Đang tải... (xem toàn văn)
t t Đưa việc tìm GTLN, GTNN của biểu thức cần xét về việc tìm GTLN, GTNN của một hàm biến trên miền giá trị của.. Ta có đồng biến trên..[r]
(1)TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
§1 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số A Tóm tắt lý thuyết
Để tìm giá trị lớn (GTLN), giá trị nhỏ (GTNN) hàm số, ta có hai quy tắc sau đây:
1 Quy tắc (Sử dụng định nghĩa) f D Giả sử xác định Ta có
max
x D
M f x
0 :
f x M x D
x D f x M
mminx D f x
0 :
f x m x D
x D f x m
;
2. f a b; Quy tắc (Quy tắc tìm GTLN, GTNN hàm số đoạn): Để tìm giá
GTLN, GTNN hàm số xác định đoạn , ta làm sau:
x1 x2 xma b; f 0B1 Tìm điểm , , …, thuộc khoảng mà hàm số có đạo hàm khơng có đạo hàm
f x 1 f x 2 f x m f a f b B2 Tính , , …, , ,
f a b; f a b; B3 So sánh giá trị tìm bước Số lớn giá trị GTLN đoạn ; số nhỏ giá trị GTNN đoạn
; 1 2
max max , , , m , ,
x a b f x f x f x f x f a f b .
; 1 2
min , , , m , ,
x a b f x f x f x f x f a f b .
f f Quy ước Khi nói đến GTLN, GTNN hàm số mà khơng rõ GTLN, GTNN tập
nào ta hiểu GTLN, GTNN tập xác định
B Một số ví dụ
Ví dụ
2
2 3
1
x x
y
x
0;2 [ĐHD11] Tìm GTLN, GTNN hàm số đoạn
2 2
2
4 3 2 4
'
1
x x x x x x
y
x x
x 0;2 y 0 3
17
3
y
0;2
min
x y
0;2 17 max
3
(2)Nhận xét
f a b;
;
;
min
max
x a b x a b
f x f a
f x f b
đồng biến ;
f a b;
;
;
min
max
x a b x a b
f x f b
f x f a
nghịch biến .
Ví dụ y x 4 x2 [ĐHB03] Tìm GTLN, GTNN hàm số
2; 2 TXÑ
Giải Ta có
2
2
4 '
4
x x x
y
x x
x 2;2 ()
2; 2
x Với , ta có
'
y 4 x2 x 0
4 x x 2
x
x x
x .
Vậy
minymin y 2 ;y ;y min 2;2; 2 2
x 2, đạt ;
maxymax y 2 ;y ;y min 2;2; 2 2
, đạt
Ví dụ
1
x y
x
1;2[ĐHD03] Tìm GTLN, GTNN hàm số đoạn
Giải Ta có
2
2
2 2 2
1
1
'
1 1 1
x
x x
x x
y
x x x
1; 2
x
Với ta có
'
y x 1
(3)
min ; ; 0; ;
5
y y y y
x 1, đạt ;
max max ; ; max 0; ; 2
5
y y y y
x 1 , đạt
Ví dụ
2
ln x
y x
1;e
[ĐHB04] Tìm GTLN, GTNN hàm số đoạn
Giải Ta có
2
2
2
ln
2 ln
2ln ln
'
x
x x
x x
x y
x x
1; 3
x e
Với ta có
'
y
2lnx ln x 0 lnx ln0 x 2
x 1 x e x e
3
1 1;e
()
3
9
miny y ;y e ;y e 0; ;
e e
x 1Vậy , đạt
3 2
9 4
maxy max y ;y e ;y e max 0; ;
e e e
x e , đạt
Ví dụ y x2 4x21 x23x10[ĐHD10] Tìm GTNN hàm số
TXÑ
x
2
4 21
3 10
x x
x x
3
2
x x
2 x TXÑ= 2;5Giải , suy Ta
có
2
2
'
4 21 10
x x
y
x x x x
.
