Đề thi kết thúc học phần môn xác suất các năm của trường Đại học sư phạm Hà nội

Xét tính không chệch, vững, và hiệu quả của ước lượng tìm được trong câu trên.. Tìm các hàm phân phối của S và T tương ứng..[r]

ĐỀ THI MÔN XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ

ĐỀ THI SỐ

1 Giả sử X Y độc lập có phân phối chuẩn N a( ,2) CMR X Y X Y độc lập

2 a Giả sử X Y hai biến ngẫu nhiên không âm Z max(X,Y) CMR:

[ ] [ ] [ ]

( Z a ) ( X a Y a )

E Z I  E X I  Y I  với a  tùy ý 0

b Giả sử dãy biến ngẫu nhiên (Xn) khả tích CMR

1

1

lim ( sup | k |) nnE  k n X 

3 Giả sử (Xn) dãy biến ngẫu nhiên độc lập với EXn 0, EX2n 1

4

EXn C n, 1,CR Đặt ij

1

n n

n i j

i j

S a X X

 

  aijR a, ij aji; ,i j1

CMR dãy (Sn) hội tụ theo trung bình bậc hai

( (E SnSm) 0 m n  ,

chuỗi sau hội tụ ij

1

j

a 





ij ,

i j a



ĐỀ THI SỐ

1 Giả sử f g hàm mật độ với F G hàm phân phối tương ứng đường thẳng thực, a

là số thực, / /a  1

a CMR hàm: ( , y)x  f x g y( ) ( ),{1a[2 F(x) 1][2 ( ) 1]}; , G y  x yR hàm mật độ phân phối

của véc tơ ngẫu nhiên (X, Y)

b X Y có độc lập khơng, sao?

a

1

[ ] EX

K

P X k





 



b Hàm

1

( ) ( ); IR

n

G x F x n x





   hàm phân phối

3 Cho dãy biến ngẫu nhiên độc lập (Xn) phân phối

a CMR chuỗi

1

2 n n n

S X

 



 hội tụ hầu chắn

b Xác định phân phối S

Tính kỳ vọng phương sai S

ĐỀ THI SỐ

1

a Giả sử biến cố A độc lập với biến cố dãy biến cố (B n n, 1) B Bi k  với i k #

CMR A

1

k k

B





 độc lập

b Giả sử Y biến ngẫu nhiên có hàm phân phối F(x) Hãy tìm hàm phân phối biến ngẫu

nhiên Z F Y( ), biết F(x) hàm tăng ngặt

2

a Cho X biến ngẫu nhiên có phân phối Poisson với tham số   Hãy tính kỳ vọng biến 0

ngẫu nhiên

1

Y X

 

b Cho véc tơ ngẫu nhiên (X, Y) có hàm mật độ là:

.sin( )(1) ( , )

0(2)

A x y

f z y   

(1) Nếu

2

x 

 

2

y 

 

(2) trường hợp khác

Hãy tính hệ số tương quan X Y

3 Cho X biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn N a( ,2) tham số a biết Giả sử

1

(X X, , ,Xn) mẫu quan sát từ biến ngẫu nhiên X Hãy tìm ước lượng hợp lý cực đại

tham số

 không? Tại sao?

ĐỀ THI SỐ

1 Giả sử P Q hai độ đo xác suất không gian đo ( , ) F

a Giả sử P A( )Q A( ) với AF P A, ( ) / 2 CMR P = Q F, nghĩa P(A) = Q(A) với

mọi AF

b Cho ví dụ P(A) = Q(A) AF P A, ( ) / 2 , P # Q F

2 Giả sử: Y Yo' dãy biến ngẫu nhiên độc lập với:

1

[ 1] [ 1]

2

n n

P Y  P Y     n N

Đặt Xn Y Y Y0 .1 n' n N CMR biến ngẫu nhiên X X0' 1 độc lập

3 Cho dãy biến ngẫu nhiên độc lập X X1, 2, cho với k,

[ k 0] k 0, [ k 1] k 0; k k

P X  q  P X   p  p q 

a CMR k k

k i

p q





 

 dãy (Xk) tn theo định lí giới hạn trung tâm

b Xem xét mệnh đề đảo với mệnh đề phát biểu câu a có khơng?

1 Chọn ngẫu nhiên số từ tập {1, 2, …, N} KH: Ap biến cố: “Số chọn bội p"

a Giả sử P P1, 2, ,P số tự nhiên đôi nguyên tố ước N CMR n

biến cố AP1,AP2, ,A độc lập Pn

b Giả sử N có phân tích tắc thành tích thừa số nguyên tố:

1

n

a a a

n

N P P P

# i# j

i j p p p số nguyên tố gọi i ( )N số tự nhiên không vượt N

nguyên tố với N

Sử dụng câu a chứng minh rằng:

1

1 1

( ) 1

n

N N

p p p

           

     

2 Cho X, Y biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối chuẩn: X ~ ( ,a 2),Y ~ N b( ,2) với

,

  dương Tìm phân phối Z cX dY m, c, d số thực cho

3 Giả sử (Xn) dãy biến ngẫu nhiên độc lập, phân phối với phương sai dương

1

n n

S  X X  X CMR với a, b thực ta có: lim [ n ] nP aS b 

4 Giả sử X (X X1, 2, ,Xn) mẫu ngẫu nhiên từ biến ngẫu nhiên  có phân phối Poison với tham

số (0;)

a Hãy ước lượng  phương pháp hợp lý cực đại

b Xét tính khơng chệch, vững, hiệu ước lượng tìm câu

ĐỀ THI SỐ

1 Giả sử X Y hai biến ngẫu nhiên độc lập, X có phân phối chuẩn N(0,1), Y có phân phối nhị thức

B(n,p) Đặt S X Y T,  X Y

b Xác định hàm đặc trưng T

2 Cho dãy biến ngẫu nhiên độc lập X X1, 2, cho với kN*

1

[ ] [ ] [ ]

2

k K K

k k K

P X   P X   P X   Đặt Sn  X1X2 Xn

a Với nN*, tính Rn sup{x: [p Sn x] 1}

b Tính lim n n

R n



c Chứng tỏ p Sn

n 

 



 

  không hội tụ đến n   

d Kết có mâu thuẫn với luật số lớn không?

3

a Cho ví dụ biến ngẫu nhiên X khả tích cho: p X  Ex 

  với   0

b Cho biến ngẫu nhiên X khả tích số aR CMR Emax( , )X a max(EX, )a

ĐỀ THI SỐ

1 Có hai hộp bong bàn, hộp thứ có bóng xanh, 12 bóng đỏ Hộp thứ hai có bóng xanh, 12 bóng

đỏ Lấy ngẫu nhiên lúc hai bong từ hộp thứ bỏ vào hộp thứ hai Sau lấy từ hộp thứ

hai bong Tính xác suất để bong vừa rút bóng xanh?

2 Giả sử véc tơ ngẫu nhiên (X, Y) có hàm mật độ là: ( , ) 2 2 2 2

a f x y

x y x y



  

a Tìm a CMR X Y hai biến ngẫu nhiên độc lập

3 Giả sử (Xn) dãy biến ngẫu tự nhiên độc lập có phân phối

       

1 1

! ! , p 1 , 1,

2 2

n n n n

P X n P X n X p X n

n n

           

CMR dãy biến ngẫu nhiên (Xn), tuân theo luật độ lớn

4 Giả sử X biến ngẫu nhiên thỏa mãn EX2 1,E X a CMR: P X a 12a2 với

mọi 0

5 Giả sử X biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn N a( ,2) (X X1, 2, ,Xn) mẫu ngẫu nhiên

độc lập quan sát từ biến ngẫu nhiên X

a Tìm ước lượng hợp lý cực đại a, 2

,

a

b Xét tính khơng chệc, vững, hiểu a 

ĐỀ THI SỐ

1

a Định nghĩa hàm phân phối biến ngẫu nhiên X CMR: F x( )P:X( ) x x, R,

thì lim ( ) x f x  

b Giả sử X X1, 2, ,X dãy biến ngẫu nhiên độc lập n X có hàm phân phối k F x với k( )

1, 2, ,

k  n Tìm hàm phân phối Z max(X ,1 X2, ,Xn)

2 Giả sử vecto ngẫu nhiên (X,Y) có mật độ đồng thời ( , )

f x y  



( , )

f x y  với 0x1;0 y1

( , )

f x y  trường hợp khác

b Tính kỳ vọng phương sai X Tìm hệ số tương quan X, Y

3 Giả sử (X X1, 2, ,Xn) mẫu ngẫu nhiên độc lập từ phân phối xác suất với hàm mật độ là:

1 (1) ( , )

0(2)

x

e f x



 



     

(1) Với x0, 0

(2) Với x  0

a Tìm ước lượng hợp lí cực đại 

b Xét xem ước lượng tìm có phải ước lượng khơng chệch, ước lượng vững, ướng lượng

hiệu không?

