Đang tải... (xem toàn văn)
• Dùng ẩn phụ chuyển bất phương trình thành một hệ bất phương trình với hai ẩn phụ. Bằng việc sử dụng hai ẩn phụ, ta đưa bất phương trình đã cho về một hệ gồm có:.. +) Bất phương trình c[r]
(1)§6 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ, LƠGARIT
A TĨM TẮT LÝ THUYẾT
1 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ CƠ BẢN
Định nghĩa Bất phương trình mũ có dạng ax > b (hoặc ax ≥ b, ax < b, ax ≤ b) với a > 0, a 6=
a) Xét bất phương trình dạng ax > b (dạng ax ≥ b giải tương tự) • Nếu b ≤ 0, tập nghiệm bất phương trình R
• Nếu b > 0,
Với a > 1, ta có ax > b ⇔ x > logab Với < a < 1, ta có ax > b ⇔ x < logab
b) Xét bất phương trình dạng ax ≤ b (dạng ax < b giải tương tự) • Nếu b ≤ 0, bất phương trình vơ nghiệm
• Nếu b > 0,
Với a > 1, ta có ax ≤ b ⇔ x ≤ log ab Với < a < 1, ta có ax ≤ b ⇔ x ≥ log
ab
2 BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
a) Bất phương trình logarit
Định nghĩa Bất phương trình logarit có dạng logax > b (hoặc logax ≥ b, logax < b, loga≤ b) với a > 0, a 6=
Xét bất phương trình logax > b (1) • Trường hợp a > 1: (1) ⇔ x > ab.
• Trường hợp < a < 1: (1) ⇔ < x < ab. b) Một số bất phương trình logarit đơn giản
Một số cách giải bất phương trình logarit đơn giản • Đưa bất phương trình logarit • Đặt ẩn phụ
• Mũ hóa
• Sử dụng tính đơn điệu hàm số, đánh giá, bất đẳng thức
B CÁC DẠNG TOÁN
| Dạng Bất phương trình mũ bản
a) Xét bất phương trình dạng ax > b (dạng ax≥ b giải tương tự) • Nếu b ≤ 0, tập nghiệm bất phương trình R
(2)Với a > 1, ta có ax > b ⇔ x > log ab Với < a < 1, ta có ax > b ⇔ x < log
ab
b) Xét bất phương trình dạng ax ≤ b (dạng ax < b giải tương tự) • Nếu b ≤ 0, bất phương trình vơ nghiệm
• Nếu b > 0,
Với a > 1, ta có ax ≤ b ⇔ x ≤ logab Với < a < 1, ta có ax ≤ b ⇔ x ≥ logab
ccc BÀI TẬP DẠNG ccc
Ví dụ Giải bất phương trình sau
a) 3x ≥ b) 3x > −1
c) Å
ãx ≤
d) 2x < −1. e) 2x <
Lời giải
a) 3x ≥ ⇔ x ≥ log39 ⇔ x ≥ Vậy tập nghiệm S = [2; +∞) b) Tập nghiệm bất phương trình S = R
c) Å
ãx
≤ ⇔ x ≥ log1
2 ⇔ x ≥ −2 Vậy tập nghiệm S = [−2; +∞)
d) Bất phương trình vơ nghiệm, tập nghiệm S = ∅ e) 2x < ⇔ x < log
23 Vậy tập nghiệm S = (−∞; log23)
Ví dụ Giải bất phương trình sau
a) Å
ãx2−5x+3
> 125
b) 3x+2 + 3x−1 ≤ 28 c) Å
7
ã2x2−3x <
4
Lời giải
a) Å
ãx2−5x+3
> 125 ⇔ x2− 5x + < −3 ⇔ x2 − 5x + < ⇔ < x < 3. Tập nghiệm S = (2; 3)
b) 3x+2+ 3x−1 ≤ 28 ⇔ 3x(32+ 3−1) ≤ 28 ⇔ 3x ≤ ⇔ x ≤ 1. Tập nghiệm S = (−∞; 1]
c) Å
ã2x2−3x <
4 ⇔ 2x
2− 3x > log
7 ⇔ 2x
2− 3x > −1 ⇔ 2x2− 3x + > ⇔
x <
(3)Tập nghiệm S = Å
−∞;1
ã
∪ (1; ∞)
Ví dụ Giải bất phương trình sau
a) 5|x2−2x| > 125
b) 2x+1 + 2x+2 < 3x+ 3x+1. c) 2x.3x−1 < 4.
Lời giải
a) 5|x2−2x|> 125 ⇔ |x2− 2x| > log5125 ⇔ |x2− 2x| > ⇔ "
x2− 2x > x2− 2x < −3 ⇔
"
x < −1
x > Tập nghiệm S = (−∞; −1) ∪ (3; +∞)
b) 2x+1+ 2x+2 < 3x+ 3x+1 ⇔ 2x(2 + 22) < 3x(1 + 3) ⇔ 6.2x < 4.3x ⇔Å
ãx <
3 ⇔ x > Tập nghiệm S = (1; +∞)
c) 2x.3x−1 < ⇔ 2x.3x < 4.3 ⇔ 6x < 12 ⇔ x < log
612 ⇔ x < + log62 Tập nghiệm S = (−∞; + log62)
Ví dụ Giải bất phương trình 4x2+ x.2x2+1+ 3.2x2 > x2.2x2 + 8x + 12
Lời giải
Ta có 4x2+ x.2x2+1+ 3.2x2 > x2.2x2 + 8x + 12 ⇔Ä4 − 2x2ä(x2 − 2x − 3) >
⇔
(
4 − 2x2 > x2− 2x − > (
4 − 2x2 < x2− 2x − <
(√
2 > x > −√2
x < −1 ∨ x >
(
x < −√2 ∨ x >√2
− < x <
⇔" − √
2 < x < −1 √
2 < x <
Tập nghiệm S = (−√2; −1) ∪ (√2; 3)
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài Giải bất phương trình sau
a) 2x ≥ 8. b) 2x > −3.
c) Å
ãx ≤ 27
d) 5x < −1 e) 4x <
Lời giải
a) 2x ≥ ⇔ x ≥ log
28 ⇔ x ≥ Vậy tập nghiệm S = [3; +∞) b) Tập nghiệm bất phương trình S = R
c) Å
ãx
≤ 27 ⇔ x ≥ log1
3 27 ⇔ x ≥ −3 Vậy tập nghiệm S = [−3; +∞)
(4)e) 4x < ⇔ x < log43 Vậy tập nghiệm S = (−∞; log43)
Bài Giải bất phương trình sau
a) Å
ã|2x−1| >
4
b) 2x+2− 2x+3− 2x+4 > 5x+1− 5x+2.
Lời giải
a) Å
ã|2x−1| >
4 ⇔ |2x − 1| < ⇔ (
2x − <
2x − > −2 ⇔
x <
x > −1
Tập nghiệm S = Å
−1 2;
3
ã
b) 2x+2− 2x+3− 2x+4 > 5x+1− 5x+2 ⇔ −20.2x > −20.5x ⇔ 2x < 5x ⇔Å
ãx
< ⇔ x >
Tập nghiệm S = (0; +∞)
| Dạng Phương pháp đưa số
a) Với a > 1, af (x) ≤ ag(x)⇔ f (x) ≤ g(x). b) Với < a < 1, af (x) ≤ ag(x)⇔ f (x) ≥ g(x).
ccc BÀI TẬP DẠNG ccc
Ví dụ Giải bất phương trình 5x2+x ≤ 25x+1.
Lời giải
5x2+x ≤ 25x+1 ⇔ 5x2+x
≤ 52x+2 ⇔ x2+ x ≤ 2x + ⇔ x2− x − ≤ ⇔ −1 ≤ x ≤ 2.
Tập nghiệm S = [−1; 2]
Ví dụ Giải bất phương trình sau
a) e2x> e1−x. b) Å
3
ã2x2+4x ≤Å
2 ãx+3
Lời giải
a) e2x> e1−x ⇔ 2x > − x ⇔ x >
Tập nghiệm S =Å 3; +∞
ã
b) Å
ã2x2+4x ≤Å
2 ãx+3
⇔Å
ã2x2+4x ≤Å
3 ã−x−3
⇔ 2x2 + 4x ≥ −x − 3 ⇔ 2x2+ 5x + ≥ ⇔ x ≤ −3
2 ∨ x ≥ −1
Tập nghiệm S = Å
−∞;−3
ò
∪ [−1; +∞)
(5)Ví dụ Giải bất phương trình sau
a) Å
ãx2+3x−4 >Å
4 ã1−x
b) Ä√2 + 1äx+1 ≥Ä√2 − 1ä x x−1
Lời giải
a) Ta cóÅ
ãx2+3x−4 >Å
4 ã1−x
⇔Å
ãx2+3x−4 >Å
3
ã2(x−1) ⇔ x2+ 3x − < 2x − ⇔ x2+ x − < ⇔ −2 < x < 1. Tập nghiệm S = (−2; 1)
b) Điều kiện x 6= Ta có Ä√2 − 1ä=Ä√2 + 1ä−1 Do Ä√
2 + 1äx+1 ≥Ä√2 − 1ä x x−1
⇔Ä√2 + 1äx+1 ≥Ä√2 + 1ä− x x−1
⇔ x + ≥ − x x − ⇔
x2+ x −
x − ≥ ⇔
−1 −√5
2 ≤ x ≤
−1 +√5
2 x >
Tập nghiệm S =ñ −1 − √
5 ;
−1 +√5
ô
∪ (1; +∞)
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài Giải bất phương trình sau
a) 2x2+3x−4 > 4x−1 b) Å
2 ã2x2+1
≤ (0,125)3x+2.
Lời giải
a) 2x2+3x−4 > 4x−1 ⇔ 2x2+3x−4
> 22x−2⇔ x2+ 3x − > 2x − 2 ⇔ x2+ x − > ⇔ x < −2 ∨ x > 1.
Tập nghiệm S = (−∞; −2) ∪ (1; +∞)
b) Å
ã2x2+1
≤ (0,125)3x+2⇔Å
ã2x2+1 ≤Å
8 ã3x+2
⇔Å
ã2x2+1 ≤Å
2 ã9x+6
⇔ 2x2+ ≥ 9x + ⇔ 2x2− 9x − ≥ ⇔ x ≤ −1
2∨ x ≥
Tập nghiệm S = Å
−∞; −1 ò
∪ [5; +∞]
Bài Giải bất phương trình sau
a) e3x+1< e5x+8
b) Ä√5 + 2äx−1 ≥Ä√5 − 2ä x−1 x+1
Lời giải
a) e3x+1<
e5x+8 ⇔ e
3x+1< e−5x−8⇔ 3x + < −5x − ⇔ x < −9 Tập nghiệm S =
Å
−∞; −9
(6)b) Điều kiện x 6= −1 Ta có Ä√5 − 2ä=Ä√5 + 2ä−1 Do Ä√
5 + 2äx−1 ≥Ä√5 − 2ä x−1 x+1
⇔Ä√5 + 2äx−1 ≥Ä√5 + 2ä− x−1 x+1
⇔ x − ≥ −x − x + ⇔
x2+ x −
x + ≥ ⇔ −2 ≤ x ≤ −1 x ≥ Tập nghiệm S = [−2; −1] ∪ [1; +∞)
| Dạng Giải bất phương trình logagit dạng bản
• logau < b ⇔ "
0 < u < ab a > u > ab < a < • logau > b ⇔
"
u > ab a >
0 < u < ab < a <
ccc BÀI TẬP DẠNG ccc
Ví dụ Giải bất phương trình log0,5(2x − 3) > −4
Lời giải
Ta có log0,5(2x − 3) > −4 ⇔ < 2x − < (0, 5)−4 ⇔ < 2x − < 16 ⇔
2 < x < 19
2
Vậy tập hợp nghiệm S = Å 2;
19
ã
Ví dụ Giải bất phương trình log√
3(x
2− 3x + 11) ≤ 4.
Lời giải
Ta có log√ 3(x
2− 3x + 11) ≤ ⇔ < x2 − 3x + 11 ≤ ⇔ (
x2 − 3x + 11 > (đúng với ∀x ∈ R) x2 − 3x + 11 ≤
⇔ x2− 3x + ≤ ⇔ ≤ x ≤ 2.
Vậy tập hợp nghiệm S = [1; 2]
Ví dụ Giải bất phương trình log1
2
x − 11 x + ≤
Lời giải
Ta có log1
x − 11
x + ≤ ⇔
x − 11 x + ≥
1 16 ⇔
15x − 180
16(x + 4) ≥ ⇔ x ≤ −4 x ≥ 12
Vậy tập hợp nghiệm S = (−∞; −4] ∪ [12; +∞)
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài Giải bất phương trình log5(−2x2+ x + 6) > 1.
Lời giải
Ta có log5(−2x2+ x + 6) > ⇔ −2x2+ x + > ⇔ −2x2+ x + > ⇔ −1
2 < x < Vậy tập hợp nghiệm S =
Å −1
2; ã
(7)Bài Giải bất phương trình log2x + log4x + log82x > 13
Lời giải
Ta có log2x + log4x + log82x > 13
6 ⇔ log2x +
2log2x +
3log22x > 13
6 ⇔ log2x +1
2log2x + Å
3 + 3log2x
ã > 13
6 ⇔ 11
6 log2x > 11
6 ⇔ x >
Vậy tập hợp nghiệm S = (2; +∞)
Bài Giải bất phương trình log2(1 − log9x) <
Lời giải
Ta có log2(1 − log9x) < ⇔ < − log9x < ⇔
log9x > −1
log9x <
⇔
x >
3 x <
Vậy tập hợp nghiệm S = Å 3;
ã
Bài Giải bất phương trình logx
5(x
2− 8x + 16) ≥ 0.
Lời giải
Điều kiện : x > 0, x 6=
Ta có:logx 5(x
2− 8x + 16) ≥ (1) • Với x >
(1)⇔ x2 − 8x + 16 ≥ ⇔ x2− 8x + 15 ≥ ⇔ x ≤ x ≥ 5. • Với x <
(1)⇔ < x2− 8x + 16 ≤ ⇔ (
x2− 8x + 16 > x2− 8x + 15 ≤ ⇔
( x 6=
3 ≤ x ≤
Vậy tập hợp nghiệm S = [3; +∞) \ {4; 5}
Bài Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: log0,5(x2− 2x + m) > −3
Lời giải
Ta có log0,5(x2− 2x + m) > −3 ⇔ < x2− 2x + m < 8.
Vậy bất phương trình cho vô nghiệm x2− 2x + m ≤ với ∀x ∈ R (1) x2− 2x + m ≥ 8 với ∀x ∈ R (2)
• (1) khơng thể xảy
• (2) ⇔ x2− 2x + m − ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔ − m ≤ ⇔ m ≥
Vậy bất phương trình cho có nghiệm m <
Bài Tìm m để bất phương trình sau vơ nghiệm: log3(−x2+ 2(m + 3)x − 3m − 4) >
Lời giải
Ta có log3(−x2+ 2(m + 3)x − 3m − 4) > ⇔ −x2+ 2(m + 3)x − 3m − > 3 ⇔ −x2+ 2(m + 3)x − 3m − > 0.
Bất phương trình cho vơ nghiệm −x2+ 2(m + 3)x − 3m − ≤ với ∀x ∈ R ⇔ (m + 3)2− 3m − ≤ ⇔ m2+ 3m + ≤ ⇔ −2 ≤ m ≤ −1.
(8)| Dạng Giải bất phương trình logagit cách đưa số
Dùng biến đổi logarit để đưa số
logau < logav ⇔ "
0 < u < v a >
u > v > < a <
ccc BÀI TẬP DẠNG ccc
Ví dụ Giải bất phương trình log3(x − 3) > log3(2x + 7)
Lời giải
Ta có log3(x − 3) > log3(2x + 7) ⇔ (
x − > 2x +
2x + > ⇔
x < −10
x > −7
Vậy tập hợp nghiệm S = ∅
Ví dụ Giải bất phương trình log5(1 − 2x) < + log√
5(x + 1)
Lời giải
Điều kiện: (
1 − 2x >
x + > ⇔
x <
2 x > −1
Ta có log5(1 − 2x) < + log√
5(x + 1) ⇔ log5(1 − 2x) < + log5(x + 1) ⇔ log5(1 − 2x) < log55(x + 1)2 ⇔ − 2x < 5(x + 1)2 ⇔ 5x2+ 12x + > 0 ⇔ x < −2 x > −2
5
Vậy tập hợp nghiệm S = Å
−2 5;
1
ã
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài Giải bất phương trình log1
2
(x2− 3x + 3) ≤ log
(2x − 3)
Lời giải
Ta có log1
(x2− 3x + 3) ≤ log1
(2x − 3) ⇔ (
x2 − 3x + ≥ 2x − 2x − > ⇔
(
x2− 5x + ≥ 2x − >
⇔
x ≤ x ≥
x >
Vậy tập hợp nghiệm S = Å 2;
ò
∪ [3; +∞)
Bài Giải bất phương trình log8(x − 2) + log1
(x − 3) >
Lời giải
Điều kiện: (
x − >
x − > ⇔ (
x >
x >
Ta có log8(x − 2) + log1(x − 3) >
(9)⇔ log8 (x − 2) x − >
2 ⇔
(x − 2)2
x − > ⇔ x
2− 8x + 16 > ⇔ x 6= 4.
Vậy tập hợp nghiệm S = (3; +∞) \ {4}
Bài Giải bất phương trình log2(x + 3) ≥ + log2(x − 1)
Lời giải
Điều kiện: (
x + >
x − > ⇔
(
x > −3
x >
Ta có log2(x + 3) ≥ + log2(x − 1) ⇔ log2(x + 3) ≥ log22(x − 1) ⇔ x + ≥ 2(x − 1) ⇔ x ≤ −1
Vậy tập hợp nghiệm S = ∅
Bài Tìm m để bất phương trình sau vơ nghiệm: logx−m(x2− 1) > logx−m(x2+ x − 2)
Lời giải
Điều kiện x 6= m + 1; x > m Ta có logx−m(x2− 1) > log
x−m(x2+ x − 2) (1) • Với x > m +
(1) ⇔ (
x2− > x2+ x − 2 x2+ x − > ⇔
( x <
x < −2 x > ⇔ x < −2 • Với < x < m +
(1) ⇔ < x2− < x2+ x − ⇔ (
x2− > x >
⇔ (
x > −1
x >
⇔ x >
Bất phương trình (1) vơ nghiệm (
m + ≥ −2
m + ≤
⇔ −3 ≤ m ≤
Vậy −3 ≤ m ≤
BÀI TẬP TỔNG HỢP
Bài Giải bất phương trình logx3x −
x2+ 1 >
Lời giải
Điều kiện : x > 0, x 6=
Ta có:logx 3x −
x2+ 1 > (1) • Với x >
(1)⇔ 3x −
x2+ 1 > ⇔ x
2− 3x + > ⇔ x2− 3x + < ⇔ < x < 2. • Với x <
(1)⇔ < 3x −
x2+ 1 < ⇔ < 3x − < x
2+ ⇔ (
3x − >
x2− 3x + > ⇔
x >
3
x < x >
Vậy tập hợp nghiệm S = Å 3;
ã
\ {1}
Bài Giải bất phương trình log1
3 Ä
log5Ä√x2+ + xää> log
Å log1
5 Ä√
x2+ − xä ã
Lời giải
Điều kiện: (√
x2+ + x > 0 √
x2+ − x > 0 (Đúng với ∀x ∈ R) Đặt t =√x2+ + x, t > Suy ra √x2+ − x =
(10)Bất phương trình cho trở thành:
log1
(log5t) > log3 Å log1 t ã
⇔ log3 Å 1
log5t ã
> log3 Å log1 t ã ⇔
log5t > log15 t >
⇔
log5t > log5t > ⇔ (
(log5t)2 < log5t >
⇔ (
log5t < log5t >
⇔ (
t <
t > ⇔
(√
x2+ + x < (1) √
x2+ + x > (2) Giải (1) ta x < 12
5
Giải (2) ta x > Vậy tập hợp nghiệm S = Å
0;12
ã
Bài Tìm m để bất phương trình sau nghiệm với x:
1 + log5(x2+ 1) ≥ log5(mx2+ 4x + m)
Lời giải
Ta có + log5(x2+ 1) ≥ log
5(mx2+ 4x + m) ⇔ log55(x2+ 1) ≥ log5(mx2 + 4x + m) ⇔
(
5(x2+ 1) ≥ mx2+ 4x + m mx2+ 4x + m >
⇔ (
(5 − m)x2− 4x + − m ≥ (1) mx2+ 4x + m > (2)
Bất phương trình cho có nghiệm với x (1) (2) với x • Với m = m = Không thỏa mãn đề
• Với m 6= m 6=
Để thỏa mãn đề
5 − m >
4 − (5 − m)2 ≤ m >
4 − m2 <
⇔
m <
m ≤ m ≥
m >
m < −2 m >
⇔ < m ≤
Vậy < m ≤
| Dạng Bất phương trình mũ logarit phương pháp đặt ẩn
phụ
Khi giải bất phương trình mũ logarit phương pháp đặt ẩn phụ ta thường sử dụng
số phương pháp sau:
• Dùng ẩn phụ chuyển bất phương trình thành bất phương trình với ẩn phụ (Ở ta coi bất phương trình có dạng f (x) ≥ 0, trường hợp khác tiến hành tương
tự)
* Các phép đặt ẩn phụ với bất phương trình mũ thường gặp:
+) Bất phương trình có dạng: Ananf (x)+ An−1a(n−1)f (x)+ + A1af (x)+ A0 ≥
Đặt t = af (x)(t > 0), ta thu bất phương trình: Antn+An−1tn−1+ +A1t+A0 ≥ +) Bất phương trình có dạng: Aa2f (x)+ B(ab)f (x) + Cb2f (x)≥ 0.
Chia hai vế cho b2f (x) đặt t = a
b f (x)
ta được: A.t2+ B.t + C ≥ +) Bất phương trình có dạng: Aaf (x)+ Bbg(x)+ C ≥ đó, af (x)bg(x) = k.
(11)Ta thu bất phương trình mới: At +Bk
t + C ≥ * Các phép đặt ẩn phụ thường gặp với bất phương trình logarit: +) Đặt t = logax(x > 0)
+) Khi bất phương trình xuất alogbx, ta đặt t = log bx
• Dùng ẩn phụ chuyển bất phương trình thành bất phương trình với ẩn phụ hệ số chứa x
Trong trường hợp này, ta thường thu bất phương trình bậc hai theo ẩn phụ (hoặc
vẫn theo x) có ∆ số phương
• Dùng ẩn phụ chuyển bất phương trình thành hệ bất phương trình với hai ẩn phụ Bằng việc sử dụng hai ẩn phụ, ta đưa bất phương trình cho hệ gồm có:
+) Bất phương trình có từ bất phương trình đầu
+) Phương trình (hoặc bất phương trình) có từ việc đánh giá mối quan hệ hai ẩn phụ
ccc BÀI TẬP DẠNG ccc
Ví dụ Giải bất phương trình sau:
a) Äp6 +√35äx− 12Äp6 −√35äx ≥ b)
4 log
2(x − 1)2+ log(x − 1)3 < 4.
Lời giải
a) Đặt t =Äp6 +√35äx(t > 0) ⇒Äp6 −√35äx = t Khi đó, bất phương trình cho trở thành:
t − 12 t ≥ ⇔ t2 − t − 12 ≥ 0 ⇔
" t ≥
t ≤ −3
Kết hợp với điều kiện t > ta có: t ≥ ⇒Äp6 +√35äx ≥ ⇔ x ≥ log√
6+√354
Vậy bất phương trình cho có tập nghiệm S =hlog√
6+√354; +∞
b) ĐK: x >
Đặt t = log(x − 1) ⇒ log2(x − 1)2 = 4t2; log(x − 1)3 = 3t
Khi đó, bất phương trình cho trở thành: t2+ 3t < ⇔ −4 < t < ⇒ −4 < log(x − 1) < ⇔ 10−4 < x − < 10 ⇔ 1, 0001 < x < 11. Kết hợp điều kiện x > ta có: 1, 0001 < x < 11
Vậy tập nghiệm bất phương trình cho là: S = (1, 0001; 11)
(12)Ví dụ Giải bất phương trình sau: plog2x3 − ≥ log 2x
Lời giải
ĐK: x ≥√3
Đặt (
u =plog2x3− = p3log
2x − (u ≥ 0) v = log2x
Khi đó, ta có: (
u ≥ v
u2 − 3v = −2 ⇔
3u ≥ u2+ 2 v = u
2+ 2
⇔
1 ≤ u ≤
v = u 2+ 2
3
Mà u ≥ nên
1 ≤ u ≤
v = u 2+ 2
3
⇔ (
1 ≤ u ≤
1 ≤ v ≤
⇒ (
1 ≤p3log2x − ≤
1 ≤ log2x ≤ ⇔ ≤ log2x ≤ ⇔ ≤ x ≤ Kết hợp điều kiện ta có: ≤ x ≤
Vậy tập nghiệm bất phương trình cho là: S = [2; 4]
Ví dụ Giải bất phương trình sau: 9x− 2(x + 5).3x+ 9(2x + 1) ≥ 0 (1)
Lời giải
Xét phương trình V T (1) = (2)
Đặt t = 3x(t > 0)
Khi đó, (2) trở thành: t2− 2(x + 5).t + 9(2x + 1) = 0 (∗). Giải phương trình: V T (1) = (2)
Ta có: ∆0 = (x + 5)2− 9(2x + 1) = (x − 4)2. Do đó, (∗) ⇔ (t − 9)(t − 2x − 1) = ⇔
" t =
t = 2x + ⇒ "
3x = 9
3x = 2x + 1 ⇔ "
x =
3x− 2x − = 0 Xét hàm số f (x) = 3x− 2x − liên tục R.
Ta có: f0(x) = 3x ln − ⇒ f ”(x) = 3x ln2
3 > 0∀x ∈ R ⇒ Phương trình f (x) = có tối đa hai nghiệm R
Mà f (0) = 0; f (1) = nên phương trình f (x) = có hai nghiệm x = 1; x =
Vậy phương trình (2) có ba nghiệm x = 0; x = 1; x =
Bảng xét dấu V T (1):
x
V T (1)
−∞ +∞
− + − +
Vậy, (1) ⇔ x ∈ [0; 1] ∪ [2; +∞)
Vậy bất phương trình cho có tập nghiệm S = [0; 1] ∪ [2; +∞)
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
(13)Lời giải
Đặt t = 2x (t > 0) Khi bất phương trình cho có dạng
t3− 7t2+ 14t − < ⇔ (t − 4)(t − 2)(t − 1) < (1)
Bảng xét dấu f (t) = (t − 4)(t − 2)(t − 1) (0; +∞)
t
f (t)
0 +∞
− + − +
Tập nghiệm bất phương trình (1) (0; 1) ∪ (2; 4)
Do tập nghiệm bất phương trình ban đầu (−∞; 0) ∪ (1; 2)
Bài Giải bất phương trình sau: 32x+ 3−2x + 3x+ 3−x ≤ 0.
Lời giải
Đặt t = 3x+ 3−x (t ≥ 2) Ta có 32x+ 3−2x = (3x+ 3−x)2 − Khi bất phương trình cho có dạng
t2+ t − ≤ ⇔ (t + 2)(t − 1) ≤ ⇔ −2 ≤ t ≤
Vì t ≥ nên bất phương trình cho vơ nghiệm
Bài Giải bất phương trình sau: (7 + 4√3)x− 2(2 −√3)x− ≥
Lời giải
Đặt (2 +√3)x = t (t > 0).
Nhận xét + 4√3 = (2 +√3)2 và −√3 =
2 +√3 nên ta có
(7 + 4√3)x = t2 (2 −√3)x =
t Do phương trình cho có dạng
t2−
t − ≥ ⇔ t
3− 3t2− ≥ 0 ⇔ (t + 1)2(t − 2) ≥ ⇔ t ≥
Vì (2 +√3)x ≥ ⇔ x ≥ log2+√ 32
Vậy tập nghiệm bất phương trình log2+√
32; +∞
Bài Giải bất phương trình 16x+1 + 9x+1 ≥ 25.12x.
Lời giải
Chia hai vế bất phương trình cho 9x ta có
16Å 16
ãx
+ ≥ 25Å
(14)Đặt Å
ãx
= t (t > 0) Å 16
ãx
= t2 Khi phương trình (1) có dạng
16t2+ ≥ 25t ⇔ 16t2− 25t + ≥ ⇔ (t − 1)(16t − 9) ≥
⇔
t ≤ 16 t ≥
Thay t Å
ãx
ta x ≤ −2 x ≥
Vậy tập nghiệm bất phương trình cho (−∞; −2] ∪ [0; +∞)
Bài Giải bất phương trình sau Älog1 x
ä2
− log3x − ≤
Lời giải
Điều kiện: x >
Đặt log3x = t Ta có log1
3 x = − log3x Khi bất phương trình có dạng (−t)2− 2t − ≤ ⇔ (t − 3)(t + 1) ≤ ⇔ −1 ≤ t ≤
Từ suy
3 ≤ x ≤ 27 Vậy tập nghiệm bất phương trình ï
3; 27 ị
Bài Giải bất phương trình log3x27 + logx29 ≥
Lời giải
Điều kiện: x > x 6=
Bất phương trình cho tương đương
1 log273x +
2
log9x2 ≥ ⇔ 1
3 + 3log3x
+
log3x ≥ Đặt t = log3x Bất phương trình trở thành
3 + t+
2
t ≥ ⇔
2t2− 3t − 2 t(t + 1) ≤
⇔ (t − 2)(2t + 1) t(t + 1) ≤
Bảng xét dấu hàm số f (t) = (t − 2)(2t + 1) t(t + 1)
t
f (t)
−∞ −1 −1
2 +∞
+ − + − +
Suy
−1 < t ≤ −1 < t ≤
⇔
−1 < log3x ≤ −1 < log3x ≤
⇔
3 < x ≤ √ < x ≤
Vậy tập nghiệm bất phương trình cho Å 3;
1 √
ò
(15)Bài Giải bất phương trình plogx7x − log7x >
Lời giải
Điều kiện:
x >
x 6=
logx7x > ⇔
x >
x 6=
logx7 > −1
Đặt logx7 = t (t > −1) Khi bất phương trình cho có dạng √
1 + t −
t > ⇔ √
1 + t > + t (1)
TH1: Nếu +
t ><⇔ t +
t < ⇔ −1 < t < bất phương trình (1) ln Khi −1 < logx7 < ⇔ log7x < −1 ⇔ x <
7 TH2: Nếu +
t > ⇔ t > bất phương trình (1) tương đương
1 + t > + t +
1 t2 ⇔ t
3− 2t − > 0
⇔ (t + 1)(t2 − t − 1) > 0 ⇔ (t + 1)
Ç
t − + √
5
å Ç
t − − √
5
å >
Vì t > nên bất phương trình có nghiệm t > + √
5
Khi ta có logx7 > + √
5
2 ⇔ < log7x <
1 +√5 ⇔ < x < 1+√5
Vây tập nghiệm bất phương trình Å
−∞;1
ã
∪1; 71+2√5
Bài Giải bất phương trình sau e2x+ (1 − 2x)ex+ x2− x ≥
Lời giải
Đặt ex = t (t > 0) Khi bất phương trình cho có dạng t2+ (1 − 2x)t + x2− x ≥ Xét tam thức bậc hai f (t, x) = t2+ (1 − 2x)t + x2− x với tham số x.
Ta có ∆ = (1 − 2x)2− 4(x2− x) = 1.
Do ta phân tích f (t, x) = (t − x)(t + − x) Vì bất phương trình f (t, x) ≥ tương đương
với t ≥ − x t ≤ x
Thay t = ex ta đưa giải bất phương trình ex ≤ x ex> x − 1.
Mặt khác ex ≥ x + với x ∈ R nên bất phương trình cho nghiệm với x. BÀI TẬP TỔNG HỢP
Bài Tìm m cho bất phương trình log2√x2− 2x + m + 3plog
4(x2− 2x + m) ≤ với x ∈ [0; 1]
Lời giải
Để bất phương trình có nghĩa
x2− 2x + m ≥ 0
(16)Đặt log2√x2− 2x + m = t (t ≥ 0) Bất phương trình cho có dạng t + 3√t ≤ ⇔ (√t + 4)(√t − 1) ≤
⇔√t − ≤
⇔ ≤ t ≤
Để bất phương trình ban đầu với t ∈ [0; 1]
0 ≤ log2√x2− 2x + m ≤ ∀x ∈ [0; 1] ⇔ ≤ x2− 2x + m ≤ ∀x ∈ [0; 1] (1)
Xét hàm số f (x) = x2− 2x + m [0; 1]. Ta có f0(x) = 2x − 2, f0(x) = x =
Nhận xét f0(x) < với x ∈ (0; 1) nên f (x) nghịch biến [0; 1] Vì
[0;1] f (x) = f (1) = m − 1, max[0;1] f (x) = f (0) = m Bất phương trình (∗)
m ≤
m − ≥
⇔ ≤ m ≤
Bài 10 Xác định giá trị a > cho acos 2x ≥ cos2x với x ∈ R.
Lời giải
Đặt cos2x = t (−1 ≤ t ≤ 1) Khi bất phương trình tương đương với
at≥ t + ∀t ∈ [−1; 1] ⇔ at− t ≥ ∀t ∈ [−1; 1] (1)
Xét hàm số f (t) = at− t [−1; 1] Ta có f0(t) = atln a − 1.
TH1: Nếu < a < f0(t) < với t ∈ [−1; 1] Do
[−1;1]f (t) = f (1) = a −
Để bất phương trình (1) a − ≥ ⇔ a ≥ (trái với a < 1)
TH2: Nếu a = f (t) = − t không thỏa mãn f (t) ≥ với t ∈ [−1; 1]
TH3: Nếu a > f0(t) = t = ln
ln a = − ln(ln a)
a) Nếu −1 ≤ − ln(ln a) ≤ ⇔ ee ≥ a ≥ e1e thì ta có bảng biến thiên t
f0(t)
f (t)
−1 − ln(ln a)
− +
1 a + 1
a + 1
ln a + ln(ln a)
ln a + ln(ln a)
a − a −
Đặt ln a = u, ta cần chứng minh g(u) =
u + ln u ≥ với e ≥ u ≥ e Ta có g0(u) =
u − u2 =
u − u2 , g
(17)u
g0(u)
g(u)
1
e e
− +
e − e −
1
1 e + 1 e +
Từ bảng biến thiên ta suy g(u) ≥ với u ∈ ï e; e
ò
b) Nếu −1 > − ln(ln a) ⇔ ee < a ta có bảng biến thiên t
f0(t)
f (t)
−1
+
1 a + 1 a +
a − a −
Để bất phương trình (1)
a + ≥ ⇔ a ≥ Do a > e e. c) Nếu < − ln(ln a) ⇔ e1e > a ta có bảng biến thiên
t
f0(t)
f (t)
−1
−
1 a + 1 a +
a − a −
Để bất phương trình (1) a − ≥ ⇔ a ≥ (trái với a < e1e)
Vậy để bất phương trình ban đầu với x a ≥ e1e
| Dạng Phương pháp đặt ẩn phụ bất phương trình logarit
Tìm logaf (x) chung, đặt làm ẩn phụ t để đưa bất phương trình bất phương trình theo ẩn t, giải bất phương trình tìm t sau tìm x
Chú ý: Nếu đặt t = logax log1
a x = −t, loga 2x =
1 2t, log
2
ax = (logax)2 = t2, logxa = t
ccc BÀI TẬP DẠNG ccc
Ví dụ Giải bất phương trình log22x + log24x − ≥
Lời giải
Điều kiện: x >
Ta có: log22x + log24x − ≥ ⇔ log22x + log2x − ≥
Đặt t = log2x Bất phương trình trở thành t2+ t − ≥ ⇔ t ≤ −2 ∨ t ≥ 1. Do ta có: log2x ≤ −2 ∨ log2x ≥ ⇔ < x ≤
4 ∨ x ≥ Vậy tập nghiệm bất phương trình S =
Å 0;1
4 ị
(18)Ví dụ Giải bất phương trình: log20,2x − log0,2x < −6
Lời giải
Điều kiện: x >
Đặt t = log0,2x Bất phương trình trở thành: t2− 5t + < ⇔ < t < 3. Do ta có < log0,2x < ⇔
125 < x < 25
Vậy tập nghiệm bất phương trình là: S = Å 1
125; 25
ã
Ví dụ Giải bất phương trình: log32x + log22x + log2x − ≥
Lời giải
Điều kiện: t >
Đặt t = log2x Bất phương trình trở thành: 2t3+ 5t2+ t − ≥ ⇔ −2 ≤ t ≤ −1 ∨ t ≥
Do ta có:
−2 ≤ log2x ≤ −1 log2x ≥
2
⇔
4 ≤ x ≤ x ≥√2
Vậy tập nghiệm bất phương trình S = ï 4;
1 ò
∪ỵ√2; +∞ä
Ví dụ Giải bất phương trình: logx3 − logx
3 <
Lời giải
Điều kiện:
x >
x 6=
x 6=
Ta có: logx3 − logx
3 < ⇔ logx3 −
log3 x
< ⇔ logx3 −
1
log3x − log3x < Đặt t = log3x
Bất phương trình trở thành: t −
1
t − < ⇔ −1
t(t − 1) < ⇔ t(t − 1) > ⇔ t < ∨ t >
Do ta có: "
log3x < log3x > ⇔
"
0 < x <
x >
Vậy tập nghiệm bất phương trình S = (0; 1) ∪ (3; +∞)
Ví dụ Giải bất phương trình: log22(2 + x − x2) + log
2(2 + x − x
2) + ≤ 0.
