CHƯƠNG IV BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH §1 BẤT ĐẲNG THỨC A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa : Cho a, b hai số thực Các mệnh đề "a > b", "a < b", "a �b", "a �b" gọi bất đẳng thức  Chứng minh bất đảng thức chứng minh bất đẳng thức đúng(mệnh đề đúng)  Với A, B mệnh đề biến "A > B " mệnh đề chứa biến Chứng minh bất đẳng thức A > B (với điều kiện đó) nghĩa chứng minh mệnh đề chứa biến "A > B " với tất giá trị biến(thỏa mãn điều kiện đó) Khi nói ta có bất đẳng thức A > B mà không nêu điều kiện biến ta hiểu bất đẳng thức xảy với giá trị biến số thực Tính chất : * a > b b > c � a > c * a > b � a +c > b+c * a > b c > d � a + c > b + d * Nếu c > a > b � ac > bc Nếu c < a > b � ac < bc * a > b �0 � a > b * a ��۳ b a2 b2 * a > b � � an > bn Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối * - a �a � a với số thực a * x < a � - a < x < a ( Với a > ) � x >a � x > a � * ( Với a > ) � x Vậy ta có x12 + x4 + > x9 + x Ví dụ 5: Cho a,b,c số thực Chứng minh a) a4 + b4 - 4ab + � b) 2( a4 + 1) + ( b2 + 1) �2( ab + 1) ( ) 2 2 c) 3( a + b ) - ab + � a b + + b a + Lời giải 4 2 2 a) BĐT tương đương với ( a + b - 2a b ) + ( 2a b - 4ab + 2) � 2 � ( a2 - b2 ) + 2( ab - 1) � (đúng) Đẳng thức xảy a = b = �1 4 2 b) BĐT tương đương với 2( a + 1) + ( b + 2b + 1) - 2( a b + 2ab + 1) � � ( a4 + b4 - 2a2b2 ) + ( 2a2 - 4ab + 2b2 ) + ( a4 - 4a2 + 1) � � (a2 - b2)2 + 2(a - b)2 + (a2 - 1)2 � (đúng) Đẳng thức xảy a = b = �1 2 2 c) BĐT tương đương với 6( a + b ) - 2ab + - a b + + b a + � ( ) �� a2 - 4a b2 + + 4( b2 + 1) � +� b2 - 4b a2 + + 4( a2 + 1) � + ( a2 - 2ab + b2 ) � � � � � ۳ (a- ) ( ) 2 b2 + + b - a2 + + ( a - b) (đúng) Đẳng thức không xảy Ví dụ 6: Cho hai số thực x, y thỏa mãn x � y Chứng minh rằng; a) 4( x3 - y3 ) �( x - y ) b) x3 - 3x + �y3 - 3y Lời giải a) Bất đẳng thức tương đương 4( x - y ) ( x2 + xy + y2 ) - ( x - y) �0 � ( x - y) � 4( x2 + xy + y2 ) - ( x - y ) � �0 � ( x - y) � 3x2 + 3xy + y2 � � � � �� � � � � y� 3y2 � � �� (đúng với x �y ) ĐPCM � � � 3( x - y ) � x + + � � � � � 2� � � � � � Đẳng thức xảy x = y b) Bất đẳng thức tương đương x3 - y3 � 3x - 3y - Theo câu a) ta có x3 - y3 � ( x - y ) , ta cần chứng minh ( x - y ) � 3x - 3y - (*), Thật vậy, BĐT (*) � ( x - y ) - 12( x - y ) + 16 � � ( x - y - 2) � �0 (�x - y ) + 2( x - y ) - 8� � � � � ( x - y - 2) ( x - y + 4) � (đúng với x � y ) Đẳng thức xảy không xảy Loại 2: Xuất phát từ BĐT ta biến đổi đến BĐT cần chứng minh Đối với loại thường cho lời giải không tự nhiên ta thường sử dụng biến có ràng buộc đặc biệt * Chú ý hai mệnh đề sau thường dùng a �� a; b � � �� ( a - a ) ( a - b ) � ( * ) a,b,c �� a; b � � �� ( a - a ) ( b - a ) ( c - a ) + ( b - a ) ( b - b) ( b - c ) � 0( * * ) Ví dụ : Cho a,b,c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh : a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) Lời giải Vì a,b,c độ dài ba cạnh tam giác nên ta có : a + b > c � ac + bc > c2 Tương tự bc + ba > b2; ca + cb > c2 cộng ba BĐT lại với ta có đpcm Nhận xét : * Ở tốn ta xuất phát từ BĐT tính chất độ dài ba cạnh tam giác Sau cần xuất bình phương nên ta nhân hai vế BĐT với c Ngoài xuất phát từ BĐT | a - b |< c bình phương hai vế ta có kết Ví dụ : Cho a,b,c �[0;1] Chứng minh : a2 + b2 + c2 �1 + a2b + b2c + c2a Lời giải Cách 1: Vì a,b,c �[0;1] � (1 - a2)(1 - b2)(1- c2) � � + a2b2 + b2c2 + c2a2 - a2b2c2 �a2 + b2 + c2 (*) Ta có : a2b2c2 � 0; a2b2 + b2c2 + c2a2 �a2b + b2c + c2a nên từ (*) ta suy a2 + b2 + c2 �1 + a2b2 + b2c2 + c2a2 �1 + a2b + b2c + c2a đpcm Cách 2: BĐT cần chứng minh tương đương với a2 ( - b) + b2 ( 1- c ) + c2 ( 1- a ) �1 0;1� Mà a,b,c �� a2 a,b2 b,c2 c � ���‫ޣ‬ a2 ( - b) + b2 ( - c ) + c2 ( 1- a ) �a ( 1- b) + b( - c ) + c ( 1- a ) Ta cần chứng minh a ( - b) + b( - c ) + c ( - a ) �1 0;1� Thật vậy: a,b,c �� � �nên theo nhận xét ( * * ) ta có abc + ( - a ) ( - b) ( - c ) � ( ab + bc + ca ) �1 b) + b( - c ) + c ( - a ) �1 � a +b+c � a ( 1- BĐT ban đầu chứng minh Ví dụ : Cho số thực a,b,c thỏa mãn : a2 + b2 + c2 = Chứng minh : 2(1 + a + b + c + ab + bc + ca) + abc � Lời giải Vì a2 + b2 + c2 = � a,b,c �[- 1;1] nên ta có : (1 + a)(1 + b)(1 + c) � � + a + b + c + ab + bc + ca + abc � (*) (1 + a + b + c)2 Mặt khác : � � + a + b + c + ab + bc + ca � (**) Cộng (*) (**) ta