cosx x(4cos x 1)

(37)

 

2 2

2

4

6cos 2cos (2cos 1)(2cos 1) 6cos cos (2cos 1) cos

cos 3cos cos (2cos 1) cos 2cos 5cos

cos

2cos 5cos

x x x x

x x x

x

x x

    

   

 

    

   

 

    



* cos 2

2

k

x  x  k  x   ; k

*

2

4 2

2

cos

2cos 5cos 3 sin

cos ( )

2 x

x x x

x L

 



     

 

> k x

k x k

 

   

 

   Bài 73: [Dự bị ĐH B03]

  x

2 cos x 2sin

2 2cos x



 

    

  

 Giải

Điều kiện :cos x

(1)

(2 3) cos cos 2cos

2

2cos cos sin 2cos cos sin

3

cos sin cos cos sin sin

2 6

cos ;

6

x x x

x x x x

x x

x x x x

x x k x k k



 

     

  

       

 

 

     

  

     

 

           

 

Vì : cos

x Nên nghiệm phương trình : ;

x  k  k

Bài 74: [Dự bị ĐH D03]    

2

cos x cos x

2 sin x sin x cos x



 



Giải

Điều kiện : sin cos sin x x x

 

(38)

  

  2 

1 sin (1 sin )(cos 1) 2(sin cos )

1 sin cos sin cos sin 2sin 2cos sin sin sin cos cos

1 sin (1 sin ) cos (1 sin )

sin

1 sin cos

cos

x x x x x

x x x x x x x

x x x x x

x x x x

x

x x

x

      

       

     

  

     

  

Bài 75: [Dự bị ĐH D03] cot x tan x 2cos 4x sin 2x

 

Giải

2

2 cos sin cos sin cos sin cos cos sin cos

cos cos 2cos cos cos 1( )

1

cos cos

2

x x x

x x x x

x x x

x x x x

x L

x 

  

     

 





   

 ;

3

x   k k

Bài 76: [ĐH B04] 5sin x 2 3(1 sin x) tan x Giải

2

(5sin 2)(1 sin ) 3sin

1

sin sin

2sin 3sin 2

sin

x x x

x

x x

x



   

  



    

  



2

x k

k

x k

 

   

 

   

Bài 77: [ĐH D04] 2cos x 2sin x cos x   sin 2x sin x Giải

Điều kiện : sin 2x 0 cos 2x 1 (1) cot tan 2cos

sin x

x x

x

  

2

5sin x 2 3(1 sin x) tan x Điều kiện : cosx0

2 3sin

5sin (1 sin )

1 sin x

x x

x

   



(39)

  

(2cos 1)(2sin cos ) sin (2cos 1)

2cos sin cos

1

cos cos cos

2cos

sin cos

2 sin sin

4

x x x x x

x x x

x x

x

x x



 

    

   



  

 



  

  

       

      



    

 

Bài 78: [Dự bị ĐH A04] sin xsin 2x cos x cox2x Giải

Bài 79: [Dự bị ĐH A04] sin x  cos x 1 Giải

sin xsin 2x cos x cox2x sin sin cos cos sin cos cos sin

1 3

sin cos cos sin

2 2

x x x x

   

   

sin cos

3

sin cos sin

3 3

sin sin

3

sin

3

2sin cos

2

cos

2

x x

x x x

x x

x

x x

x

 

   

 

   

      

   

 

     

           

      

   

      

   

   

 



      

      



    



2

9

2

x

k x

k k x

x k

k

 

  

 

   

   



  



Chú ý : sin x0 ; cos x0

(1) 2 (sinxcos ) (1 sin )(1 cos )x   x  x 1 (sinx cos ) (sinx x cos ) sin cosx x x

        (2)

Đặt : tsinxcosx ; t  ,khi :

2 sin cos

2 t

(40)

2

(2)

2

1 ( 1)

t t

t

t t t t

 

   

         

(3)

1 sin cos cos cos

4

t x x x  

        

 

2

4

2

4

x k

  

    

 

     

2

2 k

k x k

 

   

 

 

Bài 80: [Dự bị ĐH B04] 4 sin x cos x3 cos x 3sin x Giải

 

3

2

4sin 4cos cos 3sin

4sin 4cos (1 sin ) cos 3sin 4sin 3cos 4sin cos 3sin 3(cos sin ) 4sin (cos sin ) (cos sin ) 4sin

2 cos

4

cos sin

3 sin

3

2 sin

4

sin

x x x x

x x x x x

x x x

x

x x



    

     

    

    

   

  

 

 

 

 

  

 

3 x       

  





4

x k

k

x k

 

   

 

    

Bài 81: [Dự bị ĐH B04] 1 2 cos x

cos x sin x



 

    

 

Giải t t

    (3) ( nhận xét suy : t1 )

 3 

4 sin xcos x cos x 3sin x

1 2 cos x

cos x sin x



 

    

  Điều kiện : sin 2x0

(1) sin cos 2 cos

x x x  

     

(41)

Bài 82: [Dự bị ĐH D04] sin 4xsin 7xcos3x cos6x

Giải

.

   

1

cos11 cos( ) cos cos

2

cos11 cos cos cos cos11 cos

10 10

cos10 2 20

2cos10 cos

cos

2

x x x x

x x

x k

x

x x k

x

x k x k



  

   

     

    

  



    

 

 

     



      



 

Bài 83: [Dự bị ĐH D04] sin 2x2 sin x cos x 5 Giải

cos

4

x  x   k  k

 

         

 

Bài 84: [ĐH A05] 2

cos 3xcos2x cos x 0

Giải

 

1

2 cos 2 cos sin

4

cos sin

4

cos 4 2

4

2

sin

2

x x x

x x

x k

x

k

x k

x

 



 

   

       

   

 

     

 



       

 



    

   

  

 

>

4

x k

k

x k

 

   

 

   



k

x  

  

 

sin 2x2 sin xcos x  5 (1)

Đặt tsinxcosx với  2 t sin 2x t 2 1

(1) 2

2 t

t t

t  

     

  

(42)

2

(1 cos ) cos cos

2

cos cos cos cos

cos cos cos8 cos 2cos cos

cos

2cos cos 3

cos

x x x

x x x x

x x

x

x x

x

 

  

    

      

    

 



    

  

Bài 85: [ĐH B05] 1 sin cos x sin 2x cos 2x    0

Giải

 

2 sin cos 2sin cos 2cos (sin cos ) 2cos (sin cos )

sin cos

(sin cos ) 2cos 1 2

cos cos

2

x x x x x

x x

x x x

x 

    

 

 

    

   

Bài 86: [ĐH D05] 4

cos x sin x cos x sin 3x

4

 

   

        

   

Giải

2

1

1 2sin cos sin sin

2 2

2 sin cos sin

x x x x

x x x



   

        

 

 

     

2

sin (1 2sin ) sin sin sin sin 2

sin 2

x x x

x

x x

x

      

 

     

  

Bài 87: [Dự bị ĐH A05] Tìm x 0; x 4sin cos 2x 2cos x

2



 

     

 