Lời giải
Điều kiện: + x − x2 > ⇔ −1 < x <
Đặt t = log2(2 + x − x2) Bất phương trình trở thành: t2− 3t + ≤ ⇔ ≤ t ≤ 2. Do ta có: ≤ log(2 + x − x2) ≤ ⇔
−x2+ x ≥ 0
−x2+ x − ≤ 0 ⇔
0 ≤ x ≤
x ∈ R
(19)Vậy tập nghiệm bất phương trình S = [0; 1]
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài Giải bất phương trình log22(2 − x) − log1
4(2 − x) ≥
Lời giải
Điều kiện: − x > ⇔ x <
Ta có: log22(2 − x) − log1
4(2 − x) ≥ ⇔ log
2(2 − x) − · log2−2(2 − x) ≥ ⇔ log22(2 − x) + log2(2 − x) − ≥
Đặt t = log2(2 − x) Bất phương trình trở thành: t2+ 4t − ≥ ⇔ t ≤ −5 ∨ t ≥ Do ta có:
"
log2(2 − x) ≤ −5 log2(2 − x) ≥ ⇔
"
0 < − x ≤ 2−5 − x ≥ ⇔
63
32 ≤ x < x ≤
Vậy tập nghiệm bất phương trình là: S = (−∞; 0] ∪ï 63 32;
ã
Bài Giải bất phương trình: log25(6 − x) + log√1
(6 − x) + log327 ≥
Lời giải
Điều kiện: − x > ⇔ x <
Ta có: log25(6 − x) + log√1
5(6 − x) + log327 ≥ ⇔ log
5(6 − x) + log5−
2(6 − x) + ≥ ⇔ log2
5(6 − x) − log5(6 − x) + ≥
Đặt t = log5(6 − x) Ta có: t2 − 4t + ≥ ⇔ t ≤ ∨ t ≥ 3. Do ta có:
"
log5(6 − x) ≤ log5(6 − x) ≥ ⇔
"
0 < − x ≤
6 − x ≥ 53 ⇔ "
1 ≤ x <
x ≤ −119
Vậy tập nghiệm bất phương trình là: S = (−∞; −119) ∪ [1; 6)
Bài Giải bất phương trình: log2x64 + logx213 ≥
Lời giải
Điều kiện:
x >
x 6=
x 6=
Ta có: log2x64 + logx216 ≥ ⇔ log2x26+ logx224 ≥ ⇔ log2x2 +
2 · logxx ≥ ⇔
log22x+
log2x ≥ ⇔
1 + log2x +
log2x ≥ Đặt t = log2x, bất phương trình trở thành:
1 + t+
t ≥ ⇔
6t + 2(1 + t)
(1 + t)t − ≥
⇔ 8t + − 3t(t + 1)
(1 + t)t ≥ ⇔
−3t2+ 5t + 2
(1 + t)t ≥ ⇔
−1 < t ≤ −1 < t ≤
Do ta có:
−1 < log2x ≤ −1 < log2x ≤
⇔
2 ≤ x ≤ √
2 < x ≤
Vậy tập nghiệm bất phương trình S = ï 2;
1 √
2 ò
(20)Bài Giải bất phương trình: logx4 + log4x4 + log16x4 ≤ Lời giải Điều kiện:
x >
x 6=
x 6= x 6=
16
Ta có: logx4 + log4x4 + log16x4 ≤ ⇔ log4x +
2
1 + log4x+
2 + log4x ≤ Đặt t = log4x, bất phương trình trở thành:
t + + t+
3 + t ≤
⇔ 3(1 + t)(2 + t) + 2t(2 + t) + 3t(1 + t)
t(t + 1)(2 + t) ≤ ⇔
8t2+ 16t +
t(t + 1)(t + 2) ≤ ⇔
t < −2
−3
2 ≤ t < −1 −1
2 ≤ t <
Do ta có:
log4x < −2 −3
2 ≤ log4x < −1 −1
2 ≤ log4x < ⇔
0 < x < 16
8 ≤ x <
2 ≤ x <
Vậy tập nghiệm bất phương trình là: S = Å
0; 16
ã ∪ï
8;
ã ∪ï
2; ã
Bài Giải bất phương trình: logx
3(3x) + log
3x < 11
Lời giải
Điều kiện:
x >
x 6=
Ta có: logx
3(3x) + log
3x < 11 ⇔ logx3 + logx3 x + log
3x − 11 < ⇔
log3 x
+ logx x
3
+ log23x − 11 < ⇔
log3x − +
1 − log3x+ log
3x − 11 <
⇔
log3x − 1+
1 − log3x
+ log23x − 11 < ⇔
log3x − +
log3x
log3x − 1+ log
3x − 11 <
Đặt t = log3x Ta có: t − 1+
t t − + t
2− 11 < ⇔ + t + (t
2− 11)(t − 1) t − <
⇔ t
3− t2− 10t + 12
t − < ⇔
(t − 3)(t2+ 2t − 4)
t − < ⇔ "
−1 −√5 < t < −1 +√5 < t <
Do ta có: "
−1 −√5 < log3x < −1 +√5 < log3x < ⇔
" 3−1−
√
5 < x < 3 3−1+
√
5 < x < 27 Vậy tập nghiệm bất phương trình là: S = (3−1−
√
5; 3) ∪ (3−1+√5; 27).
| Dạng Phương pháp sử dụng hàm số bất đẳng thức
• Sử dụng tính đơn điệu hàm số
(21)ccc BÀI TẬP DẠNG ccc
Ví dụ Giải bất phương trình x + log2x >
Lời giải
Điều kiện bất phương trình x > Khi xét hàm số f (x) = x + log2x (0; +∞) Ta có f0(x) = +
x ln > với x > nên hàm số f (x) đồng biến (0; +∞) Mặt khác f (1) = nên
x + log2x > ⇔ f (x) > f (1) ⇔ x >
Vậy tập nghiệm bất phương trình cho S = (1 : +∞)
Ví dụ Giải bất phương trình 3x+ 4x > 5x
Lời giải
Bất phương trình cho tương đương Å
ãx +Å
5 ãx
> Đặt f (x) =Å
ãx +Å
5 ãx
, ta có
f0(x) = Å
ãx ln3
5 + Å
5 ãx
ln4
5 < 0, ∀x ∈ R
Do f (x) hàm số nghịch biến R Mà f (2) = nên
3x+ 4x > 5x ⇔ f (x) > f (2) ⇔ x <
Vậy tập nghiệm bất phương trình cho S = (0; 2)
Ví dụ Giải bất phương trình log2(x2+ 1) + logx2+1(2x2+ 1) + log2x2+12 ≥
Lời giải
Điều kiện bất phương trình x 6= Khi áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số thực dương log2(x2+ 1), log
x2+1(2x2+ 1), log2x2+12 ta có
log2(x2+ 1) + logx2+1 2x2+ 1 + log2x2+12 ≥ 3»3
8 log2(x2+ 1) · log
x2+1(2x2+ 1) · log2x2+12 =
Do bất phương trình cho có tập nghiệm S = R \ {0}
Ví dụ Giải bất phương trình 3x2−1+ (x2− 1) 3x+1 ≥ 1.
Lời giải
Nếu x2− < hay −1 < x < 1, (
3x2−1 <
x2− 1 3x+1 <
⇒ 3x2−1
(22)Do bất phương trình cho vơ nghiệm Suy x2− ≥ hay |x| ≥ Suy (
3x2−1 ≥
x2− 1 3x+1 ≥ ⇒ x2−1
+ x2− 1 3x+1 ≥ 1, ∀|x| ≥
Vậy tập nghiệm bất phương trình cho S = (−∞; −1) ∪ (1; +∞)
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài Giải bất phương trình Å
6 ãx
+ 2Å
ãx
+ 3Å
ãx <
Lời giải
Đặt f (x) = Å
ãx
+ 2Å
ãx
+ 3Å
ãx
Ta có f0(x) = Å
ãx ln1
6 + Å
3 ãx
ln1 +
Å
ãx ln1
2 < với x ∈ R Do hàm số f (x) nghịch biến R Mặt khác f (2) = nên phương trình cho tương đương
f (x) < f (2) ⇔ x >
Vậy tập nghiệm bất phương trình cho S = (2; +∞)
Bài Giải bất phương trình log7x < log3(√x + 2)
Lời giải
Điều kiện bất phương trình x > Đặt t = log7x suy x = 7t Khi bất phương trình trở thành
t < log3Ä√7t+ 2ä ⇔√7t+ > 3t⇔Ä√7ätñÅ 3√
ãt −
ô
< (1)
Ta xét khả sau
• Nếu t ≤ √3
7 > nên Å
3 √
ã
≤ 1, suy Ä√7ätñÅ 3√
ãt −
ơ
≤ Do (1) ln
khi t ≤
• Nếu t > f (t) = Ä√7ätđÅ 3√
ãt −
ơ có
f0(t) =Ä√7ätln√7đÅ 3√
ãt −
ơ
+Ä√7ätđÅ 3√
ãt −
ô ln√3
7 > 0, ∀t >
Do f (t) đồng biến (0; +∞) Mà f (2) = nên
Ä√
7ätñÅ 3√
ãt −
ô
< ⇔ f (t) < f (2) ⇔ < t <
Kết hợp hai khả ta log7x < ⇔ < x < 49 Vậy tập nghiệm bất phương trình
cho S = (0; 49)
Bài Giải bất phương trình log2 √x2− 5x + + 1 + log
3(x2− 5x + 7) ≤
(23)Đặt t =√x2− 5x + ≥ 0, bất phương trình cho trở thành
f (t) = log2(t + 1) + log3 t2 + 2 ≤
Do f0(t) =
(t + 1) ln +
2t
(t2+ 2) ln 3 > 0, ∀t ≥ nên f (t) hàm số đồng biến [0; +∞) Mà f (1) = nên
f (t) ≤ ⇔ f (t) ≤ f (1) ⇔ t ≤
Do
√
x2 − 5x + ≤ ⇔
x2− 5x + ≥ x2− 5x + ≤
⇔
1 ≤ x ≤ − √
5 +√5
2 ≤ x ≤
Vậy tập nghiệm bất phương trình cho S = ñ
1;5 − √
5
ơ ∪
đ
5 +√5 ;
ô
Bài Giải bất phương trình 2−|x−2|log2(−x2+ 4x − 2) ≥
Lời giải
Điều kiện bất phương trình −x2+ 4x − > ⇔ −√2 < x < +√2 Đặt t = |x − 2|, ≤< 2, bất phương trình cho trở thành
f (t) = log2(2 − t) − 2t≥ (1)
Do f0(t) = −
(2 − t) ln −
tln < 0, ∀0 ≤ t < nên f (t) nghịch biến [0; 2) Mà f (0) = nên (1) ⇔ t = Vậy bất phương trình có nghiệm x =
Bài Giải bất phương trình
√
x+4+ 2√2x+4 > 13.
Lời giải
Điều kiện phương trình (
x + ≥
2x + ≥ ⇔ x ≥ −2 Xét hàm số f (x) = √
x+4+ 2√2x+4, với x ≥ −2.
Ta có
f0(x) = √
x+4ln 3 2√x + +
2 √
2x+4ln 2 √
2x + > 0, ∀x ≥ −2
Do f (x) hàm đồng biến (−2; +∞) Mà f (0) = 13, suy
3 √
x+4+ 2√2x+4> 13 ⇔ f (x) > f (0) ⇔ x > 0.
Vậy tập nghiệm bất phương trình cho S = (0; +∞)
Bài Giải bất phương trình
2−x + − 2x 4x− 2 ≥
Lời giải
Điều kiện bất phương trình x 6=
2 Đặt f (x) =
2−x+ − 2x g(x) = 4x− Ta có
(24)Do f (x) hàm số nghịch biến R g(x) hàm số đồng biến R Mà f (2) = gÅ
ã =
nên ta có
32−x+ − 2x
4x− 2 ≥ ⇔ f (x)
g(x) ≥ ⇔
(
f (x) ≥
g(x) >
(
f (x) ≤
g(x) < ⇔
x ≥
x <
x ≤
x >
⇔
2 < x ≤
Vậy tập nghiệm bất phương trình cho S =Å 2;
ò
Bài Cho bất phương trình
2(m2−1)x− 2x−4m+3 < − m2 x + − 4m.
a) Giải bất phương trình với m =
b) Tìm tất giá trị m để bất phương trình vơ nghiệm
Lời giải
Bất phương trình cho tương đương
2(m2−1)x+ m2− 1 x < 2x−4m+3+ x − 4m + 3.
Đặt f (t) = 2t+ t Ta có f0(t) = 2tln + > 0, ∀x ∈ R nên f (t) hàm số đồng biến R Do đó
2(m2−1)x+ m2 − 1 x < 2x−4m+3+ x − 4m + 3 ⇔ f
m2− 1 x < f (x − 4m + 3) ⇔ m2− 1 x < x − 4m +
⇔ m2− 2 x < −4m + (1)
a) Với m = 2, bất phương trình trở thành 2x < −5 ⇔ x < −5
b) Bất phương trình cho vơ nghiệm bất phương trình (1) vơ nghiệm hay
(
m2− =
− 4m + ≤ ⇔ m = √
2
Vậy m =√2 giá trị cần tìm
Bài Giải biện luận bất phương trình x2− (m + 3)x + 3m < (m − x) log2x
Lời giải
Điều kiện bất phương trình x > Khi bất phương trình tương đương
(25)Đặt f (x) = x − + log2x, với x > Dễ thấy f (x) hàm số đồng biến (0; +∞) f (2) = nên
(1) ⇔
(
x − m >
f (x) <
(
x − m <
f (x) > ⇔
( x > m
x <
( x < m
x >
Kết hợp với điều kiện ta có
• Nếu m ≤ bất phương trình có tập nghiệm (0; 2)
• Nếu < m < bất phương trình cho có tập nghiệm (m; 2) • Nếu m = bất phương trình cho vơ nghiệm
• Nếu m > bất phương trình có tập nghiệm (2; m)
Bài Tìm tất giá trị m để bất phương trình
2(m+1)x+4− 2m2−m−2 > ln m2− m − 2 − ln [(m + 1)x + 4] nghiệm với x ∈ [0; 1]
Lời giải
Điề kiện bất phương trình (
m2− m − >
(m + 1)x + > Khi bất phương trình cho tương đương
2(m+1)x+4+ ln [(m + 1)x + 4] > 2m2−m−2+ ln m2− m − 2 (1)
Đặt f (x) = 2t+ ln t Dễ thấy f (t) hàm số đồng biến (0; +∞) Do (1) ⇔(m + 1)x + > m2 − m −
⇔g(x) = (m + 1)x − m2+ m + > 0. (2)
Bất phương trình cho nghiệm với x ∈ [0, 1] bất phương trình (2) nghiệm
đúng với x ∈ [0; 1] hay
(
m2− m − > g(x) > 0, ∀x ∈ [0; 1]
⇔
" m >
m < −1
min
[0;1] g(x) > ⇔
( m >
g(0) >
(
m < −1
g(1) >
⇔
( m >
m2− m − < (
m < −1
m2− 2m − < ⇔
"
1 −√8 < m < −1
2 < m <
(26)Bài 10 Tìm tất giá trị m để bất phương trình
2sin2x+ 3cos2x ≥ m · 3sin2x
có nghiệm
Lời giải
Bất phương trình cho tương đương
Å
ãsin2x
+ 3cos2x−sin2x ≥ m
⇔Å
ãsin2x
+ 31−2 sin2x ≥ m
⇔Å
ãsin2x
+ 3Å
ãsin2x ≥ m
Đặt t = sin2x, ≤ t ≤ 1, bất phương trình cho trở thành
f (t) =Å
ãt
+ 3Å
ãt ≥ m
Dễ thấy f (t) hàm số nghịch biến [0; 1] nên max
[0;1] f (t) = f (0) = Do bất phương trình cho có nghiệm m ≤ max
[0;1] f (t) ⇔ m ≤
BÀI TẬP TỔNG HỢP
Bài 11 Tìm tất giá trị tham số m để bất phương trình
m · 9x− 3x+ ≥ nghiệm với x
Lời giải
Đặt t = 3x, t > Phương trình cho trở thành
mt2− t + ≥ ⇔ t −
t2 ≤ m (1)
Phương trình cho nghiệm với x (1) nghiệm với t >
Đặt f (t) = t −
t2 , t > Ta có f
0(t) = − t
t3 , suy f
0(t) = ⇔ t = Bảng biến thiên hàm số f (t)
x
f0(x)
f (x)
0 +∞
− +
(27)Từ ta thấy bất phương trình (1) nghiệm với t >) m ≥ Vậy m ≥
4 thỏa mãn yêu cầu toán
Bài 12 Tìm tất giá trị tham số m để bất phương trình
Å
ãlog4(−x2−2x+3) < m
nghiệm với x ∈ (−2; 0)
Lời giải
Điều kiện bất phương trình −x2− 2x + > hay −3 < x < 1. Xét hàm số f (x) =Å
4
ãlog4(−x2−2x+3)
, −3 < x < Ta có
f0(x) = Å
ãlog4(−x2−2x+3)
· −2x −
(−x2− 2x + 3) ln 4 · ln
Bảng biến thiên f (x)
x
f0(x)
f (x)
−3 −2 −1
− − + +
3 4 −2
Å
ãlog43
0
Å
ãlog43
Từ bảng biến thiên ta thấy bất phương trình cho nghiệm với x ∈ (−2, 0)
m ≥ Å
ãlog43
(28)1 MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT
Câu Tập nghiệm bất phương trình log2(3x + 1) < A
ï −1
3; ã
B
Å −1
3;
ã
C
Å
−1
3;
ã
D (−∞; 1)
Lời giải
ĐK: x > −1
log2(3x + 1) < ⇔ 3x + < ⇔ x < Kết hợp với điều kiện ta nghiệm bất phương trình −1
3 < x <
Vậy tập nghiệm bất phương trình Å
−1 3;
ã
Chọn đáp án C
Câu Tập nghiệm bất phương trình log2(3 − x) <
A (−∞; 1) B (−1; 3) C (1; 3) D (3; +∞)
Lời giải
Điều kiện − x > ⇔ x <
log2(3 − x) < ⇔ − x < ⇔ x > −1 Kết hợp điều kiện ta tập nghiệm S = (−1; 3)
Chọn đáp án B
Câu Tìm tập nghiệm bất phương trìnhÅ
4 ãx−1
>Å
ã−x+3
A (2; +∞) B (−∞; 2) C [2; +∞) D (−∞; 2]
Lời giải
Å
ãx−1 >Å
4 ã−x+3
⇔ x − < −x + ⇔ x <
Chọn đáp án B
Câu Tìm tập nghiệm S bất phương trình log3(2x − 3) > A S = (1; +∞) B S =Å
6; +∞ ã
C S = (2; +∞) D S = (3; +∞)
Lời giải
Bất phương trình tương đương với 2x − > hay x >
Chọn đáp án D
Câu Khẳng định sai?
A log x ≥ ⇔ x ≥ B log5x ≤ ⇔ < x ≤
C log1
5 a > log
1
5 b ⇔ a > b > D log
1
5 a = log
5 b ⇔ a = b >
Lời giải
log1
5 a > log
5 b ⇔ b > a > (do < 1)
Chọn đáp án C
Câu Nghiệm bất phương trình 3x−2 ≤ 243
(29)Lời giải
Ta có 3x−2 ≤ 243 ⇔ 3x−2 ≤ 35 ⇔ x − ≤ ⇔ x ≤ 7
Chọn đáp án B
Câu Nghiệm bất phương trình 32x+1 > 33−x là A x > −2
3 B x <
3 C x >
2
3 D x >
3
Lời giải
Ta có 32x+1 > 33−x ⇔ 2x + < − x ⇔ x >
Chọn đáp án C
Câu Cho hàm số f (x) =Å
2 ãx
· 5x2
Khẳng định sau sai?
A f (x) > ⇔ x2+ x log
25 > B f (x) > ⇔ x − x2log25 <
C f (x) > ⇔ x2− x log
52 > D f (x) > ⇔ −x ln + x2ln >
Lời giải
Dễ thấy x = −1 nghiệm bất phương trình f (x) > khơng nghiệm bất phương
trình x2+ x log25 >
Chọn đáp án A
Câu Tập nghiệm bất phương trình Å
2 ãx
<
A S = (−∞; −3) B S = Å
−∞;1
ã
C S = (−3; +∞) D S =Å
3; +∞ ã
Lời giải
Å
ãx
< ⇔ x > log1
2 ⇔ x > −3
Chọn đáp án C
Câu 10 Tập nghiệm bất phương trình 32x−1> 27 là
A Å 2; +∞
ã
B (3; +∞) C Å
3; +∞ ã
D (2; +∞)
Lời giải
32x−1 > 27 ⇔ 2x − > ⇔ x >
Chọn đáp án D
Câu 11 Bất phương trình log2(3x − 2) > log2(6 − 5x) có tập nghiệm A (−3; 1) B
Å
1;6
5 ã
C Å
2; ã
D (0; +∞)
Lời giải
Ta có log2(3x − 2) > log2(6 − 5x) ⇔ (
6 − 5x >
3x − > − 5x ⇔
x <
5 8x >
⇔
x <
5 x >
Chọn đáp án B
Câu 12 Tập nghiệm bất phương trình log2x > log2(8 − x)
A (8; +∞) B (−∞; 4) C (4; 8) D (0; 4)
(30)Điều kiện < x <
Do > nên bất phương trình cho tương đương với x > − x ⇔ 2x > ⇔ x >
Kết hợp với điều kiện < x < ta tập nghiệm bất phương trình (4; 8)
Chọn đáp án C
Câu 13 Nghiệm bất phương trình 32x+1 > 33−x A x > −2
3 B x >
2 C x >
2
3 D x <
2
Lời giải
Ta có 32x+1 > 33−x ⇔ 2x + > − x ⇔ x >
Chọn đáp án C
Câu 14 Tìm tập nghiệm S bất phương trình 32x > 3x+4.
A S = (0; 4) B S = (−∞; 4) C S = (4; +∞) D S = (−4; +∞)
Lời giải
Ta có 32x > 3x+4 ⇔ 2x > x + ⇔ x > 4.
Chọn đáp án C
Câu 15 Xét phương trình: ax > b (1) Mệnh đề sau sai?
A Nếu < a < 1, b > tập nghiệm bất phương trình (1) S = (−∞; logba)
B Nếu a > 1, b 6 tập nghiệm bất phương trình (1) S = R.
C Nếu < a < 1, b6 tập nghiệm bất phương trình (1) S = R.
D Nếu a > 1, b > tập nghiệm bất phương trình (1) S = (logab; +∞)
Lời giải
Nếu < a < 1, b > tập nghiệm bất phương trình (1) S = (−∞; logab)
Chọn đáp án A
Câu 16 Tập nghiệm bất phương trình log2x <
A (0; 1) B (−∞; 1) C (1; +∞) D (0; +∞)
Lời giải
Điều kiện: x >
Phương trình cho tương đương với x <
Kết hợp điều kiện ta có nghiệm < x <
Chọn đáp án A
Câu 17 Tập nghiệm bất phương trình (0, 5)3 <Å
ã3x
A (1; +∞) B (−∞; 1) C (−∞; −1) D (−1; +∞)
Lời giải
Ta có (0, 5)3 <Å
ã3x
⇔ 3x < ⇔ x <
Vậy tập nghiệm (−∞; 1)
Chọn đáp án B
(31)A x < B x > C x < −1 D x > −1
Lời giải
Ta có √10 + =Ä√10 − 3ä−1, bất phương trình trở thành Ä√
10 − 3äx >Ä√10 − 3ä−1 ⇔ x < −1
Chọn đáp án C
Câu 19 Bất phương trình log1
5 f (x) > log
5 g(x) tương đương với điều sau đây?
A f (x) < g(x) B g(x) > f (x) ≥ C g(x) > f (x) > D f (x) > g(x)
Lời giải
Do số
5 < nên ta phải đổi chiều bất phương trình, đồng thời ý đến điều kiện xác định
Chọn đáp án C
Câu 20 Tập nghiệm phương trình 2x+2 <Å
4 ã−x
là
A S = (−∞; 2) B S = (1; +∞) C S = (2; +∞) D S = (−∞; 1)
Lời giải
2x+2 <Å
ã−x
⇔ 2x+2 < 22x
⇔ 2x > x + ⇔ x >
Chọn đáp án C
Câu 21 Tập nghiệm bất phương trình log1
2
(x − 3) ≥ log1
(9 − 2x)
A S = (3; 4) B S = Å
3;9
ã
C S = (3; 4] D S =
ï 4;9
2 ã
Lời giải
log1
(x − 3) ≥ log1
(9 − 2x) ⇔ (
x − ≤ − 2x
x − >
⇔ < x ≤
Chọn đáp án C
Câu 22 Tìm tập nghiệm S bất phương trình loge
π
(x + 1) < loge π
(3x − 1)
A S = (−∞; 1) B S = (1; +∞) C S =Å
3;
ã
D S = (−1; 3)
Lời giải
Điều kiện: x > 3· Vì số < e
π < nên logπe (x + 1) < log e
π (3x − 1) ⇔ x + > 3x − ⇔ x < Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm bất phương trình S = Å
3; ã
(32)
Câu 23 Bất phương trình 3x < có nghiệm
A x < B x < C < x < D < x <
Lời giải
Ta có 3x < ⇔ x < 2.
Chọn đáp án A
Câu 24 Tập nghiệm bất phương trình 3x >
A (2; +∞) B (0; 2) C (0; +∞) D (−2; +∞)
Lời giải
Ta có 3x > ⇔ 3x > 32 ⇔ x >
Chọn đáp án A
Câu 25 Tập nghiệm bất phương trình 32x−1> 27 là
A (2; +∞) B (3; +∞) C Å
3; +∞ ã
D Å
2; +∞ ã
Lời giải
Ta có 32x−1 > 27 ⇔ 2x − > ⇔ x > 2.
Chọn đáp án A
Câu 26 Tập nghiệm bất phương trình 2x+1 >
A x ∈ R B x > −1 C x > D x >
Lời giải
Ta có 2x+1 > với x ∈ R.
Chọn đáp án A
Câu 27 Tập nghiệm bất phương trình log2(2x + 1) ≤
A Å
−∞;1 ò
B
Å −1
2; +∞ ã
C
Å
−1
2;
1 ò
D
Å
−∞;1
ã
Lời giải
Điều kiện xác định: 2x + > ⇔ x > −1
Bất phương trình cho tương đương với 2x + ≤ ⇔ x ≤
Do tập nghiệm bất phương trình Å
−1 2;
1 ò
Chọn đáp án C
Câu 28 Tập nghiệm bất phương trình log1
2
x >
A (0; 1) B (−∞; 1) C (1; +∞) D (0; +∞)
Lời giải
Điều kiện xác định x >
Ta có log1
2 x > ⇔ x < Kết hợp với điều kiện xác định ta có tập nghiệm bất phương trình S = (0; 1)
Chọn đáp án A
Câu 29 Tập nghiệm bất phương trình Å
3 ã4x
≤Å
(33)A Å
−∞; −2 ò
B
Å −∞;2
5 ò
C Å
5; +∞ ò
D
ï
−2
3; +∞
ã
Lời giải
Å
ã4x ≤Å
2 ã2−x
⇔Å
ã−4x ≤Å
2 ã2−x
⇔ −4x ≤ − x ⇔ x ≥ −2
Chọn đáp án D
Câu 30 Tìm tập nghiệm bất phương trình log3(x − 2) > 2.
A (−∞; 11) B (2; +∞) C [11; +∞) D (11; +∞)
Lời giải
Điều kiện: x − > ⇔ x >
Vì > nên log3(x − 2) > ⇔ x − > 32 ⇔ x > 11. Vậy tập nghiệm bất phương trình [11; +∞)
Chọn đáp án C
Câu 31 Tập nghiệm bất phương trình Å
3 ã3x
>Å
ã2x+6
A (0; 6) B (−∞; 6) C (0; 64) D (6; +∞)
Lời giải
Ta có Å
ã3x >Å
3 ã2x+6
⇔ 3x < 2x + ⇔ x <
Chọn đáp án B
Câu 32 Bất phương trình
π
2 x−1
≤π
2x+3
có nghiệm
A x > −4 B x ≥ −4 C x ≤ −4 D x < −4
Lời giải
Vì π
2 > nên bất phương trình tương đương x − ≤ 2x + ⇔ x ≥ −4
Chọn đáp án B
Câu 33 Tập hợp nghiệm bất phương trình 2x2 < 26−x
A (2; +∞) B (−∞; −3) C (−3; 2) D (−2; 3)
Lời giải
Ta có 2x2
< 26−x ⇔ x2 < − x ⇔ x2+ x − < ⇔ −3 < x < 2.
Chọn đáp án C
Câu 34 Mệnh đề sau sai ?
A ln x > ⇔ x > B log a > log b ⇔ a > b >
C log a < log b ⇔ < a < b D ln x < ⇔ < x <
Lời giải
Mệnh đề ln x < ⇔ < x < sai số e số lớn nên ln x < ⇔ x < e
Chọn đáp án D
Câu 35 Tập nghiệm bất phương trình Å
3 ãx
>
A (−∞; 2) B (2; +∞) C (−2; +∞) D (−∞; −2)
(34)Ta có: Å
ãx
> ⇔ x < log1
3 ⇔ x < −2
Chọn đáp án D
Câu 36 Tập nghiệm S bất phương trình log2(x + 2) ≤
A S = (−∞; −1] B S = [−1; +∞) C S = (−2; −1] D S = (−2; +∞)
Lời giải
Bất phương trình log2(x + 2) ≤ ⇔ < x + ≤ ⇔ −2 < x ≤ −1
Chọn đáp án C
Câu 37 Tập nghiệm bất phương trình 33x≤ 3x+2 là
A (−∞; 1) B [1; +∞) C (−∞; 1] D (0; 1]
Lời giải
33x≤ 3x+2 ⇔ 3x ≤ x + ⇔ x ≤ 1.
Chọn đáp án C
Câu 38 Tìm tất giá trị x thỏa mãn bất phương trình log2(3x − 1) >
A x > B
3 < x < C x < D x > 10
3
Câu 39 Tập nghiệm bất phương trình 4x > 2x+8
A [8; +∞) B (−∞; 8) C (0; 8) D (8; +∞) Lời giải
Ta có 4x > 2x+8 ⇔ 22x > 2x+8 ⇔ 2x > x + ⇔ x > 8.
Chọn đáp án D
Câu 40 Tập nghiệm bất phương trình 22x< 2x+4
A (0; 4) B (−∞; 4) C (0; 16) D (4; +∞)
Lời giải
Ta có 22x < 2x+4 ⇔ 2x < x + ⇔ x < 4.
Chọn đáp án B
Câu 41 Tập nghiệm bất phương trình log0,5(x − 3) ≥ −1
A (−∞; 5) B [5; +∞) C (3; 5] D (3; 5)
Lời giải
Bất phương trình tương đương
0 < x − ≤Å
ã−1
⇔ < x ≤
Chọn đáp án C
Câu 42 Tập nghiệm S bất phương trình log1
5
(3x − 5) > log1
(x + 1)
A S = (2; +∞) B S =Å
3;
ã
C S = (−∞; 3) D S =Å 5;
ã
Lời giải
Điều kiện 3x − > ⇔ x >
3 Khi
(35)Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm bất phương trình S = Å 3;
ã
Chọn đáp án B
Câu 43 Tập nghiệm bất phương trình log(x + 1) <
A (−1; 0) B (−∞; 9) C (−1; 9) D (−∞; −1)
Lời giải
Ta có log(x + 1) < ⇔ < x + < ⇔ −1 < x <
Vậy tập nghiệm bất phương trình (−1; 0)
Chọn đáp án A
Câu 44 Tìm tập nghiệm bất phương trình 2x+1 > 3x+2. A
Å
−∞; log3
9
ã
B
Å
−∞; log2
3
9
ã
C
Å
−∞; log2
9 ò
D
Å log2
3 2; +∞
ã
Lời giải
Bất phương trình cho tương đương với
Å
ãx >
2 ⇔ x < log23
Vậy tập nghiệm bất phương trình Å
−∞; log2
9
ã
Chọn đáp án B
Câu 45 Tập nghiệm bất phương trình Ä√3
5äx−1 < 5x+3
A (−∞; −5) B (−5; +∞) C (0; +∞) D (−∞; 0)
Lời giải
Ä√3
5äx−1 < 5x+3 ⇔ 5x−13 < 5x+3 ⇔ x −
3 < x + ⇔ x > −5
Chọn đáp án B
Câu 46 Nghiệm bất phương trình log1
2(x − 3) >
A 36 x 6 13
4 B < x6
13
4 C x6
13
4 D x> 13
4
Lời giải
Ta có log1
2(x − 3) > ⇔ < x − ≤
4 ⇔ < x ≤ 13
4
Chọn đáp án B
Câu 47 Tìm tập nghiệm bất phương trình Å
2 ãx
≥
A (−∞; −1] B [1; +∞) C (−∞; −1) D (−1; +∞)
Lời giải
Xét bất phương trình Å
ãx
≥ ⇔Å
ãx ≥Å
2 ã−1
⇔ x ≤ −1 ⇒ tập nghiệm S = (−∞; −1]
Chọn đáp án A
Câu 48 Bất phương trình Ä√2äx
2−2x
≤Ä√2ä3 có tập nghiệm
A (−2; 1) B (−1; 3) C [−2; 1] D [−1; 3]
(36)• Ta có Ä√2äx 2−2x
≤Ä√2ä3 ⇔ x2− 2x ≤ ⇔ x2− 2x − ≤ ⇔ −1 ≤ x ≤ 3.
Chọn đáp án D
Câu 49 Tìm tập nghiệm S bất phương trình loge
3 2x < log e
3(9 − x)
A S = (3; +∞) B S = (−∞; 3) C S = (3; 9) D S = (0; 3)
Lời giải
Ta có
loge
3 2x < log e
3(9 − x) ⇔ < − x < 2x
⇔ < x <
Vậy S = (3; 9)
Chọn đáp án C
Câu 50 Tập nghiệm bất phương trình
1 − log1
x √
2 − 6x <
A Å
0;1
ã
B Å
3;
ã
C
Å
0;1
3 ã
D
Å 0;1
2 ã
Lời giải
Điều kiện: < x <
Bất phương trình cho tương đương với − log1
x < ⇔ < x <
Kết hợp điều kiện, suy bất phương trình có nghiệm < x <
Chọn đáp án C
Câu 51 Giải bất phương trình Å
4 ã2x−4
>Å
ãx+1
A S = (−∞; 5) B S = (−1; 2) C S = [5; +∞) D (−∞; −1)
Lời giải
Bất phương trình tương đương với 2x − < x + ⇔ x <
Chọn đáp án A
Câu 52 Chọn khẳng định sai khẳng định sau
A ln x > ⇔ x > B log x < ⇔ x < 10
C log1
2 a < log
2 b ⇔ a > b > D log2a = log2b ⇔ a = b >
Lời giải
• Ta có ln x > ⇔ x > e0 = khẳng định ln x > ⇔ x > đúng.
• Ta có log x < ⇔ x < 100 ⇔ x < khẳng định log x < ⇔ x < 10 sai. • Ta có log1
2 a < log b ⇔
( a > b
a > 0, b > ⇔ a > b > khẳng định log
2 a < log
2 b ⇔ a > b >
0
• Ta có log2a = log2b ⇔ (
a = b
a > 0, b >
(37)Chọn đáp án B
Câu 53 Tập nghiệm bất phương trình 32x−1> 27 là
A (3; +∞) B Å 3; +∞
ã
C Å
3; +∞ ã
D (2; +∞)
Lời giải
Ta có 32x−1 > 27 ⇔ 2x − > log
327 ⇔ 2x − > ⇔ x >
Chọn đáp án D
Câu 54 Tập hợp sau tập hợp nghiệm bất phương trình 4x < 2x+1+ 3?
A (log23; 5) B (−∞; log23) C (1; 3) D (2; 4)
Lời giải
Bất phương trình cho tương đương với (2x)2− · 2x− < Đặt t = 2x, t > 0, bất phương trình cho trở thành
t2− 2t − < ⇔ −1 < t < Từ ta 2x< ⇔ x < log23
Chọn đáp án B
Câu 55 Giải bất phương trình 3x+2 ≥
9
A x > B x < C x < D x ≥ −4
Lời giải
Ta có 3x+2 ≥ ⇔
x+2 ≥ 3−2 ⇔ x + ≥ −2 ⇔ x ≥ −4.
Chọn đáp án D
Câu 56 Giải bất phương trình log2(3x − 1) >
A x > B
3 < x < C x < D x > 10
3
Lời giải
ĐKXĐ: 3x − > ⇔ x >
Ta có log2(3x − 1) > ⇔ 3x − > 23 ⇔ 3x > ⇔ x > (thỏa mãn) Vậy bất phương trình có nghiệm x >
Chọn đáp án A
Câu 57 Tập nghiệm bất phương trình 22x< 2x+6 là
A (0; 6) B (−∞; 6) C (0; 64) D (6; +∞)
Lời giải
Ta có 22x < 2x+6 ⇔ 2x < x + ⇔ x <
Chọn đáp án B
Câu 58 Tập nghiệm bất phương trình log(2x − 1) ≤ log x
A ï 2;
ò
B (−∞; 1] C Å
2;
ò
D (0; 1]
Lời giải
log(2x − 1) ≤ log x ⇔ < 2x − ≤ x ⇔
2 < x ≤
Vậy tập nghiệm bất phương trình Å 2;
(38)Chọn đáp án C
Câu 59 Tập nghiệm phương trình Å
2 ãx
> 22x−1 là A (−∞; 1) B (1; +∞) C
Å
−∞;1
3 ã
D Å
3; +∞ ã
Lời giải
Ta có Å
ãx
> 22x−1 ⇔ 2−x > 22x−1 ⇔ −x > 2x − ⇔ x <
Chọn đáp án C
Câu 60 Tìm tập nghiệm S bất phương trình log1
2 x > −2
A S = (4; +∞) B S = [0; 4) C S = (−∞; 4) D S = (0; 4)
Lời giải
Điều kiện x >
Ta có log1
2 x > −2 ⇔ − log2x > −2 ⇔ log2x < ⇔ x < Kết hợp điều kiện ta có tập nghiệm S = (0; 4)
Chọn đáp án D
Câu 61 Tập nghiệm bất phương trình log0,3(3x − 2) ≥
A Å 3; +∞
ã
B Å
3; ã
C Å
3; ,
ò
D (2; +∞)
Lời giải
Ta có: log0,3(3x − 2) ≥ ⇔ (
3x − >
3x − ≤ ⇔
x >
3 x ≤
⇔
3 < x ≤
Tập nghiệm bất phương trình Å 3;
ò
Chọn đáp án C
Câu 62 Tìm tập nghiệm S bất phương trình log1
2(x − 3) ≥ log
A S = (−∞; 7] B S = [7; +∞) C S = (3; 7] D S = [3; 7]
Lời giải
Điều kiện x >
Ta có
log1
2(x − 3) ≥ log
2 ⇔ x − ≤ ⇔ x ≤
Kết hợp với điều kiện ta S = (3; 7]
Chọn đáp án C
Câu 63 Tìm tập nghiệm S bất phương trình log1
2
(x + 1) < log1
(2x − 1)
A S = (2; +∞) B S = (−1; 2) C S = (−∞; 2) D S =Å
2;
ã
Lời giải
Điều kiện xác định (
x + >
2x − >
⇔ x >
2 Ta có
(39)Kết hợp với điều kiện xác định, ta có tập nghiệm bất phương trình S =Å 2;
ã
Chọn đáp án D
Câu 64 Tìm tập nghiệm S bất phương trình Å
2 ãx
>
A S = (−3; +∞) B S = (−∞; 3) C S = (−∞; −3) D S = (3; +∞)
Lời giải
Vì số
2 < nên Å
2 ãx
> ⇔ x < log1
2 ⇔ x < −3
Chọn đáp án C
Câu 65 Tìm tập nghiệm S bất phương trình Å
2
ã−x2+3x <
4
A S = [1; 2] B S = (−∞; 1) C S = (1; 2) D S = (2; +∞)
Lời giải
Ta có
Å
ã−x2+3x <
4
⇔ Å
ã−x2+3x <Å
2 ã2
⇔ −x2 + 3x > ⇔ x2− 3x + < 0 ⇔ < x <
Vậy S = (1; 2)
Chọn đáp án C
Câu 66 Tập nghiệm bất phương trình 4x+1 ≤ 8x−2 là
A [8; +∞) B ∅. C (0; 8) D (−∞; 8]
Lời giải
Ta có 4x+1 ≤ 8x−2 ⇔ 22x+2≤ 23x−6 ⇔ 2x + ≤ 3x − ⇔ x ≥ 8. Vậy tập nghiệm bất phương trình S = [8; +∞)
Chọn đáp án A
Câu 67 Tìm tập nghiệm S bất phương trình ln x2 < 0.