có đpcm Ví dụ 10: Chứng minh a � 4,b � 5,c � a2 + b2 + c2 = 90 a + b + c �16 Lời giải Từ giả thiết ta suy a < 9,b < 8,c � áp dụng ( * ) ta có ( a - 4) ( a - 9) � 0,( b - 5) ( b - 8) � 0, ( c - 6) ( c - 7) � nhân cộng BĐT chiều lại ta được: a2 + b2 + c2 - 13(a + b + c) + 118 � suy ( a + b2 + c2 + 118) = 16 a2 + b2 + c2 = 90 13 a + b + c �16 dấu “=” xảy a = 4,b = 5,c = - 1;1� Ví dụ 11: Cho ba số a, b, c thuộc � � �và không đồng thời không Chứng minh 4 a b +b c +c a + �2 a2012 + b2012 + c2012 Lời giải 2 - 1;1� Vì ba số a, b, c thuộc � � �nên �a ,b ,c �1 a +b+c � Suy (1 - b2)(1 + b2 - a4) � � a4 + b4 - a4b2 �1 (*) 2012 2012 - 1;1� Mặt khác a �a ,b �b với a, b thuộc � � � 4 2012 2012 Suy a + b - a b �a + b - a b (**) a4b2 + c2012 + �1 a2012 + b2012 + c2012 b4c2 + a2012 + c4a2 + b2012 + � �1 Tương tự ta có 2012 a + b2012 + c2012 a2012 + b2012 + c2012 a4b2 + b4c2 + c4a2 + a2012 + b2012 + c2012 + �3 Cộng vế với ta a2012 + b2012 + c2012 a4b2 + b4c2 + c4a2 + � ĐPCM Hay a2012 + b2012 + c2012 Bài tập luyện tập Bài 4.0 Cho số thực a, b, c số thực Chứng minh rằng: Từ (*) (**) ta có a2012 + b2012 �a4b2 + hay a) a + b + c � ab + bc + ca c) a2 + b2 + c2 + � 2(a + b + c) b) a2 + b2 + �ab + a + b d) a2 + b2 + c2 �2(ab + bc - ca) Bài 4.1: Cho a,b,c,d số dương.Chứng minh : a a +c a b c a + + 0; c > ab c2 + a2 c2 + b2 a +b c +b 1 c) + � với a,b,c > + = 2a - b 2c - b a c b 2 d) a(b - c) + b(c - a) + c(a - b) > a + b3 + c3 với a,b,c ba cạnh tam giác Bài 4.3: Cho x �y � z � Chứng minh rằng: a) xy3 + yz3 + zx3 �xz3 + zy3 + yx3 x2y y2z z2x x2z y2x z2y + + � + + b) z x y y z x Bài 4.4: Cho bốn số dương a, b, c, d Chứng minh rằng: 1 + � 1 1 1 + + + a b c d a +c b+d 1;3� Bài 4.5: Cho a,b,c �� � �và thoả mãn điều kiện a + b + c = Chứng minh a2 + b2 + c2 �14  DẠNG TOÁN 2: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY(Cơsi) ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GIÁ TRI LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT Phương pháp giải Một số ý sử dụng bất đẳng thức cơsi: * Khi áp dụng bđt cơsi số phải số không âm * BĐT côsi thường áp dụng BĐT cần chứng minh có tổng tích * Điều kiện xảy dấu ‘=’ số * Bất đẳng thức côsi cịn có hình thức khác thường hay sử dụng (x +y)2 � x +y� 2 2 � � Đối với hai số: x +y � 2xy; x +y � ; xy �� � � � � � � a3 + b3 + c3 a +b+c� � Đối với ba số: abc � , abc �� � � � � � � Các ví dụ minh họa Loại 1: Vận dụng trực tiếp bất đẳng thức cơsi Ví dụ 1: Cho a,b số dương thỏa mãn a2 + b2 = Chứng minh � �a a b� b� � � + � + � �� a) � b) ( a + b) �16ab ( + a2 ) ( + b2 ) � � 2� � � � b a� � � b a � Lời giải a) Áp dụng BĐT cơsi ta có a b a b a b a b + � = 2, + � 2 = b a ba b a b a ab � � � � a b� a b � + � + 2� �� Suy � (1) � � � � � � b a� � � b a � ab Mặt khác ta có ‫�=ޣ‬+= a2 b2 a2b2 2ab ab � � �a a b� b� � + � + 2� �� ĐPCM Từ (1) (2) suy � � � � � � b a� � � b a � � Đẳng thức xảy a = b = 1 (1) b) Ta có ( a + b) = ( a2 + 2ab + b2 ) ( a3 + 3ab2 + 3a2b + b3 ) Áp dụng BĐT cơsi ta có a2 + 2ab + b2 � 2ab( a2 + b2 ) = ab ( a3 + 3ab2 ) + ( 3a2b + b3 ) � ( a3 + 3ab2 ) ( 3a2b + b3 ) = ab( + b2 ) ( a2 + 1) Suy ( a2 + 2ab + b2 ) ( a3 + 3ab2 + 3a2b + b3 ) �16ab ( a2 + 1) ( b2 + 1) Do ( a + b) �16ab ( + a2 ) ( + b2 ) ĐPCM Đẳng thức xảy a = b = Ví dụ 2: Cho a,b,c số dương Chứng minh � 1� � 1� � 1� � � a+ � b+ � c+ � � � �� a) � � � � � � � � � � � b� � c� � a� b) a2(1 + b2) + b2(1 + c2) + c2(1 + a2) � 6abc c) (1 + a)(1 + b)(1 + c) �( + abc ) d) a2 bc + b2 ac + c2 ab �a3 + b3 + c3 Lời giải a) Áp dụng BĐT cơsi ta có a b c a + �2 , b + � , c + � b b c c a a � 1� � 1� � 1� a b c � � a+ � b+ � c+ � �8 = ĐPCM Suy � � � � � � � � � � � b� � c� � a� b c a � � � Đẳng thức xảy a = b = c b) Áp dụng BĐT côsi cho hai số dương ta có 2 + a2 � a2 = 2a , tương tự ta có + b �2b, + c � 2c 2 2 2 2 Suy a (1 + b ) + b (1 + c ) + c (1 + a ) �2( a b + b c + c a ) Mặt khác, áp dụng BĐT cơsi cho ba số dương ta có a2b + b2c + c2a � a2bb 2cc 2a = 3abc Suy a2(1 + b2) + b2(1 + c2) + c2(1 + a2) � 6abc ĐPCM Đẳng thức xảy a = b = c = c) Ta có (1 + a)(1 + b)(1 + c) = + ( ab + bc + ca ) + ( a + b + c ) + abc Áp dụng BĐT côsi cho ba số dương ta có ( ab + bc + ca � 33 abbcca =3 abc ( Suy (1 + a)(1 + b)(1 + c) �1 + 3 ) a + b + c � 33 abc abc ) + 33 abc + abc = ( + abc ) ĐPCM Đẳng thức xảy a = b = c d) Áp