Giải

Tìm x 0; : x

4sin cos 2x 2cos x

2



 

     

 

3 2(1 cos ) cos 1 cos

2

x x  x 

        

 

2 2cosx cos 2x sin 2x

    

2cosx cos 2x sin 2x

    (chia vế cho 2)

2

cos 3xcos2x cos x 0

sin cos x sin 2x cos 2x    0

4

cos x sin x cos x sin 3x

4

 

   

        

(43)

3

cos cos sin cos( ) cos

2

x x x  x  x  

         

 

2

6

cos cos( )

6

2

6

x x k

x x

x x k

  

 

  

     

 

      

       



1

2

18 ;

7

2

k x

k k

x k

 

   

 

    

Vì  

1

5 17

0;1 ;

(0; ) 18 18

k

k x x

k

 

  

    

  

Vì

2

5

(0; )

k

k x

k

 

 

     



5 18

3 17

cos sin

2 18

5 x

x x x

x 

 

    

     

  

  

  

Bài 88: [Dự bị ĐH A05]

2 cos x 3cos x sin x



    

 

 

Giải



    

 

 

3

3 2

2 cos 3cos sin

4

(cos sin ) 3cos sin

cos sin 3cos sin 3cos sin 3cos sin

x x x

x x x x

x x x x x x x x



  

      

 

 

    

      

3

3 2

cos

sin sin

cos

1 tan 3tan 3tan 3(1 tan ) tan (1 tan ) x

x x

x

x x x x x x

 



 

 

  



        



2

sin cos

tan tan

x x

   

 

 

(44)

Bài 89: [Dự bị ĐH B05]



    

 

 

Giải

3



    

 

 

3

3 2

2 cos 3cos sin

4

(cos sin ) 3cos sin

cos sin 3cos sin 3cos sin 3cos sin

x x x

x x x x

x x x x x x x x



  

      

 

 

    

      

3

3 2

cos

sin sin

cos

1 tan 3tan 3tan 3(1 tan ) tan (1 tan ) x

x x

x

x x x x x x

 



 

 

  



        



2

sin cos

tan tan

x x

   

 

 

 

Bài 90: [Dự bị ĐH B05]

2 cos 2x

tan x 3tan x

2 cos x

 

   

 

 

Giải

2 cos 2x

tan x 3tan x

2 cos x

 

   

 

  (1)

Điều kiện : sin 2x0 (1)

2

2 2sin cot tan

cos x

x x

x

    

2

1

tan tan tan

tanx x x x

         -> ;

4

x   k k

Bài 91: [Dự bị ĐH D05] tan x sin x

2 cos x



   

  

 

Giải

tan x sin x

2 cos x



   

  

(45)

(1)

 

2

sin cos sin

cot 2

1 cos sin cos

cos (1 cos ) sin 2sin (1 cos ) cos cos sin 2sin (1 cos )

cos 1( )

(1 cos ) 2sin 1

sin sin

2

x x x

x

x x x

x x x x x

x L

x x

x 

     

 

    

  



    

  

Bài 92: [Dự bị ĐH D05] sin 2x cos 2x 3sin x cos x 2    0

Giải

sin 2x cos 2x 3sin x cos x 2    0

2

2sin cos 2sin 3sin cos 2sin (2cos 3)sin cos (1)

x x x x x

x x x x

      

     

Chú ý : (1) phương trình bậc với biến sinx

Ta có :  (2cosx3)28(cosx 1) (2cosx1)2

Nghiệm (1) :

2cos 2cos

sin cos

4

2cos 2cos 1 sin

4

x x

x

  

   



   

  

 

2

1

sin sin

5

2

x k

 



 

   

   

   

1

sin cos sin cos sin sin

4

x x  x x  x  

 

Bài 93: [ĐH A06]  

6

2 cos x sin x sin x cos x 2sin x

 

 

Giải

 6 

2 cos x sin x sin x cos x 2sin x

 



 (1) điều kiện :

2 sin

2 x

(1)  6 

2 sin cos x sin cosx x

   

2

3sin

2 sin

4

sin

3sin sin 4

sin x

x

x x

x

 

    

 

 



    

(46)

sin 2 ;

2

x  x  k   x  k k

vì : sin 2 x

2

x k

 

   

 

  



Nghiệm (1): ;

x  k  k

Bài 94: [ĐH B06] cot x sin x tan x tanx

 

   

 

Giải

x cot x sin x tan x tan

2

 

   

  (1)

Điều kiện :

sin

cos

2 x x

 



 

 Ta có :

1 tan tan

2 cos x x

x

 

(1) cos sin 4

sin cos sin cos

x x

x x x x

    

2

1

2sin sin sin

5

2

6

x k

x x

x k

 



 

  



      

  



Bài 95: [ĐH D06] cos3x cos 2x cos x 0   

Giải

cos3x cos 2x cos x 0   

 

2

cos cos cos 2sin sin 2sin

2sin sin sin 2sin (2sin cos sin ) sin

2sin 2cos 1

cos cos

2

x x x

x x x x x x x

x

x x

x 

    

  

     

  

   

  

Bài 96: [Dự bị ĐH A06] 3

cos3x cos x sin 3x sin x

8 

 

Giải

3 3

cos3x cos x sin 3x sin x

8 

(47)

Ta có

 

3

1

cos 4cos 3cos cos cos 3cos

4

sin 3sin 4sin sin 3sin sin

x x x x x x

    

    

(1) cos3 cos3 3cos  sin 3sin sin 

4 x x x x x x



 

     

   

 

2

2 cos cos 3cos sin 3sin sin

2 cos 3cos cos 3sin sin sin

2

1 cos cos sin sin 2

cos sin ;

2 4

x x x x x x

x x x x

x  x  k  k



    

     

    

       

Bài 97: [Dự bị ĐH A06]2sin 2x 4sin x



    

 

 

Giải

2sin 2x 4sin x



    

 

 

 

2

2 sin cos cos sin 4sin

6

3 sin cos 4sin sin cos 4sin 2sin 2sin cos sin

sin

cos

3 cos sin

6

x x x

x x x x

x x x

x k

x

x x

 

 

     

 

    

   

  

 

   

  

    

   

Bài 98: [Dự bị ĐH B06]     2sin x tan 2x 2cos x 1   0

Giải

(48)

(1)  

2

cos tan 3cos

cos tan tan tan tan

tan 3

tan tan 2 tan

x x x

x x

 

   

    

 



 



 

 

  

    

 



Bài 99: [Dự bị ĐH B06] cos 2x 1 2cos x sin x cos x  0 Giải

cos 2x 1 2cos x sin x cos x  0

 

2

(cos sin ) (1 2cos )(sin cos ) (cos sin ) cos sin 2cos

cos

cos sin

sin cos 1

sin sin

4

x x x x x

x

x x

x 

 

     

     

   

 



 

   

 



   

    

 

 



4

2

4

3

2

4

x k x k

x k x k k

x k

    

      

 

       

   

    

 

 

Bài 100: [Dự bị ĐH D06] 3 cos x sin x 2sin x1

Giải

3

(49)

