Mặt nón - mặt trụ - ôn tập THPT Quốc gia 2020 Môn Toán - Sách Toán - Học toán

192 2 0
  • Loading ...
    Loading ...
    Loading ...

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Tài liệu liên quan

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 14/01/2021, 17:33

Cho hình nón đỉnh S, có chiều cao là a √ 2, đáy là đường tròn tâm O, bán kính bằng 2a, mặt phẳng đi qua đỉnh S của hình nón và cắt đường tròn O theo dây cung AB, biết rằng tam giác OAB t[r] (1)CHƯƠNG 2 MẶT NÓN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU BÀI 1 MẶT NÓN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU A TĨM TẮT LÍ THUYẾT 1 Mặt nón Định nghĩa Trong mặt phẳng (P ) cho hai đường thẳng d ∆ cắt điểm O tạo với góc β với 0◦ < β < 90◦ Khi quay mặt phẳng (P ) xung quanh ∆ đường thẳng d sinh mặt tròn xoay gọi mặt nón trịn xoay đỉnh O Người ta thường gọi tắt mặt nón trịn xoay mặt nón Đường thẳng ∆ gọi trục, đường thẳng d gọi đường sinh góc β gọi góc đỉnh mặt nón Định nghĩa Cho tam giác OIM vng I Khi quay tam giác xung quanh cạnh góc vng OI đường gấp khúc OM I tạo thành hình gọi hình nón trịn xoay, gọi tắt hình nón Đường thẳng OI gọi trục, O gọi đỉnh, OI gọi đường cao OM gọi đường sinh hình nón Hình trịn tâm I, bán kính r = IM gọi đáy hình nón Phần mặt tròn xoay sinh điểm cạnh OM quay quanh OI gọi mặt xung quanh hình nón ∆ O β d Định nghĩa Khối nón trịn xoay phần khơng gian giới hạn hình nón trịn xoay, kể hình nón Người ta cịn gọi tắt khối nón trịn xoay khối nón Những điểm khơng thuộc khối nón gọi điểm ngồi khối nón Nhuỹng điểm thuộc khối nón khơng thuộc hình nón ứng với khối nón gọi điểm khối nón Ta gọi đỉnh, mặt, đáy, đường sinh hình nón theo thứ tự đỉnh, măt đáy, đường sinh khối nón tương ứng h r I O M (2) Thể tích khối nón: V = 3Sh = 1 3πr 2h (S diện tích đáy). 2 Mặt trụ Định nghĩa Trong mặt phẳng (P ) cho hai đường thẳng ∆ l song song nhau, cách khoảng r Khi quay (P ) quanh trục cố định ∆ đường thẳng l sinh mặt nón tròn xoay gọi mặt trụ tròn xoay hay gọi tắt mặt trụ Đường thẳng ∆ gọi trục, đường thẳng l gọi đường sinh khoảng cách r gọi bán kính mặt trụ Định nghĩa Khi quay hình chữ nhật ABCD quanh cạnh AB đường gấp khúc ABCD tạo thành hình gọi hình trụ trịn xoay hay gọi tắt hình trụ Đường thẳng AB gọi trục, đoạn thẳng CD gọi đường sinh, độ dài AB = CD gọi chiều cao, hai hình tròn (A; AD) (B; BC) gọi hai đáy hình trụ Khối trụ trịn xoay, gọi tắt khối trụ phần không gian giới hạn hình trụ trịn xoay, kể hình trụ A B C D l ∆ r Tính chất Gọi h chiều cao r bán kính đáy hình trụ, ta có:  Diện tích xung quanh hình trụ: Sxq = 2πrh  Thể tích khối trụ: V = Sh = πr2h (S diện tích đáy). B CÁC DẠNG TỐN { DẠNG Thiết diện qua trục hình trụ, hình nón Phương pháp giải  Thiết diện qua trục hình trụ ln hình chữ nhật nhận trục OO0 của hình trụ làm đường trung bình A O B A0 O0 B0 (3)A O B S Ví dụ Cho hình nón đỉnh S có thiết diện qua trục tam giác có cạnh Tính thể tích khối nón Lời giải Gọi SAB thiết diện qua trục hình nón Có SAB nên h = SO = SA √ = √ R = OA = AB 2 = Thể tích khối nón V = 3πR 2 h = 8π √ 3 A O B S  Ví dụ Cho hình trụ có thiết diện qua trục hình vng Tính tỉ số k (k < 1) diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình trụ Lời giải Gọi ABB0A0 thiết diện qua trục hình trụ Do ABB0A0 hình vng nên h = AA0 = AB = 2R Có Sxq = 2πRh = 4πR2 Stp= Sxq+ 2Sđáy = 4πR + 2πR2 = 6πR2 Vậy tỉ số cần tìm k = Sxq Stp = A O B A0 O0 B0  (4)Gọi SAB thiết diện qua trục hình nón, gọi ` độ dài đường sinh SA Có SAB vng cân nên h = SO = SA √ 2 2 = `√2 R = OA = AB 2 = `√2 2 Thể tích khối nón V = 3πR 2h = π`3 √ 12 Mà V = 18π√2 ⇔ π` 3√2 12 = 18π √ 2 ⇔ `3 = 216 ⇔ ` = 6. A O B S Vậy diện tích cần tìm thiết diện SSAB = 1 2SA 2 = ` 2 2 = 18  BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Cho hình nón có thiết diện qua trục tam giác có diện tích a2√3 Tính diện tích xung quanh hình nón thể tích khối nón Lời giải Gọi SAB thiết diện qua trục hình nón Có SAB nên SSAB = SA2√3 = a 2√3 ⇔ SA = 2a R = OA = AB 2 = a, h = SO = SA√3 = a √ Diện tích xung quanh hình nón Sxq = πR` = 2a2π Thể tích khối nón V = 3πR 2 h = πa 3√3 3 A O B S  Bài Cho hình nón có thiết diện qua trục tam giác cân với góc đỉnh 120◦ có chu vi 3a(√3 + 2), tính diện tích tồn phần hình nón Lời giải Gọi SAB thiết diện qua trục hình nón Hình nón có góc đỉnh 120◦ nên AB2 = SA2+ SB2 − 2SA · SB · cos 120◦ = 3`2 ⇒ AB = `√3 ⇒ PSAB = 2` + ` √ gt ⇒ 2` + `√3 = 3a(√3 + 2) ⇔ ` = SA = 3a R = AO = SA sin 60◦ = 3a √ Diện tích tồn phần hình nón Stp = πR` + πR2 = 9a2π(2√3 + 2) 4 A O B S  (5)Lời giải Gọi ABB0A0 thiết diện qua trục hình trụ Do ABB0A0 hình chữ nhật có diện tích nên S = AA0· AB = Mặt khác, có C = 2πR = 4π ⇔ R = ⇒ AB = Vậy h = AA0 = AB = Thể tích khối trụ V = πR2h = 8π A O B A0 O0 B0  Bài Cho hình trụ có thiết diện qua trục hình chữ nhật có chu vi 100 Tính diện tích thiết diện qua trục hình trụ thể tích hình trụ đạt giá trị lớn Lời giải Gọi ABB0A0 thiết diện qua trục hình trụ Có chu vi thiết diện 100 nên 2(AB + AA0) = 100 ⇔ 2R + h = 50 Có V = πR2h = πR2(50 − 2R) = π(50R2− 2R3) = πf (R). f0(R) = 100R − 6R2, f0(R) = ⇔   R = R = 50 3 A O B A0 O0 B0 x y0 y 0 50 3 +∞ + − Vậy thể tích khối trụ lớn R = h = 50 Khi diện tích thiết diện S = AB · AA0 = 2Rh = 5000 9  { DẠNG Thiết diện khơng qua trục hình trụ, hình nón Phương pháp giải Ví dụ Cho hình nón đỉnh S, có chiều cao a√2, đáy đường trịn tâm O, bán kính 2a, mặt phẳng qua đỉnh S hình nón cắt đường tròn O theo dây cung AB, biết tam giác OAB tù có diện tích a 2√7 (6)Có SOAB = 1 2 · OA · OB · sin ’AOB = a2√7 2 ⇔ sin ’AOB = √ 4 ⇒ cos ’AOB = − 4 (vì ’AOB tù) AB2 = OA2+ OB2− · OA · OB · cos ’AOB = 14a2 ⇒ AB = a√14. Gọi H trung điểm AB, ta có®OH ⊥ AB SO ⊥ AB ⇒ AB ⊥ (SOH) ⇒ góc (SAB) với đáy ’SHO OH =√OA2− AH2 = √a 2, tan ’SHO = SO OH = a√2 a √ = ⇒ ’SHO ≈ 63◦260 A B H S O  Ví dụ Cho hình trụ có hai đáy đường trịn (O) (O0), bán kính đáy 2a, chiều cao bằng 5a Mặt phẳng (α) song song với trục OO0 cách trục đoạn a√3, tính diện tích thiết diện tạo mặt phẳng (α) hình trụ Lời giải Gọi thiết diện mặt phẳng với hình trụ tứ giác M N N0M0 Gọi H trung điểm M N Ta có ®OH ⊥ MN OH ⊥ M M0 ⇒ OH ⊥ (M N N 0M0) ⇒ d(OO0, (M N N0M0)) = d(O, (M N N0M0)) = OH = a√3. 4OM H có M H =√OM2− OH2 = a ⇒ M N = 2M H = 2a. Vậy diện tích thiết diện SM N N0M0 = M M0 · M N = 5a · 2a = 10a2 N O O0 N0 H M M0 (7)BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Cho hình nón đỉnh S, có độ dài đường sinh 5a, bán kính đường trịn đáy 4a Một mặt phẳng (α) tạo với đáy hình nón góc 60◦, tính diện tích thiết diện tạo mặt phẳng (α) với hình nón Lời giải A B H S O Gọi SAB thiết diện tạo (α) với hình nón Gọi H trung điểm AB, ta có®OH ⊥ AB SO ⊥ AB ⇒ AB ⊥ (SOH) ⇒ ((α), (OAB)) = ’SHO = 60 ◦. Có SA = 5a, OA = 4a, SO =√SA2− AO2 = 3a, OH = SO tan 60◦ = a √ AB = 2AH = 2√OA2− OH2 = 2a√13, SH =√SO2+ OH2 = 2a√3. Vậy diện tích thiết diện SSAB = 1 2 · SH · AB = 2a 2√39.  (8)A B H S O K Do thiết diện qua trục hình nón tam giác vng cân nên ta có h = SO = OA = OB = 3a Gọi H trung điểm AB, có AH = AB 2 = 3a√3 2 , OH = √ OA2− AH2 = 3a 2 Gọi K hình chiếu O lên SH Có ®OH ⊥ AB SO ⊥ AB ⇒ AB ⊥ (SOH) ⇒ AB ⊥ OK Mà OK ⊥ SH nên OK ⊥ (SAB) ⇒ d(O, (SAB)) = OK 4SOH có OK2 = 1 SO2 + 1 OH2 ⇒ OK = 3a√5 5 = d(O, (SAB))  Bài Cho hình trụ có chiều cao 4a, hai đường trịn đáy có tâm O O0 bán kính a√5 Mặt phẳng (α) song song với trục OO0 cắt hình trụ theo thiết diện có diện tích 8a2, tính khoảng cách từ trục OO0 đến mặt phẳng (α) Lời giải Gọi M N N0M0 thiết diện tạo (α) với hình trụ Ta có SM N N0M0 = M N · M M0 ⇔ M N = SM N N0M0 M M0 = 8a2 4a = 2a Gọi H trung điểm M N , có®OH ⊥ MN OO0 ⊥ M N ⇒ OH ⊥ (α) ⇒ d(OO0, (M N N0M0)) = d(O, (M N N0M0)) = OH. Có M H = M N 2 = a, 4OHM có OH = √ OM2− M H2 = 2a. Vậy khoảng từ trục OO0 đến (α) OH = 2a O N O0 N0 H M M0  Bài Cho hình trụ có hai đường trịn đáy (O, 2a) (O0, 2a) Xét hình nón (T ) có đỉnh O0 nhận đường tròn (O) làm đáy Mặt phẳng (α) qua O0, tạo với đáy hình trụ góc 45◦, giả sử (α) cắt đường trịn (O) theo dây cung AB, cắt đường tròn (O0) theo dây cung CD (theo thứ tự tạo thành tứ giác ABCD) Tính thể tích khối trụ biết SABCD = 3SO0AB (9)Gọi H trung điểm AB, ta có®OH ⊥ AB OO0 ⊥ AB ⇒ AB ⊥ (OO 0H). ⇒ O0H ⊥ AB ⇒ ( ((OAB), (α)) = ÷OHO0 = 45◦ O0H đường cao chung ABCD 4O0AB Do SABCD = 3SO0AB ⇔ SO0BC = SO0AB (vì 4O0BC = 4O0CD) ⇔ · O 0H · O0C = 2 · O 0H · AB ⇔ AB = O0C = 2a ⇒ BH = a. OH =√OB2− BH2 = a√3, OO0 = OH tan 45◦ = a√3. Vậy thể tích khối trụ V = π · R2· OO0 = 4πa3√3 A O O0 D H B C  { DẠNG Góc khoảng cách nón trụ Phương pháp giải 1 Góc đường thẳng d mặt phẳng (α) A O H d d0 ϕ α B1 Xác định giao điểm O d (α) B2 Trên d lấy điểm A khác O định H hình chiếu A lên (α) B3 Góc d (α) góc ’AOH 2 Góc hai mặt phẳng I c a b α β (10)B3 Góc (α) (β) góc a b 3 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng 4 Khoảng cách hai đường thẳng chéo ∆ d B1 Xác định mặt phẳng (α) chứa ∆ song song với d B2 Xác định khoảng cách d (α) Đó khoảng cách ∆ d Ví dụ Cho hình nón có đường cao h = 16, bán kính đáy r = 12 Tính diện tích thiết diện khối nón cắt mặt phẳng (α) qua đỉnh hình nón, biết khoảng cách từ tâm đáy đến (α) Lời giải I M O N H K Gọi O, I đỉnh tâm đáy hình nón, M , N giao (α) đường tròn đáy, H, K hình chiếu I lên M N , OH Ta có            M N ⊥IH M N ⊥IO ⇒ M N ⊥IK Lại có OH⊥IK nên IK⊥(OM N ), theo giả thiết IK = 8, IO = 16, IM = 12 Tam giác OIH vng I có đường cao IK suy l IO2 + l IH2 = l IK2 ⇒ IH = 16√3 Trong tam giác vng OIH ta có OH =√IO2+ IH2 = 32 √ 3 Trong tam giác vuông IHM ta có M H =√IM2 − IH2 = √ 33 ⇒ S∆OM N = 128√11 3  Ví dụ Cho hình nón có đường cao SO Gọi M , P hai điểm đường trịn đáy Tính diện tích xung quanh hình nón biết khoảng cách từ tâm đáy đến M P ’SM O = 30◦, ’ (11)Lời giải O M S P H 30◦60◦ Gọi H hình chiếu O lên M P Đặt SO = h, SH =√h2+ 25. Trong tam giác vuông SOM SHM ta có OM = SO cot ’SM O = h√3, M H = SH cot ’SM P = √ h2+ 25 √ Trong tam giác vuông HOM ta có: OH2+ HM2 = OM2 ⇔ 25 + h 2+ 25 3 = 3h 2 ⇔ h = √ 2 Suy OM = √ 6 2 ⇒ SM = √ 2 Vậy diện tích xung quanh hình chóp Sxq= 25 √ 3π  Ví dụ Cho hình nón có đường cao SO = 12, bán kính đáy r = 24 Tính diện tích thiết diện khối nón cắt mặt phẳng (α) biết góc SO mặt phẳng (α) 60◦ Lời giải Gọi M , N giao α đường trịn đáy, H, K hình chiếu O lên M N , SH Ta có            M N ⊥OH M N ⊥SO ⇒ M N ⊥OK Lại có OK⊥SH nên OK⊥(SM N ) ⇒ ’OSH = 60◦ Trong tam giác vuông SOH ta có: OH = SO tan ’OSH = 12 tan 60◦ = 12√3 ⇒ SH = 24 √ (12)O M S N H K 60◦  Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy a, góc cạnh bên mặt đáy 60◦ Tính thể tích khối nón có đỉnh S đường trịn đáy đường tròn ngoại tiếp ABCD Lời giải O B S C A D 60◦ Goi O tâm đáy hình chóp S.ABCD Khi SO⊥(ABCD) suy góc cạnh bên SA đáy ’SAO Và ’SAO = 60◦ Ta có AO = a √ 2 2 ⇒ SO = a√6 2 , suy thể tích khối nón là: V = πa3√6 12  (13)Lời giải O O0 A B C R√3 2R Lấy C đường tròn (O0) cho AC đường sinh hình trụ Ta có AC song song OO0 nên góc AB OO0 góc AB OO0 ’CAB Trong tam giác vng ABC ta có: cos ’CAB = AC AB = √ 2 ⇒ ’CAB = 30 ◦. Vậy góc AB OO0 30◦  Ví dụ 11 Cho hình trụ trịn xoay có hai đáy hai hình trịn (O) (O0) Gọi A, B hai điểm đường trịn (O0) Tính diện tích xung quanh hình trụ biết tam giác OAB cạnh a góc mặt phẳng (OAB) mặt phẳng chứa (O0) 60◦ Lời giải O O0 A B H Gọi H trung điểm AB Khi ta có OH⊥A, O0H⊥AB nên góc mặt phẳng (OAB) mặt phẳng chứa (O0) góc HO HO0, ÷O0HO. Ta có OH = a √ 3 ⇒ OO0 = OH sin 60◦ = 3a, O0H = OH cos 60◦ = a √ (14)Mặt khác O0B = √O0H2+ BH2 = a √ 4 Từ ta suy diện tích xung quanh hình trụ Sxq = 3√7π.a2 8  Ví dụ 12 Một hình trụ có bán kính r chiều cao h = r Một hình vng ABCD có hai cạnh AB CD hai dây cung hai đường tròn đáy (O) (O0) Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng ABCD, biết đường thẳng BC đường sinh hình trụ Lời giải O O0 A B C D D P E Q H Gọi P , Q, E trung điểm AB, CD, OO0 Điểm H hình chiếu O lên P Q Ta có            AB⊥OP AB⊥OO0 ⇒ AB⊥(P OO0) Tương tự CD⊥(QOO0) Mà CD//(QOO0) nên AB⊥(QOO0) Do đó O, P, Q, O0đồng phẳng Cũng từ ta có OH⊥AB, OH⊥P Q suy OH⊥(ABCD) hay OH khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABCD) Mặt khác dễ dàng nhận thấy OP = O0Q OP//O0Q nên P Q cắt OO0 E trung điểm đường Trong tam giác vng AOE ta có AE =   AO2+ OE2 = r √ 2 Mà tam giác AP E vuông cân P suy EP = r √ 10 Trong tam giác vuông P OE: OP =√P E2− OE2 = r √ 4 ⇒ OH = r√15 10  BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Cho hình nón có đường cao SO = 15, Gọi M , N hai điểm đường trịn đáy Tính thể tích khối nón biết tam giác M N S góc SO mặt phẳng (SM N ) 30◦ (15)O M S N H K 30◦ Gọi H, K hình chiếu O lên M N , OH Ta có            M N ⊥OH M N ⊥OS ⇒ M N ⊥OK Lại có SH⊥OK nên OK⊥(SM N ) Do ’OSH góc SO mặt phẳng (SM N ), suy ’OSH = 30◦ Trong tam giác vuông SOH ta có: OH = SO tan ’OSH = 5√3’ SH = OH sin ’OSH = 10√3 Tam giác SM N có dường cao SH = 10√3 nên có canh M N = SH.√2 3 = 20, suy OM = √ M H2OH2 = 5√7 Vậy thể tích khối nón V = 875π  (16)O M S N H 30◦ 45◦ Gọi S, O đỉnh tâm đáy hình nón, M , N giao α đường tròn đáy, H hình chiếu O lên M N Ta có            SH⊥M N OH⊥M N suy ’SHO góc mặt phẳng (SM N ) mặt phẳng (OM N ) Vì góc đỉnh hình nón 90◦ nên ta có ’OSM = 45◦, kết hợp với tam giác SOM vuông O ta SO = OM = a Trong tam giác vng SOH ta có OH = SO cot ’SHO = a √ 3 3 , SH = 2a suy M H = √ OM2− OH2 = a√6 3 Do diện tích thiết diện hình nón cắt (α) SSM N = 2√6.a2 3  Bài 11 Một hình trụ có bán kính r = chiều cao h = Gọi A, B hai điểm hai đường tròn đáy cho góc AB trục hình trụ 60◦ Tính khoảng cách đường thẳng AB trục hình trụ (17)O O0 A B C H 60◦ Qua A dựng đường thẳng song song với OO0 cắt đường trịn (O0) C.Khi góc AB OO0 góc AC AB ’CAB suy ’CAB = 60◦ Gọi H trung điểm BC Ta có            O0H⊥BC O0H⊥AC ⇒ O0H⊥(ABC). Mặt khác OO0//(ABC) ⇒ d(OO0; (ABC)) = d(O0; (ABC)) = O0H Trong tam giác vuông ABC có BC = AC tan ’CAB = 8√3, suy O0H = √O0C2− CH2 = Vậy (18)C CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 1 Mức độ nhận biết Câu Cho khối nón có bán kính đáy r =√3 chiều cao h = Tính thể tích V khối nón cho A V = 12π B V = 4π C V = D V = 12 Lời giải Thể tích khối nón V = 3πr 2h = 3π( √ 3)2· = 4π. Chọn đáp án B  Câu Cho khối trụ tích V bán kính đáy R Chiều cao khối trụ cho A V πR2 B V 3πR2 C V R2 D V 3R2 Lời giải Ta có V = πR2h ⇒ h = V πR2 Chọn đáp án A  Câu Thể tích khối nón có chiều cao h = bán kính đáy R = A V = 32π B V = 96π C V = 16π D V = 48π Lời giải Thể tích khối nón V = 3πR 2· h = 3π · 2· = 32π Chọn đáp án A  Câu Diện tích xung quanh hình nón có độ dài đường sinh bán kính đáy A 4π B 6π C 12π D 5π Lời giải Áp dụng công thức tính diện tích xung quanh hình nón Sxq = πrl = π · · = 6π Chọn đáp án B  Câu Cho hình nón có bán kính đáy r = diện tích xung quanh 20π Thể tích khối nón cho A 4π B 16π C 16 3 π D 80 π Lời giải Áp dụng cơng thức tính diện tích xung quanh hình nón ta có Sxq = πrl ⇒ 20π = π · · l ⇒ l = Vì h =√l2− r2 nên h =√52− 42 =√9 = 3. Khối nón tích V = 3πr 2h = 3π · 2· = 16π. S l h r = Chọn đáp án B  (19)A 48π B 36π C 12π D 24π Lời giải Vì hình trụ có đường cao đường sinh nên h = l = Áp dụng cơng thức tính thể tích khối trụ ta có V = πR2h ⇒ 45π = π · R2· ⇒ R2 = ⇒ R = 3. Diện tích tồn phần hình trụ Stp= 2πRh + 2πR2 = 2π · · + 2π · 32 = 30π + 18π = 48π O O0 l = h R Chọn đáp án A  Câu Tính theo a thể tích khối trụ có bán kính đáy a, chiều cao 2a A 2πa3. B. 2πa 3 3 C πa3 3 D πa 3. Lời giải Phương pháp: Cơng thức tính thể tích khối trụ V = πr2h Cách giải: Ta có V = π · r2· h = π · a2· 2a = 2π · a3 . Chọn đáp án A  Câu Cho hình nón có đường cao h = a, bán kính r = a Diện tích xung quanh hình nón A 4πa2 B 2πa2 C 2√2πa2 D √2πa2 Lời giải Độ dài đường sinh hình nón l =√h2+ r2 =√a2+ a2 = a√2. Diện tích xung quanh hình nón Sxq = πrl = π · a √ 2 · a =√2πa2 Chọn đáp án D  Câu Tính thể tích V khối trụ có bán kính đáy chiều cao A V = 12π B V = 8π C V = 16π D V = 4π Lời giải Theo đề ta có bán kính đáy R = 2, chiều cao khối trụ h = Do V = πR2· h = π · 22· = 8π. Chọn đáp án B  Câu 10 Cho hình nón có độ dài đường sinh l = 4a, bán kính đáy R = √3a Diện tích xung quanh hình nón A 8√3πa2. B. √ 3πa2 3 C √ 3πa2. D 2√3πa2. Lời giải Diện tích xung quanh hình nón là: sxq = πRl = πa √ 34a = 4√3πa2. Chọn đáp án C  Câu 11 Cho hình trụ có bán kính đáy chiều cao Diện tích xung quanh hình trụ cho A 175π 3 B 175π C 70π D 35π Lời giải Ta có Sxq = 2πrl = 2π · · = 70π Chọn đáp án C  Câu 12 Khối trụ trịn xoay có đường kính 2a, chiều cao h = 2a tích (20)Lời giải Khối trụ trịn xoay có bán kính 2a 2 = a nên tích V = πa 2· 2a = 2πa3. Chọn đáp án B  Câu 13 Gọi l, h, r độ dài đường sinh, chiều cao bán kính mặt đáy hình nón Diện tích xung quanh Sxq hình nón A Sxq = 13πr2h B Sxq = πrh C Sxq = 2πrl D Sxq = πrl Lời giải Cơng thức tính diện tích xung quanh hình nón Sxq = πrl Chọn đáp án D  Câu 14 Hình bát diện có tất cạnh? A B 12 C 30 D 16 Lời giải Số cạnh = · = 12 Chọn đáp án B  Câu 15 Tính thể tích V khối nón có bán kính đáy chiều cao A V = 18π B V = 54π C V = 108π D V = 36π Lời giải Ta có V = 3πr 2h = 3π · 2 · = 18π. Chọn đáp án A  Câu 16 Một hình trụ có diện tích xung quanh S, diện tích đáy diện tích mặt cầu bán kính a Khi thể tích hình trụ A Sa B 2Sa C 1 3Sa D 1 4Sa Lời giải Gọi r bán kính đáy hình trụ, h chiều cao hình trụ Theo ta có®S = 2πrh πr2 = 4πa2 ⇔    r = 2a h = S 4πa Thể tích khối trụ V = πr2h = π · 4a2· S 4πa = Sa Chọn đáp án A  Câu 17 Cho hình nón có chiều cao h góc đỉnh 90◦ Thể tích khối nón xác định hình nón trên: A 2π 3 B √ 6π 3 C π 3 D 2π Lời giải Từ giả thiết suy bán kính nón r = h Vậy thể tích khối nón tương ứng V = 3πr 2h = πh3 3 r h l S O A B Chọn đáp án C  Câu 18 Một hình trụ có bán kính đáy , r = a độ dài đường sinh l = 2a Diện tích tồn phần hình trụ (21)Lời giải Stp= 2Sd+ Sxq = 2πa2 + 2πa · 2a = 6πa2 Chọn đáp án C  Câu 19 Cho khối trụ có độ dài đường sinh 2a bán kính đáy a Thể tích khối trụ cho A πa3. B 2πa3. C. πa 3 3 D πa3 Lời giải Dựa vào cơng thức tính thể tích khối trụ ta có V = πr2h = π · a2· 2a = 2πa3. Chọn đáp án B  Câu 20 Thể tích V khối trụ có bán kính đáy r = chiều cao h = 4√2 A V = 32π B V = 32√2π C V = 64√2π D V = 128π Lời giải Phương pháp: Thể tích V khối trụ có bán kính đáy r chiều cao h V = πr2h. Cách giải: Thể tích V khối trụ có bán kính đáy r = chiều cao h = 4√2 V = πr2h = π · 42· 4√2 = 64√2π. Chọn đáp án C  Câu 21 Thể tích khối nón có đường sinh 10 bán kính đáy là: A 196π B 48π C 96π D 60π Lời giải Phương pháp: Thể tích khối nón có đường cao h bán kính đáy r V = 3πr 2. Cách giải: Độ dài đường cao khối nón: h =√l2− r2 =√102− 62 = 8. Thể tích khối nón V = 3πr 2h = 3π · 2· = 96π. Chọn đáp án C  Câu 22 Tính thể tích V khối nón có bán kính đáy r =√3 chiều cao h = A V = 4π B V = 12π C V = 16π√3 D V = Lời giải Thể tích V khối nón có bán kính đáy r =√3 chiều cao h = V = 3π Ä√ 3ä2· = 4π Chọn đáp án A  Câu 23 Thể tích khối trụ có bán kính R = 3, chiều cao h = A V = 90π B V = 45 C V = 45π D V = 15π Lời giải Thể tích khối trụ: V = π · R2· h = 45π. Chọn đáp án C  Câu 24 Cơng thức tính diện tích xung quanh Sxq hình nón có đường sinh l, bán kính đáy r A Sxq = 4πrl B Sxq = πrl C Sxq = πrl D Sxq = 3πrl Lời giải Cơng thức tính diện tích xung quanh hình nón có bán kính đáy r, chiều cao h đường sinh l Sxq = πrl Chọn đáp án C  Câu 25 Một hình trụ có bán kính đáy 2cm có thiết diện qua trục hình vng Diện tích xung quanh hình trụ (22)Vì thiết diện qua trục hình vng nên ta có h = 2r = 4cm ⇒ Sxq = 2πrh = 2π · 2.4 = 16πcm2. O0 Q O N A A0 B B0 P M Chọn đáp án D  Câu 26 Cho hình lăng trụ đứng có diện tích đáy 3a2, độ dài cạnh bên 2a Thể tích khối lăng trụ A 6a3 B a3 C 3a3 D 2a3 Lời giải Thể tích khối lăng trụ V = B.h với B diện tích đáy, h chiều cao lăng trụ Lăng trụ cho lăng trụ đứng suy đường cao cạnh bên nên h = 2a Vậy thể tích khối lăng trụ cho là: V = 3a2· 2a = 6a3. Chọn đáp án A  Câu 27 Tính thể tích khối nón có chiều cao độ dài đường sinh A 12π B 36π C 16π D 48π Lời giải Bán kính đường trịn đáy khối nón r =√l2− h2 = 3. Vậy thể tích khối nón V = 3πr 2h = 12π. Chọn đáp án A  Câu 28 Cho hình trụ có bán kính đáy cm, độ dài đường cao cm Tính diện tích xung quanh hình trụ A 24π (cm2). B 22π (cm2). C 26π (cm2). D 20π (cm2). Lời giải Sxq = 2π × r × h = 2π × × = 24 (cm2) Chọn đáp án A  Câu 29 Cho đường thẳng d2 cố định, đường thẳng d1 song song cách d2 khoảng cách không đổi Khi d1 quay quanh d2 ta A hình trịn B khối trụ C hình trụ D mặt trụ Lời giải Khi d1 quay quanh d2 ta mặt trụ Chọn đáp án D  Câu 30 Gọi l, h, r độ dài đường sinh, chiều cao bán kính mặt đáy hình nón Cơng thức tính diện tích xung quanh Sxq hình nón bốn đáp án đúng? A Sxq = πrh B Sxq = 2πrl C Sxq = πrl D Sxq = 1 3πr 2h. Lời giải Theo lý thuyết Chọn đáp án C  (23)A a B 2a C 3a D 4a Lời giải Diện tích xung quanh hình trụ có bán kính đáy a chiều cao h là: Sxq = 2πah ⇔ h = Sxq 2πa = 4πa2 2πa = 2a Vậy độ dài đường cao hình trụ h = 2a Chọn đáp án B  Câu 32 Cho khối nón có bán kính đáy r =√3 chiều cao h = Tính thể tích V khối nón cho A V = 16π√3 B V = 12π C V = D V = 4π Lời giải Áp dụng cơng thức tính thể tích khối nón ta tính V = 3πr 2h = 3.π.( √ 3)2.4 = 4π. Chọn đáp án D  Câu 33 Hình trụ trịn xoay có đường kính đáy 2a, chiều cao h = 2a tích A V = 2πa3. B V = πa3. C V = 2πa2. D V = 2πa2h. Lời giải Bán kính đường trịn đáy hình trụ r = a Thể tích V = h · πr2 = 2a · πa2 = 2πa3 h 2a Chọn đáp án A  Câu 34 Cho hình nón có bán kính đáy r = √3 độ dài đường sinh l = Tính diện tích xung quanh S hình nón cho A S = 8√3π B S = 24π C S = 16√3π D S = 4√3π Lời giải Sxq = πRl = √ 3π (đvdt) Chọn đáp án D  Câu 35 Cơng thức tính thể tích khối trụ có bán kính đáy R chiều cao h A V = πRh B V = πR2h C V = 3πR 2h. D V = πRh2. Lời giải Gọi S diện tích đáy khối trụ, V = Sh = πR2h Chọn đáp án B  Câu 36 Tính thể tích khối trụ có bán kính R = 3, chiều cao h = A V = 45π B V = 45 C V = 15π D V = 90π Lời giải Thể tích khối trụ V = πR2h = 45π. Chọn đáp án A  Câu 37 Viết cơng thức tính diện tích xung quanh hình trụ có chiều cao h bán kính đáy R A Sxq = 2πRh B Sxq = π2Rh C Sxq = πRh D Sxq = 4πRh Lời giải (24)Câu 38 Cho hình trụ có bán kính đáy 4, diện tích xung quanh 48π Thể tích khối trụ A 24π B 96π C 32π D 72π Lời giải Gọi hình trụ có bán kính chiều cao R, h Theo giả thiết R = Sxq = 2π · R · h = 48π nên h = Do thể tích khối trụ V = π · R2· h = 96π. Chọn đáp án B  Câu 39 Cho tam giác ABC vuông A Khi quay tam giác ABC (kể điểm trong) quanh cạnh AC ta A Mặt nón B Khối nón C Khối trụ D Khối cầu Lời giải Khi quay quanh cạnh góc vng AC tam giác phần tạo thành khối nón trịn xoay Chọn đáp án B  Câu 40 Cho hình nón trịn xoay có bán kính đường trịn đáy r, chiều cao h đường sinh l Kết luận sau sai? A V = 3πr 2h. B S tp= πrl + πr2 C h2 = r2+ l2 D Sxq = πrl Lời giải Ta có l2 = h2+ r2 ⇒ h2 = l2− r2, suy đáp án h2 = r2+ l2 sai. Chọn đáp án C  Câu 41 Tính diện tích xung quanh hình nón trịn xoay có đường cao đường kính đáy A π B π √ 8 C 2π D π√5 Lời giải Ta có Sxq = πrl = πr √ h2+ r2 = π · 2·   12+Å 2 ã2 = π √ 5 4 (đvdt) Chọn đáp án D  Câu 42 Gọi l, h, R độ dài đường sinh, chiều cao bán kính đáy hình trụ Đẳng thức đúng? A R2 = h2+ l2. B l = h. C l2 = h2+ R2. D R = h. Lời giải Theo tính chất hình trụ ta có l = h Chọn đáp án B  Câu 43 Khối trụ trịn xoay có đường cao bán kính đáy thể tích A π 3 B π 2. C 2π. D π. Lời giải Thể tích khối trụ V = π · r2· h = π · 12· = π. Chọn đáp án D  Câu 44 Gọi l, h R độ dài đường sinh, chiều cao bán kính đáy hình trụ Đẳng thức ln A l = h B r = h C l2 = h2+ R2. D R2 = h2+ l2. (25)Trong hình trụ chiều cao độ dài đường sinh Chọn đáp án A  Câu 45 Tính thể tích V khối nón trịn xoay có chiều cao h đáy hình trịn bán kính r A V = πrh B V = 3πrh C V = 1 3πr 2h. D V = πr2h. Lời giải Thể tích khối nón 3 diện tích đáy nhân chiều cao V = 3πr 2h. Chọn đáp án C  Câu 46 Cho hình nón có đỉnh S, đáy hình trịn tâm O, bán kính R = cm, góc đỉnh hình nón ϕ = 120◦ Cắt hình nón mặt phẳng qua đỉnh S tạo thành tam giác SAB, A, B thuộc đường trịn đáy Diện tích tam giác SAB A 3√3 cm2. B 6√3 cm2. C cm2. D cm2. Lời giải Xét tam giác SAO vng O, ta có sin ’ASO = OA SA ⇒ SA = R sin 60◦ = √ cm SSAB = SA2√3 = √ cm2 A B S O Chọn đáp án A  Câu 47 Một hình trụ có bán kính đáy a, có thiết diện qua trục hình vng Tính theo a diện tích xung quanh hình trụ A πa2. B 2πa2. C 3πa2. D 4πa2. Lời giải Thiết diện qua trục hình vng nên hình trụ có đường sinh đường kính đáy: l = 2a Vậy diện tích xung quanh hình trụ Sxq = 2πrl = 4πa2 B0 B O O0 A A0 Chọn đáp án D  Câu 48 Một hình nón trịn xoay có độ dài đường cao h bán kính đường trịn đáy r Thể tích khối nón trịn xoay giới hạn hình nón A V = 3πr 2h. B V = πr2h. C V = 3πrh D V = 2 3πr 2h. Lời giải Theo cơng thức thể tích khối nón trịn xoay Chọn đáp án A  Câu 49 Cho hình trụ có chiều cao 2a, bán kính đáy a Tính diện tích xung quanh hình trụ A πa2 B 2a2 C 2πa2 D 4πa2 Lời giải (26)Câu 50 Một hình nón có độ dài đường sinh cm, đường cao cm Thể tích V khối nón A V = 15π cm3. B V = 20π cm3. C V = 36π cm3. D V = 12π cm3. Lời giải Ta có bán kính đáy nón r =√l2− h2 =√25 − 16 = 3. Thể tích khối nón V = 3πr 2h = 3 · π · 2· = 12π. Chọn đáp án D  Câu 51 Khối lăng trụ có chiều cao h, diện tích đáy B tích A V = 2Bh B V = Bh C V = 1 6Bh D V = 1 3Bh Lời giải Khối lăng trụ có chiều cao h, diện tích đáy B tích V = Bh Chọn đáp án B  Câu 52 Cho khối nón có bán kính đáy r = 2, chiều cao h = √3 (hình vẽ) Thể tích khối nón A 4π √ 3 3 B 4π 3 C 4π √ 3 D 2π √ 3 2 √ 3 Lời giải Thể tích khối nón là: V = 3πr 2h = 4π √ 3 Chọn đáp án A  Câu 53 Tính thể tích khối trụ biết bán kính đáy r = cm chiều cao h = cm A 32π cm3 B 24π cm3 C 48π cm3 D 96π cm3 Lời giải Thể tích khối trụ V = h · Sđáy = · π · 42 = 96π. Chọn đáp án D  Câu 54 Cho hình nón đỉnh (S) có đáy đường trịn tâm (O) bán kính R Biết SO = h Độ dài đường sinh hình nón A √h2− R2. B. √h2+ R2. C 2√h2− R2. D 2√h2+ R2. Lời giải Ta có đường sinh l =√h2+ R2. O S h R Chọn đáp án B  Câu 55 Khối trụ có chiều cao h bán kính đáy r tích A 3πr 2h. B πr2h. C. 3πrh 2. D πrh2. Lời giải Theo cơng thức tính thể tích khối trụ ta có V = πr2h (27)Câu 56 Thể tích khối lăng trụ có chiều cao h diện tích đáy B A V = Bh B V = 6Bh C V = 1 2Bh D V = 1 3Bh Lời giải Thể tích khối lăng trụ có chiều cao h diện tích đáy B V = Bh Chọn đáp án A  Câu 57 Diện tích xung quanh mặt trụ có bán kính đáy R, chiều cao h A Sxq = πRh B Sxq = 3πRh C Sxq = 4πRh D Sxq = 2πRh Lời giải Ta có diện tích xung quanh mặt trụ Sxq = 2πRh Chọn đáp án D  Câu 58 Cho hình nón có thiết diện qua trục tam giác cạnh 2a Tính thể tích khối nón A √3πa3 . B. √ 3πa3 3 C √ 3πa3 6 D √ 3πa3 2 Lời giải Thiết diện qua trục hình nón tam giác cạnh 2a nên l = 2a, R = a h = a√3 Suy ra, V = 3πa 2· a√3 = πa 3√3 3 S O A Chọn đáp án B  Câu 59 Bán kính đáy hình trụ cm, chiều cao cm Độ dài đường chéo thiết diện qua trục A cm B 10 cm C cm D cm Lời giải Thiết diện qua trục hình chữ nhật ABCD Ta có r = 4, h = ⇒ AB = 2r = 8, BC = h = ⇒ AC =√AB2+ BC2 =√82+ 62 = 10. A B C D Chọn đáp án B  Câu 60 Cho hình nón có bán kính đáy r = √3 độ dài đường sinh ` = Tính diện tích xung quanh S hình nón cho A S = 8√3π B S = 24π C S = 4√3π D S = 2√3π Lời giải Áp dụng công thức S = πr` = 2√3π Chọn đáp án D  Câu 61 Tính diện tích xung quanh S hình trụ có bán kính đáy chiều cao A S = 12π B S = 42π C S = 36π D S = 24π Lời giải (28)Câu 62 Mặt phẳng qua trục hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện hình vng cạnh a Thể tích khối trụ bao nhiêu? A πa3. B. πa 3 2 C πa3 3 D πa3 4 Lời giải Khối trụ có chiều cao h = a, bán kính đáy r = a Vậy V = πr2h = π · a 2 4 · a = πa3 4 C C0 B B0 Chọn đáp án D  Câu 63 Cho hình nón có chiều cao cm, góc trục đường sinh 60◦ Thể tích khối nón là: A V = 9π (cm3) B V = 54π (cm3) C V = 27π (cm3) D V = 18π (cm3) Lời giải Vì chiều cao cm góc trục đường sinh 60◦ nên bán kính đáy R = h tan 60◦ = 3√3 cm Suy thể tích khối nón là: V = 3πR 2h = 27π (cm3). h R Chọn đáp án C  Câu 64 Cho hình trụ có chiều cao h bán kính đáy R Cơng thức tính thể tích khối trụ A πRh2 B πR2h C 3πRh 2. D. 3πR 2h. Lời giải Ta có cơng thức tính thể tích khối trụ V = πR2h. Chọn đáp án B  Câu 65 Một khối trụ có độ dài đường sinh 10, biết thể tích khối trụ 90π Tính diện tích xung quanh khối trụ A 60π B 78π C 81π D 90π Lời giải Gọi R, l bán kính độ dài đường sinh khối trụ Chiều cao khối trụ độ dài đường sinh khối trụ Thể tích V khối trụ V = πR2l Suy R =… V πl = … 90π 10π = Diện tích xung quanh khối trụ Sxq = 2πRl = 2π · · 10 = 60π Chọn đáp án A  Câu 66 Cho hình nón có diện tích xung quanh 5πa2 bán kính đáy a Tính độ dài đường sinh hình nón cho (29)Lời giải Ta có diện tích xung quanh hình nón Sxq = πr × l = πa × l = 5πa2 ⇔ l = 5a Chọn đáp án D  Câu 67 Một hình nón có bán kính đáy 5a, độ dài đường sinh 13a đường cao h hình nón A 12a B 7√6a C 17a D 8a Lời giải Ta có h =√l2− r2 =p(13a)2− (5a)2 = 12a. h r l Chọn đáp án A  Câu 68 Cho hình trụ có chiều cao bán kính đáy Thể tích khối trụ cho A 6π B 18π C 15π D 9π Lời giải Khối trụ có chiều cao h, bán kính đáy r tích V = πr2h. Nên thể tích khối trụ cho π · 32· = 18π. Chọn đáp án B  Câu 69 Mặt phẳng chứa trục hình nón cắt hình nón theo thiết diện A hình chữ nhật B tam giác cân C đường elip D đường tròn Lời giải Mặt phẳng chứa trục hình nón cắt hình nón theo thiết diện tam giác cân Chọn đáp án B  Câu 70 Cho hình trụ có bán kính đáy r = cm khoảng cách hai đáy cm Diện tích xung quanh hình trụ A 40π cm2. B 144π cm2. C 72π cm2. D 80π cm2. Lời giải Diện tích xung quanh hình trụ Sxq = 2π · r · h = 80π cm2 Chọn đáp án D  Câu 71 Thể tích khối nón có chiều cao h = bán kính đáy r = bao nhiêu? A V = 32π B V = 96π C V = 16π D V = 48π Lời giải Thể tích khối nón V = 3· h · Sđáy = 3 · h · πr 2 = 3 · · π · 2 = 32π h O S r Chọn đáp án A  Câu 72 Khối nón có chiều cao h = cm bán kính đáy r = cm tích bao nhiêu? A 16π cm2. B 4π cm2. C. 3π cm 3. D 4π cm3. Lời giải V = 3πr 2h = 3π · (30)Câu 73 Cho hình trụ (T ) có độ dài đường sinh l, bán kính đáy r Kí hiệu Sxq diện tích xung quanh của (T ) Cơng thức sau đúng? A Sxq = 3πrl B Sxq = 2πrl C Sxq = πrl D Sxq = 2πr2l Câu 74 Một khối trụ có khoảng cách hai đáy, độ dài đường sinh bán kính đường trịn đáy h, l, r Khi cơng thức tính diện tích tồn phần khối trụ gì? A Stp = 2πr(l + r) B Stp= 2πr(l + 2r) C Stp= πr(l + r) D Stp= πr(2l + r) Lời giải Stp = Sxq+ Sđáy= 2πrl + 2πr2 = 2πr(l + r) Chọn đáp án A  Câu 75 Cho hình nón trịn xoay Một mặt phẳng (P ) qua đỉnh O hình nón cắt đường trịn đáy hình nón hai điểm Thiết diện tạo thành hình gì? A Một tứ giác B Một hình thang cân C Một ngũ giác D Một tam giác cân Lời giải Thiết diện tam giác SAB cân S S A O B Chọn đáp án D  Câu 76 Cho hình nón trịn xoay có bán kính đường tròn đáy r, chiều cao h đường sinh l Kết luận sau sai? A V = 3πr 2h. B S tp= πrl + πr2 C h2 = r2+ l2 D Sxq = πrl Lời giải Công thức h2 = l2− r2 Chọn đáp án C  Câu 77 Tính diện tích tồn phần hình nón có bán kính đáy 4a, chiều cao 3a A 20πa2. B 15πa2. C 24πa2. D 36πa2. Lời giải Ta có đường sinh l =√h2+ R2 = 5a. Ta có Stp= Sxq+ Sđáy = π · R · l + π · R2 = 36πa2 Chọn đáp án D  Câu 78 Mặt cầu bán kính R nội tiếp hình lập phương Hãy tính thể tích V hình lập phương A V = 8πR 3 3 B V = 16πR3 3 C V = 16R 3. D V = 8R3. Lời giải Vì mặt cầu bán kính R nội tiếp hình lập phương nên độ dài cạnh hình lập phương 2R Thể tích khối lập phương V = (2R)3 = 8R3. Chọn đáp án D  Câu 79 Một hình trụ có diện tích xung quanh 8, diện tích đáy diện tích mặt cầu có bán kính Tính thể tích V khối trụ (31)Lời giải Gọi r, Sxq, Sđ bán kính, diện tích xung quanh diện tích đáy của hình trụ Gọi Smc diện tích mặt cầu Ta có: Sđ= Smc ⇔ πr2 = 4π · 22 ⇔ r = Thể tích khối trụ: V = Sđ· h = πr2h = 2πrh · r 2 = Sxq· r 2 = 8 · = 16 (với h đường cao hình trụ) Chọn đáp án C  Câu 80 Cho khối trụ có đường kính đáy với chiều cao tích 2π Tính chiều cao h khối trụ A h = B h =√3 24 C h =√2 D h =√3 4 Lời giải Thể tích khối trụ V = 2π Theo giả thiết, suy ra: π ·Å h 2 ã2 · h = 2π ⇔ h3 = ⇔ h = 2. Chọn đáp án A  Câu 81 Một nón có đường kính vành nón 50 cm, chiều cao 25 cm Hỏi diện tích xung quanh nón bao nhiêu? A 625 cm2. B 625√3π cm2. C 625√2π2 cm2. D 625π cm. Lời giải Độ dài đường sinh l =√252+ 252 = 25√2. Diện tích xung quanh hình nón là: Sxq = π · 25 · 25 √ 2 = 625π√2 cm2. Chọn đáp án C  Câu 82 Tính diện tích xung quanh hình nón có bán kính đường trịn đáy cm độ dài đường sinh cm A 15π cm2 B 20π cm2 C 9π√3 cm2 D 12π cm2 Lời giải Ta có: Sxq = πrl = π · · = 20π cm2 Chọn đáp án B  Câu 83 Cho hình nón có chu vi đường trịn đáy 4πcm, chiều cao √3cm Tìm thể tích khối nón A 2π √ 3 cm 3. B. 16π √ 3 cm 3. C. 4π √ 3 cm 3. D 4π√3 cm3. Lời giải Ta có: 2πr = 4π ⇔ r = Vậy V = 4π √ 3 cm 3. Chọn đáp án C  Câu 84 Tính thể tích V khối trụ có bán kính đáy r = 10 cm chiều cao h = cm A V = 120π cm3. B V = 360π cm3. C V = 200π cm3. D V = 600π cm3. (32)Câu 85 Gọi r, h, l, Sxq bán kính đáy, chiều cao, độ dài đường sinh diện tích xung quanh của hình nón Mệnh đề sau đúng? A Sxq = πrh B Sxq = πrl C Sxq = 2πrl D Sxq = πr2h Lời giải Theo công thức tính diện tích xung quanh ta có: Sxq = πrl Chọn đáp án B  Câu 86 Cơng thức thể tích V khối nón trịn xoay có bán kính đáy r chiều cao h cho công thức sau đây? A V = 3πrh 2. B V = 3πrh 2. C V = 3πr 2h. D V = 3πr 2h. Lời giải Theo cơng thức lý thuyết, ta có V = 3πr 2h. Chọn đáp án D  Câu 87 Cho hình trụ có chiều cao h, bán kính đáy R Diện tích tồn phần hình trụ A Stp = 2πR(R + h) B Stp= πR(R + h) C Stp= πR(2R + h) D Stp= πR(R + 2h) Lời giải Ta có Stp= Sxq+ · Sđ = 2πRh + 2πR2 = 2πR(R + h) Chọn đáp án A  Câu 88 Cho hình trụ có bán kính đáy r, chiều cao h Khẳng định sai? A Diện tích tồn phần hình trụ 2πrh + rπ2+ πh2. B Thiết diện qua trục hình trụ hình chữ nhật có diện tích 2rh C Thể tích khối trụ πr2h. D Khoảng cách trục hình trụ đường sinh củả hình trụ r Lời giải Ta có Sxq = 2πrh, Sđ = πr2 ⇒ Stp = Sxq+ 2Sđ = 2πrh + 2πr2 Chọn đáp án A  Câu 89 Gọi l, h, R độ dài đường sinh, chiều cao bán kính đáy hình trụ (T) Diện tích tồn phần Stp hình trụ (T) A Stp = πRl + 2πR2 B Stp= πRh + πR2 C Stp= πRl + πR2 D Stp= 2πRl + 2πR2 Lời giải Stp = Sxq + 2Sđáy= 2πRl + 2πR2 Chọn đáp án D  Câu 90 Hình nón trịn xoay có chiều cao h = 3a, bán kính đường trịn đáy r = a Thể tích khối nón A 3πa3. B. πa 3 9 C πa 3. D. πa 3 3 Lời giải Thể tích khối nón V = 3πr 2h = 3π · a 2· 3a = πa3. Chọn đáp án C  Câu 91 Công thức sau cơng thức tính thể tích V khối trụ có diện tích đáy B, chiều cao h? A V = hB B V = 3hB C V = 4 3hB D V = 2hB Lời giải Cơng thức thể tích khối trụ V = hB (33)Câu 92 Cho khối nón có bán kính đáy r = 2, chiều cao h = Tính thể tích V khối nón A V = 10π B V = 20π C V = 20π 3 D V = 10π Lời giải V = 3πr 2h = 20π 3 B A O S Chọn đáp án C  Câu 93 Cho hình chữ nhật ABCD cạnh AB = 2, AD = Gọi M , N trung điểm cạnh AB, CD Cho hình chữ nhật quay quanh M N ta hình trụ tích V bao nhiêu? A V = 8π B V = 16π C V = 4π D V = 32π Lời giải Bán kính khối trụ Chiều cao khối trụ Thể tích khối trụ V = π · 12· = 4π 4 A D B C M N Chọn đáp án C  Câu 94 Khối tròn xoay sinh quay hình chữ nhật quanh cạnh A Khối chóp B Khối trụ C Khối cầu D Khối nón Lời giải Chọn đáp án B  Câu 95 Diện tích tồn phần hình trụ có bán kính đáy 10 cm khoảng cách hai đáy cm (34)Bán kính đáy r = 10 cm; khoảng cách hai đáy cm ⇒ chiều cao hay đường sinh h = l = cm Diện tích tồn phần hình trụ Stp = 2πrl + 2πr2 = 2π · 10 · + 2π · 102 = 300π cm2 h = 5 r = 10 Chọn đáp án B  Câu 96 Cho hình trụ có diện tích xung quanh 50π độ dài đường sinh bán kính đường trịn đáy Tính diện tích tồn phần hình trụ A 60π B 80π C 100π D 120π Lời giải Theo đề ta có h = r Diện tích xung quanh A = 2πrh = 2πr2 = 50π Diện tích tồn phần 2πr(r + h) = 2π2r2 = 50π.2 = 100π. Chọn đáp án C  Câu 97 Cho tam giác ABC vng A có AB = 6, AC = Quay tam giác ABC quanh trục AB ta nhận hình nón có độ dài đường sinh C B A A C B A B 10 C D Lời giải Đường sinh cạnh huyền BC tam giác ABC Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vng ABC ta có: BC =√AB2+ AC2 =√62+ 82 = 10. Chọn đáp án B  Câu 98 Cho hình nón tích V = 36πa3 và bán kính 3a Tính độ dài đường cao h của hình nón cho A h = 4a B h = 2a C h = 5a D h = 12a Lời giải Ta có V = 3Bh ⇔ 36πa 3 = 3π(3a) 2h ⇔ h = 12a. Chọn đáp án D  Câu 99 Cho hình nón có bán kính đáy r =√3 độ dài đường sinh l = Tính diện tích xung quanh Sxq hình nón cho A Sxq = 12π B Sxq = √ 3π C Sxq = √ 39π D Sxq = √ 3π Lời giải Ta có Sxq = 1 2l2πr = √ 3π Chọn đáp án B  Câu 100 Gọi l, h, R độ dài đường sinh, chiều cao bán kính đáy hình nón Đẳng thức sau ln đúng? A l2 = h2 + R2. B. l2 = 1 h2 + 1 R2 C R 2 = h2+ l2. D l2 = hR. (35)(36)ĐÁP ÁN 1 B A A B B A A D B 10 C 11 C 12 B 13 D 14 B 15 A 16 A 17 C 18 C 19 B 20 C 21 C 22 A 23 C 24 C 25 D 26 A 27 A 28 A 29 D 30 C 31 B 32 D 33 A 34 D 35 B 36 A 37 A 38 B 39 B 40 C 41 D 42 B 43 D 44 A 45 C 46 A 47 D 48 A 49 D 50 D 51 B 52 A 53 D 54 B 55 B 56 A 57 D 58 B 59 B 60 D 61 D 62 D 63 C 64 B 65 A 66 D 67 A 68 B 69 B 70 D 71 A 72 B 73 B 74 A 75 D 76 C 77 D 78 D 79 C 80 A 81 C 82 B 83 C 84 D 85 B 86 D 87 A 88 A 89 D 90 C (37)2 Mức độ thông hiểu Câu Cắt khối nón mặt phẳng qua trục tạo thành tam giác có cạnh a Thể tích khối nón A πa3√2 B 3πa 3 8 C 2√3πa3 9 D πa3√3 24 Lời giải Phương pháp: Thể tích khối nón V = 3πr 2h. Cách giải: Tam giác SAB cạnh a ⇒            R = OA = OB = a h = SO = a √ Thể tích khối nón: V = 3πr 2h = 3π · a 2 2 · a √ 3 = a3π√3 24 O S B A Chọn đáp án D  Câu Cho hình nón có góc đỉnh 60◦ bán kính đáy a Diện tích xung quanh hình nón bao nhiêu? A 2πa2. B 4πa2. C πa2. D πa2√3. Lời giải Hình nón cho có đỉnh S, đáy đường trịn tâm O đường kính M N hình vẽ Ta có bán kính đáy r = OM = a, góc ÷M SN = 60◦ suy ’M SO = 30◦ 4SOM vng O, ta có sin ’M SO = OM SM, suy SM = OM sin ’M SO = 2a, hay đường sinh l = 2a Vậy diện tích xung quanh hình nón Sxq = π · r · l = 2πa2 60◦ S O M N Chọn đáp án A  Câu Cho khối nón có độ dài đường sinh 2a bán kính đáy a Thể tích khối nón cho A √ 3πa3 3 B √ 3πa3 2 C 2πa3 3 D πa3 3 Lời giải Chiều cao h =p(2a)2− a2 = a√3. Thể tích V = 3Bh = 1 3πa 2a√3 = √ 3πa3 3 Chọn đáp án A  Câu Cắt khối trụ mặt phẳng qua trục nó, ta thiết diện hình vng có cạnh a Tính diện tích xung quanh S khối trụ A S = 2πa2. B S = πa 2 C S = πa (38)Do thiết diện hình vng cạnh a nên bán kính đáy a 2 chiều cao h = a Diện tích xung quanh: S = 2π ×a 2 × a = πa 2. Chọn đáp án C  Câu Thiết diện qua trục hình nón trịn xoay tam giác cạnh 2a Tính thể tích V khối nón A V = πa3√3. B V = πa 3√3 3 C V = πa3√3 24 D V = 3πa3 8 Lời giải Cắt hình nón mặt phẳng qua trục ta dược thiết diện tam giác suy 2r = 2a ⇒ r = a đường cao h = a√3 Thể tích khối nón V = 3πr 2h = 3 · πa 2 · a√3 = πa 3√3 3 Chọn đáp án B  Câu Cho hình lập phương ABCD.A0B0C0D0 có cạnh a Một hình nón có đỉnh tâm hình vng A0B0C0D0 có đường trịn đáy ngoại tiếp hình vng ABCD Tính diện tích xung quanh hình nón A πa 2√2 2 B πa 2√3. C. πa 2√2 4 D πa2√3 2 Lời giải Gọi O, O0 tâm hình vng ABCD A0B0C0D0 Hình nón có đáy đường trịn ngoại tiếp hình vng ABCD có cạnh a nên đáy hình nón đường trịn có bán kính r = OC = 2AC = a√2 Hình nón có đỉnh tâm hình vng A0B0C0D0 nên chiều cao hình nón độ dài cạnh hình vng Suy h = a r h l A B O D0 C0 O0 A0 D C B0 Khi độ dài đường sinh l = O0C = √O0O2+ OC2 = s a2+ Ç a√2 2 å2 =… 3a 2 2 = a√6 2 Vậy diện tích xung quanh hình nón Sxq = πrl = π · 2√2 · a√6 = πa2√3 2 Chọn đáp án D  Câu Một khối nón có bán kính đáy góc đỉnh 60◦ tích bao nhiêu? A 9π√3 B 27π√3 C 3π√3 D 6π√3 Lời giải Phương pháp: Sử dụng công thức tính thể tích khối nón V = 3π · r 2· h với r bán kính đáy, h chiều cao hình chóp. (39)O S A B Cắt hình nón mặt phẳng qua trục ta dược thiết diện tam giác cân SAB có AB = 2R = ASB = 60◦ nên tam giác SAB cạnh ⇒ trung tuyến SO = √ = √ Thể tích khối nón V = 3π · r 2· h = 3π · 2· 3√3 = 9π√3. Chọn đáp án A  Câu Một khối nón tích 4π chiều cao Bán kính đường trịn đáy A √ 3 B 4 3 C D Lời giải Ta có: V = 3πR 2h ⇒ 4π = 3πR 2· ⇒ R2 = ⇒ R = 2. Chọn đáp án D  Câu Hình nón có thiết diện qua trục tam giác tích V = √ 3 πa 3 Diện tích xung quanh S hình nón A S = 4πa2 B S = 2πa2 C S = 2πa 2. D S = 3πa2. Lời giải Gọi R bán kính đáy hình nón Vì thiết diện qua trục tam giác nên chiều cao hình nón h = R√3 Từ ta suy thể khối nón V = 3πR 2h = πR 3√3 3 (1) Theo giả thiết ta có V = √ 3 πa 3. (2) Từ (1) (2) suy R = a Do diện tích xung quanh S = πa · 2a = 2πa2 Chọn đáp án B  Câu 10 Cho hình nón trịn xoay có chiều cao h = 20 (cm), bán kính đáy r = 25 (cm) Một thiết diện qua đỉnh hình nón có khoảng cách từ tâm đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện 12 (cm) Tính diện tích thiết diện (40)Thiết diện qua đỉnh tam giác SAB Gọi K trung điểm AB ⇒ OK⊥AB ⇒ AB⊥ (SOK)⇒ (SAB) ⊥ (SOK) Kẻ OH⊥SK (H ∈ SK)⇒ OH⊥ (SAB)⇒ OH = 12(cm) Ta có: OH2 = 1 OK2 + 1 OS2⇒ 1 OK2 = 1 122 − 1 202 = 1 225⇒ OK = 15 (cm) KB =√OB2− OK2 =√252− 152 = 20 ⇒ AB = 2BK = 40 (cm). SK =√SO2+ OK2 =√202+ 152 = 25 (cm). ⇒ S∆SAB = 1 2.SK.AB = 500 (cm 2). O S A B K H Chọn đáp án B  Câu 11 Tính thể tích V khối trụ có bán kính đáy chiều cao A V = 216π B V = 108π C V = 72π D V = 36π Lời giải Áp dụng cơng thức thể tích khối trụ V = πr2h = 62· 3π = 108π Chọn đáp án B  Câu 12 Cho khối nón có độ dài đường sinh 10 diện tích xung quanh 60π Thể tích khối nón cho A 360π B 288π C 120π D 96π Lời giải Ta có Sxq = πrl = 10πr = 60π ⇒ r = và h =√l2− r2 =√102− 62 = 8. Vậy thể tích khối nón V = 3πr 2h = 3π · 2· = 96π Chọn đáp án D  Câu 13 Một hình trụ có trục OO0 chứa tâm mặt cầu bán kính R, đường trịn đáy hình trụ thuộc mặt cầu trên, đường cao hình trụ R Tính thể tích V khối trụ A V = 3πR 3 4 B V = πR 3. C V = πR 3 4 D V = πR3 3 Lời giải Phương pháp Thể tích khối trụ có bán kính đáy R chiều cao h là: V = πR2h Cách giải: Đường kính đáy khối trụ là: 2r =p(2R)2− R2 = R√3 ⇒ r = R √ V = πr2h = π Ç R√3 2 å2 R = 3πR 3 4 Chọn đáp án A  Câu 14 Cho lăng trụ ABC.A0B0C0 có diện tích mặt bên ABB1A1 6, khoảng cách cạnh CC1 và mặt phẳng ABB1A1 Thể tích khối lăng trụ ABC.A0B0C0 bằng: A 24 B C 16 D 32 (41)Phương pháp Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy S chiều cao h V = Sh Chia khối lăng trụ ABC.A0B0C0 thành khối chóp C1.ABC khối tứ giác C1.ABB1A1 Ta có: VC1.ABC = 1 3V ⇒      VC1ABB1A1 = 2 3V VC1ABB1A1 = 1 3d (A; (ABB1A1)) = 3.6.8 = 16 A1 A C C1 B B1 Chọn đáp án A  Câu 15 Một hình trụ có thiết diện qua trục hình vng, diện tích xung quanh 36πa2 Tính thể tích V lăng trụ lục giác nội tiếp hình trụ A V = 27√3a3. B V = 24√3a3. C V = 36√3a3. D V = 81√3a3. Lời giải Thiết diện qua trục hình trụ hình vng ADD0A0 Gọi O, O0 hai tâm đường trịn đáy (hình vẽ) Suy l = 2r Theo giả thiết ta có Sxq = 2πrl = 36πa2 ⇔ 2πr · 2r = 36πa2 ⇒ r = 3a ⇒ l = 6a Lăng trụ lục giác ABCDEF.A0B0C0D0E0F0 nội tiếp hình trụ có chiều cao h = 6a SABCDEF = 6S∆OAB = · (3a)2√3 4 = 27a2√3 2 (vì ∆OAB đều, cạnh 3a) Suy V = 27a 2√3 2 · 6a = 81a 3√3. J O A B C D E F C0 D0 O0 I0 J0 B0 A0 E0 F 0 I Chọn đáp án D  Câu 16 Khối nón có bán kính đáy r = 3, chiều cao h =√2 Tính thể tích V khối nón A V = 9π√2 B V = 3π√11 C V = 3π√2 D V = π√2 Lời giải Thể tích khối nón V = 3πr 2h = 3π · 2·√2 = 9π √ Chọn đáp án C  Câu 17 Cho hình trụ có diện tích tồn phần 8π có thiết diện cắt mặt phẳng qua trục hình vng Tính thể tích khối trụ? A 4π 9 B π√6 9 C 16π√3 9 D π√6 12 Lời giải Gọi bán kính đường trịn đáy r Vì thiết diện cắt mặt phẳng qua trục hình vng nên chiều cao hình trụ 2r Ta có Stp= 2Sd+ Sxq = 2πr2+ 2πrh = 2πr2+ 2πr · 2r = 6πr2. Theo đề Stp = 8π ⇒ r2 = 4 3 ⇒ r = 2√3 3 ; V = πr 2h = πr2· 2r = 2πr3 = 2π · √ 3 = 16√3π 9 r (42)Câu 18 Cắt hình trụ (T ) mặt phẳng qua trục thiết diện hình chữ nhật có diện tích 30cm2 và chu vi 26cm Biết chiều dài hình chữ nhật lớn đường kính mặt đáy hình trụ (T ) Diện tích tồn phần (T ) A 23πcm2 B 23π 2 cm 2. C. 69π 2 cm 2. D 69πcm2. Lời giải O0 Q O N A A0 B B0 P M Gọi h, r đường cao bán kính đáy hình trụ (T ) Thiết diện mặt phẳng hình trụ (T ) hình chữ nhật M N P Q Khi theo giả thiết ta có      h > 2r SABCD = h · 2r = 30 CABCD = 2(h + 2r) = 26 ⇔      h > 2r hr = 15 h + 2r = 13 ⇔      h > 2r h = 13 − 2r −2r2+ 15r − 15 = 0 ⇔              h > 2r h = 13 − 2r   r = ⇒ h = r = 2 ⇒ h = 10 (nhận) Vậy Stp = Sxq+ 2S = 2πrh + 2πr2 = 2π · 3 2· 10 + 2π Å 2 ã2 = 69π cm 2. Chọn đáp án C  Câu 19 Khối nón (N ) có bán kính đáy diện tích xung quanh 15π Tính thể tích V khối nón (N ) A V = 36π B V = 60π C V = 20π D V = 12π Lời giải  Ta có Sxq = πrl ⇒ l = Sxq πr = 15π 3π = chiều cao h = √ l2− r2 =√25 − = 4.  Vậy V = 3πr 2h = 3π · 2· = 12π. Chọn đáp án D  Câu 20 Cắt khối trụ mặt phẳng qua trục ta thiết diện hình chữ nhật ABCD có AB CD thuộc hai đáy hình trụ, AB = 4a; AC = 5a Tính thể tích khối trụ: A V = 8πa3 B V = 16πa3 C V = 12πa3 D V = 4πa3 Lời giải Phương pháp: Sử dụng công thức tính thể tích khối trụ có chiều cao h bán kính đáy r V = πr2h Cách giải: Áp dụng định lí Pytago tam giác vng ABC có BC =√AC2− AB2 =√25a2− 16a2 = 3a. Vậy thể tích khối trụ V = πÅ AB ã2 .BC = π.(2a)2.3a = 12πa2. A D B (43)Chọn đáp án C  Câu 21 Thiết diện qua trục hình trụ hình vng có cạnh 2a Tính theo a thể tích khối trụ A πa3 B 2πa3 C 4πa3 D 3πa 3. Lời giải Ta có: VTrụ = hπr2 = 2a · π · a2 = 2πa3 Chọn đáp án B  Câu 22 Cho hình nón có bán kính đáy cm, góc đỉnh 60◦ Tính thể tích khối nón A √ 3π cm 3. B 8√3π cm3. C. √ 3π cm 3. D. 8π 3 cm 3. Lời giải 30◦ h r = S O A B Vì góc đỉnh 60◦ nên đường cao hình nón h = r · cot 30◦ = 2√3 cm Khi đó, thể tích khối nón V = 3πr 2h = 8π √ 3 cm 3. Chọn đáp án C  Câu 23 Cho hình nón có góc đỉnh 60◦ bán kính đáy a Diện tích xung quanh hình nón bao nhiêu? A 2πa2. B 4πa2. C πa2. D πa2√3. Lời giải Hình nón cho có đỉnh S, đáy đường trịn tâm O đường kính M N hình vẽ Ta có bán kính đáy r = OM = a, góc ÷M SN = 60◦ suy ’M SO = 30◦ 4SOM vuông O, ta có sin ’M SO = OM SM, suy SM = OM sin ’M SO = 2a, hay đường sinh l = 2a Vậy diện tích xung quanh hình nón Sxq = π · r · l = 2πa2 60◦ S (44)Câu 24 Cho hình lập phương ABCD.A0B0C0D0 cạnh a Tính diện tích tồn phần vật trịn xoay thu quay tam giác AA0C0 quanh trục AA0 A πÄ√6 + 2äa2 B πÄ√3 + 2äa2 C 2πÄ√2 + 1äa2 D 2πÄ√6 + 1äa2 Lời giải Khi quay tam giác AA0C0 quanh trục AA0 ta hình nón có bán kính đáy R = A0C0 = a√2, đường sinh l = AC0 chiều cao h = AA0 = a Ta có l = AC0 =√A0C02+ AA02=√2a2+ a2 = a√3. Ta có Stp = πRl + πR2 = π( √ 6 + 2)a2 C0 A0 A Chọn đáp án A  Câu 25 Một hình trụ có thiết diện qua trục hình vng, diện tích xung quanh 4π Thể tích khối trụ A 3π B 2π C 4π D 4 3π Lời giải Ta có ABB0A0 hình vng ⇒ h = 2r Diện tích xung quanh hình trụ: Sxq = 2πrh = 2πr · 2r = 4πr2 = 4π ⇒ r = ⇒ h = Thể tích khối trụ V = πr2h = π · 12· = 2π O0 O A A0 B B0 Chọn đáp án B  Câu 26 Một hình trụ trịn xoay có độ dài đường sinh đường kính đáy thể tích khối trụ 16π Diện tích tồn phần khối trụ cho A 16π B 12π C 8π D 24π Lời giải Gọi bán kính đáy hình trụ R suy h = l = 2R Theo đề ta tích khối trụ là: V = πR2.h = πR2.2R = 2πR3 = 16π ⇒ R = 2 Do h = l = Diện tích tồn phần khối trụ là: S = 2πRl + 2πR2 = 2π.2.4 + 2π.22 = 24π Chọn đáp án D  Câu 27 Cho hình nón trịn xoay có bán kính diện tích xung quanh 6√3π Góc đỉnh hình nón cho A 60◦ B 150◦ C 90◦ D 120◦ Lời giải Gọi S, O đỉnh tâm mặt đáy hình nón Lấy A điểm nằm đường trịn đáy Gọi góc đỉnh hình nón 2β suy β = ’OSA Mặt khác Sxq = πrl ⇔ l = Sxq πr = 6√3π 3π = √ 3 Xét 4SOA vuông O, ta có sin OSA = OA SA = 2√3 = √ 2 ⇒ ’OSA = 60 ◦ Vậy 2β = 2’OSA = 120◦ O A S (45)Chọn đáp án D  Câu 28 Cho hình nón trịn xoay có bán kính diện tích xung quanh 6√3π Góc đỉnh hình nón cho A 60◦ B 150◦ C 90◦ D 120◦ Lời giải Giả sử thiết diện qua trục hình nón cho tam giác SAB, gọi H tâm đường tròn đáy hình nón Ta có AH = Sxq = π · AH · SA Suy SA = Sxq πAH = 6√3π 3π = √ Ta có cos ’ASH = AH AS = 2√3 = √ 2 ⇒ ’ASH = 30 ◦. Do đó, góc đỉnh hình nón 60◦ A S B H Chọn đáp án A  Câu 29 Cắt mặt xung quanh hình trụ dọc theo đường sinh trải mặt phẳng ta hình vng có chu vi 8π Thể tích khối trụ cho A 2π2. B 2π3. C 4π. D 4π2. Lời giải Chu vi hình vng 8π nên cạnh hình vng 2π Do hình trụ có bán kính R = 1, đường sinh l = 2R Vậy thể tích hình trụ V = πR2h = 2π2. l C = 8π h r l Chọn đáp án A  Câu 30 Khối nón (N ) có bán kính đáy diện tích xung quanh 15π Tính thể tích khối nón (N ) A 36π B 12π C 16π D 45π Lời giải Gọi SO, SI đường cao đường sinh khối nón (N ) Ta có Sxq = π · OI · SI ⇒ SI = Sxq π · OI = Suy SO =√SI2− OI2 = 4. Thể tích khối nón (N ) V = 3SO · π · OI 2 = 3· 4π9 = 12π O S I Chọn đáp án B  Câu 31 Tính diện tích mặt cầu có bán kính (46)Gọi r bán kính mặt cầu Ta có diện tích mặt cầu S = 4πr2 = · π · 32 = 36π. Chọn đáp án B  Câu 32 Cho khối nón có chiều cao 2a bán kính đáy a Thể tích khối nón cho A 4πa 3 3 B 2πa 3. C. 2πa 3 3 D 4πa 3. Lời giải Thể tích khối nón V = 3πr 2h = 3πa 2.2a = 2πa 3 Chọn đáp án C  Câu 33 Cho khối trụ (T ) Biết mặt phẳng chứa trục (T ) cắt (T ) theo thiết diện hình vng cạnh 4a Thể tích khối trụ cho A 8πa3. B 64πa3. C 32πa3. D 16πa3. Lời giải Thiết diện hình trụ (T ) qua trục hình vng cạnh 4a ⇒ hình trụ có chiều cao h = 4a bán kính đáy R = 2 · 4a = 2a ⇒ V = πR 2h = π · 4a2· 4a = 16πa2. Chọn đáp án D  Câu 34 Một khối pha lê gồm hình cầu (H1) bán kính R hình nón (H2) có bán kính đáy đường sinh r, l thỏa mãn r = 2l l = 2R xếp chồng lên hình vẽ bên Biết tổng diện tích mặt cầu (H1) diện tích tồn phần hình nón (H2) 91 cm2 Tính diện tích khối cầu (H1) A 104 cm 2. B 16 cm2. C 64 cm2. D. 26 5 cm 2. Lời giải Do giả thiết r = 2l l = 2R suy r = 2· 3 2R = 3 4R Gọi S1 diện tích tồn phần hình nón, ta có S1 = π · r · l + π · r2 = π · Å 4R ã · 2R + π · Å 4R ã2 = 27πR 2 16 Mặt khác gọi S2 diện tích mặt cầu, ta có S2 = 4πR2 Để thỏa mãn toán cho S1 + S2 = 91 ⇔ 27πR2 16 + 4πR 2 = 91 ⇔ 91πR 16 = 91 ⇔ πR 2 = 16. Do S2 = 4πR2 = · 16 = 64 (cm2) Chọn đáp án C  Câu 35 Cho khối nón có độ dài đường sinh 2a bán kính đáy a Thể tích khối nón cho A √ 3πa3 3 B √ 3πa3 2 C 2πa3 3 D (47)Lời giải Ta có l = 2a; r = a, suy h =√l2− r2 =√3a. Thể tích khối nón V = 3πr 2h = √ 3πa3 3 h r l Chọn đáp án A  Câu 36 Một khối đồ chơi gồm hai khối trụ (H1), (H2) xếp chồng lên nhau, có bán kính đáy chiều cao tương ứng r1, h1, r2, h2 thỏa mãn r2 = 1 2r1, h2 = 2h1 (tham khảo hình vẽ bên) Biết thể tích tồn khối đồ chơi 30 cm3, thể tích khối trụ (H1) A 24 cm3 B 15 cm3 C 20 cm3 D 10 cm3 Lời giải Gọi V1, V2 thể tích hai khối trụ (H1), (H2) Ta có V2 = h2πr22 = 2h1π 1 4r 2 1 = 1 2h1πr 2 1 = 1 2V1 Mà V1+ 2V1 = 30 nên V1 = 20 Chọn đáp án C  Câu 37 Tính thể tích V khối nón có bán kính đáy r = √3 chiều cao gấp hai lần bán kính đáy A V = 6√3π B V = 2√3π C V = 2π D V = 6π Lời giải Chiều cao khối nón h = 2r = 2√3 Thể tích khối nón V = 3πr 2h = 2√3π. Chọn đáp án B  Câu 38 Cho tam giác ABC vuông cân A, cạnh AB = 4a Quay tam giác xung quanh cạnh AB Thể tích khối nón tạo thành A 64πa 3 3 B 8πa2 3 C 4πa3 3 D 4πa2 3 Câu 39 Một hình trụ có bán kính đáy r = cm, chiều cao h = 50 cm Hỏi diện tích xung quanh Sxq của hình trụ bao nhiêu? A Sxq = 500 cm2 B Sxq = 250 cm2 C Sxq = 500π cm2 D Sxq = 2500π cm2 Câu 40 Một hình trụ trịn xoay có diện tích tồn phần S1, diện tích đáy S Cắt đơi hình trụ bằng mặt phẳng vng góc qua trung điểm đường sinh, ta hai hình trụ nhỏ mà hình trụ nhỏ có diện tích toàn phần S2 Khẳng định sau đúng? A S2 = 1 2S1+ S B S2 = 2(S1+ S) C S2 = 2S1 D S2 = 2S1 Câu 41 Hình nón có thiết diện qua trục tam giác cạnh 2a Thể tích khối nón A √ 3πa3 B 8πa 3 C √ 3πa3 D √ 3πa3 (48)Câu 42 Cho hình nón trịn xoay có chiều cao a√3, đường kính đáy 2a Tìm diện tích xung quanh Sxq hình nón cho A Sxq = √ 3πa2 B Sxq = 2πa2 C Sxq = πa2 D Sxq = √ 3πa2 Lời giải Bán kính đáy r = a, suy đường sinh l =»(a√3)2+ a2 = 2a Do đó, diện tích xung quanh hình nón là Sxq = 2a2π Chọn đáp án B  Câu 43 Thể tích V khối nón có chiều cao a độ dài đường sinh a√5 A V = 3πa 3. B V = 4πa3. C V = 3πa 3. D V = 3πa 3. Lời giải Theo Pitago ta có OA =√SA2− SO2 = 2a. Vậy V =√13OA2SOπ = 3πa 3. S A O B Chọn đáp án A  Câu 44 Một hình trụ có diện tích xung quanh S Diện tích đáy diện tích mặt cầu bán kính a Khi thể tích hình trụ A Sa B 2Sa C 1 3Sa D 1 4Sa Lời giải Gọi bán kính đáy hình trụ r, πr2 = 4πa2 nên r = 2a. Chiều cao hình trụ h = S 2πr = S 4πa Thể tích hình trụ V = hπr 2 = S 4πaπ4a 2 = Sa. Chọn đáp án A  Câu 45 Cho hình nón có chiều cao h góc đỉnh 90◦ Thể tích khối nón xác định hình nón A 2πh 3 3 B √ 6πh3 3 C πh3 3 D 2πh 3. Lời giải Từ giả thiết suy bán kính nón r = h Vậy thể tích khối nón tương ứng V = 3πr 2h = πh 3 3 h O S r Chọn đáp án C  (49)B F C D A E a a a 30◦ A 10π a 3. B. π 3a 3. C. 5π 2 a 3. D. 10π 9 a 3. Lời giải  Khi quay hình vng ABCD quanh trục DF ta khối trụ tròn xoay có chiều cao a bán kính đáy a Thể tích khối trụ V1 = π · a2· a = πa3  Khi quay tam giác vuông AF E quanh trục DF ta khối nón trịn xoay có chiều cao a bán kính đáy EF = AF · tan 30◦ = a √ 3 Thể tích khối nón V2 = 3π · Ç a√3 å2 · a = π 9a 3. B F C D A E Vậy thể tích cần tìm V = V1+ V2 = πa3 + π 9a 3 = 10π 9 a 3. Chọn đáp án D  Câu 47 Cắt hình nón đỉnh S mặt phẳng qua trục ta tam giác vng cân có cạnh huyền a√2 Thể tích khối nón A π √ 2 a 3. B. π √ 12 a 3. C. π √ a 3. D. π √ a 2. Lời giải Xét tam giác vuông cân SAB có cạnh AB = a√2 Khối nón có bán kính đáy r, chiều cao h = SO r = h = SO = 2AB = a√2 2 (do tam giác SAB vuông cân S) Thể tích khối nón cần tìm V = 3πr 2h = 3π Ç a√2 å2 ·a √ 2 = π√2 12 a 3. B S O A h r a√2 Chọn đáp án B  Câu 48 Cho hình trụ (T ) sinh quay hình chữ nhật ABCD quanh cạnh AB Biết AC = 2√3a góc ’ACB = 45◦ Tính diện tích tồn phần Stp hình trụ (T ) (50)r h C D A B Ta có AB = sin 45◦AC = √ 2 · √ 3a =√6a BC =√AC2− BA2 =√6a. Do Stp= 2πBC2+ 2πBC · AB = 2π6a2+ 2π6a2 = 24πa2 Chọn đáp án C  Câu 49 Tính thể tích V khối nón có độ dài đường sinh 2a diện tích xung quanh 2πa2 A V = πa3√3 B V = πa 3√3 3 C V = πa3√3 6 D V = πa3√3 Lời giải Ta có l = 2a, Sxq = πrl = 2πa2 Suy r = 2πa2 π2a = a Mặt khác h =√l2− r2 = a√3 Vậy V = πa2a√3 = πa 3√3 3 Chọn đáp án B  Câu 50 Cho tam giác ABC vuông A có AB = a√3 BC = 2a Tính thể tích khối nón sinh quay tam giác ABC quay cạnh AB A V = πa3√3. B V = 2πa3. C V = 2πa 3 D V = πa3√3 3 Lời giải Ta có AC =√BC2 − AB2 = a thể tích khối nón là V = 3π · AC 2· AB = πa3 √ 3 B A0 A C Chọn đáp án D  Câu 51 Một hình nón có bán kính hình trịn đáy R chiều cao 2R Diện tích xung quanh hình nón A πR2(1 +√5) B πR2(1 +√3) C πR2√3 D πR2√5 Lời giải Độ dài đường sinh hình nón ` =√h2 + R2 = R√5 Diện tích xung quanh hình nón S = πR` = πR · R√5 = πR2√5 Chọn đáp án D  Câu 52 Một hình trụ có thiết diện qua trục hình vng cạnh 2a Thể tích khối trụ tương ứng A 2πa3. B πa3. C. 8πa 3 3 D (51)Lời giải Do khối trụ có thiết diện qua trục hình vng cạnh 2a nên h = 2R = 2a ⇒®h = 2a R = a Vậy thể tích khối trụ V = πR2· h = 2πa3. Chọn đáp án A  Câu 53 Trong không gian, cho hình chữ nhật ABCD có AB = AD = Gọi M, N trung điểm AD BC Quay hình chữ nhật xung quanh trục M N , ta hình trụ Tính diện tích tồn phần Stp hình trụ A Stp = 4π 3 B Stp = 4π C Stp=6π D Stp = 3π Lời giải Do quay hình chữ nhật quanh trục M N nên hình trụ tạo thành có h = M N = AB = R = AD 2 = Từ ta tính Stp = 2πRh + 2πR 2 = 4π. M A D N B C Chọn đáp án B  Câu 54 Cho đường thẳng L cắt không vuông với ∆, quay mặt phẳng chứa L ∆ quanh ∆ ta A Khối nón trịn xoay B Mặt trụ trịn xoay C Mặt nón trịn xoay D Hình nón trịn xoay Lời giải Theo định nghĩa: Cho đường thẳng L cắt không vuông với ∆, quay mặt phẳng chứa L ∆ quanh ∆ ta mặt nón trịn xoay L ∆ Chọn đáp án C  Câu 55 Tính thể tích V khối nón có đáy hình trịn bán kính 2, diện tích xung quanh nón 12π A V = √ 2π 3 B V = 16√2π 9 C V = 16 √ 2π D V = 16 (52)Ta có Sxq = πrl ⇔ 12π = π2l ⇔ l = suy h = √ l2− r2 =√62− 22 = 4√2. V = 3πr 2h = 3π2 24√2 = 16 √ 2π Chọn đáp án D  Câu 56 Trong khơng gian, cho hình chữ nhật ABCD có AB = AD = Gọi M , N trung điểm AB CD Quay hình chữ nhật xung quanh trục M N ta hình trụ Tính thể tích V hình trụ A V = π 2 B V = π C V = 2π D V = 4π Lời giải Hình trụ tạo thành có chiều cao AD = bán kính 2AD = 2 Do tích V = πr2h = π 2 Chọn đáp án A  Câu 57 Cho hình trụ có hai đáy hình trịn tâm O O0, bán kính R, chiều cao R√3; hình nón có đỉnh O0, đáy đường trịn (O; R) Tính tỉ số diện tích xung quanh hình trụ diện tích xung quanh hình nón A B C √2 D √3 Lời giải Diện tích xung quanh hình trụ S1 = 2πR · h = 2π · R2 √ Độ dài đường sinh hình nón l =√R2+ h2 = 2R. Diện tích xung quanh hình nón S2 = πRl = 2πR2 Vậy S1 S2 =√3 Chọn đáp án D  Câu 58 Thiết diện qua trục hình nón tam giác cạnh 2a Tính thể tích V khối nón A V = πa 3√3 6 B V = πa3√3 3 C V = πa3√3 