Buổi 4: -ÔN TẬP KIẾN THỨC QUAN TRỌNG LỚP 7 I.ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG. 1.Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song: Nếu một đường thẳng c cắt hai đường thẳng a và b và trong các góc tạo thành có: - Một cạp góc so le trong bằng nhau, hoặc - Một cặp góc đồng vị bằng nhau, hoặc - Một cặp góc so le ngoài bằng nhau, hoặc - Một cặp góc trong cùng phía bù nhau, hoặc - Một cặp góc ngoài cùng phía bù nhau thì hai đường thẳng a và b song song với nhau. 2.Tiên đề Ơclit : a) Tiên đề: Qua một điểm ở ngoài một đường thẳng chỉ có một đường thẳng song song với đường thẳng đó. b) Hệ quả: - Nếu một đường thẳng cắt một trong hai đường thẳng song song thì nó cũng cắt đường thẳng còn lại. - Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau. 3.Tính chất của hai đường thẳng song song: Một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song tạo ra: - Hai góc so le trong bằng nhau; - Hai góc đồng vị bằng nhau; - Hai góc trong cùng phía bù nhau; - Hai góc so le ngoài bằng nhau; - Hai góc ngoài cùng phía bù nhau. 4.Quan hệ giữa vuông góc và song song: ba cb ca // ⇒    ⊥ ⊥ bc ba ac ⊥⇒    ⊥ // II.TAM GIÁC: 1.Liên hệ giữa các góc trong tam giác: a) Tổng các góc của tam giác: Tổng các góc của tam giác bằng 180 0 b) Liên hệ giữa góc ngoài và góc trong: *Định lí: Trong một tam giác, góc ngoài bằng tổng hai góc trong không kề với nó. Hệ quả: Trong một tam giác, góc ngoài lớn hơn góc trong không kề với nó. 2.Liên hệ giữa các cạnh trong tam giác: *Định lí: Trong một tam giác, mỗi cạnh thì lớn hơn hiệu nhưng nhỏ hơn tổng hai cạnh còn lại. (Bất đẳng thức tam giác) 3.Liên hệ giữa cạnh và góc trong tam giác: *Định lí 1: Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn và ngược lại. *Định lí 2: Hai tam giác có hai cạnh tương ứng bằng nhau nhưng cạnh thứ ba không bằng nhau thì cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn và ngược lại. 4.Các đường thẳng đồng quy trong tam giác: a) Trung tuyến: Trong một tam giác ba đường trung tuyến đồng quy tại một điểm gọi là trọng tâm của tam giác. Điểm này cách đỉnh một đoạn bằng hai lần khoảng cách từ nó đến trung điểm của cạnh đối diện. b) Phân giác: + Tính chất tia phân giác của góc: Một điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc và ngược lại, một điểm cách đều hai cạnh của một góc thì nằm trên tia phân giác của góc ấy. + Người ta cũng nói: Tập hợp (hoặc quỹ tích) các điểm cách đều hai cạnh của góc là tia phân giác của góc ấy. + Các tia phân giác của các góc trong của tam giác: Trong một tam giác, các phân giác trong đồng quy tại một điểm ; điểm này cách đều ba cạnh của tam giác. Người ta gọi điểm này là tâm đường tròn nội tiếp tam giác. c) Đường cao: 19 Trong tam giác, ba đường cao đồng quy tại một điểm, điểm này gọi là trực tâm của tam giác. d) Trung trực: + Tính chất đường trung trực của đoạn thẳng: Một điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó. Ngược lại, một điểm cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng ấy. + Người ta cũng nói: Tập hợp (hay quỹ tích) các