'
y 2
2
4 21 10
x x
x x x x
2
2
4 4 12
4 21 10
x x x x
x x x x
2 2
(4) 51x2104x29 0
x 29
17
x
1
x
'
y Thử lại, ta thấy có nghiệm
2
y y 5 4
1
y
miny
1
x
, , , đạt
C Bài tập
Tìm GTLN, GTNN hàm số
1) y 4 x2
2) y x 22x 52;3 đoạn
3) yx22x42;4 đoạn
4) y x 3 3x3
3 3;
2
đoạn
5)
3
1
2
3
y x x x 4;0
đoạn
6) y x 33x2 9x14; 4 đoạn
7) y x 35x 43;1 đoạn
8) y x 4 8x2161;3 đoạn
9)
1
y x x
0;
khoảng
10)
1
y x x
1; khoảng
11)
1
y x x
0; 2
nửa khoảng
12)
x y
x
2; 4 nửa khoảng
13)
2
2
2
x x
y
x
0;1 đoạn
14) ysin4 xcos4x
15) y2sin2x2sinx1
16) ycos 22 x sin cosx x4
17) ycos3x 6cos2 x9 cosx5
(5)19) y sin 3x 3sin3x
2
2cos cos
cos
x
y
(6)§2 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức A Nguyên tắc chung
Việc giải toán dạng gồm bước sau:
tXác định ẩn phụ
tTừ giả thiết, tìm miền giá trị
t tĐưa việc tìm GTLN, GTNN biểu thức cần xét việc tìm GTLN, GTNN hàm biến miền giá trị
B Một số ví dụ
Ví dụ x y 0 x y 4 S x31 y31Cho , thỏa mãn Tìm GTLN, GTNN
txy
2
0
4
x y
t
Giải Đặt , suy Ta có
S
3
3
xy x y x y xy
3
4
t t
t312t 63 .
12 63
f t t t t 0; 4 f t' 3t212 0 t 0; 4 f t 0;4
Xét hàm , với Ta có đồng biến Do
0;4
min 63
t
S f t f
, đạt
4
x y xy
x y ; 4;0 x y ; 0; 4
0;4
max max 49
t
S f t f
, đạt
4
x y xy
x y ; 2; 2
Ví dụ x y 0 x2 y2 2
S x y xyCho , thỏa mãn Tìm GTLN, GTNN
t x y t 0Giải Đặt Ta có
2
2 2
2
t x y x y t 2
,
2
2 2 2 2 2
t x y x y xy x y t 2
2;
t
Suy Lại có
2 2
1
2
x y x y
xy t
2
1
1
S f t t t
(7)
'
f t t t 2; 2 f 2 1
3
2
f
Ta có với ,, Do
minS f 2 1
2 2 x y x y 1 x y
, đạt .
3
max
2
Sf
2
1 x y x y 3 x y 3 x y
, đạt hoặc
Ví dụ x y 0 x2y2 8 1
x y
S
y x
Cho , thỏa mãn Tìm GTLN, GTNN
t x yGiải Đặt , ta có
x y2 2x2 y2 2 16
t 4
,
x y 2 x2y22xy x 2y2 8 t 2 2
2 2 t 4Suy Lại có
2 2
8
2
x y x y t
x y
Ta có biến đổi sau
S
1
1
x x y y
y x
2
1
x y x y xy
x y xy
2 8
t t t
t t
2
2 t t t
8 t f t t t
2 t 4Xét hàm với Ta có
2 2
2
2
2 2 16 22
'
2 6
t t t t t t
f t
t t t t
t: 2 t 4
,
f 2;4 2;4
2
min
3
t f t f
max f t f 2 2 2
Suy nghịch biến Do
2;4 t
S f t
2 8
4 x y x y
x y
4
3
S
x y 2+) , dấu xảy ra
(8)
2 2;4
2 max
t
S f t
2 8
2 x y x y 2 x y 2 x y
+) , dấu xảy max S 2 x y 2 x y
Vậy , đạt
Ví dụ x y 0 x y xy 3Cho , thỏa mãn Tìm GTLN, GTNN
2 1
1
x y
S
y x x y
.
Giải Đặt
t x y
2 3 xy t t t 3 xy t t . Ta có
S
3 2 1
1
x y x y
x y x y
3
1
x y xy x y x y xy
xy x y x y
3 3 3 2 3
1
3
t t t t t
t t t
3
2
4
t t t t .