dụng BĐT côsi cho hai số dương ta có � � � � b+c� a + c� a + b� � � a2 bc �a2 � , b ac �b2 � , c2 ab �c2 � � � � � � � � � � � � � �2 � �2 � �2 � a2b + b2a + a2c + c2a + b2c + c2b (1) Mặt khác theo BĐT côsi cho ba số dương ta có a3 + a3 + b3 b3 + b3 + a3 a3 + a3 + c3 a2b � , ba � ,ac� , 3 c3 + c3 + a3 b3 + b3 + c3 c3 + c3 + b3 c2a � , bc � ,cb� 3 2 2 2 3 Suy a b + b a + a c + c a + b c + c b � 2( a + b + c ) (2) Suy a2 bc + b2 ac + c2 ab � Từ (1) (2) suy a2 bc + b2 ac + c2 ab �a3 + b3 + c3 Đẳng thức xảy a = b = c Ví dụ 3: Cho a,b,c,d số dương Chứng minh a +b+c +d a) � abcd �a b c d� � + + + � ( a + b) ( b + c ) �16 b) � � 3 3� � � b c d a � c) a +b+c + 8abc � (a + b)(b + c)(c + a) abc Lời giải a) Áp dụng BĐT cơsi ta có a + b � ab,c + d � cd ab + cd � ab cd = 24 abcd a + b + c + d ab + cd � � abcd ĐPCM 4 Dấu xảy a = b = c = d b) Áp dụng câu a) ta có a b c d a b c d 4 + + + � = b3 c3 d3 a3 b3 c3 d3 a3 abcd �a b c d� + + + 3� a + b) ( c + d ) � ab.2 cd = 16 ĐPCM � ( Suy � � � � � b c d a � abcd Suy Đẳng thức xảy a = b = c = d c) Áp dụng câu a) ta có � 8( a + b + c ) 8abc a +b +c� 8abc � VT = 3 + � 44 � = � � �(a + b)(b + c)(c + a) � (a + b)(b + c)(c + a) 27(a + b)(b + c)(c + a) � 33 abc � abc a +b + c Như ta cần chứng minh 44 8( a + b + c ) 27(a + b)(b + c)(c + a) �4 � 8( a + b + c ) � 27( a + b) ( b + c ) ( c + a ) (*) Áp dụng BĐT côsi cho ba số ta có 3 � � 8( a + b + c ) ( a + b) + ( b + c ) + ( c + a ) � � � = ( a + b) ( b + c ) ( c + a ) �� � � � � 27 � � Suy BĐT (*) nên BĐT ban đầu ĐPCM Đẳng thức xảy a = b = c Nhận xét: BĐT câu a) bất đẳng cơsi cho bốn số khơng âm Ta có BĐT côsi cho n số không âm sau: Cho n số không âm , i = 1,2, , n a1 + a2 + + an � n a1a2 an n a , b , c Ví dụ 4: Cho số dương thỏa mãn a2 + b2 + c2 = Chứng minh a) a2b + b2c + c2a � Khi ta có ab bc ca + + � + c2 + a2 + b2 Lời giải b) a) Ta có ( a2 + b2 + c2 ) = � a4 + b4 + c4 + 2a2b2 + 2b2c2 + 2c2b2 = (1) 4 2 4 2 4 2 Áp dụng BĐT cơsi ta có a + b � 2a b , b + c � 2b c , c + a �2c a Cộng vế với vế lại ta a4 + b4 + c4 �a2b2 + b2c2 + c2a2 (2) Từ (1) (2) ta có a2b2 + b2c2 + c2a2 � (3) Áp dụng BĐT cơsi ta có 2 2 2 2 a2 + a2b2 � a2.a2b2 = 2a2b , tương tự ta có b + b c � 2b c, c + c a � 2c a 2 2 2 2 2 2 Cộng vế với vế ta a + b + c + a b + b c + c a �2( a b + b c + c a ) (4) Từ giả thiết (3), (4) suy a2b + b2c + c2a � ĐPCM Đẳng thức xảy a = b = c = b) Áp dụng BĐT côsi ta có + a2 = + ( - b2 - c2 ) = ( - b2 ) + ( - c2 ) � ( - b2 ) ( - c2 ) bc +=+�=‫ޣ‬ + a2 Tương tự ta có bc ( 3- b2 ) ( - c2 ) b2 c2 - c2 - b2 1� b2 � � 4� �3 - c2 c2 � 1� b2 � � � � � � 4� - b2 � b2 + a2 � ca � ab 1� a2 b2 � 1� c2 a2 � � � � + , � + � � � � 4� 4� + c2 a2 + c2 b2 + c2 � c2 + b2 a2 + b2 � � � + b2 � � ab bc ca + + � ĐPCM 2 3+c 3+a 3+b Đẳng thức xảy a = b = c = Loại 2: Kĩ thuật tách, thêm bớt, ghép cặp  Để chứng minh BĐT ta thường phải biến đổi (nhân chia, thêm, bớt biểu thức) để tạo biểu thức giản ước sau áp dụng BĐT cơsi  Khi gặp BĐT có dạng x + y + z �a + b + c (hoặc xyz �abc ), ta thường chứng minh x + y � 2a (hoặc ab � x2 ), xây dựng BĐT tương tự cộng(hoặc nhân) vế với vế ta suy điều phải chứng minh  Khi tách áp dụng BĐT côsi ta dựa vào việc đảm bảo dấu xảy ra(thường dấu xảy biến biên) Ví dụ 5: Cho a,b,c số dương Chứng minh rằng: ab bc ac a b c 1 a) b) + + � + + + + �a + b + c c a b a b c b c a Lời giải ab bc ab bc a) Áp dụng BĐT cơsi ta có + �2 = 2b c a c a Cộng vế với vế ta c2 � � � � c2 + a2 � bc ac ac ba + � 2c, + � 2a a b b c Cộng vế với vế BĐT ta � ab bc ac � ab bc ac 2� + + � �2( a + b + c ) � + + �a + b + c ĐPCM � � � � �c a b� c a b Tương tự ta có Đẳng thức xảy a = b = c a a b) Áp dụng BĐT côsi ta có + �2 = a b b b a b c Tương tự ta có + � , + � b c a c a c Cộng vế với vế BĐT ta a b c 1 2 a b c 1 + + + + + � + + � + + � + + ĐPCM a b c a b c a b c b c a b c a Đẳng thức xảy a = b = c Ví dụ 6: Cho a,b,c dương cho a2 + b2 + c2 = Chứng minh a3b3 b3c3 c3a3 a) + + � 3abc c a b ab bc ca b) + + � c a b Lời giải a3b3 b3c3 a3b3 b3c3 a) Áp dụng BĐT côsi ta có + �2 = 2b3ac c a c a 3 3 3 3 bc ca ca ab Tương tự ta có + � 2abc3, + �2a3bc a b b c 3 3 3� � ab bc ca � + + ��2abc ( a2 + b2 + c2 ) Cộng vế với vế ta có 2� � � a b � �c � a3b3 b3c3 c3a3 + + � 3abc ĐPCM c a b Đẳng thức xảy a = b = c = � ab bc ca � � � b) BĐT tương đương