THCS Ngô Quyền Bài tập bồi dưỡng MTBT MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ Bài 1: Cho dãy số a1 = 3; a n + 1 = 3 3 1 n n n a a a + + . a) Lập quy trình bấm phím tính a n + 1 b) Tính a n với n = 2, 3, 4, ., 10 Bài 2: Cho dãy số x 1 = 1 2 ; 3 1 1 3 n n x x + + = . a) Hãy lập quy trình bấm phím tính x n + 1 b) Tính x 30 ; x 31 ; x 32 Bài 3: Cho dãy số 1 4 1 n n n x x x + + = + (n ≥ 1) a) Lập quy trình bấm phím tính x n + 1 với x 1 = 1 và tính x 100 . b) Lập quy trình bấm phím tính x n + 1 với x 1 = -2 và tính x 100 . Bài 4: Cho dãy số 2 1 2 4 5 1 n n n x x x + + = + (n ≥ 1) a) Cho x 1 = 0,25. Viết quy trình ấn phím liên tục để tính các giá trị của x n + 1 b) Tính x 100 Bài 5: Cho dãy số ( ) ( ) 5 7 5 7 2 7 n n n U + − − = với n = 0; 1; 2; 3; . a) Tính 5 số hạng đầu tiên U 0 , U 1 , U 2 , U 3 , U 4 b) Chứng minh rằng U n + 2 = 10U n + 1 – 18U n . c) Lập quy trình bấm phím liên tục tính U n + 2 theo U n + 1 và U n . HD giải: a) Thay n = 0; 1; 2; 3; 4 vào công thức ta được U 0 = 0, U 1 = 1, U 2 = 10, U 3 = 82, U 4 = 640 b) Chứng minh: Giả sử U n + 2 = aU n + 1 + bU n + c. Thay n = 0; 1; 2 và công thức ta được hệ phương trình: 2 1 0 3 2 1 4 3 2 10 10 82 82 10 640 U aU bU c a c U aU bU c a b c a b c U aU bU c = + + + =     = + + ⇔ + + =     + + = = + +   Giải hệ này ta được a = 10, b = -18, c = 0 c) Quy trình bấm phím liên tục tính U n + 2 trên máy Casio 570MS , Casio 570ES Đưa U 1 vào A, tính U 2 rồi đưa U 2 vào B 1 SHIFT STO A x 10 – 18 x 0 SHIFT STO B, lặp lại dãy phím sau để tính liên tiếp U n + 2 với n = 2, 3, . x 10 – 18 ALPHA A SHFT STO A (được U 3 ) x 10 – 18 ALPHA B SHFT STO B (được U 4 ) Bài 6: Cho dãy số 3 5 3 5 2 2 2 n n n U     + − = + −  ÷  ÷  ÷  ÷     với n = 1; 2; 3; . a) Tính 5 số hạng đầu tiên U 1 , U 2 , U 3 , U 4 , U 5 b) Lập công thức truy hồi tính U n + 1 theo U n và U n – 1 . GV: Phan Văn Tịnh 1 THCS Ngô Quyền Bài tập bồi dưỡng MTBT c) Lập quy trình bấm phím liên tục tính U n + 1 trên máy Casio Bài 7: Cho dãy số với số hạng tổng quát được cho bởi công thức 32 )313()313( nn n U −−+ = với n = 1 , 2 , 3 , . . . k , . . . a) Tính 87654321 ,,,,,,, UUUUUUUU b) Lập công thức truy hồi tính 1 + n U theo n U và 1 − n U c) Lập quy trình ấn phím liên tục tính 1 + n U theo n U và 1 − n U Bài 8: Cho dãy số { } n U được tạo thành theo quy tắc sau: Mỗi số sau bằng tích của hai số trước cộng với 1, bắt đầu từ U 0 = U 1 = 1. a) Lập một quy trình tính u n . b) Tính các giá trị của