  

  

   

   

2

sin cos sin cos cos sin cos sin cos cos sin sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos (1 sin ) sin cos sin cos

sin

4

sin cos

sin

2 cos

x x x x x

x x x x x x

x x x x x

x x x x

x

x x

x

 

   

    

     

 

      

    

  

 

 

 

 

     

 



2

k x k

  

 

 

 

   

Bài 101: [Dự bị ĐH D06]

4sin x 4sin x 3sin 2x 6cos x   0 Giải

3

4sin x 4sin x 3sin 2x 6cos x   0

2

4sin (sin 1) 6cos (sin 1) (sin 1)(4sin 6cos )

(sin 1) 4(1 cos ) 6cos

sin

cos

2cos 3cos

1 cos

2

x x x x

x x x

x x

x

x x

x

    

   

 

     



  

 

 

  

  

 

  



Bài 102: [ĐH A07] 1 sin x cos x   1 cos x sin x2   1 sin 2x Giải

   

1 sin x cos x  1 cos x sin x 1 sin 2x

 

2 2

2 cos sin cos sin cos sin (sin cos ) (sin cos ) sin cos (sin cos ) (sin cos ) (sin cos ) sin cos sin cos

sin cos

(sin cos )(1 sin )(1 cos ) sin cos

x x x x x x x x

x x x x x x

x x

x x x x x

x

     

      

     

 

 

       

  

 Bài 103: [ĐH B07]

2sin 2x sin 7x sin x  

Giải

(50)

 

sin sin 2sin 2cos sin cos

cos

cos 2sin 1

sin sin

2

x x x

x

x x

x 

    

  

 



   

  

Bài 104: [ĐH D07]

2

x x

sin cos cos x

2

    

 

 

Giải

2

x x

sin cos cos x

2

    

 

 

1 sin cos sin cos

2

1

sin sin

5

3

2

3

x x

x k

x

x k

  

 

  

   

  

    

 

      

     



Bài 105: [Dự bị ĐH A07] sin sin 1 2cot 2sin sin

x x x

x x

   

Giải

1

sin sin 2cot

2sin sin

x x x

x x

    (1) điều kiện : sin 2x0

(1)

sin 2x sin sinx x cosx 2cos 2x

    

2

2 sin cos (2sin 1) 2cos

cos cos cos 2cos cos (cos cos 2)

cos cos (2cos cos 1)

2cos cos ( )

x x x x

x x x

x

x x x

x x VN

    

   

 

     

  

 Bài 106: [Dự bị ĐH A07]

2cos x2 3sin cosx x 1 3(sinx cos )x

(51)

2

2cos sin cos 3(sin cos ) 2cos sin 2 3(sin cos ) cos sin 2 3(sin cos )

1 3

2 cos sin sin cos

2 2

2 2cos 6cos

3

1 cos 3cos

6

x x x x x

x x x x

x x x x                                                           

2cos 3cos

6

cos

6

cos 2cos

6

cos x x x x x x                                                                   

Bài 107: [Dự bị ĐH B07] sin cos cos3

2 4

x  x  x

     

   

   

Giải

5

sin cos cos

2 4

x  x  x

     

   

   

5

sin sin cos

2 4 2

x    x  x

   

       

    

3

2cos sin cos

4 2

3

2cos cos cos

4 2

3

cos

2

cos 2cos

2 cos x x x x x x x x x x                                                              3 ; 2 k x

x k k

x k                     

Bài 108: [Dự bị ĐH B07] sin cos tan cot cos sin

x x

x  x  

Giải sin cos

tan cot cos sin

x x

(52)

(1) cos cos sin sin sin cos

sin cos cos sin

x x x x x x

x x x x



  

2

cos sin cos

sin cos sin cos cos cos

cos ( )

2cos cos 1

cos

x x x

x x x x

x x

x L

x x

x 

 

  

  



    

 

Bài 109: [Dự bị ĐH D07] 2 sin cos 12

x  x

   

 

 

Giải

2 sin cos

12

x  x

   

 

 

2 sin sin

12 12

1

sin sin

12 12

sin sin sin 2sin cos

12 12 12

5

sin cos cos sin

12 12 12 12

x x x x

 

    

   

     

 

 

 

    

 

 

     

 

   

       

   

5

2

12 12

2

12 12

x k

  

    

 

   



Bài 110: [Dự bị ĐH D07] (1 tan )(1 sin ) tan x  x   x

Giải

(1 tan )(1 sin ) tan x  x   x (1) điều kiện : cosx0

(1) cos sin sin cos

.(sin cos )

cos cos

x x x x

x x

 

  

 

2

(cos sin )(sin cos ) cos sin

(cos sin ) (cos sin )(cos sin ) (cos sin )(cos sin 1)

cos sin

(cos sin )(cos 1)

x x x x x x

x x x x

x x

x x x

    

     

    

 



     

(53)

cos

4

2 cos

x x k

x k x

   



       

 

 

   



  



Bài 111: [ĐH A08] 1 4sin x

sin x



 

    



    

 

 

Giải

1

4sin x

3

sin x



 

    



    

 

 

(1)

Điều kiện : sinx0 sin

x 

  

 

 

(1) 1 2(sin cos )

sinx cosx x x

    

Chú ý : sin cos

x  x

  

 

 

sin sin sin cos 

4 x x x x

 

        

   

   

(1) 1 2(sin cos )

sinx cosx x x

    

 

sin cos

2 2(sin cos ) sin cos

1

(sin cos ) 2

sin cos

1 sin

2 sin cos 2

sin sin sin

2

x x

x

x x

x x 



   

 

    

 

 



   

      

    

    



Bài 112: [ĐH B08] 3 2

sin x cos xsin x cos x sin x cos x Giải

3 2

sin x cos xsin x cos x sin x cos x

2 2

sin (cos sin ) cos (cos sin ) cos (sin cos )

cos cos

sin

sin cos

3

x x x x x x

x x x

x x

x

x x 

    

  

 



 

   

 

   

(54)

 

2sin x cos 2x sin 2x 1 2cos x

4sin cos sin 2cos sin (2cos 1) (1 2cos ) (2cos 1)(sin 1)

1

2cos cos

2 sin

sin

x x x x

x x x

x x

x

   

    

   



   

 

 



  

Bài 113[ĐH D08] 2sin x cos 2x  sin 2x 1 2cos x Giải

 

2sin x cos 2x sin 2x 1 2cos x

4sin cos sin 2cos sin (2cos 1) (1 2cos ) (2cos 1)(sin 1)

1

2cos cos

2 sin

sin

x x x x

x x x

x x

x

   

    

   



   

 

 



  

Bài 114: [CĐ 08] sin 3x cos3x2sin 2x Giải sin 3x cos3x2sin 2x

1

sin cos3 sin

2

3 2

3

sin sin

3

3 2

3

x x x

x x k

x x k

x x k

 



  

  

    

 

     

      



Bài 115: [Dự bị ĐH A08] tanxcotx4cos 2x

Giải

tanxcotx4cos 2x (1) điều kiện : sin 2x0

(1) cos sin

4cos sin cos

x x

x

x x

(55)

