Chuyên ñề: Phương trình tiếp tuyến Phương trình tiếp tuyến Ebook ðược Download tại: http://ebook.top1.vn hoặc http://maichoi.vuicaida.com Nội dung Nội dung  Dạng 1: Tiếp tuyến qua một ñiểm  Dạng 2: Số tiếp tuyến qua một ñiểm  Dạng 3: Tiếp tuyến qua ñiểm uốn của ñồ thị Dạng 1 Tiếp tuyến qua một ñiểm  Bài tập mẫu Cho hàm số y = x 3 – 2x 2 + 5x - 1. Lập phương trình tiếp tuyến qua ñiểm M(1;3). Giải Phương trình ñường thẳng qua M có dạng y = a(x - 1) + 3, ñường thẳng là tiếp tuyến khi hệ phương trình sau có nghiệm: thay (2) vào (1), ta ñược x 3 – 2x 2 + 5x – 1 = (3x 2 – 4x + 5)(x - 1) + 3 Rút gọn phương trình Với x = 1: (2) => a = 4 , ta ñược phương trình tiếp tuyến y = 4x -1. Với , ta ñược phương trình tiếp tuyến Dạng 1.Tiếp tuyến qua một ñiểm  − + − = − +   = − + =   3 2 2 x 2x 5x 1 a(x 1) 3 (1) y' 3x 4x 5 a (2) ( ) ( ) − + − = ⇔ − − + = =  =   ⇔ ⇔   = − + =    3 2 2 2 2x 5x 4x 1 0 x 1 2x 3x 1 0 x 1 x 1 1 x 2x 3x 1 0 2 = ⇒ = 1 15 x : (2) a 2 4 = − 15 3 y x . 4 4  Lưu ý Lập phương trình tiếp tuyến qua ñiểm M(x 0 ;y 0 ) với ñồ thị hàm số y = f(x). Cách giải • Phương trình ñường thẳng qua M(x 0 ; y 0 ) có dạng y = a(x – x 0 ) + y 0 , ñường thẳng là tiếp tuyến khi hệ phương trình sau có nghiệm: • Giải hệ trên, ta tìm ñược a, suy ra phương trình tiếp tuyến. Dạng 1.Tiếp tuyến qua một ñiểm = − +   =  0 0 f(x) a(x x ) y f '(x) a  Bài tập tương tự. Cho hàm số , chứng minh rằng qua ñiểm M(-1 ;3) có hai tiếp tuyến của ñồ thị vuông góc với nhau. Giải Phương trình ñường thẳng qua M có dạng y = a(x + 1) + 3, ñường thẳng là tiếp tuyến khi hệ phương trình sau có nghiệm: thay (2) vào (1), ta ñược Rút gọn phương trình (x 2 + x - 1)(x - 1) = (x 2 – 2x) (x + 1)+ 3(x - 1) 2 <=> x 2 – 3x + 1 = 0 + − = − 2 x x 1 y x 1 ( )  + − = + +  −   −  = =  −  2 2 2 x x 1 a(x 1) 3 (1) x 1 x 2x y' a (2) x 1 ( ) + − − = + + − − 2 2 2 x x 1 x 2x (x 1) 3 x 1 x 1 Dạng 1.Tiếp tuyến qua một ñiểm  Bài tập tương tự (tt) Dễ thấy phương trình có hai nghiệm phân biệt thoả mãn Vậy qua M có 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + = = − − ⇒ = − − − + + − + = = = − − − + − + 1 2 1 2 2 2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 x x 3; x x 1. x 2x x 2x (2) a a . x 1 x 1 x x 2x x x x 4x x 1 6 4 a a 1. x x x x 1 1 3 1 Dạng 1.Tiếp tuyến qua một ñiểm Dạng 2 Số tiếp tuyến qua một ñiểm  Bài tập mẫu Cho hàm số y = x 3 - 3x 2 + x + 2, chứng minh rằng từ mỗi ñiểm trên ñường thẳng x = 1, ta kẻ ñược ñúng một tiếp tuyến với ñồ thị. Giải Giả sử M(1;m) thuộc ñường thẳng x = 1, phương trình ñường thẳng qua M có dạng y = a(x - 1) + m, ñường thẳng là tiếp tuyến khi hệ phương trình sau có nghiệm: Thay (2) vào (1), ta ñược x 3 – 3x 2 + x + 2 = (3x 2 – 6x + 1)(x - 1) + m ⇔ f(x) = 2x 3 – 6x 2 + 6x – 3 + m = 0 f ’(x) = 6x 2 – 12x + 6 = 6(x - 1) 2 ≥ 0 ∀ x Suy ra hàm số f(x) ñồng biến trên R, f(x) là hàm số bậc 3 luôn ñồng biến nên phương trình f(x) = 0 có một nghiệm với mọi m. Vậy qua ñiểm M(1;m), ta luôn kẻ ñược ñúng một tiếp tuyến với ñồ thị. Dạng 2. Số tiếp tuyến qua một ñiểm  − + + = − +   = − + =   3 2 2 x 3 x x 2 a(x 1) m (1) y ' 3 x 6 x 1 a (2)  Lưu ý bài toán: Bài toán: Biện luận số tiếp tuyến qua ñiểm M(x 0 ;y 0 ) với ñồ thị hàm số y = f(x) cho trước. Cách giải • Phương trình ñường thẳng qua M(x 0 ;y 0 ) có dạng y = a(x - x o ) + y o , ñường thẳng là tiếp tuyến khi hệ phương trình sau có nghiệm: • Bài toán quy về biện luận số nghiệm của hệ phương trình trên. Dạng 2. Số tiếp tuyến qua một ñiểm = − +   =  0 0 f ( x ) a( x x ) y f '( x ) a [...]... 6x; f ’(x) = 0 ⇔ x = 0; x = 1 Hàm s f(x) có c c ti u t i (0; 1), c c ñ i t i (1; 2) Căn c bi n thiên c a hàm s suy ra qua M có 3 ti p tuy n khi phương trình f(x) = m có 3 nghi m, ñi u ñó x y ra khi: 1< m < 2 V y qua ñi m M(0;m), ta k ñư c ba ti p tuy n v i ñ th khi 1< m < 2 D ng 3 Ti p tuy n qua ñi m u n c a ñ th D ng 3 Ti p tuy n qua ñi m u n c a ñ th Bài t p m u Cho hàm s y = x3 – 3x2 + 5x - 1 Ch... khi x0 = 1 V y: - Trong các ti p tuy n v i ñ th thì ti p tuy n t i ñi m u n có h s góc nh nh t, phương trình ti p tuy n là y = 2x - T t c các ti p tuy n còn l i ñ u không ñi qua ñi m u n D ng 3 Ti p tuy n qua ñi m u n c a ñ th Lưu ý V i hàm s b c ba y = ax3 + bx2 + cx + d, ta có y’ = 3ax2 + 2bx + c N u a dương: trong t t c các ti p tuy n v i ñ th thì ti p tuy n t i ñi m u n có h s góc nh nh t N u a... tuy n t i ñi m u n có h s góc l n nh t Qua ñi m u n ch có m t ti p tuy n là ti p tuy n t i ñi m u n, t t c các ti p tuy n còn l i ñ u không ñi qua ñi m u n Qua m i ñi m còn l i trên ñ th ñ u có hai ti p tuy n D ng 3 Ti p tuy n qua ñi m u n c a ñ th Bài t p tương t Cho hàm s y = x3 – 3x2 + 5x – 1 Tìm ñi m M thu c ñ th sao cho qua M có m t ti p tuy n Gi i Gi s ñi m M(x0 ;y0) thu c ñ th phương trình ñư...D ng 2 S ti p tuy n qua m t ñi m Bài t p tương t Cho hàm s y = x3 – 3x2 + 1 Tìm t p h p các ñi m trên tr c tung mà qua ñó ta k ñư c ba ti p tuy n v i ñ th Gi i Gi s ñi m M(0;m) thu c tr c tung, phương trình ñư ng th ng qua M có d ng y = ax + m, ñư ng th... y = x3 – 3x2 + 5x - 1 Ch ng minh r ng trong các ti p tuy n v i ñ th thì ti p tuy n t i ñi m u n có h s góc nh nh t L p phương trình ti p tuy n ñó và ch ng minh r ng t t c các ti p tuy n còn l i ñ u không ñi qua ñi m u n Gi i Ta có y’ = 3x2 – 6x + 5 = 3(x - 1)2 + 2 ≥ 2 => miny’ = 2 khi x = 1 Do ñó h s góc c a ti p tuy n có giá tr nh nh t b ng 1, giá tr ñó ñ t ñư c khi x =1 M t khác, ta có y’’ = 6x – . Suy ra hàm số f(x) ñồng biến trên R, f(x) là hàm số bậc 3 luôn ñồng biến nên phương trình f(x) = 0 có một nghiệm với mọi m. Vậy qua ñiểm M(1;m), ta luôn kẻ. a(x x ) y f '(x) a  Bài tập tương tự. Cho hàm số , chứng minh rằng qua ñiểm M(-1 ;3) có hai tiếp tuyến của ñồ thị vuông góc với nhau. Giải Phương