U n với n = 1; 2; 3; .; 9 c) Có hay không số hạng của dãy chia hết cho 4? Nếu có cho ví dụ. Nếu không hãy chứng minh. Hướng dẫn giải: a) Dãy số có dạng: U 0 = U 1 = 1, U n + 2 = U n + 1 . U n + 1, (n =1; 2; .) Quy trình tính U n trên máy tính Casio 500MS trở lên: 1 SHIFT STO A x 1 + 1 SIHFT STO B. Lặp lại dãy phím x ALPHA A + 1 SHIFT STO A x ALPHA B + 1 SHIFT STO B b) Ta có các giá trị của U n với n = 1; 2; 3; .; 9 trong bảng sau: U 0 = 1 U 1 = 1 U 2 = 2 U 3 = 3 U 4 = 7 U 5 = 22 U 6 = 155 U 7 = 3411 U 8 = 528706 U 9 = 1803416167 Bài 9: Cho dãy số U 1 = 1, U 2 = 2, U n + 1 = 3U n + U n – 1 . (n ≥ 2) a) Hãy lập một quy trình tính U n + 1 bằng máy tính Casio b) Tính các giá trị của U n với n = 18, 19, 20 Bài 11: Cho dãy số U 1 = 1, U 2 = 1, U n + 1 = U n + U n – 1 . (n ≥ 2) c) Hãy lập một quy trình tính U n + 1 bằng máy tính Casio d) Tính các giá trị của U n với n = 12, 48, 49, 50 ĐS câu b) U 12 = 144, U 48 = 4807526976, U 49 = 7778742049 , U 49 = 12586269025 Bài 12: Cho dãy số sắp thứ tự với U 1 = 2, U 2 = 20 và từ U 3 trở đi được tính theo công thức U n + 1 = 2U n + U n + 1 (n ≥ 2). a) Tính giá trị của U 3 , U 4 , U 5 , U 6 , U 7 , U 8 b) Viết quy trình bấm phím liên tục tính U n c) Sử dụng quy trình trên tính giá trị của U n với n = 22; 23, 24, 25 Bài 1. Cho dãy số sắp thứ tự 1 2, 3 1 , , ., , , . n n u u u u u + biết: 1 2 3 1 2 3 1, 2, 3; 2 3 ( 4) n n n n u u u u u u u n − − − = = = = + + ≥ 1.1 Tính 4 5 6 7 , , , .u u u u 1.2 Viết qui trình bấm phím liên tục để tính giá trị của n u với 4n ≥ . GV: Phan Văn Tịnh 2 THCS Ngô Quyền Bài tập bồi dưỡng MTBT 1.3 Sử dụng qui trình trên, tính giá trị của 20 22 25 28 , , , .u u u u Bài 2. Cho dãy số sắp thứ tự 1 2, 3 1 , , ., , , . n n u u u u u + , biết 5 6 588 , 1084u u= = và 1 1 3 2 n n n u u u + − = − . Tính 1 2 25 , ,u u u . Bài 3: Cho 2 2 2 2 1 2 3 1 1 . . 2 3 4 n n u i n − = − + − + + ( 1i = nếu n lẻ, 1i = − nếu n chẵn, n là số nguyên 1n ≥ ). 3.1 Tính chính xác dưới dạng phân số các giá trị: 4 5 6 , ,u u u . 3.2 Tính giá trị gần đúng các giá trị: 20 25 30 , ,u u u . 3.3 Nêu qui trình bấm phím để tính giá trị của n u Bài 4: Cho dãy số n u xác định bởi: + + + +  = = =  +  1 1 2 2 1 2 3 1; 2; 3 2 n n n n n u u u u u u u 4.1 Qui trình bấm phím để tính u n và S n : 4.2 Tính giá trị của 10 15 21 , ,u u u 4.3 Gọi n S là tổng của n số hạng đầu tiên của dãy số ( ) n u . Tính 10 15 20 , ,S S S . Bài 5 : Cho dãy số { } n u với n n n n u       += cos 1 a) Hãy