với � + + � �� � a b� �c � 2 2 2 � � � � � � � ab� bc � ca � ab� bc � ca � � � � � � �� +� +� + 2( a2 + b2 + c2 ) � � � +� +� � � � � � � � � � � � � � � � � � �� �c � � �a � � �b � �c � � �a � � �b � � � 2 � � ab� bc � � � Áp dụng BĐT cơsi ta có � +� � � � � � ��2 � � �c � �a � 2 2 � � ab� bc � � � � � = 2b2 � � � � � � � � �c � �a � 2 � � � � � � � bc � ca � ca � ab� � Tương tự ta có � +� � 2c2, � +� � 2a2 � � � � � � � � � � � � �a � � �b � �b � � �c � � � 2 � � � ab� bc � ca � � � � Cộng vế với vế rút gọn ta � �+ � �+ � �� ĐPCM � � � � � � � � � �a � �b � �c � Đẳng thức xảy a = b = c = Ví dụ 7: Cho a,b,c số dương thỏa mãn a + b + c = Chứng minh a) 8( a + b) ( b + c ) ( c + a ) �( + a ) ( + b) ( + c ) b) ( - 2a ) ( - 2b) ( - 2c ) �abc 10 � � 1� b ab 1� c � � � � 1, � � 1� � � � � � � � a + b + c a + b + c � � � � b + ca c + ab Cộng vế với vế BĐT ta � 1� a b c � P � � 3� � �= � 2� a + b + c a + b + c a + b + c � Tương tự ta có ca Đẳng thức xảy a = b = c Vậy P = � a = b = c Ví dụ 16: Cho a,b,c số thực khơng âm thỏa mãn a + b + c = Chứng minh a b c + + � a) 2 2 1+ b 1+ c 1+ a 2 a b c + + �1 b) 3 a + 2b b + 2c c + 2a3 Lời giải a) Áp dụng BĐT côsi ta có: a ( + b2 - b2 ) a ab2 ab2 ab = =a�a =a2 2 2b 1+ b 1+ b 1+ b b bc c ca �b �c Tương tự ta có 2 2 1+ c 1+ a Cộng vế theo vế BĐT ta được: a b c ab + bc + ca ab + bc + ca + + �a + b + c = 32 2 2 1+ b 1+ c 1+ a Mặt khác ta có ( a + b + c ) � 3( ab + bc + ca ) � ab + bc + ca � a b c 3 + + �3= ĐPCM 2 2 1+ b 1+ c 1+ a Đẳng thức xảy a = b = c = b) Theo bất đẳng thức Cơsi ta có : a ( a + 2b3 ) - 2ab3 a2 2ab3 2b3 a2 = � a = a a + 2b3 a + 2b3 33 ab6 Do b2 2c b c2 2a c �b , �c c + 2a3 b + 2c3 Cộng vế theo vế BĐT ta được: a2 b2 c2 + + �a + b + c b a + a c2 + c b2 3 3 a + 2b b + 2c c + 2a Mặt khác a + b + c = ta cần chứng minh: b3 a2 + c b2 + a c2 � Thật vậy, theo bất đẳng thức Cơsi ta có : 2ab + b b3 a2 � b.( a + a + 1) = 3 2bc + c 2ca + a Tương tự ta có c b2 � ,a c � 3 Cộng vế theo vế BĐT ta có: 2ab + b 2bc + c 2ca + a b3 a2 + c b2 + a c2 � + + = ( ab + bc + ca ) + ( a + b + c ) 3 3 Từ suy ra: b3 a2 + c b2 + a c2 � + = ĐPCM 3 Tương tự ta có ( ) 17 Đẳng thức xảy a = b = c = Ví dụ 17: Cho a,b,c số thực không âm thỏa mãn a2 + b2 + c2 = c b a + + �1 Chứng minh + ab + ac + bc Lời giải c b a + + Đặt P = + ab + ac + bc Áp dụng BĐT côsi ta có ( ca ) ( cb) c abc abc ca + cb =c�c =c�c + ab + ab ab b ba + bc a ab + ac �b , �a Tương tự ta ta có + ac + bc Cộng vế theo vế BĐT ta được: ab + bc + ca P �a + b + c 2 Mặt khác a2 + b2 + c2 = � ( a + b + c ) = + 2( ab + bc + ca ) (*) Hay ab + bc + ca = ( a + b + c) - ( a + b + c) - (a + b + c - 1)(3 - a - b - c) + (1) 4 Từ giả thiết ta có a,b,c �[0;1] � - a - b - c � (2) Và từ (*) suy a + b + c �1 (3) Từ (1), (2) (3) suy P �1 ĐPCM Dấu xảy ba số a, b, c có số hai số lại Bài tập luyện tập x y z 1 Bài 4.6: Cho x, y, z dương Chứng minh + + � 2+ 2+ 2 2 x +y y +z z +x x y z Suy P �a + b + c - = Bài 4.7: Cho số dương x, y, z thỏa mãn xyz = Chứng minh rằng: + x3 + y3 + y3 + z3 + z + x3 + + �3 xy yz zx Bài 4.8: Với số dương a, b, c, d cho: Chứng minh rằng: abcd � a b c d + + + =1 1+ a 1+ b 1+ c 1+ d 81 Bài 4.9: Với số dương a, b, c cho: a b c + + =1 1+ b 1+ c 1+ a � � � � � � 1+ b 1+ c 1+ a � � - 1� - 1� - 1� �8 � � � Chứng minh rằng: � � � � � � � �a � �c � � �b � � � Bài 4.10: Cho ba số dương x, y, z thoả mãn hệ thức xyz ( x + y + z ) = 18 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = ( x + y ) ( x + z ) Bài 4.11: Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn ab + bc + ca = Chứng minh a 1+ a 1+ b 1+ c Bài 4.12: Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn a + b + c = Chứng minh ab bc ca + + � c + ab a + bc b + ca + b + c � Bài 4.13: Cho ba số thực dương a,b,c Chứng minh + � ab + bc + ca a + b + c Bài 4.14: Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn abc = 1 1 + + � Chứng minh : a ( + b) b( + c ) c ( + a ) Bài 4.15: Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn a + b + c = a +b b +c c +a + + �3 2ab 2bc 2ca Bài 4.16: Cho ba số thực dương a,b,c Chứng minh Chứng minh rằng: � a� � b� � c� � a +b +c� � � � � 1+ � 1+ � 1+ � 1+ � � �� 2� � � � � � � � � � � � � � � b� � c� � a� � abc � Bài 4.17: Cho a,b,c độ dài ba cạnh tam giác Tìm giá trị lớn biểu thức P = 2a 2b 2c + + 2b + 2c - a 2c + 2a - b 2a + 2b - c Bài 4.18: Với số dương a, b, c, chứng minh rằng: a) a3 + b3 + c3 �ab2 + bc2 + ca2 c) b) a3 b3 c3 + + �ab + bc + ca b c a a6 b6 c6 a4 b4 c4 + + � + + c a b b3 c3 a3 Bài 4.19: Với số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca = Chứng minh a3 + b3 + c3 � Bài 4.20: Với số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện 4( a + b + c ) = 3abc Chứng minh rằng: 1 + + � a3 b3 c3 Bài 4.21: Với số dương a, b, c Chứng minh rằng: a3 b3 c3 + + � ( a + b + c) a) b( b + c ) c ( c + a ) a ( a + b) 19 b) a3 ( b + 2c ) + b3 ( c + 2a ) + c3 ( a + 2b) � ( a + b + c) Bài 4.22: Cho x, y, z dương thỏa mãn xyz = Chứng minh : x3 + y3 + z3 � x + y + z Bài 4.23: Cho a,b,c dương a + b + c = 1.Chứng minh rằng: 9(a4 + b4 + c4) �a2 + b2 + c2 Bài 4.24: Cho x, y, z dương thỏa mãn x + y + z = Chứng minh : 1 (1 + )4 + (1 + )4 + (1 + )4 � 768 x y z Bài 4.25: Cho a,b dương thỏa mãn a + b = Chứng minh �2 �2 1� 1� 289 1 � � � � a + b + � �� + � + + ab � 11 a) b) c) � � 2� 2� 2 � � � b � � a � 16 ab a + b ab a +b Bài 4.26: Cho hai số thực dương a,b Chứng minh �2 �2 � 3� 3� � 1� 1� � � � a +b + � b +a + � 2a + � 2b + � � ��� � � � � � � � � � � 4� 4� 2� 2� � � � � � � � � Bài 4.27: Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn xy + yz + zx = Chứng minh rằng: + � xyz (x + y)(y + z)(z + x) Bài 4.28: Cho x, y, z dương thỏa mãn x + y + z = Chứng minh x3 y3 z3 + + � + ( xy + yz + zx ) 3 y + z + x + 27 Bài 4.29: Cho a,b,c dương Chứng minh a2 b2 c2 + + � ( a + b + c) 3a2 + 8b2 + 14ab 3b2 + 8c2 + 14bc 3c2 + 8a2 + 14ca Bài 4.30: Cho ba số thực dương x, y, z Chứng minh rằng: 16x 16y 16z 1+ + 1+ + 1+ �9 y +z z +x x +y Bài 4.31: Cho a,b,c số dương thỏa mãn abc �1 Chứng minh a2 + + b2 + + c2 + � 2( a + b + c ) Bài 3.32: Cho a,b,c số dương Chứng minh � �1 1� a b c� a) � + + � �( a + b + c ) � + + � � � � � � � � � b c a� a b c� � � b) a3 a + ( b + c) 3 + b3 b + ( c +a) 3 + c3 c + ( a + b) 3 �1 Bài 3.33: Cho x, y, z số thực không âm thỏa mãn x3 + y3 + z3 = Chứng minh xy + yz + zx - xyz � Bài 3.34: Cho a,b,c thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị nhỏ M = a3 + 64b3 + c3 Bài 3.35: Cho x, y, z dương thỏa mãn xy + yz + zx = Tìm GTNN P = x2 + 2y2 + 3z2 20 Bài 3.36: Cho a,b,c không âm thỏa mãn a2 + b2 + c2 = Chứng minh a3 + 2b3 + 3c3 � Bài 3.37: Cho x, y, z dương thỏa mãn x + xy + xyz = Chứng minh x + y + z �1 2 a b 16c2 + + � (64c - a - b) Bài 3.38: Cho a,b,c dương Chứng minh b+c c +a a +b 3x2 2 x , y , z Bài 3.39: Cho dương thỏa mãn y + yz + z = Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức P = x + y + z Bài 3.40: Cho x, y, z dương thỏa mãn xy + yz + zx = Tìm giá trị nhỏ của: x2 y2 z2 + + x +y y +z z +x Bài 3.41: Cho x, y, z dương thỏa mãn x + y + z = 3.Tìm giá trị nhỏ x2 y2 z2 A= + + x + y2 y + z2 z + x2 T =  DẠNG 4: ĐẶT ẨN PHỤ TRONG BẤT ĐẲNG THỨC Phương pháp giải Điều quan trọng kĩ thuật phát ẩn phụ (ẩn phụ x = f ( a,b,c ) , y = g( a,b,c ) , z = h ( a,b,c ) ẩn phụ t = f ( a;b;c ) ) Ẩn phụ có biểu thức bất đẳng qua số phép biến đổi, đánh giá Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho số dương a,b,c a +b 6b + 8c 3a + 2b + c + + �7 a) Chứng minh a +b +c 2a + b b +c a +b b+c c +a + + b) Tìm giá trị nhỏ P = a + b + c b + c + 4a c + a + 16b Lời giải a) Đặt x = a + b + c, y = 2a + b, z = b + c Suy a = x - z, b = - 2x + y + 2z, c = 2x - y - z - x + y + z 4x - 2y + 4z x + y + + �7 x y z y z 4x 4z x y � - 1+ + + - 2+ + + �7 x x y y z z � �z x � �4z y � y 4x � �� + � + � + � �+ � �+ � ��10 (*) � � � � � � � � � � �y x y� x z� z� � Bất đẳng thức trở thành y 4x z x 4z y + � 4, + �2, + �4 x y x z y z Suy BĐT (*) ĐPCM 2x = y � � � Đẳng thức xảy � � �x = z � 2x = y = 2z suy không tồn a,b,c � � � �2z = y 21 Áp dụng BĐT cơsi ta có Dấu đẳng thức khơng xảy b) Đặt x = a + b + c, y = b + c + 4a, z = c + a + 16b y- x z- x 21x - 5y - z ,b= ,c= 15 15 - 6x + 5y + z 4x - y 16x - z + + Khi ta có P = 15x 3y 15z y 4x z 16x �P = + + + 3x 3y 15y 15z y 4x z 16y + � , + � Áp dụng BĐT côsi ta có 3x 3y 15y 15z 15 16 5b 5c Suy P � + = , đẳng thức xảy � 4x = 2y = z � a = = 15 15 16 5b 5c Vậy P = a = = 15 a , b , c Ví dụ 2: Cho ba cạnh tam giác có chu vi 2p Chứng minh Suy a = a b c b +c c +a a +b + + � + + p- a p- b p- c p- a p- b p- c Lời giải Đặt x = p - a; y = p - b; z = p - c suy a = y + z; b = z + x; c = x + y Do a,b,c ba cạnh tam giác nên x, y, z dương Bất đẳng thức cần chứng minh đưa dạng: y +z z +x x +y y +z z +x x +y + + � 2+ + 2+ + 2+ x y z x y z Áp dụng bất đẳng thức cơsi ta có: + Tương tự ta có + y +z � y +z� y +z � �� 2+ +4= +6 � � � � x x � x � z +x z +x x +y x +y � + 6, + � +6 y y z z Cộng vế với vế BĐT ta � � y +z z +x x +y y +z z +x x +y� � 4� + + + + + + + + 18 � �� � � x y z � x y z � � Vì ta cần chứng minh � � y + z z + x x + y 1� y +z z +x x +y + + � � + + + 18� � � � x y z 4� y z �x � y +z z +x x +y + + � x y z Ta có � � y +z z +x x +y � y x� y z� x z� + + =� + � +� + � +� + � � � � � � � � � � � � � x y z x y� � z y � �z x � � 22 Áp dụng BĐT cơsi ta có Suy y x y x y z x z + � = 2, + � 2, + � x y x y z y z x y +z z +x x +y + + � ĐPCM x y z Đẳng thức xảy a = b = c hay tam giác Nhận xét : Đối với BĐT có giả thiết a,b,c ba cạnh tam giác ta thực phép đặt ẩn phụ a +b- c a - b+c - a +b+c a = y + z; b = z + x; c = x + y x= ,y= ,z= 2 x, y, z dương Ta chuyển toán với giả thiết x, y, z dương khơng cịn ràng buộc ba cạnh tam giác 1590 Ví dụ 3: Cho x, y, z số dương Chứng minh x3 + 2y3 + 3z3 � ( x + y + z) 1331 Lời giải 3 � x � � y � � z � � � � � � Ta có BĐT � � + + � � �� � � � � � � � � � x +y +z� x +y +z� x +y +z� � � � x y z ,b= ,c= � a,b,c dương a + b + c = x +y +z x +y +z x +y +z 1590 BĐT trở thành a3 + 2b3 + 3c3 � 1331 Áp dụng BĐT côsi ta có 3 3 3 �6 � � �6 � �3 � �3 � � 18 �2 � �2 � 18 18 3 � � � � � � � � � � a + � �+ � � � a , 2b + 2� �+ 2� � � b, 3c + 3� �+ 3� � � c � � � � � � � � � � � � 11� � 11� 11 11� 11� 11 11� 11� 11 � � � � � Đặt a = Cộng vế với vế BĐT ta 588 18 18 a3 + 2b3 + 3c3 + � ( a + b + c) = 1331 11 11 1590 Suy a3 + 2b3 + 3c3 � 1331 Nhận xét: Phương pháp đặt ẩn phụ áp dụng BĐT đồng bậc(Người ta gọi phương pháp chuẩn hóa) Ví dụ 4: Cho x, y, z số dương thỏa mãn x + y + z � 1 15 Chứng minh x + y + z + + + � x y z Lời giải Áp dụng bất đẳng thức cơsi ta có: 1 1 1 x + y + z � 33 xyz nên + + � + + � 33 x y z x +y +z x y z xyz 1 + + �x + y + z + x y z x +y +z Đặt t = x + y + z � < t � 9 15 =t + � Khi ta cần chứng minh x + y + z + x +y +z t Suy x + y + z + 23 Áp dụng BĐT cơsi ta có 9 27 27 15 t+ =t+ + � t + = t 4t 4t 4t ĐPCM Đẳng thức xảy x = y = z = 1 + + = Tìm giá trị nhỏ Ví dụ 5: Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn a + b+ c + biểu thức P = a + b + c + abc Lời giải 1 + + = � = abc + ab + bc + ca Ta có a + b+ c + Áp dụng BĐT cơsi ta có ab + bc + ca � 33 ( abc ) 2 Suy = abc + ab + bc + ca �abc + 33 ( abc ) = t + 3t , với t = abc (t �+-��-+‫�ޣ‬ t 3t2 1) ( t 2) t Cũng theo BĐT cơsi ta có 4 P = a +b +c + � 33 abc + abc abc � 3� 3t + � � Suy P � 3t + = � � �+ t � t t� � Áp dụng BĐT cơsi ta có 3t + t 3 � 3t = , mặt khác t ‫�ޣ‬ t t � , đẳng thức xảy t = hay a = b = c = t Vậy P = � a = b = c = � 1� � 1� � 1� � � � 1+ � + 1+ � � � � Ví dụ 6: Cho x, y, z dương thỏa mãn � � � � � � �= � x� � y� � z� � � � Do P � 3t + Tìm giá trị lớn P = x2 + y2 + z2 + 14xyz 4( x + y + z ) + 15xyz Lời giải � 1� � � 1� � � 1� � � � 1+ � 1+ � 1+ � = � 8xyz = + x + y + z + xy + yz + zx + xyz Ta có � � � � � � � � � � � x� � y� � z� � x2 + y2 + z2 + 14xyz = ( x + y + z ) + 2( x + y + z ) + ( 1) � 1� � � � � 1 � Áp dụng BĐT cơsi ta có: ‫�ޣ‬+++= � � � � � x� � � � 1� � � � � � � y� � 1� � � � z� xyz xyz ( 2) ( x + y + z ) + 2( x + y + z ) + t2 + 2t + x + y + z = t > P � = Từ (1) (2) ta có với 4t2 + 15 4( x + y + z ) + 15 2 t - 3) ( t + t + t + t Xét 4t2 + 15 - = 12t + 45 =- 12t2 + 45 �0 24 t2 + 2t + 1 � P � 4t + 15 Đẳng thức xảy t = hay x = y = z = 1 Vậy max P = x = y = z = 3 Bài tập luyên tập 25x 4y 9z + + > 12 Bài 4.42: Cho x, y, z dương , CMR y +z z +x x +y Bài 4.43: Cho số dương a,b,c Chứng minh 4a b + 3c 8c + �12 - 17 a + b + 2c 2a + b + c a + b + 3c Bài 4.44: Cho x, y, z số dương thoả mãn xyz � x + y + z + Chứng minh x + y + z �6 Bài 4.45: Cho a,b,c số thực dương a11 b11 c11 a6 + b6 + c6 + Chứng minh + + + 222� bc ca ab a b c 2 x , y , z Bài 4.46: Cho số không âm thoatr mãn x + y2 + z2 + xyz = Chứng minh x + y + z �3 Bài 4.47: Cho x, y, z số thực thỏa mãn x2 + y2 + z2 = Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu Suy thức P = x3 + y3 + z3 - 3xyz Bài 4.48: Cho x, y, z �(0;1) xyz = (1- x)(1 - y)(1 - z) Chứng minh x2 + y2 + z2 � Bài 4.49: Cho số thực x, y thỏa x �- 2y Tìm giá trị nhỏ biểu thức : (2x2 + 13y2 - xy)2 - 6xy + P = (x + 2y)2  DẠNG 5: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ Phương pháp giải Điều quan trọng dạng toán cần phát bất đẳng thức phụ Bất đẳng thức phụ BĐT có từ đặc điểm BĐT cần chứng minh dự đoán đưa BĐT phụ từ vận dụng vào tốn Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho a,b,c số dương Chứng minh rằng: a b c a +b +c a) + + � abc b c a 1 1 + + � b) 3 3 a + b + abc b + c + abc c + a + abc abc Lời giải Trước tiên ta chứng minh a3 + b3 �a2b + b2a BĐT tương đương với a3 + b3 - a2b - b2a � � a2(a - b) + b2(b - a) � � (a - b)2(a + b) � (đúng với a > 0,b > ) � a3 + b3 �a2b + b2a Đẳng thức xảy a = b a 1 a) Ta có a3 + b3 �a2b + b2a � + � + ab b a b 25 b 1 c 1 + 2� 2+ , 3+ 2� 2+ bc a ac c b c c a a b c 1 Cộng vế với vế rút gọn ta + + � + + a b c b c a a b c a +b +c Hay + + � , đẳng thức xảy a = b = c abc b c a b) Theo tốn ta có : a3 + b3 �a2b + b2a = ab(a + b) Hồn tồn tương tự ta có =‫ޣ‬++�++� a3 b3 abc ab(a b a + b3 + abc c) ab(a + b + c) c abc(a + b + c) a b � ; � b + c + abc abc(a + b + c) c + a + abc abc(a + b + c) Cộng ba BĐT lại với ta có đpcm Đẳng thức xảy a = b = c Ví dụ 2: Cho a,b số thực Chứng minh rằng: a) 3(a + b + 1)2 + � 3ab Tương tự : 3 b) 64a3b3(a2 + b2)2 �( a + b) Lời giải � a + b� � a) Áp dụng bất đẳng thức ab �� nên ta chứng minh 3(a + b + 1)2 + � (a + b)2 (*) � � � �2 � � Thật : (*) � 12(a + b)2 + 24(a + b) + 16 � 3(a + b)2 � 9(a + b)2 + 24(a + b) + 16 � � (3a + 3b + 4)2 � (đúng) ĐPCM Đẳng thức xảy a = b = - b) Dễ thấy bất đẳng thức ab � � a + b� � � Xét ab > Áp dụng BĐT ab �� � � ta có � �2 � 2 � � a + b� 2ab + (a2 + b2) � � ��16� � �= ( a + b) 64a b (a + b ) = 16ab � ab ( a + b ) � � � � � � � � �� � � 3 2 2 Suy 64a3b3(a2 + b2)2 �( a + b) 2 Đẳng thức xảy khia = b Ví dụ 3: Cho a số dương b số thực thỏa mãn a2 + b2 = 2a3 + a + Tìm giá trị nhỏ P = - 2b a2 Lời giải Áp dụng bất đẳng thức ( a2 + b2 ) ( c2 + d2 ) �( ac + bd ) (*), dấu đẳng thức xảy ad = bc Ta có ( a2 + b2 ) ( + 4) = 25 �( a + 2b) � a + 2b � Suy - 2b �a - 2a3 + a + 2a3 + a + 1 Do P = b � + a - = 3a + + - (1) 2 a a a a 1 Áp dụng BĐT côsi ta có a + � 2, a + a + � a a 26 Do 3a + 1 + � (2) a a2 Từ (1) (2) suy sa P � Đẳng thức xảy a = 1, b = Vậy P = � a = 1, b = Nhận xét: Bất đẳng thức (*) bất đẳng thức Bunhiacopxki cho bốn số Ta tổng quát bất đẳng thức Cho 2n số a1,a2, ,an ,b1,b2, ,bn Khi ta có bất đẳng thức (a1b1 + a2b2 + + anbn )2 �(a12 + a22 + + an2)(b12 + b22 + + bn2) Ví dụ 4: Cho a, b, c dương thỏa mãn a + b + c = Chứng minh a3 b3 c3 a) + + �3 bc ca ab 1 b) + + �a2 + b2 + c2 a b c Lời giải a) Áp dụng BĐT a2 + b2 + c2 �ab + bc + ca hai lần ta có : a4 + b4 + c4 = (a2)2 + (b2)2 + (c2)2 �a2b2 + b2c2 + c2a2 = (ab)2 + (bc)2 + (ca)2 � �abbc + bcca + caab = abc(a + b + c) = 3abc (vì a + b + c = ) a4 + b4 + c4 a3 b3 c3 Suy � hay + + � ĐPCM abc bc ca ab Đẳng thức xảy � a = b = c 1 1 1 b) Áp dụng a2 + b2 + c2 �ab + bc + ca ta có + + � + + = ab bc ca abc a b c Do ta cần chứng minh �a2 + b2 + c2 � abc ( a2 + b2 + c2 ) � 3(*) abc Lại áp dụng ( a + b + c ) � 3( ab + bc + ca ) (ví dụ 1) ta có bc ca ) ( ab ‫ޣ‬++�++ 3abc ( a b c) abc ( ab + bc + ca ) (**) � a +b +c� � Áp dụng bất đẳng thức abc �� � � � (**) ta có � � � abc ( a2 + b2 + c2 ) � ( ab + bc + ca ) ( a2 + b2 + c2 ) �a + b + c � � ( ) � 1� � � � =3 � � � 9� � � � Vậy BĐT (*) nên BĐT ban đầu ĐPCM Đẳng thức xảy � a = b = c Ví dụ 5: Cho a,b,c số dương Chứng minh 1 1 1 + + � ( + + ) a) 2a + b + c 2a + 2b + c a + b + 2c a b c 1 1 1 + + � + + b) a + 3b b + 3c c + 3a 2a + b + c a + 2b + c a + b + 2c lời giải Áp dụng BĐT Cơsi cho hai số thực khơng âm ta có: 27 a + b � ab � � 1 � � (a + b)( + ) � ab.2 =4 1 1� � a b ab + �2 � � a b ab � 1 Suy + � (*) Đẳng thức xảy � a = b a b a +b a) Áp dụng BĐT (*) ta có: 1 1 1 1 = � ( + )� ( + + ) 2a + b + c (a + b) + (a + c) a + b a + c 16 a b c 1 1 1 � ( + + ); � ( + + ) a + 2b + c 16 a b c a + b + 2c 16 a b c Cộng ba BĐT ta có đpcm Đẳng thức xảy � a = b = c b) Áp dụng BĐT (*) ta có: 1 + � = a + 3b a + b + 2c 2a + 4b + 2c a + 2b + c Tương tự 1 1 + � ; + � b + 3c 2a + b + c a + b + 2c c + 3a a + 2b + c 2a + b + c Cộng ba BĐT ta có đpcm Đẳng thức xảy � a = b = c Ví dụ 6: Cho a,b,c