A S = (−1; 1) B S = (−1; 0) C S = (−1; 1) \ {0} D S = (0; 1)
Lời giải
Ta có ln x2 < ⇔ < x2 < ⇔ (
x 6=
− < x < Vậy S = (−1; 1) \ {0}
Chọn đáp án C
Câu 68 Tập nghiệm bất phương trình log0,5(x − 1) > A
Å −∞;3
2 ã
B
Å
1;3
2 ã
C Å
2; +∞ ã
D
ï 1;3
2 ã
(40)
log0,5(x − 1) > ⇔ < x − < 0,5 ⇔ < x <
Chọn đáp án B
Câu 69 Tập nghiệm bất phương trình
e
π x
>
A R B (−∞; 0) C (0; +∞) D [0; +∞)
Lời giải
Vì < e
π < nên e
π x
> ⇔ x <
Vậy tập nghiệm bất phương trình (−∞; 0)
Chọn đáp án B
Câu 70 Tập nghiêm S bất phương trình log2(x − 1) <
A (1; 9) B (−∞; 9) C (−∞; 10) D (1; 10)
Lời giải
Điều kiện xác định x >
Ta có log2(x − 1) < ⇔ x − < 23 ⇔ x < 9.
Vậy tập nghiệm bất phương trình S = (1; 9)
Chọn đáp án A
Câu 71 Số nghiệm nguyên bất phương trình log1
2
(x − 3) ≥ log1
4
A B C D
Lời giải
Ta có: log1
(x − 3) ≥ log1
4⇔ (
x − >
x − ≤ ⇔
( x >
x ≤ Tập nghiệm bất phương trình S = (3; 7]
Từ suy bất phương trình có nghiệm ngun
Chọn đáp án D
Câu 72 Tập nghiệm cuả bất phương trình 2x2+2x
≤
A (−∞; −3] B [−3; 1] C (−3; 1) D (−3; 1]
Lời giải
Bất phương trình 2x2+2x ≤ ⇔ 2x2+2x ≤ 23 ⇔ x2+ 2x − ≤ ⇔ x ∈ [−3; 1]. Vậy tập nghiệm bất phương trình cho [−3; 1]
Chọn đáp án B
Câu 73 Tập nghiệm S bất phương trình 3x < là
A S = (−∞; 2] B S = (2; +∞) C S = (−∞; 2) D S = {2}
Lời giải
Ta có 3x < ⇔ x < 2.
Vậy tập nghiệm bất phương trình S = (−∞; 2)
Chọn đáp án C
Câu 74 Tập nghiệm bất phương trình Å
4 ã−x2
> 81 256
(41)C R D (−∞; −2)
Lời giải
Ta có
Å
ã−x2 > 81
256 ⇔ Å
4 ã−x2
>Å
ã4
⇔ −x2 < ⇔ x2+ > (nghiệm ∀x ∈ R).
Vậy tập nghiệm bất phương trình R
Chọn đáp án C
Câu 75 Tập nghiệm bất phương trình 2x > 4x+6
A (6; +∞) B (12; +∞) C (−∞; −12) D (−∞; −6)
Lời giải
Ta có 2x > 4x+6 ⇔ 2x > 22x+12 ⇔ x > 2x + 12 ⇔ x < −12. Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (−∞; −12)
Chọn đáp án C
Câu 76 Cho bất phương trình Å
3
ãx2−x+1
> Å
ã2x−1
có tập nghiệm S = (a; b) Giá trị b − a
bằng
A −2 B −1 C D
Lời giải
Bất phương trình cho tương đương
x2− x + < 2x − ⇔ x2− 3x + < ⇔ < x < 2. Vậy tập nghiệm bất phương trình S = (1; 2)
Do a = 1, b = ⇒ b − a =
Chọn đáp án C
Câu 77 Tập nghiệm bất phương trình 2x > là
A (−∞; 3) B [3; +∞) C (3; +∞) D (−∞; 3]
Lời giải
Ta có 2x > ⇔ 2x > 23 ⇔ x > Vậy tập nghiệm bất phương trình (3; +∞).
Chọn đáp án C
Câu 78 Tập nghiệm bất phương trình
√
x < là
A [0; 1) B (−∞; 1) C (−∞; 1] D (0; 1)
Lời giải
Điều kiện x ≥
Bất phương trình cho tương đương với √x < ⇔ ≤ x <
Chọn đáp án A
Câu 79 Tìm tập nghiệm bất phương trình 32x > 3x+4
A S = (−∞; 4) B S = (0; 4) C S = (−4; +∞) D S = (4; +∞)
Lời giải
Ta có 32x > 3x+4 ⇔ 2x > x + ⇔ x > Do tập nghiệm bất phương trình S = (4; +∞).
(42)Câu 80 Giải bất phương trình log2(3x − 2) > log2(6 − 5x) tập nghiệm (a; b) Hãy tính tổng S = a + b
A S = 31
6 B S =
28
15 C S =
8
3 D S =
11
5
Lời giải
Điều kiện
3 < x <
Bất phương trình cho tương đương với − 2x > − 5x ⇔ x >
Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm bất phương trình S = Å
1;6
ã
, S = a + b = 11
Chọn đáp án D
Câu 81 Tập nghiệm bất phương trình log(x2− 4x + 5) > là?
A (−1; 5) B (−∞; −1)
C (5; +∞) D (−∞; −1) ∪ (5; +∞)
Lời giải
Ta có
log(x2− 4x + 5) > ⇔ x2− 4x + > 10 ⇔ x2− 4x − > ⇔ x < −1 ∪ x > 5.
Chọn đáp án D
Câu 82 Bất phương trình log2x < có nghiệm
A (8; +∞) B (−∞; 8) C (0; 8) D (−∞; 6)
Lời giải
Ta có log2x < ⇔ < x < 23 ⇔ < x < 8.
Chọn đáp án C
Câu 83 Giải bất phương trình log1
2(3x − 1) >
A x >
2 B x <
3 C x >
3 D
1
3 < x <
2
3
Lời giải
Ta có log1
2(3x − 1) > ⇔ < 3x − < ⇔
3 < x <
Chọn đáp án D
Câu 84 Tìm tập nghiệm bất phương trình Å
2 ãx
≥
A (−∞; −1] B [−1; +∞) C (−∞; −1) D (−1; +∞)
Lời giải
Ta có Å
ãx
≥ ⇔ 2−x ≥ ⇔ −x ≥ ⇔ x ≤ −1.
Vậy tập nghiệm bất phương trình cho (−∞; −1]
Chọn đáp án A
Câu 85 Tìm tập nghiệm S bất phương trình 16 − 22x+1 ≥ 0.
A S =ï 2; +∞
ã
B S = Å
−∞;3
ã
C S =
Å
−∞;3
2 ò
D S = Å
0;3 ò
Lời giải
Ta có
(43)⇔ 2x + ≤ log216 ⇔ 2x + ≤ ⇔ x ≤
2
Vậy S = Å
−∞;3 ò
Chọn đáp án C
Câu 86 Tìm tập nghiệm S bất phương trình Å
5 ãx−1
< 25
A S = (−1; +∞) B S = (3; +∞) C S = (−∞; −1) D S = (−∞; 3)
Lời giải
Å
ãx−1
< 25 ⇔ Å
ãx−1 <Å
5 ã−2
⇔ x − > −2 ⇔ x > −1
Chọn đáp án A
Câu 87 Tập hợp nghiệm bất phương trình e2x< ex+6
A (0; 6) B (−∞; 6) C (0; 64) D (6; +∞)
Lời giải
e2x< ex+6 ⇔ 2x < x + ⇔ x <
Chọn đáp án B
Câu 88 Tập nghiệm bất phương trình Å
5 ã2x
>Å
ãx+3
A S = (0; 3) B S = (−∞; 3) C S = (−∞; −1) D S = (3; +∞)
Lời giải
Å
ã2x >Å
5 ãx+3
⇔ 2x < x + ⇔ x <
Chọn đáp án B
Câu 89 Tập nghiệm bất phương trình Å
2 ãx
> 22x+1 A (−∞; 1) B (1; +∞) C
Å −1
3; +∞ ã
D
Å
−∞; −1
3 ã
Lời giải
Ta có Å
ãx
> 22x+1 ⇔ −x > 2x + ⇔ x < −1
Chọn đáp án D
Câu 90 Tập nghiệm bất phương trình π3x ≥ πx−4 là
A (−2; +∞) B (−∞; −2] C [2; +∞) D [−2; +∞)
Lời giải
Ta có π3x≥ πx−4 ⇔ 3x ≥ x − ⇔ x ≥ −2.
Vậy tập nghiệm bất phương trình cho [−2; +∞)
Chọn đáp án D
Câu 91 Tập hợp nghiệm bất phương trình 2x2 < 26−x
(44)Lời giải
2x2
< 26−x ⇔ x2 < − x ⇔ x2+ x − < ⇔ −3 < x < 2.
Chọn đáp án A
Câu 92 Giải bất phương trình log3(2x − 3) > A < x < B
2 < x < C x >
2 D x >
Lời giải
log3(2x − 3) > ⇔ (
2x − >
2x − > 32 ⇔
x >
2 x >
⇔ x >
Chọn đáp án D
Câu 93 Tập nghiệm bất phương trình log2(2x − 1) < log2(x + 5)
A Å
2;
ã
B (−∞; 6) C
Å −5;1
2 ã
D Å
2; +∞ ã
Lời giải
Điều kiện xác định bất phương trình (
2x − >
x + >
⇔ x >
Ta có log2(2x − 1) < log2(x + 5) ⇔ 2x − < x + ⇔ x < Vậy tập nghiệm bất phương trình Å
2; ã
Chọn đáp án A
Câu 94
Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên hình bên
Có giá trị nguyên dương m để phương
trình f (x) = log2m có ba nghiệm phân biệt A 28 B 29 C 31 D 30
x y0
y
−∞ +∞
− + −
+∞ +∞
1
5
−∞ −∞
Lời giải
Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu toán tương đương với < log2m < ⇔ < m < 32 ⇒ m ∈ {3, 4, , 31} Vậy có 29 giá trị m cần tìm
Chọn đáp án B
Câu 95 Tìm tập nghiệm S bất phương trình − 22x−1≥ 0.
A S =ï 2; +∞
ã
B S = Å
−∞;3
ã
C S =
Å
−∞;3
2 ò
D S = Å
0;3 ò
Lời giải
Ta có
4 − 22x−1 ≥ ⇔ 22x−1≤ ⇔ 2x − ≤ ⇔ x ≤
Chọn đáp án C
Câu 96 Tập nghiệm bất phương trình log 2x < log(x + 6)
A (6; +∞) B (0; 6) C [0; 6) D (−∞; 6)
(45)Điều kiện xác định: x >
Bất phương trình ⇔ 2x < x + ⇔ x < Vậy tập nghiệm bất phương trình (0; 6)
Chọn đáp án B
Câu 97 Tìm tập nghiệm bất phương trình Å
2 ãx
<
A (−2; +∞) B (0; 4) C (−∞; −2) D (−∞; 2)
Lời giải
Ta có Å
ãx
< ⇔ x > log1
2 = −2
Vậy tập nghiệm bất phương trình (−2; +∞)
Chọn đáp án A
Câu 98 Tập nghiệm bất phương trình 22x< 2x+4 là
A (0; 4) B (−∞; 4) C (0; 16) D (4; +∞)
Lời giải
Ta có 22x < 2x+4 ⇔ 2x < x + ⇔ x < 4.
Chọn đáp án B
Câu 99 Tập nghiệm bất phương trình: 22x< 2x2−3
A (−1; 3) B (−∞; −1) ∪ (3; +∞)
C (1; 3) D (−∞; 1) ∪ (3; +∞)
Lời giải
Bất phương trình tương đương với x2− > 2x (cơ số > 1).
Hay x2− 2x − > ⇔ (x + 1)(x − 3) > ⇔ x ∈ (−∞; −1) ∪ (3; +∞).
Chọn đáp án B
Câu 100 Tập nghiệm bất phương trình 21x <
A Å
−1
2;
ã
B (−∞; −2) C
Å −1
2; +∞ ã
\ {0} D (−2; 0)
Lời giải
Điều kiện xác định: x 6=
Với điều kiện đó, 21x < ⇔
1
x < 2−2 ⇔
x < −2 ⇔
2x +
x < ⇔ −
2 < x < (thỏa mãn)
(46)ĐÁP ÁN
1 C B B D C B C A C 10 D
11 B 12 C 13 C 14 C 15 A 16 A 17 B 18 C 19 C 20 C
21 C 22 C 23 A 24 A 25 A 26 A 27 C 28 A 29 D 30 C
31 B 32 B 33 C 34 D 35 D 36 C 37 C 38 A 39 D 40 B
41 C 42 B 43 A 44 B 45 B 46 B 47 A 48 D 49 C 50 C
51 A 52 B 53 D 54 B 55 D 56 A 57 B 58 C 59 C 60 D
61 C 62 C 63 D 64 C 65 C 66 A 67 C 68 B 69 B 70 A
71 D 72 B 73 C 74 C 75 C 76 C 77 C 78 A 79 D 80 D
81 D 82 C 83 D 84 A 85 C 86 A 87 B 88 B 89 D 90 D
(47)2 MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU
Câu Tìm tập nghiệm S phương trình (0, 6)1x ≤ (0, 6)
1
A S = (−∞; 6] B S = (0; 6] C [0; 6] D (−∞; 0) ∪ [6; +∞)
Lời giải
Ta có: (0, 6)x1 ≤ (0, 6) ⇔
x ≥ ⇔
1 x −
1
6 ≥ ⇔ − x
x ≥ ⇔ < x ≤ Tập nghiệm bất phương trình S = (0; 6]
Chọn đáp án B
Câu Tập nghiệm bất phương trình 3x2−2x < 27
A (−∞; −1) B (3; +∞)
C (−1; 3) D (−∞; −1) ∪ (3; +∞)
Lời giải
3x2−2x < 27 ⇔ 3x2−2x < 33 ⇔ x2− 2x < ⇔ x2− 2x − < ⇔ −1 < x < 3.
Chọn đáp án C
Câu Tập nghiệm S bất phương trìnhÅ
5 ã1−3x
≥ 25
A S = [1; +∞) B S =ï
3; +∞ ã
C S = Å
−∞;1
ã
D S = (−∞; 1]
Lời giải
Ta có Å
ã1−3x ≥ 25
4 ⇔ − 3x ≤ log25 25
4 ⇔ − 3x ≤ −2 ⇔ −3x ≤ −3 ⇔ x ≥
Chọn đáp án A
Câu Nghiệm bất phương trình log2−√
3(2x − 5) ≥ log2−√3(x − 1)
A
2 < x ≤ B < x ≤ C
5
2 ≤ x ≤ D x ≥
Lời giải
log2−√
3(2x − 5) ≥ log2−√3(x − 1) ⇔ (
2x − ≤ x −
2x − > ⇔
x ≤
x > Vậy nghiệm bất phương trinh
2 < x ≤
Chọn đáp án A
Câu Số nghiệm nguyên bất phương trình log1
2
(x − 1) > −3
A B C D
Lời giải
Ta có log1
(x − 1) > −3 ⇔
x − >
x − < Å
ã−3 ⇔ (
x >
x <
Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (1; 9), suy có nghiệm nguyên
Chọn đáp án B
Câu Tập nghiệm bất phương trình log1
3
(48)A (−∞; 4) B (1; 4] C (1; 4) D ï
4;11
ã
Lời giải
Điều kiện: < x < 11
Bất phương trình tương đương − log3(x − 1) + log3(11 − 2x) ≥ ⇔ log3 11 − 2x
x − ≥ ⇔
11 − 2x
x − ≥ ⇔
12 − 3x
x − ≥ ⇔ < x ≤
Chọn đáp án B
Câu Tập nghiệm bất phương trình 4x+1 ≤ 8x−2 là
A [8; +∞) B ∅. C (0; 8) D (−∞; 8]
Lời giải
Ta có: 4x+1 ≤ 8x−2 ⇔ 22x+2≤ 23x−6⇔ 2x + ≤ 3x − ⇔ ≤ x Vậy tập nghiệm bất phương trình [8; +∞)
Chọn đáp án A
Câu Tìm tập nghiệm bất phương trình log2
5 (x − 4) + >
A ï 13 ; +∞
ã
B
Å
−∞;13
ã
C (4; +∞) D
Å
4;13
2 ã
Lời giải
Ta có log2
5 (x − 4) + > ⇔ log
5 (x − 4) > −1 ⇔ < x − < Å
5 ã−1
⇔ < x < 13
Vậy tập nghiệm bất phương trình Å
4;13
ã
Chọn đáp án D
Câu Cho Ä√2019 −√2018äa >Ä√2019 −√2018äb Kết luận sau đúng? A a > b B a < b C a = b D a ≥ b
Lời giải
Phương pháp
Với < a < ⇒ am > am ⇔ n < m Cách giải:
Ta có: <√2019 −√2018 < ⇒ Ä√2019 −√2018äa >Ä√2019 −√2018äb ⇔ a < b
Chọn đáp án B
Câu 10 Tập nghiệm bất phương trình log1
3(x + 1) > log3(2 − x) S = (a; b) ∪ (c; d) với a, b, c, d số thực Khi a + b + c + d bằng:
A B C D
Lời giải
Phương pháp
• Tìm điều kiện xác định bất phương trình • Giải bất phương trình
Cách giải:
(49)
x + >
2 − x >
log1
3(x + 1) > log3(2 − x) ⇔
x > −1
x <
− log3(x + 1) > log3(2 − x)
⇔( − < x <
log3(2 − x) + log3(x + 1) <
⇔( − < x < x2+ x + >
⇔
− < x <
x > + √
5
x < − √
5
⇒ S = Ç
−1;1 − √ å ∪ Ç
1 +√5 ;
å
a + b + c + d = −1 + − √
5 +
1 +√5
2 + =
Chọn đáp án D
Câu 11 Tập hợp tất số thực x thỏa mãn Å
3 ã4x
6Å ã2−x A ï −2
3; +∞
ã
B ï
5; +∞ ã C Å −∞;2 ò D Å −∞;2 ò Lời giải Ta có Å ã4x 6Å
2 ã2−x
⇔Å
ã−4x 6Å
2 ã2−x
⇔ −4x − x
⇔ −2 x
Chọn đáp án A
Câu 12 Bất phương trình Å
2 ãx2−2x
≥
8 có tập nghiệm
A [3; +∞) B (−∞; −1] C [−1; 3] D (−1; 3)
Lời giải
Ta có
Å
ãx2−2x
≥
⇔ Å
ãx2−2x
≥Å
ã3
⇔ x2− 2x ≤ ⇔ x2− 2x − 3 ≤ 0 ⇔ −1 ≤ x ≤
Vậy bất phương trình cho có tập nghiệm S = [−1; 3]
(50)Câu 13 Tập nghiệm S bất phương trình log1
(x2− 3x + 2) ≥ −1
A S = [0; 3] B S = [0; 2) ∪ (3; 7] C S = [0; 1] ∪ (2; 3] D S = (1; +∞)
Lời giải
Phương pháp: logaf (x) ≥ b ⇔ (
0 < a <
0 < f (x) ≤ ab Cách giải: Ta có:
log1
x2− 3x + 2 ≥ −1 ⇔
x2− 3x + > x2− 3x + ≤Å
2 ã−1
⇔
" x >
x <
0 ≤ x ≤
⇔ x ∈ [0; 1) ∪ (2; 3]
Tập nghiệm bất phương trình S = [0; 1] ∪ (2; 3]
Chú ý: Học sinh cần ý Điều kiện xác định hàm logarit
Chọn đáp án C
Câu 14 Biết tập hợp nghiệm bất phương trình 2x < −
2x khoảng (a; b) Giá trị a + b
A B C D
Lời giải
Ta có: 2x < − 2x ⇔ (2
x)2 < · 2x− ⇔ (2x)2− · 2x+ < ⇔ < 2x < ⇔ < x < 2. Vậy tập hợp nghiệm bất phương trình khoảng (0; 1) Suy a + b =
Chọn đáp án D
Câu 15 Tập nghiệm bất phương trình
Å 1
1 + a2 ã2x+1
> (với a tham số, a 6= 0)
A Å
−∞; −1
2 ã
B (−∞; 0) C
Å −1
2; +∞ ã
D (0; +∞)
Lời giải
Vì <
1 + a2 < nên Å 1
1 + a2 ã2x+1
> ⇔ 2x + < ⇔ x < −1
Chọn đáp án A
Câu 16 Tập nghiệm bất phương trình 3x2−2x
< 27
A (−∞; −1) B (3; +∞)
C (−1; 3) D (−∞; −1) ∪ (3; +∞)
Lời giải
3x2−2x < 27 ⇔ 3x2−2x < 33 ⇔ x2− 2x < ⇔ x2− 2x − < ⇔ −1 < x < 3.
Chọn đáp án C
Câu 17 Tìm tập nghiệm bất phương trình log22x − log2x + >
(51)Điều kiện: x >
BPT ⇔ log22x − log2x + > ⇔ log2x ∈ (−∞; 1) ∪ (3; +∞) ⇔ x ∈ (0; 2) ∪ (8; +∞)
Chọn đáp án D
Câu 18 Tập nghiệm S bất phương trình log0.2(4x + 11) < log0.2(x2+ 6x + 8) là
A S = (−2; 4) B S = (−3; 1) C S = (−2; 1) D S = (−4; −2)
Lời giải
Ta có
log0.2(4x + 11) < log0.2(x2+ 6x + 8) ⇔
(
x2+ 6x + > 4x + 11 > x2+ 6x +
⇔ (
x2+ 6x + > x2+ 2x − <
⇔ (
x < −4 ∨ x > −2
− < x < ⇔ −2 < x <
Chọn đáp án C
Câu 19 Bất phương trình · 4x− 13 · 6x+ · 9x > có tập nghiệm là
A S = (−∞; −2) ∪ (1; +∞) B S = (−∞; −1) ∪ (1; +∞)
C S = (−∞; −2] ∪ [2; +∞) D S = (−∞; −1) ∪ (2; +∞)
Lời giải
Chia vế bất phương trình cho 9x ta 6Å
ã2x
− 13Å
ãx
+ >
Đặt Å
ãx
= t (t > 0) Ta 6t2− 13t + > ⇔
t <
t >
Suy
Å
ãx <
3 Å
3 ãx
>
⇔ "
x >
x < −1
Vậy tập nghiệm bất phương trình S = (−∞; −1) ∪ (1; +∞)
Chọn đáp án B
Câu 20 Tìm tập nghiệm bất phương trình log1
2(x
2+ 2x − 8) ≥ −4.
(52)Pt ⇔
x2+ 2x − > x2+ 2x − ≤Å
2
ã−4 ⇔ (
x < −4 x >
x2+ 2x − 24 ≤
⇔ (
x < −4 x >
− ≤ x ≤ ⇔
" − ≤ x < −4
2 < x ≤
Vậy tập nghiệm bất phương trình [−6; −4) ∪ (2; 4]
Chọn đáp án D
Câu 21 Mệnh đề sai?
A log x < ⇔ < x < 10 B log1
π x < log
πy ⇔ x > y > C ln x ≥ ⇔ x ≥ D log4x2 > log
2y ⇔ x > y >
Lời giải
Chọn x = −4, y = 1, log4(−4)2 > log 21
Chọn đáp án D
Câu 22 Tìm tập nghiệm bất phương trình log2(x2− 3x + 1) ≤
A S = ñ
0;3 −
√ å ∪ Ç
3 +√5
2 ;
ơ
B S =
Ç 0;3 −
√ å ∪ Ç
3 +√5 ;
å
C S = ñ
3 −√5 ;
3 +√5
ô
D S = ∅.
Lời giải
Bất phương trình cho tương đương
0 < x2− 3x + ≤ ⇔ (
x2− 3x + > x2− 3x ≤ ⇔
0 ≤ x < − √
5 +√5
2 < x ≤
Vậy tập nghiệm bất phương trình S = đ
0;3 − √ å ∪ Ç
3 +√5 ;
ô
Chọn đáp án A
Câu 23 Tìm tất giá trị x thỏa mãn bất phương trình logπ
4 (x
2− 3x) < log π
4 (x + 4) A − 2√2 < x < +√2 B − 2√2 < x <
C " − < x < −
√
x > + 2√2
D
"
x < − 2√2
x > + 2√2
Lời giải
Điều kiện (
x2− 3x > x + > ⇔
" x >
x <
x > −4 ⇔
" x >
− < x <
logπ (x
2− 3x) < logπ
4 (x + 4)⇒ x
2− 3x > x + ⇔ x2− 4x − > ⇔ "
x > + 2√2
x < − 2√2
Kết hợp điều kiện, ta có tập nghiệm bất phương trình " − < x < − √
2
(53)Chọn đáp án C
Câu 24 Giải bất phương trình Å
4 ãx2−4
≥ ta tập nghiệm T Tìm T
A T = [−2; 2] B T = [2; +∞)
C T = (−∞; −2] D T = (−∞; −2] ∪ [2; +∞)
Lời giải
Bất phương trình Å
ãx2−4
≥ ⇔ x2− ≤ ⇔ x ∈ [−2; 2] Vậy tập nghiệm T = [−2; 2].
Chọn đáp án A
Câu 25 Khi đặt t = log5x bất phương trình log25(5x) − log√
5x − tương đương với bất phương trình sau đây?
A t2− 6t − 0. B t2− 6t − 0. C t2− 4t − 0. D t2− 3t − 0.
Lời giải
log25(5x) − log√
3x − 0⇔ (log5x + 1)
− log5x − 0⇔ log25x − log5x − 0. Đặt t = log5x bất phương trình trở thành t2− 4t − 0.
Chọn đáp án C
Câu 26 Tìm tập nghiệm bất phương trình log25(x + 1) >
2
A S = (−4; +∞) B S = (−∞; 4) C S = (−1; 4) D S = (4; +∞)
Lời giải
Ta có: log25(x + 1) >
2 ⇔ x + > 25
2 ⇔ x >
Chọn đáp án D
Câu 27 Tập nghiệm bất phương trình log3(x2 + 2) là
A S = (−∞; −5] ∪ [5; +∞) B S = ∅.
C S = R D S = [−5; 5]
Lời giải
Ta có log3(x2+ 2) ⇔ (
x2 + > x2 + 27
⇔ x2+ 27 ⇔ x2 6 25 ⇔ −5 x 5.
Chọn đáp án D
Câu 28 Điều kiện xác định của hàm số y = …
log9 2x x + −
1
là
A x < −3 B x > −1 C −3 < x < −1 D < x <
Lời giải
Điều kiện
2x x + >
log9 2x x + −
1 >
⇔
2x x + >
2x x + >
⇔ 2x
x + > ⇔ x +
x + < ⇔ −3 < x < −1
Chọn đáp án C
Câu 29 Tập nghiệm bất phương trình log0,5(x − 3) < log0,5(x2− 4x + 3)
A (3; +∞) B R. C ∅. D (2; 3)
(54)Điều kiện: (
x − >
x2− 4x + > ⇔ (
x >
x ∈ (−∞; 1) ∪ (3; +∞)
⇔ x >
Bpt ⇔ x − > x2− 4x + ⇔ x2− 5x + < ⇔ < x < 3.
Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm bất phương trình S = ∅
Chọn đáp án C
Câu 30 Tìm tập nghiệm S bất phương trình Å
2 ãx−1
≥
A S = (−∞; 3] B S = [3; +∞) C S = (−∞; 1] D S = [1; +∞)
Lời giải
Å
ãx−1 ≥
4 ⇔ Å
2 ãx−1
≥Å
ã2
⇔ x − ≤ ⇔ x ≤
Chọn đáp án A
Câu 31 Tìm tập nghiệm S bất phương trình log3(4x − 3) ≤ log3(18x + 27)
A S =Å
4;
ò
B S =Å 4; +∞
ã
C S = [3; +∞) D S = ï
−3 8;
ò
Lời giải
Điều kiện x >
4 Bất phương trình tương đương với
(4x − 3)2 ≤ 18x + 27 ⇔ 16x2− 42x − 18 ≤ ⇔ x ∈ ï
−3 8;
ò
Đối chiếu điều kiện ta tập nghiệm S =Å 4;
ò
Chọn đáp án A
Câu 32 Tập nghiệm bất phương trình log2018x ≤ logx2018
A
x ≤ 2018 < x ≤ 2018
B < x ≤ 2018 C
2018 ≤ x ≤ 2018 D
0 < x ≤
2018 < x ≤ 2018
Lời giải
ĐK: < x 6=
BPT tương đương với
log2018x ≤
log2018x ⇔
log22018x −
log2018x ≤ ⇔ "
log2018x ≤ −1 < log2018x ≤ ⇔
0 < x ≤ 2018 < x ≤ 2018
Kết hợp với ĐK, ta có tập nghiệm BPT cho
0 < x ≤ 2018 < x ≤ 2018
Chọn đáp án D
Câu 33 Giải phương trình Å
4 ãx2−4
≥ ta tập nghiệm T Tìm T ?
A T = [−2; 2] B T = [2; +∞)
(55)Lời giải
Å
ãx2−4
≥ ⇔ x2 − ≤ ⇔ −2 ≤ x ≤ 2.
Chọn đáp án A
Câu 34 Tập nghiệm bất phương trình log2(x − 1) <
A (−∞; 9) B (1; 10) C (−∞; 10) D (1; 9) Lời giải
BPT cho tương đương với (
x − >
x − <
⇔ < x <
Vậy tập nghiệm BPT cho (1; 9)
Chọn đáp án D
Câu 35 Bất phương trình log0,5(2x − 1) ≥ có tập nghiệm
A ï 2; +∞
ã
B Å
2; +∞ ã
C (1; +∞) D Å
2;
ị
Lời giải
Ta có log0,5(2x − 1) ≥ ⇔ (
2x − >
2x − ≤ ⇔
x >
2 x ≤
⇔ x ∈Å 2;
ò
Chọn đáp án D
Câu 36 Tìm tập hợp tất nghiệm thực bất phương trình Å
7
ã3x−2x2 ≥
7
A ï
2;
ò
B Å
2; ã
C Å
−∞;1 ò
∪ [1; +∞) D
Å −∞;1
2 ã
∪ (1; +∞)
Lời giải
Ta có
Å
ã3x−2x2 ≥
7
⇔ 3x − 2x2 ≥ 1 ⇔ 2x2− 3x + ≤ 0 ⇔
2 ≤ x ≤
Chọn đáp án A
Câu 37 Bất phương trình log2 x
2− 6x + 8
4x − ≥ có tập nghiệm T = Å
4; a ò
∪ [b; +∞) Tính M =
a + b
A M = 12 B M = C M = D M = 10
(56)Điều kiện xác định: x
2− 6x + 8
4x − > (∗) Ta có
log2 x
2− 6x + 8
4x − ≥ ⇔
x2− 6x + 8
4x − ≥ (thỏa mãn điều kiện (∗))
⇔ x
2− 10x + 9 4x − ≥
⇔ x ∈Å 4;
ò
∪ [9; +∞)
Vậy T = a + b = 10
Chọn đáp án D
Câu 38 Tập nghiệm bất phương trình 16x− 5.4x+ ≥ là
A T = (−∞; 1) ∪ (4; +∞) B T = (−∞; 1] ∪ [4; +∞)
C T = (−∞; 0) ∪ (1; +∞) D T = (−∞; 0] ∪ [1; +∞)
Lời giải
Đặt t = 4x, t > 0.
16x− 5.4x+ ≥ trở thành
t2− 5.t + ≥ ⇔ "
t ≥
t ≤
⇔ "
t ≥
0 < t ≤
⇒ "
4x ≥ < 4x ≤
⇔ "
x ≥
x ≤
Vậy T = (−∞; 0] ∪ [1; +∞)
Chọn đáp án D
Câu 39 Gọi x1, x2 hai nghiệm nguyên dương bất phương trình log2(1 + x) < Tính giá trị P = x1+ x2
A P = B P = C P = D P =
Lời giải
Điều kiện + x > ⇔ x > −1 Phương trình log2(1 + x) < ⇔ + x < ⇔ x < So điều kiện ⇒ −1 < x <
Vậy nghiệm nguyên dương x1 = 1, x2 = Suy P =
Chọn đáp án A
Câu 40 Biết tập nghiệm S bất phương trình logπ
6 [log3(x − 2)] > khoảng (a; b) Tính b−a
A b − a = B b − a = C b − a = D b − a =
(57)Bất phương trình cho tương đương
( x >
0 < log3(x − 2) < ⇔
( x >
1 < x − <
⇔ < x <
Vậy a = 3, b = b − a =
Chọn đáp án A
Câu 41 Cho f (x) =
2 ·
2x+1; g(x) = 5x+ 4x · ln Tập nghiệm bất phương trình f0(x) > g0(x)
A x < B x > C < x < D x >
Lời giải
Ta có: f0(x) = ·
2x+1· (2x + 1)0· ln = 52x+1· ln 5. Và g0(x) = 5x· ln + ln = (5x+ 4) ln 5.
Do đó: f0(x) > g0(x) ⇔ 52x+1· ln > (5x+ 4) ln ⇔ 52x+1 > 5x+ ⇔ · 52x− 5x− > 0 ⇔
5x < −4 5(V N ) 5x >
⇔ 5x > ⇔ x > 0.
Vậy nghiệm bất phương trình cho x >
Chọn đáp án D
Câu 42 Tập nghiệm bất phương trình log1
5
4x +
x ≥ A
Å
−2, −3 ò
B
ï
−2, −3 ò
C
Å
−2, −3
ã
D
ï
−2, −3
2 ã
Lời giải
Điều kiện xác định:
4x + x > x 6=
⇔
x >
x < −3 Bất phương trình tương đương: 4x +
x ≤ ⇔
4x + − x
x ≤ ⇔
3x +
x ≤ ⇔ −2 ≤ x < Kết hợp với điều kiện ta được: −2 ≤ x < −3
2
Vậy tập nghiệm bất phương trình ï
−2, −3
ã
Chọn đáp án D
Câu 43 Cho f (x) = xe−3x Tập nghiệm bất phương trình f0(x) >
A (0, 1) B
Å 0,1
3 ã
C
Å
−∞,1
3 ã
D Å
3, +∞ ã
Lời giải
Ta có f0(x) = e−3x+ (−3)e−3xx = e−3x(1 − 3x) f0(x) > ⇔ e−3x(1 − 3x) > ⇔ − 3x > ⇔ x <
3
Vậy bất phương trình có tập nghiệm Å
−∞,1
ã
Chọn đáp án C
Câu 44 Tập nghiệm bất phương trình Å
3 ã
√ x+2
(58)A (1; 2) B (2; +∞) C [2; +∞] D (1; 2]
Lời giải
BPT⇔ 3− √
x+2 > 3−x ⇔ x >√x + ⇔ (
x >
x2 > x + ⇔ x >
Chọn đáp án B
Câu 45 Số nghiệm nguyên bất phương trình 3x+ · 3−x < 10
A Vô số B C D
Lời giải
3x+ · 3−x < 10 ⇔ 32x− 10 · 3x+ < ⇔ < 3x < ⇔ < x < 2.
Chọn đáp án D
Câu 46 Nghiệm nguyên nhỏ bất phương trình log2(log4x) ≥ log4(log2x)
A x = 16 B x = C x = 10 D x =
Lời giải
Điều kiện (
log4x > log2x >
⇔ x >
Bất phương trình tương đương
log2(log4x) ≥ log2plog2x ⇔ log4x ≥plog2x ⇔ (log22x)
2
≥ log2x ⇔
4(log2x)
≥ log2x ⇔ log2x ≥ ⇔ x ≥ 16
Vậy nghiệm nguyên nhỏ x = 16
Chọn đáp án A
Câu 47 Tìm tập nghiệm S phương trình log |x| = | log x|
A S = (1; +∞) B S = (0; +∞) C S = {1; 10} D S = [1; +∞)
Lời giải
Điều kiện x >
Phương trình trở thành log x = | log x| ⇒ log x ≥ ⇔ x ≥
Chọn đáp án D
Câu 48 Bất phương trình log4(x + 7) > log2(x + 1) có nghiệm nguyên?
A B C D
Lời giải
Điều kiện: x > −1 Ta có
log4(x + 7) > log2(x + 1) ⇔ log2√x + > log2(x + 1)
⇔√x + > x + ⇔ (
x + >
x + > (x + 1)2 ⇔
(
x > −1
x2+ x − <
⇔ −1 < x <
Kết hợp với x ∈ Z ⇒ x = {0; 1} hai giá trị cần tìm
(59)Câu 49 Số nghiệm nguyên bất phương trình Ä√2äx 2−2x
6Ä√2ä3
A B C D
Lời giải
Ä√ 2äx
2−2x
6Ä√2ä3 ⇔ x2
− 2x − ⇔ −1 x
Do x nguyên, suy x ∈ {−1; 0; 1; 2; 3} Vậy bất phương trình có nghiệm ngun
Chọn đáp án C
Câu 50 Tìm tất giá trị thực x để đồ thị hàm số y = log0,5x nằm hồn tồn phía
đường thẳng y =
A x ≥
4 B < x ≤
4 C < x <
1
4 D x ≥ −
1
Lời giải
Ta có log0,5x > ⇔ < x <
Chọn đáp án C
Câu 51 Bất phương trình log2(3x − 1) > có nghiệm A x > 10
3 B x > C x < D
1
3 < x <
Lời giải
log2(3x − 1) > ⇔ 3x − > 23 ⇔ x > 3.