chứng tỏ rằng , với N = 1000 , có thể tìm cặp hai chỉ số 1 , m lớn hơn N sao cho 2 1 ≥− uu m b) Với N = 1 000 000 điều nói trên còn đúng không ? c) Với các kết quả tính toán như trên , Em có dự đoán gì về giới hạn của dãy số đã cho ( khi ∞→ n ) Bài 6. Cho dãy số 1 2, 3 1 , , ., , , . n n u u u u u + biết: 1 2 3 1 2 3 1, 2, 3; 2 3 ( 4) n n n n u u u u u u u n − − − = = = = + + ≥ 6.1 Tính 4 5 6 7 , , , .u u u u 6.2 Viết qui trình bấm phím liên tục để tính giá trị của n u với 4n ≥ . 6.3 Sử dụng qui trình trên, tính giá trị của 22 25 28 , , .u u u . Bài 7. Cho dãy số U 1 = 3 3 ; ( ) 3 3 1 − = nn UU , n là số tự nhiên và n 2 ≥ 7.1 Viết quy trình bấm phím để tính U n . 7.2 Tính 5 số hạng đầu tên của dãy số trên 2) Cho ( ) n n S 1 .4321 −+−+−= . Tính S 2004 + S 2005 + S 2006 + S 2007 Bài 8. Cho 1 dãy số 1110 10,10,2 −+ −=== nnn UUUUU , n = 1, 2, 3 . Hãy tính giá trị của số hạng 105 ,UU Bài 9. Cho ( ) ( ) 1 2 3 2 3 3 4 4 5 1 2 n n S n n = + + +×××+ × × × + + , n là số tự nhiên. a) Tính 10 S và cho kết quả chính xác là một phân số hoặc hỗn số. b) Tính giá trị gần đúng với 6 chữ số thập phân của 15 S Bài 10. Cho dãy số a n được xác định như sau: 1 2 2 1 1 1 1, 2, 3 2 n n n a a a a a + + = = = + với mọi , 3n n∈ ≥¥ GV: Phan Văn Tịnh 3 u 1 = u 2 = u 25 = , nếu n lẻ , nếu n chẵn THCS Ngô Quyền Bài tập bồi dưỡng MTBT Tính chính xác dưới dạng phân số tổng của 10 số hạng đầu tiên của dãy số đó. Bài 11. Cho dãy số u n được xác định như sau: 1 2 2 1 1, 2, 3 2 n n n u u u a a + + = = = + với mọi , 3n n∈ ≥¥ 11.1 Qui trình bấm phím để tính u n 11.2 Tính giá trị của 6 12 15 , ,u u u Bài 12. Cho dãy số u n được xác định như sau: 1 2 2 1 1 2, 3, 3 2 n n n u u u a a + + = = − = + với mọi , 3n n∈ ≥¥ 12.1 Qui trình bấm phím để tính u n, S n 12.2 Tính giá trị của 15 15 ,u S Bài 15. Cho 2 3 1 1 1 1 . 3 3 3 3 n n S = + + + + với * n∈ ¥ 15.1 Lập quy trình bấm phím để tính S n 15.2 Tính giá trị gần đúng với 6 chữ số thập phân của S 15 15.3 Tính giới hạn lim n n S →∞ Bài 16. Cho 2 0 1 2008, , ,0 1003 1 n n n a a n n a + = = ∈ ≤ ≤ + ¥ . Hãy tính gần đúng với 5 chữ số thập phân giá trị bé nhất của a n. Bài 17. Cho dãy số ( ) ( ) 3 2 3 2 2 2 n n n u + − − = với n = 1, 2, 3, … 17.1 Tính 5 số hạng đầu tiên của dãy số u 1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 . 17.2 Chứng minh rằng 2n u + = 6u n+1 – 7u n 17.3 Lập quy trình bấm phí liên tục để tính u n+2 . ------------------------------------------- GV: Phan Văn Tịnh 4 a