điểm cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng ấy. + Các đường trung trực của một tam giác: Trong một tam giác, ba đường trung trực đồng quy tại một điểm; điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác. Người ta cũng gọi giao điểm của ba đường trung trực là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác. 5.Các loại tam giác đặc biệt: a) Tam giác vuông: *Định nghĩa: Tam giác vuông là tam giác có một góc vuông *Tính chất: + Định lí 1: Trong một tam giác vuông thì hai góc nhọn phụ nhau. Trong một tam giác vuông thì cạnh huyền lớn hơn mỗi cạnh góc vuông. + Định lí 2: Trong một tam giác vuông thì trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền. Ngược lại, một tam giác có đường trung tuyến bằng một nửa cạnh đối diện thì tam giác ấy là tam giác vuông. *Định lí Pi-ta-go: +Thuận: Trong một tam giác vuông bình phương độ dài cạnh huyền bằng tổng các bình phương của độ dài hai cạnh góc vuông. + Đảo: Nếu một tam giác có bình phương của một cạnh bằng tổng các bình phương của hai cạnh còn lại thì tam giác ấy là tam giác vuông. b)Tam giác cân: *Định nghĩa: Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau. *Tính chất: 20 + Định lí 1: - Trong một tam giác cân hai góc ở đáy bằng nhau. -Đảo lại, một tam giác có hai góc bằng nhau thì tam giác ấy là tam giác cân. +Định lí 2: -Trong một tam giác cân thì đường trung tuyến, đường phân giác, đường cao và đường trung trực thuộc cạnh đáy là các đường trùng nhau. -Ngược lại, một tam giác mà có hai trong bốn đường (trung tuyến, phân giác, đường cao, trung trực) trùng nhau thì tam giác đó là tam giác cân. c) Tam giác đều: *Định nghĩa: Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau *Tính chất: - Trong một tam giác đều, ba góc bằng nhau (và bằng 60 0 ) -Ngược lại, một tam giác có hai góc bằng 60 0 thì tam giác đó là một tam giác đều. -Một tam giác cân có một góc bằng 60 0 là một tam giác đều. -Trong một tam giác đều thì trọng tâm, trực tâm, giao điểm của các đường phân giác trong, giao điểm của các đường trung trực là những điểm trùng nhau tại một điểm mà người ta gọi là tâm của tam giác. 6.Các trường hợp bằng nhau của tam giác: + Cạnh – cạnh – cạnh +Cạnh – góc – cạnh + Góc – cạnh – góc 21 HÌNH HỌC 8 CHỦ ĐỀ 1: TỨ GIÁC I.MỤC TIÊU: - Học sinh được củng cố các khái niệm tứ giác, hình thang, hình thang cân, hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông. - Biết vận dụng thành thạo tính chất của các từ giác đặc biệt. - Biết vận dụng dấu hiệu nhận biết để chứng minh một tứ giác là hình thang, hình thang cân, hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông. - Rèn luyện kỹ năng vẽ hình, kỹ năng trình bày lời giải một bài tập hình, kỹ năng phân tích bài toán hình. II.NỘI DUNG DẠY HỌC: Bài 1:TỨ GIÁC A.TÓM TẮT LÝ THUYẾT: 1.Định nghĩa: -Tứ giác ABCD là hình gồm 4 đoạn thẳng AB, BC, CD, DA , trong đó bất kỳ hai đoạn thẳng nào cũng không nằm trên một đường thẳng. -Tứ giác lồi là tứ giác luôn nừm trong một nửa mặt phẳng mà bờ là đường thaengr chứa bất kỳ cạnh nào của tứ giác. 2.Chú ý: Từ nay khi nói đến tứ giác mà không chú thích gì thên thì ta hiểu đó là tứ giác lồi. 3.Tính chất: -Trong một tứ giác lồi, hai đường chéo cắt nhau tại một điểm thuộc miền trong của tứ giác. - Tổng bốn góc của tứ giác bằng 360 0 -Tổng các góc ngoài của tứ giác lồi bằng 360 0 B.VÍ DỤ - BÀI TẬP MẪU: 1.Sử dụng tính chất về góc của tứ giác để tính góc: Bài tập 1: Cho tứ giác ABCD có ∠ B = 120 0 ; ∠ C = 60 0 ; ∠ D = 90 0 . Tính góc A và góc ngoài của tứ giác tại đỉnh A? 22 x A D B C 120 0 60 0 90 0 Giải: Tổng các góc trong của tứ giác ABCD: ∠ A + ∠ B + ∠ C + ∠ D = 360 0 ∠ A = 360 0 – ( ∠ B + ∠ C + ∠ D) ∠ A = 360 0 – (120 0 + 60 0 + 90 0 ) = 90 0 ∠ xAB là một góc ngoài của ∠ A , ta có: ∠ xAB + ∠ A = 180 0 ∠ xAB = 180 0 - ∠ A = 180 0 – 90 0 = 90 0 *Bài tập 2: a)Tính các góc ngoài của tứ giác ở hình 1. b)Tính tổng các góc ngoài của tứ giác ở hình 2. (Tại mỗi đỉnh của tứ giác chỉ chọn một góc ngoài) Giải: a)Tổng các góc trong tứ giác ABCD: ∠ A + ∠ B + ∠ C + ∠ D = 360 0 ∠ D = 360 0 – ( ∠ A + ∠ B + ∠ C) = = 360 0 – (75 0 + 90 0 + 120 0 ) = 75 0 a + ∠ A = 180 0 ⇒ a = 180 0 - ∠ A = 180 0 – 75 0 = 105 0 b + ∠ B = 180 0 ⇒ b = 180 0 - ∠ B = 180 0 – 90 0 = 90 0 c + ∠ C = 180 0 ⇒ c = 180 0 - ∠ C = 180 0 – 120 0 = 60 0 d + ∠ D = 180 0 ⇒ d = 180 0 - ∠ D = 180 0 – 75 0 = 105 0 b) Trong tứ giác ABCD: ∠ A + ∠ B + ∠ C + ∠ D = 360 0 a + b + c + d = (180 0 - ∠ A) + (180 0 - ∠ B) + (180 0 - ∠ C) + (180 0 - ∠ D) = 720 0 – ( ∠ A + ∠ B + ∠ C + ∠ D) = 720 0 – 360 0 = 360 0 2.Sử dụng bất đẳng thức tam giác để giải các bài toán liên hệ đén các cạnh của một tứ giác. *Bài tập 3: Cho tứ giác ABCD. Chứng minh: a) AB < BC + CD + AD b) AC + BD < AB + BC + CD + AD Giải: a)Chứng minh: AB < BC + CD + AD 23 Hình 1 a A 75 0 D d 120 0 c CB b 90 0 d D a A b B C c Hình 2 B C A Trong ∆ ACD có : AC < AD + CD Trong ∆ ABC có : AB < BC + AC Suy ra: AB < BC + AC < BC + CD + AD AB < BC + CD + AD b) Chứng minh: AC + BD < AB + BC + CD + AD Trong ∆ ACD có : AC < CD + AD Trong ∆ ABC có: AC < AB + BC Cộng vế theo vế: 2AC < AB + BC + CD + AD AC < 2 ADCDBCAB +++ (1) Trong ∆ ABD : BD < AB + AD Trong ∆ BCD : BD < BC + CD Cộng vế theo vế: 2BD < AB + BC + CD + AD BD < 2 ADCDBCAB +++ (2) Cộng (1) và (2) với vế theo vế: AC + BD < AB + BC + CD + AD (đpcm) Buổi 5: 24 D C.BÀI TẬP LUYỆN TẬP: *Bài tập 1: Cho tứ giác ABCD có AB = AD; CB = CD ; ∠ C = 60 0 ; ∠ A = 100 0 . a) Chứng minh AC là đường trung trực của đoạn thẳng BD. b)Tính ∠ B; ∠ D ? Giải: a) Chứng minh AC là đường trung trực của đoạn thẳng BD: AB = AD (gt) ⇒ A thuộc đường trung trực của BD. Có CB = CD (gt) ⇒ C thuộc đường trực của BD Vậy AC là đường trung trực của BD. b)Tính ∠ B; ∠ D : ∆ ABD cân tại A (AB = AD) ⇒ ∠ ABD = ∠ ADB ∆ CBD cân tại C (CB = CD) ⇒ ∠ CBD = ∠ CDB ∠ B = ∠ CBD = ∠ CBD + ∠ DBA ∠ D = ∠ CDA = ∠ CDB + ∠ BDA Suy ra ∠ B = ∠ D Trong tứ giác ABCD, ta có : ∠ A + ∠ B + ∠ C + ∠ D = 360 0 ∠ B + ∠ D = 360 0 – ( ∠ A + ∠ C) = 360 0 – (100 0 + 60 0 ) = 200 0 Do đó : ∠ B = ∠ D = 100 0 *Bài tập 2: Cho tứ giác ABCD, phân giác trong của góc A và góc B cắt nhau tại E; phân giác ngoài của góc A và góc B cắt nhau tại F. Chứng minh: ∠ AEB = 2 DC ∠+∠ và ∠ AFB = 2 BA ∠+∠ Giải: Trong tam giác AEB có: ∠ AEB = 180 0 – ( ∠ EAB + ∠ EBA) ∠ AEB = 180 0 - 2 )(360 22 0 BABA ∠+∠− =       ∠ + ∠ Trong tứ giác ABCD: ∠ C + ∠ D = 360 0 – ( ∠ A + ∠ B) 25 C D B A D C E B A F 2 )(360 2 0 BADC ∠+∠− = ∠+∠ Suy ra: ∠ AEB = 2 DC ∠+∠ . Tương tự, ta chứng minh được ∠ AFB = 2 BA ∠+∠ *Bài tập 3: Cho tứ giác ABCD, ∠ B + ∠ D = 180 0 ; CB = CD. Trên tia đối của tia DA lấy điểm E sao cho DE = AB. Chứng minh: a) ∆ ABC = ∆ EDC. b)AC là phân giác của góc A. Giải: a)Chứng minh ∆ ABC = ∆ EDC Ta có: BA = ED(gt) BC = DC(gt) ∠ B + ∠ ADC = 180 0 ∠ EDC + ∠ ADC + 180 0 ⇒ ∠ B = ∠ EDC Suy ra: ∆ ABC = ∆ EDC b)Chứng minh AC là phân giác của góc A: Ta có: ∆ ABC = ∆ EDC . Suy ra AC = EC và ∠ BAC = ∠ DEC ∆ ACE cân tại C ⇒ ∠ CAE = ∠ DAE ⇒ ∠ BAC = ∠ CAE Vậy AC là phân giác của góc A. *Bài tập 4: Cho tứ giác ABCD, AB + BD ≤ AC + CD. Chứng minh: AB < AC Giải: Gọi O là giao điểm của AC và BD. Trong ∆ OAB có: OA + OB > AB Trong ∆ ODC: OC + OD > CD Cộng vế theo vế , ta được: OA + OC + OB + OD > AB + CD ⇒ AC + BD > AB + CD Ta có: AC + CD ≥ AB + BD (gt) Cộng vế theo vế: 26 C B A D E A B C D O 2AC + BD + CD > 2AB + CD + BD Suy ra: AC > ab *Bài tập 5: Cho tứ giác ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. a)Chứng minh: ADCDBCABODOCOBOA ADCDBCAB +++<+++< +++ 2 b)Khi O là điểm bất kỳ thuộc miền trong của tứ giác ABCD. Kết luận trên có đúng không? Giải: a)Chứng minh: ADCDBCABODOCOBOA ADCDBCAB +++<+++< +++ 2 Ta có: OA + OB + OC + OD = AC + BD Theo bài tập 3, ta có: AC + BD < AB + BC + CD + AD. Trong ∆ OAB : OA + OB > AB Trong ∆ OCD: OC + OD > CD. suy ra: AC + BD > AB + CD Tương tự: AC + BD > AD + BC Suy ra: AC + BD > 2 ADCDBCAB +++ Vậy : ADCDBCABODOCOBOA ADCDBCAB +++<+++< +++ 2 . b)Khi O là điểm bất kỳ của miền trong tứ giác: Trong ∆ OAB : OA + OB > AB . Trong ∆ ODC: OD + OC > DC Suy ra: OA + OB + OC + OD > AB + CD Tương tự: OA + OB + OC + OD > AD + BC. Suy ra: OA + OB + OC + OD > 2 ADCDBCAB +++ Vậy bất đẳng thức : OA + OB + OC + OD > 2 ADCDBCAB +++ đúng. Xét bất đẳng thức: 27 A B C D O A B C D O [...]... rõ định nghĩa hình thoi, các tính chất của hình thoi, các dấu hiệu nhận biết một tứ giác là hình thoi - Rèn luyện khả năng tính toán, khả năng chứng minh các bài toán II.Nội dung thực hiện: A.Kiến thức cần nhớ: 1 Thế nào là một hình thoi? 52 2 Nêu các tính chất của hình thoi 3 Nêu các dấu hiệu nhận biết hình thoi B.Ví dụ: Ví dụ 1: a Cho hình thoi ABCD, kẻ đờng cao AH, AK CMR: AH = AK b Hình bình hành... 2cm, CD = 4cm, Cb = 3cm Vậy hình thang ABCD thoả mãn yêu cầu bài toán * Biện luận: Ta dựng đợc hai hình thang thoả mãn điều kiện bài toán: ABCD, AB/CD Bài tp 8: Dựng hình thang ABCD, biết hai đáy AB = 2cm, CD = 4cm, . 21 HÌNH HỌC 8 CHỦ ĐỀ 1: TỨ GIÁC I.MỤC TIÊU: - Học sinh được củng cố các khái niệm tứ giác, hình thang, hình thang cân, hình bình hành, hình chữ nhật, hình. ∠ A = 180 0 ⇒ a = 180 0 - ∠ A = 180 0 – 75 0 = 105 0 b + ∠ B = 180 0 ⇒ b = 180 0 - ∠ B = 180 0 – 90 0 = 90 0 c + ∠ C = 180 0 ⇒ c = 180 0 - ∠ C = 180 0 –