Chọn đáp án B
Câu 52 Tìm tập nghiệm bất phương trình 9x− · 6x+ 4x > 0.
A S = (0; +∞) B S = R. C S = R\{0}. D S = [0; +∞)
Lời giải
Chia hai vế cho 4x > 0, phương trình tương đương Å
ã2x
− ·Å
ãx
+ >
Đặt t =Å
ãx
, điều kiện t >
Khi pt tương đương t2− · t + > ⇔ (t − 1)2 > ⇔ t 6= ⇔Å
ãx
6= ⇔ x 6=
Vậy S = R\{0}
Chọn đáp án C
Câu 53 Giải bất phương trình log2(3x − 1) >
A x < B x > C x > 10
3 D
1
3 < x <
Lời giải
Bất phương trình ⇔ 3x − > 23 ⇔ x > 3.
Chọn đáp án B
Câu 54 Nghiệm bất phương trình 9x−1 − 36 · 3x−3+ ≤ là
A ≤ x ≤ B ≤ x ≤ C ≤ x D x ≤
Lời giải
Bất phương trình tương đương với 9x−1− 36
x−1+ ≤ 0 ⇔ ≤ 3x−1 ≤ ⇔ ≤ x − ≤ ⇔ ≤ x ≤ 2.
(60)Câu 55 Tìm tập nghiệm S bất phương trình log0,2(x − 1) < log0,2(3 − x)
A S = (−∞; 3) B S = (2; 3) C S = (2; +∞) D S = (1; 2)
Lời giải
Điều kiện: (
x − >
3 − x >
⇔ < x < (*)
Bất phương trình cho trở thành x − > − x ⇔ x >
Kết hợp với điều kiện (*) Tập nghiệm bất phương trình cho S = (2; 3)
Chọn đáp án B
Câu 56 Nghiệm bất phương trình log1
5(2x − 3) > −1
A x < B x >
2 C > x >
3
2 D x > Lời giải
log1
5(2x − 3) > −1 ⇔ < 2x − < ⇔
2 < x <
Chọn đáp án C
Câu 57 Bất phương trình 25x+1+ 9x+1 ≥ 34 · 15x có tập nghiệm S là
A S = (−∞; 2] B S = [−2; 0]
C S = (−∞; −2] ∪ [0; +∞) D S = [0; +∞)
Lời giải
Ta có
25x+1+ 9x+1 ≥ 34 · 15x ⇔ 25 · 25x− 34 · 15x+ · 9x ≥ 0 ⇔ 25 ·Å
3 ã2x
− 34 ·Å
ãx
+ ≥
⇔
Å
ãx ≤
25 Å
3 ãx
≥
⇔
Å
ãx ≤Å
3 ã−2
Å
ãx ≥Å
3
ã0 ⇔ "
x ≤ −2
x ≥
Vậy S = (−∞; −2] ∪ [0; +∞)
Chọn đáp án C
Câu 58 Tìm tập nghiệm S hệ phương trình
(
4x+1 ≤ 86−2x 34x+5≥ 271+x
A S = [2; +∞) B S = [−2; 2] C S = (−∞; 1] D S = [2; 5]
Lời giải
Ta có (
4x+1 ≤ 86−2x 34x+5≥ 271+x ⇔
(
22x+2≤ 218−6x 34x+5≥ 33+3x ⇔
(
2x + ≤ 18 − 6x
4x + ≥ + 3x ⇔
( x ≤
x ≥ −2
⇔ −2 ≤ x ≤
(61)Câu 59 Tìm tập nghiệm bất phương trình 5x2−x< 25
A (2; +∞) B (−∞; −1) ∪ (2; +∞)
C (−1; 2) D R.
Lời giải
Bất phương trình ⇔ 5x2−x
< 52 ⇔ x2− x < ⇔ x2− x − < ⇔ x ∈ (−1; 2).
Chọn đáp án C
Câu 60 Cho bất phương trình: + log5(x2+ 1) > log5(mx2+ 4x + m)(1) Tìm tất giá trị m để (1) nghiệm với số thực x
A < m 6 3. B −36 m 7. C 26 m 3. D m6 3; m > 7.
Lời giải
1 + log5(x2+ 1) ≥ log
5(mx2 + 4x + m) ∀x ∈ R ⇔ 5(x2+ 1) ≥ mx2+ 4x + m > 0, ∀x ∈ R ⇔
(
(5 − m)x2− 4x − m + ≥
mx2+ 4x + m > ∀x ∈ R (I) • m = 0, m = khơng thỏa mãn
• m 6= 0; m 6= 5, (I) ⇔
5 − m >
M01= − (5 − m)
6 m >
M02= − m2 <
⇔ < m
Chọn đáp án A
Câu 61 Tập tất nghiệm bất phương trình log1
2
(x2− x) ≥ −1 A [−1; 2] B [−1; 0) ∪ (1; 2]
C (−∞; −1] ∪ (2; +∞) D (−1; 2)
Lời giải
Điều kiện xác định x2− x > ⇔ x > ∨ x < 0.
log1
(x2 − x) ≥ −1 ⇔ x2− x ≤ ⇔ −1 ≤ x ≤ 2.
Chọn đáp án B
Câu 62 Tập nghiệm bất phương trình log√
3
(x − 2) >
A (3; +∞) B (0; 3) C (−∞; 3) D (2; 3)
Lời giải
Điều kiện xác định bất phương trình x >
Ta có log√
(x − 2) > ⇔ x − < ⇔ x < Vậy tập nghiệm bất phương trình (2; 3)
Chọn đáp án D
Câu 63 Tìm tập nghiệm bất phương trình log1
2 ï
log2Å 4x + x −
ãò
< −1
A R \ {1} B (1; +∞)
C R D
Å
−∞; −3
ã
(62)Lời giải
Ta thấy log1
ï
log2Å 4x + x −
ãò
< −1 ⇔ log2Å 4x + x −
ã
> ⇔ 4x +
x − > ⇔ x >
Chọn đáp án B
Câu 64 Mệnh đề sau sai?
A Nếu < a < b > 0, c > logab < logac ⇔ b > c B Nếu a > am < an⇔ m < n
C Với số a, b thoả mãn ab > log(ab) = log a + log b
D Với m, n số tự nhiên, m > a > m√
an= amn.
Lời giải
Ta thấy ab > ⇔ (
a >
b >
(1) ∨ (
a <
b < (2)
Từ (2), ta thấy log(ab) = log a + log b sai
Chọn đáp án C
Câu 65 Một người gửi ngân hàng 200 triệu đồng theo hình thức lãi kép, lãi suất 0,58% tháng
(kể từ tháng thứ hai trở đi, tiền lãi tính theo phần trăm tổng tiền gốc tiền lãi tháng trước
đó) Hỏi sau tháng người có 225 triệu đồng?
A 30 tháng B 21 tháng C 24 tháng D 22 tháng
Lời giải
Ta có 225 ≤ 200 Å
1 + 0,58 100
ãn
⇔ n ≥ log1,0058Å
ã
≈ 20,37
Vậy sau 21 tháng người có 225 triệu đồng
Chọn đáp án B
Câu 66 Tìm tập nghiệm S bất phương trình log1
3(x − 1) + log3(11 − 2x) ≥
A S = (1; 4] B S = (−∞; 4] C S =
Å 3;11
2 ã
D S = (1; 4)
Lời giải
log1
3(x − 1) + log3(11 − 2x) ≥ ⇔ log3(11 − 2x) ≥ log3(x − 1) ⇔
(
x − >
11 − 2x ≥ x −
⇔ (
x >
x ≤
⇔ < x ≤
Chọn đáp án A
Câu 67 Tập nghiệm S bất phương trình 5x+2 <Å
25 ã−x
là
A S = (−∞; 2) B S = (−∞; 1) C S = (1; +∞) D S = (2; +∞)
Lời giải
5x+2 <Å 25
ã−x
⇔ 5x+2 < 52x⇔ x + < 2x ⇔ x > 2. Vậy tập nghiệm bất phương trình S = (2; +∞)
(63)Câu 68 Tìm tập xác định hàm số y =»log1
2(2x − 1)
A Å
2;
ò
B Å
2; ã
C [1; +∞) D (1; +∞)
Lời giải
Điều kiện (2x − > log1
2(2x − 1) ≥ ⇔
x >
2 2x − ≤
⇔
2 < x ≤
Tập xác định Å 2;
ò
Chọn đáp án A
Câu 69 Tập nghiệm bất phương trình log2
3(3x) > log
3(2x + 7)
A (−∞; 7) B (0; 7) C (7; +∞) D
Å 0;14
3 ã
Lời giải
Điều kiện: x >
Bất phương trình cho tương đương với 3x < 2x + ⇔ x <
So với điều kiện, ta có x ∈ (0; 7)
Chọn đáp án B
Câu 70 Bất phương trình Å
2 ãx2+4x
>
32 có tập nghiệm S = (a; b) Khi giá trị b − a
A B C D
Lời giải
Ta có Å
ãx2+4x >
32 ⇔ Å
2 ãx2+4x
>Å
ã5
⇔ x2+ 4x < ⇔ −5 < x < ⇒ (
a = −5
b = Do b − a =
Chọn đáp án C
Câu 71 Cho bất phương trình log3(4x − 3) + log1
(2x + 3) ≤ Tổng tất nghiệm nguyên
bất phương trình bao nhiêu?
A B C D
Lời giải
Điều kiện (
4x − >
2x + > ⇔
x >
x > −3
⇔ x >
Ta có
2 log3(4x − 3) + log1
(2x + 3) ≤ ⇔ log3(4x − 3)2 ≤ log39(2x + 3) ⇔ (4x − 3)2 ≤ 9(2x + 3)
⇔ 16x2− 42x − 18 ≤ 0 ⇔ −3
8 ≤ x ≤
So với điều kiện, ngiệm bất phương trình
4 < x ≤
(64)Chọn đáp án C
Câu 72 Tập nghiệm bất phương trình 32x> 3x+2 là
A (−∞; 2) B (2; +∞) C (1; +∞) D (−∞; 1)
Lời giải
32x> 3x+2 ⇔ 2x > x + ⇔ x > 2.
Chọn đáp án B
Câu 73 Tìm tập xác định D hàn số y = plog2018(x + 3)
A D = (−3; +∞) B D = [−2; +∞) C D = (−3; −2] D D = (−2; +∞)
Lời giải
Điều kiện (
x + >
log2018(x + 3) ≥
⇔ x + ≥ ⇔ x ≥ −2
Vậy tập xác định hàm số D = [−2; +∞)
Chọn đáp án B
Câu 74 Tập nghiệm S bất phương trình log4(2x − 3) − log2
Å x −
2 ã
>
A S = Å
2; +∞
ã
B S =Å
2;
ã
C S =Å 2;
ã
D S = (−∞; 1) ∪Å
2; +∞ ã
Lời giải
Điều kiện bất phương trình x >
2 Khi
log2(2x − 3) − log2 Å
x −
ã
> ⇔ log2 √
2x −
x −
>
⇔ 2x − x −
2
> ⇔ 2x − > x −
2 ⇔ x >
Vậy tập nghiệm bất phương trình S = Å 2; +∞
ã
Chọn đáp án A
Câu 75 Giải bất phương trình √4 − 2x· log
2(x + 1) ≥
A x ≥ B −1 < x ≤ C ≤ x ≤ D −1 ≤ x ≤
Lời giải
Điều kiện: (
2x≤
x + > ⇔ −1 < x ≤
• Nếu x = 2, bất phương trình
• Nếu x 6= 2, √4 − x2 > bất phương trình tương đương với:
log2(x + 1) ≥ ⇔ x + ≥ ⇔ x ≥
(65)Vậy nghiệm bất phương trình ≤ x ≤
Chọn đáp án C
Câu 76 Một người gửi 20 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 0,8%/tháng Biết không
rút tiền khỏi ngân hàng sau tháng, số tiền lãi nhập vào vốn ban đầu để tính lãi cho tháng Hỏi sau tháng người lãnh số tiền nhiều 50 triệu
đồng bao gồm tiền gốc lãi, thời gian người khơng rút tiền lãi suất không
thay đổi?
A 115 tháng B 114 tháng C 143 tháng D 12 tháng
Lời giải
50 < 20 Å
1 + 0,8 100
ãN
⇔ 1,008N >
2 ⇔ N > log1,008
2 ≈ 114,99 tháng
Chọn đáp án A
Câu 77 Gọi S tập nghiệm bất phương trình log2(2x + 5) > log2(x − 1) Hỏi tập S có phần tử số nguyên dương bé 10?
A B 15 C D 10
Lời giải
Điều kiện xác định:
(
2x + >
x − > ⇔
x > −5 x >
⇔ x >
Bất phương trình
log2(2x + 5) > log2(x − 1) ⇔ 2x + > x −
⇔ x > −6
So sánh điều kiện suy ra: S = (1; +∞) Vậy tập S có phần tử số nguyên dương bé 10
Chọn đáp án C
Câu 78 Bất phương trình log1
2
(3x − 2) > 2log12
(22 − 5x)2 có nghiệm nguyên? A Nhiều 10 B Nhiều 10 nghiệm
C D
Lời giải
Bất phương trình cho tương đương
3x − >
22 − 5x 6=
3x − < |22 − 5x| ⇔
3 < x < x > 10
Vậy phương trình cho có nhiều 10 nghiệm nguyên
(66)Câu 79 Một người gửi ngân hàng 100 triệu theo thể thức lãi kép, lãi suất 0,5% tháng Sau
nhất tháng, người có nhiều 125 triệu? (Giả sử lãi suất hàng tháng không thay đổi)
A 44 tháng B 47 tháng C 45 tháng D 46 tháng
Lời giải
Theo cơng thức lãi kép, ta có
100 · (1 + 0,005)x > 125 ⇔ x > log1,005125100 ⇔ x > 44,74
Chọn đáp án C
Câu 80 Tập nghiệm bất phương trình log0,8(x2+ x) < log0,8(−2x + 4) là:
A (−∞; −4) ∪ (1; 2) B (−∞; −4) ∪ (1; +∞)
C (−4; 1) D (−4; 1) ∪ (2; +∞)
Lời giải
Điều kiện: x ∈ (−∞; −1) ∪ (0; 2)
log0,8 x2+ x < log0,8(−2x + 4) ⇔ x2+ x > −2x + ⇔ x2+ 3x − > 0 ⇔ x ∈ (−∞; −4) ∪ (1; +∞)
Kết hợp với điều kiện ta S = (−∞; −4) ∪ (1; 2)
Chọn đáp án A
Câu 81 Cho bất phương trình 9x+ 9x+1+ 9x+2 < 2x+ 2x+1+ 2x+2 Mệnh đề sau mệnh đề đúng?
A Bất phương trình có nghiệm âm B Bất phương trình có nghiệm âm
C Bất phương trình vơ nghiệm D Bất phương trình có nghiệm dương
Lời giải
9x+ 9x+1+ 9x+2 < 2x+ 2x+1+ 2x+2 ⇔ 91 · 9x< · 2x⇔Å
ãx <
91 ⇔ x < log92 91 < Vậy bất phương trình có nghiệm âm
Chọn đáp án B
Câu 82 Phương trình log1
2(2x + 1) > log
2(7 − x) có nghiệm nguyên?
A B Vô số C D
Lời giải
Ta có log1
2(2x + 1) > log
2(7 − x) ⇔ < 2x + < − x ⇔
x > −1 x <
⇔ −1
2 < x <
Suy nghiệm nguyên bất phương trình 0;
Vậy bất phương trình có nghiệm nguyên
Chọn đáp án C
Câu 83 Khẳng định sai khẳng định sau?
A log2018x < ⇔ < x < B log1
2 a = log
2 b ⇔ a = b >
(67)Lời giải
Do
3 < nên log13 a > log
3 b ⇔ b > a >
Chọn đáp án C
Câu 84 Tìm tập nghiệm bất phương trình Å
3 ã2x−1
≥
A (−∞; 0] B (0; 1] C [1; +∞) D (−∞; 1]
Lời giải
Do
3 < nên bất phương trình tương đương 2x − ≤ ⇔ x ≤
Chọn đáp án D
Câu 85 Tìm tập nghiệm S bất phương trình log2(2x + 1) ≥ log2(x − 1)
A S = (1; +∞) B S = [−2; +∞) C S = R. D S = [2; +∞)
Lời giải
Ta có
log2(2x + 1) ≥ log2(x − 1) ⇔
x − >
2x + ≥ x − ⇔
x >
x ≥ −2
⇔ x >
Vậy tập nghiệm bất phương trình cho S = (1; +∞)
Chọn đáp án A
Câu 86 Giải bất phương trình log2(x + 1) ≤
A x ≤ B −1 < x ≤ C −1 ≤ x ≤ D −1 < x <
Lời giải
log2(x + 1) ≤ ⇔ (
x + >
x + ≤ 23 ⇔
(
x > −1
x ≤
⇔ −1 < x ≤
Chọn đáp án B
Câu 87 Tập nghiệm bất phương trình 32x> 3x+6
A (0; 64) B (−∞; 6) C (6; +∞) D (0; 6)
Lời giải
Ta có 32x > 3x+6 ⇔ 2x > x + ⇔ x > 6.
Tập nghiệm bất phương trình là: S = (6; +∞)
Chọn đáp án C
Câu 88 Họ tất nguyên hàm hàm số f (x) = sin (2x + 1)
A F (x) = −1
2cos (2x + 1) + C B F (x) =
1
2cos (2x + 1) + C C F (x) = −1
2cos (2x + 1) D F (x) = cos (2x + 1)
Lời giải
Ta xét hàm F (x) = −1
2cos (2x + 1) + C Khi F
0(x) = Å
−1
2cos (2x + 1) + C ã0
= sin (2x + 1) theo
định nghĩa nguyên hàm suy F (x) = −1
2cos (2x + 1) + C họ tất nguyên hàm hàm số f (x) = sin (2x + 1)
(68)Câu 89 Tập nghiệm S bất phương trình log1
(log2(x2− 1)) ≤ −1
A S =ỵ1;√5ó B S =Ä−∞; −√5ó∪ỵ√5; +∞ä
C S =ỵ1;√5ó D S =ỵ−√5; −1ä∪Ä1;√5ó
Lời giải
Ta có
log1
log2 x2− 1 ≤ −1 ⇔
x2− >
log2 x2− 1 > log2 x2− 1 ≥
⇔ (
x2− >
log2 x2− 1 ≥
⇔ (
x2− > x2− ≥
⇔ x2 − ≥ ⇔ x2 ≥ ⇔ |x| ≥√5 Vậy tập nghiệm bất phương trình S = Ä−∞; −√5ó∪ỵ√5; +∞ä
Chọn đáp án B
Câu 90 Tìm tập nghiệm S bất phương trình 4x < 2x+1.
A S = (1; +∞) B S = (−∞; 1) C S = (0; 1) D S = (−∞; +∞)
Lời giải
Bất phương trình tương đương với 22x< 2x+1 ⇔ 2x < x + ⇔ x < Do đó, bất phương trình có tập nghiệm S = (−∞; 1)
Chọn đáp án B
Câu 91 Bất phương trình 32x+1− 7.3x+ > có nghiệm là A
"
x < −1
x > log23 B "
x < −2
x > log23 C
"
x < −1
x > log32 D
"
x < −2
x > log32
Lời giải
• Đặt t = 3x (t > 0) ta có 3t2− 7t + > ⇔
t >
t <
• Ta có
3x > 3x <
⇔ "
x > log32 x < −1
Chọn đáp án C
Câu 92 Tập nghiệm bất phương trình 2−x2+x <
A S = (−∞; −1) ∪ (2; +∞) B S = (−1; 2)
C S = (−∞; −2) ∪ (1; +∞) D S = (−2; 1)
Lời giải
Bất phương trình 2−x2+x < ⇔
−x2+x
< 2−2 ⇔ −x2+ x < −2 ⇔ x2 − x − > ⇔ "
x < −1
x > Vậy tập nghiệm bất phương trình S = (−∞; −1) ∪ (2; +∞)
(69)Câu 93 Một người gửi 100 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 0,6%/tháng Biết
không rút tiền khỏi ngân hàng sau tháng, số tiền lãi nhập làm vốn ban đầu để tính lại cho tháng Hỏi sau tháng, người lĩnh số tiền khơng
110 triệu đồng (cả vốn ban đầu lãi), biết suốt thời gian gửi tiền người khơng rút tiền
và lãi suất không đổi?
A 17 tháng B 18 tháng C 16 tháng D 15 tháng
Lời giải
Cuối tháng thứ người có 100 + 100 · 0,006 = 100 · 1,006 (triệu đồng)
Cuối tháng thứ người có 100 · 1,006 + 100 · 1,006 · 0,006 = 100 · 1,0062 (triệu đồng) Cuối tháng thứ người có 100 · 1,0062+ 100 · 1,0062· 0,006 = 100 · 1,0063 (triệu đồng). Hồn tồn tương tự, cuối tháng thứ n người có 100 · 1,006n triệu đồng
Để người có 110 triệu đồng ta có
100 · 1,006n≥ 110 ⇔ 1,006n≥ 1,1 ⇔ n ≥ log
1,0061,1 ≈ 15,93 Vậy cần 16 tháng để người có khơng 110 triệu đồng
Chọn đáp án C
Câu 94 Tập nghiệm bất phương trình log1
3
1 − 2x
x >
A S =Å 3; +∞
ã
B S = Å
0;1
ã
C S =Å
3;
1
ã
D S =
Å −∞;1
3 ã
Lời giải
Ta có log1
1 − 2x
x > ⇔
1 − 2x x > − 2x
x < ⇔
3 < x <
Chọn đáp án C
Câu 95 Tập hợp nghiệm bất phương trình log2(x + 5) <
A S = (−5; 3) B S = (−∞; 3) C S = (−5; 4) D S = −∞; 4)
Lời giải
log2(x + 5) < ⇔ < x + < ⇔ x ∈ (−5; 3)
Chọn đáp án A
Câu 96 Tìm tập nghiệm bất phương trình log1
2(x − 1) + log2(x − 1) + log2(x + 3) ≥
A (1; +∞) B [−3; +∞) C [1; +∞) D (−3; +∞)
Lời giải
Điều kiện: x >
log1
2(x − 1) + log2(x − 1) + log2(x + 3) ≥ ⇔ log2(x + 3) ≥
⇔ x ≥ −1
Kết hợp điều kiện suy tập nghiệm (1; +∞)
(70)Câu 97 Giải bất phương trình log1
5(5x − 3) > −2 ta có nghiệm
A x > 28
5 B
3
5 < x <
28
5 C
3
5 ≤ x ≤ 28
5 D x < 28
5
Lời giải
Điều kiện x >
Bất phương trình log1
5(5x − 3) > −2 ⇔ 5x − < Å
5 ã−2
⇔ x < 28 ⇒
3
5 < x < 28
5
Chọn đáp án B
Câu 98 Tìm nghiệm phương trình logx(4 − 3x) =
A x = B x = C x ∈ ∅. D x ∈ {1; −4}
Lời giải
Điều kiện
x 6=
0 < x <
Phương trình logx(4 − 3x) = ⇔ − 3x = x2 ⇔ "
x =
x = −4
Chọn đáp án C
Câu 99 Nghiệm bất phương trình Å
2 ãx
> 32
A x ∈ (−∞; −5) B x ∈ (−∞; 5) C x ∈ (−5; +∞) D x ∈ (5; +∞)
Lời giải
Ta có Å
ãx
> 32 ⇔Å
ãx >Å
2 ã−5
⇔ x < −5
Vậy nghiệm bất phương trình cho x ∈ (−∞; −5)
Chọn đáp án A
Câu 100 Tìm tập nghiệm S bất phương trình Å
25 ã2x−32
< 51−2x
A S = (−∞; 1) B S = (−1; +∞) C S = (−∞; −1) D S = (1; +∞)
Lời giải
Ta có: Å 25
ã2x−32
< 51−2x ⇔ 5−4x+3
< 51−2x⇔ −4x + < − 2x ⇔ x > Vậy tập nghiệm bất phương trình S = (1; +∞)
Chọn đáp án D
Câu 101 Biết phương trình log3(x2+ 10) + log
3 x − = có hai nghiệm x1, x2 Tính x1+ x2
A x1+ x2 = B x1+ x2 = C x1 + x2 = 10 D x1+ x2 =
Lời giải
Điều kiện: x >
Ta có: log3(x2+ 10) + log
3 x − = ⇔ log3(x
2+ 10) − log
3x = ⇔ log3
x2+ 10 x =
Hay: x + 10
x = ⇔ x
2− 9x + 10 = ⇔
x = + √
41
x = − √
(71)Suy ra, tổng hai nghiệm là: x1+ x2 =
Chú ý: Ta sử dụng định lí Vi-et để tính nhanh x1 + x2 = − b a =
Chọn đáp án A
Câu 102 Tập nghiệm bất phương trình log2(x − 9) >
A [9; +∞) B (10; +∞) C [10; +∞) D (9; +∞)
Lời giải
Ta có log2(x − 9) > ⇔ x − > ⇔ x > 10
Chọn đáp án B
Câu 103 Bất phương trình Ä√3 − 1äx−2 ≥ có tập nghiệm
A (2; +∞) B [2; +∞) C (−∞; 2) D (−∞; 2]
Lời giải
Do < √3 − < nên
Ä√
3 − 1äx−2 ≥ ⇔ x − ≤ ⇔ x ≤ Tập nghiệm bất phương trình cho (−∞; 2]
Chọn đáp án D
Câu 104 Tập nghiệm bất phương trình plog2(x − 1) ≤
A S = [2; 3] B S = (1; 3] C S = (1; 3) D S = (1 : +∞)
Lời giải
plog2(x − 1) ≤ ⇔
x − >
log2(x − 1) ≥ log2(x − 1) ≤
⇔ ≤ x ≤
Chọn đáp án A
Câu 105 Tìm tập nghiệm bất phương trình log0,5(x − 1) > log0,5(2x − 1)
A (0; +∞) B (1; +∞) C (−∞; 0) D (−∞; 1)
Lời giải
log0,5(x − 1) > log0,5(2x − 1) ⇔ (
0 < x −
x − < 2x −
⇔ x >
Chọn đáp án B
Câu 106 Tập nghiệm bất phương trình 2x+2 <Å
4 ãx
là
A (−∞; 0) B Å
−2 3; +∞
ã
C (0; +∞) \ {1} D Å
−∞; −2
3 ã
Lời giải
TXĐ: D = R
Ta có 2x+2 <Å
ãx
⇔ 2x+2 < 2−2x ⇔ x + < −2x ⇒ x < −2
Chọn đáp án D
Câu 107 Tìm tập nghiệm S bất phương trình log1
2(2x − 1) <
A S =Å
4; +∞
ã
B S =Å 3; +∞
ã
C S = Å
−∞;3
ã
D S =Å 4; +∞
(72)Lời giải
Điều kiện xác định 2x − > ⇔ x >
BPT ⇔ 2x − >
2 ⇔ x >
4 Vậy S = Å
4; +∞ ã
Chọn đáp án A
Câu 108 Tìm tập nghiệm S bất phương trình 2−x2+3x <
A S = (1; 2) B S = (−∞; 1) ∪ (2; +∞)
C S = (−1; 2) D S = (−∞; −1) ∪ (2; +∞)
Lời giải
Ta có
2−x2+3x < ⇔ 2−x2+3x < 22 ⇔ −x2+ 3x < ⇔ x2− 3x + > ⇔ "
x <
x >
Vậy tập nghiệm bất phương trình S = (−∞; 1) ∪ (2; +∞)
Chọn đáp án B
Câu 109 Tìm nghiệm bất phương trình log2(3x− 2) < 0.
A x > B x < C < x < D log32 < x < Lời giải
Điều kiện xác định 3x− > ⇔ x > log32 Bất phương trình cho tương đương với
3x− < ⇔ 3x < ⇔ x < 1. Kết hợp với điều kiện x > log32 ta log32 < x <
Chọn đáp án D
Câu 110 Tập nghiệm bất phương trình 8.4x+1− 18.2x+ < là
A (2; 4) B (1; 4) C (−4; −1) D Å 16;
1
ã
Lời giải
Phương trình cho trở thành: 32.4x− 18.2x+ < ⇔ 16 <
x < Giải bất phương trình kép ta nhận được: −4 < x < −1
Chọn đáp án C
Câu 111 Tập nghiệm bất phương trình (x − 5)(log x + 1) <
A ß 20;
™
B ß
5; ™
C ß
10;
™
D ß
15; ™
Lời giải
Điều kiện xác định x >
(x − 5)(log x + 1) < ⇔
(
x − >
log x + <
(
x − <
log x + > ⇔
x >
x < 10
x <
x > 10
⇔
(73)Chọn đáp án C
Câu 112 Tìm số nghiệm nguyên bất phương trình Ä√3 −√2äx
2+1
≥Ä√3 −√2ä3x−1
A B C D
Lời giải
Ä√
3 −√2äx 2+1
≥Ä√3 −√2ä3x−1 ⇔ x2 + ≤ 3x − ⇔ x2− 3x + ≤ ⇔ ≤ x ≤ 2. Các nghiệm nguyên phương trình x = x =
Chọn đáp án B
Câu 113 Với cặp số thực a; b thỏa mãnÄ√2 − 1äa ≤Ä√2 − 1äb, mệnh đề sau đúng? A a = b B a ≥ b C a ≤ b D a > b
Lời giải
Ta có √2 − < nên Ä√2 − 1äa≤Ä√2 − 1äb ⇔ a ≥ b
Chọn đáp án B
Câu 114 Hiện nay, huyện X có 100.000 người Giả sử với tỉ lệ tăng dân số hàng năm không đổi
1,75%, hỏi sau năm dân số huyện X vượt 140.000 người Biết tăng dân
số tính theo cơng thức lãi kép liên tục S = Aenr với S số dân sau n năm; A số dân của năm lấy làm mốc tính; r tỉ lệ tăng dân số hàng năm
A 18 năm B 20 năm C 19 năm D 21 năm
Lời giải
Dân số huyện X sau n năm Sn= 100.000e0.0175n Ta có Sn > 140.000 ⇔ e0.0175n>
7
5 ⇔ n > 19,22
Hay sau 20 năm dân số huyện X vượt 140.000 người
Chọn đáp án B
Câu 115 Cho bất phương trình 12 · 9x− 35 · 6x+ 18 · 4x > Nếu đặt t = Å
ãx
với t > bất
phương trình cho trở thành bất phương trình bất phương trình đây?
A 12t2− 35t + 18 > 0. B 18t2− 35t + 12 > 0.
C 12t2− 35t + 18 < 0. D 18t2− 35t + 12 < 0.
Lời giải
Ta có 12 · 9x− 35 · 6x+ 18 · 4x > ⇔ 12 − 35Å
ãx
+ 18Å
ãx
> ⇔ 12 − 35Å
ãx
+ 18Å
ã2x >
Đặt t =Å
ãx
với t > bất phương trình cho trở thành 18t2− 35t + 12 >
Chọn đáp án B
Câu 116 Tập nghiệm bất phương trình · 4x− · 2x+ có dạng S = [a; b] Tính giá trị của biểu thức b − a
A
2 B C
5
2 D
Lời giải
Ta có · 4x− · 2x
+ ⇔
x
6 ⇔ −1 x
Tập nghiệm bất phương trình S = [−1; 1] ⇒ a = −1; b = ⇒ b − a =
(74)Câu 117 Tìm tập nghiệm S bất phương trình 2−x2−2x ≥
A S = (1; +∞) B S = [−3; +∞) C S = (−∞; −3] D S = [−3; 1] Lời giải
Ta có 2−x2−2x ≥ ⇔
−x2−2x
≥ 2−3 ⇔ −x2− 2x ≥ −3 ⇔ −x2− 2x + ≥ ⇔ x ∈ [−3; 1]. Vậy S = [−3; 1]
Chọn đáp án D
Câu 118 Giải bất phương trình log2(1 − x) <
A x > −3 B x < C −3 ≤ x ≤ D −3 < x <
Lời giải
Ta có log2(1 − x) < ⇔ (
1 − x >
1 − x < 22 ⇔ (
x <
x > −3 ⇔ −3 < x <
Chọn đáp án D
Câu 119 Bất phương trình 9x ≤Å
3 ãx−6
có nghiệm nguyên dương?
A B C D
Lời giải
Bất phương trình ⇔ 32x≤ 36−x ⇔ 2x ≤ − x ⇔ x ≤ 2. Vậy có số nguyên dương x thỏa bất phương trình
Chọn đáp án C
Câu 120 Một người gửi ngân 300 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 7%/năm Biết
không rút tiền khỏi ngân hàng sau năm số tiền lãi nhập vào gốc để tính lãi cho
năm Hỏi sau năm, người nhận số tiền nhiều 600 triệu đồng
bao gồm gốc lãi? Giả định suốt thời gian gửi, lãi suất khơng đổi người không rút tiền
ra
A năm B 11 năm C 12 năm D 10 năm
Lời giải
Gọi x (năm) số năm mà người nhận số tiền nhiều 600 triệu đồng (ĐK: x ∈ N∗) Theo cơng thức tính lãi kép ta có
300(1 + 0,07)x > 600 ⇔(1,07)x > 2
⇔x log(1,07) > log ⇔ x > log
log(1,07) > 10 ⇒ x = 11 (năm)
Chọn đáp án B
Câu 121 Nghiệm bất phương trình: log1
2
(x2− 5x + 7) > là
A < x < B x > C x < x > D x <
(75)Điều kiện x2 − 5x + > ⇔ x ∈ R. Ta có log1
2
(x2− 5x + 7) > ⇔ x2− 5x + < ⇔ x2 − 5x + < ⇔ < x < 3.
Chọn đáp án A
Câu 122 Cho bất phương trình Å
7
ãx2−x+1
> Å
ã2x−1
, tập nghiệm bất phương trình có tập
nghiệmS = (a; b) Giá trị biểu thức A = b − a nhận giá trị đây?
A −2 B −1 C D
Lời giải
Ta có Å
ãx2−x+1 >Å
7 ã2x−1
⇔ x2 − x + < 2x − ⇔ x2− 3x + < ⇔ < x < 2. Vậy tập nghiệm bất phương trình S = (1; 2) Giá trị biểu thức A = − =
Chọn đáp án D
Câu 123 Tập nghiệm bất phương trình log3(4x − 3) + log1
3
(2x + 3) ≤
A Å 4; +∞
ã
B ï
4; ò
C Å
4;
ò
D ï
4; +∞ ã
Lời giải
Điều kiện (
4x − >
2x + > ⇔
x >
x > −3
⇔ x >
Ta có
2 log3(4x − 3) + log1
(2x + 3) ≤ ⇔ log3(4x − 3)2 ≤ + log3(2x + 3) ⇔ log3(4x − 3)2 ≤ log3(9(2x + 3)) ⇔ (4x − 3)2 ≤ 9(2x + 3)
⇔ 16x2− 24x + ≤ 18x + 27 ⇔ 16x2− 42x − 18 ≤ 0 ⇔ −3
8 ≤ x ≤
So điều kiện suy
4 < x ≤
Chọn đáp án C
Câu 124 Tìm số nguyên n lớn thỏa mãn n360 < 3480
A n = B n = C n = D n =
Lời giải
Ta có n360 < 3480 ⇔ 360 ln n < 480 ln ⇔ ln n <
3 · ln ⇔ n < e
3ln ≈ 4, 326 Vậy số nguyên n lớn thỏa mãn
Chọn đáp án B
Câu 125 Tìm tập nghiệm S bất phương trình log (2x − 2) ≥ log (x + 1)
A S = (3; +∞) B S = (1; 3] C S = [3; +∞) D S = ∅. Lời giải
Ta có log (2x − 2) ≥ log (x + 1) ⇔
2x − ≥ x +
2x − >
x + >
⇔ x ≥
(76)Chọn đáp án C
Câu 126 Tập nghiệm bất phương trình Å
2 ã
1
x − <Å
ã4
A Å
1;5
4 ã
B
Å −∞;5
4 ã
C (−∞; −1) ∪Å 4; +∞
ã
D Å
4; +∞ ã
Lời giải
Điều kiện x 6=
Với điều kiện trên, bất phương trình cho tương đương với
1
x − > ⇔
−4x +
x − > ⇔
x >
x <
⇔ < x <
Vậy tập nghiệm phương trình S = Å
1;5
ã
Chọn đáp án A
Câu 127 Giải bất phương trình log2(x − 1) ≤ log2(5 − x) +
A < x < B ≤ x ≤ C −3 ≤ x ≤ D < x ≤
Lời giải
Ta có log2(x − 1) ≤ log2(5 − x) + ⇔ (
1 < x <
(x − 1)2 ≤ 2(5 − x) ⇔ (
1 < x <
− ≤ x ≤ ⇔ < x ≤
Chọn đáp án D
Câu 128 Bất phương trình log1
2
(2x − 1) ≥ log1
(5 − x) có tập nghiệm
A Å
2;
ò
B [2; +∞) C [2; 5) D (−∞; 2]
Lời giải
Ta có
log1
(2x − 1) ≥ log1
(5 − x) ⇔ (
2x − >
2x − ≤ − x ⇔
x >
2 x ≤
⇔
2 < x ≤
Vậy tập nghiệm bất phương trình S = Å 2;
ò
Chọn đáp án A
Câu 129 Tìm tập nghiệm bất phương trình Ä√18 +√17äx
2
< √
18 −√17
A S = (−1; 0) B S = [−1; 1] C S = (0; 1) D S = (−1; 1)
Lời giải
Ta có
Ä√
18 +√17äx
< √
18 −√17 ⇔ Ä√
18 +√17äx
<Ä√18 +√17ä⇔ x2 < ⇔ −1 < x < 1.
Vậy tập nghiệm bất phương trình S = (−1; 1)
(77)Câu 130 Tập nghiệm bất phương trình 32x+1>Å
ã−3x2
A Å
−∞; −1
ã
∪ (1; +∞) B (1; +∞)
C Å
−∞; −1
ã
D
Å
−1
3;
ã
Lời giải
Ta có
32x+1 >Å
ã−3x2
⇔ 32x+1> 33x2 ⇔ 2x + > 3x2 ⇔ 3x2− 2x − < ⇔ −1
3 < x <
Vậy tập nghiệm bất phương trình Å
−1 3;
ã
Chọn đáp án D
Câu 131 Bất phương trình log22x − log2(4x) < có số nghiệm nguyên
A B C D
Lời giải
Điều kiện x > 0,
log22x − log2(4x) < ⇔ log22x − log2x − log24 < ⇔ log22x − log2x − < ⇔ −1 < log2x < ⇔
2 < x <
Giá trị nguyên x {1,2,3}
Chọn đáp án A
Câu 132 Tìm tập nghiệm S bất phương trình 25x−5− 5x ≤ 0.
A S = (0; 10] B S = (∞; 10] C S = (−∞; 10) D S = (0; 10)
Lời giải
Ta có 25x−5− 5x ≤ ⇔ 52x−10 ≤ 5x ⇔ 2x − 10 ≤ x ⇔ x ≤ 10. Tập nghiệm bất phương trình S = (−∞; 10]
Chọn đáp án B
Câu 133 Tìm tập nghiệm bất phương trình log6x + log36x ≤ 10
A S = (0; 36] B S = (−∞; 36] C S = (−∞; 36) D S = [0; 36]
Lời giải
Điều kiện xác định x > Bất phương trình viết lại log6x + ·
2· log6x ≤ 10 ⇔ log6x ≤ ⇔ x ≤ 36 Kết hợp với điều kiện xác định, bất phương trình có tập nghiệm S = (0; 36]
Chọn đáp án A
Câu 134 Tìm tập nghiệm S bất phương trình 16x− · 4x+ ≤ 0.
A S = (0; 1) B S = [1; 4] C S = (1; 4) D S = [0; 1]
Lời giải
Ta có 16x− · 4x+ ≤ ⇔ (4x)2− · 4x+ ≤ ⇔ ≤ 4x≤ ⇔ ≤ x ≤ 1. Vậy, tập nghiệm bất phương trình S = [0; 1]
(78)Câu 135 Biết tập nghiệm bất phương trình log2(3x − 2) > log2(6 − 5x) (a; b) Khi đó, giá trị ab
A B
5 C
12
5 D +∞
Lời giải
Điều kiện xác định:
3 < x <
Bất phương trình cho tương đương với 3x − > − 5x ⇔ 8x > ⇔ x >
Vậy tập nghiệm bất phương trình Å
1;6
ã
Do a = b =
5, nên ab =
Chọn đáp án B
Câu 136 Tập nghiệm bất phương trình log2Ä1 + log1
9 x − log9x ä
< có dạng S = Å a; b
ã với
a, b số nguyên Mối liên hệ a b
A a = b B a = 2b C a + b = D a = −b
Lời giải
Điều kiện xác định: x >
Bất phương trình cho tương đương
log2Ä1 + log1
9 x − log9x ä
< ⇔ < − log9x < ⇔
2 > log9x > −
⇔ > x >
Suy a = b =
Chọn đáp án A
Câu 137 Giải bất phương trình log2(3x − 2) > log2(6 − 5x) ta tập nghiệm (a; b) (với a < b) Tính tổng S = a + b
A S = 26
5 B S =
8
5 C S =
11
5 D S =
28
Lời giải
Điều kiện xác định (
3x − >
6 − 5x > ⇔
3 < x <
Ta có log2(3x − 2) > log2(6 − 5x) ⇔ 3x − > − 5x ⇔ x > Kết hợp với điều kiện xác định ta có tập nghiệm bất phương trình
Å 1;6
5 ã
⇒ S = 11
Chọn đáp án B
Câu 138 Tìm tập nghiệm S bất phương trình log2(3x − 2) − log2(6 − 5x) >
A S = Å
1;6
5 ã
B S = (1; +∞) C S = Å
1;6 ò
D S =Å 3;
ã
Lời giải
Điều kiện xác định (
3x − >
6 − 5x > ⇔
(79)Bất phương trình
log2(3x − 2) − log2(6 − 5x) > ⇔ log23x −
6 − 5x >
⇔ 3x − − 5x >
⇔ 8x − − 5x >
⇔ < x <
5 (thỏa mãn điều kiện xác định)
Chọn đáp án A
Câu 139 Giải phương trình log4x + log2(x − 3) =
A x = B x = C x = 16 D x =
Lời giải
Điều kiện xác định (
x >
x − >
⇔ x >
Phương trình
2 log4x + log2(x − 3) = ⇔ log2x + log2(x − 3) = ⇔ log2(x2− 3x) = ⇔ x2− 3x − = 0 ⇔
"
x = −1
x =
Kết hợp với điều kiện xác định, phương trình có nghiệm x =
Chọn đáp án A
Câu 140 Cho hàm số f (x) =
x−2
7x2−4 Hỏi mệnh đề mệnh đề sai? A f (x) > ⇔ x − − (x2− 4) log37 >
B f (x) > ⇔ (x − 2) log − (x2− 4) log > C f (x) > ⇔ (x − 2) ln − (x2− 4) ln >
D f (x) > ⇔ (x − 2) log0,33 − (x2− 4) log
0,37 >
Lời giải
Xét bất phương trình f (x) > ⇔ x−2
7x2−4 > (∗)
• Lấy logarit số hai vế ta (∗) ⇔ x − − (x2− 4) log
37 >
• Lấy logarit thập phân hai vế ta (∗) ⇔ (x − 2) log − (x2− 4) log > 0. • Lấy logarit Nê-pe hai vế ta (∗) ⇔ (x − 2) ln − (x2− 4) ln > 0.
• Lấy logarit số 0,3 ta (∗) ⇔ (x − 2) log0,33 − (x2− 4) log
0,37 <
(80)Câu 141 Tập nghiệm bất phương trình log20,2x − log0,2x − ≤ có dạng S = [a; b] Giá trị A = a · b thuộc khoảng đây?
A Å
0;1
2 ã
B Å
2; ã
C Å
2; ã
D
Å 1;3
2 ã
Lời giải
Điều kiện x >
Đặt t = log0,2x, bất phương trình trở thành t2− t − ≤ ⇔ −2 ≤ t ≤ 3. Suy −2 ≤ log0,2x ≤ ⇔
125 ≤ x ≤ 25 (thỏa điều kiện)
Khi a =
125, b = 25 Vậy A = a · b =
125 · 25 = ∈
Å 0;1
2 ã
Chọn đáp án A
Câu 142 Bất phương trình 3x2−6x−16< 9x+2 có nghiệm nguyên?
A 11 B C 10 D 12
Lời giải
Bất phương trình tương đương với
3x2−6x−16 < 32x+4⇔ x2− 6x − 16 < 2x + ⇔ x2− 8x − 20 < ⇔ −2 < x < 10.
Số nghiệm nguyên khoảng (−2; 10) 11 nghiệm
Chọn đáp án A
Câu 143 Tìm tập nghiệm bất phương trình log2(x − 1) <
A (−∞; 10) B (1; 9) C (1; 10) D (∞; 9)
Lời giải
Ta có log2(x − 1) < ⇔ (
x − >
x − < 23 ⇔ < x <
Chọn đáp án B
Câu 144 Bất phương trình log2(3x − 2) > log2(6 − 5x) có tập nghiệm A (0; +∞) B Å
2; ã
C (−3; 1) D
Å
1;6
5 ã
Lời giải
log2(3x − 2) > log2(6 − 5x) ⇔ (
3x − > − 5x
6 − 5x > ⇔
x >
x <
⇔ < x <
Vậy tập nghiệm bất phương trình Å
1;6
ã
Chọn đáp án D
Câu 145 Tập nghiệm bất phương trình log3 4x +
x ≤
A S = ï
−2; −3
2 ã
B S = [−2; 0) C S = (−∞; 2] D S = R \ ï
−3 2;
ò
Lời giải
Điều kiện: 4x +
x > ⇔
(81)log3 4x +
x ≤ ⇔
4x +
x ≤ ⇔
3x +
x ≤ ⇔ −2 ≤ x <
Kết hợp với điều kiện ta có S = ï
−2; −3
ã
Chọn đáp án A
Câu 146 Biết tập nghiệm bất phương trình log√
3x Å
1 + 3log3
√ 33x
ã
≤ [a; b] Tính
T = 81a2+ b2.
A T = 82
9 B T =
84
3 C T =
80
9 D T =
80
Lời giải
Đặt t = log3x, ta có bất phương trình t2 + 2t − ≤ 0, suy −3 ≤ t ≤ hay
27 ≤ x ≤ Do [a; b] =ï
27; ò
, dẫn đến T = 81a2+ b2 = 82
Chọn đáp án A
Câu 147 Tìm tập nghiệm S bất phương trình 32x−1 > 243
A S = (−∞; 3) B S = (3; +∞) C S = (2; +∞) D S = (−∞; 2)
Lời giải
Ta có
32x−1> 243 ⇔ 32x−1> 35 ⇔ 2x − > ⇔ x > Vậy tập nghiệm bất phương trình cho S = (3; +∞)
Chọn đáp án B
Câu 148 Tìm tập nghiệm bất phương trình 2x2−5x+6< 1.
A (−3; 2) B (1; 6) C (2; 3) D (−6; −1)
Lời giải
2x2−5x+6< ⇔ x2− 5x + < ⇔ < x <
Chọn đáp án C
Câu 149 Giải bất phương trình log2(3x − 1) >
A x > B
3 < x < C x < D x > 10
3
Lời giải
Ta có log2(3x − 1) > ⇔ 3x − > 23 ⇔ x > 3.
Chọn đáp án A
Câu 150 Bất phương trình 2x2−3x+4≤Å
2 ã2x−10
có nghiệm nguyên dương?
A B C D
Lời giải
Ta có 2x2−3x+4≤Å
ã2x−10
⇔ 2x2−3x+4
≤ 2−2x+10 ⇔ x2− 3x + ≤ −2x + 10 ⇔ x2− x − ≤ ⇔ −2 ≤ x ≤ 3.
Có số nguyên dương [−2; 6]
(82)Câu 151 Tập nghiệm bất phương trình log1
3 (− log2x) < A (0; 5) B (1; 2) C Å
4; ã
D
Å
0;1
2 ã
Lời giải
Điều kiện: (
x >
− log2x > ⇔ < x < log1
3 (− log2x) < ⇔ − log2x > ⇔ x <
Kết hợp với điều kiện ta tập nghiệm bất phương trình S = Å
0;1
ã
Chọn đáp án D
Câu 152 Tập nghiệm bất phương trình log0,5(x − 4) + ≥
A (−∞; 6) B (4; 6] C (4; +∞) D
Å 4;9
2 ò
Lời giải
Bất phương trình tương đương
0 < x − ≤Å
ã−1
⇔ < x ≤
Chọn đáp án B
Câu 153 Giải bất phương trình Å
4 ã2x−1
≤Å
ã−2+x
ta nghiệm
A x ≥ B x > C x < D x ≤
Lời giải
Bất phương trình cho tương đương với
Å
ã−2x+1 ≤Å
3 ã−2+x
⇔ − 2x ≤ −2 + x ⇔ x ≥
Chọn đáp án A
Câu 154 Cho số dương a, b, c với a > Mệnh đề sau sai?
A logab > logac ⇔ b > c B logab > ⇔ b > a C logab < ⇔ b < D logab > c ⇔ b < ac.
Lời giải
Với a > 1, ta có logab > c ⇔ logab > logaac⇔ b > ac
Chọn đáp án D
Câu 155 Bất phương trình Å
2 ãx2+4x
>
32 có tập nghiệm S = (a; b) Khi b − a
A B C D
Lời giải
Bất phương trình cho tương đương với Å
ãx2+4x >Å
2 ã5
⇔ x2+ 4x < ⇔ −1 < x < 5. Suy a = −1, b = ⇒ S = b − a =
(83)Câu 156 Tìm tập nghiệm S bất phương trình 3x−1 > 27
A S = [4; +∞) B S = (4; +∞) C S = (0; 4) D S = (−∞; 4)
Lời giải
Ta có 3x−1 > 27 ⇔ 3x−1 > 33 ⇔ x − > ⇔ x > 4. Vậy tập nghiệm bất phương trình S = (4; +∞)
Chọn đáp án B
Câu 157 Tập nghiệm bất phương trình 2x > 3x+1
A ∅ B Ä−∞; log2
3
ä
C (−∞; log23] D Älog2
3 3; +∞ ä
Lời giải
Ta có 2x > 3x+1 ⇔ Å
ãx
> ⇔ x < log2
3 Do tập nghiệm bất phương trình cho Ä
−∞; log2 3
ä
Chọn đáp án B
Câu 158 Tìm tất nghiệm bất phương trình Å
2
ã9x2−17x+11 ≥Å
2 ã7−5x
A x =
3 B x >
2
3 C x 6=
2
3 D x ≤
2
Lời giải
Ta có Å
ã9x2−17x+11 ≥Å
2 ã7−5x
⇔ 9x2− 17x + 11 ≤ − 5x ⇔ 9x2− 12x + ≤ ⇔ x =
Chọn đáp án A
Câu 159 Tập nghiệm bất phương trình log2(x − 1) ≤ log2(5 − x) +
A (1; 5) B (1; 3] C [1; 3] D [3; 5]
Lời giải
Điều kiện (
x − >
5 − x > ⇔
( x >
x <
⇔ < x <
Bất phương trình tương đương với log2(x − 1)2 ≤ log2[2 (5 − x)] ⇒ (x − 1)2 ≤ 10 − 2x ⇔ x2 ≤ ⇔ −3 ≤ x ≤
Kết hợp với điều kiện ta tập nghiệm bất phương trình cho (1; 3]
Chọn đáp án B
Câu 160 Tìm tập hợp tất giá trị thực tham số m để phương trình x3− 3x + = 5m có 3
nghiệm thực phân biệt
A m > B m < C < m < D m >
Lời giải
(84)x
f0(x)
f (x)
−∞ −1 +∞
+ − +
−∞ −∞
5
1
+∞ +∞
Dựa vào bảng biến thiên ta có phương trình có ba nghiệm thực ⇔ < 5m < ⇔ < m < 1.
Chọn đáp án C
Câu 161 Tập nghiệm bất phương trình log1
2
(2x − 1) > −1
A Å
2;
3
ã
B
Å 0;3
2 ã
C Å
2; +∞ ã
D Å
2;
ã
Lời giải
Ta có log1
(2x − 1) > −1 ⇔
2x − >
2x − <Å
ã−1 ⇔
x >
x <
Suy bất phương trình có tập nghiệm
Å 2;
3
ã
Chọn đáp án A
Câu 162 Tìm tập nghiệm S bất phương trình log1
2
(x + 1) < log1
(2x − 1)
A S =Å
2;
ã
B S = (−1; 2) C S = (2; +∞) D S = (−∞; 2)
Lời giải
log1
(x + 1) < log1
(2x − 1) ⇔ (
x + > 2x −
2x − >
⇔
x <
x >
⇔
2 < x <
Suy tập nghiệm bất phương trình S =Å 2;
ã
Chọn đáp án A
Câu 163 Trong khẳng định đây, khẳng định sai?
A Với a > b > 1, ta có ab > ba. B Với a > b > 1, ta có log
ab < logba C Với a > b > 1, ta có aa−b > bb−a. D Với a > b > 1, ta có log
a a + b
2 <
Lời giải
Với a = 4, b = 2, 42 = 24.
Chọn đáp án A
Câu 164 Tập nghiệm bất phương trình · 7x+2+ · 2x+2 ≤ 351 ·√14x có dạng đoạn S = [a; b]. Giá trị b − 2a thuộc khoảng đây?
A (3;√10) B (−4; 2) C (√7; 4√10) D Å 9;
49
ã
(85)Phương trình
2 · 7x+2 + · 2x+2 ≤ 351 ·√14x ⇔98 · 7x+ 28 · 2x− 351 · 7x2 · 2x2 ≤ 0 ⇔98 ·Å
2 ãx
+ 28 − 351 ·Å
ãx2 ≤
⇔98 ·Å
ã2·x2
− 351 ·Å
ãx2
+ 28 ≤
⇔ 49 ≤
Å
ãx2 ≤
2 ⇔ −4 ≤ x ≤ ⇒ (
a = −4
b =
⇒ b − 2a = 10 ∈ (√7; 4√10)
Chọn đáp án C
Câu 165 Số nghiệm nguyên bất phương trình Å
3
ã2x2−3x−7
> 32x−21
A Vô số B C D
Lời giải
Ta có Å
ã2x2−3x−7
> 32x−21 ⇔ 2x2− x − 28 < ⇔ −7
2 < x < Vậy số nghiệm nguyên bất phương trình cho
Chọn đáp án C
Câu 166 Bất phương trình log1
2(2x − 1) ≥ log
2(5 − x) có tập nghiệm
A Å
2;
ò
B (−∞; 2] C [2; +∞) D [2; 5)
Lời giải
• Điều kiện xác định phương trình: (
2x − >
5 − x > ⇔
2 < x <
• Bất phương trình trở thành 2x − ≤ − x ⇔ 3x ≤ ⇔ x ≤
• Kết hợp điều kiện suy bất phương trình có tập nghiệm Å 2;
ò
Chọn đáp án A
Câu 167 Tập nghiệm bất phương trình log2(x − 1) >
A (9; +∞) B (4; +∞) C (1; +∞) D (10; +∞)
Lời giải
Ta có log2(x − 1) > ⇔ (x − 1) > 23 ⇔ x > 9.
Chọn đáp án A
Câu 168 Tập nghiệm bất phương trình log2(x − 3) + log2x ≥
A (3; +∞) B [4; +∞)
C (−∞; −1] ∪ [4; +∞) D (3; 4]
Lời giải
Điều kiện x > Khi BPT ⇔ (x − 3)x ≥ ⇔ x2− 3x − ≥ ⇔ "
x ≤ −1
x ≥
(86)Chọn đáp án B
Câu 169 Tập nghiệm bất phương trình log1
2
(x2− 5x + 7) > là
A (2; 3) B (3; +∞) C (−∞; 2) D (−∞; 2) ∪ (3; +∞)
Lời giải
Bất phương trình tương đương với (
x2− 5x + > (luôn đúng)
x2− 5x + < ⇔ x ∈ (2; 3)
Chọn đáp án A
Câu 170 Tìm tập nghiệm bất phương trình Å
2 ãx−1
≥ 4·
A S = {x ∈ R|x > 3} B S = {x ∈ R|1 < x ≤ 3}
C S = {x ∈ R|x ≤ 3} D S = {x ∈ R|x ≥ 3}
Lời giải
Ta có Å
ãx−1 ≥
4 ⇔ x − ≤ ⇔ x ≤
Chọn đáp án C
Câu 171 Có số nguyên [0; 10] nghiệm bất phương trình log2(3x − 4) > log2(x − 1)?
A 10 B 11 C D
Lời giải
Ta có: log2(3x − 4) > log2(x − 1) ⇔ (
3x − >
3x − > x −
⇔ x >
Vì x số nguyên thuộc [0; 10] nên có giá trị x thỏa yêu cầu toán
Chọn đáp án C
Câu 172 Anh Nam muốn mua nhà trị giá 500 triệu đồng sau năm Biết lãi suất
hàng năm không đổi 8% năm Vậy từ số tiền anh Nam phải gửi tiết
kiệm vào ngân hàng theo thể thức lãi kép để có đủ tiền mua nhà (kết làm tròn đến hàng triệu)
là
A 397 triệu đồng B 396 triệu đồng C 395 triệu đồng D 394 triệu đồng
Lời giải
Gọi x số tiền anh Nam phải giải tiết kiệm, đơn vị triệu đồng Khi sau năm, theo hình thức lãi
kép số tiền anh Nam nhận x Å
1 + 100
ã3
Vậy ta cần tìm x số nguyên nhỏ thỏa
mãn điều kiện
x Å
1 + 100
ã3
≥ 500 ⇔ x ≥ 500 Å
1 + 100
ã3 ≈ 396,
Vậy x = 397 triệu đồng
Chọn đáp án A
(87)A S = (−∞; 1) B S = (−∞; −1) C S = (−1; 0) D S = (−1; +∞)
Lời giải
Ta có 3−3x > 3−x+2 ⇔ −3x > −x + ⇔ 2x < −2 ⇔ x < −1
Chọn đáp án B
Câu 174 Tập nghiệm bất phương trình log0,5x > log0,52
A (1; 2) B (−∞; 2) C (2 : +∞) D (0; 2)
Lời giải
Bất phương trình tương đương với (
x >
x < ⇔ < x < Vậy tập nghiệm bất phương trình (0; 2)
Chọn đáp án D
Câu 175 Tập nghiệm bất phương trình log2(x + 1) < log2(3 − x)
A S = (−∞; 1) B S = (1; +∞) C S = (1; 3] D S = (−1; 1)
Lời giải
log2(x + 1) < log2(3 − x) ⇔ (
x + < − x
x + > ⇔ (
x <
x > −1 ⇔ −1 < x <
Chọn đáp án D
Câu 176 Phương trình 22x−1 = có nghiệm là
A x = B x = C x = D x =
Lời giải
22x−1 = ⇔ 22x−1= 23 ⇔ 2x − = ⇔ x = 2.
Chọn đáp án D
Câu 177 Tập nghiệm bất phương trình log1
2
(log2(x2− 1)) ≤ −1
A S =ỵ1;√5ó B S =Ä−∞; −√5ó∪ỵ√5; +∞ä
C S =ỵ−√5;√5ó D S =ỵ−√5; −1ä∪Ä1;√5ó
Lời giải
Ta có log1
(log2(x2− 1)) ≤ −1 ⇔ log
2(x2− 1) ≥ ⇔ x2− ≥ ⇔ x2 ≥ ⇔ "
x ≥√5
x ≤ −√5
Vậy S =Ä−∞; −√5ó∪ỵ√5; +∞ä tập nghiệm bất phương trình
Chọn đáp án B
Câu 178 Bất phương trình log1
2
(3x + 1) > log1
(x + 7) có nghiệm nguyên?
A B C D
Lời giải
log1
(3x + 1) > log1
(x + 7) ⇔ (
3x + >
3x + < x + ⇔
x > −1 x <
⇔ −1
3 < x <
Vậy bất phương trình có nghiệm nguyên
(88)Câu 179 Tập nghiệm bất phương trình Ä√2äx 2−2x
≤Ä√2ä3
A [−2; 1] B [−1; 3] C (2; 5) D (−1; 3)
Lời giải
Ä√ 2äx
2−2x
≤Ä√2ä3 ⇔ x2− 2x ≤ ⇔ x2− 2x − ≤ ⇔ −1 ≤ x ≤
Chọn đáp án B
Câu 180 Tìm tập nghiệm S bất phương trình log1
2
(x − 3) ≥ log1
4
A S = (3; 7] B S = [3; 7] C = (−∞; 7] D S = [7; +∞)
Lời giải
log1
(x − 3) ≥ log1
4 ⇔ (
x − >
x − ≤ ⇔ < x ≤
Chọn đáp án A
Câu 181 Tìm tập nghiệm bất phương trình log3(4x − 3) ≤ log3(18x + 27)
A S =Å
4;
ò
B S = [3; +∞) C S =Å 4; +∞
ã
D S = ï
−3 8;
ò
Lời giải
Điều kiện: x >
4, với điều kiện trên, bất phương trình
⇔ log3(4x − 3)2 ≤ log3(18x + 27) ⇔ 16x2− 24x + ≤ 18x + 27 ⇔ 16x2− 42x − 19 ≤ 0 ⇔ x ∈
ï −3
8; ò
Kết hợp với điều kiện ta tập nghiệm bất phương trình S =Å 4;
ò
Chọn đáp án A
Câu 182 Bất phương trình 3x+2 > 9x−1008 có nghiệm
A x ≥ 2018 B x > 2018 C x < 2018 D x > 1010
Lời giải
Điều kiện: x ∈ R Ta có
3x+2 > 9x−1008 ⇔ 3x+2 > 32x−2016 ⇔ x + > 2x − 2016
⇔ x < 2018
Chọn đáp án C
Câu 183 Tìm tập nghiệm S bất phương trình log22x > log2(9 − x)
A S = (−∞; 3) B S = (9; +∞) C S = (3; +∞) D S = (3; 9) Lời giải
Điều kiện (
2x >
9 − x >
⇔ < x <
(89)log22x > log2(9 − x) ⇔ 2x > − x ⇔ 3x > ⇔ x > Kết hợp với điều kiện ta có < x <
Chọn đáp án D
Câu 184 Tìm tập nghiệm S bất phương trình Å
5 ã1−3x
≥ 25
A [1; +∞) B ï
3; +∞ ã
C
Å −∞;1
3 ã
D (−∞; 1]
Lời giải
Ta có bất phương trình
Å
ã1−3x ≥Å
5 ã−2
⇔ − 3x ≤ −2 ⇔ x ≥
Chọn đáp án A
Câu 185 Giải bất phương trình log2(3x − 2) > log2(6 − 5x) tập nghiệm khoảng (a; b) Hãy tính tổng S = a + b
A S =
5 B S =
26
5 C S =
28
15 D S =
11
5
Lời giải
Điều kiện (
3x − >
6 − 5x > ⇔
3 < x <
Bất phương trình tương đương với 3x − > − 5x ⇔ 8x > ⇔ x >
Kết hợp với điều kiện ta có < x < Vậy S = a + b = 11
5
Chọn đáp án D
Câu 186 Tập nghiệm bất phương trình 3x+2 ≥
9
A [0; +∞) B (−∞; 4) C (−∞; 0) D [−4; +∞)
Lời giải
Ta có 3x+2 ≥ ⇔
x+2 ≥ 3−2 ⇔ x + ≥ −2 ⇔ x ≥ −4.
Chọn đáp án D
Câu 187 Tìm tập nghiệm D bất phương trình 9x < 3x+4.
A D = (0; 6) B D = (−∞; 4) C D = (0; 4) D D = (4; +∞)
Lời giải
Ta có 9x < 3x+4 ⇔ 32x < 3x+4 ⇔ 2x < x + ⇔ x < 4.
Vậy, tập nghiệm bất phương trình cho là: D = (−∞; 4)
Chọn đáp án B
Câu 188 Tập nghiệm bất phương trình
√
x < là
A [0; 1) B (−∞; 1) C (0; 1) D (1; +∞)
(90)Ta có: 2√x < ⇔ (
x > √
x < ⇔ x <
Chọn đáp án A
Câu 189 Tập nghiệm bất phương trình Ä√3
5äx−1 < 5x+3 là
A (−∞; −5) B (−∞; 0) C (−5; +∞) D (0; +∞)
Lời giải
Bất phương trình cho tương đương
5x−13 < 5x+3 ⇔ x −
3 < x + ⇔ x > −5
Vậy tập nghiệm bất phương trình cho (−5; +∞)
Chọn đáp án C
Câu 190 Tập nghiệm bất phương trình 2x2
< 26−x là
A (2; +∞) B (−∞; −3) C (−3; 2) D (−2; 3)
Lời giải
Ta có 2x2 < 26−x ⇔ x2 < − x ⇔ x2+ x − < ⇔ −3 < x < 2.
Chọn đáp án C
Câu 191 Tập nghiệm phương trình Å
2 ãx−4
<
A S = (−1; +∞) B S = (−∞; −1) C S = (−∞; 1) D S = (1; +∞)
Lời giải
Ta có: Å
ãx−4
< ⇔ 2x−4 >
8 ⇔ x − > log2
8 ⇔ x − > −3 ⇔ x >
Chọn đáp án D
Câu 192 Tập nghiệm S bất phương trình 3x−1 > 27 là
A S = [4; +∞) B S = (4; +∞) C S = (0; 4) D S = (−∞; 4)
Lời giải
Ta có 3x−1 > 27 ⇔ x − > ⇔ x > ⇒ S = (4; +∞).
Chọn đáp án B
Câu 193 Tập nghiệm bất phương trình Ä2x2−4
− 1ä· ln x2 < là
A (−2; −1) ∪ (1; 2) B (1; 2) C (−2; −1) D (2; +∞)
Lời giải
Ta xét hai trường hợp sau:
• TH1: (
2x2−4− > ln x2 < ⇔
(
x2− > 0 < x2 < ⇔
( x2 >
0 < x2 < (loại)
• TH2: (
2x2−4− < ln x2 >
⇔ (
x2− < x2 >
⇔
− < x <
" x >
x < −1
⇔" − < x < −1 < x <
Vậy tập nghiệm bất phương trình D = (−2; −1) ∪ (1; 2)
(91)Câu 194 Tìm tập nghiệm S bất phương trình Å 25
ã2x−32
< 51−2x
A S = (−∞; 1) B S = (−1; +∞) C S = (−∞; −1) D S = (1; +∞) Lời giải
Ta có: Å 25
ã2x−32
< 51−2x ⇔ 5−4x+3 < 51−2x⇔ −4x + < − 2x ⇔ x > 1. Vậy tập nghiệm bất phương trình S = (1; +∞)
Chọn đáp án D
Câu 195 Tập nghiệm bất phương trình Å
2 ãx−2
>Å
ã2x−5
A (−∞; −3) B (3; +∞) C (−3; +∞) D (−∞; 3)
Lời giải
Ta có Å
ãx−2 >Å
2 ã2x−5
⇔ x − < 2x − ⇔ x >
Do tập nghiệm bất phương trình (3; +∞)
Chọn đáp án B
Câu 196 Tập nghiệm bất phương trình Ä2 −√3äx >Ä7 − 4√3ä Ä2 +√3äx+1
A Å
−∞;1
2 ã
B Å
2; +∞ ã
C
Å −2;1
2 ã
D Å
2; ã
Lời giải
Ta có Ä2 −√3ä·Ä2 +√3ä = ⇒Ä2 −√3ä =Ä2 +√3ä−1 Do Ä
2 −√3äx >Ä7 − 4√3ä Ä2 +√3äx+1 ⇔ Ä2 +√3ä−x>Ä2 −√3ä2Ä2 +√3äx+1 ⇔ Ä2 +√3ä−x>Ä2 +√3ä−2Ä2 +√3äx+1 ⇔ Ä2 +√3ä−x>Ä2 +√3äx−1
⇔ −x > x −
⇔ x <
Tập nghiệm bất phương trình cho S = Å
−∞;1
ã
Chọn đáp án A
Câu 197 Tìm tập nghiệm S bất phương trình
π
3 1x
< π
3 x3+5
A S = (0; +∞) B S =
Å
−∞; −2
ã
C S = Å
−∞; −2
5 ã
∪ (0; +∞) D S =
Å −2
5; +∞ ã
Lời giải
Ta có
π
3 x1
<π
3x+5 ⇔
x <
x + ⇔ −2
x − < ⇔
−2 − 5x
x < ⇔
(92)Vậy tập nghiệm S = Å
−∞; −2
ã
∪ (0; +∞)
Chọn đáp án C
Câu 198 Cho hàm số f (x) = 3x2
4x Mệnh đề sau mệnh đề sai? A f (x) > ⇔ x2ln + x ln > ln 3. B f (x) > ⇔ x2+ 2x log
32 >
C f (x) > ⇔ 2x log + x log > log D f (x) > ⇔ x2log
23 + 2x > log23
Lời giải
Ta có
f (x) > ⇔ 3x24x > ⇔ lnÄ3x24xä > ln ⇔ ln 3x2 + ln 4x > ln ⇔ x2ln + x ln > ln f (x) > ⇔ 3x24x > ⇔ log3Ä3x24xä > log39 ⇔ log33x2 + log34x > log39 ⇔ x2+ 2x log32 > f (x) > ⇔ 3x24x > ⇔ log2Ä3x24xä > log29 ⇔ log23x2 + log24x > log29
⇔ x2log
23 + 2x > log23 f (x) > ⇔ 3x2
4x > ⇔ logÄ3x2
4xä > log ⇔ log 3x2
+ log 4x > log ⇔ x2log + x log > log 9.
Chọn đáp án C
Câu 199 Tìm số nghiệm nguyên bất phương trình log3(4x − x2) ≤
A Vô số B C D
Lời giải
Điều kiện xác định 4x − x2 > hay < x < 4. Ta có
4x − x2 ≤ ⇔ x2− 4x + ≥ ⇔ "
x ≤
x ≥
Kết hợp điều kiện xác định ta < x ≤ ≤ x <
Theo giả thiết x nguyên nên x ∈ {1; 3}
Chọn đáp án D
Câu 200 Tập nghiệm bất phương trình Ä√5 + 2äx−1 ≤Ä√5 − 2äx−1
A S = (−∞; 1] B S = [1; +∞) C S = (−∞; 1) D S = (1; +∞)
Lời giải
Ta có Ä√5 + 2äx−1 ≤Ä√5 − 2äx−1 ⇔Ä√5 + 2äx−1 ≤Ä√5 + 2ä−x+1 ⇔ x − ≤ −x + ⇔ x ≤ Vậy S = (−∞; 1]
(93)ĐÁP ÁN
1 B C A A B B A D B 10 D
11 A 12 C 13 C 14 D 15 A 16 C 17 D 18 C 19 B 20 D
21 D 22 A 23 C 24 A 25 C 26 D 27 D 28 C 29 C 30 A
31 A 32 D 33 A 34 D 35 D 36 A 37 D 38 D 39 A 40 A
41 D 42 D 43 C 44 B 45 D 46 A 47 D 48 B 49 C 50 C
51 B 52 C 53 B 54 B 55 B 56 C 57 C 58 B 59 C 60 A
61 B 62 D 63 B 64 C 65 B 66 A 67 D 68 A 69 B 70 C
71 C 72 B 73 B 74 A 75 C 76 A 77 C 78 B 79 C 80 A
81 B 82 C 83 C 84 D 85 A 86 B 87 C 88 A 89 B 90 B
91 C 92 A 93 C 94 C 95 A 96 A 97 B 98 C 99 A 100 D
101 A 102 B 103 D 104 A 105 B 106 D 107 A 108 B 109 D 110 C
111 C 112 B 113 B 114 B 115 B 116 D 117 D 118 D 119 C 120 B
121 A 122 D 123 C 124 B 125 C 126 A 127 D 128 A 129 D 130 D
131 A 132 B 133 A 134 D 135 B 136 A 137 B 138 A 139 A 140 D
141 A 142 A 143 B 144 D 145 A 146 A 147 B 148 C 149 A 150 D
151 D 152 B 153 A 154 D 155 C 156 B 157 B 158 A 159 B 160 C
161 A 162 A 163 A 164 C 165 C 166 A 167 A 168 B 169 A 170 C
171 C 172 A 173 B 174 D 175 D 176 D 177 B 178 C 179 B 180 A
181 A 182 C 183 D 184 A 185 D 186 D 187 B 188 A 189 C 190 C
(94)3 MỨC ĐỘ VẬN DỤNG THẤP
Câu Tập nghiệm S bất phương trình log1
3(x − 1) + log3(11 − 2x) ≥ A S =
Å 3;11
2 ã
B S = (−∞; 4] C S = (1; 4] D S = (1; 4)
Lời giải
Điều kiện (
x − >
11 − 2x >
⇔ < x < 11
2 Ta có
log1
3(x − 1) + log3(11 − 2x) ≥ ⇔ − log3(x − 1) + log3(11 − 2x) ≥ ⇔ log3 11 − 2x
x − ≥ ⇔
11 − 2x
x − ≥ ⇔
11 − 2x
x − − ≥ 0(vì x − > 0) ⇔ 12 − 3x ≥ ⇔ x ≤
Kết hợp với điều kiện ta có < x ≤
Vậy S = (1; 4]
Chọn đáp án C
Câu Cho hàm số y = f (x) Hàm số y = f0(x) có bảng biến thiên hình
x
f0(x)
−∞ −3 +∞
+∞ +∞
−3 −3
0
−∞ −∞
Bất phương trình f (x) < ex+ m với x ∈ (−1; 1) khi A m ≥ f (1) − e B m > f (−1) −1
e C m ≥ f (−1) −
1
e D m > f (1) − e Lời giải
Ta có f (x) < ex+ m ⇔ f (x) − ex < m Xét h(x) = f (x) − ex, x ∈ (−1; 1)
Khi h0(x) = f0(x) − ex < 0, ∀x ∈ (−1; 1) (Vì f0(x) < 0, ∀x ∈ (−1; 1) ex > 0, ∀x ∈ (−1; 1)) ⇒ h(x) nghịch biến (−1; 1) ⇒ h(−1) > h(x) > h(1), ∀x ∈ (−1; 1)
Để bất phương trình f (x) < ex+ m với x ∈ (−1; 1) ⇔ m ≥ h(−1) ⇔ m ≥ f (−1) − e
Chọn đáp án C
Câu Giải bất phương trình log2(3x − 2) > log2(6 − 5x) tập nghiệm (a; b) Hãy tính tổng S = a + b
A S =
3 B S =
28
15 C S =
11
5 D S =
31
Lời giải
Điều kiện: (
6 − 5x >
3x − > ⇔
x <
x >
⇔
3 < x <
log2(3x − 2) > log2(6 − 5x) ⇔ 3x − > − 5x ⇔ x >
Kết hợp điều kiện ta có tập nghiệm bất phương trình < x < ⇒
a =
b = Vậy S = a + b = +
5 = 11
(95)Chọn đáp án C
Câu Có giá trị nguyên tham số m ∈ [−10; 10] để bất phương trình
Ä
6 + 2√7äx+ (2 − m)Ä3 −√7äx− (m + 1)2x ≥ 0 nghiệm ∀x ∈ R?
A 10 B C 12 D 11
Lời giải
Chia vế bất phương trình cho 2x > ta được Ä
3 +√7äx+ (2 − m) Ç
3 −√7
åx
− (m + 1) ≥
Nhận thấy Ä3 +√7äx· Ç
3 −√7
åx
= 1, đặt t =Ä3 +√7äx(t > 0) ⇒ Ç
3 −√7
åx =
t Phương trình trở thành
t + (2 − m)1
t − (m + 1) ≥ ⇔ t
2 − (m + 1)t + − m ≥ 0 ⇔ t2 − t + ≥ m(t + 1) ⇔ m ≤ t
2− t + 2 t +
Xét hàm số f (t) = t
2− t + 2
t + (0; +∞)
Ta có f0(t) = (2t − 1) (t + 1) − t
2+ t − 2 (t + 1)2 =
t2+ 2t − 3 (t + 1)2 ; f
0(t) = ⇔ "
t =
t = −3 Bảng biến thiên
t
f0(t)
f (t)
0 +∞
− +
2
1
+∞ +∞
Từ bảng biến thiên ta có m ≤
Kết hợp điều kiện đề có 12 giá trị m thỏa mãn yêu cầu toán
Chọn đáp án C
Câu Có tất giá trị nguyên tham số m thuộc khoảng (1; 20) để ∀x ∈ Å
3; ã
đều
là nghiệm bất phương trình logmx > logxm?
A 18 B 16 C 17 D
Lời giải
ĐK < x 6= BPT ⇔ logmx > logmx ⇔
(logmx)2−
logmx > (∗)
Do x ∈Å 3;
ã
⇒ logmx < Do (∗) ⇔ −1 < logmx < ⇔
m < x < m
Để x ∈Å 3;
ã
đều nghiệm BPT m ≤
1
3 < ≤ m ⇔ m ≥ ⇒ m ∈ {3; 4; ; 19}
(96)Câu Bất phương trình · 4x− 13 · 6x+ · 9x > có tập nghiệm là?
A S = (−∞; −2) ∪ (1; +∞) B S = (−∞; −1) ∪ (1; +∞)
C S = (−∞; −2] ∪ [2; +∞) D S = (−∞; −1) ∪ (1; +∞)
Lời giải
Chia hai vế bất phương trình cho 9x ta ·Å
ã2x
− 13 ·Å
ãx
+ >
Đặt Å
ãx
= t (t > 0) Ta bất phương trình 6t2− 13t + > ⇔
t <
t >
Suy
Å
ãx <
3 Å
3 ãx
>
⇔ "
x >
x < −1
Vậy tập nghiệm bất phương trình S = (−∞; −1) ∪ (1; +∞)
Chọn đáp án B
Câu Có giá trị nguyên tham số m để bất phương trình log (2x2+ 3) < log (x2+ mx + 1) có tập nghiệm R
A Vơ số B C D
Lời giải
Phương pháp: Tìm điều kiện xác định bất phương trình Giải bất phương trình logarit: log f (x) <
log g(x) ⇔ < f (x) < g(x)
Cách giải:
log 2x2+ 3 < log x2+ mx + 1 , ∀x ∈ R
⇔ < 2x2+ < x2 + mx + ⇔ x2− mx + < 0, ∀ x ∈ R
⇔ (
a = <
∆ = m2− < vô nghiệm
Vậy khơng có giá trị m thỏa mãn yêu cầu toán
Chọn đáp án D
Câu Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên hình Tìm tất giá trị m để
phương trình f (4x − x2) = log2m có nghiệm thực phân biệt x
y0
y
−∞ +∞
− + −
+∞ +∞
−1 −1
3
−∞ −∞
A m ∈ (0; 8) B m ∈Å
2;
ã
C m ∈ (−1; 3) D m ∈ Å
0;1
ã
(97)Dựa vào bảng biến thiên hàm số y = f (x), suy
f0(4x − x2) = ⇔ "
4x − x2 = 4x − x2 = ⇔
x =
x =
x = (bội hai)
f0(4x − x2) > ⇔ < 4x − x2 < ⇔ (
0 < x <
x 6=
Đặt g(x) = f (4x − x2), suy g0(x) = (4 − 2x) · f0(4x − x2) Lập bảng biến thiên hàm số g(x) sau
x
4 − 2x
f0(4x − x2) g0(x)
g(x)
−∞ +∞
+ + − −
− + + −
− + − +
+∞ +∞
g(0) g(0)
g(2) g(2)
g(4) g(4)
+∞ +∞
Dựa vào bảng biến thiên hàm số g(x), suy phương trình f (4x − x2) = log
2m có nghiệm thực phân biệt max{g(0); g(4)} < log2m < g(2)
Ta có g(0) = f (0) = −1, g(4) = f (0) = −1 g(2) = f (4) =
Vậy −1 < log2m < ⇔
2 < m <
Chọn đáp án B
Câu Số nghiệm phương trình log4x2+ log
8(x − 6)
= log√
√ 7:
A B C D
Lời giải
ĐK: x >
Ta có log4x2+ log8(x − 6)3 = log√
√
7 ⇔ log2x + log2(x − 6) = log27 ⇔ log2x(x − 6) = log27 ⇔ x(x − 6) = ⇔ x2− 6x − = ⇔
"
x = −1 (l)
x =
Chọn đáp án B
Câu 10 Bất phương trình (x3− 9x) ln (x + 5) ≤ có nghiệm nguyên ?
A B C D Vô số
Lời giải
Điều kiện xác định x > −5 (*)
Xét (x3− 9x) ln (x + 5) = ⇔ "
x3− 9x = ln (x + 5) =
⇔
x =
x = ±3
x = −4
(thỏa mãn điều kiện (*))
(98)x
f (x)
−5 −4 −3 +∞
+ − + − +
Khi f (x) ≤ ⇔ " − ≤ x ≤ −3 ≤ x ≤ Vì x ∈ Z ⇒ x ∈ {−4; −3; 0; 1; 2; 3}
Chọn đáp án C
Câu 11 Cho hàm số f (x) = 2x − 2−x Gọi m
0 số lớn số nguyên m thỏa mãn f (m) + f (2m − 212) < Mệnh đề sau đúng?
A m0 ∈ [1; 505] B m0 ∈ [505; 1009) C m0 ∈ [1009; 1513) D m0 ∈ [1513; 2009)
Lời giải
Ta có f (x) + f0(x) = e−x ⇔ f (x)ex + f0(x)ex = ⇔ (f (x)ex)0 = ⇔ f (x)ex = x + C Vì f (0) = ⇒ C1 = ⇒ f (x)e2x = (x + 2)ex nên R f (x)e2xdx = R (x + 2)exdx = R (x + 2)d(ex) = (x + 2)ex−R exd(x + 2) = (x + 2)ex−R exdx = (x + 2)ex− ex+ C = (x + 1)ex+ C.
Chọn đáp án D
Câu 12 Số nghiệm nguyên bất phương trình log1
2
|x − 1| < log1
x −
A B Vô số C D
Lời giải
Điều kiện < x 6=
2 log1
|x − 1| < log1
x − ⇔ −2 log2|x − 1| < − log2x −
⇔ log2(x − 1)2 > log22x ⇔ (x − 1)2 > 2x ⇔ x2− 4x + > ⇔
"
x > +√3
x < −√3
Kết hợp với điều kiện ta "
0 < x < −√3
x > +√3 Do x ∈ Z nên x ∈ {4; 5; · · · } Vậy bất phương trình có vơ số nghiệm
Chọn đáp án B
Câu 13 Tập hợp tất số thực x khơng thỏa mãn bất phương trình 9x2−4+ (x2− 4) · 2019x−2 ≥ 1 khoảng (a; b) Tính b − a
A B C −5 D −1
Lời giải
• Trường hợp x2− < ta có 9x2−4
+ (x2− 4) · 2019x−2 < 90 + · 2019x−2 = 1. • Trường hợp x2− ≥ ta có 9x2−4+ (x2− 4) · 2019x−2 ≥ 90+ · 2019x−2 = 1.
Vậy tập hợp giá trị x khơng thỏa mãn bất phương trình x ∈ (−2; 2) ⇒ a = −2, b = ⇒
b − a =
(99)Câu 14 Cho hàm số y = f (x) Hàm số y = f0(x) có bảng biến thiên sau
x
f0(x)
−∞ −3 +∞
+∞ +∞
−3 −3
0
−∞ −∞
Bất phương trình f (x) < ex+ m với x ∈ (−1; 1) A m ≥ f (1) − e B m > f (−1) −1
e C m ≥ f (−1) −
1
e D m > f (1) − e Lời giải
f (x) < ex+ m ⇔ f (x) − ex< m. Xét h (x) = f (x) − ex, ∀x ∈ (−1; 1).
h0(x) = f0(x) − ex < 0, ∀x ∈ (−1; 1) (Vì f0(x) < 0, ∀x ∈ (−1; 1) ex > 0, ∀x ∈ (−1; 1)). ⇒ h (x) nghịch biến (−1; 1) ⇒ h (−1) > h (x) > h (1) , ∀x ∈ (−1; 1)
Bất phương trình f (x) < ex+ m với x ∈ (−1; 1) ⇔ m ≥ h (−1) ⇔ m ≥ f (−1) − e
Chọn đáp án C
Câu 15 Tất giá trị m để bất phương trình (3m + 1) 18x+ (2 − m) 6x+ 2x < có nghiệm ∀x > là:
A (−∞; 2) B Å
−2; −1
ã
C
Å
−∞; −1
ã
D (−∞; −2]
Lời giải
(3m + 1) 18x+ (2 − m) 6x+ 2x < 0
Chia vế cho 2x > 0, ta được: (3m + 1) 9x+ (2 − m) 3x+ < 0 Đặt t = 3x, có x > ⇒ t > 1
BPT ⇔ (3m + 1)t2+ (2 − m)t + < ⇔ m(3t2− t) + t2 + 2t + < ⇔ m < −t
2+ 2t + 1 3t2− t Xét f (t) = −t
2+ 2t + 1
3t2− t [1; ∞) Có f0(t) = 7t
2+ 6t − 1
(3t2− t)2 > ∀t > ⇒ y = f (t) đồng biến [1; ∞) ⇒
[1;+∞)f (t) = f (1) = −2 Vậy m ≤ −2
Chọn đáp án D
Câu 16 Tìm tập nghiệm bất phương trình log2018x ≤ logx2018
A S = (0; 2018] B S =
ï 1
2018; 2018 ò
C S = Å
0;
2018 ò
∪ (1; 2018] D S =
Å
−∞; 2018
ò
∪ (1; 2018]
Lời giải
(100)Phương trình cho tương đương với log2018x ≤ log2018x ⇔ (log2018x)
2 − 1
log2018x ≤ ⇔ "
0 < log2018x ≤ log2018x ≤ −1
⇔
1 < x ≤ 2018
0 < x ≤ 2018
Chọn đáp án C
Câu 17 Tất giá trị tham số m để bất phương trình
Ä√
10 + 1äx− mÄ√10 − 1äx > 3x+1 nghiệm với x ∈ R
A m < −7
4 B m < −
9
4 C m < −2 D m < −
11
Lời giải
Xét bất phương trình Ä√10 + 1äx− mÄ√10 − 1äx> 3x+1 (1) Ta có (1) ⇔
Ç √ 10 +
3 åx
− m Ç √
10 −
åx >
Nhận thấy √
10 + ·
√ 10 −
3 = ⇒ √
10 − =
Ç √ 10 +
3
å−1
Do (1) ⇔ Ç √
10 +
åx − m
Ç √ 10 +
3
å−x >
Đặt t = Ç √
10 +
åx
, t > Khi (1) trở thành: t − m
t > ⇔ t
2− 3t > m. (2) Ta có (1) nghiệm với x ∈ R (2) nghiệm với t >
Đặt f (t) = t2− 3t ⇒ f0(t) = 2t − 3; f0(t) = ⇔ t = Ta có bảng biến thiên:
t
f0(t)
f (t)
0
2 +∞
− +
0
−9 −9
+∞ +∞
Từ bảng biến thiên ta có m < −9
Chọn đáp án B
Câu 18 Tìm tập nghiệm S bất phương trình logx+1(−2x) >
A S = (−1, 0) B S = (−∞, 0)
C S = Ä√3 − 2, 0ä D S =Ä√3 − 2, +∞ä
Lời giải
Điều kiện
x + >
x + 6=
− 2x >
⇔ −1 < x <
(101)Khi logx+1(−2x) > ⇔ −2x < (x + 1)2 ⇔ x2+ 4x + > ⇔ "
x < −2 −√3
x > −2 +√3
Kết hợp điều kiện, suy S = Ä√3 − 2, 0ä
Chọn đáp án C
Câu 19 Giải bất phương trình sau log1
5(3x − 5) > log
5(x + 1)
A
3 < x < B −1 < x < C −1 < x <
5
3 D x >
Lời giải
Bất phương trình cho tương đương với bất phương trình < 3x − < x + ⇔
3 < x <
Chọn đáp án A
Câu 20 Tìm tất giá trị tham số m để bất phương trình 4x+1 − m(2x+ 1) > có nghiệm
với ∀x ∈ R
A m ∈ (−∞; 0] B m ∈ (−∞; 0)
C m ∈ (−∞; 1) D m ∈ (−∞; 0) ∪ (1; +∞)
Lời giải
Biến đổi bất phương trình cho dạng m < · x 2x+ 1 Xét hàm số y = f (t) với t > 0, ta có
Đạo hàm: f0(t) = · t 2+ 2t
(t + 1)2 = ⇔ t = 0; t = −2 Mặt khác, limt→0f (t) = Bảng biến thiên t
f0(t)
f (t)
0 +∞
0 +
0
+∞ +∞
Từ bảng biến thiên, ta thu m ≤
Chọn đáp án A
Câu 21 Chị Hoa mua nhà trị giá 300.000.000 đồng tiền vay ngân hàng theo phương thức trả
góp với lãi suất 0, 5%/tháng Nếu cuối tháng tháng thứ chị Hoa trả 5.500.000
đồng/tháng Hỏi sau thời gian tháng chị Hoa trả hết số tiền trên?
A 64 tháng B 63 tháng C 62 tháng D 65 tháng
Lời giải
Gọi A số tiền vay; a số tiền góp hàng tháng; n số tháng phải góp; r lãi suất ngân hàng (%)
Ta có a = Ar(1 + r) n (1 + r)n− 1 Để trả hết nợ a [(1 + r)
n− 1]
r(1 + r)n ≥ 300 (triệu) ⇒ n ≥ log1+r a
a − Ar ≈ 63.85 Vậy sau 64 tháng chị Hoa trả hết nợ
(102)Câu 22 Tìm m để bất phương trình log2x + log x + m ≥ nghiệm với x thuộc tập xác định
A m ≥
4 B m ≤
9
4 C m <
4 D m > −
Lời giải
Điều kiện: x > Đặt t = log x, t ∈ R Bất phương trình trở thành t2+ 3t + m ≥ 0 ⇔ m ≥ −t2− 3t (2).
Bất phương trình cho có nghiệm với x thuộc tập
xác định ⇔ (2) có nghiệm với t ∈ R Xét f (t) = −t2− 3t với t ∈ R.
Ta có: f (t)0 = −2t − 3; f0(t) = ⇔ t = −3 Từ bảng biến thiên suy m ≥
4
t
f0(t)
f (t)
−∞ −3
2 +∞
+ −
−∞ −∞
9
+∞ +∞
Chọn đáp án A
Câu 23 Gọi S tập hợp tất nghiệm nguyên bất phương trìnhÅ
3 ã
√
x2−3x−10
> 32−x Tìm số phần tử S
A 11 B C D
Lời giải
Å
ã √
x2−3x−10
> 32−x ⇔ √x2− 3x − 10 < x − 2
⇔
x − >
x2− 3x − 10 ≥
x2− 3x − 10 < (x − 2)2
⇔
x >
"
x ≥
x ≤ −2
x < 14 ⇔ ≤ x < 14
⇒ x ∈ {5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13}
Chọn đáp án C
Câu 24 Một người sử dụng xe máy có giá trị ban đầu 40 triệu đồng Sau năm, giá trị xe giảm
10% so với năm trước Hỏi sau năm giá trị xe nhỏ 12 triệu đồng?
A B 10 C 11 D 12
Lời giải
Giá trị xe sau năm thứ là:
40 − 40 ·
(103)40 − 40 · 10−
Å
40 − 40 · 10
ã 1
10 = Å
40 − 40 · 10
ã Å −
10 ã
triệu đồng
Giá trị xe sau năm thứ ba là: Å
40 − 40 · 10
ã Å −
10 ã
− Å
40 − 40 · 10
ã Å −
10 ã 1
10 = Å
40 − 40 · 10
ã Å −
10 ã2
Suy giá xe sau năm thứ n là: Å
40 − 40 · 10
ã Å −
10 ãn−1
Å
40 − 40 · 10
ã Å −
10 ãn−1
< 12 ⇔ 36 ·Å 10
ãn−1
< 12 ⇔Å 10
ãn−1 <
3 ⇔ n − > log109 ⇔ n > − log9
10 > 11,4
Vậy sau 12 năm giá xe nhỏ 12 triệu đồng
Chọn đáp án D
Câu 25 Gọi S tập hợp tất giá trị tham số m để bất phương trình log1
3
(x2− 3x + m) < log1
3
(x − 1) có tập nghiệm chứa khoảng (1; +∞) Tìm tập S
A S = (3; +∞) B S = [2; +∞) C S = (−∞; 0) D S = (−∞; 1]
Lời giải
Ta có
log1
(x2− 3x + m) < log1
(x − 1)
⇔ (
x >
x2− 3x + m > x −
Xét x2− 3x + m > x − ⇔ m > −x2+ 4x − ⇔ m > −(x − 2)2+ Đặt f (x) = −(x − 2)2+ Ta có bảng biến thiên sau:
x
f (x)
1 +∞
2
3
−∞ −∞
Yêu cầu toán ⇔ m > max
(1;+∞)f (x) ⇔ m >
Chọn đáp án A
Câu 26 Bất phương trình log4(x + 7) > log2(x + 1) có nghiệm nguyên?
A B C D
Lời giải
Điều kiện xác định x > −1
log4(x + 7) > log2(x + 1) ⇔ log2√x + > log2(x + 1) ⇔√x + > x + ⇔ −3 < x < Kết hợp với điều kiện, suy −1 < x <
(104)Câu 27 Bất phương trình ln (2x2+ 3) > ln (x2+ ax + 1) nghiệm với số thực x A −2√2 < a < 2√2 B < a < 2√2 C < a < D −2 < a <
Lời giải
ln (2x2 + 3) > ln (x2+ ax + 1) nghiệm với số thực x ⇔
(
x2+ ax + >
2x2+ > x2 + ax + 1∀x ∈ R ⇔
(
x2+ ax + >
x2− ax + > 0∀x ∈ R ⇔ (
a2− <
a2− < ⇔ −2 < a <
Chọn đáp án D
Câu 28 Biết bất phương trình log2(5x + 2) + log
5x+22 > có tập nghiệm S = (logab; +∞), với a, b số nguyên dương nhỏ a 6= Tính P = 2a + 3b
A P = 16 B P = C P = 11 D P = 18
Lời giải
Ta có
log2(5x+ 2) + log5x+22 > ⇔ log2(5x+ 2) +
log2(5x+ 2) > ⇔ log2
2(5
x+ 2) − log 2(5
x+ 2) + > 0
⇔ "
log2(5x+ 2) < log2(5x+ 2) >
⇔ "
5x+ < 5x+ > ⇔5x > ⇔x > log52
Kết hợp với điều kiện a, b số nguyên dương nhỏ nên ta tìm a = 5, b =
Và đó, P = 16
Chọn đáp án A
Câu 29 Bất phương trình 2x+2+ · 2−x− 33 < có nghiệm nguyên?
A Vô số B C D
Lời giải
Ta có
2x+2+ 8.2−x− 33 < ⇔ · 22x− 33 · 2x+ < 0 ⇔
4 <
x < ⇔ −2 < x < 3.
Suy bất phương trình có nghiệm ngun S = {−1, 0, 1, 2}
(105)Câu 30 Tập nghiệm bất phương trình log2(x + 3) − ≤ log2(x + 7)3− log2(2 − x)3 S = (a; b) Tính P = b − a
A B C D
Lời giải
Điều kiện xác định −3 < x <
Khi bất phương trình tương đương với
log2((x + 3)(2 − x)) ≤ log2(2(x + 7))
⇔x2+ 3x + ≥ ( với x thuộc tập xác định). Vậy tập nghiệm bất phương trình S = (−3; 2) Do P = b − a =
Chọn đáp án A
Câu 31 Bất phương trình log4(x + 7) > log2(x + 1) có tập nghiệm
A (−1; 2) B (2; 4) C (−3; 2) D (5; +∞)
Lời giải
Điều kiện: x > −1
BPT tương đương với
log4(x + 7) > log4(x + 1)2 ⇔ x + > (x + 1)2 ⇔ x2+ x − < ⇔ −3 < x < 2. Kết hợp điều kiện có tập nghiệm (−1; 2)
Chọn đáp án A
Câu 32 Cho dãy số (un) thỏa mãn log u1+ √
3 log u9− log u1+ = log u9 un+1 = 3un với n ≥ Giá trị nhỏ n để un> 10050
A 230 B 248 C 247 D 231
Lời giải
Điều kiện (
u1 >
3 log u9− log u1+ ≥
2 log u1+ √
3 log u9− log u1+ = log u9 ⇔ √
3 log u9− log u1+ = log u9− log u1 ⇔√3 log u9− log u1+ = ⇔ log u9− log u1− =
(un) cấp số nhân với công bội q = ⇒ u9 = 38u1
3 log u9− log u1− = ⇔ log(38u1) − log u1− = ⇔ log u1 = − log 324 ⇔ u1 = 102· 3−24 Số hạng tổng quát (un) un= 100 · 3n−25 (n ∈ N∗)
un > 10050⇔ n − 25 > 49 · log3100 ⇒ n > 230,
Vậy giá trị nhỏ n thỏa mãn yêu cầu toán n = 231
Chọn đáp án D
Câu 33 Có tất cặp số thực (x; y) thỏa mãn đồng thời điều kiện 3|x2−2x−3|−log35 = 5−(y+4) 4|y| − |y − 1| + (y + 3)2 ≤ 8.
A B C D
Lời giải
Ta có 5−(y+4)= 3|x2−2x−3|−log35 ≥ 3− log35 ⇒ 5−(y+4) ≥ 5−1 ⇒ −(y + 4) ≥ −1 ⇒ y ≤ −3 Dấu "=" xảy |x2− 2x − 3| = ⇔
"
x = −1
(106)Khi 4|y| − |y − 1| + (y + 3)2 ≤ ⇔ −4y − (1 − y) + y2+ 6y + ≤ ⇔ y2+ 3y ≤ ⇔ −3 ≤ y ≤ 0. Kết hợp với điều kiện y ≤ −3 ta suy y = −3
Với y = −3, ta có "
x = −1
x =
Vậy có hai cặp số thực thỏa mãn yêu cầu toán (
x = −1
y = −3 (
x =
y = −3
Chọn đáp án B
Câu 34 Có số nguyên m cho bất phương trình ln + ln(x2+ 1) ≥ ln(mx2 + 4x + m)
có tập nghiệm R
A B C D
Lời giải
Ta có
ln + ln(x2+ 1) ≥ ln(mx2+ 4x + m) ⇔ (
5(x2+ 1) ≥ mx2+ 4x + m mx2+ 4x + m >
⇔ (
(5 − m)x2− 4x + − m ≥ (1) mx2+ 4x + m > (2)
Bất phương trình có tập nghiệm R ⇔ (1), (2) có tập nghiệm R • Với m = 5, (1) ⇔ −4x ≥ ⇔ x ≤ ⇒ m = khơng thỏa mãn • Với m = 0, (2) ⇔ 4x > ⇔ x > ⇒ m = khơng thỏa mãn • Với m 6= 0, 5, ta có (1), (2) có tập nghiệm R
⇔
5 − m >
∆01 ≤ m >
∆02 < ⇔
0 < m <
4 − (5 − m)2 ≤ − m2 <
⇔
0 < m <
m ∈ (−∞; 3] ∪ [7; +∞)
m ∈ (−∞; −2) ∪ (2; +∞)
⇔ m ∈ (2; 3]
Vậy có số nguyên m thỏa mãn
Chọn đáp án C
Câu 35 Tìm tập xác định D hàm số y = qlog√π
13
(2x − 1)
A D = (1; +∞) B D = [1; +∞) C D =Å 2;
ã
D D = Å
2;
ò
Lời giải
Điều kiện
log√π 13
(2x − 1) ≥
⇔ < 2x − ≤ ⇔
2 < x ≤
Vậy D = Å 2;
ò
(107)Câu 36 Cho dãy số (un) thỏa mãn log3u1 − log2u1+ log u1− = un+1 = 2un+ 10 (với n ∈ N∗) Giá trị nhỏ n để un> 10100− 10
A 326 B 327 C 325 D 324
Lời giải
Điều kiện u1 > Vì
( u1 >
un+1= 2un+ 10
⇒ un> 10 với n ∈ N∗ ⇒ log u1 >
Ta có log3u1− log2u1+ log u1− = ⇔
log u1 = (loại) log u1 = −
√
3 (loại)
log u1 = + √
3 (thỏa mãn)
⇒ u1 = 10 · 10 √
3.
Ta có
u2 = · 10 · 10 √
3+ 10 = 10(21· 10√3+ 20) u3 = · 10 · (21· 10
√
3+ 20) + 10 = 10(22· 10√3+ 21)
⇒un= 10(2n−1· 10 √
3+ 2n−2)
Vì un > 10100− 10 ⇒ 10(2n−1· 10 √
3+ 2n−2) > 10100− 10 ⇒ 2n−2 > 10 99− 1 · 10
√
3+ 1 ⇒ n > 324,2
Chọn đáp án C
Câu 37 Tìm số nghiệm nguyên bất phương trình log2x + log3x ≥ + log2x · log3x
A B C D Vô số
Lời giải
Điều kiện x >
Ta có
log2x + log3x ≥ + log2x · log3x ⇔ (log2x − 1) (log3x − 1) ≤ ⇔
(
log2x ≤
log3x ≥ (1) (
log2x ≥
log3x ≤ (2) Khi đó,
(1) ⇔ (
0 < x ≤
x ≥
(vô nghiệm)
(2) ⇔ (
x ≥
0 < x ≤
⇔ ≤ x ≤
Vậy bất phương trình có hai nghiệm ngun x = 2, x =
Chọn đáp án B
Câu 38 Cho dãy số un= · 1! + · 2! + · · · + n · n! Số n lớn để log un
2018! nhận giá trị âm
A 2016 B 2017 C 2019 D 2018
(108)Với số nguyên dương k ta có
k · k! = (k + − 1) · k! = (k + 1) · k! − k! = (k + 1)! − k!
Áp dụng kết ta có
un = · 1! + · 2! + · · · + n · n!
= (2! − 1!) + (3! − 2!) + · · · + [(n + 1)! − n!]
= (n + 1)! − 1! = (n + 1)! −
Ta có
log un
2018! < ⇔ < un
2018! < ⇔ < un < 2018! ⇔ < (n + 1)! − < 2018! ⇔ < (n + 1)! < 2018! + ⇔ n ∈ {1; 2; ; 2017}
Vậy số n lớn để log un
2018! nhận giá trị âm 2017
Chọn đáp án B
Câu 39 Có giá trị nguyên tham số m ∈ [0; 10] để tập nghiệm bất phương trình
»
log22x + log1 x
2− < m (log
4x2− 7) chứa khoảng (256; +∞)?
A B 10 C D
Lời giải
Xét (256; +∞), bất phương trình tương đương
»
log22x − log2x − < m (log2x − 7) (1) Đặt t = log2x với x > 256 ⇒ t = log2x >
(1) ⇔√t2− 6t − < m(t − 7) ⇔»(t + 1)(t − 7) < m(t − 7)
⇔√t + < m√t −
⇔… t +
t − < m (∗)(do t − > > 0)
Bất phương trình cho có tập nghiệm chứa (256; +∞) (*) nghiệm với t >
Ta có ∀t > t +
t − = +
t − ⇒ < t +
t − < +
8 − = ⇒ <
… t + t − <
Từ tìm điều kiện tham số m m ≥ Vậy có giá trị ngun cần tìm 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
Chọn đáp án C
Câu 40 Tập nghiệm bất phương trình log1
2 Å
log2 3x − x +
ã
≤
A (−1; 3] B (−1; +∞)
C [3; +∞) D (−1; +∞) ∪ [3; +∞)
Lời giải
log1
Å
log2 3x − x +
ã
≤ ⇔ 3x −
x + ≥ ⇔ x −
x + ≥ ⇔ x ∈ (−1; +∞) ∪ [3; +∞)
(109)Câu 41 Cho logb(a + 1) > Khẳng định sau đúng?
A (b − 1)a > B a + b < C a + b > D a(b + 1) >
Lời giải
Ta có logb(a + 1) > ⇔
0 < b 6=
a + >
(a + − 1)(b − 1) > ⇔
b >
a > −1
a(b − 1) >
Chọn đáp án A
Câu 42 Tìm tất giá trị tham số m để bất phương trình (3m + 1)12x+ (2 − m)6x+ 3x 6 0
có nghiệm với ∀x >
A m < −2 B m > −2 C m6 −2. D m> −2.
Lời giải
Bất phương trình tương đương
(3m + 1)12x+ (2 − m)6x+ 3x6 0, ∀x > 0 ⇔ (3m + 1)4x+ (2 − m)2x
+ ∀x > ⇔ (3m + 1)t2
+ (2 − m)t + 0, t = 2x > ⇔ m ≤ −t
2− 2t − 1
3t2− t , t >
Xét hàm số f (t) = −t
2− 2t − 1
3t2− t , với t > Ta có f0(t) = 7t
2+ 6t − 1
t2(3t − 1)2 = ⇔
t = −1
t =
Ta loại hai nghiệm
Mặt khác, lim
t→1+f (t) = −2 Bảng biến thiên
t f0(t)
f (t)
1 +∞
0 +
−2 −2
+∞ +∞
Từ bảng biến thiên suy m ≤ −2
Chọn đáp án C
Câu 43 Xét bất phương trình log222x − 2(m + 1) log2x − < Tìm tất giá trị tham số m để bất phương trình có nghiệm thuộc khoảng Ä√2; +∞ä
A m ∈ (−∞; 0) B m ∈ Å
−3 4;
ã
C m ∈
Å
−3
4; +∞
ã
D m ∈ (0; +∞)
Lời giải
Đặt t = log2x, x ∈Ä√2; +∞ä ⇒ t >
Khi ta cần tìm tham số m để bất phương trình t 2− 1
2t < m có nghiệm ï
2; +∞ ã
(110)Suy
x∈D f (t) < m Với f (t) = t2−
2t = 2t −
1 2t ⇒ f
0(t) = +
1 2t2 > Suy m >
x∈D f (t) = f Å
2 ã
= −3
Chọn đáp án C
Câu 44 Cho bất phương trình 2x2+x+ 2x ≤ 23−x− x2 + có tập nghiệm [a; b] , a < b Giá trị của T = 2a + b
A T = B T = −5 C T = D T = −2
Lời giải
Tập xác định D = R Ta có 2x2+x+ 2x ≤ 23−x− x2+ ⇔ 2x2+x
+ x2+ x ≤ 23−x+ − x (1) Xét hàm số f (t) = 2t+ t, f0(t) = 2t· ln + > 0, ∀t ∈D.
Do (1) ⇔ x2+ x ≤ − x ⇔ −3 ≤ x ≤ ⇒ a = −3, b = ⇒ T = −5.
Chọn đáp án B
Câu 45 Tập nghiệm bất phương trình log1
3
(x2− 6x + 5) + log
3(x − 1) ≥
A S = (5; 6] B S = [1; 6] C S = (5; +∞) D S = (1; +∞)
Lời giải
Điều kiện bất phương trình (
x − >
x2− 6x + > ⇔
x >
" x <
x >
⇔ x >
Với x > 5, ta có:
log1
(x2 − 6x + 5) + log
3(x − 1) ≥ ⇔ − log3(x2− 6x + 5) + log3(x − 1) ≥ ⇔ log x −
x2− 6x − 5 ≥ ⇔
x −
(x − 1)(x − 5) ≥ ⇔
x − ≥ ⇔ x − ≤ ⇔ x ≤
Kết hợp với điều kiện, suy nghiệm bất phương trình (
x >
x ≤ ⇔ < x ≤ Vậy tập nghiệm bất phương trình cho S = (5; 6]
Chọn đáp án A
Câu 46 Nghiệm nguyên lớn bất phương trình log42x − log21
Å x3
ã
+ log2 32
x2 < log 2−1x
A x = B x = C x = D x =
Lời giải
(111)log42x − log21
Å x3
ã
+ log2 x322 < log 2−1x ⇔ log4
2x − log2x
3− log 28
2
+ log232 − log2x2 < log2 2x ⇔ log42x − (3 log2x − 3)2+ (5 − log2x) − log22x < ⇔ log42x − 13 log22x + 36 <
⇔ (t2− 9)(t2− 4) < 0( với t = log 2x) ⇔" − < t < −2
2 < t <
⇔" − < log2x < −2 < log2x <
⇔
8 < x < 4 < x <
Vậy nghiệm nguyên lớn bất phương trình cho x =
Chọn đáp án A
Câu 47 Bất phương trình logx(log3(9x− 72)) ≤ có tập nghiệm là
A S = (1; 2] B S =Älog3√72; 2ó C S =Älog3√73; 2ó D S = (−∞; 2]
Lời giải
Điều kiện bất phương trình cho (
9x− 72 >
log3(9x− 72) > ⇔ (
9x− 72 > 9x− 72 > ⇔
(
9x > 72
9x > 73 ⇔ x > log3√73 (∗) Khi đó, ta có
logx(log3(9x− 72)) ≤ ⇔ log3(9x− 72) ≤ x ⇔ 32x− 72 ≤ 3x ⇔ 32x− 3x− 72 ≤ 0
⇔ −8 ≤ 3x ≤ ⇔ x ≤
Kết hợp với điều kiện (∗), suy nghiệm bất phương trình log3√73 < x ≤ Vậy tập nghiệm bất phương trình S = Älog3√73; 2ó
Chọn đáp án C
Câu 48 Tìm tập hợp tất giá trị thực tham số m để bất phương trình log4(x2− x − m) ≥
log2(x + 2) có nghiệm
A (−∞; 6] B (−∞; 6) C (−2; +∞) D [−2; +∞)
Lời giải
Ta có
log4(x2− x − m) ≥ log2(x + 2) ⇔
2log4(x
2− x − m) ≥ log
2(x + 2) ⇔
(
x + >
x2− x − m ≥ (x + 2)2 ⇔ (
x > −2
m ≤ −5x −
(112)x
f0(x)
f (x)
−2 +∞
−
6
−∞ −∞
Dựa vào bảng biến thiên ta có m <
Chọn đáp án B
Câu 49 Tìm số nghiệm nguyên bất phương trình √25 − x2(log
2(x2− 4x + 5) − 1) ≤
A B C D
Lời giải
Điều kiện: x ∈ [−5; 5]
Trường hợp 1: 25 − x2 = ⇔ x = ±5 nghiệm bất phương trình.
Trường hợp 2: Với x ∈ (−5; 5) thì√25 − x2 > Khi bất phương trình tương đương log
2(x2− 4x + 5)− ≤ ⇔ log2(x2− 4x + 5) ≤ ⇔ x2− 4x + ≤ ⇔ x2− 4x + ≤ 0.
⇔ ≤ x ≤ Vì x ∈ Z nên x ∈ {1; 2; 3}
Vậy bất phương trình cho có nghiệm nguyên
Chọn đáp án B
Câu 50 Gọi S tập hợp số nguyên dương tham số m cho bất phương trình
4x− m · 2x− m + 15 ≥ có nghiệm với x ∈ [1; 2] Tính số phần tử S.
A B C D
Lời giải
Đặt t = 2x để ≤ x ≤ suy ≤ t ≤ Bài toán trở thành tìm m để bất phương trình t2− mt − m + 15 ≥ (∗) ∀t ∈ [2; 4]
Xét t ∈ [2; 4] ta có
t2− mt − m + 15 ≥ ⇔ t2+ 15 ≥ m (t + 1) ⇔ t + 15
t + ≥ m
Mà t 2+ 15 t + =
(t + 1)2− (t + 1) + 16
t + = t + + 16
t + 1− Do t + > nên theo bất đẳng thức AM -GM ta có
t + + 16 t + ≥
(t + 1) · 16
(t + 1) ⇔ (t + 1) + 16
t + ≥ ⇔ t + + 16
t + − ≥
Dấu đẳng thức xảy t + = 16
t + ⇔ (t + 1)
= 16 ⇔ t + = ⇔ t =
Suy t∈[2;4]
Å t2+ 15 t +
ã
= Để (∗) với t ∈ [2; 4] m ≤
Tập hợp S = {1,2,3,4,5,6}
(113)Câu 51 Tập hợp giá trị m để bất phương trình √2x+ +√6 − 2x ≥ m có nghiệm là A 2√2 ≤ m ≤ B ≤ m ≤ 2√2 C m ≥ D m ≤
Lời giải
Đặt 2x = t Vì − 2x ≥ nên ta có điều kiện < t ≤ Xét hàm số f (t) =√t + +√6 − t (0; 6]. Ta có: f0(t) =
2√t + − 2√6 − t; f
0(t) = ⇔ t = 2. Xét bảng biến thiên
t
f0(t)
f (t)
0
+ −
√
2 +√6 √
2 +√6
4
2√2 2√2
Ta thấy f (t) ≤ với t ∈ (0; 6] Do để bất phương trình cho có nghiệm m ≤
Chọn đáp án D
Câu 52 Do có nhiều cố gắng học kỳ năm học lớp 12, Hoa bố mẹ cho chọn phần
thưởng triệu đồng Nhưng Hoa muốn mua Laptop 10 triệu đồng nên bố mẹ cho Hoa
5 triệu đồng gửi vào ngân hàng (vào ngày tháng năm 2018) với lãi suất 1% tháng, đồng thời
ngày tháng (bắt đầu từ ngày tháng năm 2018) bố mẹ cho Hoa 300000 đồng gửi tiền vào ngân hàng với lãi suất 1% tháng Biết hàng tháng Hoa không rút lãi tiền
lãi cộng vào vốn cho tháng sau, rút vốn vào cuối tháng tính lãi tháng Hỏi
ngày gần với ngày tháng năm 2018 mà bạn Hoa có đủ
tiền để mua Laptop?
A Ngày 15.3.2019 B Ngày 15.5.2019 C Ngày 15.4.2019 D Ngày 15.6.2019
Lời giải
Đặt A = 5000000, r = 1%, B = 300000
Số tiền Hoa nhận vào cuối tháng thứ n
A(1 + r)n+1+B
r [(1 + r)
n− 1] (1 + r).
