Đang tải... (xem toàn văn)
Tuyển tập hình học giải tich không gian
TUYỂN TẬP HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHƠNG GIAN (ĐÁP ÁN CHI TIẾT) BIÊN SOẠN: LƯU HUY THƯỞNG Toàn tài liệu thầy trang: http://www.Luuhuythuong.blogspot.com HỌ VÀ TÊN: ………………………………………………………………… LỚP :………………………………………………………………… TRƯỜNG :………………………………………………………………… HÀ NỘI, 8/2013 GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHƠNG GIAN Tồn tài liệu luyện thi đại học mơn tốn thầy Lưu Huy Thưởng: http://www.Luuhuythuong.blogspot.com PHẦN I VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng cách xác định vectơ pháp tuyến - Vec-tơ pháp tuyến mặt phẳng vec-tơ có giá vng góc với mặt phẳng - Một mặt phẳng có vơ số vec-tơ pháp tuyến (các vec-tơ có giá song song trùng nhau) - Để xác định vec-tơ pháp tuyến mặt phẳng có số cách sau: + Xác định trực tiếp: Dựa vào mối quan hệ song song, vng góc yếu tố: mặt phẳng – mặt phẳng, đường thẳng – mặt phẳng… + Xác định gián tiếp: Tìm vec-tơ khơng phương vng góc với vec-tơ pháp tuyến mặt phẳng BÀI TẬP HT Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : x + 2y − 3z + = điểm A(2; −1;1) Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua A song song với (P) Giải Ta có: (Q ) / /(P ) nên phương trình mặt phẳng (Q) có dạng : (Q ) : x + 2y − 3z + D = 0, (D ≠ 1) Ta có : (Q) qua A nên suy : D = Vậy, phương trình mặt phẳng (Q ) : x + 2y − 3x + = HT Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : x −1 y +1 z −2 điểm A(1; 0; −1) Viết = = −2 phương trình mặt phẳng (P) qua A vng góc với d Giải Ta có, (P ) ⊥ d nên phương trình mặt phẳng (P) có dạng : x − 2y + z + D = Mặt khác, (P) qua A nên suy D = Vậy, phương trình mặt phẳng x − 2y + z = HT Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm không thẳng hàng A(1;2; −1), B(−1; 0;2),C (2; −1;1) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) Giải Ta có: AB = (−2; −2; 3), AC = (1; −3;2) Mặt phẳng (ABC) có vec-tơ pháp tuyến: n = [AB; AC ] = (5; 7; 8) Vậy, phương trình mặt phẳng (ABC ) : 5(x − 1) + 7(y − 2) + 8(z + 1) = ⇔ 5x + 7y + 8z − 11 = HT Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, , cho hai điểm A(2;4;1), B(–1;1;3) mặt phẳng (P): x – 3y + 2z – = Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua hai điểm A, B vng góc với mặt phẳng (P) Giải Ta có: AB = (−3; −3;2) Gọi nP , nQ vec-tơ pháp tuyến mặt phẳng (P) (Q) với nP = (1; −3;2) A, B ∈ (Q ) AB ⊥ n Q Ta có: ⇒ (Q ) ⊥ (P ) n ⊥ n P Q Suy ra, (Q) có vec-tơ pháp tuyến : nQ = nP , AB = (0; −8; −12) ≠ Vậy, phương trình mặt phẳng (Q ) : 2y + 3z − 11 = BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 HT Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A(2;1; 3), B(1; −2;1) x = −1 + t song song với đường thẳng d : y = 2t z = −3 − 2t Giải Ta có