2
4
t t
f t t
t
t 2;3Xét hàm ,
2
2
3
'
4 3
t
f t t
t
t 2;3 f 1 2;3
Ta có , đồng biến Do
4
5
S f t f
3
x y xy x y
x y 1 Dấu “” xảy
4
5
S
x y 1 , Đạt
35
6
S f t f
3
x y xy x y x y x y
(9)
35 max
6
S
0
x y
3
x y
, Đạt
Ví dụ x y x2xy y 1Sx2 xy y 2Cho , thỏa mãn Tìm GTLN, GTNN
Giải
2
2
1
4
x y x y
x y xy x y
tx y
4t
2 3 ;
3
t
Cách 1.
Từ giả thiết suy Do đó, đặt , hay
2
xy x y t
Ta có , suy
2 3 3 1 2 3
S x y xy t t t
2 3
f t t
2 3 ;
3
t
f t' 4t f t'
2 3
0 ;
3
t
Xét hàm với Ta có ,
có nghiệm
0
f
2 3
3 3
f f
Ta có ,
Do
1
3
S
, đạt chẳng hạn
2
2 3
1
x y
x xy y
2
2 3
1
x y
x y xy
2 3
x y
xy
1
; ;
3
x y
.
maxS 3, đạt
2
0
x y
x xy y
2
0
1
x y
x y xy
0
x y xy
x y ; 1; 1 x y ; 1;1
2
2
x xy y
S
x xy y
Cách Ta có
(10) y S0
2
y
x t
y
Xét Chia tử mẫu cho đặt , ta
2
2
1
1
1
t t t
S
t t t t
.
2
1
t f t
t t
2 2
2
'
1
t f t
t t
Xét hàm , ta có
f t
Bảng biến thiên hàm :
2
2
lim lim 1
1 1
t t
t f t
t t
Suy ra:
1
3
S
+) , đạt
2
1
1
x y
x xy y
1
; ;
3
x y
1
; ;
3
x y
maxS 3+) Đạt khi
2
1
1
x y
x xy y
x y ; 1; 1 x y ; 1;1
Ví dụ x y
3
4
x y xy
[ĐHB09] Cho , thỏa mãn Tìm GTNN
4 2 2
3
A x y x y x y
2 3 2
4
a b ab a b 2
(11) 4 2 3 22
4
x y x y x y
2
2 2
9
2
4
A x y x y
2
4xy x y
Từ giả thiết, áp dụng bất đẳng thức , ta có
x y 3x y 2 2
2
1 2
x y x y x y
x y 1
x y 22x y 2 x y 12 1 0x y
(do , )
2
tx y
2
2
1
2
9
2
4
x y t
A f t t t
Đặt .
2
f t t t
t ' 2
f t t
2
t
f t
;
1
2 16
f t f
1
t
Xét hàm , Ta có đồng biến
9 16
S
Như , dấu “” xảy khi
2
2
x y
x y
1
; ;
2
x y
1
; ;
2
x y
9
16
S
1
; ;
2
x y
1
; ;
2
x y
Vậy , đạt
Ví dụ x y z x y z 0 x2y2z2 1P x 5y5z5[ĐHB12] Cho số thực , , thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị nhỏ biểu thức
0
x y z z x y z x y Giải Từ suy , thay vào đẳng thức thứ hai giả
thiết, ta
2 2 2 2 2
2
1 2
2
x y x y x y xy x y x y x y
t x yDo đó, đặt ta có
2
3
2t
6
;
3
t
2
2
2
t xy
, Biến đổi
P x5y5 x y 5
5
3 2 2
x y x y x y x y x y
x y3 3xy x y x y2 2xy x y x y2 2 x y5
(12)2
2 2
3 3 2 2 2
2 2
t t t
t t t t t
3
5
4 t t
52
4
f t t t
6
;
3
t
2
5
'
4
f t t
6 6
;
6 3
t
Xét hàm , với .