Với yêu cầu toán
A(1 + r)n+1+B
r [(1 + r)
n− 1] (1 + r) > 107 ⇔ · 106· (1,01)n+1+ 303 · 105[1,01n− 1] > 107 ⇔ 3535 · 104· 1,01n > 403 · 105
⇔ 1,01n> 806 707 ⇔ n > 13,1
Vậy sau 13 tháng hay năm tháng Hoa có đủ số tiền
(114)Câu 53 Tìm tất giá trị tham số m để bất phương trình m · 4x2−2x−1− (1 − 2m) · 10x2−2x−1 +
m · 25x2−2x−1≤ nghiệm với x ∈ï 2;
ò
A m < B m ≥ 100
841 C m ≤
4 D m ≤
100
841
Lời giải
m · 4x2−2x−1− (1 − 2m) · 10x2−2x−1
+ m · 25x2−2x−1≤ ⇔ m − (1 − 2m) ·Å
2
ãx2−2x−1
+ m ·Å
ã2(x2−2x−1)
≤ (1)
Đặt t =Å
ãx2−2x−1
, t >
Xét u(x) = x2− 2x − 1, ∀x ∈ï 2;
ò
u0(x) = 2x − 2; u0(x) = ⇔ x = uÅ
2 ã
= −7
4; u(1) = −2; u(2) = −1 ⇒ minx∈[12;2]
u(x) = −2; max x∈[12;2]
u(x) = −1
⇒
25 ≤ t ≤
Khi (1) ⇔ m − (1 − 2m)t + mt2 ≤ ⇔ m ≤ t t2+ 2t + 1 Xét hàm số f (t) = t
t2+ 2t + 1, t ∈ ï
25; ò
f0(t) = −t 2+ 1
(t2+ 2t + 1)2 > 0, ∀t ∈ ï
25; ò
⇒ x∈[254;25]
f (t) = fÅ 25
ã
= 100 841
Vậy m ≤ 100
841 bất phương trình nghiệm với x ∈ ï
2; ò
Chọn đáp án D
Câu 54 Bất phương trình 5(log5x)
+ xlog5x ≤ 10 có nghiệm nguyên?
A B C D
Lời giải
Điều kiện x > Đặt t = log5x ⇒ x = 5t, ta có
5(log5x)2 + xlog5x ≤ 10 ⇔ 5t2 + 5tt
≤ 10
⇔ 5t2 ≤
⇔ t2 ≤
⇒ − ≤ log5x ≤ ⇔
5 ≤ x ≤
⇒ x ∈1; 2; 3; 4; 5 , ( x ∈ Z)
(115)Câu 55 Hỏi có giá trị nguyên m để phương trình 9x − (m + 1)3x + 2m − = có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn (x1+ 1)(x2+ 1) ≤ 3?
A B C D
Lời giải
Ta thấy
9x− (m + 1)3x+ 2m − = (1)
⇔ "
3x = 3x = m −
Phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 ⇔ (
m >
m 6= (2)
Ta thấy
(x1+ 1) · (x2+ 1) ≤
⇒ [log3(m − 1) + 1] · (log32 + 1) ≤ ⇔ log36 · log3[3 · (m − 1)] ≤ log327 ⇔ log3[3 · (m − 1)] ≤ log627
⇒ log3[3 · (m − 1)] < ⇒ · (m − 1) <
(2) ⇒
(
1 < m <
m 6=
⇒ m =
Chọn đáp án B
Câu 56 Tìm số nghiệm nguyên bất phương trình 22x2−15x+100
−2x2+10x−50
+x2−25x+150 < 0.
A B C D
Lời giải
Bất phương trình cho tương đương với
22x2−15x+100+ 2x2− 15x + 100 < 2x2+10x−50
+ x2+ 10x − 50 (∗)
Xét hàm số f (t) = 2t+ t với t ∈ R, ta có f0(t) = 2tln + > ∀t ∈ R, f(t) đồng biến R. Mà bất phương trình (∗) tương đương với
f (2x2− 15x + 100) < f (x2+ 10x − 50) ⇔ x2− 25x + 150 <
⇔ 10 < x < 15
Vậy bất phương trình cho có nghiệm nguyên
(116)Câu 57 Tìm tập nghiệm S bất phương trình
log2 x log2x −
log2x2
log2x − ≤ A
Å 0;1
2 ò
∪Ä1;√2ó∪ (2; +∞) B Å
0;1 ị
∪Ä1;√2ó
C Å
0;1
2 ị
∪ỵ√2; +∞ä D
Å 0;1
2 ị
∪ [1; +∞)
Lời giải
Điều kiện xác định x > 0, x 6= 1, x 6=
Đặt t = log2x, ta
t − t −
2t
t − ≤ ⇔
(2t − 1)(t + 1)
t(t − 1) ≥ ⇔
t ≤ −1
0 < t ≤ t >
Do
log2x ≤ −1 < log2x ≤
2 log2x >
⇔
0 < x ≤ < x ≤√2
x >
Như S = Å
0;1 ị
∪ỵ√2; +∞ä
Chọn đáp án C
Câu 58
Cho hàm số y = f (x) Hàm số y = f0(x) có đồ thị hình bên Hàm số y = f (10 − 2x) đồng biến khoảng
A (2; 4) B (log26; 4)
C (−∞; 2) D (log211; +∞) x
y
−1
Lời giải
Ta có y0 = −2xln 2f0(10 − 2x)
Xét y0 > ⇔ −2xln 2f0(10 − 2x) > ⇔ f0(10 − 2x) < Dựa vào đồ thị ta thấy f0(10 − 2x) < khi
" − < 10 − 2x< 2 10 − 2x >
⇔" − 11 < −2
x < −8 − 2x > −6
⇔ "
log211 > x > x < log26 ' 2,6 Vậy hàm số y = f (10 − 2x) đồng biến khoảng (−∞; 2).
Chọn đáp án C
Câu 59 Tìm tất nghiệm bất phương trình log2 √3x + + 6−1 ≥ log2 −√10 − x
A ≤ x ≤ 369
49 B x ≥
369
49 C x ≤ D x ≤
369 49
(117)Điều kiện −1
3 ≤ x ≤ 10
log2Ä√3x + + 6ä− ≥ log2Ä7 −√10 − xä ⇔√3x + + ≥ 14 − 2√10 − x ⇔√3x + ≥ − 2√10 − x
⇔3x + ≥ 64 − 32√10 − x + 4(10 − x) Å
vì −1
3 ≤ x ≤ 10 ã
⇔32√10 − x ≥ 103 − 7x
⇔1024(10 − x) ≥ 10609 − 1442x + 49x2 Å
vì −
3 ≤ x ≤ 10 ã
⇔49x2− 418x + 369 ≤ ⇔1 ≤ x ≤ 369
49
Kết hợp với điều kiện −1
3 ≤ x ≤ 10 ta nghiệm bất phương trình cho ≤ x ≤ 369
49
Chọn đáp án A
Câu 60 Biết tập hợp tất giá trị tham số m để bất phương trình sau
4sin2x+ 5cos2x≤ m · 7cos2x
có nghiệm m ∈
b; +∞
với a, b số nguyên dương a
b tối giản Khi tổng S = a + b
A S = 13 B S = 15 C S = D S = 11
Lời giải
Đưa BPT ban đầu 41−cos2x
+ 5cos2x
≤ m · 7cos2x
⇔ 28cos2x +
Å
ãcos2x ≤ m
Đặt cos2x = t, t ∈ [0; 1], BPT trở thành 28t +
Å
ãt ≤ m
Xét f (t) = 28t +
Å
ãt
, t ∈ [0; 1]
f0(t) = −4 ln 28 28t +
Å
ãt · ln5
7 < 0, ∀t ∈ [0; 1] ⇒ f (t) nghịch biến [0; 1], lại có f (1) = 7·
Từ suy BPT có nghiệm ⇔ m ≥ f (1) = ⇒
a b =
6
7 ⇒ S = 13
Chọn đáp án A
Câu 61 Bất phương trình (3x− 1)(x2+ 3x − 4) > có nghiệm nguyên nhỏ 6?
A B C D Vô số
Lời giải
Với x > 0, bất phương trình tương đương (
3x− >
x2+ 3x − > ⇔ x > Với x < 0, bất phương trình tương đương
(
3x− < x2+ 3x − <
⇔ x < −4
(118)Câu 62 Tìm tất giá trị thực tham số m để bất phương trình 4(log2√x)2+ log2x + m ≥ nghiệm với giá trị x ∈ (1; 64)
A m ≤ B m ≥ C m < D m >
Lời giải
Ta có 4(log2√x)2+ log2x + m ≥ ⇔ (log2x)2+ log2x + m ≥ Đặt log2x = t, x ∈ (1; 64) t ∈ (0; 6)
Khi đó, ta có t2+ t + m ≥ ⇔ m ≥ −t2− t (*). Xét hàm số f (t) = −t2− t với t ∈ (0; 6)
Ta có f0(t) = −2t − < 0, ∀t ∈ (0; 6) Ta có bảng biến thiên:
t
f0(t)
f (t)
0
−
0
−42 −42
Bất phương trình cho với x ∈ (1; 64) bất phương trình (∗) với t ∈ (0; 6) ⇔ m ≥
Chọn đáp án B
Câu 63 Bất phương trình log2
Å log1
3
3x − x +
ã
≥ có tập nghiệm (a; b] Giá trị biểu thức P = 3a−b
là
A B C 10 D
Lời giải
ĐK: < 3x −
x + 6= ⇔
x < −3
x >
log2 Å
log1
3x − x +
ã ≥
⇔ log1
3x − x + ≥
⇔3x − x + ≤
1
⇔8x − 24 3(x + 3) ≤
⇔ − < x ≤
Kết hợp điều kiện, tập nghiệm S =Å 3;
ò
Suy a =
3; b = Vậy P = 3a − b =
(119)Câu 64 Giải bất phương trình log3(4x − 3) + log1
9(2x + 3) ≤ 2. A Å
4; +∞ ã
B Å
4;
ị
C vơ nghiệm D
ï −3
8; ò
Lời giải
Điều kiện x ≥ 4·
Với điều kiện bất phương trình
2 log3(4x − 3) + log1
9(2x + 3) ≤ 2 ⇔ log3(4x − 3)2− log3(2x + 3) ≤ ⇔ log3 (4x − 3)
2 2x + ≤
⇔ 16x
2− 24x + 9 2x + ≤
⇔ 16x2− 24x + ≤ 18x + 27 ⇔ 16x2− 42x − 18 ≤ ⇔ −3
8 ≤ x ≤
Kết hợp với điều kiện ta có tập nghệm bất phương trình Å 4;
ị ·
Chọn đáp án B
Câu 65 Cho dãy số (un) thỏa mãn eu18 + √
eu18 − e4u1 = e4u1 và u
n+1 = un+ với n ≥ Giá trị lớn n để log3un < ln 2018
A 1420 B 1419 C 1417 D 1418
Lời giải
Ta có un+1= un+ ⇒ un+1− un = ⇒ dãy số (un) cấp số cộng với d = Xét eu18 + 5√eu18− e4u1 = e4u1 ⇔ eu18− e4u1 + 5√eu18 − e4u1 =
⇒ "√
eu18− e4u1 = √
eu18− e4u1 = −5 (loại)
⇔ u18= 4u1 ⇔ u1+ 17d = 4u1 ⇒ 3u1 = 51 ⇒ u1 = 17 log3un< ln 2018 ⇔ log3(u1+ (n − 1) d) < ln 2018 ⇔ log3(17 + (n − 1)) < ln 2018 ⇔ 3n + 14 < 3ln 2018 ⇔ n <
ln 2018− 14
3 ≈ 1419, 935 Vậy giá trị lớn n n = 1419
Chọn đáp án B
Câu 66 Biết tập nghiệm bất phương trình
…
log2 − 2x − x ≤
√
2 có dạng (−∞; a] ∪ [b; +∞) Tính
giá trị T = ab
A T = B T = C T = D T =
Lời giải
Điều kiện xác định x 6= − 2x
1 − x ≥ BPT ⇔ log2
3 − 2x
1 − x ≤ ⇔
3 − 2x − x ≤
Ta có hệ
3 − 2x − x ≥ − 2x
1 − x ≤ ⇔
x ∈ (−∞; 1) ∪ [2; +∞)
Å
−∞;1 ò
∪ (1; +∞) ⇔ Å
−∞;1 ò
∪ [2; +∞) Vậy T =
(120)Câu 67 Giá trị nguyên dương nhỏ tham số m để bất phương trình 4x− 2018m2x−1 + − 1009m ≤ có nghiệm
A m = B m = C m = D m =
Lời giải
Ta thấy
4x− 2018m2x−1 + − 1009m ≤ ⇔ 4x+ − (2x+ 1) · 1009m ≤ 0 ⇔ 1009m ≥
x+ 3 2x+ 1
⇔ 1009m ≥ 2x+ +
2x+ 1 − (1)
⇔ 1009m ≥ (2)
Từ (1) ta thấy 2x+ +
2x+ 1 − = ⇔ x = Từ (2) ta suy m = thoả mãn đề
Chọn đáp án A
Câu 68 Gọi S tập hợp tất số nguyên dương k thỏa mãn
2 Z
1
ekxdx < 2018 · e
k− 2018 k Số
phần tử tập hợp S
A B C D Vô số
Lời giải
Ta có Z
1
ekxdx = e kx k
= e
2k− ek k
Khi bất phương trình tương đương
e2k− 2019 · ek+ 2018 < ⇔ < ek < 2018 ⇔ < k < ln 2018 Vì k nguyên dương nên k ∈ {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}
Chọn đáp án B
Câu 69 Biết bất phương trình log5(5x− 1) · log
25(5x+1− 5) ≤ có tập nghiệm đoạn [a; b] Giá trị a + b
A −2 + log5156 B + log5156 C −2 + log526 D −1 + log5156
Lời giải
log5(5x− 1) · log25(5x+1 − 5) ≤ ⇔
2log5(5
x− 1) [1 + log 25(5
x− 1)] ≤ 1 ⇔ log2
5(5
x− 1) + log 5(5
x− 1) − ≤ ⇔ −2 ≤ log 5(5
x− 1) ≤ 1 ⇔
25 ≤
x− ≤ ⇔ log
26
25 ≤ x ≤ log56 Suy a + b = log5 26
25+ log56 = log5156 − log525 = log5156 −
(121)Câu 70 Biết tập nghiệm bất phương trình log3(√x2 + x + + 1) + log
5(x2+ x + 3) < (a; b) Khi tổng 2a + b
A −3 B C D
Lời giải
log3(√x2+ x + + 1) + log
5(x2+ x + 3) < (1)
Đặt t =√x2+ x + 2, (t > 0) Bất phương trình (1) trở thành
log3(t + 1) + log5(t2+ 1) < ⇔ log3(t + 1) + log5(t2+ 1) − <
Đặt f (t) = log3(t + 1) + log5(t2+ 1) − Ta có f0(t) =
(t + 1) ln 3+
2t
(t2+ 1) ln 5 > 0, ∀t >
Do hàm f (t) đồng biến (0; +∞) Ta có f (2) = Do
f (t) < ⇔ t <
⇔√x2+ x + < ⇔ x2+ x + < ⇔ x2+ x − < ⇔ −2 < x < 1.
Suy (1) có tập nghiệm S = (−2; 1) Vậy 2a + b = −3
Chọn đáp án A
Câu 71 Bất phương trình log2x − 2019 log x + 2018 ≤ có tập nghiệm
A S = [1; 2018] B S =10; 102018 C S = 10; 102018 D S =10; 102018 Lời giải
Ta có log2x − 2019 log x + 2018 ≤ ⇔ ≤ log x ≤ 2018 ⇔ 10 ≤ x ≤ 102018
Chọn đáp án D
Câu 72 Cho số thực a, b, c lớn thỏa mãn logab·logac < logaÅ b c
ã
Tập nghiệm bất phương
trình logax + logbx > logcx
A x < B x > C "
x <
x >
D < x <
Lời giải
Theo giả thiết logab · logac < logaÅ b c
ã
⇔ logab · logac + logac − logab < Ta có
logax + logbx > logcx ⇔ logax +logax logab >
logax logac
⇔ logax (logab · logac + logac − logab) > ⇔ logax <
⇔ < x <
Chọn đáp án D
Câu 73 Gọi M m nghiệm nguyên lớn nghiệm nguyên nhỏ bất phương trình
(|2x + 1| − x − 2) (1 − log3(x + 4)) 5x2
− 5|x| ≥ Khi tích giá trị M · m
(122)Lời giải
Điều kiện xác định (
5x2 − 5|x| 6= x + >
(∗)
Với điều kiện (∗), ta xét phương trình
|2x + 1| − x − = ⇔ |2x + 1| = x +
⇔
x + ≥
"
2x + = x +
2x + = −x −
⇔
x ≥ −2
" x =
x = −1 ⇔
" x =
x = −1
Tương tự xét phương trình
1 − log3(x + 4) = ⇔ log3(x + 4) = ⇔ x + = ⇔ x = −1
5x2 − 5|x| = ⇔ 5x2 = 5|x| ⇔ x2 = |x| ⇔ x4 = x2 ⇔ x2 x2− 1 =
⇔ "
x2 =
x2− = ⇔
x =
x =
x = −1
Ta có bảng xét dấu
x
|2x + 1|−x−2
1−log3(x + 4)
5x2 − 5|x|
V T
−4 −1 +∞
+ − − +
+ − − −
+ − − +
+ − − −
Dựa vào bảng xét dấu suy nghiệm bất phương trình −4 < x < −1 Do nghiệm nguyên lớn
nhất −2 bé −3 Do M · m = (−2) · (−3) =
Chọn đáp án A
Câu 74 Thu nhập bình quân đầu người quốc gia X 2000 USD/1 người/1 năm Biết
(123)số quốc gia 1% năm Hỏi sau năm mức thu nhập bình quân
đầu người quốc gia X lớn 10000 USD/1 người/1 năm?
A 36 năm B 32 năm C 34 năm D 40 năm
Lời giải
• Mức tăng trưởng GDP bình quân nước X + 0.06 + 0.01 =
106 101
• Thu nhập bình quân đầu người sau n năm 2000 ·Å 106 101
ãn
(USD/1 người/1 năm)
• Ta có 2000 ·Å 106 101
ãn
> 10000 ⇔Å 106 101
ãn
> ⇔ n > log106
101 ≈ 33,31 Do sau 34 năm
mức thu nhập bình quân đầu người quốc gia X lớn 10000 USD/1 người/1 năm
Chọn đáp án C
Câu 75 Cho dãy số (un) có số hạng đầu u1 6= thỏa mãn log22(5u1) + log22(7u1) = log225 + log 27 Biết un+1 = 7un với n ≥ Tìm giá trị nhỏ n để un > 111 111
A 11 B C D 10
Lời giải
Điều kiện u1 > Ta có
log22(5u1) + log22(7u1) = log225 + log 27 ⇔ log2
2u1 + log25 log2u1+ log22u1+ log27 log2u1 = ⇔ log2u1(log2u1+ log235) =
⇔ "
log2u1 =
log2u1+ log235 = ⇔
u1 = (loại) u1 =
1
35 (nhận)
Dãy số (un) cấp số nhân có u1 =
35 q = nên un= 35 ·
n−1. Theo đề
un> 111 111 ⇔ 35·
n−1 > 111 111 ⇔ 7n−1
> 38 888 885 ⇔ n & 9,98
Vậy n = 10
Chọn đáp án D
Câu 76 Cho bất phương trình log + log (x2 + 1) ≥ log (mx2+ 4x + m), m tham số thực Có bao
nhiêu giá trị nguyên tham số m để bất phương trình nghiệm với x ∈ R
A B C D
Lời giải
Ta có log + log (x2+ 1) ≥ log (mx2+ 4x + m) ⇔ (
5x2+ ≥ mx2+ 4x + m mx2+ 4x + m >
(124)Vậy bất phương trình nghiệm với x
(
5x2+ ≥ mx2+ 4x + m, ∀x ∈ R mx2 + 4x + m > 0, ∀x ∈ R
⇔ (
(5 − m)x2− 4x + (5 − m) ≥ 0, ∀x ∈ R mx2 + 4x + m > 0, ∀x ∈ R
⇔
5 − m >
4 − (5 − m)2 < m >
2 − m2 < ⇔0 < m <√2
Từ suy có giá trị nguyên m = thoả mãn yêu cầu toán
Chọn đáp án D
Câu 77 Trong tất cặp (x; y) thỏa mãn logx2+y2+2(2x − 4y + 6) ≥ Tìm m để tồn cặp (x; y) cho x2+ y2+ 2x − 2y + − m = 0.
A √13 − √13 + B √13 −
C (√13 − 3)2. D (√13 − 3)2 và (√13 + 3)2.
Lời giải
Ta có logx2+y2+2(2x − 4y + 6) ≥ ⇔ x2+ y2− 2x + 4y − ≤ ⇔ (x − 1)2+ (y + 2)2 ≤ (1) Giả sử M (x; y) thỏa mãn phương trình (1), tập hợp điểm M hình trịn (C1) tâm I(1; −2) bán kính R1 =
Ta có x2+ y2 + 2x − 2y + − m = ⇔ (x + 1)2+ (y − 1)2 = m. (2) Với m > (2) phương trình đường trịn tâm J (−1; 1), bán kính R2 =
√ m
Để tồn cặp (x; y) thỏa mãn (C1) (C2) tiếp xúc với ⇔ IJ = R1+ R2 ⇔
√
13 =√m + ⇔ m =Ä√13 − 3ä2 J I = |R1− R2| ⇔
√
13 = |√m − 3| ⇔ m =Ä√13 + 3ä2
Chọn đáp án D
Câu 78 Giải bất phương trình log2
Å log1
2 Å
2x−15 16
ãã
A x> 0. B log2 15
16 < x < log2 31 16
C 06 x < log2 31
16 D log2
31
16 < x
(125)Ta có
log2 Å
log1
Å
2x− 15 16
ãã
6 ⇔ < log1
Å
2x− 15 16
ã
⇔ 16
x− 15 16 <
⇔ 2x < 31 16
⇔ x < log2 31 16
Chọn đáp án C
Câu 79 Tổng nghiệm nguyên bất phương trình log1
3
(x2+ 8x + 7) ≥ −3
A −32 B −14 C −26 D −24
Lời giải
Bất phương trình tương đương (
x2+ 8x + > x2+ 8x + ≤ 27
⇔ (
x ∈ (−∞; −7) ∪ (−1; +∞)
x ∈ [−10; 2]
⇔ x ∈ [−10; −7) ∪
(−1; 2]
Suy nghiệm nguyên bất phương trình {−10; −9; −8; 0; 1; 2} Tổng nghiệm nguyên −24
Chọn đáp án D
Câu 80 Tổng tất nghiệm nguyên bất phương trình log2√x + ≤ 2−log2(x−2)
A 12 B C D
Lời giải
Tập xác định bất phương trình D = (2; +∞)
2 log2√x + ≤ − log2(x − 2) ⇔ log2(x + 1) + log2(x − 2) ≤ ⇔ log2(x + 1)(x − 2) ≤ log24 ⇔ x2− x − ≤
⇔ −2 ≤ x ≤
Tập nghiệm bất phương trình S = (2; 3], có nghiệm nguyên x = Vậy tổng nghiệm
nguyên bất phương trình
Chọn đáp án D
Câu 81 Tìm tất giá trị tham số m để bất phương trình log(2x2 + 3) > log(x2+ mx + 1) có
tập nghiệm R
A −2 < m < B m < 2√2 C −2√2 < m < 2√2 D m <
(126)Ta có
log(2x2+ 3) > log(x2+ mx + 1) ⇔ (
2x2+ > x2 + mx + x2+ mx + >
⇔ (
x2− mx + > (1) x2+ mx + > (2)
Bất phương trình cho có tập nghiệm R (1) (2) với ∀x ∈ R
⇔ (
∆1 = m2− < ∆2 = m2− <
⇔ −2 < m <
Chọn đáp án A
Câu 82 Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên hình Tìm tất giá trị m để
phương trình f (4x − x2) = log2m có nghiệm thực phân biệt x
y0
y
−∞ +∞
− + −
+∞ +∞
−1 −1
3
−∞ −∞
A m ∈ (0; 8) B m ∈Å
2;
ã
C m ∈ (−1; 3) D m ∈ Å
0;1
ã
Lời giải
Dựa vào bảng biến thiên hàm số y = f (x), suy
f0(4x − x2) = ⇔ "
4x − x2 = 4x − x2 =
⇔
x =
x =
x = (bội hai)
f0(4x − x2) > ⇔ < 4x − x2 < ⇔ (
0 < x <
x 6=
Đặt g(x) = f (4x − x2), suy g0(x) = (4 − 2x) · f0(4x − x2) Lập bảng biến thiên hàm số g(x) như sau
x
4 − 2x
f0(4x − x2) g0(x)
g(x)
−∞ +∞
+ + − −
− + + −
− + − +
+∞ +∞
g(0) g(0)
g(2) g(2)
g(4) g(4)
(127)Dựa vào bảng biến thiên hàm số g(x), suy phương trình f (4x − x2) = log2m có nghiệm thực phân biệt max{g(0); g(4)} < log2m < g(2)
Ta có g(0) = f (0) = −1, g(4) = f (0) = −1 g(2) = f (4) = Vậy
−1 < log2m < ⇔
2 < m <
Chọn đáp án B
Câu 83 Tập nghiệm bất phương trình log1
3(x + 1) > log3(2 − x) S = (a; b) ∪ (c; d) với a, b, c, d số thực Khi tổng a + b + c + d
A B C D
Lời giải
Bất phương trình cho tương đương với
⇔
x + >
2 − x >
− log3(x + 1) > log3(2 − x)
⇔ ( − < x <
log3[(x + 1)(2 − x)] <
⇔ ( − < x < − x2+ x + < 0 ⇔ S =
Ç
−1;1 − √
5
å ∪
Ç
1 +√5 ;
å
Vậy a + b + c + d =
Chọn đáp án D
Câu 84 Tập nghiệm bất phương trình log2Ä1 + log1
9 x − log9x ä
< có dạng S =Å a; b
ã
với a, b
là số nguyên Mệnh đề đúng?
A a = −b B a + b = C a = b D a = 2b
Lời giải
Điều kiện x >
log2Ä1 + log1
9 x − log9x ä
< ⇔ < + log1
9 x − log9x < ⇔ −
2 < log9x < ⇔
1
3 < x < Do tập nghiệm bất phương trình S =Å
3; ã
Suy a = b
Chọn đáp án C
Câu 85 Cho loga(b + 1) > Khi khẳng định sau đúng?
A b(a + 1) > B a + b < C a + b > D (a − 1)b >
Lời giải
(128)Ta có loga(b + 1) > ⇔
( a >
b + > a0 (
0 < a <
0 < b + < a0 ⇔
( a >
b >
(
0 < a <
− < b <
Suy (a − 1)b >
Chọn đáp án D
Câu 86 Tìm m để bất phương trình + log5(x2 + 1) ≥ log
5(mx2 + 4x + m) thỏa mãn với x ∈ R
A −1 < m ≤ B −1 < m < C < m ≤ D < m <
Lời giải
Ta có
1 + log5(x2+ 1) ≥ log5(mx2+ 4x + m) ⇔ log5[5(x2+ 1)] ≥ log5(mx2 + 4x + m) ⇔
(
5(x2+ 1) ≥ mx2+ 4x + m mx2+ 4x + m >
⇔ (
(5 − m)x2− 4x + − m ≥ (1) mx2+ 4x + m > (2)
• (1) với x ∈ R (
5 − m >
∆01 = − (5 − m)2 ≤ ⇔ m ≤ • (2) với x ∈ R
( m >
∆02 = − m2 < ⇔ m > Vậy,bất phương trình cho thỏa mãn với x ∈ R < m ≤
Chọn đáp án C
Câu 87 Chọn ngẫu nhiên số tự nhiên A có bốn chữ số Gọi N số thỏa mãn 3N = A Xác suất
để N số tự nhiên
A
4500 B C
1
2500 D
1 3000
Lời giải
Số số tự nhiên có chữ số · 10 · 10 · 10 = 9000
Vì A = 3N số tự nhiên có chữ số nên ta có
1000 ≤ 3N ≤ 9999 ⇔ log31000 ≤ N ≤ log39999 ⇒ 6,28 ≤ N ≤ 8,38
Để N ∈ N N ∈ {7; 8} Do xác suất để N số tự nhiên 9000 =
1 4500
Chọn đáp án A
Câu 88 Tìm m để bất phương trình + log5(x2+ 1) ≥ log5(mx2+ 4x + m) thỏa mãn với
x ∈ R
A −1 < m ≤ B −1 < m < C < m ≤ D < m <
(129)Điều kiện mx2+ 4x + m > ⇔ m > −4x x2+ 1 Khi đó,
1 + log5 x2+ 1 ≥ log5 mx2+ 4x + m
⇔ log55 x2+ 1 ≥ log5 mx2+ 4x + m ⇔ 5x2− 4x + ≥ m x2+ 1
⇔ 5x
2− 4x + 5 x2+ 1 ≥ m ⇔ m ≤ + −4x
x2+ 1 Bất phương trình cho thỏa mãn với x ∈ R
m > −4x
x2+ 1, ∀x ∈ R m ≤ + −4x
x2+ 1, ∀x ∈ R
⇔ max x∈R
−4x
x2+ 1 < m ≤ minx∈R Å
5 + −4x x2+ 1
ã
Hàm số f (x) = −4x x2+ 1 có f
0(x) = 4x2−
(x2+ 1)2 có bảng biến thiên x
f0(x)
f (x)
−∞ −1 +∞
+ − +
0
2
−2 −2
0
Vậy giá trị m cần tìm < m ≤
Chọn đáp án C
Câu 89 Bất phương trình logx(log3(9x− 72)) ≤ có tập nghiệm là
A S = (−∞; 2] B S =Älog3√73; 2ó C S =Älog3√72; 2ó D S =ỵlog3√73; 2ó
Lời giải
Điều kiện
0 < x 6=
9x− 72 > log3(9x− 72) >
⇔
0 < x 6=
9x− 72 > 9x− 72 >
⇔
0 < x 6=
9x > 72 9x > 73
⇔ x > log973
Ta có
logx(log3(9x− 72)) ≤ ⇔ log3(9x− 72) ≤ x ⇔ 9x− 72 < 3x
⇔ (3x− 9) (3x+ 8) ≤ 0 ⇔ 3x ≤ ⇔ x ≤ 2.
Kết hợp với điều kiện, ta S = Älog3√73; 2ó
(130)Câu 90 Có giá trị nguyên tham số m ∈ [−10; 10] để bất phương trình sau nghiệm
đúng với x ∈ R
Ä
6 + 2√7äx+ (2 − m)Ä3 −√7äx− (m − 1)2x≥ 0.
A 10 B C 12 D 11
Lời giải
Bất phương trình tương đương với
(3 +√7)x+ (2 − m) Ç
3 −√7
åx
− (m − 1) ≥ (2.12)
Đặt t = (3 +√7)x ⇒ Ç
3 −√7
åx =
t, với t > Khi bất phương trình (1) trở thành
t + (2 − m) ·1
t − (m − 1) ≥ (2.13)
⇔ t
2− (m − 1)t + (2 − m)
t ≥ (2.14)
⇔ m ≤ t
2+ t + 2
t + (do t > 0) (2.15)
Để bất phương trình (4) với t > 0, khi m không lớn giá trị nhỏ hàm số
f (t) = t
2+ t + 2
t + khoảng (0; +∞)
Xét hàm số f (t) = t
2+ t + 2
t + khoảng (0; +∞)
Ta có f (t) = t + +
t + 1− ≥ √
2 − 1, dấu xảy t = −1 +√2
Vậy m ≤ 2√2 − 1, suy có 12 giá trị nguyên m đoạn [−10; 10] thỏa mãn
Chọn đáp án C
Câu 91 Gọi S tập tất giá trị nguyên dương tham số m để bất phương trình
5 · 4x+ m · 25x− · 10x ≤ 0 có nghiệm Số phần tử S
A B Vô số C D
Lời giải
Ta có
5 · 4x+ m · 25x− · 10x ≤ ⇔ ·Å
ã2x
− ·Å
ãx
+ m ≤
Đặt t =Å
ãx
, bất phương trình trở thành
5t2 − 7t ≤ −m, t ∈ (0; +∞) (1) Xét hàm số f (t) = 5t2− 7t, t ∈ (0; +∞)
(131)Bảng biến thiên f (t)
Từ bảng biến thiên ⇒ bất phương trình (1) có nghiệm
⇔ −49
20 ≤ −m ⇔ m ≤ 49 20
Do m ∈ N∗ ⇒ m = 1, m = Vậy có giá trị m thỏa mãn
x
y0
y
0
10 +∞
− +
0
−49 20 −49 20
+∞ +∞
Chọn đáp án C
Câu 92 Tìm tất giá trị thực tham số m để bất phương trình log1
(x−1) > log1
(x3+ x − m) có nghiệm
A m < B m ≤ C m ∈ R. D Không tồn m
Lời giải
Bất phương trình có nghiệm (
x − >
x − < x3+ x − m
có nghiệm ⇔ (
x >
m < x3+
có nghiệm
Xét f (x) = x3+ ⇒ f0(x) = 3x2 > , ∀x > 1, ta có bảng biến thiên
x
f0(x)
f (x)
1 +∞
+
2
+∞ +∞
Từ bảng biến thiên suy m < f (x) , ∀x > ⇔ m ∈ R
Chọn đáp án C
Câu 93 Có giá trị m nguyên dương, nhỏ 10 để bất phương trình 7sin2x
+ 3cos2x ≤ m · 4cos2x
có nghiệm?
A 11 B C 10 D
Lời giải
Đặt cos2x = t, ≤ t ≤ 1, nhận thấy ứng với giá trị t ∈ [0; 1] tồn x để cos2x = t Bất phương trình cho trở thành 71−t+ 3t ≤ m · 4t⇔ m ≥
28t + Å
4 ãt
Xét hàm số f (t) = 28t +
Å
ãt
trên đoạn [0; 1]
Ta có f0(t) = 28t · ln
1 28+
Å
ãt ln3
4 < 0, ∀t ∈ [0; 1] nên f (t) nghịch biến [0; 1] Từ dẫn đến m ≥
[0;1] f (t) = f (1) =
Mà m ∈ Z m < 10 nên có giá trị m thỏa mãn
Chọn đáp án B
Câu 94 Số nghiệm nguyên không âm bất phương trình √15 · 2x+1+ ≥ |2x− 1| + 2x+1 là
A B C D
(132)Đặt 2x = t điều kiện t >
Ta bất phương trình √30t + ≥ |t − 1| + 2t (1)
+ Với t ≥ bất phương trình (1) tương đương với bất phương trình
√
30t + ≥ t − + 2t ⇔√30t + ≥ 3t − 130t + ≥ (3t − 1)2 ⇔ t2− 4t ≤ ⇔ ≤ t ≤ 4.
Do t ≥ nên ta ≤ t ≤ (∗)
+ Với < t < bất phương trình (1) tương đương với bất phương trình
√
30t + ≥ − t + 2t ⇔√30t + ≥ t + ⇔ 30t + ≥ (t + 1)2 ⇔ t2− 28t ≤ ⇔ ≤ t ≤ 28
Do < t < 1nên ta được: < t < (∗∗)
+ Từ (∗) (∗∗) suy < t ≤ ⇒ < 2x ≤ ⇔ x ≤ Do nghiệm x nguyên không âm nên x ∈ {0; 1; 2}
Chọn đáp án D
Câu 95 Tập tất giá trị thực x thỏa mãn bất phương trình ·
x− · 6x
6x− 4x ≤ (−∞; a] ∪ (b; c] Tính (a + b + c)!
A B C D
Lời giải
Ta có bất phương trình tương đương với ·
x− · 6x+ · 4x
6x− 4x ≤ Đặt t = Å
2 ãx
ta có
(t − 2)(2t − 1)
t − ≤ ⇔
t ≤
2 < t ≤
Suy
Å
ãx ≤
2
1 <Å
ãx ≤
⇔
x ≤ − log3
2
0 < x ≤ log3
2
Do đó, a = − log3
2, b = 0, c = log3
2
Vậy (a + b + c)! = 0! =
Chọn đáp án B
Câu 96 Tập hợp tất số thực x khơng thỏa mãn bất phương trình 9x2−4
+ (x2− 4) · 2019x−2 ≥ 1 khoảng (a; b) Tính b − a
A B C −5 D −1
Lời giải
• Với x2− < ta có 9x2−4+ (x2− 4) · 2019x−2 < 90+ · 2019x−2 = 1. • Với x2− ≥ ta có 9x2−4
+ (x2− 4) · 2019x−2 ≥ 90+ · 2019x−2 = 1.
Vậy tập hợp giá trị x khơng thỏa mãn bất phương trình x ∈ (−2; 2) ⇒ a = −2, b = ⇒
b − a =
Chọn đáp án B
Câu 97 Bất phương trình (x3− 9x) ln(x + 5) ≤ có nghiệm nguyên?
A B C D Vô số
(133)Điều kiện xác định: x > −5
Xét f (x) = (x3− 9x) ln(x + 5), ta có
f (x) = ⇔ "
x3− 9x = ln(x + 5) = ⇔
x =
x = ±3
x = −4
Bảng xét dấu f (x):
x
f (x)
−5 −4 −3 +∞
+ − + − +
Suy f (x) ≤ ⇔" − ≤ x ≤ −3 ≤ x ≤
Vì x ∈ Z ⇒ x ∈ {−4; −3; 0; 1; 2; 3} Vậy có giá trị nguyên m thỏa mãn
Chọn đáp án C
Câu 98 Cho hàm số f (x) = 2x − 2−x
Gọi m0 số lớn số nguyên m thỏa mãn f (m) + f (2m − 212) < Mệnh đề sau đúng?
A m0 ∈ [1; 505) B m0 ∈ [50; 1009) C m0 ∈ [1009; 1513) D m0 ∈ [1513; 2019)
Lời giải
Hàm số f (x) xác định ∀x ∈ R Khi với x ∈ R, ta có
( − x ∈ R
f (−x) = 2−x− 2x = − 2x− 2−x = −f (x). Suy f (x) hàm số lẻ R
Mặt khác f0(x) = (2x+ 2−x
) ln > 0, ∀x ∈ R nên hàm số đồng biến R Ta có
f (m) + f 2m − 212 < ⇔ f 2m − 212 < −f (m) ⇔ 2m − 212 < −m ⇔ m < 12
Vì m nguyên nên m ≤ 1365 ⇒ m0 = 1365 Vậy m0 ∈ [1009; 1513)
Chọn đáp án C
Câu 99 Có tất giá trị tham số m để bất phương trình
log2 x2+ mx + m + 2 ≥ log2 x2+ 2 nghiệm với x ∈ R
A B C D
(134)Ta có
log2 x2+ mx + m + 2 ≥ log2 x2+ 2 , ∀x ∈ R ⇔ x2+ mx + m + ≥ x2+ 2, ∀x ∈ R
⇔ mx + m ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔ m(x + 1) ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔ m =
Vậy có giá trị m = để bất phương trình nghiệm với x ∈ R
Chọn đáp án D
Câu 100 Tập nghiệm bất phương trình 3x2−9
+ (x2−9)·5x+1 < khoảng (a; b) Tính b − a.
A B C D
Lời giải
• Nếu x ∈ (−3; 3) x2− < 0.
Vì 5x+1 > nên (x2− 9) · 5x+1 < Do 3x2−9+ (x2− 9) · 5x+1 < 3x2−9 < 1. Vậy x ∈ (−3; 3) nghiệm bất phương trình cho
• Nếu x ≥ x2− ≥ 0.
Vì 5x+1 > nên (x2− 9) · 5x+1 ≥ Do 3x2−9
+ (x2− 9) · 5x+1 ≥ 3x2−9 ≥ Vậy x ≥ khơng nghiệm bất phương trình cho
• Nếu x ≤ −3 x2 − ≥ 0.
Vì 5x+1 > nên (x2− 9) · 5x+1 ≥ Do 3x2−9
+ (x2− 9) · 5x+1 ≥ 3x2−9 ≥ Vậy x ≤ −3 khơng nghiệm bất phương trình cho
Vậy ta có b − a = − (−3) =
(135)ĐÁP ÁN
1 C C C C C B D B B 10 C
11 D 12 B 13 B 14 C 15 D 16 C 17 B 18 C 19 A 20 A
21 A 22 A 23 C 24 D 25 A 26 D 27 D 28 A 29 D 30 A
31 A 32 D 33 B 34 C 35 D 36 C 37 B 38 B 39 C 40 D
41 A 42 C 43 C 44 B 45 A 46 A 47 C 48 B 49 B 50 D
51 D 52 A 53 D 54 A 55 B 56 B 57 C 58 C 59 A 60 A
61 D 62 B 63 B 64 B 65 B 66 D 67 A 68 B 69 A 70 A
71 D 72 D 73 A 74 C 75 D 76 D 77 D 78 C 79 D 80 D
81 A 82 B 83 D 84 C 85 D 86 C 87 A 88 C 89 B 90 C
(136)4 MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO
Câu Cho bất phương trình 8x− 3.22x+1+ 9.2x+ m − > (1) Có tất giá trị nguyên dương tham số m để bất phương trình (1) nghiệm với x ∈ [1; 2] ?
A Vô số B C D
Lời giải
Đặt t = 2x x ∈ [1; 2] ⇒ t ∈ [2; 4]
Bất phương trình cho trở thành t3− 6t2+ 9t − > −m có nghiệm với t ∈ [2; 4]. Đặt g(t) = t3− 6t2+ 9t − ⇒ g0(t) = 3t2− 12t + > ∀t ∈ [2; 4].
⇒ g(x) đồng biến R Suy −m < Min g(t) = g(2) = −5 ⇔ m > Vậy có vơ số giá trị m
Chọn đáp án A
Câu Tập nghiệm bất phương trình log2Äx√x2+ + − x2ä+2x+√x2+ ≤ làÄ−√a; −√bó. Khi ab
A 12
5 B
5
12 C
15
16 D
16
15
Lời giải
Điều kiện:
x√x2+ + − x2 > ⇔ xÄ√x2+ − xä+ > 0
⇔ x · √
x2+ + x + > ⇔
2x + 4Ä√x2+ + xä √
x2+ + x > ⇔ 4√x2+ + 6x > (vì √x2+ + x > 0, ∀x)
⇔ 2√x2+ > −3x ⇔
− 3x <
( − 3x ≥
4(x2+ 2) > (−3x)2
⇔
x >
( x ≤
5x2 < ⇔
x >
− 40
5 < x ≤
Khi ta có
log2Äx√x2+ + − x2ä
+ 2x +√x2+ ≤ 1 ⇔ log2
Ç
6x + 4√x2+ 2 √
x2+ + x å
+ 2x +√x2+ ≤ 1 ⇔ log2(6x + 4√x2+ 2) − log
2( √
x2+ + x) + 2x +√x2+ ≤ 1 ⇔ log2ỵ2Ä3x + 2√x2 + 2äó− log
2( √
x2+ + x) + 2x +√x2+ ≤ 1 ⇔ log22 + log2(3x + 2√x2+ 2) − log
2( √
x2+ + x) + 2x +√x2+ ≤ 1 ⇔ log2(3x + 2√x2+ 2) + 3x + 2√x2+ ≤ log
2( √
(137)Xét hàm số f (t) = t + log2t với t > ta có f0(t) = +
t ln > với t > nên f (t) hàm đồng biến (0; +∞)
Từ
(∗) ⇔ f (3x + 2√x2+ 2) ≤ f (x +√x2+ 2) ⇔ 3x + 2√x2+ ≤ x +√x2+ 2 ⇔ √x2+ ≤ −2x ⇔( − 2x ≥
x2+ ≤ 4x2
⇔ (
x ≤
3x2 ≥ ⇔
x ≤
x ≥ √
x ≤ − √
6
⇔ x ≤ − √
6
Kết hợp điều kiện
x >
− √
40
5 < x ≤
ta có − √
40
5 < x ≤ − √
6
3 hay − …
5 < x ≤ − …
3
Tập nghiệm bất phương trình S = Ç
−… 5; −
… ô
nên a = ; b =
2
3 ⇒ ab = 16 15
Chọn đáp án D
Câu
Cho hàm số y = f (x) liên tục R có đồ thị hình bên Tính tổng tất giá trị nguyên tham số m để bất phương
trình
9 · 6f (x)+ − f2(x) · 9f (x) ≤ (−m2+ 5m) · 4f (x)
nghiệm với x ∈ R
A 10 B
C D
x y O −2 Lời giải Ta có
9 · 6f (x)+ (4 − f2(x)) · 9f (x) ≤ (−m2+ 5m) · 4f (x) ⇔ −m2+ 5m ≥ 9Å
ãf (x)
+ [4 − f2(x)] ·Å
ã2f (x) (1)
Từ đồ thị suy f (x) ≤ −2 ∀x ∈ R ⇒
9 ·Å
ãf (x)
≤ 4, ∀x ∈ R
4 − f2(x) ·Å
ã2f (x)
≤ 0, ∀x ∈ R
Do g(x) = ·Å
ãf (x)
+ [4 − f2(x)] ·Å
ã2f (x)
≤ 4, ∀x ∈ R ⇒ max R
(138)Bất phương trình (1) nghiệm với x ∈ R ⇔ −m2+ 5m ≥ ⇔ ≤ m ≤ Vậy m ∈ {1; 2; 3; 4}
Chọn đáp án B
Câu Tất giá trị tham số m để bất phương trình sau nghiệm với x ∈ R
Ä√
10 + 1äx− mÄ√10 − 1äx > 3x+1
A m < −7
4 B m < −
9
4 C m < -2 D m < −
11
Lời giải
Xét bất phương trình (√10 + 1)8− m(√10 − 1)8 > 3x+1 ⇔ Ç √
10 +
åx − m
Ç √ 10 −
3 åx
>
Nhận xét √
10 + ·
√ 10 −
3 = ⇒ Ç √
10 −
å =
Ç √ 10 +
3
å−1
Do (1) ⇔ Ç √
10 +
åx − m
Ç √ 10 +
3
å−x >
Đặt t = Ç √
10 +
åx
, t >
Khi (1) trở thành t − m
t > ⇔ t
2− 3t > m (2). Ta có bảng biến thiên hàm số y = t2− 3t.
t
y0
y
0
2 +∞
− +
0
−9 −9
+∞ +∞
Từ bảng biến thiên ta có m < −4
Chọn đáp án B
Câu Cho x, y số thực dương thỏa mãn log2x + log2y + ≥ log2(x2+ 2y) Tìm giá trị nhỏ nhất P = x + 2y
A P = B P = 2√2 + C P = + 3√2 D P = +√3
Lời giải
log2x + log2y + ≥ log2(x2+ 2y) ⇔ 2xy ≥ x2+ 2y ⇔ 2y(1 − x) + x2 ≤ (1) Vì P = x + 2y ⇒ 2y = P − x, thay vào (1) ta được:
(P − x)(1 − x) + x2 ≤ ⇔ 2x2− x(P + 1) + P ≤ 0 Phương trình có nghiệm
⇔ ∆ ≥ ⇔ (P + 1)2− 8P ≥ 0 ⇔ P2− 6P + ≥ ⇔
"
P ≥ + 2√2
P ≤ − 2√2
(139)Câu Có số nguyên dương a (a tham số) để phương trình
(3a2+ 12a + 15) log27(2x − x2) +Å 2a
2 − 3a + 1 ã
log√ 11
Å − x
2
ã
= log9(2x − x2) + log112 − x 2
có nghiệm nhất?
A B C Vô số D
Lời giải
Điều kiện < x < √2
Phương trình cho tương đương với phương trình
(a2+ 4a + 5) log3(2x − x2) + (9a2− 6a + 2) log11Å − x 2
ã
= log3(2x − x2) + log11Å − x 2
ã
⇔ (a + 2)2log
3(2x − x2) + (3a − 1)2log11
Å − x2
ã
= (∗)
Đặt u = log3(2x − x2) v = log11Å − x 2
ã
Phương trình (∗) trở thành
(u + 9v)a2+ 2(2u − 3v)a + 4u + v = (∗∗)
Phương trình (∗) có nghiệm phải tồn a, tức phương trình (∗∗) phải có nghiệm a Do
∆0 = (2u − 3v)2− (u + 9v)(4u + v) = −49uv ≥ ⇔ uv ≤ hay log
3(2x − x2) · log11
Å − x2 ã ≤ ⇔
log3(2x − x2) ≤ log11Å − x
2 ã ≥
log3(2x − x2) ≥ log11Å − x
2 ã ≤ ⇔
0 < 2x − x2 ≤ − x2
2 ≥
2x − x2 ≥ < − x
2 ≤
⇔ (
0 < 2x − x2 ≤ x =
x =
0 < − x 2 ≤
⇔ x =
Với x = 1, ta thay lại vào phương trình (∗) ta a = (loại)
Vậy khơng có số ngun dương a để phương trình cho cho nghiệm
Chọn đáp án B
Câu Biết 2x+1x = log
214 − (y − 2) √
y + 1 x > Tính giá trị biểu thức P = x2+ y2− xy +
A B C D
Lời giải
Ta có x +
x ≥ ⇒
x+1x ≥ 4, (1).
Ta thấy 14 − (y − 2)√y + = −(√y + 1)3 + 3√y + + 14
Xét f (t) = −t3+ 3t + 14 với t = √y + ≥ Ta có bảng biến thiên t
f0(t)
f (t)
0 +∞
+ −
(140)Do vậy, ta log214 − (y − 2)√y + 1 ≤ 4, (2) Từ (1) (2) ta
( x =
y = Vậy P =
Chọn đáp án B
Câu Tìm tập nghiệm bất phương trình 9x− 2(x + 5)3x+ 9(2x + 1) ≥ 0.
A [0; 1] ∪ [2; +∞) B (−∞; 1] ∪ [2; +∞) C [1; 2] D (−∞; 0] ∪ [2; +∞)
Lời giải
Bất phương trình cho tương đương
(3x− 9) (3x− 2x − 1) ≥ 0.
Dễ thấy x = x = thỏa mãn bất phương trình
Đặt g(x) = (3x− 9) (3x− 2x − 1), f (x) = 3x− 2x − Ta có f0(x) = 3xln − Suy ra
f0(x) = ⇔ x = x0 = log3 Å 2
ln ã
Ta có bảng xét dấu
x
f (x)
3x− 9 g(x)
−∞ x0 +∞
+ − f (x0) − + +
− − − − +
− + + − +
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy g(x) = (3x− 9) f (x) ≥ x ∈ [0; 1] ∪ [2; +∞).
Chọn đáp án A
Câu Cho < x < y < Đặt m = y − x
Å ln y
1 − y − ln x − x
ã
Mệnh đề sau đúng?
A m > B m < C m = D m <
Lời giải
Xét hàm số f (t) = ln t
1 − t − 4t (0; 1) ⇒ f
0(t) = t +
1
1 − t − =
(2t − 1)2
t(1 − t) ≥ 0, ∀t ∈ (0; 1) Suy hàm số f (t) đồng biến (0; 1)
Do
f (y) > f (x) ⇔ ln y
1 − y − 4y > ln x
1 − x − 4x
⇔
y − x Å
ln y
1 − y − ln x − x
ã >
Vậy m >
(141)Câu 10 Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình 5x2+ 12x + 16 = m(x + 2)√x2+ 2 có hai nghiệm thực phân biệt thỏa mãn điều kiện 20172x+
√
x+1−20172+√x+1
+ 2018x ≤ 2018
A m ∈ (2√6; 3√3] B m ∈ [2√6; 3√3]
C m ∈ Å
3√3;11
√
ã
∪ {2√6} D m ∈ Ç
2√6;11 √
3
å
Lời giải
Điều kiện: x ≥ −1
20172x+ √
x+1−20172+√x+1
+ 2018x ≤ 2018 ⇔ 2017 √
x+1(20172x− 20172) + 2018(x − 1) ≤ 0 ⇔ 2017√x+1(2017x+ 2017)(2017x− 2017) + 2018(x − 1) ≤ 0
⇔ x − ≤
⇔ x ≤
Kết hợp với điều kiện, bất phương trình có nghiệm −1 ≤ x ≤ (∗) Lại có
5x2+ 12x + 16 = m(x + 2)√x2+ ⇔ 3(x + 2)2+ 2(x2 + 2) = m(x + 2)√x2+ 2
⇔
(x + 2)2 x2+ 2 +
x2+
(x + 2)2 = m (2)
Đặt
(x + 2)2
x2+ 2 = t, phương trình (2) trở thành 3t +
t = m (3)
Xét hàm số g(x) = (x + 2)
x2+ 2 , với −1 ≤ x ≤ ⇒ g0(x) = −4x2− 4x +
(x2+ 2)2 ; g
0(x) = ⇒ x = 1; x = −2 Suy g0(x) ≥ 0, ∀x ∈ [−1; 1] ⇒
3 ≤ g(x) ≤ ⇒ √
3 ≤ t ≤ √
3
Xét hàm số f (t) = 3t + t, với
1 √
3 ≤ t ≤ √
3 Ta có f0(t) = 3t 2− 2
t2 ; f
0(t) = t = √
2 √
3 Ta có bảng biến thiên
t
f0(t)
f (t) √
√ √
3
√
− +
3√3 3√3
2√6 2√6
11√3 11√3
3
Yêu cầu tốn ⇔ phương trình (3) có hai nghiệm t phân biệt thỏa mãn √1
3 ≤ t ≤ √
3 Dựa vào
bảng biến thiên, ta có 2√6 < m ≤ 3√3
(142)Câu 11 Tìm giá trị gần tổng nghiệm bất phương trình sau Ư
…
2 log2x 22
3 − 2logx 22
3 + − √
13 + Ã
2 log222
3 x−
4 log22
3 x +
è
(24x6− 2x5+ 27x4− 2x3+ 1997x2
+ 2016)
0
A 12,3 B 12 C 12,1 D 1,2
Lời giải
Điều kiện: (
x >
x 6= Ta có
24x6− 2x5+ 27x4− 2x3+ 1997x2+ 2016 = 24x6− 2x5+ 27x4− 2x3+ 24x2 + 1973x2+ 2016 =x4
ï 24
Å
x2+ x2
ã −
Å x +
x ã
+ 27 ò
+ 1973x2+ 2016
=x4 ñ
24 Å
x + x
ã2 −
Å x +
x ã
+ 75 ô
+ 1973x2+ 2016
Suy 24x6− 2x5+ 27x4− 2x3+ 1997x2+ 2016 > với x thỏa mãn điều kiện phương trình. Khi bất phương trình cho tương đương với
…
2 log2x 22
3 − logx 22
3 + + Ã
2 log222
3 x −
4 log22
3
x + ≤ √
13
Đặt logx22
3 = t, ta có
√
2t2− 2t + +√2t2− 4t + = à Ç√ 2t − √ 2 å2 + Ç 3√2
2 å2
+ …
Ä√
2 −√2tä2+Ä√2ä2
≥ à Ç√ − √ 2 å2 + Ç 3√2
2 + √
2 å2
=√13
(Áp dụng bất đẳng thức | #»u | + | #»v | ≥ | #»u + #»v |; dấu xảy hai véc tơ hướng)
Dấu “=” xảy √
2t − √
2 3√2
2
= √
2 −√2t √
2 ⇔ t =
Như √2t2− 2t + +√2t2− 4t + ≤√13 ⇔ √2t2− 2t + +√2t2− 4t + =√13 ⇔ t =
Với t =
5 ⇒ logx 22
3 =
5 ⇔ x = Å 22 ã5 ≈ 12,1
Chọn đáp án C
Câu 12 Cho bất phương trình 2−x2+2x+1+ 2x2−2x ≥ m Tìm m để bất phương trình nghiệm với
mọi x ∈ R
A m ≤ B m ≥ 3√2 C m ≤ 2√2 D m ≤ 3√2
(143)Đặt t = 2x2−2x
, x2 − 2x ≥ −1 ⇒ t ≥
2, tốn trở thành: Tìm m để bất phương trình m ≤
t + t nghiệm với t ≥
Xét f (t) =
t + t với t ≥
2 Ta có f
0(t) = −2
t2 + ⇒ f
0(t) = ⇔ "
t =√2
t = −√2 (loại) Bảng biến thiên
t
f0(t)
f (t)
√
2 +∞
− +
9
2√2 2√2
+∞ +∞
Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy m ≤ 2√2 thỏa u cầu tốn
Chọn đáp án C
Câu 13 Có tất ba số thực (x; y; z) thỏa mãn
23
√ x2
· 43 √
y2 · 163
√ z2
= 128
xy2+ z42 = + xy2− z42
A B C D
Lời giải
Hệ phương trình cho tương đương
23
√ x2+√3
y2+√3z2
= 128
xy2+ z42
− xy2− z42 =
⇔ (√3
x2+ 2p3
y2 + 4√3z2 = 7 xy2z4 =
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số khơng âm ta có
7 = √
x2+ 2p3
y2+ 4√3z2 =√3x2+p3
y2+p3
y2+√3z2+√3z2+√3z2+√3z2 ≥ 77
… √
x2Äp3
y2ä2Ä√3z2ä4 = 21
»
(xy2z4)2 =
Do hệ phương trình cho tương đương
(
(144)Dễ thấy x > từ phương trình thứ hai ta có x7 = hay x = Suy y = ±1, z = ±1 Vậy số thực thỏa mãn đề (1; 1; 1), (1; 1; −1), (1; −1; −1), (1; −1; 1)
Chọn đáp án B
Câu 14 Trong tất cặp số (x; y) thỏa mãn logx2+y2+3(2x + 2y + 5) ≥ 1, giá trị thực m để tồn cặp (x; y) cho x2+ y2+ 4x + 6y + 13 − m = thuộc tập sau đây?
A [8; 10] B [5; 7] C [1; 4] D −3; 0]
Lời giải
Từ giả thiết ta có: 2x + 2y + ≥ x2+ y2+ ⇔ (x − 1)2+ (y − 1)2 ≤ Yêu cầu toán ⇔
(
(x − 1)2+ (y − 1)2 ≤ (1) (x + 2)2+ (y + 3)2 = m (2)
có nghiệm
Xét đường trịn có phương trình (x − 1)2+ (y − 1)2 = 4, tọa độ tâm I1(1; 1) , R1 = Khi m = điểm I (−2; −3) không thỏa mãn phương trình (1)
Khi m > (2) phương trình đường trịn có tâm I2(−2; −3) , R2 = √
m
Hệ có nghiệm ⇔ hai đường trịn tiếp xúc ngồi với ⇔ R1 + R2 = I1I2 hay +√m = ⇔ m =
Chọn đáp án A
Câu 15 Gọi S tổng nghiệm bất phương trình
Ü
…
2 log2x 22
3 − logx 22
3 + 94 log812 −
√ 13 +
à log222
3 x−
4 log22
3 x+
ê
(24x6−2x5+27x4−2x3+2017x2+
2018) Giá trị gần S
A 12,3 B 12,2 C 12,1 D 12
Lời giải
Điều kiện:
2 log2x22
3 − logx 22
3 + >
log222
x − log22
3
x + >
x >
x 6=
⇔ (
x >
x 6=
Ta có: 24x6− 2x5+ 27x4− 2x3+ 2017x2+ 2018 = 23x6+ x4(x − 1)2+ 25x4+ x2(x − 1)2+ 2016x2+ 2018 > 0, ∀x ∈ R
Do bất phương trình cho tương đương với:
4 …
2 log2x 22
3 − logx 22
3 + 94 log812 −
√ 13 +
à log222
3 x −
4 log22
3
x +
⇔ …
2 log2x22
3 − logx 22
3 + − √
13 + …
2 log2x 22
3 − logx 22
(145)Đặt t = logx22
3 , ta được: √
2t2− 2t + +√2t2− 4t + 6√13 (∗)
⇔ Ã
Ç√ 2t −
√ 2
å2 +9
2 + …
Ä
−√2t +√2ä2 + 6√13
Đặt #»u Ç√2t − √
2 ;
3 √
å
và #»v Ä−√2t +√2;√2ä Áp dụng bất đẳng thức | #»u | + | #»u | > | #»u + #»v |, ta có:
s Ç√
2t − √
2
å2 +
2+ q
Ä
−√2t +√2ä2+ > … +
25 =
√ 13
Do (*) xảy ⇔ #»u , #»v hướng ⇔√2Ç√2t − √
2
å = √3
2 Ä
−√2t +√2ä⇔ t =
Suy logx 22 =
4 ⇔ x
4 = 22
3 ⇔ x =
Å 22
ã5
' 12,
Chọn đáp án C
Câu 16 Cho số thực dương x, y thỏa mãn log(x+y)(x2+ y2) ≤ Giá trị lớn biểu thức A = 48(x + y)3− 156(x + y)2+ 133(x + y) + là
A 29 B 1369
36 C 30 D
505 36
Lời giải
Xét giả thiêt log(x+y)(x2+ y2) ≤ 1, ta có • Nếu x + y > ta có x2+ y2 ≤ x + y.
Mặt khác x2+ y2 ≥ (x + y)
2 ⇒
(x + y)2
2 ≤ x + y ⇔ < x + y ≤
• Nếu < x + y < 1, ta có x2+ y2 ≥ x + y ⇔ (x + y)2− (x + y) ≥ 2xy > ⇒ "
x + y <
x + y > (loại)
Đặt t = x + y ⇒ t ∈ (1; 2], xét hàm số f (t) = 48t3− 156t2+ 133t + 4.
Ta có f0(t) = 144t2− 312t + 133, f0(t) = ⇔
t = 19 12
t = 12
⇒ t = 19 12
Ta có BBT:
t
f0(t)
f (t)
1 19
12
− +
29 29
505 36 505
36
30 30
Vậy max A = max (1;2]
f (t) = 30 x + y =
Chọn đáp án C
Câu 17 Bất phương trình 5x +√6x2+ x3− x4log
2x > (x2 − x) log2x + + √
(146)A
2 B
7
2 C
5
2 D
Lời giải
Điều kiện (
x >
6 + x − x2 ≥ ⇔ < x ≤ Với điều kiện < x ≤ ta có
5x +√6x2+ x3− x4· log
2x > (x2− x) · log2x + + √
6 + x − x2 ⇔ Ä√6 + x − x2− x + 1ä· (x · log
2x − 5) > ⇔ √6 + x − x2 < x − (vì max
(0;3] (x · log2x − 5) < 0)
⇔
x − >
6 + x − x2 ≥
6 + x − x2 < (x − 1)2 ⇔
2 < x ≤
Ta chứng minh max
(0;3] (x · log2x − 5) < Xét f (x) = x · log2x − với x ∈ (0; 3] Ta có f0(x) = log2x +
ln Ta có f0(x) = ⇔ x = 2−ln 21
Ta có lim
x→0+(x · log2x) = limx→0+ log2x
1 x
= lim x→0+
1 x ln
− x2
= lim x→0+
−x ln =
Ta có bảng biến thiên hàm số f (x)
x
f0(x)
f (x)
0 2−ln 21
− +
−5 −5
f (2−ln 21 ) f (2−ln 21 )
f (3) ≈ −0,25 f (3) ≈ −0,25
Do vậy, max
(0;3] f (x) = f (3) <
Chọn đáp án A
Câu 18 Có tất giá trị nguyên dương nhỏ 10 tham số m để bất phương trình
m9x+ (m − 1)3x+2 + m − > có tập nghiệm R?
A B C D
Lời giải
Đặt t = 3x (t > 0), bất phương trình tương đương m(t2+ 9t + 1) > 9t + ⇔ m > 9t +
t2+ 9t + 1, ∀t > Bảng biến thiên hàm số f (t) = 9t +
(147)x
f0(t)
f (t)
0 +∞
−
1
0
Từ bảng biến thiên suy ≤ m < 10
Chọn đáp án B
Câu 19 Cho x, y số thực dương thỏa mãn log x + log y ≥ log(x2+ y) Tìm giá trị nhỏ của
P = 2x + y
A + 2√6 B + 2√3 C D + 3√2
Lời giải
Điều kiện x > 0, y > Ta có log x + log y ≥ log(x2+ y) ⇔ xy ≥ x2 + y (∗)
Từ (∗) ⇒ y(x − 1) ≥ x2 > ⇒ x > ⇒ P − 2x < P − Mà y = P − 2x > Suy P >
Ta có (∗) ⇔ x(P − 2x) ≥ x2+ P − 2x ⇔ 3x2− (2 + P )x + P ≤ (∗∗) Bất phương trình (∗∗) bất phương trình bậc hai ẩn x Để (∗∗) có nghiệm x
∆ ≥ ⇔ P2− 8P + ≥ ⇔ "
P ≥ + 2√3
P ≤ − 2√3 (loại P > 2)
Với P = + 2√3 (∗∗) ⇔ x = + √
3
3 (thỏa mãn x > 0) Khi y =
6 + 4√3
3 (thỏa mãn y>0) Vậy P = + 2√3
Chọn đáp án B
Câu 20 Cho bất phương trình log3a11 + log1
7 Ä√
x2+ 3ax + 10 + 4ä· log
3a(x2+ 3ax + 12) ≥ Giá trị thực tham số a để bất phương trình có nghiệm thuộc khoảng sau đây?
A (−1; 0) B (1; 2) C (0; 1) D (2; +∞)
Lời giải
Đặt m = 3a bất phương trình cho trở thành
logm11 + log1
Ä√
x2+ mx + 10 + 4ä· log
m x2+ mx + 12 ≥ (1) Điều kiện bất phương trình m > 0; m 6= 1; x2+ mx + 10 ≥ 0.
Ta có
(1) ⇔ − log7( √
x2+ mx + 10 + 4) · log
11(x2+ mx + 12)
log11m ≥ (2)
Đặt u = x2+ mx + 10, u ≥ 0. • Với < m < 1.Ta có
(148)Vì f (u) hàm tăng (0; +∞) nên từ (3) ta có
f (u) ≥ f (9) ⇔ u ≥ ⇔ x2+ mx + ≥ (4)
(4) vô số nghiệm ∆ = m2 − < với ∀m ∈ (0; 1) Suy < m < khơng thỏa tốn. • Với m > Ta có
(2) ⇔ f (u) ≤ f (9) ⇔ ≤ u ≤ ⇔ (
x2+ mx + 10 ≥ (5) x2+ mx + ≤ (6) Xét (6), ta có ∆ = m2 − 4.
+ m2− < ⇔ < m < (6) vơ nghiệm Khơng thỏa toán. + m2− > ⇔ m > (6) có nghiệm đoạn [x
1; x2], lúc (5) nhận số [x1; x2] làm nghiệm Khơng thỏa tốn
+ m2 − = ⇔ m = (6) có nghiệm x = −1 x = −1 thỏa (5) Do bất phương trình có nghiệm x = −1
Vậy m = ⇔ a =
Chọn đáp án C
Câu 21 Tìm tập nghiệm bất phương trình 3x > − 2x.
A [1; +∞) B (−∞; 1] C (1; +∞) D ∅.
Lời giải
Ta có 3x > − 2x ⇔ 3x+ 2x − > 0.
Xét hàm số f (x) = 3x+ 2x − 5, suy f0(x) = 3xln + > 0, ∀x ∈ R Do hàm số đồng biến R. Suy f (x) > = f (1) ⇔ x > 1.
Chọn đáp án A
Câu 22 Cho bất phương trình m·3x+1+(3m + 2)·Ä4 −√7äx+Ä4 +√7äx > 0, với m tham số Tìm tất giá trị tham số m để bất phương trình cho nghiệm với x ∈ (−∞; 0]
A m > −
√
3 B m >
2 + 2√3
3 C m ≥
2 − 2√3
3 D m ≥ −
2 − 2√3
Lời giải
Do 3x > ∀x ∈ R nên
m · 3x+1 + (3m + 2) ·Ä4 −√7äx+Ä4 +√7äx >
⇔ 3m + (3m + 2) · Ç
4 −√7
åx +
Ç
4 +√7
åx
> (1)
Đặt t = Ç
4 +√7
åx
để x ∈ (−∞; 0] suy < t ≤ Khi bất phương trình (1) trở thành
⇔ 3m + (3m + 2) ·
t + t > (2)
Để thỏa mãn toán (2) với t ∈ (0; 1] Khi với t ∈ (0; 1] ta có
(2) ⇔ m · Å
3 + t
ã
+ t +2
(149)Xét hàm f (t) = −t 2+ 2
3t + khoảng (0; 1], ta có f
0(t) = − 6t − 3t (3t + 3)2 Khi f0(t) = suy − 6t − 3t2 = ⇔
"
t =√3 −
t = −√3 − Xét dấu f0(t)
t
f0(t)
0 √3 − 1
+ −
Dựa vào bảng xét dấu suy max
t∈(0;1]f (t) = f Ä√
3 − 1ä = − √
3
Do để bất phương trình (2) với t ∈ (0; 1] m > − √
3
Chọn đáp án A
Câu 23 Tất giá trị thực m để bất phương trình x√x +√x + 12 ≤ m log5−√
4−x3 có nghiệm
A m > 2√3 B m > 12 log35 C m ≥ 2√3 D < m < 12 log25
Lời giải
• Điều kiện: ≤ x ≤
• (∗) ⇔ x√x +√x + 12 ≤ m
log3(5 −√4 − x) ⇔ (x √
x +√x + 12) log3(5 −√4 − x) ≤ m (do log3(5 −√4 − x) > 0)
• Ta có x√x +√x + 12 log3(5 −√4 − x) đồng biến (0; 4] nên f (x) = (x√x +√x + 12) log3(5 −√4 − x) đồng biến [0; 4] • Bất phương trình có nghiệm ⇔ m ≥
[0,4] f (x) = f (0) = √
3
Chọn đáp án C
Câu 24 Cho số thực x, y dương thỏa mãn log2 x
2+ y2 3xy + x2 + x
2+ 2y2 + ≤ 3xy Tìm giá trị nhỏ
nhất P = 2x
2− xy + 2y2 2xy − y2 A
2 B
1 +√5
2 C
3
2 D
5
2
Lời giải
Từ log2 x 2+ y2 3xy + x2 + x
2+ 2y2+ ≤ 3xy ⇔ log
22(x2+ y2) + 2(x2 + y2) ≤ log2(3xy + x2) + 3xy + x2 Xét hàm số f (t) = log2t + t với t >
Ta thấy f (t) hàm đồng biến (0; +∞), nên từ f [2(x2+ y2)] ≤ f (3xy + x2) ⇒ 2(x2+ y2) ≤ 3xy + x2 ⇒ x2+ 2y2 ≤ 3xy.
Đặt t = x
y Từ x
2+ 2y2 ≤ 3xy ⇒ ≤ t ≤ 2.
P = 2x
2− xy + 2y2 2xy − y2 =
2t2 − t + 2t − = t +
2 2t − =
2t − +
2 2t − +
1
2 ≥ + =
5
Vậy Pmin =
2 x = 3y
(150)Chọn đáp án D
Câu 25 Một người vay 500 triệu đồng từ ngân hàng để lấy vốn làm ăn theo thể thức lãi kép với lãi
suất khơng đổi suốt q trình trả nợ 1%/tháng (tính lãi hàng tháng) Mỗi tháng người trả
10 triệu đồng tháng cuối số tiền phải trả cịn 10 triệu Hỏi số tiền phải trả
tháng cuối (làm tròn đến hàng ngàn)?
A 6.552.000đ B 6.553.000đ C 6.554.000đ D 6.555.0000đ
Lời giải
Gọi A, a số tiền vay ban đầu số tiền phải trả hàng tháng Ta có
- Sau tháng 1, số tiền nợ là: N1 = A(1 + r) − a
- Sau tháng 2, số tiền nợ là: N2 = N1(1 + r) − a = A(1 + r)2− a(1 + r) − a
- Sau tháng thứ 3, số tiền nợ là: N3 = N2(1 + r) − a = A(1 + r)3− a(1 + r)2 − a(1 + r) − a · · · - Sau tháng thứ n số tiền nợ
Nn = Nn−1(1 + r) − a = A(1 + r)n− a(1 + r)n−1− a(1 + r)n−1− · · · − a = A(1 + r)n− a
(1 + r)n− 1 r Áp dụng vào với A = 500, a = 10, r = 0.01 Ta có
Nn < 10 ⇔ 500 · 1.01n− 10
1.01n− 1
0.01 < 10 ⇔ 1.01
n> 99
10 ⇔ n > 68.65
Vậy sau 69 tháng số tiền phải trả lại N69= 500 · (1.01)69− 10
(1.01)69− 1
0.01 ≈ 6.553.000đ
Chọn đáp án B
Câu 26 Tìm giá trị tham số m để bất phương trình
log2 2x2− 5x + 1 − m > m ·»log4(2x2− 5x + 1) có nghiệm với x ≥
A m < B m ≥ C m > D m ≤
Lời giải
Để bất phương trình xác định:
(
2x2− 5x + >
log4 2x2− 5x + 1 ≥ ⇔
(
2x2− 5x + > 2x2− 5x + ≥ ⇔ 2x
2− 5x ≥ 0
x ≤
x ≥
(∗)
Xét x ≥ 3, ta đặt t = plog4(2x2− 5x + 1) Vì 2x2 − 3x + ≥ ∀x ≥ suy t ≥ Khi bất phương trình trở thành
2t2 − m > mt ⇔ 2t2− mt − m > (1) Bài toán trở thành tìm m để bất phương trình (1) với t ≥
Xét t ≥ ta có
(1) ⇔ 2t2 > m (t + 1) ⇔ 2t t + > m
Xét hàm số f (t) = 2t
t + [1; +∞) Ta có f
0(t) = 2t2+ 4t
(t + 1)2, dễ thấy f
0(t) > ∀t ≥ suy hàm số đồng biến [1; +∞) nên
t∈[1;+∞)f (t) = f (1) = Do để (1) với t ≥ m <
(151)Chọn đáp án A
Câu 27 Giải bất phương trình log3 5x +
(x − 1)2 ≥ 3x
2 − 11x + ta tập nghiệm S Biết S có dạng [a; b]\{1} Hãy tính T = (a + b) − ab
A 23
3 B
11
3 C D
10
Lời giải
Điều kiện:
x > −1 x 6=
log3 5x +
(x − 1)2 ≥ 3x
2− 11x + 3
⇔ log3(5x + 1) − log3(x − 1) ≥ 3(x − 1)2 − (5x + 1) + ⇔ log3(5x + 1) + (5x + 1) ≥ log3(x − 1)2+ 3(x − 1)2+ log33 ⇔ log3(5x + 1) + (5x + 1) ≥ log33(x − 1)2 + 3(x − 1)2 ⇔ f (5x + 1) ≥ f3(x − 1)2
Xét hàm f (t) = log3t + t, tới t > f0(t) =
t ln + > 0, với ∀t > nên hàm số đồng biến (0; +∞) Nên
f (5x + 1) ≥ f3(x − 1)2 ⇔ 5x + > 3(x − 1)2
⇔ 3x2− 11x + ≤ 0 ⇔ 11 −
√ 97
6 ≤ x ≤
11 +√97
Kết hợp với điều kiện suy tập nghiệm bất phương trình ñ
11 −√97 ;
11 +√97
ô \{1}
Vậy T = (a + b) − ab =
Chọn đáp án C
Câu 28 Trong nghiệm (x; y) thỏa mãn bất phương trình logx2+2y2(2x + y) ≥ Giá trị lớn biểu thức T = 2x + y
A
4 B
9
2 C
9
8 D
Lời giải
TH1: x2+ 2y2 > Đặt z = y√2, suy x2+ z2 > (1) Khi đó: logx2+2y2(2x + y) ≥ ⇔ 2x + y ≥ x2+ 2y2 ⇔ 2x +
z √
2 ≥ x
2+ z2 ⇔ (x − 1)2+ Å
z − 2√2
ã2 ≥
8 (2) Tập hợp điểm M (x; y) miền (H) bao gồm miền ngồi hình trịn (C1) : x2 + z2 = miền hình trịn (C2) : (x − 1)2+
Å
z − 2√2
ã2 =
(152)Hệ
T = 2x +√z
(x − 1)2+ Å
z − 2√2
ã2 ≥
8
x2+ z2 >
có nghiệm đường thẳng d : 2x +√z
2− T = có điểm chung với
miền (H)
Để T đạt giá trị lớn đường thẳng d phải tiếp xúc với đường trịn (C2), nghĩa ta có d(I, d) =
2√2 ⇔
T − ... bất phương trình logax ≤ 3x − không nghiệm với x = a a >
Thay x = a vào bất phương trình logax ≤ 3x − ta có ≤ 3a − ⇔ a ≥ Thay x =
a vào bất phương trình. .. 9.
Do đó, nghiệm bất phương trình cho nghiệm hệ bất phương trình
(
m > −x2− 6x − m < 6x2+ 8x +
Bất phương trình có cho muốn có tập nghiệm chứa (1; 3)
... class=''page_container'' data-page=132>Đặt 2x = t điều kiện t >
Ta bất phương trình √30t + ≥ |t − 1| + 2t (1)
+ Với t ≥ bất phương trình (1) tương đương với bất phương trình
√