2 D V = πa3√3 12 Lời giải Gọi S đỉnh hình nón, AB đường kính đường trịn đáy Theo giả thiết ta có tam giác SAB tam giác cạnh 2a Suy chiều cao khối nón h = a√3 bán kính đường trịn đáy r = a Vậy thể tích khối nón S = 3πr 2h = πa 3√3 3 h A B S Chọn đáp án B  Câu 59 Cắt khối trụ T mặt phẳng qua trục ta hình vng có diện tích Khẳng định sau sai? A Khối trụ tích V = 9π B Khối trụ T có diện tích tồn phần Stp = 27π C Khối trụ T có diện tích xung quanh Sxq = 9π D Khối trụ T có độ dài đường sinh l = (53)Từ cách cắt suy hình vng có cạnh Suy độ dài đường sinh đường kính đáy  V = πR2l = 27π 4  Sxq = 9π  Stp = 27π Chọn đáp án A  Câu 60 Tính diện tích mặt cầu (S) biết nửa chu vi đường trịn lớn 4π A S = 16π B S = 64π C S = 8π D S = 32π Lời giải Gọi R bán kính mặt cầu (S) Chu vi đường tròn lớn 8π ⇔ 2πR = 8π ⇔ R = Vậy diện tích mặt cầu S = 4πR2 = 64π. Chọn đáp án B  Câu 61 Khi cắt khối nón (N ) mặt phẳng qua trục ta thiết diện tam giác vng cân có cạnh huyền 2√3a Tính thể tích V khối nón (N ) A V = 3√6πa3. B V =√6πa3. C V =√3πa3. D V = 3√3πa3. Lời giải Thiết diện tam giác vng cân có cạnh huyền 2√3a nên bán kính đáy r = a√3, chiều cao h = a√3 Vậy thể tích khối nón V = 3πr 2h = 3π Ä a√3ä3 =√3πa3 S O B A Chọn đáp án C  Câu 62 Một hình nón có bán kính đường trịn đáy 3a đường sinh 5a Tính thể tích khối nón A 9πa3 B 12πa3 C 5πa3 D 15πa3 Lời giải Theo giả thiết r = 3a, l = 5a ⇒ h =√l2− r2 =√25a2− 9a2 = 4a. Ta có: V = 3πr 2h = 3π.9a 2.4a = 12πa3. h r = 3a l = 5a Chọn đáp án B  Câu 63 Cho hình lăng trụ ABC.A0B0C0 có góc hai mặt phẳng (A0BC) (ABC) 45◦, diện tích tam giác A0BC a2√6 Tính diện tích xung quanh hình trụ ngoại tiếp hình lăng trụ ABC.A0B0C0 A 4πa 2√3 3 B 4πa 2. C 2πa2. D. 8πa 2√3 (54)Gọi H trung điểm BC ⇒ AH ⊥ BC, AA0 BC ữA0HA = ( Ô (A0BC), (ABC)) = 45◦. Có tan 45◦ = AA 0 AH ⇒ AA 0 = AH = x, A0H = x√2. Xét tam giác ABC có BC = √2 3AH = 2x √ 3 Vì S∆A0BC = A0H · BC 2 = a 2√6 ⇒ x = a√3. Bán kính đường trịn ngoại tiếp ∆ABC R = 3AH = a√3 3 ⇒ Sxq = 2π · a√3 3 · a √ 3 = 2πa2 A A0 B B0 C0 C H Chọn đáp án C  Câu 64 Cho nửa hình trịn tâm O, đường kính AB Người ta ghép hai bán kính OA, OB lại để tạo mặt nón Tính góc đỉnh mặt nón A 60◦ B 30◦ C 90◦ D 45◦ Lời giải Gọi R bán kính đáy hình nón Ta có chu vi đường trịn đáy hình nón 2πR = 2· 2πOA ⇒ R = OA 2 ⇒ thiết diện hình nón qua trục tam giác ⇒ góc đỉnh hình nón 60◦. A H O O A B Chọn đáp án A  Câu 65 Tính diện tích xung quanh hình trụ có chiều cao 20 m chu vi đáy m A 100π m2. B 50π m2. C 50 m2. D 100 m2. Lời giải Chu vi đáy 2πR = (m2) ⇒ Sxq = 2πRh = 100 (m2) Chọn đáp án D  Câu 66 Cho khối nón có chiều cao 24 cm, độ dài đường sinh 26 cm Tính thể tích V khối nón tương ứng A V = 800π cm3 B V = 800π cm 3. C V = 1600π 3 cm 3. D V = 1600π cm3. Lời giải Bán kính đáy R =√262− 242 = 10 ⇒ V = 3π · 10 2· 24 = 800π cm3. Chọn đáp án A  Câu 67 Cho tam giác ABC có ’ABC = 45◦, ’ACB = 30◦, AB = √ 2 2 Quay tam giác ABC xung quanh cạnh BC ta khối trịn xoay tích V A V = π √ 3(1 +√3) 2 B V = π(1 +√3) 24 C V = π(1 +√3) 8 D V = π(1 +√3) 3 (55)Gọi H hình chiếu A BC Ta có AH = BH = 2; AC = AH sin 30◦ = 1; CH = √ Gọi V1 thể tích khối nón sinh 4HAB quay quanh cạnh BC ⇒ V1 = 1 3· BH · π · AH 2 = π 24 Gọi V2 thể tích khối nón sinh 4HAC quay quanh cạnh BC ⇒ V2 = 1 3· CH · π · AH 2 = π √ 24 Vậy V = V1+ V2 = π(1 +√3) 24 H D A C B Chọn đáp án B  Câu 68 Thiết diện qua trục hình trụ hình vng có diện tích Thể tích khối trụ A π B 2π C 4π D 5π Lời giải Gọi r bán kính đáy hình trụ Thiết diện qua trục hình trụ hình vng có diện tích suy (2r)2 = ⇒ r = Chiều cao hình trụ h = 2r = Thể tích khối trụ V = πr2h = 2π. O O0 h r Chọn đáp án B  Câu 69 Một hình nón có chiều cao h = 3, bán kính đáy r = Mặt phẳng qua đỉnh hình nón khơng qua trục hình nón cắt hình nón theo thiết diện tam giác cân có độ dài cạnh đáy Tình diện tích thiết diện A 8√2 B 6√2 C 12√2 D 24√2 Lời giải Ta có l = SC =√32+ 52 =√34. Vì 4SAB cân S nên SA = SB = SC =√34, P = √ 34 +√34 + 2 = 4 +√34 Suy diện tích tam giác 4SAB là: S = qÄ4 +√34ä Ä4 +√34 − 8ä Ä4 +√34 −√34ä Ä4 +√34 −√34ä = 12√2 A O S B Chọn đáp án C  Câu 70 Thiết diện qua trục hình nón (N ) tam giác vng cân có cạnh góc vng a Thể tích khối nón (N ) A πa 3 6 B π√2a3 6 C π√2a3 12 D (56)Giả sử SAB thiết diện qua trục hình nón (như hình vẽ) Tam giác SAB cân S tam giác cân nên SA = SB = a Do đó, AB =√SA2+ SB2 = a√2 r = SO = OA = 2AB = a√2 2 Thể tích khối nón: V = 3π · r 3 = 3π · a3 2√2 = πa3 6√2 A O S B a Chọn đáp án C  Câu 71 Khối nón (N ) có bán kính đáy thể tích 36π Diện tích xung quanh hình nón (N ) A 36π B 3√115π C 3√135π D 3√153π Lời giải Ta có V = 3Bh ⇒ h = 3V B = 3.36π πr2 = 108 32 = 108 = 12 l =√h2+ r2 =√122+ 32 =√153. Vậy Sxq = πrl = π.3 √ 153 h r l Chọn đáp án D  Câu 72 Xét hình trụ T có thiết diện qua trục hình vng có cạnh a Tính diện tích tồn phần S hình trụ A 3πa 2 2 B πa2 2 C πa 2. D 4πa2. Lời giải Thiết diện qua trục hình vng cạnh a nên chiều cao h = a bán kính đáy r = a Diện tích tồn phần hình trụ Stp = 2πr2+ 2πrh = 2πr(r + h) = 2πa 2 a 2+ a  = 3πa 2 2 Chọn đáp án A  Câu 73 Cho hình nón trịn xoay có đường cao h = 15 cm đường sinh l = 25 cm Tính thể tích V khối nón giới hạn hình nón cho A V = 2000π cm3. B V = 4500π cm3. C V = 6000π cm3. D V = 1500π cm3. Lời giải Bán kính đáy hình nón r =√l2− h2 = 20 cm. Thể tích V khối nón V = · π · r 2· h = 2000π cm3. (57)Câu 74 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A0B0C0D0 có đáy hình vng cạnh a cạnh bên 2a Tính diện tích xung quanh Sxq hình nón có đỉnh tâm O hình vng A0B0C0D0 đáy hình trịn nội tiếp hình vng ABCD A Sxq = πa2 √ 17 B Sxq = πa2√17 2 C Sxq = πa2√17 4 D Sxq = 2πa 2√17. Lời giải Hình nón có chiều cao OO0 = 2a bán kính đáy O0M = a nên đường sinh l =√OO02+ O0M2 = … 4a2+a 4 = a√17 2 ⇒ Sxq = πrl = π ·a 2· a√17 2 = πa2√17 4 A B C D M B0 A0 C0 D0 O0 O Chọn đáp án C  Câu 75 Cắt khối trụ mặt phẳng qua trục ta thiết diện hình chữ nhật ABCD có AB CD thuộc hai đáy hình trụ, AB = 4a, AC = 5a Thể tích khối trụ A 16πa3 B 12πa3 C 4πa3 D 8πa3 Lời giải Ta có bán kính đáy: r = AB = 2a Chiều cao khối trụ: h = AD =√AC2− AB2 =√25a2− 16a2 = 3a. Vậy V = πr2h = π · (2a)2· 3a = 12πa3. C D B A Chọn đáp án B  Câu 76 Tính thể tích khối trịn xoay sinh quay tam giác ABC cạnh quanh AB A 3π 4 B π 4 C π 8 D π√3 Lời giải Khi quay tam giác ABC quanh cạnh AB ta thu hai khối nón Do đó, ta có V = 2Vnón = · 3πr 2h = 3π · Ç 1√3 å2 · 2 = π 4 (đvtt) (bán kính r = hABC = √ 2 , đường cao h = 2AB = 1 2) Chọn đáp án B  Câu 77 Biết thiết diện qua trục hình nón tam giác vng cân có cạnh huyền 2a√2 Tính diện tích xung quanh hình nón A Sxq = √ 2πa2 B Sxq = 4πa2 C Sxq = √ (58)Tam giác SAB vuông cân S có AB = 2a√2 ⇒ SA = SB = 2a Suy hình nón có đường sinh l = SA = 2a, bán kính r = AB 2 = a √ 2 Sxq = πrl = π · a √ 2 · 2a = 2√2πa2. S A B I Chọn đáp án A  Câu 78 Thiết diện qua trục hình trụ hình vng ABCD có AC = 4a Tính thể tích khối trụ A V = 8πa 3 3 B V = 2πa 3. C V = 4√2πa3. D V = √ 2πa3 3 Lời giải ABCD hình vng AC = 4a ⇒ AB = 2√2a Khối trụ có đường chiều cao h = AB = 2√2a, bán kính r = AB = √ 2a Vậy V = πr2h = π · (√2a)2· 2√2a = 4√2πa3. C D O 0 A B O Chọn đáp án C  Câu 79 Cho tam giác ABC vuông cân A, với AB = 2a Gọi O trung điểm BC Tính diện tích xung quanh hình nón tạo thành quay tam giác ABC quanh trục OA A √2πa2. B 2√2πa2. C. √ πa 2. D. √ 2 πa 2. Lời giải Ta tính BO = a√2 Hình nón tạo thành có bán kính đáy R a√2, đường sinh l 2a Vậy, diện tích cần tính πRl = 2√2πa2. A O C B Chọn đáp án B  Câu 80 Một trục lăn sơn nước có dạng hình trụ Đường kính đường tròn đáy cm, chiều dài trục lăn 23 cm (như hình vẽ bên) Sau lăn trọn 15 vịng khơng đè lên trục lăn tạo sân phẳng hình có diện tích A 3450π cm2. B 1725π cm2. C 1725 cm2. D 862,5π cm2. 23cm 5 cm Lời giải Diện tích xung quanh trục lăn Sxq = · 23 · π = 115π Sau lăn trọn 15 vịng khơng chờm lên nhau, diện tích sơn 15 · 115π = 1725π cm2 Chọn đáp án B  (59)A 12π cm3 B 15π cm3 C 36π cm3 D 45π cm3 Lời giải Độ dài đường cao hình nón h =√52− 32 = cm Thể tích khối nón V = 3 · · π · 2 = 12π cm3. Chọn đáp án A  Câu 82 Hình nón trịn xoay ngoại tiếp tứ diện cạnh a, có diện tích xung quanh A Sxq = πa2√3 6 B Sxq = πa2 3 C Sxq = πa2√3 3 D Sxq = πa2√2 Lời giải Khơng tính tổng qt, giả sử tứ diện cạnh a ABCD hình nón ngoại tiếp tứ diện ABCD có đỉnh trùng với A, đường tròn đáy ngoại tiếp tam giác BCD Khi đó, tâm đường trịn đáy hình nón trùng với trọng tâm I tam giác BCD Suy độ dài đường sinh l = AB = a, bán kính đáy r = ID = 3DM = a√3 = a√3 Vậy diện tích xung quanh hình nón Sxq = πrl = π a√3 a = πa2√3 3 I C A D B M Chọn đáp án C  Câu 83 Cho hình nón (N ) có bán kính đáy diện tích xung quanh 60π Tính thể tích V khối nón (N ) A V = 288π B V = 96π C V = 432√6π D V = 144√6π Lời giải Gọi l, h, R độ dài đường sinh, chiều cao bán kính đáy hình nón (N ) Ta có Sxung quanh= πRl ⇒ l = 60π 6π = 10 Ta có h =√l2− R2 = 8. Vậy V = 3 · h · πR 2 = 96π. l h R Chọn đáp án B  Câu 84 Thiết diện qua trục hình nón tam giác vng cân có cạnh huyền 2√3 Thể tích khối nón A 3π B 3√2π C √3π D 3√3π Lời giải Gọi R h bán kính đường trịn đáy chiều cao khối nón Tam giác SAB vuông cân S nên R = h = 2AB = √ Từ suy thể tích khối nón V = 3πR 2h =√3π. S B A Chọn đáp án C  (60)A V = 3πa 3√2 4 B V = πa3√2 4 C V = 3πa 3. D V = πa3. Lời giải Gọi r, l, h bán kính đáy, đương sinh chiều cao hình nón Góc đỉnh 60◦ nên l = 2r Ta có Sxq = πrl = 6πa2 ⇔ πr · 2r = 6πa2 ⇒ r = a √ 3, l = 2a√3, h = 3a Thể tích khối nón V = 3πr 2h = 3πa3. Chọn đáp án C  Câu 86 Một khối trụ tích 25π Nếu chiều cao khối trụ tăng lên năm lần giữ nguyên bán kính đáy khối trụ có diện tích xung quanh 25π Bán kính đáy khối trụ ban đầu A r = 10 B r = C r = D r = 15 Lời giải Ta tích khối trụ ban đầu V = πr2h1 = 25π ⇒ h1 = 25 r2 Ta có diện tích xung quanh lúc sau 2πrh2 = 25π ⇒ h2 = 25 2r Mà h2 = 5h1 ⇔ 25 2r = 5 · 25 r2 ⇔ r = 10 Chọn đáp án A  Câu 87 Cho hình nón có bán kính đáy r =√2 độ dài đường sinh l = Tính diện tích xung quanh S hình nón cho A S = 16π B S = 8√2π C S = 16√2π D S = 4√2π Lời giải Ta có Sxq = π · R · l = π · √ 2 · = 4√2π Chọn đáp án D  Câu 88 Cắt khối trụ mặt phẳng qua trục ta thiết diện hình chữ nhật ABCD có cạnh AB cạnh CD nằm hai đáy khối trụ Biết BD = a√2, ’DAC = 60◦ Tính thể tích khối trụ A √ 6 16 πa 3. B. √ 16 πa 3. C. √ 32 πa 3. D. √ 48 πa 3. Lời giải Do ABCD hình chữ nhật nên BD = AC = a√2 Xét tam giác ADC có AD = AC cos 60◦ = a√2 · 2 = a√2 2 , CD = AC sin 60 ◦ = a√2 · √ = a√6 2 Ta có bán kính đáy khối trụ R = CD = a√6 4 , đường cao h = AD = a√2 2 Thể tích khối trụ V = πR2· h = π Ç a√6 4 å2 · a √ 2 = 3√2 16 πa 3. 60◦ B C O O0 A D Chọn đáp án B  Câu 89 Một hình trụ có bán kính đáy r khoảng cách hai đáy r√3 Một hình nón có đỉnh tâm mặt đáy đáy trùng với đáy hình trụ Tính tỉ số diện tích xung quanh hình trụ hình nón A √3 B √1 3 C 1 (61)Lời giải Diện tích xung quanh hình trụ S1 = 2πr · r √ 3 = 2√3πr2 Diện tích xung quanh hình nón S2 = πr · … Ä r√3ä2+ r2 = 2πr2. Từ suy S1 S2 = √ 3πr2 2πr2 = √ C O0 O N M Chọn đáp án A  Câu 90 Một khối trụ có hai đáy hai hình trịn ngoại tiếp hai mặt hình lập phương cạnh a Tính theo a thể tích V khối trụ A V = πa 3 2 B V = πa3 4 C V = πa 3. D V = 2πa3. Lời giải Ta có khối trụ có hai đáy hai hình trịn ngoại tiếp hai mặt hình lập phương cạnh a bán kính hình trịn đáy r = √ a2 + a2 2 = a√2 Vậy thể tích khối trụ V = π · Ç a√2 å2 · a = πa 3 2 A0 D0 B C A D C0 B0 Chọn đáp án A  Câu 91 Một hình trụ có bán kính đáy khoảng cách hai đáy Cắt khối trụ mặt phẳng song song với trục cách trục khoảng Tính diện tích S thiết diện tạo thành A S = 56 B S = 28 C S = 7√34 D S = 14√34 Lời giải Giả sử ABCD thiết diện tạo thành H trung điểm AB, AH = √ OA2− OH2 =√52− 32 = 4. Từ suy SABCD = · · = 56 B H D C O0 O A Chọn đáp án A  Câu 92 Cho hình nón trịn xoay có đỉnh S, O tâm đường trịn đáy, đường sinh a√2 góc đường sinh mặt phẳng đáy 60◦ Tính diện tích xung quanh Sxq hình nón thể tích V khối nón A S = πa2, V = πa 3√6 B S = πa 2 , V = πa 3√6 (62)C Sxq = πa2 √ 2, V = πa 3√6 4 D Sxq = πa 2, V = πa 3√6 4 Lời giải Đường cao hình nón SO = a√2 sin 60◦ = a √ 6 Bán kính đáy r = a√2 cos 60◦ = a √ 2 Diện tích xung quanh Sxq = πrl = π · a√2 · a √ 2 = πa2. Thể tích V = 3· SO · Sđáy= 3· a√6 · π · Ç a√2 2 å2 = πa 3√6 12 S O Chọn đáp án A  Câu 93 Từ tơn hình chữ nhật kích thước 50cm x 240cm, người ta làm thùng đựng nước hình trụ có chiều cao 50cm, theo hai cách sau: - Cách 1: Gị tơn ban đầu thành mặt xung quanh thùng - Cách 2: Cắt tôn ban đầu thành hai nhau, gị thành mặt xung quanh thùng Kí hiệu V1 thể tích thùng gị theo cách V2 tổng thể tích hai thùng gị theo cách Tính tỉ số V1 V2 A V1 V2 = B V1 V2 = C V1 V2 = 2 D V1 V2 = Lời giải V1 = πr21 · h = π · Å 120 π ã2 · h V2 = 2πr22h = π · Å 60 π ã2 · h Suy V1 V2 =Å 120 60 ã2 = Chọn đáp án D  Câu 94 Cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB = 1, BC = Gọi I, J trung điểm hai cạnh BC AD Khi quay hình chữ nhật xung quanh IJ ta hình trụ trịn xoay Thể tích khối trụ trịn xoay giới hạn hình trụ trịn xoay A V = π B V = 4π C V = 2π D V = π 3 Lời giải V = π · r2· h = π ·Å BC ã2 · AB = π Chọn đáp án A  Câu 95 Cho hình nón có góc đỉnh 60◦, diện tích xung quanh 6πa2 Tính theo a thể tích V khối nón cho A V = 3πa 3√2 4 B V = πa 3. C V = πa 3√2 4 D V = 3πa 3. (63)Tam giác SAB cân có ’ASB = 60◦ nên tam giác ⇒ SB = AB = 2R ⇒ Sxq = πR · 2R = 2πR2 Do đó, R = a√3 Vì tam giác SAB nên SO = 2a √ 3 ·√3 = 3a S(O)= 3πa2 Vậy thể tích khối nón V = 3 · 3a · 3πa 2 = 3πa3. B O S A 60◦ Chọn đáp án D  Câu 96 Cho hình nón có độ dài đường sinh l = 4a bán kính đáy r = a√3 Diện tích xung quanh hình nón bao nhiêu? A 2πa2√3 B 4πa 2√3 3 C 8πa 2√3. D 4πa2√3. Lời giải Ta có Sxq = πrl = 4a2 √ Chọn đáp án D  Câu 97 Cho hình nón có diện tích xung quanh 2πa2 và bán kính đáy a Tính độ dài đường sinh l hình nón cho A l = a √ 2 B l = a √ 3 C l = a D l = 2a Lời giải Ta có : Sxq = πrl ⇒ l = Sxq πr = 2a Chọn đáp án D  Câu 98 Một hình trụ có hai đáy hai hình trịn nội tiếp hai mặt hình lập phương cạnh a Thể tích khối trụ A 2a 3π. B. 4a 3π. C. 3a 3π. D a3π. Lời giải Khối trụ có chiều cao cạnh hình lập phương, bán kính đáy nửa cạnh hình lập phương Do Vtrụ = π · a2 4 · a = 4a 3π. Chọn đáp án B  Câu 99 Cho hình thang ABCD vuông A D, AD = CD = a, AB = 2a Quay hình thang ABCD quanh đường thẳng CD Tính thể tích khối trịn xoay thu A 5πa 3 3 B 7πa3 3 C 4πa3 3 D 5πa 3. Lời giải Thể tích khối trịn xoay cần tìm V thể tích hình trụ V1 có đáy đường trịn đường kính AB đường cao DD0 trừ cho thể tích hình nón V2 đỉnh C đáy đường trịn đường kính BB0 Khi V = V1−V2 = AB ·π·AD2− 1 3π·D 0B2·CD0 = 2a3·π−1 3π·a 3 = 5πa 3 3 A0 C B0 D0 D A (64)Câu 100 Xét hình trụ T có thiết diện qua trục hình trụ hình vng có cạnh a Tính diện tích tồn phần S hình trụ A S = 4πa2 B S = 3πa 2 2 C S = πa2 2 D S = πa 2. Lời giải Hình trụ có bán kính đáy r = a 2 chiều cao h = a nên có diện tích tồn phần S = 3πa2 2 (65)ĐÁP ÁN 1 D A A C B D A D B 10 B 11 B 12 D 13 A 14 A 15 D 16 C 17 C 18 C 19 D 20 C 21 B 22 C 23 A 24 A 25 B 26 D 27 D 28 A 29 A 30 B 31 B 32 C 33 D 34 C 35 A 36 C 37 B 38 A 39 C 40 B 41 A 42 B 43 A 44 A 45 C 46 D 47 B 48 C 49 B 50 D 51 D 52 A 53 B 54 C 55 D 56 A 57 D 58 B 59 A 60 B 61 C 62 B 63 C 64 A 65 D 66 A 67 B 68 B 69 C 70 C 71 D 72 A 73 A 74 C 75 B 76 B 77 A 78 C 79 B 80 B 81 A 82 C 83 B 84 C 85 C 86 A 87 D 88 B 89 A 90 A (66)3 Mức độ vận dụng thấp Câu Cho hình trụ có bán kính đáy R, chiều cao h Biết hình trụ có diện tích tồn phần gấp ba diện tích xung quanh Mệnh đề sau đúng? A R = 2h B h =√3R C R = 3h D h = 2R Lời giải Phương pháp: Cơng thức tính diện tích xung quanh hình trụ: Sxq = 2πRl = 2πRh Cơng thức tính diện tích tồn phần hình trụ: Stp = 2πRl + 2πR2 = 2πRh + 2πR2 Cách giải: Hình trụ có diện tích tồn phần gấp ba diện tích xung quanh nên ta có: 2πRh + 2πR2 = 3.2πRh ⇔ 2πR2 = 4πRh ⇔ R = 2h Chọn đáp án A  Câu Cắt khối trụ mặt phẳng qua trục ta thiết diện hình chữ nhật ABCD có AB CD thuộc hai đáy hình trụ, AB = 4a, AC = 5a Thể tích V khối trụ A V = 16πa3. B V = 4πa3. C V = 12πa3. D V = 8πa3. Lời giải Ta có BC =√AC2 − AB2 =√25a2− 16a2 = 3a. Bán kính đáy r = AB 2 = 2a, chiều cao BC = 3a Vậy V = hπr2 = 3a · 4a2 = 12πa3. C D A 4a B 5a Chọn đáp án C  Câu Cho hình trụ có bán kính đáy a√2 Cắt hình trụ mặt phẳng, song song với trụ hình trụ cách trục hình trụ khoảng a 2 ta thiết diện hình vng Tính thể tích V khối trụ cho A V = πa3√3. B V = 2πa 3√7 3 C V = 2πa 3√7. D V = πa3. Lời giải Gọi O, O0 tâm đáy thiết diện hình vng ABCD Gọi H trung điểm AB, ta có ®OH ⊥ AB OH ⊥ AA0 suy OH ⊥ (ABB 0A0). Do d (OO0, (ABCD)) = OH = a Tam giác OAH vuông H nên AH =√OA2− OH2 = … 2a2−a 4 = a√7 2 Suy AB = AA0 = OO0 = 2AH = a√7 (do ABCD hình vng) Vậy thể tích V = πR2h = π ·Äa√2ä2· a√7 = 2πa3√7. O0 B0 O B H A A0 Chọn đáp án C  Câu Cho khối nón (N ) đỉnh S , có chiều cao a√3 độ dài đường sinh 3a Mặt phẳng (P ) qua đỉnh S, cắt tạo với mặt đáy khối nón góc 60◦ Tính diện tích thiết diện tạo mặt phẳng (P ) khối nón (N ) A 2a2√5. B a2√3. C 2a2√3. D a2√5. (67)Khối nón có tâm đáy điểm O, chiều cao SO = h = a√3 độ dài đường sinh l = 3a Giả sử (P ) cắt khối nón (N ) theo thiết diện tam giác SAB Gọi H trung điểm AB Do SA = SB = l ⇒ 4SAB cân S ⇒ SH ⊥ AB Mặt khác 4OAB cân O ⇒ OH ⊥ AB nên góc mặt phẳng (P ) đáy hình chóp góc OH SH, hay ’SHO = 60◦ Xét tam giác SOH vuông O, ta có SH = SO sin ’SHO = a √ sin 60◦ = 2a Mặt khác tam giác SHA vng H, ta có HA2 = SA2 − SH2 = 9a2− 4a2 = 5a2 ⇒ HA = a√5 ⇒ AB = 2 · HA = 2a√5 Vậy diện tích thiết diện cần tìm S∆SAB = 1 2SH · AB = 2· 2a · 2a √ 5 = 2a2√5. O S A B H Chọn đáp án A  Câu Một bìa hình trịn có bán kính cắt thành hai hình quạt, sau quấn hai hình quạt thành hai hình nón (khơng có đáy) Biết hai hình nón có diện tích xung quanh 15π Tính thể tích hình nón cịn lại Giả sử chiều rộng mép dán không đáng kể A 4π √ 21 3 B 2π √ 21 C 2π √ 21 3 D 4π √ 21 Lời giải Phương pháp: + Tính diện tích xung quanh hình nón cịn lại + Sử dụng cơng thức Sxq = π · R · l để tính bán kính đáy hình nón + Sử dụng cơng thức R2+ h2 = l2 để tính chiều cao hình nón. + Sử dụng cơng thức V = 3π · R 2· h để tính thể tích hình nón cịn lại. (với R bán kính đáy hình nón, h chiều cao hình nón l đường sinh hình nón) Cách giải: Diện tích hình trịn S = π · r2 = 25π Diện tích xung quanh hình nón cịn lại S2 = 25π − 15π = 10π Nhận xét quấn hình quạt cắt từ hình trịn thành hình nón đường sinh hình nón bán kính hình trịn Từ hình nón cịn lại có đường sinh l = Lại có diện tích xung quanh hình nón cịn lại 10π nên gọi R bán kính hình nón Sxq = π · R · l ⇒ 10π = πR · ⇒ R = Ta gọi chiều cao hình nón h, (h > 0) h2+ R2 = l2 ⇒ h =√l2− R2 =√52 − 22 =√21. Thể tích hình nón cịn lại V = 3πR 2 = 3π · 2·√21 = 4π √ 21 Chọn đáp án A  Câu Cho tam giác ABC vuông A Đường thẳng d qua A song song với BC Cạnh BC quay xung quanh d tạo thành mặt xung quanh hình trụ tích V1 Tam giác ABC quay xung quanh trục d khối trịn xoay tích V2 Tính tỉ số V1 V2 A 3 B 1 3 C D 3 Lời giải (68)Cách giải: d N M C D B B0 A Thể tích khối trụ V1 = π · R2· h = πM C2· BC Tổng thể tích hai khối nón V2 = 1 3πM C 2· AM + 3πN B 2· AN = 3πM C 2(AM + AN ) = 3π · M C 2· BC = 3V1 Vậy V1 V2 = Chọn đáp án C  Câu Cho tam giác ABC vuông A Gọi V1, V2, V3 thể tích hình nón trịn xoay sinh tam giác ABC quay quanh cạnh BC, AC, AB Biết V2 = 3π, V3 = 4π Tính V1 A V1 = 19π 5 B V1 = 8π 5 C V1 = 16π 5 D V1 = 12π Lời giải Ta có V1 = 1 3(BH + CH)πAH 2 = 3BCπAH 2, V 2 = 1 3ACπAB 2, V 3 = 1 3ABπAC 2. ⇒ V2 V3 = AB AC = 3π 4π = 3 4 ⇒ AB = 4AC ⇒ V3 = 1 · 3 4ACπAC 2 = 4πAC 3 = 4π. ⇒ AC =√3 16 ⇒ AB = 3 √ 16 ⇒ AH = 3 √ 16 = 3 √ 16, BC = 3 √ 16 Vậy V1 = 1 · 5 3 √ 16π.Å 3 √ 16 ã2 = 12π B C H A Chọn đáp án D  (69)Có mảnh bìa hình chữ nhật ABCD với AB = 2a, AD = 4a Người ta đánh dấu E trung điểm BC F ∈ AD cho AF = a Sau người ta mảnh bìa lại cho cạnh DC trùng cạnh AB tạo thành hình trụ Tính thể tích tứ diện ABEF với đỉnh A, B, E, F nằm hình trụ vừa tạo thành B E C A F D A 16a 3 3π2 B 8a3 3π2 C a3 3π D 8a3 π2 Lời giải Hai đáy hình trụ hai đường trịn bán kính R = C 2π = 2a π (chu vi C = AD = 4a) Gọi K hình chiếu F lên mặt đáy ⇒ ABKF hình chữ nhật Vì ˜AF = 4(O, R) ⇒ AF = R √ 2 = √ 2a π ⇒ SABKF = AB · AF = 2a · 2√2a π = 4√2a2 π EK =pBE2− BK2 = s Å 4a π ã2 − Ç 2√2a π å2 = √ 2a π ⇒ VE.ABKF = 1 3EK · SABKF = 16a3 3π ⇒ VE.ABF = 1 2VE.ABKF = 8a3 3π A B M E F K O Chọn đáp án B  Câu Một khối nón tích 9a3π√2 Tính bán kính R đáy khối nón diện tích xung quanh nhỏ A R = 3a B R = √3a6 2 C R = 3 √ 9a D R = √3a3 Lời giải Gọi h, l chiều cao độ dài đường sinh khối nón V = 3πR 2h = 9a3π√2 ⇒ h = 27a 3√2 R2 ⇒ l = √ R2+ h2 = … R2+ · 729a R4 Sxq = πRl = π … R4+729a R2 + 729a6 R2 ≥ π   3 … R4· 729a R2 · 729a6 R2 ⇒ Sxq = 9πa2 Nên Sxq = 9πa2 R4 = 729a6 R2 ⇔ R = 3a Chọn đáp án A  Câu 10 Cho hình trụ có trục OO0, chiều cao a Trên hai đường tròn đáy (O) (O0) lấy hai điểm A B cho khoảng cách hai đường thẳng AB OO0 a 2 Góc hai đường thẳng AB OO0 60◦ Thể tích khối trụ cho A 2πa 3 3 B πa3 3 C 2πa (70)Dựng AA0 vng góc với mặt phẳng đáy AB ⊂ (ABA0) nên d(AB, OO0) = d(OO0, (ABA0)) = d(O0, (ABA0)) Gọi I trung điểm BA0 Ta có O0I ⊥ BA0 (vì ∆O0BA0 cân) Mà O0I ⊥ AA0 nên O0I ⊥ (ABA0) hay d(O0, (ABA0)) = O0I = a Mặt khác ÿAB, OO0 = ÿAB, AA0 = ’A0AB = 60◦. Xét ∆ABA0 vng A0 có tan 60◦ = A 0B AA0 ⇒ A 0B = a√3 và BI = a √ 3 Xét ∆O0BI vng I có O0B =√O0I2+ BI2 = a. Vậy thể tích khối trụ cho V = π · O0B2· OO0 = π · a2· a = πa3. A0 O0 O B I A Chọn đáp án D  Câu 11 Một phễu có dạng hình nón Người ta đổ lượng nước vào phễu cho chiều cao lượng nước phễu 3 chiều cao phễu Hỏi bịt kín miệng phễu lộn ngược phễu lên chiều cao mực nước xấp xỉ bao nhiêu? Biết chiều cao phễu 15 cm A D F C H B r r1 h h1 B C E D G A r r2 h h2 A 0, 501 (cm) B 0, 302 (cm) C 0, 216 (cm) D 0, 188(cm) Lời giải Ta gọi phễu khối nón (N ) có bán kính đáy r chiều cao h = 15 cm thể tích V Thể tích lượng nước đỗ vào phễu thể tích V1 khối nón (N1) có bán kính đáy r1 chiều cao h1 Áp dụng định lý ta-lét ta có h1 h = r1 r = Suy V1 = 1 3πr 2 1h1 = 1 3π( r 3) 2· h 3 = 81πr 2h = 27V Khi bịt kín miệng phễu lộn ngược phễu lên nước phễu giữ ngun Phần khơng chứa nước phễu khối nón (N2) với bán kính đáy r2, chiều cao h2 thể tích V2 = V − V1 = 26 27V Áp dụng định lý ta-lét ta có r2 r = h2 h Nên suy ra: V2 = 26 27V ⇔ 1 3πr 2 2h2 = 26 27 1 3πr 2h ⇔ (r2 r ) 2h2 h = 26 27 ⇔ ( h2 h ) 3 = 26 27 ⇔ h2 = 3 √ 26 Vậy chiều cao mực nước phễu sau úp ngược là: 15 − 5√3 26 = 0, 188 cm Chọn đáp án D  (71)A B √2 C D √3 Lời giải O O0 + Diện tích xung quanh hình trụ là: S1 = 2πRh = 2πR2 √ + Độ dài đường sinh hình nón là: l = q Ä R√3ä2+ R2 = 2R. + Diện tích xung quanh hình nón là: S2 = πRl = πR · 2R = 2πR2 Suy tỉ lệ cần tìm là: S1 S2 = 2πR 2 ·√3 2πR2 = √ Chọn đáp án D  Câu 13 Cho hình thang ABCD vng A B với AB = BC = AD 2 = a Quay hình thang miền quanh đường thẳng chứa cạnh BC Tính thể tích V khối tròn xoay tạo thành B A D C 2a a a A V = 4πa 3 3 B V = 5πa3 3 C V = πa 3. D V = 7πa 3 (72)B A D C E 2a a a Dựng hình chữ nhật ABED với E nằm tia BC Thể tích khối trụ sinh hình chữ nhật ABED quay quanh đường thẳng chứa cạnh BC V1 = AD · π · AB2 = 2a · π · a2 = 2πa3 Thể tích khối nón sinh tam giác EDC xoay quanh đường thẳng chứa cạnh BC V2 = 1 3CE · π · ED 2 = 3a · π · a 2 = πa 3 3 Thể tích khối trịn xoay cần tìm là: V = V1− V2 = 5πa3 3 Chọn đáp án B  Câu 14 Một khối gỗ hình lập phương tích V1 Một người thợ mộc muốn gọt giũa khối gỗ thành khối trụ tích V2 Tỉ số k = V2 V1 lớn bao nhiêu? A k = π 4 B k = 2 π C k = π 2 D k = 4 π Lời giải Gọi a cạnh hình lập phương Ta tích khối lập phương V1 = a3 Suy tỉ số k = V2 V1 lớn V2 lớn Khi hình trụ có chiều cao cạnh hình lập phương có đường trịn đáy nội tiếp mặt hình lập phương Do hình trụ có chiều cao h = a bán kính đáy r = a Ta có V2 = πr2h = π a 2 · a = πa 3 2 Vậy k = V2 V1 = π Chọn đáp án C  Câu 15 Cho hình chóp S.ABCD có SC = x Ä0 < x <√3ä cạnh lại Thể tích lớn khối chóp S.ABCD bằng: A √ 3 2 B 1 4 C 1 3 D (73)Phương pháp Thể tích khối chóp có diện tích đáy S chiều cao h là: V = Sh Cách giải: Ta có: 4SBD = 4ABD (c.c.c) ⇒ AO = SO = OC ⇒ 4SAC vng S (tam giác có đường trung tuyến từ đỉnh S đến cạnh AC nửa cạnh AC) ⇒ AO = 2AC = 1 √ SA2+ SC2 = 2 √ 1 + x2 ⇒ BO =√AB2− AO2 = … 1 −1 + x 2 4 = √ − x2 2 ⇒ SABCD = 1 2AC.BD = √ 1 + x2√3 − x2 SH = √ SA.SC SA2+ SC2 = x √ 1 + x2 VS.ABCD = 1 3SH.SABCD = x √ 1 + x2 1 √ 1 + x2√3 − x2 = 6x √ 3 − x2 = px 2(3 − x2) 6 ≤ 1 x2+ − x2 6 = 1 ⇒ max VS.ABCD = 1 S H D A O C B Chọn đáp án C  Câu 16 Trong số hình trụ có diện tích tồn phần S bán kính R chiều cao h khối trụ tích lớn A R =… S 6π; h = … S 6π B R = … S 4π; h = … S 4π C R =… 2S 3π; h = … 2S 3π D R = … S 2π; h = 1 … S 2π Lời giải Gọi thể tích khối trụ V , diện tích tồn phần hình trụ S Ta có S = 2Sday+ Sxq = 2πR2+ 2πRh Từ suy S 2π = R 2+ Rh ⇔ S 2π = R 2+ V πR = R 2+ V 2πR + V 2πR ≥ 3 … V2 4π2, tức 27V 2 4π2 ≤ Å S 2π ã3 ⇔ V ≤… S 3 54π Vậy Vmax= … S3 54π Dấu “=” xảy ⇔ R 2 = V 2πR = πR2h 2πR = Rh 2 ⇔ h = 2R Khi S = 6πR2 ⇒ R =… S 6π h = 2R = … S 6π Chọn đáp án A  Câu 17 Một hộp sữa hình trụ tích V (khơng đổi) làm từ tơn có diện tích đủ lớn Nếu hộp sữa kín đáy để tốn vật liệu nhất, hệ thức bán kính đáy R đường cao h bằng: A h =√3R B h =√2R C h = 2R D h = R Lời giải Phương pháp: Thể tích khối trụ có bán kính đáy R chiều cao h là: V = πR2h. Diện tích xung quanh đáy hình trụ là: S = 2πRh + πR2 Cách giải: Ta tích khối trụ có bán kính đáy R chiều cao h là: V = πR2h ⇒ h = V πR2 (74)Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương V R; V R; πR 2 ta có: V R + V RπR 2 ≥ 3… V3 R + V RπR 2 = 3√3 πV2. Dấu “=” xảy ⇒ V R = πR 2 ⇔ R3 = V π ⇔ V = πR 3 ⇒ h = πR πR2 = R Chọn đáp án D  Câu 18 Quay hình chữ nhật ABCD quanh trục AB cố định, đường gấp khúc ADCB cho ta hình trụ (T ) Gọi 4M N P tam giác nội tiếp đường tròn đáy (khơng chứa điểm A) Tính tỷ số thể tích khối trụ thể tích khối chóp AM N P A 3√3π B √ 3π C √ 4 π D 4 3π N B M C D A P Lời giải Hình trụ (T ) có bán kính r = BC chiều cao h = CD Thể tích khối trụ V = πr2h. Gọi cạnh tam giác M N P x, bán kính đường trịn ngoại tiếp 4M N P r = · x√3 2 ⇔ x = r √ 3 Khối chóp AM N P có đáy 4M N P chiều cao AB = DC = h Thể tích khối chóp V0 = 3 · AB · S4M N P = 3· h · (r√3)2√3 4 = √ 3r2h 4 Tỉ số thể tích khối trụ thể tích khối chóp AM N P V V0 = πr2h √ 3r2h 4 = √4π Chọn đáp án B  Câu 19 Hai hình nón có chiều cao dm, đặt hình vẽ bên (mỗi hình đặt thẳng đứng với đỉnh nằm phía ) Lúc đầu, hình nón chứa đầy nước hình nón rỗng Sau đó, nước chảy xuống hình nón thơng qua lỗ trống đỉnh hình nón Hãy tính chiều cao nước hình nón thời điểm mà chiều cao nước hình nón dm A √37 B 3 C 3 √ 5 D 2 Lời giải Gọi R bán kính đáy hình nón Khi độ cao nước hình nón dm, ta đặt bán kính “ hình nón nước” r , bán kính “ hình nón nước “ s, chiều cao “ hình nón nước “ x r R = 2 ⇒ r = R 2 Thể tích nước hình nón thời điểm chiều cao V1 = 1 3π Å R ã2 · = πR 2 (75)mặt khác: s R = x 2 ⇒ s = Rx 2 Thể tích nước hình nón V2 = 1 3π Å Rx ã2 = πR 2x3 12 Thể tích nước hình nón đầy nước :V = 2πR 2 3 Ta có:V1+ V2 = V ⇔ πR2 12 + πR2x3 12 = πR22 3 ⇔ + x 3 = ⇔ x =√3 7 Chọn đáp án A  Câu 20 Một hình trụ có chiều cao h bán kính đáy R Hình nón có đỉnh tâm đáy hình trụ đáy hình trịn đáy hình trụ Gọi V1 thể tích hình trụ, V2 thể tích hình nón Tính tỉ số V1 V2 A B 2√2 C D 3 Lời giải Hai khối nón khối trụ có chiều cao h bán kính đáy r Do ta có V1 V = πr2h 3πr 2h = O O0 Chọn đáp án C  Câu 21 Người ta làm tạ tập tay hình vẽ với hai đầu hai khối trụ tay cầm khối trụ Biết hai đầu hai khối trụ đường kính đáy 12, chiều cao 6, chiều dài tạ 30 bán kính tay cầm Hãy tính thể tích vật liệu làm nên tạ tay 6 30 12 A 108π B 6480π C 502π D 504π Lời giải Gọi h1, R1, V1 chiều cao, bán kính đáy, thể tích khối trụ nhỏ đầu V1 = h1· π · R21 = · π · 62 = 216π Gọi h2, R2, V2 chiều cao, bán kính đáy, thể tích tay cầm V2 = h2· π · R22 = (30 − · 6) · π · 22 = 72π Thể tích vật liệu làm nên tạ tay V = 2V1+ V2 = 504π 6 30 12 Chọn đáp án D  Câu 22 Cho hình trụ (T ) có chiều cao 2a Hai đường trịn đáy (T ) có tâm O O1 bán kính a Trên đường trịn đáy tâm O lấy điểm A, đường tròn đáy O1 lấy điểm B sao cho AB =√5a Thể tích khối tứ diện OO1AB A √ 3a3 12 B √ 3a3 4 C √ 3a3 6 D √ 3a3 (76)Trên (O) lấy điểm B0, (O1) lấy điểm A0 cho AA0 k BB0 k OO1 Khi ta được hình lăng trụ OAB0.O1A0B Ta có AA0 = h = 2a, AB = a√5 Xét tam giác vng AA0B có A0B = √ AB2-AA02 =√5a2− 4a2 = a. Do tam giác O1A0B có O1A0 = O1B = A0B = a ⇒ ∆O1A0B cạnh a ⇒ S∆O1A0B = a√3 ⇒ VOAB0.O 1A0B=AA .SO1A0B = 2a a2√3 4 = a2√3 Ta có VOAB0.O 1A0B=VA.O1A0B = VOAB0.O1A0B+ VB.OAB0 + VOO1AB Mà VA.O1A0B = 1 3VOAB0.O1A0B; VB.OAB0 = 1 3VOAB0.O1AB ⇒ VOO1AB = 1 3VOAB0.O1A0B = 1 · a3√3 2 = a3√3 6 O1 O B B0 A0 A Chọn đáp án C  Câu 23 Trên mảnh đất hình vng có diện tích 81m2 người ta đào ao ni cá hình trụ (như hình vẽ) cho tâm hình trịn đáy trùng với tâm mảnh đất Ở mép ao mép mảnh đất người ta để lại khoảng đất trống để lại, biết khoảng cách nhỏ mép mảnh đất x(m) Giả sử chiều sâu ao x(m) Tính thể tích lớn V ao x x x x x A V = 13,5π m3 B V = 27π m3 C V = 36π m3 D V = 72π m3 Lời giải Đường kính đáy hình trụ − 2x ⇒ Bán kính đáy hình trụ − 2x Khi ta tích ao V = πÅ − 2x 2 ã2 x = π 4(9 − 2x) 2x = π 4f (x) Xét hàm số f (x) = (9 − 2x)2x = 4x3− 36x2+ 81x với < x < 2 ta có f0(x) = 12x2− 72x + 81 = ⇔       x = x = BBT x y0 y 0 2 9 + − 0 54 54 0 Dựa vào BBT ta thấy f (x)max= 54 ⇔ x = 3 Khi Vmax = π 4.54 = 27π 2 = 13, 5π m (77)Chọn đáp án A  Câu 24 Cho hình trụ có thiết diện qua trục hình vng có cạnh 4a Diện tích xung quanh S hình trụ A S = 4πa2. B S = 8πa2. C S = 24πa2. D S = 16πa2. Lời giải Phương pháp: Công thức tính diện tích xung quanh hình trụ có bán kính đáy R, chiều cao h Sxq = 2πRh Cách giải: R h C B O O0 A D Hình trụ có thiết diện qua trục hình vng ABCD có cạnh 4a Do h = 2R = 4a ⇒ R = 2a với R, h bán kính đáy chiều cao hình trụ Vậy S = 2πRh = 16πa2 Chọn đáp án D  Câu 25 Cho hình trụ có đáy hai đường trịn tâm O O0, bán kính đáy chiều cao 2a Trên đường tròn đáy có tâm O lấy điểm A, đường trịn tâm O0 lấy điểm B Đặt α góc AB đáy Tính tan α thể tích khối tứ diện OO0AB đạt giá trị lớn A tan α = √1 2 B tan α = 2 C tan α = D tan α = √ Lời giải Lấy điểm A0 ∈ (O0), B0 ∈ (O) cho AA0, BB0 song song với trục OO0. Khi ta có lăng trụ đứng OAB0.O0A0B Ta có VOO0AB = VOAB0.O0A0B− VA.O0A0B− VB.OAB0 = VOAB0.O0A0B− 1 3VOAB0.O0A0B− 3VOAB0.O0A0B = 3VOAB0.O0A0B ⇒ VOO0AB = 1 3AA 0· S 4OAB0 = 1 6AA 0· OA · OB · sin ’AOB0. Do VOO0AB lớn ⇔ sin ’AOB0 = ⇔ ’AOB0 = 90◦ ⇔ OA ⊥ OB0 ⇒ O0A0 ⊥ O0B ⇒ 4O0A0B vuông O0 ⇒ A0B = O0A0√2 = 2a√2. Ta có AA0 ⊥ (O0A0B) ⇒ (AB, (O0A0B)) = ’ABA0 = α. ⇒ tan α = AA 0 A0B = 2a 2a√2 = 1 √ 2 O O0 A B A0 B0 2a 2a Chọn đáp án A  Câu 26 Cho hình trụ có hai đáy hai hình trịn (O; R) (O0; R), chiều cao R√3 Một hình nón có (78)A B √3 C D √2 Lời giải Diện tích xung quanh hình trụ S1 = 2πR2 √ Độ dài đường sinh hình nón l =√R2+ 3R2 = 2R diện tích xung quanh hình nón S2 = 2πR2 Vậy tỷ số diện tích xung quanh hình trụ hình nón S1 S2 =√3 O0 O A B Chọn đáp án B  Câu 27 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật, SA vng góc với mặt phẳng đáy, AB = 1, AD = SA = Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD A 2 B 9π 4 C 36π D 9π Câu 28 Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = BC = 4, ’BAC = 900 Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC A √ 3 3 B √ 3 C D Lời giải Ta có SA = SB = SC nên hình chiếu H S lên đáy tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, tức trung điểm BC Vì tam giác SBC nên tâm I mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tâm mặt (SBC) Vậy R = BC √ 3 = 4√3 A B C H S Chọn đáp án A  Câu 29 Một hình trụ có diện tích xung quanh 4π, thiết diện qua trục hình vng Một mặt phẳng (α) song song với trục, cắt hình trụ theo thiết diện ABB0A0, biết cạnh thiết diện dây đường trịn đáy hình trụ căng cung 120◦ Diện tích thiết diện ABB0A0 A √3 B 2√3 C 2√2 D 3√2 (79)Vì thiết diện qua trục hình vng nên h = 2r Diện tích xung quanh hình trụ 4π ⇒ 2πrh = 4π ⇒ 2πr.2r = 4π ⇒ r = Theo định lý cosin: AB2 = OA2+ OB2− 2OA.OB cos 120◦ = ⇒ AB = √ Vậy diện tích ABB0A0 2.√3 120◦ A 0 A B0 B I0 Chọn đáp án B  Câu 30 Một đội xây dựng cần hoàn thiện hệ thống cột tròn cửa hàng kinh doanh gồm 17 Trước hoàn thiện cột khối bê tơng cốt thép hình lặng trụ lục giác có cạnh 14 cm; sau hồn thiện (bằng cách trát thêm vữa tổng hợp vào xung quanh) cột khối trụ có đường kính đáy 30 cm Biết chiều cao cột trước sau hồn thiện 390 cm Tính lượng vữa hỗn hợp cần dùng (đơn vị m3, làm tròn đến chữ số thập phân sau dấu phẩy) A 1, m3. B 2, m3. C 1, m3. D 1, m3. Câu 31 Hình nón có thiết diện qua trục tam giác tích V = √ 3 πa 3 Diện tích chung quanh S hình nón A S = 2πa 2. B S = 4πa2. C S = 2πa2. D S = πa2. Lời giải Thiết diện qua trục tam giác nên hình nón có l = 2R ⇒ h = R√3 Lại có V = √ 3 πa 3 = 3πR 2h = 3πR 3√3 ⇒ R3 = a3 ⇒ R = a. Vậy diện tích xung quanh hình nón Sxq= πRl = πa2 Chọn đáp án D  Câu 32 Một khối gỗ hình lập phương tích V1, người thợ mộc muốn gọt giũa khối gỗ đó thành khối trụ tích V2 Tính tỉ số lớn k = V2 V1 A k = 4 B k = π 2 C k = π 4 D k = π Lời giải Do V1 không đổi nên k = V2 V1 lớn V2 lớn Khi khối trụ có hai đáy nằm hai mặt hình lập phương Giả sử hình lập phương có cạnh a ⇒ V1 = a3 V2 = π a2 4 · a = π · a3 4 ⇒ k = V2 V1 = π Chọn đáp án C  (80)H1 H2 H3 H4 3a 6a 3a 6a A H1, H4 B H2, H3 C H1, H3 D H2, H4 Lời giải  Hình H1 có chu vi đáy 6a, ta có 2πr = 6a ⇔ r = 3a π Thể tích khối H1 V1 = πr2h = π Å 3a π ã2 · 3a = 27a 3 π  Hình H2 có chu vi đáy 3a, ta có 2πr = 3a ⇔ r = 3a 2π Thể tích khối H2 V2 = πr2h = π Å 3a 2π ã2 · 6a = 27a 3 2π  Hình H2 có chu vi đáy 3a, ta có 2πr = 3a ⇔ r = 3a 2π Thể tích khối H2 V2 = πr2h = π Å 3a 2π ã2 · 6a = 27a 3 2π  Hình H3 có chu vi đáy 6a, gọi độ dài cạnh đáy x, ta có 3x = 6a ⇔ x = 6a = 2a Thể tích khối H3 V3 = 3a · 1 2x 2· sin 60◦ = a33√3.  Hình H4 có chu vi đáy 3a, gọi độ dài cạnh đáy x, ta có 3x = 3a ⇔ x = 3a = a Thể tích khối H4 V4 = 6a · 1 2x 2· sin 60◦ = a33 √ Vậy hình tích lớn H1 hình tích nhỏ H4 Chọn đáp án A  Câu 34 Cho hình trụ có bán kính đáy R có chiều cao R√3 Hai điểm A, B nằm hai đường tròn đáy cho góc AB trục hình trụ 30◦ Khoảng cách AB trục hình trụ A R√3 B R √ 2 C R√3 4 D R (81)Ta có ⁄(AB, OO0) = Ÿ(AB, BC) = 30◦ ⇒ AC = BC tan 30◦ = R ⇒ 4O0BI cạnh R. Gọi H trung điểm AC Khi O0H ⊥ (ABC) Mặt khác d(OO0, AB) = d(OO0, (ABC)) = d(O0, (ABC)) = O0H = R √ 30◦ O0 H O B C A Chọn đáp án B  Câu 35 Một hình thang vng ABCD có đường cao AD = π, đáy nhỏ AB = π, đáy lớn CD = 2π Cho hình thang quay quanh CD ta khối trịn xoay tích V bao nhiêu? A V = 2π4. B V = 3π 4. C V = 3π 3. D V = 3π 2. Lời giải Khối tròn xoay hợp thành từ khối trụ khối nón - Thể tích khối trụ V1 = DH.Sđáy = π.π.R2 = π4 - Thể tích khối nón V2 = 1 3CH.Sđáy = 3π.π.R 2 = 3π 4. Vậy thể tích khối trịn xoay V = V1+ V2 = 4 3π 4. A B H D C A0 B0 π π 2π Chọn đáp án B  Câu 36 Cho hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB = 1, đáy lớn CD = 3, cạnh bên BC = DA =√2 Tính thể tích V vật thể trịn xoay tạo thành quay hình thang quay quanh AB A V = 4π 3 B V = 5π 3 C V = 2π 3 D V = 7π Lời giải Gọi A0 điểm đối xứng với B qua A B0 điểm đối xứng với A qua B Gọi V1 thể tích khối trụ tạo thành quay hình chữ nhật A0DCB0 quanh AB Gọi V2 thể tích khối nón tạo thành quay tam giác BCB0 quanh AB Khi V = V1− 2V2 Ta có A0B0 = DC = 3, BB0 = B0C = Do V1 = π · 12 · = 3π V2 = 1 3· π · 2· = π 3 Vậy V = 3π − 2π 3 = 7π 3 C D A B A0 B0 Chọn đáp án D  Câu 37 Một hình trụ có bán kính đáy cm Một mặt phẳng qua trục hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện hình vng Tính thể tích khối trụ (82)Theo giả thiết suy r = cm thiết diện hình vng ABB0A0 Khi h = 2r = cm Thể tích khối trụ V = πr2h = π · 22 · = 16π cm3. O A B A0 O B0 0 h r Chọn đáp án C  Câu 38 Cho hình lập phương ABCD.A0B0C0D0 có cạnh a Một khối nón có đỉnh tâm hình vng ABCD có đáy hình trịn nội tiếp hình vng A0B0C0D0 Diện tích tồn phần khối nón A πa 2(√3 + 2) 2 B πa2(√5 + 1) 4 C πa2(√5 + 2) 4 D πa2(√3 + 1) 2 Lời giải Gọi O, I tâm hình vng ABCD A0B0C0D0 Đường trịn nội tiếp hình vng ABCD có bán kính r = a 2 Theo giả thiết đường cao hình nón có độ dài h = IO = a Khi đường sinh hình nón l =√IO2+ r2 = … a2+a 2 2 = a √ 5 Vậy diện tích tồn phần hình nón Stp = Sxq+ Sđáy = πrl + πr 2 = πa2( √ + 1) 4 O C D C0 D0 I A B B0 A0 Chọn đáp án B  Câu 39 Cho khối trụ có bán kính đáy R có chiều cao h = 2R hai đáy khối trụ hai đường trịn có tâm O O0 Trên đường tròn (O) ta lấy điểm A cố định Trên đường tròn (O0) ta lấy điểm B thay đổi Hỏi độ dài đoạn thẳng AB lớn bao nhiêu? A ABmax= 2R √ 2 B ABmax = 4R √ 2 C ABmax = 4R D ABmax = R √ Lời giải Gọi C điểm thuộc đường tròn (O0) cho AC vng góc với mặt phẳng chứa đường trịn (O0) Ta có: AB2 = AC2+ CB2 ≤ h2+ (2R)2 Hay AB2 ≤ 4R2+ 4R2 ⇔ AB2 ≤ 8R2 ⇔ AB ≤ 2R√2 Dấu “=” xảy B đối xứng với C qua O0 hay BC đường kính đường trịn (O0) Vậy ABmax= 2R √ O O0 B B0 A C Chọn đáp án A  Câu 40 Cho mặt trụ (T ) điểm S cố định nằm bên (T ) Một đường thẳng ∆ thay đổi qua S cắt (T ) tai hai điểm A, B (A, B trùng nhau) Gọi M trung điểm đoạn thẳng AB Tìm tập hợp điểm M (83)C Một mặt nón có đỉnh S D Một mặt trụ Lời giải O D C N S A B M I l Gọi (α) mặt phẳng qua S vng góc với trục mặt trụ (T ) Gọi (O) đường tròn giao tuyến mặt phẳng (α) mặt trụ (T ) Gọi I trung điểm OS l đường thẳng qua I vng góc với (α) Từ A, B kẻ đường thẳng song song với trục hình trụ cắt (O) C D Gọi M , N trung điểm AB CD Dễ thấy A, B, C, D, M , N , S thuộc mặt phẳng nên S, C, N , D thẳng hàng Do góc ’ON S = 90◦ nên N I = 2OS (khơng đổi) Từ suy khoảng cách từ M đến đường thẳng l N I OS 2 Vậy M thuộc mặt trụ nhận đường thẳng l làm trục có bán kính OS Chọn đáp án D  Câu 41 Cho khối nón đỉnh S, trục SI (I tâm đáy) Mặt phẳng trung trực SI chia khối chóp thành hai phần Gọi V1 thể tích phần chứa đỉnh S V2 thể tích phần cịn lại Tính V1 V2 A V1 V2 = 4 B V1 V2 = 8 C V1 V2 = 7 D V1 V2 = Câu 42 Cho hình trụ có hai đáy hai hình trịn (O) (O0), chiều cao 2R bán kính đáy R Một mặt phẳng (P ) qua trung điểm OO0 tạo với OO0 góc 30◦, (P ) cắt đường trịn đáy theo dây cung Tính độ dài dây cung theo R A 4R √ 3 3 B 2R√6 3 C 2R 3 D 2R√3 Câu 43 Cho hình nón đỉnh S có chiều cao bán kính đáy 2a Mặt phẳng (P ) qua S cắt đường tròn đáy A, B cho AB = 2√3a Tính khoảng cách từ tâm đường trịn đáy đến (P ) A √a 5 B 2a √ 5 C a D (84)Gọi E trung điểm AB, suy OE ⊥ AB Gọi H hình chiếu O SE, suy OH ⊥ SE Ta có ®AB ⊥ OE AB ⊥ SO ⇒ AB ⊥ (SOE) ⇒ AB ⊥ OH Từ suy OH ⊥ (SAB) nên d [O, (SAB)] = OH A E S B H O Theo giả thiết ta có: SO = OA = 2a; AB = 2√3a ⇒ AE =√3a ⇒ OE2 = 4a2− 3a2 = a2 Trong tam giác vng SOE, ta có OH2 = 1 SO2 + 1 OE2 = 1 4a2 + 1 a2 = 5 4a2 ⇒ OH = 2a √ 5 Vậy khoảng cách từ tâm đường tròn đáy đến (P ) √2a 5 Chọn đáp án B  Câu 44 Cho tam giác ABC cạnh nội tiếp đường tròn tâm O, AD đường kính đường trịn tâm O Thể tích khối trịn xoay sinh cho phần tơ đậm (hình vẽ bên) quay quanh đường thẳng AD A V = √ 3 8 π B V = 23√3 π C V = 23 √ 24 π D V = 5√3 π O A B C D H Lời giải Gọi V thể tích khối trịn xoay sinh cho phần tô đậm quay quanh đường thẳng AD V1 thể tích khối cầu sinh quay nửa đường trịn đường kính AD quanh đường thẳng AD, V2 là thể tích khối nón sinh quay tam giác ABC quanh đường thẳng AD V2 = 9√3π 8 V1 = 3( √ 3)3π = 4√3π. Vậy, V = V1− V2 = 23√3 π A B H C O D Chọn đáp án B  Câu 45 Cắt khối trụ cho trước thành hai phần hai khối trụ có tổng diện tích tồn phần nhiều diện tích tồn phần khối trụ ban đầu 18π dm2 Biết chiều cao khối trụ ban đầu dm, tính tổng diện tích tồn phần S hai khối trụ A S = 108π ( dm2 ). B S = 84π ( dm2). C S = 90π ( dm2). D S = 162π ( dm2 ). Lời giải Gọi R, h bán kính đáy chiều cao khối trụ ban đầu (T ) h1; h2 chiều cao hai khối trụ (T1), (T2) (85)Diện tích tồn phần khối trụ (T2) S2 = 2πRh2+ 2πR2 Theo đề bài, ta có S1+ S2 = S + 18π ⇔ 2πR(h1+ h2) + 4πR2 = 2πRh + 2πR2+ 18π ⇒ 2πRh + 4πR2 = 2πRh + 2πR2+ 18π ⇒ R = 3. Vậy S1+ S2 = 2πRh + 4πR2 = 84π Chọn đáp án B  Câu 46 Cho tơn hình nón có bán kính đáy r = 3, độ dài đường sinh l = Người ta cắt theo đường sinh trải phẳng hình quạt Gọi M , N theo thứ tự trung điểm OA OB Hỏi cắt hình quạt theo hình chữ nhật M N P Q (hình vẽ) tạo thành hình trụ có đường sinh P N trùng với M Q khối trụ tích bao nhiêu? A 3πÄ√13 − 1ä 8 B 3Ä√13 − 1ä 4π C Ä√ 13 − 1ä 12π D πÄ√13 − 1ä 9 A B P Q O M N Lời giải Gọi H, F trung điểm M N , P Q Độ dài cung AB chu vi đường trịn đáy hình nón, lAB = 2πr = 2π · 2 = 4π Suy ra: ’AOB = lAB OA = 2π 3 Áp dụng định lí cơ-sin tam giác OAB ta có: AB = » OA2+ OB2− 2OA · OB · cos( ’AOB) = 2√3. P Q = M N = 2AB = √ Suy M H = 2AB = √ 3 OH =√OM2− M H2 = 2 OF =pOQ2− QF2 = √ 13 Do đó, M Q = HF = OF − OH = √ 13 − 2 Thể tích hình trụ V = πM H2· M Q = 3π Ä√ 13 − 1ä 8 A B P Q F O M N H Chọn đáp án A  Câu 47 Khi cắt khối trụ (T ) mặt phẳng song song với trục cách trục trụ (T ) khoảng a√3 ta thiết diện hình vng có diện tích 4a2 Tính thể tích V khối trụ (T ) A V = 7√7πa3. B V = √ πa 3. C V = 3πa (86)Vì thiết diện hình vng có S = 4a2 ⇒ h = AD = CD = 2a Gọi H trung điểm CD Do 4COD cân O nên OH⊥CD ⇒ OH⊥(ABCD) Theo giả thiết d(OO0, (ABCD)) = OH = a√3 Suy r = OD =√DH2+ OH2 =   Å CD 2 ã2 + OH2 = 2a. Vậy V = π.r2.h = 8πa3 D A B C O0 O H Chọn đáp án D  Câu 48 Một đội xây dựng cần hoàn thiện hệ thống cột tròn cửa hàng kinh doanh gồm 10 Trước hoàn thiện cột khối bê tơng cốt thép hình lăng trụ lục giác có cạnh 20 cm; sau hồn thiện (bằng cách trát thêm vữa vào xung quanh) cột khối trụ có đường kính đáy 42 cm Chiều cao cột trước sau hoàn thiện m Biết lượng xi măng cần dùng chiếm 80% lượng vữa bao xi măng 50 kg tương đương với 64000 cm3 xi măng Hỏi cần bao xi măng loại 50 kg để hoàn thiện toàn hệ thống cột? A 25 bao B 17 bao C 18 bao D 22 bao Lời giải Thể tích khối trụ lục giác V1 = 400.6 1 2· 20 2· sin 60◦ = 240000√3 cm3. Thể tích khối trụ sau trát V2 = πR2· h = π · 212· 400 = 176400π cm3 Thể tích xi măng cần để trát vào cột V = (V2− V1) · 0,8 = Ä 17640π − 24000√3ä· cm3 Thể tích xi măng cần để trát vào 10 cột V = (V2− V1) · 0,8 · 10 = Ä 176400π − 240000√3ä· cm3. Số bao xi măng cần để hồn thiện toàn hệ thống cột Ä 176400π − 240000√3ä· 64000 ≈ 17,3 bao Chọn đáp án C  Câu 49 Có bìa hình tam giác ABC cạnh a Người ta muốn cắt bìa thành hình chữ nhật M N P Q cuộn lại thành hình trụ khơng đáy hình vẽ A B C M N Q P Diện tích hình chữ nhật để diện tích xung quanh hình trụ lớn nhất? A a 2 2 B a2√3 8 C a2√3 4 D a2 8 Lời giải Giả sử P Q = M N = x (0 < x < a) Do ABC tam giác nên AM N tam giác Suy AN = x, N C = a − x P C = a − x 2 (87)Suy Sxq = M N · N P = x · … (a − x)2−a − x 2 2 = √ 3 2 x(a − x) ≤ √ 3 x + a − x 2 = a 2√3 8 (Theo BĐT Cô - si) Dấu xảy x = a − x ⇔ x = a Vậy diện tích hình chữ nhật a 2√3 8 Chọn đáp án B  Câu 50 Một cốc hình trụ cao 15 cm đựng 0, lít nước Hỏi bán kính đường trịn đáy cốc xấp xỉ (làm tròn đến hàng thập phân thứ hai)? A 3, 26 cm B 3, 27 cm C 3, 25 cm D 3, 28 cm Lời giải Ta có 0, lít = 0, dm3 = 500 cm3. Bán kính đường trịn đáy cốc r = … 500 π · 15 ≈ 3, 26 cm Chọn đáp án A  Câu 51 Một mũ vải nhà ảo thuật với kích thước hình vẽ Hãy tính tổng diện tích vải cần có để làm nên mũ (khơng kể viền, mép, phần thừa) A 750, 25π cm2 B 700π cm2 C 756, 25π cm2 D 754, 25π cm2 10 cm 35 cm 30 cm Lời giải Tổng diện tích tính tổng diên tích xung quanh hình trụ diện tích đáy, với diện tích hình vành khăn Ta có: S = 2π · 7, · 30 + π · 7, 52+ π (17, 52− 7, 52) = 756, 25π. Chọn đáp án C  Câu 52 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A B, AB = BC = a, AD = 2a, SA ⊥ (ABCD) SA = a√2 Gọi E trung điểm AD Kẻ EK ⊥ SD K Bán kính R mặt cầu qua sáu điểm S, A, B, C, E, K A R = a 2 B a√3 2 C R = a D R = a√6 Lời giải Mặt cầu qua sáu điểm S, A, B, C, E, K mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCE Gọi I trung điểm SC O tâm hình vng ABCE Vì SA = AC = a√2 nên tam giác SAC vuông cân A, suy IA = IS = IC = 2SC = a Mặt khác OI ⊥ (ABCE) O tâm hình vng ABCE nên IA = IB = IC = IE Từ suy I tâm mặt cầu cần tìm bán kính mặt cầu R = a A B C D I S K (88)Câu 53 Một hình trụ có bán kinh r = cm khoảng cách hai đáy h = cm Cắt khối trụ mặt phẳng song song với trục cách trục cm Diện tích thiết diện tạo thành A 56 cm2. B 55 cm2. C 53 cm2. D 46 cm2. Lời giải Giả sử hình trụ (T ) có trục OO0 Thiết diện song song với trục hình chữ nhật M N P Q (N, P thuộc đường tròn tâm O M, Q thuộc đường tròn tâm O0) Gọi H trung điểm M Q Khi đó, O0H ⊥ M Q ⇒ O0H ⊥ (M N P Q) Do đó, d (OO0, (M N P Q)) = d (O0, (M N P Q)) = O0H = cm Ta có M H =√O0M2− O0H2 = cm ⇒ M Q = 2M H = cm. Diện tích thiết diện S = M Q · M N = 56 cm2 O O0 P Q M H N Chọn đáp án A  Câu 54 Cho hình nón trịn xoay có chiều cao h = 20 cm, bán kính r = 25 cm Một thiết diện qua đỉnh hình nón có khoảng cách từ tâm đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện 12 cm Tính diện tích thiết diện A S = 500 cm2. B S = 400 cm2. C S = 300 cm2. D S = 406 cm2. Lời giải Giả sử thiết diện qua đỉnh hình nón (N ) tam giác cân SAB Gọi M trung điểm AB H hình chiếu O lên SM Ta có OH2 = 1 OM2 + 1 OS2 ⇒ OM = 15 cm Tam giác SM O vng O có OH ⊥ SM nên SO · OM = OH · SM ⇒ SM = SO · OM OH = 25 cm Tam giác OM A vuông M nên M A =√OA2− OM2 = 20 cm. Diện tích thiết diện S4SAB = 1 2SM · AB = 20 · 25 = 500 cm 2. O A B S M H Chọn đáp án A  Câu 55 Một hình trụ có diện tích xung quanh 4π, thiết diện qua trục hình vng Một mặt phẳng (α) song song với trục cắt hình trụ theo thiết diện tứ giác ABB0A0, biết cạnh thiết diện dây cung đường trịn đáy hình trụ căng cung 120◦ Tính diện tích thiết diện ABB0A0 A 3√2 B √3 C 2√3 D 2√2 Lời giải Gọi r bán kính đường trịn đáy hình trụ Vì thiết diện qua trục hình trụ hình vng nên chiều cao đường kính đường trịn đáy hay 2r Suy 2πr · 2r = 4π hay r = Do AB =√OA2+ OB2− 2OA · OB cos 120◦ =√3 Vậy diện tích thiết diện ABB0A0 SABB0A0 = AD · AB = √ 3 A0 B0 B O A (89)Câu 56 Cho hình chóp tam giác S.ABC Hình nón có đỉnh S có đường trịn đáy đường trịn nội tiếp tam giác ABC gọi hình nón nội tiếp hình chóp S.ABC, hình nón có đỉnh S có đường trịn đáy đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC gọi hình nón ngoại tiếp hình chóp S.ABC Tỉ số thể tích hình nón nội tiếp hình nón ngoại tiếp hình chóp cho A 2 B 1 4 C 2 3 D 1 Lời giải Gọi M trung điểm BC Gọi O trọng tâm tam giác ABC Ta có: SO ⊥ (ABC) O Suy ra, O tâm đường tròn nội tiếp tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Gọi a độ dài cạnh tam giác ABC Gọi V1, V2 thể tích hình nón nội tiếp hình nón ngoại tiếp hình chóp S.ABC Do OM = 2OA nên ta có: V1 V2 = 3· π · OM 2· SO 1 3· π · OA 2· SO = OM 2 OA2 = Å OM OA ã2 =Å 2 ã2 = C B A O S M N P Chọn đáp án B  Câu 57 Cho hình trụ có bán kính đáy cm khoảng cách hai đáy cm Cắt khối trụ mặt phẳng song song với trục cách trục cm Tính diện tích S thiết diện tạo thành A S = 55 cm2. B S = 56 cm2. C S = 53 cm2. D S = 46 cm2. Lời giải Vì khối trụ cắt mặt phẳng song song với trục nên thiết diện hình chữ nhật M N P Q Gọi I trung điểm M N Khi đó, OI ⊥ M N 4OM N cân O Mà OI ⊥ P N (do P N vng góc với đáy) ⇒ OI ⊥ (M N P Q) ⇒ OI = cm Áp dụng định lí Pi-ta-go cho tam giác vng OM I, ta có M I = √ 52− 32 = ⇒ M N = 8. Mà P Q = OO0 = nên SM N P Q= · = 56 (cm2) B I O N M O0 A0 B0 P Q A Chọn đáp án B  Câu 58 Cho hình nón trịn xoay có chiều cao h = 20 cm, bán kính đáy r = 25 cm Mặt phẳng (α) qua đỉnh hình nón cách tâm đáy 12 cm Tính diện tích thiết diện hình nón cắt mặt phẳng (α) (90)Gọi S, O đỉnh tâm đáy hình nón Giả sử (α) cắt đường tròn đáy M N , thiết diện ∆SM N Gọi I trung điểm M N H hình chiếu O lên mặt phẳng (α) Ta có SO = 20, ON = 25, OH = 12 SH =√SO2− OH2 = 16. Vì ∆SOI v ∆SHO ⇒ OI = SO · OH SH = 15 Khi SI =√SO2+ OI2 = 25, M N = 2IN = 2√ON2− OI2 = 40. Vậy diện tích thiết diện S = 2SI · M N = 500 (cm 2). O S M N I H Chọn đáp án D  Câu 59 Cho hình thang cân ABCD có AB k CD, AB = CD = Khi quay hình thang quanh trục CD thu khối trịn xoay tích 6π Diện tích hình thang ABCD bao nhiêu? A 2 B 9 4 C D Lời giải Ta có V = πAH2 · AB +1 3πAH 2(DH + CK) = 2πAH2+ 3πAH 2 = 6π ⇔ ⇔ 2AH2+2 3AH 2 = ⇔ AH = 2 ⇒ SABCD = AB + CD 2 · AH = D H K C A B Chọn đáp án A  Câu 60 Một hình trụ có bán kính đáy a, chu vi thiết diện qua trục 10a Tính thể tích khối trụ cho A πa3. B 5πa3. C 4πa3. D 3πa3. Lời giải Chu vi thiết diện qua trục C = (2r + h) = 10a ⇔ 4a + 2h = 10a ⇔ h = 3a Khi V = πr2h = 3πa3. Chọn đáp án D  Câu 61 Để làm cốc thủy tinh dạng hình trụ với đáy cốc dày 1,5 cm, thành xung quanh cốc dày 0,2 cm tích thật (thể tích đựng được) 480π cm3 người ta cần cm3 thủy tinh? A 75,66π cm3. B 80,16π cm3. C 85,66π cm3. D 70,16π cm3. (91)Gọi bán kính chiều cao hình trụ bên r h Ta có: V = πr2h ⇒ h = V πr2 = 480 r2 Thể tích hình trụ bên là: V = π (r + 0,2)2· (h + 1, 5) = π (r + 0,2)2 ·Å 480 r2 + 1, ã Thể tích thủy tinh là: π (r + 0,2)2·Å 480 r2 + 1,5 ã − 480π Xét f (r) = π (r + 0,2)2·Å 480 r2 + 1,5 ã , r > ⇒ f0(r) = 2π (r + 0,2)Å 480 r2 + 1,5 ã + π (r + 0,2)2· Å −960 r3 ã f0(r) = ⇔ 2Å 480 r2 + 1,5 ã = (r + 0, 2) ·960 r3 ⇔ = 192 r3 ⇔ r = Bảng biến thiên hàm số f (r) r f0(r) f (r) 0 +∞ − + +∞ +∞ 27783π 50 27783π 50 +∞ +∞ Vậy thể tích thủy tinh người ta cần 27783 50 π − 480π ≈ 75,66π cm 3. Chọn đáp án A  Câu 62 Cho hình trụ có thiết diện qua trục hình vng cạnh 2a Mặt phẳng (P ) song song với trục cách trục khoảng a 2 Tính diện tích thiết diện hình trụ cắt mặt phẳng (P ) A 2√3a2. B a2. C πa2. D. √3a2. Lời giải Gọi ABB0A0 thiết diện qua trục hình trụ Từ giả thiết ta suy đường cao hình trụ AA0 = 2a, bán kính đường trịn đáy hình trụ R = AB 2 = a Mặt phẳng (P ) song song với trục nên cắt hình trụ theo thiết diện hình chữ nhật có cạnh M Q = AA0 = 2a, cách trục khoảng a 2 nên O 0H = a 2 với H trung điểm P Q Khi P Q = 2pO0Q2− O0H2 = 2 … a2− a 2 4 = a √ 3 Do diện tích thiết diện cần tìm M Q · P Q = 2√3a2. B O M N A P O0 A0 B0 Q H Chọn đáp án A  Câu 63 Có ba bóng hình cầu bán kính cm Xét hình trụ có chiều cao cm bán kính R cm chứa ba bóng cho chúng đơi tiếp xúc với Khi bán kính R nhỏ bao nhiêu? A 2√3 cm B 3√3 cm C √ + (92)Lời giải Rmin = CK + CE = 2 3BC √ 2 + CE = 4√3 + 3 A B C I E K Chọn đáp án C  Câu 64 Cho hình nón có chiều cao h Tính chiều cao x khối trụ tích lớn nội tiếp hình nón theo h A x = h 2 B x = h 3 C x = 2h 3 D x = h √ 3 Lời giải Theo định lí Ta-Let ta có SO 0 SO0+ x = h − x h = r0 r, (0 < x < h) Thể tích hình trụ V = πr02x = π[(h − x)r] 2 h2 · x = πr2 h2 · x · (h − x) 2. Xét f (x) = x(h − x)2 = · h − x · h − x · x ≤ Öh − x 2 + h − x + x è3 = 4h 3 27 Dấu “ = ” xảy h − x 2 = x ⇔ x = h O0 x O r S r0 Chọn đáp án B  Câu 65 Người ta cần sản xuất cốc thủy tinh có dạng hình trụ khơng có nắp với đáy cốc thành cốc làm thủy tinh đặc, phần đáy cốc dày 1, cm thành xung quanh cốc dày 0, cm hình vẽ bên Biết chiều cao cốc 15 cm ta đổ 180 ml nước vào đầy cốc Nến giá thủy tinh 500 đ/1cm3 giá tiền thủy tinh để sản xuất cốc gần với số tiền sau đây? 15cm 1,5cm 0,2cm A 25 nghìn đồng B 31 nghìn đồng C 40 nghìn đồng D 20 nghìn đồng Lời giải Gọi V1 thể tích thực cốc có bán kính đáy r, chiều cao h1; V2 thể tích khối thủy tinh đặc cần tính; V thể tích cốc (bao gồm thể tích thực thể tích phần thủy tinh đặc) có bán kính đáy R chiều cao h Theo đề ta có V1 = 180 = πr2h1 ⇒ r =   180 π(15 − 1, 5) = … 40 3π· Theo giả thiết suy R = r + 0, ⇒ V = πR2h = πÇ… 40 3π + 0, å2 (93)⇒ thể tích khối thủy tinh đặc V2 = V − V1 ≈ 60, 72 cm3 Suy số tiền để sản xuất cốc thủy tinh 60,72 × 500 ≈ 30.360 đồng Vậy số tiền gần 31 nghìn đồng Chọn đáp án B  Câu 66 Cho hình nón (N1) có chiều cao 40 cm Người ta cắt hình nón (N1) mặt phẳng song song với mặt đáy để hình nón nhỏ (N2) tích 1 8 thể tích (N1) Tính chiều cao h hình nón (N2) A h = 40 cm B h = 10 cm C h = 20 cm D h = 5cm Lời giải Gọi r1, h1 bán kính đường trịn đáy chiều cao hình nón (N1); r2 bán kính đường trịn đáy hình nón (N2) Theo định lí Ta-lét, ta có: r2 r1 = h h1 Ta có V1 V2 = ⇔ r22h r2 1h1 = ⇔ h3 h3 = 8 ⇔ h = h1 2 = 40 2 = 20(cm) h r1 r2 40cm Chọn đáp án C  Câu 67 Cho khối trụ có diện tích xung quanh khối trụ 80π Tính thể tích khối trụ biết khoảng cách hai đáy 10 A 160π B 400π C 40π D 64π Lời giải Gọi h chiều cao, r bán kính đáy khối trụ Khi ta có Sxq = 2πrh ⇔ r = Sxq 2πh Khi thể tích khối trụ V = πr2h = πÅ Sxq 2πh ã2 · h = S 2 xq 4πh = (80π)2 4π · 10 = 160π Chọn đáp án A  Câu 68 Cho hình trụ hình vng ABCD có cạnh a Hai đỉnh liên tiếp A, B nằm đường tròn đáy thứ hai đỉnh lại nằm đường tròn đáy thứ hai, mặt phẳng ABCD tạo với đáy góc 45◦ Khi thể tích khối trụ A 3πa 3√2 16 B 3πa3√2 8 C πa3√2 16 D 3πa3√2 (94)Gọi H, K trung điểm AB, CD; O, O0 tâm đáy I giao điểm OO0 HK suy I trung điểm OO0 HK Do IH = a 2 ⇒ OI = OH = a 2 · cos 45 ◦ = a √ Ta có R2 = OA2 = OH2+ AH2 = 3a 2 8 , suy V = πR2h = π · 3a 2 8 · a√2 4 = 3πa3√2 16 C D K A B H O I O0 45◦ Chọn đáp án A  Câu 69 Cho hình nón đỉnh S đáy hình trịn tâm O, SA SB hai đường sinh biết SO = 3, khoảng cách từ O đến (SAB) diện tích tam giác SAB 18 Tính bán kính đáy hình nón A √ 674 4 B √ 530 4 C 9√2 4 D 23 Lời giải Gọi I trung điểm AB, H hình chiếu O lên SI, suy OH ⊥ (SAB) ⇒ OH = Ta có OH2 = 1 OS2 + 1 OI2 ⇒ 1 OI2 = 1 −1 = 8 9 ⇒ OI 2 = 8 Do SI =√OI2+ SO2 =… 8 + = 9√2 4 Diện tích tam giác SAB 2SI · AB ⇒ AB = 2S SI = 16 √ 2, suy AI = √8 2 ⇒ AO = √ 530 = R H B A I S O Chọn đáp án B  Câu 70 Cho hình trụ có hai đáy hai hình trịn (O) (O0), chiều cao 2R bán kính đáy R Một mặt phẳng (α) qua trung điểm OO0 tạo với OO0 góc 30◦ Hỏi (α) cắt đường tròn đáy theo dây cung có độ dài bao nhiêu? A 2R √ 2 √ 3 B 4R 3√3 C 2R √ 3 D (95)Giả sử (α) mặt phẳng (ABCD) hình vẽ Gọi M trung điểm AB Ta có ®IO ⊥ AB OM ⊥ AB ⇒ AB ⊥ (IOM ) ⇒ [OO0, (α)] = ’OIM = 30◦ ⇒ OM = OI tan 30◦ = R √ 3 Khi AB = 2AM = 2√OA2− OM2 =   R2− R 3 = 2R√2 √ 3 C D N A B M O I O0 60◦ Chọn đáp án A  Câu 71 Cho hình cầu bán kính cm, cắt hình cầu mặt phẳng cho thiết diện tạo thành đường trịn đường kính cm Tính thể tích khối nón có đường trịn đáy thiết diện vừa tạo đỉnh tâm hình cầu cho (kết làm tròn đến hàng phần trăm) A 19,19 cm3. B 19,12 cm3. C 19,18 cm3. D 19,20 cm3. Lời giải Gọi M điểm nằm đường tròn đáy H tâm đáy hình nón Khi ta có 4OHM vng H độ dài đường sinh l = OM = R = cm, bán kính đáy hình nón r = HM = cm Suy chiều cao hình nón h = OH =√R2 − r2 =√52− 22 =√21 cm. Vậy thể tích khối nón V = 3πr 2h = 3· π · 2·√21 ≈ 19,19 cm3 M H O R r Chọn đáp án A  Câu 72 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a chiều cao 2a, diện tích xung quanh hình nón đỉnh S đáy hình trịn nội tiếp ABCD A πa 2√17 4 B πa2√17 2 C πa (96)Ta có bán kính hình nón R = a Chiều cao hình nón chiều cao hình chóp h = SO = 2a Độ dài đường sinh l =√h2 + R2 = a √ 17 Suy diện tích xung hình nón Sxq = πRl = πa2√17 D C B A S O Chọn đáp án A  Câu 73 Cho hình vng ABCD cạnh a Gọi N điểm thuộc cạnh AD cho AN = 2DN Đường thẳng qua N vng góc với BN cắt BC K Thể tích khối trịn xoay tạo thành quay tứ giác AN KB quanh trục BK A V = 3πa 3. B V = 2πa 3. C V = 6πa 3. D V = 7πa 3. A N D B K C Lời giải Gọi H hình chiếu N lên BK Khối tròn xoay tạo thành bao gồm:  Khối nón đỉnh K, đáy đường trịn tâm H  Khối trụ có trục BH hai đáy đường tròn tâm B đường trịn tâm H Xét 4KBN có HK.HB = HN2 = AB2 ⇒ HK = AB 2 HB = 3a 2 Thể tích khối nón V1 = 1 3 · π · N H 2· HK = 2πa 3. Thể tích khối trụ V2 = π · AB2 · BH = 2 3πa 3. A N H D B K C Vậy thể tích khối trịn xoay sinh V = V1+ V2 = 7 6πa (97)Chọn đáp án C  Câu 74 Cho hình trụ hình vng ABCD cạnh a có hai đỉnh A, B nằm đường trịn đáy thứ hình trụ hai đỉnh lại nằm đáy thứ hai hình trụ cho mặt phẳng (ABCD) tạo với đáy hình trụ góc 45◦ Diện tích xung quanh Sxq thể tích V khối trụ A Sxq= πa2√3 4 ; V = 3√3a3 16 B Sxq= πa2√2 3 ; V = 3√2a3 32 C Sxq= πa2√3 3 ; V = 3√2a3 8 D Sxq= πa2√3 2 ; V = 3√2a3 16 Lời giải Gọi O, O0 tâm đường tròn đáy hình trụ M , M0, I trung điểm AB, CD, OO0 Ta có M M0 = AD = a ⇒ IM = a Vì (ABCD) tạo với đáy hình trụ góc 45◦ nên ’IM O = 45◦ ⇒ IO = OM = a 2√2 ⇒ OO 0 = √a 2 Bán kính đường trịn đáy hình trụ R =√OM2+ M B2 = a √ 2√2 Diện tích xung quanh thể tích hình trụ Sxq= 2πR · OO 0 = πa 2√3 2 ; V = πR 2· OO0 = √ 2a3 16 D C M0 A B M I O O0 Chọn đáp án D  Câu 75 Một xưởng khí sản xuất thùng phi có nắp đậy dạng hình trụ với thể tích 2πm3 Người ta nên làm thùng phi với bán kính đáy r chiều cao h để tiết kiệm vật liệu nhất? A r = m;h = m B r = m;h = 0, m C r =√2 m; h = m D r = 0,5 m; h = m Lời giải Ta có h = V πr2 = 2 r2 ⇒ S = 2πrh + 2πr 2 = 2π · r · r2 + 2πr 2 = 2πÅ r + r 2 ã S0 = 2π Å −2 r + 2r ã ⇒ S0 = ⇔ 2r3− = ⇔ r = 1. bảng biến thiên r S0 S 0 +∞ − + +∞ 6π 6π +∞ +∞ Diện tích thùng nhỏ r = chiều cao h = r2 = Chọn đáp án A  Câu 76 Trong không gian cho tam giác ABC cạnh a Khi quay tam giác xung quanh trục BC ta hình trịn xoay Tính diện tích xung quanh hình trịn xoay A S = 2πa2√3. B S = πa 2√3 C S = πa 2√3 (98)Lời giải Gọi I trung điểm BC Hình trịn xoay tạo hai hình nón hình vẽ Khi l = AB; r = IA Do Sxq = 2π · r · l = 2π a√3 2 · a = πa 2√3. I A C B r Chọn đáp án D  Câu 77 Cho hai bình có dạng hình nón quay đỉnh xuống dưới, có chiều cao bán kính đáy nhau, bình đặt thẳng đứng hình vẽ Lúc đầu bình phía chứa đầy nước bình phía khơng có nước Sau đó, nước chảy từ bình xuống bình theo lỗ nhỏ đỉnh hình nón phía Hãy tính chiều cao nước bình thời điểm chiều cao nước bình (chiều cao nước tính từ đỉnh hình nón tới mặt nước) A √3 7 B √3 C 2 D Lời giải Gọi bán kính đáy hình nón R Khi đó, ta tích khối nón (thể tích phần khơng gian chứa đầy nước) phía V1 = 1 3πR 2· = 3πR 2. Tại thời điểm chiều cao nước bình 1, phần khơng gian chứa nước khối nón, giả sử có bán kính đáy R0 Khi đó, ta có R 0 R = ⇒ R 0 = 2R Suy thể tích nước bình lúc V2 = 1 3π Å R ã2 · = 12πR 2. Do đó, thể tích nước chảy xuống bình V3 = V1− V2 = 7 12πR 2. Gọi chiều cao nước bình h bán kính mặt nước r ⇒ r R = h 2 ⇒ r = hR 2 Suy V3 = 1 3π Å hR ã2 · h Ta có phương trình 3π Å hR ã2 · h = 12πR 2 ⇔ h =√3 7 Chọn đáp án A  (99)AB A x = a 2 B x = 2a C x = a D x = 3a Lời giải Thể tích hình trịn xoay quay ABCD quanh d V1 = [π(x + a)2− πx2] AD. Thể tích hình cầu có bán kính cạnh AB V2 = 4 3πa 3. Theo ta có phương trình π(x + a)2− πx2 AD = × 3πa 3 ⇔ 2πa3+ 4πa2x = 4πa3 ⇔ x = a 2 A D C B O O0 Chọn đáp án A  Câu 79 Cắt hình nón mặt phẳng qua trục thiết diện tam giác vng cân có cạnh huyền a√6 Thể tích V khối nón A V = πa 3√6 4 B V = πa3√6 3 C V = πa3√6 6 D V = πa3√6 2 Lời giải Giả sử hình nón có đỉnh S đường trịn đáy tâm O mặt phẳng qua trục SO cắt hình nón theo thiết diện tam giác vuông cân ASB Khi V = 3· SO · Sđ Do giả thiết ta có SO = OA = OB = AB 2 nên OA = a√6 2 Ta suy Sđ = π · OA2 = 3πa2 Vậy V = 3 · a√6 2 · 3πa2 2 = πa3√6 4 A B S O Chọn đáp án A  Câu 80 Cần phải thiết kế thùng dạng hình trụ có nắp đậy để đựng nước có dung tích V (cm3). Hỏi bán kính R(cm) đáy hình trụ nhận giá trị sau để tiết kiệm vật liệu nhất? A R =… 3V3 2π B R = 3 … V π C R = 3 … V 4π D R = 3 … V 2π Lời giải Gọi h(cm) chiều cao thùng dạng hình trụ cần làm, ta có V = πR2h ⇒ h = V πR2 Diện tích tồn phần thùng S = 2πR2+ 2πRh = 2πR2+ 2πR V πR2 = 2πR 2+V R + V R ≥ 3 … πR2· V R · V R = 3 √ πV2. Để tiết kiệm vật liệu diện tích tồn phần S nhỏ 3√3 πV2 Khi đó 2πR2 = V ⇔ R3 = V ⇔ R =… V3 (100)Chọn đáp án D  Câu 81 Tính diện tích xung quanh hình nón trịn xoay ngoại tiếp tứ diện cạnh a A Sxq = πa2√3 3 B Sxq = πa2 3 C Sxq = πa2√2 3 D Sxq = πa2√3 6 Lời giải Giả sử ABCD tứ diện cạnh a, gọi H trọng tâm tam giác BCD Khi đó, hình nón trịn xoay ngoại tiếp tứ diện ABCD có bán kính đáy r = HB = a √ 3 độ dài đường sinh l = AB = a Diện tích xung quanh hình nón Sxq = πrl = π · a√3 · a = πa2√3 3 A D B C H Chọn đáp án A  Câu 82 Với đĩa phẳng hình trịn thép bán kính R, phải làm phễu cách cắt hình quạt đĩa gấp phần cịn lại thành hình nón Gọi độ dài cung trịn hình quạt cịn lại x Tìm x để thể tích khối nón tạo thành nhận giá trị lớn A x = 2πR √ 6 3 B x = 2πR√2 3 C x = 2πR√3 3 D x = πR√6 Lời giải Gọi r bán kính đáy hình nón tạo thành, ta có x = 2πr ⇒ r = x 2π Độ dài đường sinh hình nón R nên suy chiều cao hình nón h =√R2− r2 =   R2− x 4π2 Thể tích khối nón tạo thành V = πr2h = π · x 2 4π2 ·   R2− x 4π2 = x2√4π2R2− x2 8π2 Xét hàm số f (x) = x2√4π2R2− x2 với < x < 2πR. f0(x) = x (8πR 2− 3x2) √ 4π2R2− x2 = ⇒ x = 2πR√6 Bảng biến thiên x f0(x) f (x) 0 2πR √ 3 2πR + − 16π3R3 3√3 16π3R3 (101)Như vậy, x = 2πR √ 6 3 thể tích khối nón lớn V = 2πR3 3√3 Chọn đáp án A  Câu 83 Một khúc gỗ hình trụ có bán kính R bị cắt mặt phẳng không song song với đáy ta thiết diện hình elip Khoảng cách từ điểm A đến mặt đáy 12 cm, khoảng cách từ điểm B đến mặt đáy 20 cm Đặt khúc gỗ vào hình hộp chữ nhật có chiều cao 20 cm chứa đầy nước cho đường tròn đáy khúc gỗ tiếp xúc với cạnh đáy hình hộp chữ nhật Sau đó, người ta đo lượng nước cịn lại hình hộp chữ nhật lít Tính bán kính khúc gỗ (Giả thiết rằng, khúc gỗ khơng thấm nước kết làm trịn đến hàng phần chục) A R = 8,2 cm B R = 4,8 cm C R = 6,4 cm D R = 5,2 cm B 20cm 12cm A Lời giải Thể tích khối hộp chữ nhật VHCN = (2R)220 = 80R2 Thể tích khối gỗ V = 20πR2− π4R2 = 16πR2. Suy 80R2− 16πR2 = 2000 ⇒ R = … 2000 80 − 16π ≈ 8,2 cm Chọn đáp án A  Câu 84 Cho khối trụ T có trục OO0, bán kính r thể tích V Cắt khối trụ T thành hai phần mặt phẳng (P ) song song với trục cách trục khoảng r 2 (như hình vẽ) Gọi V1 thể tích phần khơng chứa trục OO0 Tính tỉ số V1 V A V1 V = − √ 4π B V1 V = π − √ 3 C V1 V = π −√3 2π D V1 V = 4 −√3 4π O O0 Lời giải O O0 A B M Gọi h chiều cao khối trụ (T ) Thể tích khối trụ cho V = h · πr2. Gọi A B giao điểm mặt phẳng (P ) với đường tròn đáy tâm O0 M trung điểm AB Ta có O0M = r 2 ⇒ AB = 2AM = … r2 −r 4 = r √ 3 ⇒ ’AO0B = 120◦. Diện tích đáy phần khối trụ không chứa trục S = S − S = · πr2−1 · r · r√3 = πr −r 2√3 (102)⇒ V1 = h · Ç πr2 3 − r2√3 4 å Suy V1 V = 1 3− √ 4π Chọn đáp án A  Câu 85 Cho mặt nón trịn xoay đỉnh S đáy đường trịn tâm O có thiết diện qua trục tam giác cạnh a, A B hai điểm (O) Thể tích khối chóp S.OAB đạt giá trị lớn A a 3√3 96 B a3√3 48 C a3 96 D a3√3 24 Lời giải A S B O VS.OAB ≤ 1 6SO · OA · OB = a3√3 48 , suy thể tích lớn khối chóp VS.OAB a3√3 48 OA ⊥ OB Chọn đáp án B  Câu 86 Một khối gỗ hình trụ đường kính 0,5 m chiều cao m Người ta cắt khối gỗ, phần cịn lại hình vẽ bên tích V Tính V A 3π 16 B 5π 64 C 3π 64 D π 16 1m 0,5m 0,5m Lời giải Nhận thấy khối gỗ bị cắt bỏ tích 4 thể tích khối gỗ hình trụ trước cắt hay phần cịn lại khối gỗ sau cắt tích 4 thể tích khối gỗ hình trụ ban đầu Do V = 4 · πr 2h = 4· π · 0,25 2× = 3π 64 Chọn đáp án C  (103)Cho tam giác ABC cân A, đường cao AH AH = 3, BC = Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh tạo thành quay tam giác ABC quanh trục BC A V = 9π B V = 15π C V = 18π D V = 30π r h H A B C Lời giải Vật thể tròn xoay sinh tạo thành quay tam giác ABC quay quanh trục BC có dạng hai hình nón ghép lại có chung đường trịn đáy Xét hình nón trịn xoay tạo thành tam giác ABH quay quanh trục BH tích V1 = 1 3π · AH 2 · BH = 3π · 2· = 9π. Thể tích vật thể tròn xoay sinh tạo thành V = 2V1 = 18π Chọn đáp án C  Câu 88 Tính diện tích xung quanh Sxq hình trụ ngoại tiếp hình lập phương có cạnh a A Sxq = π √ 2a2 B Sxq = π√2a2 2 C Sxq = 2πa 2. D S xq = πa2 Lời giải Đường kính đáy hình trụ đường chéo hình vng đáy lập phương nên r = a √ 2 Đường cao h = a Sxq = 2πrh = πa2 √ A I B D H C Chọn đáp án A  Câu 89 Cho tam giác ABC vuông A Biết AB = cm, AC = cm Gọi V1 thể tích khối nón tạo nên quay tam giác ABC quanh cạnh AB V2 thể tích khối nón tạo nên khi quay tam giác ABC quanh cạnh AC Tính tỉ số V1 V2 A V1 V2 = 2 B V1 V2 = C V1 V2 = 3 D V1 V2 = Lời giải A C0 C B A B0 B (104)Ta có V1 = 1 3πAC 2· AB; V 2 = 1 3πAB 2· AC. Từ suy V1 V2 = AC AB = 4 Chọn đáp án C  Câu 90 Cho hình nón có đáy đường trịn có đường kính 10, chiều cao 15 Mặt phẳng vng góc với trục cắt hình nón theo giao tuyến đường trịn hình vẽ Tính thể tích khối nón có chiều cao A 24π B 8π C 200π 9 D 96π 6 9 15 O Lời giải Gọi R, r bán kính hình nón có chiều cao 15 hình nón có chiều cao Ta có: r R = 15 = 2 Suy r = 5R = 5· = Thể tích khối nón có chiều cao là: V = 3 · π · 2· = 8π. Chọn đáp án B  Câu 91 Cho hình nón có đỉnh S, đáy hình trịn tâm O bán kính 2a độ dài đường sinh a√5 Mặt phẳng (P ) qua đỉnh S cắt hình nón theo thiết diện tam giác có chu vi 2(1 +√5)a Tính khoảng cách từ d từ O đến mặt phẳng (P ) A d = a √ 3 3 B d = a 2 C d = a√3 √ 7 D d = a√3 Lời giải Ta có: OA = OB = 2a Chu vi 4SAB = 2SA + AB = 2(1 +√5)a ⇔ AB = 2a Suy 4OAB ⇒ OE = a√3 Ta có: SO =√SA2− OA2 = a. Ta có: d2 = 1 SO2 + 1 OE2 ⇒ d = a√3 A E S B H O Chọn đáp án D  Câu 92 Cho hình trụ có bán kính đáy a Cắt hình trụ mặt phẳng (P ) song song với trục hình trụ cách hình trụ khoảng a 2 ta thiết diện hình vng Tính thể tích khối trụ A 3πa3 B πa3√3 C πa 3√3 4 D πa 3. (105)Giả sử ABCD thiết diện hình vng hình bên Gọi O O0 tâm đáy hình trụ, H hình chiếu O lên AB Ta có AB = 2AH = 2√OA2− OH2 = 2 … a2−a 2 2 = a√3 Vì ABCD hình vng nên chiều cao hình trụ a√3 Vậy Vtrụ = πa.a √ 3 = πa3√3 B H D C O0 O A Chọn đáp án B  Câu 93 Cho tam giác ABC vuông A, AB = cm, AC = cm Gọi M điểm di động cạnh BC, M H vng góc AB H Cho tam giác AHM quay quanh cạnh AH tạo nên hình nón, tính thể tích lớn khối nón tạo thành A π 3 B 4π 3 C 8π 3 D 4π Lời giải Đặt AH = x (0 ≤ x ≤ 6), từ BH BA = HM AC ⇒ HM = − x 2 Do Vnón = 3πx Å − x ã2 = πx(6 − x) 2 12 ≤ π 24 Å 2x + − x + − x ã3 = 8π 3 Vậy Vnón lớn 8π 3 AH = cm M B H A C Chọn đáp án C  Câu 94 Một hình nón có thiết diện cắt mặt phẳng chứa trục hình nón tam giác có cạnh 2a Thể tích khối nón A π √ 3a2 3 B 4π√3a3 3 C 8π√3a3 3 D π√3a3 3 Lời giải Xét tam giác SOA vuông O, có SA = 2a Từ đó, có SO = 2a · √ = a √ Do đó, thể tích khối nón V = 3· a √ 3 · πa2 = π √ 3a3 3 O A S B Chọn đáp án D  Câu 95 Cho hình trụ (T ) có bán kính đáy R chiều cao R√3 Lấy hai điểm A, B nằm hai đường tròn đáy cho góc AB trục hình trụ 30◦ Tính khoảng cách d AB trục hình trụ theo R A d = R √ 3 2 B d = 2R √ 3 C d = R√3 D d = R (106)O0 O A B C M Gọi C hình chiếu A lên đáy cịn lại hình trụ Ta có AC k OO0 (AB, OO0) = (AB, AC) = ’BAC = 30◦ ⇒ BC = AC tan 30◦ = R. Gọi M trung điểm BC Ta có OM = d(AB, OO0) = √OC2− M C2 = R √ Chọn đáp án A  Câu 96 Cho hình chữ nhật ABCD có AB = a, AC = 3a Thể tích khối trịn xoay sinh hình chữ nhật ABCD (kể điểm trong) quay quanh đường thẳng chứa cạnh AD A V = 3πa3√2 B V = 3πa3√3 C V = 2πa3√2 D V = 2πa3√3 Lời giải Chiều cao khối trụ h = BC =√AC2− AB2 = 2a√2. Thể tích khối trụ V = hSđáy= 2a√2πa2 = 2πa3√2. A D B C F a h 3a E Chọn đáp án C  (107)A 32 (m 3). B. 32 3 π (m 3). C. 32 9 π (m 3). D. 16 3 π (m 3). Lời giải Gọi x = OA, < x < (xem hình bên) bán kính khối trụ cần tạo ra, ta có chiều cao khối trụ AB = 3(2 − x) Thể tích khối trụ π(−3x3+ 6x2) Xét hàm số f (x) = π(−3x3+ 6x2) (0; 2) ta giá trị lớn đạt được x = 3 nên thể tích khối gỗ hình trụ lớn 32 9 π (m 3). S O A B Chọn đáp án C  Câu 98 Cho hình hộp đứng ABCD.A0B0C0D0 có đáy ABCD hình vng cạnh a AA0 = 2a Tính diện tích xung quanh S hình trụ ngoại tiếp hình hộp ABCD.A0B0C0D0 theo a A S = 2√2πa2. B S = 4√2πa2. C S =√2πa2. D S = √ 2πa2 2 Lời giải Hình trụ ngoại tiếp hình hộp ABCD.A0B0C0D0 có đáy đường trịn ngoại tiếp hai hình vng đáy Do đó, bán kính đường trịn ngoại tiếp tứ giác đáy r = a √ 2 Hình trụ có độ dài đường sinh l = 2a bán kính đáy r Diện tích xung quanh S = 2πrl = 2√2πa2. A0 B0 C0 D0 A B C D Chọn đáp án A  Câu 99 Khi sản xuất vỏ lon sữa bị hình trụ, nhà thiết kế đặt mục tiêu cho chi phí nguyên liệu làm vỏ lon nhất, tức diện tích tồn phần hình trụ nhỏ Muốn thể tích khối trụ dm3 diện tích tồn phần hình trụ nhỏ bán kính đáy hình trụ phải bao nhiêu? A √31 3π dm B 1 √ π dm C 1 3 √ π dm D 1 3 √ (108)Gọi R (dm), h (dm) bán kính chiều cao hình trụ Điều kiện: R > h > Ta có V = πR2h ⇔ h = πR2 Diện tích tồn phần lon sữa S = 2πR2+ 2πRh = 2πR2+ 2πR · πR2 = 2πR 2+ R Ta lại có 2πR2+ R = 2πR 2 + R + 1 R ≥ 3 … 2πR2· R · R h R Hay S ≥√3 2π Dấu “=” xảy R = 2πR 2 hay R = √ 2π Vậy diện tích tồn phần lon sữa nhỏ bằng√32π bán kính đáy lon sữa √31 2π Chọn đáp án D  Câu 100 Cho hình nón trịn xoay có đường cao 20 cm, bán kính đáy 25 cm Một thiết diện qua đỉnh hình nón có khoảng cách từ tâm đáy đến mặt phẳng chứa thiến diện 12 cm Tính diện tích thiết diện A 500 cm2. B 1000 cm2. C 250 cm2. D 250 cm3. Lời giải Ký hiệu S đỉnh hình nón O tâm đường tròn đáy Gọi A, B hai giao điểm (khác đỉnh S hình nón) mặt phẳng với hình nón Suy thiết diện mặt phẳng với hình nón tam giác SAB Gọi M trung điểm AB Kẻ OH ⊥ SM H Xét đường thẳng AB mặt phẳng (SOM ) có ®AB ⊥ SO AB ⊥ OM ⇒ AB ⊥ (SOM ) S A O H B M Cho nên (SAB) ⊥ (SOM ) Mà (SAM ) ∩ (SOM ) = SM OH ⊥ SM nên OH khoảng cách từ tâm đáy đến mặt phẳng chứa thiến diện Suy OH = 12 cm Ta có OH2 = 1 SO2 + 1 OM2 ⇔ 1 OM2 = 1 OH2 − 1 SO2 ⇔ OM =   OH2· SO2 SO2− OH2 ⇔ OM = 15 Khi SM =√SO2+ OM2 = 25 AB = 2AM = 2√252− 152 = 40. Vậy diện tích thiết diện SAB 2 · 40 · 25 = 500 cm 2. (109)ĐÁP ÁN 1 A C C A A C D B A 10 D 11 D 12 D 13 B 14 C 15 C 16 A 17 D 18 B 19 A 20 C 21 D 22 C 23 A 24 D 25 A 26 B 27 D 28 A 29 B 30 A 31 D 32 C 33 A 34 B 35 B 36 D 37 C 38 B 39 A 40 D 41 C 42 B 43 B 44 B 45 B 46 A 47 D 48 C 49 B 50 A 51 C 52 C 53 A 54 A 55 C 56 B 57 B 58 D 59 A 60 D 61 A 62 A 63 C 64 B 65 B 66 C 67 A 68 A 69 B 70 A 71 A 72 A 73 C 74 D 75 A 76 D 77 A 78 A 79 A 80 D 81 A 82 A 83 A 84 A 85 B 86 C 87 C 88 A 89 C 90 B (110)4 Mức độ vận dụng cao Câu Cho hình thang ABCD vng A D có CD = 2AB = 2AD = Tính thể tích V khối trịn xoay sinh hình thang ABCD quay xung quanh đường thẳng BC A V = 20π √ 2 3 B V = 32π√2 3 C 10π √ 2 D V = 28π √ 2 3 B C D A Lời giải Chọn đáp án D  Gọi A0, D0 điểm đối xứng A, D qua đường thẳng BC Gọi M giao điểm AD A0D0 Ta có AB = AD = 2, CD = suy AH = BH = √2 BD = BC = 2√2 Ta có AA 0 DD0 = 1 2 suy M A = AD = M B = √ 2 Gọi V1 thể tích khối nón có chiều cao BC = √ bán kính đường trịn đáy BD = 2√2 Gọi V2 thể tích khối nón có chiều cao BM = √ bán kính đường trịn đáy BD = 2√2 Gọi V3 thể tích khối nón có chiều cao BH = √ bán kính đường tròn đáy AH =√2 Gọi V4 thể tích khối nón có chiều cao M H = √ bán kính đường trịn đáy AH =√2 Ta có V1 = V2 V3 = V4 Khi V = V1+ V2 − V3− V4 = 2V1− 2V3 = 21 ỵ (2√2)2π · 2√2 − (√2)2π ·√2ä] = 28π √ 2 A0 D0 M B C H A D Câu Cho hình chóp S.BCD có SA vng góc với mặt phẳng (ABCD); tứ giác ABCD hình thang vuông với cạnh đáy AD, BC; AD = 3BC = 3a; AB = a, SA = a√3 Điểm I thỏa mãn AD = 3# » AI; M# » trung điểm SD, H giao điểm AM SI Gọi E, F hình chiếu A lên SB, SC Tính thể tích V khối nón có đáy đường trịn ngoại tiếp tam giác EF H đỉnh thuộc mặt phẳng (ABCD) A V = πa 3 2√5 B V = πa3 √ 5 C V = πa3 10√5 D V = πa3 (111)Xét tam giác SAD vng A có SA = a√3, AD = 3a ⇒ ’ SDA = 30◦ ⇒ ’M AI = 30◦ Lại có tam giác SAI vng A có SA = a√3, AI = a ⇒ ‘ SIA = 60◦ nên tam giác AHI có ’AHI = 90◦ hay AH ⊥ SI Mà AH ⊥ IC IC k BA ⊥ (SAD) nên AH ⊥ (SIC) ⇒ AH ⊥ SC Ngoài ra, AE ⊥ SB, AE ⊥ BC (BC ⊥ (SAB)) ⇒ AE ⊥ (SBC) ⇒ AE ⊥ SC S H M D C I A F K E B O Mà AE ⊥ SC nên SC ⊥ (AEF H) AEF H tứ giác có “E = “H = 90◦ nên nội tiếp đường tròn tâm K trung điểm AF đường kính AF Gọi O trung điểm AC OK k SC mà SC ⊥ (AEF H) nên OK ⊥ (AEF H) hay O đỉnh hình nón đường trịn đáy đường trịn đường kính AF Ta tính AF, OK Xét tam giác SAC vuông A đường cao AF nên AF = SA · AC SC = SA · AC √ SA2+ AC2 = a√6 √ 5 ; OK = 2CF = 1 · CA2 CS = a √ Vậy thể tích V = 2πr 2h = 3π · a √ · Ç · a√6 √ 5 å2 = πa 3 10√5 Chọn đáp án C  Câu Thiết diện hình trụ mặt phẳng chứa trục hình trụ hình chữ nhật có chu vi 12 cm Giá trị lớn thể tích khối trụ A 32π cm2 B 64π cm2 C 8π cm2 D 16π cm2 Lời giải Gọi bán kính đáy chiều cao hình trụ r h (r, h > 0) Thiết diện hình chữ nhật ABCD có chu vi 2(AB + BC) = 2(h + 2r) Theo giả thiết ta có 2(h + 2r) = 12 ⇔ h + 2r = ⇔ h = − 2r (r < 3) Thể tích khối trụ V = πr2h = πr2(6 − 2r) = πrr(6 − 2r) Áp dụng BĐT Cô-si cho số r, r, − 2r ta r + r + (6 − 2r) ≥ 3prr(6 − 2r) ⇔ r3 2(6 − 2r) ≤ ⇔ πr2(6 − 2r) ≤ 8π Hay V ≤ 8π Dấu đẳng thức xảy r = − 2r ⇔ r = (thỏa mãn) Vậy giá trị lớn khối trụ V = 8π r h C B O O0 A D Chọn đáp án C  Câu Giả sử đồ thị hàm số y = (m2+ 1) x4 − 2mx2 + m2 + có điểm cực trị A, B, C mà xA< xB < xC.Khi quay tam giác ABC quanh cạnh AC ta khối tròn xoay Giá trị m để thể tích khối trịn xoay lớn thuộc khoảng khoảng đây? A (4; 6) B (2; 4) C (−2; 0) D (0; 2) Lời giải  y0 = (m2+ 1) x3− 4mx = 4x [(m2+ 1) x2− m].  y0 = ⇔ 4x [(m2+ 1) x2 − m] = ⇔       x = x = ± … m m2+ 1 (m > 0) • Với m > hàm số có ba điểm cực trị với xA< xB < xC A Å − … m ; − m 2 + m2+ ã , B (0; m2+ 1), C Å… m ; − m 2 + m2+ ã (112)• Quay 4ABC quanh AC khối trịn xoay tích V = ·1 3πr 2 h = 3πBIIC = 3π Å m2 m2+ 1 ã · … m m2+ 1 = 2 3π s m9 (m2 + 1)5 • Xét hàm số f (x) = m 9 (m2+ 1)5 có ∗ f (x) = m 8(9 − m2) (m2+ 1)6 f 0(x) = ⇔ m = 3(m > 0). ∗ Bảng biến thiên x f0(x) f (x) 0 +∞ − + 0 max max 0 Chọn đáp án B  Câu Cho tứ diện ABCD có AD ⊥ (ABC), ABCcó tam giác vuông B Biết BC = 2a, AB = 2a√3, AD = 6a Quay tam giác ABC ABD (bao gồm điểm bên tam giác) xung quanh đường thẳng AB ta hai khối tròn xoay Thể tích phần chung khối trịn xoay bằng: A √ 3πa3 2 B 3√3πa3 2 C 64√3πa3 2 D 4√3πa3 2 Lời giải Phương pháp: Cơng thức tính thể tích khối nón trịn xoay có chiều cao h bán kính đáy R là: V = 4πR 2h. Cách giải: Ta có: Khối nón (N1) sinh ∆ABC quay quanh AB có chiều cao h1 = AB bán kính đáy R1 = BC Khối nón (N2) sinh ∆ADB quay quanh AB có chiều cao h2 = AB bán kính đáy R2 = AD Do hai khối nón có chiều cao AB nên hai đáy hai khối nón nằm hai mặt phẳng song song Trong mặt phẳng đáy hình nón (N1) kẻ đường kính GH//DE Dễ dàng chứng minh DEGH là hình thang cân Gọi M = AG ∩ BE; N = AH ∩ BD, I = AB ∩ M N Khi phần chung hai khối nón (N1) (N2) là hai khối nón: Khối nón (N3) đỉnh B, đường cao BI, bán kính đáy IN ⇒ V3 = 1 3π.IN 2.BI Khối nón (N4) đỉnh A, đường cao AI, bán kính đáy IN ⇒ V4 = 1 3π.IN 2.AI Thể tích phần chung V = V3+ V4 = 1 3π.IN 2.BI +1 3π.IN 2.AI = 3π.IN 2.(AI + BI) = 3π.IN 2.AB Áp dụng định lí Ta-lét ta có: M N GH = AI AB; M N DE = BI AB ⇒ M N GH + M N DE = AI + BI AB = ⇒ M N Å 2BC + 2AD ã = ⇔ M N Å 2.2a+ 2.6a ã = ⇔ M N = 3a Dễ thấy I trung điểm MN ⇒ IN = M N 2 = 3a (113)Vậy V = 3π Å 3a ã2 .2a√3 = √ 3πa3 2 Chọn đáp án B  Câu Cho khối nón có độ lớn góc đỉnh π 3 Một khối cầu (S1) nội tiếp khối nón Gọi S2 khối cầu tiếp xúc với tất đường sinh nón với S1; S3 khối tiếp xúc với tất đường sinh nón với S2; ; Sn khối cầu tiếp xúc với tất đường sinh nón với Sn−1 Gọi V1, V2, V3, , Vn−1, Vn thể tích khối cầu S1, S2, S3, , Sn−1, Sn V thể tích khối nón Tính giá trị biểu thức T = lim n→+∞ V1+ V2+ + Vn V A 5 B 6 13 C 7 9 D 1 Lời giải Thiết diện qua trục hình nón tam giác cạnh l Do bán kính đường trịn nội tiếp tam giác bán kính mặt cầu nội tiếp chóp r1 = 1 l√3 = l√3 Áp dụng định lí Ta-lét ta có AA0 AB = AH0 AH = AH − HH0 AH = l√3 − l√3 l√3 2 = 3 ⇒ AA 0 = l 3 A B C H H0 A0 B0 Tương tự ta tìm r2 = l 3· √ = l√3 18 = r1 3 Tiếp tục ta có r3 = r1 32, r4 = r1 33, rn= r1 3n−1 Ta có V1 = 4 3πr 3 1, V2 = 4 3πr = 3πr = 3π r1 3 = 33V1, V3 = 1 (33)2V1, ; Vn = 1 (33)n−1V1 ⇒ lim n→+∞ V1+ V2+ + Vn V = lim n→+∞ V1 Ç + 33 + 1 (33)2 + + 1 (33)n−1 å V = lim n→+∞ V1· S V Đặt S = + 33 + 1 (33)2 + + 1 (33)n−1 Đây tổng CSN lùi vô hạn với công bội q = 1 33 < ⇒ lim n→+∞S = 1 − 33 = 27 26 ⇒ V1+ V2 + + Vn = 27 26V1 = 27 26 · 4 3π Ç l√3 6 å3 = √ 52πl 3 V = 3πr 2h = 3π Å l ã2 · l √ = √ 3πl3 24 (114)Câu Cho tứ diện ABCD có AB = AD = BC = 8, AC = BD = 6, CD = Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD A … 187 10 B C … 177 10 D … 287 30 Lời giải Gọi M, N trung điểm AB CD Ta có 4ADC = 4BCD nên suy AN = BN , M N vng góc AB Chứng minh tương tự ta có M N vng góc với DC nên tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp nằm đường thẳng M N Gọi I tâm mặt cầu, đặt N I = x Ta có AN = … 2(AD 2+ AC2) − DC2 4 = √ 46, M N = √ AN2− AM2 =√30. Đặt N I = x ⇒ M I =√30 − x Vì DI2 = AI2 nên ta có 4 + x2 = (√30 − x)2+ 16 ⇔ x = 7… 10 Vậy R =√4 + x2 =… 187 10 A C B D N M Chọn đáp án A  Câu Có bìa hình tam giác vng cân ABC có cạnh huyền a Người ta muốn cắt bìa thành hình chữ nhật M N P Q cuộn lại thành hình trụ khơng đáy hình vẽ Diện tích hình chữ nhật để diện tích xung quanh hình trụ lớn nhất? B Q P C A N M A a 2 2 B √ 3a2 4 C a2 8 D √ 3a2 8 Lời giải Đặt M Q = N P = x ⇒ M N = P Q = a − 2x với điều kiện < 2x < a Sxq = SM N P Q= x(a − 2x) = 1 2· 2x(a − 2x) ≤ a2 8 Dấu ” = ” xảy a − 2x = 2x ⇔ x = a 4 B Q P C A N M Chọn đáp án C  Câu Cho hình nón (N ) có đường sinh tạo với đáy góc 60◦ Mặt phẳng qua trục (N ) cắt (N ) thiết diện tam giác có bán kính đường trịn ngoại tiếp Tính thể tích V khối (N ) A V = 3π B V = 9π C V = 3√3π D V = 9√3π (115)Giả sử thiết diện thỏa mãn đề tam giác ABC nội tiếp (O; 2) đường kính AD, đường sinh (N ) l Theo ta có ’ABH = 60◦ ⇒ ’BAD = 30◦ ⇒ ’ADB = 60◦ ⇒ 4OBD ⇒ BD = 2, AD = Áp dụng Pytago cho tam giác vuông ABD : AD2 = AB2+ BD2 ⇒ l = 2√3 Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông ABH ta có: r = BH = √ 3; h = AH = ⇒ V = 3πr 2h = 3π · · = 3π Vậy thể tích khối nón (N ) 3π A C B H O D Chọn đáp án A  Câu 10 Cho hình tứ diện ABCD có AD ⊥ (ABC), ABC tam giác vuông B Biết BC = a, AB = a√3, AD = 3a Quay tam giác ABC ABD (bao gồm điểm bên hai tam giác) xung quanh đường thẳng AB ta hai khối xoay Tính thể tích V phần chung hai khối trịn xoay A V = √ 3πa3 16 B V = 8√3πa3 3 C V = 5√3πa3 16 D V = 4√3πa3 16 Lời giải A B Y E N X M C I 3a 3a a a Cắt khối tròn xoay mặt phẳng (ABC) ta thu thiết diện hình vẽ Áp dụng định lí Thales ta có BN Y N = N E N A = BE AY = 1 3, BM XM = CM AM = BC AX = 1 Suy IM = 4AX = 3a 4 Phần chung hai khối tròn xoay thu gồm hai khối nón quay tam giác AIM BIM quanh trục AB Do thể tích V = 3πIM 2 · IA +1 3πIM 2 · IB = 3πIM 2 · AB = √ 3πa3 16 Chọn đáp án A  Câu 11 Trong khối trụ có diện tích tồn phần 6π Tìm bán kính đáy khối trụ tích lớn A R = B R = 3 C R = 1 √ 3 D R = Lời giải Ta có Stp = 2πRh + 2πR2 = 6π ⇔ Rh + R2 = ⇔ h = 3 − R2 R Điều kiện: < R < √ 3 V = πR2h = πR2·3 − R 2 (116)V0 = −3πR2+ 3π = ⇔ ñR = (nhận) R = −1 (loại) Bảng biến thiên R V0(R) V (R) 0 √3 + − 2π 2π Nhìn bảng biến thiên ta thấy Vmax = V (1) = 2π (đvtt) Chọn đáp án A  Câu 12 Một phễu có dạng hình nón, chiều cao phễu 20 cm Người ta đổ lượng nước vào phễu cho chiều cao cột nước phễu 10 cm Nếu bịt kín miệng phễu lật ngược phễu lên chiều cao cột nước phễu gần với giá trị sau đây? A √3 7 cm B cm C Ä20 − 10√3 7ä cm D Ä20√3 7 − 10ä cm Lời giải Giả sử phễu nước hình nón (N1) đỉnh S, đáy đường trịn (O) đường kính AB Khi đổ nước vào phễu khối nước phễu khối nón (N2) đỉnh S, đáy là hình trịn (I) đường kính CD Phần cịn lại khối nón cụt (N C1) đáy lớn đường tròn (O), đáy nhỏ đường tròn (I) Khi lộn ngược phễu khối nước phễu khối nón cụt (N C2) đáy lớn là hình trịn (O), đáy nhỏ hình trịn (H) đường kính EF Phần cịn lại khối nón (N3) đỉnh S đáy đường tròn (H) S A C E B D F H I O Vì VN2 = VN C2 nên VN3 = VN C1 = VN1 − VN2 = VN1 − VN1 8 = 7VN1 8 ⇒ VN3 VN1 = ⇒ SH SO = 3 … 8 ⇒ HO = Ç 1 −… 73 8 å · 20 = 20 − 10√3 7 Chọn đáp án D  Câu 13 Cho hình trụ có thiết diện qua trục hình vng ABCD cạnh 2√3 cm với AB đường kính đường tròn đáy tâm O Gọi M điểm thuộc cung _ AB đường tròn đáy cho ÷ABM = 60◦ Tính thể tích khối tứ diện ACDM A V = cm3. B V = cm3. C V = cm3. D V = cm3. (117)Giả sử hình trụ (T ) có trục OO0 Thiết diện qua trục hình chữ vng ABCD (A, B thuộc đường tròn tâm O C, D thuộc đường tròn tâm O0) Ta có r = 2AB = √ 3 cm, h = l = 2√3 cm Gọi M0 hình chiếu M lên mặt phẳng chứa đường trịn tâm O0 Ta có VADM C = 1 3VAM B.DM0C = cm 3. O O0 B C A D M M0 Chọn đáp án A  Câu 14 Trong số hình trụ có diện tích tồn phần S bán kính R chiều cao h khối trụ tích lớn bao nhiêu? A R =… 2S 3π; h = … 2S 3π B R = … S 2π; h = 1 … S 2π C R =… S 4π; h = … S 4π D R = … S 6π; h = … S 6π Lời giải Ta có S = 2π · R · (R + h) ⇒ h = S 2πR− R Thể tích V = πR2h = πR2 Å S 2πR − R ã = RS 2 − πR 3. Xét hàm số f (R) = RS − πR 3 ⇒ f0(R) = S 2 − 3πR 2 = ⇒ R = … S 6π Vì f0(R) hàm bậc hai có hệ số a = −3π < nên hàm f (R) đạt giá trị lớn R = … S 6π Chọn đáp án D  Câu 15 Cho tam giác ABC vuông A Gọi Va, Vb, Vc tương ứng thể tích hình trịn xoay tạo tam giác ABC cho quay xung quanh cạnh BC, CA, AB Hệ thức sau đúng? A V2 a = V2 b + V2 c B V2 a = Vb2+ Vc2 C Va2 = Vb2Vc2 D 1 V2 a = V 2 b Vc2 V2 b + Vc2 Lời giải Đặt AB = c, BC = a, AC = b Ta có, Vb = bc2π 3 , Vc= cb2π 3 , Va = b2c2π 3a Khi đó, V2 a = V2 b + V2 c Chọn đáp án A  Câu 16 Một hộp đựng phấn hình hộp chữ nhật có chiều dài 30 cm, chiều rộng cm chiều cao cm Người ta xếp đứng vào viên phấn giống nhau, viên phấn khối trụ có chiều cao cm bán kính đáy 2 cm Hỏi xếp tối đa viên phấn (118)Hình Hình Ta có hai phương án xếp phấn theo hình hình  Xếp theo hình hai hàng liên tiếp có hàng viên hàng viên Chiều dài hai hàng + √ 2 cm (hai lần bán kính đáy cộng với chiều cao tam giác nối ba tâm) Chiều dài n hàng +(n − 1) √ 2 cm Do chiều dài hộp 30 cm nên + (n − 1)√3 2 ≤ 30 ⇔ n = 34 Vậy số viên phấn xếp 17 · + 17 · = 153 viên  Xếp theo hình hai hàng liên tiếp có viên Chiều dài hai hàng cm Chiều dài hộp 30 cm nên ta xếp 30 hàng, tức 150 viên Vậy xếp tối đa 153 viên Chọn đáp án B  Câu 17 Một đại lý xăng dầu cần làm bồn dầu hình trụ tơn tích 16π m3 Tìm bán kính r đáy bồn cho bồn làm tốn nguyên vật liệu A r = 0,8 m B r = 1,2 m C r = m D r = 2,4 m Lời giải Ta có: V = πr2h ⇒ h = 16 r2 Diện tích tồn phần hình trụ là: Stp = 2πr2 + 2πrh = 2πr2 + 32π r , (r > 0) Xét hàm số f (r) = 2πr2+32π r khoảng (0; +∞), ta có: f0(r) = 4πr − 32π r2 ; f 0(r) = ⇔ r = 2. r h Bảng biến thiên hàm số r f0(r) f (r) 0 +∞ − + +∞ +∞ 24π 24π +∞ +∞ Dựa vào bảng biến thiên ta suy diện tích đạt giá trị nhỏ r = m (119)Câu 18 Cho hình trụ có đáy hai đường trịn tâm O O0, bán kính đáy chiều cao 2a Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, đường tròn tâm O0 lấy điểm B Đặt α góc AB đáy Biết thể tích khối tứ diện OO0AB đạt giá trị lớn Khẳng định sau đúng? A tan α =√2 B tan α = √1 2 C tan α = 2 D tan α = Lời giải Kẻ đường sinh BC hình trụ, ta có AC hình chiếu AB lên mặt đáy nên ’BAC = α Gọi H hình chiếu O lên AC 4ABC có AC = BC · cot α = 2a cot α 4OAC có OH =√OC2− CH2 = a√4 − cot2α Ta có VOO0AB = 1 2VA.OO0BC = VB.AOC = 3 · BC · SAOC = · 2a · 1 2 · 2a cot α · 2a √ 4 − cot2α = 4a 3 3 √ 4 cot2α − cot4α. Đặt t = cot α, xét f (t) = 4t2− t4 α O0 A B C H O f0(t) = 8t − 4t3 = ⇔    t = t =√2 t = −√2 Lập bảng biến thiên hàm số f (t), suy hàm số f (t) đạt giá trị lớn t =√2 Vậy cot α =√2 ⇔ tan α = √1 2 thể tích khối OO 0AB lớn nhất. Chọn đáp án B  Câu 19 Một nhà máy cần sản suất hộp hình trụ kín hai đầu tích V cho trước Tìm mối quan hệ bán kính đáy R chiều cao h hình trụ để diện tích tồn phần hình trụ nhỏ A h = 2R B R = h C R = 2h D h = 3R Lời giải Diện tích tồn phần hình trụ S = 2πR(R + h) = π(2R2+ hR + hR) ≥ π3√3 2R4h2 = 3π… 2V3 π2 Dấu xảy hR = 2R2 ⇔ h = 2R. Vậy S = 3π… 2V3 2 π2 h = 2R Chọn đáp án A  (120)A V = 0,16π m3 B V = 0,36π m3 C V = 0,024π m3 D V = 0,016π m3 Lời giải Ta có AH = 120 cm, BH = 30 cm Đặt N H = x (0 < x < 30), M N = y, BN = 30 − x Vì M N k AH nên BN BH = M N AH ⇔ 30 − x 30 = y 120 ⇔ y = 4(30 − x) Gọi V thể tích khối trụ Khi V = π · N H2· M N = πx2y = 4πx2(30 − x) = 4π(30x2− x3). Xét hàm số f (x) = 30x2− x3 với < x < 30. f0(x) = 60x − 3x2, f0(x) = ⇔ x = ∨ x = 20. C A M B N H Bảng biến thiên f (x) x f0(x) f (x) 0 20 30 + − 0 4000 4000 0 Từ bảng biến thiên suy V lớn f (x) đạt giá trị lớn (0; 30) Vậy Vmax= 4π · 4000 = 16000π cm3 = 0,016π m3 Chọn đáp án D  Câu 21 Cắt bỏ hình quạt trịn AOB (phần sẫm màu hình dưới) từ mảnh tơng hình trịn bán kính R dán hai bán kính OA OB hình quạt trịn cịn lại với để phễu có dạng hình nón Gọi x số đo góc tâm hình quạt trịn dùng làm phễu, < x < 2π Tìm x để khối nón tích lớn A x = √ π B x = √ π C x = √ π D x = √ 27 π x R O B A R O A ≡ B Lời giải Vì độ dài đường trịn đáy hình nón độ dài cung AB quạt trịn dùng làm phễu nên ta có 2πr = Rx ⇒ r = Rx 2π ⇒ h = √ R2− r2 =   R2−R 2x2 4π2 = R 2π √ 4π2− x2. Do thể tích hình nón V = 3πr 2h = R 3 24π2x 2√4π2− x2. Ta có V = R 3 24π2px 4(4π2− x2) = R 3 24√2π2px (121)Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si ta có x2· x2(8π2− 2x2) ≤Å x 2+ x2+ 8π2− 2x2 3 ã3 =Å 8π 2 3 ã3 Đẳng thức xảy x2 = 8π2− 2x2 ⇔ x2 = 8π 3 ⇒ x = 2√6π 3 Chọn đáp án C  Câu 22 Trong mặt phẳng (P ) cho tam giác hình vng có độ dài cạnh xếp chồng lên cho đỉnh tam giác trùng với tâm hình vng, trục tam giác trùng với trục hình vng (như hình bên) Thể tích vật thể trịn xoay tạo thành quay mơ hình quanh trục AB A 136π + 24π √ 3 9 B 48π + 7π√3 3 C 128π + 24π √ 3 9 D 144π + 24π√3 9 A B Lời giải A B P Q K H Khi xoay quanh trục AB ta hình gồm hai phần:  Phần hình vng phía trở thành hình trụ có bán kính đáy 2, chiều cao Suy thể tích khối trụ V1 = π.22.4 = 16π  Phần trở thành hình nón cụt Ta có AK đường cao tam giác cạnh nên AK = 2√3 Gọi H giao điểm AK P Q, R0 bán kính đáy nhỏ, R bán kính đáy lớn, h chiều cao hình nón cụt Ta có h = HK = AK − AH = 2√3 − = 2Ä√3 − 1ä R = Mà R 0 R = AH AK = 2 2√3 = 1 √ 3 ⇒ R 0 = √R 3 = √ 3 Áp dụng cơng thức tính thể tích khối nón cụt ta có V2 = 1 3πh R 2 + R02 + RR0 = 24 √ 3 − 9 Vậy thể tích khối trịn xoay V = V1+ V2 = 136π + 24π√3 9 Chọn đáp án A  (122)x R O B A O A ≡ B Gọi S S0 diện tích miếng tơn ban đầu miếng tơn cịn lại sau cắt bớt Tìm tỷ số S 0 S để thể tích khối nón lớn A S 0 S = 4 B S0 S = √ 3 C S0 S = √ 3 D S0 S = √ Lời giải x R O B A O A ≡ B Đặt ’AOB = x Độ dài cung tròn AB dùng làm phễu Rx = 2πr ⇔ r = Rx 2π Chiều cao hình nón h =√R2− r2 = R 2π √ 4π2− x2. Thể tích khối nón V = f (x) = R 3 24π2x 2√4π2− x2 với x ∈ (0; 2π). Ta có: f0(x) = R 3 24π2 · x (8π2 − 3x2) √ 4π2− x2 f0(x) = ⇔ 8π2− 3x2 = ⇔ x = √ π Bảng biến thiên: x y0 y 0 √ 3 π 2π + − f Ç 2√6 π å f Ç 2√6 3 π å Giá trị x = √ 6 (123)Diện tích miếng tơn cịn lại sau cắt S0 = Sxq = πrl = π Rx 2πR = √ πR 2. Suy S 0 S = √ 6 Chọn đáp án B  Câu 24 Cho hình chóp S.ABC có cạnh đáy a, M, N, P trung điểm SA, SB, SC Dựng hình trụ có đáy đường trịn ngoại tiếp tam giác M N P , đáy thuộc mặt phẳng (ABC) Biết diện tích xung quanh hình trụ tổng diện tích hai đáy Tính thể tích khối chóp S.ABC A 4a 3. B. 12a 3. C. 8a 3. D. 6a 3. Lời giải Vì M N đường trung bình tam giác SAB nên M N = AB 2 = a 2 Tương tự ta có N P = M P = a 2, dẫn tới 4M N P Khi bán kính đáy hình trụ r = 3· a · √ = a√3 Gọi h chiều cao hình trụ, ta có: 2rπh = 2r2π ⇒ h = r = a √ Vì M trung điểm SA nên d [S, (ABC)] = 2d [M, (ABC)] = 2h = a √ 3 Dẫn tới VS.ABC = SABC· d [S, (ABC)] 3 = a2√3 4 · a√3 3 3 = a3 12 N P S A M C B Chọn đáp án B  Câu 25 Cho hình trụ (T ) có bán kính đáy chiều cao Gọi AB đường kính đáy CD đường kính đáy cho AB CD chéo Tìm giá trị lớn thể tích khối tứ diện ABCD A 16 3 B 20 3 C 32 3 D 8 Lời giải Ta tích khối tứ diện tính theo cơng thức V = 6· a · b · d · sin α, a, b độ dài hai cạnh đối diện, d khoảng cách hai cạnh đó, α góc hai cạnh Suy VABCD = 1 6· AB · CD · d(AB, CD) · sin(AB, CD) Theo đề ta có AB = CD = 4, d(AB, CD) = không đổi nên để V đạt giá trị lớn sin(AB, CD) = Vậy Vmax= 1 6· · · = 16 3 D A B C Chọn đáp án A  Câu 26 Cho hình nón (N ) có bán kính đáy r = 20(cm), chiều cao h = 60(cm) hình trụ (T ) nội tiếp hình nón (N ) (hình trụ (T ) có đáy thuộc hình nón đáy nằm mặt xung quanh hình nón) Tính thể tích V hình trụ (T ) có diện tích xung quanh lớn nhất? A V = 3000π(cm3) B V = 32000 π(cm (124)Giả sử hình nón (N ) có đường trịn đáy tâm O, bán kính r, S đỉnh hình trụ (T ) có hai đường trịn đáy tâm O, O0 bán kính R Do giả thiết ta có SO = h = 60 cm Xét tam giác SOB F N k SO theo định lý Talet ta có N B BO = F N SO = BF SB Suy F N = N B · SO BO ⇔ F N = 60 (20 − R) 20 ⇔ F N = (20 − R) Gọi Sxq diện tích xung quang hình trụ (T ) Sxq = 2πR · F N = 6πR (20 − R) A B S O M N E O0 F Do giả thiết < R < 20 nên theo bất đẳng thức Côsi R (20 − R) ≤ Å R + 20 − R ã2 ≤ 100 Do Sxq ≤ 200π Dấu đẳng thức xảy R = 20 − R ⇔ R = 10 (cm) suy F N = 30 (cm) Khi thể tích hình trụ V = πR2· F N = π · 100 · 30 = 3000π (cm3). Chọn đáp án A  Câu 27 Cho tam giác ABC vng A có AB = 2AC M điểm thay đổi cạnh BC Gọi H K hình chiếu vng góc M cạnh AB, AC Gọi V V0 tương ứng thể tích vật thể tròn xoay tạo tam giác ABC hình chữ nhật M HAK quay quanh trục AB Tỉ số V 0 V lớn A 2 B 4 9 C 2 3 D 3 Lời giải A H B C K M Ta có V = 3πAB · AC 2; V0 = πAH · AK2; V V = · AH AB · Å AK AC ã2 Đặt x = BM BC , (0 < x < 1), suy AK AC = x, AH AB = − x Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có (1 − x)x2 = 2(2 − 2x)x 2 ≤ 2 Å − 2x + x + x ã3 = 27 Suy V0 V lớn 9 x = BM BC = Chọn đáp án B  Câu 28 Cho tam giác ABC có “A = 120◦, AB = AC = a Quay tam giác ABC bao gồm điểm tam giác) quanh đường thẳng AB ta khối tròn xoay Thể tích khối trịn xoay A πa 3 3 B πa3 4 C πa3√3 2 D (125)Lời giải 120◦ O D C A B Quay tam giác ABC quanh đường thẳng AB ta khối trịn xoay tích V1 thể tích khối nón lớn có đỉnh B thiết diện qua trục BDC(hình vẽ) trừ V2 thể tích khối nón nhỏ có đỉnh A và thiết diện qua trục ADC Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp đáy hai khối nón Xét tam giác AOC vng O có: sin 60◦ = OC AC ⇒ OC = AC sin 60 ◦ = √ 2 a.cos 60 ◦ = AO AC ⇒ OA = AC cos 60 ◦ = a 2 ⇒ BO = 2a V = V1− V2 = 1 3BO · πOC 2−1 3AO · πOC 2 = 3πOC 2(BO − AO) = 3π · ( √ 3 a) 2· a = πa 4 Chọn đáp án B  Câu 29 Trong khối trụ có diện tích tồn phần π, gọi (=) khối trụ tích lớn nhất, chiều cao (=) bằng: A π 3 B √ 3 C √ 6 D π√3 Lời giải Gọi R, h bán kính đáy chiều cao khối trụ Diện tích tồn phần hình trụ: Stp = 2πRh + 2πR2 = π ⇒ h = 1 − 2R2 2R Thể tích khối trụ: V = hπR2 = − 2R 2 2R · πR 2 = π 2(R − 2R 3). Xét g(R) = π 2(R − 2R 3) trên Ç 0; √ 2 å Ta có: g0(R) = π 2 (1 − 6R 2). g0(R) = ⇒ R = √ (126)x g0(R) g(R) √ 6 √ 2 + − Vậy, thể tích khối trụ lớn R = √ 6 6 ⇒ h = √ 6 Chọn đáp án B  Câu 30 Cho tam giác ABC vng cân A có AB = AC = 12 Lấy điểm M thuộc cạnh huyền BC gọi H hình chiếu M lên cạnh góc vuông AB Quay tam giác AM H quanh trục đường thẳng AB tạo thành mặt nón trịn xoay (N ), hỏi thể tích V khối nón trịn xoay (H) lớn bao nhiêu? A V = 256π 3 B V = 128π 3 C V = 256π D V = 72π Lời giải Tam giác ABC vuông cân A nên tam giác BHM vuông cân H Tức ta V = 3B · h = 3πM H 2· AH = 3πBH 2· (12 − BH). Gọi chiều dài BH x, thể tích đạt giá trị lớn y = x2·(12−x) = −x3 + 12x2 đạt giá trị lớn nhất. Có y0 = ⇔ −3x2+ 24x = ⇔ ñx = (loại) x = Suy thể tích lớn V = 256π 3 C B H A M Chọn đáp án A  Câu 31 Nhân dịp Trường THPT Nguyễn Khuyến tổ chức học tập ngoại khóa Đà Lạt Đồn Trường có tổ chức thi làm nón để vui chơi Noel Hưởng ứng thi đó, tập thể lớp 12A10 làm nón theo bước sau: Cắt mảnh giấy hình trịn tâm O bán kính 20 cm Sau cắt bỏ phần hình quạt OAB hình vẽ cho góc tâm ’AOB = 75◦ Tiếp theo dán phần hình quạt cịn lại theo hai bán kính OA OB với hình nón có đỉnh O đường sinh OA Hỏi thể tích V khối nón tạo thành bao nhiêu? 75◦ 20cm O B A O A A V = 3125π √ 551 648 B V = 8000π 3 C V = 45125π√215 648 D V = 1000π√3 3 (127)Diện tích hình quạt OAB bị cắt qua S = π × 20 2 × 75 360 = 250π Suy diện tích xung quanh hình nón tạo thành Sxq = 400π − 250π 3 = 950π Gọi r bán kính đường trịn đáy hình nón, ta có 20πr = 950π 3 ⇒ r = 95 6 Gọi h đường cao hình nón, ta có h2 = 202−Å 95 6 ã2 = 5375 36 ⇒ h = 5√215 Vậy thể tích khối nón tạo thành V = 3πr 2h = 3π × Å 95 6 ã2 × √ 215 6 = 45125π√215 648 Chọn đáp án C  Câu 32 Với miếng tơn hình trịn có bán kính R = 9cm Người ta muốn làm phễu cách cắt hình quạt hình trịn gấp phần cịn lại thành hình nón (Như hình vẽ) r l Hình nón tích lớn độ dài cung trịn hình quạt tạo thành hình nón A 8π√6 cm B 2π√6 cm C π√6cm D 6π√6cm Lời giải x 9cm O B D 9cm Gọi x > cm bán kính đáy hình nón chu vi đáy hình nón 2πx đường cao BO hình nón BO =√81 − x2 từ suy thể tích khối nón tạo V = 3πx 2·√81 − x2. Xét hàm số y = x2·√81 − x2 xác định liên tục khoảng (0; 9] ta có : y0 = −3x(x 2− 54) √ 81 − x2 ; y (128)x f0(x) f (x) 0 3√6 + − 0 162√3 162√3 0 Vậy f (x) đạt giá trị lớn x = 3√6, thể tích lớn hình nón 3π · 162 √ 3 = 54√3 Từ suy độ dài cung trịn tạo thành hình quạt độ dài đường trịn đáy hình nón 2πx = 6π√6cm Chọn đáp án D  Câu 33 Cho đồng hồ cát hình vẽ bên (gồm hình nón chung đỉnh ghép lại), đường sinh hình nón tạo với đáy góc 60◦ Biết chiều cao đồng hồ 30 cm tổng thể tích đồng hồ 1000π cm3 Hỏi cho đầy lượng cát vào phần chảy hết xuống dưới, tỷ lệ thể tích cát chiếm chỗ thể tích phần phía bao nhiêu? O A 8 B 1 27 C 1 3√3 D 1 64 Lời giải Gọi chiều cao hình nón nhỏ, hình nón lớn, thể tích khối nón nhỏ, khối nón lớn h1, h2, V1, V2 Khi ta có h1+ h2 = 30 (1) V1 = 1 9πh 3 1; V2 = 1 9πh 3 Do V1+ V2 = 1 9(h 3 1+ h31) = 1000π ⇒ h31+ h31 = 9000 (2) Từ (1), (2) ta h1 = 10; h2 = 20 V1 V2 =Å h1 h2 ã3 =Å 10 20 ã3 = 8 Chọn đáp án A  Câu 34 Người ta cần làm bồn chứa dạng hình trụ (có hai nắp) tích 1000l để chứa nước Tính bán kính đáy R (đơn vị mét) bồn hình trụ cho tốn vật liệu A R =… 13 π(m) B R = 10 3 … 2π(m) C R = 3 … 2π(m) D R = 3 … π(m) Lời giải Gọi h chiều cao bồn hình trụ Ta có: V = πR2h = 1000 ⇔ h = 1000 πR2 Stp = 2πRh + 2πR2 = 2πR · 1000 πR2+ 2πR2 = 2π Å 1000 πR + R 2 ã = 2πÅ 500 πR + 500 πR + R 2 ã ≥ 6π… 5003 (129)Đẳng thức xảy 500 πR = R 2 ⇔ R = … 5003 π = 10 3 … 2π Chọn đáp án B  Câu 35 Khi sản xuất vỏ lon sữa bị hình trụ, nhà thiết kế ln đặt mục tiêu cho chi phí nguyên liệu làm vỏ lon nhất, tức diện tích tồn phần hình trụ nhỏ Muốn thể tích khối trụ diện tích tồn phần phần hình trụ nhỏ bán kính đáy bao nhiêu? A 3 √ π B 1 3 √ π C 2 π D 1 2π Lời giải Gọi h r chiều cao bán kính đáy lon Ta có V = hπr2 ⇒ h = πr2 Ta có Sxq = 2πrh + 2πr2 = 2 r + 2 r + 2πr 2. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có Sxq ≥ 3 … r · 2 r · 2πr 2 = 6√3 π. Đẳng thức xảy r = 2πr 2 ⇔ r = √ π h r Chọn đáp án B  Câu 36 Một bồn nước có dạng hình trụ, chiều cao m, bán kính đáy √ 2 m đặt nằm ngang mặt sàn phẳng Hỏi chiều cao mực nước bồn √ − 2 m thể tích nước bồn bao nhiêu? (Kết làm tròn đến hàng phần trăm) A 197,01 lít B 200,70 lít C 285,40 lít D 512,80 lít Lời giải Ta có OI = OM − IM = √ 2 − √ − 2 = 1 Suy cos ‘AOI = OI OA = √ 2 ⇒ ‘AOI = 45 ◦. S4OAB = 1 2· OA · OB = Diện tích hình trịn S0 = πR2 = π Diện tích phần gạch chéo hình vẽ S1 = 1 4S0− S4OAB = π − 8 Do S1 S0 = π − 4π O A B I M Thể tích hình trụ V0 = πR2h = π (m3) Gọi thể tích nước bồn V1 Ta có V1 V0 = S1 S0 Vậy V1 = π − 4π · π = π − (m 3) ≈ 285,40 (lít). Chọn đáp án C  Câu 37 Cắt hình nón đỉnh I mặt phẳng qua trục hình nón ta tam giác vng cân có cạnh huyền a√2; BC dây cung đường trịn đáy hình nón cho mặt phẳng (IBC) (130)A S = a 2 3 B S = √ 2a2 3 C S = √ 2a2 6 D S = 2a2 3 Lời giải Cắt hình nón đỉnh I mặt phẳng qua trục hình nón ta tam giác vng cân có cạnh huyền a√2 nên bán kính hình nón r = OB = OC = a √ 2 , đường sinh l = IB = IC = a đường cao h = SO = a √ 2 Gọi H trung điểm BC, góc hợp mặt phẳng (IBC) mặt phẳng chứa đường tròn đáy ’IHO = 60◦ Suy IH = IO sin 60◦ = a√6 BC = 2CH = 2√IC2− IH2 = 2a √ 3 Diện tích S tam giác IBC SIBC = 1 2 · IH · BC = a2√2 3 I B O C H Chọn đáp án B  Câu 38 Khi cho hình ngơi (xem hình vẽ bên dưới), có tất cạnh 1, quay xung quanh trục ∆ ta khối trịn xoay Tính thể tích khối trịn xoay ∆ A 5π √ 3 6 B 5π√3 3 C 5π√3 2 D 5π√3 Lời giải √ √ ∆ A0 D (131)là 2; √ 2 hình thang vng với chiều cao √ 3 2 , đáy lớn √ 3 2 , đáy nhỏ Quay tam giác vuông quanh trục ∆ ta khối nón trịn xoay tích V1 = 1 3· √ · π · Å ã2 = π √ 24 Quay hình thang vng quanh trục ∆ ta khối nón cụt tích V2 = 1 · π · √ · Ç √ å2 + √ · 1 2+ Å ã2! = 19π √ 3 24 Do thể tích khối nón trịn xoay cần tìm V = 2(V1+ V2) = 5π√3 Chọn đáp án B  Câu 39 Một khối nón có thiết diện qua trục tam giác vng cân đường sinh có độ dài 3√2 cm Một mặt phẳng qua đỉnh tạo với đáy góc 60◦ chia khối nón thành phần Tính thể tích phần nhỏ (Tính gần đến hàng phần trăm) A 4,36 cm3 B 4,53 cm3 C 5,37 cm3 D 5,61 cm3 Lời giải Xét khối nón hình vẽ Ta có 4SBO nửa tam giác vuông cân đỉnh S nên BO = SB × √ 2 = Mặt phẳng qua đỉnh S cắt đáy theo dây cung AB, tâm đường tròn đáy O Gọi I hình chiếu vng góc O lên AB ⇒ ‘SIO = 60◦ Xét 4SOB, SO =√SB2 − OB2 = 3. Xét 4SIO, OI = SO tan 60◦ = √ Xét 4IOA, cos ‘IOA = IO OA = √ 3 Suy ’AOB = × ‘IOA ≈ 109,47◦ S O B A I Gọi S diện tích hình phẳng tạo dây cung AB đường trịn (O) (phần nhỏ) S = 2× 109,47 × π 180 × OB 2− 2OA × OB × sin 109,47 ◦ ≈ 4,36 cm2. Gọi Vn thể tích phần nhỏ, Vn = 1 3S × SO ≈ 4,36 cm 3. Chọn đáp án A  Câu 40 Cho hình nón có đường sinh 2a góc đỉnh 90◦ Cắt hình nón mặt phẳng (P ) qua đỉnh cho góc (P ) mặt đáy hình nón 60◦ Tính diện tích S thiết diện tạo thành A S = √ 2a2 3 B S = √ 2a2 3 C S = 8√2a2 3 D S = (132)Theo ta có tam giác SOC vuông cân O suy OC = SO = a√2 Giả sử mặt phẳng (P ) cắt đường tròn đáy theo dây cung AB Gọi H trung điểm AB suy OH ⊥ AB, kết hợp với SO vng góc với đáy suy AB ⊥ (SOH), từ suy ’SHO = 60◦ Trong tam giác vng SOH có OH = SO tan 30◦ = a √ 6 , SH = SO sin 60◦ = 2a√6 S A B O H C Trong tam giác vng OHB có BH2 = OB2− OH2 = 2a2− 6a 2 9 = 12a2 9 ⇒ BH = 2a√3 3 Từ ta có diện tích thiết diện S4SAB = SH · AB 2 = SH · BH = 2a√6 3 · 2a√3 3 = 4a2√2 3 Chọn đáp án A  Câu 41 Bạn An có bìa hình trịn hình vẽ, An muốn biến hình trịn thành phễu hình nón Khi An phải cắt bỏ hình quạt trịn OAB dán hai bán kính OA OB lại với Gọi x góc tâm hình quạt trịn dùng làm phễu Tìm x để thể tích phễu lớn A x = π 4 B x = 2√6π C x = π 3 D x = π A B O R R r h O A ≡ B x H Lời giải Gọi r, h bán kính đáy, chiều cao phễu Xét tam giác vng OAH có h =√R2− r2, từ suy thể tích phễu V = 3hπr 2 = π » (R2 − r2)r4 (1) Nhận thấy (R2− r2)r4 = 4(R2− r2) · r 2 · r2 2 ≤ Ö R2− r2+ r 2 + r2 2 è3 = 4R 6 27 (2) Từ (1) (2) suy V lớn r 2 2 = R 2− r2 ⇔ r = R √ Theo giả thiết ta có chu vi đáy phễu chiều dài cung ˜AB hay Rx = 2πr ⇔ x = 2πr R = 2πR √ 6 R = 2π√6 (133)Câu 42 Có cốc làm giấy úp ngược hình vẽ bên Chiều cao cốc HK = 2√143 cm, bán kính đáy cốc HP = cm, bán kính miệng cốc KN = cm Một kiến đứng điểm M miệng cốc dự định bò hai vòng quanh thân cốc để lên đến đáy cốc ểm P Tính quãng đường ngắn để kiến thực dự định A +√579 cm B 12√7 cm C 24 + 6(√6 −√2) cm D √579 cm M N P Q H K Lời giải Đặt b, a, h bán kính đáy cốc, miệng cốc chiều cao cốc, α góc kí hiệu hình vẽ bên Ta “trải” hai lần mặt xung quanh cốc lên mặt phẳng hình quạt khuyên với cung nhỏ QQ0 = 4πb và cung lớn M M0 = 4πa Độ dài ngắn đường kiến độ dài đoạn thẳng QM ” Áp dụng định lí hàm số cosin ta l =pQO2+ OM002− 2QO · OM00· cos 2α. Ta có Q00M00 = M Q =p(a − b)2+ h2. Gọi l1, l2 độ dài cung nhỏ QQ00 M M00, ta có M00 ≡ M0 M Q00 ≡ Q Q H K O a b = 4πa 4πb = l1 l2 = OM OQ = OQ + AM OQ = + M Qα 2πb ⇒ α = 2π(a − b) M Q = 2π(a − b) p(a − b)2+ h2 (2) M Q OQ = a b − = a − b b ⇒ OQ = bp(a − b)2+ h2 a − b (3) OM00= OQ + QM = bp(a − b) 2+ h2 a − b +p(a − b) 2+ h2 (4). Thay (2), (3), (4) vào (1) ta l = 12√7 cm Chọn đáp án B  (134)25m 6m 10m 1m Tổng diện tích mặt kính bể cá gần với số sau đây? A 872 m2. B 914 m2. C 984 m2. D 949 m2. Lời giải Diện tích mặt ngồi S1 = · 25 · + 25 · 10 + · Å 6 · 10 − 2π · 2 ã = 670 − 16π (m2) Diện tích mái vịm mặt S2 = 1 2 · · π · 25 + · · 25 = 100π + 50 (m 2). Vậy diện tích mặt kính bể cá S = S1+ S2 = 670 − 16π + 100π + 50 = 720 + 84π ' 984 (m2) Chọn đáp án C  Câu 44 Có mảnh bìa hình chữ nhật ABCD có đường chéo AC = Người ta đánh dấu M trung điểm BC, N điểm thuộc cạnh AD với AD = 4AN Sau người ta mảnh bìa lại cho cạnh AB trùng với cạnh CD tạo thành hình trụ Tìm độ dài cạnh BC cho thể tích tứ diện ABM N đạt giá trị lớn với đỉnh A, B, M , N nằm hình trụ vừa tạo thành N M D A C B A BC = √ 6 3 B BC = 1 3 C BC = √ 3 D BC = √ 3 Lời giải Giả sử hình trụ hình vẽ Kẻ đường sinh M M0, N N0 Khi N điểm cung AM0 ⇒ tam giác AN M0 vuông cân N Đặt BC = x ⇒ AB =√1 − x2. Gọi R bán kính đường trịn đáy, ta có AD = 2πR = x ⇒ R = x 2π ⇒ AN = √x 2π Ta có VABM N = 1 3VAM0N.BM N0 = 1 3AB · 1 2AN 2 = 12π2x 2√1 − x2 = 12π2px 4(1 − x2). N N0 A B M (135)Ta có x4(1 − x2) = 2x 2· x2(2 − 2x2) ≤ 2· Å x2+ x2+ − 2x2 3 ã3 = 27 Đẳng thức xảy x2 = − 2x2 ⇔ x2 = 3 ⇒ x = √ 6 Chọn đáp án A  Câu 45 Cho hình trụ trịn xoay hình vng ABCD cạnh a có đỉnh liên tiếp A, B nằm đường trịn đáy thứ hình trụ, hai đỉnh cịn lại nằm đường trịn đáy thứ hai hình trụ Mặt phẳng (ABCD) tạo với đáy hình trụ góc 45◦ Tính thể tích khối trụ A 3πa 3 16 B √ 2πa3 16 C πa3 16 D 3√2πa3 16 D C N A B M I O O0 Lời giải • Gọi M, N trung điểm AB CD, O O0 lần lượt tâm hai mặt đáy Gọi I giao điểm M N OO0 • Góc mặt phẳng (ABCD) mặt đáy góc (M N, OM ) = ’IM O Do ’IM O = 45◦ Suy 4IM O vuông cân O • Ta có M N = BC = a nên IM = a 2 AM = 2AB = a 2 Suy OM = OI = a 2√2 ⇒ OO 0 = 2OI = a √ 2 4OM A vuông M nên OA2 = OM2 + AM2 = a 8 + a2 4 = 3a2 8 Suy R = OA = a√3 2√2 • Ta có Vtrụ = πR2h = π · 3a2 · a √ 2 = 3√2πa3 16 Chọn đáp án D  Câu 46 Một hình nón đỉnh S có bán kính đáy 2a√3, góc đỉnh 120◦ Thiết diện qua đỉnh hình nón tam giác Diện tích lớn Smax thiết diện bao nhiêu? A Smax= 8a2 B Smax= 4a2 √ 2 C Smax= 4a2 D Smax= 16a2 Lời giải Giả sử O tâm đáy AB đường kính đường trịn đáy hình nón Thiết diện qua đỉnh hình nón tam giác cân SAM Theo giả thiết hình nón có bán kính đáy R = OA = 2a√3, ’ ASB = 120◦ nên ’ASO = 60◦ Xét tam giác SOA vng O, ta có sin 60◦ = OA SA ⇒ SA = OA sin 60◦ = 4a Diện tích thiết diện SSAM = 1 2SA · SM · sin ’ASM = 2· 4a · 4a · sin ’ASM = 8a 2· sin ’ASM B M A S (136)cân đỉnh S (vì ’ASB = 120◦ > 90◦ nên tồn tam giác ASM thoả mãn) Vậy diện tích thiết diện lớn Smax= 8a2 (đvdt) Chọn đáp án A  Câu 47 Một hình trụ có độ dài đường cao 3, đường tròn đáy (O; 1) (O0; 1) Giả sử AB đường kính cố định (O; 1) M N đường kính thay đổi (O0; 1) Tìm giá trị lớn Vmax thể tích khối tứ diện ABM N A Vmax = B Vmax = C Vmax= 1 2 D Vmax= Lời giải O0 N O C A P B Q D M O0 N O C A P B Q D M Dựng hình hộp chữ nhật ABCD.P M N Q nội tiếp hình trụ hình vẽ Dễ thấy VACBD.P M QN = VP AM N + VQBM N+ VCAM B + VDN AB + VABM N Mà VP AM N = VQBM N = VCAM B = VDN AB = VABM N = 1 6V nên VABM N = 3VABCD.P M QN VABCD.P M QN = SP M QN · OO0 ≤ 1 2M N · P Q · OO 0 = · = 6. Vậy VABM N = 1 3VABCD.P M QN ≤ 1 3 · = ⇒ Vmax = Dấu xảy AB M N vng góc với Chọn đáp án A  Câu 48 Cho tứ diện ABCD có AD ⊥ (ABC), ABC tam giác vuông B Biết BC = a, AB = a√3, AD = 3a Quay tam giác ABC ABD (bao gồm điểm bên tam giác) xung quanh đường thẳng AB ta khối trịn xoay Thể tích phần chung khối trịn xoay A √ 3πa3 16 B 3√3πa3 16 C 8√3πa3 3 D 4√3πa3 16 Lời giải A D B C D1 D2 C1 C2 N M A (137)Tứ diện ABCD có ®DA ⊥ (ABC) BC ⊥ (ABD), quay hai tam giác ABC ABD quanh trục AB ta hai hình nón trịn xoay, phần chung hai hình nón phần tơ màu xám hình Khi xét mặt phẳng qua trục AB hai hình nón (C1C2D2D1), gọi M = BD2∩AC2; N = BD1∩AC1 Ta có 4BM C2 v 4D2M A, nên BM D2M = BC2 AD2 = ⇒ HM AD2 = ⇒ HM BC2 = 4 ⇒ HM = 3a 4 Suy  Thể tích khối nón (AN M ) V1 = 1 3πHM 2· AH = 3π 9a2 16 · AH  Thể tích khối nón (BN M ) V2 = 1 3πHM 2· BH = 3π 9a2 16 · BH Vậy thể tích khối trịn xoay cần tìm V1+ V2 = 1 3π 9a2 16 (AH + BH) = 3π 9a2 16 · AH = 3√3πa3 16 Chọn đáp án B  Câu 49 Khi sản xuất phễu hình nón (khơng có nắp) nhơm, nhà thiết kế đạt mục tiêu cho chi phí nguyên liệu làm phểu nhất, tức diện tích xung quanh hình nón nhỏ Hỏi ta muốn sản xuất phễu tích dm3 diện tích xung quanh phễu có giá trị nhỏ gần với giá trị sau nhất? R h l A 6,85 dm2. B 6,75 dm2. C 6,65 dm2. D 6,25 dm2. Lời giải Gọi R, h, l bán kính đáy, chiều cao độ dài đường sinh phễu Khi V = 3πR 2· h = ⇔ h = πR2 l = √ h2+ R2 = … 36 π2R4 + R 2. Diện tích xung quanh hình nón Sxq = π · R · l = πR … 36 π2R4 + R 2 =… 36 R2 + π 2R4. Ta có 36 R2 + π 2R4 = 18 R2 + 18 R2 + π 2R4 ≥ 3p(18π)3 2 Dấu “=” xảy 18 R2 = π 2R4 ⇔ R =… 186 π2 Suy Sxq = » 3p(18π)3 2 ≈ 6, 65. Chọn đáp án C  Câu 50 Một cốc hình trụ có đường kính đáy 6cm, chiều cao 15cm chứa đầy nước Nghiêng cốc cho nước chảy từ từ đến mép nước ngang với đường kính đáy cốc (tham khảo hình vẽ) Khi diện tích bề mặt nước cốc A √ 26 10 π cm 2. B 9√26π cm2. C. √ 26 π cm 2. D. √ 26 π cm 2. (138)Từ giả thiết, suy diện tích bề mặt cốc nửa elip có trục nhỏ 2b = 2R = ⇒ b = 3cm nửa độ dài trục lớn a = OD = √h2+ R2 =√152+ 32 = 3√26cm. Diện tích bề mặt nước cốc S = 2 · abπ = · · √ 26 = √ 26 πcm 2. A D O Chọn đáp án C  Câu 51 Một khối cầu (S) tâm I bán kính R khơng đổi Một khối trụ có chiều cao h bán kính đáy r thay đổi nội tiếp khối cầu Tính chiều cao h theo R để thể tích khối trụ lớn A h =√2R B h = √ 3 3 R C h = √ 2 R D √ 3 R Lời giải Ta có r2 = R2 −h 4 VTrụ = h · πr2 = hπ Å R2− h 4 ã = hπR2 − πh 4 ⇒ V0(h) = πR2− 3πh 2 4 = ⇒ h = 2√3 3 R x f0(x) f (x) 0 √ 3 R 2R + − Vậy thể tích khối trụ lớn h = √ 3 R N I O r R h 2 Chọn đáp án B  Câu 52 Một người thợ có khối đá hình trụ Kẻ hai đường kính M N , P Q hai đáy cho M N ⊥ P Q Người thợ cắt khối đá theo mặt cắt qua điểm M , N , P , Q để thu khối đá có hình tứ diện M N P Q (tham khảo hình vẽ bên) Biết M N = 60 cm thể tích khối tứ diện M N P Q 30 dm3 Hãy tìm thể tích lượng đá bị cắt bỏ (làm trịn kết đến chữ số thập phân) O N M P Q O0 A 101,3 dm3 B 141,3 dm3 C 121,3 dm3 D 111,3 dm3 Lời giải Tính thể tích khối tứ diện ABCD, biết d khoảng cách hai đường thẳng AB CD, α góc hai đường thẳng V = (139)VM N P Q= 1 6M N · P Q · h · sin 90 ◦ ⇒ h = · 30 6 · = dm (với h độ dài đường cao hình trụ) Khi thể tích khối trụ V = π · 32· = 45π dm3. Suy thể tích lượng đá bị cắt bỏ 45π − 30 ≈ 111,3 dm3 Chọn đáp án D  Câu 53 Cho hình nón có bán kính đáy R, chiều cao h Bán kính r hình trụ nội tiếp hình nón mà tích lớn A r = R 4 B r = R 2 C r = 2R 3 D r = R Lời giải Cắt hình nón (N ) theo mặt phẳng qua trục AH ta thiết diện tam giác cân ABC, mặt phẳng cắt hình trụ (T ) nội tiếp hình nón theo thiết diện hình chữ nhật M N P Q (như hình vẽ) Gọi h0 độ dài đường cao hình trụ Ta có h0 h = KH AH = QB AB = AB − AQ AB = − AQ AB = − r R A K Q P B M H N C Do h0 = h1 − r R  Thể tích khối trụ nội tiếp hình nón V = πr2h0 = πh Å r2− r 3 R ã Xét hàm số f (r) = πh Å r2− r 3 R ã với < r < R Ta có f0(r) = πh Å 2r − 3r 2 R ã , f0(r) = ⇔ r = 2R Bảng biến thiên r f0(r) f (r) 0 2R 3 R + − 0 4πR2 27 4πR2 27 0 Từ bảng biến thiên ta có max V = 4πR 2 27 đạt r = 2R 3 Chọn đáp án C  Câu 54 Bác An cần làm bể đựng nước hình trụ (có đáy nắp đậy) tích 16π m3 Tính bán kính đáy hình trụ để nguyên vật liệu làm bể A 0,8 m B 1,2 m C m D 2,4 m Lời giải Gọi bán kính mặt đáy R, R > Khi chiều cao hình trụ 16 R2 Diện tích tồn phần hình trụ (140)= 2πÅ 16 R + R 2 ã = 2πÅ R + 8 R + R 2 ã ≥ 2π · 3√3 64 = 24π Giá trị nhỏ đạt R = R 2 ⇔ R = 2. Chọn đáp án C  Câu 55 Một khối gỗ hình lập phương tích V1 Một người thợ mộc muốn gọt giũa khối gỗ thành khối trụ tích V2 Tính tỷ số lớn k = V2 V1 A k = π 4 B k = 2 π C k = π 2 D k = 4 π Lời giải Giả sử khối lập phương có cạnh 2a, suy V1 = 8a3 Khối trụ tích lớn hai đáy nội tiếp hai mặt đối diện khối lập phương, bán kính đáy khối trụ R = a, chiều cao h = 2a Từ suy V2 = h · S = 2a · πa2 = 2πa3 Vậy V2 V1 = π A B D0 C0 D B0 A0 C Chọn đáp án A  Câu 56 Anh T dự định làm bể đựng nước hình trụ inox có nắp đậy, thể tích 20m3 Chi phí làm m2 đáy 500 ngàn đồng, m2 nắp 300 ngàn đồng, m2 mặt xung quanh 400 ngàn đồng Để chi phí làm bể anh T cần chọn bán kính bể gần với số sau đây? (Xem độ dày inox không đáng kể ) A 1,45m B 1,47m C 1,08m D 1,50m Lời giải Gọi bán kính đáy chiều cao bể r, h (mét) Khi πr2h = 20. Tổng chi phí làm bể πr2 · 500 + πr2 · 300 + 2πrh · 400 = 800π(r2 + rh) ngàn đồng. Áp dụng BĐT AM-GM ta có r2+ rh = r2+rh + rh ≥ 3 … r2· rh 2 · rh 2 = 3   r4h2 4 = 3 … 100 π2 Dấu xảy    r2 = rh πr2h = 20 ⇔®h = 2r πr2h = 20 ⇔        r = … 103 π ≈ 1,47 h = 2… 103 π Vậy để chi phí làm bể anh T cần chọn bán kính bể 1,47 mét Chọn đáp án B  (141)A B O R x O A R h r A √ 6 3 π B π 3 C π 2 D π Lời giải Gọi r, h bán kính đáy, chiều cao phễu hình nón Để tiện cho việc tính tốn, ta chuẩn hóa R = Thể tích khối nón V = 3πr 2h = π 3r 2√1 − r2. Xét hàm số f (r) = r2√1 − r2 trên (0; 1) Ta có f0(r) = 2r − 3r √ 1 − r2; ∀r ∈ (0; 1) Do f0(r) = ⇔ 2r − 3r3 = ⇔ r = √ Khi ta có bảng biến thiên r f0(r) f (r) √ 3 + − f Ç √ 6 å f Ç √ å Do hàm f (r) đạt giá trị lớn r = √ 6 3 Vậy Vmax= 2π√3 27 Mà độ dài cung phần cuộn làm phễu chu vi đáy hình trịn nên x = 2πr = 2π √ 6 Chọn đáp án A  Câu 58 Cho hình trụ trịn xoay hình vng ABCD cạnh a có hai đỉnh liên tiếp A, B nằm đường tròn đáy thứ hình trụ, hai đỉnh cịn lại nằm đường trịn đáy thứ hai hình trụ Mặt phẳng ABCD tạo với đáy hình trụ góc 45◦ Tính diện tích xung quanh hình trụ? A Sxq = 2πa2√3 5 B Sxq = πa2√3 3 C Sxq = πa2√3 4 D Sxq = πa2√3 (142)Gọi P, Q, E trung điểm AB, CD, OO0 Góc (ABCD) mặt đáy ÷O0QE = 45◦. Ta có EQ = a 2, O 0Q = EO0 = a √ Suy h = OO0 = a √ 2 r = O 0C = a √ Diện tích xung quanh hình trụ Sxq = 2π · a√6 · a√2 = πa2√3 O O0 A B C D D P E Q 45◦ Chọn đáp án D  Câu 59 Cho khối trụ có bán kính đáy cm chiều cao cm Gọi AB dây cung đáy cho AB = 4√3 cm Người ta dựng mặt phẳng (P ) qua A, B tạo với mặt phẳng đáy hình trụ góc 60◦ Diện tích thiết diện hình trụ cắt mặt phẳng (P ) hình trụ bao nhiêu? A 8(4π − √ 3) 3 cm 2. B. 4(4π − √ 3) 3 cm 2. C. 4(4π − √ 3) 3 cm 2. D. 8(4π − √ 3) 3 cm 2. Lời giải Gọi S, S0 diện tích thiết diện hình chiếu thiết diện mặt phẳng đáy Khi ta có S0 = S · cos 60◦, suy S = 2S0 Ta lại có S0 = SquạtOAB− S4OAB Trong đó, AOB’ = 120◦, SquạtOAB = 1 · 2π 3 · OA 2 = 16π 3 ; S4OAB = 1 · · √ 3 = 4√3 Vậy S = ·Å 16π 3 − √ 3 ã = · Ç 4π − 3√3 å (cm2) B A O Chọn đáp án A  Câu 60 Một hình trụ có bán kính R, chiều cao R√3 Thiết diện song song cách trục khoảng R √ 2 có diện tích A R 2√3 2 B R 2√3. C. R 2√3 4 D R2√3 Lời giải Giả sử thiết diện song song với trục hình chữ nhật CDD0C0 hình vẽ bên Gọi I trung điểm CD Ta chứng minh OI ⊥ (CDD0C0) Mặt khác, OO0 k (CDD0C0) nên d(OO0, (CDD0C0)) = d(O, (CDD0C0)) = OI = R √ C O C0 I D O0 D0 CD = 2IC = 2√OC2− OI2 = 2 s R2− Ç R√3 2 å2 = R Suy SCDD0C0 = CD · CC0 = R · R √ (143)Chọn đáp án B  Câu 61 Cho hình nón trịn xoay có chiều cao h = 20 cm, bán kính đáy r = 25 cm Một thiết diện qua đỉnh hình nón có khoảng cách từ tâm đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện 12 cm Tính diện tích thiết diện A S = 400 cm2. B S = 500 cm2. C S = 406 cm2. D S = 300 cm2. Lời giải Giả sử thiết diện cho tam giác SAB, với S đỉnh O tâm đường tròn đáy hình nón Gọi M trung điểm AB, H hình chiếu vng góc O SM Khi ta có OH ⊥ (SAB), suy OH = d [O; (SAB)] = 12 cm Xét tam giác SOM vng O, ta có 1 SO2 + 1 OM2 = 1 OH2 ⇔ OM2 = 1 OH2 − 1 SO2 = 1 122 − 1 202 = 1 225 ⇒ OM = 15 O A S M B H AM =√OA2 − OM2 =√252 − 152 = 20 ⇒ AB = 2AM = 40 cm. SM =√SO2+ OM2 =√202+ 152 = 25 cm. Diện tích thiết diện SAB S = 2AB · SM = 2· 40 · 25 = 500 cm 2. Chọn đáp án B  Câu 62 Cho miếng tơn hình trịn có tâm O, bán kính R Cắt bỏ phần miếng tơn theo hình quạt OAB gị phần cịn lại thành hình nón đỉnh O khơng có đáy (OA trùng với OB) Gọi S, S0 diện tích miếng tơn ban đầu diện tích miếng tơn cịn lại Tính tỉ số S 0 S để thể tích khối nón đạt giá trị lớn A √ 2 3 B 1 3 C √ 3 D 1 Lời giải Gọi độ dài cung tròn quạt bị cắt l bán kính hình trịn R, S0 S = − lR 2πR2 = − l 2πR (1) Gọi r bán kính đường trịn đáy tạo thành nón Thế V = 3πr 2√R2 − r2 = 3πp(R 2− r2) r4. A B O l R Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta V = 3π … 2(2R 2− 2r2) · r2 · r2 ≤ 3π s 1 Å 2R2− 2r2+ r2+ r2 3 ã3 = 3π s 1 Å 2R2 3 ã3 Dấu xảy r2 = 2R2− 2r2 ⇒ r = √ (144)Hơn nữa, r = 2πR − l 2π ⇒ r R = − l 2πR (3) Từ (1), (2) (3) suy S 0 S = √ 6 Chọn đáp án C  Câu 63 Cho hình nón đỉnh O, I tâm đường tròn đáy Mặt trung trực OI chia khối chóp thành hai phần Tỉ số thể tích hai phần chứa đỉnh S phần không chứa S A 8 B 1 2 C 1 4 D 1 Lời giải Hình nón nhỏ hình nón lớn dồng dạng với tỉ lệ 2 nên tỉ số thể tích chúng Å 2 ã3 = Do tỉ lệ cần tìm 7 Chọn đáp án D  Câu 64 Cho khối nón (N ) có chiều cao h = 20 cm, bán kính đáy r = 25 cm Gọi (α) mặt phẳng qua đỉnh (N ) cách tâm mặt đáy 12 cm Khi đó, (α) cắt (N ) theo thiết diện có diện tích A 300 cm2 B 500 cm2 C 406 cm2 D 400 cm2 Lời giải Giả sử thiết diện tam giác SAB Gọi I trung điểm AB H hình chiếu vng góc O SI Ta có: ®AB ⊥ OI AB ⊥ SO ⇒ AB ⊥ (SOI) ⇒ AB ⊥ IH Vậy OH ⊥ (SAB) Suy d(O, (SAB)) = OH = 12 Xét tam giác SOI, ta có 1 OH2 = 1 OI2 + 1 SO2 ⇒ 1 OI2 = 1 OH2 − 1 SO2 = 1 225 ⇒ OI = 15 Xét tam giác SOI, ta có SI =√SO2+ OI2 = 25. S O A B I H Xét tam giác BOI, ta có BI =√OB2− OI2 = 20 ⇒ AB = 2BI = 40. Vậy SSAB = 1 2AB · SI = 2 · 40 · 25 = 500 cm 2. Chọn đáp án B  Câu 65 Thiết diện qua trục hình nón tam giác vng cân có cạnh góc vng a Một thiết diện qua đỉnh tạo với đáy góc 60◦ Diện tích thiết diện A a 2√2 2 B a2√2 3 C 2a 2. D. a 2√2 4 Lời giải Gọi thiết diện qua trục 4SAB thiết diện qua đỉnh nón tạo với đáy góc 60◦ 4SCD Gọi H trung điểm CD ⇒ CD ⊥ (SOH) ⇒ ’SHO = 60◦ Khi diện tích thiết diện SCD SSCD= 1 2SH · CD Ta có AB = a√2 ⇒ R = a √ 2 = SO Tam giác SHO vuông O, ta có SH = SO sin 60◦ = (145)Ta có CD = 2CH = 2√OC2− OH2 = 2… a 2 − SH2 4 = … a2 2 − a2 6 = 2a√3 3 Vậy SSCD= 1 2· a√2 √ 3 · 2a√3 3 = a2√2 3 Chọn đáp án B  Câu 66 Cho hình nón đỉnh S có đáy đường trịn tâm O, bán kính R Trên đường tròn (O) lấy điểm A, B cho tam giác OAB vng Biết diện tích tam giác SAB R2√2, thể tích khối nón đã cho A V = πR 3√14 2 B V = πR3√14 6 C V = πR3√14 12 D V = πR3√14 3 Lời giải Kẻ OH ⊥ AB, (H ∈ AB) ⇒ H trung điểm AB SH ⊥ AB Do tam giác OAB vuông ⇒ AB = R√2 OH = R √ 2 Ta có S4ABC = 1 2SH · AB ⇒ SH = 2√2R2 √ 2R = 2R ⇒ SO =√SH2− OH2 = … 4R2−R 2 = R√14 Vậy thể tích khối nón cho V = 3πR 2· SO = 3πR 2.R √ 14 2 = πR3√14 6 S O B A H Chọn đáp án B  Câu 67 Cho hình trụ có trục OO0 có bán kính đáy Một mặt phẳng song song với trục OO0 cách OO0 khoảng cắt hình trụ theo thiết diện hình vng Diện tích xung quanh hình trụ cho A 26√3π B 8√3π C 16√3π D 32√3π Lời giải Gọi I trung điểm đoạn QP , ta có O0I ⊥ P Q Suy O0I ⊥ (M N P Q) hay O0I = d(O0; (M N P Q)) = d(OO0; (N M P Q)) = Ta có P I =√R2− O0I2 =√42− 22 = 2√3 ⇒ P Q = 4√3. Từ giả thiết M N P Q hình vng suy l = N P = P Q = 4√3 Diện tích xung quanh hình trụ S = · π · R · l = 2π · · 4√3 = 32√3π I O M N O0 Q P Chọn đáp án D  Câu 68 Cho hình lập phương ABCD.EF GH có cạnh Thể tích khối nón có đỉnh C, đáy đường trịn ngoại tiếp tam giác BDG A π 6 B 2√3π 9 C 2√3π 27 D (146)Dễ thấy hình chóp C.BDG hình chóp với đáy tam giác cạnh√2, cạnh bên Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BDG, suy CI ⊥ (BDG); BI = √ CI =√BC2− BI2 = à − Ç √ å2 = √ 3 Thể tích khối nón cần tìm V = 3π Ç √ å2 · √ 3 = 2√3π 27 I B C E H D G F A Chọn đáp án C  Câu 69 Cho hình vng ABCD cạnh a Gọi N điểm thuộc cạnhAD cho AN = 2DN Đường thẳng qua N vuông góc với BN cắt BC K Thể tích V khối tròn xoay tạo thành quay tứ giác AN KB quanh trục BK A V = 6πa 3 . B V = 14πa 3 . C V = 7πa 3. D V = 14 9 πa 3 . K A B D N C Lời giải Ta có AN = 3AD = 2 3a Gọi I hình chiếu vng góc N BK, tam giác BN K vuông N , đường cao N I nên IK = IN 2 IB = a2 2 3a = 2a Khối tròn xoay thu quay tứ giác AN KB quanh trục BK gồm khối trụ tạo thành hình chữ nhật ABIN quay quanh BK khối nón tạo thành quay tam giác vuông N IK quanh cạnh góc vng IK Do thể tích khối trịn xoay thu K N A I B V = πAB2· AN + 3πN I 2· IK = 2a3π 3 + a3π 2 = 7a3π 6 Chọn đáp án A  Câu 70 Cho hình trụ có trục OO0, bán kính đáy r chiều cao h = 3r 2 Hai điểm M , N di động đường tròn đáy (O) cho OM N tam giác Gọi H hình chiếu vng góc O mặt phẳng (O0M N ) Khi M , N di động đường trịn (O) đoạn thẳng OH tạo thành mặt xung quanh hình nón, tính diện tích S mặt A S = √ 3πr2 32 B S = 9√3πr2 16 C S = 9πr2 32 D S = (147)Lời giải  Gọi I trung điểm M N Ta có ®OI ⊥ MN O0O ⊥ M N ⇒ M N ⊥ (OIO 0). Suy (O0M N ) ⊥ (O0OI) theo giao tuyến O0I Kẻ OH ⊥ O0I, ta có OH ⊥ (O0M N ) O M N H O0 I K  Kẻ HK vng góc với OO0 tại K. Ta có OI = r √ 3 2 , OH = OI · OO0 √ OI2+ OO02 = 3r 4 , cos ’HOI = OH OI = √ 3 Suy OH đường sinh hình nón có bán kính đáy HK  Ta có cosHOI = sin ÷’ HOK = HK OH ⇒ HK = 3√3r 8  Sxq = π · HK · OH = π · 3√3r · 3r = 9√3πr2 32 Chọn đáp án A  Câu 71 Một bình đựng nước dạng hình nón (khơng có nắp đậy), đựng đầy nước Biết chiều cao bình gấp lần bán kính đáy Người ta thả vào bình khối trụ đo thể tích nước tràn ngồi 16π 9 dm 3 Biết mặt khối trụ nằm trên mặt đáy hình nón khối trụ có chiều cao đường kính đáy hình nón (hình vẽ) Tính bán kính đáy R bình nước A R = dm B R = dm C R = dm D R = dm Lời giải Theo đề ta có AH = R, OH = 3R, HI = 2R Theo định lý Ta-let, ta có ID AH = OI OH = OH − IH OH = R 3R = 1 Do khối trụ có bán kính đáy ID = R 3 Thể tích khối trụ V = πÅ R ã2 · 2R = 16π ⇔ R 3 = ⇔ R = dm. A D B C E F O I H Chọn đáp án D  Câu 72 Cho khối nón có thiết diện qua trục tam giác cân có góc 120◦ cạnh bên a Tính thể tích khối nón A πa 3 8 B 3πa3 8 C πa3√3 24 D (148)Theo giả thiết suy tam giác SAB cân S ’ASB = 120◦ Suy 4SOA nửa tam giác Từ SO = SA = a 2, OA = a√3 2 Vậy thể tích khối nón V = 3· SO · Sđáy= 3· a · Ç a√3 2 å2 · π = a 3π 8 O A S B a 60◦ Chọn đáp án A  Câu 73 Cho hình trụ có hai đáy hai hình trịn (O) (O0), thiết diện qua trục hình vng Gọi A, B hai điểm nằm hai đường tròn (O) (O0) Biết AB = 2a khoảng cách hai đường thẳng AB OO0 a √ 2 Bán kính đáy A a √ 14 3 B a√14 2 C a√14 4 D a√14 Lời giải Kẻ BN k OO0, đặt ON = x, BN = 2x Do OO0 k BN ⇒ OO0 k (ABN ) nên d(OO0, AB) = d(OO0, (ABN )) = d(O, (ABN )) Gọi I trung điểm AN OI ⊥ (ABN ) Vậy d(O, (ABN )) = OI = a √ Xét 4ABN vuông N , ta có AN2 = AB2− BN2 = 4a2− 4x2. Xét 4OIN vng I, ta có ON2 = OI2+ IN2 ⇔ x2 = 3a 4 + 4(4a 2− 4x2) ⇒ x = a √ 14 Vậy bán kính đáy R = a √ 14 O0 O A B N I Chọn đáp án C  Câu 74 Tính chiều cao khối trụ tích lớn nội tiếp hình cầu có bán kính R A R √ 3 3 B 2R√3 3 C R √ 3 D 4R (149)Giả sử chiều cao hình trụ 2x, < x < R Khi bán kính đáy hình trụ r =√R2− x2. Thể tích khối trụ V = πr2h = π (R2− x2) 2x. Xét hàm số V (x) = 2πx (R2− x2) với < x < R. Ta có V0(x) = 2π (R2− 3x2), V0(x) = ⇔ x = R √ 3 Bảng biến thiên: x V0(x) V (x) 0 R √ 3 R + − 0 4πR3√3 9 4πR3√3 9 0 I I0 B B0 A A0 O x x R Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy thể tích khối trụ lớn Vmax= 4πR3√3 9 chiều cao khối trụ h = 2x = 2R √ 3 Chọn đáp án B  Câu 75 Cho hình vng ABCD cạnh 1, điểm M trung điểm CD Cho hình vng (tính điểm nó) quay quanh trục đường thẳng AM ta khối trịn xoay Tính thể tích khối trịn xoay A √ 10π 15 B 7√5π 30 C 7√2π 30 D 7√2π 15 Lời giải C0 K D A B C H B0 M Thể tích V khối trịn xoay V = V1+ V2− V3 Trong V1 thể tích khối nón với đường sinh AB, bán kính đáy BH, V2 thể tích khối nón cụt với đường sinh BC, bán kính đáy lớn BH, bán kính đáy nhỏ CK, V3 thể tích khối nón với đường sinh M C, bán kính đáy CK Ta có AH = √1 5; BH = √ 5; CK = √ 5; M K = 2√5 Khi V1 = 1 3AH·π·HB 2 = √ 5π 75 ; V2 = 1 3π(BH 2 +CK2+BH·CK)HK = 14 √ 5π 75 ; V3 = 1 3M K·π·CK 2 = √ 5π 150 Vậy V = √ (150)Câu 76 Cho hình trụ có chiều cao bán kính đáy cm Điểm A nằm đường tròn đáy tâm O, điểm B nằm đường tròn đáy tâm O0 hình trụ Biết khoảng cách đường thẳng OO0 AB 2√2 cm Khi khoảng cách O0A OB A √ 3 3 cm B 4√2 3 cm C √ 3 cm D √ 3 cm Lời giải Gọi AA0 đường sinh hình trụ, ta có OO0 k AA0 ⇒ OO0 k (AA0B) Suy d(OO0, AB) = d(OO0, (AA0B)) = d(O0, (AA0B)) Kẻ O0I ⊥ A0B Ta có ®O 0 I ⊥ A0B O0I ⊥ AA0 ⇒ O 0I ⊥ (AA0B). ⇒ d(OO0, AB) = O0I = 2√2. Trong 4O0A0I vng I có A0I =√O0A02− O0I =√16 − = 2√2. Suy A0B = 2A0I = 4√2 A A0 I B J O0 O C H Kẻ ®OC k O 0A OC = O0A ⇒ O 0A k (OBC). ⇒ d(O0A, OB) = d(O0A, (OBC)) = d(O0, (OBC)). Kẻ O0J ⊥ BC, mà BC ⊥ (OO0J ) (vì OO0 ⊥ (A0BC)) ⇒ BC ⊥ (OO0J ). ⇒ (OO0J ) ⊥ (OBC), (OO0J ) ∩ (OBC) = OJ Kẻ O0H ⊥ OJ ⇒ O0H ⊥ (OBC) ⇒ d(O0A, OB) = d(O0, (OBC)) = O0H. Trong 4A0BC vng B có BC =√A0C2− A0B2 =√64 − 32 = 4√2. Suy 4A0BC vuông cân B, kẻ O0J ⊥ BC ⇒ O0J = O0I = 2√2 Trong 4OO0J vuông O0 ⇒ O0H = OO 0· O0J OJ = 4 · 2√2 » 42+ (2√2)2 = √ 3 Chọn đáp án D  Câu 77 Cho 4ABC cân A, ’BAC = 120◦ AB = cm Tính thể tích khối trịn xoay lớn ta quay 4ABC quanh đường thẳng chứa cạnh 4ABC A 16√3π B 16π C 16π√ 3 D 16π Lời giải 120◦ 60◦ B H C K A 4 cm 2√3 cm 2 cm cm 2√3 cm (151)bằng hiệu thể tích hai khối nón (N1) (N2) Dựng CK ⊥ BA K suy        AK = AC · cos ’CAK = · cos 60◦ = cm BK = BA + AK = + = cm CK = AC · sin ’CAK = · sin 60◦ = 2√3 cm + (N1) có h1 = BK = cm, r1 = CK = √ cm + (N2) có h1 = AK = cm, r2 = CK = √ cm Do V = 3π · CK 2· (BK − AK) = 3π · Ä 2√3ä2· (6 − 2) = 16π (cm3). Trường hợp 2: Khối tròn xoay quay 4ABC quanh đường thẳng chứa BC tích tổng thể tích hai khối nón (N3) (N4) Kẻ đường cao AH, (H ∈ BC) suy ( AH = AB · cos ’BAH = · cos 60◦ = cm BH = CH = AB · sin ’BAH = · sin 60◦ = 2√3 cm (N3) (N4) có h3 = h4 = BH = CH = √ 3 cm,r3 = r4 = HA = cm Do V = ·13π · AH2· BH = · 3π · 2· 2√3 = 16π√ 3 (cm 3). Vậy Vmax= 16π (cm3) Chọn đáp án B  Câu 78 Cho khối nón có độ lớn góc đỉnh làπ 3 Một khối cầu (S1) nội tiếp khối nón Gọi S2 khối cầu tiếp xúc với tất đường sinh nón với S1, S3là khối tiếp xúc với tất đường sinh của nón với S2; .; Snlà khối cầu tiếp xúc với tất đường sinh nón với Sn−1 Gọi V1, V2, V3, , Vn−1, Vn thể tích khối cầu S1, S2, S3, , Sn−1, Sn V thể tích khối nón Tính giá trị biểu thức T = lim n→+∞ V1+ V2+ · · · + Vn V A 9 B 3 5 C 1 2 D 6 13 Lời giải Gọi đường kình đáy a Bán kính đáy R = a 2 Vì góc đỉnh π 3 nên thiết diện qua trục tam giác đều, suy l = a Đường cao h =√l2− R2 = … a2− a 2 4 = a√3 2 ⇒ a = 2h √ 3 Bán kính khối cầu S1 R1 = h 3, bán kính khối cầu S2 R2 = h − 2R1 3 = h = h 32, bán kính của khối cầu Sn h 3n Như ta có V1+ V2+ · · · + Vn V = 4π Å h3 33 + h3 36 + · · · + h3 33n ã π 3h · a 2 = 4h3 27 Å 1 + 27 + · · · + 27n−1 ã h · h 2 = 4 1 − 27n 1 − 27 (152)Suy T = lim n→+∞ V1+ V2+ · · · + Vn V = limn→+∞ 4 1 − 27n 1 − 27 = 13 Chọn đáp án D  Câu 79 Cho hình trụ có hai đáy hai hình trịn (O; R) (O0; R) AB dây cung đường tròn (O; R) cho tam giác O0AB tam giác mặt phẳng (O0AB) tạo với mặt phẳng chứa đường tròn (O; R) góc 60◦ Tính theo R thể tích V khối trụ cho A V = π √ 7R3 7 B V = 3π√5R3 5 C V = π√5R3 5 D V = 3π√7R3 7 Lời giải Gọi H trung điểm AB Khi ÷O0HO = 60◦ Suy ra O0A√3 2 = O 0 H = O 0O sin 60◦ = 2O0O√3 3 ⇒ O 0 A = 4O 0O 3 Suy 16O0O2 9 = O 0 A2 = O0O2+ OA2 ⇒ O0O = √ 7R Vậy V = πR2 ·3 √ 7R 7 = 3π√7R3 7 O0 B O A H Chọn đáp án D  Câu 80 Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2, AD = 2√3 nằm mặt phẳng (P ) Quay (P ) vòng quanh đường thẳng BD Khối trịn xoay tạo thành tích A 28π 9 B 28π 3 C 56π 9 D 56π Lời giải Gọi điểm E, F , I, J , H, L, K hình vẽ Gọi V1, V2, V3 thể tích khói nón nhận quay các tam giác ABH, ADH, IDL vòng quanh đường thẳng BD Ta có AH =√3, IL = √2 3, BH = 1, HD = 3, LD = Khi thể tích khối trịn xoay tạo thành V = (V1+ V2− V3) = 2ï 3π · AH 2· BH +1 3π · AH 2· DH −1 3π · IL 2· LD ò = 2π Å 3 · + · −4 · ã = 56π A F I E C J D B H L K Chọn đáp án C  Câu 81 Trong số hình trụ có diện tích tồn phần S bán kính R chiều cao h khối trụ tích lớn A R =… S 6π; h = … S 6π B R = … S 4π; h = (153)C R =… 2S 3π; h = … 2S 3π D R = … S 2π; h = 1 … S 2π Lời giải Ta có diện tích tồn phần S = S2 đáy+ Sxq = 2πR2+ 2πRh thể tích hình trụ V = πR2h Suy S 2π = R 2+ Rh ⇔ S 2π = R 2+ V πR = R 2+ V 2πR + V 2πR ≥ 3   V2 4π2 ⇔ 27V 2 4π2 ≤ Å S 2π ã3 ⇔ V ≤   S3 54π Dấu “=” xảy R2 = V 2πR ⇔ R 2 = πR 2h 2πR = Rh 2 Suy h = 2R S = 6πR2. Khi ta có R =… S 6π h = 2R = … S 6π Chọn đáp án A  Câu 82 Cho hai mặt cầu (S1) có tâm I1, bán kính R1 = 1, (S2) có tâm I2 bán kính R2 = Lần lượt lấy hai điểm M1, M2 thuộc hai mặt cầu (S1), (S2) Gọi K trung điểm M1M2 Khi M1, M2 di chuyển (S1), (S2) K qt miền khơng gian khối trịn xoay tích A 55π 3 B 68π 3 C 76π 3 D 82π Lời giải I1 I2 E M2 M1 K Gọi E trung điểm đoạn I1I2 Khi đó, ta có # » I1M +I# »2N = Ä# » I1E +EM# » ä +ÄI# »2E +EN# » ä = ÄI# »1E +I# »2E ä +ÄEM +# » EN# »ä = #»0 + ·EK# » ⇒ |I1M − I2N | ≤ 2EK ≤ I1M + I2N ⇒ ≤ EK ≤ Thể tích khối trịn xoay cần tìm V = 3π · (3 3− 23) = 76π (154)Câu 83 Sử dụng mảnh inox hình chữ nhật ABCD có diện tích (m2), cạnh BC = x (m) để làm thùng đựng nước có đáy, khơng có nắp theo quy trình sau: A D B M C N M B N C Chia hình chữ nhật ABCD thành hình chữ nhật ADN M BCN M , phần hình chữ nhật ADN M gị thành phần xung quanh hình trụ có chiều cao AM ; phần hình chữ nhật BCN M cắt hình trịn để làm đáy hình trụ (phần inox cịn thừa bỏ đi) Tính gần giá trị x để thùng nước tích lớn (coi mép nối không đáng kể) A 1,37 m B 1,02 m C 0,97 m D m Lời giải Ta có AB · BC = ⇒ AB = x Gọi R (m) bán kính đáy hình trụ inox gị được, chu vi hình trịn đáy BC = x (m) Do 2πR = x ⇔ R = x 2π, BM = 2R = x π ⇒ AM = AB − BM = x − x π Thể tích khối trụ inox gị V = πR2h = π · x 2π  ·Å x− x π ã = x(π − x 2) 4π2 Xét f (x) = x(π − x2) với x > Ta có f0(x) = π − 3x2, giải f0(x) = ⇔ x =… π 3 (vì x > 0) Bảng biến thiên x f0(x) f (x) 0 … π 3 +∞ + − 0 2π√3π 2π√3π 9 −∞ −∞ Từ bảng biến thiên suy max (0;+∞)f (x) = f Å… π ã = 2π √ 3π Thể tích V lớn f (x) lớn ⇔ x =… π 3 ≈ 1,02 (m) Chọn đáp án B  Câu 84 Cho tam giác ABC vuông A Gọi V1, V2, V3 thể tích hình trịn xoay tam giác ABC quay quanh cạnh BC, AC, AB Biết V2 = 3π, V3 = 4π Tính V1 A 19π 5 B 8π 5 C 16π 5 D (155)Lời giải C H A c B b Đặt AB = c, AC = b ⇒ BC =√b2+ c2.  Khi quay 4ABC quanh cạnh AC ta có khối nón trịn xoay có bán kính đáy r2 = AB = c, chiều cao h2 = AC = b Do V2 = 1 3πr 2 2h2 = 1 3πbc 2 ⇒ bc2 = 9. (1)  Khi quay 4ABC quanh cạnh AB ta có khối nón trịn xoay có bán kính đáy r3 = AC = b, chiều cao h3 = AB = c Do V3 = 1 3πr 2 3h3 = 1 3πb 2 c ⇒ b2c = 12 (2) Từ (1) (2) ta có b = 2√3 2 c = 3 √ 2 Từ BC = √ b2 + c2 = √ 2  Gọi H hình chiếu vng góc A cạnh BC, ta có AH = AB · AC BC = bc √ b2+ c2 = 6√3 2 Khi quay 4ABC quanh cạnh BC ta có khối trịn xoay hợp khối nón sinh 4ABH khối nón sinh 4ACH Do đó, thể tích khối tròn xoay V1 = 1 3πAH 2· (BH + CH) = 3πAH 2· BC = 3π Ç 6√3 2 å2 · 3 √ 2 = 12π 5 Chọn đáp án D  Câu 85 Có mảng bìa hình chữ nhật ABCD với AB = 2a, AD = 4a Người ta đánh dấu điểm E trung điểm BC F ∈ AD cho AF = a Sau người ta mảnh bìa lại cho cạnh DC trùng với cạnh AB tạo thành hình trụ Tính thể tích tứ diện ABEF với đỉnh A, B, E, F nằm hình trụ vừa tạo thành B E C A F D A 16a 3 B 8a 3 C a 3 D 8a 3 (156)Lời giải Gọi O, O0 tâm đường tròn đáy hình trụ tạo thành mảnh bìa Gọi R bán kính đường trịn đáy, ta có 2πR = 4a ⇒ R = 2a π Vì E trung điểm BC nên suy BE đường kính đường trịn đáy Gọi K hình chiếu vng góc điểm F mặt đáy đường trịn tâm O, ’BKE = 90◦ tứ giác ABKF hình chữ nhật F E A B K O0 O Do AF = a, AD = 4a nên cung AF = 4cung AD = 4 chu vi đường trịn đáy, ’AO 0F = 90◦ ⇒ ’ BOK = 90◦ Suy 4BKE vng cân K Từ ta có EK = KB = BE√ 2 = R √ 2 = 2a √ 2 π EK ⊥ (ABF ) Vậy nên VABEF = VE.ABF = 1 3SABF · EK = 3 · 2· AB · AF · EK = 6 · 2a · 2a√2 π · 2a√2 π = 8a3 3π2 Chọn đáp án B  Câu 86 Khi cắt hình nón chiều cao 16 cm, đường kính đáy 24 cm mặt phẳng song song với đường sinh hình nón ta thu thiết diện có diện tích lớn gần với giá trị sau đây? A 170 B 208 C 294 D 260 Lời giải Cắt hình nón mặt phẳng song song với đường sinh hình nón ta thu thiết diện parabol Với dây cung chứa đoạn M H hình vẽ, suy tồn đường kính AB ⊥ M H Trong tam giác SAB, kẻ HE k SB, E ∈ SA nên thiết diện parabol nhận HE làm trục O N E N A B S M H Đặt AH = x (với < x < 24) Trong tam giác ABM có: HM2 = BH · AH = x(24 − x) Trong tam giác SAB có: HE BS = AH AB ⇔ HE = AH AB · BS = AH AB · √ SO2+ OB2 = 5x (157)Thiết diện thu parabol có diện tích: S = 3M H · HE = 10 9 · √ 24x3 − x4 = 10 » x · x · x(24 − x) = 10 9√3· » x · x · x · (72 − 3x) ≤ 10 9√3   Å x + x + x + (72 − 3x) ã4 ≈ 207,8 cm2. Dấu “=” xảy x = 72 − 3x ⇔ x = 18 Vậy thiết diện có diện tích lớn là: 10 9 √ 34992 ≈ 207,8 cm2 Chọn đáp án B  Câu 87 Có miếng bìa hình chữ nhật ABCD với AB = 3, AD = Trên cạnh AD lấy điểm E cho AE = 2, cạnh BC lấy điểm F trung điểm BC Cuốn miếng bìa lại cho cạnh AB DC trùng để tạo mặt xung quanh hình trụ Khi tính thể tích V tứ diện ABEF A V = π 3 B V = 9√3 2π2 C V = 2 3π2 D V = 3π3 A E D C B F Lời giải Vì AD = nên suy chu vi đáy hình trụ 2πr = ⇒ r = π Do F trung điểm BC nên BF đường kính BF = π Ta tính F E =√10 Dựng hình lăng trụ M AE.F N B (như hình vẽ), đáy M EA tam giác vuông E, suy VAEBF = 1 3VM AE.F N B Ta có AE = 3AB = 1 32πr ⇒ ’EOA = 32π = 2π M F A B O E O0 N Xét tam giác cân OEA có EA = … 2OA2− 2OA2cos2π 3 = OA √ 3 = √ 3 π Suy M E = s Å π ã2 − Ç 3√3 π å2 = π Khi VM AE.F N B = Å 2M E · EA ã AB = · 3 π · 3√3 π · = 27√3 2π2 Vậy VAEBF = 1 3VM AE.F N B = V = 9√3 2π2 Chọn đáp án B  Câu 88 Cho hình nón có bán kính đáy a chiều cao a√3 Mặt phẳng (P ) qua đỉnh hình nón cắt hình nón theo thiết diện Tính giá trị lớn thiết diện (158)Xét hình nón hình vẽ Giả sử (P ) qua đỉnh cắt hình nón theo thiết diện 4SAB (theo hình vẽ) Ta có SA = SB =√SO2+ OA2 = 2a. Do 4SAA0 tam giác S4SAB = 1 2SA · SB · sin ’ASB S4SAB lớn ⇔ sin ’ASB lớn ⇔ ’ASB = 90◦ Vậy max (S4SAB) = 2a2 B S H O A A0 Chọn đáp án C  Câu 89 Một khối gỗ có hình trụ với bán kính đáy chiều cao Trên đường trịn đáy lấy hai điểm A, B cho cung AB có số đo 120◦ Người ta cắt khúc gỗ mặt phẳng qua A, B tâm hình trụ (tâm hình trụ trung điểm đoạn nối tâm hai đáy) để thiết diện hình vẽ Biết diện tích thiết diện thu có dạng S = aπ + b√3 Tính P = a + b A P = 60 B P = 30 C P = 50 D P = 45 A B Lời giải Gọi (α) mặt phẳng chứa thiết diện Gọi M trung điểm AB; I trung điểm OO0 M I cắt đáy N ; kẻ CD qua N , song song với AB ta thiết diện giới hạn đoạn thẳng AB, CD cung AD, BC hình vẽ M trung điểm AB OM ⊥ AB nên góc (α) (ABO) ’IM O Ta có OM = OB · cos 60◦ = ⇒ M I = nên cos ((α) , (ABO)) = 5 Gọi C0, D0 hình chiếu C, D lên (ABO) ABC0D0 hình chiếu ABCD lên (ABO) C D N A B M O I O0 C0 D0 Ta có SABC0D0 = (S4OAB + SquạtOBC0) = Å 2OB · OA · sin 120 ◦ +1 6π · 36 ã = 18√3 + 12π Suy SABCD = SABC0D0 cos ((α) , (ABO)) = 30 √ 3 + 20π Vậy P = 20 + 30 = 50 Chọn đáp án C  Câu 90 Cho hình trụ có chiều cao đường kính đáy có hai đường kính AB, CD nằm hai đường trịn đáy Biết AB vng góc với CD thể tích khối tứ diện A.BCD 18 Tính diện tích xung quanh hình trụ A 24π B 18π√3 C 72π D 48π (159)Dựng thêm hai đường kính vng góc với đường kính AB CD Ta hình hộp chữ nhật hình bên AA0BB0.C0CD0D Theo giả thiết ta có chiều cao AC0 = AB = h, gọi V thể tích hình hộp Ta có V = VDABB0+ VBCDD0 + VCABA0+ VACDC0 + VABCD VDABB0 = VBCDD0 = VCABA0 = VACDC0 = 1 3AC 0· S CDC0 = 1 6V Khi V = 3V + VABCD ⇒ 3V = 18 ⇒ V = 54 Ta có V = h · SAA0BB0 = h3 2 ⇒ h 3 = 108 ⇒ h = 3√3 4 Do diện tích xung quanh hình trụ Sxq = 2π · r · h = 18π 3 √ A A0 B B0 C C0 D D0 Chọn đáp án B  Câu 91 Một hình nón cắt mặt phẳng (P ) song song với đáy Mặt phẳng (P ) chia hình nón thành phần (N1) (N2) Cho hình cầu nội tiếp (N2) cho thể tích hình cầu nửa thể tích (N2) Một mặt phẳng qua trục hình nón vng góc với đáy cắt (N2) theo thiết diện hình thang cân, tang góc nhọn hình thang cân A B C D √3 Lời giải Xét mặt cắt qua trục hình nón (như hình vẽ) Đặt M B = x > ÷M BF = α Ta có  OM = M B · tanM BO = x · tan÷ α 2;  thể tích khối cầu V1 = 4 3πOM 3 = 3πx 3tan3α 2;  N F B + ÷’ M BF = 180◦ (trong phía) ⇒ ’N F O + 2÷M BO = 180◦ ⇒ ’N F O = 90◦− α 2;  N F = ON · cotN F O = x · tan’ α · tan α 2 = x · tan 2 α 2;  M N = 2OM = 2x tanα 2; A C O E B F N M  thể tích hình nón cụt (N2) V2 = π · M N (M B 2 + N F2+ M B · N F ) = 2πx tanα  x2+ x2tan4 α 2 + x 2tan2 α 2  ; Ta có V2 = 2V1 ⇔ tan α ·  1 + tan4 α 2 + tan 2α 2  = tan3 α 2 Đặt t = tanα 2 Do α ∈ Å 0;pi ã nên t = tanα 2 ∈ (0; 1) Ta có phương trình t · (t4+ t2+ 1) = 4t3 ⇔ t4+ t2+ = 4t2 ⇔ t4 − 3t2+ = ⇔     t2 = + √ 5 2 (loại t ∈ (0; 1)) t2 = − √ 2 (nhận) t2 = − √ 2 ⇒ t = √ 5 − 2 ⇒ tan α = 2t 1 − t2 = Chọn đáp án C  Câu 92 Cho hình trụ trịn xoay hình vng M N P Q cạnh a có hai đỉnh liên tiếp M, N nằm đường trịn đáy thứ hình trụ, hai đỉnh lại nằm đường tròn đáy thứ hai hình (160)A √ 2a3 16 π B 3√2a3 16 π C √ 2a3 6 π D √ 2a3 2 π Lời giải Theo giả thiết, suy H trung điểm đoạn OO0 Đặt x = OH Trong tam giác HOI vng O, ta có OH IH = sin 45 ◦ ⇒ OH = √ 4 ⇒ OO 0 = √ 2 a Lại có OI = OH = √ 2a 4 , suy bán kính đường trịn đáy r =… a 2 + a2 = … 8a Do đó, thể tích khối lăng trụ V = OO0· π ·3 = 3√2a3 16 π O0 Q O N P M I K H Chọn đáp án B  Câu 93 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình chữ nhật tâm I cạnh AB = 3a, BC = 4a Hình chiếu S mặt phẳng (ABCD) trung điểm ID Biết SB tạo với mặt phẳng (ABCD) góc 45◦ Tính diện tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD A 4πa2. B. 125π 4 a 2. C. 125π 2 a 2. D. 25π 2 a 2. Lời giải Ta có hình chiếu SB lên mặt đáy SH nên ’SBH góc SB (ABCD) ⇒ ’SBH = 45◦ Trong mặt phẳng (SBD) dựng O tâm đường trịn ngoại tiếp 4SBD Ta có OI k SH ⇒ OI ⊥ (ABCD) ⇒ O tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD Ta có BD =p(4a)2+ (3a)2 = 5a ⇒ BH = 4BD = 15 a Tam giác SHB vuông cân H ’SBH = 45◦ A E C B D H I S O 3a 4a 45 ◦ ⇒ SH = HB = 15a 4 ⇒ SD = √ SH2+ DH2 = √ 5a 2√2 Trong tam giác SBD, ta có 2OS = SD sin ’SBD ⇒ OS = √ 5a Diện tích khối cầu ngoại tiếp chóp S.ABCD : S = 4π Ç 5√5a å2 = 125π a 2. Chọn đáp án B  Câu 94 Trong không gian 0xyz, cho mặt cầu (S) : (x − 1)2+ (y + 2)2+ (z − 3)2 = 27 Gọi (α) mặt phẳng qua hai điểm A(0; 0; −4); B(2; 0; 0) cắt (S) theo giao tuyến đường tròn (C) cho khối nón có đỉnh tâm (S), có đáy (C) tích lớn Biết mặt phẳng (α) có phương trình dạng ax + by − z + c = 0, a − b + c (161)Lời giải Mặt cầu (S) có tâm I(1; −2; 3); bán kính R = 3√3 Gọi bán kính đường trịn (C) r khoảng cách từ I đến mặt phẳng (α) h Ta có: r2+ h2 = R2 = 27 Thể tích khối nón có đỉnh I đáy (C) V = 3πr 2h. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: r 2 2 + r2 2 + h 2 ≥ 3… r3 4h2 4 ⇔ 27 ≥ 3 … r4h2 4 ⇔ r 2h ≤ 54. ⇒ V ≤ 18π Dấu "=" xảy ⇔®h = r = 3√2 Ta có: AB = (2; 0; 4); #»# » n = (a; b; −1) véc-tơ pháp tuyến mặt phẳng (α) ⇒AB · #»# » n = ⇔ 2a − = ⇔ a = ⇒ (α) : 2x + by − z + c = Ta có: A ∈ (α) ⇔ c + = ⇔ c = −4 ⇒ (α) : 2x + by − z − = d (I; (α)) = h = ⇔ |−2b − 5|√ b2+ 5 = ⇔ |2b + 5| = √ b2+ ⇔ 4b2+ 20b + 25 = (b2+ 5) ⇔ b = 2. ⇒ a − b + c = − − = −4 Chọn đáp án A  Câu 95 Cho khối trụ có chiều cao h = 16 hai đáy hai hình trịn tâm O, O0 với bán kính R = 12 Gọi I trung điểm OO0 AB dây cung đường tròn (O) cho AB = 12√3 Tính diện tích thiết diện khối trụ với mặt phẳng (IAB) A 120√3 + 80π B 48π + 24√3 C 60√3 + 40π D 120√3 Lời giải (IAB) cắt khối trụ theo thiết diện hình vẽ Gọi α góc (IAB) đáy; H trung điểm AB Ta có: IH =√OA2− AH2 =»122− (6√3)2 = 6. ⇒ IH =√IO2+ OH2 =√62+ 82 = 10. Ta có: cos α = cos ’IHO = OH IH = 6 10 Diện tích thiết diện khối trụ cắt (IAB) S Hình chiếu S mặt đáy tâm O hình giới hạn đường trịn tâm O, bán kính 12 hai đường thẳng AB M N ; gọi diện tích hình S1 Khi đó, S1 = Z 0 √ 144 − x2dx = 4Ä18√3 + 12πä = 72√3 + 48π. Ta có: S1 = S · cos α ⇒ S = 10 Ä 72√3 + 48πä= 120√3 + 80π O A N I H O0 A0 B0 B M Chọn đáp án A  Câu 96 Một hình nón có bán kính đáy chiều cao Một mặt phẳng (P ) song song với đáy cắt hình nón theo đường trịn Khối trụ (H) có đáy đường trịn giao (P ) hình nón đáy cịn lại nằm đáy hình nón, trục hình trụ (H) trục hình nón Thể tích khối trụ (H) trường hợp thể tích lớn A 24 13π B 64 27π C 42 13π D (162)Giả sử rt = x · hn= 2x (0 < x < 1) Khi ht = (1 − x)hn = 4(1 − x) Thể tích khối trụ (H) V = πr2 t · ht = π · 4x2 · 4(1 − x) = 16π(x2 − x3). Xét hàm số y = x2 − x3 trên khoảng (0; 1) Ta có y0 = 2x − 3x2, y0 = ⇔   x = x = 3 x y0 y 0 3 0 + − | 0 4 27 4 27 0 Suy max V = 64 27π S A O B D M C N Chọn đáp án B  Câu 97 Cho hình nón có đường sinh 2a góc đỉnh 90◦ Cắt hình nón mặt phẳng (P ) qua đỉnh cho góc (P ) mặt đáy hình nón 60◦ Tính diện tích S thiết diện tạo thành A S = √ 2a2 3 B S = √ 2a2 3 C S = 8√2a2 3 D S = 5√2a2 (163)Theo ta có tam giác SOC vuông cân O suy OC = SO = a√2 Giả sử mặt phẳng (P ) cắt đường tròn đáy theo dây cung AB Gọi H trung điểm AB suy OH ⊥ AB, kết hợp với SO vng góc với đáy suy AB ⊥ (SOH), từ suy ’SHO = 60◦ Trong tam giác vng SOH có OH = SO tan 30◦ = a √ 6 , SH = SO sin 60◦ = 2a√6 S A B O H C Trong tam giác vng OHB có BH2 = OB2 − OH2 = 2a2− 6a 2 9 = 12a2 9 ⇒ BH = 2a√3 3 Từ ta có diện tích thiết diện S4SAB = SH · AB 2 = SH · BH = 2a√6 3 · 2a√3 3 = 4a2√2 3 Chọn đáp án A  Câu 98 Bạn An có bìa hình trịn hình vẽ, An muốn biến hình trịn thành phễu hình nón Khi An phải cắt bỏ hình quạt trịn OAB dán hai bán kính OA OB lại với Gọi x góc tâm hình quạt trịn dùng làm phễu Tìm x để thể tích phễu lớn A x = π 4 B x = 2√6π C x = π 3 D x = π A B O R R r h O A ≡ B x H Lời giải Gọi r, h bán kính đáy, chiều cao phễu Xét tam giác vng OAH có h =√R2− r2, từ suy thể tích phễu V = 3hπr 2 = π » (R2− r2)r4 (1) Nhận thấy (R2− r2)r4 = 4(R2− r2) · r 2 · r2 2 ≤ Ö R2− r2 +r 2 + r2 2 è3 = 4R 6 27 (2) Từ (1) (2) suy V lớn r 2 2 = R 2 − r2 ⇔ r = R √ Theo giả thiết ta có chu vi đáy phễu chiều dài cung ˜AB hay Rx = 2πr ⇔ x = 2πr R = 2πR √ 6 R = (164)Câu 99 Cho hình trụ có trục OO0, bán kính đáy r chiều cao h = 3r 2 Hai điểm M, N di động đường tròn đáy (O) cho tam giác OM N Gọi H hình chiếu vng góc O mặt phẳng (O0M N ) Khi M, N di động đường trịn (O) đoạn thẳng OH tạo thành mặt xung quanh hình nón, tính diện tích S mặt A S = √ 3πr2 32 B S = 9√3πr2 16 C S = 9πr2 32 D S = 9πr2 16 Lời giải Gọi K trung điểm M N Khi OK = r √ 3 Ta có OH2 = 1 O0O2 + 1 OK2 = 4 9r2 + 4 3r2 = 16 9r2 ⇒ OH = 3r Ta có O0K2 = O0O2+ OK2 = 3r2 Trong tam giác O0OK vuông O, đường cao OH ta có O0H O0K = O0H · O0K O0K2 = O0O2 O0K2 = 3 4 Từ suy bán kính đáy hình nón đoạn OH quay tạo thành r1 = 3r Vậy S = πr1OH = 9πr2 16 M K O N O0 H Chọn đáp án D  Câu 100 Gọi d đường thẳng tùy ý qua điểm M (1; 1) có hệ số góc âm Giả sử d cắt trục Ox, Oy A, B Quay tam giác OAB quanh trục Oy thu khối trịn xoay tích V Giá trị nhỏ V A 3π B 9π 4 C 2π D 5π Lời giải Cách 1: Dùng đạo hàm Do d có hệ số góc âm, qua điểm M (1; 1) cắt trục Ox, Oy A(a; 0), B(0; b) nên a, b > Khi ta có a + 1 b = Thể tích khối nón tạo thành quay tam giác OAB quanh trục Oy V = 3πa 2b = 3πa 2b = 3π a3 a − Đặt f (a) = a 3 a − ta có f 0(a) = 2a 3− 3a2 (a − 1)2 ; f 0(a) = ⇔   a = (loại) a = 2 Bảng biến thiên a f0(a) f (a) 1 2 +∞ − + 27 27 4 Vậy giá trị lớn f (a) = a 3 a − 27 4 a = Khi thể tích lớn V = 9π (165)Cách 2: Dùng bất đẳng thức Ta có = 2a + 2a + 1 b > 3 … 4a2b ⇒ a 2b > 27 4 Suy V = 3πa 2 b > 9π 4 , dấu xảy    1 2a = 1 b a + b = ab ⇔    a = b = (166)ĐÁP ÁN 1 D C C B B B A C A 10 A 11 A 12 D 13 A 14 D 15 A 16 B 17 C 18 B 19 A 20 D 21 C 22 A 23 B 24 B 25 A 26 A 27 B 28 B 29 B 30 A 31 C 32 D 33 A 34 B 35 B 36 C 37 B 38 B 39 A 40 A 41 B 42 B 43 C 44 A 45 D 46 A 47 A 48 B 49 C 50 C 51 B 52 D 53 C 54 C 55 A 56 B 57 A 58 D 59 A 60 B 61 B 62 C 63 D 64 B 65 B 66 B 67 D 68 C 69 A 70 A 71 D 72 A 73 C 74 B 75 B 76 D 77 B 78 D 79 D 80 C 81 A 82 C 83 B 84 D 85 B 86 B 87 B 88 C 89 C 90 B (167)5 Bài toán thực tế Câu Cho miếng tơn hình trịn có bán kính 70 cm Biết hình nón tích lớn diện tích tồn phần hình nón diện tích miếng tơn Khi hình nón có bán kính đáy A 40 cm B 10√2 cm C 70√2 cm D 35 cm Lời giải Phương pháp: Diện tích xung quanh hình nón: Sxq = πrl Diện tích tồn phần hình nón: Stp = πrl + πr2 Cách giải: B H S A h r l Miếng tơn hình trịn có diện tích: π.702 = 4900π cm2 Gọi bán kính đáy chiều cao hình nón r, h(r, h > 0) Khi ta có l = SA =√r2+ h2. Suy diện tích tồn phần hình nón là: Stp = πr2+ rπ √ r2+ h2. Theo đề ta có phương trình: πr2+ πr√r2+ h2 = 4900π ⇔ r√r2+ h2 = 4900 − r2 ⇔ r2 r2+ h2 = 49002− 2.4900r2+ r4 ⇔ r2 = 49002 h2+ 9800 Thể tích khối nón V = 3πr 2h = 3π · 49002 h2+ 9800h = 49002π 3 · h h2+ 9800 Suy V đạt max ⇔ f (h) = h 2+ 9800 h đạt Ta có: f0(h) = 2h 2− h2− 9800 h2 = h2− 9800 h2 ⇒ f0(h) = ⇔ h2 = 9800 ⇔ h = 70√2 cm. ⇒ r2 = 4900 h2+ 9800 = 49002 9800.2 = 1225 cm ⇒ r =√1225 = 35 cm Chọn đáp án D  Câu Một người thợ có khối đá hình trụ Kẻ hai đường kính M N, P Q hai đáy cho M N ⊥ P Q Người thợ cắt khối đá theo mặt cắt qua điểm M, N, P, Q để thu khối đá có hình tứ diện M N P Q Biết M N = 60 cm thể tích khối tứ diện M N P Q 36 dm2 Tìm thể tích lượng đá bị cắt bỏ (làm trịn kết đến chữ số thập phân) (168)Lời giải Phương pháp: Thể tích khối trụ: V = πR2h. Thể tích khối lăng trụ: V = Sh Cách giải: Dựng hình lăng trụ M P0N Q0.M0P N0Q (như hình vẽ) Khi đó, ta có VM N P Q = VM P0N Q0.M0P N0Q− (VP.M N P0 + VQ.M N Q0 + VM.M0P Q+ VN.N0P Q) = VM P0N Q0.N0P N0Q− 4.VP.M N P0 = VM P0N Q0.M0P N0Q− 1 2.VP.M Q0N P0 = VM P0N Q0.M0P N0Q− 2VP.M Q0N P0 = VM P0N Q0.M0P N0Q− 1 3.VM P0N Q0.P N0Q = 3VM P0N Q0.P N0Q0 Suy 3VM P0N Q0.P N0Q= 36 dm 3 ⇔ V M P0N Q0.P N0Q= 108 dm3 Do M N ⊥ P Q, P Q k P0Q0 nên M N ⊥ P0Q0 ⇒ M P0N Q0 là hình vng. Ta có M N = 60cm ⇒            M Q = √60 = 30 √ 2 cm = 3√2 dm OM = 60 2 = 30 cm = dm Suy SM P0N Q0 = (3 √ 2)2 = 18 dm2. VM P0N Q0.P N0Q = SM P0N Q0.h ⇒ 18h = 108 ⇔ h = dm Thể tích lượng bị cắt bỏ là: 54π − 36 ≈ 133, dm3 B B0 O N 0 Q P M0 O0 A0 N Q0 P0 M A Chọn đáp án A  Câu Người ta thả viên bi có dạng hình cầu có bán kính 2,7 cm vào cốc hình trụ chứa nước (tham khảo hình vẽ) Biết bán kính phần đáy cốc 5,4 cm chiều cao mực nước ban đầu cốc 4,5 cm Khi chiều cao mực nước cốc A 5,4 cm B 5,7 cm C 5,6 cm D 5,5 cm (169)Gọi R = 2,7 cm bán kính viên bi Ta có bán kính phần đáy cốc 2R Thể tích nước ban đầu V1 = π · (2R)2· 4,5 = 18πR2 Thể tích viên bi V2 = 4 3πR 3. Thể tích nước sau thả viên bi V = V1+ V2 = 2πR2 Å + 3R ã Gọi h chiều cao mực nước sau thả viên bi vào Mà V = π(2R)2· h ⇒ h = V π(2R)2 = 9 + 3R 2 = 5,4 (cm) 2R h R Chọn đáp án A  Câu Khi sản xuất vỏ lon sữa bị hình trụ, nhà thiết kế đặt mục tiêu cho chi phí nguyên liệu làm vỏ hộp (diện tích tồn phần lon nhỏ nhất) Bán kính đáy vỏ lon muốn thể tích lon 314 cm3. A r = … 3143 4π cm B r = 942 3 √ 2π cm C r = … 3143 2π cm D r = 3 … 314 π cm Lời giải Gọi bán kính đáy vỏ lon x (cm), với x > Theo đề bài, thể tích lon 314 cm3 nên chiều cao lon h = 314 πx2 Diện tích tồn phần lon Stoàn phần = 2Sđáy+ Sxung quanh = 2πx2+ 2πxh = 2π Å x2+314 πx ã Áp dụng bất đẳng thức AM-GM: x2+ 314 2πx + 314 2πx ≥ 3   Å 314 2π ã2 ⇒ Stoàn phần ≥ 2π · 33   Å 314 2π ã2 O0 O A A0 B B0 Dấu xảy x2 = 314 2πx ⇔ x = 3 … 314 2π Chọn đáp án C  Câu Một phễu có dạng hình nón, chiều cao phễu 20 cm Người ta đổ lượng nước vào phễu cho chiều cao cột nước phễu 10 cm Nếu bịt kín miệng phễu lật ngược phễu lên chiều cao cột nước phễu gần với giá trị sau (170)Gọi r1, h1, V1 bán kính đáy, chiều cao thể tích khối nón giới hạn phần chứa nước lúc ban đầu; r, h, V bán kính đáy, chiều cao thể tích khối nón giới hạn phễu; h2 chiều cao mực nước sau lộn ngược phễu Theo tính chất tam giác đồng dạng ta có r1 r = h1 h = ⇒ V1 V = Å h1 h ã3 = Sau lộn ngược phễu, tỉ số thể tích phần khơng gian phễu khơng chứa nước thể tích phễu 20 cm 10 cm 1 − = (h − h2)3 h3 ⇔ 7 = (20 − h2)3 203 ⇔ 20 − h2 = 10 √ 7 ⇔ h2 = 20 − 10 √ 7 ≈ 0,87 Chọn đáp án D  Câu Một khúc gỗ có dạng khối nón có bán kính đáy r = 30 cm, chiều cao h = 120 cm Anh thợ mộc chế tác khúc gỗ thành khúc gỗ có dạng khối trụ hình vẽ Tính thể tích lớn V khúc gỗ dạng khối trụ chế tác A V = 0, 16π m3 B V = 0, 0246π m3 C V = 0, 36π m3. D V = 0, 016π m3. Lời giải Ta có AH = 120 cm, BH = 30 cm Đặt N H = x (0 < x < 30), M N = y, BN = 30 − x Vì M N k AH nên BN BH = M N AH ⇔ 30 − x 30 = y 120 ⇔ y = 4(30 − x) Gọi V thể tích khối trụ Khi V = π · N H2· M N = πx2y = 4πx2(30 − x) = 4π(30x2− x3). Xét hàm số f (x) = 30x2− x3 với < x < 30. f0(x) = 60x − 3x2, f0(x) = ⇔ x = ∨ x = 20. C A M B N H Bảng biến thiên f (x) x f0(x) f (x) 0 20 30 + − 4000 4000 Từ bảng biến thiên suy V lớn f (x) đạt giá trị lớn (0; 30) Vậy Vmax= 4π · 4000 = 16000π cm3 = 0, 016π m3 (171)Câu Một bồn nước inox thiết kế có dạng hình trụ (có nắp) đựng 10 m3 nước Tìm bán kính r đáy bồn nước, biết lượng inox sử dụng để làm bồn nước (bỏ qua độ dày bồn) A r = … 53 2π m B r = 3 … π m C r = 3 … 10 π m D r = 3 √ 5π m Lời giải Gọi h chiều cao bồn nước Thể tích bồn nước hình trụ V = πr2h = 10 ⇔ h = 10 πr2 Diện tích tồn phần bồn nước Stp = 2πr2+ 2πrh = 2πr2+ 2πr · 10 πr2 = 2πr 2+ 20 r Xét f (r) = 2πr2 +20 r với r > ⇒ f0(r) = 4πr − 20 r2 = 4πr3− 20 r2 Ta có: f0(r) = ⇔ πr3 = ⇔ r = … 53 π r f0(r) f (r) 0 r = … 53 π +∞ − + +∞ +∞ f Ç 3 … π å f Ç 3 … π å +∞ +∞ Vậy lượng inox làm bồn nước f (r) nhỏ ⇔ r = … 53 π Chọn đáp án B  Câu Một trục lăn sơn nước có dạng hình trụ Đường kính đường tròn đáy cm, chiều dài lăn 25 cm Sau lăn trọn 10 vịng khơng đè lên trục lăn phủ lên tường phẳng diện tích A 1500π cm2 B 150π cm2 C 3000π cm2 D 300π cm2 25cm 6 cm Lời giải Diện tích xung quanh mặt trụ trục lăn sơn S = 150π Do diện tích cần tính 1500π Chọn đáp án A  Câu Người ta làm thùng phi dạng hình trụ, kín hai đáy, với thể tích theo yêu cầu 2π m3 Hỏi bán kính đáy R chiều cao h thùng phi để làm tiết kiệm vật liệu nhất? A R = m, h = 2 m B R = m, h = 5 m C R = (172)Từ giả thiết ta có: V = πR2h = 2π ⇒ h = R2 Diện tích tồn phần thùng phi là: Stp = 2πRh + 2πR2 = 2π Å R2+ R ã Xét hàm số f (R) = R2+ R với R ∈ (0; +∞) Ta có: f0(R) = 2R − R2 = 2 (R3− 1) R2 ; f 0(R) = ⇔ R = 1. R h Bảng biến thiên R f0(R) f (R) 0 +∞ − + +∞ +∞ 3 +∞ +∞ Suy diện tích tồn phần đạt giá trị nhỏ R = ⇒ h = Vậy để tiết kiệm vật liệu làm thùng phi R = m, h = m Chọn đáp án D  Câu 10 Bạn A có bìa hình trịn (như hình vẽ), bạn muốn dùng bìa tạo thành phễu hình nón, bạn phải cắt bỏ phần quạt trịn AOB dán hai bán kính OA OB lại với Gọi x góc tâm hình quạt trịn dùng làm phễu Tìm giá trị x để thể tích phễu lớn O B A R x A ≡ B O r R h A π 2 B π 3 C 2√6π 3 D Ä 6 − 2√6äπ 3 Lời giải Độ dài cung tròn AB dùng làm phễu Rx = 2πr ⇔ r = Rx 2π; h =√R2− r2 = R 2π √ 4π2− x2. Thể tích phễu V = f (x) = R 3 24π2x 2√4π2− x2 với x ∈ (0; 2π). Ta có f0(x) = R 3 24π2 · x (8π2− 3x2) √ 4π2− x2 f0(x) = ⇔ 8π2− 3x2 = ⇔ x = (173)x y0 y 0 √ 3 π 2π + − f Ç 2√6 π å f Ç 2√6 3 π å Giá trị x = √ 6 3 π thể tích phễu lớn Chọn đáp án C  Câu 11 Tính diện tích vải cần để may mũ (có vành) có hình dạng kích thước cho hình vẽ bên, giả sử đường may không đáng kể A S = 400π B S = 175π C S = 350π D S = 375π 30 10 30 Lời giải Phần vải cần để may có diện tích S = Sxq nón + Svành khăn Hình nón có bán kính đáy r = 15 − 10 = 5, suy Sxq nón = πr` = 150π Svành khăn= π · 152− π · 52 = 200π. Vậy diện tích vải cần dùng S = 350π Chọn đáp án C  Câu 12 Bạn A muốn làm thùng hình trụ khơng đáy từ ngun liệu mảnh tơn hình tam giác ABC có cạnh 90 (cm) Bạn muốn cắt mảnh tơn hình chữ nhật M N P Q từ mảnh tôn nguyên liệu (với M, N thuộc cạnh BC; P Q tương ứng thuộc cạnh AC AB) để tạo thành hình trụ có chiều cao M Q Thể tích lớn thùng mà bạn A làm C M N A P Q B A 91125 4π (cm 3). B. 91125 2π (cm 3). C. 13500 √ π (cm 3). D. 108000 √ π (cm (174)Gọi I trung điểm BC Suy I trung điểm M N Đặt M N = x, (0 < x < 90) Ta có M Q AI = BM BI ⇔ M Q = √ 3 2 (90 − x); gọi R bán kính hình trụ ⇒ R = x 2π Thể tích khối trụ V = π  x 2π 2 √ 3 2 (90 − x) = √ 3 8π (−x 3 + 90x2). Xét f (x) = √ 3 8π (−x 3+ 90x2) với (0 < x < 90). f0(x) = √ 3 8π(−3x 2+ 180x), f0(x) = ⇔ñx = x = 60 Khi max x∈(0;90)f (x) = f (60) = 13500√3 π C M I N A P Q B Chọn đáp án C  Câu 13 Một phễu có dạng hình nón, chiều cao phễu 20 cm Người ta đổ lượng nước vào phễu cho chiều cao cột nước phễu 10 cm (hình trái) Nếu bịt kín miệng phễu lật ngược phễu lên (hình phải) chiều cao cột nước phễu gần với giá trị sau đây? A 0,87 cm B 10 cm C 1,07 cm D 1,35 cm Lời giải Ta có hình nón có đỉnh trục trùng V V0 = Å R R0 ã3 =Å h h0 ã3 Đặt x cm chiều cao cột nước hình bên phải Áp dụng vào hình bên trái ta có Vnước Vphễu = Ç hnước hphễu å3 =Å 10 20 ã3 = 8 Áp dụng vào hình bên phải ta có Vnước Vphễu = − Å 20 − x 20 ã3 Vậy −Å 20 − x 20 ã3 = 8 ⇒ x = 20 − 10 3 √ 7 ≈ 0,87 cm Chọn đáp án A  (175)Một bình đựng đầy nước có dạng hình nón (khơng có đáy) Người ta thả vào khối cầu có đường kính chiều cao bình nước đo thể tích nước tràn ngồi 18π (dm3) Biết khối cầu tiếp xúc với tất đường sinh hình nón nửa khối cầu chìm nước (hình đây) Tính thể tích nước cịn lại bình A 12π (dm3) B 4π (dm3) C 6π (dm3). D 24π (dm3). Lời giải Gọi chiều cao khối nón, bán kính đáy khối nón bán kính khối cầu h, Rnón, Rcầu Thể tích nước tràn thể tích nửa khối cầu hay suy thể tích khối cầu 36π (dm3). Ta có V = 3πR 3 cầu = 36π ⇒ Rcầu = ⇒ h = (dm) Ta có: R2 cầu = h2 + 1 R2 nón ⇒ Rnón = 2√3 (dm) Suy Vnón = 24π ⇒ Vcịn lại = Vnón−Vcầu 2 = 6π (dm 3). h Rnón Rcầu Chọn đáp án C  Câu 15 Một nhà máy muốn làm bồn nước hình trụ trịn xoay có tất vỏ làm inox Bồn cao 10 mét, đường kính đáy mét Tính gần diện tích inox cần mua để làm vỏ bồn (coi phần inox thừa làm không đáng kể) A 245,1 m2. B 603,2 m2. C 414,7 m2. D 490,1 m2. Lời giải Diện tích cần mua để làm bồn diện tích tồn phần hình trụ Stp = Sxq+ 2Sđáy= 2π · R · h + 2πR2 = 2π · · 10 + 2π · 32 ≈ 245,1 m2 O0 O A A0 B B0 Chọn đáp án A  (176)Lời giải Diện tích xung quanh cột trước đại sảnh S1 = 2(2πr1h) = · 2π · 1 5· 4,2 = 84π 25 (m 2). Diện tích xung quanh cột lại S2 = 6(2πr2h) = · 2π · 13 100 · 4,2 = 819π 125 (m 2). Diện tích xung quanh cột S = S1 + S2 = 1239π 125 (m 2). Số tiền để sơn hết cột S · 380000 = 1239π 125 · 380000 = 11832997,23 ≈ 11.833.000 Chọn đáp án A  Câu 17 Một phễu có dạng hình nón Người ta đổ lượng nước vào phễu cho chiều cao lượng nước phễu 3 chiều cao phễu Hỏi bịt kín miệng phễu lộn ngược phễu lên chiều cao nước xấp xỉ bao nhiêu? Biết chiều cao phễu 15 cm A 0, cm B 0, cm C 0, 188 cm D 0, 216 cm Lời giải Giả sử phễu nước hình nón (N1) đỉnh S, đáy đường tròn (O) đường kính AB = 2R Khi đổ nước vào phễu khối nước phễu khối nón (N2) đỉnh S, đáy là hình trịn (I) đường kính CD Phần cịn lại khối nón cụt (N C1) đáy lớn đường tròn (O), đáy nhỏ đường tròn (I) Khi lộn ngược phễu khối nước phễu khối nón cụt (N C2) đáy lớn là hình trịn (O), đáy nhỏ hình trịn (H) đường kính EF Phần cịn lại khối nón (N3) đỉnh S đáy đường tròn (H) S A C E B D F H I O Vì VN2 = VN C2 nên VN3 = VN C1 = VN1 − VN2 = 5πR 2 −5πR 2 27 = 130πR2 27 ⇒ VN3 VN1 = 26 27 ⇒ SH SO = 3 … 26 27 ⇒ HO = Ç 1 −… 263 27 å · 15 ≈ 0, 1875 Chọn đáp án C  Câu 18 Khi thiết kế vỏ lon sữa hình trụ nhà thiết kế ln đặt mục tiêu cho chi phí làm vỏ lon nhỏ Muốn thể tích khối trụ V mà diện tích tồn phần hình trụ nhỏ bán kính R đường trịn đáy khối trụ bằng? A … V π B … V 2π C 3 … V π D 3 … V 2π Lời giải Thể tích lon sữa V = πR2h ⇔ h = V πR2 Diện tích toàn phần lon sữa S = 2πRh + 2πR2 = 2V R + 2πR 2. Ta có S0 = −2V R + 4πR, S 0 = ⇔ R = … V3 2π Lập bảng biến thiên ta thấy diện tích tồn phần nhỏ R =… V3 2π Chọn đáp án D  (177)Một khúc gỗ có dạng hình khối nón có bán kính đáy r = 2m, chiều cao h = 6m Bác thợ mộc chế tác từ khúc gỗ thành khúc gỗ có dạng hình khối trụ hình vẽ Gọi V thể tích lớn khúc gỗ hình trụ sau chế tác Tính V A V = 32π m 3. B V = 32 9 m 3. C V = 32π 3 m 3. D V = 32π 9 m 3. Lời giải Giả sử cắt nón mặt phẳng qua trục nón ta thiết diện tam giác hình vẽ A O B S A0 O B0 0 F G Đặt SO0 = x, (0 < x < 6) ⇒ OO0 = − x Do A0B0 k AB ⇒ A 0O0 AO = SO0 SO ⇒ A 0O0 = SO 0· AO SO = x · = x Vtrụ = π · A0O02· OO0 = π(6 − x) x 2 = π 18(12 − 2x) · x · x π 18 Å (12 − 2x) + x + x ã3 = 32π Đẳng thức xảy x = 4m Chọn đáp án D  Câu 20 Mặt tiền ngơi biệt thự có cột hình trụ, tất có chiều cao 4,2 m Trong số có cột trước đại sảnh đường kính 40 cm, cột lại phân bố hai bên đại sảnh chúng có đường kính 26 cm Chủ nhà thuê công nhân để sơn cột loại sơn giả đá, biết giá thuê 380.000 đồng/m2 (kể vật liệu sơn phần thi công) Hỏi người chủ phải trả chi phí tiền để sơn hết cột nhà (đơn vị đồng)? A ≈ 12.521.000 B ≈ 15.642.000 C ≈ 10.400.000 D ≈ 11.833.000 Lời giải Công thức tính diện tích xung quanh hình trụ: Sxq = 2πrh Ta có:  cột trước đại sảnh đường kính 40 cm nên có bán kính 20 cm = 0,2 m  hai bên đại sảnh có đường kính 26 cm nên có bán kính 13 cm = 0,13 m Tổng diện tích xung quanh cột hình trụ S = · (2π · 0,2 · 4,2) + · (2π · 0,13 · 4,2) = 9,912π (m2) Chi phí để sơn hết cột nhà (178)Câu 21 Ông An đặt hàng cho sở sản xuất chai lọ thủy tinh chất lượng cao X để làm loại chai nước có kích thước phần khơng gian bên chai hình bên, có bán kính đáy R = cm, bán kính cổ chai r = cm, AB = cm, BC = cm, CD = 16 cm Tính thể tích V phần khơng gian bên chai nước A V = 490π cm3. B V = 412π cm3. C V = 464π cm3. D V = 494π cm3. B C D A R r Lời giải Thể tích khối trụ có hai hình trịn đáy hai hình trịn tâm (C) (D) là: V1 = πR2· CD = π52· 16 = 400π (cm3) Thể tích khối trụ có hai hình trịn đáy hai hình trịn tâm (A) (B) là: V2 = πr2· AB = π · 22· = 12π (cm3) Thể tích khối nón cụt có hai hình trịn đáy hai hình tròn tâm (B) (C) V3 = h Ä B +√BB0+ B0ä = BC 3 Ä πR2+ √ πR2· πr2+ πr2ä = π · 2+ π · · + π · 22 = 78π (cm3). Thể tích V phần khơng gian bên chai nước là: V = V1 + V2 + V3 = 400π + 12π + 78π = 490π (cm3) Chọn đáp án A  Câu 22 Một cốc hình trụ có đường kính đáy cm, chiều cao 15 cm chứa đầy nước Nghiêng cốc cho nước chảy từ từ mép nước ngang với đường kính đáy Khi diện tích bề mặt nước cốc A 9√26π cm2. B. √ 26π 2 cm 2. C. √ 26π 5 cm 2. D. √ 26π 10 cm 2. (179)Cách 1: Ta có OH = 3, OB =√OH2+ HB2 = 3√26, cos ’HOB = OH OB = 1 √ 26 Hình chiếu vng góc mặt nước cốc lên mặt đáy cốc nửa hình trịn có đường kính cm Do đó: 1 2π · 2 = S · cos ’HOB ⇒ S = 1 2π · 2 1 √ 26 = 9π √ 26 Vậy diện tích bề mặt nước cốc 9π √ 26 2 cm 2. Cách 2: Ta có: diện tích S bề mặt nước cốc nửa diện tích elip có hai trục 2b = cm 2a = 2√152+ 32 = 6√26 cm. Suy S = 2πab = 1 2π · · √ 26 = 9π √ 26 2 cm 2. O H B Chọn đáp án B  Câu 23 Có bể hình trụ cao 10 dm với bán kính đáy dm chứa đầy nước bị thùng gỗ hình lập phương đóng kín rơi vào làm cho lượng nước V tràn Biết cạnh thùng gỗ dm rơi vào miệng bể, đường chéo dài vng góc với mặt bể, ba cạnh thùng chạm vào thành bể hình vẽ Tính V A 6√6 B 10√6 C 5√6 D 8√6 Lời giải Gọi khối chóp tích V cần tìm C.M N P hình vẽ Theo giả thiết đường chéo dài hình lập phương (giả sử đường chéo A0C) vng góc với mặt bể nên khối chóp C.M N P khối chóp O tâm tam giác M N P Giả sử M N = x > Vì 4M N P nội tiếp đường trịn tâm O bán kính R = nên x sin 60◦ = 2R ⇔ x = · · √ = √ A0 D0 A B C M N B0 C0 D P 8 M O0 N P C O Vì 4CM N vng cân C nên 2CM2 = M N2 ⇒ CM = √x 2 ⇒ CM = 4√3 √ = √ Xét tam giác OM C vuông O ⇒ OC =√CM2− OM2 =√24 − 16 = 2√2. Thể tích khối chóp C.M N P V = 3· S4M N P · CO = 1 3· Ä 4√3ä2·√3 4 · √ 2 = 8√6 (180)Câu 24 Một phễu có dạng hình nón, chiều cao phễu 20 cm Người ta đổ lượng nước vào phễu cho chiều cao cột nước phễu 10 cm Nếu bịt kín miệng phễu lật ngược phễu lên chiều cao cột nước phễu gần với giá trị sau A 1,07 cm B 10 cm C 9,35 cm D 0,87 cm Lời giải Gọi r1, h1, V1 bán kính đáy, chiều cao thể tích khối nón giới hạn phần chứa nước lúc ban đầu; r, h, V bán kính đáy, chiều cao thể tích khối nón giới hạn phễu; h2 chiều cao mực nước sau lộn ngược phễu Theo tính chất tam giác đồng dạng ta có r1 r = h1 h = ⇒ V1 V = Å h1 h ã3 = Sau lộn ngược phễu, tỉ số thể tích phần không gian phễu không chứa nước thể tích phễu 20 cm 10 cm 1 − = (h − h2)3 h3 ⇔ 7 = (20 − h2)3 203 ⇔ 20 − h2 = 10 √ 7 ⇔ h2 = 20 − 10 √ 7 ≈ 0,8706 Chọn đáp án D  Câu 25 Cho đồng hồ cát hình bên (gồm hai hình nón chung đỉnh ghép lại), đường sinh hình nón tạo với đáy góc 60◦ I A O I0 B Biết chiều cao đồng hồ 30 cm tổng tích đồng hồ 1000π cm3 Hỏi cho đầy lượng cát vào phần bên chảy hết xuống dưới, tỷ số thể tích lượng cát chiếm chỗ thể tích phần phía bao nhiêu? A 64 B 1 8 C 1 27 D 1 3√3 Lời giải Gọi r, h1, V1 bán kính đáy, chiều cao thể tích khối nón bên (lượng cát chiếm chỗ) và R, h2, V2 bán kính đáy, chiều cao thể tích khối nón bên Ta có h1 = r √ 3 h2 = R √ Theo giả thiết ® r√3 + R√3 = 30 V1+ V2 = 1000π ⇔®r + R = 10 √ 3 r3+ R3 = 1000√3 ⇔        r = 10 √ 3 R = 20 √ 3 (181)Vậy V1 V2 = 3r √ · πr2 1 3R √ 3 · πR2 = r R 3 = Chọn đáp án B  Câu 26 Cơng ty ơng Bình dự định đóng thùng phi hình trụ (có đáy nắp đậy phía trên) thép khơng rỉ để đựng nước Chi phí trung bình cho m2 thép khơng rỉ 350000 đ Với chi phí khơng q 6594000 đ, hỏi cơng ty ơng Bình có thùng phi đựng tối đa nước? (Lấy π = 3,14) A 12,56 B 6,28 C 3,14 D 9,52 Lời giải Gọi R, h bán kính đáy chiều cao hình trụ Ta có Stp = 2πR2+ 2πRh = 2π(R2+ Rh) Với chi phí khơng q 6594000 đ, cơng ty có tối đa 6594000 350000 = 18,84 m 2 thép không rỉ. Tức 2π(R2+ Rh) ≤ 18,84 suy R2+ Rh ≤ 9,42 π Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có R2+Rh 2 + Rh 2 ≥ 3 … R4h2 4 Mà R2+ Rh 2 + Rh 2 = R 2+ Rh ≤ 9,42 π nên 3 … R4h2 4 ≤ 9,42 π Suy R2h ≤ 2   Å 3, 14 π ã3 Mặt khác Vkhối trụ = πR2h nên Vkhối trụ≤ π ·   Å 3, 14 π ã3 ≈ 6,28 m3. Vậy cơng ty ơng Bình đựng tối đa 6,28 nước Chọn đáp án B  Câu 27 Một người thợ có khối đá hình trụ Kẻ hai đường kính M N, P Q hai đáy cho M N ⊥ P Q Người thợ cắt khối đá theo mặt cắt qua điểm M, N, P, Q để thu khối đá có hình tứ diện M N P Q (tham khảo hình vẽ bên) Biết M N = 60 cm thể tích khối tứ diện 30 dm3 Hãy tính thể tích lượng đá bị cắt bỏ (là trịn kết đến chữ số thập phân) A 101, dm3 B 141, dm3 C 121, dm3 D 111, dm3 O0 M N P Q (182)Dựng hình hộp IP J Q.M EN F ⇒ IP J Q.M EN F hình hộp chữ nhật có đáy hình vng (do M N = P Q M N ⊥ P Q) Chia khối hộp thành khối tứ diện N J P Q, M IP Q, P EM N , QF M N , M N P Q 4 khối tứ diện N J P Q, M IP Q, P EM N , QF M N tích thể tích khối hộp Do 30 dm3 = V M N P Q= 1 3VIP J Q.M EN F ⇒ VIP J Q.M EN F = 90 dm 3. M N = 60 cm ⇒ M E = 30√2 cm ⇒ SM EN F = 1800 cm2 = 18 dm2 ⇒ EP = 90 18 = dm r = 2M N = dm, h = EP = dm ⇒ thể tích khối trụ là: V = πr2h = 45π dm3. Vậy thể tích lượng đá bị cắt bỏ là: 45π − 30 ≈ 111,4 dm3 O0 O Q F J N I M P E Chọn đáp án D  Câu 28 Từ tơn hình chữ nhật có kích thước m × 40 m, người ta làm thành hai thùng nước hình trụ có chiều cao m, cách cắt tơn thành hai tơn nhau, gị thành mặt xung quanh thùng (tham khảo hình bên dưới) Tổng thể tích hai thùng hình trụ A 1000π m3 B 2000π m3 C 2000 π m 3. D. 1000 π m 3. Lời giải Gọi R bán kính khối trụ, h chiều cao khối trụ ta có h = m Ta có tổng diện tích xung quanh hai khối trụ Sxq= · πR2 Do chiều dài tôn ban đầu l = 40 m Suy ta có · 2πR = 40 ⇔ R = 10 π Tổng thể tích hai thùng hình trụ V = · πR2· h = · π · 10 2 π2 · = 1000 π m 3. Chọn đáp án D  Câu 29 Người ta cần đổ ống cống nước hình trụ với chiều cao m, độ dày thành ống 10 cm Đường kính ống 50 cm Tính lượng bê tơng cần dùng để làm ống nước A 0,18π m3. B 0,045π m3. C 0,5π m3. D 0,08π m3. (183)Gọi V1 thể tích hình trụ có chiều cao h = m, bán kính đáy R1 = O0A0 = 25 cm = 0,25 m Gọi V2 thể tích hình trụ có chiều cao h = m, bán kính đáy R2 = OB = 25 − 10 = 15 cm = 0,15 m Thể tích bê tơng cần dùng V = V1− V2 = πR21h − πR22h = 2π(0,252− 0,152) = 0,08π m3 O O0 B A0 Chọn đáp án D  Câu 30 Người ta đổ cống cát, đá, xi măng sắt thép hình vẽ bên Thể tích nguyên vật liệu cần dùng A 0,32π B 0,16π C 0,34π D 0,4π 2 m R1= 0,5 m R2= 0,3 m Lời giải Ta có V = V1− V2 = π · l · (R21 − R22) = π · · (0,52− 0,32) = 0,32π Chọn đáp án A  Câu 31 Một phễu có dạng hình nón Người ta đổ lượng nước vào phễu cho chiều cao lượng nước phễu 3 chiều cao phễu Hỏi bịt kín miệng phễu lộn ngược phễu lên chiều cao mực nước xấp xỉ bao nhiêu? Biết chiều cao phễu 15cm h r h r A 0, 501(cm) B 0, 302(cm) C 0, 216(cm) D 0, 188(cm) Lời giải Gọi h1 chiều cao nước ta có h1 = 1 3h Từ hình vẽ ta có h1 h = r1 r ⇒ r1 = 3r; h2 h = r2 r ⇔ h2 r2 = h r ⇔ r hh2 = r2 Ta tích nước trước sau lộn ngược nhau: (184)⇔ h2 = hπr2− h1πr12 πr2 = hr 2− h 1· r21 r2 = hr r2 − h1r 2 r2 = h h2 − h1· 1 9r h2 = h h2 − h1· 1 h2h 2 ⇔ h2 = 153 h2 − · 15 2 h2 ⇔ h3 2 = 15 3− · 9· 15 2 ⇔ h3 2 = 3250 ⇔ h2 = √ 3250 Vậy bịt kín miệng phễu lộn ngược phễu lên chiều cao mực nước xấp xỉ 0, 188 (cm) Chọn đáp án D  Câu 32 Một cuộn decal có dạng hình trụ có đường kính 44,9 cm Trong thời gian diễn AFF Cup 2018, người ta sử dụng để in băng rôn, hiệu cổ vũ cho đội tuyển Việt Nam, đường kính cuộn decal cịn lại 12,5 cm Biết độ dày decal 0,06 cm, tính chiều dài L decal sử dụng? (làm tròn đến hàng đơn vị) A L = 24344 cm B L = 97377 cm C L = 848 cm D L = 7749 cm Lời giải Gọi h, V chiều cao thể tích cuộn decal Ta có: V = π(R2 1− R22) · h = 464,94πh, với R1 = 44,9 2 = 24,45 cm; R2 = 12,5 2 = 6,25 cm Lại có: V = d · h · 0,06 Do d · h · 0,06 = 464,94πh ⇔ d = 7749π ≈ 24344 cm Chọn đáp án A  Câu 33 Cần sản xuất vỏ hộp sữa hình trụ tích V cho trước Để tiết kiệm vật liệu bán kính đáy phải A … V3 2π B 3 … V 2 C 3 … V π D 3 … V 3π Lời giải Giả sử vỏ hộp sữa có bán kính đáy R, chiều cao h (R, h > 0) Vì thể tích vỏ hộp V nên ta có V = πR2h ⇒ h = V πR2 Để tiết kiệm vật liệu hình trụ vỏ hộp sữa phải có diện tích tồn phần Stp nhỏ Ta có Stp= 2πRh + 2πR2 = 2V R + 2πR 2 = V R + V R + 2πR 2 ≥ 3√3 2πV2. Stp đạt giá trị nhỏ V R = 2πR 2 ⇔ R = … V3 2π Chọn đáp án A  (185)Một trục lăn sơn nước có dạng hình trụ Đường kính đường tròn đáy cm, chiều dài trục lăn 23 cm (tham khảo hình vẽ bên) Sau lăn trọn 10 vịng trục lăn tạo lên tường phẳng lớp sơn có diện tích A 862, 5π cm2 B 5230π cm2 C 2300π cm2 D 1150π cm2 cm 23cm Lời giải Trục lăn có dạng hình trụ đường kính đáy cm, chiều dài trục lăn 23 cm nên diện tích xung quanh trục lăn Sxq = 2πrl = · 23π = 115π Mỗi vòng lăn, trục lăn tạo tường phẳng lớp sơn có diện tích diện tích xung quanh Do sau lăn trọn 10 vịng trục lăn tạo lên tường phẳng lớp sơn có diện tích S = 10Sxq = 1150πcm2 Chọn đáp án D  Câu 35 Một bìa hình chữ nhật ABCD có AB = cm AD = cm Cuộn bìa cho hai cạnh AD BC chồng khít lên thu mặt xung quanh hình trụ Tính thể tích V khối trụ thu A V = 320 π (cm 3). B V = 50 π (cm 3). C V = 200 π (cm 3). D V = 80 π (cm 3). Lời giải Cuộn bìa cho hai cạnh AD BC chồng khít lên thu mặt xung quanh hình trụ Khi AB = 2πR ⇔ R = AB 2π = 4 π Và h = AD = (cm) Vậy thể tích khối trụ thu Vtrụ = π · R2· h = π · 16 π2 · = 80 π (cm 3). O0 O A D Chọn đáp án D  Câu 36 Một khúc gỗ hình trụ có bán kính R bị cắt mặt phẳng không song song với đáy ta thiết diện hình elip Khoảng cách từ điểm A đến mặt đáy 12 cm khoảng cách từ điểm B đến mặt đáy 20 cm Đặt khúc gỗ vào hình hộp chữ nhật có chiều cao 20 cm chứa đầy nước cho đường tròn đáy khúc gỗ tiếp xúc với cạnh đáy hình hộp chữ nhật Sau đó, người ta đo lượng nước cịn lại hình hộp chữ nhật lít Tính bán kính khúc gỗ A B 12 cm 20 cm A R = 5,2 cm B R = 4,8 cm C R = 6,4 cm D R = 8,2 cm Lời giải Giả sử R có đơn vị m (186)Thể tích khối hộp 4R2· 0,2 = 0, 8R2 m3. Thể tích khúc gỗ πR2Å 0,12 + 0,2 ã = 0,16πR2 m3 Ta có 0,8R2− 0, 16πR2 = 0,002 ⇒ R ≈ 0,08201 m ⇒ R ≈ 8,2 cm. Chọn đáp án D  Câu 37 Để làm cống thoát nước cho đường người ta cần đúc 200 ống hình trụ bê tơng có đường kính lịng ống m chiều cao ống m, độ dày thành ống cm Biết m3 bê tơng cần 10 bao xi-măng Hỏi cần bao xi-măng để đúc 200 ống (kết làm tròn đến hàng đơn vị)? A 1086 bao B 1025 bao C 2091 bao D 523 bao Lời giải Bán kính lịng ống cống r = 0,5 m Độ dày thành ống cm = 0,08 m nên bán kính ngồi ống R = 0,58 m Chiều cao h = m nên thể tích thành ống V = πR2h − πr2h = π · 0,582− 0,52 = 0,1728π m3 Vậy số bao xi-măng cần dùng để đúc 200 ống cống 200 × 0,1728π × 10 ≈ 1086 bao Chọn đáp án A  Câu 38 Cắt mặt xung quanh hình trụ dọc theo đường sinh trải mặt phẳng ta hình vng có chu vi 8π Thể tích khối trụ cho A 2π2 B 2π3 C 4π D 4π2 Lời giải C = 8π l l R h Ta có chu vi hình vng 8π, suy cạnh hình vng 2π Do hình trụ có bán kính R = 1, đường sinh l = 2π (cũng đường cao) Khi thể tích hình trụ V = π · R2· h = 2π2. Chọn đáp án A  Câu 39 Một cơng ty sản xuất bút chì có dạng hình lăng trụ lục giác có chiều cao 18 cm đáy hình lục giác nội tiếp đường trịn đường kính cm Bút chì cấu tạo từ thành phần than chì bột gỗ ép, than chì khối trụ trung tâm có đường kính 4 cm, giá thành 540 đồng/cm 3. Bột gỗ ép xung quanh có giá thành 100 đồng/cm3 Tính giá bút chì cơng ty bán biết giá ngun vật liệu chiếm 15,58% giá thành sản phẩm (187)Diện tích hình lục giác cạnh 0,5 cm S = · (0,5)2· √ = 3√3 cm 2. Thể tích khối lăng trụ lục giác V1 = 18 · 3√3 = 27√3 cm 3. Thể tích khối trụ (than chì) V2 = π · Å ã2 · 18 = 9π 32 cm 3. Thể tích bột gỗ ép xung quanh V = V1− V2 = 216√3 − 9π 32 cm 3. Suy chi phí để sản xuất bút chì 216 √ 3 − 9π 32 · 100 + 9π 32 · 540 ≈ 1558 đồng Vậy giá bút chì cơng ty bán 1558 : 15,58% = 10000 đồng Chọn đáp án A  Câu 40 Một tạ tập tay gồm khối trụ (H1), (H2), (H3) gắn liền có bán kính chiều cao tương ứng r1, h1, r2, h2, r3, h3 thỏa mãn r3 = r1, h3 = h1, r2 = 1 3r1 (xem hình vẽ) Biết thể tích tồn tạ 60π chiều dài tạ Thể tích khối trụ (H2) r1 r2 h1 h2 h3 r3 A π · 16(9 − 2h1) 16h1+ B π · 36(9 − 2h1) 16h1+ C π ·60(9 − 2h1) 16h1+ D π ·46(9 − 2h1) 16h1 + Lời giải Từ giả thiết ta có ®h2+ 2h1 = 2πr12h1+ πr22h2 = 60π ⇒    h2 = − 2h1 2r21h1+ 1 9r 2 1h2 = 60 ⇒ r12 Å 2h1+ − 2 9h1 ã = 60 ⇒ r2 16h1+ 9 = 60 ⇒ r2 2 = 60 16h1+ Vậy V(H2)= π 60 (9 − 2h1) 16h1+ (188)Câu 41 Người ta cần đổ ống cống nước hình trụ với chiều cao m, độ dày thành ống 10 cm Đường kính ống 50 cm Tính lượng bê tơng cần dùng để làm ống nước đó? A 0,08π m3. B 0,18π m3. C 0,5π m3. D 0,045π m3. Lời giải Bán kính ống cống R = 50 2 = 25 cm = 0,25 m Độ dày thành ống 10 cm nên bán kính lịng ống cống r = 15 cm = 0,15 m Thể tích phần bê tông V = πh R2− r2 = π · 0,252− 0,152 = 0,08π. Vậy lượng bê tông cần dùng 0,08π m3. 50 cm 10 cm 2 m O O0 Chọn đáp án A  Câu 42 Khi sản xuất hộp mì tơm nhà sản xuất ln để khoảng trống đáy hộp Hình vẽ mơ tả cấu trúc hộp mì tơm Thớ mì tơm có dạng hình trụ, hộp mì có dạng hình nón cụt cắt hình nón có chiều cao cm bán kính đáy cm Nhà sản xuất tìm cách cho thớ mì tơm có thể tích lớn mục đích thu hút khách hàng Tìm thể tích lớn A 48π B 81 2 π C 36π D 54π Lời giải Ta có mặt cắt qua trục hình nón hình vẽ Đặt r = IK bán kính đáy hình trụ, h = II0 chiều cao hình trụ Thớ mì tơm có thể tích lớn khối trụ tích lớn Thể tích khối trụ V = πr2h. Ta có hai tam giác SAI SA0I0 đồng dạng nên SI SI0 = AI A0I0 ⇔ 9 − h = 6 r ⇒ h = − 3r 2 S I K A0 A I0 Khi V = πr2h = πr2 Å 9 −3r ã = π Å −3r 3 2 + 9r 2 ã Khảo sát hàm số V , biến số r, (0 < r < 6) Ta có V0 = π Å −9r 2 2 + 18r ã và V0 = ⇔ π Å −9r 2 2 + 18r ã (189)r V0(r) V (r) 0 + − 0 48π 48π 0 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy max V = 48π r = Vậy thớ mì tơm tích lớn 48π Chọn đáp án A  Câu 43 Nam muốn xây bình chứa hình trụ tích 72 m3 Đáy làm bêtơng giá 100 nghìn đồng/m2, thành làm tơn giá 90 nghìn đồng/m2, nắp nhơm giá 140 nghìn đồng /m2 Vậy đáy hình trụ có bán kính để chi phí xây dựng thấp nhất? A 2√3π (m) B 3 3 √ π (m) C √ 3 √ π (m) D 2 3 √ π(m) Lời giải Gọi r, h bán kính đáy chiều cao hình trụ Thể tích khối trụ V = πr2h ⇒ 72 = πr2h ⇔ h = 72 πr2 Chi phí xây dựng S = 100 · πr2+ 90 · 2πrh + 140 · πr2 = 240πr2+12960 r = 240πr2+6480 r + 6480 r ≥ 33 … 240πr2· 6480 r · 6480 r ≥ 6480√3 π h r Dấu “=” xảy 240πr2 = 6480 r = 6480 r ⇔ r 3 = 27 π ⇔ r = 3 √ π Vậy để chi phí xây dựng thấp r = √33 π Chọn đáp án B  Câu 44 Một bút chì khối lăng trụ lục giác có cạnh đáy mm chiều cao 200 mm Thân bút chì làm gỗ phần lõi làm than chì Phần lõi có dạng khối trụ có chiều cao chiều dài bút chì đáy hình trịn bán kính mm Giả định m3 gỗ có giá trị a (triệu đồng), m3 than chì có giá trị 8a (triệu đồng) Khi giá nguyên vật liệu làm bút chì gần với kết sau đây? A 9,7a (đồng) B 97,03a (đồng) C 90,7a (đồng) D 9,07a (đồng) Lời giải Thể tích phần lõi làm than chì: Vr = πR2h = π · 10−6· 0, = 0, · 10−6π m3 Thể tích bút chì khối lăng trụ lục giác đều: V = B · h = √ 2 · (3 · 10 −3)2 · (0,2) = 27 √ 10 · 10 −6 m3. Thể tích phần thân bút chì làm gỗ: V = V − V = 27 √ 3 (190)Giá nguyên vật liệu làm bút chì: 0,2 · 10−6π · 8a + Ç 27√3 10 · 10 −6− 0,2 · 10−6π å a ≈ 9,07 · 10−6a (triệu đồng) Chọn đáp án D  Câu 45 Một bút chì có dạng khối lăng trụ lục giác có cạnh đáy 3mm chiều cao 200mm Thân bút chì làm gỗ phần lõi làm than chì Phần lõi có dạng khối trụ có chiều cao chiều dài bút đáy hình trịn có bán kính 1mm Giả định 1m3 gỗ có giá a (triệu đồng), 1m3 than chì có giá 6a (triệu đồng) Khi giá ngun liệu làm bút chì như trên gần với kết đây? A 84,5a (đồng) B 78,2a (đồng) C 8,45a (đồng) D 7,82a (đồng) Lời giải Thể tích phần phần lõi làm than chì Vr = π · (10−3)2 · 0,2 = 0,2 · 10−6π m3 Thể tích bút chì khối lăng trụ lục giác V = B · h = √ 3 (3 · 10 −3 )2· 0,2 = 27 √ 3 10 · 10 −6 m3 Thể tích phần thân bút chì làm gỗ Vt = V − Vr = 27√3 10 · 10 −6− 0,2 · 10−6 π m3 Giá nguyên vật liệu làm bút chì 0,2 · 10−6π · 6a + Ç 27√3 10 · 10 −6− 0,2 · 10−6 π å a ≈ 7,82 · 10−6a (triệu đồng) Chọn đáp án D  Câu 46 Một phễu có dạng hình nón Người ta đổ lượng nước vào phễu cho chiều cao lượng nước phễu 3 chiều cao phễu Hỏi bịt kín miệng phễu lộn ngược phễu lên chiều cao mực nước xấp xỉ bao nhiêu? Biết chiều cao phễu 15 cm A 0,5 cm B 0,3 cm C 0,188 cm D 0,216 cm Lời giải Gọi r1, h1, V1 bán kính đáy, chiều cao thể tích khối nón giới hạn phần chứa nước lúc ban đầu; r, h, V bán kính đáy, chiều cao thể tích khối nón giới hạn phễu; h2 chiều cao mực nước sau lộn ngược phễu Theo tính chất tam giác đồng dạng ta có r1 r = h1 h = ⇒ V1 V = Å h1 h ã3 = 27 Sau lộn ngược phễu, tỉ số thể tích phần khơng gian phễu khơng chứa nước thể tích phễu 15 cm 5 cm 1 − 27 = (h − h2)3 h3 ⇔ 26 27 = (15 − h2)3 153 ⇔ h2 = 15 − √ 26 ≈ 0,188 (191)Câu 47 Một đề can hình chữ nhật cuộn lại theo chiều dài tạo thành khối trụ có đường kính 50 cm Người ta trải 250 vòng để cắt chữ in tranh, phần cịn lại khối trụ có đường kính 45 cm Chiều dài phần trải gần với số số sau? (chiều dài tính đơn vị mét) A 373 B 180 C 275 D 343 Lời giải Gọi l1, l2, , l250 chiều dài phần trải vòng thứ nhất, thứ hai, , thứ 250 khối trụ Vì trải 250 vịng, bán kính khối trụ giảm 2,5 cm nên bề dày đề can 2,5 250 = 0,01 cm Khi l1, l2, , l250 chu vi đường tròn có bán kính r1, r2, , r250, với r1, r2, , r250 lập thành cấp số cộng có cơng sai d = −0,01 số hạng đầu 25 Nên r1+ r2+ · · · + r250 = 25 · 250 + 250 · 249 2 · (−0,01) = 5938,75 Vậy chiều dài phần trải l1+ l2+ · · · + l250 = 2π · 5938,75 ≈ 37314 cm ≈ 373 m (192)ĐÁP ÁN 1 D A A C D D B A D 10 C 11 C 12 C 13 A 14 C 15 A 16 A 17 C 18 D 19 D 20 D 21 A 22 B 23 D 24 D 25 B 26 B 27 D 28 D 29 D 30 A 31 D 32 A 33 A 34 D 35 D 36 D 37 A 38 A 39 A 40 C Geogebrapro
- Xem thêm -

Xem thêm: Mặt nón - mặt trụ - ôn tập THPT Quốc gia 2020 Môn Toán - Sách Toán - Học toán, Mặt nón - mặt trụ - ôn tập THPT Quốc gia 2020 Môn Toán - Sách Toán - Học toán