2

cos 2cos sin cos sin cos

2

cos 2

cos (1 sin )

sin

4

x x x

x k

x

x x

x

x k

 

  

  

 



     

 

    



Bài 116: [Dự bị ĐH A08] sin sin

4

x  x 

     

   

   

Giải

sin sin

4

x  x 

     

   

   

   

2

1

sin cos sin cos

2

sin sin (1 cos ) cos sin (2cos 1) 2cos cos sin (2cos 1) cos (2cos 1) (2cos 1)(sin cos )

1 cos

2cos

sin cos

sin

4

x x x x

x x x

x x

x 

    

     

    

    

   

 

  

 

 

    

   

  



Bài 117: [Dự bị ĐH B08] 2sin sin

3

x  x 

     

   

   

Giải

2sin sin

3

x  x 

     

   

(56)

   

3 1

sin cos sin cos

2 2

1 2sin

sin cos sin cos

2

3 cos sin sin sin (1 sin )( cos sin )

2

sin 2

3 cos sin sin 0

3

x x x x

x

x x x x

x x x

x k

x

x x x

 



 

    

 



    

    

   

   

 



 

 

  

   

  



Bài 118: [Dự bị ĐH B08] 3sin cos 2 sin 2 4sin cos2 x

x x x x

Giải

3sin cos sin 4sin cos x

x x x x

2

1 cos 3sin cos sin 4sin

2 3sin cos sin 2sin sin

cos sin 2sin sin

sin 1

sin sin

2

x

x x x x

x x x x x

x x x x

x

x 



 

     

 

    

      

  

  

    

  



Bài 119: [Dự bị ĐH D08]  4 

4 sin xcos x cos 4xsin 2x0

Giải

 4 

4 sin xcos x cos 4xsin 2x0

2

2 sin

4 1 2sin sin

2

sin

4sin sin 5

sin ( ) x

x x

x

x x

x L

 

      

 

  



    

 

Bài 120: [Dự bị ĐH D08]

2

tan tan

sin

tan

x x



    

 

  

(57)

2

tan tan

sin

tan

x x



    

 

   (1) điều kiện : cosx0

(1)  

2

tan tan

sin cos

tan

x x

x 

  



 

   

  

2

2cos tan tan sin cos

sin sin cos

2cos sin cos

cos

2sin sin cos sin cos

sin cos 2sin

sin

sin cos 4

2sin 1

sin cos

2

x x x x x

x x x

x

x x x x x

x x x

x

x x

x

x 



   

  

   

 

    

   

   

 



 

   

 

 

  

 Bài 121: [ĐH A09]

Giải

(1) điều kiện :

sin 1 sin

2 x x

  

  



(1) 1 2sinxcosx 3(1 sin )(1 sin ) x  x

 

2 cos sin sin 2sin cos sin cos sin cos sin sin cos

1 3

cos sin sin cos

2 2

2

6

cos cos

3

2

6

2

18

x x x x

x x k

x x

x x k

x k

k k x

  

 

  

 

    

   

     

   

       

         

   



 

    

Bài 122: [ĐH B09] sin xcos x sin 2x 3 cos3x2 cos 4x sin x   (1 2sin x) cos x

3 (1 2sin x)(1 sin x)

 

 

(1 2sin x)cos x

3 (1 2sin x)(1 sin x)

 

(58)

Giải

 

sin xcos x sin 2x cos3x2 cos 4x sin x

 

sin 2sin cos sin cos3 2cos sin cos cos sin cos3 2cos sin 3 cos3 2cos

1

sin cos3 cos

2

x x x x x x

x x x

    

   

  

4

6

cos cos

6

4

6

x x k

x x

x x k

 



 

   



 

     

      



Bài 123: [ĐH D09] cos5x2sin 3x cos 2xsin x0 Giải

cos5x2sin 3x cos 2xsin x0

 

3 cos sin sin sin

3

3 cos sin 2sin cos sin sin

2

5

3

sin sin

2

3

5

3

x x x x

x x x x x x

x x k x k

x x

x x k x k

   



   

    

     

      

 

 

     

        

 

 

Bài 124: [CĐ 09]

(1 2sin x) cos x sin x cos x    Giải

(1 2sin x) cos x sin x cos x   

   

2

(1 4sin 4sin ) cos sin cos

cos 2sin 4sin cos sin cos

sin sin

2sin sin 2sin 2

sin

x x x x x

x x x x x x

x

x x x

x



     

      

  



     

  

Bài 125: [ĐH A10]

1 s inx os2 sin

1

cos

1 t anx

c x x

x 

 

    

   

(59)

         

1 sinx cos2x sin x

4 1 cosx

1 tanx 2 Điều kiện:

 



  

cosx

tanx

pt      



1 sinx cos2x sinx cosx

cosx sinx

1

cosx

     

 



cosx sinx cos2x sinx cosx

cosx cosx sinx

 1 sinx cos2x 0  2cos x sinx 02   2 sin x sinx 0   

2sin x sinx 02   

 

 

 

 

 



1 17

sinx >1 (loại)

1 17

sinx (thỏa đk)

4

 

   

  

  

  

 

  

     

  

 



1 17

x arcsin k2

4

k Z

1 17

x arcsin k2

4

Bài 126: [ĐH B10] sin2x+cos2xcosx2cos 2xsinx0 Giải

(sin2x + cos2x)cosx + 2cos2x – sinx =

 cos2x (cosx + 2) + sinx (2cos2x – 1) =

 cos2x (cosx + 2) + sinx.cos2x =

 cos2x (cosx + sinx + = 0)  cos2x =

 2x =

2 k    

x =

4 k2   

(k  Z)

Bài 127: [ĐH D10] sin 2x c os2x3sinxcosx 1

(60)

Bài 128: [ĐH A11] 1 sin 2 os2 sin x sin cot

x c x

x x

  



Giải

1 sin2 cos

2.sin sin2 cot

x x

x

  



 sin2x(1 sin2 xcos )x 2 sin2xcosx (ĐK : sinx ≠ 0)

1 sin 2x cos 2x 2 cosx

   

2

2cos x 2sin cosx x 2 cosx

   

 2cos (cosx xsinx 2)0  cosx = hay cosx + sinx =

 cosx = hay sin

x 

  

 

 

 x =

2 k   

hay x = k   

(k  Z)

Bài 129: [DB A11] 9sinx6cosx3sin 2xcos 2x8

Giải

Tham khảo thêm

Bài 130: [ĐH B11] sin cosx xsin x cosxcos2xsinx cos x Giải

Phương trình cho tương đương :

2sinxcos2x + sinxcosx = 2cos2x – + sinx + cosx  sinxcosx (2cosx + 1) = cosx (2cosx + 1) – + sinx  cosx(2cosx + 1)(sinx – 1) – sinx + =

 sinx = hay cosx(2cosx + 1) – =

 x =

2 k   

hay 2cos2x + cosx – =

 x =

2 k   

hay cosx = – hay cosx =

 x =

2 k   

hay x =  + k2 hay x = k

 