Ta có có hai nghiệm
6
3 36
f
6
6 36
f
6
6 36
f
6
3 36
f
Ta có , , ,
5
36
P
6
x y
3
z
Vậy , đạt chẳng hạn ,
Ví dụ x y z 0
3
x y z
Cho , , thỏa mãn Tìm GTNN biểu thức
2 2
2 2
1 1
S x y z
x y y z z x
3
t xyz t 0Giải Đặt Ta có và
3
3
3
2 x y z xyz
1
t
1 0;
2
t
Suy
Lại có
2 2 3 2 2
3
x y z x y z t 2 2
1 1 1 3
3
x yy zz x x y y z z x xyz t ,
2
1
S t
t
1
f t t t
0;1
2
t
5
4
3
' t
f t t
t t
0;1
2
t
f
1 0;
2
1 99
min
2
S f
X
ét hàm với Ta có , suy nghịch biến Vậy , đạt
3
2
x y z
xyz
1
x y z
(13)Ví dụ x y z 0 x y z 1[ĐHA03] Cho , , thỏa mãn Chứng minh rằng:
2 2
2 2
1 1
82
x y z
x y z
1
1 ;
a x x
1
;
b y y
1
;
c z z
1 1
;
a b c x y z
x y z
Giải Xét , , , ta có
a b c a b c
Từ suy
2
2 2
2 2
1 1 1
x y z x y z
x y z x y z
Đến ta có hai cách tiếp:
Cách Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si ta có:
3
3
x y z xyz
1 1
3
x yz xyz ,
Do
1 9
VT t
t
t3 xyz2
, với Ta có
2
1
3
x y z
t
.
9
f t t
t
0;1
9
t
Xét với Ta có
9
'
f t
t
0;1
9
t
f t 0;
9
nghịch biến
1 82
f t f
VT 1 f t( ) 82 (ĐPCM).
2
2 1
x y z
x y z
2
2 1
81 x y z 80 x y z
x y z
(14)
2
2 1
2 81 x y z 80 x y z
x y z
1 2
18 x y z 80 x y z
x y z
18.9 – 80 82
Từ suy điều phải chứng minh
C Bài tập
Bài x y 0 x y 1[ĐHD09] Cho , thỏa mãn Tìm GTLN, GTNN
4 3 4 3 25
S x y y x xy
Bài x y 0 x y 1Cho , thỏa mãn Tìm GTLN, GTNN
1
x y
S
y x
.
Bài x y 0 x y 1Cho , thỏa mãn Tìm GTLN, GTNN
1 1 2 1
S x y x y
Bài x y 0 x y xy 3Cho , thỏa mãn Tìm GTLN, GTNN
2
x y
S
x y x y
.
Bài x y x2y2 1 xyCho , thỏa mãn Tìm GTLN, GTNN biểu thức
4 2
S x y x y .
Bài x y x2 y21Cho , thỏa mãn Tìm GTLN, GTNN biểu thức
1
S x y.
Bài x y
2
4 32
x y xy
[ĐHD12] Cho , thỏa mãn Tìm GTNN
3 3 1 2
A x y xy x y
Bài x 0 y 0x y xy x 2 y2 xy 3
1
A
x y
[ĐHA06] Cho , thỏa mãn Tìm giá trị lớn biểu thức
Bài x y x2y2 1[ĐHB08] Cho , thỏa mãn Tìm GTLN, GTNN biểu thức
2
2
1 2
x xy
P
xy y
.
Bài 10 x y x2y2xy1Cho , thỏa mãn Tìm GTLN, GTNN biểu thức
2 2
(15)Bài 11 x y 2x2 y2xy1Cho , thỏa mãn Tìm GTNN biểu thức
2
S x y . Bài 12 x y z 0
3
x y z
Cho , , thỏa mãn Tìm GTNN biểu thức
1 1
S x y z
x y z
Bài 13 ab c 0a b c 1[ĐHB10] Cho , , thỏa mãn Tìm GTNN biểu thức
2 2 2 2
3
M a b b c c a ab bc ca a b a
Bài 14 x y z 0
3
x y z
Cho , , thỏa mãn Tìm GTNN biểu thức
5 5
2 2
x y x x y z
P
y z z x x y y z x