dương thỏa mãn a + b + c = Chứng minh a b c + + � a) 1+ a 1+ b 1+ c 1 1 + + + � 30 b) 2 ab bc ca a +b +c Lời giải Áp dụng BĐT Cơsi cho ba số thực dương ta có : a + b + c � 33 abc � � 1 1 � � (a + b + c)( + + ) � 33 abc.3 =9 1 1 � � a b c + + �3 abc � a b c � abc � 1 Suy + + � (*) Đẳng thức xảy � a = b = c a b c a +b +c a + 1- b + 1- c + 1- + + � a) Ta có BĐT � a +1 b+1 c +1 1 1 � 3- ( + + )� � + + � a +1 b+1 c +1 a +1 b+1 c +1 1 9 + + � = đpcm Áp dụng BĐT (*) ta có a +1 b+1 c +1 a +b+c + Đẳng thức xảy � a = b = c = 1 + + � b) Áp dụng BĐT (*) ta có : ab bc ca ab + bc + ca 1 1 � + + + � + 2 2 ab bc ca a + b + c ab + bc + ca a +b +c 1 = + + + 2 ab + bc + ca ab + bc + ca ab + bc + ca a +b +c Tương tự ta có 28 1 bc ca (a b c)2 21 Mặt khác : ab ‫=ޣ‬++�++ 3 ab + bc + ca 1 + + � =9 2 2 ab + bc + ca ab + bc + ca a + b + c + 2(ab + bc + ca) a +b +c 1 1 + + + � + 21 = 30 đpcm 2 ab bc ca a +b +c Đẳng thức xảy � a = b = c = 3 0;1� Ví dụ 7: Cho a,b,c số thuộc � � �thỏa mãn 4a4 + + 4b4 + + 4c4 + = Tìm giá trị lớn P = ab2c3 Lời giải Ta chứng minh bất đẳng thức sau 1 + � 2 Với x, y thuộc [0,1], ta ln có (*) 4x + 4y + 4x y + Thật vậy, BĐT (*) � ( 2x4 + 2y4 + 5) ( 4x2y2 + 5) �( 4x4 + 5) ( 4y4 + 5) Suy : � 8x4y4 - 10x2y2 + ( x4 + y4 ) ( - 4x2y2 ) � � (5 - 4x2y2)(x2 - y2)2 � (đúng với x, y �[0,1]) Dấu xảy x = y 1 1 + � 22 , + � 22 Áp dụng BĐT (*) ta có: 4a + 4c + 4a c + 4b + 4c + 4b c + 1 2 + + � 22 + 22 � Suy (1) 4a + 4b + 4c + 4a c + 4b c + 4abc2 + 1 1 + � , + � Và 4b4 + b2 c4 + c2 +5 +5 2 1 2 + + � + � Suy 4b4 + 4c4 + (2) bc b2 c2 +5 + + 2 4 + � bc Ta lại có 4abc2 + (3) + ab c + 2 + + + � Từ (1), (2) (3) ta có 4a + 4b + 4c + ab c3 +5 8 ‫�ޣ‬ ab2c3 Kết hợp giả thiết suy ab2c3 +5 Dấu xảy a = b = c = 29 1 a = b = c = 16 Bài tập luyện tập Bài 4.50: Cho a, b, x, y  R Chứng minh bất đẳng thức sau: (1) a2 + x2 + b2 + y2 � (a + b)2 + (x + y)2 Áp dụng chứng minh bất đẳng thức sau: a) Cho a, b  thoả a + b = Chứng minh + a2 + + b2 � Vậy max P = 1 + b2 + b a c) Cho x, y, z > thoả mãn x + y + z = Chứng minh: b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x2 + a2 + 1 + y2 + + z2 + � 82 x y z d) Cho x, y, z > thoả mãn x + y + z = P= Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 223 + x2 + 223 + y2 + 223 + z2 Bài 4.51: Cho a,b dương Chứng minh 1 + � (1) a b a +b Áp dụng chứng minh BĐT sau: �1 1 1 � � + + a) + + �2� ; với a, b, c > � � � � a b c a +b b +c c +a � � � 1 1 � + + �2� + + b) ; với a, b, c > � � � � a +b b +c c +a 2a + b + c a + 2b + c a + b + 2c � 1 1 1 + + �1 c) Cho a, b, c > thoả + + = Chứng minh: 2a + b + c a + 2b + c a + b + 2c a b c ab bc ca a +b +c + + � d) ; với a, b, c > a +b b +c c +a 2xy 8yz 4xz + + � e) Cho x, y, z dương thoả mãn x + 2y + 4z = 12 Chứng minh: x + 2y 2y + 4z 4z + x f) Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác, p nửa chu vi Chứng minh rằng: �1 1� 1 + + � 2� + + � � � � � p- a p- b p- c a b c� 1 Bài 4.52: Cho a,b,c số dương Chứng minh + + � (1) a b c a +b +c Áp dụng chứng minh BĐT sau: �1 � 1 � + + � (a + b + c) với a,b,c dương a) (a2 + b2 + c2) � � � � � a +b b + c c +a � a b c + + � Với a,b,c dương thoả a + b + c = b) a +1 b+1 c +1 1 + + � Với a,b,c dương thỏa mãn a + b + c �1 c) a + 2bc b + 2ac c + 2ab 2009 + � 670 Với a,b,c dương thỏa mãn a + b + c = d) 2 ab + bc + ca a +b +c 30 Bài 4.53: Cho a,b,c � abc = Chứng minh : ab bc ca + + �1 5 a + b + ab b + c + bc c + a5 + ac Bài 4.54: Cho ba số thực không âm a, b, c khơng có hai số đồng thời khơng Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = a b c ab + bc + ca + + + 2 b +c c +a a +b a + b2 + c2 31 ... � Đẳng thức xảy a = 1, b = Vậy P = � a = 1, b = Nhận xét: Bất đẳng thức (*) bất đẳng thức Bunhiacopxki cho bốn số Ta tổng quát bất đẳng thức Cho 2n số a1,a2, ,an ,b1,b2, ,bn Khi ta có bất đẳng. .. - xy)2 - 6xy + P = (x + 2y)2  DẠNG 5: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ Phương pháp giải Điều quan trọng dạng toán cần phát bất đẳng thức phụ Bất đẳng thức phụ BĐT có từ đặc điểm BĐT cần chứng minh... c2 �14  DẠNG TOÁN 2: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY(Cơsi) ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GIÁ TRI LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT Phương pháp giải Một số ý sử dụng bất đẳng thức côsi: * Khi áp dụng bđt cơsi