(61)

Bài 131: [ĐH D11] sin 2cos s inx t anx

x x  



Giải sin 2cos sin

tan

x x x

x

   

 đk : tgx  3; cosx 

Pt  sin2x + 2cosx  sinx  =  2sinxcosx + 2cosx  (sinx + 1) =

 2cosx (sinx + 1)  (sinx + 1)=  (2cosx  1)(sinx + 1) =

1

cos 3

2

sin

2

x k

x

x x k

 

   

  



  



    

 

so đk ta có nghiệm pt : ( )

x  k  k

Bài 132: [ĐH A12] sin 2xcos 2x2cosx1 Giải

 

2

3sin2 cos2 2cos 3sin cos 2cos 2cos

cos

cos sin cos 3 1 1

sin cos

2 2

2

2 , ,

1 6

sin 2

5

6 2

2 3

6

x x x x x x x

x

x x x

x x

x k

x m x m k n m

x

x n

   

 

   



   

       

 



    

 



   

  

   



 



       

  

    



    

     



Bài 133: [ĐH B12] 2(cosx 3sin )cosx xcosx 3sinx1 Giải

(62)

(2 cos 1)(cos 1) sin (2 cos 1)

cos

2 cos 2 2

3

cos sin cos 2

3

x x x x

x

x x k

x x x x k

 

     

  

 

 

     

  

 

  

     

  



Bài 134: [ĐH D12] sin3x + cos3x – sinx + cosx = cos2x

Giải

sin3x + cos3x – sinx + cosx = 2cos2x  sin3x – sinx + cos3x + cosx = 2cos2x

 2sinxcos2x + 2cos2xcosx = 2cos2x  cos2x = hay 2sinx + 2cosx =

 cos2x = hay sin( )

4

x 

 x =

4 k   

hay x =

12 k

 

  hay x =

12 k   

(với k  Z)

Bài 135: [ĐH A13] tan x 2 sin x



 

    

 

Giải

1+tanx=2(sinx+cosx)

 cosx+sinx = 2(sinx+cosx)cosx (hiển nhiên cosx=0 không nghiệm)

 sinx+cosx=0 hay cosx =1

2  tanx=-1 hay cosx =

 ,

4

x   k hay x    k  k

Bài 136: [ĐH B13] sin5x2cos x1

Giải

sin5x2cos x1  sin5x = – cos2x = -cos2x = sin(2x - /2)

 5x = 2x -

2 

+ k2 hay 5x =  - 2x +

2 

+ k2, k  Z

 x =

6

k

 

  hay x =

14

k   

, k  Z

(63)

  2cos sin cos cos 2sin

 x x x  x x 

cos ,

4

1

7 sin

2 ,

2

6

x x k k Z

x

x k hay x k k Z

                           

Bài 138: Giải phương trình : )

2 sin( cos sin sin cot

1  

  x x x x x Giải

PT  2cos

cos sin cos sin sin

cos  

  x x x x x x

x cos cos2

0 sin cos sin x x x x x    

cos sin( ) sin

4

x x  x

    

 

+) ,

2

cosx x k k

+)                           

 m n

n x m x n x x m x x x x , 4 2 ) sin( sin           ,

4 



x  t  t

Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm pt x k

2 ; , ,

2

4 

 t k t

x  

Bài 139: Giải phương trình

2

1 tan os ( ) sin

4 tan

x

c x x

x       Giải Đk:

cos x   x  k,ta có inx  n2

4

cos( x ) cos x s  , sin x cos x s i

    

     

4 2

3

os

os inx

cos x sin x c x sin x sin x

cos x sin x c x sin x s cos x

    

    

(64)

 3 sin x cos x sin x

  

0

4 x k

sin x x k

cos x sin x tan x x k

 

 

 

  

  

    

  

Vậy pt có nghiệm:

x k



 

  

   

Bài 140: Giải phương trình 3(1 cos )cot 2

5 sin

5   

  



 

x x x



Giải ĐKXĐ xk,kZ

Pt(1)

cos

cos ) cos ( cos

5 2

2  

  

x x x

x

2 cos

cos cos

2  

 

x x

x 2cos2x3cosx20

   

   

2 cos

x x

 cosx2 vô nghiệm

Z l l x

x    , 

3

1

cos   , thỏa mãn điều kiện

Bi 141: Giải ph-ơng trình: 2(cos sin )

tan cot cot

x x

x x x

 

 

Giải

Điều kiện:sinx.cosx0 cotx1 Phơng trình tơng đơng

1 2(cos sin )

sin cos cos

1

cos sin sin

x x

x x x

 

 

cosx =

2 x = k2

 

 

(65)

Bài 142: Giải phương trình sin2x + cosx- 2sin x 

  

 

 -1= Giải

Pt cho tương đương: sin2xcosx(sinxcosx)102cosx(sinx1)sinx10

     

 sinx 2cosx sin x1

2 cosx

 sin

2      

x x  k 



os

2

    

c x x  k

Vậy, nghiệm phương trình cho là: 2

x   k  ;

3

x   k (kZ)

Bài 143: Giải phương trình : 2 os3x.cosx+ 3(1 sin2x)=2 os (22 )

c  c x

Giải

Bài 144: Giải phương trình:

sin sin 2.cos 3.cos sin cos

x x  x x x x

 

Giải

os4x+cos2x+ 3(1 sin ) os(4x+ )2 os4x+ sin os2x+ sin

PT c x c

c x c x



 

     

 

  

sin(4 ) sin(2 )

6

18

2sin(3 ) osx=0

x=

x x

x k

x c

k

 



 

    

    

   

 

 Vậy PT có hai nghiệm

2

x  k

18

(66)

Bài 145: Giải phương trình os2x +sin2x - (4+ 3) osx -sinx+2+ 3=0c c

Giải

 

2

3(2 os x-1) + 2sinx os x - (4+ 3) osx -sinx+2+ 3=0 (2sinx os x-sinx)+2 os x- (4+ 3) osx+2=0

sinx ( 2cosx-1)+( 2cosx-1)( 3cosx-2)=0 ( 2cosx-1) sinx+ 3cosx-2

pt c c c

c c c

  

 

1 osx= (1)

2

s inx+ 3cosx-2=0 (2)

(1) ( )

3

c pt

x  k  k Z

    

    

1

(2) sinx+ cosx=1 sin( ) ( )

2 x x k k Z

  

       

Bài 146: Giải phương trình (1 cos )cot x xcos2xsinxsin 2x Giải

Điều kiện: cos sin sin tan cot  cot

x x x x x

x

 



 



ĐK: Ta có: sin sin 4 2 cos 3.cos sin 4

x x x x x

 

 sin 4 sin 3 cos  2 cos

x x x  x

 

 sin 4 2 cos 0 sin  

6 cos

6

x vn

x x

x



 



 

      

     

 



Với : cos 0  

6 x x k k Z

  

      

 

(67)

Từ (1) ta có: cos sin  cos sin 2 sin

sin cos cos 1 cos

cos sin sin

x x x x

x

x x x x

x x x



  

 

2sin cosx x sinx

 

 

2

2 4

cos

2

x k

 

   

   

    

Giao với điều kiện, ta họ nghiệm phương trình cho  

x   k  k

Bài 147: Giải phương trình (1 cos )cot x xcos2xsinxsin 2x Giải

Phương trình (1 cos )cot x xcos2xsinxsin 2x (1)

Điều kiện: sinx  0 x k (k )

Khi đó: (1) (1 cos )cos cos sin sin sin

x

x x x x

x

   

2 2

cos cos cos sin sin 2sin cos cos (1 2sin ) cos sin (cos sin )

x x x x x x x

x x x x x x

    

     

cos cos cos sin cos cos (cos sin 1)

cos cos sin

x x x x x x x x

x x x

       

     

+ cos ( )

4

x   x  k k

+cos sin cos

4 4

x x   x     x   l 

 

2

x l

x l    



 

 

 Kết hợp điều kiện phương trình cho có nghiệm là:

4

x  k , 2

x  l  ( ,k l )

Bài 148: Giải ph-ơng trình sau: 2017

2.sin sin tan

4

x  x  x

      

   

   

Giải

§iỊu kiƯn: cos ( )

2

(68)

cos sin(2 1008 ) tan

2

x  x   x

 

       

 

 1 sin 2xcos 2x 1 tanx sin 2xcos 2xtanx0

sin

2sin cos 2cos (1 )

cos x

x x x

x

    

2cos (sin cos ) sin cos cos

x x

x x x

x 

   

(sin cos ).(2cos ) cos

x x x

x

   

sin .cos

x  x

  

sin 4

cos 4

2

x k

x

k x

x

 



 

   

   



  

    

 

(tm®k)

Vậy pt cho có họ nghiệm:

4

k

x   (hä

4

k   

chøa 4k)

Bài 149: Giải phương trình sau: 2

cos cos

cos tan

cos

x x

x

 

 

Giải

ĐK cosx ≠ 0, pt đưa 2

cos2xtan x 1 cosx (1 tan x)2cos xcos -1 0x  Giải tiếp cosx = cosx = 0,5 đối chiếu đk để đưa ĐS:

2

2 , ; hay

3

xk  x   k  xk 

Bài 150: Giải phương trình: (1 cos ) cos (1 cos )(1 2cos ) tan

x x

x x x

 

  (x )

Giải  

1 cos1 cos1 2coscos  tan1

x x

x x x





(69)

cos

1 sin 2x cos

2

cos x

cos 2

sin x

x x x

  

  

 

 

  

  



 

PT 1

sinx sin cosx x cosx 2cos x

    

sinxcosx 1 sin cosx x2 sin  x1 sin x0  1 sinx2sinxcosx 1

sin  

2sin cos

x Loai

x x

   

  



2sinxcosx 1

 

2

2 /

x k loai

x k T m

 

 

  

 

  



Vậy PT  1 có nghiệm x 2k2 , k Với  thỏa mãn:

2 cos

5 sin

5  

 

 

 



Bài 151: Giải phương trình: sin3 cos3 cos cot .cot

4

x x x x x

   

Giải * Giải phương trình: 3

sin cos cos cot cot

4

x x x x x

    (1)

3

(1) cos sin cos cot( ).cot( )

4

PT  x x x x  x (2)

* ĐK:

sin( ).sin( ) sin( ).cos( ) sin( )

4 4

cos 2

2

x x x x x

x x k x k

    

   

         

(70)

3

(2) cos sin cos (cos sin )(1 sin cos ) (cos sin )(cos sin ) tan

cos sin tan

sin 1 sin cos cos sin (1 cos )(1 sin )

cos

, ,

4

PT x x x x x x x x x x x

x

x x x

x

x x x x x x

x

x  k x  k  x k 

        

 

  

  

   

     

   



     

- Kết hợp với điều kiện ta họ nghiệm : , 2

x  k  xk , k

Bài 152: Giải phương trình: 2 cos2xsin2 cosx x344sinx40

Giải

 (sinxcos ) 4(cosx  xsin ) sin2x  x40  x  4 k ; x k ; x32 k2

Bài 153: Giải phương trình: sin 32 xcos 42 xsin 52 xcos 62 x Giải

sin 32 xcos 42 xsin 52 xcos 62 x  cos (cos7x xcos11 ) 0x  

k x

2

  

      Bài 154: Tìm nghiệm khoảng 0;

2 

 

 

  phương trình:

4sin2 x 3sin 2x 2cos2 x

2

 



         

     

     

Giải (2)  sin 2x sin x

3

 

     

 

   

  

x k k Z a

x l l Z b

5 2 ( ) ( )

18

5 2 ( ) ( )

6

 

   

 

   

(71)

Bài 155: Giải phương trình: x x x

x x

1

sin2 sin 2cot2

2sin sin2

   

Giải

(1)  22 2

2

x x x x

x

cos cos cos cos sin

  

 

  cos2x =  x k2

 

  Bài 156: Giải phương trình: 3sin2x x 2sinx x

sin2 cos

 

(1)

Giải (1)  2(1 cos )sin (2cos 1)

sin 0, cos

  



  



x x x

x x  2cosx – = 

 

  

x k

Bài 157: Giải phương trình: cos 2x 5 2(2 cos )(sin x xcos )x (1) Giải

(1)  (cos –sin )x x 24(cos –sin ) –5 0x x   x 2 k2   x  k2

Bài 158: Tìm nghiệm thực phương trình sau thoả mãn

1 log x0 :

sin tan 2x x 3(sinx tan )x 3

Giải (2)  (sinx3)(tan 2x 3)0  ;

6

 

   

x k k Z

Kết hợp với điều kiện ta k = 1; nên ;

3

 

 

x x

Bài 159: Giải phương trình: 3

cos3 cos sin3 sin

8



 

x x x x

Giải (1)  cos4x =

2  16

 

 

x k

(72)

Giải

PT  (1– sinx)(6cosx + 2sinx – 7) =  1– sinx =  2

 

 

x k

Bài 161: Tìm nghiệm phương trình:

cosx cos x sin x2 thoả mãn : x 1 Giải

PT  (cosx1)(cosxsinxsin cosx x 2)  xk2 Vì x     1 x nên nghiệm là: x =

Bài 162: Giải phương trình: (sin sin 4)cos 2sin

   



x x x

x

Giải

Bài 163: Giải phương trình: sinxcosx 4sin 2x1 Giải

PT  (2 cos 1)(sin cos 2)

2sin

  

  

 



x x x

x 

2

 

 

x k

Bài 164: Giải phương trình: cos23x.cos2x – cos2x = Giải

Đặt t sinxcos ,x t0 PT  4t2  t  x k 2 Bài 165: Giải phương trình 3sin 2sin

sin cos

 

x x

Giải Dùng công thức hạ bậc ĐS: ( )

2



 

(73)

Bài 166: Giải phương trình: 4cos4x – cos2x 1cos cos3

2

 x x = 7

2

Giải

PT  2

0

x x x

x x

( cos )(sin sin ) sin , cos

   

  

 

 

  

x k

Bài 167 : Giải phương trình:    

cos cos

2 sin sin cos



 



x x

x

x x

Giải PT  cos2x + cos3

4

x

= 

cos

4

 



 



x

x  ( ; )

3

 

 

 

  

x k

k m m

x  x = 8n

Bài 168: Giải phương trình: 2

1 sin sin cos sin 2cos

2



 

     

 

x x x

x x

Giải

PT

sin sin 2sin 2sin

2 2

  

      

  

x x x

x 

4



 



  

   

x k

3

sin sin cos cos3

tan tan

6

 

  

     

   

   

x x x x

x x

Giải

Điều kiện: sin sin cos cos

6

   

           

       

x  x  x  x 

Ta có tan tan tan cot

6 6

   

            

       

x  x  x   x

PT 3

sin sin cos cos3

 x x x x

1 cos cos cos cos cos cos

2 2

   

(74)

3

1 1

2(cos cos cos ) cos cos

2

 x x x   x  x

6

 

     

    

x k (loại)

x k

Vậy phương trình có nghiệm

6

 

  

x k ,(k ) Bài 170: Giải phương trình: 3

sin x.(1 cot ) cos x  x(1 tan ) x  2sin 2x Giải

ĐKXĐ:

2



k

x cho sin 2x0

Khi đó, VT = sin3xcos3xsin2xcosxcos2xsinx

= 2

(sinxcos )(sinx xsin cosx xcos x) sin cos (sin x x xcos )x = sinxcosx

PT  sin cos 2sin sin cos 20

(sin cos ) 2sin (1)

 



     



x x

x x x

(1)  sin 2 x2sin 2xsin 2x 1( 0)  2

2

   

    

x k x k

Để thoả mãn điều kiện sinxcosx0, nghiệm là:

 

 

x k

Bài 171: Tìm giá trị nhỏ hàm số: y =

cos

sin (2cos sin ) x

x x x với < x 



Giải Với

3



 x tan x sinx0,cosx0, 2cosxsinx0

 2

2 2

2

cos

1 tan tan

cos

sin 2cos sin tan (2 tan ) 2tan tan

cos cos

 

  

  

x

x x

x y

x x x x x x x

x x

 Đặt: ttan ; 0x  t 

2

1

( ) ;

2



   



t

y f t t

t t

4

2 2 2

3 ( 4) ( 1)( 4)

( ) ( ) ( 1)

(2 ) (2 ) (2 )

      

          

  

t t t t t t t t t t

f t f t t t

(75)

 Từ BBT ta có: ( )

4



    

f t t x Vậy:

0;

2

4 



 

 

 

 

miny khi x

Bài 172: Giải phương trình: sin sin sin

4

 

     

   

 x  x x 

Giải PT  sin 3xcos3xsin (sinx xcos )x

 (sinx + cosx)(sin2x  1) = sin cos tan

sin sin

   

 

 

  

 

x x x

x x

4

 

    

    

   

x k

Bài 173: Giải phương trình: cos2

x + cosx + sin3x = Giải

PT  cosx(1 + cosx) + 8sin3 cos3

2

x x

=  2cos2 cos (1 cos )sin  0

2   

x

x x x

 cos2

sin cos sin cos

 

 

  



x

x x x x

Bài 174: Giải phương trình: cos3 cos cos

  

x x x

Giải

 Nếu cos ,

2     

x

x k k Z, phương trình vơ nghiệm

 Nếu cos ,

2     

x

x k k Z, nhân hai vế phương trình cho 2

x

cos ta được:

2cos cos3 2cos cos 2cos cos cos

2   

x x x x

x x x tích thành tơng

0 

x cos

,

7

 

  x k k , đối chiếu điều kiện: k ≠ + 7m, mZ

(76)

Giải

Ta có: sinx – cos2x =  2sin2x + sinx –1 =  ,

6

 

  

x k k

Vì x [ 2; 40] nên 2 40 3 40

6 6

   

   

          

   

k k

 0,7  k  18,8  k 1, 2,3, ,18

Gọi S tổng nghiệm thoả YCBT: S = 18 (1 18) 117

6

       

2) Điều kiện: 1 x PT  log2 1 log (32 ) log (2 1)

1

      

 

  

x x x

x

    17

1

2



         

x x x x x x (tmđk)

Bài 176: Giải phương trình: tan tan sin sin sin

6

 

       

   

x  x  x x x

Giải

Điều kiện: cos cos

6

 

     

   

x  x 

PT

sin sin

6

sin sin sin

cos cos

6

 

     

   

   

  

     

   

   

x x

x x x

x x

 – sin3x = sinx + sin2x

 sin2x(2cosx + 1) =

sin

2

2 cos

2

3



 



 

 



  

     

 

k

x x

x

x k

Kết hợp điều kiện, nghiệm phương trình là:

2



 

   

    

k x

x k

Bài 177 : Giải phương trình :

2cos os2  sin 2( ) 3cos 21 1s in x2

3 3



   

        

 

x c x x x

Giải

PT  (1 sin )(6cos sin 8) sin sin

6cos sin

 



       

  



x

x x x x

(77)

Bài 178: Giải phương trình: sin sin 1 2cot 2sin sin

   

x x x

x x

Giải

PT  cos22x  cosxcos2x = 2cos2x sin2x 



cos2x0  2cos xcosx 1 0(VN)  cos2x = 

2

   

    

x k x k

2 sin

4 (1 sin ) tan cos

   

 

 x  x   x

x

Giải

Điều kiện cos ,

2

 

    

x x k k

Ta có PT cos sin cos sin 2 cos sin

cos cos

 

 x x x x  x x

x x (cosxsin )(cos 2x x 1)

cos sin

,

cos

 

 

    

 

  

  

  

x x x m

m x

x m

Bài 180: Giải phương trình: 2 3

tan xtan x.sin xcos x 1 Giải

ĐK:

2

 

 

x k PT  tan2x(1 sin 3x) (1 cos  3x) 0 

 (1 cos )(1 sin )(sin x  x xcos )(sinx xcosxsin cos )x x 0

 ; ; ;

4 4

  

     

        

x k x k x k x k

Bài 181: Giải phương trình: 2cos3x + 3sinx + cosx =

Giải

PT  cos cos3

3



  

 

x  x  cos cos( )

 

   

 

x  x 

 

 k

x

6

2

sin cos

tan

cos sin

 



x x

x

(78)

Giải Điều kiện: cos2x ≠ ( )

4

 

  x k k

PT

1 sin sin

4

  x x  3sin22x + sin2x – =

 sin2x = 

4

 

 

x k ( khơng thoả) Vậy phương trình vơ nghiệm

Bài 183: Giải phương trình: cos3xcos3

x – sin3xsin3x =

8



Giải

PT  cos ,

2 16

 

     

x x k k Z

Bài 184: Giải phương trình : cos3 cos3 sin3 sin3

4

 

x x x x

Giải

PT cos 2x=

2  x= ( )