BA = (1; 3;2) , d có VTCP u = (1;2; −2) n ⊥ BA ⇒ (P) có vec-tơ pháp tuyến n = BA, u = (−10; 4; −1) Gọi n VTPHƯƠNG TRÌNH (P) ⇒ n ⊥ u ⇒ Phương trình (P): 10x − 4y + z − 19 = HT Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, d2 : cho hai đường thẳng cắt d1 : x y −2 z +1 = = ; −1 x −1 y −1 z −1 Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d1; d2 = = −1 Giải Gọi n vec-tơ pháp tuyến (P) u1, u2 vec-tơ phương d1; d2 với u1 = (1; −1;2); u2 = (−1;2;1) Gọi A giao điểm d1; d2 Suy ra, A(1;1;1) (P ) ⊃ d1 n ⊥ u1 Ta có: ⇒ (P ) ⊃ d2 n ⊥ u2 Suy ra, (P) có vec-tơ pháp tuyến n = [u1, u2 ] = (−5; −3;1) Vậy, phương trình mặt phẳng (P ) : −5x − 3y + z + = HT Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng song song d1 d2 có phương trình: (d1 ); x −1 y +1 z −2 x − y −1 z − , (d2 ) : Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa d1 d2 = = = = Giải Ta có: A(1; −1;2) ∈ d1; B(4;1; 3) ∈ d2 , AB = (3;2;1) Gọi u1 vec-tơ phương d1 Gọi n vec-tơ pháp tuyến (P) Ta có, (P) chứa hai đường thẳng song song d1, d2 nên (P) có vec-tơ pháp tuyến: n = [u1; AB ] = (1;1; −5) Suy ra, phương trình mặt phẳng (P ) : x + y − 5z + 10 = BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 x y +1 z HT Trong khô ng gian với hệtọ a độOxyz, cho đie] m M(1; –1; 1) và hai đường thẳng (d1 ) : = = −2 −3 x y −1 z − Chứng minh đie] m M , d1, d2 cù ng na` m trê n mộ t mặ t phab ng Viec t phương trı̀nh mặ t (d2 ) : = = phab ng đó Giải Ta có: d1 qua M1(0; −1; 0) có u1 = (1; −2; −3) , d2 qua M (0;1; 4) có u2 = (1;2; 5) Suy : u1; u2 = (−4; −8; 4) ≠ , M1M = (0;2; 4) ⇒ u1; u2 M1M = ⇒ d1, d2 đồng phẳng Gọi (P) mặt phẳng chứa d1, d2 ⇒ (P) có VTPHƯƠNG TRÌNH n = (1;2; −1) qua M1 nên có phương trình x + 2y − z + = Kiểm tra thấy điểm M (1; –1;1) ∈ (P ) http://www.Luuhuythuong.blogspot.com Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến mặt cầu HT Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : x + y + z − = mặt cầu (S ) : (x − 1)2 + (y + 2)2 + (z − 1)2 = 25 Viết phương trình mặt phẳng (Q ) song song với (P) tiếp xúc với (S) Giải Ta có: (P ) / /(Q ) Suy ra, phương trình mặt phẳng (Q ) : x + y + z + D = (D ≠ −1) Mặt cầu (S) có tâm I (1; −2;1) , bán kính: R = (Q) tiếp xúc với mặt cầu (S) khi: d(I ;(Q )) = R ⇔ D = =5⇔ D = − 3 D Vậy, phương trình mặt phẳng (Q1 ) : x + y + z + = 0;(Q2 ) : x + y + z − = HT 10 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S ) : x + y + z − 2x + 6y − 4z − = Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với giá véc tơ v = (1;6;2) , vng góc với mặt phẳng (α) : x + 4y + z − 11 = tiếp xúc với (S) Giải Ta có: (S) có tâm I (1; −3;2) bán kính R = VTPHƯƠNG TRÌNH (α) n = (1; 4;1) ⇒ VTPHƯƠNG TRÌNH (P) là: nP = n, v = (2; −1;2) ⇒ Phương trình (P) có dạng: 2x − y + 2z + m = m = −21 Vì (P) tiếp xúc với (S) nên d(I ,(P )) = ⇔ m = Vậy: (P ) : 2x − y + 2z + = (P ) : 2x − y + 2z − 21 = HT 11 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, , cho đường thẳng d : x −3 y−3 z = = 2 mặt cầu (S ) : x + y + z − 2x − 2y − 4z + = Lập phương trình mặt phẳng (P) song song với d trục Ox , đồng thời tiếp xúc với mặt cầu (S) Giải BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 Ta có: (S) có tâm I (1;1;2) , bán kính R = d có VTCP u = (2;2;1) (P ) / /d,Ox ⇒ (P) có VTPHƯƠNG TRÌNH n = u, i = (0;1; −2) ⇒ PHƯƠNG TRÌNH (P) có dạng: y − 2z + D = (P) tiếp xúc với (S) ⇔ d (I ,(P )) = R ⇔ ⇒ (P): y − 2z + + = D = + = ⇔ D −3 = ⇔ D = − 12 + 22 1− + D (P): y − 2z + − = HT 12 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S ) : x + y + z + 2x − 4y − = mặt phẳng (P ) : x + z − = Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua điểm M (3;1; −1) vng góc với mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) Chú ý: Đối với dạng này, khơng tìm vec-tơ pháp tuyến mặt phẳng dạng trực tiếp Chính vậy, ta phải dùng phương trình tổng quát mặt phẳng để viết Giải Ta có: (S) có tâm I (−1;2; 0) bán kính R = , (P) có VTPHƯƠNG TRÌNH nP = (1; 0;1) PHƯƠNG TRÌNH (Q) qua M có dạng: A(x − 3) + B(y − 1) + C (z + 1) = 0, A2 + B + C ≠ (Q) tiếp xúc với (S) ⇔ d(I ,(Q )) = R ⇔ −4A + B + C = A2 + B + C (*) (Q ) ⊥ (P ) ⇔ nQ nP = ⇔ A + C = ⇔ C = −A (**) Từ (*), (**) ⇒ B − 5A = 2A2 + B ⇔ 8B − 7A2 + 10AB = ⇔ A = 2B ∨ A = −4B • Với A = 2B Chọn B = 1, A = 2, C = –2 ⇒ (Q ) : 2x + y − 2z − = • Với A = −4B Chọn B = –7, A = 4, C = –4 ⇒ (Q ) : 4x − 7y − 4z − = HT 13 Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu (S ) : x + y + z – 2x + 4y + 2z – = Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Ox cắt mặt cầu (S) theo đường trịn có bán kính r = Giải Ta có:(S) có tâm I (1; −2; −1) , bán kính R = (P) chứa Ox ⇒ (P ) : By + Cz = (B + C > 0) Mặt khác, đường trịn thiết diện có bán kính (P) qua tâm I Suy ra: −2B − C = ⇔ C = −2B → Chọn B = → C = −2 Vậy, phương trình (P ) : y − 2z = HT 14 Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu (S ) : x + y + z + 2x − 2y + 2z – = đường thẳng BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 x −2 y z +2 Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d cắt mặt cầu (S) theo đường trịn có bán kính = = 1 r =1 Giải d: Ta có: (S) có tâm I (−1;1; −1) , bán kính R = PHƯƠNG TRÌNH mặt phẳng (P ) : ax + by + cz + d = (a + b + c ≠ 0) Chọn M (2; 0; −2), N (3;1; 0) ∈ d M ∈ (P ) a = b, 2c = −(a + b), d = −3a − b (1) Ta có: N ∈ (P ) ⇔ 17a = −7b, 2c = −(a + b), d = −3a − b d (I ,(P )) = R − r + Với (1) ⇒ (P ) : x + y − z − = HT 15 (2) + Với (2) ⇒ (P ) : 7x − 17y + 5z − = Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S ) : x + y + z − 2x + 4y − 6z − 11 = mặt phẳng (α) : 2x + 2y − z + 17 = Viết phương trình mặt phẳng (β) song song với (α) cắt (S) theo giao tuyến đường trịn có chu vi p = 6π Giải Ta có: Do (β) // (α) nên (β) có phương trình (β ) : 2x + 2y − z + D = 0(D ≠ 17) (S) có tâm I (1; −2; 3) , bán kính R = Đường trịn có chu vi 6π nên có bán kính r = Khoảng cách từ I tới (β) h = R − r = 52 − 32 2.1 + 2(−2) − + D Do = ⇔ −5 + D = 12 ⇔ 22 + 22 + (−1)2 =4 D = − D = 17 (loại) Vậy (β) có phương trình 2x + 2y – z – = http://www.Luuhuythuong.blogspot.com Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến khoảng cách HT 16 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(−1;1; 0), B(0; 0; −2), I (1;1;1) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A B, đồng thời khoảng cách từ I đến (P) Giải Phương trình mặt phẳng (P) có dạng: ax + by + cz + d = (a + b + c ≠ 0) A ∈ (P ) a = −b, 2c = a − b, d = a − b Ta có: B ∈ ( P ) ⇔ 5a = 7b, 2c = a − b, d = a − b d (I ,(P )) = (1) (2) + Với (1) ⇒ Phương trình mặt phẳng (P): x − y + z + = BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 + Với (2) ⇒ Phương trình mặt phẳng (P): 7x + 5y + z + = x = t HT 17 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng (d ) : y = −1 + 2t điểm A(−1;2; 3) Viết phương z = trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) cho khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) Giải Ta có: (d) qua điểm M (0; −1;1) có VTCT u = (1;2; 0) Gọi n = (a; b; c) với a + b2 + c ≠ VTPT (P) Phương trình mặt phẳng (P): a(x − 0) + b(y + 1) + c(z − 1) = ⇔ ax + by + cz + b − c = (1) Do (P) chứa (d) nên: u.n = ⇔ a + 2b = ⇔ a = −2b d (A,(P )) = ⇔ −a + 3b + 2c 2 a +b +c =3⇔ 5b + 2c 5b + c (2) = ⇔ 5b + 2c = 5b + c 2 ⇔ 4b − 4bc + c = ⇔ (2b − c ) = ⇔ c = 2b (3) Từ (2) (3), chọn b = −1 ⇒ a = 2, c = −2 ⇒ Phương trình mặt phẳng (P): 2x − y − 2z + = HT 18 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A(1;2; 3) , B(0; −1;2) , C (1;1;1) Viết phương trình mặt phẳng (P ) qua A gốc tọa độ O cho khoảng cách từ B đến (P ) khoảng cách từ C đến (P ) • Vì O ∈ (P) nên (P ) : ax + by + cz = , với a + b2 + c ≠ Do A ∈ (P) ⇒ a + 2b + 3c = (1) d(B,(P )) = d(C ,(P )) ⇔ −b + 2c = a + b + c (2) Từ (1) (2) ⇒ b = c = • Với b = a = −3c ⇒ (P ) : 3x − z = HT 19 • Với c = a = −2b ⇒ (P ) : 2x − y = Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua O, vng góc với mặt phẳng (Q): x + y + z = cách điểm M(1; 2; –1) khoảng Giải Ta có: Phương trình mặt phẳng (P) qua O nên có dạng: Ax + By + Cz = (với A2 + B + C ≠ ) Vì (P) ⊥ (Q) nên: 1.A + 1.B + 1.C = ⇔ C = −A − B d (M ,(P )) = ⇔ A + 2B − C 2 A + B +C (1) = ⇔ (A + 2B − C )2 = 2(A2 + B + C ) B = Từ (1) (2) ta được: 8AB + 5B = ⇔ 8 A + 5B = (2) (3) (4) Từ (3): B = ⇒ C = –A Chọn A = 1, C = –1 ⇒ (P ) : x − z = BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 