ĐỀ THI SỐ

1 Cho không gian xác suất ( , , ), , F  A BF CMR   ( ) ( )

A B A B

     

2 Cho hai biến ngẫu nhiên X, Y độc lập có hàm mật độ là: ( ) ( ) 0(1) (2)

X Y x

f x f y

e   



  



(1) Với x  0

(2) Với x0,0

a Tính kì vọng phương sai X

b CMR: Z X X Y



 có phân phối khoảng (0,1)

3 Giả sử (Xn) dãy biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối

   

1 1

, 1 , 1, 2,

2

2

n n n n

X n X n X X n

n n

   

               

Đặt Sn X X1, 2, ,Xn CMR:

2

1

lim exp ,

2

x

n n

n

n

S S u

x du x

DS  



     

      

 

 

  



4 Cho không gian xác suất ( , , ) F  dãy biến ngẫu nhiên (Xn) thỏa mãn

1

n n

X n





     



CMR tồn AF cho ( ) 1A 

( )

lim n 1,

n

X

A n





   

5 Giả sử biến ngẫu nhiên X có phân phối B(1, )p (X X1, 2, ,Xn) mẫu ngẫu nhiên độc lập

quan sát từ biến ngẫu nhiên X(0 p1)

a Tìm ước lượng hợp lý cực đại p * p

b Xét tính hơng chệch, vững, hiệu ước lượng vừa tìm

ĐỀ THI SỐ 10

1 A

a Phát biểu chứng minh định lí Tsê bư sép luật yếu số lớn

b Giả sử dãy biến ngẫu nhiên độc lập X X1, 2, ,X n X có phân phối xác suất k (k1, )n

Dãy có tuân theo luật số lớn không? Tại sao?

2

a Gieo đồng thời hai xúc xắc cân đối, đồng chất Gọi X Y số chấm mặt hai xúc

xắc Đặt Z = max ( X, Y) Tìm phân phối đồng thời cuả ( X,Z)

b Giả sử vectơ ngẫu nhiên ( X,Y) có hàm mật độ đồng thời là:

( )

(1) ( , )

0(2)

x y

e f x y

 

   

(2) Trong trường hợp khác

2b.1 Tìm hàm phân phối đồng thời (X, Y)

2b.2 Tính kì vọng phương sai X

2b.3 X, Y có độc lập khơng? Tại sao?

3 Giả sử (X X1, 2, ,Xn) mẫu ngẫu nhiên độc lập từ phân phối xác suất:

Với k1, 2, ,n 0 p1

a Tìm ước lượng hợp lí cực đại tham số p

b Xét xem ước lượng tìm có phải ước lượng khơng chệch, ước lượng vững, ước lượng hiệu

quả không?

ĐỀ THI SỐ 11

1 Một bình chứa cầu trắng cầu đen Hai người chơi, người rút cầu,

ghi lại màu sau trả vào bình Người thắng người rút cầu màu đen

trị chơi kết thúc Tìm xác suất thắng người

2 Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ dạng:

- x

,

( )

x,

a e x f x

b e x





 

  

 



( , , ,a b   0)

a Tìm mối quan hệ a b, , , 

b Tìm hàm phân phối F(x) biến ngẫu nhiên X

3

a Cho véc tơ ngẫu nhiên (X, Y) có hàm mật độ đồng thời: ( , ) y,

f x y e x y

    

b Cho X Y biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối chuẩn tắc N(0,1) CMR

  2 1

min X Y





 

 

4

a Cho biến ngẫu nhiên X n  , X thỏa mãn điều kiện: n,  2

1 n n X X       

CMR: lim n , nX X h c c

b Cho dãy biến ngẫu nhiên (X )n , với X có phân phối Poisson với tham số n, nghĩa n

( ) , 0.1.2

!

k n n

P Xn k e k

k 

   Đặt n

n

X n

Y

n



 tìm hàm đặc trwung Y từ suy ra: n

2

2

1

lim ( ) ( ) ,

2

x u n

n P Y x  x  e du x R







     

5 Cho mẫu quan sát (X X1, 2, , X )n biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ:

1

( , ) , 1,

f x x x 

   

a Tìm ước lượng  tham số  phương pháp hợp lí cựu đại n

b Chứng minh E n 1n n  



 



 

 

 2 n n D n n         

  Từ suy  ước lượng vững n

của 

ĐỀ THI SỐ 12

1 Có người đàn ơng, người đàn bà đứa trẻ ngồi cách ngẫu nhiên lên 10 ghế xếp

thành hàng ngang

a Tính xác suất để đứa trẻ ngồi hai người đàn bà

2 Cho X X1, 2,X3,X bốn biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối, đồng thời 4

 1 ,  0 , (0 p 1)

p X   p P X   p   Với k 1, 2, ta xác định biến ngẫu nhiên Y k

sau:

0

1

k

Y   

1

(1)

(2)

k k

k K

X X

X X









(1) chẵn (2) lẻ

a Tìm phân phối Y k k, 1, 2,3

b Tính kì vọng phương sai Y1Y2Y3

3 Giả sử X, Y hai biến ngẫu nhiên có hàm mật độ đồng thời

2

2

1

( , ) exp

2

x y

f x y

 

  

  

 

Hãy kiểm tra tính độc lập hai biến ngẫu nhiên X Y X Y

4

a Cho X X1, 2, ,X n biến ngẫu nhiên không âm Đặt n Y maxX X1, 2, ,Xn

CMR

 

  1 i

n

i

y a X a

i

YdP X dP

 





  với   a

b Giả sử (Xn) dãy biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối chuẩn N a( ,2) Tính

 

limnP X X  Xn 0

5 Giả sử X biến ngẫu nhiên có phân phối Poisson với tham số  X X1, 2, ,Xn mẫu ngẫu

nhiên độc lập quan sát từ X Tìm ước lượng hợp lý cực đại  Ước lượng tìm có phải

là ước lượng không chệch, vững, hiểu  không? Tại sao?

1 Có hai hộp bút, hộp chứa bút bi đỏ bút bi xanh Hai người, người chọn ngẫu nhiên

một hộp bút từ lấy bút Tính xác suất để hai người lấy số bút bi đỏ

2 Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ:

2

1

( )

0 (1; 2]

x

Khi x f x

khi x



 

  

 



a Tính EX

b Xác định hàm phân phối biến ngẫu nhiên X

c Chứng minh biến ngẫu nhiên Y  X2 có phân phối đoạn  1,

3 Cho X, Y biến ngẫu nhiên độc lập, phân phối  0,1

a Xác định hàm mật độ biến ngẫu nhiên U max(X,Y)

b Tính

2

E U U  

 

4 Cho mẫu quan sát X X1, 2, ,Xn biến ngẫu nhiên X có phân phối Poisson tham số   Tìm 0

ước lượng hợp lý cực đại   Xét tính khơng chệch, vững, hiệu ước lượng   

ĐỀ THI SỐ 14

1 Ba xạ thủ bắn vào mục tiêu độc lập với nhau, người bắn viên đạn Xác suất bắn

trúng đích xạ thủ tương ứng 0,6; 0,7 0,8 Mục tiêu bị phá hủy với xác suất 0,5 có

một viên đạn trúng đích; 0,7 có hai viên đạn trúng đích chắn bị phá hủy ba viên

đạn trúng đích Tính xác suất để mục tiêu bị phá hủy

2 Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ

1

( )

0

x khi x

f x x Khi x

Khi x khac

   

 

  

 

a Tính  

2

P X 

2

P X  X  

b Chứng minh biến ngẫu nhiên Y  X có phân phối  0;1

3 Cho X, Y biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối chuẩn tắc N(0,1) Xác định hàm mật độ

của biến ngẫu nhiên Z X Y



4 Cho mẫu quan sát X X1, 2, ,Xn biến ngẫu nhiên X có phân bố chuẩn N a( ,2) Tìm ước

lượng hợp lý cực đại a a Xét tính khơng chệch, vững, hiệu ước lượng a

ĐỀ THI SỐ 15

1 Giả sử B1, ,B hệ đầy đủ cho (n P B Ci )0,i1, ,n, C biến cố Chứng

minh: với biến cố A

1

( / ) ( / ) ( / )

n

k k

k

P A C P A B C P B C





2 Giả sử (Xn) dãy biến ngẫu nhiên: EXn 0,DXn 2n1, EXnXm 0 n#

Đặt Sn X1 Xn Chứng minh dãy Sn/ n n , 1 khả tích

3 Giả sử (Xn) dãy biến ngẫu nhiên đối lập với kì vọng ngồi ra, dãy X X1, 2,

phân phối dãy X2,X4,X6, phân phối cho:

1 0,

DX  

2

DX   hữu

hạn

Tìm phân phối giới hạn dãy Sn / DSn

ĐỀ THI SỐ 16

1 Cho không gian xác suất    , ,  A B  , CMR:

a ( ) ( ) ( )

P AB P A P B 

2 Giả sử X Y hai biến ngẫu nhiên không âm, Z max(X,Y)

Chứng minh rằng:

a E Z( 1(Z a ))E X( 1(X a ))E Y( 1(Y a ))

b Giả sử (Xn) dãy biến ngẫu nhiên khả tích CMR: 1sup k k n

E X

n 

 



 

 

3 Giả sử (Xn), ( )Y hai dãy biến ngẫu nhiên cho với n   0

 

1

n n n

P X Y  



   



CMR: từ h c c

n

X a suy h c c

n

Y a

ĐỀ THI SỐ 17

1 Cho n số nguyên dương Chứng tỏ cos ,nt t IR hàm đặc trưng Tìm phân phối xác

suất tương ứng

2 Cho X, Y hai biến ngẫu nhiên độc lập xác định không gian xác suất , ,F P Giả sử

X có phân phối nhị thức B n p , Y có phân phối nhị thức  ,  B m p( , ) CMR: X Y có phân

phối nhị thức

3 Giả sử X X1, , Xn mẫu ngẫu nhiên từ biến ngẫu nhiên  có phân phối nhị thức

( , ); 1; (0;1)

B m p m p

a Hãy ước lượng p phương pháp hợp lý cực đại

b Chứng tỏ ước lượng tìm từ câu (a) ước lượng hiệu p

ĐỀ THI SỐ 18

a       1; ,

P AB P A P B  A BF

b Nếu A B C, , F độc lập, P A( )a, P A BC 1 b P ABC,    c P ABBC x,

thì x thỏa mãn:

ax [ab(1a a)(  c 1)]x b (1a)(1c)

Từ

2

(1 )

1

a ab

C

a

 



 P B( )(1c x b)(  ) / (ax),P(C)=x/(x+b)

2 Giả sử X1, ,X biến ngẫu nhiên độc lập phân với hàm phân phối liên tục tăng ngặt n

( )

F x

a Tìm mật độ T F X( 1)

b Tìm mật độ đồng thời Y F(min(X1, , X )),n Z F(m ax(X , ,1 Xn))

c Tính E Y( Z)

3 Cho dãy biến ngẫu nhiên (Xn) với

1

( ) ( ) , 1,

2

k k

P X k P X  k  k

a Tìm  để Xn 0( ) n

X

X n

n

 

    theo xác suất, hầu chắn bình phương trung

bình,

b Chứng minh rằng: (0, 2) d

n

X N trường hợp

2

 

ĐỀ THI SỐ 19

1 Có xạ thủ loại xạ thủ loại hai Biết xác suất bắn trúng đích người loại xạ

thủ tương ứng 0,9 0,8 Chọn ngẫu nhiên xạ thủ cho người bắn viên đạn, độc

lập Tính xác suất để hai viên đạn trúng đích

2 Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ ( ) ,

x x

a Tính E X( 2n),nN

b Xác định hàm mật độ biến ngẫu nhiên Y ex1

3

a Có n thẻ, mang số từ đến n, xếp ngẫu nhiên thành hàng ngang Thẻ mang số k

được gọi “nằm vị trí” nằm vị trí thứ k Ký hiệu S tổng số thẻ “nằm n

đúng vị trí” Tìm ESn DS n

b Cho X, Y biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối  0,1 Xác định hàm mật độ

của biến ngẫu nhiên U maxX2,Y

4 Cho X X1, 2, ,X biến ngẫu nhiên độc lập, phân phối với n

DX    Chứng minh

1

2

EX ( 1)

n

p k k

kX n n 



 

5 Cho mẫu quan sát X X1, 2, ,Xn biến ngẫu nhiên X có phân phối

1

1

(1 )

( ) (0 1) 1, 3,

0

x

p p

P X x p khi x

khi x khac 

  

    

 

Tìm ước lượng p tham số p phương pháp ước lượng hợp lý cực đại Xét tính khơng chênh,

hiệu ước lượng p

ĐỀ THI SỐ 20

1

a Hai bạn Dũng Hoa gieo xúc xắc mặt cân đối đồng chất, gieo

mặt chấm thắng Biết Hoa gieo trước lần gieo hoàn toàn độc lập

b Có hai hộp bi, hộp có 10 bi xanh 15 bi đỏ Lấy ngẫu nhiên đồng thời viên bi từ hộp

thứ bỏ vào hộp thứ hai Sau trộn hộp thứ hai lấy ngẫu nhiên từ viên bi

Tính xác suất để bi rút sau bi đỏ? Nếu biết bi rút sau bi đỏ, tính xác suất

để bi rút hộp thứ bi xanh?

2 Cho X Y hai biến ngẫu nhiên độc lập phân phối chuẩn N(0, 1) Đặt

0

0

X khi XY

Z

X khi XY

      

Hãy xác định phân phối Z

3 Cho X biến ngẫu nhiên có phân phối Poisson với tham số   Chứng minh rằng: 0

5

EX E X( 1)

4 Giả sử Xn dãy biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối:

   

2

2

1

, 1

2

n

n n n

n

p X n p X p X

n n



       

  với n chẵn;

  2 1 , n n n n

p X n p X

n n



     

  với n lẻ

Chứng minh dãy Xn tuân theo luật mạnh số lớn

5 Cho X1, ,Xn mẫu độc lập quan sát từ biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ

3 /

1

0

( , )

0

x

x e khi x f x khi x             (1) (2)

( 0)

Hãy tìm ước lượng hợp lý cực đại   Xét tính khơng chệch, vững, hiệu ước lượng 

vừa tìm

1 Cho A, B, C biến cố độc lập CM A B C biến cố độc lập \ 

2 Ba xạ thủ, người bắn viên đạn vào mục tiêu cách độc lập Xác suất bắn trúng đích

của xạ thủ 0,8 Mục tiêu bị phá hủy với xác suất 0,5 có viên đạn trúng đích; 0,7

nếu có hai viên đạn trúng đích chắn bị phá hủy ba viên đạn trúng đích Tính xác

suất để mục tiêu bị phá hủy

3 Nếu hộp có bút đỏ bút xanh Chọn ngẫu nhiên bút bút

cùng màu bạn có điểm cịn bút khác màu bạn bị trừ điểm Ký hiệu X biến

ngẫu nhiên số điểm bạn nhận lần chọn bút Tìm phân phối xác suất X tính EX

4 Cho biến ngẫu nhiên X, Y có hàm mật độ đồng thời

( 1)

, ( , )

0

x y X Y

xe

f x y

 

   

(1)

(2)

(1) Nếu x y ,

(2) Với x, y nhận giá trị khác

a Xác định hàm mật độ điều kiện fX Y(x y )

b Xác định hàm mật độ biến ngẫu nhiên U XY

5 Cho mẫu quan sát (X X1, 2, ,Xn) biến ngẫu nhiên X có phân phối

1 ( )

0

x

X

e

f x





     

(1)

(2)

  0

(1) Nếu x  0

(2) Nếu x  0

Tìm ước lượng   phương pháp ước lượng hợp lý cực đại Xét tính khơng chệch, 

ĐỀ THI SỐ 22

1 Cho biến cố A, B, C thỏa mãn P A( )P B( )0, 3; (P AB)P ABC( )0,

Tính P A( BC) (P C AB )

2 Chọn ngẫu nhiên số tự nhiên khoảng từ đến 100 Biết số chia hết cho 2, tính xác

suất để số chia hết cho

3 Ký hiệu X biến ngẫu nhiên số lần gieo cần thiết xúc xắc mặt chấm xuất

hai lần

a Xác định phân phối xác suất biến ngẫu nhiên X

b Nếu vòng 10 lần gieo đầu tiên, mặt chấm xuất hai lần bạn 10 điển bạn

khơng có điểm trường hợp khác Tính số điểm trung bình nhận

4 Cho X, Y biến ngẫu nhiên độc lập, có phân phối mũ tham số   Xác định hàm mật ,

độ biến ngẫu nhiên U minX Y, 

5 Cho mẫu quan sát (X X1, 2, ,Xn) biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn N a ,2 Giả sử

2

 biết Tìm ước lượng a a phương pháp ước lượng hợp lý cực đại Xét tính khơng