  

 k k

Bài 185: Giải phương trình: cotx tan x2cot 2x 3 Giải

Điều kiện: sin cos

2 

  

x x x k

Ta có:

2

cos cos sin

2cot 2 cot tan

sin 2sin cos



 x  x x  

x x x

PT 

cot

3 cot cot cot ,

4

cot 7cot

 

 

         

  



x

x x x x k k

x x

Bài 186: Giải phương trình: 2cos24 3x4cos4x15sin2x21

(79)

PT  sin 23 x2sin 22 x3sin2x 6  sin2x 1  x k

4

 

  

Bài 187: Giải phương trình: (1 4sin )sin3 x x12 Giải

Nhận xét: cosx = nghiệm PT Nhân vế PT với cosx, ta được: PT  2sin3 (4cosx 3x3cos ) cosx  x  2sin3 cos3x xcosx

 sin6x sin x

2



 

   

 

 x k2 x k2

14 10

   

    

Bài 188: Giải phương trình: sinx 1sin2x cosx cos2x

2

   

Giải

PT  (sinx1)(sinxcosx 2)  sinx1  x 2 k2 Bài 189: Giải phương trình: x x x

x x

3sin 3tan 2cos 2 tan sin

  



Giải Điều kiện: cossinxx00

 PT  x

1 cos

2

   x k2

3

 

  

Bài 190: Giải phương trình: x x

x x x

1 2(cos sin ) tan cot cot

 

 

Giải Điều kiện:

x x x

sin cos cot

 

 



 



PT  cosx

2

  x k2

4

 

  

(80)

Giải

sin3x3sin 2xcos 2x3sinx3cosx  2

(sin3xsin ) 2sinx  x3sin 2x(cos2x 2 3cos )x 0

2sin cosx x 2sinx 6.sin cosx x (2cos x 3cosx 1)

      

2

2sin cosx x 2sinx 6sin cosx x (2cos x 3cosx 1)

      

2 1

(2sin 1)(2cos 3cos 1) sin ,cos 1,cos

2

x x x x x x

        

+) sin ,

2 6

x   x  k  x  k 

+) cos

2

x    x  k 

+) cosx  1 x k2

KL:Vậy phương trình có họ nghiệm

Bài 192: Giải phương trình: (2sin 1)(3cos 2sin ) 4cos2 sin

x x x x

x

    

 (x )

Giải

  

2sin 3cos 2sin 4cos sin

x x x x

x

    

  1

Đk: sin ,

2

x x  l  l

       *

PT 1 2sinx1 3cos 4 x2sinx4cos2x  1 8sinx

  

2sinx 3cos 4x 2sinx 4sin x 8sinx

     

2sinx1 3cos 4 x2sinx  2sinx1 2sin x3

2sin cos

x x

  

  



 Với 2sinx 1

2

x k

 

    

 

  



 Với cos

2 k

x  x 

Kết hợp với điều kiện  * PT 1 có nghiệm

6

x   k 

(81)

Bài 193: Giải phương trình sau:

2

4sin os(3x + 2013 ) - 2sin 2 sin

2 2

x  c   x x 

         

     

     

Giải

Bài 194:Giải phương trình: cos sin cos3 sin (1 tan ) 2sin

x x

x x x

x 

  



Giải Đk

1 sin

(*) cos

x x

 

 

 



Với đk (*) phương trình cho tương đương:

3

2

3sin 4sin 4cos 3cos

cos sin(1 tan )

2sin

(sin cos )(2sin 1) sin (sin cos ) cos sin

2sin cos

x x x x

x x

x

x x x x x x

x x

  

  



  

   



sin cos (1)

sin

cos sin (2)

cos

x x

x

x x

x

 

 



  



(1) tan ,

4

x x  k k

       

cos sin tan

(2) (cos sin )(1 cos ) ( )

1 cos cos

2

x x x x k

x x x k

x x

x k

 



    

  

       

   

    

So với đk (*) suy họ nghiệm pt là: , ,

x   k x  k  k

Bài 195: Giải phương trình tan( ).tan( ) 2 os2 1

6

x x  c x

Giải

PT

4 osc x cos3x os2xc c xos

    

os3 os

c x c x

 

3

x x k

  



     

2 x k

(82)

ĐK: cos( 6) ( 6)

cos( ) ( )

6

x x k x k

     

         

  

  

  

         

  

  

Ta có:

1

sin( ).sin( ) cos

1 2cos

6

1 2cos

cos( ).cos( ) cos

6

x x x

x VT

x

x x x

 

   

  



  

Vậy

1

2

cos 6

(1 os2 )(2cos 2)

cos2x=-1 2x= x=

2

x k

x

PT c x x

k k



  



  

    

     

 

       



 

  

Đối chiếu đk ta có: ;x=

6

x   k  k họ nghiệm phương trình Bài 196: Giải phương trình

2cos x2 3sin cosx x 1 3(sinx cos )x Giải

2

2cos x2 3sin cosx x 1 3(sinx cos )x (sinx cos )x 23(sinx cos )x 0 sinx cosx sinx cosx

      (1)

Phương trình sinx cosx3vơ nghiệm 2 ) (

1  

Nên (1) tan

3

x x  k

       (k ) Vậy, PT có nghiệm là:

3

x   k (k ) Bài 197: Giải phương trình 3sinx - 3cosx - = cos 2x - 3sin2x

Giải

3sinx - 3cosx - = cos 2x - 3sin2x (1) (1)  3sinx(2cosx + 1) = 2cos2x + 3cosx + (2cosx + 1)(cosx - 3sinx + 1) = cosx = -

2 cosx - 3sinx + = (1’)

* cosx = -

2 x =

3 

+ k2 (1’)cos(x +

3 

) = -

2  x = 

+ k2 x = - + k2

Bài 198: Giải phương trình :  

4

sin cos

tan cot

sin 2

x x

x



 

(83)

 

4

sin cos

tan cot

sin 2

x x

x

  

(1) Điều kiện: sin 2x0

2 1 sin

1 sin cos

(1)

sin 2 cos sin x

x x

x x x

  

    

 

2

1 sin 1

2

sin sin x

x x



 

1 sin sin

2 x x

    

Vậy phương trình cho vơ nghiệm

Bài 199: Giải phương trình: os6x +2cos4x - os2x = sin2x + 3c c

Giải

2 os6x+2cos4x- os2x =sin2x+ 3c c 4cos5xcosx = 2sinxcosx + 3cos2x

os x=0

2cos5x =sinx+ cos c x     cos os5x=cos(x- ) x c       24 36 x k k x k x                      Bài 200: Giải phương trình :

2 sin cos

cos2 x x  x

               Giải Ta có: sin 2 cos 2 cos sin cos

cos2 x

x x

x  

                                       cos cos 2 sin cos cos

sin     

               

 x  x  x x  x

0 sin sin 2 cos

sin       

 x x x x

        ) ( sin sin VN x x   2 k

x 

Tải 200 bài toán phương trình lượng giác - Tài liệu ôn tập ôn Toán lớp 12

Thông tin tài liệu

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

Tài liệu liên quan