Từ (4): 8A + 5B = Chọn A = 5, B = –8 ⇒ C = ⇒ (P ) : 5x − 8y + 3z = x −1 y − z = = điểm M(0; –2; 0) Viết 1 phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M, song song với đường thẳng ∆, đồng thời khoảng cách đường thẳng ∆ mặt phẳng (P) Giải HT 20 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ : Ta có: Phương trình mp (P) qua M(0; –2; 0) có dạng: ax + by + cz + 2b = ( a + b ≠ ) ∆ qua điểm A(1; 3; 0) có VTCP u = (1;1; 4) a + b + 4c = ∆ (P ) a = 4c a + 5b ⇔ Ta có: ⇔ =4 d(A;(P )) = d a = −2c a + b + c Với a = 4c Chọn a = 4, c = ⇒ b = −8 ⇒ Phương trình (P): 4x − 8y + z − 16 = Với a = −2c Chọn a = 2, c = −1 ⇒ b = ⇒ Phương trình (P): 2x + 2y − z + = HT 21 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(1;1; −1) , B(1;1;2) , C (−1;2; −2) mặt phẳng (P): x − 2y + 2z + = Viết phương trình mặt phẳng (α) qua A, vng góc với mặt phẳng (P), cắt đường thẳng BC I cho IB = 2IC Giải Ta có: phương trình (α) có dạng: ax + by + cz + d = , với a + b2 + c2 ≠ Do A(1;1; −1) ∈ (α) nên: a + b − c + d = (1); IB = 2IC ⇒ d(B, (α)) = 2d(C ;(α)) (α) ⊥ (P ) nên a − 2b + 2c = (2) a + b + 2c + d ⇒ a + b2 + c =2 −a + 2b − 2c + d a + b + c2 3a − 3b + 6c − d = ⇔ (3) −a + 5b − 2c + 3d = Từ (1), (2), (3) ta có trường hợp sau : a + b − c + d = −1 −3 TH1 : a − 2b + 2c = ⇔b = a ; c = −a; d = a 2 3a − 3b + 6c − d = Chọn a = ⇒ b = −1;c = −2;d = −3 ⇒ (α) : 2x − y − 2z − = a + b − c + d = −3 TH2 : a − 2b + 2c = ⇔ b = a; c = a ; d = a 2 − a + b − c + d = Chọn a = ⇒ b = 3; c = 2;d = −3 ⇒ (α) : 2x + 3y + 2z − = Vậy: HT 22 (α) : 2x − y − 2z − = (α) : 2x + 3y + 2z − = Trong khô ng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thab ng d1, d2 lay n lượt có phương trı̀nh x −2 y −2 z −3 x −1 y − z −1 , d2 : Viec t phương trı̀nh mặ t phab ng cá ch đey u hai đường thab ng d1, d2 = = = = −1 Giải Ta có d1 qua A(2;2; 3) , có ud = (2;1; 3) , d2 qua B(1;2;1) có ud = (2; −1; 4) d1 : BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 Do (P) cách d1, d2 nên (P) song song với d1, d2 ⇒ nP = ud 1, ud = (7; −2; −4) ⇒ Phương trình mặt phẳng (P) có dạng: 7x − 2y − 4z + d = Do (P) cách d1, d2 suy d(A,(P )) = d (B,(P )) ⇔ 7.2 − 2.2 − 4.3 + d = 7.1 − 2.2 − 4.1 + d 69 ⇔ d −2 = d −1 ⇔ d = 69 ⇒ Phương trình mặt phẳng (P): 14x − 4y − 8z + = x = + t HT 23 Trong khô ng gian với hệtoạđộOxyz, cho hai đường thab ng d1, d2 lay n lượt có phương trı̀nh d1 : y = − t , z = x − y −1 z + Viec t phương trı̀nh mặ t phab ng (P) song song với d1 d2 , cho khoảng cách từ d1 đến d2 : = = −2 (P) gấp hai lần khoảng cách từ d2 đến (P) Giải Ta có : d1 qua A(1;2;1) có VTCP u1 = (1; −1; 0) d2 qua B(2;1; −1) có VTCP u2 = (1; −2;2) Gọi n vec-tơ pháp tuyến (P), (P) song song với d1 d2 nên n = u1, u2 = (−2; −2; −1) ⇒ Phương trìnht (P): 2x + 2y + z + m = d(d1,(P )) = d (A;(P )) = +m 5+m ; d(d2 ,(P ))= d (B,(P )) = 3 7 + m = 2(5 + m ) 17 d(d1,(P )) = 2d (d2 ,(P )) ⇔ + m = + m ⇔ ⇔ m = −3; m = − + m = − 2(5 + m ) + Với m = −3 ⇒ (P ) : 2x + 2y + z – = HT 24 + Với m = − 17 17 ⇒ (P ) : 2x + 2y + z − = 3 Trong khô ng gian với hệtoạđộOxyz, viec t phương trı̀nh mặ t phab ng (P) qua hai đie] m A(0; −1;2) , B(1; 0; 3) và tiec p xú c với mặ t cay u (S): (x − 1)2 + (y − 2)2 + (z + 1)2 = Giải Ta có: (S) có tâm I (1;2; −1) , bán kính R = Phương trình mặt phẳng (P) có dạng: ax + by + cz + d = (a + b + c ≠ 0) A ∈ (P ) a = −b, c = −a − b, d = 2a + 3b ⇔ Ta có: B ∈ (P ) 3a = −8b, c = −a − b, d = 2a + 3b (2) d(I ,(P )) = R (1) BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 + Với (1) ⇒ Phương trình (P): x − y − = + Với (2) ⇒ Phương trình (P): 8x − 3y − 5z + = http://www.Luuhuythuong.blogspot.com Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến góc x −1 y z tạo = = − −2 với mặt phẳng (P) : 2x − 2y − z + = góc 600 Tìm tọa độ giao điểm M mặt phẳng (α) với trục Oz HT 25 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (α) chứa đường thẳng (∆): Giải (∆) qua điểm A(1; 0; 0) có VTCP u = (1; −1; −2) (P) có vec-tơ pháp tuyến n ′ = (2; −2; −1) Giao điểm M (0; 0; m ) cho AM = (−1; 0; m ) (α) có vec-tơ pháp tuyến n = AM , u = (m; m − 2;1) (α) (P): 2x − 2y − z + = tạo thành góc 600 nên : cos (n, n ′ ) = ⇔ 2m − 4m + = ⇔ 2m − 4m + = ⇔ m = − hay m = + 2 Vậy, M (0; 0;2 − 2) hay M (0; 0;2 + 2) HT 26 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua giao tuyến d hai mặt phẳng (α ) : 2x – y – = , (β ) : 2x – z = tạo với mặt phẳng (Q ) : x – 2y + 2z – = góc ϕ mà cos ϕ = 2 Giải Lấy A(0;1; 0), B(1; 3;2) ∈ d (P) qua A ⇒ phương trình (P) có dạng: Ax + By + Cz – B = (P) qua B nên: A + 3B + 2C – B = ⇒ A = −(2B + 2C ) ⇒ (P ) : −(2B + 2C )x + By + Cz – B = cos ϕ = −2B − 2C − 2B + 2C (2B + 2C )2 + B + C Chọn C = ⇒ B = 1; B = = 2 ⇔ 13B + 8BC – 5C = 13 + Với B = C = ⇒ (P ) : −4x + y + z – = + Với B = HT 27 , C = ⇒ (P ) : −23x + 5y + 13z – = 13 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(−1;2; −3), B(2; −1; −6) mặt phẳng BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page ...GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHƠNG GIAN Tồn tài liệu luyện thi đại học mơn toán thầy Lưu Huy Thưởng: http://www.Luuhuythuong.blogspot.com... mặt phẳng x − 2y + z = HT Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm không thẳng hàng A(1;2; −1), B(−1; 0;2),C (2; −1;1) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) Giải Ta có: AB = (−2; −2; 3), AC... 40 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M (2; 5; 3) , cắt tia Ox , Oy, Oz A, B, C cho biểu thức OA + OB +OC có giá trị nhỏ Giải BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN